Axiomas de Los Números Reales PDF

 

 Apuntes de clase  Apuntes clase:: Números re reales ales Lic. Adriana Valverde Calderón 

DEFINICIÓN AXIOMATICA DE LOS NÚMEROS REALES Se llama sistema de los Números Reales a un conjunto no vacío:

ℝ =   { / ∈ ℚ ∪ }  en el cual están definidas dos operaciones, la adición y la multiplicación; una relación de orden, menor que, mayor que, qu e, igual que; y satisface los siguientes axiomas:

AXIOMAS PARA LA ADICIÓN

 : Para ,    ∈ ℝ ;  +    ∈ ℝ   :  +    =    +    ; ∀ ,    ∈ ℝ    : ( +   ) +    =    + ( +   ) ; ∀ ,   ,  ∈ ℝ   : ∃! 0 ∈ ℝ / + 0 = 0 +    =   ; ∀  ∈ ℝ   : ∀  ∈ ℝ , ∃! (− ) ∈ ℝ / +   (−) =   (−) +    =

(Clausura) (Conmutativa) (Asociativa) (Elemento neutro aditivo)

0  (Elemento inverso aditivo)

AXIOMAS PARA LA MULTIPLICACIÓN

: Para ,    ∈ ℝ ; .  ∈ ℝ   : .  =   .  ; ∀ ,  ∈ ℝ  : (. ).  =   . ( . ) ; ∀ , ,  ∈ ℝ   : ∃! 1 ∈ ℝ / . 1 = 1.  =   ; ∀  ∈ ℝ  : ∀  ∈ ℝ\{0} , ∃!  ∈ ℝ /.  =    .  = 1 

(Clausura) (Conmutativa) (Asociativa) (Elemento neutro aditivo) (Elemento inverso aditivo)

AXIOMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA ADICIÓN

, ,  ∈ ℝ, entonces: : ( +   ) =    +     : ( +   ) =    +     Si

(Distribución por la izquierda)  (Distribución por la derecha) derech a)

1

 

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AXIOMAS PARA EL ORDEN

:

Ley de tricotomía

,    ∈ ℝ ; uno y sólo una de las siguientes relaciones se cumple: o   <     o   >     o   =     ∀ ,   ,  ∈ ℝ ; Si  <     ;  <     ⇒  <     (Transitiva)

Para dos números

: :

Leyes de Monotonía (i)  (ii)  (iii)  

:

(i) (ii)

 <    ; ∀ ∈ ℝ  ⇒   +    <    +     (Consistencia aditiva) Si   <     ;   > 0  ⇒  .  <   .   (Consistencia multiplicativa) Si   <     ;   < 0  ⇒  .  >   .   Si  ,  ∈ ℝ    ⇒   +    ∈ ℝ   ; .  ∈ ℝ    ∀  ≠  0 ;  ∈ ℝ   o ( − ) ∈ ℝ pero no ambos Si

AXIOMAS PARA LA IGUALDAD

: : : : :

  =     o   =     Si   =     Si   =     Si   =    

 ≠  

Dicotomía Reflexividad

⇒   =     ⇒   +    =    +   ; ∀  ∈ ℝ  ⇒  .  =   . ; ∀  ∈ ℝ 

Simetría Unicidad de la adición Unicidad de la multiplicación

REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS REALES  En la recta numérica, los números se ordenan según su magnitud:

 >     …

  

  

  

-2

-1

0

  

  

1

2 

 <     o  =     o

A cada  x   le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real. Entre el conjunto de los números reales y los puntos de la recta se establece un isomorfismo (igualdad) de manera que:





 Numero  ……..SINONIMO………. Punto   2

 

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“Entre dos números reales arbitrarios siempre se puede hallar h allar números, tanto racionales como irracionales.” “Entre dos puntos arbitrarios de la recta real siempre podrá situarse puntos, tanto racionales como irracionales.” Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta. Por ejemplo:

√ 5 = 2 + 1 

TEOREMA Todo número irracional

  se puede expresar con cualquier grado de precisión

por medio

de los números racionales. Bosquejo de la demostración:

 ∈   , y  > 0 ⇒  <     <    + 1 , donde  ∈ ℤ ; dividiendo el segmento ,  + 1  en  partes iguales obtenemos los segmentos   +    ,  +     ;   +    ,  +     ; …;  +    ,  +    , los cuales tienen magnitud   y los extremos son son números racionales racionales ℚ.    Cada uno de los   ;     ∈ ℚ  expresa  con un grado de precisión determinado. Ejemplo: La expresión de √ 2 : Si consideramos

    < 2 < 1 +      con un error no mayor a         √      < 2 < 1 +      con un error no mayor a    1+      √      < 2 < 1 +      con un error no mayor a    1+      √  1+

El conjunto

ℝ  con los elementos + ∞ 

ó

−∞  conforman el conjunto extendido de los

números reales o la recta numérica extendida. 3

 

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Por definición se tiene:

−∞ < + ∞ 

∞) +   (+ ∞) = + ∞  (−∞) +   +   ( −∞)  =   −∞  (+ ∞)( + ∞)  =   ( −∞)( −∞)  = + ∞  (+ ∞)( −∞)  =   ( −∞)( + ∞)  =   −∞ 

(+

 ∞) +   ( −∞)]  ;    ;   no están definidas. Para todo  ∈ ℝ   se considera −∞  < + ∞  y se cumple:  +   (+ ∞) =   (+ ∞) +    = + ∞   +   (−∞) =   (−∞) +    =   −∞  Las operaciones : [(+

> 0;

Para todo

   Para todo

(+

)  =   ( +

)  = +

 

∞) =   (−∞ ∞) =   −∞ ∞  (−∞

 <   0; (+ ∞) =   (+ ∞) =   −∞ 

NOTA: Los infinitos + ∞ y

−∞ se llaman a veces “números infinitos” a diferencia de los

 ∈ ℝ que son números finitos. TEOREMAS SOBRE LOS NÚMEROS REALES

∀  ∈ ℝ   ;  . 0 = 0  . 0 =   . 0 + 0   Demostración: =    . 0 + ( +   (− ) )  = ( . 0 +    ) +   ( − )  =    (0 + 1) +  +   ( − )  =    (1) +   ( − )  =    +   ( − )  Teorema 1.

Ax. Elem. neutro aditivo  Ax.elem. opuesto aditivo Ax. de asociatividad Ax. de distribución Ax. Elem. neutro aditivo  aditivo  Ax. Elem. neutro multiplicativo

= 0 

4

 

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∀  ∈ ℝ ; −  =   (−1) .    Demostración: −   =   −( . 1)  Ax. elem. neutro multiplicativo  =   −(1. )  Ax. de conmutatividad = ( −1)  .    Notación Corolario: ∀  ∈ ℝ  ; −( ) =   (− ) .   =   . (−)  Teorema 3. 3.  Si ∀ , ,  ∈ ℝ tal que  ≠  0 entonces  +     = 0  si y sólo si   =   −    4.  Si  ,  ∈ ℝ  ,   = 0  si y sólo si  = 0  ó   = 0  Teorema 4. Teorema 5. 5.   =      si y solo si   =    ó   =   −  6. ∀ ∈ ℝ  ;  Teorema 6.  ;     =     si y solo si   =   √    ó   =   −√    Teorema 7. 7. Si   <     y  <     entonces  +    <    +      Teorema 8. 8. Si   <     entonces −  >   −  Teorema 9. 9. Si   <     y  < 0  entonces  >     10.   ≠ 0  si y solo si   > 0  Teorema 10. Teorema 11. 11. Si 0 ≤   <     y i 0 ≤  <      entonces  <     12..  Para  ,  ∈ ℝ  ; Si  e  y  tienen el mismo Teorema 12 mismo signo signo si   > 0  Si  e  y  tienen signos diferentes si   < 0    13.    =    tiene el mismo signo que    Teorema 13.    Teorema 14. 14.  Si  e  y  tienen el mismo signo tal que   <     entonces   >   Teorema 15. 15.    >      si y solo si  >    ≥  0  Teorema 16 16..  Si   > 0  entonces    ≤   si y solo si −√  ≤  ≤  √   Teorema 17. 17.  Si  ≥  0  entonces    ≥   si y solo si  ≥ √   ó  ≤ −√  − √   18.. ∀  ,  ∈ ℝ   ; ( − )(  +   )  =    −     Teorema 18 Teorema 2.

 Demostración

Partiendo del primer miembro de la igualdad (a  b)( a  b)   (a  b).a  ( a  b).b  

Ax. de distribución

= a.a  b.a   a.b  b.b  

Ax. de distribución

= a.a  a.b   a.b  b.b  

Ax. de conmutación

= a.a  ( b. a  a.b)  b.b  

Ax. de asociación 5

 

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= a 2   b 2  

Ax. del elemento opuesto

   (a  b)(a   b)  a 2  b 2 ; lqqd.

Teorema 19.

,

∀ ∈ ℝ

  

)  =

\{0}  ; (



  

 Demostración

Partiendo del primer miembro de la igualdad se tiene:   ( xy ) 1  ( x . y ) 1 .1.1  

Ax. del elemento neutro multiplicativo

= ( xy ) 1 ( x. x 1  )( y. y 1 )  

Ax. del elemento inverso multiplicativo

= ( xy ) 1 ( x. x   1 y. y 1 )  

Ax. de asociación

= ( xy ) 1 ( x. y. x  1 . y 1 )  

Ax. de conmutación





= ( xy ) 1 ( x. y ) (  x 1 . y 1 )  

Ax. de asociación

= 1.( x 1 . y  1 )  

Ax. del elemento inverso multiplicativo

=  x 1 . y  1  

Ax. del elemento neutro multiplicativo

 ( xy ) 1    x 1 y 1   ; lqqd.

Ejercicio  Ejercicio  Demuestre que si 0  a   b  entonces a 

a.b  

a b

2

b 

Una forma de demostración

Si a  b   a .a   a.b  

( P. consistencia multiplicativa)

a 2  a.b  

( P. clausura en el 1er. miembro)

a2 

a

a.b  

(raíz cuadrada a ambos miembros)

a.b  

( a  y b  son números positivos)

2 0  (a  b)  

0  (a  b).(   a  b)  

(1)

(todo número real al cuadrado es positivo) ( x. x    x 2 )

0  a ( a  b )   b (a  b)  

(P. Distributiva)

0  a.a  a  .b  b.a  b.b  

( P. Distributiva) 6

 

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( P. Asociativa, clausura ,  x. x    x 2 )

0  a 2  2  a.b  b 2  

aditiva ) 4a.b  a 2  2 a.b  4a.b  b 2   ( P. Consistencia aditiva 4a.b  a 2    2a.b  b 2  

( P. Asociativa y clausura )

2

4a.b   a  b    2 a.b   a  b  

  ab

a.b 

2

( P. Distributiva ) (raíz cuadrada de números reales positivos)

 

( P. Consistencia multiplicativa )

(2)

Si a  b   a  b   b  b  

( P. consistencia aditiva)

a  b  2b  

(clausura en el 2do. miembro)

ba

2

 b 

(consistencia multiplicativa)

(3)

Usando la propiedad propiedad transitiva para los resultados (1) ; (2) y (3), se demuestra:

 <   √ <  +2    <     INTERVALOS DEFINICIÓN DE INTERVALO FINITO Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos números

 

dados:  y  que se llaman extremos del intervalo.

INTERVALO CERRADO O SEGMENTO Denotado por   [ , ]  , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que   y menores o iguales que

.        ∈ ℝ/   ≤  ≤ }

[ , ] = {

 − | =   | − |   =    ⇒ [, ]  es igual al punto {}  o al punto {} 

Su longitud está dada por: Si

|

7

 

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INTERVALO ABIERTO

  〈 , 〉 o ] , [ , es el conjunto de todos los números reales mayores que   y menores que . Denotado por  ( , )  o

       ∈ ℝ/  <    <   }

( , ) = {

 =    ⇒ ( , ) =   ∅  El intervalo (  ,  ) se llama interior del segmento [, ] 

Si

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA Denotado por  (a, b] , es el conjunto de todos los números reales mayores que  y menores o iguales que

.        ∈ ℝ /  <    ≤ }

( , ] = {

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA



Denotado por [a, b) , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que  y menores que .



       ∈ ℝ /   ≤  <    }

[ , ) = {

Cuando queremos nombrar un conjunto c onjunto de puntos formado po porr dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo

∪  (unión) entre ellos. 8

 

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NOTA: En general, [, ] ; (, )  ; ( , ] ; [ , )  se llaman intervalos, los puntos   ,   sus extremos y los puntos

/ <    <     sus puntos interiores.

INTERVALOS INFINITOS Se consideran las magnitudes +

∞  y −∞  llamados puntos impropios impropios y se definen:

 ∈ ℝ /  >   } =   ] , + ∞[  2.  { ∈ ℝ /  ≥ } = [ , + ∞[  3.  { ∈ ℝ /  <   } =   ]−∞ , [  4.  { ∈ ℝ /  ≤ } = ] − ∞ ,  ]  5.  { ∈ ℝ /−∞  <     < + ∞} =   ]−∞ , + ∞[ =   ℝ 

1.  {

ENTORNO DE UN PUNTO Se llama entorno del punto

 ∈ ℝ al intervalo abierto con centro   y radio . Se denota por   por

()  o  (, ).  () =   ( − ,  +   ) =   { ∈ ℝ/  −  <    <    +   } 

NOTA: Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto. Por ejemplo el entorno de

 Entorno de

  =

0 

(0)   =   { ∈ ℝ/ || <   } 

 =      ()   =   { ∈ ℝ/ | − | <   } 

ENTORNOS LATERALES



Por la izquierda de  , denotado por:

(  )   =   ( −  ,   ) 

9

 

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Por la derecha de

 , denotado por:  ()   =   ( ,    +   )

ENTORNO REDUCIDO Se emplea cuando se quiere saber qué pasa p asa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

 ∗ ()   =   {  ∈ (  − ,  +   )  ∧  ≠  } 

CONJUNTO ACOTADO

  ≠   está acotado superiormente si ∃  ∈ ℝ / ∀  ∈ ;    ≤   y acotado inferiormente si ∃  ∈ ℝ / ∀  ∈  ;    ≤    Si un conjunto    está acotado superior e inferiormente inferiormente se dice que  está acotado, es decir ∀  ∈   se cumple  ≤  ≤    Se dice que un conjunto

Cotas superiores 

Cotas inferiores  ≤  ∈  ≤  

SUPREMO DE UN CONJUNTO Es la menor cota superior. Se denota por

 ( ) =    

INFIMO DE UN CONJUNTO Es la mayor cota inferior. Se denota por

 ( ) =     10

 

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MAXIMO DE UN CONJUNTO Si

 ∈  ⇒    á   

MINIMO DE UN CONJUNTO Si

 ∈  ⇒    á   

AXIOMA DEL SUPREMO “Todo conjunto no vacío de números reales y acotado superiormente tiene una mínima cota superior llamada supremo.  Corolario: Todo conjunto

  ≠    acotado inferiormente, tiene ínfimo . EJERCICIOS RESUELTOS

2 1.  Demuestre que si  x  3      x  - 4   [  4,  ) .

 Demostración:

Se trabajará en dos conjuntos: Para 0   x  3  

−∞ <     < 0  ∪ 0 ≤   <

3 

Para     x  0  

0   x 2  9  

0   x 2    

 4   x 2  4  5  

 4   x 2  4    

Luego  4   x 2  4    lo que significa que ( x 2  - 4 )   [  4,  ) .

2.  Si x  [ 3 , 4 ] ¿ A qué intervalo pertenece

2 x  3  ?

 Resolución:

Como 3   x  4      6  2 x  8      3  2 x  3  5      significa que:

2 x  3 



3,

3  2 x  3  5 ; lo que



5 .

3. Si 2 x  3   [ 7 , 11 ] encontrar el menor valor de N que satisface la siguiente desigualdad:

 x  5

    N  

 x  7

11

 

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 Resolución:  x  5

12

 x  7

x7

  

Expresamos:

   1   N  

Como 7  2 x  3  11      2   x  4       5   x  7  3    



12



3

12

  

 x  7

12 5

    

9 3

  el menor valor de  N  es 



7 5

12

1 3



1

1

      

 x  7

5

7

  1   .

 x  7

5

 

4. Demostrar que si a   0  ; b  0  son números reales reales y 5a  3b   entonces

5a 3b



3b

 2 

5a

 Demostración:

( 5a  3b )  0 ; 2

Por la hipótesis

(5a ) 2  ( 3b) 2  2(5a )(3b)  0. ;

cuadrado

multiplicado esta desigualdad por el número positivo 5a 3b



3b 5a

de

un

1 (5a )(3b)

binomio

y

  se obtiene

 2  0  5a

de donde obtenemos:

3b



3b

 2.

5a

5.  Si 1  k  n , donde k  y n        , pruebe pruebe que



 

nk  nk 



n 1 n 1 .

Prueba:  Primera Forma :

Por la hipótesis se tiene que: 1  k 2  n 2  ; n 2  k 2  n 2  1 ; donde n 2  k 2  0   n2  k 2 

n

n2  1  

n 2  k2  n  n 2  1  







(Consistencia aditiva)



2 n  n2  k 2  2 n  n2  1   k  k  2n  2 n  k 2

2

(Consistencia multiplicativa)

 2n  2 n 2  1  1  1   (suma de opuestos) 12

 

 Apuntes de clase  Apuntes clase:: Números re reales ales Lic. Adriana Valverde Calderón 

n  k  2 n  k  n  k  n  1  2 n  1  n  1  (arreglando) 2

2

2

2

n  k  2  n  k  n  k   n  k



n k  n k nk 

Prueba: 



2





2

2

2

 n  1  2  n  1 n  1  n  1  



2

n 1  n 1  

n  k  n 1 

n 1 

Segunda Forma 

Tomando los elementos de la hipótesis:

1 n  

; 1 n  

2  n  1 

; 0  n  1 

2  n  1  ; 0 

2  n 1  n 1   *

n  1 ; sumando ambas desigualdades:

Por otro lado se tiene: n 1   k  2 

n   k 

2 

k 

 

  n  k  k 

;

 n  k    ;

0 

n   k 

0

k 

 

  n  k  k 

 n  k  ;

 sumar ambas desigualdades:  ; 0  n  k  2    n  k  k  sumar k  ;

2    n  k  n  k  ** 

Restando los dos resultados parciales: * - ** se tendrá:

0  n 1  n 1  n  k  n  k  

 

6. Para los conjuntos A   x   / x 



3 k   1 4

 

 

; k     ;  B   x   / x 2  14 x  40  0  ;



C  x   / x 2  1  0 ; halle el número de elementos del conjunto

( A  B)  C] x  ( B  C ) . 13

 

 Apuntes de clase  Apuntes clase:: Números re reales ales Lic. Adriana Valverde Calderón 

 Resolución:

Dando valores a k  obtenemos los elementos  x  A , determinando así el conjunto  A :  A  

1, 4, 7,10, 13,16, 19, 22 .





Al resolver la ecuación  x 2  14 x  40  0   hallamos los elementos  x  B   4, 10 ; de igual forma se determina C      1   Operando con los conjuntos y aplicando el producto cartesiano se halla que:

# ( A  B)  C] x  ( B  C )   6

 

14