Autovalores y autovectores

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

I. II.

I.

Autovectores (vectores propios) y autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada. Semejanza y diagonalización. diagonalización.

AUTOVECTORES (VECTORES PROPIOS) Y AUTOVALORES (VALORES PROPIOS) DE UNA MATRIZ CUADRADA.

a) Definición 1.- “S  ea A una matriz cuadrada con ea elementos de un cuerpo conmutativo K, se llama n autovector (vector propio) de A todo vector x de K  tal que  de K verificando: existe un escalar 

Ax    x”

Definición 2.- “Si A es una matriz cuadrada con elementos de un cuerpo conmutativo K, se llama autovalor  (valor propio) de A todo elemento  de K tal que existe n un vector x  0 de K  verificando:

Ax    x.

Al conjunto de todos los autovalores de A se le llama espectro de A y se escribe   A ”

Teorema 1.- “Dad  a una matriz cuadrada A sobre K: 1. A todo autovector x  0 de A corresponde un autovalor  único  , llamado autovalor asociado a x. 2. A todo autovalor   de f corresponde un n   subespacio vectorial V(  ) de K  , que está descrito por  n x , se le los vectores x de K  que verifican Ax    ”. llama el subespacio propio asociado a  

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b) Propiedades de los autovalores y de los autovectores de una matriz cuadrada. Polinomio característico y ecuación característica. Teorema 2.- “Dado una una matriz cuadrada A sobre K, para  de K, las propiedades siguientes son equivalentes: 1.  es un autovalor de A. I  2. A   n no es invertible. 

I  3. det  A    n 0”

Definición 3.- “Si A es una matriz cuadrada de orden n con elementos de un cuerpo conmutativo K, se llama polinomio característico de A al polinomio en  de grado det  A    PA     det I  n Y se llama ecuación n.

I  característica a la ecuación det  A    n  0”

Teorema 3.- “Los autovalores de una matriz triangular  son los elementos de la diagonal principal.”

Teorema 4.- “Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si 0 no es autovalor de A.”

Teorema 5.- “Si

 es autovalor de A y x un autovector 

asociado, entonces: n a) n  ,   es autovalor de An con autovector x. 1 b) Si A es invertible, entonces   es autovalor de A -1 con autovector x n c) n  ,   es autovalor de An con autovector x.” x.”

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Teorema 6.- “Los subespacios vectoriales

(  y V  2) asociados a dos autovalores distintos de una matriz  cuadrada A, A, sólo tienen en común el vector nulo.” V  (  1)

Teorema 7.- “Siendo A una matriz cuadrada, que admite ,   m autovalores distintos dos a dos,   1 ,   2, m , el sistema de vectores {xi} (i = 1, ..., m), de autovalores no nulos 

asociados a   i es libre”

Corolario.- “Toda matriz cuadrada de orden n tiene como máximo n autovalores distintos dos a dos”

Teorema 8.- “Si A es una matriz cuadrada de orden n, los autovalores de A son las raíces de su polinomio característico. Existen n como máximo. Si K es algebraicamente cerrado, A posee n autovalores distintos o confundidos”

II. SEMEJANZA Y DIAGONALIZACIÓN. Definición 4 (matrices semejantes).- “Se dice que dos matrices A y B cuadradas de orden n son semejantes, si están asociadas a la misma aplicación lineal f pero respecto a dos bases diferentes. Es decir, existe una matriz  P de cambio de base que verifica: AP = PB equivalente a -1 P  AP = B”

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Propiedades (inmediatas).(1) La relación de semejanza de matrices es de equivalencia. (2) det(A) = det(B). (3) A es invertible si y sólo si B es invertible. (4) (5) (6)

rg  A  rg  B  . PA     P  . B      A     B .

Definición 5 (matrices diagonalizables).- “Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D, del mismo orden, semejante a A. Es decir, existe una matriz P de cambio de base que verifica: AP = PD  equivalente a -1 P  AP = D” D”

Teorema 9.- “A es diagonal  izable si y sólo si, A tiene n izable autovectores linealmente independientes, es decir se puede formar una base del espacio vectorial de referencia formado por autovectores de A”

Demostración.- Sea A diagonalizable, es decir, existe una n

base B  ai i1 respecto de la cual, la matriz A se puede escribir:    1   A   

  i

         n

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x con polinomio característico pA  x    1  x   i  x     n  , , n son los autovalores de f, y son las raíces luego   i , i  1, de p, que están en el cuerpo K. Además, existen ai , i  1, , n , tales que: Aai    ,n , i ai , i  1, o bien, en forma matricial:     1     2   Aa1 Aa2 Aan   a1 a2 an     (*)     n  Es decir son n vectores propios de A (base, pues, de E)

Recíprocamente, Recíprocamente, supongamos que se puede hallar una base de E formada por vectores propios de A, es decir que Aai    a i , n , lo que es equivalente a se verifique i i ,  1, la expresión (*) anterior, con matriz asociada diagonal.

Teorema 10.- “Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si k autovalores distintos ( k  n ) de A, y Bi es una base del subespacio propio V    , entonces B  B  B   B es un sistema libre” libre” 1 , 2 ,

,   k  son

i

1

2

k 

Teorema 11 y definición 6 .- “Si A es una matriz  cuadrada de orden n y si su polinomio característico admite una raíz múltiple   de orden k, se tiene dim V  (  ) recibe el nombre de 1  dim dim V  (  )  k  . El valor    multiplicidad geométrica del autovalor  ”

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Demostración.- Supongamos que

 K    es

una raíz del 0 y x polinomio característico asociado, es decir p A    x ). Sea un vector propio asociado ( Ax   

n

B  ai i 1

del espacio vectorial de referencia E. Es decir:

una base x

n

xa i

i

i 1

donde las xi son las coordenadas de x respecto de la base B. Así que xi serán las soluciones del sistema I n  x  0 con soluciones no triviales, homogéneo:  A    es decir que: dimV    r  rg  A    I n   n y dimV   n  r 

(  ).      0 , entonces 1  dimV  Como V  Supongamos

que

dimV    h

(multiplicidad

    , que serán, geométrica), sea a1 , , ah  una base de V  por tanto, vectores propios asociados al valor propio   . n Luego la matriz asociada a f respecto de la base B  ai i 1 será: Ih A '    A  A 0 ' '   escrita por bloques, donde A’ es de orden h   n  h  , y A’’ es cuadrada de orden  n  h  . Luego el polinomio característico será: h  x  det  A '' xI n h  p A ( x)     h  k  dimV      k .   Es Luego decir la multiplicidad geométrica asociada a cada autovalor es

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menor o igual que la multiplicidad algebraica de ese autovalor.

Teorema 12 (teorema de la diagonalización) .- “Los enunciados siguientes son equivalentes 1. Una matriz cuadrada A de orden n, es diagonalizable. 2. La unión B de las bases de los subespacios propios de A contiene n vectores. 3. Las multiplicidades algebraica y geométrica coinciden para cada autovalor: ma lg  i   mg eom    i ”

Teorema 13.- “Si una una matriz cuadrada de orden n sobre K, posee n autovalores diagonalizable”.

distintos

en

K,

A

es

Corolario.- “Siendo A una matriz cuadrada de orden n con elementos de K, si K es algebraicamente cerrado, para que A sea diagonalizable es suficiente que todas las raíces de su polinomio característico sean simples”