Avance_ Aportes_JUAN SNAIDER VILLANUEVA.docx

1. El siguiente esquema muestra un sistema de control de posición con realimentación de velocidad.

Figura 1. Diagrama de bloques.

  = 3 ∗  ∗   = 0.8  ∗∗ ∗ ∗ =0. 7 ⁄    Donde

 y

Determinar los valores de la ganancia K y la constante de realimentación de velocidad Cv con el fin de que el sistema tenga un coeficiente de amortiguamiento  y un tiempo de establecimiento de 3 segundos. Una vez se tengan dichos valores, calcular todos los demás parámetros del análisis dinámico del sistema en lazo cerrado ante entrada escalón unitario y con ellos diligenciar la siguiente tabla:

Parámetro Función de transferencia

Coeficiente de amortiguamiento (ζ)  Frecuencia natural no amortiguada Frecuencia natural amortiguada Posición de los polos en lazo cerrado

Ganancia en lazo cerrado Factor de atenuación (σ)  Sobreimpulso Tiempo pico Tiempo de subida Tiempo de establecimiento Valor final Error en estado estacionario

3. 6 26  + 2.66 + + 3.626  == 1.11.1..3333 + 2.2.3416 33441616  1 1.566 Valor

0.7 1.9 1.356

1.333 4% 2.315 s  s 3.14 s 1

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Tabla 1. Tabla de respuestas vacía, punto 1. Cada parámetro se debe demostrar matemáticamente para poder validarse en la calificación del trabajo colaborativo y se debe mostrar el proceso de reducción del diagrama de bloques para llegar a la función de transferencia explicando cada paso. R. Resolución del diagrama de bloques.

Partiendo de un sistema que se compone de dos retroalimentaciones, el primer paso a realizar es simplificar el subsistema que se encuentra en el área sombreada de la figura 2, con el fin de simplificar el diagrama y llegar a una función de transferencia.

Figura 2. Sombreado del subsistema a simplificar. Para este procedimiento se aplica la ecuación:

 = 1 +  1 Donde E(s) es la entrada de datos del subsistema, M(s) es la respuesta del subsistema, G(s) es la ecuación matemática de lazo superior y a la que se le ingresa el error producto de la diferencia de la entrada y la retroalimentación del

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Y simplificando (2) …

 +  2   = 1  + ∗  +    =  +  +  ∗  3

Obtenida la ecuación resultante del primer subsistema el diagrama de bloques se modifica de la siguiente forma:

Figura 3. Diagrama de bloques simplificado.

La figura 3 expone un sistema de lazo cerrado con una operación de bloques en el lazo superior. se ejecuta la operación y el diagrama de bloques se modifica se la siguiente manera:

Figura 4. Diagrama de bloques.

Se obtiene por consiguiente un sistema en lazo cerrado con retroalimentación negativa. La forma de romper este lazo y transformarlo en un sistema en lazo abierto se ejecuta haciendo uso de la ecuación (1). Por lo que daría como

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Simplificada…

  =   + +∗  +∗ ∗  4  1 +  + +∗ ∗  ⁄   =  +∗ 5  ∗    +   +  

Obteniéndose un diagrama de bloques final y la función de transferencia del sistema.

Figura 5. Diagrama de bloques final.

Culminado el proceso de identificación de la función de transferencia del sistema lo siguiente a realizar es hallar las variables incógnitas que la componen con ayuda de los parámetros de la gráfica en la que se evidencie la respuesta al escalón unitario. Sin embargo, en este caso no se posee tal esquema y se parte de los valores de coeficiente de amortiguamiento  y Setting time o tiempo de establecimiento de la señal = 3s. Con estos parámetros se recurre al modelo matemático de sistemas dinámicos de segundo orden:

=0. 7  =  +2+   6

Como ambas son funciones de transferencia de orden 2, es posible igualar el modelo estándar con la función de transferencia del sistema local sin generar error alguno:

⁄  =   7  =  +2+   = +∗  ∗    

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

  =  8  2= +∗   9 Según la ecuación (8) para hallar K lo único que hace falta es encontrar el valor del cuadrado de la frecuencia natural no amortiguada Wn por lo que para conocer este valor se debe recurrir a las ecuaciones que rigen los parámetros gráficos de un sistema dinámico de segundo orden:

Dónde:

 σ    

 =   =− (σ) σ=  =  =  1     =    ∗ −  =      = 4 

= Rise Time o Tiempo de levantamiento. = Factor de atenuación.  = Frecuencia natural amortiguada. = Time to Peak o tiempo de máxima respuesta. = Overshoot o sobrepaso. = Setting Time o Tiempo de establecimiento.

10 11 12 13 14 15 16

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

(16) y luego emplear la ecuación (12) para encontrar el valor de la frecuencia natural no amortiguada y luego hallar K con ayuda de la ecuación (8).

 = 4 = 34 =1.333 17 =  =  = 1.0.3337 =1.9 18 =∗ =3∗ =10.878 19

Una vez encontrada la incógnita de ganancia K es posible encontrar la variable referente a la constante de realimentación de velocidad Cv empleando la ecuación (9).

=  = 6∗∗    =0.660 20

Encontrados los valores de las incógnitas es posible construir la función de transferencia con los valores fijos reemplazando en la ecuación (5) y visualizar su respuesta al impulso con ayuda del software Matlab, verificando que los parámetros iniciales se cumplan.

 =  + 2.63.66+26+ 3.626  21

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Figura 5. Respuesta al escalón unitario de la función de transferencia. Se evidencia un sistema subamortiguado y un tiempo de establecimiento con un error de 4.6% (0.14) en comparación con el dato inicial. Continuando el desarrollo del Ítem, se procede a encontrar los demás parámetros haciendo uso de las ecuaciones que rigen sistemas dinámicos de segundo orden: Frecuencia Natural amortiguada:

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Tiempo de levantamiento:

=− (σ)= − (1.0.3157 )=1.081 25  =  = 1.1.315081 =1.566

Posición de los polos en lazo cerrado.

Se le aplica una retroalimentación negativa unitaria tomando como ejemplo la ecuación (1).

 =    = 1+  +    26  =  + 2.66 +3.+6326.626 + 3.626 =  + 2.3.666+26+ 7.252  27

Se utiliza la ecuación cuadrática para hallar las raíces del sistema. Como se trata de un sistema subamortiguado se espera que sus raíces sean imaginarias conjugadas.

  ±√ 4∗∗ 2. 6 6±  6± 2.  2. 6 6 4∗1∗70252    = 2∗ =   28 2∗1

Despejando la ecuación (28) se logra obtener el valor de las raíces del sistema en lazo cerrado con retroalimentación negativa unitaria.

 = 1.1.33 + 2.3416 

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Figura 6. Diagrama de Zeros y Polos del sistema en lazo cerrado.

Valor Final.

Siguiendo la ecuación respectiva del valor final:

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Error en estado estacionario.

El error de régimen permanente es un aspecto muy recurrente en sistemas dinámicos, debido a que ningún sistema esta exento por completo a ello. Para el cálculo se parte de la ecuación del error en un sistema en lazo cerrado:

 = 1 + ∗  29

Donde R(s) es la entrada del sistema, E(s) el error producto de la diferencia que se ejecutó con la retroalimentación, G(s) el bloque que se encuentra en el lazo superior del sistema y H(s) el bloque que se encuentra en el lazo inferior. Esta ecuación se le debe ingresar el valor de la entrada, en este caso una función escalón unitario. Esta señal debe cambiar su representación al ser operada con la transformada de Laplace dando como resultado:

 = ;  = 1⁄ 30

posteriormente debe ingresarse en la ecuación de Error de régimen permanente o error en estado estable, lo cual es la ecuación (29) sometida a un límite cuando t tiende a infinito, debido a que se trabaja en representación (s) y no en (t) se le aplica transformada de Laplace al límite y se obtiene el límite cuando S tiende a 0.

=→ 1 + ∗∗  31 1  ∗ =→ 1 + ∗  32

Con la entrada escalón unitario:

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

La ecuación (33) se despeja y el valor del error en estado estacionario es: