Autovalores y Autovectores

 

Autovalores y Autovectores Unidad 10

 

Aplicaciones 

Frecuencias de Resonancia. Como vibra y a qué frecuencia un objeto sólido. Ejemplo: viga metálica empotrada en una pared.



Reconocimiento Facial. Ejemplo: Eigenfaces



Teoría de grafos: Ejemplo: Page Rank de Google



Sistemas dinámicos (dependen del tiempo). Ejemplo: Supermercado



Otros

 

Como vibra y a qué frecuencia un objeto sólido. Ej. viga metálica empotrada en una pared.

 

Reconocimient Reconocimiento o Facial Eigenfaces

 

Teoría de grafos Ejemplo: Page Rank de Google

 

Para saber más

En

https://www.feandalucia.ccoo.es/ docu/p5sd4864.pdf ver “2. Aplicaciones del autovalor de Perrón. Buscador Google”

en la página 7

 

Sistemas dinámicos Ejemplo: Supermercado Una empresa de publicidad encargada de la propaganda de un supermercado A, determina que del total de clientes que compran en el supermercado A un fin de semana, el 80% vuelve a comprar en A el siguiente fin de semana, mientras que el 20% restante va a comprar al supermercado B. Se sabe también que del total de clientes que compra en B un fin de semana, el 70% vuelve a comprar el fin de semana siguiente en ese supermercado y el 30% restante va al supermercado A. ¿Cuál es la distribución de clientes luego de ocho fines de semanas siguientes al estado inicial?

 

es el estado inicial del sistema   

es el porcentaje de clientes que compra en el supermercado supermercad o A y B respectivamente, respectivamente, al fin de la semana inicial  es el estado del sistema al fin de semana siguiente, S1  es el porcentaje de clientes que compra en el supermercado supermercad o A y B respectivamente, respectivamente, el fin fi n de semana siguiente.  es la matriz de transición que nos permite pasar del estado S0 al estado S1 

 

Luego, el estado del sistema S 2 se obtiene repitiendo el procedimiento anterior: anterior:  

Por último, el estado del sistema n fines de semana luego del estado inicial considerado es: 

 

Por lo tanto, para encontrar el estado S8 del sistema se debe calcular la potencia octava de la matriz de transición. Realizando algunas operaciones, se obtiene:

 

 

Si el estado inicial del sistema es:

es decir, el supermercado A tiene 65% de los l os clientes y el supermercado B tiene el 35% de los clientes, luego de ocho fines de semanas siguientes al estado inicial, la distribución de clientes se estabiliza en los siguientes porcentajes:  

De esta manera, se puede concluir que el supermercado A tiene aproximadamente aproximadamente el 60% de los clientes y el supermercad supermercado o B, el 40%.

 

Para describir la evolución de un sistema dinámico, como ya se ha visto, se deben calcular potencias de matrices cuadradas. Si se considera el sistema cuyo estado en el tiempo k está representado por el vector columna x y sea A Є Rnxn la matriz de cambio de estado, el estado del sistema en el tiempo k+1 será: A . xk = xk+1  En el tiempo k+2, el estado del sistema será:   A . xk+1 = xk+2  A . xk+1 = A. (A . xk ) = A2 . xk = xk+2  Y si se repite el procedimiento, se obtiene:   Ap . xk = xk+p  Es decir, el estado del sistema en el tiempo k+p será A p veces el estado del sistema en el tiempo k. Además, es conveniente poder predecir cómo evolucionará el sistema en períodos grandes, es decir, cuando p

 ∞. 

→

 

Para resolver estas cuestiones, resulta conveniente encontrar una forma eficiente de calcular otencias de matrices ara oder determinar Ap cuando ∞.  →

nxn

Para calcularen la cuenta potencia enésima unaresulta: matriz  A Є R A. Teniendo que P-1 A Pde = D,

, se diagonalizará la matriz

P P-1 A P P-1 = P D P-1  A = P D P-1  Y para calcular potencias de A,  A2 = (P D P-1) (P D P-1) = P D (P-1 P) D P-1 = P D I D P-1 = P D2 P-1  Repitiendo el procedimiento, se obtiene:

 

An = P Dn P-1  El cálculo de potencias de una matriz diagonal es sencillo: 

 

  es

decir,

basta

con

elevar

a

la

n

cada

elemento

de

la

diagonal

principal.

Volviendo nuevamente al problema inicial, es decir, calcular la distribución de clientes luego de ocho fines de semanas siguientes al estado inicial, es e s ahora fácil determinar su solución. Para ello, diagonalizaremos la matriz A.   Para obtener la matriz diagonal D, se calcularán los autovalores asociados a la matriz A. 

(1) 

 

Para calcular los autovectores para cada autovalor, es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones:  Si λ1 = 1 , resulta: 

(2) 

La solución de (2) son vectores vectores de la forma (x1, 2/3 x1)t . Por lo tanto, un autovector correspondiente correspo ndiente a λ1 = 1 es (1, 2/3)t.  Si λ2 = 0,5 , resulta:  

(3) 

La solución de (3) son vectores det la forma (x1, -x1)t  . Luego, un autovector correspondiente correspo ndiente a λ2 = 0,5 es (1, -1) . 

 

Entonces, la matriz P que diagonaliza a la matriz A y su inversa son:  

La matriz D diagonal similar a la matriz A es, entonces: 

Luego, resulta: 

 

Recordando que el estado inicial del sistema es S 0 = (0,65, 0,35)t , la distribución, en porcentajes, de clientes luego de n semanas será:  

De esta manera, los porcentajes de clientes de cada supermercado cuando n es muy grande, n ∞, será:  →

Así, se tiene que al supermercado A concurrirá el 60% de los clientes y al supermercado B concurrirá el 40% de los clientes. 

 

Autovalores y Autovectores Definición Sea :  →   una transformación lineal Queremoss hallar vectores no nulos    ∶    Queremo       sean paralelos (no cambia su dirección), dirección), es es decir, decir, que el vector obtenido de la TL sea múltiplo del vector  

 = .  

Siendo  y las componentes de   reales o complejas

La transformación se puede representar por la matriz A, es decir,

 .  = .  

Valor característico asociado a la T o matriz A Valor propio, autovalor, eigenvalor 

Vector característico asociado asociado a la T o matriz A correspondiente al valor característico   Vector propio, autovector, eigenvector

 

Veamos un ejemplo

 

Cálculo de Autovalores y Autovectores   es una matriz cualquiera de orden             = .         −   .    = 0          −   .  .    = 0 

y y

 =

Representa un sistema de ecuaciones homogeneo de “n” ecuaciones y “n” incógnitas “n”  incógnitas

det       −   .   = 0 

Desarrollando el determinante determinante obtenemos obtenemos un polinomio polinomio   () que se denomina  denomina  polinomio característico

det       −   .    = 0 

Se denomina denomina   Ecuación Característica

 

Procedimiento para calcular valores y vectores característicos 1) Hallar el polinomio característico,

  = det   . 

2) Determinar la ecuación característica,   = det las  raíces .  =(autovalores)de 0. El orden de la matriz indica la cantidad de valores característicos, “n” valores

3) Hallar los autovectores que corresponden a cada valor característico, para ello resolver el sistema homogéneo    .  .  = 0

 

Veamos un ejemplo Hallar los autovalores y=autovectores de la matriz A   3 2 1

1

   .  =

  =    .    3 1

  3    .  = 1   = 

0

 3 1

2  1   . 0 0 2     0 0

0 1

0   3  =  1

2

2 

2   =  . 3    2. 1 

  =   3 + 2

  =0

  3 + 2 = 0  3 ± ;   =    = 2

3     4.2 2



  = 1

 

Continuando con el ejemplo 3

   .  .  = 0

     = 2

3 1

2   3  2   2   2   1  =  = 1 2 1 

2 2

 

→

 

1 1

2 2

  =

1 1   2

.

0 0   + 2   = 0   = 2   1    =  =      2 

  =

→ 1 1  2

   2   = 0

 y



 y



  =  

  = 



→

 1

   2

           ∞ <  < ∞

  = 2

 

=

 

Continuando con el ejemplo 3

   .  .  = 0

      = 1 3 1

2   = 3 1   2  =   2 1 1 1  2  + 2  = 0

 y

   = 

 y 

 =     =    

2 1

  =

→



 

→

 

2 1

2 1

.

  

=

     = 0  

   = 

  = 

→      = 

  1                1 ∞ <  < ∞

   1 1   = 1

0 0

 

Para terminar con el ejemplo

Para cada valor “t” tenemos infinitos autovectores asociados a  = 2



  = 1

Los infinitos autovectores forman un autoespacio asociado a un

autovalor 

 

Propiedades 









Una matriz simétrica tiene todos sus valores propios reales Los valores propios de una matriz son los recíprocos de los valores propios de la matriz inversa Cuando el valor propio es cero cero,, el vector correspondiente es el vector nulo Los valores propios de una matriz son iguales a los de la matriz transpuesta Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal



Si una matriz se multiplica por una constant constante e, los valor propios resultaran



multiplicados por dicha contante, pero los vectores propios no cambian. Los vectores propios de autoespacios diferentes de una matriz simétrica son siempre ortogonales entre si.



La suma de los valores propios de una matriz cualquiera es igual a la traza (valor de la suma de los elemento elementoss de la diagonal principal) de dicha matriz

 

Diagonalización Definición ¿Por qué nos ¿Por interesa diagonalizar una matriz?

Se dice que una matriz cuadrada es diagonalizable si existe una matriz cuadrada P  tal que −1

Porque facilita cálculos como por ejemplo la potenciación

       =    

P diagonaliza a la matriz A

Matriz diagonal

’

P es la matriz de transición de B  a B 

’

Respecto a la Base B  

A matriz estándar Res ect ectoo a la la base base B 

Las matrices A y D son semejantes o similares

“A” puede reducirse reducirse a una forma forma diagonal diagonal “D” mediante un cambio de base base  

Teorema  x

entoncess las siguiente siguientess proposiciones proposiciones son Si A es una matriz de n n entonce equivalentes a) A es diagonalizable b) A tiene ti ene “n” autovectores linealmente independientes

Suponemos que A es diagonalizable, entonces −       =  =    por definición Premultiplicando por P Indecamos los vectores columna  ;  ; … ; 

     =  =  P  P    tenemos P −  Luego        =  =  P 

Partimos de

           =  =

…

⋮    ⋮    



   0

 . 0 … ⋮ ⋮ ⋮ …  0

 ⋮ 0

…

0

⋮… 0⋮ =           …     … 

Además        =  =

        ⋮ ⋮

… … ⋮

  ⋮

         . ⋮ ⋮

… … ⋮

  ⋮ =           …    

   

…



   

…



 

Continuando con el Teorema

Como

       =  = P  P 

entonces

  =          =  … … …       = 

 ;  ; … ;            ;  ; … ;                          

Los vectores columna de P no son ceros pues P es invertible

Supuesto que P es es invertible, sus vectores columna  ;  ; … ;  no son cero , por lo tanto  ;  ; … ;  son los autovalores de A y    ;  ; … ;  son los autovectores correspondientes   ; … ;  Los vectores tienen ; son linealmente independiente por lo que la matriz A ”n” autovectores autovect ores linealmente independientes. independientes.

 

¿Cuándo una matriz es diagonalizable? 







Una matriz    es diagonalizable si tiene “n” vectores propios LI. Siendo los elementos de la diagonal principal de la matriz D los autovalores y los vectores columna de la matriz de transición P los autovectores de A

Si los autovalores autovalores son reales y distintos distintos la matriz A es digonalizable Si hay autovalores múltiples la matriz puede ser o no diagonalizable. La dimensión de los subespacios propios debe ser igual al orden de multiplicidad del autovalor. Si los autovalores son complejos la matriz no es diagonalizable

 

Procedimiento para diagonalizar una matriz 1) Hallar el polinomio polinom io característico, característico,

  = det   . 

2) Determinar los autovalores,   = det   .  = 0. 3) Hallar los autovectores asociados a los l os autovlores ,    .  .  = 0 4) Armar la matriz de transición P 5) Calcular la matriz diagonal D, −       =  =  

 

Veamos un ejemplo  2   = 2

1

¿Es diagonalizable?

  =    . 

   .  =

  2 2

  2    .  = 2   = 

1 3

1  1   . 3 0 1     3 0

 2  2

0 1

0   2   =  2

2

1 3 

1  = 2  . 3 2 3 

  =   5 + 4

  =0

  5 + 4 = 0  5 ± ;   =    = 4

5     4.4 2



  = 1

 

Continuando con el ejemplo 3

   .  .  = 0

      = 4 2  2

1  2 4   1   2 2 3  4  4   = 2 3  = 2  +    = 0

 y

1   2 1   → 2

1 1

.

 

2     = 0

Luego   = 2      =   = 2



  =

→



  = 

→

 

   = 2

  1                2 ∞ <  < ∞

 1 2   = 4

=

0 0

 

Continuando con el ejemplo 3

   .  .  = 0

      = 1 2  2

1   = 2 1   1  =   1 2 3  1  1 2 3    +   = 0

 y

1 2

 

→   1 2

1 2

.

  

=

2  + 2  = 0

Luego   =       =  =    

  =

→



  = 

→

 

   = 

  1                1 ∞ <  < ∞



  1 1

  = 1

0 0

 

Continuando con los cálculos Para cada valor “t” tenemos infinitos autovectores asociados a

 = 4



  = 1

4

Matriz de transición P   1  =         →    = 2

5

Cálculo de la matriz diagonal

1 1

−         =   1  − = 3 2 3

−       =  =





 







 

.

 2 2

1 3 1 3

1  1  . 3 2

1 1

= 4 0

0 1

 

Terminamos con los temas del día de hoy

Ahora un recreo, o lo que quieras

 

Material desarrollado para las clases de Álgebra y Geometría Analítica

con fines didácticos Bibliografí Biblio grafía a y webgrafía consultada: consultada: Material de Cátedra Imágenes

Recopilación realizada por Ing. Silvia Socolovsky