Avanza Matematicas Docente 8

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Johanna Alexandra Villanueva Silva Ivonne María Suárez Higuera Andrés Rincón Gómez Soraya Padilla Chasing Carmen Samper de Caicedo Vladimir Moreno Gutiérrez Luis Eduardo Guzmán Pineda Manuel Alejandro García Riveros Luz Helena Silva Calderón Nelson Eduardo Urrego Peña Viviana Uni Muñoz

8

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Autores de textos Soraya Padilla Chasing •

Autora de evaluaciones diagnósticas Ivonne María Suárez Higuera

Especialización en Estadística. Universidad Nacional de Colombia, Colombia.

•

Carmen Samper de Caicedo •

Master of Arts (Mathematics). University of Maryland, E.U.

Vladimir Moreno Gutiérrez •

Maestría en Educación. Universidad de los Andes, Colombia.

Autora de evaluaciones de competencias Johanna Alexandra Villanueva Silva •

Maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Colombia.

Maestría en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional, Colombia.

Manuel Alejandro García Riveros

Autor de Pruebas Saber Andrés Rincón Gómez

•

•

Maestría en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional, Colombia.

Matemático. Pontificia Universidad Javeriana, Colombia.

Luis Eduardo Guzmán Pineda

Autora de Alfabetismo en medios y creatividad e innovación Soraya Padilla Chasing

•

•

Maestría en Didáctica de la Matemática. Instituto Latinoamericano y del Caribe IPLAC, Cuba.

Especialización en Estadística. Universidad Nacional de Colombia, Colombia.

Nelson Eduardo Urrego Peña •

Adecuación a la equidad de género y diversidad cultural Ángela Franco Silva

Doctorado en Ciencias Pedagógicas. Universidad de Ciencias Pedagógicas Enrique José Varona, Cuba.

Luz Helena Silva Calderón •

Investigación de campo Área de Investigación y desarrollo de Carvajal Soluciones Educativas S.A.S.

Maestría en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional, Colombia.

Viviana Uni Muñoz •

Especialización en Educación Matemática. Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Colombia.

Este libro contiene textos adaptados de Delta Matemáticas 8 ZonActiva Matemáticas 8

Avanza Matemáticas 8 © 2015 Carvajal Soluciones Educativas S.A.S. Bogotá, D.C., Colombia Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso de la Editorial. Impreso por Impreso en Colombia – Printed in Colombia Noviembre de 2014

Director editorial José Tomás Henao Brigard Editora jefe de área María Claudia Malaver Fuentes Editora del libro Diana Lucía Polanía Teatino Dirección de Centro de diseño Gloria Esperanza Vásquez Arévalo Coordinación de arte y diagramación María Victoria Mora Hernández Diseño de la serie Rocío Milena Marmolejo Diego Alexander Ríos Botina Diseño de cubierta Johanna Suárez Ilustraciones Mauricio Restrepo López Ignacio Martínez-Villalba Trillos Fotografías Archivo gráfico Editorial Norma ©2014 Shutterstockphotos

Depósito legal. ISBN del libro: 978-958-776-290-7 Envíe sus comentarios al área de Matemáticas de Carvajal Soluciones Educativas: [email protected] © Todos los derechos reservados. El editor ha realizado una búsqueda minuciosa en la obtención de los derechos de autor necesarios para la realización de los actos de reproducción, distribución y comunicación pública. En caso de existencia de titulares legítimos de derechos pertenecientes a obras no identificadas incluidas en esta obra, y no amparadas por excepción o límite legal alguno, estos pueden contactar al editor a través del correo electrónico [email protected] para su oportuna identificación.

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Querido estudiante: El libro que tienes en tus manos forma parte del proyecto educativo Avanza secundaria. En este proyecto, queremos ofrecerte herramientas para que logres un aprendizaje duradero y pertinente. Por eso, en Avanza encontrarás lo siguiente: •

Competencias para el siglo XXI. Avanza te ofrece actividades para desarrollar las Competencias básicas del área, las Competencias de pensamiento crítico, las Competencias para el trabajo colaborativo, las Competencias en TIC y las Competencias en el manejo de la información. Además, te propone dos programas para el desarrollo de competencias que son particularmente importantes: el programa de Alfabetización en medios, con el que se pretende contribuir al desarrollo de tu sentido crítico frente a los mensajes del mundo digital y de los medios de comunicación, y el programa de Creatividad e innovación, a través del cual recibes orientación en relación con la resolución de problemas y con la toma de decisiones de forma original y pertinente para la sociedad actual.

•

Red de Apoyo Digital (RAD). Avanza te brinda el acceso a la Red de Apoyo Digital, una plataforma educativa en la que encuentras contenidos digitales interactivos, actividades de evaluación y documentos de profundización que te facilitan otras formas de acceder a la información y son complemento del texto escolar.

•

Sistema de Evaluación Continua. Avanza te invita a administrar tu propio aprendizaje y con ello a desenvolverte en el mundo actual. Con este fin, te ofrece evaluaciones diagnósticas, de competencias y finales (Pruebas Saber) que permiten identificar en qué lugar de tu proceso te encuentras. Esta información te ayuda a ser consciente de tu situación y a tomar las decisiones oportunas para cumplir con tus metas de aprendizaje.

El filósofo y premio Nobel Henri Bergson afirma que “El porvenir no es lo que va a llegar sino lo que vamos a hacer”. Por tanto, queremos que seas artífice de tu porvenir y que seas capaz de desenvolverte en un mundo dinámico, cambiante, en el que la cantidad de información se multiplica cada día más. Así, ponemos en tus manos una propuesta que te orienta en tu formación como persona creativa, capaz de manejar con sentido crítico la información del mundo digital y de los medios de comunicación, que sabe trabajar en equipo y cuenta con las habilidades y las actitudes necesarias para tomar decisiones y resolver problemas en el complejo mundo actual.

Cordialmente,

Editorial Norma

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Conoce tu libro En cada unidad de Avanza Matemáticas 8, encuentras diferentes actividades que te ayudan a reconocer cómo y para qué sirven las Matemáticas dentro de tu mundo. A continuación, te presentamos las secciones que son el apoyo para tu aprendizaje.

Inicio de capítulo

Alfabetismo en medios desde las Matemáticas Mensajes presentados en diferentes medios de comunicación.

Identifica: preguntas para reconocer los elementos de la situación de comunicación en la que se encuentra un mensaje. Analiza: preguntas de análisis del mensaje propuesto. Opina: preguntas que te llevan a construir una opinión sobre el mensaje. Temas: listado de los temas que desarrollarás en el capítulo.

Evaluación diagnóstica Preguntas para identificar los conocimientos previos necesarios para los nuevos aprendizajes. Primera etapa del Sistema de Evaluación Continua.

Desarrollo de temas

Ideas previas

Vínculo web

Preguntas que buscan despertar tu interés, presentes al comienzo de cada tema.

Direcciones de internet para desarrollar actividades complementarias.

Ejemplos y conceptos clave Desarrollo de los contenidos con variedad de ejemplos y destacando el concepto o procedimiento más relevante.

En qué se aplica

Para recordar

Situaciones de la vida real en las que se aplican los conceptos trabajados.

Aclaraciones sobre los contenidos.

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Desarrolla competencias Actividades y ejercicios variados que permiten aplicar los contenidos estudiados. Algunas actividades corresponden a Razonamiento lógico, Entretenimiento, Trabajo colaborativo y Olimpiadas matemáticas. Buscan desarrollar tu imaginación y creatividad.

Resumen Al final de cada tema, se realiza una recapitulación con el fin de reforzar el aprendizaje comprensivo de los conceptos o los procedimientos fundamentales.

Evaluación de competencias Actividades y ejercicios variados que permiten aplicar los contenidos estudiados. Contribuyen a consolidar el aprendizaje y a reconocer los contenidos que debes profundizar. Están clasificadas de acuerdo con los procesos propuestos por el MEN.

Final de capítulo

Prueba Saber Preguntas que te preparan para las evaluaciones nacionales. Te ayudan a repasar de forma periódica y permanente los contenidos que debes recordar. Es la última etapa del Sistema de Evaluación Continua.

Creatividad e innovación Descripción de una situación de la vida cotidiana que debes resolver.

Reto: se expone el desafío que debes resolver. Infórmate: preguntas para analizar el problema. Fuentes: selección de fuentes para profundizar sobre el problema. Crea: descripción de una técnica creativa y los pasos para responder al reto propuesto.

Final del libro

Educación financiera Situaciones y actividades para comprender conceptos financieros y reflexionar sobre la toma de decisiones responsables en el manejo de los recursos y el dinero

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Contenido Capítulo

1

Capítulo

Sistema de los números reales. Ecuaciones e inecuaciones lineales. Polinomios

2

Tema

Factorización. Fracciones algebraicas. Funciones

Tema Unidad 1

Sistemas de los números reales.

Unidad 4

Factorización.

Evaluación diagnóstica ...................................... 104

Evaluación diagnóstica ........................................ 10

21

Descomposición en factores primos y máximo común divisor ....................................... 106

22

Factor común monomio y factor común polinomio ........................................................... 109

23

Factor común por agrupación de términos ......... 113

24

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto ............................................................. 116

1

Números racionales .............................................. 12

2

Números irracionales ........................................... 16

3

Números reales y relación de orden ...................... 19

4

Valor absoluto ...................................................... 25

5

Adición y sustracción de números reales .............. 27

6

Multiplicación y división de números reales ................................................................... 30

25

Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c ................................................. 119

7

Potenciación, radicación y logaritmación de números reales ................................................ 33

26

8

Notación científica ................................................ 40

Factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c ............................................... 122

27

Factorización de diferencia de cuadrados perfectos .......................................... 125

28

Factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción .......................................... 128

Evalúa tus competencias ..................................... 42

Unidad 2

Ecuaciones e inecuaciones lineales.

9

Ecuaciones lineales con coeficiente entero .................................................................. 44

29

Factorización de la diferencia o suma de cubos perfectos ............................................ 132

10

Ecuaciones lineales con coeficiente fraccionario .......................................................... 49

30

Factorización de expresiones de la forma xn ± yn .................................................... 135

11

Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones lineales ........................................ 52

31

Factorizaciones combinadas .............................. 139

32

Aplicaciones de la factorización .......................... 143

12

Inecuaciones lineales con una incógnita ................ 56

Evalúa tus competencias ................................... 146

Evalúa tus competencias ..................................... 60

Unidad 5

Unidad 3

Polinomios.

Fracciones algebraicas.

33

Fracciones algebraicas ....................................... 148

13

Expresiones algebraicas y polinomios ................... 62

34

Operaciones con fracciones algebraicas............... 152

14

Adición y sustracción de polinomios .................... 67

35

Fracciones algebraicas complejas ........................ 160

15

Multiplicación de monomios y polinomios ........................................................... 70

36

Ecuaciones con fracciones algebraicas ................ 164

16

Productos notables ............................................... 74

17

Triángulo de Pascal y teorema del binomio ............ 80

18

División de monomios y polinomios ..................... 83

19

División sintética y teorema del residuo ................ 88

20

Cocientes notables ............................................... 91

Evalúa tus competencias ................................... 168

Unidad 6

Evalúa tus competencias ..................................... 94 Prueba Saber ...................................................... 96 Creatividad e innovación ................................... 100

Funciones.

37

Concepto de función .......................................... 170

38

Representación gráfica de una función ................ 174

39

Función lineal y función afín ................................ 178

40

Funciones de variación directa e inversa .............. 184

41

Funciones crecientes, decrecientes y constantes ....................................................... 187 Evalúa tus competencias ................................... 190 Prueba Saber...................................................... 192

6

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Capítulo

Tema

3

Capítulo

Geometría

Unidad 7

Tema Geometría.

4

Estadística y probabilidad

Unidad 8

Evaluación diagnóstica ...................................... 198

Estadística y probabilidad.

Evaluación diagnóstica ...................................... 294

42

Razonamiento inductivo ..................................... 200

56

Tablas de frecuencia para datos agrupados ........ 296

43

Razonamiento deductivo .................................... 203

57

Histogramas y polígonos de frecuencia ............... 301

44

Construcción de la geometría ............................. 207

58

Principios de adición y multiplicación ................. 305

45

Ángulos y rectas perpendiculares ........................ 212

59

Combinaciones y permutaciones ....................... 308

46

Rectas paralelas .................................................. 218

60

Probabilidad ....................................................... 311

47

Rectas paralelas y triángulos ............................... 224

Evalúa tus competencias ................................... 314

48

Triángulos congruentes ...................................... 230

Prueba Saber ..................................................... 316

49

Aplicación de la congruencia de triángulos ..................................................... 236

Glosario .............................................................. 320

50

Congruencia de triángulos rectángulos ............... 244

51

Mediatrices y bisectrices ..................................... 250

52

Desigualdades en un triángulo ........................... 256

53

Paralelogramos ................................................... 263

54

De cuadrilátero a paralelogramo ......................... 269

55

Cuadriláteros especiales: rectángulos, rombos y trapecios ............................................. 276

Bibliografía ........................................................ 320

Educación financiera ....................... 321

Evalúa tus competencias ................................... 284 Prueba Saber ............................................................286 Creatividad e innovación .................................. 290

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Capítulo

1

Sistema de los números reales. Ecuaciones e inecuaciones lineales. Polinomios

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Alfabetismo en medios desde las Matemáticas

Identifica 1. ¿Quiénes están interesados en difundir mensajes sobre alimentación sana? 2. ¿Qué información proporciona el afiche? 3. ¿En qué otros medios puedes encontrar información sobre los hábitos alimenticios?

Analiza Para contestar las siguientes preguntas ten en cuenta que la información dada en el afiche corresponde a un consumo calórico diario. 1. ¿De cuál categoría de alimentos debes consumir a diario el mayor porcentaje? 2. ¿Qué diferencia existe entre el consumo calórico de un desayuno con pan de

centeno, papaya, queso y leche y otro con pan blanco, un huevo y salchicha? 3. Marcela comió papas fritas, gaseosa y salchichas. Si consumió 2172 calorías,

¿cuántas porciones pudo comer de cada alimento? 4. Daniel es un joven de 16 años. En un día, consumió 1860 calorías de carbohidratos, 930 calorías de grasas y 310 calorías de proteínas. ¿Daniel consumió la cantidad de calorías recomendadas ese día? 5. Con base en la tabla sobre las frutas, ¿cuál proporciona más calorías? ¿Cuál contiene menos proteínas? ¿Cuál presenta menos grasa?

Opina 1. ¿Cuáles crees que son las consecuencias de consumir muchas grasas? 2. ¿Por qué crees que la dieta de un adolescente debe ser más rica en carbohidratos

que en proteínas y grasas? 3. ¿Por qué las frutas no aparecen dentro del plato?

Temas Números racionales Números irracionales Números reales y relación de orden Valor absoluto Adición y sustracción de números reales Multiplicación y división de números reales Potenciación, radicación y logaritmación de números reales 8. Notación científica 9. Ecuaciones lineales con coeficiente entero 10. Ecuaciones lineales con coeficiente fraccionario

11. Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

9

lineales Inecuaciones lineales con una incógnita Expresiones algebraicas y polinomios Adición y sustracción de polinomios Multiplicación de monomios y polinomios Productos notables Triángulo de Pascal y teorema del binomio División de monomios y polinomios División sintética y teorema del residuo Cocientes notables

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Evaluación

diagnóstica

Competencias en el Manejo de la información

Lee con atención las siguientes preguntas y enunciados. En cada caso, encierra la respuesta correcta. 1.

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y sus opuestos. ¿Cuál de los siguientes conjuntos está formado solamente por números enteros? a. b.

2.

3.

{ B = {0, 1 , 1, 3 , 2, 3} . 3 2

4.

Observa la figura 1.1. Si Camila está ubicada en el punto A y Alejandro está ubicado en el punto B, ¿cuál es el valor aproximado de la distancia entre Camila y Alejandro?

}

A = –3, – 5 , – 2, –1, – 1 , – 1 . 2 2 3

c. ✗

C = {–6, –5, –4, –3, –2, –1}.

d.

D = 1 , 3 , 1, 2, 5 , 3 . 2 4 2

{

2

Y X

–6

–4

B

2

–2 –2 –4

A

}

–6

Figura 1.1

Mariana ubicó en una recta numérica las fracciones 3 4 y . Si ahora debe ubicar un número que se 5 5 encuentre entre esas fracciones, puede ubicar a a.

4 3 , porque es mayor que . 5 10

✗ b.

3 4 7 , porque es mayor que y menor que . 5 5 10

c.

12 , porque es mayor que 4 . 5 10

d.

3 4 14 , porque es mayor que y menor que . 5 5 10

4,0 unidades, porque la distancia entre A y B es cuatro.

b.

5,4 unidades, porque la distancia entre A y B es raíz de veintinueve.

c.

2,4 unidades, porque la distancia entre A y B es raíz de seis.

✗ d. 4,5 unidades, porque la distancia entre A y B es raíz de veinte. 5.

La afirmación falsa es

a.

Selecciona la expresión que representa la siguiente situación y su resultado. La suma del producto entre 1000 y –3,824, el producto entre 1000 por 2,78 y el cociente de 900 entre 100. a. (–3,824 × 1000) + (2,78 × 1000) + (900 ÷ 100). ✗

a.

[(–5) + 8] + [(–8) + 5] = 0.

b.

21 1 + 1 = 3 + 7 . 3 7

b.

(–3,824 × 1000) + (2,78 × 1000) + (900 ÷ 100). Resultado: 1035.

c. ✗

5 ÷ 7 = 35 . 3 2 6

c.

(–3,824 + 1000) × (2,78 + 1000) × (900 ÷ 100). Resultado: 899 050.

d.

1 2 + 5 = 1 + 5. 2 3 3 2

(

(

Resultado: –1035.

)

)

d. (–3,824 + 1000) × (2,78 + 1000) × (900 ÷ 100). Resultado: 8 990 508.

10

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6.

Selecciona la expresión equivalente a la siguiente:

( 23 ) ⋅ ( 23 ) ⋅ 5 3

5

53

a. ✗ b. c. d. 7.

8.

3

+

(

3 +7 3

9.

)

a.

( 23 ) + 8 3 . ( 23 ) ⋅ 5 + 7 3 . ( 23 ) + 8 3 . ( 23 ) + 7 3 .

c.

8

x + 3 = 183.

d. x – 3 = 183. 10. Si el lado del cuadrado mide 6 cm, ¿cuál es el área de la región coloreada?

3

3

Figura 1.2

a.

La solución de 6(x + 1) = (x + 11) es a. x = 1. ✗

Punto

3x – 3 = 183.

✗ b. 3x + 3 = 183.

8

¿Cuál es la expresión matemática que representa lo siguiente: 6 veces el número equivale a disminuir en 18 a 5 veces el mismo número? a. 6x – 18 = 5x. b. 6x = 5x + 18. c. 6x – 18 = –5x. ✗ d. 6x = 5x – 18.

c.

Si la suma de tres números consecutivos es 183, ¿cuál es la ecuación que modela la situación matemática?

x = 17 . 7

(36 – 12π)

cm2.

✗ b. (36 – 9π) cm2.

b. x = –1

c.

17 d. x = – . 5

d. (24 – 6π) cm2.

(12 – 9π) cm2.

Desempeño

Sí

1.

Reconozco los elementos que pertenecen al conjunto de los números enteros.

2.

Identifico las relaciones de orden (>, < o =) en el conjunto de los números racionales.

3.

Realizo adiciones y multiplicaciones con números enteros.

4.

Utilizo el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos y redondeo números.

5.

Traduzco expresiones simbólicamente y realizo operaciones con expresiones decimales.

6.

Reconozco las propiedades de la potenciación y radicación con números racionales.

7.

Expreso en lenguaje matemático expresiones del lenguaje común.

8.

Soluciono ecuaciones lineales con coeficiente entero.

9.

Soluciono situaciones en contextos matemáticos con ecuaciones lineales de coeficiente entero.

10.

Represento el área de regiones por medio de ecuaciones y las evalúo.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

11

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Sistema de los números reales

Tema Pensamiento

numérico

1 Números racionales Ideas previas 1. Ubica en una recta numérica a –

1 1 2 ,– y– . 2 4 5

2. ¿Cuántos números enteros hay entre –1 y 0? ¿Existen números entre –1 y 0?

Los números enteros se usan para contar objetos. Sin embargo, debido a la necesidad de medir otras cantidades (como áreas, masas, tiempos, entre otras), se amplió el concepto de número entero a número racional. Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como el cociente de a dos números enteros a y b, es decir, , con b ≠ 0. El conjunto de todos los números b racionales se simboliza con la letra Q. Los números racionales se pueden expresar como números decimales. Para ello, dividimos el numerador del número racional entre su denominador. Ejemplo 1

Hallemos la representación decimal de los siguientes números racionales. a.

–31

b.

3 5

c.

− 2 99

b.

3 = 0, 6 5

c.

− 2 = − 0,020202! 99

Solución

a.

–31 = –31,0

Cada representación decimal consta de dos partes: el número antes de la coma, que denominaremos parte entera, y el número después de la coma, que recibe el nombre de parte decimal. Por ejemplo, en el número 1,6, la parte entera es 1 y la parte decimal es 0,6. En el número decimal –0,020202…, la parte entera es 0 y la parte decimal –0,020202… El conjunto de dígitos que se repite en la parte decimal, en el orden en que aparecen en el cociente, se llama período del número decimal y se caracteriza por 2 = − 0,020202! = − 0,02 . llevar una barra encima. Por ejemplo, − 99 Todo número racional puede escribirse como un decimal en el que la parte decimal es finita o infinita periódica. Si en un número decimal el período comienza después de la coma, el número se denomina periódico puro; en caso contrario, periódico mixto. Al dígito decimal que no pertenece al período, se le llama antiperíodo.

12

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Ejemplo 2

Para recordar

–3,1 es decimal finito. 7,15 es decimal infinito periódico puro con período 15 y –1,0123 es decimal infinito periódico mixto con antiperíodo 01 y período 23.

Conversión de expresiones decimales a racionales

Propiedad de densidad Entre dos números racionales siempre habrá otro número racional.

Así como es posible encontrar la representación decimal de una fracción (dividiendo el numerador entre el denominador), podemos hallar la fracción correspondiente a un número decimal. Sin embargo, antes de presentar el procedimiento que se debe seguir, recordemos que si tenemos un conjunto de fracciones equivalentes, las podemos sim4 6 8 son equivalentes plificar para reducirlas a una misma fracción. Por ejemplo, , y 6 9 12 2 a , que es una fracción irreducible, cuya representación decimal es 0,6. Al número 3 2 completamente simplificado , se le denomina fracción generatriz de 0,6. 3

Procedimiento para convertir una expresión decimal a una fracción 1000 (fracción 1000 unidad formada por 1 seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal). Caso 1. Dada la expresión decimal finita 4,102, la multiplicamos por

1000 = 4102 Así, 4,102 ⋅ . Simplificamos y obtenemos la fracción generatriz de 4,102: 1000 1000 2051 = 4,102 . 500 Caso 2. Dada la expresión decimal infinita periódica pura 7,15 , realizamos los siguientes pasos. 1.

Representamos con una letra (incógnita) la fracción generatriz: x.

2.

Igualamos la incógnita con la expresión decimal: x = 7,15.

3.

Multiplicamos por 100 a ambos miembros de la ecuación del paso anterior. (1 seguido de tantos ceros como cifras tenga el período): 100x = 715,15.

4.

Sustraemos de la ecuación del paso 3, la ecuación del paso 2. 100x – x = 715,15 – 7,15 99x = 708

5.

Para recordar

708 = 236 . Despejamos la incógnita x y, de ser posible, simplificamos: x = 99 33 236 Por tanto, 7,15 = . 33

Caso 3. Dada la expresión decimal infinita periódica mixta –1,0123, seguimos un procedimiento similar al del caso 2 salvo que, en el paso 2, luego de igualar la incógnita a la expresión decimal, multiplicamos a ambos miembros de la ecuación por 100 (1 seguido de tantos ceros como cifras tenga el antiperíodo). 5011 . Al realizar este procedimiento, obtenemos −1,0123 = − 4950 13

A lo largo del tiempo, las fracciones se han escrito de diferentes formas. Por ejemplo, los matemáticos indios las escribían como las escribimos actualmente, pero sin la línea horizontal. Los primeros en usarla fueron los árabes y de ellos la aprendió el matemático italiano Fibonacci.

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Desarrolla competencias 1.

2.

3.

4.

5.

Clasifica los siguientes números en racionales o no racionales según corresponda. a. –34 b. 3,141592... c. 0 d. –4,93617... e. 3,3 f. 8,05 g.

3 7

h. 1,02080506...

i.

91 3

j.

b.

1 3 6.

b.

3 4

c.

5 8

d.

7 4

e.

2 5

f.

−1 3

g.

9 11

h.

−1 7

i.

− 13 7

a. c. e.

h.

8 3

i.

11 4

j.

35 7

3 7

0

7 4

1

2

3 2

3

4

4

5

−6 5

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

b. 1,25 d. 2,3 f. –3,3

7.

Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales. a. 4,8 b. 23,4 c. –2,888… d. –12,454545… e. 2,718281828... f. 3,141515... g. –0,999… h. 1,999… i. 2,999… j. 3,999…

8.

Completa la tabla 1.1 teniendo en cuenta que los números de cada columna deben ser equivalentes. 䊏 䊏

䊏 䊏

–0,2

3,6

13 9

䊏 䊏

1 75

–2,34 Tabla 1.1

9.

Encierra el valor aproximado del punto indicado sobre cada recta. a. –1

3

−4 3

–0,5 –2,25 3,6

14 5

Clasifica los siguientes números racionales en decimales finitos e infinitos periódicos. Para el último caso, indica el período y/o el antiperíodo. a. –8,21 b. 2,708 c. –0,10303... d. 12,132424... 3 e. 7,666... f. 2 4 3

2

Figura 1.2

Escribe los siguientes números racionales en forma de expresión decimal. –3

1

−9 5

–4

a.

0

Ubica en la recta numérica los siguientes números decimales exactos.

6,08911111...

g.

–1

Figura 1.1

Determina la parte entera y la parte decimal de los siguientes números. a. 2,1111… b. 72,08123123123… c. 5,0123456789… d. 17 e. –89 f. –7,15341769… g. –0,201201… h. –6,10909…

–2

–2

Completa cada frase. a. ____ es un número racional que está entre –4 y –3,7. b. ____ es una expresión decimal finita. c. ____, ____ y ____ son expresiones decimales periódicas puras menores que 1. d. ____ es una expresión decimal periódica mixta con antiperíodo 21 y período 3456.

Trabajo colaborativo

10. Retoma las fracciones generatrices de las expresiones decimales de los literales g. a j. del punto 7. ¿Qué característica tienen en común?

5

9 8

11. ¿Es posible hallar un número entre 1,999… y 2, entre –1 y –0,999…? Explica tu respuesta.

14

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Razonamiento lógico

12. Escribe dos números decimales periódicos puros, cuyo período tenga una cifra. a. ¿La suma de estos dos números es un decimal periódico? ¿Cuántas cifras tiene su período? b. Realiza el mismo ejercicio, pero con dos números periódicos puros cuyos períodos consten de dos cifras. c. ¿Qué relación observas entre los resultados hallados en a. y b.?

País

Tiempo (en minutos)

Alemania

1,11

Brasil

1,05

Inglaterra

1,13

Francia

1,07

Argentina

1,03 Tabla 1.2

a. Olimpiadas

Matemáticas

b.

13. En un edificio de apartamentos, la mitad de las ventanas tiene cortinas; la cuarta parte de las ventanas tiene macetas y la sexta parte tiene cortinas y macetas. Hay 375 ventanas que no tienen corti1 de los apartamentos nas ni macetas. Además, 5 2 de los apartamentos tiene 3 tiene 5 ventanas, 5 ventanas y los demás tienen 2 ventanas. ¿Cuántos apartamentos tiene el edificio?

c.

21 ¿A qué país corresponde el tiempo minu20 tos? Escribe en orden ascendente los tiempos de llegada. ¿Qué país representa el piloto más rápido? ¿Qué país representa el más lento? 3 minutos es la diferencia entre los tiem50 pos del piloto que representa a Francia y a __________.

15. Un grupo de trabajadores debe reemplazar el césped de dos campos de las mismas dimensiones. Durante media jornada, todos trabajan en uno de los campos. En la otra media jornada, la mitad de los trabajadores continúan en el primer campo y terminan de colocar el césped, y la otra mitad trabaja en el segundo campo. Al finalizar la jornada, a la parte del segundo campo, le tomará una jornada completa de 4 trabajadores para terminar el trabajo. ¿Cuántas personas forman el grupo?

Pensamiento crítico y resolución de problemas

14. En una competencia de automovilismo, los pilotos que representan a cada país recorrieron una vuelta del circuito en los tiempos que se muestran en la tabla 1.2.

Resumen

finitos

Números racionales

pueden escribirse como

decimales

por ejemplo

que pueden ser

infinitos periódicos

15

–12,3 3,456 9,83124

puros

por ejemplo

–2,45 12,365

mixtos

por ejemplo

–2,745 12,89349

pueden ser

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Sistema de los números reales

Tema

2 Números irracionales Ideas previas

Pensamiento

numérico

Escribe los nombres de los conjuntos numéricos que conoces y tres elementos que pertenezcan a cada uno. ¿Existe un número que pertenezca a todos los conjuntos numéricos?

Los pitagóricos, buscando explicar que todo se escribía con números, hallaron uno muy especial: el número de oro o proporción áurea. Lo encontraron en el pentágono regular (como el cociente entre la longitud de una diagonal y la medida de su lado), en la naturaleza, en la arquitectura y en el arte (ver figura 2.1).

φ

1

1

El número de oro 1,61803... al igual que 1,4142…, que representa a 2 , no están en el conjunto de los números racionales. Estos números se caracterizan porque no tienen expresión racional, su parte decimal se prolonga indefinidamente y los números que los constituyen carecen de patrón. En síntesis, los números irracionales son infinitos no periódicos. Los números irracionales no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, es decir, no tienen expresión racional y su representación decimal es infinita no periódica. El conjunto de todos los números irracionales se denota con la letra I. En general, las raíces cuadradas de números primos son números irracionales.

Figura 2.1 Ejemplo 1

Determinemos cuáles números son irracionales. a. c.

b.

7 1 7

d.

3

8 169

Solución

a.

Para recordar El número de oro o proporción áurea se simboliza con la letra griega φ (fi) en honor al artista griego Fidias, quien la usó en sus obras. ϕ = 1+ 5 . 2

7 es un número primo. No es el producto de dos números enteros idénticos, es decir, no es un número cuadrado. Por tanto, su raíz cuadrada es un número irracional. b. La raíz cúbica de 8 es el entero 2, por tanto, este número es racional. c. Es el cociente de dos números enteros, su expresión decimal es 0,142857 y su parte decimal es infinita periódica. Es decir, es un número racional. d. 169 es número cuadrado, por tanto, es racional. Los números racionales no completan la recta numérica. Los espacios que quedan se llenan con los números irracionales. Podemos ubicar fácilmente en la recta los números enteros y racionales, pero los números irracionales requieren un procedimiento especial porque no tienen una expresión racional. Utilizaremos el teorema de Pitágoras para ubicarlos en la recta numérica. Veamos cómo se ubica a 2 . 16

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

1.

Dibujamos sobre la recta numérica, en la unidad de 0 a 1, un cuadrado cuyo lado mida una unidad.

En qué se aplica El número de oro se encuentra en objetos como las tarjetas de crédito. Compruébalo hallando el cociente entre su largo y ancho.

0

2.

1

2

Figura 2.2

Trazamos la diagonal del cuadrado que pasa por cero. Calculamos la medida de esta diagonal aplicando el teorema de Pitágoras.

3.

Trasladamos con el compás la medida de esta diagonal a la recta numérica, dejando fija la punta del compás en cero. El compás marca sobre la recta un número menor, pero cercano a 1,5. Recordemos que 2 ≈ 1, 4142.

2

0

1

2

2

Figura 2.3

Para recordar Los números irracionales más representativos son • π ≈ 3,14159: el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro del círculo. • 2 ≈ 1,4142: un ejemplo de las raíces de números no cuadrados. • φ ≈ 1,611803: el número de oro 1 + 5 . 2 • e ≈2,7182: el número Euler.

Desarrolla competencias 1.

Clasifica como racional o irracional cada número. 1 b. 3 15 c. 4 18 a. 25 d.

2.

3

27

e.

π

f.

0,25

g.

1,46729725363...

h.

5

i.

0,3333...

j.

2,25

b. c.

Cualquier fracción negativa es irracional. Todas las raíces de números enteros son números irracionales. d. La suma de dos números irracionales es un número irracional. e. El producto y cociente de dos números irracionales es un número irracional. 4.

Halla la longitud del lado de cada cuadrado y determina si el número decimal que representa la longitud es racional o irracional. Ten en cuenta el área de cada uno. a. b.

A = 25 m2

b. 5.

A = 48 m2

b.

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta. a.

c.

Todo número par es racional.

d.

17

7 ; 2,6457; –2,6457; 2,6457; 2,6457; –2,6457.

Halla la representación decimal aproximada (3 dígitos) de cada número irracional en la desigualdad y complétala escribiendo los números enteros entre los cuales se halla el número irracional. Utiliza la calculadora. a.

Figura 2.4

3.

Ordena de mayor a menor los siguientes números. a. 1,4142; 1,4142; 1,4142; 1,4142; 1,4142; 2 .

■< 2 a}.

Representa el conjunto de todos los números reales menores que a: {x ∈ R : x < a}.

a

a Tabla 3.3

Ejemplo 2

a.

Escribamos, empleando intervalos, el subconjunto de los números reales representado en cada caso.

–3

b.

–3

–2

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Vínculo web Practica realizando ejercicios de reconocimiento de intervalos ingresando en la página http://www. genmagic.net/mates5/ numeros_reales/gmat416c. html

–1

0

1

2

3

4

5

–2

–1

0

1

2

3

4

– 72

c. –4

–3

Figura 3.2 Solución

a.

(–2, 4]

b. [1, 5)

⎡– 7 , ⎢⎣ 2

c.

3⎥⎤ ⎦

Ejemplo 3

Mike Powell tiene el récord mundial de salto largo con un brinco de 8,95 m, el cual logró en el Mundial de Atletismo de Tokio, en 1991. El anterior récord mundial lo tenía Bob Beamon, con 8,9 m. ¿Cuáles distancias puede lograr un atleta que no supere el actual récord mundial y sea mayor o igual que el anterior? Solución

Todos los números reales mayores o iguales que 8,9 y menores que 8,95, los cuales los representamos con la expresión 8,9 ≤ x < 8,95, o [8,9; 8,95). Gráficamente se representa como aparece en la figura 3.3. 8,90 8,95 8,7

8,8

8,9

9,0

9,1 21

Para recordar El conjunto de los números reales puede representarse con el intervalo (–∞, ∞).

Figura 3.3

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Desarrolla competencias 1.

Selecciona el número que hace verdadera cada afirmación. a. El número ________ se encuentra entre 4 y 5.

c. d. e. f. g. h.

7 Entre –3 y – está ______. 2 12 y mayor que ___. c. ____ es menor que – 5 3 es menor que ______ y ______. d. b.

2.

e.

Entre

–5

–6

3

4,7

5

2

c. e. g. i. k. m. o.

■Q 1 ■ I 2 –9 ■ Z 4,51 ■ Q 3π ■ Q 21,3 ■ R 0 ■Q −8 ■ R 7 3

Ubica dos números racionales entre cada pareja de números dados. a.

–3,3

–8

Utiliza los símbolos ∈ y ∉ para indicar si el número pertenece o no al conjunto numérico dado. a.

3.

5.

2 y π está ______.

0

■N 3 ■ Q 1,3 ■ I − 8 ■ R 3 2 ■ I −3 ■ N 5 7 ■Z 3,141592… ■ Q

1 2

b. – 5 d. f. h. j. l. n. p.

c.

{

a.

Naturales

b.

Enteros no naturales

c.

Racionales no enteros

6.

Ordena cada conjunto de números reales de mayor a menor. a.

}

b.

c.

25 ; 12 ; –4; 15 ; – 10 . 5 3

3; –3; 2

3

8 ; 5 ; 0; –1; 3

7.

__________________________

Determina cuáles proposiciones son verdaderas y cuáles falsas. En las proposiciones falsas, da un ejemplo que compruebe su falsedad. Todo número irracional es un número real.

3 ; 0; – 17 ; 3; –2; 1 ; 1. 5 2 2

__________________________

Razonamiento lógico

b.

–8;

__________________________

Reales no racionales

Hay números enteros no racionales.

π

3

Figura 3.4

d. Reales no irracionales

a.

5 2

5

d.

M = − 3, 5 , 26 , –2π , 0, –10, 5, 3 , – 7 ,1,7, 5,321 8 3 2

4.

–6

b.

Identifica los números del conjunto M que cumplen cada condición.

e.

Cero es irracional. Todo decimal exacto es racional. Todo número entero es un número natural. 3 + π es un número racional. Cualquier número decimal es un número real. Ningún número racional es un número irracional.

6 d. 2; – ; 0; 7

2 ; π; 3;

36 ; 11.

__________________________

22

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

7.

a. b. c. d. e. f. 8.

c.

Escribe un número real que satisfaga la desigualdad y pertenezca al conjunto dado.

■ < 2; –3 < ■ < –2; 7 < ■ < 9; –1 < ■ < 1; 5 < ■ < 8; –10 < ■ < –7; 1<

Q

Todos los números reales menores o iguales que 12,5 y mayores que 7.

d. Todos los números reales mayores o iguales que 11 y menores o iguales que 9 . 2

I Q I

11. Escribe el subconjunto de los números reales representado en cada caso.

Q I

a.

La tabla 3.4 registra los cinco primeros lugares en una carrera atlética. Completa la información estimando de manera adecuada los tiempos.

–2,3 –3

b.

Tiempo

Juan Rivera

1 minuto 37 segundos

c.

–1

–2

0

1

2

4

4,8 5

6

3

6

8

7

1,8 –1

2

7,3

d.

1 minuto 40 segundos

0

4

4

Carlos Pérez Mauricio Ríos

–2

–3,5 –4

Atleta

1,5

0

1

2

3,6 3

4

5

Pedro Rodríguez Julián Vanegas

Figura 3.5

1 minuto 48 segundos

12. Escribe un intervalo que represente cada situación.

Tabla 3.4

9.

Escribe los símbolos o = según corresponda. a.

1,999

b.

2,5

c.

–0,33333

d. –10,01001 e.

2 2

f.

1 3

■ ■ ■ ■ ■ ■

El sueldo de Sara está entre $ 900 000 y $ 980 000.

b.

La velocidad del carro en el viaje varió entre 90 km/h y 75 km/h.

c.

Un banco hace préstamos de a lo más $ 5 000 000.

1,9999 − 25 10 −1 3 –10,01010

d. El carro consume semanalmente más de 5 galones pero menos de 8 galones de gasolina.

π 4

e.

3 3

El tiempo de cocción de un alimento está entre 8 y 12 minutos.

13. Utiliza las propiedades de orden para escribir dos desigualdades equivalentes a cada una de las desigualdades dadas.

10. Escribe el intervalo que representa a cada conjunto. a. Todos los números reales mayores que 5 y menores que 4. b.

a.

Todos los números reales mayores 5 o iguales que 2 y menores que . 2

23

a.

x>5

b. x ≤ –2

c.

x < –3 4

d. x ≥ 1,5

e.

x) y menor que ( x + 3 2 b. 2(x – 1) > 2x + 4 c.

− 2( x − 3) 13 − 2 (3 x − 2) − x + 3 > − x+6 5 3 2 3 15

d.

4 x + 1 ≤ 2x − 5 ≤ 2x – 1 2 4

12. El señor Ortiz pagará por un apartamento $ 7 000 000 más el doble de sus ingresos anuales. ¿Cuál es su ingreso mínimo anual si desea comprar un apartamento de $ 120 000 000? 13. El rango de temperaturas Fahrenheit (F) de 60 ≤ F < 110, ¿a qué intervalo correspode en la escala Celsius?

Olimpiadas

Matemáticas 8. Si siete canastos y medio pesan menos de 15 kg, ¿nueve canastos y medio pesan más de 19 kg?

Trabajo colaborativo

14. Trabaja con un compañero. Tomen una lámina de cartulina de 20 cm × 15 cm. Corten cuadrados de 3 cm de lado en cada esquina de la lámina. Doblen por los pliegues, como indica la figura 12.2, y peguen para construir una caja sin tapa.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

9.

Un vendedor de artículos deportivos tiene un ingreso mensual dado por la expresión I = 2 000 000 + 100,8t donde t es el número de artículos vendidos en un mes. Si el salario mensual del vendedor es mayor o igual que $ 2 100 000, entonces, a. b.

Repitan el ejercicio con láminas de 30 cm × 25 cm y de 40 cm × 35 cm.

¿cuántos artículos debe vender al mes como mínimo para recibir su salario? ¿cuál es el rango de artículos deportivos vendidos en diciembre por el vendedor si justo en este mes obtuvo ingresos entre $ 3 100 000 y $ 4 000 000?

15 cm 3 cm 20 cm Figura 12.2

10. Una camioneta pesa 890 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que puede transportar debe ser por lo menos de 410 kg. Si es necesario cargar cuatro cajas iguales, ¿cuánto puede pesar como máximo cada una de las cajas para poder ser transportada en la camioneta?

1.

2.

Calculen el volumen de la caja y determinen una relación con variables entre el ancho y el largo de la caja. Escriban una inecuación para el volumen de cajas similares si no debe exceder 4000 cm3. ¿La inecuación es lineal con una incógnita?

Resumen Para resolver una inecuación lineal con una incógnita, aplicamos las propiedades de las relaciones de orden en los números reales. La única diferencia, radica en que cuando dividimos o multiplicamos cada lado de la inecuación por un número negativo, la inecuación cambia de sentido.

59

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Evalúa tus

competencias

Competencias en el Manejo de la información

Lluvia, viento, niebla, sonidos más intensos, vibraciones y hasta olores es lo que nos ofrece la evolución de una de las más grandes compañías productoras de entretenimiento: el cine 4D.

La figura 2.1 muestra la taquilla del mercado cinematográfico en Colombia en los últimos 7 años.

Miles de millones de pesos

Todo gracias a los avances de la tecnología coreana que desde 2009 empezó a tocar las puertas de las grandes compañías de cine con una inversión aproximada de al menos 2,1 millones de dólares. Dicha tecnología ha llegado a países como México, Chile, Perú, Brasil, India y ahora Colombia, donde se espera un éxito igual o mayor.

Colombia: Taquilla del mercado cinematográfico 400 350 300 250 200 150 100 50 0

352,00 294,04

327,77

258,09 198,08 148,73

159,98

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

Figura 2.1

Para el 2014, se espera que la taquilla del mercado cinematográfico aumente en pesos un 50% con respecto al año anterior.

Interpretación y representación Responde las preguntas 1 y 2 teniendo en cuenta la información anterior. 1.

2.

2x + 1

La expresión “al menos” hace referencia a que se invirtieron a. menos de 2,1 millones de dólares. b. más de 2,1 millones de dólares. c. exactamente 2,1 millones de dólares. d. máximo 2,1 millones de dólares. La afirmación “se espera que la taquilla del mercado cinematográfico aumente en pesos un 50% con respecto al año anterior” significa que se espera que la taquilla aumente a. 50 mil millones de pesos. b. 50 millones de pesos. c. 176 miles de millones de pesos. d. 94,17 miles de millones de pesos.

Razonamiento y argumentación Uno de los requerimientos relacionados con el tamaño de la pantalla para una sala de cine 4D es que el largo de la pantalla sea dos veces su ancho más un metro. 60

x

Figura 2.2

3.

Responde la siguiente pregunta: ¿cuál de las siguientes ecuaciones representa el perímetro de la pantalla (P)? a. x(x + 1) = P para x > 0. b. 2x + (x + 1) = P para x > 0. c. 2x + 2(2x + 1) = P para x > 0. d. 2x(2x + 1) = P para x > 0.

4.

El ancho y el largo de una pantalla de 62 m de perímetro es ________ y ________, respectivamente.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Como parte de la estrategia promocional, se ha decidido que la boletería tendrá un descuento especial que dependerá de la edad de quien compre la boleta. El valor de la boleta corresponderá al valor de la boleta actual ($15 000) menos un porcentaje correspondiente a la edad del cliente (x). De esta manera, el valor de la boleta estaría dado por la siguiente expresión: x Valor de la boleta = 15 000 − 15 000 100 5. Si una persona pagó $10 500 por su boleta, ¿cuántos años tiene?

( )

6.

Si una persona quiere pagar por su entrada menos de $10 000, ¿cuántos años debe tener? a. Menos de 10 b. Entre 11 y 20 c. Entre 20 y 32 d. Más de 33

Formulación y ejecución Se realizó una encuesta de satisfacción a todas las personas que ingresaron a la función de las 3:00 p. m. La tercera parte de las personas que ingresó a la función eran niños; la mitad, adultos menores de 40 años; y el resto, adultos mayores de 40 años, que en total sumaron 20. 7.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite conocer el número de personas que ingresó a la función de las 3:00 p. m?

Punto

8.

a.

x + x + x = 20 3 2

b.

x + x + 20 = x 3 2

c.

3x + 2x + x = 20

d. 3x + 2x + 20 = x

¿Cuántas personas ingresaron a la función de las 3:00 p. m? a. 20 b. 40 c. 120 d. 140

Uno de los complementos que no puede faltar en un cinema es la confitería. Por ello, aprovechando la apertura de la nueva sala de cine y sólo durante el primer mes, por la compra de dos boletas de $15 000 se reclama totalmente gratis un tarro grande de crispetas más una gaseosa pequeña. Sin embargo, para que la promoción no genere pérdidas, se necesita que el valor recaudado por la misma supere $1 000 000 diarios. 9.

¿Cuál de las siguientes inecuaciones representa la situación planteada si x representa el número de boletas vendidas? a. 30 000x ≥ 1 000 000 b. 30 000x > 1 000 000 c. 15 000x > 1 000 000 d. 15 000x ≥ 1 000 000

10. El número de boletas que se debe vender para que la promoción tenga éxito debe ser mayor que ____.

Desempeño

Sí

1.

Interpreto información presentada en un texto.

2.

Concluyo ideas a partir de información dada.

3.

Modelo una situación problema empleando una ecuación lineal.

4.

Resuelvo problemas que involucran la solución de una ecuación lineal.

5.

Resuelvo correctamente una ecuación lineal con coeficiente entero.

6.

Resuelvo problemas que involucran la solución de una inecuación lineal.

7.

Modelo una situación problema empleando para ello una ecuación lineal con coeficiente fraccionario.

8.

Resuelvo problemas que involucran una ecuación lineal con coeficiente fraccionario.

9.

Modelo una situación problema empleando una inecuación lineal.

10.

Resuelvo problemas que involucran la solución de una inecuación lineal.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

61

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Polinomios

Tema

13 Expresiones algebraicas

Pensamiento

variacional

y polinomios Ideas previas

¿Cuál puede ser una expresión para el área de un círculo cuyo radio está dado por 3z – 10?

Muchas situaciones que vivimos u observamos se representan mediante expresiones matemáticas. Algunas requieren ecuaciones, otras inecuaciones o simplemente expresiones en las que está implícita una relación que no es de igualdad ni de desigualdad. Por ejemplo, la rapidez media de un automóvil que acelera uniformemente a lo largo de un camino recto es la mitad de la suma de la rapidez inicial y la rapidez final. Si consideramos vi la rapidez inicial y vf la rapidez final, entonces, la velocidad media puede 1 representarse por medio de la expresión (v i + v f ) . 2 Esta expresión se denomina expresión algebraica. Una expresión algebraica es la combinación de números y letras que se relacionan mediante las diferentes operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Cada expresión separada por un signo + o un signo – la denominamos término de la expresión algebraica. Ejemplo 1

Observemos en la tabla 13.1 algunas expresiones del lenguaje cotidiano y su equivalente en una expresión algebraica. Lenguaje cotidiano El doble de un número.

Expresión algebraica 2x

Tres veces un número incrementado en veinte.

3z + 20

Las tres cuartas partes de un número, disminuidas en ocho.

3 y–8 4

El perímetro de un rectángulo de largo 12,5 cm y cierto ancho.

2x + 25 Tabla 13.1

En qué se aplica Las expresiones algebraicas sirven para representar el comportamiento de algunos procesos que se desarrollan en la naturaleza y en actividades de la vida diaria. Por ejemplo, el crecimiento de una población o el descuento que se ofrece en una tienda por la compra de algunos objetos.

En una expresión algebraica, las letras son las variables o parte literal y los números, que multiplican a una variable o no, son los coeficientes. El número que no tiene parte literal es el término independiente. Ejemplo 2

Los términos de la expresión 3x4y2 – 5xy + 2 son 3x4y2, –5xy y 2; sus coeficientes, 3, –5 y 2; y el término independiente, 2. Evaluar una expresión algebraica significa reemplazar las variables por valores específicos y efectuar los cálculos correspondientes. Algunas veces, evaluamos para verificar una igualdad o para despejar un valor desconocido. 62

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Ejemplo 3

y

L

S

Observemos la figura 13.1. El área del cuadrado LSQN está representada por la expresión: (x + y)(x + y) = (x + y)2. Si x = 7 y y = 5, dicha área es (x + y)2 = (7 + 5)2 = 144 unidades cuadradas. De manera similar, las dimensiones del rectángulo LSRM son largo (x + y) y ancho y, por tanto, su perímetro es 2y + 2(x + y). Al evaluar esta expresión en x = 7 y y = 5, tenemos que el perímetro es 2y + 2(x + y) = 2 × 5 + 2(7 + 5) = 10 + 24 = 34 unidades.

M

R x

N

x

y

Q

Figura 13.1

Polinomios La mayoría de situaciones reales y geométricas que ocurren se representan mediante expresiones algebraicas especiales. Una de estas son los monomios. Un monomio es una expresión algebraica que solamente contiene productos de una constante y potencias de una o varias variables, cuyos exponentes son números enteros no negativos. Es decir, es una expresión de la forma axnym… zk, donde a es una constante; x, y, …, z son variables; y los exponentes n, m, …, k son números enteros no negativos. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. Ejemplo 4 1

Determinemos cuáles de las siguientes expresiones son monomios: 12 x 4 y 5 , 8 y 2 , 2 x −3 , –7ab2c5 y 13. En cada monomio, establezcamos el coeficiente, la parte literal y el grado. Solución

Son monomios 12 x 4 y 5 , –7ab2c5 y 13, porque los exponentes en sus variables son números enteros no negativos. Las partes literales son x4y5, ab2c5, x0; sus coeficientes son 12 , –7 y 13; y sus grados son 9, 8 y 0, respectivamente. 1

Las expresiones algebraicas 8 y 2 y 2 x –3 no son monomios, porque los exponentes de sus partes literales no son números enteros no negativos. Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Para adicionar o sustraer monomios semejantes, adicionamos o sustraemos algebraicamente sus coeficientes y el resultado lo multiplicamos por la parte literal. Este proceso lo llamamos reducción de términos semejantes. Ejemplo 5

Reduzcamos los términos semejantes en la expresión 5 x 2 y + 4 xy 2 – 1 x 2 y – 3 xy 2 . 2 4

Para recordar

Solución

Asociamos los términos semejantes y tenemos:

( (

) ( ( )

5 x 2 y + 4 xy 2 – 1 x 2 y – 3 xy 2 = 5 x 2 y – 1 x 2 y + 4 xy 2 – 3 xy 2 2 4 2 4 = 5 – 1 x 2 y + 4 – 3 xy 2 2 4 = 9 x 2 y + 13 xy 2 . 2 4

)

63

)

Una expresión de la forma axnym… zk se denomina término. La constante a es el coeficiente del término y xnym… zk es la parte literal. Un monomio es una expresión algebraica formada por un término.

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Para recordar Un binomio es un polinomio formado por dos términos y un trinomio es un polinomio formado por tres términos.

La suma algebraica de varios monomios se denomina polinomio. En general, un polinomio en una variable x, con n entero no negativo es una expresión de la forma a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn Si an ≠ 0, se dice que el grado del polinomio es n. Si el polinomio es de dos o más variables, su grado es igual al mayor grado de los monomios que lo componen.

Ejemplo 6

Identifiquemos cuáles expresiones algebraicas son polinomios. x–1; x2 + 5xyz + 11, 2; 2 x 3 + 5 x ; x + y. Si son polinomios, determinamos términos, coeficientes de los términos, partes literales y el grado del polinomio. Solución

Elaboramos la tabla 13.2 y determinamos las características de las expresiones algebraicas.

Para recordar 1. Si en un término no aparece coeficiente, este es uno. 2. Si x es una variable cualquiera, diferente de 0, x0 = 1, por tanto el grado de este monomio es 0.

Expresión algebraica

Polinomio

Términos

Coeficientes de los términos

Parte literal

Grado

x –1

No

x 2 + 5xyz + 11

Sí

x 2, 5xyz, 11

1, 5, 11

x 2, xyz

1+1+1=3

2

Sí

2

2

2 x3 + 5x

No

x+y

Sí

x, y

1, 1

0

x, y

1 Tabla 13.2

Un polinomio está ordenado con respecto a una variable cuando sus grados van en orden ascendente o descendente. Un polinomio está completo con respecto a una variable si aparece un término de cada grado, desde el grado mayor hasta grado cero. Ejemplo 7

Para recordar Si en un polinomio aparece un término sin variables, este se denomina término independiente o constante. Un polinomio se dice constante si solo tiene termino constante.

El polinomio – 3 x 2 – 5 x 4 + 9 x 7 está ordenado con respecto a las potencias crecien4 3 1 tes de x; 6 y 5 – y 4 + 2 y 3 – 8 y 2 – y + está ordenado con respecto a las potencias 2 4 decrecientes de y. En este caso, aparece un término de cada grado, desde cinco hasta cero. Por tanto, el polinomio es completo de grado 5.

64

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Desarrolla competencias 1.

c.

2.

5.

Determina cuáles expresiones son algebraicas. a. 8 b. –xy + 3z4 4 − 7z2 y − z

1

d.

a.

m 2 + n2 − 9

c.

e. 4 a + 6bc − m f. –4(j + k)π n Escribe la expresión matemática correspondiente a cada enunciado. a. Un número incrementado en tres. b. La mitad de una cantidad. c. La diferencia entre el doble de un número y dieciocho. d. Cuatro veces un número, disminuido en 5. e. El consumo de luz en kW/h de este mes si se consumió 15% menos que el mes anterior. f. Ana vendió su automóvil en la cuarta parte de lo que le costó. g. La matrícula de Samuel se incrementó en $ 230 000. h. Laura tiene el doble de dinero que Sara.

b

3a

Determina el grado e identifica el coeficiente de cada monomio. b. 1 xy 2 z 3 a. –5p2q4 3 c. 4 d. –πxy5 π a2 b 4 2m2 np 4 e. f. 7

8.

Determina cuáles expresiones son polinomios y establece su grado. mn b. a. 5π x + y + z

9.

3y + z

e.

1 y2 + 1 3 –7x2 + 2x – 5

f.

x 3 + xy 2 + c 3 (a + b)

g.

9x–4 + 6x4 – 8x3

h.

3m – 8 n

d.

z

2

Reduce los términos semejantes del polinomio en cada caso. a. 0,8a2 + 9a – 1,3a2 – 4a b.

5 2 x 2 – 6 xy – 3 2 x 2 + 9 xy

25p3 – 2p2 – 4p3 + 8p2 – 9 + p d. 1 z 3 – 5 z 5 + 4 z 3 – 2 4 e. 17 – 6m3n2 + 8n2m3 + 6 – m3n2 c.

Figura 13.2

4.

d. πr2

7.

c.

7 + 7y

5z

b. 4p

Escribe las expresiones algebraicas que se obtienen en cada caso si u = x3y2z, v = 1 x 2 y y w = xy. 3 a. u – v b. v – 2(w – u) c. uw – v d. w – 2v – 3u

Escribe una expresión que represente el perímetro de cada figura. a. b. a b

y – 1y = 8 2 0,5 z + z 3

6.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

3.

Describe una situación que se ajuste a cada expresión matemática.

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, conviértela en una afirmación verdadera. a. Toda expresión algebraica es un polinomio. b. El término independente tiene grado cero. c. La expresión 3x + 4y tiene dos términos. d. El número 3 es el término independiente en la expresión 3x + 4. e. La expresión 3x2 + 4x – 2 tiene tres términos. f. La parte literal de la expresión 4x3 – 2x + 5x–2 es 4, 2 y 5.

10. Escribe en cada caso los exponentes que faltan para que los términos sean semejantes. 1 x䊏 y䊏 a. –8x4y2 2 3 b. m3 n5 4n■m■ 2 3 y䊏 x䊏 z䊏 c. − 4 x 2 yz 3 7 9

65

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Razonamiento lógico

11. Ordena los polinomios de menor a mayor según su grado. b. 7y8 + y a. 3x2y + 4xy d. 5x2y3 + 2x c. 6xy + 3xz2 f. 6x2y + 3xy2 + 4xz3 e. 4x – 2y + 5z

14. Determina si cada polinomio está ordenado y si es un polinomio completo. a. –4m3 – 9m2 – 2m 2 x 2 y 5 + 0,3 x 4 y 4 + 5 x 3 y 3 – 3 xy 2 + xy – 1 b. 5 4 2

12. Ordena cada polinomio en forma descendente con respecto a la variable indicada. a. 6x3 – 8x5 + 9x7 + 8x – 19 + x2 – 24x4 con respecto a x. b. x5 – y5 + 6x4y – xy4 + y3x2 – 6x3y2 con respecto a y. c. 8a2bc2 – 9a3b2c – 9 con respecto a b.

c. 2x4y3 – 5x3y4 + 8x2y – x + 15 d. 1,3y4 – 2y3 + 0,9y2 + 3,4y 15. Analiza y escribe dos polinomios que continúen la secuencia. 9xy3 + 12x3z5 3xy + 4xz 6xy2 – 8x2z3 __________ __________

13. Evalúa cada polinomio en el valor dado. a. 3x2 + x + 1; x = –2 b. a2 + 2a + 1; a = 3 c. s3 + 3s2 + 3s + 1; s = –1 d. x + y – 3; x = –2; y = 1 e. r2 – 3s + 2s2; r = 2, s = –1 1 1 f. –6(a2 – b2)2; a = , b = – 4 3

Entretenimiento

16. Observa la figura 13.3. ¿Cuántos triángulos pequeños hay en la novena figura?

Figura 13.3

Resumen Expresiones algebraicas

son

combinaciones de números y letras utilizando diferentes operaciones.

ejemplos

monomios

polinomios

formados por

su grado es

formados por

productos de números reales y potencias de una o varias variables, cuyos exponentes son enteros positivos.

la suma de los exponentes de sus variables.

suma algebraica de varios monomios.

completo con respecto a una variable si aparece un término de cada grado mayor hasta grado cero.

66

está

su grado es

el grado del término mayor.

ordenado con respecto a una variable si sus grados van en orden ascendente o descendente.

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Polinomios

Tema

14 Adición y sustracción

Pensamiento

variacional

de polinomios Ideas previas

¿Qué valor obtienes al evaluar el polinomio –3 + x – x 2 + x3 – x 4 + x 5 en x = –2?

Para recordar El opuesto de un número real a es –a. De igual manera, el opuesto de un polinomio P(x) es –P(x).

Dos términos que tienen la misma parte literal se denominan semejantes. Para adicionar o sustraer polinomios, reducimos los términos semejantes, es decir, adicionamos o sustraemos los coeficientes y conservamos la misma parte literal. La adición de dos o más polinomios es un nuevo polinomio que se obtiene al adicionar los términos de cada polinomio y, si existen, reducir los términos semejantes. Ejemplo 1

Adicionemos los polinomios 33x5 + 11x2 + 10x3; 15x2 + 26x5 + 13x3; 27x3 + 10x2 + 30x5. Solución

Podemos desarrollar la adición de forma vertical o de forma horizontal. Vertical

Horizontal

Organizamos los términos semejantes de manera vertical y adicionamos los coeficientes de cada columna.

Organizamos todos los términos en una línea horizontal y luego agrupamos los términos semejantes para adicionarlos.

33x5 + 10x3 + 11x2 26x5 + 13x3 + 15x2 30x5 + 27x3 + 10x2

(33x5 + 11x2 + 10x3) + (15x2 + 26x5 + 13x3) + (27x3 + 10x2 + 30x5)

89x5

+

50x3

+

36x2

= (33x5 + 26x5 + 30x5) + (10x3 + 13x3 + 27x3) + (11x2 + 15x2 + 10x2) = 89x5 + 50x3 + 36x2

De igual manera, procedemos en la sustracción de polinomios. Recordemos que una sustracción se puede expresar como la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo. Ejemplo 2

Sustraigamos 9x4 – 13x de 5x4 + 8x – 7. Solución

Para recordar Si en el polinomio no hay términos semejantes, el polinomio no se puede reducir.

El polinomio minuendo es 5x4 + 8x – 7 y el sustraendo es 9x4 – 13x. Entonces, adicionamos al polinomio minuendo el opuesto del sustraendo, esto es, –9x4 + 13x. Vertical 5x4 + 8x – 7 –9x4 + 13x –4x4 + 21x – 7

Horizontal (5x4 + 8x – 7) – (9x4 – 13x) = (5x4 + 8x – 7) + (–9x4 + 13x) = (5x4 – 9x4) + (8x + 13x) + (–7) = –4x4 + 21x – 7 67

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Ejemplo 3

Con dos láminas de madera de dimensiones 3x metros de largo y 1,5x metros de ancho cada una, se construirá un gabinete de cocina como muestra la figura 14.1. Si la parte de atrás del gabinete es una pared, ¿es suficiente con las láminas de madera que se tienen? 5 6x

3x

x

1,5 x 5 2x

1 2x

Figura 14.1

Solución

Calculemos el área de las láminas y el área del gabinete. Luego, las comparamos: Área de las dos láminas: 2(largo × ancho) = 2(3x × 1,5x) = 9x2. Área del gabinete = área de 2 bases (1 superior y 1 inferior) + área de 4 láminas laterales (2 externas y 2 internas) + área de 2 entrepaños interiores + área de dos puertas.

(

)

Área de 2 bases: 2 5 x × x = 5 x 2 2 2 2

(

(

)

Área de 4 láminas laterales: 4 x × x = 2 x 2 2

)

(

)

Área de dos puertas: 2 5 x × x = 5 x 2 6 3

Área de 2 entrepaños interiores: 2 5 x × x = 5 x 2 6 2 6 Área del gabinete: 5 x 2 + 2 x 2 + 5 x 2 + 5 x 2 2 6 3

Reduciendo términos semejantes tenemos: 5 + 2 + 5 + 5 x 2 = 42 x 2 = 7 x 2 2 6 3 6 Así, la cantidad de madera que se tiene corresponde a 9x2 y le vamos a restar 7x2 para construir el gabinete. Entonces, esta diferencia sería: 9x2 – 7x2 = (9 – 7)x2 = 2x2 Esto indica que la cantidad de madera es suficiente para construir el gabinete de las dimensiones dadas.

(

)

Desarrolla competencias 1.

Completa la tabla 14.1. Monomio

2.

Reduce términos semejantes. a. 12x – 4y – 3z + 20 – 7x + 15y – 10 – 2z – 3x – 8 b. –17y2 – 18yx – 25 y2 – 8xy + y3 – 8xy + 25y3 c. 1 a + 1 b + 2a – 3b – 3 a – 1 b + 3 2 3 4 6 4 d. –48xy + 35 – 13xy + 62xy + 28 – 55xy

3.

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas. a. (42x2 + 13x – 17) + (–45x – 28) b. (–42x2 – 16x – 24) – (–32x + 31) c. − 3 a + 2 − − 2 a 3 − 5a − 1 5 3

Opuesto

–5yz4 –6mn5 1 − a 4 b3 2 5x 6 y2

(

Tabla 14.1

68

) (

)

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d. –(0,5x4 – 0,6x3 + 12x + 9) – (2,3x3 – 2,5x + 6,7) e. (26x – 12) + (–46x – 17) – (–34x + 25) f. (4a2 – 17b2 + 43ab) – (11a2 – 10b2 + 2ba) 4.

b. La adición de polinomios es asociativa. c. La diferencia de polinomios es conmutativa. d. Adicionar el opuesto de un polinomio es lo mismo que sustraer el polinomio.

Interpreta y calcula. a.

De

7.

2 p + 8 3m + 4 , sustrae

– 3 2 p – 9 + 5 3m . –900x2y3

–300x2y

Sustrae

c.

La suma de 1 ab + 3 bc y − 4 ab – 8bc 2 2 5 sustráela de –ab + 4bc – 3.

de

+

3x3 – 8x2 + 5x – 3

950x2y3.

b.

8.

T = 8xz + 5x3 b. d. f. h.

9x2 – 11x + 5

=

Pensamiento crítico y resolución de problemas

D = –10xy + 5zy + 4xz

B+T (A + C) + D D+T–C (C + D) – (A + B)

5x2 – 8x – 3

Figura 14.2

A = –2x2 + 6xy + y2 B = 2x2 – 8xy –3xz

a. c. e. g.

=

+ +

Realiza las operaciones indicadas para los siguientes polinomios en los que las variables son x, y, z. C = 4xy + 2x3 – zy

+

=

d. Sustrae 3,5w – 9,2y + 4 de la suma de –3w + 8y – 2,5 y 9w – 4,3y + 1,7. e. De – 5 abc + 3 bc , sustrae la diferencia de 7 4 5 9 – bc y abc. 4 7 5.

Completa el diagrama de la figura 14.2.

A–B D + (T + A) B – (C + T) T – (A + B + C)

Determina una expresión para el perímetro de cada figura. a. Cuadrado de lado x2 – 3x + 7. b. Rectángulo de largo 9x3 – 2x2 + x – 3 y ancho 6x3 + 5x – 9. c. Triángulo de lados a2 – 2a + 1; 2a2 – 3a – 5; 6a2 – 4a – 7. d. Hexágono regular de lado 10y3 + 5y2 – y + 8. e. Cuadrilátero de lados 7x – 7; 5x – 9; 9x – 10; 10x – 13.

Entretenimiento

9.

¿Cuántos triángulos con sus tres vértices se pueden formar en los puntos de la figura 14.3?

Razonamiento lógico

6.

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. a. La adición de dos polinomios es un polinomio.

Figura 14.3

Resumen La adición de dos o más polinomios es un nuevo polinomio que se obtiene al adicionar los términos de cada polinomio y, si existen, reducir los términos semejantes. Además, una sustracción se puede expresar como la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo.

69

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Polinomios

Tema

15 Multiplicación de monomios

Pensamiento

variacional

y polinomios Ideas previas

⎛ ¿Cuáles valores completan la expresión x 2 ⎜ 1 x䊏 + ⎝

䊏

⎞

䊏⎟⎠ = 41 x

5

+ x3y ?

El área del rectángulo se calcula multiplicando las longitudes de sus lados. Por ejemplo, la expresión para el área del rectángulo de la figura 15.1 es la siguiente:

3z

7z

Figura 15.1

A = (3z)(7z) = (3 × 7) (z)(z) = 21z2 unidades cuadradas. La multiplicación de dos o más monomios es otro monomio en el que • El coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores. • Las variables son el producto de las variables de los factores, aplicando la propiedad para el producto de potencias de igual base: xaxb = xa + b. • El grado es igual a la suma de los grados de los monomios factores. Ejemplo 1

Simplifiquemos la expresión.

(2 x 2 y )

( 43 xy )(− 65 y ) 2

Solución

(2 x 2 y )

( 43 xy )(− 65 y ) = (2 × 43 × − 65 ) x 2

( 2 + 1) (1+ 2 + 1)

y

= − 5 x3 y 4 4 Para multiplicar un monomio por un polinomio, usamos la propiedad distributiva de los números reales: multiplicamos el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo 2

Calculemos el producto de 7m4n2 con – 4 m3 n – 1 m2 n2 + 8mn3. 3 Solución

(

)

7m 4 n2 – 4 m3 n – 1 m2 n2 + 8 mn3 3 = (7m4n2)(–4m3n) + (7m4n2) – 1 m2 n2 + (7m 4 n2 )(8mn3 ) 3 = – 28m7 n3 − 7 m6 n4 + 56m5 n5 3

(

70

)

Indicamos el producto. Aplicamos la propiedad distributiva. Simplificamos.

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El producto de dos polinomios lo calculamos multiplicando cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio, aplicando la propiedad distributiva. Luego, simplificamos los términos semejantes.

Ejemplo 3

Hallemos el producto (x + y)(x + y) e interpretemos geométricamente el resultado. y

Solución

Calculamos el producto aplicando la propiedad distributiva. (x + y)(x + y)

Tomamos la expresión a multiplicar.

= x(x + y) + y(x + y)

Aplicamos la propiedad distributiva.

= x2 + xy + yx + y2

Aplicamos la propiedad distributiva.

= x2 + 2xy + y2

Simplificamos términos semejantes.

x x+y Figura 15.2

Para la interpretación geométrica del resultado, veamos que el producto (x + y)(x + y) representa el área de un cuadrado de lado (x + y), el cual se ha descompuesto en cuatro cuadriláteros como aparece en la figura 15.2. El área de los cuadrados es x2, y y2. El área de cada rectángulo es xy. Adicionando estas áreas, tenemos que el área del cuadrado completo es x2 + 2xy + y2. Ejemplo 4

El rectángulo de la figura 15.3 contiene un cuadrado de lado 2x en el centro. Determinemos una expresión que represente el área de la nueva superficie.

2x +2 2x 3x +1

Solución

Debemos sustraer de la expresión del área del rectángulo la del cuadrado ubicado en el interior para obtener el área de la región coloreada. (2x + 2)(3x + 1) – (2x)(2x)= (6x2 + 8x + 2) – (4x2) = 2x2 + 8x + 2.

Figura 15.3

Ejemplo 5

Multipliquemos los polinomios (–2a – 5b)(3a + 4b)(–6a + 3b). Solución

Comenzamos multiplicando los dos primeros polinomios. [(–2a – 5b)(3a + 4b)](–6a + 3b) =

(–6a2

– 8ab – 15ab

–20b2)(–6a

Aplicamos la propiedad asociativa.

+ 3b)

Aplicamos la propiedad distributiva.

= (–6a2 – 23ab – 20b2)(–6a + 3b)

Simplificamos términos semejantes.

= 36a3 – 18a2b + 138a2b – 69ab2 + 120ab2 – 60b3

Aplicamos la propiedad distributiva.

= 36a3 + 120a2b – 51ab2 – 60b3

Simplificamos términos semejantes.

71

Para recordar La multiplicación de polinomios es asociativa. A×B×C= A × (B × C) = (A × B) × C pero A × B × C ≠ (A × B) × (A × C)

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Desarrolla competencias 1.

Relaciona cada multiplicación de la columna izquierda con su producto de la columna derecha. – 9 x3 y 4 a. (–5x2yz)(4xy2z2) 4 1 xy 2 −9 x 2 y 2 –7x6y7 b. ( ) 4

(

c.

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. a. Los exponentes de las variables iguales se adicionan en la multiplicación de monomios. b. La multiplicación de un polinomio de grado 4 por otro de grado 2 siempre da como resultado un polinomio de grado 6. c. El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores. d. El grado del polinomio producto es igual al producto de los grados de los polinomios factores. e. La multiplicación de monomios es una operación asociativa. f. La multiplicación de un monomio de grado par por otro de grado impar da como resultado un polinomio de grado impar. g. La multiplicación de un monomio de grado impar por otro de grado impar da como resultado un polinomio de grado impar.

5.

Calcula si P(x) = 8x3, Q(x) = –3x2 y R(x) = 10x2y. Luego, concluye a partir de los resultados. a. (P(x) Q(x))R(x)

)

(0,5x4y2)(0,4x3y2z)

–20x3y3z3

d. (8xyz)(–0,2x2yz4)

2.

4.

–18x5y3

e.

(–6x2y)(3x3y2)

62,5x6y3z5

f.

(–125x2y2z3)(–0,5x4yz2)

0,2x7y4z

g.

(–10x4y3)(0,7x2y4)

–1,6x3y2z5

Completa cada multiplicación con las expresiones adecuadas. a.

8x3(4x2 – 2y2) = 8x3(4x2) – ____ (2y2)

b.

–5x4y4(4x5y – 3yz3) = (–5x4y4)(4x5y) + (–5x4y4) ____

c.

( 21 x y )( 4 x y – 6 xy ) = 2____ – 3 2

2

2

____ x4y4 d. ____ (6ab – 2) = –24a2b2 + 8ab

b.

(2x + 3y – 4) ____ = 12x3y2 + 18x2y3 – 24x2y2

f.

____(3m – 5n – 4) = 6m2n – 10mn2 – 8mn

Efectúa las multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva.

g.

(____ + 3)(3x + 1) = –6x2 + 7x + 3

a.

(2x3 + 3y2)(5x2 – 3x2y3)

h.

(

b.

(3x4 + 2x2y)(2x2 – 5y2 – 3x)

c.

(–8xy2 – 2xy)(7x2y2 + 6y3)

)(

6.

)

a + 1 b ___ + 3 b = – 2a2 + 1 ab + 3 b2 2 2 2 4

d. (10x5 + 6x2y2)(4x3 + 7y2x3)

Razonamiento lógico

3.

P(x) (Q(x) R(x))

e.

Efectúa las operaciones indicadas en cada caso. a. b.

c.

–7x2y3

con la suma de El producto de 12xy – 4, y, –5 + 5xy.

La suma de –12x2y3.

+

0,5x2y

y

0,2x2y

+

6xy2

(11x2 – 9y)(2xy3 – 3x3)

f.

(5x3y3 + 2y4)(10x2 + 2y3x2)

g.

(13x2 + 7y3z2)(–2x2 – 3y3z2)

h. (20x3 – 2y3x2)(5x3y2 – 4xy)

1a – 2b y 2 a – 3 b 2 3 3 4 1 a – 3b y − 2 a + 4 b . por la suma de 4 3 3 La diferencia entre

5xy3

e.

por

i.

(4x2yz + 5xz3)(7x3 – 6yz2)

j.

(18x3 – 2yz2)(2x3y + 4z3)

k.

(–7x3 + 3y2)(5x – 4y3)

l.

(–2x5y3 + 4x2y2)(10 + 2xy)

m. (–0,5xy – 0,5x2y)(10xy2 + 10x2y2)

d. El producto de 8x4y3 con la diferencia de 12xy – 7 y –5 + 4xy.

n. (–2x3y2 – 0,3y)(0,4x2y2 – 0,6y3)

72

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7.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

Completa la multiplicación. –2x5 + 3x4 + 0x3 – 5x2 – 2x + 1 × 3x2 + 2x

■ ■■ ■■ +

8.

■ ■ ■

■ ■ ■

■ ■ ■

– 4x2 +

10. Representa el rectángulo que tiene las dimensiones indicadas y halla una expresión para su área.

■

+ 3x2

■

■

a.

Largo: 10x + 4; ancho: 2x + 5

b.

Largo: 4x + 3; ancho: 3x + 1

11. Halla una expresión para el área de un trapecio de bases 2x + 4 y 6x + 9 y altura 10x + 8.

Halla una expresión para el área coloreada de la figura 15.4 y calcula el área si x = 8.

12. Determina una expresión para el área superficial de un cubo de arista 10x + 2. x 2x + 1 5x + 6

x

13. Escribe una expresión para el área de un triángulo de base 8m + 15 y altura 10m – 4.

x

x

x

14. Halla el error en cada multiplicación. 8x + 4

9.

Figura 15.4

Determina una expresión para el volumen de cada sólido de la figura 15.5 y evalúalo en x = 3.

a.

(7x2 + 4y3) (3x2 – y) = 21x2 – 7x2y + 12y6 – 4y3

b.

(pq + 3p2) (pq – 3p2) = p2q2 + 6p3q

Entretenimiento

a.

15. Escoge la figura que continúa la secuencia. 3x

b. 3x + 2

x 3

x

x+1

?

x 2

2x

x+1 2x + 1

a.

b.

c.

2x

Figura 15.6

Figura 15.5

Resumen Para multiplicar dos monomios, multiplicamos sus coeficientes entre si, y las partes literales, entre si, teniendo presente las reglas de multiplicación de potencias de igual base: an × am = a(n + m). Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicamos la propiedad distributiva, multiplicando el monomio dado por cada uno de los términos del polinomio. Para multiplicar polinomios, multiplicamos cada término de un polinomio por cada término del otro; aplicando la propiedad distributiva y simplificamos términos semejantes .

73

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Polinomios

Tema

16 Productos notables Ideas previas

Pensamiento

variacional

Determina una expresión para el área de un rectángulo cuya base está dada por la expresión 2x – 4y y su altura es la mitad de la base.

En muchas ocasiones, necesitamos hallar el producto de polinomios sin necesidad de realizar las multiplicaciones indicadas. Esos productos los podemos calcular mediante reglas específicas que reciben el nombre de productos notables. Determinemos una expresión para el área del cuadrado de la figura 16.1. a

a

b b

Figura 16.1

El lado del cuadrado lo representamos con la expresión (a + b), por tanto, su área está dada por (a + b)2. ab

a2

ba

b2

Figura 16.2

Observemos que el área de dicho cuadrado también podemos obtenerla como la suma de las siguientes áreas (ver figura 16.2). Área cuadrado verde: a2 Área cuadrado morado: b2 Área de un rectángulo rojo: ab Área del otro rectángulo rojo: ab Por tanto, (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más dos veces el primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término, es decir, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

a

a −b

a −b

Ahora, determinemos una expresión para el área del cuadrado de lado (a – b) a partir de la figura 16.3.

(a −b)2

En este caso, se puede hallar el área del cuadrado azul (a – b)2 sustrayendo las áreas de los rectángulos verde y morado, y del cuadrado rojo, del área del cuadrado de lado a, es decir:

(a −b)b a

b(a −b)

b2 b

Figura 16.3

Área del cuadrado azul = área del cuadrado mayor – (área del rectángulo verde) – (área del rectángulo morado) – (área del cuadrado rojo) 2 2 Consideramos la expresión que representa el área. (a – b) = a – (a – b)b – b(a – b) – b2 = a2 – ba + b2 – ba + b2 – b2 Aplicamos la propiedad distributiva. 2 2 = a – 2ab + b Simplificamos y aplicamos la propiedad conmutativa. 74

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Para recordar

El cuadrado de una diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos dos veces el primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término, es decir, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Al analizar en el otro sentido el producto notable (a + b)(a – b) = a2 – b2, se tiene que la diferencia de los cuadrados de dos cantidades equivale a la suma por la diferencia de las cantidades.

Tenemos un cuadrado de lado a y lo modificamos agregándole b unidades al ancho y disminuyéndole b unidades al largo, tal como se indica en la figura 16.4. Determinemos la expresión que representa el área del rectángulo que se formó. a

a +b

a −b

A1

A2

a

b

Figura 16.4

b

Las dimensiones del rectángulo obtenido son (a + b) y (a – b) y está compuesto por las superficies A1 y A2. A1 = a(a – b)

Para recordar La diferencia al cuadrado no es igual a la diferencia de sus cuadrados: (a – b)2 ≠ a2 – b2.

A2 = b(a – b)

Área total = A1 + A2 = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 Por tanto, la expresión que representa el área del rectángulo que se formó es (a + b)(a – b) = a2 – b2 El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo, es decir, (a + b)(a – b) = a2 – b2.

Determinemos una expresión para el área del rectángulo de la figura 16.5. Observemos que el rectángulo ABCD está compuesto por un cuadrado y tres rectángulos cuyas áreas podemos expresar así: A1=

x2

A2= 4x

A3 = 3x

D

x

4

x

A1

A2

A3

A4

C

A4= 12

Por tanto, el área total estará determinada por la expresión 3

A Total = A1 + A2 + A3 + A4

A

(x + 4)(x + 3) = x2 + 4x + 3x + 12

B

Figura 16.5

= x2 + (4 + 3)x + 12 = x2 + 7x + 12 El producto de expresiones de la forma (x + a)(x + b) es igual al cuadrado del primer término más la suma de los segundos términos (a + b) multiplicados por el primer término (x) más el producto de los segundos términos, es decir: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. 75

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Cubo de una suma o diferencia de un binomio

a b

Geométricamente, el concepto de volumen se asocia con el espacio que ocupa un cuerpo. Observemos el cubo de la figura 16.6. ¿Cuál es la expresión que representa su volumen?

a a

En forma algebraica, calculamos (a + b)3 multiplicando binomios que asociamos de la siguiente manera:

a b

(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b) Aplicamos la propiedad asociativa.

b a

a

Figura 16.6

= (a2 + 2ab + b2)(a + b)

Aplicamos el producto notable del cuadrado de una suma.

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

Aplicamos la propiedad distributiva.

Geométricamente, descomponemos el cubo de arista a + b en seis prismas y dos cubos, y hallamos su volumen por adición de los volúmenes de los prismas que lo forman, así: (a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + a2b + ab2 + ab2 + a2b + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más tres veces el cuadrado del primer término por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo término. Es decir, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. De manera similar, algebraicamente, tenemos que el cubo de la diferencia de un binomio es el siguiente: (a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b) = a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Aplicamos la propiedad asociativa. Utilizamos el cuadrado de una diferencia. Aplicamos la propiedad distributiva. Simplificamos términos.

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo término. Es decir, (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3. Ejemplo 1

Calculamos aplicando el producto notable conveniente.

Para recordar El cubo de la suma de dos cantidades no es igual a la suma de sus cubos: (a + b)3 ≠ a3 + b3. El cubo de la diferencia no es igual a la diferencia de sus cubos: (a – b)3 ≠ a3 – b3.

a.

(

c.

(x + 6)(x + 12)

1 a – 3 a2 2 4

)

2

b. (m2 + n2)(m2 – n2) d. (a2b – ab2)3

Solución

a.

Como es el cuadrado de una diferencia de dos términos, identificamos el primer término, que es 1 a , y el segundo, que es 3 a2 . 2 4 2 2 2 1 a – 3 a2 = 1 a – 2 1 a 3 a2 + 3 a2 = 1 a2 – 3 a3 + 9 a 4 4 4 16 2 4 2 2 4 4

(

) ( ) ( )( ) ( ) 76

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b.

Como es la suma por la diferencia de los términos m2 y n2, tenemos que (m2 + n2)(m2 – n2) = (m2)2 – (n2)2 = m4 – n4.

c.

Como es una expresión de la forma (x + a)(x + b), tenemos que (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + (6)(12) = x2 + 18x + 72

d. Como es el cubo de una diferencia de binomios, tenemos que identificar el primer término, que es a2b, y el segundo, que es ab2. (a2b – ab2)3 = (a2b)3 – 3(a2b)2(ab2) + 3(a2b)(ab2)2 – (ab2)3 Utilizamos el producto notable.

= a6b3 – 3(a4b2)(ab2) + 3(a2b)(a2b4) – (a3b6) Multiplicamos las potencias.

= a6b3 – 3a5b4 + 3a4b5 – a3b6

Realizamos las operaciones indicadas.

Ejemplo 2

Calculamos (m + n)2 – (m – n)2 aplicando productos notables y analizamos geométricamente el resultado. Solución

(m +

n)2

– (m –

m+n

n)2

=

(m2

+ 2mn +

n2)

–

(m2

– 2mn +

n2)

Aplicamos los dos primeros productos notables.

= m2 + 2mn + n2 – m2 + 2mn – n2 = 4mn Reducimos términos

m–n m

semejantes.

m–n

m+n

En la figura 16.7, observamos la representación geométrica del resultado. Descomponemos el cuadrado de lado m + n en cuatro rectángulos iguales de dimensiones m y n, y un cuadrado de lado m – n. Posteriormente, sustraemos el área del cuadrado pequeño del área del cuadrado grande y, de esta manera, se obtiene el área de los cuatro rectángulos.

n

Figura 16.7

Desarrolla competencias 1.

Relaciona cada expresión matemática con su respectiva frase en lenguaje cotidiano.

Determina cuáles igualdades son verdaderas para cualquier valor de a y b.

a.

(x + y)2

El cuadrado de una suma.

a.

(a + b)2 = a2 + b2

b.

x2 + y2

La diferencia de dos cuadrados.

b.

(a – b)2 = a2 + 2ab – b2

c.

(x – y)2

El cuadrado de una diferencia.

c.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

La suma de dos cuadrados.

d. (a – b)2 = a2 – b2

d. x2 – y2 2.

3.

Escribe la expresión algebraica correspondiente.

e.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a.

El recíproco del cuadrado de la suma de a y b.

f.

(a – b)2 = a2 – 2ab – b2

b.

El doble de la suma por la diferencia de a y b.

g.

(a – b)2 = – a2 – 2ab – b2

c.

La mitad del cubo de la suma de 2x y 3y.

h. –(a + b)2 = – a2 – 2ab – b2

77

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4.

Completa la tabla 16.1 escribiendo una expresión para el área de cada cuadrado de acuerdo con la expresión del lado.

7.

Halla una expresión para el volumen de cada cubo de la figura 16.9. a.

Expresión para el área del cuadrado

Lado del cuadrado

b. 3x +2

x+1 2x – 1

3x +2

3x +2

2x + 2

4z −7r

2x – 5y

4z −7r

4z −7r

3xy – 2x

Figura 16.9

5x + 5y

8.

10x – 2xy

a.

Tabla 16.1

5.

b.

Escribe el desarrollo de cada expresión aplicando productos notables. b. (a – 3b)2 a. (2x + y)2 c. (y2 + 2y)2 d. (2m – m2)2

c. d. e.

( 41 x − 21 )

2

e.

(x + 2y)(2y – x)

f.

g.

(5 – 7z)2

h. (3x + 2)2

i.

(

k.

)(

3−x x+ 3

(5x –

m.

)

3y2)2

j. l.

( ) ( 74 x + 73 ) 6 x – 1 xy 2 2

(

f. 9.

5 a2bc + 3 ab2 c 6 2

)

2

(2 – 3n)(2 + 3n)

2

q. [(a + b) + 1]2 6.

n. (3x + a)(3x – a) p. [(x – a) + 3][(x – a) – 3] [a – (b + 1)]2

e.

( 21 a − b)

f.

g.

(0,1m + 3n)3

h.

i. k.

(m – n)3 – (m + n)3 j. (4r2)3 – (4r2 – 1)3

l.

( 21 a + 0,3b) + ( 21 a) – (0,3b )

(3 x

)3

+1 1

( 23 x – 31 x )

3

2

(5p + 3r)3 – 2r3 3

3

10. Calcula combinando los productos notables. a. 2(x + 2y)2 – (x – 2y)2 + (x + 2y)(x –2y) b. (a – 3b)(–a – 3b) – (a + 3b)2 – 2(a – 3b)2 c. 5z + 5(1 – z)3 + (1 + z)3 – 5 d. (s + p)(p – s) – (p – s)(s + p)2 + (p – s)2(s + p) e. (x + 2y + z)2 – x2 – 4y2 – z2 f. 3(2p + r)2 + (r – 2p)2 g. (y – 2)(2 + y) – (y – 2)2 h. [(a + b) – (2a – b)][(a + b) + (2a – b)]

a.

6x + 7y

Halla la expansión de las siguientes expresiones. b. (m + 2n)3 a. (a – 2b)3 c. (x2 – 2x)3 d. (x + x3)3

3

r.

Halla una expresión para el área de cada polígono de la figura 16.8.

6x – 7y

■)■ = 49 (2 + ■) (■ – ■) = 4 – a2 (a + b■)2 = a2 + ■ + b6 ■ (5 – ■) = 25 – s2 (■ + ■) (■ – ■) = 4y 2 – 16 ■ z (2z + ■)2 = 8z 3 + ■ + 50z (27 +

3

2

o.

Completa las siguientes expresiones.

b. 7x – 7y

7x + 7y

Figura 16.8

78

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Razonamiento lógico

13. Halla un polinomio para representar el área del plano que ocupan las partes de la casa de la figura 16.11. Utiliza producto de polinomios y productos notables. 2x + 2

x

2

x–1 Baño

Sala comedor

Cocina

Patio

11. Observa que la expresión para el área coloreada en la figura 16.10 es x2 – y2. Demuestra que es igual a (x – y)(x + y).

x+1

Alcoba auxiliar

y y

x+1

Figura 16.10

Baño

x–1

x

Alcoba auxiliar

2 Baño

Alcoba principal

x

x+3

2

x+1

Figura 16.11 Pensamiento crítico y resolución de problemas

Olimpiadas

Matemáticas

12. Lorena compra un acuario en forma de prisma recto que tiene de lado (2x + y) metros. a. ¿Cuál es la expresión para el volumen en metros cúbicos de ese acuario? b. Si x = 1 metro y y = 0,5 metros, ¿cuál es la medida del lado y el volumen del acuario? ¿Corresponden estas medidas al resultado obtenido mediante el binomio al cubo?

14. ¿De cuántas formas se puede ir del punto M al N sobre las aristas, sin pasar dos veces por el mismo vértice y sin subir?

M

N

Figura 16.12

Resumen (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 de cuadrados

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Productos notables

de cubos

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)(a – b) = a2 – b2 de productos

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

79

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Polinomios

Tema

17 Triángulo de Pascal y teorema

Pensamiento

variacional

del binomio Ideas previas

¿Cuál es el coeficiente del término x2y2 en la expresión (3x2 + 5y)3?

¿Cómo desarrollarías las potencias de un binomio como (x + y)n, con n un número natural y sin realizar las multiplicaciones? Aun cuando podemos calcularlas por medio de la propiedad distributiva y productos sucesivos, existen otros procesos que nos permiten calcular de manera más rápida esas expresiones. Estos son el triángulo de Pascal y el teorema del binomio. El triángulo de Pascal es un ordenamiento de números naturales que forma un triángulo con una característica: la suma de dos números consecutivos en la horizontal es igual al número que aparece en medio de ellos en la fila inmediatamente inferior. Según el exponente del binomio, podemos determinar con el triángulo de Pascal los coeficientes de los términos del desarrollo de (x + y)n, como se muestra en la figura 17.1. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Triángulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Figura 17.1

Ejemplo 1

Desarrollemos el binomio (x + 2y)7 utilizando el triángulo de Pascal. Solución

Para recordar (x – y)n = [x + (–y)]n, por tanto, al resolver la potencia del segundo término en el desarrollo, esta variará el signo: intercala + y – según el exponente sea par o impar.

Como el exponente es 7, miramos en el triángulo de Pascal en la fila donde n = 7. Estos números corresponden a los coeficientes de los términos del desarrollo de la potencia. 1

+7

+21

+35

+35 +21

+7

+1

Luego, escribimos las variables iniciando con x7(2y)0, de tal manera que el exponente de x vaya disminuyendo en una unidad y el exponente de 2y vaya aumentando en una unidad. Esto es: 1x7(2y)0 + 7x6(2y)1 + 21x5(2y)2 + 35x4(2y)3 + 35x3(2y)4 + 21x2(2y)5 + 7x1(2y)6 + 1x0(2y)7

80

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Simplificamos y tenemos que (x + 2y)7 = x7 + 14x6y + 84x5y2 + 280x4y3 + 560x3y4 + 672x2y5 + 448xy6 + 128y7 Observemos que el desarrollo tiene 7 + 1 términos: el primer término es x7 y el último (2y)7. Además, la suma de los exponentes de las variables en cada término 7.

Para recordar El factorial de 0 se define como 0! = 1.

El desarrollo de cualquier binomio de la forma (x + y)n se caracteriza por tener n + 1 términos. El primer término es xn y el último es yn, ambos con coeficiente 1. Los exponentes de los términos en x, disminuyen en 1, de un término a otro, mientras que los términos en y aumentan en 1 de un término a otro. Además, la suma de los exponentes de las variables de cada término es n. El desarrollo de un binomio es menos práctico a medida que n aumenta. Por tanto, introducimos el teorema del binomio para generalizar el desarrollo binomial, pero antes debemos conocer los conceptos de factorial y de coeficiente binomial.

El factorial de un número entero positivo n, n! (se lee n factorial), se define como n! = n × (n – 1) × (n – 2) ×… × 4 × 3 × 2 × 1 ⎛ n⎞ Para n y r enteros no negativos, n ≥ r, el coeficiente binomial o combinatoria ⎜ ⎟ lo ⎝r ⎠ calculamos así: ⎛ n⎞ n! ⎜⎝ r ⎟⎠ = r ! ( n − r )! Ejemplo 2

a. b.

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

Ejemplo 3

6! × 7 × 8 × 9 × 10 ⎛ 10 ⎞ 10! 10! = 7 × 3 × 10 = 210 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 4!(10 – 4)! = 4! 6! = 4 × 3 × 2 × 6!

El teorema del binomio afirma que la expansión de (x + y)n podemos calcularla de la siguiente manera:

( )

( )

( )

( )

( )

( x + y )n = n x n + n x n – 1 y + n x n − 2 y 2 + n x n − 3 y 3 + … + n x 0 y n . 0 1 2 3 n Ejemplo 4

Hallemos la expansión de (x3 – 4y)4 aplicando el teorema del binomio.

Para recordar

Solución

( )

( )

( )

( )

( )

(x3 – 4y)4 = 4 ( x 3 )4 – 4 ( x 3 )3 4 y + 4 ( x 3 )2 ( 4 y )2 – 4 x 3 ( 4 y )3 + 4 ( 4 y )4 0 1 2 3 4 = 4! x 12 – 4! x 9 4 y + 4! x 6 16 y 2 − 4! x 3 64 y 3 + 4! 256 y 4 3! × 1! 4! × 0! 0! × 4! 1! × 3! 2! × 2! = x12 – 4x94y + 6x616y2 – 4x364y3 + 256y4 =

x12

–

16x9y

+

96x6y2

–

256x3y3

+

256y4 81

( kn ) = ⎛⎝ n −n k ⎞⎠ Por ejemplo:

( 72 ) = ( 75 ) 7! 7! = 2! 5! 5! 2!

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias 1.

c. e.

Calcula el valor de cada expresión. a.

⎛ 5 ⎞ ⎜⎝ 0 ⎟⎠

⎛ 5 ⎞ b. ⎜ ⎝ 1 ⎟⎠

c.

12! ÷ 6!

d. (3! × 10!) ÷ 7!

4.

Competencias en TIC

2.

El programa Excell nos permite calcular coeficien⎛ 23 ⎞ tes binomiales, como el coeficiente de ⎜ . ⎝ 20 ⎟⎠

5.

2.° En la nueva ventana, en el recuadro Seleccionar categoría, escogemos Matemáticas y trigonometría; y en el recuadro Seleccionar una función, COMBINAT. Damos Aceptar.

Diseño Disse

Tablas Calibri (Cuerpo)

COMBINAT A 1 2 3 4 5 6

6.

SmartArt

12

Borrar

B

C

Halla en cada caso el término que contiene la variable indicada. b. y3 en (y + 2x)3 a. x6 en (2x2 – y)5

(

x6 en x 2 + 1 2

)

3

d. y2 en (3x + 2y)5

Pensamiento crítico y resolución de problemas

Fuente

Rellenar Pegar

Gráficos

Calcula las expansiones de los siguientes binomios usando el teorema del binomio. b. (2 + 2b)3 a. (x – 2y)5 c. (2x – y)4 d. (4x + 3y)6 e. (2p + r)7 f. (x + y)8

c.

3.° En la casilla Número digitamos 23 y en la casilla Tamaño, 20. Damos Enter y obtenemos 1771.

Editar

d. (x3 – y3)6 f. (1 – x)12

Razonamiento lógico

1.° Buscamos el icono de Funciones en la barra de herramientas de Excel. Damos Enter.

Inicio

(2n + n3)4 (3 + 2x2)8

Una de las representaciones más antiguas y conocidas del triángulo de Pascal contiene números que no son ni árabes ni romanos. Esta imagen (ver figura 17.3) fue encontrada en la portada del libro de Peter M. Higgins, Number Story. ¿Qué error tiene la figura?

=COMBINAT(23;20) D E

1771

Figura 17.2

Corrobora, con el programa Excel, los resultados obtenidos en los literales a. y b. del punto 1. 3.

Desarrolla las siguientes potencias de binomios, utilizando el triángulo de Pascal. a.

(2x + 1)5

b. (x + y)9

Figura 17.3

Resumen El triángulo de Pascal y el teorema del binomio son dos métodos numéricos que nos permiten hallar, de manera sencilla, el desarrollo de las potencias de un binomio. Con el primero, calculamos los coeficientes de cada término con sumas específicas. Con el segundo, usamos combinatorias.

82

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Polinomios

18 División de monomios y polinomios

Tema

Ideas previas

Pensamiento

variacional

El área de un triángulo está dada por la expresión 259,88z4 milímetros cuadrados y su altura es 7,3 milímetros. ¿Cuál es la expresión para la base del triángulo?

Hallemos una expresión para la altura del rectángulo de la figura 18.1, cuya área está dada por el monomio 27x3yz3. h

Para encontrar la altura, necesitamos dividir la expresión del área del rectángulo entre la expresión de la base. 9xy

Figura 18.1

( )

3 y 27 x 3 yz 3 = 27 ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ ( z 3 ) 9 xy 9 ⎝ x ⎠⎝ y⎠ = 3x3 – 1y1 – 1z3 = 3x2z3

Así, la altura del rectángulo está dada por la expresión 3x2z3. Para dividir un monomio entre otro monomio, dividimos los coeficientes y luego dividimos potencias de bases iguales utilizando la propiedad an ÷ am = an – m. Si en el numerador o en el denominador no hay otra potencia con la misma base, la potencia se conserva en su posición original. Ejemplo 1

Calculemos los cocientes de las siguientes divisiones. 3 24 x 2 yz 5 b. c. a. a b 3 xyz 6 ab2

5m3 n2 p 4 s 2 20m2 np

Solución

a.

a3 b = a3 –1b1 − 2 = a2 b −1 = a2 ⋅ 1 = a2 b b ab2

b.

24 x 2 yz 5 24 2 – 1 1 – 1 5 − 6 1 8x x y z = = 8 x 1 y 0 z −1 = 8 x = 3 z z 3 xyz 6

5m3 n2 p 4 s 2 1 1 = m3 – 2 n2 – 1p 4 – 1s 2 = mnp3 s 2 2 4 4 20m np Como los exponentes no son todos enteros no negativos, las expresiones de los literales a. y b. no son monomios. c.

Para recordar Si en la división de monomios la parte literal del cociente (resultado) tiene todos los exponentes enteros no negativos, entonces, el resultado también es un monomio.

Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada uno de los monomios que forman el polinomio dividendo entre el monomio divisor. Ejemplo 2

Hallemos los cocientes. a.

15ab + 12a 4 bc 5abc

b. 83

− 3 x 2 y 3 + 6 x 3 y 2 – 12 x 4 y 4 – 9 xy 2

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Solución

Para recordar

a.

En una fracción, el término del numerador corresponde al dividendo y el término del denominador, al divisor.

Para recordar Si a, b y c son números reales, ab = a b = a b , c c c con c ≠ 0 y a a 1 a 1 = ⋅ = ⋅ , bc b c c b con c ≠ 0 y b ≠ 0.

b.

15ab + 12 a 4 bc 15ab 12a 4 bc 3 12a3 = + = + 5abc 5abc 5abc c 5 – 3 x 2 y 3 + 6 x 3 y 2 – 12 x 4 y 4 – 3 x 2 y 3 6 x 3 y 2 12 x 4 y 4 = + – – 9 xy 2 – 9 xy 2 – 9 xy 2 – 9 xy 2 = 1 xy – 2 x 2 + 4 x 3 y 2 3 3 3

Para realizar la división de polinomios: 1. Ordenamos los polinomios dividendo y divisor, según las potencias decrecientes de la misma variable, dejando espacios para los términos que faltan en caso de que el polinomio dividendo esté incompleto. 2. Dividimos el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor y llevamos al cociente el término resultante. 3. Multiplicamos el primer término del cociente por el divisor y el producto, lo sustraemos del dividendo para tener el primer dividendo parcial. 4. Repetimos el proceso hasta obtener un dividendo parcial cuyo grado sea menor que el del divisor. Este dividendo parcial será el residuo. 5. Verificamos que el resultado sea correcto. Para esto, corroboramos que dividendo = (cociente)(divisor) + residuo. Ejemplo 3

Calculemos el cociente y el residuo de (15y5 + 3y3 – 2y2 – 3) ÷ (3y2 + y – 1). Solución

Como el polinomio dividendo está incompleto, 15y5 + 3y3 – 2y2 – 3, lo escribimos como 15y5 + 0y4 + 3y3 – 2y2 + 0y – 3 e iniciamos la división. 15 y 5 + 0 y 4 + 3 y 3 –2 y 2 + 0 y – 3

5 29 62 5y3 – y2 + y – 3 9 27

② –15 y 5 –5 y 4 + 5 y 3 –5 y 4 + 8 y 3 –2 y 2

Para recordar

① ③

⑤

⑦

④ +5 y 4 + 5 y 3 – 5 y 2 3 3 29 3 11 2 y – y +0y 3 3 ⑥ – 29 y 3 – 29 y 2 + 29 y 3 9 9 62 29 – y 2 + y –3 9 9 ⑧ + 62 y 2 + 62 y – 62 9 27 27 149 143 y– 27 27

• Un monomio es divisible por otro si al simplificar el exponente de las variables del dividendo y del divisor, el cociente sigue siendo un monomio. Por ejemplo: 15m3n2p4s2 es divisible por 20m2np. • Un polinomio es divisible por un monomio si todos sus términos son divisibles por el monomio. Por ejemplo: ±3x2y3 + 6x3y2 ± 12x4y4 es divisible por –9xy2.

3 y 2 + y –1

①

15 y 5 = 5y3 3y2

② 5y3(3y2 + y – 1) = 15y5 + 5y4 – 5y3

84

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③

−5 y 4 5 = − y2 3 3y2

④ − 5 y 2 ( 3 y 2 + y − 1) = − 5 y 4 − 5 y 3 + 5 y 2 3 3 3

29 y 3 29 y ⑤ 3 2 = 9 3y

⑥ 29 y ( 3 y 2 + y − 1) = 29 y 3 + 29 y 2 − 29 y 9 3 9 9

− 62 y 2 62 ⑦ 92 = − 27 3y

⑧ − 62 ( 3 y 2 + y − 1) = − 62 y 2 − 62 y + 62 27 9 27 27

Como el grado de 149 y − 143 es menor que el divisor, la división es inexacta. 27 27 El resultado podemos escribirlo así: 149 y − 143 5 29 62 27 . (15 y 5 + 3 y 3 − 2 y 2 − 3) ÷ (3 y 2 + y − 1) = 5 y 3 − y 2 + y− + 27 3 9 27 3 y 2 + y − 1

Desarrolla competencias 1.

2.

Razonamiento lógico

Clasifica cada división según su cociente sea o no monomio.

3.

Especifica si cada enunciado es verdadero o falso. En el caso de que sea falso, da un contraejemplo. a. La división de monomios puede dar como cociente un número entero. b. La división de monomios siempre es un monomio, es decir, cumple la propiedad clausurativa. c. La división de monomios cumple la propiedad asociativa. d. La división de monomios no es un monomio si los exponentes del numerador son menores que los exponentes del denominador. e. En una división entre polinomios, el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. f. Al dividir un polinomio entre su opuesto aditivo, el cociente es 1. g. La división entre polinomios es conmutativa.

4.

Determina si las siguientes divisiones son exactas.

10 x 5

a.

9m2np ÷ –4mn2p3

b.

c.

8y6 4 x3 y2

d.

21y 6 7x4

e.

112x8y5z4 ÷ 24x7y8z2

f.

6 x3 y6 5x3 y2

5x3 y3

Efectúa las siguientes divisiones. Determina cuáles cocientes son polinomios. a.

3x 4 + 6 y 6 5x3

b.

10 x 5 + 20 x 2 y 2 5x3 y3

c.

8 x 4 – 12 y 6 4 x3 y2

d.

14 x 4 + 21y 6 7x4

e.

25 x 4 y 8 + 35 y 6 6 y3

f.

30 x 4 y 6 + 6 y 6 5y3

g.

30 x 4 y 7 + 60 x 3 y 6 15 x 3 y 2

h.

3x 4 y7 + 6 x3 y 6 5x3 y2

a.

3x 4 + 4 x 5x3

b.

21y 6 + 3 x 6 7x4

c.

10 x 5 + 20 x 2 y 2 5x3 y3

d.

8 x 4 – 12 y 6 4 x3 y2

f.

25 x 4 y 8 + 35 y 6 6 y3

i.

x 3 + 6 x 2 – 2 x – 152 x –4

e.

j.

8 x 3 – 43 x 2 – 25 x – 30 x –6

14 x 4 + 21y 6 7x4

g.

k.

3 x 3 – 45 x 2 – 2 x + 30 x – 15

30 x 4 y 7 + 60 x 3 y 6 3 x 4 y 7 + 60 x 3 y 6 h. 15 x 3 y 2 5x3 y2

i.

30 x 4 y 6 + 6 y 6 5y3

85

j.

12 x 6 + 2 x 4 + 3 x 3 2x3

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

5.

Efectúa las divisiones indicadas y verifica tus respuestas probando la división. a.

3 x 3 – 8 x 2 + 19 x – 10 x2 – 2x + 5

b.

3 x – 7 x – 22 x – 7 x + 5 x2 – 3x – 5

c.

20 x 5 + 8 x 4 – 27 x 3 + 4 x 2 + 13 x – 6 5x2 + 2 x – 3

d.

20 x + 40 x – 47 x – 39 x + 24 x – 40 5x2 – 8

e.

24 x – 20 x + 2 x – 1 4 x2 – 2x – 1

4

3

4

4

g.

20 x 4 – 48 x 3 + 26 x 2 – 9 x + 2 5x – 2

h.

16 x 5 – 12 x 4 – 4 x 3 – 44 x 2 + 4 x + 40 4 x3 + 4 x – 8

j.

20 x 5

–

b.

c.

d.

䊏

3x + 8

4 x3

b.

c.

60 x 10 + 12 x 8 + 56 x 7 + 4 x 5 + 12 x 4 5x 4 + x 2 + 3x

36 x 7 + 3 x 5 – 3 x 3 + 15 x 2 + 5 3x2 + 1

24 x 5 – 30 x 3 – 3 x 2 – 36 x + 6 3x2 – 6 3x4 – 4x – 5

d.

x 5 + 5 x 4 + 2 x 3 + 10 x 2 x3 + 2x 9x5 – 2x3 + 4

– + + 32 x – 16 3 4x + 4x – 8 52 x 2

e.

6 x 7 – 20 x 4 – 10 x 3 + 16 x + 20 2x3 – 4 x2 – 2x – 3

= 4x – 5

䊏

5x2 – 8

= 2 x2 + 3x – 2

12x6 + 4x3

14 x 2

28 x 3

40 x 2 + 18 x – 36

䊏

䊏

7x + 1

12x6 + 4x3 – 7

Determina cuáles son los polinomios que completan cada igualdad. a.

䊏

= 8 y3 – 7 y2 + 3

Relaciona cada división con el cociente correspondiente: a.

+ + – 14 x + 10 3 4 x – 2x + 5

12 x 4

72 y 4 – 63 y 3 + 27 y

2

12 x 5 – 6 x 4 – 5 x 3 + 8 x 2 – 4 x + 1 3x3 – 2 x + 1

–

7.

2

f.

i.

6.

3

3

8x4

f.

2

5

8 x5

e.

f.

60 x 9 + 12 x 8 + 20 x 6 + 4 x 5 – 35 x 3 − 7 x 2 5x3 + x2 x2 + 5x

= 8x – 6 g.

45 x 9 + 44 x 7 – 12 x 5 + 20 x 4 + 24 x 2 5x 4 + 6 x2

= 5x2 + 6

28 x 4 + 19 x 2 – 20

䊏

8x3 + 6x – 1 h.

= 4 x2 + 5

x5 − 2x 4 − x 3 − 4 x2 − 6x x 3 + 2x 12x5 – 3x3 + 5

86

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8.

11. Determina la expresión algebraica que representa la longitud de la cerca necesaria para encerrar un lote cuadrado cuya área está dada por la expresión 81x2y2z2.

Completa la tabla 18.1. Figura

Área

Cuadrado

36x2y2z2

Rectángulo

45x2y2z2

Triángulo

25x2y2z2

Paralelogramo

20x2y2z2

Paralelogramo

28x2y2z2

Base

Altura

15xyz

12. Establece la expresión para la base de un prisma rectangular cuyo volumen está dado por el polinomio –32x3y3 + 24xy3 – 40x3y3 y altura, por el monomio –8xy.

5xyz 36xyz 7xyz

13. Indaga cuál es el dividendo de una división cuyo divisor es 5x + 3, el cociente es 4x – 5 y el residuo es 3.

Tabla 18.1 Entretenimiento

9.

Explica en qué sentido gira el eje E que aparece en la figura 18.2.

14. Determina el dividendo de una división cuyo divisor es 4x + 5, el cociente es 12x2 – 3x + 4 y el residuo es 42.

D A

15. Determina el divisor de una división cuyo dividendo es 12x3 – 9x2 – 32x + 28, el residuo es 4 y el cociente es 4x – 3.

C B

E

16. Determina el divisor de una división cuyo dividendo es y5 – 2y3 – y + 1, el cociente es y3 – y, y el residuo es –2y + 1.

Figura 18.2 Pensamiento crítico y resolución de problemas

17. Indaga cuál es la suma de las bases de un trapecio si su área es 6x2 + 11x + 3 y su altura es 3x + 1.

10. La capacidad en litros de un tanque de agua de forma de prisma rectangular es 35x3y3. Si la altura está dada por 7xy, ¿cuál es la expresión para el área de la base?

18. Averigua la base de un triángulo cuya área está dada por 12x2 – 7x – 10 y la altura por 3x + 2.

Resumen Al dividir un monomio entre otro monomio, se obtiene una expresión cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes de los monomios y la parte literal es el cociente de las partes literales, aplicando la propiedad de la potenciación. Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada uno de los monomios que forman el polinomio entre el monomio divisor. Para realizar la división entre polinomios, primero organizamos de forma descendente los dos polinomios en alguna de sus variables, dejando espacio para los términos faltantes, en caso de que el polinomio dividendo esté incompleto. Luego, desarrollamos el algoritmo dividiendo término a término.

87

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Polinomios

Tema Pensamiento

variacional

19 División sintética y teorema del residuo Ideas previas El área de un rombo está dada por la expresión 1 x 2 + 3 x + 4 y una de sus diagonales 2 por x + 4. ¿Cuál expresión representa a la otra diagonal?

Algunas divisiones cuyo divisor es de la forma (x – a) o (x + a) se pueden realizar de una manera más sencilla mediante un método denominado división sintética. Veamos cómo calcular el cociente y el residuo de aplicando el método de división sintética.

4 x 5 + 13 x 4 – 4 x 3 + 29 x 2 – 11x + 8 , x +4

Pasos

Ejemplo

1.

Ordenamos el polinomio dividendo de manera descendente y teniendo en cuenta los exponentes de la parte literal.

4x5 + 13x4 – 4x3 + 29x2 – 11x + 8

2.

Escribimos los coeficientes de los términos del polinomio en forma horizontal. Si falta algún exponente, escribimos 0. En el divisor, escribimos el valor de –a.

4

13 –4

29 –11

8

–4

3.

Escribimos en la parte inferior el coeficiente correspondiente al literal de mayor exponente (4) del polinomio.

4

13 –4

29 –11

8

–4

4

4.

Multiplicamos este valor (4) por –a: (4)(–4) = –16 y adicionamos este valor con el coeficiente de la derecha (13).

4

13 –4 –16 4 –3

29 –11

8

–4

5.

El resultado obtenido lo multiplicamos nuevamente por –a y repetimos el proceso (–3)(–4) = 12.

4

13 –4 –16 12 4 –3 8

29 –11

8

–4

6.

Repetimos el procedimiento anterior tantas veces como sea posible.

4

13 –4 29 –11 8 –16 12 –32 12 –4 4 –3 8 –3 1 4

–4

7.

Interpretamos los resultados: los números obtenidos representan los coeficientes del polinomio cociente; el grado del polinomio cociente es una unidad menor y el último número representa el residuo.

4x4 – 3x3 + 8x2 – 3x + 1 es el cociente y el residuo es 4. Tabla 19.1

La división sintética es un método rápido que nos permite realizar divisiones de polinomios en una sola variable y donde el divisor es de la forma (x – a) o (x + a), para a un número racional.

88

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Ejemplo 1

6 x 3 – 20 x + 7 Calculemos el cociente y el residuo de utilizando la división sintética. x –2 Solución

Para recordar Recordemos que x + a = x – (–a).

Desarrollando la división por el método de división sintética tenemos que 6

0 –20 7 12 24 8 6 12 4 15

2

El cociente es 6x2 + 12x + 4 y el residuo es 15. La raíz de un polinomio es el valor de la variable donde el polinomio se anula, es decir, donde toma el valor cero. Ejemplo 2

Verifiquemos que x = 2 es raíz del polinomio 9x3 – 33x2 + 48x – 36. Solución

Reemplazamos el valor de x por 2 en los diferentes términos del polinomio y realizamos las operaciones indicadas. 9(2)3 – 33(2)2 + 48(2) – 36 = 72 – 132 + 96 – 36 = 0 Como el resultado es 0, entonces, x = 2 es una raíz del polinomio. Los números que son posibles raíces de un polinomio pertenecen al conjunto de divisores del término independiente y sus opuestos aditivos. En el ejemplo anterior, las posibles raíces son todos los divisores de 36, es decir, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, −1, −2, −3, −4, −6, −9, −12, −18, −36. Un polinomio puede tener más de una raíz. Para hallar el residuo de una división de polinomios sin realizar la división, donde el divisor es de la forma (x – a) o (x + a), tenemos el procedimiento que se describe en el siguiente teorema. Teorema del residuo Si un polinomio P(x) se divide por (x – a), entonces, el residuo es r = P(a). Ejemplo 3

Determinemos el residuo de

3x 4 + 5x3 + 2 x + 3 sin efectuar la división. x −2

Solución

El polinomio dividendo es 3x4 + 5x3 + 2x + 3 y el polinomio divisor es (x – 2). Para hallar el residuo, evaluamos el polinomio dividendo en x = 2. P(2) = 3(2)4 + 5(2)3 + 2(2) + 3 = 3(16) + 5(8) + 4 + 3 = 48 + 40 + 4 + 3 = 95 Así, el residuo es 95. 89

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Desarrolla competencias 1.

2.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

Relaciona cada polinomio con una de sus raices. x=3 a. x4 – 2x3 – 4x + 8 6 4 2 x=4 b. x – 2x + 2x – 1 3 2 x = –1 c. 2x – x – 18x + 9 5 4 x=2 d. 2x – 8x + 3x – 12 3 2 x = –2 e. x – 3x – 4x + 12

1

9 –8 –69 30 –9

1

4.

Indica cuál es la otra dimensión del sólido y halla el polinomio que la representa. Luego, dibuja el sólido. a. Una caja de base cuadrada de volumen V = x3 + 7x2 – 5x – 75 y profundidad x – 3. b. Un cilindro de altura x + 2 y volumen πx3 + 6πx2 + 12πx + 8π. c. Una caja con área de la base x + 2 y volumen (x2 + x)2 – 4.

6.

Halla el valor de k para que el residuo de la división sea cero en cada caso. a. x2 + kx + 3, entre x + 1. b. kx3 + 2x2 – 3, entre x + 2. c. 4x4 – 3x2 + x – k, entre x – 3.

Determina los errores cometidos en la siguiente división sintética. x 5 + 9 x 3 – 8 x 2 – 69 x + 30 x –9

3.

5.

–9

0 72 –27

0 –8

3

3

Cociente: x4 – 8x2 + 3x + 3 Residuo = 3

Halla el cociente y el residuo de cada división utilizando el método de la división sintética. a.

x 3 + 5 x 2 – 22 x + 16 x +8

b.

5 x 7 + 7 x 6 – 24 x 5 + 3 x 4 + 9 x 3 – 2 x + 6 x +3

c.

3 x 5 + 14 x 4 – 26 x 3 – 11x 2 + 5 x – 6 x +6

Razonamiento lógico

7.

Si P(a) = P(b) = P(c) = 0 y P es un polinomio de grado 3, ¿es correcto afirmar que (x – a)(x – b)(x – c) = P(x)? Justifica tu respuesta.

8.

Cuando el residuo es cero, el polinomio cociente y el polinomio divisor son factores del polinomio dividendo. Realiza cada división y determina si el polinomio divisor es factor del polinomio dividendo; de serlo, expresa el polinomio dividendo como producto del divisor y el cociente.

Determina el residuo de cada división aplicando el teorema del residuo. a.

x3

–

+ 2 x + 24 x –2

6x2

b.

8 x 3 – 43 x 2 – 25 x – 30 x –5

c.

12 x + 117 x + 96 x + 135 x +9 3

a.

(x3 – 3x2 + x – 3) ÷ (x – 3)

b.

(x3 – 2x2 – 21x + 45) ÷ (x + 5)

c.

(2x3 + x2 – 7x – 6) ÷ (x + 1)

d. (x4 – 5x2 + 4) ÷ (x – 2) Olimpiadas

Matemáticas 9. Sea P(x) = x3 + ax + 1. Si P(1) = 1, ¿cuál es el valor de P(2)?

2

Resumen Si tenemos una división entre un polinomio de una sola variable y un binomio de la forma (x – a) o (x + a), para a un número racional y x la variable, sin hacer la división podemos •

usar la división sintética para hallar el cociente y residuo.

•

usar el teorema del residuo para hallar solamente el residuo.

90

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Polinomios

Tema

20 Cocientes notables

Pensamiento

variacional

Ideas previas Factoriza la expresión 343x3 + 294x2y + 84xy2 + 8y3.

Algunas divisiones se pueden realizar utilizando los productos notables, sin necesidad de aplicar el algoritmo de la división. Estas divisiones se denominan cocientes notables. Veamos la relación entre los productos y los cocientes notables.

Vínculo web

Producto notable

Cociente notable

Recuerda cómo obtener los productos notables ingresando a la página http://www.amolasmates. es/flash/productosnotables. html

(a – b)(a + b) = a2 – b2

a2 – b2 =a–b a+b

(a – b)(a + b) = a2 – b2

a2 – b2 =a+b a–b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a2 + 2 ab + b2 =a+b a+b

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – 2 ab + b2 =a–b a–b

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

a3 + b3 = a2 – ab + b2 a+b

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

a3 – b3 = a2 + ab + b2 a–b Tabla 20.1

Ejemplo 1

Determinemos el cociente de cada división utilizando cocientes notables. a.

x 2 – 16 x +4

b.

25 x 2 – 49 y 2 5x – 7 y

c.

9 x 2 + 6 xy + y 2 3x + y

d.

9 x 2 – 6 xy + y 2 3x – y

Solución

a.

x 2 – 16 =x–4 x +4

b.

25 x 2 – 49 y 2 = 5x + 7y 5x – 7 y

c.

9 x 2 + 6 xy + y 2 = 3x + y 3x + y

d.

9 x 2 – 6 xy + y 2 = 3x – y 3x – y

Podemos generalizar el caso de los cocientes notables en donde el dividendo es un polinomio de la forma xn ± yn, con un número entero n, n ≥ 2 y el polinomio divisor es un polinomio de la forma x ± y.

91

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Para recordar

Para n par x −y x−y n

El polinomio xn + yn, donde n es par, nunca tiene un residuo 0 al dividirse entre x + y o x – y.

n

= x n−1 + x n−2 y + x n−3 y 2 + x n− 4 y 3 + ! + y n−1

xn − yn = x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − x n− 4 y 3 + ! − y n−1 x+y Para n impar x +y = x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − x n− 4 y 3 + ! + y n−1 x+y n

n

xn − yn = x n−1 + x n−2 y + x n−3 y 2 + x n− 4 y 3 + ! + y n−1 x−y Ejemplo 2

Determinemos el cociente de cada división utilizando cocientes notables. a.

x6 + y6 x+y

b.

x7 − y7 x−y

c.

x 24 − y 24 x6 + y6

Solución

a.

La división no es exacta porque n es par (n = 6).

b.

x7 − y7 = x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy 5 + y 6 . x−y

c.

x 24 − y 24 ( x 6 )2 − ( y 6 )2 = = x 18 − x 12 y 6 + x 6 y 12 − y 18 . x6 + y6 x6 + y6

Desarrolla competencias 1.

Selecciona las expresiones que se pueden simplificar con cocientes notables.

2.

Relaciona cada división con su cociente. 125a3 + 27b3 6x + y a. 5a + 3b

25 x 2 – 20 xy – 4 y 2 5x + 2 y

b.

25a2 – 15ab + 9b2

b.

64 x 3 + 27 y 3 4 x + 3y

36 x 2 – y 2 6x – y

c.

4x – 2y

c.

36 x + y 6 x + y2

25a2 + 30 ab + 9b2 5a + 3b

d.

125 x 3 – 8 y 3 5x – 2 y

5a + 3b

d.

16 x 2 – 24 xy + 9 y 2 4 x – 3y

e.

16 x 2 – 4 y 2 4 x + 2y

25x2 + 10xy + 4y2

e.

49 x 2 – 4 y 2 7x – 2y

f.

125 x 3 + 8 y 3 5x + 2 y

7x + y

f.

16 x 2 + 24 xy + 9 y 2 4 x + 3y

g.

49 x 2 – y 2 7x – y

5x – 2y

g.

49 x 2 + y 2 7x + y

h.

25 x 2 – 20 xy + 4 y 2 5x – 2 y

25x2 – 10xy + 4y2

a.

2

4

92

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3.

Simplifica las siguientes expresiones. a.

4 a2 – 12a + 9 2a – 3

c.

343 z 3 − 8 y 3 7z − 2y

d.

125a – 27b 5a – 3b

e.

25a2 – 30 ab + 9b2 5a – 3b

f.

36 x 2 – y 2 6x – y

g.

x4 – y4 x + y

h.

x4 – y4 x – y

i.

x5 + y5 x + y

j.

x6 – y6 x3 – y3

x6 – 1 x +1

l.

k.

b.

4 a2 + 12a + 9 2a + 3 3

7.

La altura de un muro está dada por la expresión 5x3 + y4 metros. Si la expresión del área es 125x9 + y12 metros cuadrados, ¿cuál representa el largo?

8.

A un costado de un lago, que tiene un área de 64x6 kilómetros cuadrados, se construyó un parque de 27y3 kilómetros cuadrados de área. Si uno de los lados de la construcción total (lago y parque) tiene 4x2 + 3y km de longitud, ¿cuál expresión representa la medida del otro lado?

9.

Una finca tiene un invernadero de forma rectangular con un área de x6 – y4 metros cuadrados. Si uno de los lados mide x3 + y2 metros, ¿cuál expresión representa la longitud del otro lado?

3

Entretenimiento

x6 – y6 x – y

10. Escoge la figura que completa la secuencia.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

4.

El área de un rectángulo está representada por la expresión 64x6 – 81y4. Si el largo está representado por la expresión 9y2 + 8x3, ¿cuál expresión representa el ancho? x6y9

?

z3w12

5.

– para Se tiene una alfombra de área 4 2 3 una habitación que mide w z – x y de frente. ¿Cuál expresión representa la longitud de fondo de la habitación?

6.

Una ventana necesita un vidrio cuya área está dada por la expresión x3y15 + z12. Si la expresión de la base es xy5 + z4, ¿cuál es la de la altura?

a.

b.

c.

d. Figura 20.1

Resumen Los cocientes notables nos permiten hallar el cociente de una división sin necesidad de efectuarla. Se obtienen de los productos notables.

93

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Evalúa tus

competencias

Competencias en el Manejo de la información

Para celebrar el cumpleaños 35 de las minifiguras, el Grupo LEGO y DK Publishing han tenido una divertida iniciativa: han “regalado” a las minifiguras una réplica del famoso libro Lego: minifigure year by year a visual history, pero a su escala, con lo cual una minifigura puede agarrarlo cómodamente con la mano. Es una réplica a escala en centímetros de 1:15 con relación al libro original para los humanos, cuya portada rectangular tiene un perímetro de tan solo 7,4 cm. Adaptado de LEGO minigures. [en línea]. [citado el 28 de julio de 2014].

Interpretación y representación 1.

Si en la réplica el ancho es 3 mm menos que el largo (x), la expresión matemática que permite calcular ambas dimensiones es a. (x + 3) + x + (x − 3) + x = 7,4. b. (x + 3) + (x − 3) + x = 7,4. c. (x − 3) + x + (x − 3) + x = 7,4. d. (x + 3) + x + (x + 3) + x = 7,4.

Razonamiento y argumentación Para presentar el pequeño tomo de LEGO, se organizó una conferencia en la que se lanzó un nuevo prototipo de castillo medieval. El castillo fue el resultado de tomar un poliedro (ver figura 3.1) y retirarle 2 cubos de lado x .

2x

3.

Manuela, una de las integrantes del equipo de diseño, afirma que el volumen de la pieza también se puede representar con la expresión 6x3 + 4x2. ¿Es verdadera la afirmación? Justifica tu respuesta.

4.

Francisco, otro diseñador, piensa que una modificación en el tamaño del poliedro mejoraría el acople con el resto de las piezas de la nueva colección. Así que ha propuesto trabajar con un poliedro de lado 2x + 1, de tal modo que su volumen estaría dado por la expresión (2x + 1)3. ¿La expresión 8x3 −12x2 + 6x − 1 es equivalente a dicho volumen?

5.

Manuela, por su parte, propone un poliedro como el de la figura 3.2.

2x

2x + 2 2x + 1 2x + 1 2x – 1

Figura 3.1

2.

Puedes afirmar que la expresión algebraica que representa el volumen de la pieza es a.

4x2(2x + 1) − 2x2.

b.

4x2(2x + 1) − 2x3.

La expresión que representa el volumen de dicho sólido es a. b. c. d.

c. 2x(2x + 1) − 2x2. d. 2x(2x + 1) − 2x3. 94

Figura 3.2

(2x2 − 1)(2x + 2). (2x2 + 1)(2x + 2). (4x2 − 1)(2x + 2). (4x2 + 1)(2x + 2).

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6.

7.

Gustavo piensa que no es necesario irse a los extremos y propone un poliedro que mejora el acople del prototipo inicial. Si el volumen de este nuevo prototipo es (2x + 1)2(2x + 2), una expresión algebraica equivalente es

8.

Siguiendo la secuencia en los volúmenes de las piezas triangulares y empleando el teorema del binomio, ¿cuál es la expresión que representa el volumen de la pieza triangular V6? a.

6561y8 + 17 496y7 + 20 412y6 + 13 608y5 + 5670y4 + 1512y3 + 252y2 + 24y + 1

b.

6561y8 − 17 496y7 + 20 412y6 − 13 608y5 + 5670y4 − 1512y3 + 252y2 − 24y + 1

d. (4x2 + 1)(2x + 2).

c.

Otras piezas clave que conforman el prototipo del castillo son las triangulares, cuyos volúmenes se encuentran dados por el triángulo de Pascal.

729y6 + 1458y5 + 1215y4 + 540y3 + 135y2 + 18y + 1

d. 729y6 − 1458y5 + 1215y4 − 540y3 + 135y2 − 18y + 1

a.

(2x2 + 4x + 1)(2x + 2).

b.

(2x2 + 1)(2x + 2).

c.

(4x2 + 4x + 1)(2x + 2).

Con base en lo anterior, completa la tabla.

Formulación y ejecución 9.

Volumen

Desarrollo de la expresión del volumen

V1: (3y + 1)3 V2: (3y + 1)4 V3: (3y + 1)5 Tabla 3.1

Punto

Pensando en el acople del prototipo del castillo, se ha diseñado una pieza conectora cuya base es un rectángulo de área x3 – 1. Si una de las dimensiones del rectángulo es x – 1. ¿Qué expresión algebraica representa el producto de las otras dos dimensiones?

10. Si de otra de las piezas de la colección, también basada en un poliedro rectangular de volumen 2x3 + 7x2 +7x + 2, se sabe que su altura corresponde a la expresión x + 1, ¿qué expresión representa el área de la base del poliedro?

Desempeño

Sí

1.

Modelo una situación problema empleando expresiones algebraicas.

2.

Modelo una situación problema empleando expresiones algebraicas.

3.

Simplifico expresiones algebraicas haciendo uso de la multiplicación y sustracción de polinomios.

4.

Identifico y resuelvo un producto notable.

5.

Identifico y resuelvo un producto notable.

6.

Identifico y resuelvo un producto notable.

7.

Utilizo el triángulo de Pascal en el desarrollo de potencias.

8.

Utilizo el teorema del binomio en el desarrollo de la potencia de un binomio.

9.

Identifico un cociente notable y lo utilizo en la solución de una situación problema.

10.

Utilizo el teorema del residuo y la división sintética en la solución de un problema.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

95

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Prueba Competencias en el Manejo de la información

Encuentra la respuesta correcta entre las opciones A, B, C y D. Márcala en la hoja de respuestas, rellenando completamente el recuadro correspondiente. 1.

El mercado financiero de valores calcula las ganancias de una acción por transacción realizada. El lunes, la compañía ABC Valores cotizó en el mercado el valor por acción a $ 2020,31. El martes, el valor por acción incrementó en $ 79,69. El miércoles, se presentó una caída en el precio y terminó en 3 del precio de cierre por acción del día martes. El jueves, nuevamente 4 presentó caída por valor de $ 75 por acción. Finalmente, el viernes, en el cierre de la semana, el valor por acción tuvo un incremento de 1 del pre5 cio de cierre del día anterior. ¿Cuál fue el precio por acción de la compañía ABC Valores al cierre del mercado el día viernes? A. $ 1925

2.

B.

$ 1800

C. $ 1850

Daniel viaja a lo largo de una carretera que cubre cuatro pueblos. Para optimizar el uso de gasolina, visitará los cuatro pueblos empezando por el más cercano y avanzando hacia el más lejano. Infortunadamente, en el mapa que tiene se borraron los nombres de los pueblos, pero Daniel sabe que la distancia desde donde está hasta Villa María es, aproximadamente, 15 km; hasta Río Blanco, 3 km; hasta Pueblo Nuevo, 1,065 km; y hasta 8 3 El Guadal, 1 km. 4

D. $ 2175

N

Usted está aquí km 1 km 2

El pueblo que se encuentra más lejano en el mapa es A. Villa María. C. Pueblo Nuevo.

3.

B. Río Blanco. D. El Guadal.

Figura 1.1

Se ha presentado un incendio en un bosque cercano a la ciudad. Los bomberos reportaron que la extensión del fuego era de 2 km2 al momento de llegar al bosque. A pesar de los esfuerzos realizados por ellos para apagar el incendio, este se siguió extendiendo durante todo el día. La tabla 1.1 muestra los reportes subsiguientes emitidos por los bomberos sobre la extensión del bosque afectada por el fuego en un lapso de 24 horas. Tiempo (horas)

Extensión (km2 )

8

4

16

8

24

16

Si el fuego continúa incrementándose al mismo ritmo, ¿cuántos kilómetros cuadrados estarán afectados por el fuego a los 2 días? A. B. C. D.

Tabla 1.1

96

32 km2 96 km2 128 km2 200 km2

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4.

Un litro es igual a 1 × 106 mm3. En 1 mm3 de sangre humana, se pueden encontrar aproximadamente 5 × 106 glóbulos rojos. ¿Cuántos glóbulos rojos se pueden encontrar aproximadamente en un litro de sangre humana?

A. B. C. D.

5.

5 × 1012 glóbulos rojos. 1 × 1012 glóbulos rojos. 0,5 × 106 glóbulos rojos. 0,1 × 106 glóbulos rojos.

Juan Antonio es un estudiante de medio tiempo en una universidad. De su plan de estudios, ya ha cursado 22 créditos y planea tomar 6 por semestre hasta terminar su carrera. Una amiga suya, María Lucía, es estudiante de tiempo completo. Ella ha cursado 4 créditos de su plan de estudios y planea tomar 12 por semestre hasta terminar su carrera. ¿Después de cuántos semestres terminados tendrán María Lucía y Juan Antonio el mismo número de créditos cursados? A. B. C. D.

6.

La velocidad de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba se puede calcular usando la ecuación v = 50 – 9,8t, donde t representa el tiempo de vuelo en segundos y v la velocidad que se expresa en metros por segundo (m/s). Para un experimento de la clase de Física, el profesor desea saber para qué valores de t la velocidad es mayor que 30,4 m/s. Los valores que cumplen dicha condición son A. mayores o iguales que 2 s. B. menores o iguales que 2 s. C. exactamente igual que 2 s. D. estrictamente menores que 2 s.

7.

9 6 3 2

Observa las dos inecuaciones lineales. 1>x |x| > |–1| De las siguientes opciones, ¿cuál es el valor de x para el cual se cumplen las dos inecuaciones simultáneamente? A. B. C. D.

97

x=0 x=2 x=4 Ningún valor entero de x satisface ambas inecuaciones.

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8.

La longitud de una ventana rectangular es 5 m más que su ancho (W). El área de la ventana es 36 m2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones se puede usar para encontrar las dimensiones de la ventana?

A. W 2 + 5W + 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 + 5W y este resultado se iguala a 36. B. W 2 – 5W – 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 – 5W y este resultado se iguala a –36. C. W 2 – 5W + 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 – 5W y este resultado se iguala a 36. D. W 2 + 5W – 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 + 5W y este resultado se iguala a 36.

W+5

Figura 1.2

W

9.

El volumen de la pecera de la figura 1.3 se puede expresar como 2x3 + 9x2 + 4x – 15. La profundidad del tanque esta dada por (x – 1). ¿Cuáles son las otras dos dimensiones del tanque?

A. (5x + 2) y (3x + 1), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (5x + 2)(3x + 1). B. (2x + 5) y (x + 3), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (2x + 5)(x + 3). C. (x + 1) y (2x + 3), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (x + 1)(2x + 3). D. (x + 5) y (2x + 3), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (x + 5)(2x + 3).

?

?

( x – 1)

Figura 1.3

10. Observa la figura 1.4. Describe un método que te permita hallar el área de la región coloreada. ¿Qué expresión matemática te permitiría hallar dicha área? x+5 2

2

(x + 5) – (x – 1) = [(x + 5) – (x – 1)] [(x + 5) + (x – 1)] = 12x + 24 ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

x–1

Figura 1.4

98

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Formato de respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

A

A

A ✗

A

A

A

A

A

B ✗

B

B

B

B

B

✗B

B

✗B

C

C

C ✗

C

C ✗

C

C

C

C

D

D ✗

D

D

D

D ✗

D

D ✗

D

Punto

Desempeño

Competencia

Conocimiento

1.

Resuelvo problemas de situaciones aditivas y multiplicativas usando números racionales Formulación (representados por decimales, fracciones, y ejecución razones o porcentajes).

Genérico

2.

Reconozco las relaciones de orden de números racionales e intervalos en los reales.

Interpretación y representación

Genérico

3.

Resuelvo problemas que involucran multiplicaciones y potencias con números racionales.

Interpretación y representación

Genérico

4.

Realizo operaciones con expresiones en notación científica.

Formulación y ejecución

Genérico

5.

Identifico relaciones entre magnitudes.

Formulación y ejecución

Genérico

6.

Identifico y manipulo expresiones numéricas y algebraicas equivalentes.

Razonamiento y argumentación

Genérico

7.

Reconozco las relaciones de orden de números racionales e intervalos en los reales.

Razonamiento y argumentación

No genérico

8.

Resuelvo problemas en situaciones de variación y modelo su solución haciendo uso de expresiones algebraicas.

Formulación y ejecución

No genérico

9.

Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones.

Formulación y ejecución

No genérico

10.

Identifico un método que involucra expresiones algebraicas para solucionar una situación.

Razonamiento y argumentación

No genérico

Correcta

No correcta

De 10 puntos obtuve bien ____.

99

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Creatividad e innovación Uso racional del celular Situación El uso de la tecnología, en particular la del celular inteligente, ha cambiado esquemas comunicativos, relacionales y educativos en los adolescentes. En Colombia, el 88,3% de los adolescentes afirma que tiene un celular inteligente. Algunos expertos como Juan Camilo Rozo, de la fundación colombiana Conectándonos, piensa que “la mayoría de las veces los jóvenes no hacen uso adecuado de estos teléfonos porque nadie los ha educado en el uso sano de esta tecnología”. Por su parte, otros expertos comentan lo que el psiquiatra Álvaro Franco: que “está demostrado que el buen uso de la tecnología incrementa la coordinación oculomotora (ojo-mano) y sobre todo el pensamiento estratégico”. Adaptado de Que el celular no se ´robe´ a su hijo [en línea]. [citado el 30 de julio de 2014].

USO DE TELÉFONOS CELULARES POR ADOLESCENTES: VENTAJAS Y RIESGOS Uso del celular por adolescentes en Colombia Lúdica Comunicación t Servicios de voz y mensajes de texto

Estadísticas sobre adolescentes Estadísticas sobre adolescentes colombianos que Porcentaje colombianos que

t Jugar t Escuchar música t Hacer y ver fotos y videos t Usar el reloj t Agenda t Recurso para tareas

Riesgos del uso del celular t Bulliyng: acoso t Sexting: envío de mensajes o fotos de contenido sexual t Cuentas astronómicas: facturas abultadas t Adicción: impulso que no se puede controlar

no saben el costo del uso de su celular

47,8%

pagan el costo del uso de su celular

21,4%

nunca discuten con sus padres sobre el celular

58,3%

Discuten con sus padres sobre

Síntomas de la adicción al celular

Hombres

Mujeres

el costo de uso del celular

9,5%

13,7%

el tiempo dedicado al uso del celular

11,8%

15,4%

t Transtornos de sueño t Bajo rendimiento escolar t Falta de interés por otras actividades t Enajenación y distanciamiento de los familiares

Datos tomados de La encuesta Generaciones Interactivas en Iberoamérica, realizada en Colombia, muestra de 3292 escolares entre 10 y 18 años, residentes en ámbitos urbanos y estudiantes de colegio [en línea]. < http://www.generacionesinteractivas.org/upload/libros/La%20Generacion%20Interactiva%20en%20Iberoamerica%202010.pdf > [citado el 30 de julio de 2014].

100

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Reto Crea una estrategia para prevenir los riesgos del uso del celular.

Infórmate 1. ¿Conoces adolescentes que sufran adicción al uso del celular? ¿De qué modo afecta el uso excesivo del celular su rendimiento escolar? 2. ¿Has visto videos sobre situaciones, causas y consecuencias del mal uso del celular? ¿Cómo crees que un adolescente puede controlar el uso del celular? 3. Amplía la información dada sobre cada uno de los riesgos descritos del uso del celular.

Fuentes Digital Artículo periodístico sobre el celular como herramienta para el aprendizaje http://portal.educ.ar/debates/educacionytic/nuevos-alfabetismos/celulares-herramientas-para-el-aprendizaje.php Presentación y video sobre influencia de los celulares en los adolescentes http://www.slideshare.net/luiquintana/como-influyen-los-celulares-en-los-adolescentes-26634752

Impresa Lee artículos de revistas en la hemeroteca de tu ciudad. Ilústrate sobre el tema.

Vivencial Observa a tus compañeros, papás y amigos con el fin de identificar los usos que ellos hacen del celular. Posteriormente, clasifica los usos en apropiados e inapropiados.

Crea

Técnica creativa La técnica de Analogías obligadas te permite encontrar formas originales de entender el reto mediante su comparación con situaciones aparentemente muy diferentes. Para desarrollarla, primero forma grupos de 3 personas y pídele a cada grupo que formule dos analogías directas. El objetivo es explicar el reto, pero en un mundo paralelo. Por ejemplo, en el mundo del deporte, “enviar fotos de contenido sexual por el celular se parece a partir la garrocha a propósito del salto alto”. Luego, pídele a cada grupo que presente sus analogías y a partir de estas define con tus compañeros estrategias para encontrar una propuesta novedosa y útil para evitar riesgos y adicciones del uso irracional del celular.

Comunica Utilizando un medio comunicativo gráfico muestra la estrategia propuesta y publícala en un lugar donde tus compañeros la puedan conocer. 101

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Capítulo

2

Factorización. Fracciones algebraicas. Funciones

102

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Alfabetismo en medios desde las Matemáticas

Identifica 1. ¿Cuál es el mensaje que se quiere transmitir en la infografía? 2. ¿En qué otros medios puedes encontrar mensajes sobre el transporte en la ciudad? 3. ¿A quiénes les puede interesar conocer sobre emisiones de CO2 ocasionadas por

los medios de transporte en una ciudad?

Analiza 1. ¿Qué es una infografía? 2. Si recorres en promedio 150 km al mes en bicicleta, ¿cuántos viajes haces y cuán-

tos kilómetros recorres en cada viaje? 3. Comparando el uso de la bicicleta con el del carro particular, ¿cuál es el porcen-

taje de reducción en las emisiones de CO2 por pasajero en cada kilómetro recorrido? ¿Y comparado con el uso del autobús? 4. ¿Cuál es el costo de 100 viajes al mes (cada uno de 6,4 km) si se realiza en bicicleta, en carro o en autobús? 5. Plantea una función que permita calcular el costo de n viajes si se hacen en carro particular y otra para viajes en autobús. ¿Estas funciones son crecientes o decrecientes? 6. Las magnitudes “cantidad de gramos de CO2 emitidos por pasajero en cada kilómetro recorrido” y “cantidad de habitantes transportados en una ciudad”, ¿están en relación de variación directa o inversa?

Opina 1. ¿Cómo crees que ha evolucionado el transporte público en tu ciudad en los últi-

mos 10 años? 2. Imagina cómo serán las grandes ciudades del mundo dentro de 20 años si no se

Temas

moderan los esquemas actuales de transporte.

Descomposición en factores primos y máximo común divisor Factor común monomio y factor común polinomio Factor común por agrupación de términos Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c Factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c Factorización de diferencia de cuadrados perfectos Factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 29. Factorización de la diferencia o suma de cubos perfectos 30. Factorización de expresiones de la forma xn ± yn 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.

103

Factorizaciones combinadas Aplicaciones de la factorización Fracciones algebraicas Operaciones con fracciones algebraicas Fracciones algebraicas complejas Ecuaciones con fracciones algebraicas Concepto de función Representación gráfica de una función Función lineal y función afín Funciones de variación directa e inversa Funciones crecientes, decrecientes y constantes

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Evaluación

diagnóstica

Competencias en el Manejo de la información

Lee con atención las siguientes preguntas y enunciados. En cada caso, encierra la respuesta correcta. 1.

2.

Se tienen tubos de longitud 28 cm, 42 cm y 63 cm. Si se busca hacerles la menor cantidad de cortes para obtener trozos de la misma longitud sin que sobre material. La longitud de cada trozo debe ser

La igualdad que representa el área de la región coloreada es a. ✗

c(b + d) = cb + cd.

a. c. ✗

b.

b(a + c) = ab + bc.

c.

a(b + d) = ab + ad.

3 cm. 7 cm.

b. 6 cm. d. 4 cm.

La parte literal del segundo término y el coeficien3 2 9 te del tercer término de x 2 + x 3 − x 4 son, res2 5 4 pectivamente,

d. d(a + c) = ad + dc. 5.

Julio tiene un cuadrado como el de la figura 2.2. A

2 . 5

a.

x4 y

b.

9 x4 y − . 4

c.

x3 y

4 z

9 4

C

F

G

D 4

z

Violeta quiere pintar una pared de su apartamento. Si tiene pintura para una superficie definida por la expresión 3x2 – xy – 2y2, entonces, puede pintar la pared que tiene las dimensiones de ancho y largo definidas con las siguientes expresiones.

El área del cuadrilátero CEFG está dada por la expresión

a.

a.

z2 + 8z + 16.

b.

z2 – 8z – 16.

✗ c.

z2 – 8z + 16.

Figura 2.2

ancho: x + y, largo: 3x + 2y (en la cocina)

b. ancho: x – y, largo: 3x + 2y (en el baño) ✗ c.

ancho: x + y, largo: 3x – 2y (en la habitación principal)

d. z2 + 8z – 16.

d. ancho: x – y, largo: 3x – 2y (en el corredor) 4.

E

2 . 5

d. x3 y − . ✗ 3.

B

Observa la figura 2.1.

6.

d

b a

c Figura 2.1 104

Raquel tiene un cilindro que tiene una capacidad de almacenamiento definida por la expresión (a3 + a2b – ab2 – b3)π. Si la altura es a – b, el radio de la base es a.

a – b.

✗ b.

a + b.

c.

a2 – b2.

d. a2 + b2.

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7.

8.

Las fracciones equivalentes a a.

3 6 15 = = . 7 35 14

b. ✗

3 6 12 = = . 7 14 28

c.

3 12 15 = = . 7 35 28

d.

3 18 12 . = = 7 14 42

9 son 21

9.

Observa la información de la tabla 2.1. Miembro de la Familia Grupo sanguíneo Papá

A

Mamá

B

Hijo mayor

AB

Hijo menor

O

b. B.

c. ✗

AB.

d. O.

⎧ 1 4 9 16 ⎫ B = ⎨ , , , , 5⎬ . ⎩5 5 5 5 ⎭

b.

⎧ 1 4 9 16 ⎫ B = ⎨ , , , ,1⎬ . ⎩5 5 5 5 ⎭

c.

⎧ 1 2 9 16 ⎫ B = ⎨ , , , ,1⎬ . ⎩5 5 5 5 ⎭

d.

⎧ 16 9 2 1 ⎫ B = ⎨1, , , , ⎬ . ⎩ 5 5 5 5⎭

a. x = 6. ✗

El grupo sanguíneo correspondiente al hijo mayor es A.

a. ✗

10. El producto entre 2 y x + 1 equivale a x + 8. El valor de x que cumple esta igualdad es Tabla 2.1

a.

La relación entre dos conjuntos A y B está dada x2 por la expresión y = . Si A = {–1, –2, –3, –4, –5}, 5 entonces,

Punto

b.

x = 0.

c.

x = –1.

d. x = –8.

Desempeño

Sí

1.

Calculo el máximo común divisor de varios números y reconozco su uso.

2.

Identifico el coeficiente y la parte literal de los términos de un monomio o polinomio.

3.

Utilizo el producto de polinomios para resolver una situación problema.

4.

Utilizo la propiedad distributiva para calcular el área de sectores de figuras.

5.

Utilizo los productos notables para resolver una situación problema.

6.

Utilizo la división de polinomios para resolver una situación problema.

7.

Identifico las fracciones equivalentes de una fracción dada.

8.

Establezco relaciones entre dos variables.

9.

Evaluó expresiones que determinan relaciones entre dos conjuntos numéricos.

10.

Hallo la solución de una ecuación lineal.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

105

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Factorización

Tema

21 Descomposición en factores primos

Pensamiento

variacional

y máximo común divisor Ideas previas

Completa la descomposición en factores primos de los siguientes números. a. 98 = 2 ⋅ 7■

Para recordar Un número natural p, mayor que 1, se denomina primo si sus únicos divisores naturales o factores son 1 y p. Un número natural mayor que 1, que no es primo, se denomina compuesto y se factoriza completamente cuando se expresa como producto de sus factores primos.

b. 216 = 2■

⋅ ■3

c. 1575 = 3■ ⋅

■■ ⋅ ■

Recordemos que podemos establecer cuál es el máximo común divisor de dos o más números a partir de su descomposición en factores primos. Para hallar el máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números naturales, primero descomponemos cada número en sus factores primos; segundo identificamos los factores comunes y tomamos los de menor exponente; tercero multiplicamos estos últimos. Ejemplo 1

Hallemos el máximo común divisor de 72 y 60. Solución

72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

72 = 23 × 32

60 30 15 5 1

2 2 3 5

60 = 22 × 3 × 5

Por tanto, el máximo común divisor de 72 y 60 es 22 × 3 = 12.

Vínculo web Recuerda cómo hallar la descomposición en factores primos de un número ingresando a la página: http://www.extremate.es/ Descartes%20modificado/ 3_eso/Multiplos_divisores/ desfacto.htm

Así como hallamos el máximo común divisor de números enteros, también podemos encontrar el máximo común divisor de dos o más monomios. Para calcular el máximo común divisor de dos monomios, tomamos los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 2

Determinemos el máximo común divisor de los monomios 12x3y4z2 y 45x5y2. Solución

Para recordar Un polinomio constante P(x) = c, con c ≠ 0, es de grado cero, porque P(x) = cx0.

Primero hallamos el m.c.d. de los diferentes factores de los monomios. m.c.d. (12, 45) = 3 m.c.d. (x3, x5) = x3 m.c.d. (y4, y2) = y2 Por tanto, el máximo común divisor de estos dos polinomios es 3x3y2. Notemos que podemos escribir los monomios del ejemplo anterior en términos de su m.c.d., así: 12x3y4z2 = (3x3y2)(4y2z2) y 45x5y2 = (3x3y2)(15x2). 106

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Cuando un polinomio se escribe como un producto, los términos del producto reciben el nombre de factores, y el polinomio es divisible por cada uno de sus factores.

Ejemplo 3

En el polinomio 4π(x + 1)2, tenemos que 4, π, (x + 1) y (x + 1) son factores. De manera similar, en x[x2(x + 3) + 1], los factores son: x y [x2(x + 3) + 1].

Un polinomio es primo si no puede expresarse como el producto de dos polinomios de grado estrictamente menor que su grado. En caso contrario, el polinomio no es primo. Si un polinomio no es primo y todos sus factores son polinomios primos, se dice que está completamente factorizado.

Para recordar Ser polinomio primo depende del contexto. Por ejemplo, x2 + 1 es primo si se buscan factorizaciones con números reales. Sin embargo, existen otros conjuntos de números en los que puede factorizarse este polinomio como producto de dos polinomios de grado 1.

Ejemplo 4

El polinomio 3x2 + 5x + 2 puede expresarse como el producto entre (x + 1) y (3x + 2). Como el polinomio es de grado 2 y cada uno de los factores es de grado 1, podemos afirmar que 3x2 + 5x + 2 no es primo. Además, como (x + 1) y (3x + 2) son polinomios primos, 3x2 + 5x + 2 está completamente factorizado.

Para recordar Todo polinomio de grado 1, o de la forma x2 + a2 con a ∈ R, es primo.

Desarrolla competencias 1.

2.

Relaciona cada pareja de monomios con su m.c.d. a.

2xy3z; 4xy2z

49x3y8z3

b.

12x2y3z; 8xy2z4

9x2y2z3

c.

9x7y4z3; 27x2y2z4

xy5z6

d.

3x2y6z8;

4xy2z

e.

98x10y8z9; 343x3y16z3

8xy5z6

3.

Completa cada expresión para que se cumpla la igualdad. a.

–20x2y3 = (5xy) _____

b.

15m2n2c = (3mnc) _____

c.

–42x5y2 = (–7x3y) _____

d. 100a5bc3 = (–25a2bc) _____

2xy2z

Escribe los factores de cada expresión algebraica.

e.

30xy3z5 = (6yz5) _____

f.

–75p6q3r2 = (3p4q2r) _____

a.

(x + 1)(x + 2)

b.

(x + 3)4

Razonamiento lógico

c.

x2(x + 1)

4.

d. (2x + 3)3 e.

(x − 3)(x2 + 2x − 1)

f.

2(x + 2)(x − 1)x

g.

y3(y + 4)(x −2)

(8x2y)(3x3y6) = 24x5y7

h. xy2(x2 + 1)(x − 1) i.

Escribe los términos por los que se debe multiplicar para obtener un múltiplo de 12x5y7. Observa el ejemplo.

m2n3(m + n)(m − n)

107

a.

(6x3y3) ___________ = ___________

b.

(4x2y2) ___________ = ___________

c.

(5x3y2) ___________ = ___________

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5.

Determina cuáles monomios son divisibles por 4x3y2.

8.

a.

9x3y2

a.

3x + 1

b.

12x3y5

b.

x−2

c.

16xy2

c.

2x

d. –20x5y4

6.

d. 5

e.

–16x3y3z2

e.

x2 + 4

f.

24x4y5z

f.

x2 − 1

g.

9x2 + 1

h.

1x − 5 2

Halla el máximo común divisor de cada grupo de monomios. a.

18x4y3z2; 12x4y2z

b.

7x3yz; 21x2

i.

4x2 − 9

c.

12x3z2; 10z5

j.

–33x2

Pensamiento crítico y resolución de problemas

d. 15x2y3z4; 25x3y3z3; 20xy3z4 e.

6x5y2; 18xy3z2; 30x3yz2

f.

12a4b4c4; 20a2b3c2; 36a3b2c4

g.

21x6y8z7; 35x4y5z4; 42x5y6z5

9.

h. 48x2z4; 54y3z3; 60xy3 7.

Clasifica los siguientes polinomios como primos o no primos. Justifica tus respuestas.

Une con una línea el polinomio y su respectiva descomposición. Ten en cuenta que los siguientes polinomios no son primos. a.

Q(x) = 2x2 + x − 1

(x − 1)(x4 + 2x2 + 3)

b.

J(x) = x2 − 7x + 12

(x + 1)(2x − 1)

c.

P(x) = x3 − x2 − x + 1

(x − 1)(x2 − 1)

d. R(x) = x5 − x4 + 2x3 − 2x2 + 3x − 3

(x − 4)(x − 3)

Una pastelería vende galletas en dos tipos de cajas. En una caja, caben 24 galletas y en la otra, 30. Si para empacarlas en las cajas el pastelero hace paquetes más pequeños en bolsas del mismo tamaño. a.

¿Cuál es la cantidad de galletas que debe empacar en cada bolsa con el fin de maximizar el número de galletas en cada paquete?

b.

¿Cuántos paquetes de galletas deben ir en cada caja?

10. El área de un rectángulo está dada por la expresión 16y2x2. ¿Cuáles son las posibles expresiones para las dimensiones del rectángulo?¿Y cuáles las posibles expresiones para que sea un cuadrado?

Resumen Sea P un polinomio formado por dos o más monomios. El máximo común divisor de esos monomios permite escribir a P como el producto de polinomios de menor grado que P. Decimos que P no es primo si puede expresarse como el producto de dos o más polinomios de grado estrictamente menor que su grado. En el caso en que cada factor sea polinomio primo, decimos que P está completamente factorizado.

108

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Factorización

Tema

22 Factor común monomio

y factor común polinomio

Pensamiento

variacional

Ideas previas Determina el máximo común divisor de las siguientes parejas de monomios. a. 3x2y3; 6x3y b. 15x3y2z; 10x2y3z2

Alejandra tiene dos rectángulos cuyas áreas son 9y2 y 12yz. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones si se acomodan uno al lado del otro para formar un rectángulo más grande? El área del nuevo rectángulo está dada por la expresión 9y2 + 12yz. Como m.c.d. (9y2, 12yz) = 3y, entonces, 3y es la longitud del lado que comparten ambos rectángulos. Luego, podemos expresar el área de cada rectángulo así: 12yz = (3y)(4z) 9y2 = (3y)(3y) Por tanto, el área del rectángulo más grande está dada por 3y

9y2 + 12yz = (3y)(3y) + (3y)(4z)

4z

Si aplicamos la propiedad distributiva en orden contrario, es decir, si consideramos como primer factor el factor común y luego tomamos cada término del polinomio y lo dividimos entre el factor común, para conocer el segundo factor, obtenemos:

3y

(3y)(3y) + (3y)(4z) = 3y(3y + 4z) Figura 22.1

Así, la longitud del otro lado se puede expresar como (3y + 4z) (ver figura 22.1). El monomio 3y es el lado común y se denomina factor común monomio. En algunos casos, el factor común no es un monomio, sino un polinomio; por ejemplo, en la expresión 3x(a + 2b) + 4y(a + 2b) – 5z(a + 2b), el factor común en los tres términos es (a + 2b). Por tanto, la expresión como el producto de factores se representa así: 3x(a + 2b) + 4y(a + 2b) – 5z(a + 2b) = (a + 2b)(3x + 4y – 5z) En este caso, el polinomio (a + 2b) se denomina factor común polinomio.

Para hallar el factor común de un polinomio, calculamos el máximo común divisor de los términos y aplicamos la propiedad distributiva en orden contrario. Ejemplo 1

Factoricemos el polinomio 8x2y2 + 12x3y3 + 20x4y5. Solución

Hallamos el máximo común divisor de los diferentes factores de los términos que componen el polinomio. m.c.d. (8, 12, 20) = 4

m.c.d. (x2, x3, x4) = x2

m.c.d. (y2, y3, y5) = y2

Así, el máximo común divisor de los términos del polinomio es 4x2y2. Por tanto, el polinomio factorizado es el siguiente: 8x2y2 + 12x3y3 + 20x4y5 = 4x2y2(2 + 3xy + 5x2y3) 109

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Para recordar Factorizar es expresar una adición o sustracción de términos como un producto.

Ejemplo 2

Factoricemos el polinomio (5x + 7)(3x + 5y) – 11x(3x + 5y) + 9(3x + 5y). Solución

(5x + 7)(3x + 5y) – 11x(3x + 5y) + 9(3x + 5y)

Consideramos el polinomio.

= (3x + 5y)(5x + 7 – 11x + 9)

Sacamos como factor común polinomio a (3x + 5y).

= (3x + 5y)(–6x + 16)

Reducimos términos semejantes.

Ejemplo 3

Factoricemos el polinomio (x + 1)3x2 + (x + y)(x + 1)2. Solución

El término que se repite con su menor exponente es (x + 1)2. Por tanto, corresponde al máximo común divisor de (x + 1)3 x2 y (x + y)(x + 1)2. Con este resultado, factorizamos el polinomio así: (x + 1)3x2 + (x + y)(x + 1)2 = (x + 1)2[(x + 1)x2 + (x + y)] Sacamos factor común polinomio. = (x + 1)2(x3 + x2 + x + y)

Aplicamos la propiedad distributiva.

Una de las aplicaciones inmediatas de la factorización de polinomios es la solución de ecuaciones. Para esto, realizamos lo siguiente: 1. Igualamos a cero la ecuación. 2. Factorizamos el polinomio. 3. Aplicamos la propiedad del producto de factores igual a cero, y resolvemos las ecuaciones de los factores.

Ejemplo 4

Resolvamos la ecuación 5x(x + 2) + (x + 2) = 0. Solución

Como el polinomio ya está igual a cero, identificamos el factor común y lo factorizamos. Por tanto, se tiene lo siguiente: 5x(x + 2) + (x + 2) = 0 (x + 2)(5x + 1) = 0 Recordemos que un producto de números reales es cero si por lo menos uno de ellos es cero, es decir: 1 Si x + 2 = 0, tenemos que x = −2; y si 5x + 1 = 0, entonces, x = − . 5 Por tanto, las soluciones de la ecuación son x = −2 y x = − 1 . 5

110

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Desarrolla competencias 1.

Relaciona cada polinomio con el factor común de sus términos. 12xy – 8xz

4x

a.

15x3y2 + 10x2y3 – 15x2y2z

b.

12x2 – 18xy

3xy2

b.

7a2bc – 14ab2 + 21abc

c.

9axy + 3bxy

5x2y2

c.

14abc – 12a2b2c2 + 8a3b3c3

4x2y

d. 51ab – 34bc + 68ac

e.

12x2y2 – 6xy3 + 3xy2z

3xy

e.

13pq + 26qr – 39pqr

f.

15x3y2 + 10x2y3 – 15x2y2z

5xy

f.

21abc + 28a2bc – 35bc

g.

12x3y – 8x2y2 + 4x2yz

6x

g.

7x2yz + 9xy2z – 11xyz2

h. 405pq – 45 pq3r + 27qr3

Factoriza cada polinomio buscando como factor común un monomio. Polinomio a.

10y2x3

–

Factorización

f. 49x2n4 – 42b2n5 g. 35ab + 21ac h. 44axy – 55bxy i. 12ax2y – 12bx2y j. 42axy2 – 54bxy2 Tabla 22.1

Factoriza cada polinomio buscando como factor común un polinomio. 8x2(a + b) – 8x(a + b)

c.

22abc(y + 4) + 6pqr(y + 4)

d. 6ab(12 – 3y) + 5pq(12 – 3y) e.

3ab(cd – e) + 4df(cd – e)

f.

2pm(5an – 3) + 4bn(5an – 3)

g.

4am(3ph – 8z) – 3bn(3ph – 8z)

h. 7x(8abc – 9de) + 5y(8abc – 9de) i.

9a(m + n) – 15ay(m + n) – 5y(m + n)

j.

12x(a + b) – 15y(a + b) + 2xy(a + b)

729x2y2 – 243x2y + 81x2yz2

Escribe polinomios con los monomios 12x3y2, −3x4y3, 6x3y3, −4x2y4, 8x5y y 9x2y2 según las condiciones. a. Binomio cuyo factor común sea 3x2y2 b. Trinomio cuyo factor común sea 4x2y c. Cuatro términos cuyo factor común sea 2x2y d. Cinco términos cuyo factor común sea 4xy e. Trinomio cuyo factor común sea 1 f. Binomio cuyo factor común sea −x2y3

e. 100my + 10ny

b.

j.

6.

d. 72b2x3 – 60cx

15m(x – y) + 21n(x – y)

125x + 625xy – 3125xyz

Escribe un polinomio que tenga como factor común de sus términos el monomio o polinomio dado. a. –2y2 b. 4x2y3 c. 10x2y5 d. –7x2yz e. 10xy10z10 f. (m + n)2 g. xy3 h. (2x – y) i. –5xy j. (2x2 + 2y2) k. (3x + 4y – 5z) l. (x2 – 2y4) m. (m + 2b + c) n. 2a + 3b o. a2b3 p. a2 + b3

c. 24mx – 36nx

a.

i.

5.

25zx4

b. 12ay2 + 18my3

3.

Factoriza los polinomios cuyos términos tengan factor común.

a.

d. 15xy – 10xy2

2.

4.

111

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7.

Responde verdadero o falso. Justifica tu respuesta. a.

Un polinomio que tenga un factor común monomio o polinomio es un polinomio primo.

b.

Un binomio con factor común 5x2 puede tener por términos 10x3 y 5x2.

c.

El binomio x2 + y2 es factor común del polinomio x2(x2 + y2) − y(x2 + y2).

Pensamiento crítico y resolución de problemas

9.

Halla la expresión factorizada para el área coloreada de cada una de las siguientes figuras. a. b.

d. El polinomio cuya factorización es 3ab(a + b)2 es 3a3b + 3ab3. e.

8.

R

r

Un polinomio no primo siempre tendrá un factor común polinomio.

f.

Un polinomio cuyo factor común es 1 es un polinomio primo.

g.

La propiedad distributiva aplicada en sentido contrario permite extraer un factor común de un polinomio no primo.

Figura 22.2 Entretenimiento

10. Si se cubre toda la plantilla con 4 piezas como la A y 4 piezas como la C, ¿cuántas piezas de B se necesitan? B A

Resuelve las ecuaciones para la variable x. a.

x2 + 2x = 0

b.

7x2 + 14x = 0

c.

−2x2 = 6x

C

d. x(x + 3) − 2(x + 3) = 0 e.

−x(x + 5) = 7(x + 5)

f.

(−x − 3)(x + 4) − 5(x + 4) = 0

g.

(x + 1)2 − 3x(x + 1)2 = 0

Figura 22.3 Olimpiadas

Matemáticas

11. ¿Cuáles son las soluciones enteras positivas de la ecuación 2 ⋅ 22x = 4x + 64?

h. (2x + 1)3x + 6x(2x + 1) = −9x(1 + 2x)

Resumen Factor común monomio a(b + c) = ab + ac Propiedad distributiva Factor común polinomio (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d Propiedad distributiva

112

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Factorización

Tema

23 Factor común por agrupación de términos

Pensamiento

variacional

Ideas previas Escribe una expresión factorizada para el área no coloreada de la figura 23.1.

3r

2r

Otro método de factorización es el factor común por agrupación de términos. En este método, el polinomio no tiene un factor común monomio ni un factor común polinomio a primera vista. Sin embargo, estos van apareciendo después de agrupar e identificar similitudes en los términos del polinomio. Por ejemplo, consideremos el polinomio 6x3 + 2x − 3x2 − 1.

Figura 23.1

Los dos primeros términos tienen en común 2x y los dos últimos tienen en común –1. Agrupando los términos del polinomio, tenemos lo siguiente: 6x3 + 2x − 3x2 − 1 = (6x3 + 2x) + (−3x2 − 1) = 2x(3x2 + 1) − (3x2 + 1) Ahora, como los dos términos tienen en común (3x2 + 1), podemos factorizar la expresión. 6x3 + 2x − 3x2 − 1 = 2x(3x2 + 1) − (3x2 + 1) = (3x2 + 1)(2x − 1)

Sacamos factor común 2x y −1. Sacamos factor común (3x2 + 1).

Para factorizar polinomios por agrupación de términos, realizamos lo siguiente: 1. Asociamos los términos que tengan un monomio común. 2. Factorizamos estos términos buscando obtener polinomios comunes. 3. Factorizamos el polinomio común. Ejemplo 1

Factoricemos los siguientes polinomios. a.

7ax + ay – 7bx – by

b.

a2 – b2 – 5a + 5b

Solución

a.

b.

7ax + ay – 7bx – by = (7ax + ay) + (–7bx – by) = a(7x + y) – b(7x + y) = (7x + y)(a – b) 2 2 a – b – 5a + 5b = (a2 – b2) + (–5a + 5b) = (a – b)(a + b) – 5(a – b) = (a – b)(a + b – 5)

Asociamos términos. Sacamos factor común monomio. Sacamos factor común polinomio. Asociamos términos. Usamos productos notables. Sacamos factor común polinomio.

Ejemplo 2

Factoricemos la expresión 8a2m – 4ab2m + 4ab2n + 2abm – 8a2n – 2abn. Solución

8a2m

– 4ab2m + 4ab2n + 2abm – 8a2n – 2abn = (8a2m – 8a2n) + (–4ab2m + 4ab2n) + (2abm – 2abn) = 8a2(m – n) – 4ab2(m – n) + 2ab(m – n) = (m – n)(8a2 – 4ab2 + 2ab) = (m – n) 2a(4a – 2b2 + b) 113

Consideramos la expresión. Asociamos términos. Sacamos factor común monomio. Sacamos factor común polinomio. Sacamos factor común monomio.

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Ejemplo 3

Resolvamos la ecuación x3 − 9x − x2 + 9 = 0. Solución

Como 9 es factor común de −9x + 9 y x2 es factor común de x3 − x2, entonces... (x3 − x2) + (9 − 9x) = 0

Asociamos términos.

x2(x

− 1) + 9(1 − x) = 0

Sacamos factor común en cada grupo.

x2(x

− 1) − 9(x − 1) = 0

Factorizamos 1 – x = –(x – 1).

(x − 1)(x2 − 9) = 0

Sacamos factor común (x – 1). Obtenemos la factorización.

Como un producto de números reales es cero, si y solamente si por lo menos uno de ellos es cero, tenemos lo que sigue: Si (x − 1) = 0, entonces, x = 1. Si (x2 − 9) = 0, entonces, x = ± 3. Las soluciones de la ecuación son x = 3, x = −3, x = 1. Ejemplo 4

Hallemos las dimensiones de un triángulo cuya área está dada por el polinomio x4 + 3x3 + x + 3. Solución

Sean b, la base del triángulo y h su altura, el área del triángulo está dado por A = bh : 2 A = x4 + 3x3 + x + 3 Igualamos expresiones. = (x4 + 3x3) + (x + 3) =

x3(x

Agrupamos términos.

+ 3) + (x + 3)

Sacamos el factor común x3.

= (x + 3)(x3 + 1)

Sacamos el factor común (x + 3).

Por tanto, bh = 2(x3 + 1)(x + 3) y, en ese caso, existen varias posibilidades para seleccionar un triángulo que cumpla la condición. Por ejemplo, la base puede ser 2(x3 + 1) y la altura (x + 3) o la base puede ser 4(x3 + 1) y altura 1 ( x + 3) , entre otras. 2

Desarrolla competencias 1.

2.

d. −x − 1 − 3x3 − 3x2 e. 2m − 3n − 2m2 + 3mn f. −3m2n − 3m3 − n − m

Relaciona cada polinomio con su factorización. a. ax + 2bx + 4by + 2ay (2a − 3n)(x + 2y) b. 3ax + 6bx – 2ay – 4by (a + 2b)(x + 2y) c. 12ax – 6nx – 8ay + 4ny (a + 2b)(3x − 2y) d. 2ax – 3nx + 4ay – 6ny (2b − 5m)(3n − 2a) e. –4ab + 10am + 6bn 2(2a − n)(3x − 2y) – 15mn

3.

Factoriza haciendo cambio de signos. Sugerencia: −x − 1 = − (x + 1). a. −3x − 1 + 6x2 + 18x3 b. −5m + 10n + 4m2 − 8mn c. 3xy − 7x2 + 7x2y − 3xy2

114

Escoge dos de los tres términos de la izquierda, de manera que al extraer el monomio común obtengas como otro factor el polinomio de la derecha. 1 + 2x a. 3x, 6x2, 4x b.

−5x2, −x, x3

5x + 1

c.

−5x2, x, x3

x–5

d. a2b, a3b2, −ab e.

−m2n,

−n2m,

−m2n2

a–1 1+n

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4.

7.

Factoriza cada polinomio. a. x + y + xz + yz + xz2 + yz2 b. –am + 4an – bm + 4bn c. 12ax – 15bx + 8ay – 10by d. 16am – 12an – 12bm + 9bn e. 2ab + 5c + 5a + 2cb f. 4ax2 + 4bx2 – 2ay2 – 2by2 g. 30mn – yx + 6mx – 5ny

Resuelve las siguientes ecuaciones para la variable x. a. 10 + 10x − 2x2 − 2x3 = 0 b. 2x3 − 6x + x2 − 3 = 0 c. x2 − ax = a − x d. xy − 6 = 2x − 3y e. xy − 6 = 2x − 3y f. x3 − 2x + 4x2 − 8 = 0

Razonamiento lógico

Pensamiento crítico y resolución de problemas

5.

8.

Halla las dimensiones de la figura cuya área es el polinomio dado. a. Triángulo: x3 + 2x2 + x + 2 b. Rectángulo: 3x2 − 2 + 2x − 3x c. Triángulo: xy + 3x + 4y + 12

9.

Determina una expresión factorizada para el área coloreada de las siguientes figuras. a.

Describe cada uno de los pasos del procedimiento realizado en la siguiente factorización por agrupación de términos y propón un procedimiento agrupando otros términos. 20abx2 – 8a2xy –10b2xy + 4aby2 = (20abx2 – 8a2xy) + (–10b2xy + 4aby2) = (4ax)(5bx – 2ay) + (2by)(–5bx + 2ay) = (4ax)(5bx – 2ay) + (2by)(–1)(5bx – 2ay) = (4ax)(5bx – 2ay) – (2by)(5bx – 2ay)

b.

= (5bx – 2ay)(4ax – 2by) 8

6.

Completa los pasos que faltan en los procedimientos al factorizar por agrupación de términos. a. mx + my – nx – ny

5x +1

x 4x + 2

= m(x + y) – n( ___________ ) = (m – n)( ___________ ) b.

12ac – 15ad + 8bc – 10bd = _____ (4c – 5d) +_____(4c – 5d)

Figura 23.2

= ( ___________ ) ( ___________ ) c.

36a2 – 96a2c – 21b2 + 56b2c = 12a2 ( _____ – 8c) – 7b2 ( ____________ )

10. El área de la cuarta parte de un rectángulo está dada por el polígono 9x2y − 12xy2 − 21x3y + 28x2y2. Encuentra posibles dimensiones para la base y la altura del rectángulo.

= ( ___________ )( ____________ )

Resumen Para factorizar un polinomio agrupando términos, asociamos los términos, de tal manera que cada grupo tenga un monomio como factor común. Luego, factorizamos nuevamente teniendo en cuenta que el factor común ahora es un polinomio.

115

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Factorización

Tema

24 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Pensamiento

variacional

Ideas previas ¿Cuál es la expresión para el área de un jardín cuadrado de lado (2z – 7)?

a+b

El área de una ventana rectangular está dada por la expresión a2 + 2ab + b2. ¿Cómo podríamos determinar las expresiones para sus dimensiones? Factoricemos el polinomio. a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 = (a2 + ab) + (ab + b2) = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)2

a+b

Figura 24.1

Reescribimos el polinomio considerando 2ab = ab + ab. Agrupamos términos. Sacamos factor común monomio. Sacamos factor común polinomio. Simplificamos.

Por tanto, la longitud de los lados de la ventana está representada por el binomio (a + b) y la ventana tiene forma cuadrada (ver figura 24.1). Recordemos que el cuadrado de un binomio se denomina trinomio cuadrado perfecto, así que basta demostrar que el término medio es el doble del producto de las raíces del primer y tercer término para realizar esta factorización.

Vínculo web Para profundizar en el tema ingresa a la página http://portalacademico. cch.unam.mx/alumno/ aprende/matematicas3/ trinomiocuadrado

Para factorizar trinomios cuadrados perfectos, realizamos lo siguiente: 1. Verificamos que el trinomio sea cuadrado perfecto. 2. Hallamos las raíces cuadradas positivas de los dos cuadrados perfectos positivos y formamos el binomio de grado dos que puede ser de la forma (x – a)2 o de la forma (x + a)2 según el orden de los signos. Ejemplo 1

Determinemos si cada trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto y, de ser así, lo factorizamos. a. c.

9p2 + 24pm + 16m2 16x2 – 64xy – 64y2

b. 16x2 – 60xy + 64y2 d. 16x2 – 64xy + 34y2

Solución

a.

Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 9p2 es 3p. Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 16m2 es 4m. El término del medio es 2(3p)(4m) = 24pm. Por tanto, sí es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza así: 9p2 + 24pm + 16m2 = (3p + 4m)2

b.

Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 16x2 es 4x. Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 64y2 es 8y. El término medio sería 2(4x)(8y) = 64xy y el que aparece en el polinomio es 60xy. Por tanto, no es trinomio cuadrado perfecto y no se factoriza por medio de este procedimiento. 116

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c.

El signo del tercer término debería ser positivo. Por tanto, no es un trinomio cuadrado perfecto y no se puede factorizar por este método. d. El término del centro no corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los otros dos términos, por tanto, no es un trinomio cuadrado perfecto y no se factoriza por este procedimiento. Ejemplo 2

Factoricemos los siguientes trinomios. a.

49x2 – 70xy + 25y2

b.

0,01x2 + 0,6xy + 9y2

b.

0,01x2 + 0,6xy + 9y2

Solución

a.

49x2 – 70xy + 25y2 7x

5y

0,1x

El término del medio es 2(7x)(5y) = 70xy. Por tanto, 49x2 – 70xy + 25y2= (7x – 5y)2.

3y

El término del medio es 2(0,1x)(3y) = 0,6xy. Por tanto, 0,01x2 + 0,6xy + 9y2 = (0,1x + 3y)2.

Ejemplo 3

Hallemos la solución de la ecuación x2 − 16x + 64 = 0. Solución

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo. x2 − 16x + 64 = 0

Consideramos la ecuación.

(x − 8)2 = 0

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

Como (x − 8)2 = (x − 8)(x − 8), entonces, la expresión es igual a 0 cuando x = 8. Por tanto, la solución de la ecuación es x = 8.

Desarrolla competencias 1.

Determina si el polinomio perfecto. a. 9x2 – 42xy + 49y2 b. d. c. 4x2 + 12xy + 9y2 2 2 e. 16x + 36xy + 81y f.

es trinomio cuadrado

3.

27x2 + 18x + 1 16x2 – 24xy + 9y2 x4 – 2x3 + 1

Razonamiento lógico

2.

Halla el término que falta para que el polinomio sea un trinomio cuadrado perfecto. a. 36x4 + _______ + 4y4 b. 144x8 – _______ + 64y2 c. 9x4 + _______ + 25y6 d. 81x4 + _______ + 121y2 e. 169x2 – 52xy2 + _______

117

Factoriza cada uno de los trinomios cuadrados perfectos. a. x2 + 10xy + 25y2 b. 16a2 + 16ab + 4b2 c. x6 – 12x3y2 + 36y4 d. 4x2 – 12xy + 9y2 e. 100x2 + 40xy + 4y2 f. 16m2 + 40mn + 25n2 g. 49m2 + 84mn + 36n2 h. 121m6 – 44m3n3 + 4n6 i. 81x2 – 54xy + 9y2 j. 25m2 + 70mn + 49n2 k. 144z8 + 72z4y + 9y2

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4.

Relaciona cada expresión con el término que lo hace trinomio cuadrado perfecto. 2 –1 a. x2 + 26x + 2 y + 169 15 b. y + 2 26 c. x + 2 x + 121 2 2 x + 30x + 1 13 d. 2 2 y –11 e. 4x + 4xy – 2 2 2 m 1 f. 9x + 6xm +

■

5.

6.

■ ■

■

Trabajo colaborativo

7.

A partir de la figura 24.3, puedes obtener diferentes factorizaciones. Por ejemplo, 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2 . 2a + 3b

■ ■

Resuelve cada ecuación. a. x2 + 2x + 1 = 0 b. 20x3 = 20x2 − 5x c. x2 + 2x + 1 − (3x − 2)2 = 0 d. x2(x2 − 4x + 4) = 4(x2 − 4x + 4)

2a + 3b

25x² – 35xy + 49y²

ab

ab

ab

ab ab

b²

b²

b²

ab ab

b²

b²

b²

ab ab

b²

b²

b²

Realiza los gráficos que representen la factorización de a. b.

9a2 + 12ab + 4b2 16a2 + 24ab + 9b2

Pensamiento crítico y resolución de problemas

8. 9x² – 12ax + 4a²

25x² – 60xy + 36y²

ab

Figura 24.3

Determina cuáles de los siguientes rectángulos son también cuadrados. Ten en cuenta que la expresión dada corresponde a su área.

9a² + 6ab + b²

a² a² ab a² a² ab

Figura 24.2

El área de un cuadrado está dada por el polinomio 4x2 − 24xy + 36y2. a. ¿Cuál es la longitud del lado? b. Si el lado se reduce a la mitad, ¿cuál es la expresión para el área del nuevo cuadrado?

Resumen Para factorizar el trinomio 4x2 + 92x + 529, realizamos lo siguiente: 1.

Verificar si es un trinomio cuadrado perfecto. 4x2 = (2x)2 529 = 232 Como el término de la mitad es 2(2x)(23), es decir, 92x, podemos decir que el polinomio sí es un trinomio cuadrado perfecto.

2.

Como la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto, la factorizamos así: 4x2 + 92x + 529 = (2x)2 + 2(2x)(23) + 232 = (2x + 23)2 Así, 4x2 + 92x + 529 = (2x + 23)2.

118

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Factorización

Tema

25 Factorización2 de trinomios

Pensamiento

variacional

de la forma x + bx + c Ideas previas

Halla la descomposición en factores primos de 24. ¿Qué par de números naturales al multiplicarse da como producto 24 y como suma, 10?

Para recordar En arquitectura, la propor1+ 5 ción áurea, a = , b 2 se ha usado para enmarcar algunos edificios, pórticos e incluso obras de arte. Este número aparece en la factorización del polinomio x2 − x − 1.

Si analizamos el polinomio x2 + 19x + 84, vemos que no es un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cómo lo podemos factorizar? Recordemos que al multiplicar (x + p)(x + q) podemos aplicar la propiedad distributiva de la siguiente manera: (x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + (p × q) = x2 + bx + c Por tanto, basta hallar dos números p y q, tales que b = p + q y c = p × q. Para factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, realizamos lo siguiente: 1. Verificamos que el trinomio sea de la forma x2 + bx + c. 2. Buscamos números p y q, tales que p + q = b y pq = c de acuerdo con la descomposición en factores primos de c. 3. Escribimos la factorización con los factores (x + p)(x + q). Ejemplo 1

Factoricemos el trinomio x2 + 19x + 84. Solución

Debemos encontrar dos números p y q, tales que su producto sea 84. Descomponemos 84 en sus factores primos y tenemos que las posibilidades son 1 y 84, 2 y 42, 3 y 28, 4 y 21, 6 y 14, 7 y 12. De estas parejas, los que suman 19 son 12 y 7. Por tanto, x2 + 19x + 84 = (x + 7)(x + 12). Ejemplo 2

Factoricemos el trinomio x2 – 55x + 294.

Para recordar Si la descomposición en factores primos de un número n es ax ⋅ by ⋅ cz, para a, b y c números primos, entonces, la cantidad de divisores enteros positivos de n es (x + 1)(y + 1) (z + 1). Por ejemplo, 18 = 2 ⋅ 32, entonces, la cantidad de divisores de 18 es (1 + 1)(2 + 1) = 6. Los divisores son: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

Solución

Descomponemos 294 en sus factores primos y obtenemos que 294 = 2 ⋅ 3 ⋅ 72. Así, 294 tiene (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 12 divisores enteros positivos. Elaboramos la lista de los 12 divisores de 294. 1 × 294

2 × 147

3 × 98

6 × 49

7 × 42

14 × 21

Como el producto es positivo (294), los números deben tener el mismo signo. Como la suma es negativa (–55), los números deben ser negativos. La pareja de números cuyo producto es 294 y la suma –55 es –49 y –6. Por tanto, x2 – 55x + 294 = (x – 6)(x – 49). 119

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Para recordar El hecho de que no podamos hallar enteros m y n, tales que x2 + bx + c = (x + m)(x + n) no significa que no se pueda factorizar. Esto significa que no se puede factorizar haciendo uso de números enteros.

Ejemplo 3

Hallemos la solución de la ecuación x2 − 4x − 58 = 2. Solución

Debemos dejar 0 a un lado de la ecuación, por tanto, adicionamos a ambos lados de la ecuación el opuesto de 2 y obtenemos x2 − 4x − 60 = 0. Factorizamos la expresión del lado izquierdo de la ecuación. x2 − 4x − 60 = 0

Tomamos el trinomio del lado izquierdo.

(x + 6)(x − 10) = 0

Consideramos que 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5. Buscamos dos números cuyo producto sea –60 y suma –4.

x = −6 o x = 10

Igualamos a 0 cada factor.

Por tanto, las soluciones de la ecuación son –6 y 10. Verifiquémoslo.

Desarrolla competencias 1.

Relaciona cada trinomio con su factorización. (x – 2)(x + 3) a. x2 + x – 6 2 (x – 5)(x + 3) b. x + 7x + 12 2 (x – 1)(x + 2) c. x – x – 20 2 (x + 2)(x – 7) d. x – 2x – 15 2 (x + 4)(x – 5) e. x + 2x – 3 2 (x + 3)(x – 1) f. x + x – 2 2 (x + 3)(x + 4) g. x – 5x – 14

■ +x−■ x2 + 23x + ■ x2 + 7x − ■

e.

x2 + 2x −

f.

x2

g. h.

Trabajo colaborativo

4.

Observa y describe los pasos comunes aplicados en los siguientes procedimientos.

Razonamiento lógico

2.

3.

Procedimiento 1

Factoriza los siguientes trinomios. a. x2 + 6x + 9 b. x2 + 10x + 24 c. x2 – 2x – 15 d. x2 + 11x + 30 e. x2 + 4x – 45 f. x2 + 9x + 20 g. x2 + 91x + 90 h. x2 – 17x + 72 i. x2 + 12x – 85 j. x2 + 16x – 80

x2 + 5x + 6 = ¿? 6=2×3y2+3=5 x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = (x2 + 2x) + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Procedimiento 2 x2 – 17x + 72 = ¿?

Escribe el número que completa la expresión para que sea un trinomio de la forma x2 + bx + c. a. b. c. d.

■x + 2 2 x + ■x − 6 x2 + ■x + 2 x2 − ■x − 24 x2 +

72 = (–8) × (–9 ) y (–8) + (–9) = –17 x2 – 17x + 72 = x2 – 8x – 9x + 72 = (x2 – 8x) + (–9x + 72) = x(x – 8) – 9(x – 8) = (x – 8)(x – 9)

120

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5.

6.

Aplica el procedimiento anterior para factorizar los polinomios. a. x2 + 6x + 8 b. p2 – 17p + 72

a.

¿Qué relación encuentras entre este método y el explicado en el tema? ¿Hay alguna diferencia en el resultado?

c.

b.

8.

Resuelve las siguientes ecuaciones. a. m2 − 19m − 150 = 0 b. −12x − x2 + x3 = 0 c. y2 + y = 110 d. x3 − 2x2 − 24x = x2 − 2x − 24 e. m4 − 25m2 + 144 = 0 f. x2(1 − x) − 3x(1 − x) + 18(x − 1) = 0

¿Cuál es el polinomio que representa el perímetro del apartamento? ¿Cuál es el polinomio que representa el área del apartamento? ¿Cuál es la dimensión de cada espacio si x es 11 metros?

Selecciona la respuesta correcta teniendo en cuenta que los valores dados corresponden a los totales de cada fila y columna, ¿cuál es el valor de

+

–

?

11

Pensamiento crítico y resolución de problemas

7.

8

El siguiente plano de un apartamento presenta las expresiones para las áreas de cada zona. Determina las dimensiones de cada espacio.

Alcoba x2 + 11x + 30

Comedor x2 + 7x + 12

8 10

Patio x2 + x –12

8

9 Figura 25.2

a. c.

Cocina x2 + 6x + 8

5 7

b. 6 d. 8

Olimpiadas

Matemáticas Sala x2 – 2x – 3

Baño x2 + 4x – 5

9. Figura 25.1

Halla el conjunto de los valores que puede tomar b en el polinomio x2 + bx + 10 para que se pueda factorizar.

Resumen Para factorizar el trinomio x2 − 3x − 180, procedemos de la siguiente manera. 1.

180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5

2.

p ⋅ q = −180 p + q = −3 Entonces p = 12 q = −15

3.

121

x2 − 3x − 180 = (x + 12)(x − 15)

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Factorización

Tema Pensamiento

variacional

trinomios 26 Factorización de 2 de la forma ax + bx + c Ideas previas Halla el conjunto de los valores que puede tomar b, para que x2 + bx + 36 se pueda factorizar.

Para multiplicar (3x + 2)(2x – 1) aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos un trinomio de la forma ax2 + bx + c. (3x + 2)(2x – 1) = 6x2 – 3x + 4x – 2 = 6x2 + x – 2 Notemos que el producto entre 6 y –2 (coeficiente de x2 y término independiente) es igual al producto de los coeficientes de cada uno de los términos de los dos binomios que multiplicamos: ac = (3 ⋅ 2) [2 ⋅ (–1)]. Además, 1 (el coeficiente de x), lo obtenemos adicionando dos números que salen de la reorganización de los factores de ac: b = [3 ⋅ (–1)] + (2 ⋅ 2). Con esta idea en mente factorizaremos trinomios de la forma ax2 + bx + c. Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, realizamos lo siguiente: 1. Hallamos p y q números enteros, tales que p ⋅ q = a ⋅ c y p + q = b. 2. Reemplazamos b por p + q. 3. Agrupamos términos y hallamos el factor común de cada agrupación. 4. Factorizamos utilizando factor común.

Ejemplo 1

Factoricemos el trinomio 12x2 – 14x – 10. Solución

1.

Buscamos dos números p y q, tales que p ⋅ q = a ⋅ c, es decir, p ⋅ q = 12 ⋅ (–10) = –120 y cuya suma sea b = –14. Como 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 y p ⋅ q es negativo, los números p y q deben tener signos diferentes. Al hacer las posibles combinaciones entre los factores de la descomposición prima de 120, obtenemos que los números buscados son 6 y –20.

2.

Reescribimos el polinomio expresando –14 como la suma de 6 y –20, así: 12x2 – 14x – 10 = 12x2 + 6x – 20x – 10.

3.

Agrupamos los términos por parejas: 12x2 – 14x – 10 = (12x2 + 6x) + (–20x – 10). Factorizamos utilizando factor común: 12x2 – 14x – 10 = 6x(2x + 1) – 10(2x + 1).

4.

Factorizamos por factor común polinomio: 12x2 – 14x – 10 = (2x + 1)(6x – 10). Revisamos cada término para saber si hay algún factor común. 12x2 – 14x – 10 = (2x + 1)2(3x – 5). Así, el trinomio queda totalmente factorizado como 2(2x + 1)(3x – 5).

122

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Ejemplo 2

El polinomio P(x) = 2x2 + 7x + 3 representa el área de un rectángulo, donde sus dimensiones dependen de la variable x. ¿Cuáles son los polinomios que representan su largo y su ancho? Si x = 4, ¿cuáles son el largo y el ancho del rectángulo? Solución

La factorización del polinomio P(x) nos permite dar respuesta a las dos preguntas. Entonces... 2x2 + 7x + 3 = 2x2 + 6x + x + 3

Buscamos los valores p y q. En este caso, son 6 y 1.

= (2x2 + 6x) + (x + 3)

Agrupamos términos.

= 2x(x + 3) + (x + 3)

Sacamos factor común monomio.

= (2x + 1)(x + 3)

Sacamos factor común polinomio.

Así, el largo y el ancho del rectángulo lo representan los polinomios (2x + 1) y (x + 3), respectivamente. Por tanto, para x = 4, el largo es 9 y el ancho es 7. Ejemplo 3

Resolvamos la ecuación 6x2 + 4x + 8 = 3x + 10. Solución

Debemos dejar 0 a un lado de la ecuación. Para esto, adicionamos el opuesto de 3x y de 10 a ambos lados de la ecuación. Por tanto, tenemos lo siguiente: 6x2 + 4x + 8 = 3x + 10 6x2 + x – 2 = 0 Luego, factorizamos el trinomio del lado izquierdo y obtenemos lo siguiente: 6x2 + x – 2 = 0

Consideramos el trinomio para factorizar.

6x2

Buscamos los valores p y q. En este caso, son 4 y –3.

+ 4x – 3x – 2 = 0

(6x2

+ 4x) + (–3x – 2) = 0

Agrupamos términos.

2x(3x + 2) – (3x + 2) = 0

Sacamos factor común monomio.

(2x – 1)(3x + 2) = 0

Sacamos factor común polinomio.

Igualamos a 0 cada factor y obtenemos x = 1 o x = – 2 . 2 3

Desarrolla competencias Razonamiento lógico

1.

3.

¿Qué diferencia hay entre el caso de factorización de ax2 + bx + c y el de x2 + bx + c? ¿Se puede aplicar el mismo método?

4.

Factoriza los siguientes trinomios.

Completa el procedimiento. 8x2 – 2x – 3 = 8x2 – 6x + 4x – 3 = (8x2 – 6x) + (4x – 3) = 2x( _______ ) + (4x – 3) = (4x – 3) ( _______ )

2.

Factoriza el trinomio 3x2 – 26x + 16. Explica cada uno de los pasos.

123

a. c. e. g. i.

2x2 – 5x – 7 4x2 + 13x – 35 18x2 + 18x – 80 2x2 + x – 6 40x2 – 22x + 3

b. d. f. h. j.

6x2 + 7x – 10 5x2 – 29x + 36 3x2 – 7x + 4 10x2 + 21x – 10 14x2 + 3x – 2

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k. m. ñ. p. r. t. v. x.

l. n. o. q. s. u. w. y.

12x2 – 4x – 5 3x2 + 5x – 2 110x2 – 17x – 15 30x2 – 11x – 30 12x2 – 14x – 10 35x2 + 9x – 2 56x2 – 5x – 6 30x2 + 61x + 30

7.

Observa el método gráfico para factorizar los trinomios 2a2 + 7a + 6 y 20x2 + 23x + 6. 2a + 3 a

Resuelve cada ecuación. a. 12y2 + 19y = 10 b. 12k2 = 2 – 5k c. 14p3 – 17p2 + 5p = 0 d. 4x3 – 12x2 – 16x = 0 e. 15x4 – 2x3 – x2 = 0 f. (x2 – 3x)(2x + 3) = –2(2x + 3)

Pensamiento crítico y resolución de problemas

6.

a2

a2

a

a

a

a

a

12 12

12

a a

a

12 12

12 1 1

2+a

3 + 4x

5.

25x2 + 25x + 6 35x2 + 24x – 35 12x2 – 43x + 35 15x2 – 13x + 2 40x2 + 6x – 1 8x2 – 34x + 35 50x2 + 25x + 3 77x2 – 5x – 12

Halla las dimensiones de los lados de los rectángulos cuyas áreas están representadas por los siguientes trinomios. a. 20x2 – 7x – 6 b. 12y2 + 7y – 10 c. 5m2 + 21m + 18 d. 28n2 + 31n – 5 e. 32m2 – 12m – 9 f. 10n2 + 23n + 6 g. 56r2 + 25r – 4 h. 2g2 + 5g – 12

x2

x2

x2

x2

x2 x x

x2

x2

x2

x2

x2 x x

x2

x2

x2

x2

x2 x x

x2 x x x

x2 x x x

x2 x2 x x x x x x 5x + 2

x2 x x x

x x 1 1 1 1 1 1 Figura 26.1

Aplica el método anterior para factorizar los siguientes trinomios. a.

12x2 + 23x + 10

b.

28x2 + 39x + 5

c.

8x2 + 18x + 9

d. 10x2 + 23x + 6 e.

7x2 + 25x + 12

Resumen Para factorizar el trinomio 56x2 + 9x – 2, procedemos de la siguiente manera. 1.

Hallamos p y q, tales que p ⋅ q = –112 y p + q = 9. Como 112 =

2.

24

⋅ 7, entonces, p = 16

3.

Agrupamos términos y factorizamos. 56x2 + 9x – 2 = 56x2 + 16x – 7x – 2 = (56x2 + 16x) + (–7x – 2)

q = –7.

= 8x(7x + 2) – (7x + 2)

Reemplazamos 9 por 16 – 7 y obtenemos lo siguiente:

= (7x + 2)(8x – 1)

56x2

56x2 + 9x – 2 = (7x + 2)(8x – 1)

+ 9x – 2 =

56x2

+ 16x – 7x – 2

Entonces...

124

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Factorización

Tema

27 Factorización de diferencia de cuadrados perfectos

Pensamiento

variacional

Ideas previas Si el área de un cuadrado está dada por la expresión 625a8, ¿cuál expresión representa la longitud de su lado? a

b

Se tiene un cuadrado de lado a del cual se saca un cuadrado de lado b, como se indica en la figura 27.1.

b2

Con la superficie que queda, se forma un nuevo rectángulo. ¿Cuáles pueden ser sus dimensiones?

a a–b

Geométricamente, podemos representar la situación como se indica en la figura 27.2. a–b

El área de este rectángulo está dada por la expresión (a + b)(a – b), que corresponde al producto notable producto de la suma por la diferencia, es decir, (a + b)(a – b) = a2 – b2.

b Figura 27.1

a

b

Por tanto, solo debemos aplicar esta igualdad en sentido contrario al inicial.

a–b

Para factorizar la diferencia de cuadrados, debemos extraer la raíz cuadrada positiva de cada cuadrado perfecto y formar los factores: uno con la suma de las raíces y el otro con su diferencia, así: a2 – b2 = (a + b)(a – b)

a+b Figura 27.2

Ejemplo 1

Factoricemos los siguientes binomios. a.

x2 – 4

b.

16y2 – 36x2z6

b.

De manera similar,

Solución

a.

Para factorizar x2 – 4, debemos calcular las raíces cuadradas de cada uno de los términos. x2 – 4 x

Por tanto,

2 x2 –

4 = (x – 2)(x + 2).

16y2 – 36x2z6 4y

6xz3

Por tanto, 16y2 – 36x2z6 = (4y – 6xz3)(4y + 6xz3).

Ejemplo 2

Factoricemos el siguiente binomio. x3y – xy3 Solución

x3y – xy3 = xy(x2 – y2) Sacamos factor común. = xy(x – y)(x + y) Aplicamos diferencia de cuadrados. 3 3 Por tanto, x y – xy = xy(x – y)(x + y). 125

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Para recordar Diferencia de cuadrados ≠ Diferencia al cuadrado a2

–

b2

≠ (a –

b)2

Ejemplo 3

Factoricemos el siguiente binomio. x3 – 4xy4 Solución

x3 – 4xy4 = x(x2 – 4y4) Sacamos factor común. = x(x – 2y2)(x + 2y2) Aplicamos diferencia de cuadrados. 3 4 2 Por tanto, x – 4xy = x(x – 2y )(x + 2y2). Ejemplo 4

Resolvamos la ecuación 25x2 + 9 = 18. Solución

Debemos dejar 0 a un lado de la ecuación. Entonces, adicionamos a ambos lados de la igualdad el opuesto de 18 y obtenemos lo siguiente: Consideramos la ecuación. 25x2 + 9 = 18 2 25x + 9 – 18 = 18 – 18 Adicionamos a ambos lados −18. 25x2 – 9 = 0 Simplificamos. Factorizamos la diferencia de cuadrados, así: 25x2 – 9 = 0 (5x – 3)(5x + 3) = 0 Por tanto, las soluciones de la ecuación son x = 3 o x = – 3 . 5 5

Desarrolla competencias 1.

Completa la tabla 27.1. Término

3.

Factoriza los siguientes binomios. a. 4x2 – 1 b. 36a2b4 – 144d8e10 c. 121x6y14 – 49x4y12 d. 225x14y16 – 144x8y80 e. 16x10y20z30 – 25a16n32 f. 36x400 – 64y200

4.

Describe los pasos desarrollados en la siguiente factorización.

Raíz cuadrada

x12 64a6 100x6 144y12x4 169x8y10 625x4y8z12

121x2 – 154x + 49 – 81y4 + 90y2 – 25 = (121x2 – 154x + 49) – (81y4 – 90y2 + 25) = (11x – 7)2 – (9y2 – 5)2 = (11x – 7 + 9y2 – 5)[11x – 7 – (9y2 – 5)] = (11x + 9y2 – 12)(11x – 9y2 – 2)

Tabla 27.1 Razonamiento lógico

2.

Halla y corrige el error cometido al factorizar los polinomios. a.

25x16y64 – 16a36n4 = (5x4y8 – 4a6n2) (5x4y8 + 4a6n2)

b.

36m12n14 – 64x4y2 = (18m6y7 – 32x2y) (18m6y7 + 32x2y)

5.

126

Factoriza las siguientes expresiones. a. (4x – 3)2 – (5x + 3)2 b. (5x – 3)2 – (6x + 5)2 c. (6x – 3)2 – (12x + 7)2 d. (7x – 3)2 – (10x + 9)2

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6.

7.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

Factoriza los siguientes polinomios. a. x2 + 10x + 25 – 64a2 b. –49 + 25a4 + 40a3 + 16a2 c. 100a2 + 80a + 16 – 49n2 + 210n – 225 d. 49p2 – 42p + 9 – 144q2 – 120q – 25 e. 16x2 + 24x + 9 – 25x4 + 10x3 – x2 f. 4a4 – 20a2 + 25 – 16b2 + 16b – 4

9.

Determina las dimensiones de un rectángulo que tenga área igual a la de la región coloreada de las siguientes figuras. a. x 4

x 2

Resuelve las siguientes ecuaciones. a. x2 = 9 b. 4y2 – 121 = 0 c. y3 = 25y d. 15m3 – 60m = 0 e. (az – 3)x2 – (az – 3) = 0 f. –(x – 5)2 = –4x2

x

x

b.

4

Olimpiadas

Matemáticas Selecciona la respuesta correcta.

8.

4

ABCD es un cuadrado de 12 dm de lado. La distancia del punto N a M es 8 dm. Cada región sin color representa triángulos isósceles iguales o cuadrados iguales. El área de la región coloreada es: a. 72 dm b. 28 dm c. 80 dm d. 64 dm D N

x

x

c.

MC r

x

πx A

B

Figura 27.3

Figura 27.4

Resumen Factorización diferencia de cuadrados (a + b)(a – b) = a2 – b2 Producto notable

127

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Factorización

Tema Pensamiento

28 Factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

variacional

Ideas previas ¿Es la expresión 4a2 + 7a + 4 un trinomio cuadrado perfecto? ¿Por qué?

Analicemos cómo podemos factorizar el trinomio x4 + 4x2 + 16. Observemos que x4 + 4x2 + 16 no es trinomio cuadrado perfecto porque el término 4x2 no es el doble producto entre la raíz de x4 y 16, pero podemos convertirlo en uno adicionando y sustrayendo el mismo término, tal como se muestra a continuación. x4 + 4x2 + 16

Consideramos el trinomio.

x4 + 4x2 + 4x2 + 16 – 4x2

Adicionamos y sustraemos 4x2 en el polinomio para obtener el segundo término de un cuadrado perfecto, es decir, 4x2 + 4x2 = 8x2.

(x4 + 8x2 + 16) – 4x2

Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

(x2 + 4)2 – 4x2

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

(x2 + 4 – 4x)(x2 + 4 + 4x)

Factorizamos la diferencia de cuadrados.

Por tanto, x4 + 4x2 + 16 = (x2 + 4 – 4x)(x2 + 4 + 4x).

Para factorizar completando un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 1. Verificamos si el trinomio es trinomio cuadrado perfecto. Si lo es, factorizamos. 2. Si no es trinomio cuadrado perfecto, adicionamos y sustraemos el mismo término para formar un trinomio cuadrado perfecto y otra cantidad negativa. 3. Agrupamos y factorizamos el trinomio cuadrado perfecto. 4. Factorizamos la diferencia de cuadrados que resulta. Ejemplo 1

Factoricemos el polinomio x4 + 3x2 + 4. Solución

Para que el trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto, necesitamos tener, en el segundo término, el monomio 4x2, porque x4 + 3x2 + 4 x2

2 4x2

Entonces, x4 + 3x2 + 4 = x4 + 3x2 + x2 – x2 + 4 = (x4 + 3x2 + x2 + 4) – x2

128

Adicionamos y sustraemos x2. Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

= (x4 + 4x2 + 4) – x2

Simplificamos.

= (x2 + 2)2 – x2

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (x2 + 2 – x) (x2 + 2 + x)

Factorizamos la diferencia de cuadrados.

= (x2 – x + 2) (x2 + x + 2)

Organizamos cada trinomio con respecto a x.

Por tanto, x4 + 3x2 + 4 = (x2 – x + 2) (x2 + x + 2).

Ejemplo 2

Vínculo web

Factoricemos los siguientes trinomios. a. b.

Ingresa a la página http:// quiz.uprm.edu/tutorial_es/ Cuad_Eq/cuadeq_right.xml y practica resolviendo otros ejercicios.

a8 – 16a4 + 36 64a4 – 169a2b4 + 81b8

Solución

a.

Como a8 – 16a4 + 36 no es un trinomio cuadrado perfecto, entonces: a8 – 16a4 + 36 = a8 – 16a4 + 36 + 4a4 – 4a4 Adicionamos y sustraemos 4a4 para tener un trinomio cuadrado perfecto.

= (a8 – 12a4 + 36) – 4a4

Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

= (a4 – 6)2 – 4a4

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (a4 – 6 – 2a2)(a4 – 6 + 2a2) Factorizamos la diferencia de cuadrados. = (a4 – 2a2 – 6)(a4 + 2a2 – 6) Ordenamos términos con respecto a a. Así, la factorización de a8 – 16a4 + 36 = (a4 – 2a2 – 6)(a4 + 2a2 – 6). b.

Como 64a4 – 169a2b4 + 81b8 no es un trinomio cuadrado perfecto, lo completamos de la siguiente manera: 64a4 – 169a2b4 + 81b8

Consideramos el trinomio.

= 64a4 – 169a2b4 + 81b8 + 25a2b4 – 25a2b4 Adicionamos y sustraemos 25a2b4. = (64a4 – 169a2b4 + 81b8 + 25a2b4) – 25a2b4 Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

= (8a2 – 9b4)2 – 25a2b4

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (8a2 – 9b4 – 5ab2)(8a2 – 9b4 + 5ab2)

Factorizamos la diferencia de cuadrados.

= (8a2 – 5ab2 – 9b4)(8a2 + 5ab2 – 9b4)

Ordenamos términos con respecto a a.

Así, 64a4 – 169a2b4 + 81b8 = (8a2 – 5ab2 – 9b4)(8a2 + 5ab2 – 9b4). Existen binomios que son sumas de cuadrados, los cuales se pueden factorizar aplicando el procedimiento de factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Veamos.

129

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 3

Factoricemos la suma de cuadrados 81x12 + 64. Solución

81x12 + 64 = 81x12 + 64 + 144x6 – 144x6

Adicionamos y sustraemos 144x6.

= (81x12 + 64 + 144x6) – 144x6

Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

= (9x6 + 8)2 – 144x6

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (9x6 + 8 – 12x3)(9x6 + 8 + 12x3) Factorizamos la diferencia de cuadrados. = (9x6 – 12x3 + 8)(9x6 + 12x3 + 8) Ordenamos términos con respecto a x.

Desarrolla competencias Razonamiento lógico

1.

Describe los pasos desarrollados en la siguiente factorización. 9x2 – 24x – 16y2 + 40y – 9 = (9x2 – 24x) – (16y2 – 40y) – 9 = (9x2 – 24x + 16 – 16) – (16y2 – 40y + 25 – 25) – 9 = (9x2 – 24x + 16) – 16 – (16y2 – 40y + 25) + 25 – 9 = (9x2 – 24x + 16) – (16y2 – 40y + 25) + 25 – 9 – 16 = (9x2 – 24x + 16) – (16y2 – 40y + 25) = (3x – 4)2 – (4y – 5)2 = (3x – 4 + 4y – 5)(3x – 4 – 4y + 5) = (3x + 4y – 9)(3x – 4y + 1)

2.

Escoge el monomio que debe adicionarse o sustraerse para que el trinomio dado sea un trinomio cuadrado perfecto. a.

4x2 + 4xy + 9y2

d. 9x2 – 36xy + 25y2

6xy 4xy 8xy b.

4x2 – 20xy + 16y2

15xy –21xy 6xy e.

y4 + 4y2 + 16 –4y2 8y2 4y2

x4 – 10x2 + 9

f.

x8 – 14x4 + 25 10x4 –4x4 4x4

130

36x2 + 30x + 9 8x 6x 36x

h. 121x4 – 300x2 + 169

6x2 4x2 –4x2

12xy –12xy 4xy c.

g.

–14x2 14x2 28x2 i.

36x4 – 40x2y2 + 9y4 6x2y2 4x2y2 –6x2y2

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

3.

4.

5.

a.

Factoriza los siguientes polinomios. a. 16x4 + 20x2 + 49 b. x4 + 7x2 + 16 d. 81x8 – 22x4 + 1 c. x4 + 15x2 + 64 e. 64x4 + 12x2y2 + y4 f. 25x4 + 51x2 + 36 h. 4x8 – 64x4 + 144 g. x4 – 19x2 + 25 i. 9x12 – 85x6y6 + 100y12 j. 16y4 + 20y2x2 + 49x4

b.

x2 + 4x + 4

x2 + 4x + 4

x2 + 4x + 4

x2 + 4x + 4

25x2 + 20x + 4

Determina las dimensiones de los lados de un rectángulo si las expresiones dadas representan su área. b. x2 + 20x + 64 a. x2 – 14x + 24 d. x2 + 10x + 25 c. x2 + 22x + 72 f. x2 – 16x + 55 e. x2 – 6x + 5 h. x2 – 40x + 175 g. x2 + 24x + 63 i. x2 – 30x + 200 j. 16x2 – 40x – 25y2 – 60y – 11 Factoriza cada binomio como un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. b. 64a4 + b4 a. x8 + 324y8 c. 144 + 36c16 d. 81d4 + 64c4 e. 81d4 + 64c4 f. 9x4 + 576y4 g. 25x8 + 100 h. 4 + 625x8

c.

r

Figura 28.1

7.

Expresa el perímetro de cada polígono como un producto. a. 49 c8

68 c4m2n2

144 m4n4 Pensamiento crítico y resolución de problemas

6.

64m 4

b.

Determina una expresión para el área de la región coloreada y escribe las dimensiones de un rectángulo que tenga igual área. Ten en cuenta que el área del cuadrado más grande de los literales a. y b. es 36x2 + 36x + 9.

17

76m 2 32

Figura 28.2

Resumen Para factorizar el trinomio 25x2 + 80x + 28, procedemos de la siguiente manera. 25x2 + 80x + 28 no es un trinomio cuadrado perfecto. Para convertirlo en uno, adicionamos y sustraemos 64. Entonces, 25x2 + 80x + 28 = 25x2 + 80x + 64 – 64 + 28 = (5x + 8)2 – 36 = (5x + 8 + 6)(5x + 8 – 6) = (5x + 14)(5x + 2) Por tanto, la factorización de 25x2 + 80x + 28 = (5x + 14)(5x + 2).

131

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Factorización

29 Factorización de la diferencia

Tema

o suma de cubos perfectos

Pensamiento

variacional

Ideas previas ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 4913 cm3?

Consideremos un cubo de arista a cuyo volumen es a3. Si eliminamos un cubo de arista b (b < a) de una esquina (ver figura 29.1), podemos representar el volumen del cuerpo que resulta con la expresión a3 – b3.

a b

Además, podemos descomponer el volumen del cuerpo resultante en tres sólidos cuyos volúmenes sean ab(a – b), a2(a – b) y b2(a – b) (ver figura 29.2).

b a

Ahora, podemos expresar el volumen del cuerpo resultante (a3 – b3) como la suma de los volúmenes de los sólidos anteriores. Veamos. a3 – b3 = a2(a – b) + ab(a – b) + b2(a – b) Figura 29.1

a

Sacando factor común (a – b), tenemos que a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2). Esta expresión, por ser un producto, es la factorización de a3 – b3.

b

Para factorizar una diferencia de cubos, realizamos lo siguiente: 1. Extraemos la raíz cúbica de cada término y formamos una diferencia entre ellos. 2. Formamos un trinomio con la raíz cúbica del primer término elevada al cuadrado más el producto de las dos raíces cúbicas más el cuadrado de la segunda raíz cúbica. Es decir, a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

a a–b a–b a–b

b

Figura 29.2

Ejemplo 1

Factoricemos el binomio 125a3b3 – 1. Solución

Como (5ab)3 = 125a3b3 y 13 = 1, entonces: 125a3b3 – 1 = (5ab – 1)(25a2b2 + 5ab + 1). De manera similar, hallamos geométricamente una expresión para a3 + b3. Tomamos un cubo de arista a y le agregamos un cubo de arista b con (b < a) en una esquina. Podemos representar el volumen del cuerpo resultante con la expresión a3 + b3. Descomponemos este volumen en tres sólidos cuya suma es (a + b)(a2 – ab + b2). Así, obtenemos que a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).

Para recordar Un cubo perfecto es toda expresión que tiene raíz cúbica exacta, por ejemplo, la raíz cúbica de 27x6y12z21 es 3x2y4z7.

Para factorizar una suma de cubos, realizamos lo siguiente: 1. Extraemos la raíz cúbica de cada término y formamos una suma entre ellos. 2. Formamos un trinomio con la raíz cúbica del primer término elevada al cuadrado, menos el producto de las dos raíces cúbicas, más el cuadrado de la segunda raíz cúbica. Es decir, a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).

132

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Ejemplo 2

Para recordar

Factoricemos los siguientes binomios. 1 m3 n3 + m6 n6 b. x9 + y9 a. 27 Solución

a.

b.

( (

)

1 m3 n3 + m6 n6 = m3 n3 1 + m3 n3 27 27 = m3 n3 1 + mn 1 − 1 mn + m2 n2 3 9 3

)(

x9 + y9 = (x3)3 + (y3)3 = (x3 + y3)(x6 – x3y3 + y6)

Los resultados de la diferencia y suma de cubos se pueden obtener algebraicamente aplicando la propiedad distributiva. Es decir, para la diferencia:

)

Sacamos factor común.

(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3

Factorizamos empleando suma de cubos.

= x3 + (x2y – yx2) + (xy2 – xy2) – y3

Factorizamos empleando suma de cubos.

= x3 – y3

= (x + y)(x2 – xy + y2)(x6 – x3y3 + y6) Factorizamos empleando suma de cubos.

Ejemplo 3

Factoricemos la expresión (5x2 – y)3 – 64x3. Solución

El primer término es un binomio al cubo y la expresión completa es una diferencia de cubos. Por tanto, tenemos lo siguiente: (5x2 – y)3 – 64x3 = (5x2 – y)3 – (4x)3 = (5x2 – y – 4x)[(5x2 – y)2 + (5x2 – y)(4x) + (4x)2] = (5x2 – y – 4x)(25x4 – 10x2y + y2 + 20x3 – 4xy + 16x2)

Desarrolla competencias 1.

Determina cuáles monomios de la tabla 29.1 son cubos perfectos. En caso de serlo, halla su raíz cúbica. Monomio

¿Es cubo perfecto?

2.

Selecciona los binomios que están compuestos por cubos perfectos. a. 8 – 64x3 b. 121x3 – 27y9 c. 1000x3y3 – 125x3y6 d. 36x3 – 1 e. 216x3 – y3 f. 125m6 + n9

3.

Factoriza los siguientes binomios. a. x3 – 125 b. 8 – 343y6 c. 27x3y3 – 64x3y6 d. 343x6y9 – 216x12y15 e. 512x3 + 8y3 f. 729x6 – 27y9 g. 1000a3b3 + 125x3y6 h. 1331x6y9 + 216a12b15

Raíz cúbica

216 49x3 –27x6 343x9 1000x36 216m8 144x3 x51 –64x6 27x3y6 Tabla 29.1

133

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

4.

Factoriza las expresiones. a. (x – y)3 – 125 b. 125(x + y)3 – (5x)3 c. 64(m – n)3 – 8(m + n)3 d. x12 – (x2 – 1)3 e. y9 + (x3 – 1)3 f. (a – b)3 – a3 + b3 g. 2x5 – 2x2y3 – 2x3y2 + 2y5

6.

¿Es posible hacer alguna generalización sobre xn – yn para n impar? ¿Qué fórmula puede aplicarse en caso de ser posible?

9.

¿Es posible hacer alguna generalización sobre xn – yn para n múltiplo de 3? ¿Qué fórmula puede aplicarse en caso de ser posible?

Pensamiento crítico y resolución de problemas

Razonamiento lógico

5.

8.

Determina si cada expresión es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. a. (a2 – b2)(a – b) = (a – b)3 b. (x2 – 1)3 = (x2 – 1)2(x – 1)(x + 1) c. x3 – y3 ≠ (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) d. (x + y)(x2 + xy + y2) ≠ x3 + y3 e. 27(x + y)3 = 27x3 + 27y3 f. (x + y)(x3 + y3) = x4 + y4

10. Escribe una expresión factorizada para el volumen de cada sólido de la figura 29.3. a. b.

Escribe una expresión algebraica que represente cada caso. Si es una diferencia de cubos, factoriza la expresión. a. A un cubo de arista (a + b), se le retiran de sus esquinas cubos de arista 1. b. De un prisma rectangular de largo x, ancho x2 y alto x3, se retiran de sus esquinas cubos de volumen x3. c. De un cubo de volumen 64a3, se quitan cuatro cubos de volumen 128.

Trabajo colaborativo

7.

Discute con un compañero si es posible hacer una generalización sobre xn – yn para n par. ¿Qué fórmula puede aplicarse en caso de ser posible?

x

x+y

6x

y

c.

d.

2

2(x + 1)

x+1 2x + 1

Figura 29.3

Resumen Para factorizar el binomio 512x3 – 1728y3, procedemos de la siguiente manera. 512x3 – 1728y3 = (8x)3 – (12y)3 = (8x – 12y)[(8x)2 + (8x)(12y) + (12y)2] = (8x – 12y)(64x2 + 96xy + 144y2) = 4(2x – 3y)(64x2 + 96xy + 144y2)

134

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Factorización

Tema Pensamiento

variacional

30 Factorizaciónn de nexpresiones de la forma x ± y Ideas previas 9 6 ¿Cuál es el cociente de x + y ? 3 2 x +y

La factorización de binomios de la forma xn ± yn tiene dos casos especiales: xn – yn cuando n ∈ Z+ y xn + yn, para n impar o par múltiplo de 3. Para todo n entero positivo: xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + … + xyn – 2 + yn – 1) Para n impar o par múltiplo de 3: xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + … – xyn – 2 + yn – 1) Para expresiones de la forma xn – yn: •

Si n es par, podemos factorizarla como diferencia de cuadrados.

•

Si n es múltiplo de 3, podemos factorizarla como diferencia de cubos perfectos.

Para expresiones de la forma xn + yn, en donde n sea par múltiplo de 3, podemos factorizarlas como sumas de cubos perfectos. Ejemplo 1

Factoricemos los siguientes binomios. a. b. c.

a6 + b6 a18 + b18 x7 + y7

Solución

a.

Como a6 + b6 tiene la forma xn + yn con n par múltiplo de 3, entonces: a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4)

Escribimos como potencias de 3. Factorizamos suma de cubos.

Por tanto, la factorización de (a6 + b6) = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4). b.

Como a18 + b18 tiene la forma xn + yn con n par múltiplo de 3, entonces: a18 + b18 = (a6)3 + (b6)3 = (a6 + b6)(a12 – a6b6 + b12)

Escribimos la expresión como potencias de 3. Factorizamos.

= (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4)(a12 – a6b6 + b12) Usamos el resultado del literal a. Por tanto, la factorización de a18 + b18 = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4)(a12 – a6b6 + b12). c.

Como x7 + y7 tiene la forma xn + yn con n impar, entonces: x7 + y7 = (x + y)(x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6) 135

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Para recordar Por ahora el conjunto de los números reales no permite efectuar algunas factorizaciones. Más adelante conoceremos un conjunto más amplio denominado números complejos, en el que podremos hacer factorizaciones de sumas de potencias pares que no sean múltiplo de 3.

Ejemplo 2

Factoricemos los siguientes binomios. a. b.

x4 – 16 y6 – z6

Solución

a.

Inicialmente, sabemos que x4 – 16 es una diferencia de cuadrados y, como tal, la factorizamos, x4 – 16 = (x2 – 4)(x2 + 4) = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4) También, podemos interpretar la expresión x4 – 16 como una diferencia de la forma xn – yn para y = 2 y n = 4. Por tanto, podemos factorizarla así: x4 – 16 = x4 – 24 = (x – 2)(x3 + 2x2 + 4x + 8) Ahora, agrupando términos en x3 + 2x2 + 4x + 8, tenemos lo siguiente: x3 + 2x2 + 4x + 8 = x2(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 2)(x2 + 4)

Sacamos los factores comunes x2 y 4. Sacamos factor común (x + 2).

Podemos concluir que x4 – 16 = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4). b.

La expresión y6 – z6 podemos factorizarla de tres maneras. Primera. Si la consideramos como diferencia de cubos, la escribimos y6 – z6 = (y2)3 – (z2)3 y la factorizamos así: y6 – z6 = (y2 – z2)[(y2)2 + (y2)(z2) + (z2)2] = (y2 – z2)(y4 + y2z2 + z4) Como y2 – z2 es una diferencia de cuadrados, entonces... y6 – z6 = (y – z)(y + z)(y4 + y2z2 + z4) Segunda. Si la consideramos como diferencia de cuadrados, la escribimos y6 – z6 = (y3)2 – (z3)2 y la factorizamos así: y6 – z6 = (y3 – z3)(y3 + z3) Como y3 – z3 es una diferencia de cubos y (y3 + z3) una suma de cubos, tenemos lo siguiente: y6 – z6 = (y – z)(y2 + yz + z2)(y + z)(y2 – yz + z2) = (y – z)(y + z)(y2 + yz + z2)(y2 – yz + z2) Tercera. Si la consideramos como un binomio, la escribimos y6 – z6 = (y – z)(y5 + y4z + y3z2 + y2z3 + yz4 + z5) = (y – z)[y3(y2 + yz + z2) + z3(y2 + yz + z2)] = (y – z)(y3 + z3)(y2 + yz + z2) = (y – z)(y + z)(y2 – yz + z2)(y2 + yz + z2)

136

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias 1.

Completa la tabla 30.1. Término

Raíz quinta

5. Término

Raíz sexta

c6

(ab)5

4096

243m5

1 6 6 a b 729

1024(n – 5)5

(2x3)6

Expresa cada binomio como una adición o una sustracción de potencias iguales y aplica las fórmulas cuando sea posible factorizarlos. a.

216x6 – 27y6

b.

81x10 – 144y10

c.

49x8 – 64y8

d. 343a3b3 – 512x3y6 e.

7776(n6

– 1)

3125c–5

(x –

3b)6

6.

729(a + b)6 Tabla 30.1

2.

3.

Determina si cada expresión es factorizable.

Factoriza los siguientes binomios. a.

x4 – y4

b.

x3y3 – 1

c.

x4 – y8z12

d. a2b4c6 – x8y6z4

a.

x8 + y8

e.

x5y15 + z5

b.

x4 – y4

f.

a12c18 – x6y6

c.

y5 – z5

g.

m12n24 + x18y24

d.

y5 + z5

e.

x12 – y12

f.

9x10 + 25y10

g.

16x10 – 36y10

h. 125x21 + 343y6

Aplica las fórmulas de suma o diferencia de potencias iguales para factorizar las expresiones.

i.

32x10 – 243y15

j.

x13 – 1

k.

1 – x15

l.

1 + y7

a.

x5 + y5

m. 81x6 – 256y4

b.

m3 – n3

n. m11 + n11

c.

x8 – y8

ñ. (2x)5 + y5

d. x12 + y12 e. 4.

1000x9 + 1

x9 + y9

Aplica las fórmulas de suma o diferencia de potencias iguales para resolver los cocientes cuyo numerador sea factorizable. ¿Siempre es posible simplificar? Explica tu respuesta. a.

x 12 – y 12 x – y

b.

x 18 – y 18 x – y

c.

x 21 + y 21 x + y

d.

x 34 + y 34 x – y

e.

x 13 + y 13 x – y

f.

x 24 – y 24 x – y

o.

x12 + y12

p.

64a6 + 4096b6

q. x15 + y15 r.

x24 + y24

Razonamiento lógico

7.

Factoriza (x2 + y2) y (x2 – y2) mediante las fórmulas xn – yn = (x – y) ( xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … + x2yn – 3 + xyn – 2 + yn – 1) xn + yn = (x + y) ( xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – … + x2yn – 3 – xyn – 2 + yn – 1) ¿Son lógicas las respuestas?

137

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

8.

Analiza la siguiente frase y determina su valor de verdad. Justifica tu respuesta. “No se puede factorizar una suma de cuadrados perfectos”.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

9.

10. Se tiene un trozo de cartulina de forma rectangular cuya área es 16x2 y se recorta un sector rectangular de área 625y2. Determina una expresión para el área de la cartulina sobrante y escribe las dimensiones que puede tener un rectángulo de cartulina que tenga la misma área. 11. Analiza la siguiente secuencia. 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . . .

Dentro de un cubo de arista (2x – 3) que está lleno de agua, se sumerge otro cubo sólido, de arista (x – 4). Determina el volumen del agua que no ha sido desplazada por el cubo menor.

¿Se cumple que 1 + 2 + 3 + ... + 15 = ? 2x – 3

x–4 2x – 3

¿Para todo número natural n se cumple que 1 + 2 + 3 + ... + n = n( n + 1) ? 2

x–4 Figura 30.1

12. ¿Se cumple que 12 + 22 = (1 + 2)2? ¿13 + 23 = (1 + 2)3?

Resumen

Expresiones de la forma xn ± yn

si n es par

factorizamos como

diferencia de cuadrados

analizamos n

si n es múltiplo de 3

factorizamos como

diferencia de cubos perfectos

xn – yn

si n es entero positivo

factorizamos como

(x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … + x2yn – 3 + xyn – 2 + yn – 1)

si n es par múltiplo de 3

factorizamos como

suma de cubos perfectos

si n es impar

factorizamos como

(x + y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … + x2yn – 3 – xyn – 2 + yn – 1)

para factorizar

xn + yn analizamos n

138

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Factorización

Tema

31 Factorizaciones combinadas

Pensamiento

variacional

En qué se aplica La información es una herramienta fundamental en la vida moderna, tanto así que de su manejo y distribución dependerá la diferencia entre desarrollo y subdesarrollo. En cuanto a su distribución, se sabe que a la hora de transferirla, la seguridad es primordial. Desde la antigüedad, el álgebra ha sido la herramienta vital para encriptar la información, para codificarla, de manera que solo pueda ser leída por aquellos que conocen el código por descifrar.

Ideas previas Explica cómo se obtuvo el siguiente resultado. (x – y)4(x + y)2 – (x + y)4(x – y)2 = (x – y)2(x + y)2[(x – y)2 – (x + y)2] = (x – y)2(x + y)2[(x – y – x – y)(x – y + x + y)] = (x – y)2(x + y)2(–4xy)

En algunos casos, los polinomios presentados para factorizar no se ajustan a ninguno de los modelos estudiados hasta el momento. Sin embargo, se podrían factorizar mediante la combinación de ellos. Por ejemplo, factoricemos el polinomio a2 + m2 – 4b2 – 2am. Primero analizamos los términos que componen el polinomio y observamos que los términos a2 + m2 – 2am formen un trinomio cuadrado perfecto. Luego, procedemos a organizar nuevamente el polinomio y lo reescribimos. a2 + m2 – 4b2 – 2am = (a2 – 2am + m2 ) – 4b2 Asociamos los tres primeros términos y factorizamos el trinomio cuadrado perfecto. (a2 – 2am + m2 ) – 4b2 = (a – m)2 – 4b2 = (a – m)2 – (2b)2 Los dos términos son cuadrados perfectos, por tanto, factorizamos como una diferencia de cuadrados. (a – m)2 – (2b)2 = (a – m – 2b)(a – m + 2b) Por tanto, el polinomio factorizado es a2 + m2 – 4b2 – 2am = (a – m – 2b)(a – m + 2b)

Para factorizar un polinomio, analizamos lo siguiente: 1. ¿Hay factor común? 2. Si es binomio: • ¿Es diferencia de cuadrados? • ¿Es suma o diferencia de potencias iguales? 3. Si es trinomio: • ¿Es trinomio cuadrado perfecto? • ¿Es de la forma x2 + bx + c? • ¿Es de la forma ax2 + bx + c? 4. Si tiene más de tres términos: • ¿Se pueden agrupar términos para formar alguno de los casos anteriores? • ¿Se pueden adicionar y sustraer términos para llevarlo a algún caso anterior?

139

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Ejemplo 1

Factoricemos la expresión 4x4 – 324. Solución

4x4 – 324

Consideramos la expresión inicial.

= 4(x4 – 81)

Sacamos factor común monomio.

= 4(x2 + 9)(x2 – 9)

Usamos la diferencia de cuadrados.

= 4(x2 + 9)(x – 3)(x + 3)

Usamos la diferencia de cuadrados.

Por tanto, el polinomio factorizado es 4x4 – 324 = 4(x2 + 9)(x – 3)(x + 3). Ejemplo 2

Factoricemos el polinomio 5x3 + 15x2 – 5x – 15. Solución

5x3 + 15x2 – 5x – 15

Consideramos la expresión inicial.

= 5(x3 + 3x2 – x – 3)

Sacamos factor común monomio.

= 5[x(x2 – 1) + 3(x2 – 1)]

Asociamos términos y sacamos factor común en cada monomio.

= 5(x2 – 1)(x + 3)

Sacamos como factor común polinomio a (x2 − 1).

= 5(x + 1)(x – 1)(x + 3)

Usamos la diferencia de cuadrados.

Por tanto, el polinomio factorizado es 5x3 + 15x2 – 5x – 15 = 5(x + 1)(x – 1)(x + 3). Ejemplo 3

Factoricemos la expresión 3x3 – 3x2 – 18x. Solución

3x3 – 3x2 – 18x

Consideramos la expresión inicial.

= 3x(x2 – x – 6)

Sacamos como factor común a 3x.

= 3x(x – 3)(x + 2)

Factorizamos el segundo término que es un trinomio de la forma x2 + bx + c.

Por tanto, el polinomio factorizado es 3x3 – 3x2 – 18x = 3x(x – 3)(x + 2). Ejemplo 4

Factoricemos la expresión a3 − 3a2 − a + 3. Solución

a3 − 3a2 − a + 3

Consideremos la expresión inicial.

= (a3 − 3a2) + (−a + 3)

Asociamos términos.

= a2(a − 3) − (a − 3)

Sacamos factor común en cada binomio.

= (a2 − 1)(a − 3)

Sacamos factor común polinomio.

= (a − 1)(a + 1)(a − 3)

Factorizamos diferencia de cuadrados.

Por tanto, el polinomio factorizado es a3 − 3a2 − a + 3 = (a − 1)(a + 1)(a − 3). 140

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias 1.

Escribe un ejemplo de cada uno de los siguientes casos de factorización. a. c. e.

2.

Factor común Diferencia de cuadrados Suma de potencias iguales

b. Diferencia de potencias iguales d. Trinomio cuadrado perfecto f. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Realiza las indicaciones dadas para factorizar cada polinomio. a.

18x3 – 50x

Polinomio dado Factor común Diferencia de cuadrados

Tabla 31.1

b.

Polinomio dado

ax + ay – 4bx – 4by

Asociar por parejas Factor común en cada pareja Factor común polinomio Tabla 31.2

c.

x2 + 2xy + y2 – 1

Polinomio dado Asociar un trinomio Factorizar el trinomio cuadrado perfecto Factorizar la diferencia de cuadrados

Tabla 31.3 Razonamiento lógico

3.

Explica los pasos de dos procedimientos diferentes para factorizar el polinomio x4 – 81. x4 – 81

Polinomio dado

(x2 – 9)(x2 + 9) (x – 3)(x + 3)(x2 + 9) Tabla 31.4 x4 – 81

Polinomio dado

(x – 3)(x3 + 3x2 + 9x + 27) (x – 3)[x2(x + 3) + 9(x + 3)] (x – 3)(x + 3)(x2 + 9) Tabla 31.5

141

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Pensamiento crítico y resolución de problemas

4.

Determina todas las dimensiones de un prisma rectangular cuyo volumen está dado por la expresión 5x3 + 40.

5.

Factoriza cada polinomio por combinación de casos. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. ñ. o. p. q.

30ax – 40ay + 6bx – 8by x6 – 7x4 – 18x2 10x2 – 20x – 10xy + 20y 40x4 – 40x 1 – x12y12 6a2 + 36a + 48 108a3 + 4b3 (2a + b)2 + 3(2a + b) – (2a + b) (–m – n)4 + (–m – n)x x4 + ax3 + 8x + 8a 4x3y + 14x2y2 + 6xy3 1 – x8 3x5 – 48x p4(x + y) – q4x – q4y x2 + 2ax + a2 – 9b2 64 – 25m2 + 10m – 1 x3 – xy2 + yx2 – y3 + zx2 – zy2 2x4 + 2x

Utiliza esta plataforma para corroborar los resultados que obtuviste en el punto 5. Por ejemplo, para verificar la factorización del polinomio x6 – 7x4 – 18x2, ingresa a la página www.wolframalpha.com y en la zona central, digita Factor x^6-7x^4-18x^2 (ver figura 31.1). Da clic en calcular, observa la casilla Resultado y compara (ver figura 31.2).

Figura 31.1

Figura 31.2 Olimpiadas

Matemáticas 7. ¿Cuál es el valor de X y Y en la figura 31.3? X

Competencias en TIC

6.

11

Actualmente, existen diversas herramientas matemáticas que nos permiten obtener resultados numéricos y algebraicos de manera rápida. Una de ellas es WolframAlpha.

7

Y

Figura 31.3

Resumen Para factorizar un polinomio, podemos realizar lo siguiente: •

Hallar un factor común a todos los términos.

•

Si se trata de un binomio, determinar si es suma o diferencia de potencias iguales.

•

Si es un trinomio, determinar si es de la forma ax2 + bx + c, incluyendo el caso a = 1 o trinomio cuadrado perfecto.

•

Si ninguna de las situaciones anteriores se presenta, determinar si es posible su combinación.

142

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Factorización

Tema

32 Aplicaciones de la factorización

Pensamiento

variacional

Ideas previas ¿Cuál es la solución de la ecuación x2 + x – 12 = 0?

Existen situaciones cotidianas que involucran cantidades, que podemos representar con polinomios y cuya solución posiblemente dependa de la factorización y de la resolución de una ecuación. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1

Una persona con un peso de 100 kg tiene obesidad grado II con un índice de masa corporal (IMC) de 36. ¿Cuál es su estatura? Solución

La expresión para calcular el IMC de una persona, teniendo en cuenta su peso y espeso (kg) tatura, es IMC = . En este caso, contamos con el peso y el IMC y debealtura2 (m2 ) mos encontrar la altura (H). Así, al reemplazar en la expresión, tenemos 36 = 100 , que H2 equivale a la ecuación 36H2 = 100. Resolviendo lo anterior, tenemos lo siguiente: 36H2 – 100 = 0 Igualamos a cero la expresión. (6H – 10)(6H + 10) = 0 Factorizamos la diferencia de cuadrados. 6H – 10 = 0, o, 6H + 10 = 0 Igualamos a cero cada factor. –10 H = 10 ≈ 1,67 o H = ≈ − 1,67 Aplicamos la propiedad del producto 0. 6 6 El valor negativo de H no lo consideramos porque la estatura debe ser un número positivo, por tanto, la estatura de la persona es aproximadamente 1,67 metros. Ejemplo 2

Las dimensiones de un rectángulo son 20 cm y 23 cm. Al disminuir una cantidad específica cada dimensión, el área original se disminuye en 120 cm2. Hallemos las dimensiones del nuevo rectángulo. Solución

Representamos con x la cantidad que se disminuye a cada dimensión del rectángulo. Por tanto, las dimensiones del nuevo rectángulo son (20 – x) y (23 – x). Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho, entonces... Área del rectángulo original: 20 ⋅ 23 = 460 Área del nuevo rectángulo: (20 – x)(23 – x) = 460 – 120

Para recordar Propiedad del producto 0 Si a y b son números reales, tales que a × b = 0 , entonces, a = 0, b = 0 o ambos números son iguales a cero.

(20 – x)(23 – x) = 460 – 120 460 – 20x – 23x + x2 = 340 x2 – 43x + 120 = 0 (x – 40)(x – 3) = 0

Consideramos la ecuación. Efectuamos las operaciones. Simplificamos. Factorizamos el trinomio de la forma x2 + bx + c.

Por tanto, x = 40 o x = 3. Descartamos la solución x = 40, pues supera los valores de las medidas del rectángulo original. Entonces, la cantidad que se disminuyó a cada dimensión del rectángulo fue 3 cm, lo que nos arroja las nuevas medidas 17 cm y 20 cm. 143

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Ejemplo 3

Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba alcanzará una altura h que puede representarse por la ecuación h = Vot – 5t2, donde Vo es la velocidad inicial del objeto y t es el tiempo que tarda en el recorrido. (Hemos aproximado a 5 el valor 4,9, que es la mitad del valor de la gravedad). Si el objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s, ¿cuál será la altura máxima que alcanzará y en cuánto tiempo regresará al punto de partida? Solución

El objeto subirá hasta cierto punto y luego comenzará a bajar nuevamente hasta llegar al punto de partida. En ese momento, la altura será igual a cero. Así, obtenemos la siguiente ecuación. 0 = 40t – 5t2

Consideramos la ecuación.

0 = 5t(8 – t)

Sacamos factor común.

5t = 0 o 8 – t = 0

Aplicamos la propiedad del producto 0.

t=0o t=8

Solucionamos cada ecuación.

t = 0 representa el momento en que el objeto es lanzado hacia arriba y t = 8 el momento en que el que el objeto regresa al punto de partida. Por tanto, transcurren 8 segundos antes de que el objeto vuelva al suelo. El objeto empleará el mismo tiempo en subir y alcanzar su altura máxima que en bajar y regresar al punto de partida. Por tanto, el objeto gastará 4 segundos en alcanzar su altura máxima. h = 40(4) – 5(4)2

Reemplazamos t = 4 en h = Vot – 5t2.

h = 80

Simplificamos.

El objeto alcanza su altura máxima de 80 metros a los 4 segundos de haberse lanzado hacia arriba y regresa a los 8 segundos a su punto de partida.

Desarrolla competencias Razonamiento lógico

1.

Se lanza una pelota de tenis verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 50 m/s. Selecciona la expresión algebraica que representa la altura h alcanzada por la pelota después de t segundos. a. h = 35t – 5t2 b. h = 50t – 5t3 c. h = 5t – 50t2 d. h = 50t – 5t2

2.

Considera el punto 1. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota y cuál es el tiempo que tarda en regresar al punto de partida?

3.

Escribe la ecuación que modela cada situación. a. Un rectángulo mide 10 cm más de largo que de ancho y su área es 75 cm2.

144

b.

El producto de dos números enteros impares consecutivos es 255.

c.

La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 17.

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4.

Explica por qué el rectángulo y el triángulo rectángulo de las figuras tienen igual área. a.

7.

Determina las dimensiones de un rectángulo que tenga área igual a la región coloreada de cada figura. a. b. 5x

10x

x+3

8x – 4

2,5 1,6

b.

2x

c.

x+3

4x – 2

5.

Figura 32.1

Determina las dimensiones de un rectángulo y de un triángulo rectángulo que tengan área igual a cada expresión dada. a.

A = 2x2 + 4x – 6

b.

A = 12x2 + 18x + 6

c.

A = 30x2 – 4x – 2

Figura 32.2

8.

d. A = 12x2 – 18x + 6 e.

4x

A = 30x2 + 22x – 24

El cilindro exterior del rodillo de la figura 32.3 tiene 4 cm de largo y su diámetro es 4 cm más largo que el del rodillo interno. Si el volumen del cilindro externo es 48π cm3 más que el del cilindro interno, ¿cuáles son las dimensiones y los volúmenes de cada cilindro?

Pensamiento crítico y resolución de problemas

6.

La base de un triángulo es 10 cm más larga que la altura. Si el área es 28 cm2, ¿cuáles son las longitudes de la base y la altura?

Figura 32.3

Resumen Podemos solucionar problemas de aplicación planteando y resolviendo una ecuación. Aunque tenemos diferentes maneras de resolverlos, destacamos una que consiste en igualar el polinomio a cero y factorizarlo. Esto significa que uno de los factores debe ser cero y de allí se obtienen las soluciones de acuerdo con el contexto del problema.

145

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Evalúa tus

competencias

Competencias en el Manejo de la información

En jardinería, las formas en que se utiliza la geometría pueden llegar a ser confusas a medida que aumenta la complejidad (ver figura 4.1). Sin embargo, un jardín contenido en un balcón crece y se ve mejor si hacemos uso de ella. Actualmente, tanto los jardineros caseros como los profesionales están de acuerdo en que es clave conocer los principios básicos geométricos de perímetro y área.

C

Adaptado de [en línea] [citado el 28 de julio de 2014].

F

F

E

E

A

A

A

D B

Interpretación y representación 1.

2.

3.

4.

Todo el diseño se llevará a cabo en B. Entonces, si la expresión que determina el área de B está dada por 100x2 – 20x + 1, ¿la expresión 10x –1 corresponde a una de sus dimensiones? El diseño de este parque incluye dos fuentes circulares gemelas representadas por la zona E. Cada fuente consta de una plataforma en cemento en forma de anillo (ver figura 4.2).

r R

Figura 4.2 146

A

Figura 4.1

El área de la plataforma se encuentra dada por la expresión πR2 – πr2. Con respecto a la expresión π(R + r)(R – r). se puede decir que corresponde a la factorización del área de la plataforma utilizando

Se desea sembrar una docena de tulipanes blancos, dos docenas de tulipanes amarillos y 3 docenas de tulipanes rojos. Es correcto afirmar que, para lograr el mayor número de grupos con igual cantidad de tulipanes, cada grupo debe tener a. 4 tulipanes blancos, 8 amarillos y 12 rojos. b. 2 tulipanes blancos, 3 amarillos y 4 rojos. c. 1 tulipán blanco, 2 amarillos y 3 rojos. d. 3 tulipanes blancos, 6 amarillos y 9 rojos. Si se deben instalar 62 aspersores, ¿es posible instalar una misma cantidad de estos en cada una de las secciones marcadas con A?

C

a.

factor común monomio y diferencia de cubos perfectos. b. factor común monomio y diferencia de cuadrados perfectos. c. factor común monomio y trinomio cuadrado perfecto. d. factor común polinomio y diferencia de cuadrados.

Razonamiento y argumentación 5.

Si el área de cada zona A se encuentra dada por la expresión 2x4 + 6x3 + 10x2, ¿qué expresión determina sus dimensiones? a.

x4(1 + 3x + 5x2)

b.

2x4(1 + 3x + 5x2)

c.

x2(x4 + 3x + 5)

d. 2x2(x2 + 3x + 5) 6.

Las dos zonas C del diseño son exclusivas para césped. Si su área se encuentra dada por la expresión x2 + 9x + 20, ¿qué expresión determina sus dimensiones? a.

(x + 1)(x + 20)

b.

(x + 20)(x + 2)

c.

(x + 4)(x + 5)

d. (x + 9)(x + 1)

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7.

8.

Si la zona C se modificara manteniendo su forma rectangular y su nueva área estuviera representada por la expresión 5x2 + 9x – 2, ¿qué expresión determinaría sus dimensiones? a. (x + 1)(5x – 1) b. (x – 1)(5x + 1) c. (x + 2)(5x – 1) d. (x – 1)(5x – 1) Para el descanso de las personas, se piensa ubicar en la zona F dos grandes bloques embaldosados en forma de paralelepípedo de base rectangular, en los cuales las personas puedan sentarse. Si su volumen se encuentra dado por la expresión 1 – x3, es posible afirmar que su altura y el área de la base están dados, respectivamente, por las expresiones a. b. c. d.

9.

x – 1; 1 – x; x + 1; 1 + x;

la expresión 1 + x5, es posible afirmar que el área de la base y su altura están dados, respectivamente, por las expresiones 1 + x. a. x4 – x3 + x2 – x + 1; 4 3 2 b. x + x + x + x + 1; 1 + x. 1 – x. c. x4 – x3 + x2 – x + 1; 4 3 2 d. x – 2x + 2x – 3x + 1; 1 – x. Formulación y ejecución 10. Una de las áreas más importantes y más características de los diseños del arquitecto es la zona D. Esta zona consiste en una enorme fuente de base rectangular y de 2 caras cuadradas, tal como se observa en la figura 4.3.

1 + x + x2. 1 + x + x2. 1 – x + x2. 1 + x – x2.

Figura 4.3

Debido a un problema de presupuesto, se decidió modificar el volumen de los bloques de la zona F. Si el volumen de los bloques se representa ahora por

Punto

Si el volumen de la fuente se encuentra dado por la expresión x3 – x2 – x + 1, halla las dimensiones de la fuente.

Desempeño

Sí

1.

Identifico el máximo común divisor de dos o más números.

2.

Reconozco cuándo un número es divisor de otro.

3.

Identifico un trinomio cuadrado perfecto como el área de un cuadrado.

4.

Identifico factor común y diferencias de cuadrados en la factorización de un polinomio.

5.

Hallo el factor común de un polinomio.

6.

Identifico cuándo un trinomio es de la forma x2 + bx + c y lo factorizo.

7.

Identifico cuándo un trinomio es de la forma ax2 + bx + c y lo factorizo.

8.

Reconozco una diferencia de cubos de una suma de cubos y la factorizo.

9.

Reconozco expresiones de la forma xn + yn o xn – yn y las factorizo.

10.

Resuelvo problemas que involucran la factorización combinada de un polinomio.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

147

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Fracciones algebraicas

Tema

33 Fracciones algebraicas

Pensamiento

variacional

Ideas previas 2 . 3 3 3 2. Determina si las siguientes igualdades son correctas: – = ; – 3 = –3 . 7 –7 7 7 1. Halla dos fracciones equivalentes a la fracción –

Así como los números enteros permiten la construcción de los números racionales, los polinomios fundamentan la construcción de las fracciones algebraicas. Una fracción algebraica en la variable x es una expresión de la forma P ( x ) , en donQ( x ) de P(x) y Q(x) son polinomios, tal que Q(x) ≠ 0. Este cociente no está definido para aquellos valores de x, en donde Q(x) = 0. Ejemplo 1 2 1 , x + 2 x + 1 , x2 + 1 y 3 x 5 − 4 x 4 − x 2 + 1 son fracciones algebraicas. 2x , 4 4 x2 − 5x + 1 x x3 − 1

Ejemplo 2

x2 + 3x + 2 P( x ) Hallemos los valores de x para los cuales la fracción algebraica = 2 Q( x ) x + x −6 no está definida. Solución

Para hallar los valores de x para los cuales la fracción algebraica no está definida, hacemos Q(x) = 0, es decir, x2 + x – 6 = 0. (x + 3)(x – 2) = 0

Factorizamos el trinomio.

x+3=0ox–2=0

Igualamos a cero cada factor.

x = –3 o x = 2

Despejamos x y obtenemos los resultados.

Los valores de x para los cuales la fracción algebraica no está definida son x = –3 y x = 2, es decir, el dominio de la fracción algebraica es R – {–3, 2}.

Para recordar El dominio de una fracción algebraica es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que hacen el denominador cero.

Recordemos que un mismo número tiene varias representaciones en los números racionales. n = − n ; 3. Simplificación: am = m . 1. De acuerdo con el signo: m −m an n − n = −n = n . p m m m −m 4. Si = , entonces, pn = qm. q n m am 2. Complificación por a ≠ 0; = . n an De manera análoga, las representaciones y la propiedad en el numeral 4 se cumplen para las fracciones algebraicas, es decir, podemos reescribirlas según los signos y simplificarlas o complificarlas para tener fracciones algebraicas equivalentes. 148

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Dada la fracción algebraica

P( x ) , tenemos lo siguiente: Q( x )

a.

P( x ) −P( x ) = , Q(x) ≠ 0. Q( x ) − Q( x )

c.

T ( x )P( x ) P( x ) = para T(x) ≠ 0 y Q(x) ≠ 0. Q( x ) T ( x ) Q( x )

d.

P( x ) R( x ) = si y solo si P(x)S(x) = Q(x)R(x) para Q(x) ≠ 0 y S(x) ≠ 0. Q( x ) S( x )

b. −

P( x ) P( x ) −P( x ) = = , Q(x) ≠ 0. − Q( x ) Q( x ) Q( x )

Para recordar Dos fracciones algebraicas pueden ser equivalentes, pero eso no significa que sean iguales. Por ejemplo, la expresión constante 1 siempre está definida, mientras que la expresión −( x − 1) no está definida 1− x en x = 1.

Ejemplo 3

Hallemos fracciones algebraicas equivalentes a las dadas mediante el uso de signos. a.

2x + 3 para x ≠ 2. 2− x

b.

−

x −1 para x ≠ 1. 1− x

Solución

a.

b.

2x + 3 podemos reescribirla como 2− x −(2 x + 3) − 2 x − 3 − 2 x − 3 . Todas ellas son fracciones algebraicas = = −(2 − x ) −2 + x x −2 2x + 3 equivalentes a . 2− x x −1 −( x − 1) La fracción algebraica − podemos reescribirla como o 1− x 1− x x −1 . Desarrollando los paréntesis en cada caso, tenemos lo siguiente: −(1 − x ) −( x − 1) − x + 1 1 − x x −1 x −1 x −1 = = = 1; = = = 1. 1− x 1− x 1− x x −1 −(1 − x ) −1 + x x −1 . Todas las fracciones algebraicas deducidas equivalen a − 1− x La fracción algebraica

Ejemplo 4

Determinemos si las siguientes fracciones algebraicas son equivalentes. 3 x + 4 3 x + 20 . y x +1 x +5 Solución

Aplicamos la propiedad fundamental de fracciones equivalentes (literal d.) para verificar si los productos obtenidos son iguales. (3x + 4)(x + 5) = 3x2 + 15x + 4x + 20 = 3x2 + 19x + 20 (x + 1)(3x + 20) = 3x2 + 20x + 3x + 20 = 3x2 + 23x + 20 Como los productos no son iguales, entonces, las dos fracciones algebraicas no son equivalentes. Para simplificar fracciones algebraicas, factorizamos cada polinomio en la fracción algebraica para tener factores iguales tanto en el numerador como en el denominador y, de esta manera, poder cancelarlos. 149

Para recordar Las fracciones algebraicas también se llaman expresiones racionales.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 5

Para recordar En la simplificación de fracciones algebraicas, no se simplifican sumandos, se simplifican factores. Es un error hacer: x2 + 5x + 6 . x2 + 2

Hallemos fracciones algebraicas equivalentes a las dadas mediante la simplificación. x3 + 2x2 − x − 2 x2 + 3x + 2

a.

b.

− 2 x2 + 5x − 2 x2 + x − 6

Solución

x3 + 2x2 − x − 2 x2 + 3x + 2

a.

Consideramos la fracción algebraica.

=

( x 3 + 2 x 2 ) − ( x + 2) ( x + 2)( x + 1)

Agrupamos términos y factorizamos.

=

x 2 ( x + 2) − ( x + 2) ( x + 2)( x + 1)

Sacamos factor común x2.

( x + 2)( x 2 − 1) ( x + 2)( x + 1) ( x + 2)( x − 1)( x + 1) = ( x + 2)( x + 1) =x–1 =

− 2 x2 + 5x − 2 x2 + x − 6

b.

Sacamos factor común (x + 2). Solucionamos la diferencia de cuadrados. Simplificamos términos. x debe ser diferente de –1 y –2. Consideramos la fracción algebraica.

=

−(2 x 2 − 5 x + 2) x2 + x − 6

Factorizamos –1 en el numerador.

=

−( x − 2)(2 x − 1) ( x + 3)( x − 2)

Factorizamos los trinomios cuadráticos.

=

−(2 x − 1) x +3

Simplificamos términos.

=

1 − 2x x +3

Simplificamos términos. x debe ser diferente de –3 y 2.

Desarrolla competencias 1.

Determina cuáles expresiones son fracciones algebraicas. Justifica tus respuestas. a.

c. e.

x3 + x + 1 x2 1 x 3x4 + 2x + 1

b.

2.

x

Determina el dominio de cada fracción algebraica. a.

x2 + 3x – 2 x2 – 2x – 8

b.

3x2 + x 1 – 2x

c.

4x – 4 ( x – 2)2

d.

6 x2 – x – 2

e.

5x 10 x + x 2

f.

−x − 3 x + 2 x2 − 3x

1

x2 d. f.

x2 + x + 2 x2 ( x − 1) ( x − 1)2

150

3

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

3.

Completa cada expresión para que las fracciones algebraicas sean equivalentes. a.

䊏

8x = 12 x 6

b.

c.

x + x

e.

5x3 y2

g.

x2 – y2

h.

x2 – y2 = 2 x3 + y3 x – xy + y 2

2

x 1

d.

x2y = z

f.

=

䊏

䊏

䊏

–6 x 2

= 6x

䊏

䊏

–8 = x–y y–x

䊏

14 x 3 y

=

6.

1 2x

= x–y

䊏

c.

⎧ 16 x 3 y ⎫ , 42 , − 202 ⎬ ⎨ 5 2 35 x y ⎭ ⎩ 28 x y 7 x y

d.

{

Determina cuáles fracciones algebraicas son equivalentes. a.

3 x 2 y + 9 xy 6 x3

b.

y – 2x 3 xy 2

c.

9 x 2 y – xy 3 xy 2

d.

xy + 3 y 2x2

e.

9x – 1 3y

f.

3 xy 2 – 6 x 2 y 9 x2 y3

7.

a.

x –1 (2 x – 1)( x – 1)

b.

4 x 2 + 2 xy – 6 y 2 4 x2 – 4 y2

c.

6x2 + 7x – 3 3 xy – y

d.

3ab2 – 27 ax 2 ab + 3ax

e.

ax + ay + bx + by x+y

f.

ax 2 – ay 2 –( y 2 – x 2 )

g.

x3 + 4 x2 + x – 6 15 x 2 – 7 x – 2 h. x2 + x – 2 18 x 2 – 27 x + 10

Determina y explica el error cometido en cada caso. Halla la solución correcta. a.

–x – y –x – y = =– 1 2 2 + x y x y x + y ( – )( ) x – y

b.

x2 – 2x = –2 x = 1 2 x – 2 x + 1 –2 x + 1

c.

x4 + y4 = x2 + y2 x2 + y2

d.

x2 – 9 ( x + 3)( x + 3) x +3 = = 2 x + 5 x + 6 ( x + 3)( x + 2) x + 2

Tabla 33.1

5.

Determina cuáles conjuntos de fracciones algebraicas no son un conjunto de fracciones equivalentes. a. b.

– xy ⎧ yx – y 2 y ⎫ , , ⎨ ⎬ 2 2 2 – 2 2 x y x –4 x + 2 x ⎭ ⎩

{

4x – 4y –x – y , –1, x + y –4( y – x )

}

}

Simplifica las fracciones algebraicas.

Razonamiento lógico

4.

x +2 , 1 , 1 ( x + 3)( x + 2) x + 1 x + 3

Resumen P( x ) , en donde P(x) y Q( x ) Q(x) son polinomios, tal que Q(x) ≠ 0. La equivalencia entre expresiones racionales la obtenemos de las propiedades de equivalencia entre fracciones.

Una fracción algebraica o expresión racional es una expresión de la forma

Para simplificar fracciones racionales, factorizamos cada polinomio en la expresión racional para tener factores iguales en el numerador y denominador, y así poder cancelarlos.

151

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Fracciones algebraicas

Tema

34

Pensamiento

variacional

Operaciones con fracciones algebraicas Ideas previas 1. ¿Cuál es el resultado de

7 1 9 3 2 + − y + ? 4 4 4 5 7

2. ¿Qué número falta en la igualdad

䊏= 7

9 para que sea verdadera? 21

Multiplicación y división de fracciones algebraicas La multiplicación y la división de fracciones algebraicas se definen de igual modo que las operaciones con los números racionales. Recordemos cómo calculamos el producto y el cociente entre números racionales. Por ejemplo, operemos las fracciones 7 y 5 . 15 18 7 × 5 , multiplicamos numeradores y multiplicamos denomia. Para calcular 15 18 7 × 5 = 7×5 = 7 = 7 . nadores. Por tanto, 15 18 15 × 18 3 × 18 54 b.

7 ÷ 5 , multiplicamos el dividendo por el recíproco del divisor. 15 18 7 ÷ 5 = 7 × 18 = 7 × 18 = 7 × 6 = 42 . 15 18 15 5 15 × 5 5 × 5 25

Para calcular

Ahora, definamos estas operaciones para fracciones algebraicas. Para multiplicar dos fracciones algebraicas, factorizamos el numerador y el denominador de cada fracción. Luego, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Finalmente, simplificamos los factores comunes. A y C con B y D diferentes de cero, multiPara dividir dos fracciones algebraicas, B D plicamos el dividendo por el recíproco del divisor: A ÷ C = A × D para C ≠ 0. B D B C Ejemplo 1

Calculemos el producto de las siguientes multiplicaciones. a.

–2 x 3 y 10 x 4 × 2 2 2 5x 3x y

b.

x2 – 5x + 6 x +2 × 2 2x + 4 x –4

Solución

a.

Los términos de cada fracción ya están factorizados, entonces... –2 x 3 y –20 x 7 y 10 x 4 × = 5x2 3x2 y2 15 x 4 y 2 3 = –4 x 3y

Para recordar Factorizar significa expresar una expresión como producto de factores.

Por tanto,

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Simplificamos.

–2 x 3 y 10 x 4 –4 x 3 × = para y ≠ 0 y x ≠ 0. 3y 5x2 3x2 y2 152

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

b.

x2 – 5x + 6 x + 2 × 2 2x + 4 x –4

Consideramos la expresión inicial.

( x – 2)( x – 3) x +2 = × 2( x + 2) ( x – 2)( x + 2)

Factorizamos los términos de cada fracción algebraica.

( x – 2)( x – 3)( x + 2) 2( x + 2)2 ( x – 2) x –3 = 2( x + 2) =

Por tanto,

am × an = am + n

Simplificamos.

x2 – 5x + 6 x + 2 x –3 para x ≠ 2 y x ≠ –2. × 2 = 2x + 4 x – 4 2( x + 2)

Vínculo web

Calculemos el cociente de las siguientes divisiones. x3 – 1 x2 + x + 1 b. ÷ 2x x

1 x ÷ a. x + 1 x2 − 1 Solución

1 x ÷ x + 1 x2 − 1 2 1 × x −1 x +1 x

Multiplicamos

=

x2 – 1 ( x + 1) x

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí.

( x – 1)( x + 1) ( x + 1) x x –1 = x =

b.

1 por el recíproco de x . x+ 1 x2 – 1

Factorizamos la diferencia de cuadrados del numerador. Simplificamos términos.

1 ÷ x = x –1 para x ≠ 1 y x ≠ –1. x + 1 x2 − 1 x

x3 – 1 x2 + x + 1 ÷ x 2x

Consideramos la expresión inicial.

=

x3 – 1 × 2 x 2x x + x +1

=

( x – 1)( x 2 + x + 1) x × 2 Factorizamos el numerador. 2x x + x +1

=

x ( x – 1)( x 2 + x + 1) 2 x ( x 2 + x + 1)

x –1 = 2 Por tanto,

Conoce otro ejemplo de división entre fracciones algebraicas ingresando a la página http://www. youtube.com/embed/ hiiPTn79CDg

Consideramos la expresión inicial.

=

Por tanto,

am ÷ an = am – n

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí.

Ejemplo 2

a.

Para recordar

Multiplicamos al dividendo por el recíproco del divisor.

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí.

Para recordar a , con a ≠ 0, b b tiene como recíproco , a a b porque × = 1 . b a

La fracción Simplificamos términos.

x3 – 1 x2 + x + 1 x – 1 ÷ = para x ≠ 0. 2x x 2

153

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Para recordar 1. a = – a b –b 2. – a = a = – a b –b b

Adición y sustracción de fracciones algebraicas Recordemos que para adicionar fracciones homogéneas en el conjunto de los números reales, dejamos el mismo denominador y adicionamos los numeradores. Por ejemplo: 7 + 3 = 10 = 2 . 15 15 15 3 Para adicionar o sustraer dos fracciones algebraicas, desarrollamos el mismo procedimiento que para adicionar o sustraer fracciones con números enteros. Para adicionar o sustraer dos fracciones algebraicas homogéneas, dejamos el mismo denominador y adicionamos o sustraemos los numeradores. Ejemplo 3

Hallemos la diferencia de

–2 x – 1 –3 x – 2 – . 2 ( x – 1)( x + 1) x –1

Solución

–2 x – 1 –3 x – 2 – 2–1 ( x – 1)( x + 1) x

Consideramos la expresión inicial.

=

–3 x – 2 –2 x – 1 – ( x – 1)( x + 1) ( x – 1)( x + 1)

=

–2 x – 1 – (–3 x – 2) ( x – 1)( x + 1)

=

–2 x – 1 + 3 x + 2 ( x – 1)( x + 1)

Aplicamos la propiedad distributiva.

=

x +1 ( x – 1)( x + 1)

Simplificamos el numerador.

=

1 ( x – 1)

Simplificamos la fracción.

Por tanto,

Factorizamos la diferencia de cuadrados.

Sustraemos los numeradores y dejamos el denominador común.

–2 x – 1 –3 x – 2 1 – = para x ≠ 1 y x ≠ –1. 2 ( x – 1)( x + 1) ( x – 1) x –1

Para adicionar o sustraer fracciones algebraicas heterogéneas... • Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. • Convertimos las fracciones algebraicas en fracciones homogéneas con denominador igual al mínimo común múltiplo hallado anteriormente. • Adicionamos las fracciones homogéneas: se adicionan los numeradores y se escribe el denominador común. Ejemplo 4

Hallemos el resultado de las siguientes operaciones. a.

2x + 4 x2 – 1 + 2x2 + 7x + 6 x2 – x – 2

154

b.

3x – 2 x2 – 2x – 3 x – 3

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Solución

a.

Para recordar

2x + 4 x –1 + 2 2x + 7x + 6 x – x – 2 2

2

Consideramos la expresión inicial.

=

2( x + 2) ( x – 1)( x + 1) Factorizamos cada sumando. + ( x + 2)(2 x + 3) ( x – 2)( x + 1)

=

x –1 2 + 2x + 3 x – 2

=

2( x − 2) ( x – 1)(2 x + 3) + (2 x + 3)( x − 2) ( x – 2)(2 x + 3)

=

2x – 4 2x2 + x – 3 + (2 x + 3)( x – 2) ( x – 2)(2 x + 3)

Aplicamos propiedad distributiva en el numerador.

=

2 x2 + 3x – 7 (2 x + 3)( x – 2)

Realizamos la adición de los numeradores.

Simplificamos.

El mínimo común múltiplo de dos polinomios es el producto de los factores comunes y no comunes de los dos polinomios, elevados al mayor exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo entre 4x2y y 6x3y2 es 12x3y2.

Usamos que el m.c.m. de (2x + 3) y (x – 2) es su producto y hallamos fracciones equivalentes.

2x + 4 x 2 –1 2 x2 + 3x – 7 + = para x ≠ –2, x ≠ 2 , 2 x 2 + 7 x + 6 x 2 – x – 2 (2 x + 3)( x – 2) x ≠ –1 y x ≠ – 3 . 2 Por tanto,

b.

x2

3x – 2 – 2x – 3 x – 3

3x = – 2 ( x – 3)( x + 1) x – 3 =

2( x + 1) 3x – ( x – 3)( x + 1) ( x – 3)( x + 1)

=

3 x – 2( x + 1) ( x – 3)( x + 1)

3x – 2 x – 2 ( x – 3)( x + 1) x –2 = ( x – 3)( x + 1) =

Por tanto,

Consideramos la expresión inicial. Factorizamos.

Usamos que el m.c.m. de (x – 3)(x + 1) y (x – 3) es (x – 3)(x + 1) y hallamos fracciones equivalentes.

Vínculo web Conoce otro ejemplo de adición y sustracción entre fracciones algebraicas ingresando a la página http://www.youtube.com/ embed/RTrzFF5aSwg

Realizamos la sustracción de los numeradores. Aplicamos la propiedad distributiva. Simplificamos la expresión del numerador.

x –2 3x – 2 = para x ≠ 3 y x ≠ –1. x – 2 x – 3 x – 3 ( x – 3)( x + 1) 2

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas Para resolver expresiones que involucran varias operaciones con fracciones algebraicas, primero resolvemos las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las adiciones y sustracciones. Ejemplo 5

y ⎤ x y y2 ⎞ ⎡⎛ x 2 x Simplifiquemos la expresión ⎢⎜ 2 – 2 ⎟ ÷ ⎛ – ⎞ ⎥ ⎛ + ⎞ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a b a b ⎝ ⎠ b ⎣ a ⎦

155

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Solución

y ⎞ ⎤⎛ x y⎞ y2 ⎞ ⎛ x ⎡⎛ x 2 – ⎜ ⎟⎠ ÷ ⎝ a – b ⎠ ⎥ ⎝ a + b ⎠ ⎢⎣⎝ a2 2 b ⎦

Consideramos la expresión inicial.

⎡⎛ x 2 b2 – y 2 a2 ⎞ ⎛ xb – ya ⎞ ⎤ ⎛ xb + ya ⎞ = ⎢⎜ ⎟⎠ ÷ ⎜⎝ ab ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ ab ⎟⎠ a2 b2 ⎦ ⎣⎝

Realizamos las operaciones indicadas en cada paréntesis.

⎡⎛ x 2 b2 – y 2 a2 ⎞ ⎛ ab ⎞ ⎤ ⎛ xb + ya ⎞ = ⎢⎜ ⎟⎠ × ⎜⎝ xb – ya ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ ab ⎟⎠ a2 b2 ⎣⎝ ⎦

Vínculo web Conoce otro ejemplo de operaciones combinadas ingresando a la página http://www.youtube.com/ embed/Me7T3mCCTcY

⎡ ab( xb – ya )( xb + ya ) ⎤ ⎛ xb + ya ⎞ =⎢ ⎥ ⎜⎝ ab ⎟⎠ a2 b2 ( xb – ya ) ⎣ ⎦

Realizamos la división indicada en el corchete.

Factorizamos y realizamos la multiplicación indicada en el corchete.

xb + ya ⎞ ⎛ xb + ya ⎞ =⎛ ⎝ ab ⎠ ⎝ ab ⎠

Simplificamos.

( xb + ya )( xb + ya ) a2 b2 ( xb + ya )2 = a2 b2 =

Realizamos la multiplicación.

Simplificamos el numerador.

( xb + ya )2 y ⎤ x y y2 ⎞ ⎡⎛ x 2 x Por tanto, ⎢⎜ 2 – 2 ⎟ ÷ ⎛ – ⎞ ⎥ ⎛ + ⎞ = para a ≠ 0 y b ≠ 0. b ⎠ ⎝ a b ⎠ ⎦⎝ a b ⎠ a2 b2 ⎣⎝ a

Desarrolla competencias 1.

Completa las tablas 34.1 y 34.2. ×

24x2

2. 2y 3x

䊏

–5 y 2 6 x2

b.

3 xy 3 15 y – 5 y 2 –3 x – 3 y 9 y2 x + 9 y3

3. Tabla 34.1

÷

Completa las fracciones con los denominadores que hacen verdadera cada expresión. Considera que las fracciones algebraicas son homogéneas. a. 5a2b – 3a2b = 2a

b2a – a2b

1 a 5b 4

a2b2 b2 – a2 4 ab b2 – 3ab + 2 a2 a 3b 2 Tabla 34.2

x+7

䊏

䊏

–

x+6

䊏

=

1 x 2 + 14 x + 49

Completa la tabla 34.3. Polinomio 1

Polinomio 2

x2 – 3x – 4

x2 – 8x + 16

x2 – 9

x3 – 27

x2 – 3x + 2

x2 – 2x + 1

121xy – 121x2

84xy – 84y2

x2 + 7x – 8

x2 – 2x + 1

4x2 – 8x + 4

x2 – 1

Mínimo común múltiplo

Tabla 34.3

156

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4.

Efectúa las multiplicaciones y divisiones. Simplifica las respuestas.

7x – 5 –x – 6 + 2x + 3 2x + 3

a.

x2 – 4 y2 x 4 y3 ⭈ 2 2 4x – 8y x y

e.

6x + 5 8x + 3 x +1 – – 3x – 1 3x – 1 3x – 1

b.

2x2 – 6x 2 x 2 + 3 x – 20 ⭈ 2 x 2 + x – 15 6 x 2 – 18 x

f.

x2 + 3x 2 + 3 x3 + 2x2 – x – 2 x + 2x2 – x – 2

c.

6 x + 45 3 x – 27 ⭈ x 2 – 81 5 x 2 + 25

g.

–

d.

x3 – y3 x + y ⭈ 2 x – y x + xy + y 2

h.

2 x – 10 x + 25 2 x – 5 4 x 2 – 25

i.

e.

−4 x + 14 –9 x – 12 ⭈ 9 x + 12 10 x + 35

a–b b+a + b a

f.

x – y x +3 ⭈ – x y x – 2 x – 15

j.

x + y x – y y – x

k.

2x2 + 2x x3 – 5x2 + 2 x 2 + 10 x x 2 – 25

l.

x2 – 4 x + 3 x –1 ÷ 2x 2

x + 1 x2 – 2x + 1 x – 1

m.

x – y x2 – y2 ÷ 2 x +1 x –1

x2 + 3x + 2 x 2 – 7 x + 12 – 2 2 x + 7 x + 10 x + 2 x – 15

n.

3

g. h. i. j.

k.

5.

d.

3

2

3ab2 – 27 ax 2 1 ⭈ 3 ab + 3ax

x3 y – x2 x2 y 4 – y2 ÷ 5 xy + 5 25 x 4 y

ñ.

x2 – 2x + 1 x –1 ÷ 2 x +1 x –1

6.

x2 – x + 2 5x2 + 9 x – 4 + x 2 + 10 x + 21 x 2 + 10 x + 21

3 xy x + 2 3 − y x + xy + y 2

x3

2 x +1 x –1 + + 22 x x –1 x +1 x –1

Efectúa las operaciones indicadas y simplifica.

l.

x 2 + 7 x + 12 x2 + 3x + 9 ÷ x 3 – 27 x 2 + x – 12

a.

⎛ 12 ⎞ ⎜⎝ x + 2 – x + 1⎟⎠

m.

m2 – 3mn + 2n2 m – 2n ÷ ma + mb – na – nb a+b

b.

2 1 – + 2 3 2 x2 + 5x + 3 2 x2 – x – 6 x – x –2

c.

x + 2⎛ x –1 ⎞ + 1 ⎟ x + 1 ⎜⎝ x 2 + 5 x + 6 x + 2⎠

Efectúa las adiciones y sustracciones. Simplifica las respuestas.

10 – 3 x ⎞ ⎛ ⭈⎜x – 2 + ⎝ x + 5 ⎟⎠

a.

x 2 + xy xy + y 2 + x2 – y2 x2 – y2

d.

2x2 – 2y2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎝ x + y + x – y ⎟⎠ 4x

b.

5x + 6 x2 + x +3 x +3

e.

⎛ x2 + y2 ⎞ – 2x⎟ ÷ ⎛ 1 – 1⎞ ⎜⎝ y⎠ y ⎠ ⎝x

c.

x3 y xy – 2 2 y x xy

f.

⎛x –1 2– ⎜⎝ x + 1 + x +

157

x⎞ ⎛ x x – 1⎞ ÷⎜ – ⎟ 2 ⎠ ⎝ x – 1 x + 2 ⎟⎠

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Razonamiento lógico

7.

10. Simplifica las expresiones.

Completa la tabla 34.4. Factor

Factor

5x 8

1 x

3x2 2x 8x 5x

4 x2 9x

x2 + 6 x + 9 ⎛ x x + 3⎞ ⎜⎝ x + 4 ÷ x + 4 ⎟⎠ x2

b.

x +5 ⎛ 5 x –1 ⎞ ÷⎜ × ⎟ 2 x – 4 ⎝ x – 1 25 x – 50 ⎠

c.

x 2 + 4 x + 4 ⎞ x 2 + 8 x + 16 ⎛ x 2 – 16 ÷ ⎜⎝ x 2 – 4 × 2 x – 8 ⎟⎠ x –2

d.

x–y ⎤ ⎡ x3 – y3 ⎢ ( x – y )3 × x 2 + xy + y 2 ⎥ ÷ ⎦ ⎣

Producto

5x x2 – 3x x2 – 5x + 6

x–6 6 x2 + 9 x

x–2 2

x 2 – 2 xy + y 2 ⎞ ⎛ x3 + y3 ⎜⎝ x – y × ⎟⎠ x+y

1 ( x + 4)(2 x + 3) x 2x2 – x – 3

1 3x + 6

x x +1

11. Escribe las fracciones

1

x + 1 3x + 3 4 x + 5 5x + 7 , , , , x +1 x +1 x +1 x +1

5x + 3 6 x + 5 7 x + 7 , y en los hexágonos de la x +1 x +1 x +1 figura 34.1, de manera que la suma de cualquier fila de tres hexágonos sea siempre la misma.

Tabla 34.4

8.

a.

Analiza y establece el error cometido. Halla la respuesta correcta. 8 – 2x4 ÷ (2 + x 2 ) 3 xy =

8 – 2x4 1 × 3 xy (2 + x 2 )

=

2( 4 – x 4 ) 1 × 3 xy (2 + x 2 )

Figura 34.1 Pensamiento crítico y resolución de problemas

2(2 + x 2 )2 1 = × 3 xy (2 + x 2 ) = 9.

12. Halla, en cada caso, la expresión para la razón entre el área total de la figura y el área coloreada. a.

2(2 + x 2 ) 3 xy

2x + 1

x +1 Completa la tabla 34.5 si A = 3 , x – x 2x + 1 1 B= yC = . x 2x2 – x – 1

6x + 6 2x + 4 9x + 18

B+A

b.

A–B A÷B

2x + 1

B×C

x

C+A

x 2x + 1

Tabla 34.5

158

Figura 34.2

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Competencias en TIC

Entretenimiento

13. Con el programa WolframAlpha puedes obtener los resultados de operaciones con fracciones algebraicas. Para ello, ingresa a la página http:// www.wolframalpha.com. En la sección central en blanco, digita Simplify rational expressions y da Enter.

14. Observa y analiza la secuencia de la figura 34.4. ¿Cuántos hexágonos azules habrá en el Paso 10?

Por ejemplo, para hallar el resultado de la primera x2 – 4 y2 x 4 y3 , en operación del punto 4, ⭈ 4x – 8y x2 y2 la sección Rational expression, digita ((x^2–4y^2)/ (x^2y^2))*((x^4y^3)/(4x–8y)), da Enter y obtendrás el resultado. Realiza un procedimiento similar para corroborar los resultados que obtuviste en los puntos 4. y 5.

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Figura 34.3

Figura 34.4

Resumen A C y son fracciones algebraicas, donde B ≠ 0, D ≠ 0 y C ≠ 0, entonces, definimos las siguientes B D operaciones: Si

1.

Multiplicación: A ⋅ C = AC . B D BD

2.

División:

3.

Adición de fracciones homogéneas: A + C = A + C B B B

4.

Sustracción de fracciones homogéneas: A − C = A − C B B B

5. 6.

A ÷ C = A ⋅ D = AD B D B C BC

Adición de fracciones heterogéneas: A + C = AD + BC B D BD Sustracción de fracciones heterogéneas: A – C = AD − BC B D BD 159

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Fracciones algebraicas

Tema Pensamiento

variacional

35 Fracciones algebraicas complejas Ideas previas Determina si la expresión

3x + 4 1 es correcta. = 3x + 4 x x

En algunas ocasiones, se presentan expresiones fraccionarias en las que, tanto en el numerador como en el denominador, se evidencian combinaciones de operaciones con fracciones algebraicas. Esta clase de expresiones se denominan fracciones algebraicas complejas o compuestas. Una fracción en la cual el numerador o el denominador (o ambos) son fracciones algebraicas o combinación de fracciones algebraicas (mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación o división) se denomina fracción algebraica compleja. Ejemplo 1

Las siguientes expresiones corresponden a fracciones algebraicas complejas. 1 + 1 x y 1 – 1 x y

x y + x y

a 1+

b c+ 1 d

Para operar y simplificar fracciones algebraicas complejas, interpretamos cada una de las operaciones planteadas y vamos operando de la misma manera que con fracciones numéricas. Analicemos algunos ejemplos. Ejemplo 2

1+ 1 2. Simplifiquemos la expresión 3 –1 2 Solución

Resolvemos primero la adición y la sustracción planteadas en el numerador y el deno3 1+ 1 2 2 minador de la fracción compleja, así: = . 3 –1 1 2 2

Realizamos la divisón entre la fracción del numerador y la fracción del denominador. 3 1+ 1 2 = 3 ÷ 1 = 3 × 2 = 3 . Por tanto, 2 = 3. 1 2 2 2 1 3 –1 2 2 160

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 3

Realicemos las operaciones indicadas y simplifiquemos la fracción algebraica. 1 x2 – 1 x – x + 1 x –1 Solución

En el numerador, no hay operaciones indicadas, entonces, comenzamos por la adición x + 1 del denominador de la fracción del denominador. x –1 x +

2 1 = x ( x – 1) + 1 = x – x + 1 x –1 x –1 x –1

Entonces, la fracción compleja original se transforma en la siguiente: 1 1 = 2 x –1 x2 – 1 x – x – 2 x – x +1 x + 1 x –1 x –1 Ahora, realizamos la división

x2 – 1 teniendo en cuenta que el denominador de x2 – x + 1 x –1

x2 – 1 –1 = 2 1 : x2 – 1 es 1, es decir: 2 x – x +1 x – x +1 x –1 x –1 x2

x2 – 1 ( x 2 – 1)( x – 1) x2 – 1 x2 – x + 1 x2 – 1 x –1 1 = ÷ = × = 1 x –1 1 x2 – x + 1 x2 – x +1 x2 – x + 1 x –1 Reemplazando este resultado en la fracción original, obtenemos lo siguiente: 1 1 = 2 2 ( x – 1)( x – 1) x –1 x – x – 1 x2 – x + 1 x + x –1 Ahora, resolvemos la sustracción planteada en el denominador de la fracción. x –

( x 2 – 1)( x – 1) x ( x 2 – x + 1) – ( x 2 – 1)( x – 1) = x2 – x + 1 x2 – x + 1

( x 3 – x 2 + x ) – ( x 3 – x 2 – x + 1) x 3 – x 2 + x – x 3 + x 2 + x – 1 2x – 1 = = = 2 x2 – x + 1 x2 – x + 1 x – x +1

161

En qué se aplica Las fracciones algebraicas complejas permiten modelar problemas de la vida real. Por ejemplo, el pago mensual p de la cuota por un préstamo de $ C a n meses, con un interés mensual de i% sobre el saldo, se calcula por medio de la siguiente expresión: p=

Ci

.

1 1− (1 + i )n

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Reemplazando este resultado en la fracción original, obtenemos lo siguiente: 1 1 = . 2x – 1 x2 – 1 x – x2 – x + 1 x + 1 x –1 Lo último que debemos realizar es la división. Debemos tener en cuenta que el 1 del nux2 – x + 1 1 1 = para merador lo expresamos como y así obtenemos 2x – 1 1 x2 – 1 x – 1 x≠1y x ≠ . x + 1 2 x –1

Desarrolla competencias 1.

Simplifica las fracciones numéricas. ⎛ ⎞ 1 + 3⎜ 1 ⎟ 2 ⎜ 3⎟ 2+ 1 ⎝ 4⎠ 3 b. a. 5 ÷ 2 1 1+ 6 3 1+ 1 2 1 3 3– 5 – 3 2 7 14 5 c. d. 2 ⎛ ⎞ 1 ⎜1 + 2 ⎟ 15 – 4 1⎟ 2⎜ 1 ⎝ 7⎠ 9 e.

2.

4 ×3 9 1+ 4 5 3

f.

d.

3.

a.

b.

c.

6 x x −2 2 x − 42 x 16 x 2 + x x 5 x2 − 1 x

4.

1− 2 x

a.

x – 1 8 4 1– 1 2 x

c.

x – 25 x 5 1– x

e.

4+ 9 x 81 16 – 2 x

a.

1– 1 1 x d. 1 – x2

f.

1

1+ 1–

2 – x −2 c.

162

b.

1+ 1 3 a 1+ 3 2 a

−3 − 1 x x 2 −2 + x

Efectúa las operaciones indicadas y simplifica las fracciones algebraicas complejas.

x3 − 4 16 x

(2 + x 2 )( x 3 − 1) 5x2

12 x ( x − 4)

1

Simplifica las fracciones algebraicas complejas.

21

1+ 2 3 1+ 1 3 Relaciona cada fracción algebraica compleja con su simplificación.

1−

1

b.

1 – 1 x x + 1 x 1 – 1 x x + 1 x

d.

2 – x2 x +1 x2 – 1 1 – 1 x –1 x +1

1+ 1 x

1+ 1 x 1 1– 1+ 2 x –4

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

e.

x –

f.

3x2

1+

x 2 – 42 x 1 1– 2 x +2

g.

i.

Competencias en TIC

x x +1 1– 1– 1 x 1 2– 1+ 1 x

1+

h.

5.

1

1+ 1 x 1 x + x – 1 x x – x +2 x 2 – 2 x –4 x

x –2 x +2

Las fracciones algebraicas complejas permiten aproximar números irracionales, por ejemplo, 1 . ¿Cuál es la fracción que aproxiπ ≈3+ 7+ 1 16 ma el valor de π? Verifica el valor usando una calculadora.

Entretenimiento

6.

Ubica los números 1, 6, 9, 4, 7, 0, 10, 3 en el arreglo de la figura 35.1, de manera que cada vertical sume 10 y cada horizontal sume 7.

1 1+

1 1+

1 1+

1 1+ x Figura 35.1

Resumen Las fracciones algebraicas complejas son fracciones en donde el numerador o denominador son fracciones algebraicas o combinaciones de estas, mediante las operaciones básicas. Es posible simplicar las fracciones algebraicas complejas usando las propiedades de las operaciones con números racionales. Veamos. 1 1−

=

1

=

1− 1 x

1 1− 1 x −1 x

1

Usamos que 1 −

Usamos que

1− x x −1 1 = x − 1− x x −1

1 x −1 = . x x

1 x = . x −1 x −1 x

Usamos que 1 −

x − 1− x x . = x −1 x −1

=

x −1 x − 1− x

Efectuamos la división indicada.

=

x −1 –1

Efectuamos la sustracción del denominador.

= –x + 1

Efectuamos la división indicada.

1

Por tanto, 1−

1

= – x + 1 para x ≠ 0 y x ≠ 1.

1− 1 x 163

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Fracciones algebraicas

Tema Pensamiento

variacional

36 Ecuaciones con fracciones algebraicas Ideas previas ¿Cuál es la solución de la ecuación 2x2 + x + 1 = 2?

Estudiaremos dos estrategias para resolver ecuaciones que involucran fracciones algebraicas. La primera consiste en multiplicar a ambos lados de la igualdad por el m.c.m. de los denominadores y la otra, en multiplicar en cruz, estrategia que corresponde a la propiedad fundamental de la equivalencia de fracciones. Para resolver una ecuación con fracciones algebraicas, realizamos lo siguiente: 1. Determinar el valor o los valores que hacen cero el denominador. 2. Seleccionar uno de los siguientes métodos. 2.1. Hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones algebraicas de la ecuación y multiplicar a ambos lados de la igualdad por este valor. 2.2. Multiplicar en cruz las fracciones. 3. Resolver la ecuación que resulte del paso anterior, como en el caso de coeficientes enteros. 4. Verificar los resultados. Veamos en qué casos es más conveniente uno u otro método. Ejemplo 1

Resolvamos la ecuación 3 + 2 = 1 . 2 x x Solución

Primero, determinamos el valor para el cual las fracciones no están definidas, es decir, x debe ser diferente de 0. Luego, como tenemos una ecuación en la que uno de los términos es una adición, hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Esto es, m.c.m. de 2 y x es 2x. 3 (2 x ) + 2 (2 x ) = 1 (2 x ) Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por 2x. 2 x x 3x + 4 = 2 Realizamos las multiplicaciones indicadas. x = –2 Solucionamos la ecuación. 3 Como al reemplazar en la ecuación original el valor hallado obtenemos una igualdad cierta y el valor obtenido es diferente de 0, podemos afirmar que x = – 2 es solución 3 de la ecuación dada. Ejemplo 2

¿Cuál es el valor de x para que las áreas del cuadrado y del rectángulo de la figura 36.1 sean iguales? Figura 36.1 164

5 x+3

5 x+3

x–1 x≠–3

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Solución

Para recordar

Hallemos las áreas de cada figura e igualemos las expresiones 2

•

Área del cuadrado: ⎛⎜ 5 ⎞⎟ . Área del rectángulo: ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ( x − 1) . ⎝ x + 3⎠ ⎝ x + 3⎠

•

Ecuación para resolver: ⎛⎜ 5 ⎞⎟ = ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ( x − 1) , que equivale a ⎝ x + 3⎠ ⎝ x + 3⎠

2

En la solución de ecuaciones siempre es necesario verificar las respuestas. Es decir, reemplazar los valores obtenidos y corroborar que se obtengan igualdades ciertas.

⎛ ⎞ 25 = ⎜ 5 ⎟ ( x − 1) para x ≠ –3. 2 ⎝ ⎠ x + 3 ( x + 3) 25 ( x + 3)2 = ⎛⎜⎝ 5 ⎞⎟⎠ ( x − 1)( x + 3)2 2 x +3 ( x + 3)

Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por (x + 3)2.

25 = 5(x – 1)(x + 3)

Simplificamos.

5 = x2 + 2x – 3

Dividimos entre 5 a ambos lados de la igualdad y multiplicamos binomios.

0 = x2 + 2x – 8

Reducimos términos semejantes.

0 = (x + 4)(x – 2)

Factorizamos.

De lo anterior, obtenemos que x = –4 o x = 2. Como la variable representa longitud, descartamos el primer valor. Al reemplazar el resultado x = 2 en la ecuación, obtenemos una igualdad cierta y como es un valor diferente de 3, podemos afirmar que la respuesta a la pregunta planteada es x = 2. Ejemplo 3

Resolvamos la ecuación

4 4 = . 3x – 6 x – 2x 2

Solución

Primero, determinamos el valor para el cual las fracciones no están definidas, es decir, x debe ser diferente de 0 y 2. 4(3x – 6) = 4(x2 – 2x) 12x – 24 = x2

4x2

– 8x

– 5x + 6 = 0

(x – 3)(x – 2) = 0

Multiplicamos en cruz. Aplicamos la propiedad distributiva. Igualamos a 0 y dividimos entre 4. Factorizamos el trinomio.

De lo anterior, obtenemos que x = 3 o x = 2. Sin embargo, la solución x = 2 se debe descartar, porque ese valor no está en el dominio de las expresiones racionales que forman la ecuación. Ejemplo 4

Hallemos los valores de las constantes A y B, tales que

2x +1 . = A + B x 2 + 4 x + 4 ( x + 2) ( x + 2)2

Para recordar

Solución

x2

2x + 1 2x + 1 = + 4 x + 4 ( x + 2)2

(2 x + 1)( x + 2)2 ⎡ ⎤ B =⎢ A + ( x + 2)2 2⎥ + x ( 2) + ( x + 2)2 ( x 2) ⎣ ⎦

Factorizamos.

Multiplicamos a ambos lados de la ecuación original por (x + 2)2.

165

La propiedad fundamental de la equivalencia de fracciones se define así: si

a c = , a × d = b × c. b d

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⎡ A( x + 2) + B ⎤ 2 (2 x + 1) = ⎢ ⎥ ( x + 2) 2 ( x 2) + ⎣ ⎦

Realizamos la adición dentro del corchete.

2x + 1 = A(x + 2) + B

Simplificamos términos.

2x + 1 = Ax + (2A + B)

Aplicamos las propiedades distributiva y asociativa.

Como las expresiones de los lados de la ecuación son polinomios, son iguales si los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Así: 2 = A y 1 = 2A + B. Resolviendo para B, tenemos 1 – 2A = B. Como A = 2, entonces, B = 1 – 2(2) = –3.

Desarrolla competencias Observa los ejercicios 1 a 5. Escoge el valor o valores para los cuales la fracción algebraica no está definida. 1.

2.

2 + 1= 4 x 2 x a. –2 c. 0

c.

x2 a. c.

5.

6.

5y0 3 y0 5

b. 5 y 0 3 d. 5 y 3 3 5

2 + 1 = –2 x –2 x +2 a. c.

4.

7.

1 + 2 =4 3x – 5 x a.

3.

b. 2 d. 4

2y0 2 y –2

b. –2 y 0 d. 2

3 – 7 = –4 –9 x –3 x +3 3 –3 y 0

b. – 1 y 4 4

c.

1 y –1 4 4

d. –4 y 1 4

8.

x – 8 = 13 3

5 x – 16 28 + x 2x + 1 4 x – 3 = h. = 12 5 5 9

3 x + 7 21 – 5 x = 8 3

Completa las siguientes ecuaciones con los valores de A, B y C. 2x = A + B a. x −1 x + 4 x2 + 3x − 4 b.

x2 + 2x − 1 = A + B + C x (2 x − 1)( x − 2) x 2x − 1 x − 2

c.

A B 5 = + 2 x 2 + 3 x − 2 ( x + 2) (2 x − 1) x2

4x + 3 A B = + + 2 x − 15 ( x + 5) ( x − 3)

Completa la tabla 36.1. Ecuación

m.c.m. de los denominadores

x –1 x +1 + =2 x x –1 x2 + x 3 – =1 x2 – 1 x + 1 x 9 +5= x–9 9–x 4 3 2 + = 25 x 2 – 1 5 x – 1 5 x + 1

Resuelve las siguientes ecuaciones. x +3= x b. 18 = x a. 5 4 x 2 c.

g.

f.

Razonamiento lógico

2 1 = 5 + 16 x 2 – 1 4 x – 1 4 x + 1 4 y –4

x +4 = x –4 3

d.

b. 0 y 3 d. –3 y 3

a.

e.

5 2 = x2 + 6 x – 7 x2 – 1 3 3 1 + = x2 – x – 2 x – 2 x + 1

d. x + 4 = – 4 x

Tabla 36.1

166

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9.

Completa la tabla 36.2 con las soluciones de las ecuaciones del punto 8. Ecuación

Solución

x –1 x +1 + =2 x x –1

Pensamiento crítico y resolución de problemas

10. La mitad del cuadrado de un número es igual a la cuarta parte del número aumentado en uno. ¿Cuál es el número? 11. La tercera parte de un número aumentado en uno es igual al recíproco del número disminuido en uno. ¿Cuál es el número?

+ x 3 – =1 x2 – 1 x + 1

x2

x 9 +5= x–9 9–x

12. Alejandro y Felipe fueron contratados para pintar un edificio. Alejandro puede pintar el edificio en 15 días si trabaja solo, mientras que Felipe puede hacer el trabajo en 20 días. Si trabajan ambos, ¿en cuántos días terminarán el trabajo?

4 3 2 + = 2 5 – 1 +1 x x 5 25 x – 1 5 2 = x2 + 6 x – 7 x2 – 1 3 3 1 + = x2 – x – 2 x – 2 x + 1 Tabla 36.2

13. Juan y Juliana viajan por el río en una canoa. Si Juan rema solo, el viaje se realiza en 3 horas. Si Juliana le ayuda, el viaje se hace en 2 horas. ¿Cuánto tiempo se demora el viaje si solo rema Juliana?

Resumen Las ecuaciones con fracciones algebraicas nos permiten modelar situaciones. Para solucionar dichas ecuaciones, podemos usar el método del m.c.m. de los denominadores o el de producto en cruz. Modelemos y solucionemos la siguiente situación. Ejemplo Un quinto de un número es seis veces menos que la mitad del número. ¿Cuál es el número? Solución Si x es el número desconocido, la ecuación que modela la situación es x = x − 6 . 5 2 x = x − 12 5 2

Realizamos la sustracción del lado derecho.

2x = 5(x – 12)

Multiplicamos en cruz.

2x = 5x – 60

Aplicamos la propiedad distributiva.

60 = 5x – 2x

Agrupamos términos semejantes.

60 = 3x

Simplificamos.

20 = x

Despejamos el valor de x.

Al reemplazar x = 20 en la ecuación, obtenemos una igualdad cierta, por tanto, es solución del problema.

167

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Evalúa tus

competencias

Competencias en el Manejo de la información

Los hermanos Aureliano y José Arcadio estaban obstinados en que su padre los llevara a conocer la portentosa novedad de los sabios de Memphis. Tanto insistieron, que José Arcadio Buendía pagó el dinero en reales, correspondiente a tres entradas, y los condujo hasta el centro de la carpa, donde había un gigante de torso peludo y cabeza rapada, con un anillo de cobre en la nariz y una pesada cadena de hierro en el tobillo, custodiando un cofre de pirata. Al ser destapado por el gigante, el cofre dejó escapar un aliento glacial. Dentro sólo había un enorme bloque transparente, con infinitas agujas internas en las cuales se despedazaba en estrellas de colores la claridad del crepúsculo. Desconcertado, sabiendo que los niños esperaban una explicación inmediata, José Arcadio Buendía se atrevió a murmurar: –Es el diamante más grande del mundo. –No –corrigió el gitano–. Es hielo, y si averiguas su volumen te devolveré tu dinero más uno sobre el valor de tu dinero. GARCÍA MÁRQUEZ, Gabriel. Cien años de soledad. Bogotá: Editorial Norma, 1967.

Razonamiento y argumentación 1.

Si el bloque de hielo mencionado en el texto tuviera una forma como la que aparece en la figura 5.1, es cierto afirmar que el volumen a. se puede calcular multiplicando el área de la 1 base cuadrada 2 por la altura x(x + 1). x b.

se puede calcular multiplicando el área de la 1 base cuadrada x(x + 1) por la altura . x

c.

se puede calcular multiplicando el área de la 1 2 por la altura (x + 1). base rectangular x

más uno, sobre el valor de tu dinero” se representan algebraicamente de la misma manera? Justifica tu respuesta. Interpretación y representación 3.

()

d. se puede calcular multiplicando el área de la 1 base rectangular x(x + 1) por la altura . x

4.

x ( x + 1)

La expresión “te devolveré tu dinero más uno sobre el valor de tu dinero” se representa matemáticamente 1 para x ≠ 0. Una fracmediante la expresión x + x ción algebraica equivalente es a.

x −1 para x ≠ 0. x

b.

x2 + 1 para x ≠ 0.

c.

x2 + 1 para x ≠ 0. x

d.

x x − 1 para x ≠ 0.

Según la figura 5.1, la expresión algebraica simplificada con la cual se puede determinar el volumen del bloque de hielo es a.

x +1 para x ≠ 0. x

b.

x2 + 1 para x ≠ 0. x

c.

x x + 1 para x ≠ –1.

d.

x x2 + 1.

1 x

Figura 5.1

2.

Las expresiones “te devolveré tu dinero más uno sobre el valor de tu dinero” y “te devolveré tu dinero 168

5.

Si el dinero que pagó José Arcadio Buendía más uno sobre el valor del dinero es igual a 33 reales sobre el dinero pagado, menos el dinero pagado, ¿cuál ecuación modela la situación?

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

a. b. c. d. 6.

7.

8.

x + 1 = 33 − x x x

b.

x – 1 = 33 + x x x x + 1 33 = +x x x x + 1 33 –x = x x

c. d.

Formulación y ejecución 9. Muchos años después el coronel Aureliano Buendía había de recordar aquella tarde remota en que su padre lo llevó a conocer el hielo.

Teniendo en cuenta el punto anterior, ¿cuánto dinero pagó José Arcadio Buendía? a. 2 reales b. 3 reales c. 4 reales d. 12 reales

Si uno sobre uno menos uno sobre la edad que 6 tenía el coronel en ese entonces equivale a , 5 ¿cuántos años tenía el coronel cuando su padre lo

¿Qué operaciones con fracciones algebraicas empleaste en la solución de dicha ecuación? a. Adición y sustracción b. Adición y multiplicación c. Sustracción y división d. Multiplicación y división

llevó a conocer el hielo? 10. Gabriel García Márquez (1927–2014) es un escritor colombiano que ganó el premio Nobel de literatura en el año de 1982 por su novela Cien años de soledad. Soluciona el siguiente acertijo y sabrás cuántos años dedicó a escribir dicha novela.

Si al llegar la noche y como producto del deshielo, el volumen del cubo se encuentra dado por la ex⎡ 1 ⎤ ⎡ x ( x + 1) ⎤ ⎥⎦ , para x ≠ 0 y x ≠ –1, presión ⎢ ( x + 1)2 ⎥ ⎢⎣ x ⎣ ⎦

Si el número de mariposas amarillas que rodeaban siempre a Mauricio Babilonia, aumentado en dos, dividido en el número de ellas disminuido en 8 equivale a 2, ¿cuántas mariposas rodeaban siempre a Mauricio?

la fracción equivalente a este volumen es a. Punto

x ( x + 1) para x ≠ 0 y x ≠ –1. x 1 x + 1 para x ≠ 0 y x ≠ –1. 1 ( x + 1)2 para x ≠ 0 y x ≠ –1.

x x + 1 para x ≠ 0 y x ≠ –1.

Desempeño

Sí

1.

Interpreto información presentada en una figura.

2.

Concluyo ideas a partir de información dada.

3.

Modelo una situación problema empleando fracciones algebraicas.

4.

Modelo una situación problema empleando fracciones algebraicas y las simplifico.

5.

Modelo una situación matemática a partir de una ecuación con fracciones algebraicas.

6

Resuelvo ecuaciones que involucran ecuaciones algebraicas.

7

Identifico las operaciones involucradas en la solución de una ecuación con fracciones algebraicas.

8

Simplifico correctamente dos fracciones algebraicas.

9

Resuelvo problemas que involucran la solución de una ecuación con fracciones algebraicas complejas.

10

Resuelvo problemas que involucran la solución de una ecuación con fracciones algebraicas.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

169

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Funciones

Tema

37 Concepto de función Ideas previas

Pensamiento

variacional

x

Escribe una expresión algebraica para el enunciado “El perímetro de un cuadrado más 10 unidades es igual a 34 unidades”. ¿Cuál es la medida del lado de dicho cuadrado?

x

x

24 cm x

Para responder la pregunta, Sara debe plantear una expresión matemática que le permita encontrar el valor del volumen de la caja. Este valor se obtiene cuando ella corta el cuadrado de cualquier longitud de lado en cada una de las esquinas de la lámina.

32 cm

x 32 −2x

Sara debe construir una caja sin tapa partiendo de una lámina rectangular de cartón de 24 cm de ancho por 32 cm de largo. Piensa cortar en las esquinas cuadrados idénticos de cualquier longitud y doblar hacia arriba lo que queda para formar la caja (ver figura 37.1). ¿Cómo se puede expresar el volumen de la caja para cualquier tamaño del cuadrado que se corte en las esquinas?

24 −2x

Figura 37.1

El valor del volumen depende de la longitud del cuadrado que se corte. Si llamamos x a la longitud del cuadrado de las esquinas y V al volumen, tenemos lo siguiente: V = largo × ancho × altura V(x) = 4x3 − 112x2 + 768x

V(x) = (32 − 2x)(24 − 2x)x

Ahora, calculemos el volumen para diferentes valores de x (ver tabla 37.1). x

V(x)

1 cm

4(1)3 – 112(1)2 + 768(1) = 4 – 112 + 768 = 660 cm3

2 cm

4(2)3 – 112(2)2 + 768(2) = 32 – 448 + 1536 = 1120 cm3

5 cm

4(5)3 – 112(5)2 + 768(5) = 500 – 2800 + 3840 = 1540 cm3 Tabla 37.1

En la expresión escrita, cada valor que tome x, entre 0 y 24, produce solamente un valor para V. Este tipo de expresiones reciben el nombre de funciones. Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos A y B, que asigna a cada uno de los elementos del conjunto A uno y solamente uno de los elementos del conjunto B. Los elementos de A se llaman entradas o preimágenes y los de B, salidas o imágenes. El conjunto de las preimágenes es el dominio y el subconjunto de B correspondiente a las imágenes, el rango de la función.

Para recordar Evaluar una función significa hallar el valor único del rango que corresponde a un valor específico de su dominio. Por ejemplo, evaluar la función f (x) = –x + 3 en –1, significa calcular f (–1) = –(–1) + 3 = 4, es decir, a –1 le corresponde 4.

Cuando el valor de una variable y depende del valor de una variable x, se dice que y es función de x. Esto se representa como y = f (x) y se lee “y es igual a f de x”. En este caso, x es la variable independiente y y la variable dependiente. Ejemplo 1

Hallemos el volumen de la caja si Sara corta cuadrados de lado 3 cm en cada esquina. Solución

Evaluamos V(x) en x = 3 cm. V(3) = 4(3)3 − 112(3)2 + 768(3) = 1404. Por tanto, el volumen de la caja es 1404 cm3. 170

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 2

Para recordar

Escribamos cada una de las siguientes expresiones en términos de una función. a. b.

La arista es un segmento que corresponde a la intersección de dos caras planas de un poliedro.

El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados. El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista.

Solución

a.

b.

Llamemos A el área del cuadrado y x la longitud del lado. Entonces, tenemos que A(x) = x2, porque el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado la longitud de su lado. En este caso, la variable independiente es la longitud del lado (x) y la variable dependiente es el área (A). Si V es el volumen del cubo y x la medida de su arista, entonces, tenemos que V(x) = x3, porque el volumen de un cubo se calcula elevando a la tres la longitud de su arista. La variable independiente es la medida de la arista (x) y la variable dependiente es el volumen (V).

Ejemplo 3

En qué se aplica

El costo en que incurre una compañía al producir diariamente determinada cantidad de artículos es proporcional al número de artículos producidos. Si el costo de producir 10 unidades diariamente es $ 75 000 y si produce 25 artículos diarios, es $ 187 500, entonces, la fórmula que determina el costo diario en que incurre la compañía al producir x artículos diariamente es c(x) = 7500x. a. b.

En muchas situaciones de la vida cotidiana se aplica el concepto de función; por ejemplo, en la asignación del número del documento de identidad, en la velocidad que lleva un auto en cada momento de su desplazamiento, entre otros.

¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día? Si el costo fue $ 135 000, ¿cuántos artículos se produjeron diariamente?

Solución

La fórmula c(x) = 7500x nos muestra cómo los costos de producir cierto artículo están en función de la cantidad de artículos que se producen al día, es decir, la variable c(x) es la variable dependiente, pues el valor que tome depende principalmente del valor de la variable x, la cual corresponde a la variable independiente. a.

Para hallar el costo de producir 20 artículos al día, resolvemos lo siguiente: c(20) = 7500 × 20

Reemplazamos x por 20 en la fórmula c(x) = 7500x.

c(20) = 150 000

Efectuamos la multiplicación indicada.

Así, concluimos que el costo de producir 20 artículos al día es $ 150 000. Debemos hallar el valor de la variable independiente x que cumpla la ecuación c(x) = 135 000. 7500x = 135 000 135 000 x = 7500 x = 18

Igualamos c(x) = 7500x y c(x) = 135 000.

Costos de producción 80 000 70 000

Despejamos x. Efectuamos la división indicada.

Por tanto, si el costo es de $ 135 000, se producen 18 unidades diariamente.

Costo ($)

b.

60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000

La gráfica del costo de producción se muestra en la figura 37.2.

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Número de artículos

Figura 37.2 171

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias 1.

2.

3.

Escribe la función que representa cada enunciado. En cada caso, determina cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente. a. El área (A) de un círculo es igual al producto de π por el cuadrado del radio (r). b. El perímetro (P) de un cuadrado es cuatro veces la longitud del lado (l). c. El costo mensual del servicio de telefonía móvil (C) es de $ 165 por cada minuto, más $ 6700 de cuota fija. d. El valor de y es igual a la mitad del valor de x disminuido en tres octavos.

f(x) =

c.

f(x) = 1 x

e.

f(x) =

x –1

x 3x + 4

b. f ( x ) =

3

d. f ( x ) =

1 x +2

f.

b.

–4 –3 –2 –1

V(x)

15 cm 25 cm 30 cm 40 cm Tabla 37.3

Determina si cada una de las siguientes tablas describe una función. Justifica tus respuestas.

x –1 a.

x

1,5

2,3

3,2

1,5

4,1

y

3

5

8

4

3 Tabla 37.4

f(x) = x2 + 5x + 6 b.

Completa la tabla 37.2 evaluando cada función en los valores dados. x

Escribe una expresión para el volumen del acuario. Determina el volumen del acuario para las siguientes medidas de x. x

5.

Halla el dominio de las siguientes funciones. a.

a.

0

1

2

3

4

Focotopias

1

2

3

5

10

Precio ($)

60

120

180

300

600

Tabla 37.5

f(x) = –5x

Elige la opción correcta y justifica tu elección para los problemas 6 y 7.

f(x) = 2x + 1

6.

Dados los conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {1, 3, 5, 7, 9}, se define f(x) = x – 1 de A en B. Se puede afirmar que a. f(x) no es función, porque hay un valor de A que no tiene imagen. b. f(x) sí es función, porque a todo número siempre es posible sustraerle 1. c. f(x) sí es función, porque a cada elemento de A le corresponde un único elemento en B.

7.

Lee la información de la tabla 37.6.

f(x) = x2 + x f(x) = f(x) =

x x+5 20 – x Tabla 37.2

Razonamiento lógico

4.

Observa la figura 37.3.

45 cm

90 cm x

Figura 37.3

172

Artículo

Valor

Hamburguesa

$ 12 500

Pizza

$ 5800

Papas a la francesa

$ 4900

Perro caliente

$ 4900

Gaseosa

$ 2200 Tabla 37.6

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

De acuerdo con la tabla, se puede afirmar que:

d. Si en la reserva estuvieron 1,5 horas, ¿a cuántos kilómetros está la reserva de la salida de la ciudad? e. ¿En qué trayecto caminaron más rápido: en la primera hora de viaje o en la primera hora después del primer descanso? f. Comparando los tiempos empleados entre el primer descanso y la reserva natural, ¿dónde caminaron más lentamente: en la ida o en el regreso? g. ¿A qué hora empezaron el regreso? h. ¿Cuándo emplearon más tiempo: en el viaje de ida o en el de regreso?

a.

La tabla no representa una función, porque hay dos artículos con el mismo precio. b. La tabla sí representa una función, porque a todo artículo le corresponde un precio. c. La tabla no representa una función, porque no hay una regla de asignación. d. La tabla sí representa una función, porque las preimágenes son los artículos. Pensamiento crítico y resolución de problemas

8.

Un grupo de estudiantes realizó una caminata a una reserva natural cerca de la ciudad. Se reunieron en las afueras de la ciudad y desde ese punto salieron caminando hasta la reserva. El trayecto de ida y regreso (distancia en kilómetros desde el lugar de salida) se representa en la figura 37.4.

9.

Caminata Distancia a la salida

40 35 30

Competencias en TIC

25

10. Un arquitecto diseña un local que tiene la forma de un cuadrado con medio círculo montado sobre uno de los lados del cuadrado. a. Si x es la longitud del lado del cuadrado, expresa el perímetro del local P(x) como una función de x. b. Toma como valor aproximado de π el número decimal 3,14 y utiliza una calculadora para completar la tabla 37.7.

20 15 10 5 0

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Horas

Figura 37.4

a. b. c.

La distancia en pies de un objeto que cae en el vacío está dada por la función s(t) = 16t2. La variable independiente t representa el tiempo y está medida en segundos. a. Halla s(0), s(1), s(2), s(3). b. Halla e interpreta el valor s(3) – s(2). c. Interpreta el valor s(b) – s(a).

¿A qué hora partieron hacia la reserva? ¿Cuántos kilómetros recorrieron desde que salieron hasta llegar al primer descanso? ¿Cuánto tiempo se detuvieron en el primer descanso?

x P(x)

2

3

4

6

8

16

24,56 Tabla 37.7

Resumen Una función es una relación que establece una correspondencia entre cada elemento de un conjunto (denominado dominio) y un único elemento de un conjunto (llamado rango). La notación f(x) = y indica que la función f establece correspondencia entre x y el valor y, donde y es la variable dependiente y x la variable independiente.

173

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Funciones

Tema

38 Representación gráfica de una función

Pensamiento

variacional

Ideas previas Completa la tabla evaluando la función g definida por la ecuación g(x) = 2x2 – 1 en los valores dados. x g(x)

−3

−2

−1

0

1

2

3

Ventas (millones de pesos)

Tabla 38.1

Lorena tiene una pequeña industria de confecciones. Ella trazó una gráfica para representar el comportamiento de sus ventas durante los primeros diez meses del año de existencia de su negocio (ver figura 38.1).

Y 20 15

En el primer mes de funcionamiento, es decir, para x = 1, sus ventas fueron de $ 5 000 000.

10 5

X 1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

En los siguientes dos meses, las ventas se incrementaron y alcanzaron el máximo valor en x = 3, es decir en marzo. Luego, se presentó un descenso en las ventas. El mes con el menor ingreso fue junio, x = 6. Podemos construir la tabla 38.2 con algunos valores aproximados de la función, a partir de la representación gráfica en el plano cartesiano.

Mes

Figura 38.1 x

0

1

2

3

y (en millones pesos)

0

5

10

15 12,7 6,3 2,5 7,5 6,3 8,1 8,4

4

5

6

7

8

9

10

Tabla 38.2

Una función y = f(x) se representa gráficamente en el plano cartesiano como la unión de los puntos de la forma (x, y), donde los valores de la variable independiente se localizan en el eje horizontal (X), y los valores de la variable dependiente, en el eje vertical (Y). Ejemplo 1

Para recordar Una manera de organizar los puntos que genera una función es utilizando una tabla de correspondencia entre dos filas: en la primera fila se escriben los valores de la variable independiente y en la segunda fila, los valores de la variable dependiente.

q

Consideremos la función g(q) = 2q + 3. En este caso, el valor de g depende del valor de q; por tanto, q es la variable independiente (eje X) y g es la variable dependiente (eje Y). Elaboremos una tabla con algunos valores.

–2 –0,5 –1 0 0,5 1 1,5 2

g(q) = 2q + 3

g(–2) = 2(–2) + 3 = –1 g(–0,5) = 2(–0,5) + 3 = 2 g(–1) = 2(–1) + 3 = 1 g(0) = 2(0) + 3 = 3 g(0,5) = 2(0,5) + 3 = 4 g(1) = 2(1) + 3 = 5 g(1,5) = 2(1,5) + 3 = 6 g(2) = 2(2) + 3 = 7 Tabla 38.3

174

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Y

g(q)

En qué se aplica

6

Ubiquemos los puntos anteriores en el plano cartesiano y unámoslos con una línea continua (ver figura 38.2). En este caso, el dominio y el rango de la función son todos los números reales.

El electrocardiograma es la representación gráfica de la actividad eléctrica del corazón por medio de una función en un plano.

4 2

q –4

–2

2

4

–2

Figura 38.2

No todas las gráficas en el plano cartesiano representan funciones. Recordemos que en una función f, cada valor x en el dominio tiene una y solamente una imagen f(x), de manera que la gráfica de una función debe cumplir la prueba de la línea vertical.

Y

Prueba de la línea vertical Una curva en el plano es la representación gráfica de una función si y solamente si cualquier recta paralela al eje Y interseca la gráfica máximo en un punto.

6 4 2

X –4

–2

2

4

–2

Figura 38.3

Ejemplo 2

Determinemos cuáles representaciones corresponden a funciones. a.

c. b.

Y

Y Y

6 4

4

X –2

2 –2

2

X

2

2 –4

4

4

X –4

–2

2

4

6

–2

–4

–2

2

4

6

–2 –4

–4

Figura 38.4 Solución

a.

Esta representación corresponde a la de una función, ya que para cada valor de x hay un solo valor en y. El dominio de la función es el conjunto de los números reales y el rango, el conjunto de los números reales positivos.

b.

Esta representación no corresponde a la de una función, ya que cada valor de x tiene dos valores en y.

c.

Esta representación no corresponde a la de una función, porque algunos valores de x tienen más de una imagen en y. 175

Para recordar La representación gráfica de funciones se debe en gran parte al matemático francés René Descartes, quien además fue el primero en utilizar el término de función.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias 1.

c.

Observa la gráfica de la función f en la figura 38.5.

6 4

Y

y = x 2 −1

Y

4

2

X

2 –4

X –4

–2

2

–2

2

4

6

–2

4

–2

–4

–4

Figura 38.5

a.

d.

Y

Completa la tabla de acuerdo con la función f. x

–2

–1

0

0,5

1

2 1

2

X

f(x)

1

2

3

4

–1

Tabla 38.4

–2

b.

Figura 38.6

3.

La gráfica de la figura 38.7 presenta la relación entre la edad y la altura de un elefante. Y 400

Altura (cm)

Escribe todos los valores de x para los que se cumple que f(x) = 0. c. Escribe todos los valores de x para los que se cumple que f(x) = −1. d. Escribe todos los valores de x para los que se cumple que f(x) = 8. e. Halla el dominio y rango de f(x). Razonamiento lógico

2.

Determina cuáles gráficas de las figuras 38.6a a 38.6d representan funciones. Explica tu respuesta.

300 200 100

X

a.

Y

20

2 –2

2

4

6

–4

Y 4 2

X –2

2 –2

100

Figura 38.7

¿La gráfica corresponde a la de una función? Explica tu respuesta. b. Aproximadamente, ¿cuál es la altura de un elefante de 10 años? c. Aproximadamente, ¿cuál es la altura de un elefante de 20 años? d. Aproximadamente, ¿cuál es la altura de un elefante de 40 años?

–2

–4

80

a. X

b.

60

Edad (años)

4

–4

40

4

6

Pensamiento crítico y resolución de problemas

4.

–4

176

Un barril vacío, en forma de cilindro circular recto, tiene capacidad para 20 litros y pesa 2550 gramos. Escribe la función que da el peso total del barril según la cantidad de agua, en litros, que contiene.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

5.

El número de habitantes de una región se determina mediante la realización de un censo demográfico. En Colombia, se han realizado varios censos con los resultados que se representan en la tabla 38.5. Año

Número de habitantes

1905

4 533 777

1912

5 472 604

1918

5 855 077

1928

7 851 110

1951

11 548 172

1964

17 484 508

1973

20 785 235

1985

27 837 932

1993

33 109 840

2005

44 888 592

Por ejemplo, para conocer la gráfica de la función x +2 , digita en la casilla central Graph f(x) = 2 x −4 (x+2)/(x^2-4), da Enter y obtendrás la gráfica de la figura 38.8.

Figura 38.8

Utiliza WolframAlpha para trazar la gráfica de las siguientes funciones. x a. f(x) = –x b. f ( x ) = + 1 3

Tabla 38.5

De acuerdo con los datos de la tabla 38.5... a.

Ubica los resultados de los diferentes censos en un plano cartesiano. b. Explica a partir de la gráfica por qué el conjunto de puntos representa una función. c. ¿Ha disminuido la población a lo largo de los años? d. ¿En cuánto se incrementó la población en el último siglo? e. Aproximadamente, ¿cuántos habitantes tenía Colombia en el 2000?

c. e.

d. f(x) = x2 + 1 f. f(x) = –x2 + 1

Olimpiadas

Matemáticas 7. Javier tiene cierta cantidad de ladrillos de igual tamaño. Siempre que construye una pared cuadrada, le faltan o le sobran ladrillos. Lo mismo le ocurre cuando arma un cubo.

Competencias en TIC

6.

f(x) = –3x + 1 f(x) = x3 + 1

Para representar gráficamente funciones, podemos utilizar el programa WolframAlpha. Para ello, ingresa a la página http://www.wolframalpha.com.

Andrés tiene el doble de ladrillos que Javier y puede construir una pared cuadrada usando todos los ladrillos. Lucía tiene el triple de ladrillos que Javier y puede armar un cubo usando todos los ladrillos. ¿Cuál es el menor número de ladrillos que puede tener Javier?

Resumen La representación gráfica de una función g en el plano cartesiano es el conjunto de puntos de coordenadas (x, g(x)), donde x pertenece al dominio de la función g.

177

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Funciones

Tema

39 Función lineal y función afín Ideas previas

Pensamiento

variacional

¿Cuáles funciones están representadas gráficamente por una recta? 1 h( x ) = f(x) = x + 1 g(x) = 2x i(x) = 2x2 – 1 j(x) = –x3 – 3 x

Función lineal

Para recordar

Dentro de los tipos de funciones que más se utilizan en aplicaciones de las Matemáticas, están las que pueden representarse por una línea recta o un fragmento de ella. Estas funciones se conocen como funciones lineales y permiten representar un aumento o una disminución constante.

Una expresión lineal es una expresión algebraica cuya variable tiene exponente 1.

Una función es lineal si un cambio en la variable independiente produce un cambio proporcional en la variable dependiente. Por ejemplo, si sabemos que un automóvil viaja con una velocidad constante de 60 km/h, la distancia d que recorre dicho automóvil es proporcional al tiempo t. La fórmula para determinar la distancia d en función del tiempo t está dada por d(t) = 60t.

Para recordar

Una función que puede escribirse como f(x) = mx, donde m representa una constante (número real diferente de 0), se denomina función lineal. m se conoce como la pendiente o razón de cambio de f(x) con respecto a x. En general, se escribe y = f(x). La gráfica de la función lineal es una línea recta que pasa por el origen del plano cartesiano. Una función lineal cumple las siguientes propiedades. • f(a + b) = f(a) + f(b) • f(ka) = kf(a), donde k es un número real.

El dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de los números reales R, excepto que se presenten restricciones por alguna situación en particular.

Ejemplo 1

La gráfica de la figura 39.1 corresponde a una función lineal. Hallemos la expresión lineal que la representa y mostremos que cumple las dos propiedades de este tipo de función. Solución

Elaboramos una tabla con algunos puntos de la función. x

y

4

−3

6

2

−2

4

−1

2

–2

0

0

–4

2

–4

6

Y

X

–4

–2

2

4

Figura 39.1

Analizando la tabla 39.1, observamos que, para obtener cada valor de y, multiplicamos por −2 el correspondiente valor de x, es decir, la expresión que representa a la función es y = −2x, donde m = −2. Verifiquemos que la función f(x) = −2x cumple las propiedades de una función lineal. •

f(a + b) = −2(a + b) = −2a + (−2b) = f(a) + f(b)

•

f(ka) = −2(ka) = k(−2a) = kf(a)

Tabla 39.1 178

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Para calcular el valor de la pendiente, tomamos dos puntos de la gráfica de la función y – y2 lineal (la recta): (x1, y1) y (x2, y2) y realizamos la división m = 1 . x1 – x 2 La pendiente de una recta puede ser positiva o negativa, como se muestra en la figura 39.2. Si consideramos el caso en que m = 0, tenemos una ecuación lineal, que es la función constante 0, es decir, f (x) = 0.

3

m0

2 1

Para reconocer si una función f(x) dada por una tabla de datos es lineal, verificamos que los cocientes de las diferencias en los valores de y entre las correspondientes diferencias de x sea constante.

–2

–1

1

m=0 X 2

–1 –2

Figura 39.2

Ejemplo 2

Determinemos si los datos de la tabla 39.2 pueden representar una función lineal.

x

8

12

20

36

y

2

3

5

9 Tabla 39.2

Solución

3–2 12 – 8 = 1 4 3–5 12 – 20 –2 = = 1 –8 4

Reemplazamos los puntos (8, 2) y (12, 3) en

y 2 − y1 . x 2 − x1

Para recordar El subíndice de la variable x representa dos valores x1 y x2 que son diferentes.

Efectuamos las operaciones indicadas. y 2 − y1 Reemplazamos los puntos (20, 5) y (12, 3) en x − x . 2 1 Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos la fracción.

Al realizar un proceso similar con otros puntos de la tabla 39.2, podemos notar que el cociente de las diferencias de valores de y entre los correspondientes valores de x es constante: igual a 1 . 4 Por tanto, todos los pares de puntos de la tabla 39.2 hacen parte de la recta de la función lineal y = 1 x . 4

Ejemplo 3

Litros

La tabla 39.3 muestra el precio de compra de determinada cantidad de litros de una sustancia química. Ubiquemos los puntos dados en un plano cartesiano y encontremos la ecuación de la función lineal que representa ese precio.

Precio en $

0

0

1

1800

2

3600

3

5400

5

9000

7

12 600

Para recordar y 2 − y1 y − y1 ≠ 2 x1 − x 2 x 2 − x1

Tabla 39.3 179

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Solución

Para ubicar estos puntos, realizamos una gráfica de precio versus litros de la sustancia química, teniendo en cuenta que la variable dependiente está determinada por los precios, mientras que la variable independiente está definida por los litros de la sustancia que se adquieren (ver figura 39.3). 14 000

Precio (pesos)

12 000 10 000 8000 6000 4000 2000 0

0

1

2

3

4

5

6

7

Cantidad de sustancia química (litros)

8

Figura 39.3

Para encontrar la ecuación de la función lineal, calculamos el valor de la pendiente. 9000 − 5400 y – y m= Reemplazamos los puntos (5, 9000) y (3, 5400) en m = 1 2 . x1 – x 2 5−3 m = 3600 = 1800 Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos la fracción. 2 y = 1800x Reemplazamos m = 1800, en la ecuación general de una recta y = mx.

Para recordar El dominio y el rango de una función afín es el conjunto de los números reales R, excepto que se presenten restriciones por alguna situación en particular.

Función afín La definición de función afín generaliza la definición de función lineal y muestra la estrecha relación que hay entre una y otra. Veamos.

Una función de la forma y = mx + b se denomina función afín de la función lineal y = mx. Los valores m y b son fijos. El valor de m se denomina pendiente y el valor de b se conoce como ordenada de la intersección de la línea recta con el eje Y. La gráfica de una función afín es una línea recta que no pasa por el origen del plano cartesiano.

Ejemplo 4

En qué se aplica La relación entre la demanda de un artículo y su precio de venta está dada mediante una función afín.

12

En la figura 39.4 se muestran las gráficas de la función lineal y = 3 x y su función afín y = 3 x + 3 . 5 5 En estos casos, la pendiente de las rectas es cambio en y m = 3← . En la función afín b = 3, por tan5 ← cambio en x to, el punto de corte de la recta con el eje Y es (0, 3).

Y

8 (0, 3)

4

(–5, 0) –8 –4

(5, 3) 4

X

8

–4 –8

Figura 39.4

180

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 5

90

Determinemos una función que represente la demanda semanal de un producto, teniendo en cuenta que si la demanda por semana es 70 unidades, el precio por unidad es de $ 50; y si la demanda es de 140 unidades, el precio por unidad es de $ 30.

60

p (0, 70) (70, 50) (140, 30)

30

(245, 0) q

Solución

70

140

210

280

–30 (70, –20)

Como el precio depende de la cantidad de unidades demandadas, la cantidad de unidades (q) es la variable independiente y el precio (p) es la variable dependiente.

–60

En la figura 39.5, representamos la gráfica de la función afín que modela el problema y la gráfica de la función lineal, de pendiente m = – 20 = – 2 , asociada a esa función 70 7 afín. La función afín pasa por el punto (0, 70), de donde obtenemos que la función que representa la demanda es p = − 2 q + 70 . 7 Analicemos ahora cuál es el dominio y el rango de esta función en particular. Como estamos hablando de unidades de un producto y de sus precios, estos deben ser números reales positivos. Además, observando la gráfica, el precio obtiene un valor 0 cuando se ofrecen 245 productos; de este punto en adelante, no tiene sentido la situación. Por tanto, el dominio es el intervalo (0, 245) y el rango, el intervalo (0, 70).

Figura 39.5

Para recordar Dos rectas paralelas tienen pendientes iguales. El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es –1.

Desarrolla competencias 1.

2.

Escribe la función lineal o afín que modela cada enunciado. a. El valor de y es igual a la mitad del valor de x. b. El perímetro de un cuadrado es cuatro veces la longitud de uno de sus lados. c. El valor de y es igual al producto del opuesto de seis y el valor de x. d. El valor de y es igual al triple del valor de x, aumentado en siete. e. El costo de un servicio de taxi es de $ 50 por cada unidad más $ 3500 de tarifa fija. f. La altura de un árbol es igual a tres centímetros por su edad en años más 24 cm. g. El valor mensual del servicio de luz es de $ 190 por kilovatio más una cuota básica de $ 4500. Determina cuáles gráficas de las figuras 39.6a a 39.6d representan funciones lineales o afines. a. Y

b.

Y 4 2

X –4

–2

2

4

6

2

4

6

2

4

6

–2 –4

c.

Y 4 2

X –4

–2 –2 –4

d.

Y

4

4

2

2

X

X –4

–2

2

4

–4

6

–2

–2

–2

–4

–4

181

Figura 39.6

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

3.

Determina si cada punto pertenece a la función lineal o afín dada. a. b. c.

4.

6.

y = 2,5x

( ) ( 21 , 35 ) 1, 1 3

f(x) = 3 x 5

b. f(x) = −1,5x

y = 3x

c.

y=x

d. y = − 3 x 4

y = 3 x 10

e.

y = 3,5x + 2

f.

g.

f(x) = 1 x + 3 2

h. f(x) = −4x + 5

y = −3,4x

e.

(−2, 3)

y = 2,5x + 8

f.

( )

y =− 1 x – 1 12 4

g.

(−2,5, 8,5)

y = −3x + 1

1, 3 3 4

Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y afines. a.

d. (−2,6, 8,84)

8.

a.

La gráfica de la función afín y = mx − b es paralela a la gráfica de la función lineal y = mx.

b.

Los puntos (2, 5) y (−3, −5) pertenecen a la representación gráfica de una función afín.

Para trazar la gráfica de la función f(x) = x3 – 2x, se utiliza la tabla 39.4. x

–1

0

1

y

1

0

–1 Tabla 39.4

La gráfica se muestra en la figura 39.7. Y 1

Si dos rectas en el plano son paralelas, representan dos funciones afines asociadas a la misma función lineal.

X –1

Halla la ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto P. a. b.

m = 1; m = –5;

P = (0, 5) P = (2, –4)

c.

m = 0;

P = 1, 2 2

d.

m = 1; 4

P = (–3, –1)

y = −2x –1 3

Trabajo colaborativo

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas.

c.

5.

(2, 5)

7.

1

–1

Figura 39.7

( )

a. b.

Halla la ecuación de las siguientes rectas. a. Pasa por los puntos (2, 3) y (−1, 6). b. Tiene pendiente 3 e intersecto –7 en Y. c. Pasa por el punto (2, −1) y es paralela a la recta de ecuación y = 6x + 9. d. Pasa por los puntos (0, 0) y (1, 3). e. Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4, –5). f. Pasa por el punto (−3, 4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (−4, 3).

c.

¿La gráfica de la figura 39.7 corresponde a la gráfica de f (x) = x3 – 2x? Agrega los siguientes valores de x a la tabla: –3, –2, –5, 5, 2 y 3. Traza la gráfica utilizando estos valores. ¿Qué piensas ahora con respecto a la pregunta del literal a., referida a esta nueva gráfica? Discute tus resultados con un compañero. Escriban una reflexión sobre las conclusiones a las que pudieron llegar en los literales a. y b.

Competencias en TIC

9.

182

Utiliza una calculadora graficadora o un programa y traza la gráfica de la función f(x) = x3 – 2x. Compárala con los resultados del ejercicio 8.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Pensamiento crítico y resolución de problemas

a.

Escribe una función afín que represente el valor por pagar en la compañía A al utilizar x minutos. b. Escribe una función afín que represente el valor por pagar en la compañía B al utilizar x minutos. c. Representa gráficamente las dos funciones halladas en los literales a. y b. d. ¿Cuánto debe pagar un cliente de la compañía A si utiliza 150 minutos mensuales? e. ¿Cuánto debe pagar un cliente de la compañía B si utiliza 200 minutos mensuales?

10. En una tienda deportiva, cada camiseta de un equipo de fútbol tiene un costo de $ 58 500. a. Escribe una función lineal que relacione el costo de cada camiseta con el valor que debe pagarse por la compra de x camisetas. b. Representa gráficamente la función lineal hallada en el literal a. c. ¿Cuánto se debe pagar por la compra de 25 camisetas? 11. Observa la tabla 39.5 y realiza lo que se solicita.

13. La figura 39.8 representa la demanda mensual de un artículo.

a

b

−3

−4,5

−1,5

−2,25

80

0

0

60

2

3

40

Y

(120, 80)

(0, 50)

Tabla 39.5

a. b. c.

20

Escribe una función lineal que relacione las variables a y b. Representa gráficamente la función lineal que hallaste en el literal a. ¿Cuál es el valor de b si a = −4,5?

12. Una empresa A de telefonía móvil cobra a sus afiliados una cuota mensual fija de $ 6700 más $ 130 por cada minuto de tiempo al aire. La compañía B cobra una cuota mensual fija de $ 6300 más $ 150 por cada minuto utilizado.

X 30

60

90

120

–20

Figura 39.8

a. b.

Escribe una función afín que represente la demanda del artículo. Determina el dominio y el rango de la función.

Resumen •

Existen dos tipos de funciones que tienen por gráfica una línea recta. Función lineal: si la recta pasa por el origen del plano cartesiano. Función afín: si la recta no pasa por el origen del plano cartesiano.

•

Una función de la forma f(x) = mx, donde m ∈ R, recibe el nombre de función lineal y cumple las propiedades f(a + b) = f(a) + f(b) y f(ka) = kf(a), donde k es un número real.

•

Una función de la forma f(x) = mx + b se denomina función afín de la función lineal f(x) = mx. Los valores m y b son fijos.

183

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Funciones

Tema

40 Funciones de variación directa e inversa

Pensamiento

variacional

Ideas previas 2 para diez valores de x. x Describe el comportamiento de cada función a medida que x se hace mayor. Evalúa las funciones f(x) = 2x y g( x ) =

Para recordar Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una, aumenta la otra o si al disminuir una también disminuye la otra y, además, el cociente entre las dos es constante. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una disminuye la otra y viceversa y, además, el producto de las dos es constante.

En una tienda de helados, determinan que sus ventas mensuales V varían directamente con respecto al valor invertido en publicidad B e inversamente con respecto al precio de un helado P. Determinemos una función que relacione el total de las ventas con el valor invertido en publicidad y otra que relacione el total de las ventas con el valor de un helado. Como V y B están relacionados directamente, el cociente de ellas es igual a una consV tante k, es decir, = k y así V = kB. B Como V y P se encuentran relacionados inversamente, el producto de las dos magnitudes es igual a una constante k, es decir, VP = k; por tanto, V = k . P Si el valor de y varía directamente con respecto al valor de x, se dice que y es una función de variación directa con respecto a x y y = kx. Si el valor de y varía inversamente con respecto al valor de x, se dice que y es una función de variación inversa k con respecto a x y y = para x > 0. En ambos casos, k se denomina constante de x variación y k > 0. Ejemplo 1

Consideremos la situación de la tienda de helados. Si la constante de variación es k = 3, la función que relaciona el total de las ventas con el valor invertido en publicidad es V = 3B y la función que relaciona el total de las ventas con el valor de un helado es V = 3 , donde B y P son las variables independientes y V la variable dependiente. P a. Representemos gráficamente las dos funciones. b. Determinemos las ventas mensuales de la tienda de helados si se invierten $ 40 000 en publicidad. Solución

a.

En qué se aplica La distancia que recorre un cuerpo a una velocidad constante está relacionada directamente con el tiempo empleado. Si v es la velocidad constante, d la distancia recorrida en t unidades de tiempo, entonces, v = d × t.

Elaboramos una tabla de valores para cada una de las funciones, teniendo en cuenta que los valores de B y P, por el hecho de que corresponden a dinero, deben ser números positivos. B

V

P

V

0

0

0

No está definida

0,5

1,5

0,5

6

1

3

1

3

2

6

2

1,5

Tabla 40.1 184

Tabla 40.2

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

La representación gráfica de B es una semirrecta que comienza en el origen (ver figura 40.1) y la representación gráfica de P es una curva que no corta a ninguno de los dos ejes (ver figura 40.2). b.

En este caso, tenemos que hallar el valor de V conociendo los valores de k y de B; por tanto, V = 3 × 40 000 = 120 000, es decir, las ventas mensuales son de $ 120 000.

V 6,0 4,5 3,0

1,5

B 0,5

1

1,5

Ejemplo 2

2

2,5

Figura 40.1

La distancia que recorre el sonido varía directamente con el tiempo que este viaja. Si el sonido viaja 1340 metros en 4 segundos, ¿qué distancia recorre el sonido en 5 segundos?

V 12 9

Solución

Sean d: distancia recorrida por el sonido y t: tiempo empleado en el recorrido.

6 3

Como d varía directamente con t, d = kt.

P 1

Reemplazamos en la ecuación anterior d = 1340 y t = 4. Por tanto, k = 335, entonces, la ecuación de relación directa entre las variables d y t es d = 335t.

2

3

4

5

Figura 40.2

Por tanto, la distancia que recorre el sonido en 5 segundos es d = 335 × 5 = 1675 metros. Ejemplo 3

()

Un recorrido de 20 km se hace a una velocidad v. Si v = 20 = 20 1 , determinemos t t si v es de variación inversa. Solución

v es proporcional a la expresión 1, por tanto, v es de variación inversa con respecto t a t. La tabla 40.3 presenta los valores de la velocidad para determinados instantes de tiempo. En ella, se puede ver cómo disminuyen los valores de la velocidad a medida que los valores del tiempo aumentan.

Tiempo (t) Velocidad (v) 1

20

2

10

2,5

8

3

6,67

3,5

5,71 Tabla 40.3

Desarrolla competencias Razonamiento lógico

1.

Determina si la variación que hay entre cada pareja de magnitudes es directa o inversa. Escribe la función de variación entre ellas. a. La velocidad y la distancia recorrida por un automóvil durante un período determinado de tiempo. b. El salario mensual de un empleado y la cantidad de dinero que debe pagar por impuesto sobre ingresos. c. La velocidad con que corre un atleta, y el tiempo utilizado en un recorrido.

d. El tiempo que emplea en derretirse un cubo de hielo sumergido entre agua, y la temperatura del agua. e. El número de calorías consumidas por una persona y la cantidad de ejercicio que debe realizar para quemarlas. 2.

185

Si y varía directamente respecto a x: a.

Determina el valor de y, si x = 12 y k = 6.

b.

Determina el valor de x, si y = 24 y k = 8.

c.

Determina el valor de k, si x = 10 y y = 40.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

3.

4.

5.

Si y varía inversamente con respecto a x... a. Determina el valor de y si x = 18 y k = 12. b. Determina el valor de x si y = 32 y k = 6. c. Determina el valor de k si x = 24 y y = 28.

6.

¿La variación entre x y y es directa o inversa? ¿Cuál es el valor de k? Escribe la función de variación.

7.

¿La variación entre z y w es directa o inversa? ¿Cuál es el valor de k? Escribe la función de variación.

A varía directamente con respecto a B y varía inversamente con respecto a C. Determina el valor de A si B = 12, C = 4 y k = 3.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

8.

Determina si cada enunciado es verdadero o falso. Justifica tus respuestas. En la función y = 8 , si el valor de x aumenta, x entonces, el valor de y aumenta. b. En la función y = 4,5x, si el valor de x disminuye, entonces, el valor de y aumenta. c. La representación gráfica de una función de variación directa es la misma que la de una función afín. d. La representación gráfica de una función de variación inversa es una línea recta. e. Si y varía inversamente con respecto a x y el valor de x se triplica, entonces, el valor de y también se triplica.

a.

2 10 20

y

z

5 2 1 2 1 4

6

2

9

3

15

5

27

9

36

12

Tabla 40.4

a.

Escribe una función de variación directa que relacione la utilidad u con la cantidad de computadores vendidos q.

b.

¿Cuál es el valor de k?

c.

Determina la utilidad que produce la venta de 80 computadores.

d. Si la utilidad es 7488 dólares, determina la cantidad de computadores vendidos. e. 9.

Responde las preguntas 6 y 7 de acuerdo con las tablas 40.4 y 40.5. x

La utilidad por la venta de computadores varía directamente con respecto al número de computadores vendidos. Cuando se venden 65 computadores, la utilidad es 4160 dólares.

w

Representa gráficamente la función de variación hallada.

El tiempo t requerido para construir un muro varía inversamente con respecto al número de personas que trabajan en él. Si 5 trabajadores necesitan 8 horas para construir el muro... a.

Escribe una función de variación inversa que relacione el tiempo t con la cantidad de trabajadores m.

b.

¿Cuál es el valor de k?

c.

Determina el tiempo empleado por 4 hombres para hacer el mismo muro.

d. Representa gráficamente la función de variación hallada.

Tabla 40.5

Resumen Una función de la forma y = kx, para k > 0, es de variación directa. k Una función de la forma y = , para x > 0 y k > 0, es de variación inversa. x En ambos casos, k se denomina constante de variación.

186

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Funciones

Tema

41 Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Pensamiento

variacional

Ideas previas Grafica las funciones f(x) = 3x + 1 y g(x) = –3x – 1. ¿Cuál es el punto de corte de cada gráfica con respecto al eje Y? ¿Qué diferencias observas en las dos gráficas?

80

Daniel participa en una carrera de atletismo. En la figura 41.1, se muestra la velocidad de Daniel a lo largo del recorrido de la carrera.

v

60 40 20

d 1700 200 700 1400 2100 2800 3500

Al observar la gráfica de izquierda a derecha, vemos que la función que representa la velocidad que lleva Daniel está dividida en tres partes: en la primera de ellas, la gráfica sube; en la segunda parte, es una recta horizontal; y en la tercera parte, la gráfica baja. En cada una de estas partes, la función recibe el nombre de creciente, constante y decreciente, respectivamente.

–20

Figura 41.1

Clasificación

Interpretación gráfica Y

Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de valores a y b en el intervalo, se tiene que si a < b, entonces, f (a) < f(b). La gráfica de la función sube de izquierda a derecha.

y = f(x)

f (b)

f (a)

X a

Vínculo web Conoce otro ejemplo para diferenciar funciones crecientes decrecientes y constates, ingresando a la página http://www. youtube.com/watch?v= Dgl23EjUtRs&hd=

b

Y

Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de valores a y b en el intervalo, se tiene que si a < b, entonces, f (a) > f(b). La gráfica de la función va bajando de izquierda a derecha.

y = f(x)

f (a) f (b)

X a

b

Y

Una función f es constante en un intervalo si para todo valor a en el intervalo, los valores de f (a) son siempre iguales. La gráfica de la función es una recta horizontal.

f (a)

y = f(x)

f (b)

X a

b

Tabla 41.1

187

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 1

En la gráfica de la figura 41.1, observamos que la función f... •

Es creciente en el intervalo [0, 200), debido a que los valores de la variable dependiente aumentan a medida que los valores de la variable independiente lo hacen.

•

Es constante en el intervalo de [200, 1700], porque el valor de la variable dependiente siempre es el mismo para cualquier valor de la variable independiente.

•

Es decreciente en el intervalo (1700, 3500], puesto que la velocidad de Daniel va disminuyendo a medida que aumenta la distancia recorrida.

Ejemplo 2

6

Determinemos los intervalos en los que la gráfica de la figura 41.2 es creciente, decreciente o constante.

Y

4 2

X

Solución

20

10

30

40

55 60

–2

En la tabla 41.2, resumimos la información.

–4

Creciente

Decreciente

Constante

[0, 10) (30, 55)

(-∞, 0) (55, +∞)

[10, 30]

Figura 41.2

Tabla 41.2

Desarrolla competencias 1.

Explica con tus palabras cada uno de los siguientes conceptos. a.

Función creciente.

b.

Función decreciente.

c. 2.

b.

Y 2 1

X –π

Función constante.

π –1

Determina los intervalos en los que la función es creciente, decreciente o constante a partir de la gráfica de cada función. a.

–2

c.

Y

Y

4

15

2

10

X –4

–2

2

2π

4

5

6

9

–2

–5

–4

5

10

17 15

X 20

–5

Figura 41.3

188

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

4.

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. a. La gráfica de la función afín y = 3x – 4 es creciente en todo su dominio. b. Si y representa una función de variación directa con respecto a x, la gráfica de la función y es decreciente. c. Si y representa una función de variación inversa con respecto a x, la gráfica de la función y es constante.

Y

8000 6000 4000 2000

X 2

4

6

8

10

12

Horas

6.

Traza la gráfica para cada función de acuerdo con las condiciones dadas. a. Creciente en (−∞, −2). Constante en [−2, 14). Decreciente en [14, ∞). b. Decreciente en (−∞, −10). Creciente en [−10, 20). Decreciente en [20, ∞).

Pensamiento crítico y resolución de problemas

5.

10 000

Figura 41.4

La variación de la altura del agua en un tanque que se llena con una bomba y que cuenta con dos llaves que controlan la salida y la entrada del agua se muestra en la gráfica de la figura 41.5. a. Determina los intervalos en los que la función es creciente. b. Determina los intervalos en los que la función es decreciente. c. Determina los intervalos en los que la función es constante.

La audiencia que tiene un canal de televisión en un día del año se muestra en la gráfica de la figura 41.4. a. Determina los intervalos en los que la función es creciente. b. Determina los intervalos en los que la función es decreciente. c. Determina los intervalos en los que la función es constante.

2,5

Y

2,0

Nivel de agua

3.

Número de televidentes

Razonamiento lógico

1,5 1,0 0,5

t 10

20

30

40

50

Tiempo (minutos)

Figura 41.5

Resumen Y 30

Con base en la figura 41.6, concluimos que la función es creciente en los intervalos (0, 5] y (5, 15]; decreciente en los intervalos (−5, 0] y (15, ∞); y constante en el intervalo (−∞, −5].

20 10

X –5

5

10

15

20

–10

Figura 41.6

189

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Evalúa tus

competencias

Competencias en el Manejo de la información

¿Te has preguntado alguna vez cómo son cultivados los alimentos que consumes y que das a tu familia a diario? Es muy probable que la respuesta sea negativa. Aun así, la mayoría de agricultores orgánicos comenzaron por hacerse esta pregunta antes de dejar de consumir alimentos de producción extensiva (con uso de químicos para la conservación del producto) y comenzar a producir diversos alimentos orgánicos. Esta es la pregunta que hace una huerta orgánica ubicada en Cundinamarca, la cual tiene 3 fanegadas (19 200 m2) de gran variedad de productos orgánicos. Adaptado de [en línea] [citado el 28 de julio de 2014].

Interpretación y representación Completa la afirmación teniendo en cuenta el texto anterior: Las fanegadas son una medida de a. longitud. b. área. c. volumen. d. capacidad.

2.

Si 3 fanegadas equivalen a 19 200 m2 , ¿a cuántos m2 equivale una fanegada?

3.

Si una hectárea equivale a 10 000 m2, ¿a cuántas hectáreas corresponde una fanegada?

En la huerta, se cultivan verduras, hortalizas, plantas aromáticas y algunas veces papa criolla. Y, aunque se tiene una gran variedad, se comercializan otros productos orgánicos cultivados en pequeñas parcelas aledañas a la huerta. El siguiente esquema representa la relación entre los proveedores de la huerta y los lugares donde se comercializan los alimentos.

b.

La relación proveedores-huerta es una función, porque de cada proveedor sale una única flecha a la huerta. La relación huerta-clientes no es función, porque la huerta comercializa sus productos con más de un cliente.

Razonamiento y argumentación 5.

Entre los productos con mayor demanda están la papa sabanera y la lechuga crespa. Por cada bulto de papá que se vende, se venden 3 bultos de lechuga. Si x representa los bultos de papa vendido y f(x) los bultos de lechuga crespa vendidos, escribe una expresión que represente esta relación.

6.

Observa la figura 6.2. 15 Bultos de papa

1.

a.

12 9 6 3

Cliente 1 Proveedor 1

0

Cliente 2 Cliente 3

Proveedor 2

3

4

Figura 6.2

¿Esta figura representa la relación entre los bultos de papa sabanera y lechuga crespa vendidas, descrita en el punto 5?

Cliente 5

Huerta

Figura 6.1

4.

2

Bultos de lechuga crespa

Cliente 4 Proveedor 3

1

Determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones de acuerdo con la figura 6.1. 190

La figura 6.3 representa la función del crecimiento vegetativo y del crecimiento reproductivo de una variedad de papa en un periodo de 120 días.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

9. Madurez fisiológica

Crecimiento, tuberculación y producción

La figura 6.4 representa la función de costo de producción de la huerta durante el primer semestre del año. ¿Qué ecuación la representa? Millones de pesos

Plántula Desarrollo

0

15

30

45

90

95

13 11 9 7 5 3 1 0

1

2

3

4

6

Meses

120

Figura 6.4

( Días ) Crecimiento vegetativo Crecimiento reproductivo

Formulación y ejecución Una característica de los productos 100% orgánicos es que no emplean ningún químico como insecticida. Para tales efectos, usan diferentes productos naturales como uno elaborado con cáscara de cebolla cabezona.

Figura 6.3

7.

¿Qué se puede afirmar acerca de la función de crecimiento vegetativo en el intervalo [15, 45]?

8.

En cuanto a la función de crecimiento reproductivo, es correcto afirmar que a. la función siempre es creciente. b. la función siempre es decreciente. c. de los 45 a 90 días, aproximadamente, la función tiene un intervalo de decrecimiento. d. de los 95 a los 120 días, aproximadamente, la función es constante.

Punto

La siguiente función representa la disminución en porcentaje de la efectividad del insecticida natural una vez 100 para x número de días después aplicado: f ( x ) = x de la aplicación. 10. Evalúa la función para los valores de x: 1, 2, 5 y 10. ¿Cuál es el dominio y rango de f(x)?¿f(x) es una función lineal o afín? ¿f(x) es creciente o decreciente? Justifica tus respuestas.

Desempeño

1.

Interpreto información presentada en textos.

2.

Establezco relaciones entre magnitudes.

3.

Concluyo ideas a partir de información dada.

4.

Determino cuándo una relación es una función.

5.

Establezco la expresión algebraica correspondiente a una función.

6.

Identifico la representación gráfica de una función de variable discreta.

7.

Diferencio los periodos de crecimiento y decrecimiento de una función.

8.

Identifico periodos constantes en una función.

9.

Reconozco las gráficas correspondiente a una función.

10.

Grafico una función a partir de una tabla de valores.

Sí

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

191

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Prueba Competencias en el Manejo de la información

Encuentra la respuesta correcta entre las opciones A, B, C y D. Márcala en la hoja de respuestas, rellenando completamente el recuadro correspondiente. 1.

Como preparativo para su fiesta de cumpleaños, Bruno quiere ofrecer torta de chocolate (cortada en 15 pedazos) y pastel de manzana (cortada en 6 pedazos). Si dispone de dos tortas de chocolate y tres pasteles de manzana, ¿cuál es la máxima cantidad de bandejas que puede organizar con todos los postres si cada bandeja debe tener la misma cantidad de tortas y pasteles?

4.

Determina cuál es el sólido cuyo volumen está representado por 5x3 – 15x2. A.

5

A. 6 B.

3

x

C. 2 D. 1 2.

3.

x2 – 2x – 3

B.

Con el objetivo de mejorar la atención al cliente, se aumentó la superficie rectangular de una plaza de mercado. El largo de la plaza aumentó el doble de lo que aumentó el ancho. Si el área final se puede expresar como 2x2 + 33x + 130, donde x representa el aumento en el ancho, ¿cuáles eran las dimensiones originales (largo × ancho) de la plaza? A. 13 × 10 B. 15 × 12 C. 12 × 13 D. 8 × 13

x2

(x – 3)

5

C.

x–3

5x (x + 1)

Observa la figura.

D. 5x + 3

a2 – ab + b2 (x + 1) x

a2 + ab + b2 Figura 2.1

La expresión que representa el área del triángulo es A.

a +ab +b . 2

B.

2(a4 + a2b2 + b4).

C.

a2 + b2 . 2

4

2 2

5.

Figura 2.2

La siguiente igualdad está incompleta. 1 2x 1 4x + 2 + = x + 1 x −1 ( x − 1)( x + 1)

䊏

4

La expresión que falta es A. B. C. D.

D. 2(a2 + b2). 192

x2 – 1. x + 1. x2 + 1. x – 1.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

6.

x

Acerca de la expresión 1+

1+

1 x

A. su solución es

2x para x ≠ 0. x +1

C. su solución es

2x para x ≠ 0 y x ≠ –1. x +1

B.

1 x ( x + 1) para x ≠ 0 y x ≠ − . 2 2x + 1

D. su solución es

x (2 x + 1) para x ≠ 0 y x ≠ –1. x +1

su solución es

La tabla 2.1 muestra la información sobre la longitud (en cm) de la sombra de un objeto, que se encuentra ubicado en un mismo lugar, a diferentes horas del día.

Longitud de la sombra (cm)

Hora del día 12:30 p. m.

40

1:00 p. m.

37

1:30 p. m.

34

2:00 p. m.

31

2:30 p. m.

28 Tabla 2.1

¿Cuál de las siguientes gráficas describe adecuadamente la información presentada en la tabla 2.1? A.

C.

40

Longitud de la sombra (cm)

Longitud de la sombra (cm)

40 38 36 34 32 30 28

38 36 34 32 30 28

0

0

0 pm

12:3

1:00

pm

1:30

pm

2:00

pm

2:30

0 pm

pm

12:3

1:00

Hora del día

B.

pm

1:30

pm

2:00

pm

2:30

pm

pm

2:30

pm

Hora del día

D.

40

Longitud de la sombra (cm)

40

Longitud de la sombra (cm)

7.

, para x ≠ 0, se puede afirmar que

1

38 36 34 32 30 28

38 36 34 32 30 28

0

0

0 12:3

pm

1:00

pm

1:30

pm

2:00

pm

2:30

0 pm

pm

12:3

Hora del día

1:00

pm

1:30

pm

2:00

Hora del día

Figura 2.3 193

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

El salario semanal de un vendedor de seguros, en miles de pesos, está en función del número de pólizas nuevas vendidas, tal como se muestra en la figura 2.4. Si el vendedor desea tener el salario de $ 840 000 en una semana, ¿cuántas pólizas nuevas debe vender en una semana? A. B. C. D.

9.

Salario semanal

8.

6 8 10 12

1400 1200 1000 800 600 400 200 0 2

4

6

8

10

12

14

16

Número de pólizas Figura 2.4

La gráfica de la figura 2.5 muestra la distancia recorrida por una persona en un automóvil en un periodo de tiempo. Con base en la información de la gráfica, se puede afirmar que

Y

Distancia (km)

400 300 200 100 X

1

2

3

4

5

6

Tiempo (h)

Figura 2.5

A. la persona va en su automóvil a una velocidad constante, porque, para cualquier distancia, el cociente entre este valor y el tiempo empleado en recorrer dicha distancia siempre es igual. B. a la segunda hora, alcanzará una velocidad de 200 km/h. C. la función descrita es creciente, porque entre más tiempo transcurre, el automóvil recorre más kilómetros. D. la función descrita es decreciente, porque entre más tiempo transcurre, el automóvil recorre menos kilómetros, dado que se acerca a su punto de llegada.

10. El tiempo empleado por una persona en cepillarse los dientes por sesión es inversamente proporcional al número de caries a desarrollar. Daniel desarrolló cuatro caries durante un año y empleó un promedio de tiempo de cepillado de 30 segundos. Si aumenta el tiempo de cepillado a 2 minutos en promedio, ¿crees que se incrementará el número de caries que desarrollará en un año? Justifica tu respuesta. Disminuirá a1 ______________________________________________

______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________

194

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Formato de respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

A ✗

A ✗

A ✗

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B ✗

B

✗B

B

B

B

C

C

C

C

C

C

C ✗

C ✗

✗C

D

D

D

D

D ✗

D

D

D

D

Punto

Desempeño

Competencia

Conocimiento

1.

Reconozco el uso del mínimo común múlti- Razonamiento plo en situaciones diversas. y argumentación

Genérico

2.

Resuelvo y modelo problemas en situaciones de variación en contextos geométricos.

Formulación y ejecución

Genérico

3.

Represento algebraicamente situaciones.

Interpretación y representación

No genérico

4.

Represento y uso expresiones algebraicas equivalentes.

Razonamiento y argumentación

No genérico

5.

Realizo adiciones y sustracciones con fracciones algebraicas.

Formulación y ejecución

No genérico

6.

Reconozco y simplifico fracciones algebraicas complejas.

Formulación y ejecución

No genérico

7.

Establezco y modelo relaciones entre propiedades de las gráficas y situaciones de variación.

Interpretación y representación

Genérico

8.

Uso representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa.

Razonamiento y argumentación

Genérico

9.

Identifico las características gráficas de las funciones crecientes, decrecientes y constantes.

Formulación y ejecución

Genérico

10.

Reconozco y describo relaciones entre magnitudes.

Interpretación y representación

Genérico

Correcta

No correcta

De 10 puntos obtuve bien ____.

195

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Capítulo

3

Geometría

196

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Alfabetismo en medios desde las Matemáticas

Identifica 1. ¿Quiénes están interesados en mostrar los elementos urbanos de una ciudad? 2. Cuándo lees “La ciudad son sus habitantes … haz parte de ella”, ¿a qué crees que

te están invitando? 3. ¿De qué otra forma se podría difundir este mensaje? 4. ¿A quiénes les llamaría la atención la imagen y la frase de esta valla?

Analiza 1. ¿Qué características tiene una valla publicitaria? 2. ¿Qué diferencia existe entre la ciudad en la que vives hoy y la ciudad en la que

vivieron tus abuelos? 3. ¿Qué formas geométricas distingues en las construcciones que muestra la ima-

gen de la ciudad actual? 4. ¿Podrías pensar en tu ciudad como un gran plano cartesiano? Explica por qué. 5. ¿Qué relación geométrica puedes establecer entre los ejes viales (calles, carreras,

autopistas) de tu ciudad? Identifícalas. 6. ¿Tu ciudad fue concebida en forma radial concéntrica, en cuadrícula, sin planeación o de forma mixta? 7. ¿Qué clase de ángulos se forman entre los tejados y las paredes de las construcciones que se muestran en la imagen?

Opina 1. ¿Qué diferencia existe entre un apartamento o una casa construidos en 1960 y un

apartamento o una casa construidos en 2013? 2. ¿Qué formas tienen las construcciones de tu colegio y qué espacios modificarías o incluirías?

Temas 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.

Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo Construcción de la geometría Ángulos y rectas perpendiculares Rectas paralelas Rectas paralelas y triángulos Triángulos congruentes

49. 50. 51. 52. 53. 54. 55.

197

Aplicación de la congruencia de triángulos Congruencia de triángulos rectángulos Mediatrices y bisectrices Desigualdades en un triángulo Paralelogramos De cuadrilátero a paralelogramo Cuadriláteros especiales: rectángulos, rombos y trapecios

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Evaluación

diagnóstica

Competencias en el Manejo de la información

Lee con atención las siguientes preguntas y enunciados. En cada caso, encierra la respuesta correcta.

2.

Un grupo de investigación realizó 4 experimentos para seleccionar el procedimiento que limpiara más el aire. El primer procedimiento dejó el 30% del aire más limpio; el segundo, el 15%; el tercero, el 45%; y el cuarto, el 20%. ¿Cuál crees fue el seleccionado? a. El primer procedimiento . b. El segundo procedimiento. c. El tercer procedimiento. ✗ d. El cuarto procedimiento.

Los destellos de luz se pueden representar geométricamente a través de a. ✗ b. c. d. 4.

Observa la imagen.

una recta. un rayo. un segmento. un ángulo.

Observa el plano de la figura 3.1.

Ca rre ra 10

1.

Ca lle 13

Ca rre ra 5

Iglesia

Museo

Ca rre ra 6

Ca lle 12

Ca rre ra 7

Ca rre ra 8

Ca rre ra 9

Banco

Universidad

Ca rre ra 4

Biblioteca

La brújula está apuntando a a. b. c. ✗ d. 3.

36º en la dirección Sur-Este. 45º en la dirección Norte-Este. 330º en la dirección Sur-Oeste. 315º en la dirección Norte-Oeste.

Figura 3.1

A partir de la información del plano, se puede concluir que

Observa la imagen.

a.

la carrera 8 y la calle 11 son paralelas.

b.

las carreras 7 y 6 son perpendiculares.

c.

la carrera 7 y la calle 11 son paralelas.

d. ✗ la carrera 6 y la calle 11 son perpendiculares. 5.

Sean α, β y γ los ángulos internos de un triángulo. Si α = 45º y β = 65º, entonces, la medida de γ es a. ✗

70º.

b.

75º.

c.

80º.

d. 85º. 198

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

6.

7.

Si un triángulo es rectángulo y ninguno de sus lados tiene la misma medida, se puede afirmar acerca de sus ángulos agudos que a. su suma es 100º. b. son iguales. c. su suma es 90º. ✗ d. su suma es mayor que 100º.

8.

PARE

22,5 cm por 22,5 cm. 22,5 cm por 18,5 cm. 18,5 cm por 22,5 cm. 18,5 cm por 18,5 cm.

Punto

CEDA EL PASO

SIGA DE FRENTE

Figura 3.2

Las señales de tránsito que tienen forma de polígonos son a. Pare y Ceda el paso. ✗ b. Ceda el paso y Siga de frente. c. Pare, Ceda el paso y Siga de frente. d. Pare y Siga de frente. 9.

a. b. c. ✗ d.

CEDA EL PASO

PARE

Flor pintó un bodegón sobre vidrio y quiere mandarlo a enmarcar.

Si las dimensiones del vidrio son 22,5 cm de largo por 18,5 cm de ancho, entonces, el ancho y largo del marco (bordes internos), respectivamente, son

Observa la figura 3.2.

En cualquier trapecio, se cumple que a. dos lados son perpendiculares. b. dos lados son paralelos. ✗ c. los cuatro lados tienen la misma medida. d. los cuatro lados tienen diferente medida.

10. Para comprobar que una figura es un rectángulo, se debe corroborar que a. todos sus lados tienen la misma medida. b. sus dos pares de lados opuestos son paralelos. ✗ c. todos sus lados tienen diferente medida. d. sus dos pares de lados opuestos son perpendiculares.

Desempeño

Sí

1.

Analizo situaciones de la vida cotidiana para sacar conclusiones.

2.

Identifico el ángulo como parte de un objeto físico de medición.

3.

Identifico rectas, rayos, segmentos o ángulos en diferentes situaciones.

4.

Reconozco las rectas paralelas y perpendiculares como parte de un plano físico.

5.

Reconozco la medida de los ángulos internos de un triángulo.

6.

Identifico la relación entre la medida de los lados y ángulos internos en un triángulo.

7.

Uso la noción de congruencia para establecer relaciones entre objetos físicos.

8.

Identifico los polígonos como parte de un objeto físico.

9.

Identifico las características de un trapecio.

10.

Identifico la noción de paralelismo en la figura de un rectángulo.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

199

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

Tema

42 Razonamiento inductivo Ideas previas

Pensamiento

espacial

Leonardo de Pisa (1175 – 1258), también conocido como Fibonacci, fue uno de los primeros europeos en usar el sistema de numeración hindú-arábigo, en lugar de los numerales romanos. Es conocido por la sucesión de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… 1. ¿Cuál crees que es la regla de formación que siguen estos números? 2. ¿Cuáles son los tres siguientes términos de la sucesión?

En la figura 42.1, se presentan algunos arreglos triangulares elaborados con fichas cuadradas. El número de fichas cuadradas utilizadas en cada arreglo se indica en la tabla 42.1.

1

2

3

4

Arreglo

Número de fichas cuadradas

1

1

2

3

3

6

4

10

Figura 42.1

Tabla 42.1

¿Cuántos cuadrados se necesitan para el séptimo arreglo y cuántos para el décimo arreglo? Para responder estas preguntas, debemos determinar si existe algún patrón en la forma como se escogió el número de cuadrados de cada arreglo y usar el razonamiento inductivo. El razonamiento inductivo lleva a la formulación de una conclusión a partir de un patrón evidenciado en ejemplos específicos o experiencias del pasado. Se generaliza a partir de unos ejemplos. Observemos la lista de los números de la figura 42.2 que representa a los de la tabla 42.2.

a1

a2

a3

a4

1

3

6

10

2

3

4

n

an

1

1

2

1+2=3

Diferencia

3

1+2+3=6

Figura 42.2

4

1 + 2 + 3 + 4 = 10 Tabla 42.2

Así, el séptimo arreglo tendrá 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 cuadrados y el décimo arreglo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 cuadrados.

200

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 1

Determinemos cuál es la figura que sigue en la secuencia de la figura 42.3. Solución

Figura 42.3

Inicialmente, observamos la figura, los elementos y su ubicación, así: cada figura es un cuadrado, en una de las esquinas del cuadrado hay otro cuadrado y en su esquina opuesta, líneas oblicuas. Luego, observamos que la posición del cuadrado azul se rota 90° con respecto a su posición anterior y que el número de líneas oblicuas es igual al número que ocupa la figura en la secuencia. Este análisis junto con un razonamiento inductivo nos lleva a concluir que la figura que sigue es la que aparece en la figura 42.4.

Figura 42.4

Las conjeturas que se formulan mediante el razonamiento inductivo no siempre son verdaderas, pues es difícil garantizar que a largo plazo siga cumpliéndose el mismo patrón. Además, debe asegurarse que la exploración realizada sea amplia y que no se dejen de analizar posibles ejemplos de la situación propuesta. Cuando de números se trata, el razonamiento inductivo puede ser útil para resolver problemas. El proceso consiste en considerar casos para determinar un patrón. Ejemplo 2

Hallemos la suma de los primeros 19 números impares.

Adición de números impares consecutivos

Suma

Patrón

1

1

12

1+3

4

22

1+3+5

9

32

1+3+5+7

16

42

1+3+5+7+9

25

52

Solución

Elaboramos una lista de sumas de números impares consecutivos, como la que aparece en la tabla 42.3. Razonando inductivamente, concluimos que la suma de los primeros 19 números impares debe ser 192 = 361.

Tabla 42.3

Desarrolla competencias 1.

2.

3.

Lucía creció 2 cm cada año en los últimos cuatro años. Ahora tiene 10 años y mide 158 cm. Ella asegura que cuando tenga 16 años medirá 170 cm. ¿Consideras que la conjetura de Lucía es correcta? Explica tu respuesta.

Razonamiento lógico

4.

Atletas de países africanos han ganado el Medio Maratón de Bogotá en los últimos tres años. ¿Se podrá asumir que alguno de los corredores de los países africanos ganará el maratón este año? Explica tu respuesta. Halla los siguientes dos términos de cada sucesión. 1 1 1 b. 1, 2, 4, 7, 11… a. 1, , , … 2 4 8 c. 81, 27, 9, 3… d. 2, 3, 5, 9…

201

Traza la figura que continúa cada secuencia presentada en las figuras 42.5a a 42.5c. a.

b.

c.

Figura 42.5

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5.

Decide si la generalización establecida a partir de las figuras es válida y justifica tu respuesta. Puedes usar un programa de geometría dinámica o hacer construcciones con regla y compás para investigar la situación. a. El símbolo >> o > en dos segmentos de una figura significa que son paralelos.

d.

Figura 42.9

Generalización: la cuerda más larga de una circunferencia es el diámetro. Pensamiento crítico y resolución de problemas

6.

Figura 42.6

Generalización: todos los cuadriláteros tienen un par de lados opuestos paralelos. b.

Los números figurados son aquellos que se pueden expresar utilizando configuraciones geométricas. Para cada una de las secuencias de las figuras 42.10a a 42.10d, representa tres números más de cada lista. a. Números triangulares

P y Q son puntos medios. Q

Q

P

Q

1

P

P

3

6

b.

Números cuadrados

c.

Números pentagonales

10

Figura 42.7

Generalización: el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado. c.

PQ es altura del △TPR.

1

4

9

16

P P T

Q

T R

Q

P

T

Q R

R

1

5

12

d. Números hexagonales Figura 42.8

Generalización: las alturas de un triángulo tienen un extremo en un vértice y el otro en el lado opuesto del triángulo.

1

6

15

Figura 42.10

Resumen El razonamiento inductivo consiste en observar distintas situaciones, identificar alguna propiedad común a todas ellas y establecer dicha propiedad como cierta para todos los casos.

202

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Geometría

Tema Pensamiento

espacial

43 Razonamiento deductivo Ideas previas Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1. Si una persona es natural de Medellín, entonces, es de Antioquia. 2. Si un número es impar, entonces, es divisible por 3. 3. Si dos rectas son perpendiculares, entonces, no son paralelas.

El razonamiento deductivo es un proceso que realiza una persona a partir de unos datos dados y, con base en ellos, formula una conclusión. Si los datos dados son verdaderos y los hechos conocidos que se usan también lo son, entonces, el razonamiento deductivo siempre produce una conclusión verdadera. Por ejemplo, los ingenieros encargados de construir el arco de un monumento usaron los siguientes hechos para concluir que las medidas de la estructura, durante la construcción, debían tomarse de noche, pues el material usado para el arco era acero inoxidable. Si brilla el sol, entonces, las láminas de acero se calientan. Si una lámina de acero inoxidable se calienta, entonces, se expande. Si la lámina se expande, entonces, las medidas no son exactas. Estas proposiciones, que son afirmaciones para las cuales se puede decidir si lo que se expresa es verdadero o falso, están enunciadas como implicaciones. Una implicación resulta de enlazar dos proposiciones con el conector si… entonces… que se simboliza p → q. La primera proposición de la implicación p se denomina el antecedente o hipótesis y la segunda proposición q, el consecuente o tesis. Ejemplo 1

Representemos el razonamiento deductivo realizado por los ingenieros encargados de la construcción del arco. Solución ¿Qué sabemos? 1. Brilla el sol. p

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Si brilla el sol, entonces, las láminas de acero se calientan.

Las láminas de acero se calientan. q

Si una lámina de acero inoxidable se calienta, entonces, se expande.

Las láminas de acero se expanden. r

Si la lámina se expande, entonces, las medidas no son exactas.

Las medidas no son exactas. s

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ p→q

2. Las láminas de acero se calientan. q

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → q→r

3. Las láminas de acero se expanden. r

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → r→s

En cada paso, lo que se deduce en el paso anterior se convierte en conocimiento en el paso siguiente. Es así como se forma una cadena que permite concluir lo siguiente: Si brilla el sol, entonces, las medidas de las láminas no son exactas. p→s 203

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En qué se aplica En varias profesiones es indispensable desarrollar la capacidad para razonar deductivamente, por ejemplo, un investigador de la policía debe analizar las diferentes pruebas o evidencias que tiene de un caso para establecer el desarrollo de un determinado acontecimiento. Por su parte, un médico puede dar un diagnóstico a partir de los síntomas que presenta un paciente, de los exámenes que se le practica y de sus conocimientos en medicina.

Pero ahí no termina el proceso deductivo. Los ingenieros usan la siguiente proposición para obtener su conclusión. En ella, el antecedente es la negación del consecuente de la implicación original, que se simboliza ¬s, y el consecuente es la negación del antecedente, que se simboliza (¬p), así: Si las medidas de las láminas son exactas, entonces, no brilla el sol. ¬s → ¬p La implicación ¬s → ¬p se denomina la contrarrecíproca de la proposición p → s. De esta manera, los ingenieros concluyen que deben tomar las medidas de noche. La proposición recíproca de una proposición condicional se forma intercambiando el antecedente y el consecuente, es decir, si se tiene la implicación p → q, la proposición q → p es su recíproca. La contrarrecíproca es obtiene al negar las dos proposiciones originales e invertir su orden, es decir, la contrarrecíproca de p → q es ¬q → ¬p. Ejemplo 2

Determinemos los argumentos que permiten asegurar que dos ángulos rectos son congruentes. Solución

A continuación, presentamos el proceso deductivo para concluir que los ángulos rectos son congruentes. El primer paso que realizamos es expresar la proposición como una implicación: Si ∠A y ∠B son rectos, entonces, ∠A ≅ ∠B. ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. ∠A y ∠B son rectos.

Definición de ángulo recto

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

2. m ∠A = 90° m ∠B = 90°

Propiedad transitiva de la igualdad

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

3. m ∠A = m ∠B

Definición de congruencia

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

¿Qué concluimos? m ∠A = 90° m ∠B = 90° m ∠A = m ∠B ∠A ≅ ∠B

El proceso deductivo usado en los ejemplos anteriores podemos representarlo p → q y se lee “p, entonces, q”. Si p y p → q son verdaderas, entonces, se concluye que q es verdadera.

Desarrolla competencias 1.

Frente a un almacén se encuentra el siguiente aviso. Usa el razonamiento deductivo para contestar Sí o No, en los casos que sean posibles. Justifica tu respuesta cuando sea No. Prohibido parquear vehículos, excepto los de carga. Lunes - Miércoles - Viernes de 7:00 a. m. - 9:00 a. m. Martes - Jueves de 6:00 a. m. - 8:00 a. m.

a. b. c.

Figura 43.1

¿Puede una persona estacionar su carro particular frente al almacén un miércoles a las 8:30 a. m.? ¿Puede una persona estacionar su taxi frente al almacén un martes a las 9 a. m.? Un camión de carga está estacionado frente al almacén un viernes. ¿Qué hora puede ser?

204

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2.

Explica la diferencia entre razonamiento inductivo y razonamiento deductivo.

4.

Razonamiento lógico

Decide si cada proposición dada es verdadera. Escribe la contrarrecíproca y determina si es verdadera. a. Si el triángulo ABC es isósceles, entonces, tiene dos ángulos congruentes. b. Si el número a no es un múltiplo de 9, entonces, no es divisible por 3. c. Si vive en Colombia, entonces, vive en Bogotá. d. Si dos ángulos son complementarios, entonces, la suma de sus medidas es igual a 90°. e. Si el niño no tiene más de 3 años, entonces, viaja gratis en los buses. f. Si dos rectas se intersecan, entonces, las rectas no son paralelas. g. Si dos ángulos son complementarios, entoces, sus medidas suman 90°. h. Si x es número primo, entonces, es impar.

3.

Decide si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera. Si no lo es, explica por qué. Escribe la recíproca y determina si es verdadera. Si no lo es, explica por qué. a. Si un número es divisible por dos, entonces, es par. b. Si un polígono es un rectángulo, entonces, tiene dos ángulos rectos. c. Si un número es mayor que cero, entonces, no es negativo. d. Si un cuadrilátero tiene tres lados congruentes, entonces, es un cuadrado. e. Si dos rectas son perpendiculares, entonces, se intersecan.

5.

Completa el proceso de razonamiento deductivo para justificar la afirmación en cada caso. Usa las proposiciones dadas, que se consideran como hechos verdaderos. Recomendación: escribe las mismas proposiciones en los cuadros del mismo color. a.

Hecho geométrico: si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces, ambos pares de lados opuestos son congruentes. A

B

D

C

Definiciones Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos y cuatro lados congruentes.

Afirmación: si el cuadrilátero ABCD es rectángulo y tres de sus lados son congruentes, entonces, es un cuadrado.

Figura 43.2 ¿Qué sé? 1. El cuadrilátero ABCD es un rectángulo. 2. 3. Tres de sus lados AB, BC y CD son congruentes.

4.

¿Qué uso?

¿Qué concluyo?

Definición de rectángulo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Hecho geométrico

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Propiedad transitiva de la igualdad

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Definición de cuadrado

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

205

ABCD es un cuadrado.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

b.

Hecho aritmético: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Definición: h es un número impar si h es un múltiplo de 2, aumentado en 1. Afirmación: si k es un número impar, entonces, k2 es un número impar. ¿Qué sé?

¿Qué uso?

1. k es un número impar.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. k2 = (2n + 1)2

c.

¿Qué concluyo? k = 2n + 1, si n es un entero.

Hecho aritmético

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Propiedad distributiva

3.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Definición de número impar

k2 es un número impar.

Hecho geométrico: si se tienen dos puntos, entonces, existe una recta que los contiene.

Definición: el conjunto A es diferente del conjunto B si existe un elemento del conjunto A que no está en el conjunto B.

Definición: tres o más puntos son colineales si existe una recta que los contiene. Afirmación: si A, B y C son tres puntos no colineales, entonces, determinan tres rectas diferentes. ¿Qué sé?

¿Qué uso?

¿Qué concluyo?

1. A y B son puntos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. C y B son puntos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3. A y C son puntos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4. A, B y C no son colineales. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

←→ ⎯

←→ ⎯

←→ ⎯

5. A ∉ BC , B ∉ AC y C ∉ AB

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

←→ ⎯

←→ ⎯

←→ ⎯

A ∉ BC , B ∉ AC y C ∉ AB

←→ ⎯ ←→ ⎯

←→ ⎯

AB , BC y AC son rectas diferentes.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

6.

Arma un discurso deductivo para justificar cada afirmación. a. Si k es múltiplo de 6, entonces, k aumentado b. en 9 es múltiplo de 3.

Si u es un número par, entonces, 7u es un número par.

Resumen Implicación

Antecedente

Consecuente

Recíproca

Contrarrecíproca

p→q

p

q

q→ p

¬q → ¬p Tabla 43.1

206

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Geometría

Tema Pensamiento

espacial

44 Construcción de la geometría Ideas previas ¿Cómo crees que transmite un arquitecto la información necesaria para que los obreros de una construcción puedan reproducir, usando cemento y ladrillos, lo que él esta imaginando?

Para estudiar geometría, necesitamos conocer los conceptos en los que la geometría se basa, los términos que usa para comunicar ideas, los símbolos que emplea para representar conceptos o relaciones y las normas que la rigen. La geometría euclidiana se construye a partir de tres nociones que no se definen: punto, recta y plano, y de afirmaciones que se establecen como postulados que regulan las relaciones entre estos objetos geométricos. Además, cuenta con las definiciones, que son enunciados de las propiedades características de un objeto, mediante las cuales se puede diferenciar de otros. Recordemos algunos postulados, así como los símbolos que representan las figuras geométricas y la notación que se usa para nombrarlos.

Postulados 1. De la recta 2. De la intersección de rectas Dados dos puntos, existe exactamente una recta que los Dos rectas se cortan en un único punto. contiene. 3. De la llaneza del plano 4. De la intersección de planos Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces, Si dos planos tienen puntos en común, entonces, su intertoda la recta está en el plano. sección es una recta. 6. De correspondencia puntos números Se puede establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales, tal que 5. Existencia del plano a. a cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real. Si tres puntos no están en una misma recta, entonces, existe un único plano que los contiene. b. a cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta. El número correspondiente a cada punto se denomina su coordenada. 8. Del par lineal Si dos ángulos comparten un lado y los otros dos lados son rayos opuestos, entonces, los ángulos son suplementarios.

7. De la medida de ángulos A cada ángulo le corresponde un número entre 0 y 180.

9. De la adición de medidas de ángulos Si Q es un punto en el interior del ∠RST, entonces, la medi- 10. De la adición de medidas de segmentos da del ∠RST es igual a la suma de las medidas de ∠RSQ y Si B está entre A y C, entonces, AB + BC = AC. ∠QST. 11. Del plano Si α es un plano, entonces, tiene tres puntos no colineales. Tabla 44.1

También, recordemos algunas definiciones. 207

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Figura geométrica Segmento

Definición ←→ ⎯

A

C

El segmento AC (AC) es el conjunto de puntos A, C y todos los puntos de la AC entre A y C. ⎯→ ⎯

Rayo

El rayo LK ( LK ) está formado por todos los puntos del LK junto con todos los ←→ ⎯ demás puntos de la LK , tal que K está entre el punto escogido y L. L se denomina el origen del rayo LK.

K L

Ángulo

Un ángulo (∠ABC) es la unión de dos rayos que no son colineales y que tienen el mismo origen.

A

B

C ⎯→ ⎯

Rayos opuestos

⎯→ ⎯

Si B es un punto entre A y C, entonces, los rayos BA y BC son opuestos.

C

B

A

Punto medio

El punto S es punto medio del RT si S está entre R y T, y RS ≅ ST.

T S R

Bisectriz de un ángulo

⎯→ ⎯

La bisectriz del ∠ABC ( BQ ) es un rayo con extremo en el vértice del ángulo y demás puntos en el interior del ángulo, tal que el rayo con los lados del ángulo forman dos ángulos congruentes.

A Q

B

C

Ángulos y segmentos congruentes

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.

Distancia entre puntos

La distancia entre dos puntos A y B es el valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas. Tabla 44.2 Ejemplo 1

Escribamos lo que podemos afirmar de la figura 44.1 y el postulado o definición que lo asegura.

W

Solución

Q Z

Algunas afirmaciones que podemos deducir son las siguientes:

X

Afirmaciones

Postulado o definición

X está entre Y y Z.

Y

Figura 44.1

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

XY y XZ son rayos opuestos.

Definición de rayos opuestos.

∠ YXW y ∠ WXZ son suplementarios.

Postulado del par lineal.

m ∠ YXW + m ∠ WXZ =

Definición de ángulos suplementarios.

180o

m ∠ YXQ + m ∠ WXQ = m ∠ YXW 0o

< m ∠ YXQ <

180o

Postulado de la adición de medida de ángulos. Postulado de la medida de ángulos.

YX + XZ = YZ

Postulado de la adición de la medida de segmentos.

Existe el plano α que contiene a los Postulado de la existencia del plano. puntos X, Y y W. ←→ ⎯

La XY está en el plano α.

Postulado de la llaneza del plano. 208

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Con base en los anteriores elementos, podemos deducir si otras afirmaciones acerca de las figuras geométricas son verdaderas. El proceso que utilizamos para ello se denomina prueba, que consiste en formar una cadena de proposiciones entrelazadas que se deducen de las definiciones y postulados. Este proceso ayuda a comprender la situación expresada en la afirmación y explicar por qué tiene que ser verdadera en caso de serlo. Cuando una afirmación cuenta con una prueba, recibe el nombre de teorema. Un teorema es un proposición que se debe demostrar utilizando definiciones, postulados y otras propiedades que ya han sido demostradas. Ejemplo 2

Determinemos cuántos puntos tiene una recta. Solución

El dibujo que usamos para representar una recta conlleva la idea de que el número de puntos en ella es infinito, sin embargo, es necesario analizar el postulado que valida esa afirmación. Por el Postulado de correspondencia puntos números (ver tabla 44.1, numeral 6, literal b.), asignamos números reales a los puntos de la recta, empezando por los enteros (ver figura 44.2). Como el literal a. del mismo postulado asegura que a cada punto le corresponde un solo número, concluimos que la recta tiene tantos puntos como números tiene el conjunto de enteros. Por ello, podemos afirmar que hay infinitos puntos en la recta. Pero aún faltan números reales a los cuales no les hemos 1 1 asignado un punto, por ejemplo, , 2 , –3,7 (ver figura 44.3). 2 3 A cada uno le corresponde un punto. Cuando terminemos el proceso de asignarle a cada punto de la recta un número real, no habrá un punto que sobre. Entonces, podemos asegurar que la recta tiene infinitos puntos. Esta idea, que demostramos haciendo uso del Postulado de correspondencia puntos números, se convierte en un teorema.

A

B

C

D E –3 –2 F G –1 0 H I 1 2 3 4 5

Figura 44.2 L

K C

E

D

F

G

H

–3,7

2

Figura 44.3

Si m es una recta, entonces, m tiene infinitos puntos.

Desarrolla competencias Determina si cada proposición es una definición o un postulado. a. Si dos puntos están en un plano, entonces, la recta que determinan está en el plano. b. Rectas intersecantes son las que tienen un punto en común. c. Dados tres puntos diferentes no colineales, hay exactamente un plano que los contiene.

209

m

3 4 I A 1 2 0 –2 –1 2 13 1 –4 –3 B

Teorema. De la recta

1.

m

d. Cuatro puntos son coplanares si se encuentran en el mismo plano. e. Tres o más puntos son colineales si existe una recta que los contiene. f. Tres o más rectas que se encuentran en el mismo plano y tienen un punto en común se denominan rectas concurrentes. g. Dos ángulos congruentes miden igual.

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2.

Observa con atención la figura 44.4 y nombra a. b. α S T c. R L d. P M N

K

O

U

Figura 44.4

e. f. g.

tres pares de rayos opuestos tres rectas que contienen al punto K dos segmentos en rectas diferentes tres ejemplos que ilustran el Postulado de adición de medidas de segmentos un ejemplo del Postulado de la adición de medidas de ángulos dos planos tres pares de ángulos suplementarios

Razonamiento lógico

3.

Completa la prueba del teorema. La información que se vuelve a usar se escribe con el mismo color. a.

Teorema. Existencia del punto medio Si se tiene un AB, entonces, existe su punto medio. Prueba ¿Qué sé?

¿Qué concluyo? ←→ ⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

AB ⊂ AB

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Se asigna 0 al punto A y 1 al punto B.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Existe un punto C en AB que le corresponde a 1 . 2

4. La coordenada de A es 0, la de B 1 es 1 y la de C es . 2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

AC = 1 − 0 = 1 2 2 BC = 1 − 1 = 1 2 2

5. AC = BC = 1 2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

AB ≅ BC

6. AB ≅ BC C está entre A y B.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

C es el punto medio de AB.

1. AB ←→ ⎯

2. AB ⊂ AB

3. 1 es un número real. 2

b.

¿Qué uso?

←→ ⎯

Teorema. Punto y recta determinan un plano Si m es una recta y K es un punto que no está en la recta, entonces, existe un plano α que los contiene. Prueba ¿Qué sé?

¿Qué uso?

¿Qué concluyo?

1. m es una recta.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Existen puntos D y E en m.

2. D, E y K no son colineales.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Existe un plano α que contiene a D, E y K.

3. D y E están en el plano α.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

La DE está en el plano α.

210

←→ ⎯

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Pensamiento crítico y resolución de problemas

4.

Las propiedades de los números reales son útiles para establecer teoremas, además de los postulados, las definiciones y los teoremas de la geometría. Escribe la información necesaria para concluir la afirmación final. ¿Qué propiedad de la adición o igualdad se usa cuando se escribe Propiedad de reales para llegar a la conclusión establecida? ¿Qué sé? ¿Qué uso? ¿Qué concluyo? a. 1. AB ≅ CD

D

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. AB = CD

C

Propiedad de reales

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

B 3. B está entre A y C. C está entre B y D.

A

AB = CD AB + BC = BC + CD

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Figura 44.5 4.

Propiedad de reales

AB + BC = BC + CD

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

5.

AC ≅ BD

Teorema. Bisectriz

b.

La medida de un ángulo es igual al doble de la medida de cualquiera de los dos ángulos determinados por la bisectriz del ángulo. ¿Qué sé? C B

¿Qué uso?

D

1. AC es bisectriz del ∠BAD.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3. C está en el interior del ∠ BAD.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4. A

¿Qué concluyo?

⎯→ ⎯

Propiedad de reales

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Figura 44.6

m ∠BAC = m ∠CAD

2m ∠BAC = m ∠BAD

Resumen

La geometría

nociones

de

postulados

que son

definiciones

que son

enunciados que proveen todas las características necesarias de un objeto, que permiten identificar sus ejemplos y los que no lo son.

teoremas

que son

afirmaciones que se aceptan como verdaderas después de ser demostradas.

se construye a partir de

211

punto, recta y plano. afirmaciones que se aceptan como verdaderas sin demostración.

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Geometría

45 Ángulos y rectas perpendiculares

Tema

Ideas previas

Pensamiento

espacial

1. Cuando un reloj análogo marca las 12:15, ¿qué clase de ángulo forman el horario y el minutero? 2. ¿Cuál es el complemento y cuál el suplemento de un ángulo de 65°?

Recordemos que un ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos no colineales y que tienen el mismo origen.

B

Definición A C D

Dos ángulos son par lineal si comparten un lado y los lados no comunes son rayos opuestos. Por ejemplo, en la figura 45.1, ∠DCB y ∠BCA son par lineal.

Figura 45.1

Definición A

E

B D

C Figura 45.2

Si los lados de dos ángulos forman dos pares de rayos opuestos, los ángulos se llaman opuestos por el vértice.

Teorema. Ángulos opuestos por el vértice Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Reformulación: si ∠ABD y ∠EBC son opuestos por el vértice, entonces, ∠ABD ≅ ∠EBC.

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. ∠ABD y ∠EBC son opuestos por el vértice. 2.

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

BE y BD son rayos opuestos, BA es otro rayo.

3. ∠ABD y ∠ABE son par lineal.

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

6. ∠CBE y ∠ABE son par lineal. 7. ∠CBE y ∠ABE son suplementarios. 8. m ∠ABD + m ∠ABE = 180° m ∠CBE + m ∠ABE = 180° 9. m ∠ABD + m ∠ABE = m ∠CBE + m ∠ABE 10. m ∠ABD = m ∠CBE

BE y BD son rayos opuestos. ⎯→ ⎯ BA y BC son rayos opuestos.

⎯→ ⎯

∠ABD y ∠ABE son par lineal.

Postulado de par lineal

∠ABD y ∠ABE son suplementarios.

Definición de ángulos suplementarios

m ∠ABD + m ∠ABE = 180°

Definición de par lineal

∠CBE y ∠ABE son par lineal.

Postulado de par lineal

∠CBE y ∠ABE son suplementarios.

Definición de ángulos suplementarios

m ∠CBE + m ∠ABE = 180°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

⎯→ ⎯

BA y BC son rayos opuestos, BE es otro rayo.

⎯→ ⎯

Definición de par lineal

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

4. ∠ABD y ∠ABE son suplementarios. 5.

Definición de ángulos opuestos por el vértice

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

¿Qué concluimos? ⎯→ ⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Propiedad transitiva de la igualdad

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ cancelativa ⎯Propiedad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de ángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

212

m ∠ABD + m ∠ABE = m ∠CBE + m ∠ABE m ∠ABD = m ∠CBE ∠ABD ≅ ∠CBE

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

m

Ejemplo 1 ⎯→ ⎯

En la figura 45.3, las rectas l, m y n se intersecan en P y el PT es bisectriz del ∠APQ. ¿Cuáles ángulos son congruentes? Expliquemos la respuesta.

T

l A

n

Solución Afirmación

Explicación

P 5

1. ∠1 ≅ ∠2

Propiedad asegurada por la definición de bisectriz de ángulo.

2. ∠1 ≅ ∠4

∠1 y ∠4 son opuestos por el vértice.

3. ∠2 ≅ ∠5

∠2 y ∠5 son opuestos por el vértice.

4. ∠3 ≅ ∠6

∠3 y ∠6 son opuestos por el vértice. El teorema de ángulos opuestos por el vértice asegura la congruencia de los ángulos.

5. ∠4 ≅ ∠5

Por la propiedad transitiva de congruencia.

Q

2

1 6

3 4

Figura 45.3

Otro teorema útil sobre ángulos es el siguiente.

Teorema. Complementos de ángulos congruentes

3

Los complementos de ángulos congruentes son congruentes. 2

Reformulación: si ∠1 es complemento del ∠2, ∠3 es complemento del ∠4 y ∠1 ≅ ∠3, entonces, ∠2 ≅ ∠4.

4 1

Figura 45.4

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. ∠1 es complemento del ∠2 y ∠3 es complemento del ∠4.

Definición de ángulos complementarios

2. m ∠1 + m ∠2 = 90° m ∠3 + m ∠4 = 90° 3. ∠1 ≅ ∠3

¿Qué concluimos?

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → transitiva ⎯Propiedad ⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de ángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4. m ∠1 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4 m ∠1 = m ∠3

⎯Sustitución ⎯⎯⎯ →

5. m ∠3 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4

cancelativa ⎯Propiedad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

6. m ∠2 = m ∠4

m ∠1 + m ∠2 = 90° m ∠3 + m ∠4 = 90° m ∠1 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4 m ∠1 = m ∠3 m ∠3 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4

Definición de ángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠2 = m ∠4 ∠2 ≅ ∠4

Un ángulo especial es el ángulo recto, que mide 90°, porque define una relación entre rectas.

Definición Dos rectas que determinan ángulos rectos son perpendiculares.

Definición Dos ángulos son adyacentes si están en el mismo plano, tienen el vértice y un lado común, pero no tienen puntos interiores comunes.

213

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 2

Determinemos si cada pareja de ángulos de las siguientes figuras son adyacentes. Si no lo son, identifiquemos la propiedad de la definición que no cumplen. a.

∠ABC y ∠CBD

b. ∠KIJ y ∠GHJ

∠TSQ y ∠QSR

H

D

C

c.

T I

G

α

R Q

K

B

A

S

J Figura 45.5

Solución

a. b.

c.

Los ∠ABC y ∠CBD son adyacentes, porque son coplanares, ambos tienen ⎯→ ⎯ vértice B, comparten el lado BC y no tienen puntos interiores comunes. El ∠KIJ no es adyacente al ∠GHJ , porque no comparten el vértice, aunque ⎯→ ⎯ son coplanares, ambos tienen un lado sobre el HJ y no comparten puntos interiores. El ∠TSQ no es adyacente al ∠QSR, porque no son coplanares, aunque tienen ⎯→ ⎯ el mismo vértice S, el mismo lado SQ y no comparten puntos interiores.

Estas definiciones permiten demostrar el siguiente teorema.

B

Teorema. Ángulos adyacentes congruentes Dos rectas que determinan ángulos adyacentes congruentes son perpendiculares. ←⎯ →

←⎯ →

1

2

D

Reformulación: si la AB y la AC determinan al ∠1 y ∠2 adyacentes y congruentes, entonces, las rectas son perpendiculares.

A

Figura 45.6

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Definición rayos opuestos

⎯→ ⎯

Definición ángulos adyacentes

⎯→ ⎯

1. A es un punto entre D y C.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. ∠1 y ∠2 son adyacentes.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯→ ⎯

C

⎯→ ⎯

AD y AC son opuestos. AB es rayo común de ∠1 y ∠2.

⎯→ ⎯

3. AD y AC son opuestos. ⎯→ ⎯ AB es rayo común de ∠1 y ∠2.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

4. ∠1 y ∠2 son par lineal.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

5. ∠1 y ∠2 son suplementarios. 6. ∠1 y ∠2 son congruentes. 7. m ∠1 = m ∠2 m ∠1 + m ∠2 = 180° 8. m ∠1 + m ∠1 = 180° 9. m ∠1 = 90° 10. ∠1 es recto.

Definición de par lineal

∠1 y ∠2 son par lineal.

Postulado de par lineal

∠1 y ∠2 son suplementarios.

Definición de ángulos suplementarios

m ∠1 + m ∠2 = 180°

Definición de ángulos congruentes

m ∠1 = m ∠2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯Sustitución ⎯⎯⎯ →

m ∠1 + m ∠1 = 180°

Propiedad de números reales

2m ∠1 = 180° m ∠1 = 90°

Definición de ángulo recto

∠1 es recto.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición rectas perpendiculares

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 214

←→ ⎯

←→ ⎯

AB ⊥ AC

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias 1.

En el proceso de demostrar el Teorema de ángulos opuestos por el vértice, se demostró un caso del siguiente teorema.

3.

Determina el valor de x en cada figura. a.

Teorema. Suplementos de ángulos congruentes

(80 – x)˚

(3x)˚

Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes. a.

Indica cuáles pasos de la demostración corresponden a la demostración del caso especial y a qué situación especial de los ángulos involucrados se hace referencia. b. ¿Qué otra situación puede darse entre dos ángulos suplementarios congruentes? c. Reformula el teorema. d. Escribe una demostración del Teorema de suplementos de ángulos congruentes, que incluya todos los casos posibles de ángulos suplementarios. 2.

b.

(x2 + 4x + 5)˚ (2x2)˚

Figura 45.8

4.

Halla el valor de x y y en cada figura. a. b. (2y + 5)˚

Escribe el teorema, postulado o definición que justifica la conclusión presentada en cada proposición, de acuerdo con la figura 45.7.

50˚

x˚ (3x – y)˚

x˚

95˚

(2x – 16)˚ (x + y)˚

D

c.

E

C

(x + 2y)˚ 70˚

F B

A

40˚

(4x – y)˚

Figura 45.9 G

Figura 45.7 Olimpiadas

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

a.

Si BC y BG son opuestos, BA y BF son opuestos, entonces, ∠ABC ≅ ∠FBG.

b.

Si BD ⊥ AB , entonces, ∠DBE y ∠EBF son complementarios.

c.

Si BC y BG son opuestos y BF es otro rayo, entonces, ∠CBF y ∠FBG son suplementarios.

⎯→ ⎯

←⎯ →

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

Matemáticas

⎯→ ⎯

5.

Analiza la siguiente secuencia.

⎯→ ⎯

Figura 45.10

¿Cuál figura completa la secuencia?

⎯→ ⎯

d. Si BE es la bisectriz del ∠DBF, entonces, m ∠DBF = 2m ∠DBE. e.

⎯→ ⎯

←⎯ →

a.

Si BE ⊥ CG y ∠DBE ≅ ∠FBE, entonces, ∠CBD ≅ ∠GBF.

b.

c.

d.

e.

Figura 45.11

215

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Razonamiento lógico

6.

Completa la información que falta en la demostración de la siguiente proposición. Si ∠AOC ≅ ∠BOD, entonces, ∠AOB ≅ ∠DOC. ¿Qué sé?

¿Qué uso?

1. ∠AOC ≅ ∠BOD

C

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → m ∠AOC = m ∠BOD

D

B

B está en el interior del ∠AOC C está en el interior del ∠BOD

Información dada gráficamente

2.

A

3. B está en el interior del ∠AOC. m ∠AOC = m ∠AOB + m ∠BOC → m ∠BOD = m ∠BOC + m ∠COD C está en el interior del ∠BOD. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

O

4. m ∠AOC = m ∠BOD m ∠AOC = m ∠AOB + m ∠BOC m ∠BOD = m ∠BOC + m ∠COD

Figura 45.12

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Propiedad cancelativa de la adición

5.

m ∠AOB = m ∠COD

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ∠AOB ≅ ∠DOC

6.

7.

¿Qué concluyo?

Construye la demostración para cada uno de los siguientes problemas. a. Si PQ ⊥ QR, PS ⊥ SR y ∠1 ≅ ∠4, entonces, ∠2 ≅ ∠3.

c.

←⎯ →

⎯→ ⎯

Si BC ⊥ AD y ∠2 ≅ ∠3, entonces, ∠1≅ ∠4. B E

Q 1

1 2

2

A

R

P

Figura 45.15

S

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

Si XS y XW son bisectrices de ∠RXT y ∠YXV, respectivamente, y ∠2 ≅ ∠3, entonces, ∠1≅ ∠4. T

F A

1

2

C

4

W E

3

2

R

B

V

S

⎯→ ⎯

d. Si ∠2 ≅ ∠3, AG bisectriz del ∠EAC y CF bisectriz del ∠BCD, entonces, ∠1 ≅ ∠4 .

Figura 45.13 ⎯→ ⎯

F

C

4 3

b.

D

3 4

G

3

D H Figura 45.16

4

1

X

8.

Y Figura 45.14

216

Demuestra el siguiente teorema.

Teorema. Ángulos rectos Dos ángulos rectos son congruentes.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Competencias en TIC

9.

Determina qué relación existe entre las rectas cuando se obliga a los ángulos a cumplir la condición que se establece a continuación.

Con un programa de geometría dinámica, construye dos rectas m y n cortadas, cada una en un punto, por otra recta t. Nombra los distintos ángulos que se forman como ∠1, ∠2 y así sucesivamente.

Vista Algebraica

t 1 3

7

2

m

4

n

6

5 8

Entrada

∠5 ≅ ∠6 ∠3 ≅ ∠6 ∠1 ≅ ∠7 ∠4 y ∠6 suplementarios.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

Vista Gráfica

Punto A = (-2.36, 3.48) B = (3, -2) C = (3.54, 4.52)

a. b. c. d.

Comando...

Figura 45.17

Los pares de ángulos determinados por las rectas reciben nombres especiales. • Ángulos correspondientes: ∠1 y ∠5, ∠4 y ∠8, ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7. • Ángulos alternos internos: ∠3 y ∠6, ∠4 y ∠5. • Ángulos internos no alternos: ∠3 y ∠5, ∠4 y ∠6.

10. Halla la medida de cada ángulo descrito a continuación. a. La medida del suplemento de un ángulo es el doble de la medida del ángulo. b. El ∠A y el ∠B son complementarios. La medida del ∠A es 6° menos que el doble de la medida del ∠B. c. Tres veces la medida del suplemento de un ángulo es ocho veces la medida del complemento del ángulo. 11. Explica por qué la medida del complemento de un ángulo no puede ser la mitad de la medida del suplemento del ángulo.

Resumen de acuerdo con su medida

agudos

que miden

menos de 90°

rectos

que miden

90°

obtusos

que miden

par lineal

que son

dos ángulos que comparten un lado y los lados no comunes son rayos opuestos.

opuestos por el vértice

que son

dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.

en

se pueden clasificar

Los ángulos

de acuerdo con su posición

más de 90° y menos de 180°

en

alternos determinados por una transversal que corta a dos rectas son

internos correspondientes 217

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

Tema

46 Rectas paralelas Ideas previas

Pensamiento

espacial

1. ¿Crees que los rieles de un tren se pueden considerar como la representación de dos rectas paralelas? 2. Una plomada (un peso de metal suspendido de un cordel) es una herramienta usada en la construcción para marcar líneas verticales. Si se pega papel de colgadura en una pared, ¿por qué crees que es importante usar la plomada?

Definición Dos rectas son paralelas si son coplanares y no se intersecan. Los ángulos correspondientes son pares de ángulos: uno interior y otro exterior, que se encuentran en el mismo lado de una transversal y no son adyacentes (ver figura 46.1).

1 2

A B

Los postulados que establecen las relaciones entre los ángulos formados por dos rectas y una transversal, y el paralelismo de las dos rectas son los siguientes.

Postulado. De rectas paralelas a ángulos Figura 46.1

Para recordar Una transversal es una recta que interseca a dos o más rectas coplanares en puntos diferentes.

correspondientes Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces, los ángulos correspondientes son congruentes.

Postulado. De ángulos correspondientes a rectas paralelas Si un par de ángulos correspondientes entre rectas son congruentes, entonces, las rectas son paralelas.

Teorema. Rectas perpendiculares

C

E

B

D

Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces, son paralelas entre sí. ←⎯ →

←⎯ →

←⎯ →

←⎯ →

Reformulación: si BC ⊥ AB y DE ⊥ AB , ←⎯ →

A

←⎯ →

entonces BC || DE .

Figura 46.2

Prueba ¿Qué sabemos? ←→ ⎯

←→ ⎯

←→ ⎯

←→ ⎯

←→ ⎯

¿Qué usamos?

←→ ⎯

1. BC ⊥ AB y DE ⊥ AB .

En qué se aplica En una edificación, los pisos deben ser perpendiculares a las paredes laterales para que sean paralelos entre sí.

Definición de rectas perpendiculares

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

∠ABC y ∠BDE son correspondientes.

Teorema de ángulos rectos

∠ABC ≅ ∠BDE

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3. ∠ABC es recto. ∠BDE es recto.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Postulado de ángulos correspondientes a rectas paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

218

∠ABC es recto. ∠BDE es recto.

Definición de ángulos correspondientes

2. BC y DE están cortadas por ←→ ⎯ la AD .

4. ∠ABC y ∠BDE son correspondientes. ∠ABC ≅ ∠BDE

¿Qué concluimos?

←→ ⎯

←→ ⎯

BC & DE

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Definición Dos rayos o segmentos son paralelos si las rectas que los contiene lo son.

Ejemplo 1

Determinemos cuáles rayos de la figura 46.3 son paralelos. T

Solución ⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

←⎯ →

←⎯ →

⎯→ ⎯

R

←⎯ →

PO & RT , porque las PO y RT son ambas perpendiculares a la PR . ⎯→ ⎯

S

←⎯ →

←⎯ →

Q

P

O

El SQ es paralelo al PR , porque tanto la SQ como la PR son perpendiculares ←⎯ →

Figura 46.3

a la TR .

Los postulados dan lugar a varios teoremas que se pueden demostrar con las definiciones y teoremas que tenemos.

t

Teorema. De rectas paralelas a ángulos alternos internos

1

Si dos rectas son paralelas, entonces, los ángulos alternos internos son congruentes.

4

Reformulación: si las rectas m y n son paralelas y t es una transversal, entonces, ∠4 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠5.

5

2 3

m 6

Prueba ¿Qué sabemos? 1. Las rectas m y n son cortadas por la transversal t. 2. ∠2 y ∠6 son correspondientes. ∠1 y ∠5 son correspondientes. Las rectas m y n son paralelas.

¿Qué usamos? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠2 y ∠6 son correspondientes. ∠1 y ∠5 son correspondientes.

Postulado de paralelas a ángulos correspondientes

∠2 ≅ ∠6, ∠1 ≅ ∠5

Definición de ángulos correspondientes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4. ∠2 y ∠4 son opuestos por el vértice. ∠1 y ∠3 son opuestos por el vértice. 5. ∠2 ≅ ∠4 y ∠1 ≅ ∠3 ∠2 ≅ ∠6 y ∠1 ≅ ∠5

Figura 46.4

∠2 y ∠4 son opuestos por el vértice. ∠1 y ∠3 son opuestos por el vértice.

Información dada graficamente

3.

n

¿Qué concluimos?

Teorema de ángulos opuestos por el vértice

∠2 ≅ ∠4 y ∠1 ≅ ∠3

Propiedad transitiva

∠4 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠5

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Para recordar El recíproco de este teorema también es un teorema.

Teorema. De ángulos alternos internos a rectas paralelas Si un par de ángulos alternos internos formados por dos rectas y una transversal son congruentes, entonces, las rectas son paralelas. Reformulación: si las rectas m y n son cortadas por la transversal t y ∠4 ≅ ∠6, entonces, m y n son paralelas (ver figura 46.4).

219

Los ángulos alternos internos son aquellos pares de ángulos interiores no adyacentes. Los ángulos alternos externos son aquellos pares de ángulos exteriores no adyacentes.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. Las rectas m y n son cortadas por una transversal t.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Información dada graficamente

2. 3. ∠2 y ∠4 son opuestos por el vértice.

1

2

B

∠2 y ∠4 son opuestos por el vértice. ∠2 ≅ ∠4

Propiedad transitiva

∠2 ≅ ∠6

4. ∠2 ≅ ∠4 ∠4 ≅ ∠6

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

5. Las rectas m y n son cortadas por la transversal t.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Definición de ángulos correspondientes

Postulado de ángulos correspondientes a paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠2 y ∠6 son correspondientes. m || n

Otro par de ángulos que se forman entre dos rectas intersecadas por una transversal y que tienen una relación especial son los ángulos internos no alternos. Para demostrar esta relación, usaremos el Principio de sustitución.

n

D A

∠4 y ∠6 son alternos internos.

Teorema de ángulos opuestos por el vértice

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

6. ∠2 y ∠6 son correspondientes. ∠2 ≅ ∠6

m

Definición de ángulos alternos internos

¿Qué concluimos?

t

3

C

Principio de sustitución: si se tiene una proposición verdadera sobre un objeto geométrico A y se sabe que A es congruente con B, entonces, la proposición es verdadera para B.

Teorema. De rectas paralelas a ángulos internos no alternos Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces, los ángulos internos no alternos son suplementarios. Reformulación: si m y n son dos rectas paralelas y t es una transversal, entonces, ∠2 y ∠3 son suplementarios (ver figura 46.5).

Figura 46.5

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. Las rectas m y n son cortadas por la transversal t.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

2. Las rectas m y n son paralelas y t es una transversal.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

3. m || n. ∠1 y ∠3 son correspondientes.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Definición de ángulos correspondientes

∠1 y ∠3 son correspondientes.

Definición de ángulos internos no alternos

∠2 y ∠3 son internos no alternos.

Postulado de paralelas a ángulos correspondientes

Información dada graficamente

4. ⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

5. BA y BC son rayos opuestos. ⎯→ ⎯ BD es otro rayo. 6. ∠1 y ∠2 forman par lineal.

Definición de ángulos par lineal

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

∠1 ≅ ∠3 ⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

BA y BC son rayos opuestos. BD es otro rayo.

⎯→ ⎯

∠1 y ∠2 forman par lineal.

Postulado del par lineal

∠1 y ∠2 son suplementarios.

Principio de sustitución

∠2 y ∠3 son suplementarios.

⎯⎯⎯⎯⎯→

7. ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 ≅ ∠3.

¿Qué concluimos?

⎯⎯⎯⎯⎯ →

El recíproco de este teorema también es verdadero. 220

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Ejemplo 2

k

En la figura 46.6 hallemos m ∠1, m ∠2 y m ∠3. En la ilustración, las flechas del mismo color en las rectas indican que las rectas son paralelas.

m 2

Solución

•

El ∠BCD y el ∠ABC son congruentes, porque son alternos internos entre las rectas paralelas k y m. Por tanto, tienen la misma medida.

B

y

D

1

A

(4x + 19)˚

(3x)˚

C

El ∠BCD y el ∠ECD son par lineal (información dada gráficamente), entonces, por el Postulado del par lineal, son suplementarios.

•

3

E

Figura 46.6

Luego, 3x + (4x + 19) = 180°, de donde 7x = 161° y x = 23°. Por tanto, 3x = 69° y 4x + 19 = 111°. •

Como ∠1 y ∠ABC son par lineal y por ello suplementarios, m ∠1 = 69°.

•

Como ∠3 y ∠BCD son ángulos correspondientes entre las rectas paralelas y y z, entonces, tienen la misma medida. Por tanto, m ∠3 = 111°.

Finalmente, el paralelismo de las rectas k y m establece la congruencia de los ángulos alternos internos ∠2 y ∠3, que implica su congruencia. Por tanto, m ∠2 = 111°. Si dos rectas son paralelas, entonces, se concluye lo siguiente: 1. Ángulos correspondientes son congruentes (postulado). 2. Ángulos alternos internos son congruentes (teorema). 3. Ángulos internos no alternos son suplementarios (teorema). Si se sabe que 1. ángulos correspondientes son congruentes (postulado), 2. ángulos alternos internos son congruentes (teorema) y 3. ángulos internos no alternos son suplementarios (teorema), entonces, se concluye que las dos rectas son paralelas.

Desarrolla competencias 1.

Determina cuáles rectas son paralelas de acuerdo con las figuras 46.7a y 46.7b. Indica el postulado o teorema que permite asegurarlo. a.

b. G

A

B

⎯→ ⎯

BD es bisectriz del ∠ABC. D

F

125˚

130˚

C

40˚

H

A

E 140˚

70˚

D

B

55˚

E Figura 46.7

221

z

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

t

Razonamiento lógico

2.

C

Escribe la información que falta para demostrar el siguiente teorema.

Teorema. Ángulos internos no alternos y paralelas

Reformulación: si m y n son dos rectas, t es una transversal, y ∠2 y ∠3 (internos no alternos) son suplementarios, entonces, m y n son paralelas.

1

B

Si los ángulos internos no alternos determinados por dos rectas y una transversal son suplementarios, entonces, las dos rectas son paralelas.

2

D 3

A

m

n Figura 46.8

Prueba ¿Qué sé?

¿Qué uso?

¿Qué concluyo?

1. Las rectas m y n son cortadas por la transversal t.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Definición de ángulos correspondientes

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

3. BA y BC son rayos opuestos. ⎯→ ⎯ BD es otro rayo.

⎯→ ⎯

BA y BC son rayos opuestos. ⎯→ ⎯ BD es otro rayo.

Información dada graficamente

2.

Definición de ángulos par lineal

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Postulado del par lineal

4.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

5. ∠2 y ∠3 son suplementarios.

Teorema de suplementos de ángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 6.

3.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Halla el valor de la medida del ángulo numerado en cada caso. m a. 110° 3

Halla el valor de x en cada caso. a. m || n m

l

2

1

4.

4

4

65°

l

b. 80°

x°

m || n , ∠1 ≅ ∠2

70° 67°

1

2

Figura 46.9

222

m

x°

1

3

n

k

6 5

b.

m y n son paralelas.

2

n Figura 46.10

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

5.

En cada caso de la figura 46.11, halla el valor de las variables. a. (2y)°

b.

Si AB ⊥ BC, DC ⊥ BC y ∠1 ≅ ∠4, entonces, ←⎯ → ←⎯ → CG & BF . A

B 1

2

F x°

(3x – 18)° w°

y° 76°

42°

x°

c.

←⎯ →

←⎯ →

25°

D

Halla en cada caso el valor de x para que la recta l sea paralela a la recta m. t a. l m b. (5x)°

B

d. Si ∠BCD ≅ ∠CDE y ∠ABC es suplemento del ←⎯ → ←⎯ → ∠CDE, entonces, AB & DC .

l

(5x + 40)°

C A

(2x)°

(2x + 26)°

←⎯ →

v°

y°

t

←⎯ →

D

Si AB & CD y AD & CB , entonces, ∠ABC ≅ ∠CDA.

Figura 46.11

(3x – 33)°

4

C

b.

6.

G 3

D

A

m

E

E s

Figura 46.12

7.

Demuestra cada afirmación. ⎯ ⎯→ ⎯ ←⎯ → ←⎯ → ⎯→ a. Si AO & BQ , OP biseca al ∠AOQ y QR biseca al ∠OQB, entonces, ∠2 ≅ ∠4.

B

Figura 46.13 Trabajo colaborativo

8.

O 1 2

A

R

P 3

Q

C

4

B

Tienes la misión de enviar a unos trabajadores a pintar las demarcaciones de cada espacio de parqueo en un parqueadero nuevo. ¿Cómo les explicas qué deben hacer para que las líneas queden paralelas? Discute con un compañero o compañera las ventajas o desventajas que hay entre hacer las demarcaciones perpendiculares a la pared u oblicuas a esta.

Resumen 1.

Dos rectas que son paralelas a una tercera recta siempre son paralelas.

2.

En un plano si dos rectas son perpendiculares a la misma recta, entonces, son paralelas entre sí.

3.

Todo par de ángulos alternos internos entre rectas paralelas son congruentes.

4.

Si un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces, las rectas son paralelas.

5.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces, los ángulos internos no alternos son suplementarios.

223

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

47 Rectas paralelas y triángulos

Tema

Ideas previas

Pensamiento

espacial

1. ¿Un triángulo puede tener dos ángulos rectos? 2. ¿Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos? 3. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un triángulo? Vértice A

K

En el presente tema, recordaremos algunas definiciones relacionadas con el triángulo y, además, demostraremos teoremas sobre las propiedades que cumplen los triángulos.

Definición Lado J Figura 47.1

Dados tres puntos no colineales, la unión de los tres segmentos que conectan los puntos es un triángulo. Los puntos se denominan vértices del triángulo y los segmentos, lados del triángulo (ver figura 47.1).

Postulado. Paralela por un punto exterior

P

Si P es un punto exterior a una recta m, entonces, existe una sola recta k que pasa por P y paralela a m (ver figura 47.2).

k

Este postulado sirve para justificar un paso de la demostración del siguiente teorema. m Figura 47.2 C

4 2

D

5

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Reformulación: si △ABC, entonces, m ∠A + m ∠B + m ∠C = 180° (ver figura 47.3). k

1

A

Teorema. Suma de medidas de ángulos interiores de un triángulo

Prueba 3

B Figura 47.3

¿Qué sabemos? 1. △ABC

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Definición de triángulo

C no pertenece a la AB .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Postulado punto exterior

Existe recta k paralela a la AB .

Información dada gráficamente

∠4 y ∠1 son alternos internos. ∠3 y ∠5 son alternos internos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ←→ ⎯

2. C no pertenece a la AB . 3.

←→ ⎯

←→ ⎯

4. ∠4 y ∠1 son alternos internos. ∠1 ≅ ∠4 Teorema de paralelas a ángulos ∠3 y ∠5 son alternos internos. alternos internos ←→ ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ∠3 ≅ ∠5 Existe recta k paralela a la AB . 5. ∠1 ≅ ∠4 ∠3 ≅ ∠5

Definición de ángulos congruentes

m ∠1 = m ∠4 m ∠3 = m ∠5

Información dada gráficamente

∠4 y ∠ACD forman par lineal.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

6. 7. ∠4 y ∠ACD forman par lineal. 8. ∠4 y ∠ACD son suplementarios.

Postulado par lineal

⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de ángulos suplementarios

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Información dada gráficamente

9.

224

∠4 y ∠ACD son suplementarios. m ∠4 + m ∠ACD = 180° B está en el interior del ∠ACD.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Postulado de adición medida de ángulos

10. B está en el interior del ∠ACD. 11. m ∠ACD = m ∠2 + m ∠5 m ∠4 + m ∠ACD = 180° m ∠1 = m ∠4 m ∠3 = m ∠5

m ∠ACD = m ∠2 + m ∠5

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠1 + m ∠2 + m ∠3 = 180°

Principio de sustitución

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Este teorema nos permite clasificar triángulos de acuerdo con las medidas de sus ángulos, pero, antes de ello, necesitamos demostrar un teorema que se desprende de este.

Teorema. Triángulo obtusángulo o rectángulo Un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso o un ángulo recto. Reformulación: si △DEF y ∠D es obtuso o ∠D es recto, entonces, los otros dos ángulos son agudos. Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos? Definición de ángulo obtuso y ángulo recto

1. ∠D es obtuso o ∠D es recto. 2. △DEF 3. m ∠D ≥ 90°

¿Qué concluimos? m ∠D ≥ 90°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Teorema de la suma de medidas de ángulos interiores del triángulo

m ∠D + m ∠E + m ∠F = 180°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Propiedad aditiva del orden

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4. m ∠D + m ∠E + m ∠F ≥ 90° + m ∠E + m ∠F m ∠D + m ∠E + m ∠F = 180°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

5. 180° ≥ 90° + m ∠E + m ∠F

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

6. 90° ≥ m ∠E + m ∠F 7. m ∠E < 90° y m ∠F < 90°

m ∠D + m ∠E + m ∠F ≥ 90° + m ∠E + m ∠F

Principio de sustitución

180° ≥ 90° + m ∠E + m ∠F

Propiedad cancelativa

90° ≥ m ∠E + m ∠F

Postulado medida de ángulos

m ∠E < 90° y m ∠F < 90°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de ángulo agudo

∠E es agudo y ∠F es agudo.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

Definición 1. Si los tres ángulos de un triángulo son agudos, el triángulo es acutángulo. 2. Si uno de los ángulos de un triángulo es obtuso, el triángulo es obtusángulo. 3. Si uno de los ángulos de un triángulo es recto, el triángulo es rectángulo. Ejemplo 1

En el △STR, m ∠S = 12x, m ∠T = 5x − 16 y m ∠R = 7x + 4. Determinemos la clase de triángulo. Solución

Por el teorema Suma de medidas de ángulos internos de un triángulo, tenemos que m ∠S + m ∠T + m ∠R = 180°. Por el Principio de sustitución, 12x + (5x − 16) + (7x + 4) = 180°. Por tanto, 24x − 12 = 180°, de donde x = 8. Esto significa que m ∠S = 96°, m ∠T = 24°, m ∠R = 60° y △STR es obtusángulo. 225

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Existe otro teorema importante relacionado con las medidas de los ángulos de un triángulo. Para expresarlo, es necesario primero dar una definición.

F

Definición

⎯→ ⎯

B

El ∠BCD es un ángulo externo del △ABC si CA ⎯→ ⎯ y CD son rayos opuestos (ver figura 47.4).

El ∠A y el ∠B del △ABC se denominan ángulos internos no adyacentes del ∠BCD.

A G

D C Figura 47.4

Teorema. Ángulo externo La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. Reformulación: si ∠4 es ángulo externo del △ABC, entonces, m ∠4 = m ∠1 + m ∠2 (ver figura 47.5).

D C

4 3

2

1

B

A

Figura 47.5

Prueba ¿Qué sabemos? 1. ∠4 es ángulo externo del △ABC.

¿Qué usamos? Definición de ángulo externo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. ⎯→ ⎯

¿Qué concluimos? ⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

CA y CD son rayos opuestos. ⎯→ ⎯

Información dada gráficamente

∠3 y ∠4 comparten el CB como lado.

Definición par lineal

∠3 y ∠4 forman par lineal.

Postulado par lineal

∠3 y ∠4 son suplementarios.

Definición ángulos suplementarios

m ∠3 + m ∠4 = 180°

Teorema medida de ángulos internos de un triángulo

m ∠1 + m ∠2 + m ∠3 = 180°

⎯→ ⎯

3. CD y CA son rayos opuestos. ⎯→ ⎯ ∠3 y ∠4 comparte al CB como lado.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

4. ∠3 y ∠4 forman par lineal.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

5. ∠3 y ∠4 son suplementarios. 6. △ABC

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

7. m ∠3 + m ∠4 = 180° m ∠1 + m ∠2 + m ∠3 = 180°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Principio de sustitución

m ∠3 + m ∠4 = m ∠1 + m ∠2 + m ∠3

8. m ∠3 + m ∠4 = m ∠1 + m ∠2 + m ∠3

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Propiedad cancelativa

m ∠4 = m ∠1 + m ∠2

226

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Desarrolla competencias 1.

¿Cuántos ángulos externos tiene el triángulo? ¿Cuáles son los ángulos internos no adyacentes de cada ángulo externo?

2.

Imagina que en el proceso de clasificación de triángulos encuentras que el primer ángulo que analizas es agudo. ¿Tienes que analizar la amplitud de otro ángulo o ya puedes decidir qué clase de triángulo es? Explica tu respuesta.

3.

b.

68˚

c. 70˚

A

Clasifica cada triángulo usando la información dada. a. m ∠A = 3m ∠B; m ∠C es 20° mayor que m ∠B. b.

A

d. m ∠BCA = 120°

m ∠ J = x, m ∠K = x + 10, m ∠L = x − 10.

D

c. E

(3x + 4)°

11(x − 2)°

B

C

6(2x + 1)°

E

H

G

F

116˚

Figura 47.6

A

d. e.

S T

(7x + 24)˚

(4x – 12)˚ (5 x )˚

A

Q

Figura 47.8

R Razonamiento lógico Figura 47.7

4.

5.

Calcula la medida del ∠A en cada una de las figuras. Ten en cuenta que arcos del mismo color en el vértice de un ángulo indican congruencia. a.

Explica por qué es verdadera cada afirmación. a.

La suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°.

b.

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, los ángulos tienen que ser agudos.

c.

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

A

d. Si los tres ángulos de un triángulo son congruentes, cada uno de ellos mide 60°.

30˚

227

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6.

Escribe la información que completa la prueba del siguiente teorema.

Teorema. Tercer ángulo congruente Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces, el tercer ángulo de cada triángulo es también congruente. Reformulación: si para △ABC y △DEF se tiene que ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E, entonces, ∠C ≅ ∠F. ¿Qué sé?

¿Qué uso? Teorema de la suma de medidas de ángulos interiores

1. △ABC, △DEF

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Principio de sustitución

2.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

3. ∠A ≅ ∠D ∠B ≅ ∠E

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Definición de ángulos congruentes

4.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

5.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Principio de sustitución

⎯→ ⎯

Pensamiento crítico y resolución de problemas

⎯→ ⎯

En la figura 47.9, si BA & DE entonces, m ∠B + m ∠C + m ∠D = 180°.

8.

C

A

D

b.

∠C ≅ ∠F

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Construye una prueba para cada afirmación. a.

m ∠C = m ∠F

Propiedad cancelativa

6. m ∠C = m ∠F

7.

¿Qué concluyo?

B

E

Construye una figura auxiliar (un segmento, una recta o un rayo) en cada uno de los problemas propuestos a continuación con el fin de usar los teoremas ya demostrados. Explica cuál es la construcción auxiliar que usaste y cuáles teoremas o postulados justifican el proceso de solución. a.

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

Si AC & BD , ¿cuál es la medida del ∠AXB? C

Figura 47.9

En la figura 47.10, si DE ⊥ AE y DB ⊥ AB, entonces, m ∠CAB = m ∠CDE.

X 65˚

D

A

42˚

B

C

A

D

E B

Figura 47.11 Figura 47.10

228

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b.

¿Cuál es la medida del ∠QPU?

Olimpiadas

Matemáticas

T

U 110˚

10. ¿Cuántos triángulos isósceles hay en la figura 47.15?

125˚

P

90˚ 100˚

S

130˚

Q

R Figura 47.12

c.

¿Cuál es la medida del ∠R?

11. El sexto paso de la demostración del teorema Del triángulo obtusángulo o rectángulo permite concluir, a partir del postulado Medida de ángulos, que siendo la suma de dos medidas menor o igual que 90, entonces, cada sumando también es menor que 90. ¿Es eso cierto para cualquier par de números? Explica con más detalle por qué ese paso de la prueba es válido.

T 115˚

P 20˚

160˚

S

R

Competencias en TIC Figura 47.13

9.

Figura 47.15

¿Cuáles podrían ser las medidas de los ángulos A, B y C en la figura 47.14, si AD || BE?

12. Constuye un △ABC y un ángulo externo a cada vértice con un programa de geometría dinámica. Completa el enunciado del siguiente teorema, de manera que resulte verdadero. Luego realiza la demostración.

Teorema. Suma de medidas de ángulos externos de un triángulo

E

B 130˚

La suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo, uno en cada vértice, es __________.

C

13. ¿Qué propiedades tiene el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo?

100˚

A

D Figura 47.14

¿Qué relación existe entre el perímetro de un triángulo y el del triángulo que tiene vértices en los puntos medios de los lados del triángulo original?

Resumen 1.

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulos es 180°.

2.

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

3.

Un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso o un ángulo recto. 229

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Geometría

Tema

48 Triángulos congruentes

Pensamiento

espacial

Ideas previas 1. ¿Qué crees que significa la palabra congruencia? 2. ¿Si dos figuras tienen la misma forma, se puede decir que son congruentes? 3. ¿Las fichas de un rompecabezas son congruentes?

Cuando dos figuras geométricas tienen el mismo tamaño y la misma forma, se denominan figuras congruentes. Para determinar si dos triángulos son congruentes, tendríamos que compararlos colocando uno encima del otro. Luego de esto, comenzaríamos a determinar la correspondencia entre los vértices, si coinciden en tamaño, es decir, si los ángulos y lados de ambos triángulos tienen las mismas medidas. Sin embargo, para establecer la congruencia de triángulos existen otros métodos, como veremos más adelante.

Definición Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices, tal que los lados y ángulos correspondientes son congruentes.

B

A

E

C

F

D Figura 48.1

En la figura 48.1, se indica la correspondencia entre los vértices del △ABC y el △FDE, que permite establecer la congruencia de los triángulos, ya que se establece lo siguiente: ∠A ≅ ∠F; ∠B ≅ ∠D; ∠C ≅ ∠E; AB ≅ DF; BC ≅ DE; AC ≅ EF. Para denotar la congruencia, nombramos los vértices correspondientes en el mismo orden, así: △ABC ≅ △FDE. De acuerdo con la definición de triángulos congruentes, debemos comprobar la congruencia de cada par de ángulos y cada par de lados. Sin embargo, esta tarea se puede reducir.

En qué se aplica Los triángulos congruentes se usan para construir estructuras como andamios, puentes, soportes para techos, torres que sostienen antenas o cables de electricidad.

Para descubrir qué condiciones son suficientes para establecer la congruencia de dos triángulos, realizamos el análisis considerando diferentes casos: cuando los dos triángulos tienen un ángulo congruente, dos ángulos congruentes o los tres ángulos congruentes. También, lo realizamos para la congruencia de lados: un lado congruente, dos lados congruentes o los tres lados congruentes. Construyamos triángulos como los que se ilustran en las figuras de la siguiente tabla. Corroboremos que estas figuras realmente existen.

230

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Un ángulo congruente

Dos ángulos congruentes

Tres ángulos congruentes

80°

30°

20°

30°

40°

80°

20°

110°

30°

Un lado congruente

Dos lados congruentes

110°

30°

40°

Tres lados congruentes

5 cm 6 cm

5 cm

5 cm

4 cm 6 cm

6 cm

4 cm

5 cm

4 cm

4 cm 6 cm

Tabla 48.1

Como se ilustra en todas las figuras anteriores, excepto en la última, podemos obtener triángulos que difieren en forma (uno acutángulo y otro obtusángulo) o en tamaño al exigir la congruencia de las partes indicadas. El siguiente postulado expresa lo que el análisis anterior parece demostrar.

Postulado. Lado-Lado-Lado (LLL) Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

Ejemplo 1

En la figura 48.2, M es punto medio del BC y el △ABC es isósceles con AB ≅ AC. ¿Por qué el △AMB es congruente con el △AMC?

A

Solución ¿Qué sabemos? 1. M es punto medio del BC. 2. 3. BM ≅ CM AM ≅ AM AB ≅ AC

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Definición de punto medio

BM ≅ CM

Propiedad reflexiva

AM ≅ AM

⎯⎯⎯⎯⎯ →

C

M Postulado Lado-Lado-Lado

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

△AMB ≅ △AMC

B Figura 48.2

Los casos de congruencia de algunas partes de los triángulos que analizamos no agotan todas las posibilidades. Siguiendo el proceso tenemos las situaciones de la tabla 48.2. 231

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Dos lados congruentes Dos lados Dos ángulos Dos ángulos y el ángulo incluido congruentes y el congruentes y el lado congruentes y el lado entre ellos ángulo opuesto a ellos incluido entre ellos opuesto a uno de ellos 3 cm

4 cm

8 cm

5 cm

15°

65°

50°

6 cm

5 cm

100°

29°

60° 15°

5 cm

29°

65°

5 cm

3 cm

6 cm

60°

100°

4 cm 50°

8 cm

Tabla 48.2

En este caso, todas las combinaciones, excepto la segunda, obligan a la congruencia de los dos triángulos. Eso se manifiesta con postulados ilustrados en las siguientes figuras. Postulado. Lado-Ángulo-Lado (LAL) Si dos lados y el ángulo incluido entre ellos en un triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo incluido entre ellos en otro triángulo, entonces, los dos triángulos son congruentes. A

B

Postulado. Ángulo-Lado-Ángulo (ALA) Si dos ángulos y el lado incluido entre ellos en un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido entre ellos en otro triángulo, entonces, los dos triángulos son congruentes.

D

C

E

A

F

B

C

D

E

F

Figura 48.4

Figura 48.3

El último caso de congruencia se constituye como teorema, pues se puede demostrar, lo que no es posible con los tres criterios de congruencia establecidos anteriormente.

Teorema. Lado-Ángulo-Ángulo (LAA) Si dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos en un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado opuesto al ángulo correspondiente en otro triángulo, entonces, los dos triángulos son congruentes. Reformulación: dados △ABC y △XYZ con ∠A ≅ ∠X, ∠B ≅ ∠Y y BC ≅ YZ, entonces, △ABC ≅ △XYZ. Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. △ABC, △XYZ, ∠A ≅ ∠X, ∠B ≅ ∠Y 2. ∠C ≅ ∠Z ∠B ≅ ∠Y BC ≅ YZ

Teorema tercer ángulo congruente

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Postulado ALA

⎯⎯⎯⎯⎯ →

232

¿Qué concluimos? ∠C ≅ ∠Z

△ABC ≅ △XYZ

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Ejemplo 2

Decidamos si existe un triángulo congruente a cada △ABC de las siguientes figuras. Recordemos que marcas de igual color en los segmentos o ángulos indican congruencia, y flechas de igual color indican paralelismo. Si es el caso, escribamos la congruencia de los triángulos y el postulado o teorema que lo asegura. a.A

b.

c. B

B

D C

A

A

B J

D

C

C

Figura 48.5

Solución

a.

△ABC ≅ △ADC por el postulado LAL, ya que BC ≅ DC, ∠BCA ≅ ∠DCA y AC ≅ AC.

b.

No se puede deducir congruencia de los triángulos, porque se tiene ∠BAC ≅ ∠JAC, AC ≅ AC y BC ≅ JC, que corresponden a dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, combinación que no obliga a la congruencia.

c.

△ABC ≅ △CDA por el postulado ALA. Como AB || CD, tenemos que ∠BAC ≅ ∠DCA (teorema De paralelas y ángulos alternos internos). Por esta misma razón, de BC || AD, se deduce que ∠BCA ≅ ∠CAD. Finalmente, AC ≅ AC.

Desarrolla competencias 1.

2.

3.

Se quiere construir, con regla y compás, un triángulo congruente a uno dado. ¿Cuál postulado usarías? ¿Por qué?

Pensamiento crítico y resolución de problemas

4.

Haz un esquema en el cual registres la información que se da y decide si existe congruencia entre los △PQR y △XYZ. Si es el caso, escribe la congruencia de los triángulos y el postulado o teorema que la asegura. a. PQ ≅ YZ, QR ≅ ZX, PR ≅ XY. b. ∠P ≅ ∠Y, ∠Q ≅ ∠X, PR ≅ YZ. c. QR ≅ ZY, PR ≅ XY, ∠R ≅ ∠Y. d. QP ≅ ZY, ∠Q ≅ ∠Z, PR ≅ XY. En cada caso, se da la congruencia entre partes correspondientes del △DEF y el △KLM. ¿Qué dato faltaría para establecer la congruencia de los triángulos? Explica tu respuesta. a. DE ≅ KL, DF ≅ LM. b. ∠F ≅ ∠L, ∠E ≅ ∠M. c. EF ≅ LM, ∠F ≅ ∠L. d. MK ≅ DE, ∠F ≅ ∠L.

233

R

Halla en cada caso el valor de cada variable. a. S b. P

(y  5)˚ 42˚

26˚ (x  20)˚

Q 4x  3

T 3z  2

25

41

M 2y  5

U

33

T

c.

R

C 2y + 1 103˚

3,95

d.

D

B

Y

R 5,36

P

2

(x + 3)˚

4z + 1

3x

z – 2x

T 80˚

X

W

Z (x2 – 18x + 160)°

Figura 48.6

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Razonamiento lógico

5.

Completa cada demostración. ⎯→ ⎯ a. Si QB biseca al ∠TQA y QT ≅ QA, entonces, △BQT ≅ △BQA. ¿Qué sé? T

¿Qué uso?

⎯→ ⎯

1. QB biseca al ∠TQA. Q

B

2.

¿Qué concluyo?

Definición de bisectriz

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Propiedad reflexiva

3. A

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Figura 48.7

△BQT ≅ △BQA

QT ≅ QA

⎯→ ⎯

Si KJ & NM y KJ ≅ NM, entonces, △KJL ≅ △NML.

b. J

¿Qué sé?

K

¿Qué uso?

⎯→ ⎯

1. KJ & NM

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

L

¿Qué concluyo?

∠KJL ≅ ∠NML

2. ⎯→ ⎯

N

⎯→ ⎯

Si XM ⊥ YZ y M es el punto medio de YZ, entonces, △XYM ≅ △XZM. ¿Qué sé?

Y

¿Qué uso?

X

¿Qué concluyo? ∠XMZ es recto.

⎯→ ⎯

1. XM ⊥ YZ M

△KJL ≅ △NML

∠KJL ≅ ∠NML

Figura 48.8

c.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

KJ & NM

M

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. ∠XMZ es recto.

Definición de ángulo recto

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 3.

Z Figura 48.9

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4. m ∠XMZ = m ∠XMY

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

5. M es el punto medio de YZ.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

6.

m ∠XMZ = m ∠XMY

Definición de punto medio

Propiedad reflexiva

7. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

234

△XYM ≅ △XZM

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

6.

Demuestra cada afirmación. a. Si T es punto medio de QS y de PR, entonces, △PQT ≅ △RST.

c.

Si AC biseca al ∠DAB y al ∠DCB, entonces, △ACD ≅ △ACB. B

S

P

A

C

T

D

Figura 48.12

R Q

Olimpiadas

Figura 48.10

b.

Si ∠CBN ≅ ∠CDN, ∠1 ≅ ∠2 y N es punto medio de AE, entonces, △ABN ≅ △EDN.

Matemáticas

7.

¿De cuántas maneras diferentes se puede ir del punto A al punto B? Ten en cuenta las direcciones de las flechas.

C

A

D

E

D

B

1

A

2

N

C E

F

B Figura 48.13

Figura 48.11

Resumen LLL

LAL

Los criterios de congruencia de triángulos

que significa

Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

que significa

Si dos lados y el ángulo incluido entre ellos en un triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo incluido entre ellos en otro triángulo, entonces, los dos triángulos son congruentes.

que significa

Si dos ángulos y el lado incluido entre ellos en un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido entre ellos en otro triángulo, entonces, los dos triángulos son congruentes.

que significa

Si dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos en un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado opuesto al ángulo correspondiente en otro triángulo, entonces, los dos triángulos son congruentes.

son

ALA

LAA

235

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

Tema

49 Aplicación de la congruencia de triángulos

Pensamiento

espacial

Ideas previas 1. Si tres ángulos de un triángulo son congruentes, respectivamente, con los tres ángulos de otro triángulo, ¿los triángulos son congruentes? 2. Si dos lados de un triángulo son congruentes con los dos lados de otro triángulo, ¿qué condición se debe cumplir para que los dos triángulos sean congruentes?

Recordemos que contamos con cuatro criterios para demostrar la congruencia de dos triángulos. Estos criterios nos ayudan a demostrar otras proposiciones y teoremas.

Criterios de congruencia Postulado LLL

Postulado LAL

Postulado ALA

Teorema LAA

Tabla 49.1 Ejemplo 1 E

En la figura 49.1, si AD ≅ BC y BD ≅ AC, entonces, ∠DAB ≅ ∠CBA.

F

Solución D

A

C

B

Figura 49.1

Demostremos la congruencia de los triángulos solapados △ABC y △BAD, de la figura 49.1, para deducir la congruencia de los ∠DAB y ∠CBA. Para facilitar la visualización, separamos los dos triángulos, como se muestra en la figura 49.2, y registramos la información que tenemos.

C

D

A

B

B

A

Figura 49.2

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos? AB ≅ AB

1.

Propiedad reflexiva

2. AD ≅ BC y BD ≅ AC AB ≅ AB

⎯⎯⎯⎯⎯ →

Postulado LLL

△ADB ≅ △BCA

Definición de triángulos congruentes

∠DAB ≅ ∠CBA

3. △ADB ≅ △BCA

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

236

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

La estrategia de usar triángulos para demostrar otra propiedad de las figuras es muy útil, como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2

A

D

En la figura 49.3, si C es el punto medio del AE y del BD, entonces, AB || DE.

C

1

Solución

Indicamos en la figura la congruencia de dos segmentos o dos ángulos cuando estos se deducen.

2

B

E Figura 49.3

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura A D

1. C es el punto medio del AE.

Definición de punto medio

⎯⎯⎯⎯⎯ →

AC ≅ CE

C

1

2

B E A D

2. C es el punto medio del BD.

Definición de punto medio

⎯⎯⎯⎯⎯ →

C

1

BC ≅ CD

2

B E

3.

Información dada gráficamente

∠1 y ∠2 son opuestos por el vértice. A D

4. ∠1 y ∠2 son opuestos por el vértice.

Teorema de ángulos opuestos por el vértice

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

C

1

∠1 ≅ ∠2

2

B E

5. AC ≅ CE BC ≅ CD ∠1 ≅ ∠2

LAL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

△ACB ≅ △ECD A D

6. △ACB ≅ △ECD

Definición de triángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

1

∠ABC ≅ ∠EDC

C 2

B E

7. 8. ∠ABC y ∠EDC son alternos internos. ∠ABC ≅ ∠EDC

Información dada gráficamente

Teorema de ángulos alternos internos a paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠ABC y ∠EDC son alternos internos.

AB || DE

237

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

En ocasiones, es necesario hacer una construcción auxiliar de un segmento o recta, por ejemplo, para formar triángulos y usarlos para hacer la demostración. A continuación, se ilustra lo anterior.

A

Teorema. Del triángulo isósceles Si un triángulo es isósceles, entonces, los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. B

C Figura 49.4

Reformulación: si en el △ABC, AB ≅ AC, entonces, ∠B ≅ ∠C. Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura A

1. BC

Teorema de existencia del punto medio

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

M es punto medio de BC. B

M

C

A

2. M es punto medio de BC.

de mediana ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

AM es mediana del △ABC. B

M

C

A

3. M es punto medio de BC.

Definición de punto medio

⎯⎯⎯⎯⎯ →

BM ≅ CM

B

M

C

A

4.

Propiedad reflexiva

AM ≅ AM

B

M

C

A

5. AB ≅ AC AM ≅ AM BM ≅ CM

LLL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

△ABM ≅ △ACM

B

6. △ABM ≅ △ACM

Definición de triángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

238

M

C

∠B ≅ ∠C

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Teorema. De ángulos congruentes en un triángulo Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces, los lados opuestos a los ángulos congruentes son congruentes. En ocasiones debemos usar más de un par de triángulos congruentes para demostrar una proposición. Ejemplo 3

A

E B

En la figura 49.5, si CA ≅ CE y BA ≅ DE, entonces, BX ≅ DX.

X

D

Solución

Prueba ¿Qué sabemos?

C ¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura 49.5

Figura E

A

1. CA ≅ CE

Teorema del triángulo isósceles

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

B

∠CAE ≅ ∠CEA

X

D

C E

A

2.

Propiedad reflexiva

B

AE ≅ AE

X

D

C E

A

3. ∠CAE ≅ ∠CEA AE ≅ AE AB ≅ DE

B

⎯⎯⎯⎯⎯ → Postulado LAL

X

D

△BAE ≅ △DEA

C

Para facilitar la visualización, usaremos otro par de triángulos, borramos las marcas de colores para indicar solamente las que necesitamos en esta parte de la demostración. ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura E

A

4. △BAE ≅ △DEA

Definición de triángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

∠ABE ≅ ∠EDA

B

X

D

C

5.

Información dada gráficamente

∠BXA y ∠DXE son opuestos por el vértice.

239

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

E

A

6. ∠BXA y ∠DXE son opuestos por el vértice.

Teorema de ángulos opuestos por el vértice

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

X

B

∠BXA ≅ ∠DXE

D

C E

A

7. ∠ABE ≅ ∠EDA ∠BXA ≅ ∠DXE BA ≅ DE

△BXA ≅ △DXE

⎯⎯⎯⎯⎯ → Teorema LAA

X

B

D

C Definición de triángulos congruentes

8. △BXA ≅ △DXE

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

BX ≅ DX

La estrategia que aplicamos en los ejemplos anteriores para demostrar la congruencia de dos segmentos o dos ángulos, podemos resumirla como se indica a continuación.

Para demostrar que dos segmentos o dos ángulos son congruentes: 1. Identificamos dos triángulos en los cuales los segmentos o ángulos sean partes correspondientes o elaboramos una construcción auxiliar que genere dos triángulos de los cuales ellos sean partes correspondientes. 2. Demostramos que los triángulos son congruentes. 3. Usamos la definición de triángulos congruentes para concluir que los segmentos o ángulos son congruentes.

Desarrolla competencias 1.

Identifica dos triángulos solapados congruentes en cada caso. Determina los criterios de congruencia que permiten afirmarlo. ML ≅ QP LP ⊥ LM

a.

b.

LP ⊥ PQ

PQ || UR QT || RS

AC ≅ BC ∠A ≅ ∠B

c.

QT ≅ RS

L

Q

P

R

B

A F

N M

E

D Q

P

U

T

S C

240

Figura 49.6

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

2.

Identifica los triángulos que deben ser congruentes en la figura 49.7 para llegar a la conclusión dada.

3.

Identifica dos pares de triángulos de la figura 49.8, que puedes demostrar congruentes para llegar a la conclusión dada.

A

E

4

S

3

D

T W

F

1

2

C

B

Q

Figura 49.7

a. b. c. d.

R

P

FD ≅ EF ∠EBC ≅ ∠DCB ∠3 ≅ ∠4 BD ≅ EC

Figura 49.8

a. b. c.

SP ≅ TQ ∠W ≅ ∠R ST ≅ PQ

Razonamiento lógico

4.

Completa la información de la prueba del teorema.

Teorema. De ángulos congruentes en un triángulo Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces, los lados opuestos a los ángulos congruentes son congruentes. Reformulación: si ∠B ≅ ∠C, entonces, AB ≅ AC (ver figura 49.9). A

¿Qué sé?

¿Qué uso?

1. ∠BAC

de bisectriz ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. AT es bisectriz del ∠BAC.

de bisectriz ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3. B

C

¿Qué concluyo? AT es bisectriz del ∠BAC.

Propiedad reflexiva

4. ∠B ≅ ∠C

Figura 49.9

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

5.

241

AB ≅ AC

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

5.

Demuestra que si M es punto medio de AB, ∠A ≅ ∠B, MC es bisectriz del ∠FMG, entonces, FC ≅ GC.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

9.

C

A

6.

a.

G

F

B

M

Determina el valor de las variables de las siguientes figuras usando los teoremas Del triángulo isósceles y De ángulos congruentes en un triángulo.

4(x  1)

3x + 1

Figura 49.10

50°

50°

Demuestra que si AB ≅ AE, BC ≅ DE, entonces, ∠ACD ≅ ∠ADC. b.

A

75°

12

12

y° C

B

7.

E

D

Figura 49.11

12

Demuestra que si TN biseca al ∠ITG, IT ≅ TG, entonces, TN biseca al ∠ING. c.

I

(3m)°

T

8

8

N

G

8.

12

Figura 49.12

48°

Demuestra que si ∠1 ≅ ∠2, BT ≅ BU y ∠3 ≅ ∠4, entonces, KC ≅ KE. d.

B 1 2

E

14x  40

35° x 2  5x + 20

U

T 4

35°

K

3

C

Figura 49.13

242

Figura 49.14

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Entretenimiento

10. ¿Cuáles de las siguientes figuras son congruentes?

Figura 49.15

11. Elabora una construcción auxiliar para probar las siguientes afirmaciones. Indica cuál es y prueba cada afirmación. a.

Si MN ≅ QP y MQ ≅ PN, entonces, ∠M ≅ ∠P. Q

P

N

M

b.

Si AD = BC y AB = CD, entonces, AK = CK. D

Competencias en TIC

13. Construye dos triángulos congruentes △DEF y △HIJ con un programa de geometría dinámica. Sea EX una mediana del △DEF e IY la mediana correspondiente al lado del △HIJ que es congruente al DF. ¿Qué relación existe entre EX e IY ? Demuestra tu respuesta.

B K C

A

c.

Si QR = QT y ∠R ≅ ∠T, entonces, SR = ST.

14. Construye un triángulo isósceles △ABC, donde CA ≅ CB. Sean las medianas AM y BN. ¿Qué relación existe entre estas? Demuestra tu respuesta.

T

Q

S

R

12. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. a. Todo triángulo isósceles tiene un par de ángulos congruentes. b. Todo triángulo equilátero es un triángulo isósceles. c. Todo triángulo isósceles es un triángulo equilátero. d. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son ángulos congruentes.

Figura 49.16

15. Construye un triángulo isósceles △MNO. Sean R, S y T los puntos medios de los respectivos lados del △MNO. ¿Qué tipo de triángulo es el △RST? Demuestra tu respuesta.

Resumen Para demostrar la congruencia de dos segmentos o dos ángulos, se pueden identificar dos triángulos en los cuales los segmentos o los ángulos sean partes correspondientes de triángulos congruentes.

243

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

Tema

50 Congruencia de triángulos rectángulos

Pensamiento

espacial

Ideas previas 1. De acuerdo con la medida de sus lados, ¿cómo se clasifican los triángulos? 2. De acuerdo con la medida de sus ángulos, ¿cómo se clasifican los triángulos? 3. ¿Un triángulo rectángulo puede ser isósceles?

Un triángulo que tiene un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo. Recordemos sus elementos.

Definición Hipotenusa

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa. Los lados opuestos a los ángulos agudos se denominan catetos (ver figura 50.1).

Cateto

Para demostrar que dos triángulos son congruentes, basta mostrar la congruencia de tres partes del triángulo, lados y ángulos, combinados adecuadamente. Como todos los ángulos rectos son congruentes, la congruencia de triángulos rectángulos requiere determinar solamente la congruencia de dos partes correspondientes más, como lo establecen los siguientes dos teoremas.

Cateto Figura 50.1

Teorema. Cateto - Ángulo (CA) Si un cateto y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes. B

A

Teorema. Hipotenusa - Ángulo (HA) Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

Q

C

C

P

R

A

C

B

A

Figura 50.2

Vínculo web Analiza el teorema Hipotenusa-Ángulo ingresando a la página http:// www.geogebratube.org/ student/m113356

Para recordar El teorema de Pitágoras afirma que para todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

B

Figura 50.3 L

Ejemplo 1

Demostremos que si KL ⊥ LA, KJ ⊥ JA y KA biseca al ∠LAJ, entonces, △LAK ≅ △JAK.

Solución

A

K

J

Figura 50.4

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos? Definición de perpendicular

1. KL ⊥ LA, KJ ⊥ JA

⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. ∠KLA es recto. ∠KJA es recto.

Definición de triángulo rectángulo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 244

¿Qué concluimos? ∠KLA es recto. ∠KJA es recto. △KLA es rectángulo. △KJA es rectángulo.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Información dada gráficamente

3. 4. KA es opuesto a los ángulos rectos.

Definición de hipotenusa

⎯⎯⎯⎯⎯ →

5.

Propiedad reflexiva

6. KA biseca al ∠LAJ. 7. △KLA es rectángulo. △KJA es rectángulo. KA ≅ KA KA es la hipotenusa. ∠KAL ≅ ∠KAJ

KA ≅ KA ∠KAL ≅ ∠KAJ

Teorema hipotenusa ángulo (HA)

△LAK ≅ △JAK

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

En ocasiones, para asegurar que un poste o un árbol se mantengan perpendiculares al piso, se ubican dos cables de igual longitud, ajustados a un punto del poste o del árbol y cada uno a una estaca en el piso. ¿Por qué se puede estar seguro de que las dos estacas están a la misma distancia del poste o árbol?

KA es la hipotenusa del △KLA y del △KJA.

Definición de bisectriz

⎯⎯⎯⎯⎯ →

En qué se aplica

KA es opuesto a los ángulos rectos.

El siguiente es un teorema que necesitamos para la demostración del teorema HC, pero por ahora no lo demostraremos.

Teorema. Localización de puntos En un rayo, hay exactamente un punto que está a una distancia determinada del extremo del rayo. La combinación LLA no da lugar a la congruencia de los triángulos, pero en el caso de triángulos rectángulos sí se da, tal y como lo asegura el teorema HC.

Teorema. Hipotenusa - Cateto (HC) A

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes. Reformulación: si △ABC y △DEF son rectángulos, siendo ∠B y ∠E rectos, AC ≅ DF y AB ≅ DE, entonces, △ABC ≅ △DEF.

D

B

C

E

F

Figura 50.5

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura D

A

1. ∠ABC y ∠DEF rectos.

Teorema de ángulos rectos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠ABC ≅ ∠DEF B

2. F y E puntos.

de la recta ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

C

F

E

←→ ⎯

Existe FE . D

A

←→ ⎯

3. Existe FE .

←→ ⎯

Existe G en FE tal ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ que EG ≅ BC. Teorema de la localización de puntos

B

245

C

G

E

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

F

D

A

4. G y D puntos.

de la recta ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

←→ ⎯

Existe GD y GD. B

5. ∠DEF es recto. ←→ ⎯

6. DE ⊥ FE

DE ⊥ FE

Definición de perpendicular

∠DEG es recto.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

G

D

A

7. ∠DEG es recto. ∠ABC es recto.

Teorema de ángulos rectos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠DEG ≅ ∠ABC B

8. AB ≅ DE EG ≅ BC ∠DEG ≅ ∠ABC

LAL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

C

G

Definición de triángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

△ABC ≅ △DEG D

AC ≅ DG

B

C

G

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

D

DG ≅ DF B

C

G

Teorema del triángulo isósceles

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

F

E D

A

11. DG ≅ DF

F

E

A

10. AC ≅ DG AC ≅ DF

F

E

A

9. △ABC ≅ △DEG

F

E

←→ ⎯

Definición de perpendicular

⎯⎯⎯⎯⎯ →

C

∠G ≅ ∠F

B

12. ∠ABC ≅ ∠DEF ∠DEG ≅ ∠ABC

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠DEF ≅ ∠DEG

13. ∠DEF ≅ ∠DEG ∠G ≅ ∠F DG ≅ DF

LAA ⎯Teorema ⎯⎯⎯⎯ →

△ DEF ≅ △DEG

14. △DEF ≅ △DEG △ABC ≅ △DEG

de sustitución ⎯Propiedad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

△ABC ≅ △DEF

246

C

G

E

F

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 2

Vínculo web

Determinemos la información adicional que debemos conocer para demostrar que los triángulos de las figuras 50.6 son congruentes por el teorema Hipotenusa - Cateto (HC). a.

b.

R

c.

C

G B

E

D X

T

A

F

A

G Q

V

Analiza el teorema Hipotenusa-Cateto ingresando a la página http:// www.geogebratube.org/ student/m113359

J Figura 50.6

Solución

a.

El △XRV y el △TRV comparten el RV, que es la hipotenusa de cada triángulo. Faltaría indicar que XR ≅ RT o XV ≅ TV.

b.

En este caso, falta asegurar que el △ACQ y el △GCJ son rectángulos. Esto significa saber que el ∠A y el ∠G son rectos, ya que no lo pueden ser el ∠CQA ni el ∠CJG.

c.

Se tiene que el △BDG y △FEA son rectángulos y que BD ≅ EF, siendo estos catetos de cada triángulo. Eso significa que falta conocer la congruencia de las respectivas hipotenusas: AF y BG.

Desarrolla competencias 1.

¿Cuál criterio de congruencia de triángulos se puede aplicar para demostrar los teoremas CA y HA?

2.

Explica cómo se demostraría el teorema Hipotenusa - Cateto usando el teorema de Pitágoras.

3.

En un salón, se ubicarán diagonalmente dos mesas en dos esquinas, como se muestra en la figura 50.7. A

4.

La figura 50.8 representa una cometa. De acuerdo con la información dada gráficamente, ¿cuáles triángulos son congruentes? ¿Qué criterio lo asegura? B

B

A

E

C

D Figura 50.8 Figura 50.7

5.

El encargado ya ubicó la mesa en la esquina A. ¿Qué medidas debe tomar para asegurarse de que la otra mesa se ubique exactamente en la misma posición en la esquina B? Justifica tu respuesta.

247

Para demostrar el teorema Del triángulo isósceles se usó como construcción auxiliar la mediana. ¿Puede demostrarse el mismo teorema usando la altura sobre la base en vez de la mediana? Explica tu respuesta.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

6.

Determina el criterio de congruencia que se puede usar para demostrar la congruencia de los triángulos de las figuras 50.9. Si no hay forma de hacerlo, justifica tu respuesta. a.

Razonamiento lógico

Demuestra cada afirmación. 7.

Si B es punto medio de AC, ∠A y ∠C son rectos y EB ≅ DB, entonces, △BEA ≅ △BDC.

E

D

D

E

C B

A

C

B

A

Figura 50.10

b.

8.

G

⎯→ ⎯

Si KL ⊥ LA , KJ ⊥ JA y AK es la bisectriz del ∠LAJ, entonces, LK ≅ JK. L

H

I

F

A

K

c.

L

N J Figura 50.11

J

K

M

9.

O

Si DH ⊥ DJ , KJ ⊥ JD y JH ≅ DK, entonces, ∠H ≅ ∠K. D

d.

H

B

Z

A

Figura 50.12

10. a. D

e.

K

J

C

Demuestra que la siguiente afirmación es verdadera. Si AB ≅ AC, BN ⊥ AC y CM ⊥ AB, entonces, △ABN ≅ △ACM.

A A E

D M

B

C

Figura 50.9

248

B

N

C

Figura 50.13

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

b.

¿Cómo puedes usar la congruencia del △ABN y del △ACM para demostrar que MB ≅ NC?

c.

Con la información del literal a., ¿de qué otra manera puede demostrarse que MB ≅ NC?

11. Demuestra que si RH || NO , RH ≅ ON, RD es altura del △RNH y OA es altura del △ONH, entonces, ND ≅ HA.

13. Un poste es perpendicular a un plano que contiene los puntos B, C y D. En la parte superior del poste, está el punto A y en la parte inferior sobre el plano, el punto O. Se tienen cuerdas iguales desde A hasta B, C y D. ¿△AOB, △AOC y △AOD son congruentes? Competencias en TIC

14. Construye con un programa de geometría dinámica un △ABC, CX la altura al AB y BY la altura al AC.

H R

A

Vista Algebraica Punto A = (-2.36, 3.48) B = (3, -2) C = (3.54, 4.52)

D

O

N

Y

C

A

X

Figura 50.14

12. Demuestra el teorema localización de puntos. ⎯→ ⎯ Reformulación: si AB es un rayo y r un número ⎯→ ⎯ positivo, entonces, hay un punto K en AB , tal que AK = r. Ayuda: la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas.

Vista Gráfica

B Entrada

Comando...

Figura 50.15

¿Qué propiedad tiene el △ABC cuando CX ≅ BY? Justifica tu respuesta.

Resumen

Cateto - Ángulo (CA)

Los criterios de semejanza de triángulos rectángulos

son

Hipotenusa Ángulo (HA)

Hipotenusa Cateto (HC)

que significa

Si un cateto y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

que significa

Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

que significa

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

249

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

51 Mediatrices y bisectrices

Tema

Ideas previas

Pensamiento

espacial

1. ¿Cómo se define la mediana de un triángulo? 2. ¿Qué significa la bisectriz de un ángulo? 3. ¿Cuál es la diferencia entre la mediana y la altura de un triángulo?

Definición

m

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de este (ver figura 51.1). B

La mediatriz de un segmento agrupa todos los puntos de un plano que tienen una propiedad muy especial, como lo indica el siguiente teorema. Q

A

Teorema. Puntos equidistantes de los extremos de un segmento Figura 51.1

Si un punto es equidistante de los extremos de un segmento, entonces, está sobre la mediatriz del segmento. Reformulación: si MN es un segmento y Q un punto tal que MQ = NQ, entonces, Q está sobre la mediatriz del MN.

N Figura 51.2

M

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura Q

1. MN es un segmento.

Teorema de la existencia del punto medio

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

T es punto medio de MN.

M

T

N

Q

2. Q es un punto. T es un punto.

de la recta ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

←→ ⎯

Existe la QT .

M

T

N

Q

3. T es punto medio de MN

Definición de punto medio

⎯⎯⎯⎯⎯ →

MT ≅ NT

M

T

N

Q

4.

Propiedad reflexiva

QT ≅ QT

M

250

T

N

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

MQ ≅ NQ

5. MQ = NQ

de congruencia ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

6. MQ ≅ NQ MT ≅ NT QT ≅ QT

LLL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

△QMT ≅ △QNT

Definición de triángulos congruentes

∠QTM ≅ ∠QTN

Teorema de ángulos adyacentes congruentes

←→ ⎯

7. △QMT ≅ △QNT 8. ∠QTM ≅ ∠QTN

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

QT ⬜ MN

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

←→ ⎯

9. QT ⬜ MN T es punto medio de MN.

←→ ⎯

de mediatriz ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

QT es mediatriz del MN.

m

Ejemplo 1

Si la recta l es perpendicular a la recta m y ∠A ≅ ∠B, ¿por qué l es la mediatriz del AB?

A

Solución

S

Como l ⊥ m, entonces, ∠TSA y ∠TSB son rectos (ver figura 51.3). Por tanto, son congruentes. El TS es congruente a sí mismo y ∠A ≅ ∠B.

T

l

B

Por el teorema LAA, △TSB ≅ △TSA. Por la definición de triángulos congruentes, tenemos que TB ≅ TA y SA ≅ SB, es decir, tanto S como T equidistan de A y B. Por el teorema Puntos equidistantes de los extremos de un segmento, S y T están en la ←⎯ → mediatriz del AB. Por el postulado de la recta, ST es la misma recta l. Luego, l es la mediatriz del AB.

Definición

Q

La distancia desde un punto Q a una recta l es la longitud del segmento perpendicular desde Q hasta l (ver figura 51.4).

l

Así como la mediatriz se caracteriza como el conjunto de puntos que equidistan de los extremos de un segmento, la bisectriz de un ángulo también puede describirse de forma especial, como se indica en el siguiente teorema.

T

Figura 51.4

Teorema. Punto equidistante a los lados de un ángulo

S

Si un punto equidista de los lados de un ángulo, entonces, el punto está sobre la bisectriz del ángulo.

N

Vínculo web Profundiza en la definición de bisectriz ingresando a la página http://www.geogebratube. org/student/m111784

En qué se aplica A lo largo del tiempo, en diseños arquitectónicos, se ha usado el concepto matemático de simetría, en el cual la mediatriz de un segmento es esencial. En la pirámide de Kukulkán (en Chichén Itzá, México), construida por los mayatoltecas alrededor del año 1000 d.C., claramente se distingue la simetría axial (ver figura 51.6) F

P

M

Como se habla de la distancia de un punto a una recta, debemos mencionar en la reformulación un segmento con extremo en el punto, perpendicular a la recta.

Figura 51.3

E C

D

L T

B

A

Figura 51.5

Reformulación: si ∠TMS, NP ⊥ MN, LP ⊥ LM y NP = LP, ⎯→ ⎯ entonces, MP es la bisectriz del ∠TMS.

Figura 51.6

251

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. NP ⊥ MN LP ⊥ LM

Definición de perpendicular

⎯⎯⎯⎯⎯ →

¿Qué concluimos?

Figura

∠MLP y ∠MNP son rectos. S N

Definición de triángulo rectángulo

2. ∠MLP y ∠MNP son rectos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

△MLP y △MNP son rectángulos.

P

M L

T S N Definición de congruencia

3. NP = LP

⎯⎯⎯⎯⎯ →

NP ≅ LP

P

M L

T S N

4.

Propiedad reflexiva

MP ≅ MP

P

M L

T

5. △MLP y △MNP son rectángulos. MP ≅ MP NP ≅ LP

Teorema hipotenusa - cateto (HC)

△MLP ≅ △MNP

Definición de triángulos congruentes

∠LMP ≅ ∠NMP

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

6. △MLP ≅ △MNP

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

7. ∠LMP ≅ ∠NMP

de bisectriz ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

⎯→ ⎯

MP es bisectriz del ∠TMS.

Desarrolla competencias 1.

Escribe todo lo que puedas deducir sobre los puntos, segmentos y ángulos de cada figura, a partir del hecho que se da como verdadero. a.

m es mediatriz del DF.

b.

m

⎯→ ⎯

KT es bisectriz del ∠YKW. Y X

A D

K

S

T

K F Z

B

W

252

Figura 51.7

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

2.

La distancia de un punto a una recta se define como la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta la recta. Argumenta por qué crees que se usa ese segmento y no otro para definir la distancia.

Competencias en TIC

3.

Establece si cada uno de los siguientes puntos se ubica en el interior del triángulo, en el exterior o sobre el triángulo. Justifica tus respuestas. a. Incentro (punto de intersección de las bisectrices) b. Circuncentro (punto de intersección de las mediatrices) c. Ortocentro (punto de intersección de las alturas) d. Baricentro (punto de intersección de las medianas)

4.

Indica si es aceptable usar, como construcción auxiliar, la mediatriz de la base del triángulo para demostrar el teorema Del triángulo isósceles, en lugar de usar la mediana. Explica tu respuesta.

Q m S T N

A Figura 51.8

Razonamiento lógico

Los recíprocos de los dos teoremas demostrados en la explicación del tema también son teoremas. Completa la demostración de cada uno. 5.

Teorema. Mediatriz de un segmento Si un punto está sobre la mediatriz de un segmento, entonces, equidista de los extremos del segmento. Reformulación: si Q está sobre la mediatriz l de XY, entonces, QX ≅ QY.

¿Qué sé?

X

¿Qué uso?

¿Qué concluyo? ←→ ⎯

l M

Q

1. Q está sobre la mediatriz l de XY. ←→ ⎯

Y

Definición de mediatriz

QM ⊥ XY

⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de perpendicularidad

2. QM ⊥ XY

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

4.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

5.

Propiedad reflexiva

Figura 51.9

∠QMX ≅ ∠QMY

6. LAL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

∠QMX ≅ ∠QMY Definición de triángulos congruentes

7.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

253

QX ≅ QY

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6.

Teorema. Bisectriz de un ángulo Si un punto está sobre la bisectriz de un ángulo, entonces, equidista de los lados del ángulo. Reformulación: si A está sobre la bisectriz del ∠DEF, AH ⊥ DE y AG ⊥ FE, entonces, AH ≅ AG. ¿Qué sé? E

¿Qué uso?

1. A está sobre la bisectriz del ∠DEF.

Definición de bisectriz

⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de perpendicularidad

2. AH ⊥ DE y AG ⊥ FE. G

H A

D

F

Figura 51.10

¿Qué concluyo?

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

4.

Propiedad reflexiva

5. Teorema hipotenusa - ángulo (HA)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de triángulos congruentes

6.

7.

AH ≅ AG

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Demuestra cada afirmación sin usar congruencia de triángulos. a. Si P está sobre la mediatriz del AB y sobre la mediatriz de BC, entonces, PA = PC.

c.

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯

Si DP biseca al ∠ADE y EP biseca al ∠DEC, entonces, P está en la bisectriz del ∠ABC. A D

m B

A

P

l B

E

C

C

Figura 51.13

P Figura 51.11

b.

8.

Si S equidista de E y D, y V equidista de E y D, ←⎯ → entonces, SV es la mediatriz de ED.

Demuestra la siguiente afirmación: Si ∠1 ≅ ∠2, R ←⎯ → es punto medio de QS y PU ≅ TU, entonces, UR es mediatriz de QS.

S

Q

S

U

D

E

R

1

P V

2

T Figura 51.14

Figura 51.12

254

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Entretenimiento

9.

c.

Observa el triángulo formado con fósforos. Mueve solo dos fosforos para que resulten dos triángulos equiláteros. Los demás fósforos no se pueden mover y no se pueden dejar lados abiertos.

⎯→ ⎯

SR es la mediatriz del NM, MS = 6n2 − 15n + 29 y NS = 2n2 + 18n − 6. ¿Son aceptables ambos valores de la variable?

11. Explica cómo hallar en la figura lo que se solicita. C B D

A Figura 51.15 Pensamiento crítico y resolución de problemas

10. Observa la figura 51.16 y halla en cada caso el valor de la variable.

Figura 51.17 ←⎯ →

←⎯ →

a.

Un punto equidistante de AD y AB y que, a la vez, sea equidistante de D y C.

b.

Un punto equidistante de AB , AD y DC .

←⎯ →

←⎯ →

←⎯ →

12. Determina cuál construcción auxiliar permite demostrar que la siguiente afirmación es verdadera sin usar triángulos congruentes. Explica tu respuesta. Si FL ≅ FK y AL ≅ AK, entonces, LJ ≅ KJ.

R

A

Q

N

S

M

L Figura 51.16

a. b.

K J

R está sobre la bisectriz del ∠QNM, QR = 8x − 4 y SR = 6x + 9. ⎯→ ⎯

NR es la bisectriz del ∠QNM, m ∠RNQ = 4n + 48 y m ∠RNS = 82 − 13n.

F

Figura 51.18

Resumen Teoremas relacionados con mediatrices

Teoremas relacionados con bisectrices

1. Si un punto equidista de los extremos de un segmen- 1. Si un punto equidista de los lados de un ángulo, ento, entonces, está sobre la mediatriz del segmento. tonces, el punto está sobre la bisectriz del ángulo. 2. Si un punto está sobre la mediatriz de un segmento, 2. Si un punto está sobre la bisectriz de un ángulo, enentonces, equidista de los extremos del segmento. tonces, equidista de los lados del ángulo. Tabla 51.1

255

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Geometría

Tema

52 Desigualdades en un triángulo Ideas previas

Pensamiento

espacial

1. ¿Cuánto suman las medidas de dos ángulos par lineal? 2. Si un ángulo externo de un triángulo mide 68°, ¿cuánto mide el ángulo interno adyacente? 3. Si en un triángulo uno de sus ángulos externos mide 78°, ¿cuánto suman las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes?

Vínculo web Analiza relaciones entre las longitudes de los lados de un triángulo ingresando a la página http://www. geogebratube.org/student/ m114632

Para que un triángulo se pueda construir, las longitudes de los lados deben cumplir determinadas condiciones que las establece el teorema De desigualdad triangular. Para demostrarlo, primero demostraremos otros teoremas.

Definición Para dos números reales a y b, se dice que a es mayor que b (a > b) si existe un número positivo c tal que a = b + c.

Teorema. Relación entre medidas del ángulo externo de un triángulo y de un ángulo interno

B

La medida de un ángulo externo de un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los ángulos internos no adyacentes.

3

Reformulación: si ∠4 es un ángulo externo del △ABC, entonces, m ∠4 > m ∠2 y m ∠4 > m ∠3 (ver figura 52.1). 2

1

A

4

C Figura 52.1

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. ∠4 es un ángulo externo del △ABC.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2. ∠2 y ∠3

Teorema del ángulo externo

m ∠2 + m ∠3 = m ∠4

Postulado de medida de ángulos

m ∠2 > 0, m ∠3 > 0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3. m ∠2 > 0, m ∠3 > 0 m ∠2 + m ∠3 = m ∠4

¿Qué concluimos?

Definición de la relación mayor que

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

m ∠4 > m ∠2 y m ∠4 > m ∠3

Existen relaciones de orden entre las medidas de los ángulos de un triángulo y las correspondientes medidas de los lados del triángulo. Estas se evidencian en el abrir y cerrar de una puerta (ver figura 52.2). Cuanto mayor sea el ángulo de abertura, mayor es la distancia entre el borde y el marco de la puerta.

Para recordar Un ángulo externo de un triángulo es un ángulo que forma un par lineal con uno de los ángulos del triángulo.

Figura 52.2 256

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A partir de la comparación de las medidas de los ángulos o lados, se puede establecer una relación entre las medidas de los lados o ángulos.

R

Teorema. Medidas desiguales de segmentos Si las medidas de dos lados de un triángulo son desiguales, entonces, el ángulo opuesto al lado más largo tiene mayor medida que el ángulo opuesto al lado más corto.

S T

Reformulación: si RT > RS, entonces, m ∠S > m ∠T (ver figura 52.3).

Figura 52.3

Prueba ¿Qué sabemos? 1. RT > RS

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Definición de la relación mayor que

Figura

RT = RS + q, q > 0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

R

2. RT = RS + q, q > 0

Teorema de la localización de puntos

D

Existe D en RT, tal que RD ≅ RS.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

S T R

3. Existe D y existe S.

Postulado de la recta y definición de segmento

D

Existe DS.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

S T R

4. RD ≅ RS

Teorema del triángulo isósceles

D

∠2 ≅ ∠3

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

3

2 1

S

T Información dada gráficamente

5. 6. D está en el interior del ∠RST. 7. ∠1 8. m ∠RST = m ∠1 + m ∠2 m ∠1 > 0 9. ∠2 ≅ ∠3 10. m ∠RST > m ∠2 m ∠2 = m ∠3 11. 12. ∠3 es ángulo externo del △TDS. 13. m ∠3 > m ∠T m ∠RST > m ∠3

D está en el interior del ∠RST.

Postulado de la adición de las medidas de ángulos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Postulado de la medida de ángulos

m ∠RST = m ∠1 + m ∠2 m ∠1 > 0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Definición de la relación mayor que

m ∠RST > m ∠2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Definición de congruencia

m ∠2 = m ∠3

⎯⎯⎯⎯⎯ → Principio de sustitución

m ∠RST > m ∠3

⎯⎯⎯⎯→

∠3 es ángulo externo del △TDS.

Información dada gráficamente Teorema relación entre la medida del ángulo externo y medida del ángulo interno

m ∠3 > m ∠T

transitiva ⎯Propiedad ⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠S > m ∠T

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

257

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

En la demostración del teorema recíproco, argumentaremos de forma diferente a la utilizada hasta el momento.

Para recordar Propiedad de tricotomía

Teorema. Medidas desiguales de ángulos

Si a y b son números reales, solo una de las siguientes expresiones es verdadera: 1. a = b 2. a < b 3. a > b

Si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces, el lado opuesto al ángulo de mayor medida es de mayor longitud que el lado opuesto al ángulo de menor medida. Reformulación: si m ∠C > m ∠A, entonces, AB > BC (ver figura 52.4). Prueba B

Como BC y AB son números reales, solo una de las siguientes condiciones es verdadera por la propiedad de tricotomía. 1.

AB > BC

2.

AB = BC

3.

AB < BC

Analicemos las dos últimas posibilidades. 2. C

A

Si AB = BC, tenemos que AB ≅ BC y, por el teorema Del triángulo isósceles, ∠C ≅ ∠A. Por la definición de congruencia, m ∠C = m ∠A. Pero se tiene como verdadero que m ∠C > m ∠A. Por tanto, este caso no es posible.

Figura 52.4

3.

Si AB < BC, por el teorema anterior, m ∠C < m ∠A. De nuevo, esto no es posible porque m ∠C > m ∠A.

Por tanto, solo es posible la primera condición: AB > BC. Ejemplo 1 P

Probemos que el segmento perpendicular desde un punto exterior a una recta es el más corto de todos los segmentos que unen al punto con algún punto de la recta. Solución

Sea P el punto, m la recta, A un punto de la recta tal que PA ⊥ m, y B otro punto de la recta. B

m A Figura 52.5

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos? Definición de perpendicularidad

1. PA ⊥ m

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de triángulo rectángulo

2. ∠PAB es recto.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

3. △PAB es triángulo rectán-

gulo. 4. ∠PAB es recto.

Teorema del triángulo obtusángulo o rectángulo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠PBA es agudo.

Definición de ángulo agudo

m ∠PBA < 90°

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Teorema de medidas desiguales de ángulos

7. m ∠PBA < m ∠PAB

△PAB es triángulo rectángulo.

m ∠PAB = 90°

⎯⎯⎯⎯⎯ →

6. m ∠PAB = 90° m ∠PBA < 90°

∠PAB es recto.

Definición de ángulo recto

⎯⎯⎯⎯⎯ →

5. ∠PBA es agudo.

¿Qué concluimos?

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠PBA < m ∠PAB PA < PB

Como B es cualquier punto de la recta m diferente de A, el argumento desarrollado permite generalizar y afirmar que el PA es el más corto. 258

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Ya tenemos todos los elementos que permitirán demostrar el teorema De la desigualdad triangular. En su demostración, es necesario elaborar una construcción auxiliar.

X

Teorema. De la desigualdad triangular En un triángulo, la suma de las medidas de cualquier par de lados es mayor que la medida del tercer lado.

Figura 52.6

Reformulación: si △XYZ, entonces, XY + YZ > XZ (ver figura 52.6). ¿Qué sabemos? 1. △XYZ

¿Qué usamos? de triángulo ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Z

Y

¿Qué concluimos?

Figura

Existen Y y Z. X

2. Existen Y y Z.

de la recta ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

←→ ⎯

Existe YZ . Y

Z

Y

Z

Y

Z

X ←→ ⎯

3. Existe YZ .

Teorema de la localización de puntos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Existe W en el rayo opuesto a ⎯→ ⎯ YZ tal que WY ≅ XY. W X

4. Existen W y X.

Postulado de la recta. Definición de segmento

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Construimos WX. W X

5. WY ≅ XY

Teorema del triángulo isósceles

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

∠WXY ≅ ∠XWY W

6. ∠WXY ≅ ∠XWY

de congruencia ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠WXY = m ∠XWY

7. WY ≅ XY

de congruencia ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

WY = XY

Información dada gráficamente

8. 9. Y está entre W y Z. 10. WZ = WY + YZ WY = XY 11. 12. Y está en el interior del ∠WXZ. 13. m ∠WXY = m ∠XWY m ∠WXZ = m ∠WXY + m ∠YXZ

WZ = WY + YZ

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

WZ = XY + YZ

Información dada gráficamente.

Y está en el interior del ∠WXZ.

Postulado de la adición de la medida de ángulos

m ∠WXZ = m ∠WXY + m ∠YXZ

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠WXZ = m ∠XWY + m ∠YXZ

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Z

Y está entre W y Z.

Postulado de la adición de medida de segmentos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Y

259

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

14. ∠YXZ 15. m ∠YXZ > 0 m ∠WXZ = m ∠XWY + m ∠YXZ 16. m ∠WXZ > m ∠XWY 17. WZ > XZ WZ = XY + YZ

Postulado de la medida de ángulos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

m ∠YXZ > 0

Definición de la relación mayor que

m ∠WXZ > m ∠XWY

Teorema de las medidas desiguales de ángulos

WZ > XZ

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

XY + YZ > XZ

Ejemplo 2

En qué se aplica El teorema que mayor aplicación tiene en la vida cotidiana es el De la desigualdad triangular. Para armar cualquier estructura metálica, basada en triángulos, se deben escoger las varillas que se van a soldar teniendo en cuenta las condiciones establecidas por este teorema.

Para construir un triángulo, se tienen dos segmentos de 4 cm y 7,5 cm, respectivamente. ¿De qué longitud debe ser el tercer segmento para formar el triángulo? Solución

Si c es la longitud del tercer lado, según el teorema De la desigualdad triangular, se deben cumplir las tres desigualdades. c + 4 > 7,5

c + 7,5 > 4

7,5 + 4 > c

La segunda desigualdad siempre es verdadera. De la primera, obtenemos que c > 3,5 y de la tercera, que c < 11,5. Por tanto, c es un número entre 3,5 y 11,5.

Desarrolla competencias 1.

2.

Determina con cuáles de las siguientes medidas se puede construir un triángulo. Justifica tus respuestas. a. 4 cm, 6 cm y 8 cm b. 3 cm, 2 cm y 6 cm. c. 4 cm, 5 cm y 3 cm. d. 20 cm, 12 cm y 14 cm. e. 12 cm, 11 cm y 23 cm. f. 16 cm, 9 cm y 12 cm. g. 8 cm, 6 cm y 7,5 cm. Para cada triángulo ABC, se dan las medidas de sus ángulos interiores. En cada caso, determina el lado de mayor longitud. a. m ∠A = 28°, m ∠B = 127° y m ∠C = 25°. b. m ∠A = 60°, m ∠B = 45° y m ∠C = 75°. c. m ∠A = 55°, m ∠B = 35° y m ∠C = 90°. d. m ∠A = 75°, m ∠B = 40° y m ∠C = 65°.

e. f. 3.

m ∠A = 70°, m ∠B = 75° y m ∠C = 35°. m ∠A = 25°, m ∠B = 30° y m ∠C = 125°.

Determina los valores de x para que se cumpla la relación entre los lados del triángulo ABC. a. Lado AB: x + 2; lado BC: x + 3; lado CA: 3x + 2. b.

Lado AB: 2x − 1; lado BC: x + 5; lado CA: 10 − x.

4.

Explica por qué la longitud x del tercer lado de un triángulo (conocidas las longitudes a y b de dos de los lados del triángulo, siendo b > a), cumple la siguiente desigualdad: b − a < x < b + a.

5.

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. a. En todo triángulo, la medida de uno de los lados es igual a la suma de la medida de los otros dos lados. b. En todo triángulo, el ángulo de mayor amplitud es opuesto al lado de mayor longitud.

260

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

c.

En un triángulo rectángulo, el lado de mayor longitud es opuesto al angulo recto. d. En cualquier triángulo, la suma de las medidas de cualquier par de lados es mayor que la medida del tercer lado. e. En todo triángulo, el lado de menor longitud es opuesto al ángulo de mayor amplitud. f. En cualquier triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la medida de cualquier ángulo interno no adyacente. 6.

8.

Determina el orden de las medidas de los ángulos en los triángulos de la figura 52.9. a. T

21x 25

R

El △DGF es isósceles con base GF (ver figura 52.7). Usa los signos para completar correctamente cada afirmación. Justifica tus respuestas.

6x 7

29x 35

b.

S

R

D E

x

x–1

F

H

G

Q

S

x+1

Figura 52.9

Figura 52.7 Razonamiento lógico

■ m ∠DFG m ∠GDF ■ m ∠DFE m ∠GHF ■ m ∠DFE m ∠DGF ■ m ∠DEF m ∠HFG ■ m ∠FDG m ∠DGF ■ m ∠DFE m ∠DGF

a. b. c. d. e. f.

Demuestra que cada afirmación es verdadera. 9.

Si m ∠FEG > m ∠GED, entonces, FG > EF. D

E

F

Trabajo colaborativo

7.

Discute con un compañero o compañera, cuál de las siguientes sillas es la más estable.

G

Figura 52.10

10. Si ∠X ≅ ∠Z y m ∠XYW > m ∠ZYW, entonces, XY > WY. Y A

A B

C

B

A C

B

C

X

W

Z

Figura 52.11

Figura 52.8

261

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Pensamiento crítico y resolución de problemas

a.

11. Nombra el lado más largo de cada gráfica de la figura 52.12. a. G

Teorema. La suma de las longitudes de las medianas de un triángulo es mayor que la mitad del perímetro.

H

k°

Escribe la reformulación del siguiente teorema de acuerdo con la definición. Ten en cuenta la figura 52.13.

(k + 2)°

B 60°

E

F

T

b.

C 61°

45°

Figura 52.13 45°

b.

58°

B

42°

C

D

A

D

E

42°

A

Figura 52.12

12. Natalia debe construir un triángulo isósceles cuyos lados congruentes midan 12 cm. ¿Cuáles pueden ser las medidas del tercer lado? 13. Dos lados de un triángulo miden 8 cm y 6 cm. ¿Cuál es el mayor valor y el menor valor que puede tener la medida del tercer lado? 14. Lee la siguiente definición: Una mediana de un triángulo es un segmento que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

Demuestra el teorema anterior usando el teorema De la desigualdad triangular, aplicado a los △ABE, △BDC, △AEC, △FBC, △AFC y △ABD de la figura 52.13.

15. El señor Franco quiere encerrar una porción triangular del jardín. Él tiene 15 m de alambre que piensa usar para dos de los lados de la región triangular y comprará el resto. a. ¿De qué longitud deben ser los dos lados que formará con el alambre que posee si quiere tener la mayor cantidad posible de opciones para la longitud del tercer lado? Explica tu respuesta. b. ¿De qué longitud deben ser los dos lados que formará con el alambre que posee si quiere tener la menor cantidad posible de opciones para la longitud del tercer lado? Explica tu respuesta.

Resumen De acuerdo con el triángulo dado, se cumplen las siguientes expresiones. 1.

m ∠3 + m ∠4 = 180°

2.

m ∠4 = m ∠1 + m ∠2

3.

m ∠4 > m ∠2 y m ∠4 > m ∠1

4.

CB + BA > AC

5.

CA + CB > AB

6.

AB + AC > BC

B 2

1

A

4

3

C Figura 52.14

262

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

Tema

53 Paralelogramos

Pensamiento

espacial

Ideas previas 1. ¿Cuántos lados tiene un paralelogramo? 2. ¿Todo cuadrilátero es un paralelogramo? 3. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un paralelogramo?

El paralelogramo es una figura geométrica de gran interés, pues a partir de su definición (haciendo construcciones auxiliares y usando congruencia de triángulos), es posible llegar a conocer todas las relaciones que existen entre las partes que lo componen.

Definición Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos (ver figura 53.1). a.

b.

c.

Figura 53.1

Usamos flechas del mismo color sobre los segmentos para indicar que son paralelos. Algunas propiedades de los paralelogramos que se demuestran se intuyen a partir de la observación de los ejemplos presentados.

Teorema. Lados opuestos de un paralelogramo Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. Reformulación: si ABCD es un paralelogramo, entonces, AB ≅ CD y AD ≅ BC. Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura A

1. ABCD es un paralelogramo.

B

AB || CD BC || AD

Definición de paralelogramo

⎯⎯⎯⎯⎯ →

C

D A

2. Existen B y D.

Postulado de la recta. Definición de segmento

Existe BD.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

D

3.

B

C

∠ABD y ∠BDC son alternos internos.

Información dada gráficamente

263

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

4. AB || CD ∠ABD y ∠BDC son alternos internos.

A Teorema de ángulos alternos internos entre paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

B

∠ABD ≅ ∠BDC D

C A

5. BC || AD

Teorema de ángulos alternos internos entre paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

B

∠ADB ≅ ∠DBC D

C A

6.

B

BD ≅ BD

Propiedad reflexiva

D

7. ∠ABD ≅ ∠BDC ∠ADB ≅ ∠DBC BD ≅ BD

LAL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

8. △ABD ≅ △CDB

Definición de triángulos congruentes

C

△ABD ≅ △CDB

AB ≅ CD AD ≅ BC

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Del último paso de esta demostración, podemos también concluir que ∠A ≅ ∠C y si en vez de construir el BD se construye el AC, concluimos que ∠B ≅ ∠D. Así se demuestra el siguiente teorema.

Teorema. Ángulos opuestos de un paralelogramo Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. Ejemplo 1 P

Expliquemos por qué la distancia de todos los puntos de una recta m a una recta k, paralela a m, es la misma.

m M

En estructuras como ventanas, puertas, mesas, paredes o muebles se observan caras con regiones en forma de paralelogramo.

N

k

Figura 53.2

Solución

En qué se aplica

Q

¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. P y Q puntos en la recta m.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Definición distancia punto a recta

PM ⊥ k QN ⊥ k

Teorema de rectas perpendiculares

PM || QN

2. PM ⊥ k QN ⊥ k

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

3. PM || QN k || m

⎯⎯⎯⎯⎯ →

Definición de paralelogramo

4. PQNM es paralelogramo.

264

¿Qué concluimos?

Teorema de lados opuestos de un paralelogramo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

PQNM es un paralelogramo. PM ≅ QN

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Usando la siguiente definición y el teorema De ángulos internos no alternos entre paralelas, como consecuencia directa del paralelismo de los lados de un paralelogramo, se desprende el siguiente teorema.

Definición Dos ángulos de un polígono que compartan un lado del polígono son ángulos consecutivos.

Teorema. Ángulos consecutivos de un paralelogramo. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. La siguiente propiedad de paralelogramos no es tan obvia.

Teorema. Diagonales de un paralelogramo. Las diagonales de un paralelogramo se intersecan en su punto medio. Reformulación: si WXYZ es un paralelogramo y O es el punto de intersección de las diagonales, entonces, WO ≅ OY y XO ≅ ZO. Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura W

1. WXYZ es un paralelogramo.

Definición de paralelogramo

WX || YZ

⎯⎯⎯⎯⎯ →

Z

X

O

Y W

2. WX || YZ

∠XWO ≅ ∠ZYO ∠WXO ≅ ∠YZO

Teorema de ángulos alternos internos entre paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Z

X

O

Y W

3. WXYZ es un paralelogramo.

Teorema de los lados opuestos de un paralelogramo

WX ≅ ZY

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Z

X

O

Y

4. ∠XWO ≅ ∠ZYO ∠WXO ≅ ∠YZO WX ≅ ZY

ALA ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

5. △WXO ≅ △YZO

Definición de triángulos congruentes

△WXO ≅ △YZO

WO ≅ OY XO ≅ ZO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

265

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Ejemplo 2 C

Demostremos la siguiente afirmación.

4

Si ABCD es paralelogramo y ∠1 ≅ ∠2, entonces, DX ≅ YB. 1

B

2

X Y

3

A

D

Figura 53.3

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura C

Definición de paralelogramo

1. ABCD es un paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

4

B

2

X

AD || BC Y

1

3

A

D C Teorema de ángulos alternos internos entre paralelas

2. AD || BC

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4

B

2

X

∠3 ≅ ∠4 Y

1

3

A

D C Teorema de lados opuestos de un paralelogramo

3. ABCD es un paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

4

B

2

X

AD ≅ CB 1

Y

3

A

D

4. ∠3 ≅ ∠4 AD ≅ CB ∠1 ≅ ∠2

ALA ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

Definición de triángulos congruentes

5. △DXA ≅ △BYC

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

△DXA ≅ △BYC DX ≅ YB

Desarrolla competencias 1.

Si conoces la medida de un ángulo de un paralelogramo, explica cómo encuentras las medidas de los otros tres ángulos.

a. b.

2.

Enumera todas las propiedades que tiene un paralelogramo.

■ Si PN = 21, PQ = ■

c.

Si m ∠NMP = 65°, m ∠MPO =

3.

Completa cada afirmación sabiendo que el cuadrilátero MNOP de la figura 53.4 es un paralelogramo.

d. Si m ∠1 = 25° y m ∠2 = 45°, entonces, m ∠3 + m ∠4 =

M 2

3

Q 4

P

■

■

e.

N

Si PO = 15, MN =

f.

■ MQ = 1 䊏 2

△NOQ ≅

1

O

Figura 53.4

266

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Razonamiento lógico

7.

Demuestra que cada afirmación es verdadera. 4.

Si ABCX y DXFE son paralelogramos, entonces, ∠B ≅ ∠E. E

A continuación, se presentan las conclusiones del proceso de justificación del siguiente teorema. Organízalas en el esquema que se ha usado para construir la justificación.

Teorema. Segmentos congruentes cortados por

D

paralelas y AC ≅ CE, entonces, BD ≅ DF.

Si X F

A B

A 1

C

5.

B

4

W Figura 53.6

2.°

A G

F

B

B

F C

G

ABGC es paralelogramo, CDHE es paralelogramo.

3.

BG ≅ AC y DH ≅ CE

4.

BG ≅ DH

5.

∠2 ≅ ∠1, ∠1 ≅ ∠4, ∠4 ≅ ∠5 y ∠3 ≅ ∠6

6.

∠2 ≅ ∠5

7.

△BGD ≅ ∠DHF

8.

BD ≅ DF

El pentágono de la figura 53.9 es regular y DEGH es un paralelogramo. ¿Cuánto miden los ∠CDK y ∠EDH? K

A

E

J C

E

E F C

D

G

G

D

B

2.

H

4.°

A

Existen BG || AC y DH || CE.

Matemáticas

E

F C

1.

Olimpiadas

G

D

E

F C

6

A

8.

D

5

H

E

Con los pasos que aparecen en la figura 53.7, que son la solución gráfica de la siguiente afirmación, realiza la demostración justificando cada afirmación. Si ABCD es un paralelogramo y FG biseca a DB, entonces DB biseca a FG.

3.°

D

Figura 53.8

V

D

3

Z

X

1.°

2

G

C

Si VXYZ es un paralelogramo y ZV ≅ ZW, entonces, ∠X ≅ ∠W. Y

6.

Figura 53.5

B A Figura 53.7

267

B Figura 53.9

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Pensamiento crítico y resolución de problemas

9.

c.

En un paralelogramo ABCD, se tiene que m ∠B es el doble de m ∠A. ¿Cuáles son las medidas de todos los ángulos del paralelogramo?

10. En un paralelogramo QUED, se tiene que m ∠D es 30º más que m ∠E. ¿Cuáles son las medidas de todos los ángulos? 11. En un paralelogramo XYZW, se tiene que XY es 7 cm menos que YZ. Si el perímetro es 42 cm, ¿cuánto mide cada lado? 12. Decide si la respuesta a la pregunta es Sí, No o No se sabe. Justifica tus respuestas. a. EFGH es un paralelogramo. ¿Tiene ejes de simetría? b. QRST es un paralelogramo. ¿Tiene simetría rotacional?

d. Un cuadrilátero que tiene ambos pares de lados opuestos paralelos es un paralelogramo. e.

Las diagonales de un paralelogramo son congruentes.

Competencias en TIC

15. Construye un paralelogramo y las bisectrices de dos ángulos consecutivos con un programa de geometría dinámica (ver figura 53.10). ¿Qué propiedad especial tienen las bisectrices? Explica tu respuesta.

Vista Algebraica

Vista Gráfica

Punto A = (-2.36, 3.48) B = (3, -2) C = (3.54, 4.52)

13. Si los cuatro lados de un paralelogramo son congruentes a los cuatro lados de otro paralelogramo, ¿los paralelogramos son congruentes? Explica tu respuesta. 14. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. a. En un paralelogramo, todos los lados son congruentes. b. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son complementarios.

D

A

C

X B

Entrada

Comando...

Figura 53.10

16. Construye dos paralelogramos que tengan lados correspondientes congruentes, pero que los ángulos correspondientes no sean congruentes.

Resumen

Un paralelogramo

es

un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos

268

sus lados opuestos son

congruentes

sus ángulos opuestos son

congruentes

sus dos ángulos consecutivos son

suplementarios

sus diagonales se intersecan en

sus puntos medios

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

Tema

54 De cuadrilátero a paralelogramo

Pensamiento

espacial

Ideas previas 1. Si un cuadrilátero tiene dos lados paralelos, ¿es un paralelogramo? 2. Si un cuadrilátero tiene dos ángulos consecutivos congruentes, ¿es un paralelogramo?

Los teoremas que estudiaremos en este tema indican cómo construir paralelogramos sin usar las propiedades exigidas en la definición: dos pares de lados opuestos paralelos.

Teorema. Lados opuestos paralelos y congruentes Si un par de lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces, el cuadrilátero es un paralelogramo. Reformulación: si OCRA es un cuadrilátero con CR || OA y CR ≅ OA, entonces, OCRA es un paralelogramo. Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura C

O

1. Existen O y R.

Postulado de la recta. Definición de segmento

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Existe OR. A

Información dada gráficamente

2.

R

∠AOR y ∠ORC son alternos internos. C

O

3. CR || OA ∠AOR y ∠ORC son alternos internos.

Teorema de paralelas a ángulos internos alternos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

∠AOR ≅ ∠ORC A

R C

O

4.

OR ≅ OR

Propiedad reflexiva

A

R C

O

5. ∠AOR ≅ ∠ORC OR ≅ OR

CR ≅ OA

△AOR ≅ △CRO

LAL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

A

R C

O

6. △AOR ≅ △CRO

Definición de triángulos congruentes

∠ARO ≅ ∠COR

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

A

269

R

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Información dada gráficamente

7.

∠ARO y ∠COR son alternos internos. C

O

8. ∠ARO ≅ ∠COR ∠ARO y ∠COR son alternos internos.

Teorema de ángulos alternos internos a paralelas

OC || AR

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

A

9. OC || AR

CR || OA

Definición de paralelogramo

R

OCRA es un paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

En el siguiente teorema, se establece otro procedimiento para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema. Lados opuestos de un cuadrilátero Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces, el cuadrilátero es un paralelogramo. Reformulación: si MNOP es un cuadrilátero con MN ≅ OP y NO ≅ MP, entonces, MNOP es un paralelogramo. Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura N

1. Existen N y P.

Postulado de la recta. Definición de segmento

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

O

Existe NP. M

P N

2.

Propiedad reflexiva

NP ≅ NP M

P N

3. MN ≅ OP NO ≅ MP

O

LLL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

O

△MPN ≅ △ONP

NP ≅ NP

M

P N

4. △MPN ≅ △ONP

Definición de triángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

∠MNP ≅ ∠NPO M

5.

Información dada gráficamente

O

P

∠MNP y ∠NPO son alternos internos.

270

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

6. ∠MNP ≅ ∠NPO ∠MNP y ∠NPO son alternos internos.

N Teorema de ángulos alternos internos a paralelas

O

MN || OP

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

M

7. MN || OP MN ≅ OP

Teorema de lados opuestos paralelos y congruentes

P

MNOP es un paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Observemos cómo se usó el primer teorema de este tema para terminar la demostración. Esto ayudó a reducir los pasos necesarios para completar la demostración.

Ejemplo 1

A

E

B

Demostremos que la siguiente afirmación es verdadera. Si ABCD es un paralelogramo y ∠ADE ≅ ∠CBF, entonces, DEBF es un paralelogramo. D

Solución

F

C

Figura 54.1

Prueba ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Figura A

1. ABCD es un paralelogramo.

E

AD ≅ BC AB ≅ DC

Teorema de los lados opuestos de un paralelogramo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

D A

2. ABCD es un paralelogramo.

Teorema de los ángulos opuestos de un paralelogramo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

F E

A

E

F

C B

DE ≅ BF AE ≅ CF

Definición de triángulos congruentes

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

F

C

E está entre A y B. F está entre C y D.

Información dada gráficamente

F está entre C y D.

B

E

D

6. E está entre A y B.

C

△ADE ≅ △CBF

ALA ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

A

5.

B

F

D

4. △ADE ≅ △CBF

C

∠DAE ≅ ∠BCF D

3. AD ≅ BC ∠DAE ≅ ∠BCF ∠ADE ≅ ∠CBF

B

Postulado de la adición de medida de segmentos

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

271

AE + EB = AB CF + FD = CD

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

7. AB ≅ DC

Definición de segmentos congruentes

AB = CD

Definición de segmentos congruentes

AE = CF

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

8. AE ≅ CF

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

9. AE + EB = AB CF + FD = CD

AE + EB = CF + FD

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

AB = CD 10. AE + EB = CF + FD AE = CF

Propiedad cancelativa de la adición

EB = FD

Definición de congruencia de segmentos

EB ≅ FD

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

11. EB = FD

⎯⎯⎯⎯⎯ →

12. EB ≅ FD DE ≅ BF

Teorema de lados opuestos de un cuadrilátero

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

DEBF es un paralelogramo.

Existen dos criterios más que pueden usarse para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo. En la demostración del primero de ellos, se utilizan nuevamente triángulos congruentes. En cambio, la demostración del segundo es inusual.

Teorema. Diagonales de un cuadrilátero Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces, el cuadrilátero es un paralelogramo.

B C

Teorema. Ángulos opuestos de un cuadrilátero Si ambos pares de ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces, el cuadrilátero es un paralelogramo.

A D Figura 54.2

Reformulación: si ABCD es un cuadrilátero, ∠A ≅ ∠C y ∠B ≅ ∠D, entonces, ABCD es un paralelogramo.

Prueba ¿Qué sabemos? 1. ABCD es un cuadrilátero. 2. ∠A ≅ ∠C ∠B ≅ ∠D 3. m ∠A + m ∠B + m ∠C + m ∠D = 360° m ∠A = m ∠C m ∠B = m ∠D 4. 2m ∠A + 2m ∠B = 360° 2m ∠A + 2m ∠D = 360° 5. m ∠A + m ∠B = 180° m ∠A + m ∠D = 180° 6.

¿Qué usamos? Teorema de la suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

¿Qué concluimos? m ∠A + m ∠B + m ∠C + m ∠D = 360°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠A = m ∠C m ∠B = m ∠D

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

2m ∠A + 2m ∠B = 360° 2m ∠A + 2m ∠D = 360°

Definición de ángulos congruentes

Propiedad cancelativa de la multiplicación

m ∠A + m ∠B = 180° m ∠A + m ∠D = 180°

Definición de ángulos suplementarios

∠A y ∠B son suplementarios. ∠A y ∠D son suplementarios.

Información dada gráficamente

∠A y ∠B son internos no alternos. ∠A y ∠D son internos no alternos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

272

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

7. ∠A y ∠B son internos no alternos. ∠A y ∠B son suplementarios. ∠A y ∠D son internos no alternos. ∠A y ∠D son suplementarios.

AD || BC

Teorema de ángulos alternos internos entre paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

8. AD || BC AB || CD

Definición de paralelogramo

AB || CD ABCD es un paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

Ejemplo 2 R

Una de las diagonales del cuadrilátero QRST de la figura 54.3 determina dos triángulos congruentes con los lados del cuadrilátero. ¿Es QRST un paralelogramo?

S

Solución Q

Sea QS la diagonal tal que △QRS ≅ △STQ.

T Figura 54.3

Por la definición de triángulos congruentes, RS ≅ QT y RQ ≅ ST, porque son lados correspondientes. Por el teorema De lados opuestos de un cuadrilátero, podemos afirmar que el cuadrilátero QRST es un paralelogramo.

Desarrolla competencias 1.

Determina si la información de cada literal te permite deducir que el cuadrilátero JIHK es un paralelogramo. Si tu respuesta es afirmativa, justifícala. Si es negativa, dibuja un contraejemplo. I

Trabajo colaborativo

2.

Los cuadriláteros EFGH y EFIJ son paralelogramos. Completa la información y discute tus respuestas con un compañero o una compañera. E

H

F

M J

K Figura 54.4

a.

IM ≅ MK

b.

IH ≅ JK y IH || JK

c.

IJ ≅ HK y IH ≅ JK M es el punto medio de IK y de JH.

f.

∠IJH ≅ ∠JHK y ∠HIK ≅ ∠IKJ

g.

∠HIJ y ∠IJK son suplementarios.

J G

I Figura 54.5

d. IJ || HK e.

H

a.

EJ y FI son ________.

b.

HG y EF son ________.

c.

HJ y GI son ________.

d. HE y GF son ________.

h. △IHK ≅ △KJI

273

e.

∠EHG y ∠HGF son ________.

f.

△HEJ y △GFI son ________.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

3.

Los cuadriláteros ABCD y EBFG son paralelogramos. Completa la información y discute tus respuestas con un compañero o una compañera. A

E

Ayuda: realiza la construcción auxiliar que se presenta en la figura 54.9. B

B E

F

G

F

G

A

C

Figura 54.9 D

a. b. c. 4.

C

Figura 54.6

7.

Demuestra que cada afirmación es verdadera. a.

∠D y ∠G son ________. ∠D y ∠BEG son ________. ∠D y ∠BFG son ________.

Si ABCD es un paralelogramo, E es el punto medio de AB y F es el punto medio de CD, entonces, AECF es un paralelogramo. B

En la demostración del teorema De ángulos opuestos de un cuadrilátero, se menciona un teorema que aún no se ha demostrado, el cual establece que la suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360º. Explica por qué la anterior afirmación es verdadera.

C E F

A

Entretenimiento

5.

Determina cuántos triángulos hay en la figura 54.7.

D Figura 54.10

b.

Si SW ≅ VU, ∠1 ≅ ∠2 y ∠4 ≅ ∠2, entonces, WTUV es paralelogramo. W

V

Figura 54.7 Razonamiento lógico

6.

1

Demuestra el siguiente teorema.

S

Teorema. Puntos medios de lados del triángulo

2 3

4

U

T

Figura 54.11

Si en el △ABC, E es punto medio de AB y F es punto medio de BC, entonces, EF || AC y EF = 1 AC . 2

c.

Si JE ≅ EO, NF ≅ FH, JM ≅ HM y ∠JEM ≅ ∠HFM, entonces, JNHO es paralelogramo.

B E

J E

M

F N

A

O

C

Figura 54.8

274

F

H Figura 54.12

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Pensamiento crítico y resolución de problemas

8.

Sea x un número real, tal que la medida de AB está dada por f(x) = 6x − 54 y la medida de CD por g(x) = 108 − 8x. a. ¿Entre qué valores está la variable x? Explica tu respuesta. b.

3x + 6

y+4

D

Si ABCD es un paralelogramo, ¿cuál es el valor de x?

b.

3y  9

C

A

B 2

3x

Si dos lados de un cuadrilátero miden cada uno 10 cm y dos ángulos consecutivos miden 100° y 80°, ¿se puede afirmar que el cuadrilátero es un paralelogramo? Justifica tu respuesta.

x 3

9.

11. Determina los valores de las variables para las cuales ABCD es un paralelogramo. a. A B 2y + 2

5

2y

y 4

12

2

18

+ 2x

 4x

y 2 7 y+

2

7

10. Halla el valor de x en cada caso. Decide si ABCD es un paralelogramo.

D

B x°

(2x)°

(2x  60)°

b.

Competencias en TIC

13. Construye un cuadrilátero ABCD y los puntos medios E, F, G y H de los lados con un programa de geometría dinámica. Construye el cuadrilátero EFGH. ¿Qué propiedad especial tiene?

(2x)°

C

D

A

B 30°

(x  x°

°

25)

(3x)°

C

D

Figura 54.14

12. Dibuja dos paralelogramos ABCD y EFGH que no sean congruentes, pero AC ≅ EG y BD ≅ FH.

a. A

C

Figura 54.13

14. Construye la figura descrita en cada caso. a. Paralelogramo con un ángulo recto b. Paralelogramo con un par de lados consecutivos congruentes c. Rectángulo con un par de lados consecutivos congruentes

Resumen

Un cuadrilátero es paralelogramo

un par de lados opuestos

son

paralelos y congruentes

ambos pares de lados opuestos

son

congruentes

las diagonales

se

bisecan

ambos pares de ángulos opuestos

son

congruentes

si

275

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Geometría

Tema Pensamiento

espacial

55 Cuadriláteros especiales:

rectángulos, rombos y trapecios Ideas previas Dos aviones parten en línea recta desde ciudades diferentes (que se encuentran a una distancia de 4500 km) hacia una tercera ciudad. En un momento dado, los dos aviones están a la mitad de sus respectivos recorridos. ¿A qué distancia está un avión del otro en ese momento?

Entre los paralelogramos con propiedades interesantes están el rombo, el rectángulo y el cuadrado. Estas figuras geométricas ya se han definido, pero esas definiciones pueden transformarse para que estén claramente ubicadas en el sistema axiomático que estamos desarrollando. Nombre

Representación A

Definición anterior

Definición nueva

B

Rectángulo D

Cuadrilátero con cuatro ángulos rectos

Paralelogramo con un ángulo recto

Cuadrilátero con cuatro lados congruentes

Paralelogramo con un par de lados consecutivos congruentes

Cuadrilátero con cuatro ángulos rectos y cuatro lados congruentes

Rectángulo con un par de lados consecutivos congruentes

C F

E

Rombo

G

H K

L

Cuadrado N

M

Tabla 55.1

Mostremos cómo de la definición anterior de rectángulo se deduce la nueva definición. ¿Qué sabemos?

¿Qué usamos?

1. ABCD es un rectángulo. 2. ∠A, ∠B, ∠C y ∠D son rectos. 3. BC ⊥ AB, AD ⊥ AB y AD ⊥ DC. 4. BC || AD AB || DC

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Definición anterior de rectángulo

ABCD es cuadrilátero. ∠A, ∠B, ∠C y ∠D son rectos.

Definición de rectas perpendiculares

BC ⊥ AB, AD ⊥ AB y AD ⊥ DC

Teorema de rectas perpendiculares

BC || AD AB || DC

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de paralelogramo

⎯⎯⎯⎯⎯ → 276

¿Qué concluimos?

ABCD es un paralelogramo.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

El siguiente teorema menciona otra propiedad que distingue a los rectángulos de los demás paralelogramos.

Teorema. Diagonales de un rectángulo

E

F

H

G

Un paralelogramo es un rectángulo si y solo si las diagonales son congruentes. Este enunciado realmente establece dos teoremas. 1.

Si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, entonces, el paralelogramo es un rectángulo.

2.

Si un paralelogramo es un rectángulo, entonces, las diagonales son congruentes. Reformulación teorema 1: si EFGH es un paralelogramo con EG ≅ FH, entonces, EFGH es rectángulo.

Figura 55.1

Prueba ¿Qué sabemos? 1. EFGH es un paralelogramo. 2. EF ≅ GH y EH ≅ FG. EG ≅ FH 3. △FEH ≅ △GHE 4. EFGH es un paralelogramo. 5. ∠FEH ≅ ∠GHE 6. ∠FEH y ∠GHE son suplementarios. 7. m ∠FEH + m ∠GHE = 180° m ∠FEH = m ∠GHE 8. m ∠GHE = 90° 9. ∠GHE es recto. EFGH es un paralelogramo.

¿Qué usamos? Teorema de los lados opuestos de un paralelogramo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

¿Qué concluimos? EF ≅ GH y EH ≅ FG

LLL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

△FEH ≅ △GHE

Definición de triángulos congruentes

∠FEH ≅ ∠GHE

Teorema de los ángulos consecutivos de un paralelogramo

∠FEH y ∠GHE son suplementarios.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → de congruencia ⎯Definición ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

m ∠FEH = m ∠GHE

Definición de ángulos suplementarios

m ∠FEH + m ∠GHE = 180°

Principio de sustitución y propiedades de números reales

m ∠GHE + m ∠GHE = 180° 2m ∠GHE = 180° m ∠GHE = 90°

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Definición de ángulo recto

∠GHE es recto.

Definición de rectángulo

EFGH es rectángulo.

⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯ →

Reformulación teorema 2: si EFGH es rectángulo, entonces, EG ≅ FH. Prueba A continuación, se enumeran únicamente los pasos clave de la demostración. ¿Cómo se justifica cada uno de ellos? 1.

∠FEH ≅ ∠EFG

2.

△FEH ≅ △GHE

3.

EG ≅ FH

277

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

El rombo Teorema. Diagonales de un rombo

M

Un paralelogramo es un rombo si y solo si las diagonales son perpendiculares entre sí. Reformulación 1: si LMNO es un rombo, entonces, MO ⊥ LN. L

N

Prueba 1 ¿Qué sabemos?

O

¿Qué usamos? Definición de rombo

1. LMNO es un rombo.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

Figura 55.2

¿Qué concluimos? LMNO es paralelogramo. LM ≅ MN

Teorema de lados opuestos de un paralelogramo

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

LM ≅ NO MN ≅ LO

3. LM ≅ MN LM ≅ NO MN ≅ LO

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

LO ≅ NO

4. LM ≅ MN LO ≅ NO

Definición de congruencia de segmentos

LM = MN LO = NO

2. LMNO es paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

M está sobre la mediatriz de LN. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → O está sobre la mediatriz de LN. Teorema puntos equidistantes de extremos de un segmento

5. LM = MN LO = NO 6. M está sobre la mediatriz de LN. O está sobre la mediatriz de LN. ←→ ⎯

7. MO es la mediatriz de LN.

de la recta ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Definición de mediatriz

⎯⎯⎯⎯⎯ →

←→ ⎯

MO es la mediatriz de LN.

MO ⊥ LN

Reformulación 2: si LMNO es un paralelogramo y MO ⊥ LN, entonces, LMNO es un rombo.

M

En la segunda demostración, se nombrará el punto de intersección de las diagonales. Prueba 2

L

S

N

¿Qué sabemos?

¿Qué usamos? Teorema de las diagonales de un paralelogramo

1. LMNO es paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

O Figura 55.3

Definición de punto medio

2. S es punto medio de LN.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

3. 4. MO ⊥ LN

6. LS ≅ NS ∠MSL ≅ ∠MSN MS ≅ MS

Definición de rectas perpendiculares

∠MSL y ∠MSN son rectos.

Teorema de ángulos rectos

∠MSL ≅ ∠MSN

LAL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

△MSL ≅ △MSN

⎯⎯⎯⎯⎯ →

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

8. LMNO es paralelogramo. LM ≅ NM

Definición de rombo

⎯⎯⎯⎯⎯ →

278

LS ≅ NS MS ≅ MS

Definición de triángulos congruentes

7. △MSL ≅ △MSN

S es punto medio de MO y de LN.

Propiedad reflexiva

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

5. ∠MSL y ∠MSN son rectos.

¿Qué concluimos?

LM ≅ NM LMNO es un rombo.

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Tal vez, esta demostración muestra que la nueva definición de rombo es más útil, pues permite realizar una prueba más corta. Otra propiedad especial del rombo es la siguiente.

B

C

A

Teorema. Diagonales y ángulos del rombo Un paralelogramo es un rombo si y solo si las diagonales se bisecan.

D

Este teorema da lugar a las siguientes reformulaciones. Los pasos clave de la demostración se enumeran después de cada reformulación. Reformulación 1: si ABCD es un rombo, entonces, AC biseca al ∠BAD y al ∠BCD, y BD biseca al ∠ABC y al ∠ADC. Prueba 1. AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA 2. △ABC ≅ △ADC, △BAD ≅ △BCD 3. ∠BAC ≅ ∠DAC, ∠BCA ≅ ∠DCA, ∠ABD ≅ ∠CBD y ∠ADB ≅ ∠CDB

Figura 55.4

Reformulación 2: si ABCD es un paralelogramo y AC biseca al ∠BAD y al ∠BCD, y BD biseca al ∠ABC y al ∠ADC, entonces, ABCD es un rombo. Prueba 1. ∠DAB ≅ ∠DCB 2. ∠BAC ≅ ∠BCA 3. AB ≅ BC

El cuadrado El esquema de la figura 55.5 muestra todas las propiedades que se deducen de la definición de cuadrado. ¿Podemos reconocer la definición o teorema que permite deducir cada propiedad? PQRS es cuadrado.

PR ≅ QS

PQRS es rectángulo. ∠P, ∠Q, ∠R, ∠S son rectos.

PQ ≅ QR

PQRS es paralelogramo.

∠P ≅ ∠Q ≅ ∠R ≅ ∠S

P

Q

S

R

PQRS es rombo.

PQ ≅ RS; PS ≅ QR

PR ⊥ QS

PQ || SR, PS || RQ

RS ≅ PQ ≅ QR ≅ PS

Figura 55.5

El trapecio Otro cuadrilátero especial, que no es un paralelogramo, es el trapecio.

Definiciones Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos.

Un trapecio isósceles es un trapecio con los lados no paralelos congruentes. Z

Los lados paralelos de un trapecio son las bases del trapecio. Los ángulos determinados por una base y uno de los lados no paralelos se denominan ángulos de la base.

Y

W

X

Figura 55.6

Figura 55.7 279

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Observemos en la siguiente demostración el uso de las propiedades de paralelogramos a partir de una construcción auxiliar.

Teorema. Trapecio isósceles Si se tiene un trapecio isósceles, entonces, los ángulos de la base son congruentes y las diagonales son congruentes. Reformulación: si PQRS es un trapecio isósceles, entonces, ∠R ≅ ∠S y PR ≅ QS. Prueba ¿Qué sabemos?

1. PQRS es un trapecio.

¿Qué usamos?

¿Qué concluimos?

Definición de trapecio

Figura P

Q

P

Q

PQ || RS

⎯⎯⎯⎯⎯ →

S

2. Q es un punto. Q no está en PS.

Postulado paralela punto exterior. Definición de segmento

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

R

Existe QT, tal que QT || PS. S

3. PQ || RS QT || PS

Definición de paralelogramo

T

PQTS es un paralelogramo.

⎯⎯⎯⎯⎯ →

Q

P

4. PQRS es un trapecio isósceles.

Definición de trapecio isósceles

PS ≅ QR

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

S

T

Teorema de los lados opuestos de un paralelogramo

PS ≅ QT

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

S

6. PS ≅ QR PS ≅ QT

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

T

Teorema del triángulo isósceles

Q

∠QTR ≅ ∠QRT

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

S

T

Teorema de ángulos correspondientes entre paralelas

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

∠QTR ≅ ∠S S

280

R Q

P

8. QT || PS

R

QT ≅ QR P

7. QT ≅ QR

R Q

P

5. PQTS es un paralelogramo.

R

T

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

R

9. ∠QTR ≅ ∠QRT ∠QTR ≅ ∠S

∠R ≅ ∠S

de sustitución ⎯Principio ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

Q

P

10. Existen P, Q, R, S.

Postulado de la regla. Definición de segmento

Existen PR y QS.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

S

11.

SR ≅ SR

Propiedad reflexiva

12. ∠R ≅ ∠S PS ≅ QR SR ≅ SR 13. △PSR ≅ △QRS

R

△PSR ≅ △QRS

LAL ⎯Postulado ⎯⎯⎯⎯ →

Definición de triángulos congruentes

PR ≅ QS

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

La mediana de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los dos lados no paralelos.

Teorema. Mediana del trapecio La mediana de un trapecio es paralela a los dos lados paralelos del trapecio y su longitud es la mitad de la suma de las longitudes de estos dos lados paralelos.

Desarrolla competencias 1.

WXYZ es un cuadrilátero. De acuerdo con las condiciones dadas, determina en cada caso qué tipo de cuadrilátero es. Indica los teoremas que usaste para llegar a la conclusión. a.

WX ≅ YZ y WX || YZ

b.

WX || YZ y WX ≠ YZ

c.

WX ≅ YZ, XY ≅ ZW y WY ≅ XZ.

c.

2.

WXYZ es paralelogramo y WX ≅ XY.

f.

∠WZY y ∠XYZ son rectos.

g.

WX ⊥ XY, XY ⊥ ZY y WZ ⊥ ZY.

¿Alguno de los siguientes cuadriláteros es cometa: paralelogramo, trapecio isósceles, rombo, rectángulo, cuadrado? Explica tu respuesta. ¿Qué propiedad tienen las diagonales de una cometa? Escribe una conjetura y demuéstrala.

Razonamiento lógico

Demuestra que cada afirmación es verdadera.

d. WY y XZ son congruentes y mediatrices la una de la otra. e.

b.

3.

Si ABCD es un paralelogramo y ∠3 ≅ ∠4, entonces, ABND es un trapecio isósceles. N 4

B 3

Se tiene la siguiente definición.

Definición

A

Una cometa es un cuadrilátero con dos pares de lados adyacentes congruentes. a.

C

D Figura 55.8

Dibuja tres ejemplos de cometas.

281

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

4.

Si ASIL es un rectángulo y K es el punto medio de IS, entonces, S es el punto medio de AM. L

9.

I K

Figura 55.9

5.

a.

Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces, es un rectángulo.

b.

Un rombo con un ángulo recto es un cuadrado.

c.

Todo rombo es un cuadrado.

d. Las diagonales de un rectángulo son congruentes.

M

S

A

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas.

Si HIJK es un trapecio y ∠K ≅ ∠J, entonces, HK ≅ IJ, es decir, es isósceles.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

10. Explica por qué los datos de las figuras no son correctos. a. C

8

B

I

H

4

6 10

4

6

A

K

b.

S

Figura 55.10

6.

D

16

J 10

T

6

4 16

Si ABCD es un trapecio isósceles, AB || CD y AD ≅ BC, entonces, △CDE es isósceles.

6

4

60º

D

C

R

24

U

P

18

O

c. E

5

A

5

Figura 55.11

7 M

7.

Si ABCD es un rectángulo y ACBE es un paralelogramo, entonces, △DBE es isósceles.

N

Figura 55.13

a.

C

A

8.

30

11. Halla el valor de las variables en las figuras.

D

E

7

12

B

B

A Figura 55.12

Si PQRS es un cuadrado y T, U, V, W separan los lados en segmentos con longitudes a y b, entonces, TUVW es rombo y ∠TWV es recto.

282

3x + 5 B

D x+y C

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

b.

I M

2x + 1

J

2x + 4

16. a.

En un cuadrilátero, una diagonal biseca la otra diagonal. ¿Tiene alguna otra propiedad especial el cuadrilátero? Justifica tu respuesta.

b.

Si además se tiene que la diagonal que biseca a la otra diagonal es perpendicular a ella, ¿tiene alguna otra propiedad especial el cuadrilátero? Justifica tu respuesta.

N

3x + 2 L

K

Figura 55.14

12. Elabora un diagrama para determinar las propiedades de un rectángulo y otro diagrama para las propiedades de un rombo. 13. Explica lo que puede hacer un carpintero para asegurarse de que los entrepaños de un estante sean perpendiculares a los lados del estante.

Competencias en TIC

17. Construye el cuadrilátero mencionado con un programa de geometría dinámica. Halla el punto medio de cada lado y únelos para formar otro cuadrilátero.

14. Se quiere delimitar un espacio en forma de rombo en un parque para llenarlo de flores. El jardinero dice que usando las dos cuerdas que tiene para representar las diagonales del rombo puede demarcar esa figura. Explica qué debe hacer el jardinero. 15. a.

b.

Se tiene un cuadrilátero con dos lados paralelos. Una diagonal biseca uno de sus ángulos. ¿Tiene alguna otra propiedad especial el cuadrilátero? Justifica tu respuesta. Supón ahora que además del paralelismo de dos lados del cuadrilátero, una diagonal biseca dos de sus ángulos. ¿Tiene alguna otra propiedad especial el cuadrilátero? Justifica tu respuesta.

¿Qué tipo de cuadrilátero obtienes? Explica por qué se tiene ese resultado. a. b. c. d.

Rombo Rectángulo Trapecio Trapecio isósceles

18. Construye un rectángulo WRST. Construye los triángulos equiláteros YWT y STZ con Y y Z puntos en el exterior del rectángulo. ¿Qué propiedad tiene el ∠RYZ? Explica por qué es verdadera esa propiedad.

Resumen En la tabla 55.2, se marcó con ✗ la propiedad que es verdadera para todo ejemplo del cuadrilátero correspondiente. Rectángulo

Cuadrado

Rombo

Las diagonales se bisecan.

✗

✗

✗

Todos los ángulos son rectos.

✗

✗

Todos los lados son congruentes.

✗

✗

Las diagonales son perpendiculares.

✗

✗ ✗

Las diagonales determinan dos triángulos congruentes.

✗

✗

Las diagonales son congruentes.

✗

✗

Trapecio isósceles

✗ ✗ Tabla 55.2

283

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Evalúa tus

competencias

Competencias en el Manejo de la información

Los vitrales han sido y son desde tiempos inmemoriales admirados y deseados no solo por el impacto que genera su composición, sino por la luz y la armonía que generan en los lugares donde se disponen. Hoy en día es común verlos adornando no solo las ventanas de las iglesias, sino en otro tipo de establecimientos como restaurantes y bares; más aún en lámparas, cuadros y en pequeñas artesanías de fácil acceso económico.

¿Cuál es el área del triángulo rectángulo que sigue inmediatamente después en la secuencia?

Razonamiento y argumentación 1.

María, una amante de los vitrales, ha querido incursionar en la elaboración de cuadros y lámparas basándose en triángulos cuadriláteros y rectas. En la figura 7.1, se muestra parte de una secuencia que empleará en la elaboración de uno de sus cuadros.

3.

María necesita pegar 4 triángulos congruentes con los que pueda formar dos segmentos perpendiculares sin que quede espacio. ¿Cuál de los siguientes triángulos le puede servir para esa tarea? 60 º

90 º

Selecciona la figura que sigue inmediatamente después de la anterior secuencia. a.

b.

60 º

Figura 7.1

40 º 30 º

a. 60 º

b.

c. 60 º

70 º

70 º

Figura 7.4

4. c.

d.

María necesita cortar un triángulo equilátero de tal forma que todos sus lados queden divididos en dos partes iguales, tal y como se muestra en la figura 7.5.

Figura 7.2

2.

La figura 7.3 muestra la secuencia de tamaños de los triángulos (en cm) que empleará María en la construcción de otro de sus cuadros. Figura 7.5

5 3 1 2

4

6

Figura 7.3 284

Esto sólo lo podrá lograr si antes traza sobre el vidrio a. b. c. d.

las tres bisectrices del triángulo. las tres mediatrices del triángulo. las tres alturas del triángulo. las tres medianas del triángulo.

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5.

María ha desordenado un poco su taller y no encuentra una pieza: el rectángulo de 4 cm y 7 cm de lados. Como no recuerda si la usó para uno de sus cuadros, decide cortar otra igual. ¿Qué debe tener en cuenta María para obtener la pieza que necesita? ¿Acaso podría cortar un rectángulo con el mismo perímetro?

Formulación y ejecución Observa un diseño elaborado por María en la figura 7.6. A D E G

Interpretación y representación 6.

7.

rectángulo.

b. paralelogramo.

c.

rombo.

d. trapecio.

Cuadrado

b. Rombo

c.

Rectángulo

d. Paralelogramo

Punto

Figura 7.6

8.

Si AF || DH y DC || EF, demuestra que ∠ACD ≅ ∠FEH.

9.

Emplea los criterios de congruencia de triángulos para demostrar que △DEC ≅ △FCE.

10. María necesita dividir en 4 partes un trozo de vidrio como el que aparece la figura 7.7. Al unir las cuatro piezas, debe formar un rombo. Ayúdale a dividirlo trazando dos líneas rectas sobre la figura.

Aparte de la forma, otro aspecto que debe tenerse en cuenta en la elaboración de un vitral es el área. ¿La fórmula A = b × h, para b la base y h la altura, no permite calcular el área de cuál de los siguientes cuadriláteros? a.

F H

Una de las clientas de María le ha dicho por vía telefónica lo siguiente: “Esta vez quiero que el vitral esté hecho con cuadriláteros que tengan dos lados paralelos y solo dos ángulos rectos”. Según las especificaciones, las piezas de vidrio que debe cortar deben tener forma de un a.

B C

3 cm 6 cm 3 cm

6 cm

Desempeño

Figura 7.7

Sí

1.

Completo una secuencia dada empleando el razonamiento inductivo.

2.

Completo una secuencia dada empleando el razonamiento deductivo.

3.

Identifico dos rectas perpendiculares y las características de los ángulos que se forman entre ellas.

4.

Diferencio una mediatriz de una bisectriz.

5.

Reconozco los criterios de congruencia para rectángulos.

6.

Identifico diferencias entre cuadriláteros.

7.

Identifico diferencias entre cuadriláteros.

8.

Resuelvo problemas que involucran la identificación de ángulos congruentes formados por rectas paralelas.

9.

Resuelvo problemas que involucran criterios de congruencia para ángulos y triángulos.

10.

Resuelvo problemas de disección de un cuadrilátero.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

285

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Prueba Competencias en el Manejo de la información

Encuentra la respuesta correcta entre las opciones A, B, C y D. Márcala en la hoja de respuestas, rellenando completamente el recuadro correspondiente. 1.

En jardinería, se suele usar la división de terrenos circulares mediante cuerdas que delimitan diferentes tipos de plantas. El número de cuerdas depende del número de puntos de apoyo. En la figura 3.1, se muestran cultivos con 1, 2 y 3 puntos de apoyo y el número máximo de regiones que se podrían formar.

1

1 2

4

2

3

2

3 6

1

7

8

5

4

Figura 3.1

Si se quieren cultivar 32 tipos diferentes de plantas en un terreno circular, ¿cuántos puntos de apoyo se deben usar como mínimo? A. 6

2.

B.

7

C. 8

Observa la figura 3.2.

3.

C 6

2 3

1 5 4

D

A

D. 9

Para garantizar la seguridad de técnicos al realizar trabajos en alturas, una empresa de construcción exige a los empleados revisar sus equipos siguiendo indicaciones específicas. Para el uso de escaleras, si la superficie de trabajo (normalmente una pared) es perpendicular al suelo, el ángulo exterior formado entre el suelo y la escalera no debe superar los 135º. La figura 3.3 muestra la disposición de la escalera para un trabajo en particular.

G E

F Figura 3.2

I. II. III. IV.

20˚

El ángulo 1 es recto. Los ángulos 2 y 3 son complementarios. El ángulo 3 es agudo. Los ángulos 4 y 5 tienen la misma medida.

Figura 3.3

Teniendo en cuenta la información de la figura 3.2, las afirmaciones verdaderas son

Se puede afirmar que la escalera está bien posicionada porque

A. B. C. D.

A. la superficie de trabajo es paralela al suelo y el ángulo interno entre la escalera y el suelo es 135º. B. la pared es perpendicular al suelo y la suma de los ángulos internos es menor que 180º.

solamente I. solamente II. II y III. I y IV. 286

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Dada la información anterior, es correcto afirmar que

C. la superficie de trabajo es perpendicular al suelo y el ángulo interno formado entre la escalera y el suelo es 70º. D. la pared forma un ángulo agudo con el suelo y el ángulo externo formado entre la escalera y el suelo es menor que 135º. 4.

A. los ángulos 1 y 2 son agudos y tienen la misma medida. B.

La figura 3.4 muestra una porción del fractal conocido como Triángulo de Sierpinski.

la medida del ángulo 3 es el doble de la medida del ángulo 1.

C. la medida del ángulo 2 es la mitad de la medida del ángulo 3. D. la suma de la medida de los ángulos 1, 2 y 3 es 180°. 6.

Figura 3.4

Para construirlo, se parte de un triángulo equilátero. Se trazan segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados y se forman cuatro triángulos. Se retira el triángulo del centro y se repite el proceso con los otros tres triángulos. ¿Cuántos triángulos son congruentes con el triángulo morado, sin contarse el mismo? A. 8 C. 10 5.

Para medir el ancho de un hundimiento de barro en un pantano, el propietario del terreno realizó una medición indirecta: utilizó un sistema de 2 cuerdas: una anclada al punto A y la otra, al punto B. Luego, tensó las cuerdas y las estiró, de tal forma que se unieran en un ángulo recto en el punto C. AC resultó con una medida aproximada de 120 m, y BC, de 50 m. Finalmente, prolongó AC hasta el punto D, de tal manera que la longitud del CD fuera igual a la longitud del AC. De forma similar, prolongó el BC hasta el punto E, tal que m CE = m BC (ver figura 3.6). B

B. 9 D. 11

A

La correcta calibración de los radios de una rueda de bicicleta exige que las medidas de las barras de soporte sean iguales y que los puntos de apoyo sobre la rueda estén igualmente espaciados (ver figura 3.5).

C

D E

Barras

2

Figura 3.6

Punto de apoyo

1

3

El ancho del hundimiento de barro es, aproximadamente,

Equidistantes

A. B. C. D.

Figura 3.5

287

150 m. 130 m. 110 m. 90 m.

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7.

Como complemento al plan de ordenamiento territorial de una ciudad, se está diseñando una cubierta triangular para proteger las zonas verdes del tráfico de peatones y bicicletas. Un diseño preliminar se muestra en la figura 3.7. Las bancas de dicho diseño deben ubicarse en las dos esquinas de la cubierta que tengan mayor amplitud, condición que debe acatar el diseñador encargado. ¿En cuáles esquinas debe colocar las bancas?

La medida del ángulo mayor de las piezas negras es

9.

A. 135°.

B. 100°.

C. 90°.

D. 60°.

Observa el paralelogramo de la figura 3.9.

4x + 50

A

7x – 10

y

27

Figura 3.9

C 21

Las medidas de los ángulos diferentes del paralelogramo son

18 B

A. B. C. D. 8.

Figura 3.7

En las esquinas B y C En las esquinas A y C En las esquinas A y B En cualquier esquina el espacio es igual

Dentro de las ideas para remodelar el piso del lobby de un hotel, se propone instalar un teselado compuesto de 3 tipos de baldosas: 2 blancas cuadradas de tamaños diferentes y una baldosa negra en forma de paralelogramo. Una de las baldosas blancas tiene un área cuatro veces mayor que la otra blanca. Por problemas con la entrega de las baldosas negras, se debe iniciar la instalación de las blancas, dejando el espacio para instalar las negras posteriormente. Se disponen las baldosas blancas en el piso, colocando una pieza grande a 45° de la pieza pequeña, como se ilustra en la figura 3.8.

A. 15° y 85°.

B. 20° y 50°.

C. 45° y 90°.

D. 130° y 50°.

10. Un factor determinante en la práctica del windsurf (tabla a vela) es el área de la vela que se usará. A mayor área, mayor es la potencia, pues es mayor la incidencia del viento sobre la cometa. La figura 3.10 muestra las dimensiones de una vela con potencia baja. Se conoce como deltoide. D

E

H

F

Mástil cruzado

G

Punto de apoyo del mástil

Figura 3.10

Describe un método que permita aumentar la potencia al navegar con una vela como la que se muestra en la figura 3.10. El método debe incluir tomar un mástil cruzado de ________________________________________ mayor tamaño. ________________________________________ Figura 3.8 288

________________________________________ ________________________________________

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Formato de respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

✗A

A

A

A

A

A

A ✗

A ✗

A

B

B

B

B

B

✗B

B

B

B

C

C

C ✗

C

C ✗

C

C

C

C

D

D ✗

D

D ✗

D

D

D

D

D ✗

Punto

Desempeño

Competencia

Razonamiento y argumentación

Conocimiento

1.

Argumento acerca de propiedades y relaciones de figuras planas.

2.

Reconozco clases de ángulos que se forman Interpretación cuando se cortan dos o más rectas. y representación

No genérico

3.

Verifico y utilizo propiedades de ángulos interno y/o externos en un triángulo rectángulo.

Razonamiento y argumentación

Genérico

4.

Implemento estrategias para la solución de situaciones haciendo uso de criterios de congruencia.

Formulación y ejecución

No genérico

5.

Verifico y utilizo criterios de congruencia para hallar medidas de lados y ángulos de triángulos isósceles.

Razonamiento y argumentación

Genérico

6.

Verifico y utilizo criterios de congruencia para hallar medidas de lados y ángulos de triángulos rectángulos.

Razonamiento y argumentación

Genérico

7.

Reconozco y utilizo la desigualdad triangular para solucionar situaciones.

Formulación y ejecución

No genérico

8.

Conozco y aplico las propiedades de los paralelogramos para hallar medidas desconocidas.

Formulación y ejecución

Genérico

9.

Reconozco relaciones entre las medidas de los ángulos internos de un paralelogramo.

Interpretación y representación

No genérico

10.

Realizo conjeturas y verifico propiedades de Razonamiento cuadriláteros. y argumentación

Correcta

No correcta

Genérico

Genérico

De 10 puntos obtuve bien ____.

289

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Creatividad e innovación Prevenir el tabaquismo Situación Un estudio del Instituto Nacional de Cancerología (INC) realizado en Colombia en 2007 mostró que el 50,18% de los adolescentes entre 13 y 15 años fumó en algún momento, y que de ellos el 21,88% continuaba haciéndolo. La evidencia científica muestra que los jóvenes empiezan a fumar a los 12 años y fácilmente se convierten en farmacodependientes. Dentro de las actividades para prevenir el consumo del tabaco en adolescentes, el INC, en voz de Diana Rivera, dice lo siguiente: “Les hablamos sobre el impacto en la belleza, que causa desórdenes alimenticios... es todo lo que implica cuando prenden un cigarrillo y lo ponen en su boca. El organismo tiene que trabajar tres veces más rápido y quema el doble de calorías. Buscamos protegerlos”. Adaptado de Colombia avanza en el control del tabaco [en línea]. y La medicina frente a las encrucijadas del fumador [en línea]. [citado el 30 de julio de 2014].

TABAQUISMO EN COLOMBIA Consumo de tabaco en cinco ciudades de Colombia en estudiantes de 13 a 15 años Porcentaje Aspecto Población que consume cigarrillo

Entre 7,4% y 34,1%

Riesgo de inicio

Entre 12,3% y 32%

Exposición al humo de tabaco en lugares públicos

Entre 40% y 60%

Exposición a publicidad de tabaco

70%

Quieren dejar de fumar

Entre 40% y 69%

Compra sus cigarrillos

80%

Recepción de información en los colegios sobre los peligros de fumar

Entre 34% y 54%

Resultados de la Encuesta Mundial de Tabaquismo en Jóvenes, 2007 (EMTAJ). PARDO, Constanza. PIÑEROS, Marion. Consumo de tabaco en cinco ciudades de Colombia, Encuesta Mundial de Tabaquismo en Jóvenes, 2007. En: Biomédica. Octubre-diciembre, 2010, vol. 30, no. 4.

Otros datos Cerca del 10% de personas piensa que por ser fumador es más atractivo y el 23% cree que por ello tiene más amigos. Siguiendo la tendencia, el próximo año, cerca del 9% se iniciará como fumador.

A corto plazo • Genera mal aliento. • Produce tono amarillento en dedos, manos y uñas. • Disminuye la capacidad para hacer deporte.

En Colombia, a pesar de la agresiva publicidad contra el uso del tabaco, aún 3 de cada 20 colombianos fuma y 1 de cada 10 muere por cáncer atribuido a esta causa.

Consecuencias de fumar A mediano plazo • Destruye la dentadura. • Aumenta el acné. • Deshidrata y arruga la piel. • Aumenta el riesgo de impotencia sexual.

290

A largo plazo • Produce diversas enfermedades, entre ellas el cáncer. • Produce enfermedades cerebrales como hemiplejía, apoplejía, paraplejía, entre otras

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Reto Crea una estrategia para prevenir el tabaquismo entre tus compañeros.

Infórmate 1. ¿Conoces personas que sufran de adicción al cigarrillo?¿Cómo afecta sus vidas? ¿De qué modo afecta el tabaquismo la salud de un adolescente? 2. Busca información sobre la publicidad que previene el tabaquismo. 3. ¿Has leído artículos o has visto propagandas televisivas que muestren las consecuencias del tabaquismo en adultos? ¿Cómo crees que un adolescente puede prevenir el tabaquismo?

Fuentes Digital Artículo con consejos acerca de cómo dejar de fumar http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/spanish/ency/article/001992.htm Taller Fundamentos pedagógicos y prevención integral del consumo de tabaco http://www.ligacancercolombia.org/pdfs/otros/Tallerprevenci%C3%B3n.pdf

Impresa Busca en los periódicos de tu ciudad artículos relacionados con tabaquismo.

Vivencial Visita diferentes lugares: centros comerciales, restaurantes, parques, cinemas, entre otros. Observa y registra en cuáles hay más fumadores y, aproximadamente, qué edad tienen. Busca personas que hayan sido fumadoras y pregúntales por qué dejaron de fumar y cuánto tiempo y esfuerzos les tomó dejar de hacerlo.

Crea

Técnica creativa La tormenta de ideas es una técnica de grupo que ayuda a generar ideas originales. Algunas pautas para desarrollar esta técnica son las siguientes: 1. Reúnete con tu grupo de compañeros y piensa estrategias para prevenir el tabaquismo. Definan un tiempo (5 a 10 minutos) para proponer las ideas. 2. Elijan a uno de los participantes para que escriba todas las ideas que surjan. 3. Pasado el tiempo establecido, clasifíquenlas y seleccionen las ideas más útiles y creativas.

Comunica Hagan una presentación lo más llamativa posible para exponer a sus compañeros la estrategia que desarrollaron.

291

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Capítulo

4

Estadística y probabilidad

292

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Alfabetismo en medios desde las Matemáticas

Identifica 1. ¿Quiénes están interesados en mostrar las causas y las consecuencias del seden-

tarismo infantil? 2. ¿Cuál es el objetivo del artículo y de las estadísticas presentadas? 3. ¿De qué otra manera se podría trasmitir este mensaje? 4. ¿A qué personas les convendría leer este artículo?

Analiza 1. Si se encuestaron 7489 adolescentes colombianos, ¿cuántos adolescentes no

cumplen con el mínimo de actividad física recomendada? 2. ¿Qué puedes concluir sobre la tasa de obesidad en Colombia? 3. ¿Cuántos miles de personas menos mueren por tabaquismo que por sedentaris-

mo en el mundo, durante un año? 4. Una persona que pesa 65 kg y que camina durante 30 min quema 81 calorías,

pero si está sentada, la quema de calorías se reduce a una por minuto. En una hora, ¿cuántas calorías más quema si en lugar de estar sentada está caminando? ¿Qué porcentaje de quema de calorías está perdiendo al estar sentada? 5. Un niño de 10 años da 15 000 pasos diarios. ¿Cuál es su gasto calórico aproximado en cuatro días?

Opina 1. ¿Cómo ha evolucionado tu aspecto físico y tu salud desde que tenías 10 años

hasta hoy? 2. ¿Cómo te clasificas según el nivel de actividad física? ¿Lo puedes mejorar?

Temas 56. Tablas de frecuencia para datos agrupados 57. Histogramas y polígonos de frecuencia 58. Principios de adición y multiplicación

59. Combinaciones y permutaciones 60. Probabilidad

293

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Evaluación

diagnóstica

Competencias en el Manejo de la información

Lee con atención las siguientes preguntas y enunciados. En cada caso, encierra la respuesta correcta. 1.

En un centro dermatológico, van a probar un tratamiento para mejorar los procesos de cicatrización en pacientes con quemaduras. Si fueron seleccionados 18 pacientes (de los 30 que se habían recibido) para iniciar con el tratamiento, la muestra seleccionada para probar el tratamiento es de a.

4.

El IDEAM es un instituto nacional que realiza la medición de la precipitación (cantidad de agua que cae por lluvias) en el país. La figura 4.1 ilustra la precipitación registrada para cada mes del año en la ciudad de Bogotá. Precipitación (mm)

30 pacientes con quemaduras.

120

b. 18 pacientes con quemaduras. ✗

100

c.

80

48 pacientes con quemaduras.

60

d. 12 pacientes con quemaduras. 2.

40

Un docente quiere verificar si una nueva estrategia de enseñanza genera aprendizajes más significativos en sus estudiantes. Así, selecciona 4 cursos con 40 estudiantes cada uno. En dos cursos, desarrollará la nueva estrategia y en los otros 2, la estrategia tradicional. La variable que quiere medir el docente es

Con base en la información de la gráfica, se puede inferir que

a. la nueva estrategia de enseñanza. ✗

a.

b.

los resultados entre los cursos.

c.

la estrategia de enseñanza tradicional.

20 0

Cantidad semanales

Damas

21

Caballeros

12

Niñas

7

Niños

5

5.

b.

damas y niñas.

c. ✗

niñas y niños.

5

6

7

8

9

10 11 12

Figura 4.1

Preferencia pasabocas 10 %

Según la información del reporte, la propietaria debería realizar una campaña publicitaria para mejorar sus ventas, dirigida al mercado de damas y caballeros.

4

Se realiza una prueba en un supermercado para determinar si se introducen nuevos productos. En el día de la prueba, reparten 4 tipos de pasabocas a 60 clientes y les piden que seleccionen el que les gustaría comprar. Los resultados se muestran en la figura 4.2.

Tabla 4.1

a.

3

febrero y diciembre son los meses en los que menos llueve. b. enero y junio son los meses en los que menos llueve. c. marzo y octubre son los meses en los que más llueve. d. ✗ abril y octubre son los meses en los que más llueve.

La propietaria de una peluquería consolida informes semanales sobre las ventas que realizan sus empleados (ver tabla 4.1). Corte de cabello

2

Meses

d. los aprendizajes significativos. 3.

1

40 %

20 %

30 %

d. caballeros y niños. 294

Pasaboca 1 Pasaboca 2 Pasaboca 3 Pasaboca 4

Figura 4.2

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Con base en la información de la figura 4.2, se puede afirmar que

6.

Entrada

Bebidas

Postres

a.

6 personas comprarían el pasabocas 1.

Sopa

Pollo en salsa

Limonada

Fresas con crema

b.

12 personas comprarían el pasabocas 2.

c. ✗

24 personas comprarían el pasabocas 3.

Porción de fruta

Carne asada

Jugo de lulo

Brevas con arequipe

d. 18 personas comprarían el pasabocas 4.

Peto dulce

Pescado frito

Naranjada

Cuajada con miel

La situación que no es un experimento aleatorio es a.

Tabla 4.2

la asignación de un turno de espera a la primera persona en llegar.

b.

el sorteo de una rifa con 1000 boletas.

c. ✗

el día de fallecimiento de una persona.

8.

Si los clientes pueden seleccionar una entrada, un plato principal, una bebida y un postre, ¿cuántas opciones de menú de almuerzo tiene el restaurante? a. 27 b. 54 c. d. 108 ✗ 81

9.

Si Ana desea comer pescado frito y brevas con arequipe, independientemente de la entrada y bebida, ¿cuántas opciones de menú tiene? ✗ a. 6 b. 9 c. 12 d. 15

d. el resultado de una prueba de embarazo. 7.

Plato principal

Un partido político necesita seleccionar su fórmula presidencial (un candidato a presidente y uno a vicepresidente). Si tienen dos opciones para presidente y tres para vicepresidente, las opciones de fórmula presidencial que puede tener el partido son a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 ✗

10. Durante las ventas de los almuerzos, se acaban las porciones de fruta, peto dulce, pollo en salsa, pescado frito, naranjada y jugo de lulo. ¿Cuántas opciones de menú quedan? a. 1 b. 2 c. d. 4 ✗ 3

Con base en la siguiente información, contesta las preguntas 8 a 10. En un restaurante ofrecen las siguientes opciones de menú para almorzar.

Punto

Desempeño

1.

Reconozco la muestra de una población de estudio.

2.

Identifico la variable estadística de un estudio.

3.

Analizo información de situaciones cotidianas usando el concepto de frecuencia.

4.

Interpreto un fenómeno físico usando diagramas estadísticos.

5.

Resuelvo una situación problema usando información de diagramas.

6.

Identifico situaciones que son experimentos aleatorios.

7.

Determino muestras de una población usando técnicas de conteo.

8.

Reconozco los resultados posibles de un experimento aleatorio.

9.

Determino los resultados posibles de un evento aleatorio.

10.

Identifico diferentes eventos de una situación.

Sí

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

295

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Estadística y probabilidad

Tema

56 Tablas de frecuencia para

Pensamiento

aleatorio

datos agrupados Ideas previas

En una población de ocho millones de habitantes, el 15% habla un segundo idioma. Entonces, ¿cuántos habitantes hablan un solo idioma?

Cuando los datos recopilados son numerosos, es difícil efectuar análisis directamente sobre ellos y, por ello, se requiere organizarlos de manera que se faciliten los cálculos y la obtención de estadísticas. Una manera de organizarlos es con una tabla de frecuencias en donde los datos pueden o no estár agrupados. En una tabla de frecuencias, los valores de la variable pueden aparecer individualmente, caso en el cual se afirma que la tabla contiene datos no agrupados. Si aparecen en intervalos, se dice que contiene datos agrupados. En los datos agrupados, el número de datos que contiene un intervalo se denomina frecuencia absoluta . La suma de las frecuencias absolutas es el total de datos. La frecuencia relativa compara la frecuencia absoluta con el número total de datos, es decir, es el cociente entre estos dos números. La suma de las frecuencias relativas es 1, o 100% si se expresa como porcentaje.

Ejempo 1

Una empresa que se dedica a la importación de consolas de videojuegos realiza un estudio para determinar las preferencias y los hábitos de los clientes en relación con este tipo de entretenimiento. Algunos resultados del estudio aparecen en las tablas 56.1 y 56.2. ¿Cuál es su consola preferida? Consola

Para recordar En un conjunto de datos no agrupados: • La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un dato. • El rango es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

Votos

Porcentaje (%)

¿Durante cuántas horas jugó la última vez que usó la consola? Horas

Personas

Porcentaje (%)

HX 520

105

21,0

Spiral 4

240

48,0

Menos de 4

390

78,0

Pack 120

146

29,2

[4, 8)

102

20,4

Otra

5

1,0

[8, 12)

7

1,4

Ninguna

4

0,8

12 o más

1

0,2

500

100,0

500

100

Total

Tabla 56.1

Total

Tabla 56.2

La primera columna en cada una de las tablas contiene una variable: consola-horas. En la tabla 56.1, los valores de la variable, es decir, las posibles respuestas, aparecen de manera individual (HX 520, Spiral 4, Pack 120, Otra, Ninguna). Por tanto, decimos que la tabla 56.1 muestra los datos no agrupados. 296

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

La situación en la tabla 56.2 es diferente. Los valores de la variable no aparecen de manera individual, sino de manera agrupada en intervalos. Veamos: si una persona afirma que la última vez que jugó lo hizo durante 3 horas y otra persona responde que jugó durante 2,5 horas, ambas respuestas se ubicarán en la primera clase (menos de 4 horas). En este caso, estamos presentando los datos agrupados. La segunda columna de la tabla 56.1 muestra el número de personas que respondió cada una de las opciones de respuesta. La segunda columna de la tabla 56.2 contiene el número de personas que dio una respuesta en el intervalo correspondiente. En los dos casos, decimos que esta columna muestra la frecuencia absoluta.

Para recordar Un intervalo es un subconjunto de números reales que contiene todos los números entre dos números dados. Por ejemplo, en el intervalo [3, 6], están todos los números reales desde 3 hasta 6.

Finalmente, en las dos tablas, la tercera columna muestra la frecuencia relativa, es decir, el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre 500 (el número total de personas encuestadas).

En una tabla de frecuencias para datos agrupados (también denominada distribución de frecuencias), una clase es cada uno de los intervalos en que se agrupan los datos y su marca de clase es el punto medio de cada intervalo.

Ejemplo 2

Para un estudio sobre el crecimiento de los langostinos, se realiza lo siguiente: se capturan algunos de ellos, se miden y se regresan al agua. Los datos de la medición aparecen en la tabla 56.3. 1.

2.

1.

Longitud (mm)

Número de casos

72

82

73

94

75

125

76

133

Solución

77

142

a.

Las medidas de los langostinos aparecen en la tabla 56.3 de manera individual, es decir, se trata de datos no agrupados. ”Número de casos “ muestra cuántos langostinos tuvieron la medida indicada, es decir, cuántas veces se repite el dato mostrado. Por tanto, esta columna corresponde a la frecuencia absoluta.

79

137

80

129

81

112

82

104

Para agrupar los datos, debemos definir los intervalos. El número de intervalos se escoge generalmente entre 5 y 20, dependiendo de la cantidad de datos, de manera que el punto medio de cada uno pueda coincidir con algunos datos.

84

101

86

115

87

97

88

78

90

81

91

70

Respondamos las siguientes preguntas según la información de la tabla 56.3. a. ¿La tabla presenta datos agrupados o datos no agrupados? b. ¿”Número de casos “ representa la frecuencia absoluta o la relativa? Construyamos una distribución de frecuencias agrupando los datos de la tabla 56.3.

b.

2.

Longitud de los langostinos capturados

Para determinar la longitud de cada intervalo, dividimos el rango entre el número de intervalos. En este caso, el rango es 91 – 72 = 19. Si agrupamos los datos en cinco intervalos, la longitud de cada uno es aproximadamente 19 ÷ 5 = 3,8. Entonces, podemos tomar 4 mm como longitud del intervalo para facilitar los cálculos. Además, de esta manera, el punto medio del intervalo puede coincidir con algunas medidas, lo cual es recomendable. Con esta longitud, los intervalos son [72, 76), [76, 80), [80, 84), [84, 88), [88, 92). 297

Tabla 56.3

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

En qué se aplica Estudios médicos han determinado que cuanto mayor sea la frecuencia cardiaca de una persona, menor será la expectativa de vida. En los animales, se da una relación similar: cuanto más pequeño sea un animal, mayor será su frecuencia cardiaca y menor su expectativa de vida.

En algunos casos, el número de intervalos puede ser uno más o uno menos que el elegido inicialmente, porque estamos usando una aproximación del valor obtenido para la longitud del intervalo. Determinamos cuántos datos hay en cada intervalo y esta será la frecuencia absoluta. Por ejemplo, las medidas 72 mm, 73 mm y 75 mm quedarán en el primer intervalo. La siguiente, 76 mm, estará en el segundo. Para la tercera columna, dividimos cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos, que es 1600. Los resultados para la frecuencia relativa aparecen redondeados a la centésima más cercana. En las distribuciones de frecuencias, es común incluir la marca de clase (punto medio) de cada intervalo. Para nuestro caso, la medida que corresponde al punto medio del primer intervalo es 74 mm. La distribución construida aparece en la tabla 56.4. Longitud (mm)

Número de casos

Frecuencia relativa

Marca de clase

[72, 76)

301

0,19

74

[76, 80)

412

0,26

78

[80, 84)

345

0,22

82

[84, 88)

313

0,20

86

[88, 92)

229

0,14

90

Total

1600

1,00 Tabla 56.4

Desarrolla competencias 1.

Responde y justifica tus respuestas. a. ¿Una frecuencia relativa puede ser mayor que 1? b. ¿Una frecuencia absoluta puede ser mayor que 1? c. ¿Por qué la suma de las frecuencias relativas siempre es igual a 1?

4.

Completa la información de la tabla 56.5 que muestra la distribución por edades de los estudiantes de un colegio. Edad (años)

Marca de clase

Número de estudiantes (frecuencia absoluta)

[4, 6)

62

Razonamiento lógico

[6, 8)

85

2.

[8, 10)

48

[10, 12)

44

[12, 14)

38

[14, 16)

39

[16, 18)

34

Halla el rango del conjunto de datos. 17, 9, 8, 91, 14, 28, 9, 58, 17, 46, 58.

3.

Se va a construir una distribución de frecuencias de acuerdo con la siguiente información. Dato menor: 0,2; dato mayor: 7,1; longitud de los intervalos: 0,8. Escribe los intervalos.

298

Frecuencia relativa

Total Tabla 56.5

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

5.

El profesor de Educación física de un colegio registró los datos de talla y peso de sus estudiantes. La información aparece en las tablas 56.6 y 56.7. Talla (cm)

142 144 145 148 149 151 153 154 156 158 160 162 163 164 165 167 169 170 172 173 175 177

Número de 10 estudiantes

8

11 12 11

7

9

13 12 14 13 11 12

9

11

9

6

5

3

1

2

1

Tabla 56.6

Peso (kg)

39,0 40,3 41,0 42,0 43,5 45,8 47,2 48,3 50,7 52,0 53,1 54,9 55,2 57,4 59,1 59,3 61,0 63,2 66,5 68,2 70,4 71,0

Número de estudiantes

8

9

13

9

8

10 10 11 13 13 12 10 13

8

10 11

8

7

2

2

1

2

Tabla 56.7

a.

b. c.

¿Qué tipo de datos muestra la tabla 56.6: agrupados o no agrupados? Justifica tu respuesta. Halla el rango de estatura del grupo de estudiantes.

Peso (kg)

Marca de clase

Halla el rango de peso de los estudiantes.

d. Elabora una distribución de frecuencias usando intervalos de longitud 6 con los datos de la tabla 56.6. Registra los resultados en la tabla 56.8. Talla (cm)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Total Tabla 56.9

Frecuencia relativa

Pensamiento crítico y resolución de problemas

6.

Los intervalos de una distribución de frecuencias no tienen siempre la misma longitud. Observa la tabla 56.10, donde aparece la distribución por edades de los perros atendidos en una clínica veterinaria durante un año. Edad

Total Tabla 56.8

e.

Frecuencia Frecuencia absoluta relativa

Elabora una distribución de frecuencias usando intervalos de longitud 7 con los datos de la tabla 56.7. Registra los resultados en la tabla 56.9.

299

Número de perros

Menos de 1 año

240

Entre 1 y 6 años

493

Más de 6 años

362

Porcentaje (%)

Total Tabla 56.10

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Completa los datos que faltan en la tabla 56.10 y, con base en dicha información, responde las siguientes preguntas. a.

¿Qué tipo de datos muestra la tabla 56.10: agrupados o no agrupados? b. ¿Cuántos intervalos tiene la distribución? c. ¿Se puede conocer la longitud de todos los intervalos? Explica tu respuesta. d. ¿Cuál es la longitud del primer intervalo?

e. f.

¿Cuál es la longitud del segundo intervalo? ¿Se puede hallar el rango de edades de los perros atendidos? Explica tu respuesta. g. ¿Cuántos perros de un año o mayores de un año fueron atendidos? h. ¿Cuántos perros fueron atendidos durante el año? i. ¿Qué porcentaje de los perros atendidos tenían 6 años o menos?

Competencias en TIC

7.

Podemos hallar la frecuencia relativa de un conjunto de datos con el programa Excel. Para ello, digita en una hoja de Excel las columnas Número de estudiantes (frecuencia absoluta) y Frecuencia relativa, que se muestran en la tabla 56.5, numeral 4. Ubica el cursor en la casilla A9 y da clic en la botón Autosuma que encuentras en la barra Herramientas (ver figura 56.1). Luego, haz clic en la casilla B2 y escribe =, haz clic en la casilla A2, escribe el signo de división (/) y el número 350 (ver figura 56.2). Presiona el botón Enter, ubica el cursor en la esquina inferior derecha de la celda B y copia la fórmula hasta la celda B8. Selecciona las celdas B2 a B8 y en el menú Formato de celdas - número, escoge Porcentaje y en Posiciones decimales, digita 0. ¿Qué valores obtienes?

Inicio o

Dis Diseño s

Tablas

Gráficos

Editar Rellenar

Inicio o

Fó

Calibri (Cuerpo)

12

SUMA A

B

C

Tablas

Gráficos Fuente

Calibri (Cuerpo)

Rellenar

SUMA A

E

Número de estudiantes Frecuencia (frecuencia absoluta) relativa 62 85 48

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

44 38 39 34 =SUMA (A2:A8

Figura 56.1

12

Borrar

Pegar

=SUMA (A2:A8) D

Dis Diseño s

Editar

Borrar

Pegar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

SmartArt

Fuente

B

C

=A2/350 D

Número de estudiantes Frecuencia (frecuencia absoluta) relativa

62 85 48 44 38 39 34

=A2/350

350

Figura 56.2

Resumen Si en una tabla de frecuencias los valores de la variable aparecen en intervalos, la tabla contiene datos agrupados. La frecuencia absoluta para cada intervalo es el número de datos que contiene. La suma de las frecuencias absolutas es el total de datos. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de las frecuencias relativas es 1, o 100% si se expresa como porcentaje.

300

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Estadística y probabilidad

Tema

57 Histogramas y polígonos de frecuencia Ideas previas

Pensamiento

aleatorio

Las temperaturas máximas en grados Celsius en una ciudad durante noviembre fueron las siguientes: 16, 17, 16, 15, 20, 18, 19, 19, 17, 19, 18, 15, 19, 18, 15, 16, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 18, 17, 18, 19, 18, 20, 21. Construye la tabla de distribución de frecuencias utilizando cuatro intervalos de clase. ¿Qué porcentaje representa al intervalo de clase que tuvo la menor temperatura?

Visitantes

En un museo, abierto de miércoles a domingo, registraron el número de visitantes diarios durante el año pasado. Con la información, realizaron una distribución de frecuencias como aparece en la tabla 57.1.

Días

[0, 680)

24

[680, 1020)

48

[1020, 1360)

54

Podemos utilizar un diagrama para representar la distribución mostrada en la tabla (ver figura 57.1). Este diagrama recibe el nombre de histograma.

[1360, 1700)

70

Observemos sus características.

[1700, 2380)

64

El primer intervalo va de 0 a 680, por tanto, la base del primer rectángulo se ubica entre 0 y 680. Las alturas de los rectángulos correspondientes al segundo, tercero y cuarto intervalos son iguales a las frecuencias. Sin embargo, la altura de los rectángulos en el primero y último intervalos son la mitad de la frecuencia, porque el ancho de estos intervalos es el doble de los otros. De esta manera, las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias.

Tabla 57.1

Distribución de visitantes diarios al museo en un año 80 70

El otro diagrama que podemos utilizar para representar gráficamente distribuciones de frecuencias es el polígono de frecuencias. Para construirlo, agregamos un intervalo al comienzo (de longitud igual al primer intervalo) y otro al final (de longitud igual al último intervalo), ambos con frecuencia cero. Por último, señalamos la marca de clase en cada uno.

50 40 30 20 10 0

0

680 1020 1360 1700

2380

Visitantes Figura 57.1

Ubicamos los puntos medios de la parte superior de cada rectángulo y unimos todos los puntos señalados (ver figura 57.2). También, podemos mostrar el polígono de frecuencias sin el histograma (ver figura 57.3).

Distribución de visitantes diarios al museo en un año

Distribución de visitantes diarios al museo en un año

80

80

70

70

60

60

50

50

Días

Días

Días

60

40

40

30

30

20

20

10

10

0

0

680 1020 1360 1700

2380

Visitantes

0

0

680 1020 1360 1700

2380

Visitantes Figura 57.2

301

Figura 57.3

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Los histogramas y los polígonos de frecuencias son diagramas que se utilizan para representar distribuciones de frecuencias de una variable cuantitativa. Los histogramas se construyen con rectángulos, de tal manera que el centro de sus bases coincida con las marcas de clase. El ancho de los rectángulos es la longitud de los intervalos y su altura es la frecuencia de la clase que representan, cuando todos los intervalos tienen la misma longitud. Si los intervalos tienen diferente longitud, se calcula la altura de cada rectángulo de manera que las áreas sean proporcionales a las frecuencias. Los polígonos de frecuencias son diagramas que se obtienen uniendo los puntos medios de la parte superior de cada rectángulo en un histograma. Para cerrarlo, se agregan dos puntos en las marcas de clase de dos intervalos imaginarios, uno al comienzo y otro al final, ambos con frecuencia cero, y de longitud igual al primero y al último intervalo, respectivamente. Ejemplo 1

Observemos la tabla 57.3.

La tabla 57.2 muestra los resultados de un estudio realizado en cinco colegios sobre el uso del teléfono celular por parte de sus estudiantes. Distribución por edades de los estudiantes que tienen teléfono celular

6

[8, 10)

6

[10, 12)

17

[12, 14)

22

[14, 16)

25

[16, 18)

24

Altura

Área

[4, 8)

4

3

12

[8, 10)

2

6

12 Tabla 57.3

Para construir los otros rectángulos, podemos considerar la frecuencia como su altura. Observemos la figura 57.4.

Porcentaje de estudiantes (%)

[4, 8)

Base

Distribución de edades de los estudiantes que tienen teléfono celular 30

Porcentaje de estudiantes

Edad (años)

Intervalo

25 20 15 10 5 0

4

8

Tabla 57.2

10

12

14

16

18

Figura 57.4

Edad (años)

Solución

Trazamos los ejes y ubicamos en el eje horizontal los extremos de los intervalos, que son 4, 8, 10, 12, 14, 16 y 18. En el eje vertical, ubicamos los números (como mínimo, hasta 25). Observamos los dos primeros intervalos. En cada uno de esos grupos de edades, está el 6% de los estudiantes que tienen celular. Como la amplitud del primer intervalo es el doble de la amplitud del segundo, necesitamos que la altura del primer rectángulo sea la mitad de la altura del segundo, para que los dos rectángulos en el histograma representen el mismo porcentaje. De esta manera, los dos rectángulos tienen igual área. 302

Para construir el polígono de frecuencias, imaginamos otros dos intervalos de frecuencia 0: uno al comienzo de amplitud 4 (porque la amplitud del primer intervalo es 4) y otro al final de amplitud 2 (porque la amplitud del último intervalo es 2). Señalamos el punto medio de la parte superior de cada rectángulo y los unimos con segmentos (ver figura 57.5). Distribución de edades de los estudiantes que tienen teléfono celular 30

Porcentaje de estudiantes

Construyamos un histograma y un polígono de frecuencias con los datos.

25 20 15 10 5 0

4

8

10

12

14

Edad (años)

16

18

Figura 57.5

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias 1.

La tabla 57.4 muestra la clasificación, según su peso, de los huevos en una granja avícola. Responde las preguntas de acuerdo con la tabla.

Ingresos (salarios mínimos)

Familias

[1, 2)

127

Peso(g)

Huevos

[2, 3)

132

[30, 45)

1242

[3, 4)

141

[45, 60)

15 276

[4, 5)

125

[60, 65)

24 403

[5, 6)

93

[65, 70)

21 782

[6, 7)

72

Tabla 57.4

Tabla 57.5

a. b.

¿Cuál es la longitud de cada intervalo? Si se construye un histograma en el que la altura de los rectángulos en los dos últimos intervalos corresponda a su frecuencia, ¿cuál debe ser la altura del rectángulo en el primer intervalo? ¿Cuál será la altura del rectángulo en el segundo intervalo? c. Construye un histograma con los datos. d. Para construir un polígono de frecuencias, ¿cuál debe ser la longitud del intervalo de frecuencia 0 que se agrega al comienzo?¿Cuál debe ser la longitud del intervalo de frecuencia 0 que se agrega al final? e. Construye un polígono de frecuencias con los datos. 2.

a.

Construye el histograma correspondiente al polígono de frecuencias de la figura 57.6. Los puntos resaltados corresponden a las marcas de clase.

160 140

Familias

Familias

[0, 1)

127

[1, 2)

132

[2, 3)

141

[3, 4)

125

[4, 5)

93

[5, 6)

72 Tabla 57.6

Ingresos familiares

Ingresos (salarios mínimos)

Familias

0

127

1

132

2

141

3

125

4

93

5

72 Tabla 57.7

120 100 80

3.

60 40 20 0

0

1

2

3

4

5

6

Ingresos (salarios mínimos) Figura 57.6

b.

Ingresos (salarios mínimos)

La tabla 57.8 muestra los tiempos registrados por las 69 atletas que terminaron la prueba final del maratón femenino en los Juegos Olímpicos de Pekín. En esta competencia, participó la colombiana Bertha Sánchez, quien finalizó en el puesto 62 con un tiempo de 02:47:02.

¿A cuál de las siguientes tablas de frecuencias corresponde el polígono?

303

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

02:34:35

02:37:03

02:31:47

02:31:16

02:39:34

02:37:12

02:45:53

02:35:47

02:35:09

02:39:29

02:33:32

02:33:12

02:33:13

02:44:41

02:29:33

02:27:29

02:27:23

02:33:29

02:43:23

02:30:55

02:38:10

02:34:52

02:35:17

02:31:31

02:32:06

02:27:51

02:47:16

02:48:01

02:34:51

02:34:16

02:35:35

02:27:06

02:32:39

02:31:48

02:35:19

02:33:31

02:30:19

02:27:16

02:38:31

02:47:02

02:36:10

02:35:22

02:29:28

02:27:07

02:31:41

02:37:04

02:48:32

02:55:39

02:33:35

02:53:45

02:49:39

02:38:52

02:32:16

02:36:25

02:47:02

02:49:32

02:30:01

02:26:44

02:46:44

02:33:07

02:31:16

02:27:31

02:36:25

02:44:24

02:32:38

02:34:08

02:28:29

02:37:10

Marca de clase

Tiempo (h:m:s)

Atletas

Frecuencia relativa

[02:26:00, 02:31:00) [02:31:00, 02:36:00)

Fuente: www.iaaf.org

[02:36:00, 02:41:00) [02:41:00, 02:46:00) [02:46:00, 02:51:00) [02:51:00, 02:56:00) Total Tabla 57.9

Responde de acuerdo con la información anterior. b. c.

02:35:53 Tabla 57.8

a.

Construye una distribución de frecuencias con los datos anteriores. Registra los resultados en la tabla 57.9.

¿Cuál fue el tiempo de la ganadora? ¿Cuál es la diferencia entre el tiempo de la ganadora y quien pasó la meta en último lugar? d. ¿Qué porcentaje de las atletas que terminaron la carrera obtuvo un tiempo inferior a 2 horas y 46 minutos? e. ¿Cuántas atletas perdieron menos de cinco minutos con la ganadora? f. Había 82 atletas inscritas en esta competencia. ¿Qué porcentaje de ellas no participó en la prueba? g. ¿En qué intervalo se encuentra el tiempo de la colombiana? h. Construye un histograma y un polígono de frecuencias.

Resumen

Para construir el histograma, se construyeron rectángulos cuyos centro de sus bases corresponden a las marcas de clase. Su ancho es la longitud de cada intervalo, es decir, uno y altos, 5, 8, 12, 11, 8, 4 y 2, que corresponden a la frecuencia de clase. El polígono de frecuencia se obtuvo uniendo los puntos medios de la parte superior de cada rectángulo del histograma más dos puntos que corresponden a las marcas de clase de los intervalos imaginarios [4, 5) y [12, 13). 304

Salarios mensuales 14 12

Números de empleados

Los histogramas y los polígonos de frecuencias son diagramas que se utilizan para representar distribuciones de frecuencias de una variable cuantitativa. La figura 57.7 ilustra las distribuciones de frecuencias de la variable salarios mensuales.

10 8 6 4 2 0

5

6

7

8

9

10

11

12

Figura 57.7

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Estadística y probabilidad

Tema

58 Principios de adición y multiplicación

Pensamiento

aleatorio

Ideas previas A 82 estudiantes se les preguntó sobre el deporte, entre tenis o golf, que preferirían aprender a jugar. 21 estudiantes contestaron que los dos deportes; 24 estudiantes, que les gustaría golf; y 5 estudiantes, que no les gustaría aprender ninguno de los dos. ¿Cuántos estudiantes respondieron que preferirían jugar tenis?

En un colegio, ofrecen tres tipos de electivas en Artes: música, pintura o danza; cuatro tipos de electivas en Deportes: natación, patinaje, tenis o fútbol; y dos tipos de electivas en Ciencias: Astronomía o Biología. ¿Cuántas opciones tiene un estudiante para escoger una de las electivas? ¿De cuántas maneras diferentes un estudiante podría escoger una electiva de cada tipo? Electivas que podría seleccionar un estudiante 3

+

Opciones de Artes

4

+

Opciones de Deportes

2

=9

Opciones de Ciencias

Opciones que tendrían los estudiantes para seleccionar una electiva de cada tipo 3 Opciones de Artes

Vínculo web Practica el principio de multiplicación desarrollando las actividades que encontrarás ingresando a la página http://www. aaamatematicas.com/ sta-basic-cntg.htm

×

4 Opciones de Deportes

×

2

= 24

Opciones de Ciencias

Principio de adición Si se desea seleccionar un objeto que puede tener k tipos diferentes y para el primer tipo existe m1 opciones; para el segundo tipo, m2 opciones; para el tercero, m3 opciones; y así sucesivamente hasta el último tipo con mk opciones, entonces, el objeto puede seleccionarse de m1 + m2 + m3 + ... + ... + mk formas. Principio de multiplicación Si se tienen k condiciones (o etapas), tales que la primera puede ocurrir en m1 formas distintas, la segunda de m2 formas distintas, la tercera de m3 formas distintas, y así sucesivamente con el resto de condiciones hasta la última condición que puede ocurrir en mk formas distintas, entonces, todas las k condiciones pueden suceder en m1 × m2 × m3 × ... × mk formas distintas. Ejemplo 1

Lucía y Martín desean ir a almorzar. Tienen cinco lugares diferentes para comer pollo, dos para comer parrillas y tres para comer camarones. ¿A cuántos lugares diferentes pueden ir a almorzar? Solución

En qué se aplica Los principios de adición y multiplicación son técnicas de conteo que se utilizan para enumerar eventos que no son fácilmente enumerables por su extensión.

Utilizando el principio de adición, tenemos que Lucía y Martín pueden ir a 5 + 2 + 3 = 10 lugares diferentes. Ejemplo 2

Óscar tiene una empresa de transporte de carga, que posee 10 camiones. Cierto día, cuenta con la disponibilidad de sus diez camiones y debe enviar dos de ellos a recoger y llevar dos encomiendas de mercancía. ¿De cuántas maneras puede Óscar asignar estos dos trabajos? 305

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Solución

Para asignar el camión que realizará el primer transporte, Óscar puede elegir a uno de los diez camiones, es decir, hay 10 maneras de hacer la asignación. Para asignar el segundo camión, Óscar dispondrá solamente de 9 camiones, ya que uno de ellos ya fue asignado al primer trabajo. Por tanto, para el segundo transporte, hay 9 posibles elecciones para la asignación. Así, el número de asignaciones posibles para estos dos envíos es 10 × 9 = 90. Un experimento aleatorio es un suceso en el cual se lleva a cabo una observación cuyos resultados se conocerán con posterioridad al experimento. Un experimento aleatorio, que consta de dos o más etapas, se denomina con repetición, si el elemento (o elementos) seleccionado en cada etapa se reintegra al lugar de donde fue tomado para que pueda ser seleccionado nuevamente en la siguiente etapa. Se denomina sin repetición, cuando el elemento (o elementos) seleccionado en cada etapa no se reintegra de donde fue tomado. Ejemplo 3

Una urna tiene 20 bolas solo distinguibles por su color: 12 azules y 8 rojas. Se seleccionan al azar, sin mirar, dos bolas, primero una y después la otra. ¿Cuál es el número de casos en que la segunda bola seleccionada al azar es roja? Solución

BA: 12 BA: 12 BR: 8

El enunciado no establece si la primera bola seleccionada se devuelve a la urna o no, es decir, si la selección se hace con repetición o sin repetición. Para una solución completa, tenemos en cuenta las dos posibilidades de selección y empleamos un diagrama de árbol que nos ayudará a determinar el número de casos. Selección aleatoria con repetición

BA: 12 BR: 8 BR: 8

Figura 58.1

Construimos un árbol con cuatro ramas. Las dos primeras ramas (de izquierda a derecha) corresponden a los posibles resultados de la primera selección. Las otras cuatro ramas (dos por cada una de las dos primeras ramas) corresponden a los posibles resultados de la segunda selección (ver figura 58.1). Entonces, el número total de casos en que la segunda bola seleccionada será de color rojo es 12 × 8 + 8 × 8 = 160.

BA: 11

Selección aleatoria sin repetición

BA: 12 BR: 8

BA: 12 BR: 8 BR: 7

Figura 58.2

Construimos un árbol con cuatro ramas. Las dos primeras (de izquierda a derecha) corresponden a los posibles resultados de la primera selección. Las otras cuatro ramas (dos por cada una de las dos primeras ramas) corresponden a los posibles resultados de la segunda selección (ver figura 58.2). Entonces, el total de casos en que la segunda bola seleccionada será de color rojo es 12 × 8 + 8 × 7 = 152.

306

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Desarrolla competencias Razonamiento lógico

1.

2.

3.

5.

Una aerolínea local ofrece 4 vuelos diarios para viajar de la ciudad A a la ciudad B y 4 vuelos diarios para viajar de la ciudad B a la A. Una aerolínea internacional ofrece 2 vuelos diarios para viajar de la ciudad A a la B y 2 vuelos diarios para viajar de la ciudad B a la A. a. ¿Cuántos formas diferentes existen para volar de la ciudad A a la ciudad B? b. ¿Cuántas formas diferentes existen para volar de la ciudad A a la B y devolverse? Una biblioteca contiene en uno de sus estantes 7 libros de Matemáticas, 4 libros de Química, 10 libros de Biología y 12 de Literatura, de diferentes autores. Establece el número de posibilidades que tiene un estudiante para seleccionar a. uno de los libros de ese estante. b. un libro de cada materia.

6.

Un restaurante ofrece un menú con tres tipos de carnes y cinco acompañamientos. ¿Cuántas formas diferentes tiene una persona para seleccionar una carne y un acompañamiento?

Un almacén de computadores ofrece computadores fijos y portátiles. Los fijos provienen de tres marcas diferentes y los portátiles, de dos marcas. Los fijos poseen los siguientes accesorios: dos tipos de pantalla plana, cuatro clases de impresora y dos tipos de cámara; los portátiles solo cuentan con la opción de dos clases de impresora. a.

¿Cuántos tipos diferentes de computadores fijos se pueden ofrecer?

b.

¿Cuántos tipos diferentes de computadores portátiles se pueden ofrecer?

c.

¿Cuántos tipos diferentes de computadores fijos y portátiles se pueden ofrecer?

Un número entero se almacena en la memoria de un computador como una serie de ceros y unos (cadena de bits). Cada unidad de memoria contiene 8 espacios: el primero se utiliza para el signo del número y los siete espacios restantes para los ceros y unos que representan el número entero. a.

¿Cuántos números enteros positivos se pueden almacenar en una unidad de memoria?

b.

Si el computador cuenta con dos unidades de memoria, ¿cuántos números enteros positivos se pueden almacenar en la memoria?

Pensamiento crítico y resolución de problemas

4.

Un concesionario de venta de vehículos ofrece tres marcas: A, B y C. En la marca A, tiene 4 líneas; 3 líneas, en la marca B; y 5 líneas, en la C. La gama de colores que ofrece en las tres marcas es rojo, azul, blanco, negro, verde, amarillo; además, la pintura puede venir en dos versiones: plana o metalizada. a. El concesionario va a ubicar autos de las tres marcas en la vitrina de ventas. ¿Cuántos autos debe ubicar si sólo tiene en cuenta las líneas? b. ¿Cuántos tipos diferentes de auto, de acuerdo con las diferentes características, puede vender este concesionario?

7.

Un plano contiene los puntos A, B, C, D y E, en los cuales no hay tres colineales. Entonces, ¿cuántas rectas distintas se pueden trazar utilizando estos cinco puntos?

8.

Se toman de una baraja de 40 cartas cuatro cartas mediante dos formas diferentes. a.

Sin devolución de cada carta tomada

b.

Con devolución de la carta en cada toma

Calcula el número de formas diferentes de obtener las cuatro cartas en cada método.

Resumen

Los principios de adición y multiplicación permiten determinar el total de resultados posibles de un experimento aleatorio, sin necedidad de describir cada resultado posible. 307

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Estadística y probabilidad

Tema

59 Combinaciones y permutaciones Ideas previas

Pensamiento

aleatorio

Un número de teléfono fijo consta de siete dígitos, el primero de los cuales no puede ser cero. ¿Cuántos números telefónicos distintos se pueden formar?

Consideremos una urna con cuatro fichas marcadas con las letras A, C, G y T. Extraemos 3 fichas de la siguiente manera. Caso 1. Cada ficha extraída se regresa a la urna, se revuelven las fichas y se saca la segunda; de igual manera ocurrirá con la tercera ficha extraída. Caso 2. Cada ficha extraída no se regresa a la urna, se revuelven las fichas y se saca la segunda; de igual manera ocurrirá con la tercera ficha extraída. Caso 3. Cada ficha extraída no se regresa a la urna, se revuelven las fichas y se saca la segunda; de igual manera ocurrirá con la tercera ficha extraída, pero no se tiene en cuenta el orden de las letras. ¿Cuántos resultados se obtienen en total en cada caso? Para organizar los resultados, ubicamos las letras de las fichas que vamos extrayendo en orden de salida de la siguiente manera: si la primera ficha extraída fue la A, la segunda la C y la tercera la G, entonces, escribimos ACG. Caso 1. En la tabla 59.1, listamos los resultados posibles.

AAA

AAC

AAG

AAT

ACA

ACC

ACG

ACT

AGA

AGC

AGG

AGT

ATA

ATC

ATG

ATT

CAA

CAC

CAG

CAT

CCA

CCC

CCG

CCT

CGA

CGC

CGG

CGT

CTA

CTC

CTG

CTT

GAA

GAC

GAG

GAT

GCA

GCC

GCG

GCT

GGA GGC GGG

GGT

GTA

GTC

GTG

GTT

TAA

TAC

TAG

TAT

TCA

TCC

TCG

TCT

TGA

TGT

TTA

TTC

TTG

TTT

TGC

TGG

Tabla 59.1

En total, hay 64 resultados posibles: 64 = 4 × 4 × 4 = 43. El conjunto de estos 64 resultados constituye un grupo ordenado de tres letras tomadas con repetición de un conjunto de cuatro letras, que se denomina permutación con repetición. Caso 2. Si en la tabla 59.1 eliminamos los elementos que tienen letras repetidas, obtenemos los resultados. Así, el número total de casos ordenados sin repetición de letras es 24, porque 24 = 4 × 3 × 2. El conjunto de estos 24 resultados constituye un grupo ordenado de tres letras tomadas sin repetición de un conjunto de cuatro letras, que se denomina permutación sin repetición.

Para recordar Un grupo se dice ordenado cuando al intercambiar dos de sus elementos, se obtiene un nuevo resultado.

Caso 3. Si en la tabla 59.1 eliminamos los elementos que tienen letras repetidas y los que tienen las mismas letras en distinto orden y dejamos solamente uno como representante, obtenemos ACG, ACT, AGT y CGT. El número total de casos, sin permitir la repetición de letras y sin tener en cuenta el orden, es 4. El conjunto de estos 4 resultados constituye un grupo de tres letras tomadas sin tener en cuenta el orden y sin repetición de un conjunto de cuatro letras, que se denomina combinación sin repetición.

308

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Sea B un conjunto con m elementos Una permutación es un grupo o arreglo ordenado de elementos seleccionados de B. 1. El número de permutaciones sin repetición de n elementos seleccionados de un m! . total de m es P ( m , n ) = ( m − n )! 2. El número de permutaciones con repetición de n elementos seleccionados de un total de m es PR(m, n) = mn. Una combinación sin repetición de m objetos tomados de n formas diferentes es un ⎛ m ⎞ m! = . arreglo no ordenado y se calcula por medio de la expresión: ⎜ ⎝ n ⎟⎠ ( m − n )! n!

Ejemplo 1

a. b. c.

¿Cuántas permutaciones con repetición de 4 letras se pueden formar con A, B, C, D y E? ¿Cuántas combinaciones sin repetición de 4 letras se pueden formar con A, B, C, D y E? Un grupo musical desea visitar seis ciudades antes de que salga su nuevo trabajo musical. Sin embargo, sólo podrán visitar cuatro ciudades. ¿Cuántos itinerarios diferentes puede planear para esta corta gira?

Para recordar n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1 para n un número entero no negativo. 0! = 1 y n! = n × [(n − 1)!].

En qué se aplica De igual manera que los principios de adición y multiplicación, las permutaciones y combinaciones son técnicas de conteo que facilitan el cálculo de eventos de un experimento aleatorio.

Solución

a. b.

c.

El número de permutaciones con repetición de 4 letras que se pueden hacer con 5 letras es PR(5, 4) = 54 = 625. El número de combinaciones sin repetición de 4 letras que se pueden hacer ⎛ 5 ⎞ = 5. con las 5 letras es ⎜ ⎝ 4 ⎟⎠ Puesto que en la planeación y decisión del itinerario es importante el orden en que las cuatro ciudades seleccionadas se visiten y no es posible repetir una ciudad, entonces, el número de itinerarios es igual al número de permutaciones sin repetición de 6 elementos tomados en grupos de 4, así: 6! = 720 = 360 . P (6, 4) = (6 − 4)! 2

Desarrolla competencias Razonamiento lógico

1.

c.

Clasifica las situaciones en un problema de combinación o en un problema de permutación. a. Seleccionar de un curso de treinta estudiantes dos estudiantes para que formen el equipo de ajedrez que los representará. b. Seleccionar de un curso de treinta estudiantes dos estudiantes, de manera que el primero seleccionado sea el representante del curso y el otro, el suplente.

309

Seleccionar de una lista de diez candidatos el presidente y el vicepresidente de una empresa de acuerdo con el número total de votos que cada una obtenga (no se acepta empate). d. El premio en pesos que se le otorgará al ganador del concurso de la semana corresponderá al número de seis cifras resultante de sacar en forma consecutiva seis balotas de una urna. La urna contiene diez balotas iguales, numeradas del 0 al 9.

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Competencias en TIC

Halla los siguientes resultados con ayuda de Excel.

2.

a.

P(7, 3)

b. P(15, 7)

c.

⎛ 8 ⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

⎛ ⎞ d. ⎜ 16 ⎟ ⎝ 6 ⎠

Puedes calcular diferentes permutaciones y combinaciones sin repetición con el programa Excel. Por ejemplo, para hallar las permutaciones de 4 elementos tomados de un conjunto de 7 elementos, da clic en la función Permutaciones, que encuentras en la barra de Herramientas, en la categoría Estadística. En la casilla Número, digita 7 y, en la casilla Tamaño, digita 4. Finalmente, da clic en Aceptar y obtendrás el resultado que observas en la figura 59.1. Para el cálculo de las combinaciones, debes realizar un proceso similar, solamente con un cambio: en lugar de Estadística en la barra Herramientas, elige la opción Combinat dentro de la categoría Matemáticas y trigonometría.

PERMUTACIONES PERM MUTACIONES

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B

C

=PERMUTACIONES (7;4) D E

Pensamiento crítico y resolución de problemas

3.

La jaula de arranque de un hipódromo tiene diez puestos. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar diez caballos en las jaulas para una competencia?

4.

Todos los participantes deben jugar contra un oponente en la primera jornada de ajedrez. Si hay 20 participantes, ¿de cuántas maneras se pueden formar las distintas parejas de oponentes?

5.

Un publicista que utiliza en sus campañas autos deportivos está contemplando la posibilidad de utilizar tres autos distintos. ¿Cuántas selecciones posibles puede organizar de un grupo de 9 autos deportivos distintos?

6.

Treinta colegios participan con su proyecto educativo para lograr financiación estatal. Si solamente se les asignan recursos a los tres primeros puestos, ¿de cuántas maneras puede ocurrir la asignación si es justa?

7.

Hay 10 puntos en un plano, de los cuales cualquier grupo de tres puntos no son colineales. ¿Cuántos triángulos se pueden trazar?

G

PERMUTACIONES ((7;4) Argumentos A Argu men entto os de fu función PERMUTACIONES PERMUTA PERM UTACIO ONES O Número

=7

T Tamaño ñ

=4 = 840

Devuelve el número de permutaciones para un número determinado de objetos que pueden ser seleccionados de los objetos totales.

Tamaño es un número de ojetos en cada permutación. Aceptar

Cancelar

Figura 59.1

Resumen Arreglo de n elementos seleccionados de un conjunto de m elementos

Ordenada: Permutación

Con repetición: mn

No ordenada: Combinación

Sin repetición: m! P ( m, n) = ( m − n )!

Sin repetición: ⎛ m ⎞ m! ⎜⎝ n ⎟⎠ = ( m − n )! n!

310

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Estadística y probabilidad

Tema

60 Probabilidad

Pensamiento

aleatorio

Ideas previas Se va a elegir una comisión de 6 personas de un grupo de 13. ¿De cuántas formas diferentes se puede seleccionar este prupo?

Los resultados de un experimento aleatorio forman un conjunto llamado espacio muestral. Los subconjuntos del espacio muestral se llaman eventos o sucesos, y aquellos que tienen un solo elemento se llaman eventos simples. La probabilidad de un evento se calcula hallando el cociente entre el número de resultados favorables y el número de resultados posibles. Si A es un evento de un número de resultados favorables . espacio muestral entonces: P ( A) = número de resultados posibles Ejemplo 1

En un grupo de estudiantes hay 4 hombres y 6 mujeres. Se van a escoger dos individuos para que representen el grupo. a. b.

¿Cuál es la probabilidad de que los dos elegidos sean hombres? ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los elegidos sea una mujer y el otro sea un hombre?

Solución

En esta situación, el orden en que los representantes sean elegidos no es relevante, ⎛ 10 ⎞ por tanto, en los dos casos el número de casos favorables es: ⎜ = 45 , es decir, ⎝ 2 ⎟⎠ hay 45 parejas posibles que pueden representar al grupo.

En qué se aplica El concepto de probabilidad nació de la necesidad del hombre por conocer la certeza en eventos de juegos de azar. Actualmente, es utilizada en diversas disciplinas, en conjunto con la computación, en métodos que disminuyen los márgenes de error en los cálculos de conteo.

a.

Para el evento A: “los representantes son ambos hombres”, el número de ca⎛ 4 ⎞ sos favorables (que se seleccionen hombres) es ⎜ = 6 . Por tanto: ⎝ 2 ⎟⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ P ( A) = = 6 = 0,13 ≈ 0,1334 = 13,34% . ⎛ 10 ⎞ 45 ⎜⎝ 2 ⎟⎠

b.

Para el evento C: “los representantes son una mujer y un hombre”, el número ⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞ = 4 × 6 = 24 (hemos utilizado el prinde casos favorables es: ⎜ ⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ cipio de multiplicación). Por tanto: ⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ P (C ) = = 24 = 0,53 ≈ 0,5334 = 53,34% . 45 ⎛ 10 ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

Si A y B son eventos en un espacio muestral tales que A ∩ B = ∅, entonces A y B se denominan eventos mutuamente excluyentes, disyuntos, o incompatibles. En este caso: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 311

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Para recordar El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal y no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC.

Ejemplo 2

Una urna tiene 20 balotas iguales que se distinguen únicamente por su color: 4 rojas, 6 negras y 10 amarillas. De la urna, se saca al azar una balota. ¿Cuál es la probabilidad de que se saque una balota negra o una balota amarilla? Solución

⎛ 20 ⎞ = 20 . El número de casos posibles de sacar una balota es ⎜ ⎝ 1 ⎟⎠ El evento “sacar una balota negra o una balota amarilla” es la unión de los dos eventos disyuntos N: “sacar una balota negra”, A: “sacar una balota amarilla”. Entonces, P(N ∪ A) = P(N) + P(A), por tanto... ⎛ 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ 6 10 16 80% P ( N ∪ A) = + = + = = . 20 20 20 ⎛ 20 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ Si A es un evento de un espacio muestral, entonces, P(AC) = 1 − P(A). Ejemplo 3

Una empresa fabrica motores para avionetas. Los motores se clasifican en modelo E1 o modelo E2. De un lote de producción de 20 motores, se sabe que 12 son motores modelo E1. Si se selecciona al azar un grupo de 8 motores, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren 3 o más motores modelo E1? Solución

⎛ 20 ⎞ 20! = 125 970 . = El número de casos posibles es ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ 8!12! Sea el evento A: “3 o más motores seleccionados son motores modelo E1”, entonces, el evento complemento de A es Ac: “menos de 3 motores seleccionados son modelo E1”. P(Ac) = P(2 motores seleccionados son modelo E1) + P(1 motor seleccionado es modelo E1) + P(ningún motor seleccionado es modelo E1). Por tanto... ⎛ 12⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 12⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 12⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 12⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 12⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 12⎞ ⎛ 8⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 6⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 6⎟⎠ + ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ + ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 8⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 8⎟⎠ c + + P(A ) = = ⎛ 20⎞ ⎛ 20⎞ ⎛ 20⎞ ⎛ 20⎞ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ P ( Ac ) =

66 × 28 + 12 × 8 + 1 × 1 = 1945 ≈ 0,01544 . 125 970 125 970

Entonces, P(A) = 1 − P(AC) = 1 − 0,01544 = 0,98456, lo que significa que la probabilidad de hallar “3 o más motores seleccionados con motores modelo E1” en una muestra de tamaño 20 es aproximadamente del 98,46%.

312

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Desarrolla competencias Razonamiento lógico

1.

d. dos de ellas tengan suscripción satelital y la otra no tenga suscripción alguna. e. dos de ellas tengan suscripción por cable y la otra tenga suscripción satelital.

Se van a repartir los premios entre un grupo de 7 estudiantes (4 mujeres y 3 hombres). Ten en cuenta que se presentan dos situaciones. (I) Los premios son iguales.

4.

(II) Los premios son diferentes. Ahora, encuentra la probabilidad de que a.

dos premios sean para las mujeres y uno para los hombres.

b.

dos premios sean para los hombres y uno para las mujeres.

c.

los tres premios sean para las mujeres.

Pensamiento crítico y resolución de problemas

5.

d. los tres premios sean para los hombres. 2.

Se selecciona al azar un número de cuatro cifras. Permitiendo repeticiones y sin permitir repeticiones, ¿cuál es la probabilidad de que el número seleccionado sea divisible por 5?

3.

Se entrevistaron 20 personas para indagar sobre el tipo de televisión al que estaban suscritas. Los resultados de las entrevistas fueron los siguientes: 8 tienen suscripción por cable; 3, suscripción satelital; y 9 no tienen ningún tipo de suscripción. Cada uno de los entrevistados tiene únicamente un tipo de suscripción o no tiene suscripción alguna. Se seleccionan al azar tres personas. Calcula la probabilidad de que a.

las tres personas no tengan ningún tipo de suscripción.

b.

las tres personas tengan suscripción por cable.

c.

las tres personas tengan suscripción satelital.

Los billetes de una lotería tienen cuatro dígitos y una serie de dos letras del alfabeto español. Si un individuo compra un billete de la lotería, ¿cuál es la probabilidad de que se gane el premio mayor?

Un centro de cómputo genera de forma aleatoria la clave de acceso (password) de cada usuario. Si la clave consta de 6 caracteres elegidos al azar entre las 26 letras y los 10 dígitos, halla la probabilidad de que la clave a. no contenga ningún dígito. b. no contenga ninguna letra. c. empiece por letra y termine en dígito. d. empiece por dígito y termine en letra. e. tenga todos sus caracteres diferentes. Olimpiadas

Matemáticas

6.

Ocho tarjetas numeradas del 1 al 8 se colocan en las cajas I y II, de tal manera que las sumas de los números de las tarjetas en cada caja sean iguales. Si en la caja I hay tres tarjetas, entonces, siempre se puede asegurar que a. 3 tarjetas de la caja II tienen números impares. b. 4 tarjetas de la caja II tienen números pares. c. la tarjeta con el número 1 no está en la caja II. d. la tarjeta con el número 2 está en la caja II.

Resumen Los resultados de un experimento aleatorio forman un conjunto llamado espacio muestral. Los subconjuntos del espacio muestral se llaman eventos y cuando estos tienen un solo elemento, se llaman simples. La probabilidad de un evento se calcula hallando el cociente entre el número de casos favorables (cantidad de elementos del evento) y el número de casos posibles (cantidad de elementos del espacio muestral). Si A y B son eventos disyuntos, entonces, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Si A es un evento de un espacio muestral, entonces, P(Ac) = 1 − P(A). 313

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Evalúa tus

competencias

Competencias en el Manejo de la información

El premio Rosa de los vientos es el reconocimiento que, desde 1998, se otorga a los mejores lugares del turismo en Colombia. Entre los opcionados de este año, se encuentra uno de los parques de diversiones de mayor acogida en la ciudad de Bogotá. Por eso, su gerente está realizando una serie de encuestas que le permitan tener una visión controlada de lo que ocurre en el parque. Veamos algunos de los resultados obtenidos en un fin de semana.

Interpretación y representación La tabla 8.1 contiene información del número de visitantes entre los 11 y 40 años que asistieron en uno de los fines de semana de las vacaciones pasadas. Marca Frecuencia Frecuencia Frecuencia de absoluta acumulada relativa clase 13

20

20

0,18

16-20

18

35

55

0,32

21-25

23

16

71

0,15

26-30

28

17

88

0,15

31-35

33

13

101

0,12

36-40

38

9

110

0,08

2.

40 35 30 25 20 15 10 5 0 11-15

16-20

21-25

26-30

31-35

36-40

Años

Figura 8.1

3.

Con base en la información suministrada en la tabla 8.1, es falso afirmar que a. el 32% de las personas que ingresaron al parque durante el fin de semana están entre los 16 y los 20 años. b. 110 personas entre los 11 y 40 años ingresaron al parque durante ese fin de semana. c. la minoría de las personas que ingresaron al parque ese fin de semana están entre los 36 y 40 años. d. 88 personas que ingresaron al parque ese fin de semana están entre los 26 y 30 años. ¿Qué representa la figura 8.1 teniendo en cuenta la información de la tabla 8.1? 314

La figura 8.2 muestra la estatura de las personas que montaron en un fin de semana en la atracción más visitada del parque, la montaña rusa para niños. Distribución de las estaturas de los usuarios de la montaña rusa para niños

Cantidad de niños

11-15

Tabla 8.1

1.

Cantidad de personas

Edad de los visitantes

Distribución de edades de los visitantes del parque

80 70 60 50 40 30 20 10 0

90

102

114

126

138

150

Estatura (cm)

Figura 8.2

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Completa la tabla 8.2 con base en la información anterior. Estatura (en cm)

Marca Frecuencia de clase absoluta

[90, 102)

30

[102, 114)

108

[114, 126)

120

Frecuencia acumulada 30

¿Cuántas formas diferentes tiene un visitante para escoger una atracción de cada tipo? 6.

En el parque, hay 2 lugares para comer pollo, 3 para comer pizza y 5 para comer hamburguesa, ¿cuántas opciones tiene un visitante para comer?

7.

Ana y sus 5 amigos desean subir al primer vagón de la montaña rusa. Si cada vagón tiene 3 puestos y desean conocer cuántas posibilidades tienen para subir al primer vagón, deberán utilizar una ______.

8.

En la atracción llamada La barca, las personas son penduladas a 1,50 m de altura. Si está formada por 6 puestos ubicados uno tras otro, ¿de cuántas formas diferentes se pueden acomodar 6 personas?

85 70

132 [138, 150]

10

190 Tabla 8.2

4.

Se puede concluir de la tabla 8.2 que el número de menores de edad encuestado fue ______.

9.

Razonamiento y argumentación 5.

Formulación y ejecución

Lee la información de la tabla 8.3. Atracciones Extremas La barca Montaña rusa

Familiares

Destreza

Carros chocones Mete gol Carrusel Bolos Botes Lanza y gana Rueda de la fortuna Casa de vidrio Tabla 8.3

Punto

Uno de los juegos de destreza se llama Balota de colores que consiste en sacar de una bolsa que contiene 8 balotas de colores 2 del mismo color en 2 oportunidades seguidas. Esto se debe hacer sin devolver la primera balota a la bolsa. Si la bolsa contiene 3 balotas rojas, 2 verdes y 3 azules, ¿cuál es la probabilidad de sacar seguidas dos balotas verdes?

10. El premio Rosa de los vientos incluye todos los sitios de turismo que hay en el país y este año los opcionados son 30. ¿Cuál es la probabilidad de que el galardonado sea un parque de atracción si se sabe que dentro de los opcionados hay 4 parques más?

Desempeño

Sí

1.

Interpreto información presentada en una tabla.

2.

Identifico el diagrama que representa información dada en tablas.

3.

Interpreto información presentada en diagramas.

4.

Concluyo ideas a partir de información dada.

5.

Diferencio el principio de la multiplicación del de la adición y lo empleo en la solución de un problema.

6.

Diferencio el principio de la adición del de la multiplicación y lo empleo en la solución de un problema.

7.

Diferencio una combinación de una permutación.

8.

Diferencio una permutación de una combinación y la calculo.

9.

Resuelvo una situación problema que involucra la probabilidad de un evento.

10.

Resuelvo una situación problema que involucra la probabilidad de un evento.

No

De 10 puntos obtuve bien ____.

315

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Prueba Competencias en el Manejo de la información

Encuentra la respuesta correcta entre las opciones A, B, C y D. Márcala en la hoja de respuestas, rellenando completamente el recuadro correspondiente. Una empresa de comunicaciones desea ofrecer planes de minutos destinados a jóvenes entre 16 y 20 años. Para saber cuál debería ser la cantidad de minutos del plan, analizan la duración de las llamadas en determinados intervalos. Esta información se resume en la tabla 4.1. Duración (minutos)

Frecuencia

Hasta 5

100

(5, 10]

180

(10, 15]

70

(15, 20]

40

(20, 25]

10

Un gato de raza persa entre uno y cuatro años se considera en sobrepeso si su masa es superior a 6 kg. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. El 12% de los gatos del estudio están en sobrepeso. B. El 60% de los gatos del estudio están en sobrepeso. C. Menos del 5% de los gatos del estudio están en sobrepeso. D. El 70% de los gatos del estudio no están en sobrepeso.

Tabla 4.1

La información de la tabla permite concluir que A. el número de llamadas con duración de 10 a 25 minutos (inclusive 25) es mayor que el número de llamadas con duración de 10 minutos como límite. B. más de la mitad de las llamadas duran hasta 5 minutos. C. el 75% de las llamadas duran más de 5 minutos. D. la quinta parte de las llamada duran hasta 10 minutos. 2.

Un equipo de veterinarios registró la masa de 50 gatos con edades entre uno y cuatro años para estudiar fenómenos de sobrepeso en gatos de raza persa (ver tabla 4.2). Masa (kg)

Frecuencia

(0, 2]

5

(2, 4]

15

(4, 6]

24

(6, 8]

5

(8, 10]

1

3.

El gobierno local realizó una encuesta con el fin de calcular el monto de un subsidio familiar para una comunidad de 100 familias. Los resultados de la encuesta se muestran en la figura 4.1. Distribución de ingresos por familia

Números de familias

1.

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

200

400

600

800

Ingresos (en miles de pesos)

1000

Figura 4.1

El subsidio se asignará a las familias cuyos ingresos se encuentren en las clases con frecuencia relativa mayor o igual al 35%. El número de familias que recibirán el subsidio es A. 35. C. 75.

Tabla 4.2

316

B. 60. D. 90.

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4.

Un restaurante ofrece una opción de almuerzo de bajo precio con una serie de alternativas para proteína, acompañamiento y postre, que se pueden combinar según el gusto de los clientes. El restaurante ofrece lo siguiente: Proteína

Acompañamiento

Postre

Carne

Arroz

Helado

Pollo

Ensalada

Torta

Pescado

Papa

6.

Se tienen cinco libros de Matemáticas, tres de Historia y dos de Geografía. Se ubicarán en un estante, uno al lado del otro, tomando de a dos libros de cada materia, de tal forma que los libros queden juntos por materia sin importar cómo se ubiquen.

Fruta Tabla 4.3

Si una persona puede escoger una proteína, dos acompañamientos diferentes y un postre, ¿cuántas opciones de almuerzo de bajo precio ofrece el restaurante? A. 36 B. 56 C. 64 D. 72 5.

¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar los libros en el estante? A. 6 C. 108 7.

Para mejorar la seguridad en transacciones electrónicas, un banco solicita a sus clientes escoger una clave que cumpla algunas condiciones: tener 4 caracteres, iniciar con una letra (de 26 posibles) y continuar con tres dígitos diferentes.

B. 30 D. 180

Se realizarán dos sorteos para entregar premios en un evento. Cada sorteo se realizará con dos bolsas de balotas: una de las bolsas tendrá balotas con números del 1 al 31; la otra, con los meses del año. Cada participante deberá tomar una balota de cada bolsa y el ganador será aquel que cumpla años el día y el mes que indiquen las balotas. Si se toman dos balotas que forman una fecha inexistente, se podrán tomar otras balotas. Si se asume que no hay dos personas que cumplan el mismo día, ¿cuál de las siguientes opciones le daría a una persona mayor probabilidad de ganar alguno de los sorteos? A. Permitir que todas las balotas jueguen en ambas bolsas después del primer sorteo B.

¿Cuántas claves pueden existir que inicien con una vocal y estén compuestas solo de dígitos pares? A. 125 B. 300 C. 625 D. 15 625

Permitir que jueguen todas las balotas en la bolsa de meses e incluir la balota ganadora de los días después del primer sorteo

C. Permitir que jueguen todas las balotas en la bolsa de días, pero excluyendo la balota ganadora de los meses después del primer sorteo D. Excluir las balotas ganadoras de cada bolsa después del primer sorteo 317

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8.

Los dados se usan con frecuencia en los juegos de mesa para avanzar o definir situaciones. En la figura 4.2, se muestran todos los posibles resultados que se obtienen al lanzar dos dados.

Figura 4.2

En un juego de dados entre dos personas, el ganador será aquel que luego de lanzar los 2 dados obtenga el número mayor de la suma de los números de las caras obtenidas. Si uno de los jugadores obtiene 8 en su lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que gane el otro jugador? A.

9.

5 13

B.

5 18

C.

Un juego muy popular en los casinos es la ruleta. Este juego consiste en arrojar una bolita en una ruleta en movimiento que tiene, por lo general, 37 espacios con los números del 0 al 36. Los números están desordenados. Uno de los espacios tiene color verde y los demás, color negro o rojo, tal como se muestra en la figura 4.3.

15 36

D.

10. El diagrama de árbol de la figura 4.4 muestra la probabilidad de sacar dos prendas de vestir de color rojo (R) o blanco (B). 3 5

2 5

Si se obtiene un premio mejor entre menos probable sea el evento, ¿con cuál de las siguientes jugadas se obtiene el mejor premio? A. B. C. D.

Apostando al rojo Apostando a que el número es par Apostanto a que el número es primo Apostando a un número específico

B

B 3 5

Figura 4.3

15 18

2 5 3 5

R B

R 2 5

R

Figura 4.4

Describe cómo usarías la información de la figura 4.4 para hallar la probabilidad de que las dos prendas sean del mismo color. ¿Cuál es dicha probablidad? 13 25 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________

318

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Formato de respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

A ✗

A

A ✗

A

A

A ✗

A

A

B

B

B

B

B ✗

B

B

✗B

B

C ✗

C

C ✗

C

C

C

C

C

C

D

D

D

D

D

D ✗

D

D

D ✗

Punto

Desempeño

Competencia

Conocimiento

1.

Interpreto información de tablas de frecuencias.

Razonamiento y argumentación

Genérico

2.

Infiero información de tablas de frecuencias.

Interpretación y representación

Genérico

3.

Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos representados gráficamente.

Formulación y ejecución

Genérico

4.

Resuelvo situaciones usando principios de conteo.

Formulación y ejecución

Genérico

5.

Resuelvo situaciones usando principios de conteo.

Formulación y ejecución

Genérico

6.

Analizo y escojo estrategias de conteo para solucionar situaciones.

Formulación y ejecución

No genérico

7.

Uso modelos para discutir la posibilidad de ocurrencia de un evento.

Razonamiento y argumentación

No genérico

8.

Calculo la probabilidad de ocurrencia de un Formulación y evento a partir de información dada. ejecución

No genérico

9.

Uso modelos para discutir la posibilidad de ocurrencia de un evento.

Razonamiento y argumentación

Genérico

10.

Describo un método para calcular la probabilidad de un evento a partir de información dada.

Formulación y ejecución

No genérico

Correcta

No correcta

De 10 puntos obtuve bien ____.

319

'HUHFKRVUHVHUYDGRV&DUYDMDO6ROXFLRQHV(GXFDWLYDV6$63URKLELGDVXFRSLDUHSURGXFFLyQ\GLVWULEXFLyQ

Glosario A Ángulos alternos externos: dos ángulos externos a dos rectas, no adyacentes, ubicados en distinto lado respecto a una transversal. Ángulos complementarios: dos ángulos cuyas medidas suman 90°.

H Histograma: gráfico en forma de barras de una característica estadística que se ha resumido en intervalos, de forma que la altura de las barras en cada intervalo indica la frecuencia relativa en ésta. I

B Bisectriz de un ángulo: rayo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. C Cocientes notables: cocientes que pueden ser escritos sin efectuar la división. Son cocientes exactos. Combinación: número de arreglos de determinado tamaño que se pueden obtener de un conjunto, sin que el orden importe. Cubos perfectos: binomios en los que los términos tienen raíz cúbica exacta. D Definición: enunciado de las propiedades más características de un objeto, mediante las cuales se les puede identificar y diferenciar de otros. Desigualdad: relación matemática de orden que usa los signos >,