Automatización_De_Procesos_Industriales

March 21, 2018 | Author: jgaetev | Category: Unified Modeling Language, Technology, Science, Mathematics, Computing And Information Technology

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Automatizaci´ on de Procesos Industriales Ingeniero de Organizaci´ on. Curso 1o

Jos´ e Mar´ıa Gonz´ alez de Durana Dpto. I.S.A. EUI –UPV/EHU– Vitoria-Gasteiz

Directory . Indice . Contenidos

c 2005 Copyright Ultima Revisión: Febrero 2004

Indice 1. OBJETIVOS ´ 2. METODO 3. EVALUACION 4. CONTENIDOS 5. Libros recomendados .

Tema 1. Introducci´ on

1. Perspectiva hist´ orica 2. La empresa productiva 2.1. El proceso productivo 2.2. Operaciones b´ asicas de fabricaci´ on • Procesado de un elemento • Montaje • Movimiento de material • Almacenamiento • Inspección y control 2.3. Tipos de procesos

• Job Shops • Producción por lotes • L´ıneas de producción • Producción continua 2.4. Ubicaci´ on de los procesos • Producto en posición fija • Por clases de procesos • En flujo de producto • Por tecnolog´ıa de grupo 3. El proceso en feedback 3.1. Esquema de regulaci´ on en feedback 3.2. El significado del control 3.3. El control en la empresa 4. La automatizaci´ on industrial • Técnicas analógicas • Técnicas digitales 4.1. Estructuras de automatizaci´ on 4.2. Ventajas e inconvenientes de la automatizaci´ on 4.3. Elementos de la automatizaci´ on 5. Modelos matem´ aticos de sistemas 3

6. Modelado y simulaci´ on de sistemas complejos 6.1. Importancia del modelado • Lenguaje Unificado de Modelización (UML) 7. Estructura del curso Parte I. Control de procesos de eventos discretos .

Tema 2. Sistemas booleanos

1. Dispositivos l´ ogicos 2. Algebra de Boole 2.1. Funciones booleanas • Formas canónicas 2.2. Simplificaci´ on de funciones booleanas • Método de Karnaugh • Método de Quine-McCluskey • Algoritmo de Quine 3. Sistemas combinacionales 3.1. Funciones l´ ogicas elementales 4

• Función NOT • Función AND • Función OR • Función NAND • Función NOR • Función XOR 4. Sistemas secuenciales 4.1. Aut´ omata de Mealy 4.2. Aut´ omata de Moore 4.3. Tablas de estado 4.4. Diagrama de estado 4.5. Dispositivos biestables • Biestable R-S .

Tema 3. Modelos computacionales

1. Grafcet 1.1. Elementos b´ asicos • Etapas • Transiciones • Segmentos paralelos 1.2. Estructuras b´ asicas • Secuencia simple • Divergencia OR • Convergencia OR • Divergencia 5

AND • Convergencia AND • Saltos • Posibilidades avanzadas 2. Cartas de estado 2.1. Stateflow 2.2. Elementos de una carta de estado • Estados • Transiciones • Uniones 2.3. Elementos de texto especiales • Datos • Eventos 3. Creaci´ on de un modelo con Stateflow–Simulink • Observaciones • Ejemplo. Control de barrera de ferrocarril Parte II. Control de procesos continuos .

Tema 4. Modelos de sistemas continuos

1. Ecuaci´ on diferencial 1.1. Sistemas lineales - par´ ametros constantes • Modelo externo • Modelo interno 1.2. Modelo externo 6

1.3. Modelo interno 1.4. C´ alculo de la respuesta temporal • Cálculo de la respuesta con Matlab 2. Simulink • Ejemplo. Modelo simple • Ejemplo, Circuito eléctrico • Cálculo con Matlab para c. alterna 3. Sistemas no lineales – p´ endulo 3.1. Respuesta – modelo externo • Resolución simbólica 3.2. Respuesta – modelo interno 4. Sistema de primer orden 5. Sistema de segundo orden 6. Linealizaci´ on • Ejemplo. Depósito 7. Respuesta de frecuencia

7

7.1. Diagrama de Nyquist 7.2. Criterio de Nyquist • Principio del argumento • Criterio de estabilidad de Nyquist • Ejemplo 1 • Ejemplo 2 • Ejemplo 3 • Ejemplo 4 7.3. Diagramas de Bode 8. El lugar de las ra´ıces 8.1. Reglas para el trazado 8.2. Trazado por computador .

Tema 5. Realizaci´ on del control

1. Realizaci´ on f´ısica 2. Sensores 2.1. Tipos de sensores 2.2. Clasificaci´ on 2.3. Calibraci´ on 2.4. Tipos de transductores 8

2.5. El potenci´ ometro como sensor de posici´ on 3. Actuadores 3.1. Tipos de actuadores 3.2. Otros actuadores 3.3. Accesorios mec´ anicos 3.4. El motor de c.c. 3.5. Ecuaciones diferenciales 3.6. Modelo externo 3.7. Funci´ on de transferencia del motor 3.8. Reductor de velocidad 3.9. Funci´ on de transferencia del reductor 3.10.Reductor con poleas el´ asticas 3.11.Aplicaci´ on pr´ actica: sistema de control de posici´ on 4. Especificaciones de funcionamiento 4.1. Especificaciones en tiempo 9

• Valores para el sistema de 2o orden • Otros valores 4.2. Especificaciones en frecuencia 5. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales .

Tema 6. Dise˜ no de Sistemas de Control continuos

1. Introducci´ on 2. Tipos de controladores • Realización de los controladores • Controlador PID • Controladores de adelanto y de retraso de fase • Controlador de adelanto-retraso con red pasiva • Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional 3. Dise˜ no en el lugar de las ra´ıces • Efecto de a˜ nadir un cero • Efecto de a˜ nadir un polo 3.1. Dise˜ no de un controlador de adelanto de fase 3.2. Dise˜ no de un controlador PID Parte III. Automatizaci´ on local .

Tema 7. Aut´ omatas programables 10

1. Descripci´ on de un PLC 2. Programacion de PLC’s 2.1. Ladder Diagram (LD) 3. C´ elula flexible SMC 3.1. Aut´ omata programable Omron CPM2A-30CDR-A 3.2. Ejemplos .

Tema 8. Sensores

1. Tipos de sensores 1.1. Clasificaci´ on 1.2. Caracter´ısticas 2. Calibraci´ on 3. Tipos de transductores .

Tema 9. Actuadores

1. Tipos de actuadores 11

1.1. Otros actuadores 1.2. Accesorios mec´ anicos 2. Neum´ atica 2.1. V´ alvulas 3. Automatismos el´ ectricos 3.1. El rel´ e 3.2. Funciones l´ ogicas con rel´ es Parte IV. Automatizaci´ on global .

Tema 10. Niveles de Automatizaci´ on

1. Fabricaci´ on inteligente Parte V. APENDICES .

Tema A. Ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI) 12

2. Estudio cualitativo 3. Orden de una ecuaci´ on diferencial 4. Interpretaci´ on geom´ etrica 5. Sistemas de 2o orden • Interpretación geométrica 6. Soluci´ on num´ erica 7. Soluci´ on num´ erica con Matlab • Interpretación geométrica 7.1. M´ etodo de Kelvin

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1. OBJETIVOS • Formar personas con capacidad para el planeamiento, gestión, dise˜ no y desarrollo de proyectos de automatización. • Utilizar para ello las tecnolog´ıas y métodos de actualidad. • Inculcar un marco teórico en el que tengan cabida los complejos procesos productivos. • Análisis, dise˜ no y realización. • Visualizar los métodos y tecnolog´ıas existentes. ´ 2. METODO • Clases teóricas: proyector (a completar), pizarra, ejercicios. • Clases prácticas: ordenador, ejercicios, montajes. • Trabajos tutorizados. • Tutor´ıas: cuestiones, ejercicios, trabajos. horario 2-cuatr: lunes de 10 a 12, miércoles y jueves de 17 a 19 14

3. EVALUACION Trabajos: ejercicios, problemas, temas teóricos, programas, montajes. Calificación: ≤ 2. Han de ser concertados con el profesor. Pr´ acticas: ejercicios resueltos por computador, montajes. Calificación: la nota (≤ 4) se pondera por el no de asistencias. Nota: los trabajos y las prácticas se hacen durante el curso, no en verano. Examen: teor´ıa y problemas. Calificaciones m´ aximas: Trabajos Prácticas Examen Total

15

2 4 4 10

4. CONTENIDOS Tema 1. Introducción Parte I. Control de procesos de eventos discretos Tema 2. Sistemas booleanos Tema 3. Modelos computacionales Parte II. Control de procesos continuos Tema 4. Modelos de sistemas continuos Tema 5. Realización del control Tema 6. Dise˜ no de sistemas de control continuos Parte III. Automatizacion local Tema 7. Autómatas programables Tema 8. Sensores Tema 9. Actuadores Parte IV. Automatizacion global Tema 10. La pirámide de automatizacion Fases . Análisis –obtención de modelos computacionales, matemáticos. . Dise˜ no –dise˜ no y programación de controladores, simulación. . Realización –matemática, computacional, f´ısica. 16

Herramientas . Programación en lenguajes estándar: C, C++, Java. . Programas espec´ıficos para control: Matlab, Scilab, Octave, Maple. Prerrequisitos . Algebra Lineal: espacios vectoriales, matrices. . Análisis Matemático: análisis real y complejo (básico), ecuaciones diferenciales ordinarias. . Informática: manejo del ordenador, windows, nociones de programación (C, C++, Java). . F´ısica: nociones de mecánica, electricidad, calor, fluidos.

17

Sistemas continuos en el tiempo Son sistemas de control cuyo modelo es una ecuación diferencial (ordinaria) dx (t) = f (t, x, u), t ∈ R, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rq dt f : R × Rn × Rq → Rn continua,

u : R → Rq (entrada, dada)

Las soluciones x(t) representan el “movimiento” del sistema. Ecuación de salida y(t) = g(x, u),

y(t) ∈ Rp .

u1 (t) x(t)

u2 (t) y(t) 18

Sistemas discretos en el tiempo El modelo es una ecuación en diferencias finitas. t = k T ∈ T Z x((k + 1)T ) = f (kT, x(kT ), u((k + 1)T )),

x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rq

f : R × Rn × Rq → Rn ; u(t) : R → Rq (entrada, dada). T ∈ R : periodo de discretización o de muestreo. Ecuación de salida y(kT ) = g(x(kT ), u(kT )),

y(t) ∈ Rp .

Acelerador de iones Tandetron. IBeAM, Arizona State University 19

Sistemas de eventos discretos – sistemas h´ıbridos a) Producen eventos: sistemas continuos o discretos. b) Reaccionan ante eventos que reciben (sistemas reactivos). a b) Sistemas h´ıbridos. Modelos matemáticos: ecuación diferencial (ordinaria) dx (t) = f (t, x, u), dt

t ∈ R, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rq

f : R × Rn × Rq → Rn discontinua; u : R → Rq (entrada, dada) Modelos computacionales: Matlab + Simulink + Stateflow u(t) s3 x(t) s2 s1 y(t) 20

Ejercicios Sistemas continuos . Buscar ejemplos de sistemas de control continuos en t. . Identificar en ellos las entradas y salidas. . Si es posible, hallar n, p, q en cada uno de ellos. Sistemas discretos . Buscar ejemplos de sistemas de control discretos en t. Sistemas reactivos . Buscar ejemplos de sistemas reactivos. . Identificar los procesos que emiten eventos y los que los reciben. . Iniciar el estudio de MATLAB, Simulink y Stateflow.

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5. Libros recomendados

Bibliograf´ıa [1] Paul H. Lewis, Hang Yang Sistemas de Control en Ingenier´ıa Prencice Hall Inc., 1999 [2] Benjamin C. Kuo Sistemas Automáticos de Control Editorial Prentice-Hall - 1996 [3] Emilio Garc´ıa Moreno Automatización de procesos industriales Editorial U.P.V. (Universidad Politécnica de Valencia). 1999 [4] M.P. Groover. Automation, Production Systems and Computer Aided Manufacturing. Prentice Hall. 1980. [5] David Harel “Statecharts: A Visual formalism for Complex Systems” Science of Computer Programming 8, (1987) pp. 231-274. [6] The International Electrotechnical Comision. The International Standard IEC-61631 http://www.plcopen.org

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Cap´ıtulo 1. Introducci´ on Automatización: teor´ıas y tecnolog´ıas para sustituir el trabajo del hombre por el de la máquina. Mecanismo de feedback Relacionada con las Teor´ıas de Control y de Sistemas. Adopta los más recientes avances. Para automatizar procesos: saber cómo funcionan esos procesos. . Procesos continuos . Procesos comandados por eventos . Procesos de fabricación Estudio – Visitas a empresas. Procesos conectados entre si – gestión – marco jerárquico – Estructura de la empresa – redes locales – buses de comunicación

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1. Perspectiva hist´ orica Fuego: . Homo sapiens→ calefacción → alimentos . Edad Bronce → metales → cerámica → “procesos fabricación” Energ´ıa eólica: . 2000 A.C: embarcaciones a vela . 1000 A.C.: Fenicios → Mediterráneo . Edad Media: Europa → molinos de viento Energ´ıa hidráulica:

50 A.C: Romanos → noria

Máquina de vapor . James Watt, 1750 → Revolución Industrial . Maquina de vapor → bombas agua (minas de Gales) . Automatización telares (Manchester)

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Teor´ıas, tecnolog´ıas y ´ areas . Teor´ıas – Teor´ıas de Control, Sistemas y Se˜ nal – Sistemas de eventos discretos – Máquinas de estado, Redes de Petri, Grafcet, Statechart . Tecnolog´ıas – Neumática, Hidráulica – Electrónica – Microprocesadores, Ordenadores, Autómatas programables – Robótica – Comunicaciones – Desarrollo del software . Areas tecnológicas – Automatización de las máquinas-herramienta – Control por computador, CAD, CAM, CIM – Control de procesos distribuido – Células flexibles

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2. La empresa productiva Ente socioeconómico – adecuación parcial de flujos: producción y consumo Dos subsistemas: uno para medir las necesidades de los consumidores y de trasferirles los productos que las satisfagan y otro que se encarga de la producción. Elemento productivo – Elemento consumidor (de materias primas) Departamentos o secciones: . Finanzas . Gestión . Compras . Almacén de materias primas . Producción . Almacén de productos terminados . Ventas

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Actividad de la empresa Almacén de materias primas

Producción

Almacén de productos terminados

Gestión

Compras

Finanzas

Ventas

MERCADO

Gestión: controla a todos los demás . parte superior: generación del producto (gestión de producción) . parte inferior: ventas − comparas = beneficio (mercadotecnia) Objetivo: maximizar el beneficio.

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2.1. El proceso productivo Sistema din´ amico de control: Materia primas (Flujo de producto)

Proceso productivo

Producto terminado (Flujo de producto)

Internamente: diferentes subprocesos conectados entre s´ı. . bloque o “función”: complejo sistema movido por eventos . interconexión + naturaleza estocástica = complejidad . conocer modelos matemáticos de los procesos más simples proceso → producto . proceso 6← producto

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2.2. Operaciones b´ asicas de fabricaci´ on

• Procesado de un elemento Materia prima-

Mecanizado

Pieza -

• Montaje Mat. prima 1Mecanizado 1

Pieza 1Montaje Producto

Mat. prima 2Mecanizado 2

Pieza 2-

• Movimiento de material • Almacenamiento • Inspección y control

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2.3. Tipos de procesos

• Job Shops - amplia gama, alta tecnolog´ıa, series medianas–peque˜ nas - mano de obra y maquinaria especializadas – elevados costes

• Producción por lotes - muy extendida – lotes tama˜ no medio, cada lote de una tirada - maquinaria y el personal preparados – cambio lote

• L´ıneas de producción - cadena – grandes series - pocos productos – automóviles - cintas trasportadoras – estaciones (proceso o montaje) – almacenes

• Producción continua - productos simples – grandes cantidades – petroqu´ımica - flujo continuo de producto

30

2.4. Ubicaci´ on de los procesos Importancia: procesos, comodidad del personal, cableados, buses etc. Programas simulación (estocástica)

• Producto en posición fija El producto no debe moverse – obras – naval y aeronáutica

• Por clases de procesos M´ aquinas en locales por clases de procesos – mecanizado – flexible

• En flujo de producto M´ aquinas a lo largo del flujo

• Por tecnolog´ıa de grupo Por clases + en flujo de producto

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3. El proceso en feedback ω(t) xC : consigna de velocidad ωref (fija) C

Si ω aumenta ⇒ aumenta fuerza centr´ıfuga B

⇒ bolas B se separan ⇒ A sube ⇒ x cierra válvula vapor de la caldera

Actuador válvula

A

⇒ baja la presión ⇒ ω disminuye

x

Feedback: artificio básico del control. Governor de Watt

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3.1. Esquema de regulaci´ on en feedback Básico en muchos procesos de la Naturaleza, incluso en los seres vivos.

d(t) yref

- +m(t)- C − 6 ym (t)

x(t)-

A

?v(t) u(t)- m - P +

r y(t) -

M y

ref −→ Entrada de referencia

C Controlador

d(t)

−→ Entrada perturbadora y(t)

−→ Salida

A Actuador P Planta o Proceso

(t)

−→ Error

M Medidor

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3.2. El significado del control Controlar: conducir, dirigir, gobernar, comardar, ... trayectoria prefijada — controles  volante    acelerador ch´ ofer → → veh´ıculo frenos    cambio de marchas Teor´ıa de Control sistema de control = entidad – terminales de entrada (controles) → est´ımulos – terminales de salida → respuesta Caja negra o bloque – planta o proceso Entrada-

Bloque

34

Salida -

3.3. El control en la empresa El esquema de feedback es aplicable los procesos de la empresa. . Control de producción . Control de calidad . Control de presupuestos . Control de procesos Elementos esenciales: . medida de variables del proceso a controlar . realimentaci´ on de las variables medidas . comparaci´ on con una consigna . actuaci´ on sobre el proceso

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4. La automatizaci´ on industrial Aplicar feedback – procesos continuos – procesos movidos por eventos

• Técnicas analógicas Controlador: mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, electrónico, óptico Procesos Continuos – controlador PID Z dx(t) 1 t x(t) = C((t)) = Kp 1 + Td + x(τ )dτ dt Ti 0

• Técnicas digitales Ordenador – microprocesadores – microcontroladores – ordenador personal comunicaciones – software ... ? Controladores para procesos continuos – PID ? Control de procesos de eventos discretos – autómata programable ? Estructuras de control – Automatización Global

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4.1. Estructuras de automatizaci´ on

Proceso 1

Proceso 2

Proceso 3

Proceso 4

. Automatización fija – producción muy alta – automóviles . Automatización programable – producción baja – diversidad de productos . Automatización flexible – producción media – pocos productos . Automatización total

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4.2. Ventajas e inconvenientes de la automatizaci´ on Ventajas: ? ? ? ? ? ?

Permite aumentar la producción y adaptarla a la demanda Disminuye el coste del producto Consigue mejorar la calidad del producto y mantenerla constante Mejora la gestión de la empresa Disminuye de la mano de obra necesaria Hace más flexible el uso de la herramienta

Inconvenientes: • • • •

Incremento del paro en la sociedad Incremento de la energ´ıa consumida por producto Repercusión de la inversión en el coste del producto Exigencia de mayor nivel de conocimientos de los operarios

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4.3. Elementos de la automatizaci´ on . Mecánica: herramientas, mecanismos, máquinas, elementos de transporte . Eléctrica: automatismos eléctricos, motores eléctricos de c.c. y c.a., cableados – fuerza – mando, aparillajes eléctricos . Tecnolog´ıa Electrónica: controladores analógicos, sensores, pre-accionadores, drivers – accionamientos, communicaciones, telemando-telemetr´ıa, comunicaci´ on inalámbrica . Neumática – electro-neumática: cilindros neumáticos, válvulas neumáticas y electro-neumáticas, automatismos neumáticos . Hidráulica y electro-hidráulica: cilindros hidráulicos, válvulas hidraulocas y electro-hidráulicas, automatismos hidráulicos . Control e Informática Industrial: controladores de procesos, control por computador, embedded control, autómatas programables, visión artificial, robótica, mecatrónica, células – fabricación flexible – mecanizado – montaje, control numérico, CAD-CAM, CIM, redes y buses – comunicaciones

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5. Modelos matem´ aticos de sistemas Modelo matemático: ecuación o sistema de ecuaciones que lo representa y cuya evoluci´ on en el tiempo se corresponde con la del sistema. Permite hacer cálculos, predicciones, simulaciones y dise˜ nar. Clasificación: . Sistemas de tiempo continuo . Sistemas de tiempo discreto . Sistemas de eventos discretos Sistemas de eventos discretos = sistemas reactivos = sistemas comandados por eventos (event-driven systems) Modelos complejos – procesos estocásticos – procesos de colas – modelos no matem´ aticos basados en computador. Lenguaje Unificado de Modelado (UML).

6. Modelado y simulaci´ on de sistemas complejos Din´ amica de fluidos – sistemas energéticos – gestión de negocios

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Teor´ıa de Sistemas – Teor´ıa de Control – Análisis Numérico – Ciencias de la Computación – Inteligencia Artificial – Investigación Operativa Mayor importancia cuanto mayor es la complejidad del sistema. Paradigma de computación del futuro: método para representar los problemas, analizarlos y obtener soluciones Lenguaje de modelización universal: comunicación → equipos empresa → miembros de la comunidad cient´ıfica Un buen lenguaje de modelización ha de tener . Elementos del modelo – conceptos fundamentales y semántica . Notación – representación visual de los elementos del modelo . Directivas – lenguajes a utilizar para el modelado

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6.1. Importancia del modelado REALIDAD

MODELO

Entidad del Mundo Real

Modelo básico

OBJETIVOS

análisis sólo en contexto experimental

dentro del contexto Sistema S

experimento dentro de contexto

Datos observados de Experimento

Conocimiento a priori del modelo básico

Modelo M

Validación

Simulación = Experimento virtual

Resultados de Simulación

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Proceso de Modelado y Simulación

• Lenguaje Unificado de Modelización (UML) Booch, Rumbaugh y Jacobson Objtivos: 1. Otorgar al modelado de sistemas (y no sólo al software) la capacidad de utilizar conceptos orientados a objetos. 2. Establecer un acoplamiento expl´ıcito con los artefactos tanto conceptual como ejecutable. 3. Tratar los temas inherentes a la escala en los sistemas complejos y de misión cr´ıtica. 4. Crear un lenguaje de modelado entendible tanto por las máquinas como por los seres humanos. Versiones 0.9 y 0.91 de UML en Junio y en Octubre de 1996. Versi´ on UML 1.3 en Junio de 1999.

43

Objetivos actuales: . Ofrecer a los usuarios un lenguaje de modelado de uso inmediato, expresivo y visual, para desarrollar e intercambiar modelos significativos. . Suministrar mecanismos de extensión y especialización que permitan extender los conceptos del n´ ucleo del lenguaje. . Soportar especificaciones que sean independientes de los lenguajes de programación particulares y de los procesos de desarrollo. . Dar una base formal para el aprendizaje del lenguaje. . Animar el crecimiento del mercado de herramientas para objetos. . Soportar conceptos de desarrollo de alto nivel: components, collaborations, frameworks, patterns. . Integrar las mejores prácticas de programación.

Caracter´ısticas de UML Consistente lenguaje sin propietario y abierto a todos. Permite especificar, visualizar, construir y documentar los artefactos de software. Vale también para el modelado de negocios y otros sistemas. Está estructurado en 9 paquetes:

44

. Data Types . Core . Extension Mechanisms . Common Behavior . State Machines . Activity Graphs . Collaborations . Use Cases . Model Management

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Consideraciones Estudio de sistema complejo ← secuencia de visiones distintas del modelo Un modelo: diferentes niveles de fidelidad Los mejores modelos – conectados realidad Gr´ aficos (a modo de vistas) de un modelo . use case diagram . class diagram . behavior diagrams: – statechart diagram – activity diagram – interaction diagrams ∗ sequence diagram ∗ collaboration diagram – implementation diagrams: ∗ component diagram ∗ deployment diagram UML no soporta diagramas de flujo de datos

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7. Estructura del curso • Control de procesos continuos ? Dise˜ no controladores – procesos t continuo – PID – • Control de procesos de eventos discretos ? Diagramas de estado ? Redes de Petri ? Grafcet ? Statecharts • Automatización local ? Captadores ? Pre-actuadores y actuadores ? Automatismos eléctricos, neumáticos e hidr´ aulicos ? Autómatas programables – Controladores industriales • Automatización global ? Simulación de procesos productivos ? Redes locales – Buses industriales ? GEMMA – SCADA – Control jerárquico

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Bibliograf´ıa [1] Paul H. Lewis Sistemas de Control en Ingenier´ıa. Prentice Hall, Madrid, 1999. [2] Emilio Garc´ıa Moreno Automatizaci´ on de procesos industriales. Editorial U.P.V. (Universidad Politécnica de Valencia), 1999. [3] K.Lockyer La producci´ on industrial, su administraci´ on. Representaciones y Servicios de Ingenier´ıa S.A., Mexico, 1988. [4] M.P. Groover Automation, Production Systems and Computer Aided Manufacturing. Prentice Hall. 1980. [5] David Harel “Statecharts: A Visual formalism for Complex Systems”, Science of Computer Programming 8, (1987), pp. 231-274. [6] Object Modeling Group OMG Unified Modeeling Language Specification. Object Modeling Group, Inc., Version 1.3, June 1999. [7] Hans Vangheluwe Modeling and Simulation Concepts. McGill, CA, CS 522 Fall Term 2001.

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Parte I. Control de procesos de eventos discretos

49

Cap´ıtulo 2. Sistemas booleanos 1. Dispositivos l´ ogicos Dispositivos f´ısicos con sólo dos estados: mecánicos, interruptor, válvula, transistor → automatismos.

0

1

. Sistemas combinacionales . Sistemas secuenciales

50

Dispositivos biestables: básicos para las memorias RAM

1

2

2

sistemas con memoria.

Figura 2.1: Pulsador sistemas sin memoria

2. Algebra de Boole Conjunto U — dos operaciones + , · tales que ∀a, b, c ∈ U :

51

1

2

1

1. Idempotentes: a + a = a · a = a 2. Conmutativas: a + b = b + a, a · b = b · a 3. Asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c 4. Absorciones: a · (a + b) = a + (a · b) = a ⇒ (U, +, ·) es un ret´ıculo. Si además 5.

Distributivas: a + (b · c) = (a + b) · (a + c), a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ⇒ (U, +, ·) ret´ıculo distributivo. Si

6. 7.

Cotas universales: ∃ 0, 1 ∈ U tales que 0 · a = 0, 0 + a = a, 1 · a = a, 1 + a = 1 Complemento: ∀a ∈ U ∃a ∈ U | a + a = 1, a · a = 0 ⇒ (U, +, ·, , 0, 1) es un álgebra de Boole. Z2 := ({0, 1} , OR , AND) es un álgebra de Boole.

52

2.1. Funciones booleanas f : Zn2 → Z2 (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn ) Tabla de verdad f (x1 , . . . , xn ), g(x1 , . . . , xn ) equivalentes ⇐⇒ tablas de verdad coinciden P. ej., f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 , g(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 (x3 + x3 ) equivalentes: x1 0 0 0 0 1 1 1 1

x2 0 0 1 1 0 0 1 1

x3 0 1 0 1 0 1 0 1

x1 0 0 0 0 1 1 1 1

f 0 0 0 0 0 0 1 1

53

x2 0 0 1 1 0 0 1 1

x3 0 1 0 1 0 1 0 1

g 0 0 0 0 0 0 1 1

• Formas canónicas ≡ func. booleanas: relación de equivalencia → representantes canónicos: . suma de min-terms, p. ej., f (a, b, c, d) = abcd + abcd + abcd . producto de max-terms: f = (a + b + c + d)(a + b + c + d)(a + b + c + d) n variables ⇒ 2n términos canónicos diferentes minterms f (x) x, x xy, xy, xy, xy f (x, y) f (x, y, z) xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz min-term = n´ umero binario = n´ umero decimal p. ej., xyz = 010 = 2. Obtenci´ on de la f.c.: . Tabla de verdad ⇒ f.c. (inmediato) . Para i = 1, . . . , n mult. por (xi + xi ) los términos de f sin xi .

54

2.2. Simplificaci´ on de funciones booleanas Aplicar la ley de complementación: x + x = 1 ⇒ f · (x1 + x1 ) ≡ f . f = suma de implicantes primos (términos irreducibles).

• Método de Karnaugh f (a, b, c, d) = b + bc cd @ 00 01 11 ab @ 00 00 00 00 00 01 11 01 01 01 01 00 01 11 11 11 00 10 10 00

11 01 10 01

11 11 10 11

ab @ 01 11 10 cd @ 00 # 00 0 1 1 0

10 00 10 01 10 11 10 10 10

01 0

1

1

0

11 1

1

1

0

#

10 " 1 " 1 ! 1 ! 0

– cada casilla representa un min-term –

55

• Método de Quine-McCluskey Ejemplo: f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = Σ(0, 7∗ , 9, 12∗ , 13, 15) i

min-terms

u

i

1-term

0 7∗ 9 12∗ 13 15 Tabla

0000 0111 1001 1100 1101 1111 de verdad

0 1 2

0

0000 0000

3 4

9 12∗ 7∗ 13 15

1 1 0 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 0 1

1 0 1 1 1

2-term

1 1 1

1 1 1

1 0 1 -

1 1 1

(a) Ordenar tabla por n´ umero de unos de cada término → grupos. (b) Los elementos de cada grupo se combinan con los del siguiente. (c) Repetir el proceso hasta que no se puedan combinar más. f = x1 x2 x3 x4 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 . Un término indiferente puede aprovecharse si cubre más de un min-term.

56

• Algoritmo de Quine Como ya se ha indicado, el método de Quine-McCluskey, lo mismo que el de Karnaugh, se basa en utilizar repetidamente la ley a + a = 1. Dada una función f en forma canónica de suma de m min-terms, el algoritmo es el siguiente: 1. Poner todos los min-terms en una lista, ordenados de alguna forma de 1 a m. 2. para i desde 1 hasta m − 1 hacer Elegir el término i-ésimo, Ti , de la lista para j desde i + 1 hasta m hacer Tomar el término j-ésimo, Tj , de la lista Simplificar, si es posible, la expresión Ti + Tj , aplicando la ley a + a = 1 y poner el término simplificado en una nueva lista. 3. Volver al paso 1 con la nueva lista obtenida y repetir el algoritmo 4. El algoritmo termina cuando no es posible simplificar más. Gran coste computacional si el n es elevado.

57

3. Sistemas combinacionales Sistema de control con p entradas u1 (t), . . . , up (t) ∈ Z2 y q salidas y1 (t), . . . , yq (t) ∈ Z2 , yi (t) = fi (u1 (t), . . . , up (t)),

i = 1 . . . q.

Tiempo continuo: I ⊂ R; tiempo es discreto: I = {t0 , t0 + T, . . . , t0 + kT, t0 + 2kT, . . .}, u1 (t)-

y1 (t)-

u2 (t)-

y2 (t)-

.. .

S.C.

up (t)-

t0 , T ∈ R.

.. . yq (t)-

Los valores de las salidas en el instante t sólo dependen de los valores que en ese mismo instante tengan las entradas.

58

3.1. Funciones l´ ogicas elementales

• Función NOT x z 0 1 1 0

x

x

z

d

z

• Función AND x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

z 0 0 0 1

x-

z-

&

y -

59

x y

z

• Función OR x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

z 0 1 1 1

xy

x y

z

≥1

z-

x y

z

&

d z-

-

• Función NAND x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

z 1 1 1 0

xy -

60

• Función NOR x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

z 1 0 0 0

xy

≥1

d z-

x y

=1

d z-

x y

z

-

• Función XOR x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

z 1 0 0 1

xy -

61

z

4. Sistemas secuenciales Sistema de control con p entradas u1 (t), . . . , up (t) ∈ Z2 , q salidas y1 (t), . . . , yq (t) ∈ Z2 y n variables de estado. u1 (t)u2 (t).. . up (t)-

y1 (t)x1 (t) x2 (t) .. . xn (t)

y2 (t).. . yq (t)-

Las variables de estado x1 (t), . . . , xn (t) ∈ Z2 memorizan el comportamiento del sistema en instantes anteriores a t. Modelos: modelo de estado (ecuación en diferencias finitas), máquinas de estados, redes de Petri ⇒ modelos computacionales: grafcet, StateCharts.

62

4.1. Aut´ omata de Mealy M1 = {U, Y, X, f, g} U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado. f :U ×X → X g :U ×X → Y estado: salida: (u, x) 7→ x = f (u, x) (u, x) 7→ y = f (u, x)

4.2. Aut´ omata de Moore M2 = {U, Y, X, f, g} U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado. f :U ×X → X g:X → Y estado: salida: (u, x) 7→ x = f (u, x) (x) 7→ y = f (x) Aut´ omata de Mealy ↔ Autómata de Moore.

63

4.3. Tablas de estado f (x, u): tabla de transición, g(x, u): tabla de salida. Aut´ omata de Mealy: x1 x2 .. .

u1 x1,1 x2,1 .. .

u2 x1,2 x2,2 .. .

... ... ...

u 2q x1,2q x2,2q .. .

x1 x2 .. .

u1 y1,1 y2,1 .. .

x2n

x2n ,1 x2n ,2 . . . x2n ,2q

x2n

y2n ,1 y2n ,2 . . . y2n ,2q

u 2q x1,2q x2,2q .. .

x1 x2 .. .

y1 y2

x2n ,2q

x2n

y 2n

Aut´ omata de Moore: u1 u2 . . . x1 x1,1 x1,2 . . . x2 x2,1 x2,2 . . . .. .. .. . . . x2n x2n ,1 x2n ,2 . . .

Tama˜ no (máximo): (2n × 2q ) casillas.

64

u2 y1,2 y2,2 .. .

... ... ...

u 2q y1,2q y2,2q .. .

4.4. Diagrama de estado 0/0

Grafo orientado con N vértices y q aristas. Mealy: u x@ @ A = 00 B = 01 C = 10 11

0

1

00 01 00 −

01 10 01 −

u x@ @ A = 00 B = 01 C = 10 11

0

1

0 0 0 −

0 0 1 −

1/0

@GA FAB ECD Z44

44

44 0/0 1/0

44

44

4 1/1

s @GA FB ECD @G3 A FCB ECD 4 B 0/0

Tabla de transici´ on

Tabla de salida 0

Moore: u x@ @ A = 00 B = 01 C = 10 D = 11

0

1

00 10 00 10

01 01 11 01

Tabla de transición

x y A = 00 B = 01 C = 10 D = 11

0 0 0 1 1

Tabla de salida

@GA/ FB A E0CD X2 222 22 1 202 22 2 0 @GB/ FB A E0CD @G/ C/ FB A E0CDr f 4 1

65

0 1

G@2 D/1 FB A ECD

4.5. Dispositivos biestables Son los sistemas secuenciales más simples. . Una o dos entradas u1 , u2 . Una variable de estado Q . Una salida y1 = Q (salida adicional y2 = Q). As´ıncronos o s´ıncronos. Qt+1 = f (Qt , u1 , u2 ), S´ıncronos: Clk se˜ nal de reloj Clk 1 0

t

El valor del estado Q se actualiza en los flancos de bajada.

66

• Biestable R-S Biestable as´ıncrono básico.

S

Q

_ Q

R Tabla de transición: SR Q@ @

00 01 11 10 0 0 0 − 1 1 1 1 − 0

S

Q

S

Q

R

Q

Clk

R

Q

Combinación de entradas “11” no permitida (contradicción: Q = Q = 0)

67

Cap´ıtulo 3. Modelos computacionales 1. Grafcet Graphe de Comands Etape/Transition. Norma IEC-848: fabricantes PLC. Aplicable al esquema:

órdenes

P.C.

P.O. eventos

Sistema automatizado de producción

. Parte operativa: dispositivos que interact´ uan sobre el producto: preactuadores, actuadores y captadores . Parte de Comando (control): computadores, procesadores o autómatas

68

1.1. Elementos b´ asicos

• Etapas Rect´ angulo numerado. Estado o modo de funcionamiento estable del sistema. La Parte de Comando asociada se mantiene invariable. Etapas activas: c´ırculo negro. Etapa inicial: rectángulo doble.

• Transiciones Segmento horizontal que corta la l´ınea de enlace entre dos etapas. Condición de paso: receptividad.

• Segmentos paralelos Procesos que evolucionan de forma concurrente.

69

1.2. Estructuras b´ asicas

• Secuencia simple • Divergencia OR • Convergencia OR • Divergencia AND • Convergencia AND • Saltos • Posibilidades avanzadas . Paralelismo . Sincronización . Jerarqu´ıa . Comunicación

70

2. Cartas de estado Statecharts – David Harel, 1987. Generalización máquinas de estados. . Capacidad de agrupar varios estados en un superestado. . Posibilidad de ortogonalidad o independencia (paralelismo) entre ciertos estados. . Necesidad de transiciones más generales que la flecha etiquetada con un simple evento. . Posibilidad de refinamiento de los estados. Formalismo visual para describir estados y transiciones de forma modular que permite el agrupamiento de estados (jerarqu´ıa), la ortogonalidad (paralelismo) y el refinamiento de estados. Admite la visualización tipo ”zoom”entre los diferentes niveles de abstracción. Implementaciones: Statemate, Stateflow etc.

71

2.1. Stateflow Toolbox de Matlab para modelar sistemas de eventos discretos. Tiene un u ńico elemento: Chart = carta de estados (D.Harel) Creaci´ on de un modelo: Matlab → Simulink → new-model → Chart . Crear la carta Stateflow . Utilizar el Explorer de Stateflow . Definir un interface para los bloques de Stateflow . Ejecutar la simulaci´ on Carta de estados de Stateflow

. Generar el código Generadores de código: . sf2vdh: traductor de Stateflow a VHLD

. sf2plc: genera código para programar algunos PLC.

72

2.2. Elementos de una carta de estado – Elementos gráficos: cartas, estados, transiciones y uniones – Elementos de texto: lenguaje, datos y eventos. . Carta: máquina de estados generalizada – bloque de Simulink

. Uniones puntos de bifurcación. – Conectivas – de historia

. Estados: modos de funcionamiento – Nombre / acciones – Acciones: entry: a, exit: b, during: c, on event e : d Descomposición OR (trazo continuo) y AND (trazo discontinuo).

. Datos – Entrada de Simulink – Salida de Simulink – Local – Constante – Temporal – Workspace

. Transiciones: saltos – Nombre / acciones – Nombre: e (evento), [c] (condición) – Acciones: {a} (acci´ on) – default-transition

73

. Eventos – Entrada de Simulink – Salida de Simulink – Local I/O Simulink: disparo por ↑, ↓ o l

• Estados S1

Sintaxis: nombre /

e

entry: acci´ on exit: acci´ on

S2

during: acci´ on on event e: acci´ on Acci´ on: cambiar salida – llamada a función.

Estado (padre) = { subestados (hijos) } Descomposición AND: todos activos – hijos en l´ınea discontinua Descomposición OR: sólo uno activo – hijos en l´ınea continua.

74

• Transiciones . Forma de flecha – saltos entre estados – eventos . Acciones asociadas . Transición por defecto – se˜ nala el estado inicial Sintaxis: e – nombre de un evento [c] – expresión booleana – condición {a} – acción No texto – disparo con evento cualquiera en el sistema.

75

• Uniones . Forma de peque˜ no c´ırculo . Uniones conectivas – puntos de bifurcación – decisión condicionada . Uniones de historia – descomposición OR – activo = u ´ltimo

e1

e2

P

H C1

e3

76

C2

2.3. Elementos de texto especiales

• Datos . Entrada de Simulink . Salida a Simulink . Local . Constante . Temporal . Workspace

• Eventos . Entrada de Simulink . Salida a Simulink . Local Activación: flanco subida - flanco de bajada - flanco indiferente

77

3. Creaci´ on de un modelo con Stateflow–Simulink Matlab → Simulink → new-model Stateflow → Chart Chart estados, transiciones, etc. Pasos a seguir: . Crear carta Stateflow . Establecer interface Simulink – Stateflow . Con Explorer de Stateflow declarar datos y eventos . Ejecutar la simulación . Generar el código (ANSI C, sf2vhld, sf2plc)

• Observaciones Simulación larga: t = inf Chart → File → Chart Properties → “Execute (enter) Chart At Initialization”

78

• Ejemplo. Control de barrera de ferrocarril Objetivo – cerrar la barrera si llega tren – abrirla si ha pasado.

Sistema de eventos discretos: tren llega – tren ha pasado.

79

Esquema: d d d d TREN

-

S1 • Componentes:

0

barrera con motor-reductor

2 sensores S1 y S2 sistema digital, relés y elementos auxiliares. Sensores: S1 en x1 < 0

– evento en se˜ nal s1 – llega tren

S2 en x2 > 0

– evento en se˜ nal s2 – tren ha pasado

Presencia del tren en [x1 , x2 ] – sensores S1 y S2 . Operaci´ on sistema: si S1 se activa la barrera debe cerrarse, si S2 se activa la barrera puede abrirse.

80

• S2

x

Sistema de control de eventos discretos – división en paralelo (paralelismo) – trasmisión de eventos. Sensores: S1 y S2 – Manual Switch de Simulink flanco de subida en s1 : llega el tren flanco de bajada en s2 : el tren se ha ido. Carta de estados: dos estados Tren y Barrera, en paralelo. Barrera – dos hijos Abrir y Cerrar,

Tren – dos hijos Fuera y Dentro. Tren

1

1

Fuera

2

Barrera Abrir

0 S1 s1/e1

1

Dentro

0 S2

Chart

81

s2/e2

e1 Cerrar

e2

Parte II. Control de procesos continuos

82

Cap´ıtulo 4. Modelos de sistemas continuos 1. Ecuaci´ on diferencial Sistema f´ısico P fi = ma

Leyes f´ısicas

−→

Ecuación diferencial

k f( t )

i

0

m1

m2 b

x1( t )

x2( t )

Ecuaci´ on diferencial:  dx (t) dx (t) d2 x1 (t) 1 2   f (t) − k (x1 (t) − x2 (t)) − b − = m  1  dt dt dt  dx1 (t) dx2 (t) d2 x2 (t)    k (x1 (t) − x2 (t)) + b − = m2 dt dt dt

83

1.1. Sistemas lineales - par´ ametros constantes

• Modelo externo L Ecuación diferencial −→ G(s) funci´ on de transferencia . Modelo entrada – salida . Diagrama de bloques

• Modelo interno cambios

Ecuación diferencial −→

x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

. Algebra lineal . C´ alculo por computador . Sistemas multivariable

84

modelo de estado

1.2. Modelo externo Ecuaci´ on diferencial: a2 x ¨(t) + a1 x(t) ˙ + a0 x(t) = b1 u(t) ˙ + b0 u(t) Aplicando la transformación de Laplace tenemos a2 [s2 X(s) − sx0 − x˙ 0 ] + a1 [sX(s) − x0 ] + a0 X(s) = U (s)[b1 s + b0 ] y si suponemos condiciones iniciales nulas queda X(s) =

a2

b1 s + b0 U (s). + a1 s + a0

s2

Funci´ on de transferencia G(s): X(s) = G(s)U (s) G(s): función racional; denom. de G(s) := polinomio caracter´ıstico.

85

1.3. Modelo interno ¨(t) + a1 x(t) ˙ + a0 x(t) = b1 u(t) ˙ + b0 u(t) Ecuaci´ on diferencial: a2 x cambios: x1 := x; x2 := x; ˙ u1 := u; u2 := u˙ ⇓ x˙ 1 (t) = x2 (t) Modelo de estado x˙ 2 (t) = − aa20 x1 (t) − aa12 x2 (t) + ab02 u1 (t) + ab12 x2 (t) Ecuaci´ on de estado: 0 x˙ 1 (t) = − aa20 x˙ 2 (t)

1 − aa12

0 x1 (t) + b0 x2 (t) a2

u1 (t) b1 u2 (t) a2 0

Ecuaci´ on de salida (si salidas ≡ estados): y1 (t) 1 0 x1 (t) 0 0 u1 (t) = + y2 (t) 0 1 x2 (t) 0 0 u2 (t) Modelo de estado:

x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

86

1.4. C´ alculo de la respuesta temporal 1. Resolución de la ecuación diferencial 2. Modelo externo G(s): . Integración compleja: Z σ+j∞ 1 y(t) = L−1 [Y (s)] = Y (s)est ds 2πj σ−j∞ . Transformada de Laplace – expansión frac. simmples: L

u(t) −→ U (s); G(s) U (s) = Y (s); . Integral de convoluci´ Zon: t

y(t) = u(t) ⊗ g(t) =

g(t − τ ) u(τ ) dτ 0

3. Modelo interno: . Resolución de la ecuaci´ Z t on de estado: x(t) = eAt x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ ) dτ 0

87

L−1

Y (s) −→ y(t)

• Cálculo de la respuesta con Matlab . Circuitos – Cálculos con matrices – metodos de mallas y nudos . Sistemas lineales y no lineales – Resolución ecuación diferencial – ode23 y ode45 . Modelo externo – – – –

residue – expansión de Y (s) en frac. simples series, parallel, feedback: simplificación diagr. bloques. impulse, step, lsim – respuesta temporal (numérica) Symbolic Toolbox – transformadas de Laplace L y L−1

. Modelo interno – impulse, step, lsim – respuesta temporal (numérica) . Conversión modelos interno y externo – ss2tf, tf2ss

88

2. Simulink Simulink: librer´ıa (toolbox ) de Matlab para modelado y simulación. Modelo externo – Modelo interno – Sist. no lineales – Sist. reactivos ...

Ventana gráfica de Simulink

Ventana de comandos de Matlab

Ventana con la respuesta temporal

89

Inicio: – escribir simulink en Matlab command window – clic en el icono Simulink Simulink −

Simulink — — — — — —

Countinous Discrete Math Operations Signal Routing Sinks Sources .. .

+

Dials & Gauges Blockset

+

Stateflow .. .

90

• Ejemplo. Modelo simple Sistema de control en feedback con K = 5,

G(s) =

s+1 , s2 + 4

H(s) =

Ventana para dibujo: File → New → Model G(s) y H(s): Continuous → Transfer Fcn → G(s): numerador = [1, 1] denominador = [1, 0, 4] → H(s): numerador = [2, 1] denominador = [1, 1] K: Math Operations → Gain →K=5 Suma: Math Operations → Sum →

(+) (−)

| flechas

91

2s + 1 s+1

Entrada escalón: Sources → Step →

Step time = 0, Initial value = 0, Final value = 1.

Visualización: Sinks → Scope Uni´ on con flechas Respuesta temporal

0.7

0.6

s+1

5 Gain

0.5

s2+4 Scope

Transfer Fcn

0.4 y(t)

Step

Sum

0.3

0.2

2s+1 0.1

s+1 Transfer Fcn

0

Simulaci´ on: Simulation → Simulation parameters → t inicial, t final, algoritmo, paso, etc.

92

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

• Ejemplo, Circuito eléctrico Z1

Metodo de mallas:

+ i1

v -

Z4

v = (z1 + z2 + z4 )i1 − z2 i2 − z4 i3

Z2 i3 i2

Z5

Z6

0 = −z4 i1 − z5 i2 + (z4 + z5 + z6 )i3 0 = −z2 i1 + (z2 + z5 + z3 )i2 − z5 i3

Z3

En forma matricial: V = Z I, es decir      i1 v z 1 + z 2 + z4 −z2 −z4 0 =  −z4 −z5 z4 + z5 + z6  i2  −z2 z 2 + z5 + z3 −z5 i3 0 Soluci´ on: I = Z −1 V

93

• Cálculo con Matlab para c. alterna Escribimos en el archivo circuito.m los datos y las órdenes oportunas. Vef=220; f=50; w=2*pi*f; R1=1; L1=0.1; C1=100e-6; z1=R1+j*L1*w+1/(i*C1*w) R2=1; L2=0.03; C2=220e-6; z1=R2+j*L2*w+1/(i*C2*w) R3=0.25; L3=0.2; C3=100e-6; z1=R3+j*L3*w+1/(i*C3*w) R4=5; L4=0.1; C4=100e-6; z1=R4+j*L4*w+1/(i*C4*w) R5=20; L5=0.01; C5=100e-6; z1=R5+j*L5*w+1/(i*C5*w) R6=25; L6=0.33; C6=100e-6; z1=R6+j*L6*w+1/(i*C6*w) V = [Vef 0 0]’ Z = [ z_1+z_2+z_4 - z_2 - z_4 -z_4 - z_5 z_4+z_5+z_6 -z_2 z_2+z_5+z_3 - z_5 ]; I = inv(Z)*V

Para hacer el cálculo, en la pantalla de comandos de Matlab escribimos >> circuito y, pulsando Enter , obtendremos el vector intensidades: I = [17.9962 + 10.1363i, 2.1462 − 3.5405i, −0.4702 − 1.3816i]0

94

3. Sistemas no lineales – p´ endulo Ecuación diferencial: f (t) − mg sin(β(t)) − ma = 0 ¨ =0 f (t) − mg sin(β(t)) − mlβ(t) mlβ¨ + mg sin(β) − f (t) = 0

β

f (t)

mg

˙ Cambio x1 := β, x2 := β:  x˙ 1 = x2 f (t) − mg sin x1  x˙ 2 = lm

En el archivo pendulo.m escribimos: Soluci´ on numérica del P.C.I.: function x_prima=p´ endulo(t,x) >> t0=0; tf=5; % Interv. integraci´ on l=1; m=1; g=9.8; % Par´ ametros >> x0=[0 0]’; % Cond. iniciales if t> [t,x]=ode23(’p´ endulo’,t0,tf,x0); f=1; >> plot(t,x) else f=0; end % Ecuac. estado: x_prima=[x(2) (f-m*g*sin(x(1)))/(m*l)]’;

95

3.1. Respuesta – modelo externo

y(t) 1.2

1

k 0.8

f (t) 0.6

m

0.4

0

x(t)

b

0.2

Ecuaci´ on diferencial: m¨ x(t) + bx(t) ˙ + kx(t) = f (t) ↓L ms2 X(s)+bsX(s)+kX(s) = F (s) f (t) = 1(t) ⇒ F (s) = 1/s Expansi´ on en fraciones simples: 1 ; X(s) = G(s) 1s G(s) = ms2 +bs+k r1 r2 r3 X(s) = s−p + s−p + s−p 1 1 3 L−1 es inmediata: y(t) = r1 ep1 t + r2 ep2 t + r3 ep3 t

0

0

5

10

15

t

Cálculo de x(t) con Matlab: >> m=1; b=1; k=1; B=1; >> A=[m b k 0]; >> [r,p,c]=residue(B,A) >> t=[0:0.05:15]; >> x=r(1)*exp(p(1)*t) +r(2)*exp(p(2)*t) +r(3)*exp(p(3)*t); >> plot(t,x)

Más sencillo a´ un: con impulse, step o lsim

96

.

• Resolución simbólica Symbolic Toolbox de Matlab – Maple core – . Transformada de Laplace L(f (t)) = F (s): >> F = laplace(f,t,s) . Transformada inversa de Laplace L−1 (F (s)) = f (t): >> f = ilaplace(F,s,t) El mismo ejercicio anterior: >> >> >> >> >> >> >>

syms s t m=1; b=1; k=1; G = 1/(ms^2+b*s+k); U = 1/s; Y = G * U ; y = ilaplace(Y,s,t); ezplot(y, [0,15], axis([0, 15, 0, 1.25])

−→ gr´ afica igual que la de antes.

97

3.2. Respuesta – modelo interno k f( t )

0

m1

m2 b

x1( t )

x2( t )

f (t)−k(x1 (t)−x2 (t))−b(x˙ 1 (t)−˙x2 (t)) = m1 x ¨1 (t) k(x1 (t)−x2 (t))+b(x˙ 1 (t)−˙x2 (t)) = m2 x ¨2 (t) Cambios: x3 = x˙ 1 , x4 = x˙ 2 , u := f ⇓ k b b k x ¨1 = − m1 x1 + m1 x2 − m1 x˙ 1 + m1 x˙ 2 + m11 u x ¨2 = + mk2 x1 − mk2 x2 + mb2 x˙ 1 − mb2 x˙ 2 Modelo de estado (sup. salidas≡estados):        0 0 1 0 0 x1 x˙ 1 x˙ 2   0 0 0 1 x2   0   = −k k −b b  + 1 u x˙ 3   m m m m x3    m1 1 1 1 1 k −k b −b x˙ 4 x4 0 m2 m2 m2 m2        y1 1 0 0 0 x1 0 y2  0 1 0 0 x2  0  =      y3  0 0 1 0 x3 + 0 u y4 0 0 0 1 x4 0

98

Resolución con Matlab: >> m_1=1; m_2=2; >> k=0.1; b=0.25; >> A=[0 0 1 0 0 0 0 1 -k/m_1 k/m_1 -b/m_1 b/m_1 k/m_2 -k/m_2 b/m_2 -b/m_2] >> B=[0 0 1/m1 0]’ >> C=eye(4,4); D=zeros(4,1); >> S=ss(A,B,C,D); % crea sistema >> t=[0:0.1:12]; >> % Respuesta a escal´ on unitario: >> y=step(S,t) >> % Gr´ afica de la respuesta: >> plot(t,y)

4. Sistema de primer orden Respuesta impulsional 1

U (s)-

A s+a

0.9

Y (s)-

0.8 0.7 0.6

Entrada:

0.5 0.4

. Impulso de Dirac L u(t) = δ(t) −→ U (s) = 1 A G(s)U (s) = s+a = Y (s) −1 L (Y (s)) = y(t) = Ae−at

0.3 0.2 0.1 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 t

3

3.5

4

4.5

5

3.5

4

4.5

5

Respuesta al escalon 1 0.9

. Escalón unitario L u(t) = 1(t) −→ U (s) = 1/s A G(s)U (s) = s(s+a) = Y (s) L−1 (Y (s)) = y(t) =

A a

−

0.8 0.7 0.6 0.5

A −at ae

0.4 0.3 0.2

τ := 1/a constante de tiempo

0.1 0 0

99

0.5

1

1.5

2

2.5 t

3

5. Sistema de segundo orden Respuesta impulsional 3

U (s)-

s2

ωn2 + 2ξωn s + ωn2

2.5

Y (s)-

2 1.5 1

Entrada: • Impulso de Dirac L u(t) = δ(t) −→ U (s) = 1 2 ωn G(s)U (s) = s2 +2ξω 2 = Y (s) n s+ωn √ ω y(t) = √ n e−ξωn t sin (ωn 1−ξ2 ) t

0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0

0.5

1

1.5

2

• Escal´ on unitario L u(t) = 1(t) −→ U (s) = 1/s

4.5

5

1 n

= Y (s) √ e−ξωn t sin (ωn 1−ξ2 t + α)

ωn : pulsación nat.

4

ω

1−ξ 2

3.5

s

2 ωn 2 2) s(s +2ξωn s+ωn

y(t) = 1 − √ 1

3

im

1−ξ 2

G(s)U (s) =

2.5 t

α ξω n

s

ξ: coef. amort.

2

100

ϕ re

6. Linealizaci´ on a) Caso monovariable.

b) Caso multivariable f (.), x(.), u(.): vectores. ⇒ fx (.) y fu (.): jacobianos de f (.) resp. de x y u

x ∈ R, u ∈ R

x˙ = f (x(t), u(t), t),

0

Soluci´ on {x0 (.), u0 (.)} (equilibrio). Perturbamos: x(t) = x0 (t) + δx(t),

u(t) = u0 (t) + δu(t)

Jx0 =

∂f ∂x

J u0 =

∂f ∂u

x0 ,u0

0

Suponemos que (δx)i = o(δx, δu), (δu)i = o(δx, δu), i > 1

x0 ,uo

1

∂f1 . . . ∂x n B C = @ ... ... ... A ∂fn ∂fn . . . ∂x ∂x ∂f1 ∂x1

1

∂f1 ∂u1

n 1x0 ,u0

∂f1 . . . ∂u n B C = @ ... ... ... A ∂fn ∂fn . . . ∂u ∂u 1

n

x0 ,u0

Derivando respecto a t, De donde

˙ x(t) ˙ = x˙ 0 (t) + δx(t)

˙ = fx δx + fu δu δx

tenemos que

(4.1)

o bien ˙ δx(t) = x(t) ˙ − x˙ 0 (t)

¯˙ (t) = A(t)¯ x x(t) + B(t)¯ u(t)

f (.) lisa ⇒ Desarrollo Taylor: f (x, u, t) = f (x0 , u0 , t) + fx δx + fu δu + o(δx, δu) x˙ − x˙ 0 = fx δx + fu δu + o(δx, δu) ˙ = Aδx + Bδu + o(δx, δu) δx

¯ (t) = δx(t), u ¯ (t) = δu(t), en donde x

en donde

Las matrices A(t) y B(t) (jacobianos) son funciones de tiempo si la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial no es constante.

∂f , A = fx (t) = ∂x x0 ,u0

A(t) = fx (t), B(t) = fu (t)

∂f B = fu (t) = ∂u x0 ,u0

101

• Ejemplo. Depósito

Punto de funcionamiento (o estado de equilibrio) a0 , h0 : valores de equilibrio de (a(t), h(t)). x(t) := h(t)−h0 y u(t) := a(t)−a0 : incrementos. f (h, a) =

h( t )

“peque˜ nos”

p 1 a(t) 2gh(t), A1

Derivando f respecto de h, tenemos q( t )

Area A1

a( t )

Elemento – masa m: 1 Ep = mgh(t) = mv(t)2 = Ec , 2 p ⇒ velocidad de salida v(t) = 2gh(t). Caudal de salida: q(t) = a(t)v(t) = a(t)

p

1 2ga ∂f ga0 √ √ = := A, = ∂h ho ,a0 A1 2 2gh ho ,a0 A1 2gh0 y, derivando f respecto de a,

∂f 1 p = 2gh0 := B. ∂a ho ,a0 A1

2gh(t)

Modelo linealizado en h0 , a0 :

Pero caudal = variaci´ on de volumen, d dh q(t) = A1 h(t) = A1 dt dt Igualando, p 1 dh = a(t) 2gh(t) dt A1

x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

Hemos supuesto (impl´ıcitamente) que no hay p´ erdidas de energ´ıa por rozamiento.

102

7. Respuesta de frecuencia U (s)-

Y (s)-

G(s)

G(s) =

b(s) a(s)

estable

Entrada sinusoidal: L u(t) = sin ωt −→ U (s) =

ω s2 + ω 2

⇒

ω G(s) = Y (s) s2 + ω 2

k0 k¯0 k1 k2 kn + + + + ... + s − iω s + iω s − s1 s − s2 s − sn ¯ s1 , . . . , sn : ra´ıces (sup. simples) de a(s); k0 , k0 , k1 , . . . , kn : res´ıduos de Y (s). Y (s) =

y(t) = k0 eiωt + k¯0 e−iωt + K1 es1 t + K2 es2 t + . . . + Kn esn t | {z } | {z } →0

yss (t)

yss (t) = M sin(ωt + φ) M = |G(iω)| ,

φ = arg G(iω)

103

7.1. Diagrama de Nyquist Es un gráfico en C de la función Métodos:

G:R → C ω 7→ G(iω)

. Manual – tabla de valores

ω 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0

1 s+1 M = |G(iω)| G(s) =

φ = arg G(iω)

. Con Matlab:

M 1.000 0.894 0.707 0.555 0.447 0.316 0.196 0.100

[M,phi] = nyquist(num,den,w)

104

φ 0.0 -26.6 -45.0 -56.3 -63.4 -71.6 -78.7 -84.3

7.2. Criterio de Nyquist Sirve para averiguar si un sistema con realimentación, de la forma U (s) Y (s) - j - G(s) r 6

H(s) es estable o no, conociendo el diagrama de Nyquist de G(s)H(s) y el n´ umero de polos en C+ de G(s)H(s).

• Principio del argumento Sea f : C → C anal´ıtica en todos los puntos –excepto en un n´ umero finito de polos– de un dominio D y en todos los puntos de su contorno δ, y sean Zf y Pf los n´ umeros de polos y de ceros, respectivamente, de f (z) en D. Entonces Zf − Pf =

1 ∆ arg f (z) 2π s∈γ

105

6Plano f (z)

6 Plano z

-

-

Principio del argumento 6Plano G(s)H(s)

6 Plano s

-

−1

Criterio de Nyquist

106

-

• Criterio de estabilidad de Nyquist G(s) =

nG dG ,

T (s) =

G(s) 1+G(s)H(s)

H(s) = =

nH dH ,

G(s)H(s) =

nG dG nG nH 1+ d d G H

F (s) = 1 + G(s)H(s) = 1 +

=

nG nH dG dH

nG dH dG dH +nG nH

nG nH dG dH

=

dG dH +nG nH dG dH

polos de T (s) ≡ ceros de F (s) polos de G(s)H(s) ≡ polos de F (s) Aplicamos el principio del argumento a F (s): 1 ∆ 2π s∈γ

arg F (s) = ZF − PF = PT − PGH

Criterio de Nyquist: PT = PGH +

1 ∆ arg F (s) 2π s∈γ

No polos de T (s) en C+ = No de polos de G(s)H(s) en C+ + No de vueltas de G(s)H(s) alrededor de (-1 + 0j)

107

• Ejemplo 1 Plano s

Plano G(s)H(s) 1

2 0.5

1 0

0

−1

−0.5

−2 −1 −2

−1

0

1

2

−1

1 G(s) = , (s + 1)(s + 2)

−0.5

H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {−1, −2} PT = PGH + T (s) =

1 ∆ arg F (s) = 0 + 0 = 0 2πs∈γ

G(s) 1 + G(s)H(s)

108

es estable.

0

0.5

1

• Ejemplo 2 Plano s

Plano G(s)H(s) 1

2 0.5

1 0

0

−1

−0.5

−2 −1 −2

−1

0

1

2

−1

5 G(s) = 3 , s + 5s2 + 9s + 5

−0.5

H(s) = 1

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i, −2 − i, −1} PT = PGH + T (s) =

1 ∆ arg F (s) = 0 + 0 = 0 2πs∈γ

G(s) 1 + G(s)H(s)

109

es estable.

0

0.5

1

• Ejemplo 3 Plano s

Plano G(s)H(s) 1

2 0.5

1 0

0

−1

−0.5

−2 −1 −2

−1

0

1

2

−2

5 G(s) = 4 , s + 4s3 + 4s2 − 4s − 5

−1.5

−1

H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i, −2 − i, −1, 1} PT = PGH + T (s) =

1 ∆ arg F (s) = 1 + 1 = 2. 2πs∈γ

G(s) 1 + G(s)H(s)

110

es inestable.

−0.5

0

• Ejemplo 4 Plano s

Plano G(s)H(s) 1

2 0.5

1 0

0

−1

−0.5

−2 −1 −2

−1

0

1

2

−2

−1.5

−1

5 G(s) = 4 , H(s) = 1.4(s + 0.95) s + 4s3 + 4s2 − 4s − 5 Polos de G(s)H(s) = {−2 + i, −2 − i, −1, 1} PT = PGH + T (s) =

1 ∆ arg F (s) = 1 − 1 = 0. 2πs∈γ

G(s) 1 + G(s)H(s)

111

es estable.

−0.5

0

7.3. Diagramas de Bode Se compone de dos gráficos en R, asociados a la función G:R → C ω 7→ G(iω), que representan M (ω) y φ(ω). Métodos: . Manual – lápiz y regla . Con Matlab:

bode(num,den,w) -4 ωn=10

0

dB

/d e

c

ζ=1/8

112

8. El lugar de las ra´ıces U (s)- j k +

- G(s)

s Y (s) -

−6

H(s) nH nG , H(s) = , k∈R dG dH nG nH Z(s) (s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm ) G(S)H(s) = = =K dG dH P (s) (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn ) k ndGG kG(s) k nG d H T (s) = = nG nH = 1 + kG(s)H(s) 1 + k dG dH d G d H + k nG n H G(s) =

=

nT k nG d H = P (s) + k Z(s) dT

L.R. es el lugar geométrico, en C, de las ra´ıces de dT (s) al variar k en R+

113

8.1. Reglas para el trazado |s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm | jΣφi Z(S) |s − z1 |ejφz1 . . . |s − zm |ejφzm = = e jφ jφ p p P (s) |s − p1 | . . . |s − pn | |s − p1 |e 1 . . . |s − pn |e n Ecuaci´ on caracter´ıstica: P (s) + kZ(S) = 0 m Z(S) |s − z1 | . . . |s − zm | jΣφi k = −1 ⇐⇒ k e = e±j(2k+1)π , P (s) |s − p1 | . . . |s − pn | 1. Condición ángulo – trazado arg[kG(s)H(s)] = Σφi = ±(2k + 1)π 2. Condición de magnitud – cálculo de k en cada punto k= ⇓

|s − p1 | . . . |s − pn | |s − z1 | . . . |s − zm |

Reglas para el trazado

114

k = 0, 1, 2, . . .

8.2. Trazado por computador Ejemplo de trazado del lugar de las ra´ıces mediante MATLAB: G(s)H(s) =

s+1 s(s + 2)(s2 + 6s + 13) 6

>> num=[1 1] >> den=conv([1 2 0],[1 6 13]) >> rlocus(num,den)

4

Eje Imag

2

0

-2

-4

-6 -6

115

-4

-2

0 Eje Real

2

4

6

Cap´ıtulo 5. Realizaci´ on del control Realizaciones . Realización matemática lineal de orden n. Dada G(s) ∈ R(s)p×q , hallar A, B, C, D, tales que el sistema x(t) ˙ = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t), con A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×q , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×q , tenga por matriz de transferencia G(s). Se llama realizaci´ on minimal si el n´ umero entero n es el menor que puede encontrarse. Las más simples son las llamadas realizaciones can´ onicas: controlador, observador, controlabilidad y observabilidad. . Realización analógica. – modelo – circuito electrónico . Realización digital. – programa (Matlab, Simulink, C++, Java, etc.) . Realización f´ısica. – prototipo – fabricación

116

1. Realizaci´ on f´ısica Entrada- m + − 6

C

-

A

S

-

P

r Salida-

P Planta o proceso a controlar. –fijo –dado A Actuador. –potencia suficiente para ”mover”la planta S Sensor. –adecuado a la se˜ nal de salida C Controlador. –PID –adelanto/retraso –analógico/digital . En el caso lineal los bloques son funciones de transferencia . Diferentes tecnolog´ıas: neumática, eléctrica, electrónica . Los bloques A y S son (prácticamente) constantes . Problema de dise˜ no: Dada la planta P , hallar C para que el sistema funcione de forma adecuada (especificaciones).

117

2. Sensores Partes de un sensor Captador: dispositivo con un parámetro p sensible a una magnitud f´ısica h – emite energ´ıa w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte. Transductor: recibe la energ´ıa w del captador, la transforma en energ´ıa eléctrica e(t) y la retransmite. Acondicionador: recibe la se˜ nal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles de voltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t). h(t)

Captador

w (p ) ( h ) ( t )

p ( h)

Transductor

e(t )

Acondicionador

v(t )

Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador . Analógicos: todas las se˜ nales son analógicas . Digitales: v(t) digital. Sistemas de control: medición de variables que intervienen en el proceso. El sensor ha de ser de gran calidad. Estática – Dinámica.

118

2.1. Tipos de sensores Anal´ ogicos: parámetro sensible – magnitud f´ısica . Resistencia R – desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas) . Capacidad C – desplazamiento, presencia . Autoinducción, reluctancia L – desplazamiento (n´ ucleo móvil) . Efecto Seebeck – temperatura (termopar) . Piezoelectricidad – fuerza, presión . Dispositivos electrónicos – temperatura, presión . Avanzados: ionización, ultrasonidos, láser, cámaras CCD, etc. Digitales: binarios o n bits . Fin de carrera – presencia (interruptor) . Dilatación – temperatura (termostato) . Resistencia, capacidad, autoinducción – presencia . Efecto fotoeléctrico – presencia (1 bit), posición (n bits), velocidad

119

2.2. Clasificaci´ on Aspecto – tipos . Se˜ nal de salida – analógicos, digitales . Energ´ıa – pasivos, activos . Funcionamiento – deflexión, comparación

Caracter´ısticas Aspecto – caracter´ısticas . Dise˜ no – eléctrico, dise˜ no mecánico, actuación . Escalas – rango, resolución . Estática – precisión, linealidad, histéresis, repetitividad, derivas . Dinámica – orden cero, orden uno, orden dos . Fiabilidad

120

2.3. Calibraci´ on Ensayo: entrada h = magnitud de valor conocido – salida medida v Tabla de calibración: varios puntos h1 → v1 , . . . , hn → vn , dentro del rango Curva de Calibración: representación gráfica (h, v) Necesario: aparato de medida de mayor precisión que el sensor Linealización: curva de calibración → l´ınea recta . Por punto final: v = m h, en donde m = vn /hn . Por l´ınea independiente: v = m h + b . Por m´ınimos cuadrados: v = m h + b, en donde n m=

n X

hi vi −

i=1 n X

n

i=1

h2i −

n X

hi

n X

i=1 i=1 !2 n X

hi

i=1

121

n X

vi ,

b=

i=1

n

vi

n X

− m i=1 n

hi

2.4. Tipos de transductores Temperatura . Termistor – parámetro sensible: R (ptc, ntc) . Termopar – ∆T → ∆v – rápido (ms) – se˜ nal débil – T alta . Circuitos integrados – LM335 (10 mV/0 K), AD592 (1µ A/0 K). Posici´ on . Resistivos – potenciómetro (R) – lineal y angular . Inductivos – LVDT . Encoder – digital – lineal y angular . Ultrasonidos . L´ aser Velocidad . D´ınamo tacométrica . Encoder Aceleraci´ on, fuerza, presi´ on, luz, color, etc.

122

2.5. El potenci´ ometro como sensor de posici´ on V+

i(t) ?

Rx =

ρ x(t) A

i(t) =

V+ R

vx (t) R Rx x(t)

vx (t) = Rx i(t) =

V+ ρ x(t) = Kpot x(t) A R

0

. Ventajas: precio económico . Inconvenientes: –rozamiento –ruido en la medida . Tipos: –lineal –circular –de una vuelta –de varias vueltas . Si ponemos V − en vez de 0 mide x negativos

123

3. Actuadores Actuador: dispositivo que ejerce acciones de cierta ponencia. Transforma energ´ıa: eléctrica → eléctrica – eléctrica → mecánica – etc.

3.1. Tipos de actuadores Actuadores hidr´ aulicos – potencia alta . Principio de Pascal – aceite especial – 200 bar – 0.25 l/s . Cargas mayores de 6 o 7 Kg . Control: servoválvulas (con motor) – controlan el flujo de fluido Actuadores neum´ aticos – potencia baja – control neumático . Cilindros - motores - movimientos rápidos - poca precisión . fluido: aire – aire comprimido – 5 a 10 bar Actuadores el´ ectricos . Motores eléctricos: C.C., C.A, lineales, paso a paso, brushless, etc.

124

3.2. Otros actuadores . Relés – automatismos eléctricos . Contactores . Arrancadores y Drivers para motores . Amplificadores electrónicos de potencia

3.3. Accesorios mec´ anicos . M´ aquinas simples: plano inclinado, palanca, biela-manivela, engranajes, rodillos, poleas, agitadores, vibradores, etc. . Poleas, cremalleras, pi˜ nones: translación → rotación . Reductores de velocidad . M´ aquinas complejas

125

3.4. El motor de c.c.

N φ ?

i (t)

θ(t)

?a

+

va (t) −

φ ?

S 126

3.5. Ecuaciones diferenciales Ra

ia (t)

if (t)

-

φ(t)

Rf +

+

La

va (t)

vf (t)

Lf

−

−

ea (t) dif dt dia inducido: va (t) − ea (t) = Ra ia (t) + La dt flujo magnético: φ(t) = kf if (t) inductor:

vf (t) = Rf if (t) + Lf

par motor:

Pm (t) = kt φ(t) ia (t) dθ variables de rotación: ω(t) = dt f.c.e.m.: ea (t) = ke φ(t) ω(t) carga mecánica:

Pm (t) − Pl (s) = Jm

127

α(t) =

dω dt

dω + Bm ω(t) dt

3.6. Modelo externo Transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas: dif dt La didta

vf (t) = Rf if (t) + Lf va (t) − ea (t) = Ra ia (t) +

L

=⇒ Vf (s) = (Rf + s Lf )If (s) L

=⇒ Va (s) − Ea (s) = (Ra + s La )Ia (s) L

φ(t) = kf if (t) =⇒ φ(s) = kf If (s) L

Pm (t) = kt φ(t) ia (t) =⇒ Pm (s) = kt φ(s) Ia (s) ω(t) =

dθ dt

α(t) =

dω dt

L

=⇒ ω(s) = sθ(s)

α(s) = sω(s)

L

ea (t) = ke φ(t) ω(t) =⇒ Ea (s) = ke φ(s) ω(s) L

Pm (t) − Pl (t) = Jm dω dt + Bm ω(t) =⇒ Pm − Pl = s Jm + Bm ω(s) Motor de c.c. controlado por inducido: φ = cte.

Kt = kt φ ,

Ke = ke φ

Pl (s) Va (s)- m 1 Ia (s)Kt + sLa + Ra − 6 Ea (s)

? Pm (s) - +m -

Ke

128

1 sJm + Bm

r ω(s) -

3.7. Funci´ on de transferencia del motor Y (s) = G(s) U (s) G(s) ∈ R(s)1×2 Va (s) U (s) = G(s) = G11 G12 Y (s) = ω(s) Pm (s) G11 =

G12

Kt

Kt Ke (sLa + Ra )(sJm + Bm ) 1 + (sLa + Ra )(sJm + Bm ) Kt = 2 s La Jm + s(La Bm + Ra Jm ) + Ra Bm + Kt Ke 1 = Kt Ke (sJm + Bm ) 1 + (sLa + Ra )(sJm + Bm ) sLa + Ra s2 La Jm + s(La Bm + Ra Jm ) + Ra Bm + Kt Ke Va (s) ω(s) = G11 G12 = G11 Va (s) + G12 Pm (s) Pm (s)

=

129

3.8. Reductor de velocidad Pl Pm

1

2

3

4

2

L

2

L

2

L

P23 − P21 (s) = s (J3 s + B3 ) θ3 (s)

L

P34 − Pl (s) = s (J4 s + B4 ) θ4 (s)

1 1 : Pm (t) − P21 (t) = J1 ddtθ21 + B1 dθ dt =⇒ Pm (s) − P21 (s) = s (J1 s + B1 ) θ1 (s) 2 2 : P12 (t) − P32 (t) = J2 ddtθ22 + B2 dθ dt =⇒ P12 (s) − P32 (s) = s (J2 s + B2 ) θ2 (s) 3 3 : P23 (t) − P43 (t) = J3 ddtθ23 + B3 dθ dt =⇒

4 : P34 (t) − Pl (t) =

2 J4 ddtθ24

+

4 B4 dθ dt

=⇒

Pl P Pm (s) - + 21 6 −

D2 d1

P - + 32 6 −

P12

ω1

P - + 43 6 −

P23

D2 d1

6 s ω2

D4 d3

? -+ - 1 sJ4 +B4

P34

s-

J3 s+B3

J2 s+B2

J1 s+B1

6

D3 d2

D3 d2

6 s ω3

130

D4 d3

ω4

1 s

θ4 (s) -

3.9. Funci´ on de transferencia del reductor El diagrama de bloques puede reducirse a Pl (s) ? 1 Kr ? Pm (s)- m +

-

ω1 (s)1 Kr sJr + Br

ω4 (s)- 1 s

θ4 (s)-

en donde d1 2 d2 2 D3 2 D2 2

Jr =

d1 2 d2 2 d3 2 D2 2 D4 2 D3 2

J4 +

Br =

d1 2 d2 2 d3 2 D2 2 D4 2 D3 2

B4 +

Kr =

d1 d2 d3 D2 D3 D4 .

J3 +

d1 2 d2 2 D3 2 D2 2

d1 2 D2 2

B3 +

J2 + J1

d1 2 D2 2

B2 + B1

Es un sistema de primer orden (para ω) o de segundo (para θ).

131

3.10. Reductor con poleas el´ asticas ω1 (s) Pm (s) -+ - 1 J1 s+B1 − P21 (s) 6

1 s

6 K12

Pm (s) − P21 (s) = s (J1 s + B1 )

x1 (s) ? + x2 (s) 6 −

2 : f23 (s) = K23 (r2 θ2 (s) − R3 θ3 (s)) P32 (s) = r2 f23 (s) P23 (s) = R3 f23 (s) P12 (s) − P32 (s) = s (J2 s + B2 )

? R2

R2

P12 (s)

? ω2 (s) 1 + - J2 s+B 2 − P32 (s) 6

3 : f34 (s) = K34 (r1 θ3 (s) − R2 θ4 (s))

6 1 s

1 : f12 (s) = K12 (r1 θ1 (s) − R2 θ2 (s)) P21 (s) = r1 f12 (s) P12 (s) = R1 f12 (s)

? r1

r1

f12 (s) s

θ1 (s) -

s

θ (s) s 2 -

P43 (s) = r3 f34 (s) P34 (s) = R4 f34 (s)

?

P23 (s) − P32 (s) = s (J3 s + B3 ) 4 : P34 (s) − Pl (s) = s (J4 s + B4 )

Pl (s)- +

Es un sistema de orden 2 × no de poleas. Modelo externo: formula de Mason.

132

3.11. Aplicaci´ on pr´ actica: sistema de control de posici´ on Vxr

Motor de c.c. + −

S

C

Poleas x(t)

Entrada = Vx

Carrito

–control –referencia –consigna

Salida = x(t) C Controlador = PID analógico A Actuador = Amplificador de potencia P Planta = Motor c.c. + Poleas + Carrito S Sensor = Potenciómetro

133

A

4. Especificaciones de funcionamiento Son condiciones que se exigen a un sistema de control para que su funcionamiento sea aceptable. 1. Estabilidad 2. Rapidez 3. Precisi´ on Las especificaciones de funcionamiento suelen expresarse por n´ umeros que se definen a partir de . la respuesta en el tiempo . la respuesta en frecuencia Problema de dise˜ no: dado una planta o proceso a controlar y fijadas unas especificaciones de funcionamiento, obtener el modelo matemático de un controlador tal que el sistema de control resultante cumpla tales especificaciones.

134

4.1. Especificaciones en tiempo . Respuesta temporal: gráfica de la se˜ nal de salida. . Entradas de prueba: impulso de Dirac, escalón unitario, función rampa, función parábola, etc. . Respuesta para entrada escalón ⇒ revela especificaciones.

Mp : tp :

estabilidad rapidez

error :

135

precisión

• Valores para el sistema de 2o orden y(t) = 1 + p

1 1−

ξ2

y 0 (t) = e−ξωn t ⇒

sin(ωn

−ξ 1 − ξ 2 t − φ), φ = arctan p 1 − ξ2 ! p p + ωn 1 − ξ 2 sin(ωn 1 − ξ 2 t) = 0

e−ξωn t sin(ωn −ξ 2 ωn p 1 − ξ2

p 1 − ξ 2 t) = 0

p

⇒

kπ p , ωn 1 − ξ 2

t=

k = 0, 1, 2, . . .

Para k = 1 (primer máximo), tP =

π p ; ωn 1 − ξ 2

1

y(tP ) = 1 + p

y(tp ) = 1 + MP

1 − ξ2 ⇒

p e−ξωn tp (− 1 − ξ 2 cos π + ξ sin π)

Mp = e−ξπ/

√

1−ξ 2

• Otros valores p arctan(− 1 − ξ 2 /ξ) p tr = , ωn 1 − ξ 2

ts '

4 , ξωn

136

1 = constante de tiempo ξωn

4.2. Especificaciones en frecuencia Respuesta de G(s) con u(t) = A sin(ωt): yss (t) = M sin(ωt + φ),

M = |G(jω)|,

φ = arg G(jω)

• Frecuencias de corte: ωA , ωB ; -3 dB • Anchura de banda BW = ωB − ωA ⇒ rapidez • Ganancia en BW: constante ⇒ precisión • M´ argenes de ganancia y fase ⇒ estabilidad

No hay una relación expl´ıcita entre las especificaciones en tiempo y en frecuencia.

137

5. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales Sistema lineal S: modelo de estado

A

B C D

∈ R(n+q)×(n+p) ⇒ G(s) ∈ R(s)p×q

. Estabilidad – G(s) – polos simples s1 , s2 , . . . , sn y(t) = k1 es1 t + k2 es2 t + . . . + kn esn t Si alg´ un si ∈ C+

⇒

y(t) → ∞

– sistema inestable.

. Controlabilidad: Q = [B AB A2 B . . . An−1 B] ∈ Rn×nq . Observabilidad: R = [C CA CA2 . . . CAn−1 ]T ∈ Rnp×n S controlable ⇐⇒ rank Q = n

S observable ⇐⇒ rank R = n

Si S es controlable y observable se puede realizar un feedback de estado para reubicar los polos de S, i.e., se puede S inestable

state feedback

−−−− −→

138

S estable

Cap´ıtulo 6. Dise˜ no de Sistemas de Control continuos 1. Introducci´ on Aplicación en numerosos campos en tecnolog´ıa y ciencia. . pilotos automáticos en barcos o aviones . control teledirigido de naves espaciales . controles de posición y velocidad – máquinas herramientas . control de procesos industriales – robots . controles en automóviles – suspensión activa . controles en electrodomésticos Desarrollo: Bajo coste y miniaturización de electrónica. Objeto del dise˜ no: controlador. Control: sistemas SISO y MIMO. Realización: componentes electrónicos analógicos – computador digital.

139

2. Tipos de controladores Dise˜ no: determinar Gc (s) para conseguir un adecuado funcionamiento. D(s) R(s)

ε

Gc

Gp

H

Controlador Gc (s): P I

Proporcional : Gc (s) = Kp Integrador : Gc (s) =

D PID

1 sTi

Derivativo : Gc (s) = sTd Gc (s) = Kp (1 +

1 sTi

+ sTd )

140

Y(s)

• Realización de los controladores R

Vi

Vo

P

V0 R1 + R2 R1 + R2 = = Kp = Vi R1 R1

R2

R1

C1 Vi

R1

I

Vo

V0 1 =− ; Vi sR1 C1

Ti = sR1 C1

Vo

V0 = −sR1 C1 ; Vi

Td = sR1 C1

R

R1 Vi

C1

D R

141

• Controlador PID 1

Vi

1 sT i

Vo

Kp

= Kp 1 +

Gc =

V0 Vi

Kp =

R5 R4 ,

1 sTi

Ti = R2 C2 ,

+ sTd

Td = R3 C3

sT d

R1 R1

R4

C2 R5 Vi

R1

R4 Vo

R3

C3

R4

142

• Controladores de adelanto y de retraso de fase

s − zc V0 = Kc Gc = Vi s − pc

a) | zc || pc |

adelanto de fase retraso de fase

C R1 R1 C

R2

Vi

Vi

Vo

Vo R2

a)

b)

s−zc Gc = Kc s−p = c

α=

R1 +R2 R2 ,

s−zc Gc = Kc s−p = c

1+αT s α(1+T s)

T =

CR1 R2 R1 +R2

α=

143

R1 +R2 R2 ,

1+T s 1+αT s

T = R2 C

• Controlador de adelanto-retraso con red pasiva C1

R1

R2 Vi

Vo C2

Gc =

V0 (1 + αT1 s)(1 + βT2 s) = Vi (1 + T1 s)(1 + T2 s)

donde α > 1, β = 1/α, αT1 = R1 C1 , T2 = R2 C2 y T1 T2 = R1 R2 C1 C2 .

144

• Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional C2 C1 R2 Vi

R1 Vo

Gc =

V0 s − zc C1 (s + 1/R1 C1 ) = Kc =− Vi s − pc C2 (s + 1/R2 C2 )

. Eliminando R2

⇒

controlador PI

. Eliminando C2

⇒

controlador PD

145

3. Dise˜ no en el lugar de las ra´ıces G(s) =

1 s2

Sistema marginalmente estable para cualquier K.

146

• Efecto de añadir un cero Cero en z1 = (−2.5, 0);

G(s) =

s + 2.5 s2

Es como si z1 “tirase” del L.R. hacia s´ı, estabilizando el sistema.

147

• Efecto de añadir un polo Polo en p1 = (−2, 0);

G(s) =

1 + 2)

s2 (s

Es como si p1 empujara al L.R., desestabilizando el sistema.

148

3.1. Dise˜ no de un controlador de adelanto de fase El controlador es Gc (s) = Kc

s − zc , s − pc

|zc | < |pc |

(6.2)

Dise˜ no: hallar zc y pc para que el L.R. pase por un punto dado, definido a partir de las especificaciones de funcionamiento. Ejemplo. Dado un sistema con G(s) =

1 , s2

H(s) = 1,

(6.3)

dise˜ nar un controlador de adelanto de fase para conseguir las siguientes especificaciones de funcionamiento: Mp < 0.2,

Ts < 4 s para = 2%

siendo ± la banda de tolerancia de error.

149

Resoluci´ on. Para el sistema de 2o orden sabemos que Mp = e−ξπ/

√

1−ξ 2

⇒

− ln(Mp ) = 0.456. ln(Mp )2 + π 2

ξ=p

Para t = 4τ tenemos que e−t/τ = e−4 = 0.0183 < 0.02. Por tanto, si ts = 4τ tenemos que para t > ts se cumple que y(t) < 0.02. ts = 4τ =

4 ξωn

Sustituyendo, 4=

4 0.456 ωn

⇒

ωn = 2.22.

Por tanto, el punto s0 ∈ C correspondiente a las especificaciones dadas es: p s0 = −ξωn ± iωn 1 − ξ 2 = −1 ± 2i. Ahora el problema es calcular Gc (s) para que el L.R. pase por s0 .

150

Ponemos el cero del controlador en el punto zc = −1, bajo el punto s0 = (−1 ± 2i) por donde ha de pasar el L.R. im 3 Raíz deseada 2

1 θp

-5

-4

-3

116.56º

90º

-2

re

-1

Por la condición de ángulo, 90o − 2(116.56o ) − θp = −180o

⇒

θp = 38o ,

se deduce que el polo ha de ser pc = −3.6. Aplicando ahora la condición de módulo en el punto s = −1 + 2i resulta Kc = 8.1.

151

El lugar de las ra´ıces del sistema con controlador es

El controlador dise˜ nado es

Gc (s) = 8.1

152

s+1 . s + 3.6

3.2. Dise˜ no de un controlador PID Ejemplo. Se trata dise˜ nar un controlador PID para un sistema con Gp (s) = 1/s2 y H(s) = 1. Las especificaciones son las mismas en el ejemplo anterior. Mp < 0.2,

Ts < 4 s para = 2%

siendo ± la banda de tolerancia de error. Resoluci´ on. Como en el ejemplo anterior, el lugar de las ra´ıces ha de pasar por el punto s0 = (−1 ± 2j). La función de transferencia del PID es Td Ti s2 + Ti s + 1 1 + sTd = Kp Gc = Kp 1 + sTi Ti s = Td Kp

s2 +

1 Td s

+

1 Td Ti

s

con Kc = Td Kp .

153

= Kc

(s − z1 )(s − z2 ) , s

im 3 Raíz deseada 2

1 θz2

-5

-4

-3

-2

90º

116.56º

-1

Método simple: (a) suponemos que los ceros z1 y z2 son reales, (b) ponemos el cero z1 bajo la ra´ız s0 deseada, (c) aplicando la condición de ángulo, determinamos el otro cero, (d) aplicando la condición de módulo, hallamos Kp .

154

re

(a) z1 y z2 en el eje real. (b) z1 = −1 (c) Condición de ángulo: 90o + θz2 − 3(116.56o ) = −180o ,

θz2 = 3(116.56) − 180o − 90o = 79.6952o

⇒ z2 = −1.3636. Con z1 y z2 ya podemos hallar Td , Ti y Kp : Kc

s2 +

1 Td s

+

1 Td Ti

s

= Kc

(s − z1 )(s − z2 ) s2 + 2.3636s + 1.3636 ≡ Kc , s s

siendo Kc = Td Kp , de donde resulta Td =

1 = 0.4231 s, 2.3636

Ti =

2.3636 = 1.7333 s 1.3636

(d) Por u ´ltimo, aplicando la condición de módulo, hallamos Kp . √ ( 12 + 22 )3 Kc p = 2.750 = Kc ⇒ Kp = = 6.5 2 2 Td 2 (1.3636 − 1) + 2

155

156

Control del balanceo de una barra Dise˜ no de un sistema de control para mantener una barra en posición vertical. y

• Barra de longitud l y masa m • Movimiento en el plano xy • Fuerza f (t) horizontal • Desplazamiento x(t) de la base

θ

• Giro θ(t) de la barra

¿Es posible el control —sin feedback— de la barra? f

x

157

P d2 θ Modelo matem´ atico. 2a ley de Newton : P =J 2 dt Z l Z l 3 1 1 l J := x2 dm = x2 ρAdx = ρA = ρAl l2 = m l2 3 3 3 0 0 2 l l d θ f (t) cos θ(t) + mg sin θ(t) = J 2 2 2 dt Linealización: cos θ ' 1, sin θ ' θ f (t) θ(t)

1 2 d2 θ l l ml − mg θ(t) = f (t) 2 3 dt 2 2 d2 θ dt2

mg

−

(s2 − O

Datos:

3g 2l θ(t)

=

3g 2l )θ(s)

=

Modelo externo:

g = 9.8, m = 1, l = 1

3 2ml

⇒

⇓ ⇓L

f (t)

3 2ml F (s)

θ(s) =

3 2ml

s2 −

3g 2l

F (s)

polos : p1 = 3.834058, p2 = −3.834058.

158

Lugar de las ra´ıces. Root Locus 5

4

3

2

Imaginary Axis

1

0

−1

−2

−3

−4

−5 −8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Real Axis

Sistema inestable o marginalmente estable con controlador P

159

Dise˜ no de un controlador. Especificaciones: 1 tp = , 4

Mp =

1 3

Sistema de segundo orden: Mp = e−ξπ/ tp =

√

1−ξ 2

π p ωn 1 − ξ 2

− ln(Mp ) = 0.403712 ln(Mp )2 + π 2

⇒

ξ=p

⇒

ωn =

π tp

p

1 − ξ2

= 10.301589

Polo del sistema: s0 = −ξωn ± i ωn

p

1 − ξ 2 = −4.158883 ± 9.424777i

Problema: hallar Gc (s) para que el L.R. pase por s0 .

160

C´ alculo de los par´ ametros de Gc (s). s0

φpc pc Condición de ángulo: φzc − φp1 − φp2 − φpc = (2k + 1)π

φp2 φzc zc p 2

φp1 p1

⇒ φpc = 0.840410 rad =48.151970o

⇒ pc = −4 − 8.440951 = −12.440951 Condición de módulo: |s0 − p1 ||s0 − p2 ||s0 − pc | K= = 156.425395 |s0 − zc |

161

Parte III. Automatizaci´ on local

162

Cap´ıtulo 7. Aut´ omatas programables 1. Descripci´ on de un PLC Externamente un PLC se compone de una o varias cajas de plástico acopladas mec´ anica y eléctricamente entre s´ı. Una de ellas contiene la CPU (Central Process Unit) y las otras son módulos complementarios para entradas, salidas, comunicaciones, alimentación y otras funciones especiales. . Datan de la década de los 80 – sustituir relés y temporizadores. CPU

. Potentes PLC: operaciones potentes – tipo maestro. . PLC’s de gama baja: actuadores – sensores – pocas I/O – tipo esclavo.

Tanto la CPU como los módulos adicionales tienen bornas para los cables de conexión del aut´ omata con sensores y actuadores as´ı como con otros autómatas y ordenadores.

163

Arquitectura de un PLC EPROM

RAM

CPU

ROM

EEPROM

Buses: direcciones − datos − control

relés − salidas

opto − entradas

. Sistema basado en microprocesador. . Entradas opto-acopladas y filtradas, salidas por relé. . Alta inmunidad al ruido – gran fiabilidad.

164

Cableado directo I/O (obsoleto) CPU

Drivers

Drivers

Proceso 1

Proceso 2

. Sensores y actuadores clásicos. . Las entradas – salidas se cablean hasta el proceso. . Posiblilidad de errores de transmisión. . Gran cantidad de cables.

165

Proceso 3

Cableado por bus de campo 0 CPU

1

2

3 CPU

Proceso 1

Proceso 2

. Sensores y actuadores “inteligentes”. . Autómata esclavo en proceso. . Reducido numero de cables. . Posibilidad de usar elementos de radiofrecuencia.

166

2. Programacion de PLC’s Lenta evolución de los lenguajes de control industrial. Motivo: los programas se pueden usar en áreas en las que los fallos pueden originar riesgos para la seguridad humana o producir enormes pérdidas económicas. Antes de que una nueva técnica ser aceptada, debe ser probada para verificar que cumple unas severas condiciones de seguridad y fiabilidad. Los programas deben ser comprendidos por otras personas ajenas al programador: técnicos (electricistas, mecánicos, etc.), encargados de planta e ingenieros de proceso → lenguajes con caracter´ısticas especiales. Es posible resolver el mismo problema con diferentes lenguajes. El grado de dificultad puede variar. Hay sistemas que convierten automáticamente de un lenguaje a otro. Programación con ratón mediante interfaces gráficas bajo windows.

167

La norma IEC 1131 Intento de normalización del empleo de PLC’s en automatización. Antes de la IEC 1131-3: lenguajes espec´ıficos de cada PLC → confusión, mala coordinación y pérdidas de tiempo y dinero. Objetivo de la IEC 1131-3: hacer que los programas se entiendan mejor. Familias de la IEC 1131: . IEC 1131-1 Información general: definición de términos, normas para la elección de PLC’s y periféricos. . IEC 1131-2 Hardware: requisitos m´ınimos de construcción y servicio. . IEC 1131-3 Lenguajes de programación: elementos comunes, sintaxis, semántica. . IEC 1131-4 Gu´ıa de usuario: para todo proyecto de automatización. . IEC 1131-5 Comunicaciones: PLC – periféricos, PLC – PLC, PLC – PC.

168

La IEC 1131-3. Lenguajes de programacion Norma para el dise˜ no de software para sistemas de control industrial, en particular para PLC’s (Programmable Logic Controller). Fue publicada por primera vez en 1993. Hasta entonces no hab´ıa ning´ un estándar para la programación de sistemas PLC. Lenguajes incluidos en la norma IEC 61131-3: . Structured Text (ST) . Function Block Diagram (FBD) . Ladder Diagram (LD) . Instruction List (IL) . Sequential Function Chart (SFC) Metodolog´ıa flexible de programación. Permite combinar bloques realizados en diferentes lenguajes.

169

2.1. Ladder Diagram (LD) . Lenguaje de contactos . Dise˜ nado para técnicos electricistas . Cada contacto representa un bit: entrada, salida, memoria . Dise˜ no con Statecharts, SFC. . Autómatas gama alta: programables en C o SFC . Autómatas gama baja: conversión (manual) SFC → LD M

a

B

b

c

Si se activa la entrada M y no se activa el bit a o se activa el bit b y se activa el bit c entonces se activa la salida B.

170

Conversion manual SFC → LD ON keep(11)

0

e1

e0

r1 e0

r1 keep(11)

1

e2

e1

r2 e1

r2 keep(11)

2

e3

... r3 rn

... en−1

e2

... rn keep(11)

n

en+1 rn+1

171

en

3. C´ elula flexible SMC Transfer (cinta trasportadora) + 8 Estaciones.

Producto: montaje simple

172

Estaci´ on 1

Elementos . Actuadores: 6 cilindros neumáticos controlados por electroválvulas . Sensores: detectores magnéticos . Pulsadores de marcha, paro y rearme. . Selector ciclo, seccionador, seta emergencia . Piloto indicador error . PLC con 13 entradas y 10 salidas Operaciones . Sacar la base del almacén (cilindro A) . Verificar posición correcta (cilindro V) . Trasladar base al manipulador (cilindro T) . Rechazar base incorrecta (cilindro R) . Insertar base en palet (cilindros MH y MV)

173

Grafcet estaci´ on 1

174

Simulaci´ on estaci´ on 1 en Matlab

175

L R x

v vA base

A

vP

1

vT

0 pos

L R x

v

vE vacio

vMV

P

vMH

1

FM

ci

0

PD

vacio

L R x

v

T

Chart

1

L R x

v

0 c.i.

E 0 v

Defecto

L R x

MV

0 v

Falta material

L R x

MH

1 0 rearme

Scope

176

estacion1s/Chart S0/ [ci==1]

[ci==0]

S1/entry: vA=1; % avance AP

S30/entry: PD = 1;

a1

rearme

S2/entry: vA=0; vP=1; % bajar VP

S31/ % poner c.i.

p1 S2w/entry: vP=0; t0=t;

[ci==1] S32/entry: PD = 0;

[t>t0+5] S3/entry: vP=−1; % subir VP p0 S3w/entry:vP=0; t0=t; % temporizador [t>t0+5] S4/entry: vA=−1; % retro. A a0 S5/entry: vA=0; vT=1; % trasladar tr1 S6/entry: vT=−1; % traslado atras tr0 S6a/entry: vT=0; % traslado atras [base==0]

[base==1]

S7/entry: vE=1; % expulsar

S9/entry: vMV=1; % bajar MV

e1

mv1

S8/entry: vE=−1; % expulsor atras exit: vE=0;

e0

S10/entry: vMV=0; [vacio==0] [vacio==1] S11/entry: vMV=−1; % subir MV mv0 S12/entry: vMV=0; vMH=1; % avance MH mh1

S20/entry: FM = 1; rearme S21/entry: FM=0; vMV=−1; % subir MV exit: vMV=0;

S13/entry: vMH=0; vMV=1; % bajar MV mv1 S14/entry: vMV=0; % cesar vacio ven

S15/entry: vMV=−1; % subir MV mv0 S16/entry: vMV=0; vMH=−1; % retro MH exit: vMH=0; mh0

177

Printed 03−May−2005 18:20:38

mv0

3.1. Aut´ omata programable Omron CPM2A-30CDR-A Lenguaje: LD + instrucciones –16 bits–

?????????????????? 18 entradas

Programa

Perif.

Memoria

12 salidas

RS-232

Entradas: IR 00000-IR 00915 (o bits) Ch: 00.00 a 00.11 y 01.00 a 01.05 Salidas: IR 01000-IR 01915 (o bits) Ch: 10.00 a 10.07 y 11.00 a 00.03 Bits: IR 02000-IR 04915 y IR 20000-IR 22715 Especial: SR 22800-SR 25515 Temporal: TR 0-TR 7 Holding: HR 0000-HR 1915 Auxiliar: AR 0000-AR 2315 Link: LR 0000-LR 1515 Timers: TIM/CNT 000 to TIM/CNT 255 Memoria datos: DM 0000-DM 6655 (RW) Interrupciones externas: 4 Salida de pulsos: 2 puntos 10 KHz Entradas respuesta rápida: 4 (50µ s) Controles analógicos: 2 (0-200) 2 Puertos comunicaciones: perif., RS232

????????????

178

3.2. Ejemplos Programa 1: al pulsar M se encenderá la luz FM. M

FM

0.00

11.01

179

Programa 2: al pulsar M se encenderá la luz FM y se mantendrá encendida; al pulsar P se apagará. M 0.00

keep(11)

P

e

0.01 e

FM

11.01

hr00

180

Dise˜ no con StateCharts

chart_1cil_doble_4e/Chart

va

va

A/ va=1; %avance vr=0;

si sd

vr

vr

x

sd

M

cilindro A

Chart 1

I/ va=0; vr=0;

0 M

D/ va=0; vr=0;

Scope

si

1 va

1 s

x(t)

0 1 0

1 si Printed 09−May−2005 12:07:20

1 2 sd

0

R/ va=0; %retro. vr=1;

1 2

3

vr

x

181

M

Implementaci´ on con LD ON 0.00 R

si keep(11)

20.03 0.04 A 20.01 I

I

M keep(11)

20.00 0.01 D 20.02 A

A

sd keep(11)

20.01 0.05 R 20.03 D

D

M keep(11)

20.02 0.01 I

R

20.00 A

va

20.01 R

10.01 vr

20.03

10.02

g

g

182

Cap´ıtulo 8. Sensores Partes de un sensor Captador: dispositivo con un parámetro p sensible a una magnitud f´ısica h – emite energ´ıa w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte. Transductor: recibe la energ´ıa w del captador, la transforma en energ´ıa eléctrica e(t) y la retransmite. Acondicionador: recibe la se˜ nal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles de voltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t). h(t)

Captador

w (p ) ( h ) ( t )

p ( h)

Transductor

e(t )

Acondicionador

v(t )

Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador . Analógicos: todas las se˜ nales son analógicas . Digitales: v(t) digital. Sistemas de control: medición de variables que intervienen en el proceso. El sensor ha de ser de gran calidad. Estática – Dinámica.

183

1. Tipos de sensores Anal´ ogicos: parámetro sensible – magnitud f´ısica . Resistencia R – desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas) . Capacidad C – desplazamiento, presencia . Autoinducción, reluctancia L – desplazamiento (n´ ucleo móvil) . Efecto Seebeck – temperatura (termopar) . Piezoelectricidad – fuerza, presión . Dispositivos electrónicos – temperatura, presión . Avanzados: ionización, ultrasonidos, láser, cámaras CCD, etc. Digitales: binarios o n bits . Fin de carrera – presencia (interruptor) . Dilatación – temperatura (termostato) . Resistencia, capacidad, autoinducción – presencia . Efecto fotoeléctrico – presencia (1 bit), posición (n bits), velocidad

184

1.1. Clasificaci´ on Aspecto – tipos . Se˜ nal de salida – analógicos, digitales . Energ´ıa – pasivos, activos . Funcionamiento – deflexión, comparación

1.2. Caracter´ısticas Aspecto – caracter´ısticas . Dise˜ no – eléctrico, dise˜ no mecánico, actuación . Escalas – rango, resolución . Estática – precisión, linealidad, histéresis, repetitividad, derivas . Dinámica – orden cero, orden uno, orden dos . Fiabilidad

185

2. Calibraci´ on Ensayo: entrada h = magnitud de valor conocido – salida medida v Tabla de calibración: varios puntos h1 → v1 , . . . , hn → vn , dentro del rango Curva de Calibración: representación gráfica (h, v) Necesario: aparato de medida de mayor precisión que el sensor Linealización: curva de calibración → l´ınea recta . Por punto final: v = m h, en donde m = vn /hn . Por l´ınea independiente: v = m h + b . Por m´ınimos cuadrados: v = m h + b, en donde n m=

n X

hi vi −

i=1 n X

n

i=1

h2i −

n X

hi

n X

i=1 i=1 !2 n X

hi

i=1

186

n X

vi ,

b=

i=1

n

vi

n X

− m i=1 n

hi

3. Tipos de transductores Temperatura . Termistor – parámetro sensible: R (ptc, ntc) β(( T1 )−( T1 ))

RT = R0 e

0

,

β = cte.,

T0 = 250 C – formas variadas

. Termopar – ∆T → ∆v – rápido (ms) – se˜ nal débil – T alta . Circuitos integrados – LM335 (10 mV/0 K), AD592 (1µ A/0 K). Posici´ on . Resistivos – potenciómetro (R) – lineal y angular . Inductivos – LVDT . Encoder – digital – lineal y angular . Ultrasonidos . L´ aser Velocidad . D´ınamo tacométrica . Encoder

187

Cap´ıtulo 9. Actuadores 1. Tipos de actuadores Actuador: dispositivo que ejerce acciones de cierta ponencia. Transforma energ´ıa: eléctrica → mecánica – estabilidad, rapidez, precisión. Actuadores hidr´ aulicos – potencia alta . Principio de Pascal – aceite especial – 200 bar – 0.25 l/s . Cargas mayores de 6 o 7 Kg . Control: servoválvulas (con motor) – controlan el flujo de fluido Actuadores neum´ aticos – potencia baja – control neumático . Cilindros - motores - movimientos rápidos - poca precisión . fluido: aire – aire comprimido – 5 a 10 bar Actuadores el´ ectricos . Motores eléctricos: C.C., C.A, lineales, paso a paso

188

1.1. Otros actuadores . Relés – automatismos eléctricos . Contactores . Arrancadores y Drivers para motores . Amplificadores electrónicos de potencia

1.2. Accesorios mec´ anicos . M´ aquinas simples: plano inclinado, palanca, biela-manivela, engranajes, rodillos, poleas, agitadores, vibradores, etc. . Poleas, cremalleras, pi˜ nones: translación → rotación . Reductores de velocidad . M´ aquinas complejas

189

2. Neum´ atica Tecnolog´ıa básica de la automatización – fabricación y montaje Utilización de la energ´ıa potencial del aire comprimido. DIN 24300 Sencillez de dise˜ no – rapidez de montaje – flexibilidad – fiabilidad Componentes: Cilindros (actuadores) y válvulas (control flujos) Cilindro: energ´ıa aire comprimido → energ´ıa mecánica Tubo de acero – émbolo – vástago – una o dos tomas de aire

P

P

de simple efecto

P Cilindro de doble efecto

Tipos: con amortiguador, en tándem, multiposicionales, rotativos y mesas, de impacto, sin vástago.

190

Cilindro

2.1. V´ alvulas Sirven para controlar el paso de fluido – notación: no v´ıas / no de posiciones Distribuidoras: pieza fija + pieza móvil. Muchas formas y dimensiones Accionamiento: . Manual, con pulsador, seta, palanca o pedal. . Mecánico, con leva, rodillo o varilla. . Neumático, con orificios especiales para se˜ nales neumáticas. . Eléctrico, con electroimán. . Electroneumático.

A R

A

P

R

P

Válvula 3/2 de corredera y con accionamiento mecánico

191

V´ alvulas de dos v´ıas Válvula 2/2: dos orificios o v´ıas de aire (entrada y salida), y dos posiciones de trabajo. Dos tipos: NC y NA. Reposo: cuadrado dcha. A

A

P

P

Con accionamientos: A

A

P

P

192

V´ alvulas de tres v´ıas Tres v´ıas y dos o tres posiciones de trabajo. V´ alvulas 3/2: 3 v´ıas y 2 posiciones y pueden ser de tipo NC o NA. A

P

A

R

P

R

Válvulas 3/3: 3 v´ıas de aire y 3 posiciones. A

P

R

abrir ← (centro: las tres v´ıas cerradas) → cerrar

193

V´ alvulas de cuatro y cinco v´ıas 4 v´ıas y 2 o 3 posiciones trabajo; 5 v´ıas y 2, 3 o 4 posiciones de trabajo A

B

A

X

B

X

P

R

Y

P

R

Válvulas 4/2 y 4/3 A

B

X

A Y

B

X

RS P

Y

RP S A

B

X

Y

RP S

Válvulas 5/2, 5/3 y 5/4

194

V´ alvula selectora Conductos internos con forma de T; la bolita tapona la entrada X o Y Si pX > pY entonces la bolita tapa la entrada Y y pA = pX . En cambio, si pY > pX ocurre lo contrario y pA = pY Si pX = pY = baja entonces

A

X

Y

Figura 9.2: válvula de lanzadera pA = baja; Si pX = pY = alta entonces pA = alta. Realiza neumáticamente la función lógica OR.

V´ alvulas de simultaneidad Lleva una corredera en el conducto que comunica las entradas X e Y . La corredera tiene dos tapones ubicados en sendas cavidades, uno para la entrada X y otro para

195

la entrada Y y unidos por una varilla. Si pX > pY entonces la cavidad de la entrada X resulta taponada y pA = pY .

A

X

Y

Por el contrario, si pY > pX se tapona la cavidad de Y y la presión en pA = pX . Si pX = pY , la corredera queda en el centro y entonces pX = pA = pY . Realiza neumáticamente la función lógica AND.

Aplicaci´ on sencilla Control de un cilindro de doble efecto desde dos posiciones X e Y mediante una válvula selectora de tipo OR.

196

X

Y

197

3. Automatismos el´ ectricos 3.1. El rel´ e . Interruptor accionado por electroimán . Dispositivo fundamental en automatismos eléctricos . Contactores . Diagrama de contactos

1 NC NA

A1

12

14

A1

A2 A2

198

11

Esquema seg´ un norma CEI

3.2. Funciones l´ ogicas con rel´ es +

+

a

−

s

+

− a

−

K

a

−

s

K

Identidad

Negación +

+

a

b

s

Función AND

a

Negación con relé

K

b

− K

s

Función AND

199

−

+

a

K

b

K

s

Función NAND

−

Parte IV. Automatizaci´ on global

200

Cap´ıtulo 10. Niveles de Automatizaci´ on Esquema simple de una empresa Almacén de materias primas

Producción

Almacén de productos terminados

Nivel productivo de automatización Gestión

. Redes de comunicación Compras

Finanzas

. Controladores

Ventas

. Actuadores . Sensores MERCADO

. Procesos Fases de automatización: Producci´ on → Dise˜ no → Gestión → Automatización total

201

Automatizaci´ on producci´ on – Software . CAD Computer Aided Design – máquinas herramientas . CAPP Computer Aided Process Planning – planificación sistemas . PPS Planning Production System – optimización producción . MRP Material Requirement Planning – almacén materias primas . CAM Computer Aided Manufacturing – equipos productivos . CNC Computer numeric control . NC Numeric control . SFC Shop Floor Control – almacén → planta → pedidos . QC Quality Circle – mejora calidad – reducción costes . CAPC Computer Aided Production control – control producción . CAPM Computer Aided Production management – gestión producción . TMS Transportation Management System – gestión i/o productos

202

Pir´ amide de Automatizaci´ on A A on G A MF, WS, PC, Gesti´ A A A Factor´ıa A MF, WS, PC, CAD/CAM, CAPP, etc. A A A A on – Planta A WS, PCC, PC Producci´ A A A A PLC, CNC, NC Proceso – Campo A A A A Célula – Planta Baja A Sensor, Actuador, PID A A

203

SCADA Supervisory Control and Data Acquisition (de Control Supervisor y Adquisición de Datos). Software de captura de información de un proceso o planta. –análisis o estudios –retroalimentación y control del proceso. . Generación, transmisión y distribución energ´ıa eléctrica . Sistemas del control del medio ambiente . Procesos de fabricación . Gestión de se˜ nales de tráfico . Gestión de abastecimiento de aguas . Sistemas de tránsito masivo . Supervisión y control de estaciones remotas Caracter´ısticas de SCADA: . Mostrar de forma inteligible las lecturas de medidas y de estado de la planta en las computadoras principales. . Permitir a los operadores controlar la planta de maneras predefinidas.

204

. Para restringir el acceso a las computadoras principales se suelen emplear consolas especiales conectadas con ellas en red. . El interfaz hombre-maquina de SCADA permite generalmente que los operadores puedan ver el estado de cualquier parte del equipo de la planta. . La interacción del operador con el sistema se realiza mayormente a través de un sistema de alarmas. Las alarmas son condiciones anormales automáticamente detectadas en el equipo de la planta que requieren la atención del operador, y posiblemente su intervención actuando adecuadamente sobre el proceso quizás guardando información importante y volviendo a ponerlo a funcionar suavemente. . Las computadoras principales de SCADA funcionan t´ıpicamente bajo un sistema operativo estándar. Casi todos los programas SCADA funcionan en alguna variante de UNIX, pero muchos vendedores están comenzando a suministrar Microsoft Windows como sistema operativo. . Los sistemas de SCADA disponen generalmente de una base de datos distribuida que contiene datos llamados puntos. Un punto representa un solo valor de la entrada o de la salida supervisado o controlado por el sistema. Los puntos pueden ser “duros” o “suaves”. Un punto duro representa una entrada real o salida conectada con el sistema, de mientras que uno suave es el resultado de

205

operaciones lógicas y matemáticas aplicadas a otros puntos duros y suaves. . El interfaz hombre-máquina de un sistema SCADA suministra un programa de dibujo para poder representar estos puntos. Las representaciones pueden ser tan simples como un semáforo en pantalla que represente el estado de un semáforo real en el campo, o tan complejas como una imagen de realidad virtual que representa la evolución real de la planta. . En la pasada década la demanda de aplicaciones civiles de sistemas de SCADA ha ido creciendo, requiriendo realizar cada vez más operaciones automáticamente. . Por otro lado, soluciones SCADA han adoptado una estructura distribuida, con posibilidad de adaptarse a los componentes de un sistema de control distribuido (DCS) con m´ ultiples RTUs o PLCs inteligentes, capaces de ejecutar procesos simples en modo autónomo sin la participación de la computadora principal. . Los RTUs y PLCs actuales pueden programarse en los lenguajes de definidos en la norma IEC 61131-3, como el BFD (Function Block Diagram), lo que a los programadores de SCADA para realizar el dise˜ no y puesta a punto de programas. Ello permite que algunos programas comunes (intercambio de datos, calidad, gestión de alarmas, seguridad, etc.) puedan ser realizados por los programadores de estación principal y luego cargados desde ella en todos los autómatas. De este modo los requisitos de seguridad ahora se aplican al siste-

206

ma en su totalidad, e incluso el software de la estación principal debe resolver los estándares de seguridad rigurosos para algunos mercados. . Además, el software de la estación principal realiza análisis de datos, análisis históricos y análisis asociados a requisitos particulares de la industria para presentarlos a los operadores de la gestión de la empresa. . En algunas instalaciones los costes que resultar´ıan de fallar del sistema de control son extremadamente altos, pudiendo incluso perderse vidas humanas en algunos casos. . La fiabilidad de los sistemas de SCADA ha de estar garantizada para soportar variaciones de temperatura, vibraciones, fluctuaciones de voltaje y otras condiciones extremas empleando a veces para ello hardware y canales de comunicación redundantes. . Si un fallo se identifica rápidamente, el control puede ser automáticamente asumido por el hardware de reserva y as´ı la parte averiada puede sustituirse sin parar el proceso. . La fiabilidad de tales sistemas se puede calcular estad´ısticamente. El tiempo calculado de fallo de algunos sistemas de alta calidad puede ser incluso de siglos.

207

. Algunos sistemas SCADA utilizan la comunicación por radio o por teléfono. Esto abre nuevas posibilidades, impensables hace pocos a˜ nos, a la automatización industrial. . Indicadores sin retroalimentación inherente: – Estado actual del proceso: valores instantáneos – Desviación o deriva del proceso: Evolución histórica y acumulada . Indicadores con retroalimentación inherente (afectan al proceso, después al operador): – Generación de alarmas; – MHI (Interfaces hombre-máquina); – Toma de decisiones: + Mediante operatoria humana; + Automática (mediante la utilización de sistemas basados en el conocimiento o sistemas expertos). – etc. Aplicaci´ on diferentes ´ areas industriales: . Gestión de la producción (facilita la programación de la fabricación); . Mantenimiento (proporciona magnitudes de interés tales para evaluar y determinar modos de fallo, MTBF, ´ındices de Fiabilidad, entre otros);

208

. Control de Calidad (proporciona de manera automatizada los datos necesarios para calcular ´ındices de estabilidad de la producción CP y CPk, tolerancias, ´ındice de piezas NOK/OK, etc; . Administración (actualmente pueden enlazarse estos datos del SCADA con un servidor SAP e integrarse como un módulo más); . Tratamiento histórico de información (mediante su incorporación en bases de datos). Etapas de un sistema SCADA: Las etapas de un sistema de adquisición de datos comprenden una serie de pasos que van desde la captura de la magnitud a su postprocesado.

209

Molido de la malta

Uno de los primeros procesos en la elaboración de la cerveza. La malta y el grano se pesan y se muelen seg´ un la receta elegida.

210

Elaboraci´ on de la cerveza

Una vez molido el grano y obtenido el mosto, se bombea en grandes tinas y comienza el proceso. Aqu´ı vemos tres grandes tinas con sus tubos.

211

Embotellado

La cerveza elaborada se embotella. Vemos el proceso de embotellado mostrando las identificaciones de lote y producto, la hora de inicio e información de alarmas.

212

Empaquetado

Finalmente, la cerveza en botella se empaqueta en cajas. Aqu´ı, se ponen seis paquetes en cada caja. Las cajas se sellan y se cargan sobre las plataformas.

213

1. Fabricaci´ on inteligente

Intellution iHistorian: La importancia de transformar datos de fabricación en inteligencia de planta.

214

El Desaf´ıo: Convertir datos en conocimiento Hist´ oricamente la fabricación se ha identificado con la maquinaria ruidosa instalada en la planta baja, válvulas del vapor silbando y chimeneas humeando. Hoy, la fabricación se ha convertido en uno de los sectores de información más intensivos del mundo. Junto con los productos que salen l´ıneas de empaquetado o se vierten a través de tuber´ıas, el producto de las instalaciones fabriles, es una corriente cada vez mayor de datos se originan en el nivel de planta. Estos datos se utilizan para optimizar el inventario y la producción, mejorar calidad y consistencia del producto, para el correcto mantenimiento del equipo, y para asegurar que las plantas cumplen con las leyes ambientales, de seguridad y de salud. Para convertir el torrencial flujo de datos de las instalaciones de fabricación actuales en conocimiento, las compa˜ n´ıas deben poder capturarlo de un amplio n´ umero de fuentes, juntarlo en un formato com´ un, y ponerlo a disposición del software que puede interpretarlo, dándole el significado y el valor. Por ejemplo, en una l´ınea de empaquetado con tres l´ıneas de llenado de botellas que genera datos sobre el estado de cada l´ınea, cuando esos datos se analizan al cabo de cierto tiempo se puede determinar el grado de paradas no programadas ocurridas en una determinada máquina. Esto lleva a unas mejores decisiones informadas sobre mantenimiento preventivo y a gastos de capital en equipo nuevo de la planta.

215

Crear una ”planta inteligente”, sin embargo, requiere algo más que elaborar datos representativos e implementar aplicaciones para interpretarlos. La pieza de este rompecabezas que ha faltado a muchos fabricantes hasta la fecha es un simple depósito central para los masivos vol´ umenes de datos históricos que emanan de los sistemas de operaciones a través de la planta: un historiador de planta extensa. Estos historiadores de planta extensa pueden surtir estos datos a una amplia variedad de usos en los niveles operativo y de negocio de la empresa. Algunos historiadores de datos de planta extensa han estado ya en el mercado hace a˜ nos, pero se han considerado demasiado costosos y complejos para casi todas las instalaciones de fabricación corrientes, excepto para las más grandes, tales como ciertas operaciones de proceso continuo como las industrias qu´ımicas y las refiner´ıas de petr´ oleo.

216

Parte V. APENDICES

217

Cap´ıtulo A. Ecuaciones diferenciales 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden La ecuación diferencial

dx = ax(t), a = constante dt es una de las más simples. Dice: ∀t la ecuación x0 (t) = ax(t) es cierta.

(A.4)

Soluciones: son las funciones u(t) que verifican la ecuación diferencial (A.4). En este caso es f´ acil hallarlas: . f (t) = k eat es una solución de (A.4) ya que f 0 (t) = a k eat = a f (t) . No hay más soluciones: sea u(t) una solución cualquiera. Entonces d u(t) e−at = u0 (t) e−at + u(t) (−a e−at ) = a u(t)e−at − u(t) a e−at = 0 dt ⇒ u(t) e−at = cte. ⇒ u(t) = cte. eat Hemos probado la existencia y unicidad de la solución de (A.4).

218

1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI) x(t) = k eat

solución de (A.4), a dada

k queda determinada si nos dan el valor x0 de x(t) en t0 : x(t0 ) = k eat0 = x0 ⇒ k = e−at0 x0 ; si t0 = 0 entonces k = x0 . Por tanto, la ecuación diferencial x0 (t) = a x(t) tiene una u ńica solución que cumple la condición inicial x(t0 ) = x0 Problema de condiciones iniciales: Dadas

x0 (t) = a x(t) x(t0 ) = x0

hallar la solución u(t) que pasa por x0 .

219

(A.5)

2. Estudio cualitativo El problema de condiciones iniciales es el que más interesa en las aplicaciones de ingenier´ıa. Pero sólo estudia una solución. ¿Hay alguna forma de estudiar todas las soluciones a la vez? 0 x (t) = a x(t) PCI: x(t0 ) = x0 Soluci´ on:

x(t) = x0 eat

a > 0 ⇒ lim x0 eat = ∞ t→∞

a = 0 ⇒ x(t) = cte. a < 0 ⇒ lim x0 eat = 0 t→∞

El signo de a es crucial para el comportamiento de la solución.

220

¿Qué ocurre si se perturba el parámetro a? x 6

x 6

x0

x 6

x0

x0

t

a>0

t

a=0

t

a

Automatización_De_Procesos_Industriales

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