Axiomas Algebraicos
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Axiomas Algebraicos[editar ] Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación. 1. Axiomas de la adición
A1.1 Para todo
, existe un único elemento, elemento, también en
denotado por
que llamamos la suma de
A1.2
para todo
todo
e .
.
A1.3
para todo
A1.4 Existe un elemento elemento de
,
, denotado por
.
tal que
para
.
A1.5 Para cada
existe un
tal que
.
2. Axiomas de la multiplicación
A2.1 Para todo denotado por A2.2
, existe un único elemento, elemento, también en que llamaremos el producto de para todo
A2.3
e .
.
para todo
A2.4 Existe un elemento elemento de
,
.
, que denotaremos por por
tal
que A2.5 Para cada que
tal que no sea cero, existe existe un
tal
.
3. Axioma de distribución Este distribución Este axioma conecta la suma con la multiplicación:
A3.1 Para todo
.
Análisis axiomático [editar ] •
El axioma (1.!conocido como "propiedad conmutativa" dice #ue el orden de los sumandos sumandos no no altera el valor de la suma. $ebe tenerse en cuenta #ue esto es v%lido sólo para sumas &initas.
•
El axioma (1.'! conocido como propiedad asociativa de la suma dice suma dice #ue la asociacion de la suma no altera el valor de ésta.
•
El axioma (1.! dice #ue existe un elemento en los n)meros reales #ue, al ser sumado con cual#uier n)mero real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce también como el elemento neutro aditivo de este conjunto. conjunto .
El axioma (1.*! dice #ue dado un n)mero real cual#uiera existe otro ()nico! tal #ue
•
la suma de ambos es nula. +i este elemento es el otro n)mero sea cero es
, el n)mero tal #ue la suma de éste y
. Este elemento se llama inverso aditivo de
.
•
El axioma (.! dice #ue el orden de los &actores no altera el producto.
•
El axioma (.'! dice #ue el orden con #ue eliamos los productos no a&ecta el producto. Esta propiedad se conoce como propiedad asociativa de la multiplicación. El axioma (.! dice #ue existe un n)mero real tal #ue el producto de éste con otro
•
real, sigue siendo este )ltimo. Este elemento denotado por
se conoce como neutro
multiplicativo. El axioma (.*! dice #ue para cual#uier real
•
no nulo, existe otro, tal #ue el
producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por
se conoce como inverso multiplicativo de
.
Axiomas de orden[editar ] Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice #ue un n)mero es menor #ue otro si est% contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual #ue otra. -ara establecer una relación de orden, es necesario introducir el smbolo un n)mero es mayor o menor #ue otro. -ara la igualdad se usa el smbolo
#ue nos dir% si #ue ya
conocemos. Se dirá que mayor que
o
sólo si
es menor que
. O dicho de otra forma, si
.
$e manera rigurosa, se puede decir #ue existe un conunto si y sólo si
tal #ue
.
+e dan a continuación los axiomas de orden
1.1 !i
, entonces se cumple una " solamente una de las
siguientes a#irmaciones$ %
%
1.2 !i
" adem&s
1.3 !i
, entonces
, entonces
. para todo
es
1.4 !i
"
, entonces
.
Análisis axiomático [editar ] •
El axioma (1.! dice geométrica mente #ue si ve/ a la i/#uierda de
, entonces debe estar pe
est% a la i/#uierda de a la i/#uierda de
y éste a su
. Esta
interpretación es bastante )til. (0,, ⋅ , 2! es un cuerpo ordenado.
Axioma topol'gico[editar ] 3laramente los racionales satis&acen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un n)mero irracional, como ra/ cuadrada de dos por eemplo. -ara esto es necesario el 4xioma topológico #ue dice lo siguiente.
(oda sucesi'n creciente " acotada superiormente es con)ergente.
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