Automatique_1_Signaux_et_systèmes_continus_et_échantillonnés

L'ouvrage (niveau B): L'automatisation des ~stemes ou processus industriels passe prealable· ment par Ia connaissance de leurs comportements. Cet ouvrage definit ces systemes, en donne one modelisation, puis etudie leurs reactions selon qu'ils soot commandes par des signaux continus ou des signaux discrets. L'expose est illustre d'exemples concrets et complete par des exercices resolus et un cboix de problemes de syntbese avec leur solution. L'auteur: Michel Villain, Maitre de Conferences, enseigne depuis de nombreuses annees l'Automatique en JUT, en licence d'lngenierie Electrique et dans Ia fi/iere MCI du CNAM. II a ere chef du departement Genie Electrique et lnformatique industrielle de l'IUT de Brest et il dirige depuis 1994/e departement Maintenance industrielle de"/' JUT de Rennes · Saint-Malo.

Illustration de couverture : Dessin de Leonard de Vinci.

AUTOMATIQUE 1

Signaux et systeffies continus et echantillonnes Michel VILLAIN ...'

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ISBN 2- 7298-5651-X

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Lrrn®mm®fSOOrP Les FILIERES TECHNOLOG_IQUES des ENSEIGNEMENTS SUPERIEUR$

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AUTOMATIQUE 1 For tunisia-sat by dali 200821

Signaux et systemes 0-B\oiCJ continus et echantillonnes \JI.L

Michel VILLAIN Maitre de Conferences I{JT de Rennes Saint-Malo

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DA.."'S LA MEME COLLECTION :

• Dimensionnement des strucwres. Resistance des matiriaux, Claude Cheze, 224 p. • Systemes asservis lineaires. Automatique 2. Michel Villain, 224 p.

PREFACE

Michel VILLAIN a acquis une experience importante dans l'enseignement de l'automatique aupres d'etudiants d'IUT au departement Genie Electrique et lnformatique lndustrielle a Brest, puis au departement Maintenance lndustrielle a Rennes - Saint-Malo, ainsi qu'aupres d'auditeurs de Ia filiere MCI du Centre Rennais Associe au CNAM, sans oublier les filieres universitaires de I'EEA. II devenait done nature! que sa contribution pedagogique puisse atteindre un public plus large. Ce premier tome consacre aux " signaux et systemes continus et echantillonnes "• qui trouvera une suite avec " des systemes asservis lineaires "• complete l'offre d'ouvrages traitant de ces differents domaines. Progressivite, pragmatisme et rigueur sont des mots cles qui s'imposent lorsqu'on veut transmettre son savoir et son savoir faire. J'ai trouve ces qualites dans cet ouvrage, dont !'auteur m'a fait l'honneur de me demander d'ecrire Ia preface.

La progressivite permet a des etudiants d'aborder cette discipline avec un minimum de prerequis: les notions principales sur les signaux et les systemes rencontres sont precisees en des termes simples. et les principaux outils mathematiques proposes en prealable. Le lecteur peut alors aborder les systemes lineaires du premier ordre, puis du second ordre et enfin d'un ordre quelconque. · De meme Ia presentation des systemes lineaires echantillonnes fondamentaux n'est faite qu'apres une introduction suffisamment exhaustive des systemes! echantillonnes. . L'outil mathematique est manie avec rigueur, mais sans surabondance: il est; Ia pour justifier les methodes ou les solutions adoptees. II contribue ainsi au· pragmatisme dont fait preuve !'auteur, au meme titre que les nombreux exemples. cites dans le developpement et dans les nombreux exercices corriges qui illustrent: chacun des huit chapitres et des 7 problemas proposes en synthase en fin. d'ouvrage. Ce livre, suffisamment documents pour etre autosuffisant est done tout a fait. adapte aux besoins des etudiants des formations technologiques specialises au niveau bac+2, IUT ou BTS, mais aussi aux etudiants de licence ou d'ecoles d'lngenieurs, et aux auditeurs de formation continue, notamment ceux de Ia filierEt Mesures et Contr61es Industrials du CNAM. ISBN 2-7298-5651-X © ellipses I edition marketing S.A., 1996 32 rue Bargue, Paris (15•~

La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alineas 2 et 3 de !'Article 41, d'une part, que les • copies ou reproductions strictement reserv~ a I' usage prive du copiste et non destinees a une utilisation collective )), et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute representation ou reproduction i.ntfgrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ... (A linea ler de

I'Artide40). Cette representation ou reproduction, par quelque procede que ce soit, sans autorisation de rMiteur ou du Centre franc;ais d'Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris), constituerait done une contrefac;on sanctionnee par les Articles 425 et suivants du Code penal.

Bertrand FORTIN Professeur des Universitas Universite de Rennes 1 IUT Rennes.

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE I ·SIGNAUX ET SYSTEMES 1 • Notion de signal 1-1 Grandeur physique 1-2 Signal 1-3 Description d'un signal par une fonction 2 • Signaux fondamentaux 2-1 Signaux-Tests analogiques 2-2 Signaux a temps discret 3 • Notions de systeme 3-1 Definition 3-2 Signaux d'entree- signaux de sortie 3-3 Systemes monovariables 4 • Outils matbematiques necessaires Exercices CHAPITRE 2 ·QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMES 1 •Transformee cissoidale 1-1 Definition 1-2 Proprietes 1-3 Application 2 •Transformee de Laplace 2-1 Definition 2-2 Proprietes 2-3 Theoremes 3 • Transformee en z 3-1 Definition 3-2 Proprietes 3-3 Transformee en z inverse 3-4 Transformee en z modifiee Exercices CHAPITRE 3 · MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS 1 • Comportement d'un systeme dynamique 1-1 Solution de l'E.S.S.M. 1-2 Solution particuliere de l'E.A.S.M. 1-3 Conclusion 2 • Fonction de transfert 2-1 Definition 2-2 Fonction de transfert d'un moteur acourant continu

11 11

11 12 12 14 14 16 17 17 18 19 22 23

29 29 29 29

31 31 31 33

35 37 37

38 40 41 43 49

49 50 51 51 52 52

53

I'

8

TABLE DES MA TIERES

2-3 Forme canonique d'une fonction de transfert 3 • Modele de commande 3-1 Essais harmoniques 3-2 Essais temporels 3-3 Conclusion Exercices CHAPITRE 4 · SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU PREMIER ORDRE

a

1 ·Processus constante de temfl'l 1-1 Definition 1-2 Exemples 1-3 Analyse temporelle 1-4 Analyse harmonique 1-5 Relation temps-frequence 2- Processus integrateur 2-1 Definition 2-2 Exemples 2-3 Analyse temporelle 2-4 Analyse harmonique Exercices

75 76 76 76

77 79 81 82 82 82 83 83 84

89

CHAPITRE 5 - SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU SECOND ORDRE 1 - Definition 2 - Exemples 2-1 Circuit RLC 2-2 Moteur CC avec sa charge 2-3 Amortisseur d' automobile (Forme approchee) 3 • Analyse Temporelle 3-1 Reponse Impulsionnelle 3-2 Reponse en vitesse 3-3 Reponse Indicielle 3-4 Temps de reponse d'un systeme du second ordre 4 • Analyse Harmonique 4-1 Etude du gain 4-2 Etude du dephasage 5 - Conclusion Exercices

89 90 90 90 91 92 93 93 95 98 99 I 00 102 102 I 03

CHAPITRE 6 -SYSTEMES CONTINUS D'ORDRE QUELCONQUE

111

1- Systemes d'ordre superieur a deux 1-1 Notion de p()le dominant 1-2 Regimes dominants 1-3 Influence d'un zero 1-4 Conclusion 2 -Influence des retards 2-1 Definition 2-2 Fonction de transfert d'un element a retard

I

59 60 . 60 62 67 67

Ill Ill Ill 114 115

116 116 117

l I

~

Table des matieres

2-3 Presence d'un retard dans un processus 2-4 Linearisation d'un retard Exercices CHAPITRE 7- INDRODUCTION AUX SYSTEMES ECHANTILLONNES 1 - Signal Echantillonne 1-l Definitions l-2 Echantillonneur ideal 1-3 Echantillonnage reel l-4 Transformee de Laplace d'un signal echantillonne reel 1-5 Choix de Ia frequence d'echantillonnage 1-6 Modelisation de Ia transformee de Laplace d'un signal echantillonne 1-7 Reconstitution d'un signal echantillonne 2 - Systeme echantillonne 2-1 Definitions 2-2 Fonction de transfert echantillonnee 2-3 Application 3 - Synthese d'une fonction de transfert en Z 3-1 Mise en evidence de !'equation recurrente 3-2 Expression de Ia fonction de transfert 3-3 Cas d'un systeme quelconque Exercices

CHAPITRE 8 - SYSTEMES LINEAIRES ECHANTILLONNES FONDAMENTAUX

1 - Choix de Ia periode d'echantillonnage 1-1 Considerations pratiques 1-2 Application a un premier ordre 1-3 Application du second ordre 1-4 Exemples de choix 2 - Modele mathematique des systemes echantillonnes 2-1 Forme generale 2-2 Forme generale avec integrateur 2-3 Modele echantillonne du premier ordre 2-4 Modele echantillone du second ordre Exercices CHAPITRE 9 • PROBLEMES RESOLUS 1 - Essais d'un moteur acourant continu en charge 2- Commande d'un radar 3 - Modelisation et comportement d'un reservoir 4- Modelisation d'une enceinte thermique 5 -Approche d'une boucle de regulation 6 - Essai de modelisation experimentale 7- Comportement d'un systeme echantillonne du second ordre

117 118 120

127 127 127 127 128 129 130 134 134 136 136 137 140 141 141 143 144 145

151 152 152 152 152 153 153 153 155 156 158 166 171 171 174 175 178 180 183 185

CHAPITRE 1

[

SIGNAUXETSYSTEMES

I

1· NOTION DE SIGNAL 1·1 GRANDEUR PHYSIQUE Une grandeur physique est une entite dont Ia valeur peut varier et qui est susceptible d'etre mesuree (temperature, pression, debit, vitesse, courant, etc ... ). Tout systeme physique communique avec l'exterieur grace a des grandeurs physiques. Prenons l'exemple d'un four electrique :

Figure 1.1 ·Four electrique Pour atteindre Ia temperature T, nous devons produire une energie calorifique Q suffisante. Celle-ci peut etre produite par effet Joule ( Q R.i 2 .t)

=

En faisant varier i, no us faisons varier Q done Ia temperature T. Vu de l'exterieur, le four communique avec l'experimentateur grace ii deux grandeurs physiques :

+ une grandeur physique d'entree (le courant i).

+ une grandeur physique de sortie (Ia temperature

n.

~ Figure 1.2- Schemafonctionnel d'unfour electrique

ce que nous pouvons symboliser sous Ia forme d'un schema fonctionnel (figure 1.2).

D'une maniere plus generale, un systeme physique communique avec l'exterieur par Ia biais: • de grandeurs physiques d'entree ei,

+ de grandeurs physiques de sortie Sj

12

I . SIGNAUX ET SYSTEMES

r

e,

s,

~

Systeme

e,

s2

s,

Figure 1.3- Schemafonctionnel d'un systeme physique

13

I. Notion de signal

Le signal de temperature dans le four est alors une fonction T telle qu'a toute valeur de t corresponde une valeur T(t): t

~

T(t)

La variable temps test une variable reelle continue, T(t) est un nombre reel. Un signal analogique est sou vent appele signal continu. ~

f,f

1-32 SIGNAL ECHANTILLONNE

1-2 SIGNAL Un signal represente !'aspect mesurable de Ia variation d'une grandeur physique. La notion de signal est d'ailleurs ancienne (signaux lumineux, signaux de fumee, etc ... ) et ces exemples nous montrent simplement qu'un signal nous avertit d'un evenement .

Pour apprehender plus facilement cette notion, nous observons periodiquement Ia temperature dans le four. Si celle-ci est prise toutes les heures, alors T( 1), T(2), T(3), ... sont des nombres qui mesurent cette temperature.

Un sigrud est done porteurd'in(ormation(s).

1

T

o

o

~?.

o Ooo?

Un capteur traduit Ia variation d'une grandeur physique en un signal :

+ + + +

--~--------~----~----~--.~ t

thermometre pour Ia temperature,

012345678

barometre pour Ia pression atmospherique, hygrometre pour l'humidite, etc ....

Un signal est done lie au temps car il traduit Ia variation de Ia grandeur physique en fonction du temps. En physique on ne s'interesse qu'au temps t ~ 0 alors qu'en mathematiques, on peut definir des temps t e ]-oo, + oo [.

Figure 1.5 Signal echantillonne Le temps est en fait represente par des instants, c'est a dire des valeurs discretes t I• t2····· et si ces instants sont regulierement espaces (t • = kt::. avec k e N+), alors a tout k correspondra une valeur T(k/1):

k

Un signal defini pour I ~ 0 et nul pour t < 0 est appele signal causal. En fin, un signal peut etre aleatoire ou certain (deterministe) selon que le hasard intervient ou non dans sa generation. En automatique, on ne s'interessera qu'aux signaux certains et causaux.

~

Un signal echantillonne est encore appele signal

T(kt::.)

a temps discret.

1-33 SIGNAL NUMERIQUE

Le passage du signal analogique au signal numerique s' effectue en deux temps:

+ on echantillonne le signal analogique (on discretise l'echelle des temps); 1-3 DESCRIPTION D'UN SIGNAL PAR UNE FONCTION Un signal, puisqu'il est porteur d'informations et qu'il depend du temps peut done etre represente par une fonction. Suivant Ia fa~on dont on va utiliser le temps et !'amplitude du signal, celui-ci pourra se presenter sous plusieurs formes.

+ on discretise ensuite l'echelle des valeurs du signal, c'est a dire que cette echelle est divisee en intervalles auxquels on attribue une valeur numerique: c'est Ia notion de quantification.

T

1-31 SIGNAL ANALOGIQUE

Un signal est analogique s'il prend ses valeurs dans un ensemble continu :

1

o o o

-+--o---o----------·---·--c___•__ 0

_.~

t

l?l45678

Figure 1.6- Signal numerique L'exemple le plus courant est celui des signaux delivres par un convertisseur analogiquenumerique et traires ensuite par un ordinateur.

Figure 1. 4 • Signal analogique

'

II

La courbe obtenue en joignant les points du signal numerique est appelee signal analogique reconstruit. Mais rien ne dit que celui-ci suive reellement le signal analogique initial (cf exercice 5 en fin de chapitre). II faut en a voir conscience et savoir estimer cette difference.

14

15

2. Signaux fondamentaux

I . SIGNAUX ET SYSTE:WES

2- SIGNAUX FONDAMENTAUX

1

t

'V

U

Les signaux que nous allons definir main tenant sont importants car les reponses des systemes physiques ces signaux sont porteuses d'informations qui permettent, ensuite, de modeliser ces systemes. Nous les appellerons encore signaux-tests.

a

.,

A

2-1 SIGNAUX-TESTS ANALOGIQUES

Figure I.IO • Linearisation de !'echelon unite

2-11 RAMPE UNITE r(t)

En fait u 1(t) n'est pas plus simple. C'est meme un signal non lineaire.

v

Definition:

r(t)={~

r•

si t < 0 (causalite ) sit> 0

La pente de Ia droite exprime Ia vitesse de variation de Ia grandeur r. C'est pour cela qu'on appelle souvent Ia rarnpe unitaire echelon de vitesse.

0'

2-13

IMPULSION UNITE o(t) (IMPULSION DE DIRAC)

Derivons Ia fonction u 1(t) definie dans le paragraphe precedent. On voit tout de suite que:

.. t

du - ' = 0 pour t !'> 0 et t ~ A dt du1 l =- pour t e ]o,A( dt A

J

Figure I.7 • Rampe unite

l

0

A

t

Figure I. II • Derivee de u I(t)

2-12 ECHELON UNITE u(t) (FONCI'ION DE HEA VISIDE)

On obtient done une impulsion OJ(!) de larDefinition:

u(t) =

ut

0 si t < 0 (causalite ) {I

geur £let d'amplitude -

A

l

sit >0

u(t) est done Ia derivee (discontinue a l'origine) de r(t). Elle n'est pas definie al'origine (t = 0) ce qu'on transcrit par uco-) = 0 et u(O+) =I.

-

Nous constatons que cette impulsion a une aire egale a I quelque soit A. En effet :

O'

J =1 f-- o,(r)dr =iAOA-dr

t

Figure I.8 • Echelon unite L'image physique de ce signal est !'application d'une tension d'un inverseur K.

l

a un circuit par l'intermediaire

Si on fait tendre A vers 0, Ia largeur de cette impulsion tend vers 0 alors que son amplitude tend vers l'infini. A Ia limite, l'integrale de cette fonction devrait etre nulle, or elle ne l'est pas puisqu'elle vaut I. (t), appelee impulsion de Dirac, n'est pas une fonction mais une distribution.

'VA

&tll

o

K

lvt ~.

~

-~~

~

0--,

. ·u !

L'impulsion de Dirac est dite unitaire, non parce que son amplitude est I, mais par ce que son aire (ou son poids) est egale a l.

~

On demontre qu'une impulsion breve peut etre approcbee du point de vue de ses effets par une impulsion de Dirac.

Figure I.9 • Generation d'un echelon d'amplitude IV L'interrupteur n'etant pas parfait, il existe un court instant £l durant lequel Ia tension u n'a 11ucune valeur: elle subit une discontinuite. On pourrait done etre tente de "lineariser" le signal diiiContinu u(t) par le signal UJ(!) (figure 1.10).

..

Figure I./2 -Impulsion de Dirac

..1,

~:

0 •.

2-14

SIGNAL HARMONIQUE OU SINUSOIDAL

Le signal harmonique est tres employe en electronique car il permet de determiner Ia reponse en frequence d'un systeme (ou reponse harmonique). II en est de meme en Automatique. Le signal harmonique a un caractere non causal, car deceler une a vance ou un retard de phase Aq> ne signifie rien a priori. Cela peut signifier± Aq> a21m pres.

j ,,I

3. Notions de systeme

I. SIGNAUX £T SYSTEMES

2-22 SIGNAUX-TESTS ECHANTILLONNES

l·Z SIGNAUX A TEMPS DISCRET

On va retrouver les signaux de base continus, mais cette fois echantillonnes.

2·21 NOTION D'ECHANTILLONNAGE

a) Rampe unitaire echantillonnee r*(t)

Considerons le montage de Ia figure I - 13.

~

bien, on constate qu'il es"t constitue de Ia somme de deux signaux elementaires x 1 '(t) = Au(t) et x 1"(t) = -Au(t- T):

Dans ces conditions, hormis les systemes presentant des non linearites essentielles (plus ou moins par exemple), tous les systemes usuels sont linearisables autour de leur point de fonctionnement.

x, x',

A

6

4- OUTILS MA THEMA TIQUES NECESSAIRES

x", Tous les systemes que nous etudierons dans ce cours seront done consideres comme causaux, lineaires et invariants. La plupart seront dynamiques, done pourront etre decrits par une equation differentielle. L'excitation de ces systemes s'effectuera grace aux signaux-tests decrits au paragraphe 2. Les systemes vont deformer ces signaux et !'obtention des signaux de sortie demandera systematiquement Ia resolution de !'equation differentielle, resolution facile pour les equa-

Done

x,(t) = A[u(t)-u(t-T)]

De Ia meme maniere. on peut ecrire que

X 2 (t)

= A[u(t- T)- u(t- T- ~)]

I'

24

r

1. S1G:-IAUX ET SYSTEMES

I

1.2

~A

De Ia meme maniere qu'a l'exercice 1.1. ~xprimer les signaux suivants sous Ia forme d'une somme de signaux elementair=.

.,...-----

~4J

3a 2a a t

I

ol

d

M

3d

"

J< ,

25

l(l)b

Exercices

...

) \

I

A ,.,

•

I

\

Q'CI lntegrale d'un signal Soit le signal analogique suivant :

s --oOo--

10 ......_ _ __,

"

A

A

t=O

~

~

Onatoutdesuite x 3 (t)=aL,u(t-M) et x 4 (: =-r(t)--r(t-~).

-~

I

I

I

.u.

I

..

X

-5

[If] Soient 2 signaux analogiques decrits par les fc ~~::tions :

x, t

()

0 pour t < 0

={ IOOsineot

pour t

~0

Representerle signal m defini par: m(t} =

x 2 {t) = 50u(t)

+oo

-QOo--

I) Calculer puis dessiner Ia somme s(t) de ces ; gnaux. 2) Le signal s(t) excite le circuit cicontre. La diode etant consideree comme parfaite, dessiner puis exprimer le courant i(t) dans Ia resistance.

Ls(x)dx pour t =-2, 0. 2. 5, 10. 12, 15, 20,

D

m

S(tl~IOOQ

b

100

60

~

20

10 12

--oOo--

=

=

I) On a: s(t) x 1(t) + x 2 (t) 50u(t) + IOOsin CtK. Ce ;.511al est causal, sinuso·idal, de pulsation w, de valeur moyenne 50 et d'amplitude crete 100.

·~~·p ·:-50~ (\{\I v·t 2) Le signal i(t) est une on de sinusoldale redressee, c 'es: a dire que I' on ne garde que Ia partie positive. Celle-ci correspond a 0 :;;; WI :;;; 7rt/6 et II rt/6 :;;; wt::: 27t.

~-)

Derivee d'un signal La vitesse d'un moteur de perceuse doit suivre !'evolution cicontre.

dN Dessmer pms expnmer - . dt .

.

.

N tr/mn

1500

i r

.. ,_ 10

' 4045

'

t

26 I. SIGNAUX ET SYSTEMES

dN

27

Exercices

2) Reconstituer le signal consiste ajoindre les points du signal echantillonne.

dl On obtient:

f 0 =1Hz

dN - = 150u(t)-150u(t-I0)-300u(t-40)+300u(t-45) dt

f 0 =2Hz

~ fo=5Hz.

v· £'\ v· Q v·

40 45 Ol

10

~fo=3Hz

-300

I

t.6

fo=8Hz

\7"

I

A f 0 =4Hz

Soit un signal sinusoidal v(r) =IOsinC 0 et nulle pour t < 0. Soit p une variable complexe. On appelle tr~nsformee de Laplace de f(t), Ia fonction de Ia variable complexe notee F(p) telle que:

F(p)=£[!(1)]= re-P'f(t)dt

Figure 2.1- Fonction retardee L'existence de F(p) suppose bien siir que l'integrale converge. Cette transformation est bijective; f(t) est dite transfonnee inverse ou originale de F(p):

Ecrivons les transfonnees respectives de x 1 (t) et x 2 (t):

X, =XM X,= X e-jmT -

f(t) =£-'[F(p)]

M

Done X 2 = X,e·jmT, ce qui signifie qu'un retard est un dephasage pur.

Exemple: calcul de Ia transfonnee de f(t) = e·at

f

lI '

On a tout de suite: F(p) =

J,-o e-pr e-"'dt = J,-o e-rdt = -p+a -1-[e·r 1- = - l Jo p+a

Le tableau de Ia page suivante donne Ia liste des transfonnees de Laplace utilisees usuellement en Automatique.

.,/'

32

l · QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX KT SYSTKMES

1. Transformce de Lapla~e

33

2-2 PROPRIETES

1

f(t)

pour t>O

.,,._

F(p)

2-21 LINEARITE O{t)

l

1

l

Si f(t) et g(t) ont des transformees de Laplace, alors:

-

£[af(t)]=aF(p)

p

£[af (t) +bg(t)

1

t

7

t

n-1

'

( n -1)!

e

2-22 APPLICATION: RECHERCHE DE L'ORIGINALE

1

-p"

On se place dans le cas oil F(p) est une fraction rationnelle dont le degre du numerateur est inferieur ou ega! ii celui du denominateur.

A- Methode Generate

-1-

-at

p+a

t.e -at

co scot

J=aF(p) +bG(p)

On recherche les zeros (racines reelles du numerateur) et les pI.

avec K ..

=k... fl>

E(p)

= K ... !l(p)

C.. (p) = K ... I.(p)

I

V. (p) = (R. + L.p).l. (p) + E(p)

dont on tire !'expression du couple moteur:

n

soit encore :

Ic.. =k... fl>.I.I Pour une machine ideale, l'integralite de ce couple va servir sur l'axe du moteur. En fait, il y a toujours des pertes:

C,.(p)

a entrainer Ia charge couplee

Si le flux est constant, le couple de pertes ne depend plus que de Ia vitesse et en pratique ne depasse pas quelques % du couple Cm. D'autre part, en Automatique, on tient compte d'une partie de ce couple dans I'expression du couple resistant du a Ia charge; on peut done ecrire Ia relation suivante:

=em- cp

=

K.. + L p Va (p)

n

(7)

+ pertes fer (hysteresis et courant de Foucault) qui croissent avec Ia vitesse et le flux, + pertes mecaniques (frottement, ventilation) qui croissent avec Ia vitesse.

cuti/e

C"" de f.e.m

Passons en transformee de Laplace. On obtient le systeme de 3 equations:

que. Cette puissance, qu'on appelle electromagnetique, donne naissance au couple electromagnetique Cm tel que:

c.. = P,

k ... fl> ....

On peut egalement prendre un moteur a aimant permanent ce qui regie le probleme de !'excitation (pas d'alimentation annexe). Dans ces conditions les deux lois fondamentales s'ecrivent:

4

Or:

+ P.

=c.. -C,

I

2

V.I.= R.I. + L.I. dl. + EI. dt

·a

a

K

2

R. +"'L.p Q(p)

D'apres cette relation, on voit qu'un moteur CC, commande par induit, est en fait constitue d'un moteur ideal qui produit uncouple C ... (p) d'un terme uniquement dii et proportionnel Ia vitesse ( cf. figure 3-6 ).

=

K

"'

R. + L.p

V.(p) independant de Ia vitesse et

a Ia vitesse (frottement visqueux), ce couple stabilisant

em Cmo

=em= km.fl>.Ia

Le couple utile d'un moteur a excitation independante est proportionnel au courant de rel!lage (courant d'induit) et au flux inducteur. 2-22 PROCEDES DE COMMANDE D'UN MOTEUR CC

Le moteur a courant continu est tres souvent utilise en asservissement. II va assurer en particulier des demarrages et des arrets frequents. On trouvera deux types fondamentaux de commande:

~

n

Do Figure 3.6- Caractiristique micanique du pilotage par induit

57

2. Fonction de transfer! 3. MODELISATION DES SYSTEMES OYNAMIQL"ES LINEAIRES CONTINt:S

56

La caracteristique mecanique a done !'allure suivante : Le schema fonctionnel du moteur CC pilote par induit est alors le suivant:

Ie 3

K. V,(p

Cm

C.(p)

R, +L,p

le 2

Ie 1 Q(p) {I

0

Figure 3. 7 - Schema fonctionnel du moteur CC piloti par induit

Figure 3.9 - Caractiristique micanique du pilotage par inducteur

8- Commande par inducteur Le courant d'induit est maintenu constant. Le flux va done varier puisqu'il est proportionnel au courant inducteur. Toutefois on remarque que pour des valeurs fortes de ce courant on sa-

et son schema fonctionnel se reduit a :

lure Ia machine. On a deux solutions : • on travaille a faible courant ce qui limite !'utilisation ;

V,(P)

• on utilise des circuits magnetiques de forte section ce qui permet de reculer plus loin le coude de saturation mais augmente Ia taille des moteurs.

I II

K~-1

•C.(p)

R, +L,p

Figure 3.10- Schemafonctionnel du moteur CC pilote par inducteur On constate que Ia caracteristique mecanique ne comporte pas de frottement visqueux. II faudra done stabiliser Ia vitesse autrement sous peine d'emballement. Ce type de commande sera tres peu utilise en Automatique.

q, Dans Ia zone lineaire, Ia courbe est une droite de pente tg6. Done on peut ecrire:

Saturation

cf>

2-23 MOTEUR CC AVEC CHARGE

=tg6.Ie

La charge est generalement couplee au moteur par un reducteur :

d'ou:

em= kmcf>I. = kml_tg8.1, = K,.I,

e

r.

I

avec

Rotor ~_ill]""

K, = k,,I_tg8 = e"'

~1-E

Figure 3.8 - Flux inducteur D'autre part

V.. = R,. I, + L,. ~;

et en passant par Ia transformee de Laplace, il vient:

em

• n : rapport de reduction • 1 : inertie d'une partie toumante

• f: coefficient de frottement visqueux

(p) = K,.I,(p)

Reducteur

{V,(p) = (R, +L,p)l,(p)

Figure 3.11 - Liaison par riducteur

= -n 1 • Si on suppose les frottements et Ies jeux nuls dans Ie reducteur, alors toute Ia puisQl sance mecanique instantanee appliquee a l'arbre d'entree du reducteur se retrouve sur l'arbre de

soit:

em(p)

On a n

~V,(p)

R +L,p '

sortie, soit :

c,.n, = e .nz 2

(8)

C 1 est ici Ie couple moteur Cm, C2 est Ie couple disponible sur l'arbre de sortie pour entrainer Ia charge. Le couple moteur Cm doit equilibrer !'ensemble des couples resistants. L'equation de Ia mecanique appliquee aux systemes toumants s'ecrit :

..r

--·l: 2. Fonction de transfert

3. MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS

58

avec

dil

= 1dtL Cmur =f .il + C,

C.,- L,cmisr

59 C,(p)

(9)

.Q(p)

+ f.Q represente les frottements visqueux et Cr les frottements sees, + fest le coefficient de frottement visqueux de !'ensemble moteur + charge, + J est l'inertie de !'ensemble moteur +charge. Pour avoir les expressions de J et f, on va d'abord rarnener Ia charge sur l'arbre moteur.

il 1

D'apres (8) Cch = Cchram -

il2

Or

Figure 3.13 - Moteur CC pilote par induil

= nCch..,.

Lorsqu'il est commande par induit, le moteur possede une contre- reaction interne.

dil2 dil2 1 dill cch = Jch --+ fchil2 et --=-.--. dt dt n n n.rchrom

D'ou

= Jch n

2-25 CONCLUSIONS- MODELE DE CONNAISSANCE

_ Jch dil 1 + fc; .il 1 _dill+ fch .ill ou encore rchrom- n2. dt n dt n

L'elaboration du schema fonctionnel precedent s'est effectuee le modele de connaissance. physiques du systeme. On obtient done

Pour obtenir Ia fonction de transfer! de !'ensemble, on va supposer schema de Ia figure 3-13, on peut ecrire:

En remplac;ant dans (9), il vient:

c - f il - k i l - c = J dill + Jch dill "' ' I n2 I ' ' dt n2 dt

C.,- C, = (1,

so it

En posant: J,q

= 1, + 1c; n

et J,q

a partir

C,.(p) =

+~c; y~~ +(!, +~c; )il1

et il(p)

rm(p)

p.J,q + feq

n

des equations

C = 0. A partir du

K2 R. +'"z..P il(p)

K '"z. V.(P) a+ aP

ce qui entraine que C., (p) = il(p)[pl,q

+ f eq]. En eliminant le couple

entre ces deux equations, il vient:

= /, + fc;, on obtient finalement: n

il(pl(p.J,q+!,qJ=

ill(p) C,.(p)-C,(p)

K.,

D

+ L.p

V.(p)

K.,2 !l(p) R + L.p

et enfin:

p.J,q+!,q

il(p)

K.,

v:JP} = K~ +(R. + L.p)(J,q + l,qP)

La charge apparait done comme une boite noire (cf figure 3-12).

il(p)

Cm(P)

2-3 FORME CANONIQUE D'UNE FONCTION DE TRANSFERT La fonction de transfer! d'un systeme n'est utilisable que si on fait apparaitre les racines des polynomes Ia composant.

C,(p) Figure 3.12- Schernafonctionnel de /'ensemble mecanique rotor+ charge

b F(p)= o+blp+ ....+b,.p'" a +a o 1p+ ....+a • p"

2-24 SCHEMA FONCTIONNEL DU MOTEUR CC COUPLE A SA CHARGE

b +bp+....+....!!!.p"' o ho a1 o 1+a p" p+ ....+_!!_

b

1 bl

= ao

ao

Comrne nous l'avons dit precedemrnent, on n'utilise que Ia comrnande par induit. L'ensemble de Ia figure 3.12 vient completer Ia figure 3.7.

ao

,, ~

60

3. Modele de commande

3. MODELISA TION DF.S SYSTEMES DYNAMIQUES LJNEAJRES CONTISl"S

a•. (jco)" .S11 .e" +....+a 1 .jco.S M.e 10 +a0 .S M.e 10 =b0 • EM +b1 .jco. EM +....+b,.(jco)"'. EM

fl(1+r,p) F(p)

soit:

=K

k

TI (1 + r J=l

1

i=l '

1 p)TI J=l

61

(1 +a 1 p+b1 p 2 )

soit S M.e • .[a•. (jco)" +....+a 1 .(jco) + a0 J=EM .[bo + b1 .(jco)+....+b.,.(jco)"' J

avec n = k+ 21

ou encore:

SMe 1- = b0 +b1 (jco)+ ....+b.,(jco)"' EM a0 + a 1 (jco)+ ....+a. (jco)"

b

K = F(O) = ..11.. s'appelle gain statique du systeme. Ce n'est pas forcement un nombre

ao sans dimension. Les ti et tj sont les constantes de temps du systeme. Enfin, les termes du second ordre doivent etre laisses ainsi, s'ils ne sont pas decomposables.

On voit tout de suite que le terme de droite de cette relation represente Ia fonction de transfert du systeme lineaire dans laquelle on a fait p =jw. Dans le terme de gauche on retrouve le

Une constante de temps rend compte de Ia dynamique d'un systerne. Plus celle·ci est faible, plus celui-ci est rapide.

rapport des amplitudes -M.., done le gain du systeme. et le dephasage cjl pour une valeur w precise.

s

EM

-- s

Posons F (j CO)

3- MODELE DE COMMANDE

.

=___g_ e ,_. EM

On appelle lieu de transfert Ia representation de F en

fonction de w. Cette de notion n'est pas inconnue puisque les electroniciens l'appellent n!ponse en frequence (diagramme de Bode).

L'ecriture du modele de connaissance est aisee sur des systernes simples que !'on connait bien. Elle !'est beaucoup moins sur des systemes compliques. Sur un processus deja existant, de structure complexe et mal connue, elle devient impossible et l'ingenieur automaticien ne s'y risque pas. Comment alors trouver une loi s = f(e) qui rende compte le mieux possible du comportement dynamique d'un systeme ?

Trois representations du lieu de transfert sont principalement utilisees : a) Representation de Bode

Ce problerne ne peut etre resolu que par des essais experirnentaux et a partir de connaissances a priori (catalogue de reponses-types par exemple). C'est ce qu'on appelle identification d'un processus. Un chapitre sera necessaire pour aborder ce problerne. mais il est possible d'approcher intuitivement cette phase.

On trace Gdb semi-logarithmique.

= 20Jog(/F(jco)/J

et = Arg[ F(jco)] en fonction de w dans un plan

b) Representation de Nvquist

En effet, nous avons defini dans le chapitre I un certain nombre de signaux-tests. L'experimentation s'effectuera a !'aide de ces signaux. Les reponses seront comparees a des reponses-types et on aura une bonne idee du modele du processus.

On trace F(jm) dans le plan complexe. Le lieu est gradue en A tout Wi correspond:

w sinon il n'a aucune valeur.

On va trouver deux formes d'essais experimentaux qui conduiront d'ailleurs aux memes resultats :

r

• les essais harmoniques, Chaque point M, du lieu est defini

• les essais temporels. par:

3-1 ESSAIS HARMONIQUES

(1)=0

OM, =/FUm,)/ Si on applique un signal sinusoidal a un systeme lineaire, on sait (cf definition) que Ia n!ponse est sinusoi"dale. On montre egalement qu'une fois les transitoires eteints, c'est-a-dire, une fois le regime permanent atteint, Ia sortie est sinusoi"dale, de meme pulsation que le signal d'entree, mais d'amplitude et de phase differentes.

{ , = Arg[ F()co,) J

(1),

Supposons e(t)= EM sin cot et s(t)=SMsin((I)(+I/J). Appliquons Ia transformee cisso"idale aces deux grandeurs. II vient:

Rappelons que !'operation de derivation correspond a une multiplication par jw et appliquons cette procedure a !'equation generale d'un systeme lineaire. II vient :

&!I

4

t

ew *::••1Zflil412

; : 1r:::-;;;;,..-......;...

...

•• , •• ~ ..... m;;;

""''" .....

44

(I) I

Figure 3.14. Representation de Nyquist

e(t)=EM et s(t)=SMe 1~

JS\\14l

Re

$

iio

3. MOOELISATION DES SYSTEMES OYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS

62

3. Modele de commande

63

3-22 REPONSE EN VITESSE

c) Representation de Black

Elle permet de savoir si un systeme suit bien une entree evolutive. GdB

lt'

.I

/

Avec Ia precedente, c'est certainement Ia plus utilisee pai les automaticiens. En fait c'est Ia representation de Bode mais transcrite dans un seul plan, le plan (GdB· $), $ etant portee en abscisse et GdB en ordonnee. Ut encore, le lieu doit etre

.. ell

gradue en co et oriente, sinon il n'a aucune valeur.

s

s

r I

) System e suiveur

(03

0

Systeme ne suivant pas

Figure 3.18- Reponses en vitesse possibles 3-23 REPONSE INDICIELLE

Figure 3.15 ·Representation de Black

3-2 ESSAIS TEMPORELS Le pa~agraphe I a mis en evidence que tout systeme lineaire repond a une excitation pa! un regime transitoire et un regime permanent. Alors que les essais ha~moniques ne font pas appaiaitre le regime transitoire, il n'en est pas de meme pour les essais temporels: impulsion, echelon et rampe. Chacun d'eux va mettre en evidence un certain nombre de pa~ametres .

De ces trois outils de test, c'est certainement Ie plus interessant du point de vue resultat, mais aussi le plus facile a realiser pai l'automaticien (ouverture ou fermeture d'une vanne, interrupteur... ) En observant Ia sortie, on a tout de suite une idee du comportement dynamique du systeme.

a) Reponse indicielle La reponse d'un systeme a un echelon-unite s'appelle reponse indicielle ou unitaire.

3-21. REPONSE IMPULSIONNELLE

L'impulsion permettra de connaitre Ia stabilite du systeme. Pa~ exemple, prenons le systeme suivant :

~o:_2

x

~

Si nous donnons une impulsion a Ia bille celle-ci reviendra au bout d'un moment a sa position d'equilibre. Son deplacement dans le temps peut etre decrit comme l'indique Ia figure 3.17.

Figure 3.16- Essai impulsionnel sur une bille

.

X

JJ e

o

:to

.

.

. .....

'.iAe t

s

~

sr·

I As s ~

Impulsion

...................

.' t

t

0

Figure 3.19- Reponse indicielle Dans un premier temps. il est facile d'evaluer le gain statique:

IG =~~

0

b) Formes (ondamentales des reponses indicielles Figure 3.17- Reponse impulsionnelle d'un systeme stable Si l'evolution du systeme ne s'effectue pas de cette maniere, c'est que celui-ci est naturellement instable.

Sur les figures 3-20 et 3.21, on remarque, qu'apres I' instant d'application de l'echelon, Ia sortie tend vers une valeur d'equilibre Sf au bout d'un "temps plus ou moins long". Cette notion Caiacterise Ia dynamique de Ia reponse. Voici quelques reponses-types:

3.

64

Ces trois formes de reponses caracterisent des systemes naturellement stables. Par contre, on peut aussi observer Ia reponse suivante :

+ Rcponse exponentielle

~

.

'

-

-

.

-

65

3. Modele de commande

~to DELISA TION_ DES SYSTEMES DYSA:>IIQI:ES LINEAl RES CONTI:-ii:S

~

...

-------

. -

~

£-.-.-.-. -. .

• . . . . . . . . ; . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

s1t

k

Reponse exponentielle

~

.C~A·Z\z =

~~

to

0

Figure 3.20 - Reponse indicielle de type exponentiel



t

t

Figure 3.22 - Oscillations enJretenues Une reponse exponentielle est Ia caracteristique d'un systeme du premier ordre. La derivee l'origine de !'excitation est differente de zero.

+ Reponses a derivee a l'origine nulle

Les systemes presentant des oscillations entretenues en reponse a une excitation sont dits iustables. Enfin, on peut observer les formes precedentes mais decalees par rapport a !'instant d'application de !'echelon :

iI

!

Elles sont Ia caracteristique de systemes d'ordres superieurs a un. e

a

\

i

·z . I......................

I

t0

SJt

r····__

······~···~·

D sl········L= :

\

Reponse aperiodique

:to

' ~~

---~1 Retard pur

-

~~

t0

~

/

Figure 3.23 -Mise en evidence d'un retard pur Reponse oscillatoire am artie

En fait, le demarrage de Ia reponse S n'intervient qu'un temps tR =t1 -to apres !'echelon. Ce decalage est appele retard pur ou temps mort. Les retards purs vont compliquer Ia tache des automaticiens car ils reduisent Ia stabilite et Ia precision.

'

t0 c) Temps de montee, temps de reponse

Figure 3.21 - Reponses indicielles a derivee a l'origine nulle

''

ii

_,.,..,,,.._,~·~

---

J

Le temps de montee est un element de reponse bien connu des electroniciens puisqu'il contribue a donner une indication sur Ia bande passante d'un systeme done de sa rapidite. II est evalue comme etant le temps mis pour passer de 10% a90% de Ia valeur finale.

66

Ex ere ices

3. MOD ELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS

67 e•

Jd

_j

; . . . . . . .

.. t

. £, "

::~'1

•t

S.t.

to

z=c'"'''"" to:

tR

te;ps de m~ lm

tern ps de mon tee

temps de rcponse tr

Figure 3.24 • lnadaptation du temps de montee de l'electronicien

Figure 3.26 • Mise en evidence du temps de reponse

Pour l'automaticien, ce temps de montee n'est pas tres interessant car il n'a que peu d'interet pour evaluer Ia rapidite de reponse d'un systeme a un echelon. Dans le cas de Ia figure 3.24, on doit tenir compte d'un retard pur ignore par Ia notion de temps de montee.

L'interet de tr est qu'il tient aussi bien compte des temps de retard que des sur-oscillations. Pour mesurer Ia vitesse de reaction d'un processus en poursuite on utilise aussi le temps de rnontee des automaticiens (0 a 90% ou 100% de Ia valeur finale) qui tient compte aussi des retards.

Prenons un autre exemple:

~

. ·.

'"~I

-

3.3 CONCLUSION

--

..

.. t

···z= -

- - - - - - - . -

. -

- -

.

. . . . ; . . . . · .· .· .·,.· .· .· .· ..· .· .· .· .· .· .· .·

to

Essais harmoniques et temporels vont nous permettre d'arriver aux memes resultats, comme nous le verrons par Ia suite. Seules leurs conditions d'emploi changeront: tout dependra des conditions experimentales et du temps reserve a cette experimentation. Dans tous Ies cas, on aboutira a un modele de commande suffisarnrnent proche du modele de connaissance. Les chapitres suivants vont nous perrnettre de decrire les modi:les de connaissance usuels et de mettre en evidence leurs reponses aux signaux-tests.

------

.

10%

t

'a

tR

.4

.. t

EXERCICES

"

temps de montee

l2T]

Figure 3.25 ·Autre inadaptation

Soit un dip61e D alimente par une tension v(t) et parcouru par un courant i(t). Exprimer

lei, le temps de montee tm ne nous donne qu'une pietre idee du temps mis pour atteindre le regime permanent. Les automaticiens lui preferent le temps de reponse, temps separant l'instant d'application de !'echelon et l'arrivee en regime permanent avec une tolerance de± 5%.

sa fonction de transfert F(p) = V(p) lorsque D est: une resistance R, une inductance l(p) L, une capacite C.

-oOo--

... ''"~"'"*''""~'f'f!·~·-

Exercices

3. MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEA IRES CONTINUS

68

Puisque l'amplificateur est ideal, le courant dans !'entree- de l'amplificateur est nul et Ia tension On peut done ecrirt! (loi des sur cette entree est egalement nulle.

Si i(t) est le courant instantane dans le dipele D, alors on peut ecrire:

v noeuds):-L+

+ v(t) = Ri(t) si D est une resistance, d"

+

R2

v( t) = L_!_ si D est une inductance,

dt

+

v( t)

69

v'

R 1 + 1/Cp

v +-L=O. R3

II vient alors:

J

= ~ idt si D est un condensateur.

V,(p) =-R3 1+(R1 +R2 )Cp V,(p) R2 1+R1Cp

En supposant les conditions initiales nulles, il vient tout de suite:

F1(p) = R

F2 (p)= Lp

I

FJ(p)

= Cp

[ i4-] Representer dans les plans de BODE, BLACK et NYQUIST, !'allure des Iieux de transfert de:

Qi-1

jm,

1

I

, . Ce Soit le systeme de fonction de transfert: F(p) = S(p) = E(p) 1 + 0,08p + 0,01p"

jm

1 1 + j-rm , 1 + j-rm

-Oo-

systeme est attaque par un echelon unite. Donner !'expression de s(t). Voir Ia solution page suivante.

~o-

1

r3.TJ

I

Comme E(p) =-, il vient S(p) = 2 • p p(l + 0,08p + O,Oip )

A partir du catalogue de reponses defini precedemment, donner I'allure dans le plan de Bode des lieux de transfert de:

8 On decompose ensuite S(p) en elements simples: S(p)=_!_p+2 , ce qui conduit p (p+4) +84 enfin

F; (jm) =

a: s(t)

CI"f I

. F.2 ( jm)= .

=1- 1,09e-4' cos(9,17t- 23°6)

K

avec '< 1 < '< 2

.

avec '< 1 < 't" 2 pUis

(1 + j-r 1m)(l + jr 2m)

K

.

J't" 1m(1 + J't" 2m)

't" 2

< '< 1

-Oo-

Calculer Ia fonction de transfert du reseau suivant dans lequel I' amp\ificateur operationnel est considere comme parfait (impedance d'entree infinie, impedance de sortie nulle, gain et bande passante infinis).

Les lieux resultants correspondent aux sommes algebriques point vus a Ia question precedente.

{~~}. b.

-Oo-

'1~,.

a point des

lieux elementaires

I

I I

Exercices

3. MOD ELISA TION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS

70

~

'~'' J~:". =2~

0~

0~ 00

G

T

1==·

l~ '

~-~

20~&_K _

••

(I)

J.,;...·

- . j201o&IC.

l+'t'2P

.... -

=10 K.Q, C =4 f.IF etC,= I f.IF. Calculer les constantes de temps t1 et t2 du

3) On envoie

a!'entree de ce circuit un echelon d'amplitude 10 volts .

a) Tracer v(t) pour t= 0, 50, 100, 150, 200, 250 ms.

woO

b) Que! est le temps de reponse de ce systeme ?

GtJI

l

1mb t . ~

·----~

:~~~·(1)

2) On a R systeme.

•

4) On effectue maintenant des essais en regime harmonique. a) Tracer dans le plan de Bode, le lieu de transfert H(jro) pour ro = 0, 10, 20, 40, 50, 80, I 00, 150, 200 rd/s.

I

. ll' ' ' '"t .,.

b) Faire le meme travail mais dans Ie plan de Nyquist.

I ... ~

5) Le signal e(t) est produit par une generatrice a courant continu, travaillant constant et dont I'induit a une resistance Ra et une inductance negligeable.

Rc

c,

0

_ _,..,._ _ (I)

01-''··. : ... '..c' osr: ]Jg;

v(t)

C puis exprimer H(p) sous Ia forme: H(p) = __!j}!_.

ol_, · .. · .

e(t)

1) Calculer Ia fonction de transfert H(p) = V(p) de ce circuit en fonction de R, C et 1 E(p)

tG

~12

• .

-

l..o

R•

lmll_···P""

Ill

.....

,

""'

I

-

( l+j't(J)

-~

0

G

~

~

c,

.

.,._

~

t ro

~

On considere le circuit diviseur suivant:

lim ... -

II<

[3T]

BLACK

I

NYQUIST

BODE

71

•

a flux

ct •

.------JII-~--,----.

tG

n~

~

7T -~ )

I

·~

Si on admet que toute Ia puissance mecanique appliquee sur l'arbre de Ia generatrice est transformee en puissance electrique:

'

a) Exprimer Ia fonction de transfert F(p) = V(p) en fonction de R, Ra, C, Q(p) CJ et Km ( constante de f.e.m.).

Solution de l'exerctce J.«

1

b) Si Km = 0,8 m.N.A" et Ra forme F(p) = K

p

2

= 100 n, montrer que F(p) peut s'ecrire sous Ia

dans Iaquelle on exprimera K,

1+.3£p+L {t)

n

{1)2 n

--QOo---

j..

~ et %·

J.

72 l)

= l+R(C+Ct)P RCtP E(p)

V(p)

~IODELISA TION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LVoiEAIRES CONTISI:S

C).7-J donc-r, =RC, et t"z =R(C+C,).

V(p)

0,1 1+005 et v(t) • p

\l forme non lineaire (par exemple ..[;, s" , sin(s) , ln(s). etc ... Avant d'appliquer Ia transformee de Laplace, il est done necessaire de lineariser cette equation differentielle. Pour cela, on va travailler autour d'un point de fonctionnement Mo (So,eo) et on va considerer de petites variations autour du point M 0 .

v E(p)=lO,

Comme

done

p

= 2e-20t .

Ce circuit est dit derivateur. Le temps de reponse est atteint lorsqu' on entre dans le canal des 5% autour de Ia valeur finale. Dans notre cas, ce canal correspond a 2x5% = 0,1 autour de Ia valeur 0. Done t,.= lSOms.

'I

o.q .. ·... "i"., 0

50

100

!50

.. 200

0

t(ms)

250

d. eo

n existe

plusieurs methodes de linearisation, nous en proposons une tres simple a I' occasion de cet exercice. On va exploiter Ia formule de Taylor tiree elle-meme de Ia formule des accroissements finis. Soit une fonction f:

_(J)

4) En regime harrnonique Ia fonction de transfert s'ecrit:

JH (j (J)) = _J.QQ_ . L' exercice 3.4 nous

- continue sur I' intervalle (a, a + h],

. (J) 1+J-

- derivable a I' ordre n+ I sur

20

h h2 h" h"+l f(a +h)= f(a)+- f'(a)+-f"(a)+ ....+-f le processus a constante de temps ou processus du 1er ordre; => le processus en 1/p qu'on appelle integrateur, car diviser par p Ia transformee de Laplace d'une fonction f revient a prendre Ia transformee de l'integrale de f. Ce processus est aussi du premier ordre; => le processus du second ordre. Les processus du second ordre feront !'objet du chapitre 5. Nous etudierons ici les processus constante de temps et les integrateurs.

. . ..-· .---· . -.., .

iQ£4

•••

a

1521

J

4. SYSTE!'>IES LINEAl RES CONTINUS m; PREMIER ORDRE

76

I. Processus

a constante de temps 77

1- PROCESSUS A CONSTANTE DE TEMPS

1-23 'fHERMOMETRE A MERCURE

1-1 DEFINITION

Considerons un thermometre, de capacite calorifique C et dont l'enveloppe a une resistance thermique RTH· Ce thermometre est plonge dans un bain de temperature TE. On lit Ia temperature Ts sur l'echelle graduee.

Un systeme a constante de temps est regi par une equation differentielle du premier ordre coefficients constants de Ia forme:

a

ds

-r-+s(t) = Ke(t) dt

Un flux de chaleur Q (analogue a un courant electrique) va s'echanger entre le liquide et le thermometre (if n'y a pas de flux si TE =Ts). Ce flux doit chauffer l'enveloppe (resistance thermique) avant d'atteindre le mercure et le chauffer.

Ts

A conditions initiates sont nulles, Ia transformee de Laplace des deux membres donne -rpS(p) + S(p) KE(p) et Ia fonction de transfert d'un systeme du premier ordre s'ecrit :

I

=

S(p) -~ F(p) = E(p)- 1+ -rp

TE

Figure 4.2 - Thermometre amercure Nous pouvons ecrire:

Dans cette expression, K est le gain statique et 't Ia constante de temps.

Remarque : "Conditions initiaJes nulles" signifie que le systeme part du repos ou de son point de fonctionnement. Done a !'instant t = 0, le systeme est en regime permanent. Cette remarque est valable pour toute Ia suite de ce cours.

+ d'une part, que Q.RTH = TE - Ts ( perte dans l'enveloppe) .On montre que RTH = ljs.h oils est Ia surface de l'enveloppe et h le coefficient de transmission de chaleur;

dT + et d'autre part que Q =C-' dt

1-2 EXEMPLES

dT, TE- T, dT De ce fait: C - = - et RTHC-' + T, dt RTH dt

1-21 CIRCUIT RC

,l~js I

I

On a e(t)

= Ri(t) + s(t) et s(t) =~ Jidt

. 1·c) t d .ou

= c.-ds

. et pour term mer:

dt

ds

RC- + s(t)

Figure 4.1- Circuit RC

dt

F(p)= Ts(P) _ TE (p)

=TE done: 1

-I+iP

avec

1-31 REPONSE INDICIELLE

=e(t)

a !'entree un echelon unite done

Le condensateur etant decharge (conditions initiates nulles), le passage en transformee de Laplace permet d'ecrire Ia fonction de transfert du circuit:

K S(p) = - p(l+-rp)

Apres decomposition en elements simples, on obtient: S(p) = avec

't

P s(t) =

.. so it

C.,(p) F(p) = V (p)

'

=____£_

1+-rp avec

K

=

'

V, (p)

R,+L,p K

K=~

R,

K(_!_ ___l_·-) et done:

=RC

1-22 MOTEUR A CC COMMANDE PAR INDUCTEUR

On avait ecrit (chapitre 3 paragraphe 2-22): C., (p)

= RrnC

1-3 ANALYSE TEMPORELLE

On applique

S(p) -~ F(p)= E(p) -1+-rp

't

=- - 'KL R(1+_!_p)

' L

et 1"=_!_

R,

R,

Tra~ons !'evolution de par:

p+t;r

K(t- e-t!r)

s(t) dans le temps (figure 4.3). Nous caracteriserons le regime transitoire

• le temps de reponse : Ia valeur finale (regime permanent) etant K, au bout d'une constante de temps, on est au 2/3 environ de celle-ci (63%); on voit tout de suite que le temps de reponse (± 5% de Ia valeur finale) est:

rta

---------··

78

4. SYSTEMES LINEAIRES COlloTI!'iUS OU PREMIER ORORE

s(t) K

1. Processus

aconstante de temps

79

La figure 4.5 nous donne I' evolution de cette reponse. On voit tout de suite que, si K est different de I, Ia sortie ne suit pas !'entree. On dit qu'elle "traine". L'ecart s'agrandit regulierement eta Ia limite devient infini.

0.95K 0.86K

Conclusion: Un systeme du premier ordre ne suit pas en vitesse.

0,6JK

s(t)

4t

31:

2t

't

Figure 4.3 • Riponse indicieUe d'un premier ordre t

le temps de montie: Ia reponse etant monotone croissante, nous definissons le temps de montee comme Ie temps mis pour que celle-ci atteigne 90% de Ia valeur finale, ce que nous ecrivons sous Ia forme 0,9K = K(I- e-•./r) d'ou e·•./r = 0,1 et done:

~- tm =2,3~

ldentirrcation d'un processus inconnu

on evalue t, et on en deduit T =

t

on obtient gain statique K par :

1-33 REPONSE IMPULSIONNELLE

:l·.······ ,

t

...!... •

3

s,

As K=-=-=S1 de I

3"t

Figure 4.5 - Riponse en vitesse d'un premier ordre

--1~----------------~1

A partird'un essai indiciel: t

I

e,

Application:

"t

-K

C'est Ia reponse a une impulsion de Dirac O(t). Comme E(p)

2t

Jt

S(p) =

( K . et done: T p+I/T

s( t)

La reponse impulsionnelle est encore une impulsion. Sa largeur (calculee au tiers de sa hauteur) est t. La valeur residuelle au bout de 3t est 5%.

K/1: T

=I alors

4t

Figure 4.4 • Identification d'un 1er ordre I ntiret de Ia constante de temps 't

Elle foumit une indication sur le comportement du systeme: t

si test petite, alors tr est faible et Ie systeme est rapide ;

t

plus t est elevee, plus Ie systeme est lent.

Conclusion: Un systane du premier ordre est done stable.

3t

Figure 4.6 • Riponse impulsionnelle d'un premier ordre

1-4 ANALYSE HARMONIQUE

1·32 REPONSE EN VITESSE

OnacettefoisE(p)=~.D'ouS(p)= p

ls(t)

2

K

p (I+lp)

S(p)=K(~-!_+_T_)et:

=K{t- T + Te-rfr)~

p

p

p+l/t

On envoie sur !'entree du systeme un signal harmonique. Faisons p = jw dans Ia fonction de transfert, il vient: :

K _K_ F(jw) = I+ jTW - I+ j !!!._ (l)c

avec

I

(l)c=~

80

4. SYSTEMES LINEAIRES CO!Ioll;o.ilJS OU PREMIER ORORE

K

C'est un nombre complexe dont le module (gain statique) est !F(jm~

2

~l+m /m/

et

I. Processus il constante de temps

81

Im Pour arg{F(jw)j =-45°.

I' argument (phase) est: Arg[ F(jm)] =-Arctan~

(!)

=

(!),

= 1/ 'r

alors

m,

On obtient ainsi un moyen simple de mesurer de Ia constante de temps 1:.

A- Representations de Bode et de Black 2£0C

Le gain est exprime en dB soit G = 20Iog(IF(jroj). Bode exprime separement le gain et Ia phase en fonetion de c.o, alors que Black trace Ie lieu dans Ie plan [G, ct>], ee qui impose de le graduer en c.o et de l'orienter. G

.

2DlocKf20iogK·l . . . . .

-~·2Dd8/dec

I I

~00

l .

I

"l

_:-.~ --rr/2

·OO

·-·-·-·-·-·

Figure 4.9 - Representation de Nyquist

1-5 RELATION TEMPS-FREQUENCE

r

G Le comportement dynamique d'un systeme a constante de temps est entierement deerit par sa constante de temps 1:. Cette dynamique est aussi appele espace frequentiel puisque w c = Ij r et done:

201ogK 201ogK·3

kc 2~'r~



0

·45'

=

Conclusions:

Figure 4.8- Representation d'un premier ordre dans le plan de Black

Figure

roc

t

un systeme rapide est un systeme qui a une bande passante large (faible constante de temps).

t

un systeme lent a une bande passante etroite.

t d'autre part, un systeme du Ier ordre est aussi un filtre passe-bas. To us les signaux

a

d'entree de pulsations superieures C.Oc ne seront done pas transmis. Par exemple un enregistreur de frequenee de coupure 2Hz ne peut pas enregistrer des signaux de frequences I OHz.

Le syste

c· Pour eette pulsation, le gain vaut alors 20logK-3 soil

, done BP = fc.

Conclusion : un systeme du premier ordre est un ffitre passe-bas.

Application : On desire enregistrer des signaux carres dont le temps de montee est de 0,21J.S. Pour cela, on utilise un oscilloscope dont Ia fonetion de transfer! est assimilable a un premier ordre. Quelle doit etre sa bande passante? Nous avons eerit (paragraphe 1-31) que t, = 2,3-r = 0,2.10-6 s ee qui impose soit f, = 1,83MHz.

~

r

= 0,09.10-6 s

Visiblement si les signaux ont une frequenee superieure a 2 MHz, !'oscilloscope ne peut pas repondre: en fait, on mesurera le temps de montee de celui-ci.

B- Representation de Nyquist

Remargue:

C'est le lieu de l'extremite du vecteur image du nombre complexe F(jc.o).

Les produits tmfc ou t,.fc sont constants: (.1)

0

C.Oc/2

C.Oe

2 C.Oc

00

I H(jro) I

K

0,89K

0,7Q7K

0,44K

0

0

0

-26°5

-45°

-63°5

-90°

On obti ~nt un demi cercle de rayon K/2, centre en (K/2,0). En effet tous Ies points, extremites du vecteur image, verifient bien I' equation de ce cercle: x 2 + / - Kx = 0

t,J, = 0,36 { tJ, = 0,47 et done independants de Ia constante de temps 1:.

82

4. SYSTEMES LINEA! RES CONTI NUS DU PREMIER ORDRE

2. Processus integrateur

83

Dans ces conditions:

2- PROCESSUS INTEGRA TEUR

e =e _ns =-1

--L

n

2-1 DEFINITION C'est un cas particulier du systeme du premier ordre. II est regi par !'equation differentielle:

les

conditions

initiales

sont

nulles,

n,. n

np

2-3 ANALYSE TEMPORELLE

ds f - = Ke(t) dt Si

___!_

2-31 REPONSE IMPULSIONNELLE

sa

transformee

de

Laplace

s'ecrit

: f{JS(p) = KE(p) et dans ces conditions, Ia fonction de transfert du processus integrateur s'ecrit:

On applique

s(t)

a !'entree une impulsion

Kl't,_ _ _ _ _ __

K unit6.d'oii: S(p) = - et:

S(p) _!,_ F(p) = E(p)- tp

f.p

ls(t) = ~ tl

2-2 EXEMPLES

I

II

Figure 4.13 - Riponse impulsionnelle d'un integroteur

2-21 CONDENSATEUR PUR

Par definition v

=~ Jidt done si le

condensateur n'est pas charge:

La reponse impulsionnelle est un echelon. Le systeme ne revient pas a son etat de repos. L'intigrateur pur est done un element destabilisateur. On dit encore qu'il est asymptotiquement stable. 2-32 REPONSE INDICIELLE

V(p)

-=l(p)

Figure 4.10

Cp

Comme E(p)

=.!. on obtient S(p) = ~ d'ou: p

f.p

ls(r) = ~ rl

2-22 POSITION ANGULAIRE D'UN AXE

Un axe est entraine a Ia vitesse angulaire 0 et entraine le curseur d'un potentiometre.

a

La relation entre deplacement angulaire 8 et

.

VJtesse

,.... u

,....

d8 . est: >L = - so1t O(p) = p9(p) ou dt

La reponse a un echelon est une rampe. Le regime permanent tend vers l'infini. C'est Ia confirmation de l'instabilite.

encore

Figure4.11

~"'---.__K/'t 0

El(p) =Q(p) p

Application: Un moteur entraine par l'intermediaire d'un reducteur de rapport n une charge constituee par un radar de poursuite. Ex primer !'angle d'azimut Ss du radar en fonction de Ia vitesse n du moteur. On a le schema suivant:

4R~ucteur

~

s(t)i

Figure 4.14- Riponse a un echelon

2-4 ANALYSE HARMONIQUE On fait p =jro dans Ia fonction de transfert: F(jw) =--/!:--;on obtient done: jfOJ

I

Us [JHti~~~e-u~-1

jF(jw)j =_!.__ et Arg[F(jw)]=

0s

f(J)

_!£ 2

'•

ro=v~

I

ol

gime permanent s1(t)

.. 't 1 alors p0 est le plus proche de l'origine: c'est ['element du premier ordre qui est dominant, • inversement, si

t 2 >'to

c'est le deuxieme ordre qui est dominant.

~ 6. SYSTEMF.S CONTINt:S O"ORORE Ql;ELCONQl"E

114

I. Systcmcs d"orurc superieur it ucux

115

B· Systeme non decomposable 1 II suffit de placer - - par rapport a-~COn: 'fo

1 est place entre -~COn et l'origine, c'est Ie premier ordre qui est dominant, • si - 'fo

• si - 1 >

,m.,

le regime dominant est celui impose par Ie deuxieme ordre.

'fo

Figure 6. 7 • Influence du zero sur Ia riponse indicielle

Dans tousles cas de figure. I' element suppJementaire du premier ordre ralentit le systeme. s(t)

• On voit tout de suite que le systeme repond plus vite. On dit qu'il est plus "nerveux". La pente a l'origine n'est plus nulle et vaut Kt0 ffin2.

,(sans Po

• Inversement, si IZo I> Ip2 l alors ('influence du zero est negligeable.

K 'avecpo

1-32 DEVXIEME ORDRE NON DECOMPOSABLE

0

Figure 6.5 -Influence d'un pole du premier ordre

On a cette fois F(p) = Kr 0 m.

2

1-31 DEUXIEME ORDRE DECOMPOSABLE

La fonction de transfert peut se mettre sous Ia forme:

Im 2

K(1+T 0 p)

(l+r 1p)(1+r 2 p) avec

zo=--

p,

= -m.(' -~)

Kr 0 m. (p-z 0 ) (p- p,)(p- Pz)

P2 = -m.(' +~)

'fo

• Si

P1 0 · · · ·

12{) I< IPt I< IPll. Ia reponse harmonique a alors I' allure suivante:

GIL"\ ~

--+ -270° lorsque m--+ oo, done le systeme est du troisieme ordre. D'autre part, on voit egalement que cl> = -90° et G--+ oo lorsque ro =0: c'est Ia caracteristique d'un integrateur. La fonction de transfert du systeme est done de Ia fonne:

G(p) =

I p(

3) Montrer que du point de vue bande passante, ce systeme se comporte comme un systeme du premier ordre de contante de temps Is. 4) Calculer le coefficient d'amortissement t;.

K _e_)(l+_e_)

+ (1)1

5) Calculer et tracer Ia reponse s(t) de ce systeme a un echelon-unite.

(I)l

6) Montrer que, sauf au voisinage de l'origine, s(t) rejoint tres rapidement Ia courbe que !'on obtiendrait avec un systeme du premier ordre de constante de temps Is.

Pour les faibles pulsations, le gain chute regulierement de 20dB par decade et vaut 0 pour ro = I, ce qui implique que les pulsations de coupure ro 1 et ffiJ soient superieures a I et que K =I. Sur le tableau de l'enonce, on va done eliminer !'influence de l'integrateur; it ne restera plus qu'a determiner les deux pulsations ro 1 et ffiJ. (I)

0,01

0,1

G'

0

0

•

0

-I

I

3

0

0

-0,5

-2

-8

-23

0.3

10

20

30

100

-I

-3.5

-9

-13,5

-33

-38

-67

-102

5

-

7) Que peut-on en conclure sur le temps de reponse des deux systemes?

-oOo-I)

-122 -173 -

-

1

Le gain valant -I pour ro = 5, cela correspond a Ia chute de gain observable pour une pulsation egale a Ia moitie de Ia pulsation de coupure (cf systeme du premier ordre, chapitre 4); done ffi1 = IOrd/s. On liCTION "tJX SYSTF.MES ECHANTILLONNES

133

I. Signal echantillonne

.,.:;

AT

Pour remedier a ce probleme on impose un filtrage passe-bas avant echantillonnage {filtre anti-repliement) qui va limiter le spectre a Ia valeur fo desiree. Ensuite on appliquera Ia condition Fe>2fo.; Cette condition constitue le theoreme de Shannon:

G abarit du filtre ....L..L..L..-L

v

f(t)

Filtre Passe-Bas

~

J rooI

I

I I

,..ro

Figure 7.9- Filtrage de j*(t) Mais cette operation n'est realisable, et on le voit sur Ia figure 7.9, que si 0>0 < Q- 0> 0 • soit 2a> < Q, ou encore si Fe est Ia frequence d'echantillonnage: 0

Lorsqu'on echantillonne un signal continu, on ne perd pas d'infonnation si la fn!quence d'echantillonnage est superieure au double de la plus haute frequence contenue dan~ le spectre de ce signal. Le theoreme de Shannon fournit une limite theorique. En pratique, on se rend compte que c'est insuffisant (cffigure 7.12).

-

F, > 2/0

~

On peut etendre cette demonstration pour un signal f(t) quelconque. On montre que le spectre d'un signal f(t) quelconque est borne (cf Transformee de Fourier) et dans ces conditions, le spectre du signal echantillonne f*(t) va etre constirue du spectre elementaire repete de part et

0

I· • . \

~----~---v

d'autre des harmoniques de 0 (figure 7.10).

A

I

0

.. f

~ . . I

rr1

Fe=4 f0

Fe= 8 fo

/~

]J\ F) ~ J.J' )\ ,' l. ' f,

II

. . . .

(\

\J

v

G)

Figure 7.10- Spectres de a) f(t) quelconque b) j*(t)

A

0

~I

IV iV

Figure 7.11 Effets de repliement

Fe"' 2 f 0

Fe"' 3 f 0

Le spectre de f*(t) est done une somme infinie de spectres eh!mentaires decales de nO. Mais si Ia condition de filtrage Fe> 2fo n'est pas respectee, il vase produire des repliements c'est a dire que certaines frequences vont se chevaucher (figure 7 .II).

Figure 7.12- Mise en evidence de Ia limite basse de Fe Fe condition:

=4

f0 ne donne pas vraiment de resultats satisfaisants. En pratique, on adopte Ia

1

5fo < - -==

T

F. < 25 fo

\

l

~ 134

7. I:>;TRODI:CTIO:>; AUX SYSTOlES ECHA:>;TILLO:>;l';ES

I. Signal echantiiJc,nnc

135

1·6 MODELISATION DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE

1·71 FONCTION DE TR-\NSFERT DU BLOQUEUR D'ORDRE 0 (BOZ) On envoie

Le choix de Ia periode d'echantillonnage realise, il est important de verifier que I'echantillonneur utilise ait un temps d'acquisition .1t faible deva~t T. Les systemes rapides actuels Ie permettent. Si cette condition est realisee alors .1t tO

__ _.,_ __.,_ __ .___ ....

'_j__J__l_J_j,__

.I

..

~,::::':: _·--+---+--......-----~---t---1---

"_"-"+'.r;.-~-~-·

I

I

.',

y

~~

T2

L-------1/ Temperature de l'air

=

CIRCUIT D'EAU

r,

L ~ . de trans.ert ~ du reservoirs ' . '.ecru. a .onctron

t

'r

6. Essai de modelisation experimentale

de 2 equations

I

2 0 n ecnt H(p) I =-. ' done Ie systeme · =Q,(p)-Q,(p) Sp P

Si on soumet le circuit d'eau a une variation brusque de temperature, !'evolution de Ia temperature de Ia gaine sera celle d'un systeme d'ordre n, n etant inconnu, associe a un retard qu'il sera difficile d'evaluer.

2

H(p) = -[Q,(p)- Q,(p)) - p

T, qui conduit

a:

T2A

Q,(p)- 0,2( H"1 (p)- H(p))

T21·

H(p)= H"t(p)- 5Q,(p) 1+2,5p 1+2,5p 5.10-' Le debit Q, est constant et ega! a 5.10-3 m'ls done Q,(p) = - - . L a hauteur de reference est

p I I lm, done H,.1 (p) =- et dans ces conditions H ( p ) = - - p p(l+2,5p) duit:

I J

25.10-) p(l+2,5p) ·On en de-

h(t) = 0,975(1- e· 2·5 P)

Attention: cette formule n'est valable qu'en regime de Iinearite de Ia vanne; si Ie niveau initial etait 0,50m, Ia vanne travaille en regime sature (ouverture maximale): le niveau evolue lineairement a raison de 3cm/s. Lorsqu'il atteint 0,9m, le regime de Ia vanne redevient lineaire et h obeit a Ia loi ci-dessus. Lorsqu'on affiche une reference de lm, on constate que le regime permanent s'etablit 0,975m. II y a done une erreur statique, par contre le niveau reste stable comparativement a Ia regulation tout ou rien.

~0

t

Dans les premiers instants qui suivent Ia sollicitation, Ia temperature n'evolue pas, puis elle commence a croitre lentement. Ce phenomene est du a deux causes:

+ l'echangeur ne comporte pas qu'une seule capacite thermique preponderante, mais plusieurs,

+ il existe des retards dus au deplacement de l'eau dans les tubes et de !'air dans Ia gaine, entre l'echangeur et l'endroit oii est mesuree Ia temperature, forcement eloigne de I' echangeur. Ces retards de transfert dependent evidemment de Ia vitesse des flu ides et des distances parcourues. Le modele de connaissance d'un tel systeme est tres complexe done tres difficile a evaluer. Brofda propose une methode qui consiste a approximer cette reponse avec un premier ordre muni d' un retard.

IM4

~

Graphiquement, cela revient a faire co·incider Ia reponse indicielle d'un systeme aperiodique d'equation:

De ( l) et (2) on tire: e

<

= 1,2 soit -t

avec Ia courbe d'equation:

D'autre part, de (2) il vient: 1-T

')

8 -t --"

't' 't'

ou encore:

7;(t)=1;0 +K(l+A1e '• +A2 e ''+ ....+A.e '•)

J;(t)=T20 +K(l-e

185

7 . Comportement d' un systeme echantillonne du second ordre

9. PROBLEMF.S R•:SOJ.US

=In 1,2

=5,5(t 8 -t")

t -T --"-=ln0,72 't'

-tA-T= --rln0,72

=>

et en rempla~ant 't par sa valeur, on obtient:

En comparant Ia reponse du premier ordre et celle de systemes d'ordre ni Bro"ida s'est aper~u que le premier ordre encadrait toujours le point d'inflexion (figure suivante) et il montre que les points d'intersection A et B sont situes respectivement a28% et40o/c de !'excursion dT2.

T=2,8tA -I,8t 8

2) Sur Ia courbe, on trouve t A = 16,2s et t 8 = 18,2s d'oii ~ et T = 12,6s.

T2

.

!lY:

2 =-=0,8 et done !li;

0,8e -12.6p

Tzl

3) On a tout de sutte k

Tzol----~

Notons au passage I' imprecision de Ia commande, puisque le regime permanent tend vers 40°C alors qu'on devrait obtenir45°C.

0

F(p)

= 1+ ll p

T

I

I} Si on appelle tA et t8 les temps correspondants aux points A et B, determiner les expressions de Ia constante de temps 't du premier ordre equivalent et du retard Ten fonction de tA et t8 . 2\ Une etude du comportement dynamique d'un systeme de chauffage d'une serre a donne les re··• :·.m suivants:

Probleme 7

I

COMPORTEMENT D'UN SYSTEME ECHANTILLONNE DU SECOND ORDRE

Soit un systeme lineaire continu du second ordre caracterise par un gain statique ega! a I, un amortissement 1;, 0,7 et une pulsation propre 00. = lrcl/s. Ce systeme est commande par un BOZ.

kmp.!rature initiale T 2o =20°C,

=

-echelon d'entree dT 1 = 25°C, - reponse de Ia sonde de temperature donnee par le tableau ci-dessous:

1) Calculer les poles et le zero de Ia fonction de transfert echantillonne de ce systeme en fonction

deT. t

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

50

T2

21

24,3

27,8

30,8

33,4

35,2

36,6

37,5

38,2

38,6

39

39,4

39,8

2) Montrer,

a partir d' exemples, que l'echantillonnage ne change pas I' amortissement.

3) Evaluer en fonction de T !'instant du premier depassement de Ia reponse

a un echelon.

4) On suppose maintenant qu'on puisse modifier Ia valeur du zero par un systeme correctif appro-

Tracer le plus precisement cette reponse sur papier millimetre et en deduire les valeurs de 't et T.

prie de maniere que Ia fonction de transfert puisse s'ecrire: 3) Evaluer le gain statique et en deduire Ia fonction de transfert du systeme.

z- z0 F(z) = KK,. (1- zo)(z-

;,Xz- z, *)

Solution 1) On a

T2 A

=T

20

(

+ !lT2 1- e

t,-T) ' =T

20

Dans cette expression, K est un coefficient tel que le gain statique soit toujours ega!

+ 0,28/lJ;

(I) (2)

Zo. + pour les valeurs de Zo suivantes: -2 , -0,6 , 0 , 0,4 , 0,6 , 0,8 calculer les vale.urs de ces

_t,.-T

soit encore:

e

et done de Ia meme maniere:

e--,- = 0,6

'

= 0,72

a 1 quelle que

soit Ia valeur du zero. Montrer !'influence de Ia position du zero sur Ia reponse du systeme a un echelon-unite. On prendra pour cela une periode d'echantillonnage T = Is puis on operera de Ia maniere suivante: + ex primer !es I0 premiers echantillons de Ia reponse a un echelon-unite en fonction de

t 1 -T

echantil!ons,

+ observer Ia forme de Ia reponse et conclure.

.. '

186

9.

PROBI.E~IES RE.~OI.l'S

Sur ce tableau. on voit apparaitre le nombre d'echantillons visualisables jusqu'au premier maximum: plus Test faible, plus ce nombre est important. Dans notre cas, il semble qu'en prenant T = Is, l'echantillonnage est suffisant pour ne pas perdre d'information importante.

Solution I) D' apres le cahier des charges, Ia fonction de transfer! du systeme continu est F(p) =

1 1+ 1,4p+ p

, . La fonction de transfer! du systeme muni de son BOZ s'ecrit alors:

4) Pour T =Is. ·on obtient F(z) =0,3K

Z-Zo

• , • h .. . S( ) reponse a un ec e1on s ecnt: z

K1·(~ -~ 1 Xz- ~1 *)

F(z) =

187

7. Comportement d'un systeme echantillonne du second ordre

2

Z-Zo

z - 0,75z + 0,25

=(1-0,5z

0)

ce qui impose K

5 3(1- Z0 )

et Ia

z(z- Z0 )

(z -l)(z 2 - 0,75z +0,25)

En effectuant Ia division polynomiale, on va obtenir Ia valeur des differents echantillons:

z- = pei8 {z1 *= pe-'8.

Dans cette expression, on a _.:

K1

p =e-o.1r p +p(0,98sin(J-cos9) ;____;_-'---------'- et { (J =0,714T' Zo = K1 2

'

S(z) =

=1- p(0,98sin(J + cos9).

~[;:- 1

+ (1,75- z0 )z-2 + (2,06-1,75z0 )z- 3 + (2,11- 2,06Zo)Z_. + (2,07- 2,1lzo)Z-s 1-z0 9 8 + (2,03- 2,07z 0 )Z-6 + (2,01- 2,03z0 )z-' + (2,01- 2,01Zo)Z- + (2,02- 2,0lz 0 )z- ]

Les differentes reponses sont donnees dans le tableau ci-dessous: 2) La periode d'echantillonnage modifie done Ia position des poles et du zero. On peut done se demander si, dans ces conditions, Ia forme de Ia n!ponse a un echelon evolue. On va pour cela rechercher pour differentes valeurs de T Ia position des poles et du zero. Le choix de Ia periode d'echantillonnage doit etre realise de maniere it respecter Ia double relation 0.25::; Tw.::; 1,25. On obtient le tableau suivant:

So

St

52

SJ

s.

~l

56

s,

Sg

Sq

Zo

-Z

0

0,17

0,64

0,95

1,06

1,07

1.05

1.03

1.03

1.03

-0,6

0

0,31

0,73

0,96

1,04

1,03

1,01

1,00

1,00

1,00

O,Z5

0,5

0,75

1.25

0

0,5

0,88

1,03

1,06

1,04

1,0Z

1,01

1,00

I

0

1,00

Tt...,)

0,7

0,6

0,5

0,83

l,IZ

1,13

1.07

l,OZ

1,01

1,00

0.4

0

1,00

0,84

0,4

1,00

p

100

zoos

I,Z5

1,19

1.08

l.OZ

1,00

1.00

51°

0

0,99

41°

0,6

0,99

31°

1,00

6

0,97

1,01

1,03

Zo

-0,66

-0,8

-0.73

-0.63

-0.55

0,8

Lorsque T augmente, on constate done que: • les poles se rapprochent de I' axe imaginaire, tout en s'ecartant de I' axe des reels, • le zero evolue en passant par un minimum, ce qui n'est pas etonnant au vu de l'abaque I du chapitre 7. On va determiner maintenant I' angle y sur l'abaque Z, it partir du positionnement des poles et du zero: on obtient:

I ~· I ~~ I : I ~~ I -~· I ~~~ I 0

0

0

T

L'angle yne varie pas, et si on se reporte sur l'abaque I, on obtient D #4,7'7c; le n!sultat est tout fait analogue it celui des systemes continus.

a

3) On travaille maintenant sur l'abaque 3 sur lequel on va determiner Ia valeur de , temps du premier maximum. Pour y = -44°, on trouve n6 = 180°, d'ou les valeurs den: T (sec)

O,Z5

0,5

0,75

I

l,Z5

6

JOO

zoos

31°

41°

51°

n

18

9

6

4,5

3,5

0

Z,5

Z,38

1,65

1,16

0,96

0,94

On con state que plus Ia valeur du zero augmente, plus le temps de montee diminue: Ia reponse est plus « nerveuse ... Par contre, en augmentant Ia valeur du zero, on engendre des depassements importants et on peut a voir une reponse oscillatoire amortie autour de Ia valeur finale; on remarque ce phenomene a partir de Zo = 0,6 .

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

- GILLE, DECAULNE et PELEGRIN- Dynamique de Ia cornmande lineaire - DUNOD - BOISSEL, COZIAN et MALEJACQ - Mathematiques pour l'Electronique et l'Electrotechnique- EDISCIENCES -FERRIER et RIVOIRE- Cours d'Automatique Tomes 1, 2 et 3- EYROLLES - VIBET - Systemes asservis lineaires continus - ELLIPSES - DORF- Modem control system- ADDISON-WESLEY -LANDAU- Identification et cornmande des systemes- HERMES -VIDAL- Aide-Memoire d' Automatique - DUNOD