Autovalores y Autovectores

 

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA IV

Reporte de Direcciones #6 Autovalores y Autovectores

Autor: Bello, E.

Tutor:  González, M.

Caracas, septiembre del 2019.

 

INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene como finalidad la introducción a el tema de autovalores y autovectores, así como a todos sus subtemas. La importancia acá radica en expresar lo aprendido dentro de la universidad, ponerlo en uso y compararlo con lo encontrado en intern int ernet, et, media mediante nte div divers ersas as págin páginas as que ref refue uerce rcenn el conoci conocimie miento nto ex exist isten ente te y me expandan a nuevas áreas y perspectivas.  Buscar estas nuevas fuentes de conocimiento refuerza lo importante que es no quedarse solamente con lo conocido o lo que nos dio la profesora, lo importante es  buscar una mejor compresión por medio de la gran herramienta que es la internet. El  buscar nuevas nuevas fuentes que explique expliquenn lo que se supone que ya estaba estaba aprendido desa desafía fía a los alumnos a probar sus conocimientos en el tema y al mismo tiempo encontrarse con nuevos detalles que sin este trabajo exhaustivo de buscar nuevas fuentes no serían  posibles.  

Este reporte comprende entonces el contenido de autovalores y autovectores, sus  propiedades y métodos de cálculo, en dónde se encuentra el concepto y definición de autovalores y autovectores el cual es: Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar λ ∈ K (= R o C) es un autovalor de A si existe un vector v ∈ Km, v = 0 tal que Av = λv, en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado al autovalor λ. Encontraremos también sus operaciones, propiedades y ejercicios, junto con un resumen y conclusión de lo que mi persona comprende sobre este tema.

 

DIRECCIONES TEÓRICAS

1) AUTO AUTOVALO VALORES RES Y AUT AUTOVEC OVECTORE TORES, S, UNIV UNIVERSI ERSIDAD DAD DE SE SEVILL VILLA A

Recuperado el 20 de septiembre de 2019 de: http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/13554835 http://www.matematicaaplicada2.es/da ta/pdf/1355483599_178951693 99_1789516930.pdf  0.pdf  En esta página nos encontramos con una información bastante completa para lo que es el tema de autovalores y autovectores debido a que hace una explicación de los subtemas de los autovalores y autovectores incluyendo todo lo que es su definición,  propiedades, matrices diagonalizables, diagonalizables, matrices no diagonalizables, ecuación clase y su resumen de todo en general, hasta diferentes tipos de ejercicios para comprender mejor  la teoría.  Nivel de dificultad: considero que en la parte teórica tiene una dificultad relativamente fácil, debido que todo está explicado de manera concisa y sencilla, y en la  parte de los ejercicios ejercicios se subió un poco más eell nivel dificultad. Valor agregado al tema de estudio: es alto, debido a que considero que la página  posee un contenido de autovalores y autovectores bastante completo, por lo cual logra su objetivo de enseñar este tema, y no solamente está completo y conciso, sino que usa una información bastante acertada. Aporte al aprendizaje: mi aprendizaje personal fue alto debido que es la primera  página que visito y siento que en el resto no encontrare la información tan completa,  pero al mismo tiempo puedo asegurar que fue alto porque su manera sencilla de expresar las definiciones y teorías con sus ejercicios fue muy precisa.

2) AUT AUTOVA OVALOR LORES ES Y AUT AUTOVE OVECTO CTORES RES Recuperado el 21 de septiembre de 2019 de: http://www.fisica.unlp.edu.ar/Members/rossigno/notas9-16.pdf  http://www.fisica.unlp.edu.ar/Members/ross igno/notas9-16.pdf 

 

En esta dirección web la información publicada es mucho más amplia que las otras páginas, trata más que todo aspectos teóricos del tema y se extiende mucho explicando todas las posibles derivaciones del mismo. Las notaciones que usa son mucho más científicas y usa demostraciones más serias de las que pudimos ver en la dirección anterior. Lo único fácil de entender es el ejercicio que usan porque realmente es muy sencillo.  Nivel de dificultad: tiene un nivel de dificultad bastante alto puesto que es  bastante técnico a la hora de presentar la información, no es tan fácil de comprender y tiende a confundir. Valor agregado al tema de estudio: el valor agregado al tema es alto, debido que es una información bastante completa y precisa, a pesar de lo técnica que la explicación  proporcionada por la página web puede llegar a ser. Así que podría servir como una  página especializada, especializada, dond dondee se podría enc encontrar ontrar detalles impo importantes rtantes del tema. Aporte al aprendizaje: mi aprendizaje de esta dirección no fue muy grande,  puesto que tenía muchísimas definiciones que no había visto antes, pero al estar   plasmado de manera tan comp compleja leja se me hizo difícil su comprensió comprensión. n.

3) PR PROB OBLE LEMA MAS S RE RESU SUEL ELTO TOS: S: DI DIAG AGON ONAL ALIZ IZAC ACIÓ IÓN N DE MATR MATRIC ICES ES.. FORMAS CUADRÁTICAS Recuperado el 21 de septiembre de 2019 de: http://www.cartagena99.com/recursos/mate http://www.cartagena99 .com/recursos/matematicas/apuntes/D maticas/apuntes/Diagonalizacion.p iagonalizacion.pdf  df  En la página web podemos ver un material sobre una resolución de un ejercicio, en don donde de primer primeroo se resuel resuelve ve la ec ecuac uación ión car carac acter teríst ística ica,, luego luego el subes subespac pacio io de autovectores y por último la base de las soluciones.  Nivel de dificultad: el nivel de dificultad diría es medio, puesto que a pesar de estar todo bien representado personalmente a mí me cuesta ver lo teórico en lo práctico. Valor agregado al tema de estudio: el valor agregado de la página es alto, debido a que el ejercicio esta expresado de una manera muy ordenada, en comparación con las  páginas visitadas visitadas anteriormente, lo que permite su rá rápida pida captación captación..

 

Aporte al aprendizaje: considero que el aprendizaje fue bastante alto, ya que al momento de repasar las propiedades antes vistas y lograr aplicarlas en lo que es el tema de los autovalores y autovectores no se me dificultó. Por otra parte, el ejercicio que incluye la página fue bastante instructivo, lo cual me hizo comprender mejor el tema.

4) AU AUTO TOVA VALO LORE RES S Y AU AUTO TOVE VECT CTOR ORES ES DE UNA UNA MATR MATRIZ IZ Y DE UNA APLICACIÓN LINEAL, UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID Recuperado el 26 de septiembre de 2019 de: https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/we https://www.uam.es/personal_pdi/eco nomicas/portega/web-algebra/capitulob-algebra/capitulo5/teoria5-1/5-1-autovectores.htm En esta página nos encontramos nuevamente con la explicación de que es el subespacio, autovalores y autovectores, y luego procede a explicar la resolución de un ejercicio definiendo sus teorías. Adicionalmente, explican el concepto de la operación y luego proceden a realizar un ejercicio bastante autoexplicativo de cómo se resuelven este tipo de operaciones de manera de dar una guía para ejercicios a futuro.  Nivel de dificultad: la dificultad de esta página no es mayor debido a que no se adentra demasiado en ejercicios difíciles, lo mantienen simple de manera que todos  puedan entender entender lo básico ppara ara aplicarlo en ca casos sos futuros. Valor agregado al tema de estudio: como valor agregado de la página, suministró herramientas que me permitieron tener unacomprensión mínima y necesaria de las operaciones que hay que realizar para resolver este tipo de ejercicio en matrices de una manera sencilla y didáctica. Aporte al aprendizaje: respecto al aprendizaje, pienso que sería la comprensión de las operaciones más sencillas, tuve un buen entendimiento de los procedimientos al seguir para resolver estas operaciones.

5) AUTOVALORES.

DIAGONALIZACION.

APLICACIONES

EMPLEANDO SISTEMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO. Recuperado el 28 de septiembre de 2019 de: http://www.edutecn http://www.edutecne.utn.edu.ar/auto e.utn.edu.ar/autovalores/Autovalores. valores/Autovalores.pdf  pdf 

 

La página web se presenta como un trabajo de investigación, la cual trata de mayorm may orment entee exp explic licar ar el tem temaa de autova autovalor lores es y au autov tovect ectore oress de una manera manera más compresible y extensa con aplicaciones para un mejor entendimiento.  Nivel de dificultad: encuentro a esta página bastante compleja, puesto que da ejercicios y aplicaciones bastante más difíciles de los que vi en otras páginas. Valor agregado al tema de estudio: el valor agregado del material suministrado  por la pagina dirí diríaa que es alto, debido a que los ejercicios son ejercicios bastante más complicados y siento que cubren de manera extensiva todas las posibles operaciones o  problemas que se pueden ppresenciar resenciar resolvie resolviendo ndo este tipo de ejercicio. Aporte al aprendizaje: mi aprendizaje respecto al tema es mayor debido a que ciertamente tratar con ejercicios de esa dificultad o al menos empezar a saber de sus exis existe tenc ncia ias, s, me hace hace abrir abrir lo loss ojos ojos a las las oper operac acio ione ness más más al allá lá de la lass bá bási sica cass o simplemente preguntarme cómo es que se resolverán estas incógnitas.

 

DIRECCIONES INTERACTIVAS 6)

VALO VA LORE RES S Y VECT VECTOR ORES ES PR PROP OPIO IOS S DE UNA UNA MATR MATRIZ IZ DE 3X3, 3X3, PROFESOR GALOIS  Recuperado el 28 de septiembre de 2019 de:  https://www.youtube.com/watch?v=Mr_gmPFZkUs El video trata de la resolución por autovalores y autovectores de una matriz 3x3,

 paso a paso explicando en todo momento las operaciones realizadas de una manera  bastante didáctica. didáctica.  Nivel de dificultad: el nivel de dificultad lo considero mediano, debido que a  pesar que es materia nueva, se explica de forma muy clara y concisa, tanto así que no deja espacio a dudas. Valor agregado al tema de estudio: el valor agregado del video radica en su explicación en temas que aún no hemos visto, pero ciertamente conciernen a los que es el tema como tal de matrices lo cual no se puede dejar a un lado ciertamente. Aporte al aprendizaje: mi aprendizaje definitivamente fue alto, debido a que es un nuevo tema, entonces podemos decir que se ampliaron mis horizontes al considerar  estas nuevas funciones para las matrices y saber qué tipo de cosas se pueden hacer con ellas.

7) ÁLGE ÁLGEBRA BRA VECT VECTORES ORES PR PROPIO OPIOS S DE UNA MATRIZ MATRIZ Recuperado el 28 de septiembre de 2019 de: https://www.youtube.com/wa https://www .youtube.com/watch?v=dUdS6a tch?v=dUdS6alENbY lENbY En este video podemos ver la resolución de una diagonalización de una matriz, en el cual se va explicando paso a paso de forma explícita, por ejemplo, el rol de los autovalores y los autovectores con el subespacio. Y de allí se procede a resolver el ejemplo explicando absolutamente todo en el ejercicio y dando concejos para las resoluciones de otros ejercicios a futuro.

 

 Nivel de dificultad: su nivel de dificultad es medio, proporcionó herramientas versátiles y no muy complejas. Valor agregado al tema de estudio: el valor agregado es medio, debido a que no es un ejercicio complicado de resolver, pero sirve para aclarar cualquier duda obvia o minúscula que se presente. Si uno comprende perfectamente lo ejercicios sencillos uno  puede resolver resolver cualquier ejercicio. Aportee al aprendiz Aport aprendizaje: aje: mi aprend aprendizaje izaje en este vide videoo fue alta, puesto puesto que aun  poseía algunas dudas con respecto a la resolución de este tipo de ejercicios y de esta manera siento que quedaron claras en su mayoría.

8) AUT AUTOVA OVALOR LORES, ES, AUT AUTOVE OVECTO CTORES RES,, DIAGO DIAGONAL NALIZA IZACIO CION N DE UNA MATRIZ 2X2 Recuperado el 28 de septiembre de 2019 de: https://www.youtube.com/watch?v=8GQALYeQgGc Una vez más vemos la resolución de una diagonalización de una matriz, pero en este caso de una 2x2 lo cual podemos decir que es mucho más fácil de las que hemos visto antes, pero necesaria porque uno siempre debe de ir de lo micro a lo macro para una mayor comprensión de los temas.  Nivel de dificultad: el nivel de dificultad es fácil por lo ya visto anteriormente,  pero aún es bueno de repa repasar. sar. Valor agregado al tema de estudio: como valor agregado pienso que a veces lo más sencillo es lo que más cuesta, y si no se está claro en lo más sencillo entonces no se  puede avanzar avanzar a las cosa cosass que tienen uunn mayor grado de dificultad. Aporte al aprendizaje: mi aprendizaje es medio, debido a que lo aprendido con respecto a estos ejercicios de diagonalizacion y autovectores y autovalores ya lo había visto.

 

RESUMEN GENERAL En estas páginas web se desarrollaron diversos temas en torno a autovalores y autovectores (que es el tema principal de este reporte de direcciones), así como también en base a diagonalización de una matriz y uno que otro ejemplo y ejemplo. Se puede observar que se mantuvo en promedio un nivel medio de comprensión durante la mayoría de las páginas, algunas mayores dificultades y otras con menores. Aunque en general se trataron los mismos temas, encontramos que son planteados desde diversas  perspectivas,, como fue en el caso de diago  perspectivas diagonalizaciones nalizaciones.. En su mayoría las páginas fueron más que todo teóricas, pero también con muchos ejemplos, considero que las mejores páginas fueron las interactivas puesto que te hacían pensar más e involucrarte más en el conocimiento que te podían aportar. En mi opinión las páginas que son didácticas e interactivas te dejan un mejor aprendizaje que las páginas que son únicamente teóricas. No obstante, las direcciones fueron bastantes fructíferas en general, y cumplieron con el objetivo que era profundizar el conocimiento del alumno y más aún, ofrecerle diferentes perspectivas del tema de las matrices con todos los subconjuntos ya nombrados antes de los cuales también se les hizo una investigación exhaustiva exhaustiva pero un mejor entendimiento del tema en general.

 

CONCLUSIÓN Puedo afirmar que el objetivo planteado pudo cumplirse, debido a que pude introducirme en este nuevo tema, en donde se vieron diferentes puntos de vistas y  perspectiva tanto tanto teóricas como pprácticas. rácticas. Mi persona persona obtuvo un gratificante gratificante resultado al culminar este trabajo, pues observé la importancia de la utilización del internet como una herramienta para no solo quedarse con lo que podríamos ver en clase, también aprendí a ser curiosos y buscar por mi propia cuenta en este gran apoyo que nos presta la tecnología de hoy en día.