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CHAPITRE 1 SYSTÈMES LINÉAIRES - SYSTÈMES ASSERVIS

1. Les systèmes - Définitions et exemples. Un système peut être défini comme un ensemble d'éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l’extérieur par l'intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelées signaux. Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes: x 1(t)...x N(t) pour les signaux d'entrée. y1(t)...yM(t) pour les signaux de sortie. Les signaux de sortie d'un système sont aussi appelés réponse du système . x 1(t) . . . . . x N(t)

SYSTÈME

y1(t) . . . . . yM(t)

Remarque: en général les signaux d'entrée et de sortie d'un système ne sont pas de même nature. De plus N peut être différent de M. Les systèmes à une entrée et une sortie (cas où N = 1 , M = 1 ) sont appelés systèmes univariables ou systèmes scalaires. Exemples: Chauffage d'une pièce. TEXTERIEUR TRADIATEUR

TPIECE

Commande d'un moteur. Courant

Moteur

-1-

Couple

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Un système est principalement connu par son action sur le monde extérieur. Lorsqu'on applique certains signaux d'entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie particuliers. Le système est donc parfaitement connu quand on peut prédire ces signaux de sortie, c'est-à-dire lorsqu'on connaît les relations entre les x i et les yj: y1(t) = f 1(x 1(t),...,x N(t)) ... yM(t) = f M(x 1(t),...,x N(t)) i(t)

Exemple: Soit le circuit électrique suivant :

R

v e(t)

v s(t)

C

CIRCUIT

v e(t)

v s(t)

La charge du condensateur étant initialement nulle, on ferme l'interrupteur à t = 0. Pour t > 0, l'équilibre t 1 électrique du circuit se traduit par l'équation : R. i + ∫ i. dt = v e ( t ) C0 t

avec : vs ( t ) =

1 i. dt C ∫0

on a donc l'équation du système: RC

dv s + vs ( t ) = ve ( t ) dt

2. Les systèmes linéaires. Un système est dit linéaire si la réponse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d'entrée est égale à la combinaison linéaire des réponses: x 1 (t)

Système

y1 (t)

x 2 (t)

Système

y2 (t)

si on applique en entrée

x(t) = u.x 1(t) + v.x 2(t)

on obtiendra en sortie

y(t) = u.y1(t) + v.y2(t)

Cette propriété des systèmes linéaires est aussi appelée principe de superposition. Dans la plupart des cas on essaie de se ramener à l'étude d'un système linéaire. En effet, le principe de superposition simplifie beaucoup les problèmes: en particulier, on peut distinguer l'étude des conditions initiales d'une part et l'étude du comportement dynamique d'autre part. -2-

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y0+y(t)

x 0+x(t) se décompose en : x0

y0 x(t)

y(t)

3. Les systèmes invariants. Un système est dit invariant si la réponse du système à un signal x(t) différé d'un temps τ est la même que la réponse y(t) du système mais différée de τ.

entrée

entrée x(t)

x(t-τ) t

t τ

sortie

sortie y(t)

y(t-τ) t

t τ

Un système invariant est aussi appelé système à paramètres constants localisés ou à constantes localisées. Cette propriété des systèmes invariants est aussi appelée principe de permanence. Exemples: Moteur. courant

couple

Moteur

Si on néglige l'usure, le moteur n'évolue pas dans le temps: le système est invariant. Fusée. débit de propergols

accélération

Fusée

La masse de la fusée diminue au cours de son ascension : pour un même débit de propergols, l'accélération augmente avec le temps : le système est variant. -3-

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Remarques: Dans la suite on s’intéressera surtout aux systèmes invariants. Un système peut être linéaire et/ou invariant : les deux propriétés sont indépendantes.

-4-

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4. Réponses particulières d'un système scalaire. On considère ici un système scalaire, c'est à dire à une entrée et une sortie. y(t)

x(t)

Pour connaître le comportement du système et le comparer à d'autres systèmes, on étudie les réponses à quelques signaux particuliers. Réponse impulsionnelle. On appelle réponse impulsionnelle, la réponse notée h(t), obtenue par l'application d'une impulsion de Dirac δ(t) (voir Annexe 1) à l'entrée du système, celui-ci étant initialement au repos. δ(t)

1

y(t)=h(t)

t

t

Réponse indicielle. On appelle réponse indicielle, la réponse notée w(t), obtenue par l'application d'un échelon unité u(t) à l'entrée du système, celui-ci étant initialement au repos. u(t)

y(t)=w(t)

1 t

t

0

5. Réponse à un signal quelconque : convolution temporelle. Remarque : l’annexe 1 donne les notions indispensables sur la distribution de Dirac notée δ(t) pour aborder la notion fondamentale de convolution temporelle. 5.1 Définition de la convolution temporelle On considère un système scalaire linéaire invariant de réponse impulsionnelle h(t). Pour un système scalaire, linéaire et invariant, initialement au repos, la réponse y(t) à un signal d'entrée quelconque x(t) est donnée par le produit de convolution entre x(t) et la réponse impulsionnelle du système : +∞

y (t ) =

∫ x( v ). h(t − v ). dv = x (t )∗ h(t )

−∞

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Cette expression est fondamentale. Elle permet, connaissant le système par sa réponse impulsionnelle h(t) et l’entrée x(t), de déterminer y(t). Elle peut donc remplacer totalement l’équation différentielle régissant le système. Cette expression se note de façon condensée y ( t ) = x ( t )∗ h( t ). ∗ est l'opérateur de convolution ; y(t) est la convolution du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle du système. Remarques: • Le produit de convolution est commutatif: y ( t ) = x ( t )∗ h( t ) = h( t )∗ x ( t ) • L’impulsion de Dirac et la réponse impulsionnelle (si x et y ont même dimension) sont homogènes à l’inverse d’un temps. Ce sont des éléments mathématiques qui permettent de formaliser les comportements des systèmes mais qui n’ont pas de réalité physique. Si l’impulsion de Dirac est appliquée à l’instant zéro, la réponse impulsionnelle est forcément nulle pour t < ν car h( t − ν ) = 0 , le système étant supposé causal (cas des systèmes physiquement réalisables). De plus, si le signal est lui-même causal (appliqué au temps t=0), alors x ( v ) = 0 si v < 0 . Les bornes de l’intégrale de convolution se simplifient et le produit de convolution s’écrit : t

y ( t ) = ∫ x( v ). h( t − v ). dv 0

Exemple: calcul de la réponse indicielle d’un circuit RC à partir de sa réponse impulsionnelle. 1  t La réponse impulsionnelle d’un circuit RC s’écrit (voir TD): h(t ) = .exp −  , avec τ=RC.  τ τ On se propose d’utiliser la convolution pour déterminer la réponse indicielle w(t) du circuit RC à un échelon d’amplitude E à partir de sa réponse impulsionnelle h(t). t

t

0

0

w(t ) = h(t )* E.u(t ) = ∫ h(t − v ).E.u (v ).dv =E.∫ h(t − v ).dv 1 E    t − v  t − v  t  w( t ) = E. ∫ .exp −  . dv = . τ.exp −   = E. 1 − exp  −      τ  τ τ  τ  τ  0  0 t

t

soit:

5.2 Quelques significations physiques de la convolution: appareil de mesure a. Signal vrai et signal observé Un appareil de mesure (oscilloscope, analyseur de spectre, ...) peut être décrit par l’opération de convolution y ( t ) = x( t )∗ h ( t ) . x(t) est le signal vrai à mesurer, y(t) est le signal effectivement mesuré (ou observé) à l’aide de l’appareil, h(t) est la réponse impulsionnelle de l’appareil. Pour que le signal mesuré corresponde rigoureusement au signal vrai, il faudrait que la réponse impulsionnelle de l’appareil soit une impulsion de Dirac. Cela revient à dire que l’appareil devrait être parfait, c’est-à-dire posséder un temps de réponse infiniment court (ou une bande passante infinie). Dans ce cas, l’appareil est transparent puisqu’il n’intervient pas dans le signal observé qui correspond au signal réel. En réalité, un appareil, quel qu’il soit, possède toujours un temps de réponse non nul (et donc une bande passante non infinie - voir oscilloscopes utilisés en TP « Bande Passante=20MHz »). Le signal observé est donc toujours une image plus ou moins modifiée du signal réel. Le plus ou moins dépend de la bande passante de l’appareil vis à vis du spectre du signal à mesurer. Si on mesure par exemple un signal sinusoïdal de fréquence 100KHz avec un oscilloscope possédant une bande passante égale à 20MHz, l’oscilloscope pourra être considéré comme parfait. Par contre si le signal sinusoïdal possède une fréquence égale à 100MHz, il faudra tenir compte de la réponse impulsionnelle de l’oscilloscope. -6-

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b. Pouvoir séparateur des appareils: résolution temporelle La réponse impulsionnelle des appareils de mesure réels peut être considérée plus ou moins courte selon les constantes de temps régissant les phénomènes observés (voir TD). Dans tous les cas sa durée est non nulle. Ceci se traduit par un étalement temporel plus ou moins significatif du signal mesuré. Ainsi, si deux impulsions à mesurer sont trop rapprochées dans le temps, leur étalement dans le temps fera que l’on ne pourra plus les séparer lors de la mesure, la résolution temporelle de l’appareil étant insuffisante. La résolution temporelle d’un appareil de mesure, directement liée à sa réponse impulsionnelle, est donc la distance minimale séparant deux impulsions successives permettant de les distinguer lors de la mesure. Cette notion de résolution temporelle est générale en physique pour tous les appareils de mesure, aussi bien en optique qu’en électronique rapide (impulsions de largeur inférieure à 1ns=10-9 secondes).

6. Les systèmes asservis L’étude des systèmes est destinée à commander au mieux les différents processus rencontrés. Il existe deux solutions pour commander un système : 6.1 Commande en boucle ouverte Dans ce cas, la commande est envoyée en entrée sans contrôle sur les sorties. Exemple:

rhéostat

résistance chauffante

four

Pour utiliser ce type de commande, il est nécessaire de connaître le système et les réponses aux commandes envoyées. Malgré tout, de multiples perturbations peuvent modifier l’action de ces commandes: si la porte du four reste ouverte, les graduations du rhéostat ne correspondent plus à la température intérieure. 6.2 Commande en boucle fermée Pour améliorer les performances d’une commande, il est indispensable d’observer les sorties du système pour les comparer à ce que l’on désire obtenir. Dans ce deuxième type de commande, les sorties du système sont contrôlées. C’est à ce niveau que l’on rencontre la notion de système asservi. Un système asservi est un système dont le rôle consiste essentiellement à établir une correspondance définie entre une ou plusieurs grandeurs d’entrée, de faibles niveaux énergétiques, et une ou plusieurs grandeurs de sortie de niveaux énergétiques plus élevés. Un système asservi est caractérisé par la présence de: - chaînes directes Elles comprennent des éléments amplificateurs et éventuellement, des convertisseurs de puissance, en liaison avec les sources d’énergie. - Chaînes de retour Elles sont constituées d’éléments de précision généralement passifs. Ce ne sont pas des chaînes de puissance ; elles transmettent à l’entrée des informations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont comparées aux signaux d’entrée au moyen de comparateurs. Ces derniers élaborent les différences ou écarts entre les signaux d’entrée et les informations images des signaux de sortie. -7-

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Structure d’un système asservi: P X: signal d’entrée ou consigne ou signal de référence Y: signal de sortie X E: écart ; P: perturbation J: source d’énergie

J

E +

1

-

Y

2

1: chaîne directe (amplificateurs, correcteurs, organes de conversion) 2: chaîne de retour (éléments de précision, capteurs, instruments de mesure) Remarque: le contrôle des sorties d’un système semble être un moyen idéal pour établir des commandes parfaites. Il ne faut cependant pas oublier que tout système physique comporte des temps de réponse. Des retours anarchiques installés sans étude préalable peuvent conduire à des instabilités et parfois à la destruction du système. Pour déterminer les retours adéquats pour un système donné et une commande donnée, l’automaticien doit, dans un premier temps, établir un modèle mathématique du système. alors seulement, il pourra effectuer des calculs de commande. Exemple: Chauffage d’un immeuble θe

θe T

θ0

θ

Système

θe a

+

T

a)

Système

b) θe θe

θ0 +

a

θc +

θ

T

Système

P

c) Figure 1.1. -8-

-

θ

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La figure 1.1 a) représente le système. La température θ à l’intérieur de l’immeuble est fonction de la température T de l’eau chaude envoyée dans les radiateurs et de la température extérieure θe. Nous représentons cette description, volontairement simplifiée, par une boîte munie d’une sortie θ, d’une entrée de commande T à la disposition de l’opérateur et d’une perturbation θe. Le rayonnement solaire dans l’immeuble, le vent ou d’autres grandeurs agissent aussi sur la température θ. C’est volontairement que ces grandeurs ne sont pas prises en compte par notre modèle qui doit, avant tout, être simple. C’est l’utilisateur qui règle T, en vue d’obtenir θ=19°C (en régime permanent). Il sait, par expérience, qu’il obtient un bon résultat en réglant T, par exemple, à 45°C. Il sait aussi que si la température extérieure θe diminue, il devra revenir régler T qu’il augmentera d’autant plus que θe aura diminué. La figure 1.1 b) représente alors une première tentative de réglage automatique de T, tel que T = a(θ0 − θe ) . Dans cette configuration, l’opérateur n’aura plus besoin de retoucher T en fonction de la température extérieure. En effet, T va varier automatiquement en sens inverse de θe. Quand θe=θ0, on a T=0, ce qui signifie qu’on doit, bien entendu, couper le chauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons résultats car la température θe est mesurable par une sonde extérieure, θ0 est donc une référence, réglable par l’opérateur de même que (-a), la pente de la droite de réglage (figure 1.2). T Tmax

Figure 1.2.

pente (-a)

θemin

θ0

Le chauffagiste procédera à des essais pour adapter la chaufferie aux caractéristiques particulières de l’immeuble à chauffer en vue de définir les paramètres θ0 et a. La figure 1.1 c) représente une amélioration du réglage automatique de T. Supposons que par temps froid le soleil pénètre à l’intérieur de l’immeuble. La température intérieure θ va s’élever sans pour autant que la température T de l’eau des radiateurs ne soit réduite puisqu’elle ne dépend que de θe. Il se produira alors une surchauffe et un opérateur devrait venir pour modifier T, c’est à dire pour diminuer θ0. Il est clair que cette opération peut s’effectuer de façon automatique en rendant θ0 dépendant de la température θ effectivement atteinte dans l’immeuble. Pour cela, θ est comparée à une consigne θc, réglable par l’utilisateur, à l’aide d’une boucle d’asservissement. La grandeur θ0 peut alors suivre une loi très simple, par exemple θ0=P(θc- θ), qui assure les variations de θ0 dans le bon sens. Le système fonctionne ainsi en boucle fermée.

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CHAPITRE 2 MISE EN ÉQUATION D'UN SYSTÈME LINÉAIRE SCALAIRE La mise en équation, au départ de l'analyse d'un système, est une opération extrêmement délicate, qui peut compromettre l'ensemble de l'étude de manière définitive. Cette opération demande beaucoup de connaissances physiques mais aussi d'expérience de "terrain". Avec une vue générale des systèmes et par analogie avec les systèmes électriques, on peut établir ces équations indispensables. Dans la suite, nous nous intéresserons aux systèmes scalaires, c'est à dire à une entrée et une sortie, linéaires.

1. Notion de modèle - Mise en équation. On appelle modèle d’un processus ou système monovariable la loi qui relie l’entrée x (cause) à la sortie y (effet). L’idéal, pour appréhender l’étude d’un système, est de détailler pas à pas l’ensemble de ses éléments constitutifs. Mais cette méthode, la seule au stade de la conception d’un système automatisé, n’est pas praticable en général sur un système existant, de structure complexe ou mal connue. Nous supposerons que l’on peut définir a priori une loi simple qui lie y à x. Les paramètres (en général peu nombreux) de la loi sont alors déterminés par des essais effectués sur le système, c’est la phase d’identification ou modélisation. Soit un système linéaire et scalaire. Le comportement d'un tel système est régi par une équation différentielle, ayant pour forme: y(t )

x (t ) bn .

dny dy d mx dx + ... + b . + b . y = a . + a0 . x n 1 0 m m +...+ a1 . dt dt dt dt

Remarque: Si le système est variant, les coefficients ai et bj de l'équation sont dépendants du temps: ai(t), bj(t). La mise en équation d'un système scalaire, linéaire et invariant consiste donc à déterminer les paramètres constants de l'équation qui lient l'entrée et la sortie. Exemple: i(t) v e(t)

R

C

-9-

v s(t)

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dv s dt dv Avec: ve = R. i + v s d’où: ve = R. C. s + v s dt Par identification : b0 = 1 ; b1 = RC et a 0 = 1. On a: vs =

1 idt C∫

donc

i = C.

2. Transformée de Laplace. L'étude des systèmes s'accompagne inévitablement de la manipulation d'équations différentielles. Or les opérations liées à cette manipulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique puissant: la transformée de Laplace. 2.1 Formulation mathématique. Transformée de Laplace. Soit f(t) une fonction réelle de la variable réelle t, définie pour toute valeur de t, sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle pour t0)

Linéarité Dérivation Dérivation d’ordre n

Transformée de Laplace F(p) aF1(p)+b.F2(p) p.F(p)-f(0+) pn.F(p)-pn-1.f(0+)- ... -p.f(n-2)(0+) -f(n-1)(0+)

Intégration

∫ f ( t). dt

F ( p) p

Retard Changement d’échelle

f(t-θ) f(a.t)

e-θp.F(p) 1  p . F  a  a

A ces propriétés, on doit joindre les théorèmes suivants: Théorème de la valeur finale: lim p. F ( p ) = lim f ( t ) p→ 0

t →∞

Théorème de la valeur initiale: lim p. F ( p ) = lim f ( t ) p→ ∞

t →0

Théorème de Borel: Si f(t) et g(t) ont respectivement pour transformée de Laplace F(p) et G(p), alors h( t ) = f ( t ) * g( t ) a pour transformée: H(p) = F(p).G(p). Théorème du développement de Heaviside : Pour trouver l’originale d’une fraction rationnelle F(p)/G(p), où le degré de F(p) est inférieur au degré de G(p), on la décompose en éléments simples de première espèce, et l’on applique la formule:  t k −1 at  1 LP e = k  ( k − 1) !  ( p − a) 2.3 Table des transformées de Laplace. Il est souvent plus simple de calculer la Transformée de Laplace d’une fonction à partir de la transformée connue d’une autre fonction en utilisant les propriétés et théorèmes énoncés au §2.2. A partir de quelques résultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement les Transformées de Laplace de la plupart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d’éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroupe dans des tables de Transformées de Laplace. Une table résumée des Transformées de Laplace les plus usuelles en électronique est donnée à l’Annexe 2.

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3. Fonction de transfert. Soit un système scalaire, linéaire, invariant régi par l'équation différentielle : d nx dx dmy dy a n . n +...+ a1 . + a0 . x = bm . m +...+b1 . + b0 . y dt dt dt dt La transformation de Laplace appliquée à cette équation conduit à la nouvelle relation : an[pn.X(p) - pn-1.x(0+) - ... - p.x(n-2)(0+) - x(n-1)(0+)] + ... + a1[p.X(p) - x(0+)] + a0.X(p) = bm[pm.Y(p) - pm-1.y(0+) - ... - p.y(m-2)(0+) - y(m-1)(0+)] + ... + b1[p.Y(p) - y(0+)] + b0.Y(p) Cette relation peut aussi s'écrire sous la forme suivante : [an.pn + ... + a1.p + a0]X(p) - [an.pn-1 + ... + a1]x(0+) -...- [an.p + an-1]x(n-2)(0+) - an.x(n-1)(0+) = [bm.pm + ... + b1.p + b0]Y(p) - [bm.pm-1 + ... + b1]y(0+) - ... - [bm.p + bm-1]y(m-2)(0+) - bm.y(m-1) (0+) Dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles ou considérées comme telles à la suite d’un changement de variable (cas le plus fréquent), cette dernière relation se simplifie: an p n + ... + a 0 X ( p ) = bm p m + ... + b0 Y ( p )

[

On aboutit finalement au résultat:

]

[

Y ( p ) a n p n + ... + a0 = X ( p ) bm p m + ... + b0

]

Fonction de transfert. La fonction en p, obtenue en formant le rapport Y ( p ) sur X ( p ) lorsque le système est initialement au repos, est appelée fonction de transfert du système. On la note généralement H(p): Y ( p) H ( p) = X ( p) On a vu précédemment que la réponse d'un système scalaire, linéaire, invariant à un signal quelconque x (t ) est donnée par: y (t ) =

+∞

∫ x(τ ).h(t − τ ).dτ = x(t ) ∗ h(t ) o ù h(t) est la réponse impulsionnelle du système.

−∞

En appliquant la transformée de Laplace à cette dernière relation (théorème de Borel, voir TD sur Laplace), on obtient : Y ( p ) = X ( p ).LP[h(t )] En comparant cette égalité avec la définition de la fonction de transfert du système on constate que: H ( p) = LP[h (t )] La fonction de transfert H(p) d'un système scalaire, linéaire et invariant, est égale à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle h(t) de ce système: H ( p) = LP[h (t )]

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Remarque: H ( p ) ne dépend que des coefficients physiques du système.

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Exemple: on reprend l'exemple du §1:

R

i(t) v e(t)

v s(t)

C

dvs + vs dt On applique la transformée de Laplace: Ve ( p ) = RC pVs ( p ) − v s (0 + ) + Vs ( p ) On a:

ve = RC

[

]

Si les conditions initiales sont nulles v s (0 + ) = 0 , on obtient: Ve ( p ) = (1 + RCp )Vs ( p ) V ( p) 1 D'où la fonction de transfert de ce système: H ( p ) = s = Ve ( p ) 1 + RCp

4. Diagramme fonctionnel. Un système complexe peut comporter plusieurs sous systèmes. Pour manipuler les équations de l'ensemble du processus, sans lourdeur, on utilise une représentation schématique adaptée: la méthode des diagrammes fonctionnels. Diagramme fonctionnel. Le diagramme fonctionnel d'un système scalaire, dont la fonction de transfert est H(p), est défini par: X ( p)

H ( p)

Y ( p)

Les calculs dans l'espace de Laplace étant simples, on garde pour les diagrammes fonctionnels l'expression des transformées de Laplace. Les règles de manipulation de ces diagrammes sont alors presque évidentes: Mise en série: Soit un système formé par la mise en série de deux sous systèmes de fonction de transfert H1 et H2. La fonction de transfert de l'ensemble est H = H1.H2. X ( p) X ( p)

H1( p )

Y ( p)

H 2( p )

H1( p ).H 2( p )

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Z( p) Z( p)

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Mise en parallèle: Soit un système formé par la mise en parallèle de deux sous systèmes de fonction de transfert H1 et H2. La fonction de transfert de l'ensemble est H = H1 + H2.

X ( p)

X ( p)

H1( p )

+

H 2( p )

+

Y ( p)

H1( p ) + H 2( p )

Y ( p)

5. Relations fondamentales en électricité et en mécanique. 5.1 Relations fondamentales en électricité. a. Notations • • • • • • •

différence de potentiel (Volts) : courant (Ampères) : résistance (Ohms) : capacité d’un condensateur (Farads) : self (Henry) : Énergie électrique (Joules) : Énergie magnétique (Joules) :

e i R C L EE EM

b. Relations fondamentales • tension aux bornes d’une résistance :

e = R. i di e = L. dt de i = C. dt 1 EE = . C. e2 2 1 E M = . L. i 2 2

• tension aux bornes d’une inductance : • tension aux bornes d’un condensateur : • Énergie électrique : • Énergie magnétique :

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(1) (2) (3) (4) (5)

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5.2 Systèmes mécaniques en translation. a. Lois fondamentales • Loi fondamentale de la dynamique : l’accélération d’un mobile dans une direction est proportionnelle à la résultante des forces appliquées au mobile dans cette direction : dV ρ ρ m. .u = Fx (6) dt ρ ρ o ù Fx représente la somme des projections des forces appliquées au mobile sur la direction u considérée. m est la masse d’inertie du mobile (kg). • Énergie cinétique d’un corps en translation : pour amener un corps immobile de masse m à la ρ vitesse V, il faut fournir une énergie cinétique Ec. Celle-ci correspond au travail de la force Fx qui accélère le corps. Le travail W fourni par cette force s’écrit : dV 1 W = Ec = ∫ dW = ∫ F .V . dt = ∫ m. .V . dt = ∫ m.V . dV = . m.V 2 (7) dt 2 b. Les différents types de forces et énergies • Force de rappel élastique : c’est la force qu’exerce un ressort lorsqu’on l’écarte de sa position de repos. Cette force est proportionnelle à l’écart x par rapport à cette position de repos : ρ ρ F = − k. x. u • Énergie potentielle d’élasticité : travail de la force nécessaire pour amener le ressort de sa position de repos à sa nouvelle position : 1  1 W = E p = ∫ dW = ∫ k . x. dx = ∫ d  . k . x 2  = . k . x 2 (8) 2  2 • Force de frottement visqueux : c’est la force qu’exerce un amortisseur lorsqu’on le comprime ou lorsqu’on l’étire : ρ ρ dx ρ F = − f .V = − f . .u (9) dt f est le coefficient de frottement visqueux (N.s.m-1).

5.3 Systèmes mécaniques en rotation. a. Lois fondamentales • Loi fondamentale de la dynamique: l’accélération angulaire d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est proportionnelle au moment résultant par rapport à cet axe de toutes les forces extérieures appliquées au solide. Cette loi s’écrit (en intensité): d 2α dΩ J . 2 = J. =Μ (10) dt dt o ù α représente l’angle de rotation (rd), Ω la vitesse de rotation (rd.s-1), J le moment d’inertie (kg.m2) et M le moment résultant de toutes les forces par rapport à l’axe de rotation (m.N). • Énergie cinétique de rotation: 1  1 W = Ec = ∫ dW = ∫ M . dα = ∫ M . Ω. dt = ∫ J . Ω. dΩ = ∫ d  . J . Ω 2  = . J .Ω 2 (11) 2  2 - 16 -

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b. Les différents types de moments et énergies • Moment de rappel élastique : c’est le moment qu’exerce un ressort enroulé autour de l’axe lorsqu’on l’écarte d’un angle α de sa position de repos. Son intensité s’écrit : M = − k .α o ù k est la constante de raideur du ressort. • Énergie potentielle d’élasticité : travail de la force nécessaire pour amener le ressort de sa position de repos à sa nouvelle position : 1  1 W = E p = ∫ dW = ∫ M . dα = ∫ k.α. dα = ∫ d  . k .α2  = . k.α2 (12) 2  2 • Moment de frottement visqueux : c’est un moment dont l’intensité est proportionnelle à la vitesse de rotation. Il s’écrit : dα M = Rf .Ω = Rf . dt -1 o ù f est le coefficient de frottement visqueux (N.s.m ) et R est le rayon du système en rotation.

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ANNEXE 1 NOTIONS SUR LA DISTRIBUTION DE DIRAC

1 Introduction. Les mathématiques « classiques » analysent les relations entre des fonctions continues et dérivables et se révèlent un outil commode pour traiter les systèmes régis par des équations différentielles, à condition que l’excitation soit une fonction continue et dérivable. Exemple: réponse d’un circuit RLC à une excitation e(t) sinusoïdale. Dans certains cas, en physique, l’excitation e(t) est de très courte durée du point de vue de l’observateur flash d’un appareil photo par exemple. L’excitation e(t) est nulle avant le déclenchement du flash, très intense pendant un instant très bref, puis nulle ensuite. On est alors obligé de renoncer à une expression de l’excitation e(t) en raison des énormes discontinuités ou des variations non analysables. Les excitations e(t) ne sont en effet ni dérivables, ni même continues par morceaux. Ce ne sont pas des fonctions mais des distributions. Dans de nombreux domaines de la physique, on peut trouver des phénomènes intenses et brefs plus proches de fonctions que de distributions pour l’observateur. ÉCLAIR - FOUDRE : phénomène optique, acoustique, électrique. CHOC : phénomène mécanique (voir §5, chapitre 2). IMPULSION RADAR : très brèves et très intenses : ondes électromagnétiques. C’est le mathématicien français Laurent Schwartz qui à la demande des physiciens a élaboré en 1947 la « Théorie des distributions », outil indispensable pour analyser mathématiquement de façon rigoureuse de tels phénomènes. Cette théorie, certes très élégante, ne sera pas abordée dans ce cours. Elle est en règle générale étudiée en second cycle universitaire. Nous nous contenterons ici de façon plus empirique de considérer certaines distributions comme des passages à la limite de fonctions continues et dérivables. Nous procéderons ainsi pour l’échelon unité et ses dérivées.

2 Échelon unité, distribution de Dirac. 2.1 Échelon unité u(t).

u(t) 1

1 pour t ≥ 0 u( t ) =  0 pour t < 0

t 0 On peut encore considérer u(t) comme une fonction, mais elle n’est ni continue ni dérivable. Sa dérivée n’est donc pas une fonction: c’est une distribution nommée DISTRIBUTION DE DIRAC ou encore IMPULSION DE DIRAC notée δ(t). - 63 -

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2.2 Distribution de Dirac. ∞ pour t = 0 δ ( t) =   0 pour t ≠ 0

Pour mieux comprendre cette distribution δ(t), considérons l’échelon u(t) comme la limite quand t m → 0 de la fonction y(t) représentée ci-dessous et indéfiniment dérivable. La distribution δ(t) sera alors la limite quand t m → 0 de la dérivée y’(t) de y(t). u( t ) = lim[ y( t )] tm → 0 y(t) u(t) 1 1

t

t -tm

0 1

y’(t)

0

δ(t)

Aire hachurée A=1

+∞ dy A= ∫ . dt = y ( + ∞ ) − y( − ∞ ) = 1 −∞ dt

A -tm

0

+tm

1

δ ( t ) = lim[ y' ( t ) ] tm → 0

t

t

0

+tm 1

δ(t) distribution de Dirac ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole

0

Attention: le 1 marqué sur la flèche pleine représente l’aire A de cette impulsion (et non la hauteur de l’impulsion). +∞ dy En effet: A = ∫ . dt = y( +∞) − y( −∞) = 1 − 0 = 1 −∞ dt La distribution de Dirac est donc la limite d’une impulsion rendue de plus en plus étroite, son aire restant égale à 1. Remarque: l’impulsion de Dirac peut être considérée comme la limite d’une multitude de fonctions « bosses » quelque soit la forme exacte de la bosse (ou impulsion). Il suffit pour cela: 1. que la bosse soit toujours positive, 2. que t m → 0, 3. que l’aire A reste égale à 1.

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Exemples de fonctions tendant vers δ(t): RECTANGLE

x(t)

v( t ) =

1/ε

1 ε

pour t ∈ [ 0, ε ]

RECTANGLE

v(t) 1/2ε

ε→ 0

ε

0

1 2ε

[

t δ( t) = −ε

+ε 0

]

pour t ∈ −ε , +ε

[ lim [ v( t )]

v( t ) = 0 pour t ∉ −ε ,+ε

v( t ) = 0 pour t ∉ [ 0, ε]

t δ ( t ) = lim [ x ( t )]

v( t ) =

]

ε →0

w(t) 1/ε

−ε

TRIANGLE

δ ( t ) = lim [ w( t) ] ε →0

0

t

+ε

2.3 Aspect physique du passage à la limite pour obtenir une impulsion de Dirac. Considérer l’impulsion δ(t) comme la limite d’une fonction n’a rien d’artificiel mais correspond au contraire à la stricte réalité physique. En effet u(t) et δ(t) ne sont que des idéalisations mathématiques de la réalité physique des phénomènes. Dans la réalité, un échelon ou une impulsion (de tension, de pression, de force, d’intensité lumineuse) possède toujours un temps de montée t m non nul. Un système physique met toujours un certain temps pour passer d’un état vers un autre. Cependant, le point important à retenir est le suivant: Un signal physique y(t) correspondant au passage d’un état (1) vers un état (2) pourra être considéré comme un échelon chaque fois que son temps de montée t m sera négligeable devant les autres temps mis en jeu dans le circuit. Il en est de même pour une impulsion.

2.4 Unités - dimensions. En général, une impulsion physique v(t) assimilable à une impulsion de Dirac introduit un coefficient A tel que : v(t) = A. δ(t) (volts) (volts.sec) (sec)-1

2V

A

A représente l’aire de l’impulsion en Volts*Secondes par exemple ici A=40.10-9 L’impulsion de Dirac δ(t) a donc la dimension de l’inverse d’un temps, en du sans dimension effet: δ ( t ) = dt temps

20ns

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2.5 Exemple mécanique d’impulsion de Dirac: choc élastique de 2 boules (pendule bifilaire). 2R Considérons le pendule bifilaire constitué de deux tiges rigides portant 2 boules de pétanque. a) Un ressort est fixé sur une des boules au point d’impact. Initialement, on donne des élongations angulaires opposées aux deux pendules, et on les libère sans vitesse initiale. 1. Juste avant le contact : le ressort n’est soumis à aucune contrainte, sa tension est donc nulle. Soit VI la vitesse de la boule A juste avant son 1 contact avec le ressort. Son énergie cinétique à ce moment est . m.V I2 . 2 B A Pour des raisons de symétrie, la boule B a une vitesse opposée -VI et la même énergie cinétique. 2. Pendant la durée du contact : l’énergie cinétique totale initiale m.V I2 se 2R 2R convertit en énergie potentielle du ressort. Au point de compression maximale, l’énergie cinétique est nulle et la compression maximale x m du 1 ressort est donc telle que . k . xm2 = mV I2 . Puis, le ressort se détend 2 restituant intégralement les énergies cinétiques avec des vitesses initiales VF (après le contact) opposées aux vitesses initiales respectives. V F = −V I . 3. Après le contact : les boules remontent à la hauteur initiale en raison de la conversion de l’énergie. 4. Relation fondamentale de la dynamique appliquée à la boule A : ρ ρ

dV dt ρ ρ F.dt = m.dV F = m.

soit :

t2

ρ

ρ

ρ

∫ F.dt = m.(V2 − V1 ) t1

Choisissons et ρ t1 juste ρ avant ρ le contact ρ ρ t2 juste après le contact.

V2 = VF t2

d’où :

ρ

V1 = VI = −VF ρ

∫ F.dt = 2.m.VF t1

5. Interprétation géométrique : choisissons l’instant de compression maximale comme l’instant t=0, la relation encadrée ci-dessous signifie que l’aire vaut 2.m.VF. t2

∫ F. dt = 2. m.V

F

t1

6. Mettons un ressort plus raide : la force est plus intense, la durée du contact plus faible, mais l’aire est la même car VF est la même (conservation de l’énergie), la fonction F(t) se rapproche alors d’une impulsion de Dirac A.δ(t) comme le montre la figure A1.1.

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Force F

k minimum

k maximum

temps

Figure A1.1. En pratique, il suffit que la durée de l’impulsion (égale à t 2-t 1) soit petite devant la période du pendule (qui dépend de VI) pour que l’on puisse assimiler cette impulsion à une impulsion de Dirac. 1. Equation différentielle régissant le mouvement du pendule selon x : L’énergie maximale du système est : m.VF2 .

1 . k. x2 et de l’énergie cinétique du 2 1 1  dx  2 2 2 2 2 2 pendule m.v . On a donc l’équation: m.VF = . k . x + m.v = . k . x + m.  . 2 2  dt  En régime permanent, la solution (particulière) de cette équation s’écrit: x( t ) = X 0 .cosωt . La force appliquée au ressort aura donc pour expression: F( t ) = − k . x( t ) = − F0 .cosωt avec Cette énergie est la somme de l’énergie potentielle du ressort

F(t) statique). La figure 4.2 b) représente graphiquement la relation linéaire entre l’entrée u et la sortie ω du système, en régime statique (permanent). Lorsque l’on applique une variation brutale de la tension d’entrée u, la vitesse du moteur n’atteint pas instantanément sa valeur en régime permanent statique, car le moteur présente une inertie propre. Le moteur fonctionne alors en régime dynamique. Ce régime est transitoire (il dure un certain temps), le temps que le système se stabilise, c’est à dire que le moteur atteigne la vitesse correspondant à la tension appliquée à l’entrée. La figure 4.3. illustre ces propos. A une tension constante E0 due à une variation positive de la tension d’entrée à partir du point de repos correspond une vitesse de régime permanent Ω0 atteinte après un régime transitoire correspondant au fonctionnement dynamique du moteur. On a alors Ω0=K.E0, K étant le gain statique défini au §1. ω

u

Ω0=K.E0 (régime permanent)

E0 vitesse

tension de repos

t

de repos

Figure 4.3.

- 24 -

t Régime transitoire

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3. Forme générale des lois d’entrée-sortie. On appelle x(t) et y(t) les signaux d’entrée et de sortie d’un système linéaire à temps invariant. La relation qui permet de rendre compte de la dynamique de ce système est une équation différentielle linéaire comprenant des coefficients indépendants du temps. L’équation linéaire rend compte du régime dynamique, et donc également du régime statique qui constitue un cas particulier correspondant à des signaux d’entrée et de sortie constants (indépendants du temps). Il suffit donc d’annuler les dérivées dans l’équation différentielle décrivant un système pour rendre compte du régime permanent. Exemple: .

On considère un système régi par l’équation différentielle suivante : 0,5 y + y = 3x Le régime statique s’exprime par y = 3x , ce qui donne un gain statique de 3 USI. .

Remarque: On peut observer la dynamique du système dans le terme 0,5 y . L’homogénéité de l’équation . dy oblige à considérer 0,5 comme un temps puisque y = . dt

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CHAPITRE 5 SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE

1. Équation différentielle – Fonction de transfert. On appelle système du premier ordre, un système régi par une équation différentielle du type : dy τ. + y = K . x dt τ est appelée constante de temps du système. τ est homogène à un temps. K est le gain statique du système (gain en régime permanent). En appliquant la transformée de Laplace à cette équation, on obtient :

( )

τpY ( p ) − τy 0 + + Y ( p ) = KX ( p ) Lorsque les conditions initiales sont nulles : (τp +1)Y ( p ) = KX ( p ) Y ( p) K La fonction de transfert du système est alors: H ( p ) = = X ( p ) 1 + τp Cette fonction de transfert possède un pôle simple: -1/τ. Exemple:

θe

θs

Thermomètre

Soit un thermomètre à mercure placé dans une ambiance à la température θe. Si l'appareil est précis, au bout d'un temps assez long, il indiquera une température θs = θe. C'est le régime permanent pour lequel le mercure est à la température ambiante. Si θe varie rapidement, θs est relié à θe par une équation différentielle traduisant le fait que, d'une part, pendant un temps dt, la quantité de chaleur dQ échangée avec le mercure est proportionnelle à la différence θe - θs et que, d'autre part, la vitesse avec laquelle s'effectue la dilatation du mercure dθs/dt est proportionnelle à la quantité de chaleur échangée: dθs dQ dQ = k 1 .(θ e − θ s ).dt et = k2 . dt dt 1 dθs soit : . + θs = θe k1 .k 2 dt 1 avec : τ = k1 .k 2

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2. Réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle du système est donnée par : h(t) = LP -1[H(p)]  K  K −t / τ soit : h (t ) = LP −1  .u (t )  = .e  τp + 1  τ On constate d'après cette expression que le système est stable si τ>0. h (t ) K/τ

t 0

τ

3. Réponse indicielle.

Cette réponse est obtenue pour x (t ) = u (t ) , soit X ( p ) = 1 / p . On peut ici calculer son expression littérale:  K  K w(t ) = LP −1 [H ( p ) / p ] = LP −1  = τ 1 − e −t / τ ).u(t )   p (τp + 1) τ

(

(

)

( w(t ) = 0 pour t < 0 )

)

d'où : w(t ) = K 1 − e −t / τ .u(t ) u(t)

K w(t)

0

t τ

tr

La pente à l'origine est égale à K/τ. Le temps de réponse à 5% est à peu près égal à 3τ.

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Remarque : Sur cette dernière courbe, la dénomination de constante de temps pour τ prend toute sa signification: plus τ est petit, plus vite le système atteint son régime statique.

4. Réponse à une rampe.

Cette réponse est obtenue pour x (t ) = a.t .u(t ) K 1 a On a X(p) = a/p², et : Y ( p ) = . . 2 τ p +1/τ p K .a 2  −t / τ t  d'où : y (t ) = τ e + −1u (t ) τ τ   Démonstration de ce dernier calcul suivant une méthode (parmi plusieurs): Méthode des fractions rationnelles: Si Y ( p ) se présente sous la forme M ( p ) / N ( p ) , dont le dénominateur est de degré égal ou supérieur à celui du numérateur, ce qui est le cas ici, on peut décomposer Y ( p ) en fractions rationnelles : A11 A12 A1n A2 A3 Y ( p) = + +...+ + + . n n −1 p − p1 p − p2 p − p3 ( p − p1 ) ( p − p1 ) où p1 est un pôle multiple de Y ( p ) de multiplicité n, p2, p3 des pôles simples de Y ( p ). Les différents coefficients de la décomposition se calculent suivant les relations: A11 = ( p − p1 ) .Y ( p) n

A12 =

[

p = p1

]

d n p − p1 ) . Y ( p ) ( dp p = p1

1 d2 A13 = 2 dp2

[( p − p ) .Y ( p)] n

1

p = p1

... Dans notre cas, on a : Y ( p ) =

A11 A12 A2 + + 2 p p p +1 / τ

avec : A11 = p 2 . A12 =

K .a p (τ. p + 1)

= K .a

2

p =0

d K .a − K .a.τ = dp τ . p + 1 p =0 (τ. p + 1)2

= − K .a.τ p =0

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A2 =

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K .a 2. p .(τ. p + 1) + τ . p 2

= K .a.τ p = −1 / τ

K .a K .a .τ K .a.τ − + 2 p p p +1 / τ Ce qui donne : y(t) = K.a.t - K.a.τ + K.a. τ.e-t/ τ Finalement : Y ( p ) =

On retrouve l'expression déjà présentée.

5. Régime harmonique. La transmittance isochrone du système est : H ( jω) =

K 1 + j .ω.τ

Les différentes représentations sont alors : 5.1 Représentation de Bode. 20.Log(K)

H ( jω) dB

3 dB

pente -6dB/octave=-20dB/décade

ω/ωc (log)

1

[

Φ H ( jω) 0

]

1

-45°

-90° Le système possède une fréquence de coupure pour ωc = 1/τ. En effet, le maximum local est ici H( 0) . La pulsation de coupure est définie pour :

- 31 -

ω/ωc (log)

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H ( jωc ) dB − H ( 0) dB = −3dB  H ( jω)   = 20.log  1  20.log   H (0 )   2  

c'est à dire :

H (0)

H ( jωc ) =

d'où :

2

K

soit :

1 + (ωc .τ )

donc :

2

=

K 2

1 + (ωc.τ)² = 2 ωc.τ = 1

et :

[

]

Pour cette fréquence, le déphasage est : Arg H( j ωc ) = − ArcTan[ωc τ] = −

π . 4

5.2 Représentation dans le plan de Nyquist.

[

Im H ( jω)

] ω= 0

K/2 0

-K/2

[

Re H ( jω)

K

ω→ ∞

ω.τ = 1

5.3 Représentation de Black.

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]

20.Log(K)

-90°

0°

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Phase ° DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique

ω= 0

ω→∞

6. Relation temps-fréquence. La dynamique d’un système du premier ordre est entièrement décrite par sa constante de temps τ. Cette dynamique peut également s’exprimer dans le domaine des fréquences. On appelle f c, fréquence de coupure, la fréquence pour laquelle le gain (module de la fonction de transfert) du système, en régime harmonique, est atténué de 3dB par rapport au maximum du module de la fonction de transfert. On appelle t m le temps de montée du système. t m représente le temps mis par la sortie du système pour passer de 10% à 90% de la valeur finale atteinte en régime permanent pour une entrée de type échelon. La réponse indicielle d’un système du premier ordre s’exprime: w( t ) = K (1 − e− t / τ ). u(t ) , u(t) étant un échelon unitaire (voir §3). Donc les temps t 10 et t 90 correspondant respectivement à 10% et 90% de la valeur finale en régime permanent (K) s’obtiennent simplement: y( t 10 ) = 0,1. K = K 1 − e − t10 / τ et y( t 90 ) = 0,9. K = K 1 − e − t 90 / τ

(

D’où :

)

(

)

t m = t 90 − t 10 = τ. ln( 9) ≈ 2 ,2τ

Or : fc = Donc : tm =

ln (9) 2πf c

ωc 1 = 2π 2πτ

=> t m . f c =

ln (9) ≈ 0,35 2π

Cette relation est d’application pratique très utile. Exemples: • Un oscilloscope (considéré comme un système du premier ordre) possède une bande passante à 3dB f c=100Mhz, son temps de montée propre est donc : t m=3,5 nanosecondes. • Un enregistreur graphique dont le temps de montée t m est égal à 0,2 secondes possède une fréquence de coupure f c=1,8Hz ; il ne peut donc pas être utilisé pour enregistrer sans erreur des signaux sinusoï daux de fréquence supérieure à 2Hz environ. On retiendra qu’un système à large bande passante est un système rapide.

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CHAPITRE 6 SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

1. Équation différentielle – Fonction de transfert. On appelle système du second ordre, un système régi par une équation différentielle du type : 1 d 2 y 2.ξ dy . + . + y = K. x ω2n dt 2 ωn dt 2

 2.ξ 4 avec:   − 2 0. Si le système est stable, h( t ) est une sinusoï de amortie :

[

]

h(t)

t

0

ω p = ωn . 1 − ξ2 est appelée pulsation propre ou pseudo pulsation du système.

3. Réponse indicielle.

Cette réponse est obtenue pour x( t ) = u( t ) soit X ( p ) = 1 / p . On a donc :

w( t ) = LP-1[H(p)/p]

On démontre alors que :

  1 −ξω nt 2  w( t ) = K 1 − . e . Sin ω . 1 − ξ . t + θ n 1 − ξ2  

[

1 − ξ2 avec : tg(θ) = ξ Pour un système ayant un gain statique de 1 ; K = 1 :

- 34 -

]

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Xp 1

t

0 tp

tr

Lorsque le système est stable, (ξ >0), la réponse du système est sinusoï de amortie autour de la valeur finale qui est égale à K fois la valeur de l'échelon. (Sauf pour le cas critique, où ξ =1: la réponse est alors apériodique.) La pente à l'origine est égale à 0. 4 Le temps de réponse à 2% est à peu près égal à . ξ. ωn Pour les systèmes du deuxième ordre, on définit: Instant de premier dépassement : On appelle instant de premier dépassement, l'instant où la sortie atteint son premier maximum. On le note t p. Amplitude du premier dépassement: On appelle amplitude de premier dépassement, l'amplitude du premier maximum sur la valeur finale de la sortie. On note cette valeur Xp. Calcul de t p : A t p, on a w' (t ) = 0 car w(t) est maximum. Or, on a : 1 w'( t ) = − K . . e −ξω nt .ωn .  − ξ. Sin ωn . 1 − ξ2 . t + θ + 1 − ξ2 . Cos ωn . 1 − ξ2 . t + θ  2   1− ξ

[

donc w' (t ) = 0 équivaut à :

]

[

]

[

[

]

]

1 − ξ2 . Cos ωn . 1 − ξ2 . t + θ = ξ. Sin ωn . 1 − ξ2 . t + θ 1 − ξ2 et ξ

on a :

tg(θ) =

donc, par identification :

ξ = Cos(θ ) et

ξ2 +

(

1 − ξ2

)

2

=1

1 − ξ2 = Sin(θ)

l'égalité précédente devient donc: Sin(θ ).Cos ωn . 1 − ξ 2 .t + θ  = Cos (θ).Sin ωn . 1 − ξ 2 .t + θ      soit : Sin θ −  ωn . 1 − ξ 2 .t + θ   = 0 d' où Sin ωn . 1 − ξ 2 .t  = 0      Finalement on a w' (t ) = 0 pour : - 35 -

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ω n . 1 − ξ2 . t = 0

pente nulle à l'origine.

ω n . 1 − ξ 2 . t = k .π

avec k entier.

l'instant de premier dépassement est obtenu pour k = 1 : t p =

(

Wp = W ( t p ) = K 1 + e − π / tg (θ )

à cet instant on a :

π ωn . 1 − ξ2

)

d'où :

X p = K. e−π / tg (θ ) Remarque : A partir du relevé de la réponse indicielle, on peut retrouver par identification l'équation d'un système du 1 π ξ= et ωn = deuxième ordre : π2 t p . 1−ξ2 1+ 2 ln X p / K

4. Réponse à une rampe. Cette réponse est obtenue pour x (t ) = a. t .u(t ).  2.ξ  1 −ξω nt 2 On a X(p) = a/p², et: y ( t ) = K . a.  t − + . e . Sin ω . 1 − ξ . t + 2 θ  n  ωn ωn . 1 − ξ2 

[

]

5. Régime harmonique. On pose p = jω, ce qui correspond à un cas particulier pour la transformée de Laplace. La transmittance K.ωn2 isochrone du système est : H ( jω) = 2 ωn − ω2 + 2. j .ξ. ω.ωn

(

[

)

on a alors :

H ( jω)

et :

 2.ξ.ω.ωn  Arg H( jω) = − Arctg  2 2   ωn − ω 

dB

(

)

= 20.log K.ωn2 − 10.log ωn4 + ω4 + 4. ξ2 − 2 .ω2 .ωn2

[

]

]

Deux cas se présentent : 1er cas: H ( j ω) ' s'annule : dans ce cas, le gain du système passe par un maximum. On dit alors qu'il y a résonance. H ( jω) ' =

d H ( jω) dω

= − K.ωn2 .

1 2 ω2 − ω2 n

[(

(

[4.ω

3

(

) + (2ξωω ) ] (ω 2

)

donc H ( jω) ' = 0 équivaut à: 4.ω3 + 2. 4.ξ2 − 2 . ω.ω2n = 0 - 36 -

)

+ 2. 4.ξ 2 − 2 .ω.ωn2 2

n

2 n

− ω2

]

) + (2ξωω ) 2

n

2

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(

)

ω2 + 2. ξ2 − 1 .ω2n = 0

soit :

(

)

ce qui n'est possible que si 2.ξ2 − 1 < 0

1 2

ξ<

c’est à dire

La résonance a lieu pour H ( jω) ' = 0 , c'est à dire: ω = ωr = ωn . (1 − 2.ξ 2 ) ωr est appelée pulsation de résonance du système. 2me cas: 1 2 Dans le cas où il y a résonance, on définit alors un facteur de résonance Mp par: H ( j ω) ' ne s'annule jamais : il n'y a pas de résonance. C'est le cas où ξ >

Mp =

H ( jωr ) H ( 0)

=

1 2.ξ. 1 − ξ2

• Représentation de Bode : H ( jω) dB

ξ=0,2

Mp

20.Log(K) ξ=0,8 pente -12dB/octave = -40dB/décade

ω/ωn (log)

[

]

Φ H[ jω] 0

ωr ωn ω/ωn (log)

ωn

-90°

ξ=0,2 -180°

- 37 -

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• Représentation dans le plan de Nyquist : 0

[

Im H ( jω)

]

[

ω→ + ∞ ω = ωn

ξ =0,8

ξ=0,2 ω = ωn

• Représentation dans le plan de Black : Gain (dB)

ξ=0,2

Mp en dB 20.Log(K) -180°

0° ξ=0,8

- 38 -

]

Re H ( jω)

ω=0

Phase (°)

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CHAPITRE 7 LES MOTEURS D’AUTOMATISME

1. Introduction. Ces dernières années, une véritable révolution a eu lieu concernant les moteurs d’automatisme. Alors qu’il y seulement une dizaine d’années, ce sont principalement des moteurs à courant continu de fabrication très soignée qui étaient utilisés, les moteurs alternatifs asynchrones constituent aujourd’hui l’essentiel des moteurs utilisés pour les nouvelles installations. A cela deux raisons : • Un coût moindre ou égal à l’achat ; • Un coût très inférieur à l’entretien. La commande de ces moteurs est plus complexe que celle des moteurs à courants continu et fait largement appel à l’électronique. Cette partie dépasse le cadre de ce cours. Cependant, la modélisation des machines reste basée sur les mêmes équations ; nous allons donc parler essentiellement (pour simplifier) de moteurs à courant continu sachant que les équations que nous écrirons restent valables pour les moteurs asynchrones.

2. Relations générales. Les moteurs à courant continu comportent un induit bobiné (le rotor) et un inducteur bobiné ou à aimant permanent. Le rotor tournant confère une inertie propre (J), et son implantation sur paliers implique des frottements mécaniques (f). Le schéma traditionnel pour un moteur à courant continu est donc celui de la figure 6.1. Induit: i(t) u(t)

Ω

Inducteur

J

iind(t)

f

Figure 6.1. Schéma de principe du moteur à courant continu. Le schéma électrique équivalent de l’induit est donné sur la figure 6.2. i(t) E

u(t)

L

R Figure 6.2. Schéma électrique équivalent de l’induit du moteur à courant continu. - 39 -

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E représente la force électromotrice ; L représente la self équivalente de l’enroulement d’induit ; R représente la résistance équivalente de l’induit (résistance des fils du bobinage et résistance de contact au niveau des balais). Le schéma électrique équivalent de l’inducteur est donné sur la figure 6.3. Iind(t)

v(t)

l

r Figure 6.3. Schéma électrique équivalent de inducteur du moteur à courant continu. l représente la self équivalente de l’enroulement inducteur ; r représente la résistance équivalente de l’induit (résistance des fils du bobinage). Les équations régissant le fonctionnement du moteur de la figure 6.1 sont les suivantes : Domaine temporel

U ( p ) = E ( p ) + RI ( p ) + LpI ( p )

(1)

E (t ) = Kϕ(t )Ω(t )

E ( p ) = KΦ ( p )Ω( p )

(2)

M (t ) = Kϕ(t )i (t )

M ( p) = KΦ ( p )I ( p )

(3)

ϕ(t ) = l .iind (t )

φ( p ) = l .I ind ( p )

(4)

diind + ri ind (t ) dt

V ( p ) = lpI ind ( p ) + rI ind ( p )

(5)

dΩ = M (t ) − fΩ(t ) dt

JpΩ ( p ) = M ( p ) + fΩ ( p )

(6)

u (t ) = E (t ) + Ri (t ) + L

v (t ) = l J où :

Domaine de Laplace di dt

M est le moment moteur ; K est une constante générale liée à la machine tournante (MKSA) ; φ représente le flux inducteur (Weber).

Si le flux inducteur ϕ(t ) et le courant dans l’enroulement d’induit i (t ) sont variables, les équations (2) et (3) traduisent un système non linéaire (produit de deux variables). Pour se placer dans le cas du fonctionnement linéaire, une des grandeurs i (t ) ou ϕ(t ) doit être maintenue constante. Ceci impose une excitation séparée. On obtient alors deux modes de fonctionnement avec commande par l’induit ou par l’inducteur.

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3. Commande par l’inducteur i(t ) = I 0 . Ce mode correspond évidemment au cas d’un inducteur bobiné dans lequel le courant pourra varier, entraînant un flux variable. Le courant d’induit est maintenu constant à l’aide d’une source extérieure que l’on peut représenter par une source de courant I0 .

Induit: I0 iind Ω Inducteur

J

v

f

r, l

Figure 6.4. Commande par l’inducteur. Dans cette configuration, on a : ϕ(t ) = l.i ind (t )

(7)

avec l=Cte si l’on considère le circuit magnétique inducteur non saturé, et donc: M (t ) = K.l .i ind (t )I 0

(8)

M (t ) = k .iind (t )

(9)

soit en simplifiant:

En considérant les équations (5), (6) et (7), le diagramme fonctionnel du moteur est alors celui de la figure 6.5. V

1 l. p + r

M

Iind k

1 J. p + f

Ω

Figure 6.5. Diagramme fonctionnel de la commande par l’inducteur. Remarque: les éléments électriques et mécaniques interviennent sous des constantes de temps séparées, il n’y a pas de réaction d’induit à considérer puisque le courant d’induit est maintenu constant quelle que soit la vitesse (voir cours électrotechnique et TP U32).

4. Commande par l’induit iind (t ) = C te ⇒ ϕ(t ) = C te = φ0 . Dans ce cas le flux inducteur est maintenu constant, par l’utilisation soit d’un aimant permanent pour la création directe du flux, soit d’une source de courant régulée.

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i(t)

Ω J

u(t)

f Induit R,L Figure 6.6. Commande par l’induit. on a:

M (t ) = Kϕ(t )i (t ) avec ϕ(t ) = φ0 donc on peut écrire : M (t ) = k 'i (t ) .

(10)

Le moment du couple est directement proportionnel au courant d’induit. De même, on obtient à partir de la relation (2) : E (t ) = k ' Ω(t ) .

(11)

A l’aide des relations (1), (6), (10) et (11), on peut construire le diagramme fonctionnel du moteur de la figure 6.7. U

+

1 L. p + R

-

I

k’

M

1 J. p + f

Ω

E k’ Figure 6.7. Diagramme fonctionnel de la commande par l’induit. La fonction de transfert Ω( p ) = U ( p) =

Ω( p ) s’écrit à partir du diagramme fonctionnel : U ( p) k

(L. p + R)(J . p + f ) 1+

2

k (L. p + R )( J . p + f )

(

=

k k = 2 k + (L. p + R)( J . p + f ) k + Rf + ( JR + Lf ) p + LJp 2 2

(12)

)

k / k + Rf JR + Lf LJ 1+ 2 p+ 2 p2 k + Rf k + Rf 2

En identifiant à un système du second ordre, soit en écrivant : Ω( p ) = U ( p)

(

)

k / k 2 + Rf Ks = JR + Lf LJ 1+ 2 p+ 2 p 2 1 + 2ξ p +  p k + Rf k + Rf ωn  ωn - 42 -

  

2

(13)

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on obtient : Ks =

Gain statique :

k k + Rf 2

Pulsation propre du système no n amorti : ωn =

k 2 + Rf LJ

1 JR + Lf 1 k 2 + Rf JR + Lf 1 Coefficient d’amortissement : ξ = ωn 2 = = 2 LJ k 2 + Rf 2 k + Rf 2

JR + Lf

(

LJ k 2 + Rf

)

4.1 Cas L = 0 En général, la self d’induit L est négligeable car le nombre de spires est faible pour les moteurs d’automatisme. Ω ( p ) k / k 2 + Rf k / k 2 + Rf Avec L = 0 , on obtient : = = (14) JR J U ( p) 1+ 2 p 1+ 2 p k + Rf k /R+ f J Cette relation correspond à un système du premier ordre de constante de temps τ = 2 et de k /R+ f k gain statique K s = 2 . k + Rf

(

)

(

)

4.2 Cas f = 0 k2 est homogène à un frottement, il correspond au frottement d’origine électrique de R l’induit tournant dans le champ et il est généralement plus important que les frottements mécaniques. On peut donc négliger également le terme f. Ω( p ) 1/ k = Finalement, avec f = 0 : U ( p ) 1 + JR p k2 Cette relation correspond au cas où le système est dépourvu de charge, sinon il est impératif d’écrire la relation de couple complète pour obtenir la fonction de transfert du système. Le terme

5. Génératrice tachymétrique. Quand les moteurs à courant continu sont de fabrication très soignée, ils fonctionnent très bien en génératrices tachymétriques et délivrent des tensions proportionnelles aux vitesses de rotation avec une excellente linéarité. L’inducteur est à champ permanent. Le fonctionnement dans ce type d’utilisation est d’autant plus linéaire que la génératrice est peu chargée car dans ce cas le circuit magnétique n’est pas saturé du tout.

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CHAPITRE 8 SYSTÈME D’ORDRE SUPÉRIEUR A DEUX SYSTÈME A RETARD PUR

1 Système d’ordre supérieur à deux 1.1 Forme canonique. Un système linéaire, invariant, scalaire, d’ordre quelconque possède une fonction de transfert H(p), dont le dénominateur a un degré quelconque : N ( p) H( p) = D( p) En décomposant les deux polynômes N(p) et D(p) en polynômes élémentaires du premier degré, H(p) peut s’écrire: 1/T i racines de N ( p ) K (1 + pT1 )(1 + pT2 )... H ( p) = n 1/τi racines de D( p ) p (1 + pτ1 )(1 + pτ 2 )... Si N(p) ou D(p) possède des racines complexes, alors celles-ci apparaîtront en paires conjuguées car les coefficients du polynôme sont réels, ce qui donnera des termes en : p p2 1 1 + 2ξ + 2 ou ωn ωn p p2 1 + 2ξ + 2 ωn ωn Finalement, toute fonction de transfert relative à un système à constante localisée pourra être considérée comme le produit de termes de la forme : 1 K , p , (1 + pT ) , (1 + pτ )n n

1.2

n

n

 p p2  1  , 1 + 2ξ + 2  , n ωn ωn    p p2  1 + 2ξ  + ωn ωn2  

Régime harmonique.

1.2.1 Représentation de Bode. • terme constant K: il donne une droite horizontale d’ordonnée 20.Log(K). La phase est nulle. 1 • terme en : le module est une droite de pente -6.n dB/octave passant par le point ( ω = 1 ; 0dB). ( jω) n La phase est fixe et égale à -n.π/2. 1 • terme en : le module comporte deux asymptotes se coupant en ωτ = 1 ; une droite (1 + jωτ) n horizontale et une droite inclinée à -6.n dB/octave. La phase passe de 0 à -n.π/2 pour ω variant de 0 à + ∞. - 45 -

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1

• terme en

: le module comporte deux asymptotes se coupant en ω=ωn ; une 2 n     ω j ω 1 + 2ξj   +   ωn  ωn     droite horizontale et une droite inclinée à -12.n dB/octave. La phase passe de 0 à -n.π pour ω variant de 0 à + ∞ . n

2  ω  jω      • termes en ( jω) , (1 + jωT ) , 1 + 2ξj + : analogues aux trois termes précédents en  ωn  ωn     inversant les pentes des asymptotes et en changeant le signe des phases. n

n

1.2.2 Représentation dans le plan de Nyquist. La construction ne peut être faite que point par point. 1.2.3 Représentation dans le plan de Black. Bien qu’on ne puisse pas faire d’approximations asymptotiques, on peut utiliser les avantages inhérents aux échelles logarithmiques. Le plan de Black est d’un emploi fort commode pour le calcul des réseaux correcteurs et ceci milite en faveur de son emploi.

2 Retard pur e − pτ . 2.1 Origine physique du terme de retard pur. Dans tout système, l’information de sortie est fournie par un capteur. Il se peut que, pour des raisons d’accessibilité, d’entretien ou d’encombrement, le capteur ne puisse pas être placé à l’endroit où l’on souhaiterait observer le système. Cela introduit un retard entre l’instant où le signal est disponible (prêt à être mesuré) et l’instant où il est effectivement mesuré. Si y( t ) représente le signal à mesurer, l’introduction d’un retard τ donnera lieu au signal y( t − τ) . D’après les propriétés de la transformation de Laplace (§2.2, chapitre 2), si la transformée de Laplace de y( t ) s’écrit Y ( p) , alors la transformée de Laplace de y( t − τ) s’écrira e − pτ . Y ( p) . En régime sinusoï dal le terme de retard e − p τ introduit un déphasage ωτ de la sortie sur l’entrée. Le réglage automatique de l’entrée du système x(t) à partir des informations recueillies en sortie est difficile car les signaux nécessaires pour prendre des décisions convenables arrivent parfois trop tard. 2.2 Représentation dans le plan de Black. On pose R( p) = e − p τ . D’où R( jω) = e − j ωτ . Le module de R( jω) vaut 1 (0dB) quelle que soit la valeur de la pulsation ω. Son argument Arg( R) = −ωτ est proportionnel à ω. 1,57 3,14 Le lieu de Black est donc l’axe 0dB. Le déphasage atteint -90° pour ω = et -180° pour ω = . τ τ

2.3

Approximations de e − p τ . - 46 -

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Il est utile et parfois indispensable de disposer d’une bonne approximation du terme de retard par une fraction rationnelle, en commande ou en simulation. Le développement limité de e − p τ donne: p 2τ 2 p 3τ 3 e −τ p = 1 − pτ + − +... 2 6 1 On peut ainsi penser approcher e − p τ simplement par = 1 − pτ + p 2 τ 2 −... 1 + τp L’approximation n’est pas très bonne dès que ω augmente et il existe en pratique d’autres approximations certes plus performantes mais aussi plus compliquées.

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CHAPITRE 9 LA STABILITÉ DES SYSTÈMES

1. Condition générale de stabilité 1.1 Domaine temporel On considère un système possédant une réponse impulsionnelle h(t) excité par un signal e(t). On note sa sortie y(t). Nous avons vu au chapitre 3 la condition de stabilité énoncée dans le domaine temporel : Un système est dit stable, si sa réponse impulsionnelle est le siège d'un régime amorti : lim h( t ) = 0 t → +∞

Donc, un système est stable si lorsqu’il est excité par une impulsion de Dirac, sa sortie revient à sa position initiale au bout d’un certain temps. 1.2 Domaine fréquentiel On note H(p) et Y(p) les transformées de Laplace de h(t) et de y(t) respectivement. La transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac à l’entrée du système est 1. La réponse du système dans le domaine de Laplace sera donc Y ( p ) = H ( p ).1 . Ai La décomposition de H(p) en éléments simples s’écrit : Y ( p ) = ∑ ,où les pi sont réels ou i p − pi complexes conjugués. La réponse y(t) est donc la somme d’exponentielles : y (t ) = ∑ Ai e pi t . i

Chaque exponentielle ne revient à zéro que si la partie réelle de pi est strictement négative. Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont strictement à gauche de l’axe imaginaire dans le plan complexe dédié à p.

2. Critère algébrique de Routh-Hurwitz N ( p) la fonction de transfert d’un système. D( p ) Les pôles de H(p) sont les racines de l’équation D(p) = 0. Un examen assez simple de D(p) permet de savoir si certaines de ses racines sont à partie réelle positive ou nulle, rendant le système instable. On écrit D(p) sous forme polynômiale D( p ) = a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a0 avec a n > 0 . Le critère s’énonce alors de la façon suivante (nous ne le démontrerons pas) : Soit H ( p ) =

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1. 1er examen : Si les ai ne sont pas tous de même signe ou si certains sont nuls, D(p) a des racines à droite dans le plan complexe, donc à partie réelle positive. Le système est donc instable. 2. 2ème examen : Si tous les ai sont positifs, on ne peut connaître la place des pôles qu’après examen de la première colonne du tableau de Routh dont la construction est expliquée ci-après. Les deux premières lignes du tableau sont écrites à l’aide des coefficients de D(p). Les autres lignes sont formées de termes calculés à partir de ces coefficients. On pose

On détermine

 pn  n −1 p  p n −2  n −3 p  Μ  2  p  p1   p

an a n −1

a n− 2 an −3

a n− 4 an −5

Κ

A1 B1

A2 B2

A3 B3

Κ

Μ

Μ

Μ

M1 N1 C1

M2 N2 C2

M3 N3 C3

On analyse

Κ

Κ Μ Κ Κ Κ

Calculs an −1 a n − 2 − a n a n −3 A1 = a n −1 a a − an a n − 5 A2 = n −1 n − 4 a n −1 a a − a n an −7 A3 = n −1 n − 6 an −1 A a − a n −1 A2 B1 = 1 n −3 A1 A a − a n −1 A3 B 2 = 1 n −5 A1 … N1 M 2 − M 1 N 2 C1 = N1

Routh a établi que la condition nécessaire et suffisante de stabilité est que tous les coefficients de la première colonne soient de même signe . De nombreux exemples seront traités en TD. Le critère algébrique de Routh permet de savoir de façon simple et rapide si un système est stable ou non. Il nous renseigne sur la stabilité mais non sur la robustesse de cette stabilité. De plus sa mise en œuvre nécessite de connaître l’expression de la fonction de transfert.

3. Critère de stabilité de Nyquist 3.1 Critère simplifié du revers Sauf des cas tout à fait particuliers, la structure des Fonctions de Transfert en Boucle Ouverte (FTBOs) G( p ) permet de simplifier l’utilisation du critère de Nyquist. Nous n’aborderons donc dans ce cours que le critère simplifié de Nyquist : le critère du revers . Ce critère s’énonce en deux parties :

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1. Tracer la partie du lieu de Nyquist de la FTBO correspondant à la variation croissante de p sur le demi-axe imaginaire positif p = jω. 2. Vérifier que ce lieu passe à droite du point (-1), appelé « point critique », dans le plan de Nyquist.

3.2 Critère du revers dans le plan de Black Le point critique (-1) dans le plan de Nyquist a pour coordonnées (-180°, 0 dB) dans le plan de Black. La figure 8.1 montre la représentation de la FTBO d’un système du second ordre (inconditionnellement stable) dans le plan de Nyquist pour deux amortissements différents.

[

]

Im G( j ω)

-1

[

]

Re G( j ω)

Point critique ξ=0,8

ξ=0,2 ω croissants Figure 8.1. Dans les deux cas, le point critique est laissé à gauche. La représentation du même système dans le plan de Black est donnée sur la figure 8.2. G( j ω) dB

ξ=0,2 0°

-180°

[

]

Arg G( j ω)

ω croissants

ξ=0,8 Point critique Figure 8.2. Dans le plan de Black, le point critique est donc laissé à droite « en descendant ». - 51 -

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Le critère du revers exprime tout simplement qu’aux fréquences hautes (vis à vis des fréquences caractéristiques du système considéré : pulsation de résonance ou pulsation du système non amorti), lorsque le déphasage est de –180°, il faut atténuer le signal de retour (gain < 1), sinon le signal réinjecté va se réamplifier dans une réaction positive (LARSEN des installations radio).

4. Marges de stabilité Un système est d’autant plus stable que son lieu de transfert en boucle ouverte passe loin du point critique. Pour quantifier cet aspect, on définit les marges de stabilité : marge de gain et marge de phase. Les marges de stabilité peuvent être définies indifféremment dans le plan de Nyquist, le plan de Black ou les diagrammes de Bode. En pratique, l’utilisation du plan de Black et des diagrammes de Bode est plus utilisée du fait que l’on a accès directement au module et à la phase d’un système de façon expérimentale. Dans ce cours, nous détaillons essentiellement l’utilisation du plan de Black 4.1 Dans le plan de Black La marge de gain correspond à l’écart entre le gain (module) G( j ω) dB de la FTBO et l’axe 0 dB du plan de Black. La marge de phase correspond à l’écart entre la phase (argument) ϕ(ω) de la FTBO et l’axe –180° du plan de Black. Les marges de stabilité sont explicitées sur la figure 8.3. Mg représente la marge de gain exprimée en dB ; Mϕ ϕ représente la marge de phase exprimée en degrés. G dB

-180° Mϕ ϕ

0 dB

ϕ°

Mg

ω croissants

Figure 8.3. Définition des marges de stabilité dans le plan de Black. Les valeurs courantes sont les suivantes : • Marge de gain : 10dB < Mg < 15dB • Marge de phase : 45° < Mϕ < 50° - 52 -

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En analysant simplement le tracé de la figure 8.3., on se rend compte qu’une augmentation du gain de la boucle ouverte, en décalant le lieu de Black vers le haut, va réduire les marges de stabilité. De la même façon, une augmentation de la phase de la FTBO, par exemple par un retard pur, réduit ces mêmes marges et peut conduire à l’instabilité.

4.2 Limites de stabilité Lorsque le lieu de transfert en boucle ouverte G( j ω) passe par le point critique, le système H ( jω) en boucle fermée est juste instable. Si l’on considère un système du second ordre, H ( jω) possède alors deux pôles j ω0 et − j ω0 imaginaires conjugués placés sur l’axe imaginaire, l’amortissement ξ est nul. 1 H ( p ) contient donc le facteur qui est la transformée de Laplace d’une sinusoï de de pulsation 2  p  1 +    ω0  ω0 . Sous l’influence d’un simple parasite, le système risque d'osciller de façon sinusoï dale à la pulsation ω0 . Ce fonctionnement, très gênant en automatique du fait qu’à tout moment le système peut basculer vers l’instabilité et voir sa sortie prendre des valeurs démesurées, est utilisé en électronique pour fabriquer des systèmes oscillants. Le système démarre grâce au bruit ; la difficulté réside alors dans la maîtrise de la pulsation des oscillations à la pulsation ω0 et de l’amplitude des oscillations.

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CHAPITRE 10 LES SYSTÈMES BOUCLÉS

1. Introduction Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que des systèmes "en Boucle Ouverte" (abréviation BO): pour obtenir une bonne commande, l'opérateur doit avoir confiance dans l'étalonnage de son système ou vérifier, à tout moment, que la sortie réagit comme il le désire. L'idée de vérifier la sortie du système est maintenant intégrée à la commande: le système "en Boucle Fermée" (abréviation BF) ou système asservi (abréviation SA) est muni de boucles de retour, qui ramènent l'état des sorties au niveau des entrées, pour comparaison ou réaction. Nous montrons dans ce chapitre comment s’utilisent les abaques facilitant l’étude des systèmes bouclés. Puis nous définissons la notion de système du second ordre dominant.

2. Aménagement du diagramme fonctionnel. 2.1 Système asservi simple. Pour les études qui vont suivre, nous ne considérerons que les systèmes asservis à retour unitaire: Système asservi à retour unitaire. C'est un système asservi dont la fonction de transfert de la boucle de retour est constante et égale à 1: E + G Y X -

G est appelée fonction de transfert du système en boucle ouverte ou boucle principale. Pour un système asservi à retour unitaire on a: E(p) = X(p) - Y(p) et Y(p) = G(p).E(p) avec:

E(p) = LP[e(t)] ; X(p) = LP[x(t)] ; Y(p) = LP[y(t)]

d'où:

Y(p) = G(p).[X(p) - Y(p)] et E(p) = X(p) - Y(p)

donc:

Y (p) G( p ) = et X ( p ) 1 + G( p )

E( p ) =

1 X ( p) 1 + G( p )

2.2 Systèmes asservis à boucles multiples. Le fait de ne considérer que les systèmes à boucle unitaire n'est pas une limitation. En effet, l'algèbre des diagrammes permet toujours de se ramener au cas de la boucle unitaire. - 55 -

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Exemples: 1. +

X

A

-

Y

B devient :

+

X

A.B

-

1/B

Y

2. X

+

-

A

+

-

B

Y

C D devient: X

+

-

A

B 1+ B.C

Y

1/D

Y

D puis : X

+

-

A. B. D 1+ B.C

3. Détermination graphique de la fonction de transfert en BF : Les abaques de Hall et de Nichols Les abaques de Hall et de Nichols correspondent respectivement aux plans de Nyquist et de Black. On parle ainsi souvent d’abaque de Nyquist-Hall et de Black-Nichols. En pratique, du fait que l’on a expérimentalement accès au module et à la phase de la fonction de transfert d’un système, l’abaque de Black-Nichols est le plus souvent utilisé. 3.1 Intérêt Ces abaques représentent sur un même plan (Nyquist ou Hall) la FTBO et la Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF) du système considéré. Cela évite donc des calculs souvent longs et fastidieux et permet d’obtenir une vision « graphique » du problème très utile pour l’étude des performances des systèmes et de leur régulation abordée dans la seconde partie du cours d’automatique. - 56 -

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3.2 Description du problème Soit le système asservi décrit à la figure 10.1. +

X

E

G

-

Y

Figure 10.1. Système asservi à retour unitaire. La fonction de transfert du système en boucle fermée est obtenue par le calcul avec la relation que G( p ) nous avons démontrée ci-dessus : H ( p) = . 1 + G( p ) H ( p) Inversement on peut exprimer la FTBO en fonction de la FTBF : G( p ) = . 1 − H ( p) En régime harmonique, on a donc : H ( j ω) =

G( jω)

1 + G( jω)

et G( jω) =

H ( jω)

1 − H ( jω)

.

Ainsi pour chaque valeur ωi de ω la connaissance de G( j ωi ) en module (dB) et argument (°)

permet de déterminer H ( j ωi ) en module et argument. En sens inverse, la connaissance de H ( j ωi ) entraîne celle de G( j ωi ).

Les abaques de Hall et de Black-Nichols permettent de passer graphiquement de G( j ω) à H ( jω) et vice-versa (le passage de H ( jω) à G( j ω) n’est pas utilisé en pratique). 3.3 Plan de Nyquist: Abaque de Hall. La figure 10.2 décrit un système de FTBO G( j ω) décrit dans le plan de Nyquist.

[

]

Im G( j ω) -1

θ2

θ1

O

A M

Figure 10.2. G( p ) 1 + G( p )

En boucle fermée, on a :

H ( p) =

avec:

→ OM ≡ G( p)

La FTBF vaut donc :

et

→ AM = 1 + G( p)

→ OM OM H ( jω) = → = .θ1 − θ 2 AM AM - 57 -

[

]

Re G ( jω)

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La construction point par point de H ( j ω) (connaissant G( j ω) ) est alors facilitée si on trace dans le plan de Nyquist deux faisceaux de courbes correspondant à : arg H = Cte = θ Mod H = Cte = M

[ ] [ ]

• Construction de ces faisceaux de courbes : En posant G( j ω) = x + jy , H ( jω) = M donne : x + j. y =M 1 + x + j. y

soit:

x 2 + y2 = M2 2 2 1 + x + 2. x + y

ou encore:

x 2 + y 2 + ( 2. x + 1) .

M2 =0 M2 −1

  M2 M Cette dernière équation représente un cercle de centre:  − 2 ,0  et de rayon : 2 M −1  M −1  y y De même, arg H ( j ω) = θ donne : Arctg − Arctg =θ x 1+ x

[

]

tg ( a − b) =

or :

donc ici : soit :

tg ( a ) − tg ( b) 1 + tg ( a ). tg (b)

y / x − y / (1 + x ) = tg(θ ) = N 1 + ( y / x ).( y / (1 + x )) y x2 + y2 + x − = 0 N

1 1   Cette équation représente également un cercle de centre :  x0 = − , y0 =  et de rayon :  2 2. N  1+ N2 2. N Les cercles appartenant à cette dernière famille passent tous par les points : (0,0)

car :

(-1,0) car :

x 20 + y02 = distance du centre à l' origine = R

(x

+ 1) + y 02 = distance du centre au point (-1,0) = R . 2

0

Les deux faisceaux de cercles sont orthogonaux. Ils forment l'abaque de Hall.

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3.4 Plan de Black: Abaque de Nichols. L'utilisation de l'abaque précédant nécessite une représentation de la FTBO dans le plan de Nyquist. Lorsqu'on désire travailler dans le plan de Black, cas le plus fréquent, on doit donc se servir d'un autre abaque: l'abaque de Nichols. Ce deuxième abaque est constitué de deux faisceaux de courbes, H ( jω) = Cte et

[

]

arg H ( j ω) = Cte , tracées dans le plan de Black. Ces faisceaux sont obtenus à partir de ceux de l'abaque de Hall par une transformation permettant de passer du plan complexe au plan module/phase. L'abaque de Nichols est symétrique par rapport à l'axe -180° et généralement, le point (-180°, 0dB) est pris comme origine des axes. 3.5 Utilisation des abaques. On trace sur l'abaque utilisé ou sur une feuille de papier transparente posée sur l'abaque, le lieu de transfert relatif à la FTBO G( jω) et on gradue cette courbe en fonction de ω.

[

]

Ce lieu coupe les faisceaux de courbes H ( jω) = Cte et arg H ( jω) = Cte de l'abaque. On note

[

]

alors, pour diverses valeurs de ω, les valeurs de H ( jω) et arg H ( jω) qui permettent de construire point à point les courbes de gain et de phase du système en boucle fermée. Remarque: lorsque le système asservi est mis en série avec une autre fonction de transfert: cas de :

+

X

A

-

Y

B transformé en :

X

+

-

G = A.B

1/B

Y

La fonction de transfert de l'ensemble est obtenue dans le plan de Bode, en effectuant simplement la différence entre les courbes de gain et de phase de H(p) et de B(p).

4. Introduction de perturbations. En pratique, la plupart des systèmes sont victimes de perturbations. Pour étudier l'influence de ces "entrées secondaires", le principe de superposition est d'un grand secours. Pour l'analyse d'une perturbation, on considère que toutes les autres entrées sont constantes et nulles. En utilisant le théorème de superposition, le système décrit à la figure 10.3. est arrangé par l'algèbre des diagrammes afin d’obtenir les sous-systèmes de la figure 10.4.

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D X

+

e -

A1

+

+

A2

Y

Figure 10.3.

D

+

-

A2

Y

X=0 A1 X

+

-

A1.A2

Y

D=0 Figure 10.4. Finalement, dans le domaine de Laplace, l'équation de sortie du système est : A1.A2 A1. A2 1 Y ( p) = X ( p) + D( p ) 1 + A1. A2 1 + A1. A2 A1 ou en simplifiant :

Y ( p ) = X ( p ).H a ( p ) + D( p ).H r ( p )

H r ( p ) est la fonction de transfert du système en mode régulateur : le système doit faire face aux seules perturbations. H a ( p ) est la fonction de transfert du système en mode asservissement.

5. Les paramètres d’un second ordre dominant La notion de second ordre dominant a été brièvement abordée dans le chapitre 8. Dans les cas courants assez simples, pour les systèmes d’ordre supérieur à deux, on peut définir un système du second ordre (K, ξ , ωn ) dont le comportement est assez proche du système réel. Nous donnons ici la technique pour calculer les paramètres du second ordre équivalent. •

•

Le bouclage conserve l’ordre d’un système. N ( p) G( p ) N ( p) On a G( p ) = donc H ( p ) = = . D( p ) 1 + G( p ) N + D( p ) L’ordre du système est le degré de son dénominateur. Puisque le degré de N est au plus égal à celui de D, il est clair que H et G ont le même ordre. Considérons le système de la figure 10.5 de FTBO G1 ( j ω) d’ordre supérieur à deux. La phase de G1 ( j ω) pour les hautes fréquences dépasse 180° (en valeur absolue).

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H ( j ω) en BF est également d’ordre supérieur à deux. Cependant, pour les fréquences

moyennes H ( j ω) présente un résonance comparable à celle d’un second ordre. On peut donc

définir un second ordre équivalent au système de fonction de transfert G1 ( j ω) dont les paramètres sont K, ξ et ωn . K apparaît en dB pour ω = 0 . ξ est déterminé par le facteur de résonance Mp déduit sur l’abaque de Black-Nichols : M p = H (ωR ) − H (0) . ωR est la pulsation de résonance correspondant au maximum du module de la FTBF H ( jω) . Le module de la FTBO G( jω) est alors tangent au contour H ωn est déterminé par ωn =

ωR 1 − 2ξ 2

max

pour la valeur ωR de ω.

. Dans ce cas, ωn ne coï ncide pas tout à fait avec la valeur

de ω donnant un argument de 90° à H ( j ω) . L’objectif de l’automatique consiste à corriger G( j ω) afin d’obtenir pour H ( j ω) décrit par un modèle du second ordre équivalent : § une valeur de ξ conduisant à une stabilité acceptable, § une valeur de ωn qui améliore le temps de réponse, § une bonne précision (gain statique unité).

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ANNEXE 2 TABLE DES TRANSFORMÉES DE LAPLACE À l’USAGE DES AUTOMATICIENS ET ELECTRONICIENS

1 Transformations usuelles - fonctions continues Toutes les fonctions du temps s’entendent multipliées par l’échelon unité u(t). Autrement dit, toutes les fonctions sont causales. f(t) δ(t ) δ ( n) ( t ) A

F(p) 1 n p n>0 A p A p2 A pn 1 1 + Tp 1 p(1 + Tp) 1 2 p (1 + Tp)

A.t t n−1 n entier n ≥ 1 ( n − 1)! 1 −t / T e T 1 − e − t /T t − T + Te − t / T

(

)

1 e − t / T1 − e − t / T2 T1 − T2 1 1− T1 e − t / T1 − T2 e − t / T2 T1 − T2 1 t − (T1 + T2 ) − T 2 e − t / T2 − T12 e − t / T1 T1 − T2 2

(

1 (1 + T1 p)(1 + T2 p) 1 p(1 + T1 p)(1 + T2 p) 1 2 p (1 + T1 p )(1 + T2 p)

)

(

)

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1 T − t )e − t / T 3 ( T 1 −t / T e T2 t 1 −  1 +  e − t / T  T

p

(1 + Tp) 2 1

(1 + Tp) 2 1 p(1 + Tp) 1

t − 2T + ( t + 2T )e − t / T

(

ωn2 1− ξ

θ = π - ArcCos ξ ωn 1− ξ

2

1−

2

)

(

. e −ξω nt . Sin ωn 1 − ξ2 t

1 1− ξ

2

(

)

0 < ξ b 2 :

1 p + 2ap + b 2 2

 p1 = − a + a 2 − b 2 avec   p 2 = −a − a 2 − b 2 si a 2 = b2 : te − at 1 si a 2 < b 2 : e − at Sinωt avec ω = b 2 − a 2 ω si a 2 > b2 :

1 1  1 1   p1t − p2 t  2 + b p1 − p2  e e 

(p

1

2

+ 2ap + b 2 )

 p1 = −a + a 2 − b 2 avec   p2 = −a − a 2 − b2 1 si a 2 = b 2 : 2 (1 − e −at − ate −at ) a  e − at  2 2 1 si a < b : 2  1 − ( aSinωt + ωCosωt ) b  ω  =

 1  be − at Sin(ωt + ϕ ) 2 1 − b  ω 

avec ω = b2 − a 2

et t gϕ =

ω a

1 bt e sin at a

1

( p − b)

2

( p − b)

2

+ a2 p−b

e bt Cos at

+ a2

1 p − a2 p 2 p − a2 1

1 Sh at a Ch at

2

1 bt e Sh at a

( p − b)

2

( p − b)

2

− a2 p−b

e bt Ch at e bt − e at b−a bt be − ae at b−a − at ( c − a ) e − ( c − b) e − bt b−a

− a2

1

( p − a )( p − b) p

( p − a )( p − b) p+c ( p + a )( p + b) - 71 -

2

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e − at e − bt e − ctt + + ( b − a )( c − a ) ( a − b )( c − b) ( a − c)( b − c) Sin at − at Cos at 2 a3

1 ( p + a )( p + b)( p + c) 1

1 t Sin at 2a Sin at + at Cos at 2a 1 Cos at − at Sin at 2

2

(p

2

(p

2

(p

2

(p

2

+ a2) p + a2) p2 + a2) p3

+ a2) p2 − a2

t Cos at

avec

(p

Sin ix = + i sh x Cos ix = ch x

formules en

+ a2)

2

2

2

2

2

1 changer a en ia p − a 2' 2

 eat / 2  3 3  3Sin at − Cos at + e− 3at / 2  2 3a  2 2 

1 p +a3

 eat / 2  3 3  Cos at + 3Sin at − e− 3at / 2  3a  2 2 

p p +a3

1  at 3   e + 2e − at / 2 Cos at  3 2 

p2 p3 − a 3

3

3

e −bt − e − at

1 p+a +

2( b − a ) πt 3 2 e − a /4t πt a 2 e − a /4t 3 2 πt 1 − bt ( e − e − at ) t

e−a

p +b p

p e

−a p

 p + a ln   p + b

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2 Transformations usuelles - fonctions discontinues f(t)

F(p) 1  ap  th  p 2

f(t) 1

0

t

a

2a

3a

4a

5a

6a

-1 ∞

f ( t ) = u ( t ) + 2 ∑ ( − 1) t ( t − ka) k

k =1

1  ap   2 Th  2 ap

f(t) 1

0

t

a

2a

3a

4a

5a

6a

1 1 −ap − ape − ap ) 2 (1− e ap 1 − e − ap

f(t) 1

0

t

a f (t ) =

2a ∞

3a

4a

5a

6a

∑ a [ u( t − ka) − u( t − ( k + 1) a) ] t

k=0

- 73 -