Ayudantia 10 Mate10 Pauta

 

Ayudant´ıa 10 MATE MATE10 10 ´ tica, Campus Santiago Departamento de Matematica, a ´ Universidad Tecnica ecnica Federico Santa Mar´ıa

1. Calcu Calcule le el v valor alor de   P   donde   P  = sin sin 40

◦

Soluci´ o on: n:

· sec50

◦

Cambiando por la co-raz´oon n trigono trigonom´ m´etrica etrica de ssec ec 50 = csc(90 ◦

◦

− 50 ), reduciendo ◦

P  = sin sin 40 csc40 = 1 ◦

◦

2. Sea   θ + 32 un ´aangulo ngulo agudo tal que verifique tan( θ + 32 ) = cot θ. ¿Cu´aall es el valor de   θ? ◦

◦

Soluci´ o on: n:

la tange tangente nte y la cotan cotangen gente te son co-ra co-razones zones trigonom trigonom´´eetricas, tricas, la iguald igualdad ad se da cuand cuandoo los ´aangulos ngulos son complementarios, entonces (θ + 32 ) + θ  = 90 ⇒   θ  = 29 ◦

3. Siendo 2θ − 10 un ´aangulo ngulo agudo tal que sin(20 ◦

◦

Soluci´ o on: n:

◦

◦

− 3θ) csc( csc(22θ − 10 ) = 1. Calcule   θ. ◦

Son razo razones nes trig trigono onom´ m´etricas etri cas rec´ııproc pr ocas as sin(20

◦

− 3θ) csc csc(2 (2θ − 10 ) = 1 ◦

entonces los ´aangulos ngulos son iguales, por lo que planteamos la siguiente ecuaci´on on 20

◦

− 3θ = 2θ − 10 ⇒   θ = 6 ◦

◦

4. Siendo 2α − 10 un ´aangulo ngulo agudo tal que verifique ◦

sin(2α + 10 ) = cos(α + 20 ), ◦

◦

halle el valor de   α. Soluci´ o on: n:

El seno y cosen cosenoo son co-ra co-razones zones trigonom trigonom´´eetricas, tricas, su iguald igualdad ad se cumpl cumplee cuand cuandoo sus ´aangulos ngulos son complementarios, por lo que planteamos la siguiente ecuaci´on on (2α + 10 ) + (α + 20 ) = 90 ◦

◦

◦

⇒   α = 20

◦

 

5. Desde un punto situado a 20 m sobre el nivel del piso, los ´aangulos ngulos de elevaci´oon n y depresi´oon n de la parte m´as as alta y baja de una torre son 30 y 37 , respectivamente. Calcule la altura de la torre. (Asuma que  3 sin37 = ) 5 ◦

◦

◦

Soluci´ o on: n:

En la figura adjunta,   P  se encuentra a 20 m sobre el nivel del piso. La longitud de la torre est´a dada por AC   =  AB  + BC  AC   =  AB  + 20

Por resoluci´oon n de tri´aangulos ngulos rect´aangulos ngulos

C BP   :   P B  = 20 cot37  P BA  :   AB  =  P B ta tan n 30 ◦



◦

  ⇒

   √  

4   AB  = 20 cot37 tan tan 30 = (20) 3

Por tanto AC   =

◦



√ 

◦

3 3

√ 

  80 3 = 9



80 3   + 20 m 9

6. Un poste est´a pintado hasta un punto   P  que se encuentra a 10 m  sobre el nivel del suelo. Si el ´aangulo ngulo de elevaci´oondel ndel punto   P  con respecto a un observador en el suelo es 30 y la parte no pintada es observada bajo un ´aangulo ngulo de 15 con respecto a dicho observador. Calcule la longitud del poste que falta pintar. ◦

◦

Soluci´ o on: n:

Lo planteado en el problema se a esquematizado en la siguiente figura

 

Sea   x  la longitud de la parte no pintada, as´ı x  =  AB

− 10

(N´otese otese que la estatura del observador se omite ya que no ha sido dato del problema). Hallando   AB

√ 

OA  = 10 cot30 = 10 3 ◦

√ 

AB  =  OA  O A  = 10 3

√ 

entonces   x  = 10 3 − 10 = 7, 3. por tanto   x  = 7, 3m