Axiomatica de Luce y Raiffa

 

TEORIA DE LA UTILIDAD INTRODUCCION La teoría de la utilidad se engloba dentro de la teoría de decisión y su característica esencial es que la toma de decisiones en utilidad se realiza desde un enfoque axiomático. Un proceso de decisión trata de resolver la ambigüedad existente en un conjunto de alternativas. Para ello es preciso construir una escala de preferencias en la que se revele la estructura de preferencias que subyace en un conjunto de alternativas. Esta escala de preferencias debe permitir la comparación entre las distintas alternativas. Así, deberemos encontrar en las alternativas propiedades susceptibles de ser medidas para introducir en ellas escalas de medida con el fin f in de averiguar que valores numéricos representan tales propiedades de manera que la comparación de alternativas quede reducida a una comparación com paración de números reales. Hay muchas formas de construir co nstruir escalas de preferencia, lo que constituye las distintas metodologías o racionalidades de la Teoría de la Utilidad. Una de las formas es construir una función numérica que traduzca la estructura de pre orden completo, que se supone como hipótesis básica, subyacente en el conjunto de alternativas. Ahora bien, como no toda función real sobre el conjunto de alternativas es válida, habrá que exigirle una serie de condiciones. Así, la teoría de la utilidad es la parte de la teoría de decisión que postula, mediante una serie de axiomas el comportamiento del decisor. Dichos axiomas permiten definir una función numérica que revela la estructura de preferencias del conjunto de alternativas. Esta función recibe el nombre de función de utilidad. Los distintos conjuntos de axiomas que podamos establecer originan las distintas axiomáticas de la utilidad. En función del entorno del problema, se distinguen axiomas de probabilidad en ambiente de certeza, riesgo e incertidumbre. Siempre que el comportamiento de un decisor se adapte a una de las axiomáticas propuestas, diremos que es racional con esa axiomática. Cada decisor podría proponer su propia axiomática, aunque nosotros estudiaremos una única axiomática en ambiente de riego, que es la de Luce y Raiffa.

RELACION BINARIA. PROPIEDADES Y TIPOS

ℝ

ℝ⊆ ℝ

Sea X un conjunto, decimos que  es una relación binaria en X si incluido en el producto cartesiano de X por X, es decir   X*X.

∈ℝ

 es un conjunto de pares

Si el par (x , y)    , diremos que el elemento x está relacionado con el elemento y y notaremos x y. Una relación binaria que destacamos:

ℝ

 

ℝ

  definida en un conjunto X puede cumplir una serie serie de propiedades entre las

ℝ ∀∈ ℝ ℝ

Propiedad reflexiva: Decimos que

el mismo, es decir,  x  X, x

  es reflexiva en x si cualquier elemento elemento de X está relacionado con

  x.

Propiedad simétrica: Decimos que

 es simétrica en X si cualquier par de elementos de X verifica que si uno está relacionado con otro, el otro será relacionado con el uno, es decir  x, y  X, x  y   y

  x.

ℝ

∀ ∈ ℝ⟹

 

ℝ ∀∈ ℝ  ℝ ⟹ ℝ ∀∈ ℝ  ℝ ⟹ ℝ ∀  ℝ∈ ℝ ℝ

Propiedad antisimétrica: Decimos que  es antisimétrica en X si cualquier par de elementos de X verifica que si uno esta relacionado con otro, y el otro será relacionado con el uno, entonces, se trata

del mismo elemento, es decir,

  ,    X, x

 y  y

 x

 x=y.

Propiedad transitiva: Decimos que  es transitiva en X si cualquier terna x, y, z de elementos de X verifica que si x está relacionado con y, e y está relacionado con z, entonces, x está relacionado con co n z,

es decir,

  , ,    X, x

  y  y

 x

 x

  z.

Propiedad completitud : Decimos que  es completa en X si cualquier par de elementos x, y de X verifica que o bien, x esta relacionado con y, o bien esta relacionado con x, es decir, se verifica alguna

de las dos siguientes relaciones

  ,    X, x

 y o bien y

 x.

Dependiendo de las propiedades que una relación binaria verifique en un conjunto, se establecen distintos tipos de relaciones binarias, entre las l as que destacan:

ℝ

 es una relación binaria de equivalencia  en X si simétrica y transitiva.

ℝ

 cumple las propiedades reflexivas,

ℝ

ℝ

En este caso diremos que el par (X, ) tiene estructura de equivalencia. Además, A demás, si  es completa en X, decimo que es una relación de equivalencia completa, y en otro caso diremos que es parcial.

ℝ

 ℝ

Una relación de equivalencia  define una partición en el conjunto X; a los elementos de dicha partición les llamamos clases de equivalencia. Dado un elemento x de X, definimos la clase de equivalencia de representante x como el conjunto de todos los elementos de X que son equivalentes a x, es decir, que están relacionados con él.

  {∈ R } ∈ ∀ , ,  ∈ R ⟹    ∀ ,,  ∈ R ⟹  ≠  X, X,  clase clase  (x)=

Por tanto, se verificará:

X/ x    

y 

 

   X, X,  x    y

 

 

   X, X,  x    y

 

 

Por otro lado, como las clases de equivalencia constituyen una participación del conjunto, se tendrá que

∀ , ,  ∈ R ⟹  ∩   ∅  ⋃∈    

   

   X, X,  x    y

 

Al conjunto formado por las clases de equivalencias de X le llamamos conjunto cociente, y notamos: X/  =        

ℝ {{   ∈ ∈}} ℝ

 ℝ

 es una relación binaria de orden en X si transitiva

 cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y

ℝ

En este caso diremos que el par (X, )tiene estructura de orden. Si la propiedad reflexiva no se cumple, diremos que el orden es fuerte, y débil en otro caso. Además, si  es completa en X, decimos que es una relación de orden (fuerte o débil) completo, y en otro caso diremos que es parcial.

 ℝ

ℝ

 ℝ

 ℝ

 es una relación binaria de preorden en X si

 cumple las propiedades reflexiva y transitiva

 

ℝ

En este caso diremos que el par (X, ) tiene estructura de preorden. Si la propiedad reflexiva no se cumple, diremos que el orden es fuerte, y débil en otro caso. Además, si  es completa en X, decimos que es una relación de preorden (fuerte o débil) completo, y en otro caso diremos que es parcial.

 ℝ

ℝ

La estructura de preorden, por tanto, engloba las estructuras de orden y equivalencia. Definición: - 

- 

- 

Sea A un conjunto de alternativas y  una relación de equivalencia completa en A. Entonces diremos que el par (A, ) tiene estructura de indiferencia. De los elementos de A diremos que son indiferentes y notaremos:

~

~

 ~

 

 significa

≻

 es indiferente a

 

 

Sea A un conjunto de alternativas y una relación de orden completa en A. Entonces diremos que el par (A, ) tiene estructura de preferencia. Los elementos de A diremos que son indiferentes y notaremos:

≻   ≻ 

 

 significa

≥

 es más preferido que

 

 

Sea A un conjunto de alternativas y  una relación de preorden completa en A. Entonces diremos que el par (A, ) tiene estructura de preferencia - indiferencia, de los elementos de A están ordenados y notaremos:  significa

 ≥ ≥ 

 

 es igual o mas preferido que

 

 

TEORIA DE LA UTILIDAD Una vez definida la estructura de orden en el conjunto de alternativas nos ocuparemos de la función que va a trasladar dicha estructura al conjunto de números reales. Sea (X, ) un conjunto dotado de estructura de preorden. Sea  una función real definida en X. -  Decimos que  es función isótona en X si conserva el preorden establecido en X, es decir, si verifica:

≥

:→ℝ



∀ , ∈ ~ ⟹   [] ∀ , ∈  >  ⟹  > [] ∀∀ , ,∈∈ >~ ⇔⇔>[[]]       

- 

 X,

 

   X,   Decimos que  es función representación fiel en X si conserva el preorden establecido en X,



es decir, si verifica:

 

 

 X,

 X,

 

 

En particular, una función representación fiel es isótona. - 



Decimos que  es función de utilidad si es una función representación fiel definida sobre un conjunto de alternativas con estructura de preorden preorden completo. Los números reales  asociados a los premios se denominan utilidad de los premios .



Proposición fundamental de la teoría de la utilidad  Toda función isótona definida sobre un conjunto con estructura de preorden completo es función representación fiel y, por tanto, función de utilidad si el conjunto es de alternativas.

 

También se verifica:

Proposición Todo preorden sobre un conjunto en el que hay definida una función real que es representación  fiel es completo.

AXIOMATICA DE LUCE Y RAIFFA Conceptos previos La teoría de la utilidad que se va a estudiar a continuación se desarrolla en ambiente de riesgo, es decir, a cada alternativa le corresponde una distribución de probabilidad, que llamaremos perspectiva aleatoria o lotería, sobre el conjunto de consecuencias resultantes de la elección de una alternativa. Así cada lotería representa la manera de modelar una alternativa en ambiente de riesgo, de manera que a los resultados de la misma los denominaremos premios. Existen dos tipos fundamentales de lotería:

  Loterías simples o unietápicas: aquellas cuyos premios son las consecuencias de la elección



de una alternativa, es decir, son resultados. Las notaremos por:

  ⋯     ⋯      ∈ 0,1  =   1

 

  Loterías compuestas o multietápicas: aquellas cuyos premios son, a su vez, loterías. Las



notaremos por:

 



  ∈ 0,1  ∑=   1    ⋯⋯   

 

Axiomática La axiomática que se expone a continuación tiene algunas ventajas importantes respecto al resto de las que se inscriben dentro del ambiente de riesgo: por un lado, sencillez en cuanto a la formulación de los axiomas, que son pocos y muy intuitivos; y, por otro lado, y más m ás interesante, proporciona un método concreto para construir la función de utilidad de cada decisor, llevando implícito el criterio de elección óptimo.

Axioma 1. Axioma de preferencia pura  Todo decisor racional es capaz de definir sobre el conjunto de premios una relación binaria de  pre orden completo, que dota dota a dicho conjunto de estructu estructura ra de preferencia-indiferencia.

(X, ≥) tiene estructura de preferencia – preferencia  –indiferencia, indiferencia, luego podemos ordenar los premios en una escala de preferencia: x1 ≥ x2 ≥ … ≥ xn con x1 ≥ xn, donde x1 es el mejor de los premios y x n el peor de los premios.

 

 

  Axioma 2. Axioma de reducción



 A todo decisor racional le resulta resulta indiferente una lotería simple simple y una lotería comp compuesta uesta en las que los premios son los mismos y tienen la misma probabilidad de ocurrencia

   ⋯⋯     ∈ 0,1 ∑  1    ⋯       ∈ 0,1  ∑  1     ⋯       ∈ 0,1 ∑  1    .  + 2. 2 +⋯+.    .,   ~  

 

 

Axioma 3. Axioma de continuidad Sea un conjunto de premios X con estructura de pre orden completo, donde x 1 es el mejor de los premios y x n es el peor de los premios. Todo decisor racional es capaz de asignar a cada uno de llos os

0,1

 premios x i del conjunto de probabilidad subjetiva u i  ϵ    , de forma que resulte indiferente  , indiferente recibir con certeza el premio Xi o participar en una lotería formada por el mejor y el peor de llos os premios, con  probabilidades ui y 1 –   u ui   respectivamente. respectivamente. A dicha probabilidad la denominaremos utilidad del  premio x i i  

 →  ∈ 0,1, ~ ( 1 −)  

 



La lotería (  x  x i i)  es la lotería equivalente a x i i.  Por tanto, trivialmente se tendrá que u1 = 1 y un =0.

Axioma 4. Axioma de sustitución  A todo decisor racional le resulta resulta indiferente participar en una lot lotería ería simple o en una lotería compuesta en la que se han sustituido los premios por sus loterías equivalentes definidas en el  Axioma 3.

  ⋯  1−  ⋯   ⋯  ⋯        ⋯  ⋯   ~  ⋯ (  ) ⋯    

 

Axioma 5. Preferencia extendida

Todo decisor racional es capaz de ordenar el conjunto de loterías, es decir, el conjunto de loterías tiene estructura de pre orden completo .

Axioma 6. Axioma de monotonía







Dadas las loterías  y ’ con los dos dos mismos premios, decimos que  será preferida a ’ si la probabilidad de obtener mejor premio en  es mayor que la probabilidad que obtener mejor premio en ’.  ’.  Si se consideran las loterías





  (  1 − ) , ′  (  1 − )    

 

 

Y sucede que x i i   > x  j  entonces  entonces

 ≻ ′ ⇔> ~′ ⇔ ′ ≻⇔>

 

 

 

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD QUE DEDUCE DE LA AXIOMÁTICA DE LUCE Y RAIFFA La función de utilidad que se deduce de la axiomática de luce y raiffa se define, por tanto, como la probabilidad asignada al mejor resultado en su lotería equivalente, es decir,

:→ 0,1 :→  →     

Proposición:

 

La función u así definida sobre un conjunto de premios(X) con estructura de p pre re orden completo es una función de utilidad.

Teorema:

→ 0,1

Sea X   una función de utilidad. Entonces, cualquier transformación lineal positiva de u es también función de utilidad, es decir:

    ⟹    +  , ∈ℝ,>0 ∈ℝ,>0     0,1

 

De ésta manera generalizamos una función de utilidad util idad para que pueda tomar cualqui cualquier er valor real, en este caso, las utilidades ya no serán probabilidades. A una función de utilidad definida en utilidad normalizada.

 la llamaremos función de

Propiedades de la función de utilidad. Toda función de utilidad deriva de la axiomática de Luce y Raiffa verifica las siguientes propiedades: 1.  La función de utilidad definida d efinida sobre un conjunto de premios ordenados de peor a mejor es una función monótona no decreciente, consecuencia de la isotonía. Un caso especial son las funciones reales, para las cuales la propiedad se traduce en ser estrictamente creciente. 2.  La función de utilidad de un decisor es única salvo transformaciones lineales positivas. 3.  La forma de la función de utilidad permite definir distintas actitudes del decisor frente al riesgo: Aversión, preferencia y neutralidad frente al riesgo.

PRINCIPIO DE ÓPTIMO Los 6 axiomas de Luce y Raiffa permiten tomar una decisión, es decir, elegir una de las alternativas como óptima: Los 5 primeros permiten reducir cualquier lotería a otra indiferente con solo dos premios, el mejor y el peor; y el axioma seis permite ordenarlas:

   ⋯⋯  ⋯⋯    1 −      3, →  ∈ 0,1, ~ (  ),:

 

 

 ⋯  ⋯    1  ⋯  ⋯     1 0  1 −  0    ⋯  ⋯   ~ ( ) ⋯ (  ) ⋯ ( )  ~ ~ (∑.  1−∑ . )

 

 

Esta axiomática obedece a un principio de óptimo, que puede enunciarse de la siguiente manera

Todo decisor racional es capaz de asignar a cada lotería l un número real, que denominamos utilidad esperada de la lotería  de una manera que la lotería óptima será aquella que tenga máxima utilidad esperada.

 → u  ∑. 

ACTITUD DE DECISOR FRENTE AL RIESGO Un decisor puede presentar diferentes actitudes frente al riesgo. Para definirlas y caracterizarlas vamos a ver, previamente, dos conceptos que serán muy útiles.

Definición: Sea 

   ⋯⋯  ⋯⋯        .  ∈ ℝ   ~⇔ 

 

Definimos el equivalente cierto de una lotería como aquella cantidad C   de manera que al decisor le resulte indiferente recibir con certeza la cantidad C o participar en la lotería . Por tanto, si u es la función de utilidad del decisor C es el equivalente cierto de la lotería  si sus utilidades coinciden: C

  

 u(C) = u( )

Definimos el valor monetario esperado de una lotería con aquella cantidad   que representa el beneficio esperado del juego, es decir la cantidad que el decisor espera obtener como premio si participa sucesivas veces en esa lotería.

 ∈ℝ

Por tanto,

    ∑= . 

 

AVERSIÓN FRENTE AL RIESGO

Un individuo presenta aversión frente al riesgo si prefiere el valor esperado de la lotería a participar en ella, es decir, no está dispuesto a asumir el riesgo que le supone participar en una lotería, aunque el beneficio esperado sea mayor. Por tanto.

Un individuo presenta aversión frente al riesgo si

. ≥ C

 

 

A este decisor le definimos como precavido, conservador o pesimista. Hay 3 formas de caracterizar la aversión del decisor frente al riesgo 1.  Mediante la fórmula de función de utilidad 2.  Mediante la prima de riesgo. 3.  Mediante la función de aversión

Forma de la función de utilidad: Un decisor presenta aversión frente al riesgo si y solo sí su función de utilidad es cóncava.

Prima de riesgo: La prima de riesgo de una lotería l otería se define como la diferencia entre su beneficio esperado y su equivalente

−

cierto, y notamos: . La prima de riesgo representa la cantidad a la que el decisor está dispuesto a renunciar por asumir el mínimo riesgo r iesgo posible, es decir, por no jugar. Además, la prima de riesgo es una medida de magnitud de la aversión por el riesgo del decisor ya que cuanto mayor sea la prima de riesgo, mayor será la aversión por el mismo del decisor. Si un individuo presenta aversión frente al riesgo entonces  

Función de aversión:

≥0

 

Si la función de utilidad utili dad de un decisor es sucesivas veces derivable en el conjunto de premios, podemos decir que la función de aversión es de la l a siguiente manera:

′′   ′   −  

Si un individuo presenta aversión frente al riesgo, entonces,

≥0

.

Además, la función de aversión puede ser creciente o decreciente: 1.  Si la función de aversión es creciente, cr eciente, diremos que el decisor tiene aversión absoluta por el riesgo, es decir, la aversión por el riesgo aumenta al aumentar la riqueza: cuanto más dinero tiene el decisor, más precavido se vuelve, porque piensa que tiene más que perder. 2.  Si la función de aversión es decreciente diremos que el decisor tiene aversión relativa por el riesgo, es decir, la aversión por el riesgo disminuye al aumentar la riqueza: cuanto más dinero tiene el decisor, menos precavido se vuelve, porque piensa que tiene más riqueza para poder hacer frente al riesgo.

PREFERENCIA POR EL RIESGO Un individuo presenta preferencia por el riesgo si solo opta por no participar en una lotería a cambio de una cantidad cierta de dinero superior al beneficio esperado de la misma, lo que supone que el decisor está dispuesto a soportar el riesgo asociado a la lotería. Por tanto,

Un individuo presenta preferencia al riesgo si

≤

 

A este decisor le definimos como arriesgado u optimista. La preferencia por el riesgo solo se caracteriza a través de la forma de la función de utilidad, dado que el concepto de la prima por el riesgo y función de aversión solo son propios de la aversión frente al riesgo.

Forma de la función de utilidad: Un decisor presenta preferencia por el riesgo si y solo sí su función de utilidad es convexa.

 

Aun que como hemos dicho, los conceptos de prima por el riesgo y función de aversión no son propios de esta situación, si los calculamos para un individuo con preferencia por el riesgo tendremos:

−≤0    ≤ 0  

Si se puede definir la función de aversión, deberá ser si

 

NEUTRALIDAD FRENTE AL RIESGO La neutralidad frente al riesgo no es más que un caso particular de los dos anteriores cuando se verifican con igualdad, es decir,

Un individuo presenta neutralidad frente al riesgo sí

0

 

En este caso la función de utilidad es lineal (utilidad marginal constante), la prima de riesgo vale cero y la función de aversión será una función idénticamente nula.

CRITERIO DE EFICIENCIA Como alternativa al principio de óptimo que tiene como fondo la axiomática de Luce y Raiffa (Criterio de la máxima utilidad esperada) surgen otros criterios para la elección de una lotería optima en ambiente de riesgo. Uno de estos criterios es el de eficiencia. Una lotería no es más que una distribución de probabilidad en la que los valores de la variable se denominan premios. Por tanto, tendrá dos características cara cterísticas fundamentales que son su media (o valor monetario esperado) y su varianza. Así el criterio de eficiencia establece lo siguiente:

Una lotería es más eficiente que otra si su media es mayor y su varianza es menor.

Por tanto, si (

 2  2  ,

)y(

es más eficiente que

 j si

,

) son, respectivamente, la media y la varianza de las loterías

se da alguna de las siguientes relaciones:

  i y

 j se

tiene que li

2 ≥ 2    2 > 2   <     ≤   

El criterio de eficiencia permite hacer una partición del conjunto de loterías en dos subconjuntos. - 

Conjunto de alternativas eficientes (E) formado por todas las loterías para las que no existen otras más eficientes que ellas.

- 

Conjunto de loterías no eficientes o ineficientes ( ) formado por aquellas loterías para las que existen otras que son más eficientes que ellas. ella s.



Según este criterio una lotería eficiente es siempre preferida a otra no eficiente, es decir, si



entonces

i ≻ 

J.

Por tanto, la lotería optima será una lotería eficiente. De esta manera.

 ∈  ∈  i 

y   j 

1.  Si el conjunto de loterías eficientes es unitario, la única lotería eficiente de ese conjunto será la lotería óptima.

 

2.  Si el conjunto de loterías eficientes no es unitario, como las loterías eficientes no son comparables por el criterio anterior, no podemos ordenarlas, lo que impide la identificación de la alternativa óptima. Por tanto, para ordenar loterías eficientes utilizamos la función de utilidad aproximación media. varianza, que proporciona las curvas de isoutilidad del individuo.

FUNCIÓN DE UTILIDAD APROXIMACIÓN MEDIA.VARIANZA La función de utilidad de aproximación Media  –  – Varianza  Varianza es una función que se aplica sobre el conjunto de loterías eficientes y que asocia a cada una de ellas un número real, representando la utilidad esperada aproximada de esa lotería. Siempre que la función de utilidad sea sucesivas veces derivable, esta aproximación se obtiene desarrol desarrollando lando por Taylor, en un entorno de la media de la lotería, la utilidad esperada de dicha lotería, eligiendo los términos hasta el grado 2, por lo que si la función de uti utilidad lidad no es un polinomio de grado menor o igual que 2 se cometerá un error. Así, tendremos: 1.  Función de aproximación media – media  – varianza:  varianza:

,.  2! .2 =

+

 

 

2.  Error que se comete:

  ′′′     3!  −   + 4!  −  + ⋯

el error es el término complementario del desarrollo de Taylor.



 



De ésta manera, una lotería eficiente  i será preferida a otra lotería eficiente  j si y solo sí, el valor proporcionado por la aproximación media – media – varianza  varianza para Li es superior al valor proporcionado para L j, es decir:

 ≻  ⇔ , > , ~ ⇔ ,  ,  ≻  ⇔ , > ,