automatsko upravljanje I

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE

Naser M. Prljača

Univerzitet u Tuzli, Oktobar, 2005

Uvod Definicija: Teorija automatskog upravljanja se bavi analizom i sintezom sistema upravljanja u cilju postizanja ţeljenog dinamičkog ponašanja fizičkog sistema. Potrebe za automatskim upravljanjem su prisutne u svim sferama ljudske djelatnosti od regulacije temperature u sobi do upravljanja letom svemirskih letjelica. Teorija automatskog upravljanja se bazira na: - Teoriji signala i sistema - Komunikacionoj teoriji - Tehnikama vještačke inteligencije - Tehnikama softverskog i hardverskog inţenjeringa U opštem slučaju problem automatskog upravljanja se moţe predstaviti kao na slici

Slika 1. i formulisati: naći ulaz u(t) takav da izlaz iz procesa y(t) bude što je moguće "bliţi" ili jednak ţeljenom izlazu yd(t). Na slici 2 su prikazani y(t) i yd(t) Izlaz je neka fizička veličina. Kada u(t) narinemo na sistem, izlaz sistema treba da bude što bliţe ţeljenom izlazu yd(t).

Slika 2. U opštem slučaju proces koji se upravlja je opisan diferencijalnom jednačinom kretanja.

Slika 3. Diferencijalne jednačine koje predstavljaju modele nekog stvarnog procesa se dijele na: - Obične diferencijalne jednačine - Parcijalne diferencijalne jednačine U opštem slučaju problem automatskog upravljanja moţe biti riješen na jedan od dva načina (ako je rješenje uopšte moguće): 1. upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi (Open Loop Control) 2. upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi (Closed Loop Control)

Upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi Problem upravljanja u otvorenoj povratnoj sprezi se svodi na nalaţenje upravljačkog signala u = u (t) u funkciji vremena i samo u funkciji vremena koji osigurava da izlazni signal y(t) prati što je moguće bolje ţeljeno yd(t).

Primjer: Potrebno je izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze projektile iz skladišta do aviona lovca.

Slika 4. Pri rješavanju ovog problema treba slijediti slijedeće korake: 1. definisati matematički model sistema (jednačina kretanja kolica u zavisnosti od sile) 2. postavljanje specifikacija (zahtjeva) na ţeljeno ponašanje sistema (kako hoćemo da kolica odu do aviona. Konkretno za ovaj primjer potrebno je zadovoljiti slijedeće početne uslove: pozicija x(0)  0 dx (0)  0 brzina dt i krajnje uslove: pozicija x(T )  L dx brzina (T ) 0 dt Postoji neograničen broj načina da se ovi uslovi zadovolje kao npr na slici 5.

Slika 5.

Izaberimo rješenje koje za najmanje vrijeme preĎe udaljenost L. To rješenje implicira da će kolica u prvoj polovini puta maksimalno ubrzavati, a u drugoj maksimalno usporavati.

Slika 6. ubrzanje

Slika 7. brzina

Slika 8. pozicija t

t

dx(t )  v(t )   a(t )dt   Adt  At dt 0 0 v(t ) 

T /2

t

0

T /2

 Adt    Adt  AT  At

x(t )   v(t )dt 

At 2 2

za 0  t  T / 2 za T / 2  t  T za 0  t  T / 2

x(t ) 

T /2

t

0

T /2

 v(t )dt   v(t )dt x(t ) 

za T / 2  t  T

AT 2 AT 2 At 2   ATt  4 2 2

AT 2 za t  T  x(T )  L  x(t )  4 Jednačina kretanja sistema je: d 2x m0 2  F (t ) ; dt

m0 A, F (t )    m0 A,

0  t T /2 T /2  t T

Da bi odredili F moramo znati m0 i A. Masa se kreće u odreĎenim granicama pa se moţe pisati: m  m0  m gdje je | m | M Parametre sistema ne moţemo tačno znati. Ubrzanje A se uzima iz kataloga (ubrzanje motora) i nije 100% tačno. Prema tome diferencijalna jednačina realnog sistema je: d 2x (m0  m) 2  F (t ) dt gdje je sa m označeno odstupanje u masi i moţe biti pozitivno ili negativno. Prema tome, unutar vremena 0  t  T / 2 , sistem se moţe opisati slijedećom diferencijalnom jednačinom: m0 d 2x  A 2 m0  m dt Odstupanje m unosi odstupanja u konačnoj poziciji kolica za neko L kao na slijedećoj slici

Slika 9. odstupanja pozicije od ţeljene Pored razmatranih promjena parametara sistema, na sistem uvijke djeluju slučajne vanjske smetnje (npr. u ovom slučaju vjetar). Jednačina koja bi opisala ovakav sistem je slijedeća: d 2x (m0  m) 2  F (t )   (t ) dt gdje je sa  (t ) označena slučajna vremenska smetnja. Očigledno je da ovakav način upravljanja u otvorenoj sprezi upravlja pozicijom kolica samo u idealnom slučaju tj. kada nema promjena parametara sistema i kada na sistem ne djeluju vanjske smetnje. Nalaţenje upravljačkog signla F (t ) je bilo bazirano na poznavanju modela

sistema i njegovih početnih uslova. Prema daljoj analizi se moglo zaključiti da je svaki model sistema bolja ili lošija aproksimacija stvarnog ponašanja. Na prethodnom slučaju to je dokazano na primjeru promjene ili nepoznavanja apsolutne mase kolica. Pored toga, na sistem uvijek djeluju i vanjske smetnje, pa se moţe zaključiti da su sistemi sa upravljanjem u otvorenoj sprezi ograničene tačnosti. Upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi Za razliku od upravljanja sa otvorenom povratnom spregom, upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom zahtijeva nalaţenje upravljanja u(t) koje je funkcija i stvarnog izlaza iz sistema y(t).

Slika 10. sistem sa zatvorenom pov. spregom U najčešćem broju slučajeva signal povratne sprege y(t) se koristi za nalaţenje razlike izmeĎu ţeljenog i stvarnog stanja (izlaza) sistema. Razlika izmeĎu ţeljenogi i stvarnog stanja se naziva greška odstupanja.

Slika 11. greška odstupanja Kao što se moţe vidjeti sa slike 11 upravljanje u(t) je funkcija greške. Ţelimo postići što manje e(t) tj. omogućiti da e(t )  0 . Primjer: Potrebno je izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze projektile iz skladišta do aviona lovca korištenjem upravljanja u zatvorenoj sprezi. Najprije se razvije odgovarajući matematički model sistema tj. postave se diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema. d 2x m0 2  F (t ) dt Izlaz sistema predstavlja poziciju kolica. Krajnji uslovi: x(T )  L

dx (T )  0 dt neka je upravljačka sila F(t) generisana na slijedeći način: dx dt Dakle, upravljačka sila F(t) je funkcija pozicije i brzine gdje su K p i K d konstante. Prema tome, dobija se slijedeća diferencijalna jednačina: d 2x dx m0 2  K d  K p x(t )  K p L dt dt odnosno m0 d 2 x K d dx   x(t )  L K p dt 2 K p dt Rješavanjem prethodne jednačine dobijamo poziciju kolica. Stacionarno stanje (svi izvodi su nule) daje x(T )  L . Prema tome na ovaj način je osigurano da kolica u trenutku T signu u poziciju L. F (t )  K p ( L  x(t ))  K d

Iz prethodnog primjera uočavaju se najvaţnije prednosti povratne sprege (feedback): - promjena mase ne utiče na stacionaro stanje - stacionarno stanje ne zavisi od početnih uslova - sistem je manje osjetljiv - vanjska smetnja  (t ) se smanjuje u ovisnosti o parametru K p Prema tome, sistem sa povratnom spregom se vrlo efikasno nosi sa poremećajima tipa: - početnih uslova - promjenama parametara sistema - djelovanjem vanjskih slučajnih smetnji

Slika 12.

Historija automatskog upravljanja 1. Sistem sa centrifugalnim regulatorom vrtnje parne mašine

Slika 13. Wattov sistem aut. upravljanja 2. Elektronsko pojačalo

Slika 14. el. pojačalo Ulaz i izlaz su povezani jednačinom:

uizl  Au ul ako nema povratne sprege pojačanje A se mijenja. Bode je 1927. uveo koncept povratne sprege. U slučaju upotrebe povratne sprege, pojačanje A je u širokom opsegu konstantno. Pojačanje B u direktnoj grani se moţe mijenjati ali je pojačanje A konstantno. 3. Protivavionski top Upravljačka šema rada protivavionskog topa je data na slici 15.

Slika 15. Protivavionski top

Radar mjeri poziciju aviona i šalje poziciju topu na dati ugao elevacije. Potenciometar u povratnoj sprezi mjeri ugao elevacije cijevi topa. Primjeri modernih sistema automatskog upravljanja 1. Sistem upravljanja automobilom

Slika 16. 2. Robotski manipulator

Slika 17. 3. Upravljanje proizvodnjom električne energije

Slika 18. multivarijabilni sistem

4. Ekonomski sistem – model sistema nacionalnog dohotka Sistemom upravljanja u zatvorenoj sprezi se mogu modelirati i socijalni, ekonomski i politički sistemi. Jedan takav primjer je model upravljanja nacionalnim dohotkom predstavljenim na slici 19.

Slika 19. Model sistema nacionalnog dohotka Dizajn upravljačkog sistema Na slici 20. je prikazan tipičan primjer sistema sa zatvorenom povratnom spregom.

Slika 20. Inţenjerski dizajn je centralni zadatak svakog inţenjeringa. Dizajniranje je kompleksan proces u kojem analiza i kreativnost igraju centralnu ulogu. Proces dizajniranja se u opštem slučaju moţe predstaviti pomoću dijagrama toka kao na slici 21. Svakako najveći izazov koji se postavlja pred dizajnera je pisanje specifikacija za tehnički proizvod. Specifikacije definišu svrhu i način rada sistema. Obično proces dizajniranja pretpostavlja izbor kompromisa izmjeĎu različitih konfliktnih kriterija postavljenih na sistem. Problem dizajniranja sistema upravljanja se moţe formulisati i na slijedeći način: Dat je model sistema, senzora, aktuatora i skupa ciljeva sistema. Problem se svodi na nalaţenje odgovarajućeg kontrolera koji postiţe ciljeve sistema ili utvrdi da to nije moguće.

Slika 21. Procedura dizajniranja sistema upravljanja

Primjeri dizajna sistema upravljanja Dizajn sistema za pokretanje magnetnog diska u otvorenoj sprezi

Slika 22. upravljanje brzinom diska

U ovom primjeru upravljanja u otvorenoj sprezi DC pojačavač ima ulogu regulatora. DC motor ima ulogu aktuatora, a sam proces je disk koji se vrti odreĎenom ugaonom brzinom. Naponski izvor obezbjeĎuje napon proporcionalan ţeljenoj brzini obrtanja diska. Ovaj napon se dalje pojačava i vodi istosmjernom (DC) motoru koji okreće disk. Ovaj sistem se moţe predstaviti blok dijagramom kao na slici 23.

Slika 23. blok dijagram sistema upravljanja diskom Ovakav sistem ne moţe garantovati da će se disk okretati ţeljenom brzinom (promjena parametara sistema, vanjska smetnja) te ovakvo rješenje ne moţe zadovoljiti ako se traţi velika tačnost u brzini obrtanja diska. Dizajn sistema upravljanja brzinom magnetnog diska u zatvorenoj povratnoj sprezi Ovo rješenje koristi povratu informaciju o stvarnoj brzini obrtanja diska, te omogućava precizniju kontrolu brzine.

Slika 24. upravljanje brzinom diska u zatvorenoj sprezi U ovom slučaju koristimo tahogenerator koji na svom izlazu daje napon proporcionalan stvarnoj brzini obrtanja diska, pa se na taj način dobija povratna informacija o stvarnoj brzini diska. Izlaz iz tahogeneratora se vodi na komparator gdje se vrši oduzimanje signala ţeljene i stvarne vrijednosti i na taj način formira signal greške koje se dalje vodi na pojačavač. Ovaj sistem se moţe predstaviti blok dijagramom kao na slici 25.

Slika 25. blok dijagram sistema upravljanja diskom u zatvorenoj sprezi

Matematičko modeliranje fizičkih sistema Da bi razumjeli i upravljali sloţenim sistemima, prvo moramo doći do kvantitativnih matematičkih modela sistema.Oni nam sluţe da bi analizirali relacije (veze) izmeĎu relevantnih varijabli u sistemu. Kako su sistemi koje razmatramo dinamički, njihovi modeli su u formi diferencijalnih jednačina. Rješavanjem dobijenih diferencijalnih jednačina dobijaju se veze izmeĎu varijabli sistema. Matematičko modeliranje sloţenih sistema se bazira na primjeni relevantnih fizičkih zakona na dati sistem. Ova primjena vodi diferencijalnim jednačinama kretanja datog sistema. U opštem slučaju jednačine kojima opisujemo sisteme mogu biti u slijedećoj formi: 1. algebarske ili statičke f ( x, y)  0 2. obične diferencijalne jednačine. U ovom slučaju imamo izvode po jednoj promjenljivoj f ( x ( n) , x ( n1) ,..., x(t ), u(t ))  0 . Ovakve jednačine opisuju sisteme sa koncentrisanim parametrima. Varijable su funkcije vremena i nema prostornih koordinata. Obične diferencijalne jednačine se mogu podijeliti na linearne i nelinearne. Linearne diferencijalne jednačine se predstavljaju u formi: d (n) x d ( n 1) x  a  ...  a0 x(t )  u (t ) n 1 dt n dt n1 U opštem slučaju rješenje diferencijalne jednačine se sastoji iz homogenog dijela i partikularnog dijela. Homogeni dio rješenja je posljedica početnih uslova (početno energetsko stanje). Linearne diferencijalne jednačine mogu biti sa konstantnim ili sa promjenljivim koeficijentima ( koeficijenti su funkcije vremena a = a(t)). Sistemi opisani linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima se nazivaju linearni vremenski invarijantni sistemi (tzv. LTI sistemi).  2 u u 3. parcijalne difrencijalne jednačine npr.   0 , gdje je u  u( x, y, z, t ) . Sistemi xy t sa distribuiranim parametrima se opisuju parcijalnim diferencijalnim jednačinam. Parametri su pored vremena ovisni i o prostornim koordinatama.

Slika 26.

Pored izgradnje matematičkog modela pomoću diferencijalnih jednačina, model sistema se moţe dobiti i tzv. eksperimentalnom identifikacijom podesnom za kompleksne sisteme. Za dati ulaz se vrši snimanje vrijednosti izlaza te na osnovu odgovarajućeg postupka formira se model sistema. Primjer: Naći diferencijalnu jednačinu kretanja sistema na slici 27.

Slika 27. Postavljanjem strujnih i napomskih jednačina dobijamo: di ei (t )  L 1  R1i1  eo (t ) dt i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )

i1 (t ) 

eo (t ) de (t ) C o R2 dt

d 2 eo (t )  L  R1 R2 C  deo (t )  R1  R2  e (t )  eo (t )  i     2 LC dt  R2 LC  dt  R2 LC  zamjenama:

R1  R2 L  R1 R2 C i a1  R2 LC R2 LC prethodna jednačina prelazi u slijedeći oblik: d 2 eo (t ) de (t ) e (t )  a1 o  ao eo (t )  i 2 dt LC dt ao 

S obzirom da su koeficijenti u ovoj diferencijalnoj jednačini konstantni, moţe se zaključiti da se radi o linearnom vremenski invarijantnom sistemu. Primjer: Potrebno je naći matematički model mehaničkog sistema predstavljenog na slici 28. Sa oznakom B je označen tzv. prigušivač. Ovaj parametar modeluje viskozno trenje koje postoji u većini mehaničkih sistema. Ovaj koeficijent predstavlja odnos izmeĎu sile viskoznog trenja i brzine kretanja: .

F  Bx Sa oznakom k je obiljeţena konstanta opruge. Ovaj parametar modeluje elastična svojstva sistema. Parametar k se moţe posmatrati i kao odnos izmeĎu djelujuće sile i relativnog istezanja opruge: F  kx

Slika 28. Sistem na slici 28 se moţe opisati slijedećim diferencijalnim jednačinama: . . d 2 x1 m1 2  B1 ( x1  x2 )  K1 ( x1  x2 )  F1 (t ) dt 2 d x2 dx dx dx m2  B1 ( 1  2 )  K1 ( x1  x2 )  B2 2  K 2 x2  F2 (t ) 2 dt dt dt dt Prema tome, sistem sa slike 28 se moţe predstaviti sistemom linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Primjer: Naći jednačine kretanja sistema datih na slikama 29 i 30.

Slika 29.

Slika 30. .

Brzinu kretanja će se označiti sa v ( v  x ), pa se mehanički sistem na slici 29. moţe opisati slijedećom jednačinom: d 2x dx m 2  B  Kx  F (t ) dt dt odnosno t dv m  Bv  K  vdt  F (t ) dt  S druge strane, električni sistem sa slike 30. se moţe predstaviti slijedećom jednačinom:

i  i1  i2  i3 odnosno t

du u 1 C   udt  i(t ) dt R L  gdje je sa u označen napon na krajevima elemenata. PoreĎenjem dobijenih diferencijalnih jednačina mehaničkog i električnog sistema moţe se zaključiti da izmeĎu njih postoji analogija. Zaista, slijedećim zamjenama: 1 1 F (t )  i(t ) , m  C , B  , v  u i K  R L

jednačina kretanja mehaničkog sistema postaje jednačina kretanja električnog sistema. Prema tome, moţe se zapaziti da se svi dinamički sistemi sastoje od 3 tipa elemenata: 1. disipativni elementi, tj. elementi na kojima se bespovratno gubi energija u vidu toplote. 2. elementi koji predstavljaju gomilišta kinetičke energije 3. elementi koji predstavljaju gomilišta potencijalne energije Analogija izmeĎu veličina omogućava generalisanje, odnosno izvoĎenja diferencijalnih jednačina primjenjivih na mehaničke, električne, termičke, hidrauličke i druge sisteme. Analogija izmeĎu mehaničkih i električnih sistema je predstavljena u tabeli na slici 31.

1 B uv iF

R i

V2  V1 u  R R

u  V2  V1 di uL dt

u  V2  V1 du iC dt

F  B(v2  v1 )  Bv

iF uv 1 L K

Cm iF uv

Slika 31. Analogija mehaničkih i električnih sistema

v  v2  v1 1 dF v K dt

F m

dv dt

Rješavanje matematičkih modela dinamičkih sistema Linearni vremensko invarijantni sistemi se opisuju linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima tj. d n y (t ) d n1 y (t ) d m u (t )  a  ...  a y ( t )  b  ...  b0 u (t ) n 1 0 m dt n dt n1 dt m Gdje su: an1 , an2 ,..., a0 , bm , bm1 ,..., b0 konstantni koeficijenti. Ulaz u sistem se obiljeţava sa u(t), izlaz sa y(t), n predstavlja red sistema i za svaki fizički sistem vrijedi n  m . Svaki realni dinamički sistem se ponaša kao niskopropusni (NF) filter. Za sistem n-tog reda imamo ukupno n početnih uslova: ( n 1) y(0)  y0 , y (0)  y0 ,..., y ( n1) (0)  y0 Rješavanje linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima Linearne diferencijalne jednačine se mogu rješavati na više načina: - Metoda varijacije konstanti - Laplace-ova transformacija Da bi se na fukciju f(t) moga primijeniti Laplace-ova transformacija moraju biti ispunjeni slijedeći uslovi: t0 0, f (t )    f (t ), t  0 

i integral  | f (t ) | e t dt   mora konvergirati za neko realno pozitivno  . 0

Prema tome, za funkciju f(t) koja zadovoljava navedene uslove Laplace-ova transformacija se definiše kao: 

F ( s)   f (t )e  st dt  L{f(t)} 0

Inverzna Laplace-ova transformacija se definiše kao:   j 1 L-1{F(s)}= F ( s)e st ds  2j   j Osnovne osobine Laplace-ove transformacije: L {a1 f (t )  a2 g (t )}  a1 F (s)  a2 G(s) df (t ) }  sF ( s)  f (0) L{ dt d n f (t ) }  s n F ( s)  s n1 f (0)  ...  f ( n1) (0) L{ n dt L { f (t   )}  e  s F (s)

t

L { f ( )d }  0

F ( s) s

t

L { f (t   ) g ( )d }  F ( s) * G ( s) 0

lim f (t )  lim sF (s) t 

s 0

lim f (t )  lim sF (s) t 0

L {e

 at

s 

f (t )}  F (s  a)

L {t n f (t )}  (1) n

d n F ( s) ds n

Laplace-ove transformacije osnovnih funkcija U slijedećoj tabeli su date Laplace-ove transformacije često upotrebljavanih funkcija Original Dirac-ov impuls:  (t )

Laplace-ova slika

t0  0, ,  (t )dt  1 t  0  , Step funkcija: u (t ) t0 0, u (t )   t0 1,

1

 (t )  

e  at t n e  at cos t sin t

e  at cos t e  at sin t

t cos t t sin t te  at cos t

1 s 1 sa n! ( s  a) n 1 s 2 s 2



s 2 sa ( s  a) 2   2 2

 ( s  a) 2   2

s2  2 (s 2   2 ) 2 2s 2 (s   2 ) 2 ( s  a) 2   2 (( s  a) 2   2 )

Ukoliko je Laplace-ova slika G(s) racionalna funkcija kompleksne promjenljive u obliku:

bm s m  bm1 s m1  ...  b0 G( s)  s n  a n 1 s n1  ...a0 odnosno

bm s m  ...  b0 ( s  s1 )...( s  s n ) tada je za nalaţenje inverzne Laplace-ove transformacije potrebno sliku G(s) rastaviti u parcijalne razlomke (Hevisajdov razvoj) i na taj način svesti funkciju na sumu tabličnih Laplace-ovih transformacija. Pri ovom postupku mogu se javiti slijedeći karakteristični slučajevi: - Svi polovi sistema (nule imenioca) su realni i jednostruki. Tada se funkcija G(s) moţe Q( s ) Q( s ) prikazati u obliku: G( s)  , pri čemu je: s1  s2  ...  sn .  P( s) ( s  s1 )...(s  s n ) Razvojem ove funkcije u parcijalne razlomke dobija se slijedeći izraz: n k k k Q( s ) G( s)   1  ...  n   k ( s  s1 )...(s  s n ) s  s1 s  s n k 1 s  s k gdje su k k , k  1...n konstante koje se odreĎuju na slijedeći način: G ( s) 

( s  s k )G( s)  ( s  s k )

s  sk s  sk Q( s )  k1  ...  k k  ...  kn ( s  s1 )    ( s  s k )    ( s  s n ) s  s1 s  sn

odavde slijedi: k k  lim ( s  sk ) s  sk

Q( s k ) Q( s )  P( s) ( sk  s1 )    ( sk  sk 1 )(s  s k 1 )    ( s  sn )

Prema tome, vrijedi: n

n kk }   k k e sk t k 1 s  s k k 1

L-1 { -

Svi polovi sistema su jednostruki, ali postoji i konjugovano kompleksni polovi. Neka * vrijedi, radi jednostavnosti, s 2  s1 , dok su ostali polovi prosti. Tada se funkcija G(s) moţe predstaviti u obliku: * k k k1 k1 Q( s ) G( s)     3  ...  n * P( s) s  s1 s  s1 s  s3 s  sn Neka je s1    j , s2  s1    j , k1  a  jb i k1  a  jb , tada se dobija: n k a  jb a  jb G( s)    k ( s   )  j ( s   )  j k 3 s  s k SreĎivanjem prethodnog izraza dobija se: n kk 2a(  s) 2b G( s)     2 2 2 2 (s   )   (s   )   k 3 s  s k Prva dva člana prethodne sume se mogu pronaći u tabeli Laplace-ovih transformacija, a treći član se svodi na prethodni slučaj, pa konačno, za inverznu Laplace-ovu transformaciju se dobija: *

*

n

g(t)= L-1 {G( s)}  2ae t cos t  2be t sin t   k k e sk t k 3

-

Pored jednostrukih polova sistema, postoje i višestruki polovi sistema. Neka je pol s1 višestrukosti 3, dok su ostali polovi jednostruki. Tada se funkcija G(s) moţe prikazati u obliku: n k13 kk k11 k12 Q( s ) Q( s ) G( s)        3 3 2 P( s) ( s  s1 ) ( s  s 4 )    ( s  s n ) ( s  s1 ) ( s  s1 ) k 4 s  s k ( s  s1 ) Konstante k11 , k12 i k13 se mogu odrediti na slijedeći način: n k ( s  s1 ) 3 G( s)  k11  k12 ( s  s1 )  k13 ( s  s1 ) 2  ( s  s1 ) 3  k k 4 s  s k Odavde slijedi: k11  lim ( s  s1 ) 3 G( s) s s1









d ( s  s1 ) 3 G( s) ds 1 d2 k13  lim 2 ( s  s1 ) 3 G( s) 2 ss1 ds k12  lim

s  s1





Inverzna Laplace-ova transformacija se dobija na slijedeći način: n k g (t )  L-1 {G( s)}  11 t 2 e s1t  k12te s1t  k13e s1t   k k e sk t 2 k 4 Primjena Laplace-ove transformacije na rješavanje linearnih diferencijalnih jednačina Laplace-ova transformacija pruţa elegantan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Ona prevodi problem iz vremenskog domena u kompleksni domen, tj. diferencijalne jednačine prevodi u algebarske. Opšta forma linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima je: d n y (t ) d n1 y (t ) d m u (t )  a  ...  a y ( t )  b  ...  b0 u (t ) n 1 0 m dt n dt n1 dt m gdje su: an1 , ..., a0 , bm ,..., b0 konstantni koeficijenti i vrijedi n  m . Neka su zadati početni uslovi: dy (0) d n1 y (0) ( n 1) y (0)  y 0 ,  y 0 , ...,  y0 n 1 dt dt S obzirom da je: dny ( n 1) L { n }  s nY ( s)  s n1 y (0)  ...  y 0 dt Primjenjujući Laplace-ovu transformaciju na cijelu jednačinu dobija se: ( n 1) Y (s) s n  an1 s n1  ...  a0  y0 s n1  an1 s n2  ...  a1  ...  y0  U (s) bm s m  ...  b0 Dalje se moţe pisati: bm s m  ...  b0 1 ( n 1) Y ( s)  U ( s) n  ...  y 0 n 1 n s  ...  a n1 s  ...  a0 s  ...  a n1 s n1  ...  a0 Ako prvi sabirak sa desne strane znaka jednakosti obiljeţimo sa YI , a ostale sa YII , tada se prethodna jednačine moţe kraće napisati u obliku: Y (s)  YI  YII













YI predstavlja faktor djelovanja ulaza, a YII je faktor djelovanja početnih usolva (akumulirane energije u početnom trenutku). Prenosne (transfer) funkcije linearnih sistema Prenosna funkcija linearnog stacionarnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom (tzv. SISO – Single Input Single Output) se definiše kao odnos Laplace-ovih funkcija izlaza i ulaza sistema sa nultim početnim uslovima. To znači da prenosna funkcija opisuje dinamiku sistema koji se posmatra tj. predstavlja njegovu ulazno-izlaznu deskripciju (opis). Linearni vremensko invarijantni sistem je opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: d n y (t ) d n1 y (t ) d m u (t )  a  ...  a y ( t )  b  ...  b0 u (t ) n 1 0 m dt n dt n1 dt m Primjenom Laplace-ove transformacije na prethodnu jednačinu uz nulte početne uslove dobija se slijedeće: Y (s)s n  an1 s n1  ...  a0   U (s)bm s m  bm1 s m1  ...  b0  Odavde slijedi: Y ( s) bm s m  bm1 s m1  ...  b0  n U (s) s  a n1 s n1  ...  a0 Y (s) Odnos se obiljeţava sa G(s) i naziva prenosna funkcija sistema. U (s) Ako je poznata prenosna funkcija sistema i Laplace-ova transformacija ulaza tada se Laplaceova transformacija izlaza moţe dobiti na slijedeći način: Y (s)  G(s)U (s) Prenosna funkcija je racionalna funkcija promjenljive s i daje se u vidu količnika dva polinoma: Q( s ) G( s)  P( s ) Polinom P(s) se naziva karakteristični polinom sistema, a jednačina P(s)  0 se naziva karakteristična jednačina sistema. Korijeni karakteristične jednačine se nazivaju polovi sistema. Korijeni jednačine Q(s)  0 se nazivaju nule sistema. Prenosna funkcija G(s) se često piše i u tzv. pol-nula formi: ( s  z1 )    ( s  z n ) G( s)  K ( s  s1 )    ( s  s n ) Prenosna funkcija sistema G(s) moţe se pisati i u tzv. vremenska konstanta formi: ( s  1)    ( bm s  1) G( s)  K b1 ( a1 s  1)    ( an s  1) Vaţno je napomenuti da prenosna funkcija sistema nosi kompletnu informaciju o sistemu, odnosno o njegovom impulsnom odzivu. To znači da ako se sistem pobudi ulaznim Diracovim impulsom tada vrijedi: Y ( s)  G( s) jer je Laplace-ova transformacija Dirac-ovog impulsa 1. Ako se u ovom slučaju potraţi inverzna Laplace-ova transformacija dobija se: L-1 {Y (s)}  L-1 {G(s)}  h(t ) i naziva se impulsni odziv sistema.

Proizvod Laplace-ovih transformacija u kompleksnom domenu je ekvivalentan konvoluciji funkcija u vremenskom domenu. Prema tome, Y (s)  G(s)U (s)  y(t )  g (t ) * u(t ) dalje vrijedi: t

t

0

0

y (t )   g ( )u (t   )d   g (t   )u ( )d Prenosne funkcije nekih elementarnih sistema U narednim primjerima biće izvedene prenosne funkcije nekih karakterističnih sistema

Slika 32. realni integrator

U 2 ( s) 1 1   ( RC  1) U 1 ( s) RCs  1 RCs

Slika 33. realni diferencijator

U 2 ( s) RCs   RCs ( RC  1) U 1 ( s) RCs  1

Slika 34. Invertujuće pojačalo

U 2 ( s) R  1 U 1 ( s) R2

Slika 35. Integrator sa operacionim pojačalom

U 2 ( s) 1  U 1 ( s) RCs

Slika 36. Diferencijator sa operacionim pojačalom

U 2 ( s)   RCs U 1 ( s)

Prenosne funkcije multivarijabilnih sistema Prenosna funkcija multivarijabilnih sistema (MIMO – Multi Input Multi Output) dovodi u vezu Lašlace-ovu transformaciju vektora ulaza i vektora izlaza sistema uz pretpostavku svih nultih početnih uslova.

Slika 37. Multivarijabilni sistem

U ovom slučaju vrijedi:

Y (s)  G(s)U (s) gdje je sa Y (s) obiljeţena Laplace-ova transformacija vektora izlaza dimenzija (px1), sa U (s) je obiljeţena Laplace-ova transformacija vektora ulaza dimenzija (rx1), a sa G(s) je označena matrica dimenzija (pxr) i predstavlja prenosnu funkciju multivarijabilnog sistema.  G11  G1r    G(s)       G p1  G pr    Koeficijent Gij (s) u matrici G(s) predstavlja prenosnu funkciju izmeĎu j-tog ulaza i i-tog izlaza kada su svi ostali ulazi nula. Dijagram blokova Grafički opis je vrlo pogodan način prezentacije dinamičkih sistema. Grafički opis daje jasnu sliku svih komponenata u dinamičkom sistemu, te toka signala u sistemu. Takva prezentacija sistema se naziva dijagram blokova. On moţe biti iskorišten za nalaţenje relacija izmeĎu ulazno-izlaznih varijabli, odnosno prenosnih funkcija. Najjednostavniji mogući dijagram blokova je primjer SISO sistema dat na slici 38.

Slika 38. dijagram blokova SISO sistema Strelice u dijagramu blokova se koriste za označavanje toka signala. Vidljivo je i osnovno pravilo dijagrama blokova: Y (s)  G(s)U (s) , tj. izlazni signal Y (s) je proizvod prenosne funkcije G(s) i ulaznog signala U (s) . Osnovna struktura sistema sa povratnom spregom

Slika 39. Osnovna struktura sistema sa pov. vezom Prenosna funkcija sistema na slici 39. se moţe odrediti na slijedeći način: Y (s)  E(s)G(s)  U (s)  H (s)Y (s)G(s) dalje slijedi: Y ( s) G( s) Y ( s)1  G( s) H ( s)  G( s)U ( s)    M ( s) U ( s) 1  G( s) H ( s) G( s) Prema tome prenosna funkcija sistema ima oblik: M ( s)  1  G( s) H ( s)

Opšta struktura sistema sa povratnom spregom Na slici 40. je predstavljena opšta struktura sistema upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom.

Slika 40. U blok dijagramu na slici 40. upotrijebljene su slijedeće oznake: Gr (s) -prenosna funkcija regulatora (kontrolera) sistema G p (s) -prenosna funkcija objekta upravljanja (opisuje dinamiku sistema)

U (s) -referentna (zadana) vrijednost Y (s) -izlaz sistema (upravljana varijabla) d (s) -vanjska smetnja (slučajna i nemjerljiva) Prenosna funkcija objekta upravljanja se obično sastoji od: Ga (s) - prenosna funkcija aktuatora G0 ( s) -prenosna funkcija procesa (dinamika sistema) Gs (s) -prenosna funkcija senzora Sada se mogu formulisati osnovne uloge koje kontroler treba ostvariti: 1. Stabilizacija sistema. Sistem je stabilan ako ograničen ulaz uzrokuje ograničen izlaz 2. Poboljšanje tranzijentnog odziva sistema (ubrzavanje reakcije sistema) 3. Redukcija (ili eliminacija) greške u stacionarnom stanju 4. Redukcija (ili potpuna eliminacija) dejstva vanjske slučajne smetnje Očito da sistem dat na slici 40. ima dva ulaza: U (s) i d (s) . Za izlaz sistema se moţe pisati: Y (s)  M (s)U (s)  L(s) prenosne funkcije M (s) i L(s) se mogu odrediti na slijedeći način: - Neka je d (s)  0 (SISO sistem) tada vrijedi: E ( s)  U ( s)  Y ( s) Y (s)  E (s)Gr (s)G p (s)

-

Eliminacijom E (s) iz prethodne dvije jednačine dobija se: Gr ( s)G p ( s) Y ( s)   M ( s) U ( s) 1  Gr ( s)G p ( s) Neka je sada U (s)  0 , tada se L(s) moţe odrediti na slijedeći način:

F (s)  d (s)  Gr (s)Y (s) Y ( s)  G p ( s) F ( s)

Eliminacijom F (s) iz prethodne dvije jednačine dobija se: G p ( s) Y ( s)   L( s ) d ( s) 1  Gr ( s)G p ( s) Sada na osnovu Y (s)  M (s)U (s)  L(s) vrijedi: Gr ( s)G p ( s) G p ( s) Y ( s)  U ( s)  d ( s) 1  Gr ( s)G p ( s) 1  Gr ( s)G p ( s) Prenosna funkcija objekta upravljanja je fiksna i ne moţe se mijenjati. Mijenjati se moţe transfer funkcija kontrolera Gr (s) . Poţeljno je da M (s)  1 što znači da će izlaz bolje pratiti ulaz kad M (s) teţi 1 a to je slučaj ako je | Gr (s) | 1, meĎutim povećavanjem pojačanja kontrolera sistem se moţe dovesti u nestabilnost. S druge strane analizirajući uticaj smetnje moţe se zaključiti da | L(s) | 0 kad | Gr (s) |  . Naravno, pojačanje kontrolera se ne moţe birati proizvoljno veliko. Nameću se slijedeća ograničenja: - Ekonomska isplativost - Fizikalno je teško napraviti kontroler sa vrlo velikim pojačanjem - Velika potrošnja energije Veliko pojačanje kontrolera datog prenosnom funkcijom Gr (s) znači i da se greška e brţe povećava (upravljački signal veliki) pa sistem brţe reaguje.

Algebra dijagrama blokova Algebra dijagrama blokova je skup pravila koja omogućavaju modifikacije i simplifikacije dijagrama blokova. To su jednostavna pravila bazirana na principima algebre: - Kaskadna (serijska) veza blokova

Slika 41. kaskadna veza blokova

-

Prenosna funkcija ovog sistema je data slijedećim izrazom: n Y ( s) G( s)   G1G2 Gn   Gi U ( s) i 1 Paralelna veza blokova

Slika 42. paralelna veza blokova

Prenosna funkcija sistema sa slike 42. je data slijedećim izrazom: n Y ( s) G( s)    Gi U ( s) i 1 -

Struktura sa povratnom vezom

Slika 43. struktura sa jediničnom povratnom spregom Prenosna funkcija ovog sistema se moţe odrediti prema slijedećem izrazu: G( s) Ge ( s )  1  G( s) Ako su u povratnoj grani nalazi prenosna funkcija H (s) onda se ekvivalentna prenosna funkcija računa prema slijedećem izrazu: G( s) Ge ( s )  1  G( s) H ( s) Pored algerbarskih pravila, algebra dijagrama blokova je komplementirana sa nekoliko "geometrijskih" pravila:

Slika 44.

Slika 45. Kao primjer primjene algebre blokova, potrebno je odrediti prenosnu funkciju G ( s)  sistema predstavljenog dijagramom blokova kao na slici 46.

Y ( s) U ( s)

Slika 46. Primjenom pravila algebre blokova dobija se slijedeće pojednostavljenje:

Slika 47. Sada se dva sumatora mogu zamijeniti pa se dobija slijedeći dijagram blokova:

Slika 48. Sada se moţe uočiti kaskadna veza G1 ( s) i G2 ( s) zajedno sa povratnom vezom preko H 1 ( s)

G3 sa jediničnom prenosnom funkcijom. Prema tome sada se dijagram G1 blokova znatno pojednostavljuje i dobija se: i paralelna veza

Slike 49. Konačno se dobija:

Slika 50.

G  G1G2 Dakle, ekvivalentna prenosna funkcija sistema sa slike 46 je G ( s)   3  1  G1  1  G1G2 H 1 Graf toka signala Pored algebre blokova, za nalaţenje ekvivalentne prenosne funkcije sistema u upotrebi je i tzv. graf toka signala ili Mason-ovo pravilo. Postoji čista analogija izmeĎu dijagrama blokova i grafa toka signala. Glavni elementi grafa toka signala su čvorovi i grane. Grane povezuju čvorove grafa. Grana je ekvivalentna bloku u dijagramu blokova i predstavlja prenosnu funkciju. Ona se sastoji od ulaznog, izlaznog čvora i strelice koja pokazuje tok signala. Sa ovakvom granom je asocirana prenosna funkcija. Čvor u grafu predstavlja signal. Osnovno pravilo za čvor je da je signal u čvoru jednak sumi signala koji dolaze u taj čvor iz vanjskih grana (vaţno je znati da se računaju samo signali koji dolaze u čvor, ali ne i oni koji iz njega odlaze). Signal koji ulazi u čvor A neke grane je jednak ulaznom signalu te grane pomnoţenom sa prenosnom funkcijom te grane. Na primjer, ekvivalentni graf toka signala sistema sa slike 51. je predstavljen na slici 52.

Slika 51. dijagram blokova sistema sa povratnom spregom

Slika 52. graf toka signala sistema sa slike 51

Potrebno je uvesti još neke termine vezane za graf toka signala: 1. čvor izvor (source node) je čvor u grafu toka signala iz kojeg signali samo izviru (ulazni signali su predstavljeni čvorovima) 2. čvor ponor je čvor u grafu u kojeg signali samo poniru (izlazni signali) 3. put je serija grana u grafu od čvora izvora do čvora ponora koje imaju strelice u istom smjeru, a koje ne prolaze niti jedan čvor više od jednom. 4. petlja je zatvoren put grana sa strelicama u istom smjeru u kome se ni jedan čvor ne pojavljuje više od jednom. Čvor izvor i čvor ponor ne mogu biti dio petlje. Pojačanje petlje je proizvod svih prenosnih funkcija u petlji. 5. Nedodirujuće petlje su dvije petlje koje nemaju zajednički čvor. Primjer:

Slika 53. 1. U je čvor izvor 2. Y je čvor ponor 3. Postoje dva puta: P1: 1  G1  G2  G3  G4  G5  1  P1 P2: 1  G1  G6  G4  G5  G1  1  P2 4. Postoje četiri petlje:

L1  G1 H1 L2  G3G4 H 2 L3  G1G2 G3G4 G5 H 3 L4  G1G6 G4 G5 H 3 5. Postoje dvije nedodirujuće petlje: L1  G1 H1 L2  G3G4 H 2 Mason je otkrio elegantnu formulu za nalaţenje prenosne funkcije izmeĎu ulaznih i izlaznih čvorova za sisteme date grafom toka signala: N

G ( s) 

P  k 1

k

k

 gdje su: Pk - pojačanja puteva koji vode od ulaza do izlaza - N - broj puteva izmeĎu ulaznog i izlaznog čvora -  - determinanta grafa toka signala

-

 k - kofaktor puta k

Determinanta grafa toka signala se računa na slijedeći način:   1  Ps  Ps 2  Ps 3  ... gdje je: Ps je proizvod svih pojačanja petlji Ps 2 je proizvod pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih petlji koje se uzimaju po dvije Ps 3 je proizvod pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih petlji koje se uzimaju po tri Kofaktor puta k  k je jednak  za graf toka signala koji se dobije od originalnog grafa kad se iz njega izdvoji dati put. Primjer: Odrediti prenosnu funkciju sistema predstavljenog dijagramom blokova na slici 54.

Slika 54. Ekvivalentna prenosna funkcija sistema biće izračunata korištenjem Mason-ovog pravila tj. prevoĎenjem dijagrama blokova u ekvivalentni graf toka signala.

Slika 55. graf toka signala sistema sa slike 54. Analizom grafa toka signala sa slike 55. dobija se slijedeće: P1  G1G2 G3G4 - Putevi: P2  G1G5G3G4

-

Petlje:

-

L1  G1G2 H1 L2  G2 G3 H 2 L3  G1G5G3 H 2 G2 H1 L4  G1G5G3G4 H 3 L5  G1G5G3G4 H 3 L5  G1G2 G3G4 H 3 Nedodirujućih petlji nema

Prema tome vrijedi:

  1  ( L1  L2  L3  L4  L5 ) 1  1 , 2  1 Za prenosnu funkciju G(s) čitavog sistema dobijamo: P1  P2 G( s)  1  ( L1  L2  L3  L4  L5 ) odnosno G1G3G4 (G2  G5 ) G( s)  1  G1G2 H 2  G2 G3 H 2 (1  G1 H 1 )  G1G3G4 H 3 (G5  G2 ) Linearizacija modela dinamičkih sistema Kao što je poznato postoji samo opšta teorija analize i sinteze linearnih dinamičkih sistema. Nekada je moguće izvršiti dobru aproksimaciju nelinearnih sistema odgovarajućim linearnim modelom tj. moguće je izvršiti linearizaciju nelinearnih sistema oko nominalnih radnih trajektorija (radnih tačaka), te ih je moguće analizirati kao linearne sisteme. Linearizacija nelinearnog sistema I reda U opštem slučaju sistem je opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: dx(t ) x(0)  x0  f ( x(t ), u (t )) , dt Neka sistem funkcionira oko nominalne trajektorije xn (t ) pogonjen ulazom u n (t ) . Tada se sistem opisuje jednačinom: x n (t )  f ( xn (t ), u(t )) Neka se sistem kreće oko nominalne trajektorije kao na slici 56.

Slika 56.

Neka je stvarno kretanje sistema označeno sa x(t ) . Tada se moţe pisati: x(t )  xn (t )  x(t ) dakle, stvarno kretanje se moţe prikazati kao suma nominalnog stanja i odstupanja označenog sa x(t ) . Analogno se moţe predstaviti upravljački signal u (t ) : u(t )  u n (t )  u(t ) Sada se jednačina kretanja sistema moţe pisati u obliku: x(t )  f ( x(t ), u(t ))  x n (t )  x(t )  f ( xn (t )  x(t ), u n (t )  u(t )) Razvojem funkcije f ( xn (t )  x(t ), un (t )  u(t )) u Taylor-ov red uz zanemarivanje članove višeg reda dobija se: f f x n (t )  x (t )  f ( xn , u n )  x  u x u odnosno f f x (t )  | x  xn x  |u un u x u Dobijena linearna diferencijalna jednačina opisuje odstupanja od nominalnih radnih tačaka. Moţe zapisati u obliku: x(t )  ax(t )  bu u opštem slučaju koeficijenti a i b su funkcije vremena tj. a  a(t ) i b  b(t ) . Ako sistem radi u okoline nominalnih radnih tačaka koeficijenti a i b su pribliţno konstantni. Linearizacija sistema II reda Sistem II reda je u opštem slučaju dat slijedećom diferencijalnom jednačinom: x(t )  f ( x(t ), x(t ), u(t ), u(t )) , x(0)  x0 , x(0)  x0 Nominalna trajektorija sistema se kao u prethodnom slučaju obiljeţava sa xn (t ) a nominalni upravljački signal sa u n (t ) . Kao u prethodnom slučaju sistema I reda moţe se pisati: x(t )  xn (t )  x(t ) u(t )  u n (t )  u(t ) gdje su sa x(t ) i u (t ) obiljeţene stvarne trajektorije sistema i upravljačkog signala respektivno. Sada se diferencijalna jednačina sistema II reda moţe napisati u obliku: xn (t )  x(t )  f ( xn  x, x n  x, u n  u n , u n  u ) Razvojem funkcije f ( xn  x, xn  x, un  un , un  u ) u Taylor-ov red, zanemarivanjem članova višeg reda i sreĎivanjem dobija se slijedeći izraz: f f f f x(t )  x  x  u  u x x u u pri čemu su parcijalni izvodi računati u radnoj tački ( xn , u n , x n , u n ) . x  a1x  a2 x  b0 u  b1u Dobijena jednačina opisuje odstupanje trajektorije sistema od nominalne. Ista tehnika se jednostavno proširuje na sisteme višeg reda.

Specifikacija performansi sistema automatskog upravljanja Tranzijentni i ustaljeni odziv U analizi i sintezi sistema upravljanja vrlo je vaţno naći metod specifikacije performansi sistema automatskog upravljanja. Takva specifikacija se prirodno daje u vremenskom domenu. U opštem slučaju specifikacije sistema se odnose na specifikacije tranzijentnog i ustaljenog ponašanja sistema. Odziv svakog linearnog sistema je u opštem slučaju sastavljen iz dvije komponente: y(t )  ytr (t )  y ss (t ) gdje je: ytr (t ) - tranzijentni odziv sistema y ss (t ) - ustaljeni odziv sistema Pri čemu za stabilne sisteme vrijedi: lim ytr (t )  0 . t 

Nakon uspostavljanja specifikacija ponašanja sistema u vremenskom domenu, biće odreĎene relacije izmeĎu parametara u vremenskom domenu i pozicija nula i polova u domenu kompleksne promjenljive s. Tranzijentni odziv sistema II reda Sistem drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom je prikazan na slici 57.

Slika 57. sistem II reda Ekvivalentna prenosna funkcija je odreĎena izrazom: K Y (s)  2n T G(s)    2 s K s  2 n s   n 2 U (s) s2   T T pri čemu je: K - n  prirodna učestanost sistema T 1 -  faktor prigušenja sistema 2 nT Svaki sistem II reda se moţe svesti na ovu formu. Kao testni ulaz se najčešće koristi odskočna (step) funkcija. Za ovakav tesni signal se jednostavno mogu porediti različiti sistemi odnosno njihovi odzivi. Karakteristična jednačina ovog sistema je: s 2  2 n s   2 n  0 . Rješavanjem karakteristične jednačine dobiju se polovi sistema: s1 / 2   n  jn 1   2   n  jd

gdje je sa  d   n 1   2 označena prigušena učestanost

104

Poloţaj polova sistema u kompleksnoj ravni je prikazan na sklici 58.

Slika 58. polovi sistema II reda u kompleksnoj ravni Promjenom  i  n mijenja se poloţaj polova u kompleksnoj ravni i u zavisnosti od toga, odziv sistema. U zavisnosti od vrijednosti parametra  mogu se pojaviti tri karakteristična slučaja: -   1 tzv. kritično prigušen sistem -   1 tzv. nadkritično prigušen sistem -   1 tzv. podkritično prigušen sistem U slučaju kritično prigušenog sistema vrijedi:

 2n  2n  2 2 s( s 2  2 n s   n ) s( s   n ) n 1 1  } y(t )  L-1 {Y ( s)} = L-1 {  s s  n (s  n ) 2 Y ( s) 

Nalaţenjem inverzne Laplace-ove transformacije dobija se odziv sistema u vremenskom domenu: y(t )  1  e nt  n te nt  y ss (t )  ytr (t ) odziv u ustaljenom stanju je: y ss (t )  1 , a tranzijentni dio odziva je ytr (t )  e nt  n te nt Moţe se zaključiti da tranzijentni odziv iščezne tokom vremena. U slučaju nadkritično prigušenog sistema (  1) vrijedi:

Y ( s) 

 2n s( s 2  2 n s   2 n )

105

U ovom slučaju sistem ima dva realna pola: s1 / 2   n  n  2  1   n   d Rastavljanjem Y (s) na parcijalne razlomke dobija se: K1 K2 1 Y ( s)    s s   n   d s   n   d Za vremenski odziv se dobija: y(t )  1  K1e ( n d )t  K 2 e ( n d )t Tranzijentni dio odziva ytr (t )  K1e ( n d )t  K 2 e ( n d )t iščezava sa vremenom brzinom koju odreĎuje najsporiji pol sistema. Povećavanjem prirodne učestanosti  n sistem se ubrzava..

U slučaju podkritično prigušenog sistema (  1) vrijedi:

n 2 Y ( s)  2 s( s 2  2 n s   n ) U ovom slučaju polovi sistema su konjugovano kompleksni: s1 / 2   n  j n 1   2 Vremenski odziv se dobija inverznom Laplace-ovom transformacijom i iznosi: e  nt y (t )  1  sin( n 1   2 t   ) 2 1 Sada se u odzivu javljaju oscilacije. Na slici 59 su prikazani odzivi sistema za različite vrijednosti parametra prigušenja  .

Slika 59. odziv sistema u ovisnosti o prigušenju

106

Standardne performanse sistema se obično definišu u odnosu na dziv sistema na odskočnu (step) funkciju kao što je to prikazano na slici 60.

Slika 60. parametri odziva sistema Slijedeći parametri definišu odziv sistema: - Tr - vrijeme porasta (rise time) je vrijeme za koje odziv sistema proĎe vrijednosti od 0 do 100 % vrijednosti u stacionarnom stanju. Ovakva definicija vremena porasta se upotrebljava u podkritično prigušenim sistemima - Tr1 - vrijeme porasta je vrijeme za koje odziv sistema proĎe vrijednosti od 10% do 90% vrijednosti u ustaljenom stanju. Ovakva definicija se koristi za nadkritično prigušene sisteme (  1) - T p - vrijeme preskoka (peak time) je vrijeme za koje se desi maksimalni preskok stacionarne vrijednosti. - Ts - vrijeme smirenja (settling time) je vrijeme za koje odziv sistema dostigne i ostane u intervalu od -5% do 5% stacionarne vrijednosti. - Preskok u oznaci OS (overshoot) se definiše kao razlika y(t ) max  r (t ) gdje je r (t ) jedinična step funkcija Obično se za definisanje odziva koriste vrijeme smirenja i veličina preskoka. Da bi odredili vrijeme preskoka T p i veličinu preskoka potrebno je odrediti

dy (t )  0 gdje je dt

odziv sistema dat sa:

y (t )  1 

e  nt 1

2

sin( n 1   2 t   )

gdje je:   arccos( ) i 0    1 . Nakon sreĎivanja dobija se:

107

Tp 

 n 1   2

OS  y (T p )  1  e



 1 2

Preskok se često daje u procentima: MPOS  exp{

 exp{

 1 2

}



}  100% 1 2 gdje je sa MPOS (Maximum Percent OverShoot) označen maksimalni preskok u procentima. Iz posljednjeg izaraza se moţe zaključiti da je preskok samo funkcija prigušenja. Iz izraza za odziv sistema u vremenskom domenu se vidi da tranzijentni dio nestaje sa vremenskom konstantom   ( n ) 1 . Obično se uzima da je svaki prelazni proces završen za 3  5 pa sa vrijeme smirenja često definiše kao: 3 Ts 

 n

Dakle, za zadato vrijeme smirenja i maksimalni prekok, koeficijent prigušenja  i prirodna učestanost se moţe dobiti iz izraza za preskok i vrijeme smirenja. Na ovaj način je uspostavljena veza izmeĎu parametara koji karakterišu vremenski odziv sistema i lokacija polova u kompleksnom domenu. Tranzijentni odziv sistema višeg reda U prethodnom izlaganju je izvršena karakterizacija odziva sistema II reda. U opštem slučaju nije moguće izvesti analitičke izraze za karakterizaciju tranzijentnog odziva sistema višeg reda. Ipak, često je moguće aproksimativno odrediti parametre tranzijentnog odziva sistema višeg reda pomoću parametara odziva sistema II reda. Sistem upravljanja sa jediničnom povratnom vezom se moţe predstaviti u slijedećem obliku: G( s) Q( s ) Q( s ) M ( s)    2 2 1  G( s) P( s) ( s  2 n s   n )(s  p1 ) ( s  p n2 ) Dinamiku sistema praktično odreĎuju tzv. "spori" polovi tj. polovi najbliţi imaginarnoj osi. Oni dalji brţe iščeznu u vremenu.

Slika 61. dominantni polovi sistema višeg reda 108

Sistem višeg reda se moţe dobro aproksimirati sistemom II reda ukoliko ima par konjugovano kompleksnih polova koji su mnogo bliţe imaginarnoj osi od svih ostalih polova. Ovi polovi se nazivaju dominanti polovi i predstavljeni su na slici 61. Greške ustaljenog stanja Na slici 62. data je opšta struktura sistema upravljanja sa jediničnom povratnom vezom.

Slika 62. Najprije će se izvršiti analiza odziva sistema i grešaka ustaljenog stanja po pretpostavkom da nema djelovanja smetnje d. Kao što je ranije pokazano, vremenski odziv sistema se moţe predstaviti u vidu sume tranzijentnog i stacionarnog dijela: y(t )  y ss (t )  ytr (t ) pri čemu za stabilan sistem vrijedi: y ss (t )  lim y(t ) t 

lim ytr  0 t 

Na ulaz se dovodi referentni signal r (t ) koji predstavlja ţeljeni izlaz sistema. Formira se razlika izmeĎu referentnog ulaza i stvarnog izlaza i dobija signal greške e(t )  r (t )  y(t ) . Ovaj signal zajedno sa kontrolerom Gr (s) pogoni sistem u cilju redukcije greške e(t ) . Na osnovu strukture sistema moţe se pisati: E (s)  R(s)  E (s)Gr (s)Go (s) ako se označi G(s)  Gr (s)Go (s) dobija se: R( s ) E ( s)  1  G( s) Sada se greška stacionarnog stanja moţe dobiti na slijedeći način: s  R( s ) ess (t )  lim e(t )  lim sE( s)  lim t  s 0 s 0 1  G ( s ) Prema tome vidi se da greška zavisi od sistema, regulatora i od ulaza. Najčešće se kao referentni ulazi koriste slijedeći signali: t0 0, r (t )   - step funkcija definisana kao: t0 1, -

rampa funkcija definisana kao:

-

parabola funkcija definisana kao:

0, r (t )   t , 0, r (t )   2 t ,

t0 t0

t0 t0

109

Tip sistema upravljanja sa povratnom spregom definiše broj polova sistema u koordinatnom početku prenosne funkcije otvorenog sistema (direktne grane). Prema tome, za sistem se kaţe da je tipa j ako se prenosna funkcija dir. Grane moţe  (s  zi ) , predstaviti u obliku: G ( s)  j pi  0 s  ( s  pi ) Ako je na ulaz sistema sa slike 62. doveden step referentni ulaz (r (t )  1), t  0 tada

vrijedi:

1 s  R( s) 1 s  ess (t )  lim  lim s 0 1  G ( s ) s 0 1  G ( s ) 1  lim G ( s) s

s 0

Neka je K p  lim G( s) , tada se za grešku stacionarnog stanja dobija: ess (t )  s 0

1 1 K p

Da bi greška stacionarnog stanja u potpunosti bila eliminisana potrebno je da K p   , a to će biti zadovoljeno u slijedećem slučaju: K  (s  zi ) K p  lim j   za j  1 s 0 s   ( s  pi ) Prema tome da bi greška stacionarnog stanja odziva sistema na step ulaz bila svedena na nulu potrebno je da postoji bar jedan pol u G(s)  Gr (s)Go (s) bilo u kontroleru ili u objektu upravljanja. Ako je na ulaz sistema sa slike 62. rampa funkcija r (t )  t , tada je R( s)  greška stacionarnog stanja moţe računati potpuno analogno prethodnom slučaju. s  R( s ) 1 1 1 ess  lim E ( s)  lim  lim   s 0 s 0 1  G ( s ) s 0 s (1  G ( s )) lim sG( s) K v

1 , pa se s2

s 0

gdje je: K v  lim sG( s) . Da bi se greška potpuno eliminisala potrebno je da K v   , a to će s 0

biti zadovoljeno u slijedećem slučaju: s  K  (s  zi ) K v  lim j   za j  2 s 0 s   ( s  pi ) Prema tome, u direktnoj grani mora postojati dvostruki integrator (bilo u kontroleru ili objektu upravljanja). U slučaju da je na ulaz sistema doveden parabola ulaz, analogno se moţe zaključiti da je potreban trostruki integrator u direktnoj grani odnosno pol s  0 višestrukosti 3. Osnove funkcije regulatora (kontrolera) su stabilizacija sistema, popravka dinamičkih karakteristika i redukcija vanjske smetnje. Vanjska smetnja je u opštem slučaju stohastička veličina i ne moţe se analitički opisati, mada je često moguće aproksimirati smetnju sa nekim poznatim funkcijama npr. step amplitudno skaliranim step funkcijama. Zbog toga je potrebno ispitati kako se sistem nosi sa djelovanjem konstantne smetnje d (t )  const. S tim ciljem neka je sada r (t )  0 , tj. nema ulaznog signala jer se analizira odziv sistema samo u odnosu na djelovanje smetnje. Sada se moţe pisati:

110

E (s)  Y (s) i E ( s)  

d ( s)Go ( s) 1  Gr ( s)Go ( s)

1 uz pretpostavku da vrijedi: d (t )  1  d ( s)  , dobija se: s s  d ( s)Go ( s) Go ( s ) lim e(t )  lim sE( s)   lim  t  s 0 s  0 1  Gr ( s)Go ( s) 1  Go ( s)Gr ( s)

1 lim Gr ( s)  s 0

1 lim Go ( s) s 0

Iz prethodnog izraza se vidi da će greška zbog djelovanja smetnje biti eliminisana ako lim Gr ( s)   tj. ako kontroler ima bar jedan pol u nuli, odnosno integrator. s 0

Slika 63. Eliminacija step smetnje. 111

Prema tome, da bi sistem pratio referentni step ulaz potrebno je da postoji bar jedan integrator ili u kontroleru ili u objektu upravljanja. Da bi se uz to izvršila i eliminacija step smetnje potrebno je da kontroler sadrţi integrator. Dakle, kontroler sa integratorom omogućava eliminaciju greške stacionarnog stanja i eliminaciju djelovanja step smetnje. Na slici 63. je dat uporedan prikaz odziva sistema (sa integratorom u kontroleru) bez djelovanja step smetnje, vremenski izgled smetnje i odziva sistema sa djelovanjem smetnje. Vidi se da sistem potpuno potiskuje smetnju. Analogno sa prethodnim izlaganjem moţe se zaključiti da će sistem potisnuti smetnju u vidu rampa vremenske funkcije ako kontroler sadrţi dvostruki pol u nuli, odnosno dvostruki integrator. Stabilnost dinamičkih sistema Za sistem se kaţe da je stabilan ako za svaki ograničen ulaz sistem reaguje oraničenim izlazom. Ovo je tzv. BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilnost. To se matemaički moţe zapisati u obliku: r (t )  M  y(t )  N Ako sistem daje neograničen izlaz, tada u samom sistemu postoje izvori energije (npr. nuklearna reakcija). Prenosna funkcija sistema, kao što je poznato, se moţe zapisati u obliku: Q( s ) G( s)  P( s ) Ako se sitem pobudi Dirac-ovim impulsom tada vrijedi: u(t )   (t )  L g (t )  1  Y (s)  G(s)U (s)  Y (s)  G(s) Prema tome moţe se pisati: Q( s ) Y ( s)  P( s ) vremenski odziv se dobija nalaţenjem inverzne Laplace-ove transformacije: Q( s) } y(t )  L-1 { P( s) i mogući su slijedeći slučajevi: 1. lim y(t )  0 . Za ovakav sistem se kaţe da je asimptotski stabilan t 

2.

lim y(t )  M   . Ovakav sistem konzervira ubačenu energiju. Kao primjer moţe t 

posluţiti oscilatorno LC kolo bez gubitaka (bez R), tada postoji oscilovanje energije konstantnim amplitudama. 3. lim y(t )   . Za ovakav sistem se kaţe da je nestabilan. U sistemu se proizvodi t 

energija i sistem se ne vraća u stacionarno stanje. Fizikalno, amplituda odziva ne moţe rasti proizvoljno, već ide u zasićenje. Stabilnost sistema direktno zavisi od lokacije polova u kompleksnoj ravni. Prenosna funkcija sistema se moţe napisati u slijedećem obliku: Q( s ) Q( s ) G( s)   q 2 P( s) ( s  p1 ) ( s  p 2 ) ( s  p 2 *) 2  ( s  pi ) gdje je: 112

-

p1  1 p2   2  j p2   2  j pi   i

realni pol sistema višestrukosti q kompleksni pol višestrukosti 2 konjugovano kompleksni pol višestrukosti 2 realni pol sistema višestrukosti 1

Pod pretpostavkom da je sistem pobuĎen Dirac-ovim impulsom vrijedi: y(t )  L-1 {G(s)}  L-1 {Y ( s)} q

K1i K 23 Ki K 21 K 22 K 24      } i 2 2 ( s  p 2 ) ( s  p 2 *) ( s  p 2 ) ( s  p 2 *) i 1 ( s  p1 ) i s  pi Odnosno, u vremenskom domenu: y(t )  L

-1

{ q

y(t )   Ci t i 1e p1t  C q 1e 2t sin( t  1 ) C q  2 te  2t sin( t   2 )   K i e pit i 1

i

Prema tome da bi sistem bio stabilan odnosno lim y(t )  0 , mora biti ispunjen slijedeći uslov: t 

Re pi   0, zai što znači da je oblast stabilnosti lijeva poluravan kompleksne ravni. Ako postoji jednostuki pol u nuli tada vrijedi: lim y (t )  M t 

pa je sistem marginalno stabilan. Ako su polovi konjugovano kompleksni i nalaze se na imaginarnoj osi tada su na izlazu sinusne oscilacije konstantne amplitude. Sistem je nestabilan ako: 1. postoji barem jedan pol za koji vrijedi: Re{ pi }  0 2. na imaginarnoj osi postoje višestruki polovi. Algebarski kriterijumi stabilnosti Za davanje odgovora na pitanje da li je sistem stabilan ili ne, nije neophodno naći polove sistema. Dovoljno je odrediti da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni. Algebarski kriterijumi stabilnosti daju odgovor na pitanje da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni, ali ne i na pitanje koje su vrijednosti polova. Karakteristična jednačina sistema se moţe predstaviti u obliku: s n  a n 1 s n 1  ...  a0  0 Rješavanjem prethodne jednačine dobiju se polovi p1 , p2 , pn . Ako su svi polovi negativni tada se karakteristični polinom sistema moţe napisati u obliku: (s  p1 )(s  pn )  (s  1 )(s   n )  s n  an1 s n1  ...  a0 gdje je  i   pi . Tada svi koeficijenti karakterističnog polinoma: a0 , a1 ,an1 moraju biti pozitivni. Obrnuto ne vaţi. Teorema: Ako je bilo koji od koeficijenata karakterističnog polinoma nula ili manji od nule, onda dati sistem ne moţe biti asimptotski stabilan. Prethodna teorema daje dovoljne uslove za nestabilnost sistema i u isto vrijeme daje potrebne uslove za stabilnost sistema. Ako vrijedi ai  0 , tada je potrebno dalje ispitivanje.

113

U upotrebi su najčešće dva kriterijuma stabilnosti: - Routh-ov - Hourwitz-ov Routh-ov kriterij Za karakterističnu jednačinu sistema: s n  a n 1 s n 1  ...  a0  0 , Routh-ov kriterij se svodi na formiranje slijedeće tabele: a n  2 a n  4 ... an sn n 1 a n 1 a n 3 a n 5 ... s A3 ... A2 A1 s n2

s n 3

B1

B2

B3

...

n4

C1

C2

C3

...

 s0

 H1





...

s

Koeficijenti Ai , Bi , Ci - se računaju na slijedeći način:

a n 1 a n 2  a n a n 3 a a  a n a n 5 A2  n 1 n  4 a n 1 a n 1 A a  a n 1 A2 A a  a n 1 A3 B1  1 n 3 B2  1 n  5 A1 A1 B A  A1 B3 B A  A1 B2 C1  1 2 C2  1 3 B1 B1 Da bi karakteristična funkcija imala sve polove u lijevoj s-poluravni (asimptotski stabilan sistem) potrebno je i dovoljno da su svi koeficijenti u prvoj koloni koeficijenata Routhove tablice pozitivni. A1 

Primjer: Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedećom prenosnom funkcijom: 1 G( s)  4 3 s  6s  13s 2  12s  4 Odgovarajuća Routh-ova tablica je:

s4 s3 s2 s1 s0

1 6 11 9.8 4

13 12 4 0

4 0

Prema tome, sistem je asimptotski stabilan. Primjer: Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedećom prenosnom funkcijom: 2s  1 G( s)  6 5 4 s  s  3s  2s 3  s 2  2s  1

114

Odgovarajuća Routh-ova tablica je: 1 s6 5 1 s 4 1 s 3 3 s 2 -1.33 s 1 3.25 s 0 1 s

3 2 -1 1 1 0

1 2 1 0

1 0

Prema tome, moţe se zaključiti da je sistem nestabilan. Teorema: Broj promjena znaka u prvoj koloni koeficijenata Routh-ove tablice odreĎuje broj nestabilnih polova. Prednost kriterija stabilnosti je, u opštem slučaju, mogućnost analize stabilnosti sistema u funkciji nepoznatog parametra. Primjer: Odrediti parametar K tako da sistem dat prenosnom funkcijom: s 1 G( s)  4 3 s  2s  Ks 2  s  3 bude asimptotski stabilan. Za dati sistem se formira slijedeća Routh-ova tablica:

s4 s3 s2 s1 s0

1 2 2K  1 2 2 K  13 2K  1 3

K 1

4 0

3 0

Da bi sistem bio stabilan potrebno je da budu ispunjeni slijedeći uslovi: 2K  1 2 K  13 0 i 0 2 2K  1 Odavde slijedi K  6.5 . Prema tome sistem je stabilan za vrijednosti parametra K  6.5 . Prilikom primjene Roth-ovog kriterija je moguća pojava nultih elemenata u prvoj koloni koeficijenata. Pored ovoga, moguće je da se pojavi i kompletan nulti red. U oba slučaja sistem nije asimptotski stabilan, ali je interesantno razmatrati ove slučajeve u cilju otkrivanja da li je sistem moţda marginalno stabilan ili nestabilan. U slučaju da se pojavi nulti element u prvoj koloni koeficijenata, tada se umjesto nula zamijeni sa nekim malim pozitivnim brojem  i procedura se dalje nastavi. Na kraju se potraţi lim i izvrši klasična naliza prve kolone koeficijenata.  0

Primjer

115

Ispitati stabilnost sistema datog slijedećom prenosnom funkcijom: 6s  1 G( s)  5 4 s  2s  3s 3  4s 2  5s  6 Za dati sistem formira se Routh-ova tabela:

s5 s4 s3 s2

1 2 1

3 4 2 6

 2  6 

s1 s0

5 6 0

0 0

0

1

U trećem redu Routh-ove kolone se pojavila nula koja se zamjenjuje sa  (gdje je   0 ). Routh-ova tablica kada se pusti lim dobija slijedeći oblik:  0 

5

1 2 1 0

s s4 s3 s2 s1 s0

3 4 2 6 0

 1

5 6 0

0

Prema tome, uočavaju se dvije promjene predznaka pa se moţe zaključiti da je sistem nestabilan i da ima dva nestabilna pola (u desnoj s poluravni). U slučaju kada se pojavi kompletan nulti red sistem nije asimptotski stabilan, ostaje da se ispita da li je evantualno marginalno stabilan. Procedura je slijedeća: 1. Kada se pojavi nulti red formira se pomoćni parni (neparni) polinom d (s) od koeficijenata reda iznad nultog reda. d (d ( s )) , a zatim koriste koeficijenti ovog polinoma umjesto dobijenih 2. NaĎe se ds nultih koeficijenata. 3. Nastavi se standardno formiranje tabele P(s)  P(s)d (s)

Primjer: Ispitati stabilnost slijedećeg sistema:

G( s) 

1 s  s  2s  2s 2  s  1 5

4

3

Prva tri reda Routh-ova tablica:

s5 s4 s3

1 1 0

2 2 0

1 1 0

0 0

116

U ovom slučaju u trećem redu se pojavljuje nulti red, pa se formira pomoćni polinom d ( s )  s 4  2s 2  1 Dalje je: d (d ( s))  4s 3  4s ds sada Routh-ova tablica poprima slijedeći oblik:

s5 s4 s3 s2 s

1 1 4 1 0

2 2 4 1 0

1 1 0

0 0

Sada se ponovo pojavljuje nulti red, sada u petom redu tablice. Ponovo se formira pomoćni polinom: d1 ( s )  s 2  1 diferenciranjem se dobija: d1 ( s)  2s Konačno tablica ima slijedeći izgled:

s5 s4 s3 s2 s1 s0

1 1 4 1 2 1

2 2 4 1 0

1 1 0

0 0

S obzirom da je: d1 (s)  s 2  1  0  s1 / 2   j d (s)  (d1 (s)) 2  0  s1 / 2   j, s3 / 4   j sistem je nestabilan jer na imaginarnoj osi postoje polovi  j višestrukosti 2.

Hurwitz-ov kriterijum Za datu karakterističnu jednačinu formira se matrica oblika:

a n 1 a  n  0  h   0     0  

a n 3 a n2 a n 1 an  0

a n 5 an4 a n 3 an2  0

 0  0   0   0  0  a1 0  a 2 a 0  117

Potreban i dovoljan uslov da je sistem sa karakterističnom jednačinom: s n  a n 1 s n 1  ...  a0  0 asimptotski stabilan (ima sve polove u lijevoj s poluravni) je da su svi dijagonalni minori matrice i koeficijent a n pozitivni. To se moţe zapisati na slijedeći način: an  0 1  an1  0

2 

a n 1 an

a n 1  3  an 0

a n 3 0 an2 a n 3 an2 a n 1

a n 5 a n  4  0, a n 3

Posljednji dijagonalni minor  n je sama Hurwitz-ova determinanta. Pošto su svi elementi osim posljednjeg, zadnje kolone jednaki nuli, zuadnji minor se moţe predstaviti u slijedećem obliku:  n  a0  n1 Prema tome, ako su svi prethodni minori pozitivni, onda se uslov da posljednji minor bude takoĎe veći od nule svodi na to da slobodni član karakteristične jednačine a 0 bude pozitivan. Sistem će biti granično stabilan akao je posljednji dijagonalni minor jednak nuli, a svi prethodni veći od nule. Posljednji dijagonalni minor  n će biti nula ako je a0  0 ,  n1  0 i a0   n1  0 . Ako je a0  0 , tada sistem ima pol u koordinatnom početku, a ako je  n1  0 sistem ima par konjugovano kompleksnih polova na imaginarnoj osi. Primjer: Ispitati stabilnost sistema:

G( s) 

1

s  s  s 1 Na osnovu karakteristične jednačine ovog sistema: s 3  s 2  s  1  0 , formira se Hurwitz-ova matrica:   1  1 0  1 1 0    0  1  1 3

2

vrijedi:

an  a3  1  0 , 1  1  0 ,  2  0 i  3  0 Sistem je nestabilan jer je minor 1  0 .

118

Geometrijsko mjesto korijena – GMK (Root Locus) Na slici je dat tipičan primjer sistema upravljanja u zatvorenoj povratnoj sprezi.

Slika 64. Neka je prenosna funkcija kontrolera: Gr  K , dakle samo pojačanje. Prenosna funkcija cjelokupnog sistema je: Q( s ) K KGo ( s ) Y (s) P( s)   Q( s ) R( s ) 1  KGo ( s) 1 K P( s) Karakteristična jednačina sistema je: Q( s ) 1 K 0 P( s ) pri čemu se pojačanje K mijenja u granicama 0  K   . Pomoću metode GMK analizira se poloţaj polova u kompleksnoj ravni sistema sa zatvorenom spregom kada se statičko pojačanje K mijenja u granicama od 0 do  . Prema tome, GMK daje geometrijsko mjesto korijena u zatvorenoj sprezi u funkciji statičkog pojačanja K direktne grane. Geometrijsko mjesto korijena (GMK) se moţe definisati na više načina. Dvije moguće definicije su: 1. GMK sačinjavaju krive u s-ravni po kojima se kreću polovi funkcije zatvorenog sistema tj. korijeni karakteristične jednačine kada se faktor pojačanja K kreće u granicama 0  K   . Q( s ) 1 i 2. GMK se satoji od tačaka u s-ravni za koje vrijedi: K P( s) Q( s ) arg{ }   (2k  1) gdje je k  0,  1,  2, P( s ) Druga definicija GMK je direktna posljedica karakteristične jednačine sistema upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom. Na slici 66. prikazano je geometrijsko mjesto korijena za slučaj sistema datog na slici 65: Q( s ) K Go ( s )  K  P( s) s( s  2)

Slika 65.

119

Slika 66. GMK sistema sa slike 65. U opštem slučaju moţe se pisati:

Q(s)  (s  z1 )(s  z m ) P(s)  (s  p1 )(s  pn ) sa p i su označeni polovi sistema, a sa z i nule sistema i vrijedi n  m . Konstrukcija GMK Konstrukcija GMK se zasniva na slijedećim pravilima: 1. GMK počinje za K=0 iz polova sistaema sa otvorenom povratnom spregom. Polovi sistema se dobijaju rješavanjem jednačine P(s)  0 . K Za sistem G( s)  poloţaj polova je prikazan na slici 67. ( s  1)( s  2)( s  3)

Slika 67. poloţaj polova u kompleksnoj ravni 2. GMK završava za K   u m konačnih nula sistema sa otvorenom povratnom spregom, dok ostalih n  m grana ide u beskonačnost. 3. GMK se sastoji od ukupno m grana.

120

4. GMK je simetričan u odnosu na realnu osu. Iz same definicije GMK slijedi: m

n

  (s  z )    (s  p )   (2k  1) i

i 1

i

i 1

5. Tačka na realnoj osi pripada GMK ako je ukupan broj nula i polova sistema sa otvorenom povratnom spregom udesno od te tačke neparan. 6. Uglovi asimptota koje odgovaraju n  m grana koje završavaju u beskonačnosti su dati sa:

 l  (2k  1) a tačka presjeka asimptota je data sa:

a 



nm

 p z i

i

i

i

nm 7. Tačke odvajanja grana od realne ose date su rješavanjem jednačine po  0 : n

m 1 1  0   i 1  0  pi i 1  0  z i 8. Kritično pojačanje K za koje neke od grana GMK presjecaju imaginarnu osu se odreĎuje na osnovu Routh-ovog kriterija primijenjenog na jednačinu: P(s)  KQ(s)  0

Na osnovu prethodnih pravila moguće je nacrtat GMK. Primjer izgleda GMK za sistem zadat prenosnom funkcijom G(s) je predstavljen na slici 68.

Slika 68. GMK

121

Sinteza kontrolera u kompleksnom domenu Za sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom na slici 69. problem sinteze se svodi na slijedeće korake: 1. Izbor strukture regulatora (broj nula i broj polova) 2. OdreĎivanje parametara (pojačanje, nule i polovi)

Slika 69. opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom U opštem slučaju prenosna funkcija kontrolera se moţe predstaviti u obliku: m

Gr ( s) 

K  (s  zi ) i 1 n

 (s  p ) i

i 1

Analiza uticaja dodavanja nula i polova kontrolera na karakteristike sistema biće sprovedena na jednostavnom primjeru sistema: 1 Go ( s )  s( s  2) Najjednostavniji regulator predstavlja samo statičko pojačanje tj. Gr ( s)  K . GMK ovakvog sistema je prikazan na slici 70.

Slika 70. GMK sistema sa kontrolerom Gr ( s)  K Promjena pojačanja K uzrokuje kratanje polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom (na slici prikazani kvadratićima) po granama GMK. Promjenom pojačanja oblik GMK se ne mijenja.

122

U slučaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika: K Gr ( s )  ( s  a) tj. pored statičkog pojačanja uvodi se pol s  a, (a  0) . GMK ovakvog sistema za slučaj a  4 ima slijedeći oblik:

K s4 Analizirajući sliku 71. moţe se zaključiti da dodavanje pola zakreće grane GMK udesno. Sistem postaje "manje stabilan". Promjena pojačanja K uzrokuje pomicanje polova sistema po granama GMK i sada postoji odreĎeno kritično pojačanje za koje sistem postaje nestabilan. U slučaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika: Gr (s)  K (s  b) GMK ovakvog sistema za slučaj b  4 je prikazn na slici 72. Slika 71. GMK sistema sa kontrolerom Gr ( s) 

Slika 72. GMK sistema sa kontrolerom Gr (s)  K (s  4) U slučaju dodavanja nule, grane GMK se zakreću ulijevo. Sistem postaje "stabilniji" i brţi. Interesantno je primijetiti da sistem dat prenosnom funkcijom Gr (s)  K (s  b) predstavlja idealni diferencijator, što praktično nije moguće ostvariti jer je takav sistem nekauzalan. Ovakav sistem diferencira grešku i moţe imati nepovoljan efekat naročito u slučaju prisustva

123

šuma mjerenja koji je inherentno visokofrekventni, pa moţi doći do znatnog izobličenja signala. Na primjer neka se neki signal y (t ) moţe prikazati u obliku: y(t )  yt (t )  s(t ) gdje s(t ) predstavlja šum mjerenja i neka se s(t ) moţe aproksimirati izrazom s(t )  a sin t . Diferenciranjem signala y (t ) dobija se: dy (t ) dyt (t )   a cos t dt dt dakle, došlo je do značajnog pojačavanja šuma za faktor  . Opšta struktura kontrolera je data prenosnom funkcijom: m

Gr ( s) 

K  (s  zi ) i 1 n

 (s  p ) i

i 1

Teorijski gledano nule kontrolera se mogu izabrati tako da skrate neţeljene polove sistema, a polovi regulatora se onda mogu izabrati tako da se u potpunosti zadovolje postavljene specifikacije. MeĎutim ovakav pristup ima dva vaţna nedostatka: 1. Kontroler je veoma kompleksan i skup 2. Prenosna funkcija objekta nikada nije 100% poznata pa nije moguće izvršiti idealno kraćenje neţeljenih polova objekta i nula kontrolera. Cilj je imati što bolje performanse uz što je moguće jednostavniju strukturu kontrolera. Dinamički regulatori (P,PI,PD,PID) Osnovni elementi dinamičkih regulatora su proporcionalni, derivativni i integralni član. Proporcionalni element vrši pojačanje ulaznog signala tj. izlazni signal je proporcionalan ulaznom signalu. Proporcionalni član regulatora se opisuje jednačinom: y(t )  Ku(t ) proporcionalni član je prikazan na slici 73.

Slika 73. Proporcionalni element Integralni član vrši integraciju ulaznog signala i opisuje se slijedećim izrazom: t

y (t )   u (t )dt 

Slika 74. integralni element

Y (s) 1  U ( s) s Integralni član se fizički realizira pomoću operaciong pojačala. Prenosna funkcija integralnog elementa je daata izrazom:

124

Slika 75. fizička realizacija integratora. Integrator prikazan na slici 75 se moţe opisati izrazom: t 1 u 2 (t )   u1 (t )dt RC  Derivativni član vrši diferenciranje ulaznog signala i opisuje se slijedećim izrazom: du (t ) y (t )  dt

Slika 76. derivativni element

Y (s)  s . S obzirom da je čisti diferencijator U ( s) nekauzalan sistem, realni diferencijator se opisuje slijedećom prenosnom funkcijom: Y ( s) s  U ( s) s  1 Derivativni element se fizički realizira pomoću operacionog pojačala. Prenosna funkcija derivativnog elementa je:

Slika 77. fizička realizacija diferencijatora U praksi su najčešće u upotrebi dinamički regulatori sastavljeni od proporcionalnog, integralnog i derivativnog člana tzv. PID regulatori. 125

Ako se sa e(t ) obiljeţi ulazni signal, a sa u (t ) izlazni signal, PID regulator se opisuje slijedećim izrazom: t de(t ) u (t )  K p e(t )  K d  K i  e(t )dt dt  a prenosna funkcija regulatora je: K U ( s) GPID   K p  Kd s  i E ( s) s Prema tome, projektovanje PID regulatora predstavlja odreĎivanje konstanti K p , K d , K i tako da performanse sistema što bolje ispunjavaju postavljene specifikacije. PID regulator je jednostavan regulator koji se moţe koristiti da popravi tranzijentna ponašanja sistema i karakteristike usteljenog stanja sistema. Opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom i PID regulatorom je data na slijedećoj slici.

Slika 78. Sistem upravljanja sa PID regulatorom Ponekad i jednostavni P regulator moţe riješiti upravljački problem. U oštem slučaju pri sintezi bilo kakvog regulatora treba krenuti od P regulatora. U opštem slučaju specifikacije se postavljaju na tranzijentni i ustaljeni dio odziva. Spefikacije na tranzijentni dio odziva se obično daju u obliku ţeljenog maksimalnog preskoka i ţeljenog vremena smirenja. S druge strane, specifikacije na ustaljeni dio odziva obično se odnose na grešku u ustaljenom stanju (najčešće se zahtjeva njena potpuna eliminacija). S obzirom da se maksimalni preskok računa po izrazu: MPOS  exp{



}  100 1 2 to se za zadani preskok (OverShoot) moţe izračunati koeficijent prigušenja  po izrazu:

MPOS ) 100  MPOS  2  ln 2 ( 100 Prirodna učestanost  n se moţe izračunati na osnovu zadatog vremena smirenja i izračunatog koeficijenat prigušenja po formuli: 3 n  Ts  ln 2 (

126

Na osnovu izračunatih parametara  i  n par konjugovano-kompleksnih polova koji uzrokuju ţeljeno ponašanje je odreĎen izrazom: s1 / 2   n  j n 1   2 . Primjer:

1 dizajnirati kontroler tako da performanse s( s  1) sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedeće: - Tranzijenti dio odziva: MPOS  20% i Ts  6s - Ustaljeni dio odziva: lim e(t )  ess (t )  0 za step ulaz Za sistem dat prenosnom funkcijom G ( s) 

t 

Na osnovu zadatog maksimalnog preskoka i vremena sirenja izračunaju se koeficijent prigušenja i prirodna učestanost: MPOS ln 2 ( ) 100   0.45 2 2 MPOS   ln ( 100 3 rad n   1.11 Ts  s odavde slijedi: s1 / 2   n  jn 1   2  0.5  j 0.99

Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema je dato na slici 79.

Slika 79. Kao što se vidi sa slike grane GMK pročaze kroz ţeljene polove, pa je samo potrebno naći pojačanje za koje je su polovi sistema s1 / 2  0.5  j 0.99 . Pojačanje sistema se računa na slijedeći način:  | s  zi |  1.25 K  | s  pi |

127

S obzirom da objekat upravljanja sadrţi integrator to se, na osnovu prethodnih izlaganja, moţe zaključiti da će greška u stacionarnom stanju biti nula. Prema tome jednostavan P regulator je dovoljan da riješi zadati upravljački problem. Primjer:

1 dizajnirati kontroler tako da budu ( s  1)( s  2) performanse sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedeće: - Tranzijentni dio: MPOS  20% - Ustaljeni dio: ess (t )  0 za step ulaz Za sistem dat prenosnom funkcijom G( s) 

Odmah se moţe vidjeti da prenosna funkcija procesa ne sadrţi integrator, pa uslov nulte stacionarne greške ne moţe biti ispunjen korištenjem P regulatora. Minimalno je potrebno upotrijebiti PI regulator (integralni dio za eliminaciju greške ess (t ) ). Prema tome, zadati upravljački problem nije moguće riješiti upotrebom P regulatora. Algoritam dizajna P regulatora Algoritam dizajna P regulatora se sastoji u slijedećem: 1. Prevesti vrijednosti specifikacija u lokaciju dominantnih polova sistema 2. Konstrukcijom GMK utvrditi da li grane GMK prolaze dovoljno blizu ţeljene lokacije dominantnih polova. Ako je to slučaj, onda se potrebno pojačanje K odreĎuje po formuli: m

K

| s  z

i

|

i 1 n

| s  p

i

|

i 1

3. Provjeriti da li su zadovoljene specifikacije ustaljenog stanja 4. Ukoliko bilo koji od 1-3 nije zadovoljen, P regulatorom nije moguće riješiti zadani upravljački problem Dizajn PI regulatora PI regulator je dat prenosnom funkcijom: Gr ( s)  GPI ( s)  K p 

Ki s

PI regulator se moţe zapisati i u nešto drugačijoj formi: K p s  Ki K s  zc GPI  K p  i   Kp s s s Ki gdje je: z c  Kp PI regulator se koristi da popravi tranzijenta stanja sistema (koliko je to moguće) i da eliminiše grešku ustaljenog stanja pri konstantnim referentnim vrijednostima i konstantnim smetnjama. Na osnovu same prenosne funkcije PI regulatora vidi se da ukoliko je z c dovoljno blizu nule, onda se efekat člana ( s  z c ) / s moţe skoro zanemariti jer se taj član ponaša kao dipol i ne dolazi do znatnog pomjeranja grana GMK.

128

Algoritam dizajna PI kontrolera Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedećih koraka: 1. Iz tranzijentnih specifikacija sistema odrediti da li je moguće postići te specifikacije sa P regulatorom i sračunati odgovarajuće K p . Jasno je da će ustaljeni reţim zahtjevati pol u nuli u regulatoru. 2. Izabrati nulu regulatora z c dovoljno malu odnosno dovoljno blizu polu u nuli (npr. 0.01  z c  0.1) . Na osnovu vrijednosti z c izračunati konstantu K i po formuli: K i  zc K p 3. Provjeriti ponašanje sistema analizom GMK i simulacijom

Primjer: Izvršiti sintezu regulatora sistema datog prenosnom funkcijom G( s) 

s6 ( s  10)( s 2  2s  2)

tako da su zadovoljene slijedeće specifikacije: - MPOS  20% - ess (t )  0 pri r (t )  const. i d (t )  const. Za zadati maksimalni preskok dobije se koeficijent prigušenja:   0.45 S obzirom da je cos    , gdje je  ugao koji prava povučena iz koordinatnog početka u kompleksnoj ravni zatvara sa negativnim dijelom realne ose. Izraz cos    je korišten ranije kod nalaţenja vremenskog odziva sustema II reda, sada ugao  dobija jasno geometrijsko značenje. GMK ovog sistema je dat na slici 80.

Slika 80. GMK sistema Lokacija ţeljenog pola se nalazi u presjeku pravaca koji predstavljaju ograničenje za koeficijent prigušenja   0.45 i grana GMK. Ţeljeni polovi se mogu dobiti geometrijskim putem ili nekim pogodnim numeričkim potupkom. Pokazuje se da su za pojačanje K  10 polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom dovoljno blizu ţeljenim. Time je zadovoljen uslova da preskok nije preko dozvoljenog. S druge strane postoji zahtjev za

129

eliminacijom greške ustaljenog stanja. To implicira da kontroler mora sadrţavati integrator, pa se kao prirodno rješenje nameće upotreba PI kontrolera. Za nulu se bira  z c  0.1 tako da sa polom u ishodištu obrazuje dipol, kako ne bi došlo do značajnijeg pomjeranja grana GMK. Prema tome za prenosnu funkciju kontrolera se konačno dobija: 10( s  0.1) 1 Gr ( s)  GPI ( s)   10  s s Simulacijom u MATLAB-u za odziv sistema se dobija:

Slika 81. Odziv sistema G(s) na step ulaz Dizajn PD regulatora PD regulator je dat prenosnom funkcijom: Gr (s)  GPD (s)  K p  K d s Prenosna funkcija PD regulatora se moţe zapisati i u slijedećem obliku: Gr (s)  GPD (s)  K p  K d s  K d (s  z c ) gdje je z c 

Kp

. Kd Kao što se moţe vidjeti iz prenosne funkcije PD regulator dodaje nulu u sistem upravljanja što za posljedicu ima zakretanje grana GMK ulijevo. U opštem slučaju PD se koristi za popravak tranzijentnog odziva sistema, i minimizaciju uticaja vanjskih smetnji. Jedan od efekata PD regulatora je prigušivanje oscilacija odziva sistema. Upotrebljava se u slučajevima kada je potrebno da se zadrţi brzina odziva, a smanji amplituda oscilacija. Karakteristična jednačina sistema sa zatvorenom povratnom spregom kada se koristi PD regulator je data slijedećim izrazom: 1  K (s  z c )G(s)  0 Odavde slijedi arg{( s  z c )G(s)}   ili u drugačijem obliku:

130

m

n

i 1

i 1

 ( s  zc )    ( s  zi )   ( s  pi )  

Posljednji izraz, zapravo, predstavlja uslov da tačka s   zc pripada GMK. Taj uslov se moţe iskoristiti za odreĎivanje vrijednosti zc .

Slika 82. odreĎivanje ugla  c OdreĎivanje vrijednosti zc je moguće preko odreĎivanja ugla  c koji se odreĎuje iz uslova da ţeljena tačka pripada GMK. Prema tome, vrijedi: m

n

i 1

i 1

 c   ( s  zc )      ( s  zi )   ( s  pi ) Na osnovu poznatog ugla  c izračunatog pod uslovom da ţeljeni pol sd  n  jn 1   2 pripada GMK slijedi:

zc 

n ( tg c  1   2 ) tg c

Dalje se pojačanje K računa kao: m

Kd 

| s i 1

d

 pi |

n

| sd  zc |  | sd  zi | i 1

Algoritam dizajna PD kontrolera

1. 2. 3. 4. 5.

Algoritam dizajna PD regulatora (kontrolera) se sastoji od slijedećih koraka: Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova sd Pokušati riješiti problem sa P regulatorom Ako se problem ne moţe riješiti sa P regulatorom onda odrediti nulu  zc korištenjem izvedene formule Odrediti pojačanje K d preko izvedene formule Provjeriti analizom GMK i simulacijom da li sistem postiţe ţeljene performanse.

131

Primjer: Za sistem dat prenosnom funkcijom otvorene grane G( s) 

s  10 izvršiti ( s  1)( s  2)( s  12)

sintezu kontrolera tako da su postignute slijedeće performanse: - MPOS  20% i vrijeme smirenja Ts  1.5s Za zadate specifikacije izračunaju se koeficijent prigušenja  i n i na osnovu njih par rad dominantnih polova:   0.45 , n  4.348  sd  2  j3.86 s

Slika 83. GMK sistema G( s) Na slici su pored GMK ucrtana i ogranničenja vezana za koeficijent prigušenja   0.45 (prave) i prirodna učestanost n  4.348 (elipsa). Kao što se vidi grane GMK ne prolaze blizu ţeljenih polova, pa se problem ne moţe riješiti P regulatorom. Grane GMK je potrebno zakrenuti ulijevo, a to se postiţe dodavanjem nule, odnosno PD regulatorom. Na osnovu prethodno izvedenih formula za  c , zc i K d dobija se: zc  24.18 i Kd  0.825 Prema tome prenosna funkcija kontrolera je: Gr (s)  GPD (s)  0.825(s  24.18) .

Slika 84. odziv sistema G( s) sa regulatorom GPD ( s)

132

Kao što se vidi sa like 84. postoji greška u ustaljenom stanju, ali to se moglo i očekivati s obzirom da ni proces ni kontroler ne sadrţe integrator, no to specifikacijama nije ni traţeno. Da bi se izvršila eliminacija greške ustaljenog stanja potrebno je koristiti i integralni dio tj. PID regulator.

Dizajn PID regulatora PID kontroler je najuniverzalnija kombinacija i koristi se kako za poboljšanje tranzijentnog odziva tako i za eliminaciju grešaka ustaljenog stanja. PID kontroler je dat slijedećom prenosnom funkcijom: K Gr ( s)  GPID ( s)  K p  i  K d s s Prenosna funkcija se moţe zapisati i u slijedećoj formi: Kp K K 1 GPID ( s)  d ( s 2  s  i )  K d ( s  zc1 ) ( s  zc 2 )  GPD ( s)GPI ( s) s Kd Kd s Algoritam dizajna PID regulatora

1. 2. 3. 4.

Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji od slijedećih koraka: Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova sd i analizirati zahtjeve na ustaljenim stanjem Izvršiti sintezu PD regulatora tj. odrediti K d i zc1 prema prethodno razvijenom algoritmu sinteze PD regulatora Izabrati nulu kontrolera zc 2 dovoljno blizu nuli ( 0.01  zc 2  0.1 ) Analizom GMK i simulacijom provjeriti da sistem zadovoljava ţeljene performanse

Primjer:

s  10 izvršiti ( s  1)( s  2)( s  12) sintezu regulatora tako da budu zadovoljene slijedeće performanse: - MPOS  20% , Ts  1.5s - ess (t )  0 pri r (t )  const. i d (t )  const. Za sistem dat prenosnom funkcijom direktne grane: G( s) 

S obzirom da se u ovom slučaju zahtjeva potpuna eliminacija greške u ustaljenom stanju jasno je da će kontroler sadrţavati integrator. Da bi se omogućilo da grane GMK proĎu dovoljno blizu ţeljenim polovima potrebno je izvršiti sintezu PD kontrolera (prethodni primjer). U prethodnom primjeru su izračunate konstante PD regulatora: zc1  24.18

Kd  0.825 Da bi se izvršila eliminacija greške mora se dodati integrator tj. pol u koordinatnom početku. Parametar zc 2 se bira da bude vrlo blisko nuli kako bi sa polom u ishodištu obrazovao dipol sa ciljem da ne doĎe do značajnog pomjeranja grana GMK. Prema tome, prenosna funkcija PID regulatora dobija oblik: 0.825( s  24.18)( s  0.1) GPID ( s)  s

133

Odziv sistema sa dizajniranim regulatorom je predstavljena na slici 85.

Slika 85. Odziv sistema sa PID regulatorom U slijedećoj tabeli je prikazan kako promjene pojedinih parametara PID regulatora utiču na odziv sistema: Parametar Brzina odziva Stabilnost Tačnost    Kp  Ki  Kd 

  (neznatno)

 

 bez značajnog uticaja

Eksperimentalno podešavanje PID regulatora U praksi se susreću i sistemi sa tzv. mrtvim vremenom tj. sistemi koji se odazvu na pobudu na ulazu tek nakon odreĎenog vremena. Ovakvi sistemi se mogu predstaviti na e s slijedeći način: G ( s)  (Ts  1) Step odziv ovakvog sistema za slučaj T  0.5s i   1s je prikazan na slici 86.

Slika 86. odziv sistema sa mrtvim vremenom

134

Sistemi sa kašnjenjem su teški za analizu pa se često vrši aproksimacija rastavljajući eksponencijalni član u potencijalni red: e s 1 G(s)    n ( s) (Ts  1) (Ts  1)  n! n 0 Često se sistemi sa nepoznatim prenosnim funkcijama mogu aproksimirati sistemom sa prenosnom funkcijom: e s e s ili G ( s)  K ob G( s)  K ob Ts  1 s Nepoznate koeficijente Kob , i T je moguće odrediti eksperimentalnim putem.

Slika 87. OdreĎivanje Kob , i T Izvrši se snimanje odziva sistema , a zatim nepoznati parametri odrede na način prikazan na slici 87. Preostali parametar K ob se odreĎuje na slijedeći način: y K ob  u Na ovaj način se aproksimativno moţe odrediti model nepoznatog sistema. Za dizajn PID ovakvog sistema upotrebljavaju se eksperimentalne metode kao npr. Zigler-Nichols-ova metoda.

135

Metoda podešavanja parametara PID regulatora prema Ziegler-Nichols-u U slijedećoj tabeli su date preporuke za izbor parametara PID regulatora u formi: 1 GPID ( s)  K (1   Td s) Ti s Z. N. Preporuke P PI PID Gdje je a 

K 1/ a 0.9 / a 1.2 / a

Ti -

3 2

Td  /2



K ob T S obzirom da PID često moţe biti prikazan i u formi: K GPID ( s)  K p  i  K d s s to se veza izmeĎu parametara u različitim formama moţe uspostaviti na slijedeći način: K  Kp

Kd  KTd K Ki  Ti Z-N preporuke predstavaljaju optimalno podešavanje regulatora za regulacioni problem i u većini slučajeva daju zadovoljavajuće performanse. Ziegler-Nichols pravila za podešavanje PID regulatora su izvedena za problem regulacije, a ne za problem praćenja. Ova pravila su optimalna sa aspekta potiskivanja smetnji.

Slika 88. Potiskivanje smetnje Obično je potiskivanje takvo da vrijedi: A2 

A1 . 4

Z-N metoda za podešenje PID regulatora korištenjem eksperimenta sa upravljanjem u zatvorenoj povratnoj sprezi Za razliku od prethodne metoda kod ove varijante se ne vrše nikakve pretpostavke za oblik modela procesa.

136

Slika 89. Z-N podešavanje PID sa eksperimentalnim modelom Način podešavanja parametara PID regulatora korištenjem eksperimentalnog modela sa zatvorenom povratnom spregom se sastoji iz slijedećih koraka: 1. izbace se integralno i derivativno dejstvo u regulatoru, pa se onda postepeno povećava K p (pojačanje regulatora) sve dok izlaz u ustaljenom stanju ne doĎe do stabilnih oscilacija (slika 90). Ova vrijednost pojačanja se naziva kritično pojačanje.

Slika 91. 2. Za kritičnu vrijednost pojačanja K p  Kkr se odredi period Tu stabilnih oscilacija izlaza sistema. 3. Na osnovu Z-N tabele parametara se odaberu vrijednosti za K p , Ti i Td parametre regulatora. Tip regulatora Ti Kp Td P

0.5K kr

-

-

PI

0.45K kr

0.83Tu

-

PID

0.6 K kr

0.5Tu

0.125Tu

Ova pravila su uvijek dobra kao inicijalno podešavanje parametara. Cohen-Coon preporuke za podešavanje PID regulatora Cohen-Coon (CC) procedura koristi parametre koji se dobiju iz prethodne procedure eksperimentalnog modela sa otvorenom povratnom spregom ali pretpostavlja da je model procesa: Ke s G( s)  Ts  1

137

Parametri PID regulatora se biraju iz slijedeće tabele: Kp Ti Tip regulatora

1 1 (0.35  ) K  1 0.9 (0.083  ) K  1 1.35 (0.25  ) K 

P PI PID gdje je:  

Td

-

-

3.3  0.3  1  2.2 2.5  0.46  1  0.61

-

0.37  1  0.19



. T CC procedura takoĎe podešava parametre regulatora u odnosu na problem regulacije i sa A istim kriterijima ( A2  1 ) . 4 Za male vrijednosti  



. Z-N i CC će dati slične rezulatate. CC je superioran u odnosu T na Z-N u slučaju da je   . Podešavanje parametara PID regulatora prema Chien-Hroues-Reswick (CHR) CHR preporuke su takoĎe bazirane na eksperimentalnom modelu u otvorenoj povratnoj sprezi. Pretpostavlja se slijedeći model: Ke s G( s)  Ts  1 CHR podešavanje parametara je optimalno podešavanje sa aspekta praćenja referentne vrijednosti. CHR preporuke postoje za dva tipa ţeljenog ponašanja: a) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti aperiodička b) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti oscilatorna sa 20% preskoka Za slučaj pod a) CHR preporuke su date u slijedećoj tabeli: Tip regulatora Kp Ti P PI PID gdje je: R 

0.3R / K 0.35R / K 0.6R / K

1.2T T

Td 0.5

T



Za slučaj b) CHR preporuke su date u slijedećoj tabeli: Tip regulatora Kp Ti P PI PID

0.7 R / K 0.6R / K 0.95R / K

Ova metoda daje loše rezultate za slučaj  

 T

T 1.35T

Td 0.47

.

138

Schmitt-ov prediktor U sistemima koji imaju vrlo veliko  



prethodno navedene procedure podešavanja T vjerovatno neće dati dobar odziv sistema. Za dobar odziv bilo bi potrebno izvršiti kompenzaciju e s sa inverznom funkcijom e s . MeĎutim e s nije moguće fizički relaizirati (trebalo bi znati signal u budućnosti). Upotrebljava se Schmitt-ova shema:

Slika 4. Optimalni PID sa Scmittovim prediktorom.

139

DRUGI DIO Frekventne metode analize i sinteze sistema automatskog upravljanja Kao što se moglo vidjeti iz prethodnog izlaganja, jedan od načina predstavljanja sistema je pomoću Laplace-ove transformacije. Sistemi se predstavljaju prenosnim funkcijama u domenu kompleksne promjenljive s. MeĎutim, nedostatak Laplace-ova transformacije je taj da nema jasan fizikalni smisao, pa su razvijene i tzv. frekvente metode analize i sinteze sistema koristeći Fourier-ovu transformaciju. Fourier-ova transformacija funkcije g(t) se definiše kao: F {g (t )}  G( j ) 



 g (t )e

 jt

dt



Frekventni odziv sistema se definiše kao ustaljeni odziv sistema na sinusoidalni ulazni signal. S obzirom na definiciju Fourier-ove transformacije vidi se da su djelovanja nestaju u vremenu od  do 0 tako da ostaje samo ustaljeno stanje. Na sistem predstavljen prenosnom funkcijom G( s) kao na slici 1. dovodi se ulazni sinusoidalni signal oblika u(t )  A1 sin(t  1 )

Slika 1. Prenosna funkcija sistema se moţe predstaviti u obliku: b s m  bm1s m1    b0 G( s)  m n s  an1s n 1    a0 Odziv sistema se moţe predstaviti u formi: Y (s)  G(s)U (s) gdje je U ( s) Laplace-ova transformacija ulaza i za sinusoidalni signal je:   cos 1  s  sin 1 U ( s)  A1 s2   2 Odavde slijedi: n2 K Y ( s)   i i 1 s  si dakle Laplace-ova transformacija izlaza je predstavljena razvojem u parcijalne razlomke, pri čemu se koeficijenti: K i ( i  1, 2,..., n ), uz pretpostavku jednostrukih polova, odreĎuju na slijedeći način: Ki  lim( s  si )Y ( s) s  si

Koeficijenti K n 1 i K n  2 se odreĎuju na slijedeći način:

K n1  lim ( s  j )Y ( s)  lim ( s  j ) A1G( s) s  j

s  j

  cos 1  s  sin 1 ( s  j )( s  j )

dalje je:

K n 1 

1 1 A1G( j )e j (1  / 2)  A1 | G( j ) | e j (arg G ( j )1  / 2) 2 2

Koeficijent K n  2 je:

140

1 A1 | G( j ) | e j (arg G ( j )1  / 2) 2 Odziv sistema se nalazi kao inverzna Laplace-ova transformacija od Y ( s) : n 2 n K y(t )  L-1 { i }   Ki e sit  K n 1e jt  K n  2e jt i 1 s  si i 1 odziv sistema u ustaljenom stanju je: yss (t )  lim y(t )  Kn1e jt  K n 2e jt  A1 G( j ) sin(t  arg G( j)  1 ) K n 2  K n*1 

t 

Odavde slijedi vaţan zaključak: Ukoliko je ulaz su linearni sistem prostoperiodična funkcija onda je izlaz iz sistema u ustaljenom stanju takoĎe prostoperiodična funkcija iste učestanosti  , a izmijenjene amplitude i faze. Prema tome, vrijedi: A A2  A1 G ( j )  2  G( j )  ()  arg G( j) A1 gdje je G( j )  lim G( s) . s  j

Odavde se moţe zakljukčiti da G( j ) definiše odnos amplituda i faznu razliku ulaza i izlaza sistema. Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala za slučaj linearnog sistema su prikazani na sl. 2.

Slika 2. Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala Kao što se vidi sa slike 2 razlika je samo u amplitudi i fazi signala. G( j ) - amplitudno fazna karakteristika sisttema i u potpunosti opisuje linearni sistem. Postoje različiti načini grafičkog predstavljanja funkcije G( j ) koja je kompleksna funkcija kompleksnog argumenta j : a) Polarni plot funkcije G( j ) tzv. Nyquist-ov dijagram:

G( j )  Re{G( j)}  j Im{G( j)}  u()  jv()  G( j) e j arg G ( j )

141

Slika 3. Polarni plot b) Bode-ovi dijagrami generišu dvije karakteristike: - Amplitudsko-frekventna karakteristika - Fazno-frekventna karakteristika Amplitudsko-frekventna karakteristika daje dijagram amplitude u ovisnosti o frekvenciji. Amplituda se obično daje u decibelima  dB  ( 20log G( j ) ), faza u stepenima, a frekventna osa je u logaritmskoj razmjeri radi prikaza širokog opsega frekvencija. Na slici 4 dat je primjer Bode-ovog dijagrama.

Slika 4. Bode-ovi amplitudski i fazni dijagram U praksi se obično ne crtaju stvarni amplitudski Bode-ovi dijagrami ( 20log G( j ) ) već aproksimativni dijagrami (krive se aproksimiraju pravcima). Konstrukcija Bode-ovih dijagrama

142

Neka je prenosna funkcija sistema data u obliku: m

G ( s) 

K   ( i s  1) i 1 n

s

k

 ( s  1) i 1

i

ovo je vremska konstanta – forma prenosne funkcije. Na osnovu prenosne funkcije G( s) dobija se G( j ) u obilku: m

G ( s) 

K   ( i j  1) ( j )

i 1 n k

 ( i 1

i

j  1)

Odavde slijedi: m

n

20log G( j )  20log K   20log i j  1  20k log    20log  i j  1 i 1

i 1

m



i 1

2

arg G( j )   arg( i j  1)  k

n

  arg( i j  1) i 1

Primjer 1: Konstruisati Bode-ove dijagrame za slučaj sistema G(s)  K Zamjenom s sa j dobija se: G( j)  K  u()  jv()  K  j  0  20 log G ( j )  20 log K 0, K  0  arg G ( j )   180, K  0 Bode-ovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 5.

Slika 5. Bode-ovi dijagrami sistema G( j )  K Primjer 2:

143

Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem dat prenosnom funkcijom: 1 G(s)  s Zamjenom s sa j dobija se: 1 G ( j )  j odavde slijedi: 1 20 log G ( j )  20 log  20 log  arg G ( j )  





2 Bodeovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 6.

1 j Vidi se da sistem unosi slabljenje s pribliţno 20 dB po dekadi (dekada je povećanje frekvencije 10 puta). Slika 6. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j ) 

Primjer 3: Konstruisati Bode-ove dijagram za sistem: G(s)  s U ovom slučaju vrijedi: G ( j )  j 

20 log G ( j )  20 log G arg G ( j ) 

 2

Bodeovi dijagrami su prikazani na slici 7.

144

Slika 7. Bode-ovi dijagrami sistema G( j )  j Kao što se moţe vidjeti sa slike 7. sistem G( j )  j (diferencijator) vrši pojačavanje signala i unosi pozitivno fazno kašnjenje. Primjer 4: Konstruisati Bodeove dijagrame za aperiodski sistem I reda dat prenosnom funkcijom 1 G( s)  Ts  1 Odavde je: 1 1 T G ( j )   j  2 T  j  1 (T  )  1 (T  ) 2  1 1 G ( j )   20 log G ( j )  20 log 1  (T  ) 2 2 1  (T  )

arg G ( j )  artctg (T  ) Bode-ovi dijagrami su prikazani na slici 8.

145

1 jT  1 Amplitudsko-frekventni dijagram predstavlja asimptotsku karakteristiku za dati sistem jer vrijedi: Slika 8. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j ) 

20log (T  )2  1  0

za   T

20log (T  )2  1  20log(T  )

za   T

Primjer 5: Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem: G(s)  Ts  1 Analogno prethodnom primjeru, moţe se pisati: G ( j )  Tj  1 

G ( j )  (T  ) 2  1  20 log G ( j )  20 log (T  ) 2  1 arg G ( j )  arctg (T ) Asimptotske karakteristike Bode-ovih dijagrama su date na slici 9.

146

Slika 9. Bode-ovi dijagrami sistema G( j)  Tj  1 Primjer 6: Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem II reda dat prenosnom funkcijom:

G( s)  Zamjenom s sa j dobija se:

G ( j )  G ( j )  G ( j ) 

n2

n2 s 2  2n s  n2

n2   2  2 jn



n2 (n2   2 ) 2n3  j  (n2   2 ) 2  (2n ) 2 (n2   2 ) 2  (2n ) 2 n2 (n2   2 ) 2  (2n ) 2

 jarctg

e

2n n2  2

Odavde slijedi:

20log G( j )  20log n2  20log (n2   2 ) 2  (2n) 2 Na slici 10. su prikazani Bode-ovi dijagrami za sistema II reda

147

Slika 10. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j ) 

n2

n2   2  2 jn

Za frekvencije   n amplituda opada asimptotski sa 40dB / dec . Stvarni dijagram moţe odstupati više ili manje od asimptotskog u zavisnosti od koeficijenta prigušenja  . Frekvencija maksimalne vrijednosti se dobija na slijedeći način: d G ( j ) 0 d

r  n 1  2 2 Za maksimalnu vrijednost amplitude se dobija: 1

Mp 

2 1   2 Prema tome do pojave maksimuma će doći za vrijednosti prigušenja   0.707

Izobličenje signala n

Neka se signal ograničenog spektra y (t )   Ai sin(i t  i ) prenosi kroz komunikacioni i 1

kanal prenosne funkcije G(s)  e S odnosno:

G( j )  1 arg G( j)   Cilj je da amplituda bude dovoljno blizu 1 i da postoji linearno kašnjenje: 148

n

n

i 1

i 1

z   Ai sin(i t  i  i )   Ai sin i (t   )  i   y (t   )

Dobija se signal iste amplitude, ali zakašnjen za neko vrijeme  . Prema tome, uslov da ne bude izobličenja: G(s)  e s Analiza stabilnosti u frekventnom domenu Nyquist-ov kriterij stabilnosti Nyquist-ov kriterij stabilnosti je baziran na Cauchy-evom principu argumenta: Neka je kompleksna funkcija F ( s) analitička izuzev u konačnom broju tačaka i neka je data neka kontura C po kojoj putuje argument s, tada će fazor funkcije F ( s) takoĎe putovati po zatvorenoj konturi u ravni F ( s) . Dalje, ako funkcija F ( s) ima z nula i p polova, onda za jedan obrtaj varijable s po zatvorenoj konturi C, funkcija F ( s) će da napravi n  z  p obrtaja oko koordinatnog početka (slika 11).

Slika 11. Cauchy-ev princip argumenta Ako se funkcija F ( s) moţe predstaviti u obliku: m

F ( s) 

K  ( s  zi ) i 1 n

 (s  p ) i 1

i

Tada se moţe pisati: m

n

i 1

i 1

arg F ( s)    ( s  zi )    ( s  pi )

Ako zatvorena kontura u s ravni obuhvata m nula i p polova tada je ukupni ugao konture u ravni F ( s) : 2  N  2  m  2 n Odavde slijedi da je broj obilazaka koordinatnog početka koje načini kriva u F ( s) ravni:

149

N  m p Nyquist-ov dijagram daje odgovor o stabilnosti sistema sa zatvorenom povratnom spregom na bazi analize sistema sa otvorenom povratnom spregom. Posmatra se sistem sa otvorenom povratnom spregom prenosne funkcije G( s) . Neka je funkcija D( s) definisana na slijedeći način: D(s)  1  G(s) i sa slijedećim osobinama: - Nule funkcije D( s) su polovi sistema sa zatvorenom povranom spregom - Polovi D( s) su polovi funkcije sa otvorenom povratnom spregom

Nyquist-ov dijagram je polarni dijagram funkcije D( s) kada kompleksna varijabla s putuje po konturi datoj na slici 12.

Slika 12. Ova kontura obuhvata kompletnu desnu (nestabilnu) polovinu s ravni tj. R   . TakoĎe, D( s) mora biti analitička i na konturi, te su polovi D( s) na imaginarnoj osi izbjegnuti polukrugovima beskonačno malog poluprečnika r   . Nyquist-ov kriterij glasi: Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak zbiru broja nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja koordinatnog početka Nyquist-ovog dijagrama funkcije D( s) . Dakle vrijedi: Z  NP gdje je: Z - broj polova sistema s zatvorenom povratnom spregom P - broj polova sistema s otvorenom povratnom spregom u desnoj poluravni. Ako je P  0 kao što je to obično slučaj, tada mora biti N  0 , tj. Nyquist-ov dijagram ne smije ni jednom obuhvatiti koordinatni početak.

150

Za detaljniju analizu preslikavanja konture u s domenu u Nyquist-ov dijagram potrebno je razmotriti kako se preslikavaju pojedini dijelovi konture: a) Dio konture s  Re j (polukrug poluprečnika R) R   i 



2





2

se preslikava

na slijedeći način:

Q( s) s m    b0 G( s)   P( s) s n    a0 S obzirom da je n  m slijedi nm 0, G (Re j )   nm C  const , zaključuje se da krug preslikava u jednu tačku i to obično koordinatni početak. b) Dio konture koji predstavlja imaginarnu osu: s  j D(s)  D( j)  1  G( j) G( j ) predstavlja frekventnu karakteristiku sistema i preslikava se u konturu u zavisnosti od oblika prenosne funkcije. c) Dio konture koji isključuje polove na imaginarnoj osi s  re j ( r  0 ,  D( s)  1  G ( s)  G(s) 



2



 2

)

bm s m    b0  s n    a0

1 G (re j )  e  j ( n  m ) r Odavde se moţe zaključiti da kada r  0 dio konture se preslikava u polukrug beskonačnog poluprečnika.

Nyquist-ov kriterij se moţe uprostiti ako se umjesto polarnog dijagrama D(s)  1  G(s) nacrta polarni dijagram samo G( s) i onda se posmatra obuhvatanje tačke ( 1  j 0 ). Prema tome, modificirani Nyquist-ov dijagram glasi: Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak sumi broja nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja tačke ( 1  j 0 ) Nyquist-ovim dijagramom funkcije G( s) . Ako Nyquist-ov dijagram prolazi kroz tačku ( 1  j 0 ) sistem je marginalno stabilan. Sistemi sa čistim transportnim kašnjenjem Sistem s čistim transportnim kašnjnjem se moţe jednostavno prikazati i analizirati u frekventnom domenu. Sistem sa čistim transportnim kašnjenjem se predstavlja prenosnom funkcijom: Q( s ) G ( s)  Ke s P( s ) Ili u frekventnom domenu: Q( j ) G ( j )  Ke j  P( j )

G ( j )  K

Q( j ) P( j )

arg{G( j )}  arg{

Q( j ) }   P( j )

151

Margina (rezerva/pretek) stabilnosti sistema po fazi i po pojačanju Za sistem sa prenosnom funkcijom G( s) (slika 13) predstavljen polarnim plotom na slici 14. definišu se slijedeće margine stabilnosti: - Margina stabilnosti po pojačanju - Margina stabilnosti po fazi

Slika 13. Sistem sa zatorenom povranom spregom

Slika 14. Polarni plot sistema G( s) Frekvencija pri kojoj kriva G( j ) presjeca realnu osu je označena sa c . Margina stabilnosti se definiše kao kritično pojačanje sistema pri kojem polarni plot prolazi tačkom (1, j 0) : 1 G( jc )  K r  1  K r  G( jc ) Frekvencija c je frekvencija pri kojoj je arg G( j)  180 . Ako sistem posjeduje transportno kašnjenje, tada faktor e s utiče na faznu marginu odnosno uzrokuje rotiranje dijagrama i vodi sistem prema nestabilnosti.

152

Rezerva stabilnosti sistema je proporcionalan udaljenosti krive G( j ) od tačke (1, j 0) i rezerva stabilnosti po fazi se često definiše kao:  ( )  180  arg{G( j f )} gdje je sa  f presječna učestanost za koju vrijedi: G( j f )  1. U zaključku do sada izloţenog se moţe reći: Frekventne metode analize i sinteze sistema automatskog upravljanja na slici 15. imaju niz prednosti: - G( j ) se moţe lako odrediti eksperimentalnim putem - omogućeno je korištenje teorije filtera za analizu i sintezu sistema - omogućena je analiza sistema sa čistim transportnim kašnjenjem

Slika 15. Sistem automatskog upravljanja Grafičko predstavljanje funkcije G( j )  G( j ) e j arg G ( j )  Re{G( j)}  j Im{G( j)} je omogućeno na više načina, a najčešće se koriste: 1. Polarni plot (Nyquist) 2. Bode-ovi dijagrami Primjer: Ispitati stabilnost sistema datog na slici 16. korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti.

Slika 16. Najprije se prekine povratna sprega, tj. analizira sistem sa otvorenom povratnom spregom: 1 G( s)  s( s  3)( s  5) Zatim se u s ravni narcta kontura koja s  Re j pri čemu je: R   i 







, dakle 2 2 kontura koja zatvara desnu (nestabilnu) stranu kompleksne ravni, pri čemu se isključuju polovi na imaginarnoj osi (u ovom slučaju pol s  0 ). Zatim se kontra podijeli na segmente i posmatra kako se pojedni segmenti preslikavaju funkcijom G( s) odnosno G( j ) : a) Izvrši se smjena s  j i posmatra dio konture od 0     (dio     0 ) je simetričan u odnosu realnu osu. Prema tome dobija se:

153

8 2 (15   3 )  j 64 4   2 (15   2 )2 64 4   2 (15   2 )2 Skicira se polarni se polarni plot od G( j ) ispitivanjem kako se funkcija ponaša za   0 i    te u kojoj tački se presjeca realna osa. Tačke presjecanja imaginarne i realne ose se dobiju rješavanjem: Im{G( j)}  0 Re{G( j)}  0 po  čime se dobiju frekvencije za koje funkcija presjeca realnu, odnosno imaginarnu osu, a zatim uvrštavanjem tih frekvencija u G( j ) dobiju se stvarne presječne tačke. Na osnovu izloţenog slijedi: lim G( j )  0.0356  j G( j ) 

 0

G ( j ) 

K K  j 2 ( n m )  e  ( j ) n  m  n m 

lim G ( j )  0  e

e

 j ( n m ) 2

 

Moţe se zaključiti da će G( j ) završiti u trećem kvadrantu. Za tačke presjeka se dobija: (15   2 ) Im{G( j )}  0  0 64 3   (15   2 ) 2 Odavde slijedi da je frekvencija za koju G( j ) siječe realnu osu   15 , a za tačku presjeka se dobija: G( j 15)  0.083  j  0 Presjek sa realnom osom je bitan podatak jer govori o stabilnosti sistema. Na osnovu: Re{G( j)}  0 se moţe zaključiti da za dati sistem presjeka sa imaginarnom osom nema. b) Dio konture s  re j pri čemu je r  0 i 

 2

 

 2

se preslikava na slijedeći

način: G (re j )  lim r 0

K  j e  r

K  j e  e  j r

c) Dio konture s  Re j pri čemu je R   

 2



 2

se preslikava na slijedeći

način:

G( j Re j ) 

K  j 3 e  R

K  j 3 e  0  e  j 3 R Na osnovu dobijenih podataka moţe se skicirati Nyquist-ov dijagram funkcije G( j ) . Na slici 17. prikazano je preslikavanje konture koja obuhvata desnu stranu kompleksne s ravni u krivu u Nyquist-ov dijagram. lim

R 

154

Slika 17. Polarni plot sistema G( s) Primjer: Naći oblast pojačanja K za koje je sistem dat na slici 18. asimptotski stabilan: K G( s)  s( s  3)( s  5)

Slika 18. Na osnovu prethodne analize dobija se tačka presjeka krive G( j ) sa realnom osom: G( j 15)  0.083  j  0 Na osnovu izraza za kritično pojačanje sistema: G ( jc )  K r  1 

Kr 

1 1 1   G ( jc ) G 15 0.0083

 

Prema tome oblast stabilnosti je K  K r ¸ odnsono: 1 K 0.0083 Opšta procedura odreĎivanja kritičnog pojačanja (opsega pojačanja za koje je sistem stabilan) je slijedeća: - Nacrta se Nyquist-ova kriva za K  1

155

-

NaĎe se kritično pojačanje iz Kr G( jc )  1 gdje se c dobije rješavanjem

Im{G( j)}  0 . Sada je oblast pojačanja za koje je sistem stabilan: 0  K  Kr . Prethodni posao se moţe uraditi ako se umjesto obuhvatanja tačke (1, j 0) posmatra 1 obuhvatanje tačke ( , j 0) . K Primjer: Ispitati stabilnost sistema sa slike 19. korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti.

Slika 19. Preslikavanje konture koja okruţuje desnu stranu kompleksne s ravni u Nyquist-ovu krivu je predstavljeno na slici 20.

Slika 20. Nyquist-ova kriva sistema. S obzirom da sistem u otvorenoj sprezi posjeduje dva nestabilna pola s  2 i s  4 iz Z  NP slijedi da Nyquist-ova kriva mora 2 puta obuhvatiti tačku (1, j 0) u kontra smjeru (smjeru suprotnom od smjera kazaljeke na satu) kako bi vrijedilo: Z  NP0 Područje stabilnosti ovog sistema je: K  0.75 U ovom slučaju da bi sistem bio stabilan, Nyquist-ova kriva moraju obuhvatiti tačku (1, j 0) 2 puta u kontra smjeru pa zbog toga pojačanje mor abiti veće od 0.75 jer za manje vrijednosti pojačanja Nyquist-ova kriva ne obuhvata tačku (1, j 0) pa je u tom slučaju N  0 odnosno: Z  NP2

156

U tom slučaju sistem sa zatvorenom spregom će imati dva nestabilna pola. Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema je prikazano na slici 21.

Slika 21. GMK sistema sa slike 19. Sistemi koji imaju nestabilan pol ili nulu (sistemi neminimalne faze) Primjer: Ispitati stabilnost sistema sa slike 22. korištenjem Nyquist-ovog kriterija

Slika 22. Prenosna funkcija sistema sa otvorenom spregom je G(s)  Ke s odnosno u domenu frekvencije G( j )  e j

Slika 23. Nyquist-ov dijagram

157

Sa slike se vidi da je sistem marginalno stabilan za K  1 , ta da je područje stabilnosti odreĎeno sa: 0  K 1 Ako se na ulaz sistema priključi generator pravougaonih impulsa tada se dobiju slijedeći odzivi:

Slika 24. Odzivi sistema na pravougaone impulse za K  1 i K  1 Primjer: Ispitati stabilnost sistema sa slike 25 korištenjem Nyquist-ovog kriterija.

Slika 25. Prenosna funkcija sistema sa otvorenom povratnom spregom je

G( s) 

Ke s odnosno u 1 s

frekventnom domenu:

G( j )  Dalje slijedi:

Ke j cos    sin   cos   sin   j 2 1  1  1 2

lim G( j )  1  j 0

 0

   j    2 

za    moţe se pisati: G( j )  0  e odavde vrijedi     arg{G( j)}  

158

Tačka presjeka sa realnom osom se dobija rješavanjem jednačine Im{G( j)}  0   cos   sin   0 po  . Za stabilnost se dobija slijedeće:

K kr  a  1  K kr 

1 a

sistem je stabilan za vrijednosti pojačanja: 0  K  Kkr Nyquist-ov plot je dat na slici 26.

Slika 26. Prema tome, moţe se zaključiti da je sistem sa čistim transportnim kašnjenjem uvijek moguće destabilizirati sa dovoljno velikim pojačanjem K. Analiza stabilnosti korištenjem Bode-ovih dijagrama Za sistem automatskog upravljanja na slici 27. analiza stabilnosti se moţe izvršiti preko Nyquist-ovog plota kako je to već pokazano u prethodnim primjerima ili korištenjem Bodeovih dijagrama.

Slika 27. sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom. Pored analize apsolutne stabilnosti razmatra se i relativna stabilnost, kao mjera udaljenosti sistema od granice nestabilnosti. Moe se razmatrati rezerva stabilnosti po pojačanju ondosno amplitudi i rezerva stabilnosti po fazi. Na slici 28. prikazano je odreĎivanje margina stabilonosti korištenjem Nyquist-ovog dijagrama.

159

Slika 28. OdreĎivanje margina stabilnosti Nyquist-ovim dijagramima Margine stabilnosti se mogu odrediti korištenjem Bode-ovih dijagrama na slijedeći način:

Slika 29. OdreĎivanje margina stabilnosti Bode-ovim dijagramima Margina stabilnosti po pojačanju se odreĎuje na slijedeći način: K kr  G( jcp )  1

160

gdje je cp - kritična učestanost faze za koju vrijedi

arg G( jcp )  180

Najveće pojačanje koje dovodi sistema na granicu stabilnosti je: 20log Kr  GM  20log G( jcp )  dB  a opseg pojačanja unutar granica stabilnosti se kreće u granicama: 0  K  Kr Margina stabilnosti po fazi se se odreĎuje na slijedeći način: m  180  arg G( jcg ) G( jcg )  1

gdje je cg - presječna učestanost pojačanja i pokazuje koliko se moţe tolerisati fazno kašnjenje u originalnom sistemu G( j ) , a da sistem ostane stabilan. G( j )  Gn ( j )  G( j ) Relacije između tranzijentnog i frekventnog odziva sistema Za sistem II reda prikazan na slici 30. je moguće uspostaviti vezu izmeĎu tranzijentnog i frekventnog odziva.

Slika 30. Sistem II reda Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je data izrazom: n2 G( s) M ( s)   M ( s)  2 1  G( s) s  2n  s  n2 Obično se specifikacije sistema daju u vremenskom domenu u obliku preskoka i vremena smirenja OS i Ts : 

MPOS%  e

1 2

100%  f ( )

Ts 

3

n

Frekventna karakteristika ovog sistema je data sa:

n2 M ( j )  ( j )2  2n  j  n2 odavde slijedi:

M ( j ) 

n2 (n2   2 )2  4 2n2 2

Maksimalna vrijednost frekventnog odziva se dobija na slijedeći način: dM ( j )  0   p  n  1   2  d 161

M ( j p )  M p 

1

2 1   2 Frekventni odziv sistema II reda je predstavljen na slici 31.

Slika 31. Frekventni odziv sistema II reda Na osnovu dobijenog izraza vidi se da M ( j p ) zavisi samo od koeficijenta prigušenja  baš kao i izraz za preskok sistema II reda u vremenskom domenu. Ova veza se moţe predstaviti i grafički kao na slici 32.

Slika 32. Funkcionalna zavisnost M p  f (MPOS% ) Preskok u vremenskom domenu je direktno povezan sa rezonantnim vrhom amplitudskofrekventne karakteristike. Rezonantni vrh u frekventnoj karakteristici se javlja samo ako je   0.707 . Ako je   0.707 ne postoji lokalni maksimum u frekventnom domenu, ali postoji preskok u vremenskom domenu 0.707    1 .

162

Relacija između brzine odziva sistema i njegovog frekventnog odziva Sistem automatskog upravljanja se moţe posmatrati kao niskopropusni (NF) filter. Propusni opseg (bandwidth) sistema (NF filtera) tj. frekvencija BW se definiše kao frekvencija gdje je: M ( jBW ) M ( j  0)



1 2

1 odnosno: 2 20log M ( jBW )  20log 2  3 dB

ili ako se pretpostavi da je M ( j  0)  1 slijedi M ( jBW ) 

Kad BW raste, bolje se reprodukuje ulazni signal jer se tada visokofrekventne komponente manje prigušuju. Što je vrijeme smirenja Ts manje to je sistem brţi. 3 BW  n  (1  2 2 )  4 4  4 2  2 Ts 

n

Prema tome, moţe se zaključiti da je BW  Ts odnosno: 3 BW   (1  2 2 )  4 4  4 2  2  Ts Prema tome, veza tranzijentnog odziva sa frekventnim karakteristikama se moţe prikazati na slijedeći način: G( j )  M ( j )  (MPOS , Ts ) Relacija između frekventnih karakeristika otvorenog karakteristika zatvorenog sistema, konstantni M i N krugovi

sistema

i

frekventnih

Za sistem sa otvorenom povratnom spregom G( s) ekvivalentna prenosna funkcija sistema koji se dobija zatvarnjem jedinične povratne sprege je: G(s) G( j ) M ( s)   M ( j )  1  G( s) 1  G( j ) S obzirom da se G( j ) moţe napisati u obliku: G( j)  P( j)  jQ( j) Dalje je: P( )  jQ( ) P 2 ( )  Q 2 ( ) 2 M ( j )   M ( j )   (1  P( ))  jQ( ) (1  P( )) 2  Q 2 ( ) 2

 M2  M2 2 P   Q    M 2 1  ( M 2  1)2 

Posljednja jednačina predstavlja jednačinu kruga sa koordinatama centra i poluprečnikom:   M2 M C   2 ,0 R 2 M 1  M 1  Za različite M dobije se familija tzv. konstantnih M krugova.

163

Slika 33. Konstantni M krugovi Ukoliko bi preko M krugova nacrtali polarni dijagram funkcije otvorenog sistema G( j ) , u svim tačkama presjeka G( j ) i odgovarajućeg M kruga je tačka koja predstavlja amplitudu frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema. Slično se moţe analizirati i fazna karakteristika:   arg{M ( j)} Q( ) Q( )   tg 1  tg 1  P( ) P( )  1 Q( ) Q( )  P( ) P( )  1   tg 1  Q( ) Q( ) 1  P( ) P( )  1 Q tg   2 P  P  Q2 Ako se tg označi sa N dobija se: Q N 2  P  P  Q2 1  1  N 2 1  P   Q       2  2N  4N 2  2

2

Zadnja jednačina takoĎe predstavlja jednačinu kruga sa parametrima: N 2 1  1 1  2 R  C ,  4N 2  2 2N 

164

Geometrisko mjesto svih mogućih faza sistema sa zatvorenom povratnom spregom predstavlja familiju N-krugova s različitim  . Konstantni N krugovi su dati na slici 34.

Slika 34. Konstantni N krugovi Ukoliko bi preko N krugova nacrtali polarni dijagram funkcije otvorenog sistema G( j ) , u svim tačkama presjeka G( j ) i odgovarajućeg N kruga je tačka koja predstavlja fazu frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema. Ukoliko bi na jednom dijagramu nacrtali M i N krugove pa preko njih polarni plot G( j ) , tada bi presjek G( j ) i odgovarajućih M i N krugova potpuno definisao i odredio frekventnu prenosnu funkciju zatvorenog sistema M ( j ) . MeĎutim, u praksi je obično potrebno odrediti samo frekvencije  p i BW . Frekvencija  p predstavlja frekvenciju rezonantnog vrha frekventne karakteristike, a BW je granična frekvencija sistema.. Postupak odreĎivanja ovih frekvencija je slijedeći: - Frekvencija BW se odreĎuje pomoću tačke presjeka kruga M  0.707 i polarnog plota G( j ) . - Frekvencija  p se odreĎuje tako da se nacrta najveći M krug koji tangira krivu G( j ) . Na osnovu vrijednosti M izračuna  p

Ovaj postupak je predstavljen na slici 35.

165

Slika 35. OdreĎivanje  p i BW Primjer: Za sistem sa slike 36. procijeniti veličini preskoka i vrijeme smirenja korištenjem M krugova.

Slika 36. Provodeći prethodno opisan postupak dobija se polarni plot kao na slici 37.

Slika 37. Polarni plot sistema G( j ) Iz tačke presjeka G( j ) sa krugom M  0.707 dobija se frekvencija BW  3.5 rad / s  . TakoĎe, konstruiše se najveći krug M  1.8 koji tangira polarni plot. 166

Odavde slijedi:

  0.29

Ts  4.5  s  Na osnovu poznatog koeficijenta prigušenja  se moţe izračunati maksimalni preskok vremenskog odziva sistema: 

MPOS%  e

1 2

100%  38.6%

Relacije između tranzijentnog odziva zatvorenog sistema i frekvencijskog odziva otvorenog sistema pomoću Bode-ovih dijagrama Relacije između koeficijenta prigušenja i margine faze Sistem II reda je dat prenosnom funkcijom u otvorenoj sprezi:

G( s) 

n2 s( s  2n )

odnosno u zatvorenoj sprezi:

M ( s) 

n2 s 2  2n  s  n2

S obzirom da je: G( jcg )  1

gdje je cg - učestanost pojačanja koja pokazuje koliko se moţe tolerisati fazno kašnjenje u originalnom sistemu G( j ) , a da sistem ostane stabilan Moduo G( j ) je odreĎen izrazom:

n2 G ( j )   2  j 2  n odavde je:

G ( jcg ) 

n2  cg 2  j 2cg  n

cg  n  2 2  1  4 4 Fazna margina se definiše kao:

m  180  arg G( jcg )

i dobija se:

 m  90  arctg

2 2  1  4 4 2

 arctg

2

2 2  1  4 4 prema tome moţe se zaključiti da je fazna margina funkcija od koeficijenta prigušenja  . m  f ( ) Ovisnost fazne margine od prigušenja sistema je grafički predstavljena na slici 38.

167

Slika 38. Funkcionalna ovisnost m  f ( ) Relacija između vremena smirenja i amplituds frekventne karakteristike sistema sa otvorenom povratnom spregom M krug za M  0.707 kome odgovara 3dB se u zavisnosti od faznog ugla moţe predstaviti kao što je to prikazano na slici 39.

Slika 39. Sa slike se moţe uočiti da se u opsegu od -6 dB do -7.5 dB amplituda G( j ) vrlo malo mijenja pa se u ovom opsegu moţe aproksimirati konstantom. Dakle, kriva se moţe aproksimirati tako da frekvencija BW pri kojoj je amplituda zatvorenog sistema -3 dB, odgovara frekvenciji za koju je amplituda sistema sa otvorenom povratnom spregom izmeĎu 6 dB i -7.5 dB, a faza izmeĎu 135 i 225 . Prethodna analiza omogućava uspostavljanje veze izmeĎu propusnog opsega sistema sa zatvorenom povratnom spregom BW odnosno vremena smirenja sistema Ts i karakteristika sistema sa otvorenom povratnom spregom. Na osnovu provedene analize moţe se zaključiti slijedeće: Propusni opseg sistema sa zatvorenom povratnom spregom BW se odreĎuje na onom mjestu gdje je slabljenje sistema sa otvorenom povratnom spregom izmeĎu 6 dB i -7.5 dB, a fazno kašnjenje izmeĎu 135 i 225 . 168

Dizajn P, PD i PID kontrolera u frekventnom domenu Neka je dat sistem automatskog upravljanja kao na slici 40.

Slika 40. Opšta struktura sistema automatskog upravljanja Problem sinteze kontrolera se svodi na odreĎivanje strukture i parametara kako bi se postigle zadovoljavajuće performanse sistema. Algoritam dizajna P kontrolera Algoritam dizajna P regulatora se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Nacrtati Bode-ove dijagrame sistema za pogodno izabrano K (npr. K  1 ). 2. Iz specifikacija procenta preskoka ( MPOS )odrediti porebnu rezervu stabilnosti po fazi  m korištenjem sljedećih formula:

 MPOS  ln 2    100%  MPOS  e 1 100%     MPOS   2  ln 2    100%  2  m  arctg 2 2  1  4 4 

2

3. Naći frekvenciju m na Bodeovim dijagramima koja odreĎuje ţeljenu vrijednost rezerve stabilnosti po fazi. 4. Promijeniti pojačanje za iznos AB (podići karakteristiku) tako da Bodeova amplitudna karakteristika prolazi kroz 0 dB u m . Iznos AB (promjena pojačanja) je dodatno potrebno pojačanje koje osigurava ţeljenu rezervu stabilnosti po fazi. Pojačanje se obično moţe prikazati u obliku: K  Ks  Kn gdje je K s - startno pojačanje, a K n nova vrijednost. Pojačanje u dB je: AB  20log K . Pri sintezi P regulatora je moguće fiksirati BW , a vrijeme smirenja Ts je onda odreĎeno izborom BW i obrnuto. TakoĎe, moguće je postići ţeljeni preskok, ali je i time odreĎena margina  m . Primjer: Za pozicioni servo sistem upravljanja uglom radarske antene dat na slici 41. potrebno je izvršiti sintezu P regulatora tako da pri referentnom step ulazu maksimalni preskok bude 9.48% .

169

Slika 41. Pozicioni servo sistem radarske antene Na osnovu zadatih specifikacija slijedi:

 MPOS  ln 2   100%     0.6  2 2  MPOS    ln    100%  2  m  arctg  59.19 2 2  1  4 4 Bode-ov dijagram sistema za izabrano K  3.6 je dat na slici 42.

Slika 42. Bode-ovi dijagrami za sistem sa slike 41. Sa Bode-ovih dijagrama se očita da je frekvencija m za koju je fazna margina m  59.19 i iznosi: m  14.8 rad / s  Pojačanje AB potrebno da amplitudni Bode-ov dijagram proĎe kroz nulu na frekvenciji 14.8 rad / s se takoĎe očita na dijagramu i iznosi AB  44.2  dB  .

170

Ukupno pojačanje kontrolera je: 44.2

K  Ko  K AB  K0 10 20  582 Simulacijom se provjeri da li dizajnirani kontroler zadovoljava traţene specifikacije. Simulacijom odziva sistema na step ulaz dobija se slijedeći rezultat:

Slika 43. Odziv sistema na step ulaz

Algoritam dizajna PD regulatora Opšti oblik prenosne funkcije PD regulatora je: GPD (s)  K  Kd s odnosno u drugačijoj formi: K  GPD ( s)  K   d s  1  K  Td s  1  K  Sada se sistem upravljanja moţe prikazati u obliku kao na slici 44.

Slika 44. Sistem upravljanja sa PD regulatorom Bode-ovi dijagrami W (s)  Td s  1 su već ranije konstruisani i prikazani na slici 9. Kao što je poznato, derivativni član unosi pozitivan fazni pomjeraj, prigušujući sistem i čineći ga na taj način stabilnijim.

171

Analiza uticaja derivativnog člana W ( j )  Td j  1 se moţe izvršiti konstruisanjem Bodeovih dijagrama procesa G p ( j ) i W ( j ) . Uporedni prikaz dijagrama je dat na slici 45.

Slika 45. Bode-ovi dijagrami G p ( j ) i W ( j ) Moţe se zaključiti da ako je d  karakteristiku

Gp ( j ) W ( j )

1 >> BW procesa tada će uticaj W ( j ) na amplitudsku Td biti zanemariv, odnosno amplitudska karakteristika

Gp ( j ) W ( j ) je pribliţno jednaka amplitudskoj karakteristici procesa.

Algoritam dizajna PD regulatora u frekventnom domenu se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Iz specifikacija sistema (MPOS i Ts ) odrediti potrebno  m i potrebni propusni opseg sistema BW korištenjem slijedećih formula:

 MPOS  ln 2   2  100%     arctg  m  MPOS  2 2  1  4 4  2  ln 2    100% 

172

BW 

3  Ts  

1  2   2

4 4  4 2  2

1

, odnosno d  10  BW učestanost za dekadu 10  BW veća od BW , te nacrtati Bodeov dijagram funkcije G1 (s)  K  (Td s  1)  G(s) za proizvoljno (pogodno) izabrano K. 3. Promijeniti pojačanje K za potrebno AB tako da Bode-ov amplitudni dijagram proĎe kroz -7 dB u tački   BW . Pojačanje AB se odreĎuje na slijedeći način: AB AB  20  log K  K  log 1 20 4. Odrediti  ms nalaţenjem m pri kojoj novodobijena amplitudna karakteristika 2. Izabrati Td takvo da je Td 

postiţe 0 dB, te je uporediti s potrebnom rezervom  m dobijenom iz specifikacija sistema. 5. Formirati razliku:   m  ms  arctg (m  Tds ) Dalje slijedi:   arctg (m  Tds )  m  ms Izračunati novo Td :

Td 

tg    arctg (m  Td )

m

6. Sa odreĎenim K i Td provjeriti analizom Bode-ovih dijagrama da li su specifikacije zadovoljene.

Algoritam dizajna PI regulatora Opšti oblik prenosne funkcije PI regulatora je:

GPI ( s)  K p 

Ki s

Obično se koristi slijedeća forma regulatora:

Ki T s 1 K i s s Sada se sistem upravljanja sa PI regulatorom se moţe prikazati u obliku kao na slici 46. GPI ( s)  K p 

Slika 46. Sistem upravljanja sa PI regulatorom.

173

U cilju analize uticaja PI regulatora konstruisane su Bode-ove karakteristike člana T j  1 . W ( j )  i j

Slika 47. Bode-ove karakteristike W ( j ) 

Ti j  1 j

Kao što se vidi sa slike 47. postoje NF domen (   i ) i VF domen (   i ). U VF domenu faza je praktično jednaka nuli, a amplituda je konstantna i iznosi 20log Ti . Cilj je postići što veće pojačanje na niskim frekvencijama. Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedećih koraka: 1. Odrediti pojačanje K (bez člana W ( j ) ) prema algoritmu sinteze P regulatora u cilju postizanja ţeljenog preskoka (koeficijenta prigušenja). 2. Izabrati proizvoljno Ti , obično u granicama 0.5  Ti  2 , (kako bi se obrazovao dipol u s domenu). 3. Korigovati vrijednost K i koja je naĎena u koraku 1 za iznos od 20log Ti jer je dodavanjem člana W ( j ) došlo do podizanja karakteristike. Potrebno je izvršiti korekciju na slijedeći način: 20 log Kin  20 log Kis  20 log Ti  Kis Ti 4. Provjeriti validnost dizajna konstruisanjem Bode-ovih dijagrama datog sistema. Kin 

174

Algoritam dizajna PID regulatora Opšti oblik prenosne funkcije PID regulatora je:

Ki s Za dizajn ovog tipa regulatora se obično koristi slijedeća forma: (T s  1)(Ti s  1) GPID ( s)  K d s Veze izmeĎu ovih formi su date na slijedeći način: K  Ki GPID ( s)  K P  K d s 

K  (Td  Ki )  K p K  Td  Ti  K d Ako se obiljeţi:

GPD ( s)  K (Td s  1) Ti s  1 s moţe se zaključiti da ovaj kontroler predstavlja kaskadno povezane PI i PD kontrolere. Dakle opšta struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom se moţe predstaviti kao na slijedećoj slici. GPI ( s) 

Slika 48. Opšta struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Dizajnirati se PD dio regulator tj. odrediti parametri K i Td prema algoritmu za dizajniranje PD regulatora. 2. Dizajnirati se PI dio regulatora, tj. proizvoljno izabrati parametar Ti ( 0.5  Ti  2 ) i izvršiti korekciju pojačanja prema izrazu: K Kin  is Ti 3. Formirati strukturu regulatora u obliku: K (Ti s  1)(Td s  1) GPID ( s)  s 4. Konstruiati se Bode-ovi dijagrami dobijenog sistema i provjeriti da li su zadovoljene tranzijentne specifikacije.

175

TRAĆI DIO Analiza i sinteza sistema u vremenskom domenu U opštem slučaju sistem se moţe predstaviti na neki od slijedećih načina: - U domenu kompleksne promjenljive s pomoću Laplace-ove transformacije - U frekvencijskom domenu ( s  j ) pomoću Fourier-ove transformacije - U vremnskom domenu, pomoću koncepta prostora stanja

Koncept prostora stanja Diferencijalne jenačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema se mogu zapisati na više načina. Standardni način zapisa diferencijalne jednačine je u slijedećoj formi: d n y (t ) f( ,..., y(t ), u (t ), t )  0 dt n Kao što je poznato linearni sistem se moţe opisati slijdedećom diferencijalnom jednačinom: d n y(t ) d n1 y (t ) d mu (t ) an  a    a y ( t )  b  b0u (t ) n 1 0 m dt n dt n1 dt m Prethodna diferencijalna jednačina se moţe zapisati i slijedećoj (tzv. normalnoj) formi: dx1  f1 ( x1 ,..., xn , u , t ) dt dx2  f 2 ( x1 ,..., xn , u , t ) dt  dxn  f n ( x1 ,..., xn , u, t ) dt y (t )  g ( x1 ,..., xn , u , t ) gdje su: u (t ) - ulaz sistema y (t ) - izlaz sistema x   x1  xn 

T

- vektor stanja sistema tj. minimalni skup meĎusobno nezavisnih

koordinata xi (i  1, 2,...n) koje jednoznačno opisuju stanje sistema. Dakle prethodni sistem jednačina se moţe zapisati u vektorskoj formi: x  f ( x , u, t ) gdje su: x - vektor stanja sistema T f   f1 ,..., f n  - vektor funkcija Ovakav zapis sistema omogućava slijedeće koristi: 1. Rješavanje sistema je daleko jednostavnije (lakše je riješiti n jednačina prvog reda nego jednu jednačinu n-tog reda) 2. Model u prostoru stanja jednostavno opisuje kako linearne tako i nelinearne sistema i multivarijabilne sisteme 3. Teorija optimalnog upravljanja sistema zahtijeva matematički model sistema u prostoru stanja

176

Matrični modeli linearnih vremenski stacionarnih sistema Linearni sistem se moţe opisati slijedećim sistemom jednačina: dx1  a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1u dt dx2  a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2u dt  dxn  an1 x1  an 2 x2    ann xn  bnu dt y  c1 x1  cn xn  D  u Prethodni sistem se moţe zapisati u slijedećoj matričnoj formi:  x1   a11 a12  a1n   x1   b1   x   a       2    21 a22  a2 n    x2   b2   u                   xn   an1 an 2  ann   xn  bn   x1  x  y   c1 c2  cn   2    d   u     xn  ili u kraćoj formi: x  Ax  B  u y  Cx  D  u uz početne uslove: x (0)  x (0) gdje su:  An x n - matrica sistema

 B n x1 - vektor ulaza sistema C 1x n - vektor izlaza sistema  D1x1 - vektor ulaz-izlaz sistema Svali linearni sistem je jednoznačno odreĎen s matricama A, B, C i d . Rješavanje diferencijalnih jednačina u prostoru stanja Diferencijalne jednačine se u opštem slučaju mogu riješavati klasičnim putem ili primjenom neke pogodne transformacije kao što je Laplace-ova transformacija. Difrencijalnu jednačinu: x  ax je moguće riješiti razdvajanjem promjenljivih: dx dx  ax   adt dt x

177

Rješnje jednačine se dobija jednostavnom integracijom: x  Ceat pri čemu se konstanta C odreĎuje iz početnog uslova: x(0)  x0 , pa se konačno dobija: x(t )  x0eat Analogno se moţe riješiti slijedeća diferencijalna jednačina: x  Ax uz početne uslove x (0)  x0 .

Sa (t ) je obiljeţena matrica e At . Matrica (t ) se definiše na slijedeći način: 

( At )n ( At )2 (t )  e    I  At   n! 2! n 0 gdje je sa I označena jedinična matrica. Prema tome rješenje diferencijalne jednačine x  Ax se dobija u slijedećem obliku: x(t )  (t ) x(0) Matrica (t ) se naziva matrica prelaza stanja. At

Sistem linearnih diferencijalnih jednačina: x  Ax  B  u

y  Cx  d  u u opštem slučaju moţe biti riješen na dva načina: 1. Direktno rješavanje metodom varijacije konstanti 2. Rješavanje Laplace-ovom transformacijom. Primjenom metode varijacije konstanti dobija se slijedeće: x  Ax , x(0)  x0 odavde slijedi rješenje homogenog dijela: x(t )  x(0)e At  (t ) x(0) Konačno rješenje se moţe dobiti kao zbir homogenog i partikularnog rješenja: t

x(t )  (t ) x0   (t   ) Bu ( )d 0 t

homogeni dio (t ) x0 predstavlja uticaj početnih uslova, a partikularni dio  (t   ) Bu ( )d 0

predstavlja prinudni reţim. x(t ) predstavlja vektor varijabli stanja. Primjenom Laplace-ove transformacije na sistem: x  Ax  B  u y  Cx  d  u dobija se slijedeće: sX ( s)  x0  AX ( s)  BU ( s) 

( sI  A) X ( s)  x0  BU ( s)  X ( s)  ( sI  A) 1 x0  ( sI  A) 1 BU ( s ) gdje je:

( sI  A)1 

1 adj ( sI  A)  ( s) det( sI  A)

178

Prema tome, dalje se moţe pisati: X (s)  ( s) x0  ( s) BU ( s) gdje (s)  (sI  A)1 predstavlja Laplace-ovu sliku matrice prelaza stanja. Vektor varijabli stanja u vremenskom domenu se dobija nalaţenjem inverzne Laplace-ove transformacije od X ( s) : x(t )  L-1 { X (s)} Odziv sistema se odreĎuje iz izraza: y(t )  Cx(t )  Du(t ) primjenom Laplace-ove transformacije dobija se : Y (s)  CX (s)  DU (s) S obzirom da je: X (s)  ( s) x0  ( s) BU ( s) Y (s) za nulte početne uslove: x0  0 moţe se odrediti prenosna funkcija sistema : U ( s) Y ( s) CX ( s)  DU ( s) G(s)    C( s ) B  D U ( s) U ( s) Primjer: Naći matricu prelaza stanja datog u prostoru stanja sa:  x1  0 3  x1   x    1 2   x    2  2  uz početne uslove: 1 x0    1 Matrica prelaza stanje se dobija na slijedeći način: (t )  L-1 {( s)} gdje se ( s) računa kao: 2  s3  2 2  s  3s  2 s  3s  2  ( s)  ( sI  A) 1    1 s    s 2  3s  2 s 2  3s  2  Odavde je:  2et  e2t 2et  2e2t  (t )   t 2t  et  2e2t   e e Vektor stanja sistema nije jednoznačan, što je posljedica činjenice da postoji beskonačno mnogo načina na koje se sistem moţe predstaviti. Neka je sistem dat predstavom u prostoru stanja: x  Ax  Bu y  Cx  Du uz vektor počentnih uslova: x(0)  x0 Smjenom x  Txˆ , gdje je T neka regularna matrica dobija se:

179

Txˆ  ATxˆ  Bu y  CTxˆ  Du S obzirom da vrijedi: x  Txˆ  xˆ  T 1 x prethodni sistem se moţezapisati u slijedećem obliku: xˆ  T 1 ATxˆ  T 1Bu , xˆ (0)  T 1 x(0) y  CTxˆ  Du odnosno: ˆ ˆ  Bu ˆ xˆ  Ax ˆ ˆ  Du ˆ y  Cx

gdje se transformacije:

Aˆ  T 1 AT Bˆ  T 1 B Cˆ  CT Dˆ  D

nazivaju transformacije sličnosti. Ove transformacije mogu posluţiti za dovoĎnje sistema u prostiju formu za svrhe analize. Jedna od mogućih je dijagonalna forma: 1  0  Aˆ       0  n  n x n Homogeni dio tada prelazi u slijedeći oblik:  xˆ1  1 0  0   xˆ1         xˆ2   0 2  0   xˆ2                   xˆ   0 0  n   xˆn   n odnosno u sistem jednačina: xˆ1  1 xˆ1  xˆn  n xˆn Na osnovu prethodne analize moţe se zaključiti da se pomoću dijaginalne matrice sistem reda n transformiše u n diferencijalnih jednačina prvog reda. Matrica A se moţe prevesti u dijagonalnu formu transformacijom sličnosti ako ima jednostruke realne svojstvene vrijednosti ili ako je simetrična.

Načini dobijanja modela u prostoru stanja a) Dobijanje modela u prostoru stanja direktno iz obične diferencijalne jednačine sistema i) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: y ( n) (t )  an1 y ( n1) (t )    a0 y(t )  u (t )

180

predstava u prostoru stanja se dobija uvoĎenjem slijedećih smjena: x1 (t )  y (t )

x2 (t ) 

dy (t )  x1 (t ) dt

 d n 1 y (t )  xn 1 dt n 1 d n y (t ) xn (t )   a0 x1 (t )  a1 x2 (t )    an 1 xn (t )  u (t ) dt n Ovaj sistem se moţe predstaviti u slijedećoj matričnoj formi: 1 0  0   x1  0   x1   0  x   0 0 1  0  x2  0   2       u                       xn   a0 a1 a2  an 1   xn  1  xn (t ) 

 x1  x  y  1 0  0  2    0  u     xn  Odgovarajuće matrice su:

1 0  0  0 0 1 A       a0 a1 a2 C  1 0  0 ,

 0  0  ,     an 1 

0  0  B      1 

D   0

Primjer: Za datu diferencijalnu jednačinu naći model u prostoru stanja. d 3 y(t ) d 2 y (t ) dy (t )  3 4  2 y(t )  u (t ) 3 2 dt dt dt Slijedećim smjenama: x1  y x2  x1  y

x3  x2   y x3   y dobija se matrični model sistema u prostoru stanja: 1 0  x1  0  x1   0  x    0 0 1   x2   0  u  2   x3   2 4 3  x3  1 

 x1  y  1 0 0   x2   x3 

181

ii) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: y ( n) (t )  an1 y ( n1) (t )    a0 y(t )  u(t )  b1u(t )    bmu ( m) (t ) ( n  m ) predstava u prostoru stanja se dobija na korištenjem principa superpozicije svojsvenog linearnim sistemima. Posmatra se diferencijalna jednačina:  ( n) (t )  an1 ( n1) (t )    a0 (t )  u(t ) Na osnovu prethodnih razmatranja (slučaj i)) dobija se slijedeća matrična predstava u prostoru stanja: 1 0  0   x1  0   x1   0  x   0 0 1  0  x2  0   2       u                       xn   a0 a1 a2  an 1   xn  1  pri čemu su varijable stanja izabrane na uobičajen način: x1 (t )   (t ) x2 (t )  x1 (t )   (t )

 xm (t )  xm 1 (t )   ( m 1) (t ) xm 1 (t )  xm (t )   ( m ) (t )  xn (t )  xn 1 (t )   ( n 1) (t ) Za linearni sistem vrijedi princip superpozicije: L(a  u1 (t )  b  u2 (t ))  a  L(u1 (t ))  b  L(u2 (t )) Prema tome, izlaz sistema se moţe pisati u obliku: y(t )  b0 (t )  b1 (t )    bm ( m) (t ) zamjenom derivacija w(t ) sa izabranim varijablama stanja dobija se: y(t )  b0 x1 (t )  b1 x2 (t ) bm xm1 (t ) odnosno u matričnoj formi:  x1       xm 1  y (t )  b0  bm 0  0    xm  2       xn  Primjer: Za datu diferencijalnu jednačinu napisati model u prostoru stanja:  y (t )   y(t )  y (t )  6 y(t )  3u(t )  4u(t ) Zadata diferencijalna jednačina se moţe, prema prethodnom razmatranju, zamijeniti slijedećim jednačinama: (t )  (t )  (t )  6 (t )  u(t ) 4(t )  3 (t )  y(t ) Promjenljive stanja se biraju na slijedeći način:

182

x1 (t )   (t ) x2 (t )  x1 (t )  (t ) x (t )  x (t )  (t ) 3

2

Odavde je: x3 (t )  (t )  u(t )  x3  x2  6 x1 Matrični model sistema u prostoru stanja je:  x1   0 1 0  x1  0  x    0 0 1  x   0 u  2   2    x3   6 1 1  x3   1

 x1  y  3 4 0  x2   x3  iii) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: y ( n) (t )  an1 y ( n1) (t )    a0 y(t )  u(t )  b1u(t )    bnu ( n) (t ) analogno, kao u prethodnom slučaju data diferencijalna jednačina se moţe zamijeniti slijedećim jednačinama:  ( n) (t )  an1 ( n1) (t )    a0 (t )  u(t ) bn ( n) (t )  bn1 ( n1) (t )  b0 (t )  y(t ) UvoĎenjem promjenljivih stanja: x1 (t )   (t ) x (t )  x (t )  (t ) 2

1

 xn (t )  xn 1 (t )   ( n 1) (t ) odavde moţe se pisati:

xn (t )  u(t )  a0 x1 (t )    an1 xn (t )

y  b0 x1    bn1 xn  bn xn  b0 x1    bn1xn  bn u (t )  a0 x1    an1xn  sreĎivanjem, za odziv sistema se dobija: y(t )  (b0  bn a0 ) x1 (t )    (bn1  bn an1 ) xn (t )  bnu(t ) Sada se sistem moţe zapisati u matričnoj formi: 1 0  0   x1  0   x1   0  x   0 0 1  0  x2  0   2       u                      xn   a0 a1 a2  an 1   xn   1  x1  x  y   (b0  bn a0 ) (b1  bn a1 )  (bn 1  bn an 1 )    2   bn   u      xn  U opštem slučaju nelinearna diferencijalna jednačina oblika: f ( y ( n) ,..., y, u, t )  0

183

moţe biti prevedena u prostor stanja ako se moţe eksplicitno riješiti po najvišem izvodu tj. ako se moţe prevesti u slijedeći oblik: y ( n)  g ( y ( n1) ,..., u, t ) Odavde trivijalne smjene: x1 (t )  y (t ) x2 (t )  x1 (t )  y (t )

 xn (t )  xn 1 (t )  y n 1 (t ) prevode sistem u prostor stanja. b) Dobijanje modela sistema u prostoru stanja iz simulacionih dijagrama Simulacijom dinamičkih sistema dobija se rješenje sistema diferencijalnih jednačina korištenjem računarskih mašina koje mogu biti analogne ili digitalne. Osnovni simulacioni elementi su: - Integrator - Sumator - Pojačavač - Nelinearni element (histereza i sl.) U simulacionim dijagramima se koriste slijedeći grafički simboli: Simbol

Jednačina

Naziv

y(t )   x(t )dt

Integrator

n

y   xi

Sumator

y  Kx

Pojačalo

i 1

Dobijanje modela iz simulacionih dijagrama moţe biti izvršeno na više načina: - Serijsko programiranje funkcije prenosa - Paralelno programiranje funkcije prenosa - Direktno programiranje funkcije prenosa Neka je prenosna funkcija sistema u s domenu data na slijedeći način: Y ( s ) Q( s ) G( s)   U ( s ) P( s ) Različiti načini programiranja funkcije prenosa koriste različite forme predstavljanja prenosne funkcije.

184

Serijsko programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu: Q( s ) K G( s)   P( s) ( s  s1 ) ( s  si ) ( s  sn ) pri čemu se pretpostavlju realni polovi. Prenosna funkcija sistema se moţe zapisati u obliku: K 1 1 G(s)    ( s  s1 ) ( s  si ) ( s  sn ) X (s) 1 Element se moţe prikazati simulacionim dijagramom na slijedeći način:  U ( s ) s  si X ( s) 1   ( s  si ) x( s)  U ( s)  x (t )  si x(t )  u (t ) U ( s) s  si odavde se dobija: x (t )  si x(t )  u(t ) Koristeći standardne grafičke simbole posljednji izraz se moţe grafički predstaviti:

1 s  si Kompletan simulacioni dijagram predstavlja kaskadnu vezu ovakvih elemenata: Slika 1. Grafička predstava elementa

K ( s  s1 ) ( s  sn ) Ako se kao koordinate stanja izaberu izlazi integratora iz simulacionog dijagrama dolazi se do modela sistema u prostoru stanja:  x1   s1 1 0  0   x1   0   x   0 s 1  0   x   0  2  2    2   K                         xn   0 0 0  sn   xn   K 

Slika 2. Kompletan simulacioni dijagram sistema G ( s) 

 x1  x  y  1 0  0   2    0  u     xn 

185

Paralelno programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu: n K Q( s ) Q( s ) G( s)    i P( s) ( s  s1 ) ( s  sn ) i 1 s  si Paralelna forma koristi Heaviside-ov razvoj prenosne funkcije u parcijalne razlomke. Kompletan simulacioni dijagram se dobija paralelnim vezivanjem pojedinih simulacionih elementa.

n

Slika 3. Kompletan simulacioni dijagram sistema G ( s)   i 1

Ki s  si

Izborom koordinata stanja kao izlaza integratora dobija se: x1  s1 x1  u

 xn  sn xn  u y  K1 x1  K 2 x2    K n xn ili u matričnoj formi:

 x1   s1 0  0   x1  1  x   0 s  0   x  1 2  2      2     u                      xn   0 0  sn   xn  1 186

 x1  x  y   K1 K 2  K n    2      xn  ovakva forma modela u prostoru stanja (matrica A dijagonalna) naziva se modalna kanonska forma sistema i najjednostavnija je moguća za analizu sistema. Dijagonalna matrica se moţe dobiti jedino ako prenosna funkcija sistema G( s) ima sve jednostruke realne polove. Direktno programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu: Y ( s) bm s m  bm1s m1    b0 G( s)   n U (s) s  an1s n1    a0 Prenosna funkcija se moţe transformisati na slijedeći način: Y ( s) Y ( s) V ( s) Y ( s) V ( s) bm s m    b0 1 G( s)        n U ( s) U ( s) V ( s) V ( s) U (s) 1 s    a0 Odavde je: ( s n  an 1s n 1    a0 )V ( s)  U ( s)

(bm s m  bm1s m1    b0 )V (s )  Y (s ) ili u vremenskom domenu:

v( n ) (t )  an 1v ( n 1) (t )    a0v(t )  u (t ) bm v ( m ) (t )  bm1v ( m1) (t )    b0v(t )  y (t ) Kompletan simulacioni dijagram sistema G( s) direktnog programiranja funkcije prenosa za najopštiji slučaj (n  m) je dat na slici 4.

Slika 4. Simulacioni dijagram direktnog programiranja prenosne funkcije Ako se kao promjenljive stanja izaberu izlazi integratora dobije se slijedeći model: 187

1 0  x1   0  x   0 0 1  2            xn   a0 a1 a2

 0   x1  0   0   x2  0      u               an   xn  1   x1  x  y   (b0  bn a0 ) (b1  bn a1 )  (bn 1  bn an 1 )    2   bn   u     xn  Ovakva forma matrice A se naziva kontrolabilna kanonska forma. Analiza stabilnosti dinamičkih sistema u prostoru stanja Analiza stabilnosti sistema u prostoru stanja se provodi za sistem bez ulaznog pobudnog signala, tj. samo uz dejstvo početnih slova Već ranije je pokazano da je rješenje diferencijalne jednačine: x  Ax uz početne uslove: x(0)  x0 dato preko matrice prelaza stanja: x(t )  (t )  x0  e At  x0 Za linearni vremensko invarijantni (LVI) sistem se uvode slijedeće definicije: a) LVI sistem dat u prostoru stanja jednačinom x  Ax uz početne uslove x(0)  x0 se kaţe da je asimptotski stabilan ako za moduo vektora stanja vrijedi: lim x(t )  0 t 

Ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 5.

Slika 5. Asimptotski stabilan sistem

188

b) Za sistem se kaţe da je marginalno stabilan ako je: lim x(t )  M   t 

ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 6.

Slika 6. Marginalno stabilan sistem c) Sistem je nestabilan ako je:

lim x(t )  M   t 

Slika 7. Nestabilan sistem S obzirom da je x(t )  (t )  x0 to se moţe zaključiti da stabilnost odreĎuje matrica prelaza stanja (t )  e At  L-1 {(sI  A)1} .

189

Laplace-ova transformacija matrice prelaza stanja je: 1 ( s)  ( sI  A) 1  adj ( sI  A) det( sI  A) odnosno u opštem obliku:  G11 ( s)  G1n ( s)  1   ( s)     det( sI  A)  Gn1 ( s)  Gnn ( s)  Analizirajući ( s) moţe se pisati: X ( s )  ( s ) x0

 G11 ( s )  G1n ( s)   X 10  1   X (s)         det( sI  A) Gn1 ( s)  Gnn ( s)   X n 0  n 1 X i ( s )   Gij ( s ) X i 0 det( sI  A) j 1

xi (t )  L-1

 X i (s)

Jednačina:

Ax   x definiše sopstvene vektore i sopstvene vrijednosti matrice A. Dalje se moţe pisati: Ax   x  0

x( A  I  )  0 det( A   I )  0 Izraz det(sI  A) predstavlja polinom n-tog reda. Sada se dobija: n

X i ( s) 

 G (s) X j 1

ij

i0

( s  1 )( s  2 ) ( s  i ) gdje su sa i ( i  1, 2,...n ) obiljeţene sopstvene vrijednosti matrice A. Na osnovu prethodnog izlaganja prenosna funkcija sistema se moţe dobiti u obliku: Q( s ) Q( s ) G( s)   P( s) ( s  s1 )( s  s2 ) ( s  sn ) Prema tome, polovi prenosne funkcije predstavljaju sopstvene vrijednosti matrice A. Za sistem zadat u prostoru stanja: x  Ax  Bu y  Cx prenosna funkcija se moţe odrediti na slijedeći način: Y (s)  C  ( sI  A)1  B  U ( s) C  adj (sI  A)  B G(s)  det( sI  A) Za koordinate stanje se moţe pisati: xi (t )   Ci  eit

190

Odavde se moţe zaključiti slijedeće:

lim x(t )  lim t 

t 

x

lim x(t )   ; t 

lim x(t )  M ; t 

i

2

 0;

za svako i  0 ako je bilo koji i >0

ako je neki k  0 , a svi ostali manji od 0

Na osnovu ovoga vrijedi: a) Sistem dat u prostoru stanja sa x  Ax je asimptotski stabilan ako sve sopstvene vrijednosti matrice A imaju negativne realne dijelove (lijeva poluravan s ravni). b) Sistem je marginalno stabilan ako matrica A ima jednostruke sopstvene vrijednosti s nultim realnim dijelom, a sve ostale imaju negativan realni dio. c) Sistem je nestabilan ako ima bar jednu pozitivnu sopstvenu vrijednost ili višestruke sopstvene vrijednosti sa nultim realnim dijelom. Kontrolabilnost i opservabilnost sistema Neka je sistem dat u prostoru stanja: x(0)  x0 x  Ax  Bu y  Cx Kontrolabilnost govori da li je uopšte moguće upravljati nekim sistemom. Za svaki sistem dat u prostoru stanja se kaţe da je kontrolabilan ako ga je iz bilo kojeg početnog stanja x(0)  x0 mogućeo prevesti u bilo koje drugo krajnje stanje x f (t0 ) za konačno t0 .

Slika 8. Kontrolabilnost sistema Linearni vremensko invarijantni sistem (SISO) je kotrolabilan ako matrica kontrolabilnosti C: C   B AB A2 B  An1B  ima rang n. Za kvadaratnu matricu uslov rangC  n je ekvivalentan uslovu det C  0 (regularna matrica).

191

Opservabilnost sistema pokušava odgovoriti na pitanje da li je moguće na bazi mjerenja izlaza sistema y (t ) rekonstruisati kompletan vektor stanja x . Za sistem dat u prostoru stanja moţe se pisati: y(0)  C  x(0) dy (0)  C  x '(0)  C  A  x(0) dt d 2 y (0) d 2 ( x(0))  C  CA2 x(0) 2 2 dt dt 

Ili u matričnoj formi:

d n 1 y (0) d n 1 ( x(0))   CAn 1 x(0) n 1 n 1 dt dt  y (0)   dy (0)     C   x1 (0)   dt   CA   x (0)   d 2 y (0)     2  2       x3 (0)   CA 2   dt               n 1  CAn 1   xn (0)   d y (0)   dt n 1  T

Matrica O  C CA CA2  CAn1  se naziva matrica opservabilnosti. Sistem je opservabilan ako matrica O ima rang n. Za SISO sistem ovaj uslov je ekvivalentan uslovu det O  0 . Stabilnost Lyapunov-a Prema teoremi Lyapunov-a moguće je ispitati stabilnost sistema ako se moţe naći funkcija V(x) takva da je V(x)>0 i V(0)=0 i ako je moguće pokazati da je: dV ( x) V dx  0 dt x dt tada je sistem asimptotski stabilan. Na slici 9. je prikazano kretanje sistema u prostoru stanja u slučaju stabilnog sistema:

Slika 9. Asimptotski stabilan sistem

192

Vidi se da je nakon nekog vremena vektor stanja sigurno u koordinatnom početku. Ako se za sistem x  Ax formira funkcija V ( x)  x T  p  x (u nastavku vektor x se obiljeţava sa x ) tada je: dV V dx   xT px  xT px  AT xT px  xT pAx  xT ( AT px  pAx)  xT ( AT p  pA) x dt x dt gdje je p  pT  0 simetrična i pozitivno definitna matrica. Prema tome, da bi bio ispunjen uslov stabilnosti: dV ( x) 0 dt slijedi da matrica: AT p  pA  Q mora biti negativno definitna, odnosno matrica Q mora biti pozitivno definitna. Teorem stabilnosti se moţe formulisati i na slijedeći način: LVI sistem x  Ax je asimptotski stabilan ako za bilo koju simetričnu i pozitivno definitnu matricu Q (Q  QT  0) postoji jedinstveno rješenje jednačine AT p  pA  Q po p , tako da je p  pT  0 Sinteza upravljanja u prostoru stanja Općenito problem sinteze upravljanja u prostoru stanja se klasificira u dva problema. a) tzv. problem regulatora, b) servo-problem / problem praćenja Problem regulatora Za sistem dat u prostoru stanja: x  Ax  Bu x(0)  x0 y  Cx Problem regulatora se formuliše kao: Potrebno je naći upravljanje u  f ( x) odnosno upravljanje u funkciji vektora stanja koje na ţeljeni način karakteriše poremećaj tipa početnih uslova. Izabere se najjednostavnije moguće upravljanje u formi linearne kombinacije vektora stanja: u  k  x odnosno u razvijenoj formi:  x1  T U  k1 x1  k2 x2    kn xn    k1  kn       k  x  xn  gdje je: T

k - vektor pojačanja dimenzija 1xn x - vektor koordinata stanja dimenzija nx1

Sada se moţe pisati:

x  Ax  Bu u  kx x  Ax  Bkx  x  ( A  Bk ) x

193

Dinamika sistema je sada odreĎena matricom . Ovo je regulator sa postavljanjem polova, jer se pomoću vektora k moţe postaviti svaki pol sistema. Neka je sistem dat u kontrolabilnoj formi: 1 0  0   x1  0  x1   0  x   0 0 1  0   x2  0  2     u                     x   a0 a1 a2  an 1   xn  1  y  Cx Prenosna funkcija sistema je: Q( s ) G(s)  n s  an 1s n 1  a0 a karakteristični polinom sistema:  (s)  s n  an1s n1  a0 Upravljanje u  k  x u stvari predstavlja povratnu spregu pomoću koje se svi polovi smještaju na ţeljene lokacije: Pd (s)  (s  1 )(s  2 )(s  i )  s n  an1s n1  a0 gdje su i (i  1, 2,...n) ţeljeni polovi. Dalje je:

 x1   0  x   0  2          x   a0

1 0  a1

0  0   x1  0  x1  1  0   x2  0     k1  kn     (1)           xn      a2  an 1   xn  1 

0 1 0  0   x1   x1    x   x   0 0 1  0  2  2                  x   (a0  k1 ) (a1  k2 ) (a2  k3 )  (an 1  kn )   xn  Karakteristična polinom ovog sistema je: Pf (s)  s n  (an1  kn )s n1  (a0  k1 ) a ţeljeni karakteristični polinom je: Pd (s)  (s  1 )(s  2 )(s  i )  s n  and1s n1  a0d Izjednačavanjem koeficijenata se dobija: and1  an 1  kn

 a0d  a0  k1 Konačno se dobija:

kn  and1  an 1  k1  a0d  a0

194

Ovo je tzv. pole placement regulator i prikazan je na slici 10.

Slika 10. Pole placement regulator Vektor pojačanja k se moţe odrediti pomoću tzv. Ackermann-ove formule: k  0 0  1  pc1  q( A) gdje je: pc   B AB  An1B  - matrica kontrolabilnosti q( A)  An  and1 An1    a0d I - matrični polinom

Problem praćenja Za sistem dat u prostoru stanja: x  Ax  Bu x(0)  x0 y  Cx Problem praćenja se formuliše kao: Izvršiti sintezu regulatora u prostoru stanja tako da sistem prati referentnu ulaznu vrijednost sa nultom greškom u stacionarnom stanju i ţeljenim tranzijentnim odzivom. Ako se ţeli da sistem prati referentni signal r (t )  const. tada se uvode pomoćne jednačine: ery e  0  y   y  Cx Sada se jednačine sistema u prostoru stanja mogu pisati kao:  x  Ax  Bu e  Cx uvoĎenjem novih promjenljivih z i w kao: z  x w  u sistem jednačina dobija novi oblik: z  Az  Bw e  Cz ili u matričnoj formi:  e  0 C   e   0   z   0 A   z    B  w        Ako je sistem kontrolabilan, tada se prema prethodnom postupku moţe odrediti upravljanje: w  k1  e  k T  z koje će obezbijediti asimptotsko praćenje referentnog ulaza sa nultom greškom u ustaljenom stanju. 195

Observeri (estimatori) stanja Iz prethodnog izlaganja se vidi da je za sintezu regulatora potrebno poznavati koordinate stanja. MeĎutim, u praksi nisu sve varijable stanja uvijek dostupne ili se ne mogu mjeriti, pa ih je potrebno na neki način odrediti. Koordinate stanja je moguće odrediti (pribliţno) ako je sistem opservabilan. Neka je sistem dat u prostoru stanja: x(t )  Ax(t )  Bu(t ) x(0)  x0 y(t )  Cx(t ) Ako se procjena koordinata stanja označi sa xˆ , jednačina estimatora stanja je: xˆ (t )  Axˆ (t )  Bu(t )  k ( y(t )  yˆ (t )) yˆ (t )  Cxˆ(t ) Ako se greška procjene definiše kao: e(t )  x(t )  xˆ(t ) odavde je: e(t )  x (t )  xˆ (t ) zamjenama: x(t )  Ax(t )  Bu(t ) i xˆ (t )  Axˆ (t )  Bu(t )  k ( y(t )  yˆ (t )) u prethodnoj jednačini i sreĎivanjem dobija se: e(t )  x (t )  xˆ(t )  Ae(t )  kCe(t )  e(t )  ( A  k  C )  e(t ) Problem sinteze observatora je u odreĎivanju takvog vektora k da greška što brţe konvergira nuli. Ako se uzme: D  A  kC  DT  AT  CT k T problem se svodi na problem sinteze regulatora, pa se moţe primijeniti Ackermann-ova formula za odreĎivanje vektora k T k T  0 0  1 pc1q( A) gdje je: pc  C T AT C T  ( AT )n1 CT  - matrica opservabilnosti q( A)  ( AT )n  an1 ( AT )n1 a0 I - matrični polinom

ai ( i  1,..., n  1) – koeficijenti karakterističnog polinoma za ţeljene lokacije polova

196