Austin Concha - Diseño y Simulacion de circuitos de Molienda y Clasificacion

PREFACIO

La reducción de tamaño es una operación de gran importancia en la industria minera, la industria de energía, de la construcción y química, entre otras. En los países iberoamericanos indudablemente es la aplicación en la industria minera y del cemento la que tiene mayor relevancia. Como ejemplo, podemos indicar que en Chile la industria minera del cobre por sí sola gasta 100 millones de dólares anuales para moler 100 millones de toneladas de minerales. Si a esto se agrega la minería del fierro y la industria cementera, es fácil darse cuenta que las cifras involucradas en la operación de reducción de tamaño son gigantescas. Si se considera que la ley de los minerales de cobre es sólo del orden del 1%, la cantidad total de mineral que debe ser tratado en una planta procesadora es enorme. Por otra parte, industrias como las productoras de minerales de fierro o cemento involucran la fragmentación de grandes tonelajes de materiales. Por ello, los equipos destinados a estas operaciones son numerosos e individualmente de gran tamaño. Esto significa altos costos de inversión. Un diseño adecuado de estos equipos es de importancia fundamental si no se quiere malgastar recursos económicos siempre escasos. El gran tamaño y cantidad de equipos instalados conlleva grandes costos de operación. La conminución, operación bajo cuyo nombre genérico se incluye todas las operaciones de reducción de tamaño, esto es, la trituración y molienda, consume aproximadamente del 20 al 80% del costo total de energía para producir cobre o concentrado de fierro, y en el caso específico del cobre constituye la mitad del costo de procesamiento del mineral. Se puede comprender, entonces el gran impacto económico que la optimización del proceso de conminución traería a la industria de materias primas. A pesar de su antigüedad e importancia, y contra lo que pudiera esperarse, el conocimiento básico en conminución es precario. Falta mucho por saber respecto de la influencia de variables de operación sobre el comportamiento de los molinos de bolas y barras. Se sabe muy poco sobre los medios de molienda y del efecto de los revestimientos de molinos sobre el desgaste y la eficiencia del proceso de molienda. La aplicación de los molinos semi-autógenos se ha propagado mucho mas rápidamente que el conocimiento sobre ellos, de manera que lo que de éstos se conoce es mas cualitativo que cuantitativo. Algo similar sucede con la clasificación, donde los hidrociclones se utilizan desde hace mas de cincuenta años, sin que el mecanismo de clasificación se domine en detalle. Finalmente, los mecanismos de conminución que se aplican en los equipos actuales siguen siendo la compresión y el impacto, aunque se ha demostrado que ellos son extraordinariamente ineficientes. La importancia de la conminución ha hecho que diversas instituciones de investigación en el mundo dediquen esfuerzos a su estudio. Los principales centros se encuentran en los Estados Unidos de Norte América, Canadá, Europa, Australia, África iii

del Sur y recientemente, en Iberoamérica. Sin embargo, el volumen de esta actividad no guarda ninguna relación con el tamaño de los problemas de la industria minera de la región, requiriéndose un fuerte impulso para hacer avances sustantivos y establecer una infraestructura estable para el desarrollo de tecnología que, por un lado, oriente el esfuerzo de investigación en la dirección correcta y, por el otro, posibilite que los resultados lleguen a los usuarios finales, las empresas productoras. Las empresas de la región concentran importantes esfuerzos en la selección de equipos, optimización y automatización de la operación. No obstante, el estado del conocimiento del área exige un esfuerzo de investigación mayor, que genere pautas mas precisas de cómo efectuar la optimización. Aún así, algunos pasos se han dado en el sentido de impulsar las actividades científicas y tecnológicas en el campo de la conminución en los países iberoamericanos y en el mundo en general. En 1987, durante un Simposio de Molienda de ARMCO, la empresa de sistemas de molienda, en Viña del Mar, Chile, se creó la International Comminution Research Association, ICRA, institución con sedes en Norteamérica, Iberoamérica, Europa, Asia, Australia y Africa. ICRA tiene como objetivos promover el intercambio de ideas para orientar la investigación y difundir información especializada del campo de la conminución , para asegurar que la investigación de alto nivel en el campo sea conocida por sus miembros. Por otra parte, el Programa Ciencia y Tecnología para el Desarrollo CYTED, es un programa de cooperación científica y tecnológica creado en 1984 por iniciativa de España, cuya finalidad es fomentar la cooperación científica y tecnológica entre los 21 países miembros. Su ámbito de actuación es la investigación aplicada, el desarrollo tecnológico y la innovación y su objetivo es la obtención de resultados transferibles a los sectores productivos. En el año 1991 el CYTED aprobó la creación de la Red XIII-A, Fragmentación, cuyo objetivo es (1) promover la formación de recursos humanos de alto nivel, (2) promover la investigación científica y tecnológica, (3) promover el intercambio de información especializada y (4) promover la edición de monografías, textos didácticos y capacitación, todos en el campo de la conminución. ICRA y CYTED pretenden impulsar el desarrollo de su misión en Iberoamérica en forma coordinada y cooperativa. Como un paso en esa dirección se han propuesto editar y distribuir el libro que aquí presentamos. Este libro es el resultado de muchos años de experiencia del autor principal en docencia e investigación en el tema de la conminución, como también de una colaboración estrecha entre los autores en investigación y en la dictación de cursos de educación continuada para ingenieros de la industria minera. En las dos últimas décadas se ha acumulado un gran caudal de nuevo conocimiento científico y tecnológico en este campo, el cual se encuentra disperso en revistas especializadas y anales de congresos. El autor principal ha abordado anteriormente la tarea de reunir este material en una monografía sobre molienda publicada en idioma inglés. La presente edición quiere extender este esfuerzo a los lectores de habla hispana, incorporando nuevo material que refleja avances habidos y la colaboración de sus autores. El texto pretende ser una revisión, en profundidad, de los principios sobre los que se basan las operaciones de conminución y clasificación y su aplicación al análisis de los iv

circuitos de molienda-clasificación. En él se da énfasis a la modelación matemática, a las técnicas de análisis experimental y a la simulación de circuitos destinados al diseño y a la optimización. En el capítulo 1 se hace una introducción al campo de la conminución y se define los principales términos involucrados. El capítulo 2 está dedicado a reseñar los fundamentos de la mecánica de fractura aplicada a la ruptura de partículas de materiales frágiles. En el capítulo 3 se trata los métodos tradicionales de diseño de molinos. El capítulo 4 comienza el estudio de la cinética de la molienda y forma la base de lo tratado en los capítulos posteriores. Los ensayos de laboratorio necesarios para determinar los parámetros de molienda se describen en detalle en los capítulos 5 y 6. El comienzo del estudio de la molienda continua se realiza en el capítulo 7 donde se analiza el concepto de distribución de tiempos de residencia. En el capítulo 8 se analiza los métodos de escalamiento de resultados de molienda desde el laboratorio a la planta industrial. La clasificación se estudia en el capítulo 9 y su aplicación a circuitos de molienda se analiza en el capítulo 10. El capítulo 11 corresponde a un estudio de casos que integra todos los conocimientos vistos en los capítulos anteriores. Finalmente el capítulo 12 analiza la molienda semi-autógena, cuyo estudio ha ocupado gran parte del tiempo del autor principal en los últimos años. Son muchas personas a las que debemos agradecimiento por contribuir de una u otra forma a hacer realidad la publicación de este libro. Sin duda que entre ellos están nuestros alumnos, colegas y colaboradores. Especial agradecimiento debemos al Dr. Jorge Menacho por su interés y aporte en la discusión de varios temas, en especial del capítulo 12. Queremos agradecer a Sofía Barreneche de Austin por su asistencia en la traducción de partes del libro y a Waldo Valderrama y Paola Grandela por su enorme trabajo en la edición del libro. Finalmente debemos agradecer muy especialmente al CYTED por su aporte de recursos económicos sin los cuales habría sido imposible materializar este proyecto.

L.G. AUSTIN Y F. CONCHA A. Concepción, Chile Abril de 1994.

v

vi

INDICE

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii .

CAPITULO 1 INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE ENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA 1.1

LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2

FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3

DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS

1.4

CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS ROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS AL DIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

..................... 4

CAPITULO 2 MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAÑO 2.1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA 2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía

. . . . . . . . . . . . 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3

RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DE ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH . . . . . . . . 26 2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith . . . . . . . . . . . 28 2.3.3 Materiales Dúctiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

vii

2.4

FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5

APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA: ENERGIA DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6

DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA

2.7

CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES

2.8

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

CAPITULO 3 ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DE MOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS 3.1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2

METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BOLAS . 45 3.2.1. Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 46 ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 47 ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 50 ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 51 ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 52 3.2.2 Procedimiento de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.3 Discusión del Método de Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3

INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4

METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BARRAS 57 3.4.1 Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 58 ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 58 ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 59 ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 60 ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 60

viii

3.4.2 Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5

OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CAPITULO 4 CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS 4.1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2

HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN

4.3

FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA, O DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4

BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5

SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA

4.6

ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . 77

4.7

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

. . . . . . . . . . . . . . . . 65

. . . . 75

CAPITULO 5 INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO 5.1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2

MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS. . 84

5.3

VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LAS PARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4

VELOCIDAD DE ROTACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5

CARGA DE BOLAS Y POLVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6

DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7

DIAMETRO DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8

EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . 106

5.9

DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA . . . . . 111

5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ix

5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDA DISCONTINUA DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.13 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CAPITULO 6 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B 6.1

DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . 123

6.2

TECNICAS DE CALCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3

RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4

RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

CAPITULO 7 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA 7.1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.2

EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA . 139

7.3

MEDICION EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . 7.3.1 Trazadores utilizados en molinos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.3.2 Método experimental de inyección y medición de un trazador radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.3.3 Medición de DTR en un molino en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3.4 Medición de DTR en un molino en circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . 147 7.3.5 Medición de DTR en equipos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.4

DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.5

DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA DE MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.5.1 Mezcladores perfectos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.5.2 Un Mezclador Grande y dos Pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.5.3 Modelo de Rogers-Gardner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

x

7.5.4 Modelo de Dispersión Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.6

MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA ESTACIONARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.7

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

CAPITULO 8 ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DE BOLAS Y TRANSPORTE DE MASA 8.1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2

POTENCIA DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.2.1.Teoría

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.3

OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADO PARA MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.4

DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS . . . . . . . . . . . . . 186

8.5

DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS . . . . . . . . . . 190

8.6

CALCULOS DE CARGA BALANCEADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.7

OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS

8.8

EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.9

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

. . . . . . . . . . . . . . . . . 199

CAPITULO 9 CLASIFICACION E HIDROCICLONES 9.1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.2

PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES

9.3

CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION

9.4

. . . . . . . . . . . 208

. . . . . . . . . . . . . . . 215

9.3.1.Método 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.3.2.Método 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.3.3.Método 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

CURVAS DE PARTICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 (1) Ecuación de Rosin-Rammler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

xi

(2) Ecuación Logaritmo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 (3) Ecuación de Lynch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 (4) Ecuación Logística en ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.5

HIDROCICLONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.5.1.Variables que afectan la operación de un hidrociclón . . . . . . . . . . . . . . 226 (1) Variables de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 (2) Parámetros del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 (3) Variables de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 (4) Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclones y su incorporación a simuladores de molienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 .. Balances Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Método de Diseño y Simulación basado en el Modelo de Arterburn . . 234 Objetivo 1 : Diseño Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Objetivo 2 : Simulación de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Objetivo 3 : Simulación de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.5.3. Modelo Lynch y Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.5.4.Modelo de Plitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.6

OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.6.1. Clasificadores mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.6.2. Harneros Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.6.3. Harneros Vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.6.4. Separadores mecánicos de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.7

CLASIFICACION EN DOS ETAPAS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.8

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

CAPITULO 10 APLICACION DE LOS MODELOS A DATOS DE PLANTA 10.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.2 CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACION DE UNA PLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA: MODELOS AJUSTADOS Y REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 xii

10.3 ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDA DE UN MINERAL DE COBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.4 ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DE COBRE . . 259 10.5 ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.5.1.Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.5.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

CAPITULO 11 SIMULACIONES DE CIRCUITOS 11.1 COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOS CON EL METODO BOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 11.2 COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEÑOS DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.2.2. Caso 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

11.2.3. Caso 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.4. Caso 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.5. Caso 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11.2.6. Caso 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11.2.7. Caso 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11.2.8. Caso 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11.2.9. Caso 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.3 EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR 11.4 CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS

. . . . . . . . . . . . 295

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.4.1. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.4.2. Ejemplos Típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

xiii

CAPITULO 12 MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG) Y AUTOGENA(FAG) 12.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.2 ENSAYOS CONVENCIONALES PARA EL DISEÑO DE MOLINOS SAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.3 ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA: ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.4 PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOS SAG/FAG

326

12.4.1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 12.4.3. Autofractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION . . . . . . 337 12.5.1. Abrasión Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 12.5.2. Combinación con fractura de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURA DE ORDEN DISTINTO DEL PRIMERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.6.1 Distribución de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.6.2. Fractura rápida y lenta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA Y DENSIDAD DE LA CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DE AUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.10 MODELO DEL MOLINO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 12.10.1 Molinos de D/L grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 12.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando . . . . . . 374 12.10.4 Tratamiento de una alimentación consistente en una mezcla de dos materiales de distinta dureza. . . . . . . . . . . . . . 378 12.10.5 Procedimiento computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

xiv

12.11.1 Molino SAG: L/D = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.12 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

xv

CAPITULO 1 INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE ENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA

1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA La reducción de tamaño por trituración y molienda es una operación importante en las industrias minera, metalúrgica, de energía y química. La cantidad de materiales frágiles, tales como rocas, minerales, carbón, productos del cemento u otros, molidos actualmente en los EE.UU. es por lo menos de mil millones (109) de toneladas [1.1], con un gran consumo de energía asociada [1.2]. Son bastante comunes plantas individuales tratando 10 millones o más de toneladas por año. Sorprendentemente, para una operación unitaria de importancia tan fundamental para la tecnología industrial, no existían, hasta hace poco, textos actualizados sobre los principios de diseño de procesos aplicados a molinos y circuitos de molienda. Varios libros, que describen diversos aspectos de la molienda, han comenzado a ser asequibles en los últimos años [1.3, 1.4 y 1.5], y el capítulo de Rowland y Kjos [1.3] es especialmente bueno como una guía condensada para el diseño convencional de molinos utilizando el método Bond. A esto se agrega el que la operación unitaria de molienda tenga ahora una base teórica más elaborada, la que ha sido desarrollada en las dos últimas décadas [1.6]. Aun cuando no está completa todavía, será sin duda utilizada más y más en el futuro. Esta base teórica se puede comparar, por ejemplo, a la que existe para la transferencia de calor y la destilación y, en particular, tiene gran similitud con la teoría del diseño de reactores químicos, usando muchos conceptos en común con la terminología utilizada en este campo. Los principales objetivos de este texto son presentar con profundidad este enfoque más elaborado y mostrar las correlaciones y divergencias de sus resultados con métodos más antiguos. Este libro es una introducción compacta al tratamiento matemático de la operación unitaria de reducción de tamaño por medios mecánicos, ésto es, el dimensionamiento, comportamiento y rendimiento de los circuitos de molienda usando molinos de bolas, de modo que aspectos de ingeniería mecánica de los molinos de bolas serán mencionados solamente cuando se relacionen al diseño de procesos. Se espera que el libro sea apropiado como texto avanzado en la enseñanza de la ingeniería metalúrgica, ingeniería de minas e ingeniería química, ya que enfatiza los conceptos fundamentales y procedimientos de cálculo de la reducción de tamaño en molinos más que la selección de equipo o el diseño mecánico. 1

ALIMENTACION

Figura 1.1: Ilustración de un molino de bolas detenido, que posee descarga de parrilla.

1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA. Al diseñar cualquier tipo de reactor, el primer objetivo del ingeniero de proceso es dimensionar el reactor de acuerdo a la producción requerida de producto de la calidad deseada, usando coeficientes cinéticos, balances térmicos y de masa, y coeficientes de transferencia de calor. Se debe permitir la entrada o extracción de suficiente energía para producir la reacción deseada y se debe diseñar para minimizar reacciones indeseables. El sistema debe ser estable y controlable, para cumplir, si fuese necesario, con una variedad de especificaciones del producto. Se debe obtener la cantidad especificada de producto en la forma más eficiente posible, con el mínimo de costo de capital, de gastos de energía y de costos de mantenimiento y mano de obra. Consideraciones muy similares se pueden aplicar al diseño de molinos. Consideremos, por ejemplo, el tipo de molino más usado en la actualidad, el molino rotatorio de bolas, mostrado en la Figura 1.1. El material grueso que se alimenta en uno de los extremos pasa por el molino fracturándose debido a la acción de la carga de bolas, produciendo un material en la descarga con una distribución de tamaño más fina. Este equipo puede ser considerado como un “reactor” continuo donde la energía suministrada es convertida en acción mecánica de ruptura y la “reacción” obtenida es una reducción 2

de tamaño. Todos los requisitos mencionados anteriormente deben ser cumplidos. Un paso básico en el diseño de un circuito de molienda es el dimensionamiento del molino para obtener el tonelaje por hora deseado de producto a partir de una alimentación específica. El gasto de capital por unidad de capacidad de molienda debe ser minimizado, lo que envuelve una correcta selección de las condiciones de molienda tales como velocidad de rotación, peso de la carga de bolas, y tamaño de las mismas. Asociado con el paso básico de determinación del tamaño del molino, está la especificación de la energía necesaria para operarlo, y el consumo esperado de energía por tonelada del producto. Obviamente el diseñador desea ser capaz de especificar las condiciones de molienda que produzcan un consumo mínimo de energía por tonelada del producto. Sin embargo, se debe recordar que las condiciones de mínima energía no son necesariamente aquellas para una máxima capacidad o para la más alta rentabilidad de la planta. En general, el molino debe ser diseñado para funcionar con la más eficiente molienda posible, definida por la mayor capacidad específica de molienda y el más bajo consumo de energía, sujeto a restricciones de desgaste, costos de mantenimiento y contaminación del producto. Además es usualmente muy deseable el saber cómo reaccionará el circuito ante cambios en las condiciones de operación, de tal manera que se pueda asesorar al operador que tiene que manejar el circuito para cumplir especificaciones. Como en muchos sistemas de reactores, el uso de varias etapas de molienda combinadas con recirculación puede ser ventajoso. Es una práctica común pasar el material que sale del molino a través de un clasificador de tamaño, el cual divide el producto de la molienda en dos flujos, uno que contiene partículas más gruesas (sobretamaño) y el otro partículas muy finas (bajotamaño). El flujo de partículas gruesas es recirculado al punto de alimentación del molino. El proceso de separación selectiva de tamaños se conoce como clasificación, existiendo varios tipos de equipos que producen esta acción de clasificación: harneros continuos, clasificadores de espiral y de rastras, hidrociclones, separadores de aire y otros. El diseño del circuito debe incluir una especificación de la cantidad óptima de recirculación y cómo obtenerla. Puede haber dos molinos en serie, con clasificadores apropiados y recirculación, o puede haber recirculación y remolienda de material proveniente desde una etapa posterior en el proceso como por ejemplo, de celdas de flotación. Por lo tanto, a menudo es necesario escoger entre varias alternativas de circuitos de molienda, y definir el tamaño de un número de componentes para lograr el sistema más eficiente para un determinado trabajo. Por ejemplo, el diseñador puede confrontar la selección entre un circuito que contiene triturador primario, triturador secundario, triturador terciario, molino de barras y molino de bolas, y un circuito que consiste en triturador primario y molino autógeno. Varios circuitos pueden ser técnicamente factibles y la selección es entonces, una cuestión de economía global. Resumiendo, los siguientes factores deben ser considerados: (I) Tamaño del molino (II) Potencia del molino, energía específica de molienda (III) Condiciones de molienda eficiente 3

(IV) Recirculación, eficiencia de clasificación (V) Desempeño del circuito de molienda bajo condiciones variables (VI) Selección de molinos para circuitos complejos (VII) Optimización económica

1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS Un molino es esencialmente un reactor que está transformando partículas grandes a partículas más pequeñas. Hay, por supuesto, muchas formas de aplicar fuerzas a las partículas y causar fractura, pero el ingeniero metalúrgico está interesado principalmente en equipos de gran tamaño que procesen en forma continua grandes flujos de materiales frágiles con capacidad estable durante las veinticuatro horas del día. Los molinos más utilizados en estas circunstancias son los molinos de barras, los molinos de bolas y los molinos semiautógenos. Estos molinos son equipos sencillos, relativamente baratos de construir, seguros, fáciles de controlar y de mantener y tienen bajos requerimientos de energía por tonelada de producto comparados con otros tipos de equipo de molienda. El reactivo en el molino es la alimentación que en él entra, la que raramente es de un solo tamaño y normalmente tiene una distribución granulométrica completa, de manera tal, que debe considerarse como un conjunto de reactivos. Esta distribución de tamaños puede ser representada por una curva continua o por un conjunto de números P(x) que representan la fracción acumulativa en peso bajo el tamaño x. A menudo es conveniente usar una escala log-log para la representación gráfica de P(x), tal como se muestra en la Figura 1.2. El método de análisis granulométrico más sencillo y seguro es el tamizado, de modo que el tamaño se refiere por lo general al tamaño de la malla de cada tamiz utilizado (ver Tabla 1.1) La fracción en peso retenida en los intervalos de los diversos tamaños de tamices, denotada por w, contiene la misma información que la Figura 1.2, de manera que un conjunto de números w también representa la distribución de tamaño. Es conveniente usar intervalos de tamaño en una progresión geométrica correspondiente a la secuencia normalizada de tamices. Utilizaremos la convención arbitraria de designar el tamaño del intervalo mayor como 1, el próximo más pequeño como 2, etc., como se muestra en la Figura 1.2. Si se considera cualquier intervalo de tamaño, por ejemplo el intervalo i, la fracción en peso de material retenido en este intervalo es wi. No es fácil extender la distribución granulométrica a tamaños muy pequeños, menores a 38 µm (400 mallas), debido a la dificultad experimental de medir con exactitud estos tamaños pequeños. El intervalo de tamaño final, que contiene el peso del material más pequeño, es definido como la fracción en peso wn de tamaños menores al más pequeño tamiz utilizado. Este intervalo se denomina sumidero ya que él recibe material fracturado de todos los tamaños mayores, pero no entrega material a ningún otro intervalo. El producto es la distribución de tamaño del material que va saliendo del molino. Nuevamente, ésta no es nunca un tamaño individual y debe utilizarse una curva o un conjunto de números para caracterizar su distribución granulométrica, de la misma manera que se indicó para el material de alimentación. Para definir un sistema de 4

Tabla 1.1 Serie Internacional de Tamices Normalizada Tamaño normalizado 125 mm 106 mm 100 mm 90 mm 63 mm 53 mm 50 mm 45 mm 37.5 mm 31.5 mm 26.5 mm 25.0 mm 22.4 mm 19.0 mm 16.0 mm 13.2 mm 12.5 mm 11.2 mm 9.5 mm 8.0 mm 6.7 mm 6.3 mm 5.6 mm 4.75 mm 4.00 mm 3.35 mm 2.80 mm 2.36 mm 2.00 mm 1.70 mm 1.40 mm 1.18 mm 1.00 mm

Designación malla U.S. 5" 4.24" 4“ 31⁄2 “ 21⁄2 “ 2.12 “ 2“ 13⁄4 “ 11⁄2 “ 11⁄4 “ 1.06 “ 1“ 7/8 “ 3/4 “ 5/8 “ 0.530 “ 1/2 “ 7/16 “ 3/8 “ 5/16" 0.265 “ 1/4 “ Nº 31⁄2 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18

Tamaño normalizado 850 µm 710 µm 600 µm 500 µm 355 µm 300 µm 250 µm 212 µm 180 µm 150 µm 125 µm 106 µm 90 µm 75 µm 63 µm 53 µm 45 µm 38 µm

Designación malla U.S. 20 25 30 35 45 50 60 70 80 100 120 140 170 200 230 270 325 400

5

Figura 1.2: Gráfico log-log de la distribución de tamaño acumulativa. El tiempo de molienda es t.

molienda, se debe especificar claramente el producto deseado. Generalmente no es posible especificar la distribución de tamaño completa, por lo tanto se utiliza una de las formas que siguen: (a) un sólo punto en la curva P(x), por ejemplo, 80% en peso menor a 200 mallas; (b) dos puntos en la curva P(x), por ejemplo, 50% menor a 400 mallas y no más de 5% mayor (95% menor) a 65 mallas; (c) una superficie específica determinada. Otro ejemplo de aplicación de la especificación del tamaño de un producto se relaciona con la liberación de un material valioso desde un trozo de roca en operaciones de metalurgia extractiva. Por medio de pruebas tentativas de laboratorio, el ingeniero metalúrgico llega a la deseada fineza de molienda para obtener una liberación suficiente, especificándola luego al diseñador del molino. En la concentración por flotación del componente valioso, se sabe que partículas muy finas, por ejemplo menores que 5 µm, flotan muy pobremente y que con partículas grandes, por ejemplo mayores a 300 µm, también sucede lo mismo. Este es un ejemplo de una especificación en que el producto debe ser en su mayor parte menor que un tamaño especificado, pero debe además tener un mínimo de lamas. Como se mostrará más adelante, y como se espera por sentido común, la velocidad a la cual las partículas se fracturan en un equipo de molienda depende del tamaño de las partículas. A diferencia de un reactor químico simple que convierte A en B, un molino opera con un conjunto completo de tamaños de alimentación produciendo un conjunto 6

Figura 1.3: Ilustración de la fracción de material fracturado desde un monotamaño que queda en un intervalo de tamaño determinado.

Figura 1.4: Ilustración de la distribución de tiempos de residencia (DTR) para un molino de bolas.

de tamaños finales. En forma semejante a un reactor químico, el conocimiento de la velocidad a la cual cada tamaño se fractura permite la predicción de la rapidez de desaparición de estas partículas de la carga del molino. Sin embargo, a diferencia de la simple reacción química A → B, aún la fragmentación de partículas de un sólo tamaño produce una completa variedad de tamaños de producto. Si el rango de tamaños se divide en un número de intervalos, la fracción de material fracturado desde un tamaño fijo que cae dentro de un intervalo de tamaño menor puede ser considerado como un producto, como se ilustra en la Figura 1.3. Es claro que la comprensión razonablemente detallada del funcionamiento del molino involucra el conocimiento de la distribución de tamaño de la progenie, ésto es, de la función de distribución de fractura primaria. El conocimiento de la rapidez con que un determinado tamaño se fractura y en qué tamaño aparece su producto, constituye la descripción elemental del balance de masa por tamaños o balance de población del molino. 7

Figura 1.5: Ilustración del rango de las distribuciones de tamaño con un punto común fijo en 80% menos de 75 µm, obtenido variando la razón de recirculación.

Para definir las diversas velocidades de fractura en un molino, se puede considerar éste como una “caja negra” con un volumen V que contiene una masa de polvo W. Si se mira un intervalo de un tamaño particular i, la fracción de W que es de tamaño i es wi, por lo tanto la masa de tamaño i será wiW. La velocidad específica de ruptura de este tamaño, Si, es la velocidad fraccionaria de ruptura, por ejemplo, kilógramos de tamaño i fracturados por unidad de tiempo por kilógramo de tamaño i presente. Las unidades de Si son (kg/t)/kg=t-1. De este modo Si queda definido por: Velocidad de ruptura de un tamaño i = SiwiW

(1.1)

y es equivalente a una constante de velocidad de reacción química de primer orden. La operación de molienda más eficiente ocurre en condiciones en las cuales los valores de Si son máximos. Si la geometría del molino o las condiciones de carga de bolas cambian, la intensidad y estadística de la fractura por unidad de volumen del molino también cambian y como consecuencia, cambian los valores de Si. Esto es equivalente a cambiar la temperatura en un reactor químico. Si se considera nuevamente el molino como un reactor, surge otro nuevo concepto. Si la velocidad de alimentación de un molino de bolas de determinado tamaño se 8

disminuye, el material permanece por más tiempo en el molino, se fractura más y por lo tanto se muele finamente. Por lo tanto, el tiempo de retención, que también recibe el nombre tiempo de residencia, es un componente fundamental en la descripción de la operación del molino, aplicable a un conjunto particular de condiciones de operación. Como en cualquier tipo de reactor, el concepto anterior lleva al concepto de distribución de tiempos de residencia (DTR) [1.7]. De una pequeña cantidad de alimentación marcada con un trazador y administrada al molino por un muy corto tiempo, una parte podrá dejar el molino casi inmediatamente (y estará casi sin fracturar), mientras que otra parte del pulso de trazador permanecerá en el molino por un mayor intervalo de tiempo (y será molida más finamente) de tal forma que se establece una completa distribución de tiempos de residencia. Esto se ilustra en la Figura 1.4. Se define como flujo pistón la salida súbita de todo el material trazado después de un tiempo promedio de residencia, lo que implica que no se produce una mezcla hacia adelante o hacia atrás del material mientras se mueve a través del molino. En el otro extremo se denomina mezcla completa, o mezcla perfecta, al caso en que todo el material marcado se mezcla instantáneamente en el seno de la carga y la concentración del material marcado, en el molino y en el material que deja éste, es igual y disminuye exponencialmente con el tiempo; ver el capítulo 7. El tiempo promedio de residencia queda definido por W/F, siendo W la masa del material retenido en el molino, por ejemplo en toneladas, y F la velocidad de alimentación, por ejemplo en ton/min. El comportamiento del molino depende de la naturaleza de la DTR como también del tiempo de residencia promedio. La forma de la distribución de tamaño del producto puede ser modificada por la manera en que se diseña y opera el circuito de molienda. Con “forma” se quiere decir la pendiente de la curva de análisis granulométrico que se muestra en la Figura 1.2, ésto es, la relativa proporción de finos, material de tamaño intermedio y gruesos. En muchas industrias, el producto del molino debe ser menor que un determinado tamaño pero la presencia de un exceso de finos, es indeseable. Una cantidad relativa menor de finos aparece como una mayor pendiente en la curva granulométrica, como se muestra en la Figura 1.5. La producción de un exceso de finos se puede considerar análoga a una reacción química indeseable, la cual debe ser minimizada por medio de una operación eficiente. Un principio general de importancia es que, para evitar la producción de un exceso de finos, es necesario remover del molino lo más rápidamente posible todo el material que ya está suficientemente fino, evitando de este modo la sobremolienda. En la Figura 1.5 se muestra un resultado teórico (que será descrito en el Capítulo 11) de un circuito de molienda operando para producir una distribución de tamaño con el 80% menor que 75 µm. Bajo condiciones de circuito abierto (sin clasificación o reciclo), el material ya suficientemente fino naturalmente pasa todavía a lo largo del molino y es molido más finamente por debajo del tamaño de control al mismo tiempo que el material más grueso es reducido de tamaño. La incorporación de un clasificador cerrando el circuito significa que el molino opera a flujos de masas mayores y a tiempos de residencia menores. Si los flujos de alimentación fresca y de producto final se denominan Q, en toneladas por hora, y si la cantidad que recicla es T, también en toneladas por hora, el flujo total que pasa por el molino es Q + T. Este mayor flujo remueve el material más rápidamente, los finos son separados en el clasificador y las partículas más gruesas son devueltas al sistema de 9

alimentación del molino. El beneficio de esta acción es que la distribución de tamaño de las partículas que han sido trituradas en el molino contiene ahora más partículas gruesas y menos partículas finas. Si no hay finos presentes, éstos no son retriturados. El cuociente (Q+T)/Q recibe el nombre de carga circulante y se la expresa como porcentaje. La razón T/Q=C se denomina razón de recirculación. Dos tipos de ineficiencias pueden ser definidos para la molienda. El primer tipo, que recibirá el nombre de ineficiencia indirecta, fue discutido en el párrafo anterior. El molino puede fracturar eficientemente, pero la energía se gasta en sobremoler material que ya está suficientemente fino. El segundo tipo, que denominaremos ineficiencia directa, sucede cuando las condiciones de la molienda causan acciones de ruptura deficiente; ejemplos son (i) bajo llenado del molino con partículas de tal manera que la energía cinética de las bolas se gasta en un contacto acero-acero sin que suceda una ruptura de las partículas; (ii) sobrellenado del molino debido al cual la acción de las bolas sobre las partículas es amortiguada por la presencia de exceso de estas últimas; (iii) una densidad de pulpa demasiado alta en molienda húmeda, la que produce una pulpa densa y viscosa que puede absorber el impacto de las bolas sin producir ruptura. Finalmente, está claro que el término capacidad de molienda, que a menudo es expresado en toneladas por hora, tph, agrupa en un solo número todas las velocidades específicas de ruptura, la distribución de ruptura primaria, las distribuciones de tiempo de residencia, las especificaciones de tamaño del producto en relación con la alimentación del molino y el tamaño de éste. Este número sólo puede ser constante para condiciones constantes precisas.

1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS ROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES El molino rotatorio de bolas contiene una masa de polvo que está siendo fracturada y la fineza de la molienda depende de cuánto tiempo el material permanece retenido. El producto se torna más grueso cuando se aumenta el flujo de alimentación al molino, como se discutió anteriormente. Este tipo de equipo es un aparato de retención. Se define como velocidad critica del molino a la velocidad de rotación a la cual las bolas empiezan a centrifugar en las paredes del molino y no son proyectadas en el interior del molino. Haciendo un balance entre la fuerza de gravedad y la fuerza centrífuga sobre una bola en la pared del molino, la velocidad crítica resulta ser: Velocidad crítica = 76.6 ⁄ √   D − d   D − d = 42.2 ⁄ √

RPM; D, d en pies

(1.2a)

RPM; D, d, en metros

(1.2b)

donde D es el diámetro interno del molino y d es el diámetro máximo de las bolas. Es razonable esperar que el movimiento de volteo de la carga en un molino dependerá de la fracción de velocidad crítica a la cual el molino opera, de tal manera que la velocidad de rotación de éste normalmente se especifica por medio de ϕc, la fracción de velocidad crítica. 10

La acción de volteo de la carga y las velocidades de ruptura dependerán claramente de qué proporción del volumen del molino está lleno con bolas. La medida más precisa de ésto es la fracción de volumen ocupado por las bolas. Sin embargo, en ensayos en molinos de gran tamaño, a menudo no es posible determinar el peso de las bolas, y por lo tanto, tampoco es posible determinar su volumen, pero sí es posible parar el molino y medir la altura desde la superficie de las bolas a la parte más alta del molino, lo que permite la estimación de la fracción del volumen que está lleno con el lecho de las bolas; Figura 1.6. Por lo tanto la fracción de llenado con bolas, J, se expresa, convencionalmente, como la fracción del molino lleno por el lecho de bolas en el reposo. Para convertir el volumen del lecho en la masa total de las bolas presentes, o vice versa, es necesario conocer la densidad aparente de la carga del lecho de bolas. La porosidad del lecho varía ligeramente dependiendo de la mezcla de tamaños de bolas, el relleno de polvo, etc., sin embargo, se define una porosidad nominal constante para todos los cálculos. Diferentes industrias y fabricantes usan valores levemente distintos de porosidad. Nosotros usaremos una porosidad nominal de lecho de 0.4, el que da un valor de J de:

J =

Volumen real de las bolas ⁄ Fracción en volumen de acero en el lecho Volumen del molino

 masa de bolas ⁄ densidad de bolas 1.0   J =   ×   del molino volumen porosidad 1− del lecho      masa de bolas ⁄ densidad de bolas  1.0  J =   ×  0.6  del molino volumen     Para bolas de acero forjado de tipo normal, la porosidad formal de 0.4 produce una densidad aparente del lecho de 295 lbs/pie cúbico (4.70 ton métrica/m3). Similarmente, la carga de polvo de un molino se expresa como la fracción del volumen del molino ocupada por el lecho de polvo, fc. Usando nuevamente una porosidad nominal del lecho de polvo de 0.4:  masa del polvo ⁄ densidad del polvo   1.0  fc =   ×  0.6  del molino volumen     A fin de relacionar la carga de polvo con la carga de bolas, el volumen aparente de la carga de polvo se compara con la porosidad nominal del lecho de bolas mediante la variable U, que expresa la fracción de huecos entre las bolas en reposo ocupada por el lecho de partículas.

volumendel lecho de partículas  U =  volumen de huecos en el lecho de bolas  

11

=

fc × ( volumen del molino) J × ( volumen del molino) × ( porosidaddel lecho de bolas)

=

fc 0.4J

(1.5)

Empíricamente se ha encontrado que el rango de U de 0.6 a 1.1 es una buena proporción de polvo a bolas para dar una fractura eficiente en el molino. Si hay agua presente, la densidad de la suspensión se puede cuantificar mediante la fracción en peso de los sólidos en la mezcla cp. En realidad, las propiedades reológicas de una suspensión quedan mejor definidas por la fracción de sólido en volumen cv: cv =

cp ⁄ ρs cp ⁄ ρs + [(1 − cp) ⁄ ρl )]

(1.6)

donde cp es la fracción en peso del sólido y ρs y ρl son las densidades del sólido y del líquido. La viscosidad de una suspensión depende también de la distribución granulométrica de las partículas.

1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS AL DIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS Al describir un sistema de molienda, incluso el más sencillo, existen un número de niveles de complejidad que pueden ser usados. Estos pueden ser categorizados, en orden ascendente de complejidad, de la siguiente manera: 1) Método de la energía específica global 2) Métodos globales Bond/Charles 3) Método de balance de tamaño-masa La esencia del Método 1 es el determinar experimentalmente la capacidad de molienda de un material desde una alimentación conocida a un producto determinado en el laboratorio o en un molino piloto, donde las condiciones en el molino de prueba son seleccionadas lo más similares posibles a las del molino industrial y el tiempo de molienda es ajustado para obtener el tamaño deseado del producto. La energía del molino se usa para calcular la energía específica de molienda en kWh/ton, para ir desde una determinada alimentación hasta un producto del tamaño deseado. Se supone luego, que la energía específica de molienda para obtener el producto señalado desde la alimentación dada es independiente del diseño del molino o de su operación (o se escala mediante una relación de escalamiento simple basada en la experiencia). Por lo tanto, midiendo la potencia mp1 utilizada en el molino de laboratorio o de planta piloto mientras opera a un tonelaje de descarga estacionario Q1 desde una alimentación a un producto determinado, la energía específica es obtenida de: Energía específica E = 12

mp1 Q1

(1.7)

Figura 1.6: Geometría de la carga de bolas en un molino.

13

Entonces, si se necesita un tonelaje de producción Q2 de cualquier otro molino, y se supone una energía específica constante, su potencia será de: Q2 mp2 = E × Q2 = mp1  Q  1

(1.8)

Como la potencia mp2 que se requiere para operar un molino a una velocidad deseada puede ser calculada mediante ecuaciones empíricas usando las dimensiones del molino y su carga de bolas, se puede seleccionar un tamaño apropiado de molino para dar una potencia mp2. Este enfoque es a menudo inesperadamente exitoso, pero su aplicación sin experiencia previa está llena de peligros. No existe una razón fundamental de por qué la energía específica de molienda deba ser constante ya que ella no es un parámetro termodinámico y además, es fácil idear un sistema en el cual ella no pueda de ningún modo ser constante, especialmente si el sistema de producción seleccionado es más, o menos, eficiente que el sistema de prueba. Este enfoque no toca los problemas de limitaciones en flujo másico a través del molino, la correcta selección de recirculación, las condiciones óptimas de operación, etc. El Método 2 utiliza elementos del Método 1 y agrega relaciones empíricas, como las de la “ley” de Bond [1.8] o la “ley” de Charles [1.9], las que describen cómo la energía específica de molienda varía con cambios en el tamaño de la alimentación o el tamaño del producto. Se utilizan factores de escalamiento y a menudo es necesario hacer una serie de correcciones empíricas basadas en experiencias previas para obtener resultados correctos. Los métodos arriba mencionados se denominan métodos globales porque son usualmente aplicados a la alimentación y al producto que sale del circuito y no a la distribución real de éstos en torno al molino mismo. Ellos engloban todos los factores cinéticos en un único parámetro descriptivo, por ejemplo, el índice de Trabajo de Bond. Estos métodos serán discutidos en más detalle en el Capítulo 3. El Método 3 consiste en realizar un balance de tamaño y de masa completo para todos los tamaños de partículas del molino, utilizando los conceptos de velocidad específica de fractura, distribución de fractura primaria, distribución de tiempos de residencia y una descripción matemática de la acción de clasificación. El escalamiento desde los resultados de pruebas a las condiciones industriales de producción, o a otras condiciones del molino, se efectúa por medio de un conjunto de relaciones que describen como cada elemento en el balance de tamaño-masa varía con las condiciones y el tamaño del molino. Esto conduce a simulaciones de circuito razonablemente exactas y apropiadas para la optimización y análisis del proceso. La ventaja de esta técnica es que pueden compararse circuitos alternativos en el papel antes de adoptar finalmente un diseño. Este nivel avanzado de complejidad puede ser tratado con variados grados de sofisticación. Este enfoque moderno, que requiere el uso de computadores digitales para realizar los cálculos para un número razonable de intervalos de tamaño (por ejemplo 10 a 20), es uno de los tópicos importantes de este libro y se lo vuelve a tratar en el Capítulo 4.

14

1.6 REFERENCIAS 1.1 Rumpf, H., Powder Technol., 7 (1973) 145-159. 1.2 Sheridan, D., Smithsonian, 8 (1977) 30-37. 1.3 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Mineral Processing Plant Design, 2nd. Ed., A. Mular and R. Bhappu, eds.,AIME-SME, New York,NY, (1980) 239-278. 1.4 Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier, 1977. 1.5 Austin, L.G., Klimpel, R.R. Luckie, P.T. and Rogers, R.S.C., Design and Installation of Comminution Circuits, A. L. Mular and G.V. Jergensen, II, eds., SME-AIME, New York, NY, (1982) 301-324. 1.6 Austin, L.G., Klimpel, R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling, AIME-SME, New York, NY, (1984) 561 pp. 1.7 Levenspiel, O., Chemical Reaction Engineering, Wiley, NY (1962). 1.8 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng., 6 (1960) 378-391, 543-548. 1.9 Charles, R.J., Trans. AIME, 208 (1957) 80-88.

15

16

CAPITULO 2 MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAÑO

2.1 INTRODUCCION Es obvio que la ciencia básica involucrada en la conminución es la mecánica de fractura, sin embargo, existen pocos aspectos del diseño de procesos de molienda que utilicen conceptos de mecánica de fractura. Es más, cuando las leyes de la mecánica de fractura han sido invocadas para explicar los datos de molienda o desarrollar leyes de diseño, la mayor parte de las veces han sido aplicadas en forma errada y de esta manera han creado una gran confusión. En este capítulo se reseñan los conceptos básicos de fractura desde el punto de vista de la reducción de tamaño por molienda y se muestra el por qué es tan difícil efectuar cálculos de diseño desde un razonamiento teórico a priori.

2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA 2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía Para producir una reducción de tamaño en colpas o partículas sólidas, se les debe aplicar esfuerzos y producir fractura. Un análisis teórico cuantitativo es solamente posible para estados de esfuerzos relativamente simples, pero los conceptos que surgen de estos resultados son beneficiosos para entender en forma cualitativa las complejas condiciones de esfuerzo en trituradoras y molinos industriales. Cuando un material sólido es sometido a un esfuerzo sufre una deformación. El estudio de este fenómeno corresponde a la mecánica del medio continuo. La descripción del comportamiento del sólido requiere la postulación de una ecuación constitutiva que relacione esfuerzos y deformaciones y que debe obtenerse de la experimentación con el material. Sometiendo diversos materiales a esfuerzos de tensión conocidos, es posible medir cada deformación producida y clasificar su comportamiento como elástico o inelástico. El comportamiento elástico de un material se caracteriza porque la respuesta a los esfuerzos es afectada sólo por el esfuerzo presente. No existen efectos de memoria que comprometan la respuesta posterior del material. La energía acumulada durante la carga del sólido es recuperada íntegra e instantáneamente durante la descarga. Si la ecuación constitutiva de un material sólido elástico es lineal, se dice que su comportamiento es elástico-lineal. La Figura 2.1 esquematiza la ecuación constitutiva de un material elástico lineal en una dimensión. Esta ecuación constitutiva se denomina ley de Hooke y es:

17

Figura 2.1 : Esfuerzo versus deformación unitaria para el comportamiento elástico-lineal de una esfera de vidrio de 38 µm de diámetro.

σ = Yε

(2.1)

donde ε = (d − do) ⁄ do y d y do son el tamaño actual y tamaño inicial de la muestra. El parámetro Y, que representa la pendiente de la recta en la Figura 2.1, se denomina módulo de Young. El material se comporta elásticamente hasta el punto C. El valor del esfuerzo y de la deformación unitaria en este punto se denota por σc y εc . El módulo de Young queda expresado por: Y = σ⁄ε ,

σ> b. Griffith [2.1],[2.3] argumentó que los sólidos reales contienen muchas pequeñas fallas que corresponden al equivalente tridimensional de los agujeros elípticos discutidos anteriormente y que estos puntos de debilidad inician las grietas a niveles de esfuerzo mucho menores que los ideales, ver Figura 2.13. Griffith hizo cuatro suposiciones básicas: (i) que la concentración de esfuerzos ocurre en la punta de la falla; (ii) que el sólido es deformado al punto en que los lazos intermoleculares en la punta de la falla son estirados hasta el límite de ruptura; (iii) que el estado de esfuerzo es reproducido en la punta para una expansión infinitesimal de la falla, y (iv) que la energía necesaria para expandir la falla, como una grieta que se propaga, está disponible ya que el sólido no puede relajarse inmediatamente del esfuerzo exterior aplicado. La solución de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para una elipse (ver Figura 2.12) da la energía de deformación extra, debido a la presencia de la elipse, como: 2

2

w1 = Δz π l σ ⁄ Y

29

donde l es el semieje largo, esto es, la mitad del largo de la grieta, y Δz es su ancho. Entonces, dw1 ⁄ dl = Δz 2π l σ2 ⁄ Y. La energía necesaria para romper los enlaces es w2 = 4γ l Δz para una grieta de semilado l , tal que dw2 ⁄ dl = 4γΔz. Un cambio rápido e irreversible de l a l+dl en el momento de la fractura, es semejante a un sólido deformado que rápidamente se expande en dl a una carga constante, de modo que el trabajo realizado es dos veces la energía (reversible) de deformación, dw 3 ⁄ dl = 2dw 1 ⁄ dl = (2Δz 2 π l σ2) ⁄ Y. Usando el principio del trabajo virtual, dw3 = dw1 + dw2 en la iniciación de la grieta el esfuerzo de tensión crítico σc será: σcG = √   2γY    ⁄  πl

(2.12)

donde σcG es la resistencia a la tensión pronosticada por la teoría de Griffith para una grieta orientada en forma perpendicular a la fuerza aplicada.

Figura 2.13 : Propagación de una grieta en un sólido bidimensional según la teoría de Griffith.

30

Figura 2.14 : Ilustración del efecto de la combinación de esfuerzos de la teoría de fallas de Griffith con resistencia a tensión simple To : las ecuaciones son las del lugar geométrico.

Comparando las ecuaciones (2.12) y (2.10) se concluye que, siendo los valores de a del orden de unos pocos angstroms, una falla con un semilado de unos cientos de angtroms puede dar reducciones de la resistencia a la tensión de varios órdenes de magnitud comparada a la resistencia ideal. Con el progreso de la grieta después de la iniciación, dw3/dl >(dw1/dl) +(dw2/dl), por lo que existe un energía extra disponible para acelerar el movimiento de la punta de la grieta. El sistema es inestable y la grieta se expande rápidamente, acelerando a altas velocidades. La resistencia es menor que la ideal porque el esfuerzo global no precisa ser lo suficientemente grande como para romper todos los enlaces de una vez, ya que en un momento dado sólo aquellos enlaces alrededor de la punta de la grieta se están rompiendo. Por otra parte, la ecuación (2.12) es válida para una sola falla, mientras que la presencia de muchos defectos estrechamente juntos darán una reducción adicional en la resistencia. Obviamente que un esfuerzo compresivo puro no ocasiona la propagación de una grieta, por lo que se hace necesario la presencia de un esfuerzo de tensión para que se produzca la ruptura frágil. Se podría pensar que no existirían esfuerzos de tensión bajo condiciones de compresión unidimensional simple. Sin embargo, un análisis más detallado, que considere todas las posibles orientaciones de los defectos, muestra que se producen esfuerzos de tensión en la punta de un elipse de orientación adecuada, incluso bajo condiciones de compresión global. El resultado para un sistema plano, con esfuerzos globales normales σ1 y σ2 y fallas de un tamaño tal que den un esfuerzo de tensión To bajo una tensión unidimensional (con el eje de la grieta perpendicular al esfuerzo), se muestra en la Figura 2.14. La resistencia compresiva bajo una compresión unidimensional es 8To, esto es, la resistencia compresiva de materiales frágiles es alrededor de un orden de magnitud mayor que la resistencia a la tensión. 31

2.3.3 Materiales Dúctiles Los materiales dúctiles, por otro lado, sufren deformaciones plásticas debido al deslizamiento de unos planos del sólido sobre otros, siendo el mecanismo fundamental el movimiento de dislocaciones bajo un gradiente de esfuerzo. En este tipo de movimiento, los enlaces entre los planos no son todos rotos simultáneamente, sino que se rompen sólo suficientes enlaces como para permitir que la dislocación se mueva a la próxima posición, reponiéndose los enlaces tras la dislocación, y así sucesivamente, de manera que resulta el deslizamiento de un plano sobre otro por medio de una serie de pasos de baja energía. La máxima fuerza de cizalle ocurre a 45° de la dirección del esfuerzo principal, de modo que la plasticidad y ruptura por cizalle aparecerá como se ilustra en la Figura 2.15. El proceso de deslizamiento aparece como la región de cedencia en la Figura 2.2 y es bien diferente a la iniciación inestable de la fractura frágil. El deslizamiento puede iniciarse a partir de un defecto orientado adecuadamente, tal que genere concentración del esfuerzo, pero no hay apertura de una grieta comparable a la que resulta bajo un esfuerzo de tensión. El deslizamiento plástico puede ocasionar que parte del sólido actúe como una cuña creando fuerzas de tensión, las que luego propagan la fractura frágil.

Figura 2.15 : Ilustración de ruptura por cizalle: el deslizamiento lleva a fractura frágil.

32

El tratamiento de Griffith puede ser extendido [2.4] para tomar en cuenta la plasticidad mediante la inclusión de un término dw4, que representa la energía requerida para la deformación plástica causada por el campo de esfuerzo en movimiento alrededor de la punta de la grieta. Entonces, la condición de iniciación es dw3 - dw1 > dw2 + dw4. El valor depende del tamaño y densidad de las dislocaciones en el sólido y domina por sobre la energía de enlace dw2 para materiales dúctiles. Sin embargo, tan pronto como la fractura comienza, el valor para la energía plástica disminuye debido a que la grieta se mueve a una velocidad alta en relación a la escala de tiempo para el movimiento de las dislocaciones que dan plasticidad.

2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS En la discusión de la Figura 2.14 se definió una resistencia a la tensión To, que se obtendría de un ensayo simple de resistencia a la tensión de un material con una determinada distribución de tamaño y de densidades de fallas de Griffith. Se puede suponer que ese mismo material iniciaría grietas en cualquier región que desarrollara esfuerzos de tensión mayores a To, al ser sometido a condiciones de esfuerzos complejos. Por ejemplo, las soluciones de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para la compresión de discos, de cilindros al modo de prueba radial “brasilera” y de esferas, muestran que hay presentes esfuerzos de tensión, con valores máximos a lo largo del eje de carga. Incluso para cubos y cilindros cargados a lo largo del eje, la fricción entre el plato de carga y la muestra conduce a un esfuerzo compresivo no uniforme con regiones de esfuerzos de tensión. Entonces, la carga compresiva de trozos o partículas irregulares producirá ciertamente regiones locales con esfuerzos de tensión y en consecuencia producirá fracturas frágiles. En particular, la compresión de esferas elásticas entre dos platos sin fricción da la solución bien conocida: 2

1

9 1 (1−ν ) 2 Δ = 2  2 P   16 d Y 

⁄3

(2.13)

donde Δ es la disminución del diámetro d de la esfera producida por la aplicación de una fuerza P. Para esta carga puntual el esfuerzo de tensión máximo en el sólido está dado por:

1  (4)(21)  P  σ=  π  28+20ν  d 2   

(2.14)

Suponiendo que hay una densidad suficiente de fallas de Griffith como para iniciar la fractura en aquella región del sólido en que ocurre el máximo, el valor de Pc que produce fractura corresponde a un esfuerzo máximo crítico σc que iguala a To. Como la sección máxima de una esfera es π d 2 ⁄ 4, la ecuación (2.14) se puede expresar en la forma (σc = T0):

33

21  σc =   σC + 28 20ν  

(2.14a)

donde σC es la resistencia compresiva definida por σC = Pc ⁄ (π d 2 ⁄ 4). Como un ejemplo tomemos el valor de ν = 0.16 para el cuarzo, entonces σC = 1.5σc, esto es, una esfera es aproximadamente una y media vez más resistente a la compresión que una fibra del mismo material y diámetro sometida a tensión. Rumpf [2.5] ha dado un valor de σC = 14.6 MPa para una esfera de cuarzo de 38 µm de diámetro, correspondiendo a una resistencia a la tensión verdadera de σc =9.8 MPa. Una partícula de cuarzo de 135 µm de diámetro dió σC = 88.5 MPa, correspondiendo a σc = 59.3 MPa. La energía de deformación reversible de una esfera es ∫ P(dΔ), dando: 2⁄

 1−ν2  E(P) = 0.83    Y 

3

1⁄

3

 1  P 5⁄3 d  

(2.15)

Usando σC = Pc ⁄ (π d2 ⁄ 4), y expresándola como densidad de energía por unidad de volumen, resulta: 2⁄ 3

 1−ν2  5⁄3 Ev = 1.06   σC  Y 

(2.16)

Usando el módulo de Young para el cuarzo: Y = 8.71x104 MPa, la energía crítica para la ruptura de la partícula del cuarzo, con σC = 88.5 MPa es de Ev = 0.9x106 j/m3. Como la densidad del cuarzo es de 2.62 ton/m3 y 1 kWh = 3.6x106 j, la densidad de energía para la fractura resulta ser 0.1 kWh/ton. Los experimentos para determinar la resistencia a la fractura de esferas como función del tamaño han demostrado que generalmente la resistencia a la tensión aumenta al disminuir el tamaño. Esto se explica suponiendo que en las esferas más pequeñas hay menor probabilidad que existan fallas largas de Griffith en la región de máximo esfuerzo de tensión. Este efecto se expresa en forma empírica mediante la relación: 1

σc = σo(Vo ⁄ V)

⁄m

(2.17)

donde V es el volumen de la esfera, σo es la resistencia a la tensión que corresponde a un volumen normal Vo y m es el coeficiente de uniformidad de Weibull. Un valor grande de m significa que las fallas son pequeñas comparadas con el tamaño de la muestra, de manera que la probabilidad que exista una falla grande en una región particular del sólido no varía mucho con el tamaño. La Figura 2.16 muestra resultados típicos [2.6], en que cada valor de σc es el promedio de 100 ensayos. Partículas de cuarzo de forma cercana a la de una esfera dan un aumento notable de resistencia para tamaños menores a 500 µm. Introduciendo la 34

Figura 2.16 : Variación de la resistencia S con el volumen del espécimen.

35

ecuación (2.17) en la (2.16) y usando una resistencia a la tensión de σo = 1.6 x 103 MPa para esferas de 1 cm de diámetro (Vo = π /6), resulta: −3

Ev (d) = 11×10 (1 ⁄ x)

5⁄m

, kWh⁄ ton

(2.18)

donde x está en cm. Cuando el valor de m1 cambia, la ecuación cambia a: −3

5

⁄m1

5

Ev (d) = 11×10 (1 ⁄ x1) (x1 ⁄ x)

⁄m2

, x ≤ x1

(2.18a)

donde x1 es aquel tamaño en que la pendiente cambia de m1 para x ≥ x1 a m2 para x ≤ x1. En realidad, durante la compresión de una partícula elástica, y, por efecto de las tensiones tangenciales en las zonas de contacto de la partícula con las superficies sólidas, se forma un núcleo en el que se concentran los esfuerzos y, por lo tanto, en el que el número y magnitud de las grietas aumentan. Este núcleo da como resultado partículas pequeñas al ocurrir la fractura. Fuera del núcleo las grietas se propagan radialmente pero en cantidad menor, lo que da como resultado partículas de mayor tamaño en el producto. Cuando se comprime una partícula de este tipo entre dos superficies paralelas se obtiene una relación entre las solicitaciones y deformaciones semejantes a lo señalado en la Figura 2.17. La esfera de vidrio se deforma elásticamente hasta su punto de ruptura D. En su deformación inicial el material sigue la teoría de Hertz. La partícula también sufre

Figura 2.17 : Curva esfuerzo-deformación para la compresión de una esfera de vidrio de 38 µm y un pedazo de cuarzo de 135 µm.

deformaciones elásticas pero, en este caso se debe distinguir entre fenómenos 36

microscópicos y macroscópicos. Desde el punto de vista microscópico se producen pequeñas deformaciones elásticas seguidas de rupturas de pequeños trozos (esquinas y cantos) que le dan a la curva macroscópica una forma de sierra. La curva macroscópica a su vez, está constituida por deformaciones elásticas seguidas de rupturas, como en A, B y especialmente en C y D. En D la ruptura es total. Es interesante observar que la curva CD es aproximadamente paralela a la curva de la esfera de vidrio lo que indicaría que ambos materiales tienen respuestas semejantes, modificadas por la forma y tamaño de las partículas.

2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA: ENERGIA DE MOLIENDA Las rocas, minerales y carbones al ser fracturados en máquinas de reducción de tamaño sufrirán generalmente una fractura frágil a partir de las fallas de Griffith preexistentes. La resistencia a la molienda o moliendabilidad de estos materiales correlacionará sólo aproximadamente con la dureza o la resistencia de los enlaces químicos porque el número, tamaño y orientación de los defectos son variables adicionales. Los materiales son más fuertes en compresión que en tensión. Con el

a

b

c

d

Figura 2.18 : Desarrollo de un árbol de grietas durante la propagación de la fractura, observado por fotografía de alta velocidad. Las imágenes han sido modificadas aclarando el fondo y mostrando la zona de las grietas en seudorelieve.

37

objetivo de calcular la resistencia de un trozo o partícula sometida a esfuerzos usando una teoría de mecánica de fractura a priori, sería necesario (a) resolver las ecuaciones de esfuerzo deformación para la geometría y las condiciones del esfuerzo aplicado; (b) convertir los resultados a la magnitud local y dirección de los esfuerzos principales en todos los puntos en el sólido; (c) considerar la densidad (número por unidad de volumen), distribución de tamaños y orientación (posiblemente al azar) de defectos en el sólido; (d) determinar los lugares donde los esfuerzos de tensión local pueden activar las fallas hasta el punto de iniciación de la fractura, con la ruptura comenzando en el punto más débil. Este cálculo resultaría extremadamente complicado, por no decir imposible, para las situaciones reales en un molino. Por añadidura la mayoría de los equipos de molienda producen algún grado de esfuerzos de impacto, los cuales propagan ondas de esfuerzo a través del sólido, activando defectos a fracturas por tensión en su trayectoria. La distribución granulométrica de la serie de fragmentos producidos por la fractura es tan importante como la fractura misma y no existe una teoría conocida para su predicción. Una grieta puede propagarse lentamente si ella se encuentra con una región de esfuerzos de compresión los que cierran el extremo, especialmente en el caso de materiales dúctiles. Sin embargo la teoría predice, y los experimentos confirman, que una fractura que se propaga bajo esfuerzos de tensión local adquiere rápidamente alta velocidad, del orden de la magnitud de la velocidad del sonido en el sólido. Esto conduce a una onda de esfuerzo que se propaga desde la punta de la grieta y que, por su parte, inicia más fracturas en los defectos que encuentra en su trayectoria. El resultado es una bifurcación de la grieta con bifurcaciones de cada uno de los nuevos brazos, en forma sucesiva para dar un “árbol” de grietas a través del sólido, ver Figura 2.18. La energía asociada al movimiento de la onda de esfuerzo rápido es generalmente suficiente para pasar la grieta a través de los límites de granos y a través de regiones de esfuerzos compresivos masivos. Una comparación entre la fractura de materiales frágiles y dúctiles, muestra los siguientes aspectos principales: (1) La fractura frágil pura es casi independiente de la temperatura, pero a mayores temperaturas, cercanas a las que producen mayor movilidad de las dislocaciones, la fractura puede cambiar a un deslizamiento y, por lo tanto, a menores resistencias. La fractura dúctil pura muestra una disminución de la resistencia con un aumento de temperatura debido a una mayor movilidad de la dislocación. Para una fractura frágil con una componente significativa de energía plástica, la resistencia aumenta con la temperatura debido a la zona plástica alrededor de la punta y luego disminuye cuando la fractura cambia a deslizamiento. (2) Para fracturas a partir de fallas de Griffith, una partícula más pequeña tiene una menor probabilidad de contener un defecto grande y será relativamente más fuerte. Dicho de otra manera, a medida que los materiales frágiles se fracturan los fragmentos resultantes y restantes son más fuertes porque las fallas mayores se han roto. Por otro lado, la fractura dúctil no es muy sensitiva al tamaño de partículas porque las dislocaciones son muy pequeñas comparadas con los tamaños de trozos o partículas. (3) La velocidad de la aplicación de los esfuerzos es más importante para materiales dúctiles que para materiales frágiles porque altas velocidades de aplicación de grandes 38

esfuerzos sobre materiales dúctiles pueden producir una fractura frágil, mientras que el mismo esfuerzo alcanzado en etapas lentas permitirá disponer del tiempo para un comportamiento dúctil. (4) Los materiales dúctiles demuestran endurecimiento por deformación, esto es, la deformación inicial produce movimiento y acumulación de dislocaciones, haciendo más difícil una deformación subsiguiente. También demuestran fatiga por esfuerzo, nuevamente debido a la gradual acumulación de dislocaciones en los repetidos ciclos de esfuerzo. (5) El cargar un material frágil con esfuerzos compresivos triaxiales uniformes, por ejemplo hidroestáticamente, conduce a un incremento significativo de la resistencia al reducir las fuerzas locales de tensión y al prevenir la apertura de las grietas. La literatura sobre molienda ha mostrado la existencia de reiterados errores de conceptos concerniente a la energía de molienda. Las discusiones previas muestran que un sólido fuerte debe ser llevado a un alto estado de esfuerzo para que ocurra una fractura, especialmente por aplicación de fuerzas compresivas. Tan pronto como la fractura ha comenzado, solamente una fracción de la energía de deformación almacenada localmente alrededor de las grietas que se propagan, es utilizada para romper enlaces (el término γ ). Los fragmentos de sólido son liberados de los esfuerzos externos cuando el sólido se desintegra transformándose el resto de la energía de deformación acumulada en el sólido en calor y sonido. Por ejemplo, considere el caso simple de un resorte bajo tensión, como en la Figura 2.19, conteniendo una pequeña falla como se muestra. Si el resorte fuese perfecto el aumento del esfuerzo de tensión separaría (fracturaría) eventualmente planos de moléculas en igual forma en todos los puntos del resorte, creando un vasto número de nuevas superficies y consumiendo la energía en deformación para suministrar la energía de superficie. En la práctica, empezando en la falla, la grieta se propaga a través del resorte produciendo algunos pequeños fragmentos. Sin embargo, la mayor parte de la energía de deformación acumulada permanece en las dos mitades mayores del resorte y es convertida a calor por la oscilación amortiguada de cada una de las mitades; la pieza se calienta, como la mayoría de nosotros hemos experimentado. Ensayos realizados en molinos muestran que la fracción de la energía eléctrica aplicada al molino que es utilizada directamente para romper fuerzas de enlace es muy baja ( < 1%), generalmente menor que los errores envueltos en la medición del balance de energía. La ley de Rittinger, que indica que la “energía de reducción de tamaño es proporcional a la nueva superficie producida”, no tiene una base teórica correcta. El aumento de temperatura del material molido puede ser calculado con bastante exactitud suponiendo que toda la energía se convierte en calor. El consumo específico de energía por unidad de área producida, por ejemplo, en joules/m2 , puede ser utilizado como una guía comparativa de eficiencia, porque un valor alto de este parámetro es ciertamente un índice de una mayor reducción de tamaño por unidad de energía suministrada. Por cierto no será necesariamente constante para un determinado equipo y material ya que puede aumentar o disminuir con mayor grado de reducción de tamaño.

39

FALLA

RESORTE BAJO TENSION

FRACTURA DEL RESORTE EN DOS MITADES CONTRAÍDAS Y A MAYOR TEMPERATURA

Figura 2.19 : Ilustración de la energía de deformación en un sólido bajo esfuerzo simple, convertida en calor luego de la fractura.

2.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA Ahora es posible postular algunas hipótesis para explicar por que es difícil moler materiales a tamaños pequeños en forma rápida y económica. En primer lugar, con el progreso de la molienda la ruptura ocurre a partir de las fallas grandes contenidas en las partículas. Los fragmentos más pequeños producidos tienen claramente una menor probabilidad de contener defectos grandes. En principio las partículas muy pequeñas se aproximan a una resistencia ideal. Schönert [2.7] ha demostrado que aunque el cemento es considerado un material frágil, partículas de éste de unos pocos micrómetros de tamaño, se deforman plásticamente sin fracturarse bajo la aplicación de esfuerzos. En segundo lugar, si se considera el acto de tensionar partículas en cualquier equipo industrial, es claro que cada vez es más difícil capturar las partículas para tensionarlas a medida que se van empequeñeciendo. Por ejemplo, considere las bolas en un molino rotatorio que contiene una masa fija de colpas de 10 cm3 de volumen. Cada vez que una colisión bola-bola muerde un trozo de colpa, ella tensiona los 10 cm3 quizás al punto de 40

fractura. Sin embargo, cuando el trozo es reducido a 10 µm en tamaño (es decir un volumen de cerca de 1000 µm3 =10-9 cm3) la colisión de bola con bola tiene que impactar 1010 partículas para golpear la misma masa. En cualquier impacto de bola con bola habrá solamente una pequeña fracción de esta masa que estará localizada exactamente en la pequeña región donde las dos superficies entran en colisión. En tercer lugar, la presencia de partículas muy pequeñas en la masa de polvo puede afectar la habilidad de los medios de molienda para producir un buen impacto a cualquiera de las partículas contenidas en la masa de polvo en el molino. Se mostrará ejemplos de este efecto más adelante pero pueden ser ilustrados en esta etapa si se considera un molino de bolas conteniendo una suspensión de polvo en agua. Es bastante bien conocido que si el polvo es fino, la suspensión será altamente viscosa y no es difícil de imaginar que la naturaleza viscosa de la suspensión absorberá (amortiguará) la fuerza de impacto como si fuese una goma, produciendo una menor fractura de las partículas en la suspensión. En cuarto lugar, es posible que las fuerzas cohesivas que existen entre partículas muy pequeñas le impartan propiedades especiales (semejante a fluido, por ejemplo) al lecho como un todo, de tal manera que todas las partículas estén menos bien situadas para recibir un impacto cuando hay lamas. Esto es diferente de la segunda razón porque aquí se trata de un efecto físico-químico y no de un simple efecto geométrico. En quinto lugar, es posible que pequeñas partículas en contacto bajo un gran esfuerzo puedan volver a reintegrarse. Debe distinguirse aquí entre la simple aglomeración y la reintegración. La aglomeración de partículas finas en una partícula más grande (aparentemente única) da una partícula que es débil y porosa y que tiene un área por B.E.T. (N2 líquido) que corresponde al área de los fragmentos constituyentes. Tales partículas son en general fácilmente desintegradas. En cambio verdadera reintegración puede ocurrir, lo que conlleva la restitución de los enlaces químicos entre las moléculas de las superficies para producir una partícula refundida resistente y densa. Este segundo caso probablemente requiere un alto grado de ductibilidad de la partícula, de manera tal que las superficies se apreten en un contacto estrecho. Es posible, por ejemplo, crear verdaderas aleaciones [2.8] moliendo juntos polvos finos de metales DIFICULTAD DE FRACTURAR PARTÍCULAS PEQUEÑAS (1) INHERENTEMENTE MAS RESISTENTES (2) ESCASA PROBABILIDAD DE CAPTURA DE PARTICULAS PEQUEÑAS (3) AMORTIGUACION DE IMPACTOS POR FINOS (4) PROPIEDADES DEL LECHO DAN MENOR CAPTURA (5) REINTEGRACION

Figura 2.20 : Dificultad de fracturar partículas pequeñas.

41

dúctiles. Se sabe desde hace bastante tiempo que el carbón, que normalmente se fractura como un sólido frágil, puede exhibir un comportamiento plástico cuando está en tamaños de unas pocas décimas de micrómetros [2.9]. Moliendo escoria de cemento por largos tiempos en un molino de bolas discontinuo conduce a una distribución granulométrica establece con un área B.E.T. constante [2.10, 2.11]. El trabajo de Schönert sugiere que esto puede ser debido a un verdadero crecimiento de partículas, de forma tal que se alcance un balance entre fractura y crecimiento. La Figura 2.20 resume la discusión anterior. Es muy conveniente analizar un sistema de molienda para determinar cual de estas causas está actuando, porque entonces se pueden tomar decisiones lógicas para mejorarlo. La metodología propuesta es el análisis de la cinética de molienda, que es capaz de distinguir entre los varios mecanismos enumerados en la Figura.

2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES Se sabe que el tratamiento prolongado aplicando esfuerzos repetidos sobre un material, en un molino de bolas por ejemplo, puede causar cambios masivos en las propiedades del material. Rose [2.12] mostró que el cuarzo experimenta un cambio de fase de una forma a otra durante la molienda en molino de bolas. Este caso fue revisado recientemente [2.13] incluyendo muchos ejemplos. Se ha sugerido que los esfuerzos de cizalle causan la nucleación y crecimiento de una fase desde cristales de otra en una partícula. En la molienda de polímeros orgánicos duros en un molino de bolas, éstos pueden sufrir un período de demora en el cual prácticamente no se quiebran seguido por otro período de ruptura. Posiblemente el golpe de las bolas debilita el material al ocasionar algún grado de cristalización (alineamiento molecular). Se sabe que pequeños

42

golpes crean o extienden grietas en un carbón de manera que éste eventualmente se rompe. Aunque el carbón es un polímero frágil con planos de debilidad ocasionados por el proceso geológico de depositación, otros materiales podrían mostrar el mismo efecto. Benjamin [2.8] ha discutido la formación de soluciones sólidas de metales dúctiles mediante la molienda prolongada en un molino de bolas, desde una mezcla de polvos de sus componentes, y la creación, en forma similar, de una dispersión fina de un material quebradizo en una matriz dúctil. El mecanismo parece ser la soldadura fría de superficies limpias producidas por fractura o aplastamiento, de modo que ocurra simultáneamente tanto reducción de tamaño como crecimiento. En este caso la acción del molino debe ser tal que fuerce a las partículas entre sí y las fracture también. Se sabe que se pueden formar componentes organo-metálicos moliendo cromo y níquel en líquidos orgánicos, produciéndose un rearreglo de las moléculas orgánicas a otras formas con el desprendimiento de H2 , CH4 y CO2. En forma similar, reacciones tales como Cr(s)+3TiCl4 (l) → CrCl3 (s)+ 3TiCl3 (l) ocurren en líquidos anhidros. Nuevamente, la causa es indudablemente la alta reactividad de las superficies recientemente creadas por fractura.

2.8 REFERENCIAS 2.1

Griffith, A.A., Phenomena of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 221A(1920)163-198.

2.2

Nadai, A., Theory of flow and fracture of solids, McGraw Hill, Inc., New York, 1950, p. 89. Ver Developments in Fracture Mechanics, Vol. 1, F.G. Shell, ed. Applied Science Publishers, 1979.

2.3

Griffith, A.A., The theory of rupture, Proc. First Int. Cong. for Applied Mechanics, Delft, 1924.

2.4

Orowan, R., Fracture and strength of solids, Reports of Progress in Physics, Physical Society (London), 12(1949)185.

2.5

Rumpf, H., Chemie-Ing. Techn., 37(1965)187-202.

2.6

Kanda, Y., Sano, S. and Yashima, S., Powder Technol., 48(1986)263.

2.7

Schönert, K., Clausthal University, private communication (1984), También , Dechema Monograph., 69(1972) 167.

2.8

Benjamin, J.S., Scientific American, 234 May(1976)41-48.

2.9

D.S.I.R. Bibliography, Crushing and Grinding, Chemical Pub. Co. (New York., N.Y.), 1958, p. 23.

2.10 Ghigi, G. and Rabottino, L., Dechema Monograph., 57(1967)427. 2.11 Hukki, R.T. and Reddy, I.G., ibid, p. 313. 2.12 Rose, H.E., Kings College, London, U.K., private communication (1964). 2.13 Lin, I.J. and Nadir, S., Mat. Sci. and Eng., 39(1979)193- 209.

43

44

CAPITULO 3 ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DE MOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS

3.1 INTRODUCCION En principio es posible predecir el tamaño que debería tener un molino industrial para lograr una determinada capacidad a partir de datos obtenidos en ensayos continuos en escala de laboratorio, siempre que se conozcan las correspondientes leyes de escalamiento. En la práctica es difícil obtener una similitud exacta entre el molino industrial (mezcla de bolas, material retenido, acción del clasificador, etc.) y el molino de laboratorio, y los ensayos son difíciles de realizar. Por otra parte, cuando el molino de laboratorio se elige suficientemente grande para obtener una buena similitud, el ensayo se convierte en escala piloto. Para evitar el costo de construir y operar un sistema piloto se ha desarrollado métodos aproximados de diseño, los que serán discutidos en este capítulo.

3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BOLAS El método de Bond será discutido en mayor detalle porque ha encontrado amplia aceptación en la industria minera-metalúrgica. El método tiene dos grandes ventajas desde el punto de vista de la ingeniería. En primer lugar, es muy simple, y en segundo lugar, la experiencia demuestra que es efectivo para muchas (aunque no para todas) circunstancias.

3.2.1. Ecuaciones de Diseño El objetivo del método es seleccionar el diámetro y largo de un molino para producir Q toneladas por hora de un material con un porcentaje Ψ menor que el tamaño p1. Se debe especificar además el tamaño de las bolas de la recarga y la potencia del molino. El método consta de seis etapas importantes: (1) Un ensayo de “moliendabilidad” normalizado para el material. (2) Una ecuación empírica que convierte los resultados de los ensayos de moliendabilidad a los que se obtendrían en un molino continuo de 2.44 m (8 pies) de

45

Figura 3.1: Método normalizado de Bond simulando un circuito cerrado de molienda con una carga circulante de 350%; F/Q = 3.5.

diámetro interior, con descarga de rebalse, trabajando en húmedo y en circuito cerrado con 350% de carga circulante. (3) Relaciones de escalamiento que permiten predecir el resultado en molinos mayores. (4) Una serie de factores de corrección, basados en la experiencia, que permiten describir otras condiciones de operación. (5) Una ecuación empírica que permite calcular la energía específica consumida para una determinada razón de reducción. (6) Una ecuación empírica que permite calcular la potencia necesaria para mover un molino en función de la masa de medios de molienda. El trabajo original de Bond fue resumido en una importante publicación [3.1] la que, desafortunadamente, contiene una gran cantidad de errores. La publicación tiende a confundir resultados empíricos valiosos con razonamientos científicos dudosos. En un artículo reciente, Rowland y Kjos [3.2] dan una discusión clara y muestran la aplicación del método. La discusión que sigue se basa en ese trabajo.

ETAPA1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond El material se prepara con un tamaño de 100% menor a 6 mallas (3.350 mm), lo que corresponde aproximadamente a 80% menos de 2 mm. Se miden 700 cm3 a granel de este material, lo que da un total de W gramos, cuidando que la densidad aparente sea reproducible, y se carga en un molino de bolas de 305x305 mm (12x12 pulgadas), con bordes interiores redondeados. La carga de 285 bolas de acero de 20.125 kg tiene la distribución que sigue: 43 bolas de 67 bolas de 10 bolas de 71 bolas de 94 bolas de 46

36.83 mm 29.72 mm 25.40 mm 19.05 mm 15.49 mm

(1.45") (1.17") (1.00") (0.75") (0.61")

El material se muele por un corto período, generalmente 100 revoluciones, tamizando el producto por una malla p1 seleccionada para eliminar el bajo tamaño y reempla za rl o por mat erial fresco, simulando un circuito cerrado de molienda-clasificación. Esta nueva carga se vuelve a moler tratando de obtener una carga circulante de 350%. Como F/Q=3.5 (ver Figura 3.1), el porcentaje ψ1 (p1) de material menor a la malla p1 en el producto del molino deberá ser 100/3.5. Suponiendo que la fracción de finos producida es proporcional al número de revoluciones del molino, el número de revoluciones para la nueva etapa de molienda r2 se calcula de las revoluciones de la etapa anterior r1 mediante r2 = r1

(100 ⁄ 3.5) Ψ1 (p1)

(3.1)

donde ψ1(p1) es el porcentaje del material en el molino que tiene un tamaño menor que p1 después de r1 revoluciones. Una vez alcanzada la carga circulante de 350%, se define como moliendabilidad, y se designa por Gbp, a los gramos netos de material menor al tamaño p1, producidos por revolución del molino: Gbp = (ψ1(p1) − ψF (p1)) W ⁄ 100r∗ donde ψF(p1) y ψ1(p1) son el porcentaje menor que la malla de separación p1 en la alimentación fresca al molino y en la descarga respectivamente, W es la masa total de mineral cargada al molino y r* es el número de revoluciones necesarias para obtener la carga circulante de 350%. Finalizado el ensayo, se efectúa un análisis granulométrico completo del producto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca (menor a 6 mallas).

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo Por comparación de ensayos realizados según la etapa 1 con resultados experimentales de molienda a escala piloto, Bond concluyó que el material se podía caracterizar mediante un parámetro que denominó Indice de Trabajo Wi (Work Index) y que relacionó con la moliendabilidad del ensayo normalizado según la ecuación empírica: WiT =

(1.1)(44.5)

 10 − 10    xQT   x GT  √  √ 

,

kWh/ton métrica

(3.3)

0.82 p0.23 1 Gbp

donde WiT es el índice de trabajo del ensayo expresado en kWh/ton métricas, p1 es el tamaño en micrometros de la malla de separación, Gbp es la moliendabilidad, xQT es el tamaño del 80% en el producto y xGT es el tamaño del 80% en la alimentación fresca (cercana a 2000 µm), todos determinados en el ensayo de Bond. Se debe destacar que el número 10 en la ecuación (3.3) corresponde a √   100µm     , por lo que 10 ⁄ √   x es adimensional. El factor 1.1 convierte el Indice de Trabajo de Bond de kWh/tonelada corta a kWh/tonelada métrica. 47

Tabla 3.1 Indices de Trabajo de Bond Típicos

Material Arena de Zirconio Bauxita Carburo de Silicio Clinker de cemento Cuarzo Corundo Dolomita Feldespato Ferrosilicio Pedernal Fluorespato Granito Roca de yeso Hematita Caliza Magnetita Mineral de Cobre Roca de fosfato Pirita

Indice de Trabajo WiT, kWh/ton métrica * 28 11 32 16 16 33 14 13 12 32 11 12 8 15 15 12 13 12 11

(*) Estos valores se dan solamente como una guía de la magnitud de WiT. El Indice de Trabajo de Bond para un determinado material tiene un rango de valores. Por ejemplo, la caliza tiene propiedades de molienda que van desde blanda a muy dura.

Tabla 3.2 Conversión de circuito cerrado a circuito abierto. P(p1) 50 60 70 80 90 92 95 98

48

K1 1.035 1.05 1.10 1.20 1.40 1.46 1.57 1.70

Figura 3.2 : Variación del Indice de Trabajo de Bond con el tamaño de la malla de separación [3.3].

El índice de trabajo obtenido de esta manera es algunas veces, una función débil del tamaño de la malla de separación p1, la que puede ser elegida entre 28 y 325 mallas dependiendo del tamaño de corte que se desea simular. Sin embargo, lo más frecuente es utilizar la malla 200 (p1=75 µm), ver Figura 3.2. Valores típicos de los Indices se muestran en la Tabla 3.1.

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores Para utilizar el Indice de Trabajo en molinos mayores, Bond propuso las expresiones de escalamiento que siguen: (2.44 ⁄ D)0.2WiT  Wi D =  0.914Wi T 

par a D ≤ 3.81m

(3.4)

para D > 3.81m

49

donde WiD es el índice de trabajo a usar en un molino de diámetro D.

ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación Para utilizar el Indice de Trabajo WiD en otras condiciones de operación, es necesario introducir factores de conversión. El Indice de Trabajo Wi para un caso determinado se relaciona al WiD , mediante: Wi = K Wi D

(3.5)

donde : K = K1 K2 K3 K4 K5 con: K1 es un factor de conversión a circuito abierto K2 es un factor de conversión a molienda seca K3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentación K4 es un factor de corrección por la fineza de molienda K5 es un factor de corrección por razón de reducción Conversión a circuito abierto: La ecuación (3.3) fue desarrollada para un circuito de molienda cerrado. Para utilizarla en circuito abierto es necesario introducir un factor de corrección constituido por el multiplicador K1 de la Tabla 3.2, donde p1 es la malla de separación en el test de Bond y P(p1) el porcentaje menor a la malla p1 deseado en el producto del circuito abierto de molienda. Conversión a molienda seca : Aun cuando el ensayo de Bond se realiza en seco, la ecuación (3.3) es válida para molienda húmeda. Por lo tanto, se debe aplicar un factor de corrección cuando se desee diseñar un molino seco ya que la molienda seca es menos eficiente que la húmeda: K2 =

1.3    1.0

molienda seca

(3.6)

molienda húmeda

Corrección por sobretamaño en la alimentación : Si el tamaño de alimentación es tal que se cumple: xG > 4000√   1.10(13       ⁄ Wi   T)

(3.7)

es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica, mediante el factor K3 dado por:

50

K3 = 1+

xG − 1 [ (WiT ⁄ 1.10)− 7]    1.10(13       ⁄ Wi   T)   4000√ (xG ⁄ xQ)

(3.8)

Corrección por fineza de molienda: Cuando la molienda es fina, tal que xQ < 75 µm en molienda húmeda y 15 µm ≤ xQ ≤ 75 µm en molienda seca, el Indice de Trabajo debe ser corregido mediante: K4 =

(xQ + 10.3) 1.145xQ

(3.9)

Para la molienda húmeda esta corrección no debe sobrepasar 5. Corrección por razón de reducción pequeña: Para moliendas con razón de reducción pequeña, tal que xG ⁄ xQ < 6 , se debe corregir el Indice de Trabajo con K5: K5 = 1 +

0.13 (xG ⁄ xQ) − 1.35

(3.10)

ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada Bond estableció que, dentro de un amplio rango de tamaños, la energía específica necesaria para la conminución se podía relacionar a los tamaños de alimentación xG y producto xQ mediante la expresión: 10 10  E = Wi  −    xQ √ xG  √

(3.11)

donde E es la energía específica de molienda en kWh/ton y xQ y xG son los tamaños del 80% del producto y alimentación al circuito en µm y Wi el Indice de Trabajo en kWh/ton. Se puede concluir que el circuito en el método de diseño de Bond es tratado como si fuera equivalente a un molino en circuito abierto como se ilustra en la Figura 3.1. La energía específica de molienda dada por la ecuación (3.11) está basada en la potencia que consume el molino en el eje (sin tomar en cuenta las pérdidas eléctricas), tal que se cumple: mp = QE

(3.12)

donde mp es la potencia en el eje en kW y Q el flujo de mineral en ton/h, para producir la reducción de tamaño de xG a xQ. El Indice de Trabajo Wi ha sido frecuentemente interpretado como “la energía específica de molienda necesaria para producir una reducción de tamaño desde una alimentación con xG = grande a un xQ = 100 µm”. De la ecuación (3.11) se deduce que, en estas circunstancias, E=Wi. Sin embargo, esta explicación es engañosa ya que la 51

ecuación (3.3) no es aplicable cuando xG adquiere valores grandes. Como la ecuación sí es válida para xG = 900 µm, es conveniente interpretar Wi como Wi = 1.5E*, donde E* es la energía específica para ir desde una alimentación fresca de xG=900 µm a un producto del circuito de xQ = 100 µm, en un molino de 2.44 m de diámetro interior, en húmedo y operado con 350% de carga circulante.

ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda Bond propuso una ecuación que da la potencia necesaria para mover los medios de molienda, por unidad de éstos. Como la carga de medios de molienda está dada por

πD2LJρb(1 − ε) ⁄ 4, donde J es la fracción de llenado o volumen aparente ocupado por los medios de molienda, ε es la porosidad de la carga de bolas y ρb la densidad de las bolas.Usandoε = 0.4 la potencia en el eje en kW está dada por:

0.1 mp = 7.33A J ϕc (1 − 0.937 J )1 − 9 − 10ϕ  ρb L D2.3 2   c

(3.13)

donde A es una constante igual a 1 para la molienda húmeda en un molino de rebalse; 1.16 para la molienda húmeda en un molino de parrilla y 1.08 para la molienda seca, y ϕc es la fracción de velocidad crítica.

3.2.2 Procedimiento de Cálculo El diseño de un molino se basa en la determinación de la potencia en el eje necesaria para producir la reducción de tamaño, ecuación (3.12) e igualarla a la potencia en el eje necesaria para mover la carga, ecuación (3.13). De la ecuación resultante se puede obtener el diámetro del molino, cuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando se conoce el diámetro. En ambos casos es necesario suponer una razón para L/D. (a) Capacidad de un molino de bolas Combinando las ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) se obtiene: Q = 6.13ZD3.5

D ≤ 3.81 m

(3.14)

Q = 8.01ZD3.3

D ≥ 3.81 m

(3.15)

 0.1ϕc  L Aρb J − 0.937J2 ϕc − 9 − 10ϕ   2  D   Z= K WiT (10 ⁄ √   xG )   xQ − 10√ c

52

(3.16)

Figura 3.3 : Capacidad de un circuito cerrado de molienda (c = 2.5) en húmedo con descarga de rebalse pronosticado por el método de Bond : L/D = 1.5, J = 0.35, ϕc = 0.70, WiT = 10 kWh ⁄ ton.

donde ρb= 7.9 ton/m3, es la densidad de las bolas, A=1 para molienda húmeda y 1.08 para molienda seca, L y D son el largo y diámetro interno del molino, J es la fracción de llenado de bolas, ϕc es la fracción de velocidad crítica, K es el parámetro de corrección en la ecuación (3.5), WiT es el Indice de Trabajo determinado por el ensayo normalizado de Bond, xG y xQ son los tamaños del 80% de la alimentación y producto del circuito en micrometros. (b) Diámetro de un molino de bolas Las mismas ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) pueden ser ordenadas para dar el diámetro del molino: D = 0.60(Q ⁄ Z)0.286

D ≤ 3.81 m

(3.17)

D = 0.53(Q ⁄ Z)0.303

D ≥ 3.81 m

(3.18)

donde D es el diámetro interior del molino en m, Z está dado por ecuación (3.16) y Q es el flujo másico de alimentación fresca al molino (que opera a 350% de carga circulante) en toneladas por hora. La Figura 3.3 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J=0.35, L/D=1.5, ϕc=0.7, WiT=10 kWh/ton para varios valores del diámetro D y tamaño de alimentación xG. Por ejemplo, un molino de 3.8 m de diámetro que de un producto con 53

Tabla 3.3 Factores de corrección para Q de la Figura 3.3 (circuito cerrado húmedo con descarga de rebalse, C = 2.5) para otros valores de J y ϕc.

J

J − 0.937J2

Factor

ϕc

0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50

0.16 0.17 0.17 0.18 0.19 0.19 0.20 0.20 0.21 0.21 0.22 0.22 0.22 0.23 0.23 0.24 0.24 0.24 0.24 0.25 0.25 0.25 0.25 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.27 0.27

0.69 0.71 0.79 0.77 0.79 0.81 0.84 0.86 0.88 0.90 0.91 0.94 0.95 0.97 0.99 1.00 1.01 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.10 1.11 1.12 1.11 1.13 1.13

0.60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.90

ϕc −

0.1ϕc 29 − 10ϕc 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.72 0.73 0.74 0.75 0.75 0.76 0.77 0.77 0.78 0.78 0.79 0.79 0.80 0.80 0.81 0.81

Factor 0.87 0.88 0.90 0.91 0.92 0.94 0.95 0.96 0.97 0.99 1.00 1.01 1.02 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.16 1.17 1.18 0.18 1.19

xQ = 150 µm desde una alimentación con xG = 2.0 mm tendrá una capacidad aproximada de 210 ton/hora con un consumo de energía específica de 6.0 kWh/ton. La Figura 3.3 sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ϕc utilizando la tabla 3.3. Para un nuevo valor de J=0.30 y ϕc = 0.75, la capacidad del molino de 3.8 m será de Q=0.91x1.06x210=203 ton/hora. Por otra parte, si el material tiene un WiT = 15, como la hematita, la capacidad para las últimas condiciones será Q=(10/15)x203=135 ton/hora.

54

3.2.3 Discusión del Método de Bond El método de diseño de molinos de Bond es válido para la molienda en circuito cerrado en condiciones “normales” de operación. El método no considera un número importante de efectos menores y por lo tanto no puede ser utilizado para el ajuste u optimización de un sistema determinado, ya sea desde el punto de vista operacional o económico. Esto implica que el método posee un cierto número de desventajas: (1) El método se basa en el ajuste empírico de datos de muchos molinos y materiales operando bajo condiciones normales y, por lo tanto, para casos específicos producirá un rango de errores. El método no toma en consideración varios factores de diseño y operación que obviamente son importantes: (i) razón de recirculación y eficiencia del clasificador; (ii) mezcla de bolas de diversos tamaños en el molino; (iii) variación de la distribución de tiempos de residencia con la geometría y la densidad de pulpa; (iv) influencia del diseño de las barras levantadoras; (v) influencia de la densidad de pulpa y reología de la pulpa sobre las velocidades de molienda, y efectos químicos sobre la reología; (vi) variaciones causadas por los diversos grados de llenado que adquiere el molino a medida que cambia el flujo de alimentación, especialmente para molinos con descarga por parrilla o en la periferia, los que no se comportan igual que los molinos de rebalse. (2) Se sabe que la energía específica de molienda E no es independiente de la carga de bolas J, mientras que la ecuación (3.11) muestra explícitamente independencia de J. La práctica industrial y también ensayos de laboratorio muestran que la energía específica es menor para cargas pequeñas de bolas que para cargas mayores que den la capacidad máxima. (3) El método usa solamente los tamaños del 80% de la alimentación y producto del circuito como caracterización de la distribución de tamaño, aunque está claro que la

Figura 3.4 : Circuito cerrado inverso tratado como dos clasificadores idénticos.

55

capacidad del molino depende, en general, de la forma de toda la distribución de tamaño de la alimentación y producto. El mejor ejemplo de esto es el uso del circuito cerrado inverso, como se muestra en la Figura 3.4, el que presenta ventajas cuando la alimentación fresca contiene una cantidad significativa de material que cumple las especificaciones de fineza. Conceptualmente, este circuito puede ser tratado como si existieran dos clasificadores idénticos, uno clasificando la alimentación y el otro el producto del molino. La descarga del primer clasificador es la alimentación fresca efectiva al circuito cerrado normal. En principio, el cálculo de Bond debe ser realizado en la parte de circuito cerrado normal de este circuito, lo que requeriría un conocimiento de la acción de clasificación sobre la alimentación fresca. Sin embargo, las simulaciones, dadas en el capítulo 11, muestran que frecuentemente la capacidad y distribuciones de tamaño producidas por el circuito inverso son casi idénticas a las del circuito normal, siendo el resto de los factores idénticos. Esto ocurre porque la razón de recirculación real en el molino es menor para el circuito inverso que para el normal, si ambos usan el mismo clasificador, lo que compensa las ventajas de remover los finos de la alimentación fresca. Por lo tanto, el cálculo de Bond se realiza como si el circuito fuese un circuito normal, usando el tamaño del 80% de la carga fresca y del producto final del circuito. El modo correcto de diseñar un circuito inverso, para utilizar la ventaja de la acción clasificadora sobre la alimentación fresca se discute en el capítulo 11. (4) La aplicación del método de Bond a un circuito abierto envuelve un problema lógico. El factor K1 de la Tabla 3.2 reduce la capacidad de un molino (aumenta el Indice de Trabajo) por un factor que depende del porcentaje menor a la malla de separación p1 deseada en el producto del molino (del circuito abierto). Sin embargo, la Figura 3.2 muestra que el Indice de Trabajo no cambia significativamente para algunos materiales. Para un molino y un material determinado el porcentaje menor a p1 cambia al variar el tamaño de separación p1 y si el Indice de Trabajo no cambia con p1 para compensar por los diversos multiplicadores de la Tabla 3.2 se obtendrá un molino diferente en cada cálculo, lo que es ilógico. De hecho, la experiencia general es que el método de Bond no da el nivel de precisión requerido cuando se lo utiliza para el diseño de circuitos de molienda abiertos.

3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL Rowland [3.4] introdujo el concepto de Indice de Trabajo Operacional, Wiop, definido como el Indice de Trabajo que resultaría al aplicar la ecuación para la energía de Bond ecuación (3.11), a los datos de planta: Eop = Wiop(

10 10 − ) √ xG √ xQ

(3.19)

donde Eop es la energía específica real consumida en la planta en kWh/ton y xG y xQ son los valores del 80% de la alimentación y producto del circuito. Si designamos con E la energía pronosticada con la ecuación de Bond en base al Indice de Trabajo obtenido en el laboratorio Wi, según la ecuación (3.11) para producir la misma razón de reducción, reemplazando en la ecuación (3.19) resulta:

56

Tabla 3.4 Comparación del Indice de Trabajo experimental y operacional para molinos de bolas en circuito cerrado, incluyendo molinos de barras y bolas. Diámetro Diámetro interior interior del molino del molino m

pies

xG

xQ

Indice de Trabajo Operacional kWh/ton Wiop

3 3.5 3.8 3.8 3.8 3 3 3 3.7 3.7 3.7

10 11 - 1/2 12 - 1/2 12 - 1/2 12 - 1/2 10 10 10 12 12 12

1280 1150 1330 1123 1226 1568 1321 1444 1264 1135 1200

165 230 35.3 38.0 36.6 121 107 114 181 185 183

14.50 11.48 10.71 9.77 10.24 5.34 5.96 5.56 11.78 13.17 12.45

Wi op = Wi

Tamaño en µm : Alimen.

Tamaño en µm : Produc.

Eop E

Indice de Trabajo Experimental kWh/ton Wi 14.61 8.90 11.2 11.2 11.2 5.99 6.26 6.12 13.34 13.18 13.26

Wiop Wi

0.99 1.29 0.96 0.87 0.91 0.89 0.95 0.92 0.88 1.00 0.90 0.945

Número de datos

1 1 1 1 2 6 6 12 4 4 8 24

(3.20)

En el caso que las potencias calculadas y reales resulten iguales, la razón Wiop ⁄ Wi corresponde a la razón entre la capacidad pronosticada y la real. Para un molino operando eficientemente, variaciones en la eficiencia de clasificación, distribución de tamaño de la alimentación, distribución de tamaño de bolas, etc., pueden dar razones de Wiop/Wi diferentes de la unidad. Rowland ha dado resultados para molinos de bolas pertenecientes a un circuito molino de barras-molino de bolas que muestran variaciones de esta razón en el rango 0.87 hasta 1.29, con un promedio de 0.945 (ver Tabla 3.4). Este rango de variación es consistente con los efectos de variación en la eficiencia de clasificación, parámetros de ruptura primaria, mezcla de bolas, etc., como se predice por simulación de un circuito completo de molienda-clasificación para una operación eficiente. Si la razón se torna muy grande, esto es, mayor a 1.3, ello es indicación de que las condiciones de molienda no son correctas y hay ineficiencias directas.

57

3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BARRAS El diseño de molinos de barras mediante el método de Bond sigue el mismo procedimiento que el diseño de molinos de bolas. Se puede distinguir las mismas seis etapas. Daremos una muy breve reseña de este procedimiento, indicando las ecuaciones pertinentes.

3.4.1 Ecuaciones de Diseño ETAPA 1. Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond Para la molienda primaria en molino de barras el ensayo normalizado de moliendabilidad se realiza en un molino de 305x610 mm (12x24 pulgadas) conteniendo una carga de barras de 33,380 g con la distribución que sigue: 6 barras de 31.8x533 mm(1.25x21 pulgadas) 2 barras de 44.5x533 mm(1.75x21 pulgadas) La alimentación al molino es de menos de 12.7 mm (1/2 pulgadas) con un volumen a granel de 1250 cm3. Simulando un circuito cerrado con una carga circulante de 200%, en seco y usando tamices con mallas entre 4 y 65 mallas para la clasificación, se determina la cantidad de gramos de producto por revolución del molino, Grp. En cada etapa del procedimiento, el número de revoluciones se calcula según: r2 = r1 (100 ⁄ 2.0) ψ1(p1) donde ψ1 es el porcentaje de material en el molino que tiene un tamaño menor que p1, después de r1 revoluciones. Una vez alcanzado el equilibrio con una carga circulante de un 200%, la moliendabilidad Grp se calcula según: 1 ψF  W Grp =  −  ∗  2 100  r

(3.22)

donde ψF es el porcentaje menor que el tamaño p1 en la alimentación fresca, r* corresponde a las revoluciones para producir 200% de carga circulante, y W es la carga total de mineral en el molino. Finalizado el ensayo se efectúa un análisis granulométrico del producto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca.

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo El Indice de Trabajo para la molienda húmeda en un molino de barras de 2.44 m de diámetro, operando en circuito abierto se puede obtener de:

58

Wi T =

p1

0.23

Grp

(1.1)(62.2)   x GT ) (10 ⁄ √   x QT − 10 ⁄ √

0.625

kWh ⁄ ton métrica

(3.23)

donde WiT es el Indice de Trabajo del ensayo, en kWh/ton métrica, p1 es el tamaño de la malla de separación en µm, Grp es la moliendabilidad para molino de barras, xQT y xGT son los tamaños del 80% del producto menor a p1 y de la alimentación fresca, respectivamente.

ETAPA 3. Escalamiento a molinos mayores El escalamiento del Indice de Trabajo a molinos mayores a 2.44 m es el mismo independientemente de si la carga está constituida por bolas o barras. Entonces, como se muestra en la ecuación (3.4): Wi D =

(2.44 ⁄ D)0.2WiT    0.914Wi T 

par a D ≤ 3.81 m

(3.24)

para D > 3.81 m

donde WiD es el Indice de Trabajo a usar en un molino de diámetro D.

ETAPA 4. Corrección para otras condiciones de operación Para utilizar el Indice de Trabajo en otras condiciones de operación, es necesario introducir factores de conversión tales que el Indice de Trabajo Wi para un caso determinado se relacione con WiD mediante: Wi = KWiD

(3.25)

con K = K1K2K3K4 donde : K1 es un factor de conversión por tipo de circuito K2 es un factor de conversión a molienda seca K3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentación K4 es un factor de conversión por razón de reducción Conversión por tipo de circuito: La eficiencia de la molienda en un molino de barras es afectada por el control que se tiene sobre su alimentación: Para un molino de barras solo, usar el factor: K1 =

 1.4    1.2

alimentación molino proviene de circuito abierto de trituración

(3.26)

alimentaciónmolino proviene de circuito cer r adode trituración

Para un circuito con molino de barras-molino de bolas usar el factor:

59

K1 =

1.2    1.0

alimentación molino proviene de circuito abierto de tr itur ación

(3.27)

alimentaciónmolino proviene de circuito cerrado de trituración

Conversión a molienda seca: El factor de corrección para molienda húmeda o seca es el mismo que para molinos de bolas, ecuación (3.6): K2 =

    

1.3

Molienda seca

1.0

Molienda húmeda

(3.28)

Corrección por sobretamaño en la alimentación: Si el tamaño de la alimentación es tal que se cumple: xG > 16,000√   1.10(13        ⁄ Wi    T)

(3.29)

es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica mediante el factor K3 dado por : [(WiT ⁄ 1.10) − 7][ K3 = 1 +

xG − 1] 16,000√   1.10    (13     ⁄ Wi    T) (xG ⁄ xQ)

(3.30)

Corrección por extremos en razón de reducción: La razón de reducción normal xG ⁄ xQ para un molino de barras está dado por (xG ⁄ xQ)0 = 7.5 + 5L ⁄ D

(3.31)

donde L y D son el largo y diámetro interiores del molino. En aquellos casos en que (xG ⁄ xQ) − (xG ⁄ xQ)0 > 2 , es necesario aplicar un factor de corrección K4: 2

K4 = 1 + [ (xG ⁄ xQ) − (xG ⁄ xQ)0] ⁄ 150

(3.32)

Para razones de reducción grandes, el factor K4 sólo se aplica si WiT > 8.

ETAPA 5. Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada. Para molinos de bolas y barras el cálculo de la energía específica de molienda E es el mismo. Entonces, de las ecuaciones (3.11) y (3.12)

10 10  E = Wi  − √ xG   √ xQ

60

(3.33)

mp = QE

(3.34)

donde Wi es el Indice de Trabajo corregido en kWh/ton, xQ y xG son los tamaños del 80% del producto y de la alimentación al molino de barras en µm, Q es el flujo de alimentación en ton/h, E es la energía específica de molienda en kWh/ton y mp es la potencia en el eje del molino expresada en kW.

ETAPA 6. Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda Al igual que para molinos de bolas, Bond propone una ecuación que da la potencia necesaria para mover los medios de molienda, por unidad de éstos. Como la carga de barras está dada por πD2LJρb(1 − ε) ⁄ 4, con ε = 0.20, la potencia en el eje queda expresada por: mp = 6.94Jϕc(1 − 0.857J)ρbLD2.34

kW

(3.35)

3.4.2 Procedimiento de cálculo Igualando las ecuaciones (3.34) y (3.35) se puede obtener el diámetro del molino cuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando se conoce el diámetro. En ambos casos es necesario suponer una razón L/D.

Figura 3.5 : Capacidad de un molino de barras en húmedo pronosticada por el método de Bond : L/D = 1.5, J = 0.35, ϕc = 0.70, WiT = 10 KWh/ton.

61

Tabla 3.5 Factores de corrección para Q de la Figura 3.5 para valores de J y ϕc. J

1 − 0.857J

Factor 1

ϕc

Factor 2

0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50

0.83 0.82 0.81 0.80 0.79 0.79 0.78 0.77 0.76 0.75 0.74 0.73 0.73 0.72 0.71 0.70 0.69 0.68 0.67 0.67 0.66 0.65 0.64 0.63 0.62 0.61 0.61 0.60 0.59 0.58 0.57

0.68 0.70 0.73 0.75 0.78 0.80 0.82 0.85 0.87 0.89 0.91 0.93 0.95 0.97 0.98 1.00 1.02 1.03 1.05 1.06 1.07 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.15 1.16 1.17

0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90

0.86 0.87 0.89 0.90 0.91 0.93 0.94 0.96 0.97 0.99 1.00 1.01 1.03 1.04 1.06 1.07 1.09 1.10 1.11 1.13 1.14 1.16 1.17 1.19 1.20 1.21 1.23 1.24 1.26 1.27 1.29

(a) Capacidad de un molino de barras. Combinando las ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) se obtiene: Q = 5.81XD3.54

, D ≤ 3.81 m

(3.36)

Q = 7.59XD3.34

, D > 3.81 m

(3.37)

donde :

62

X=

ρb(L ⁄ D)(J − 0.5871J2)ϕc KWiT(10 ⁄ √   xQ − 10 ⁄ √   xG )

(3.38)

ρb= 7.9 ton/m3 es la densidad de las barras. (b) Diámetro de un molino de barras Las mismas ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) pueden ser ordenadas para obtener el diámetro del molino D = 0.61(Q ⁄ X)0.282

, D ≤ 3.81 m

(3.39)

D = 0.55(Q ⁄ X)0.299

, D > 3.81 m

(3.40)

donde X está dado por la ecuación (3.38) y Q es el flujo másico de alimentación al molino en toneladas por hora. La Figura 3.5 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J=0.35, L/D=1.5, ϕc= 0.70 y WiT=10 kWh/ton para varios valores del diámetro D(3.0 a 5.0 m) y tamaño de alimentación xG (10 a 20 mm). Por ejemplo un molino de 3.8 m de diámetro que dé un producto con xQ=1000 µm desde una alimentación con xG=10.0 mm tendrá una capacidad aproximada de 630 ton/h con un consumo de energía de 1.2 kWh/ton. La Figura 3.3 sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ϕc utilizando la Tabla 3.5. Para un nuevo valor de J=0.30 y ϕc =0.75 la capacidad del molino de 3.8 m será de Q=0.93x0.86x630=504 ton/h. Por otra parte, si el material tiene un WiT=15, como la hematita, la capacidad del circuito, para las últimas condiciones será Q=(10/15)x504=336 ton/h.

3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO El método de Bond es aplicable a molinos de bolas y barras, como hemos visto en las secciones anteriores. Otros tipos de molinos deben ser diseñados mediante otros procedimientos que no serán analizados en este texto. Un molino de bolas que opera en condiciones anormales, como por ejemplo a una alta densidad de pulpa da resultados que no pueden ser pronosticados por el método de Bond. En casos como ése es frecuente realizar experiencias en equipos piloto que se acerquen lo más posible a las condiciones del molino industrial, expresando el resultado como “kWh/ton de producto”, lo que corresponde a una determinación directa de la energía específica de molienda. Esta debe ser corregida para descontar la potencia “en vacío”, ya que los molinos piloto tienen frecuentemente mayores pérdidas en los descansos y transmisión que los molinos industriales. El valor de E se escala entonces a molinos de mayor diámetro usando las relaciones:

63

ET    E = ET(2.44 ⁄ D)0.2   0.914E T 

, DT ≤ D < 2.44 m , 2.44 ≤ D ≤ 3.81 m ,

(3.41)

D > 3.81 m

Como la corrección mediante la expresión de Bond (10 ⁄ √   xQ − 10 ⁄ √   xG ) para otros tamaños de alimentación y producto puede no ser aplicable, el método usual es calcular la energía específica por tonelada neta de algún producto específico. E∗T = ET ⁄ (Q(x∗)T − G(x∗)T)

(3.42)

donde Q(x*)T es la fracción menor que el tamaño x* especificado en el producto del ensayo piloto y G(x*)T es la fracción menor que el tamaño x* en la alimentación. Por ejemplo, si x* se escoge como 500 µm, E*T son los kWh/ton netos de producción de tamaño menor 500 µm (descontando los contenidos de tamaños menores a 500 µm en la alimentación). En ese caso la energía específica de molienda para otros valores de Q(x*), G(x*) está dada por: E = E∗T [Q(x∗) − G(x∗)]

(3.43)

Finalmente, es importante destacar que en el laboratorio es posible utilizar otros molinos, diferentes al de Bond, para obtener Gbp o Grp. En estos casos, es necesario obtener los factores de calibración por los cuales es necesario multiplicar el miembro derecho de las ecuaciones (3.3) y (3.23) para obtener el valor de WiT normalizado.

3.6 REFERENCIAS 3.1

Bond, F.C., Crushing and Grinding Calculations, Brit. Chem. Eng, 6(1960)378-391, 543-548.

3.2

Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Ball and Rod Milling, Mineral Processing Plant Design, 2nd Ed., ed. A. Mular and R. Bhappu, eds., AIME, New York, NY(1978)239-278; Molinos de Barras y Bolas, Diseño de Plantas de Proceso de Minerales, 2nd Ed., A. Mular y R. Bhappu, eds., Editorial Roca y Minerales, Madrid(1982)214-247.

3.3

Smith, R.W. and Lee, K.H., Trans. AIME, 241(1968)91-99.

3.4

Rowland, C.A., Jr., Comparison of Work Indices Calculated From Operation Data with Those from Laboratory Test Data, IMM (London), Proc. 10th IMPC, ed. M.J.Jones, ed.,(1973)47-61.

64

CAPITULO 4 CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS

4.1 INTRODUCCION La Figura 4.1 proporciona el resultado típico de una prueba de molienda discontinua en un molino de bolas de laboratorio. Son datos como éstos los que condujeron al desarrollo de descripciones empíricas tales como la “Ley de Charles” y la “Ley de Bond” para la molienda discontinua. En este capítulo analizaremos más detalladamente este patrón básico de datos experimentales, utilizando los conceptos de velocidad específica de fractura y distribuciones de tamaño de la progenie en un balance de masa por tamaño completo, [4.1 a 4.8]. Esta descripción detallada es mucho más útil para analizar datos experimentales y los conceptos involucrados nos permitirán efectuar simulaciones precisas de circuitos de molienda y describir con bastante seguridad la influencia de las variables en el proceso. La Figura 4.1 muestra el excelente acuerdo entre valores calculados y datos experimentales que se logra obtener. Este capítulo mostrará las bases para realizar la simulación.

4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN Considere un molino discontinuo de laboratorio como si fuese un reactor bien mezclado que contiene una masa W de material en polvo, la que recibe una variedad de acciones de fractura cuando el molino está en operación. Es conveniente representar la distribución granulométrica del polvo en el molino como se muestra en la Figura 1.2, donde los intervalos de tamaño corresponden a una serie geométrica de tamices con 4   2 . Si la alimentación inicial del molino está limitada a partículas dentro del  2 ó √ √ intervalo de tamaño mayor, numerado como intervalo 1, entonces la condición inicial es w1(0)=1. Esta alimentación se muele por un intervalo de tiempo t1, se muestrea el producto para determinar por tamizaje la fracción en peso que permanece en el intervalo de tamaño original y, retornando la muestra al molino, se continúa su operación por un intervalo de tiempo adicional t2, repitiendo todo el procedimiento. Parecería razonable que la velocidad de desaparición de la masa de la fracción de tamaño 1 concuerde con una ley de primer orden, esto es : d [w1(t)W ] dt

∝ − w1(t) W

65

Figura 4.1 : Distribución de tamaños experimentales y calculados para la molienda seca de monotamaño de cuarzo 20× 30 mallas US en un molino de 8 pulgadas de diámetro (U = 0.5; J = 0.2; ϕc = 70% c.s.; bolas de pulgada de diámetro; W = 300 g; mp = 0.013 kW): -, calculado; o, experimental por tamizado; o, experimental por Sedigraph. Velocidad de desaparición de la masa de partículas de tamaño 1 por ruptura

∝

Masa de partículas de tamaño 1 presente en el molino en el tiempo t

Como la masa retenida en el molino W es constante, resulta: dw1(t) = − S1w1(t) dt

(4.1)

donde S1 es una constante de proporcionalidad que recibe el nombre de velocidad específica de fractura y tiene unidades de t-1. Entonces, si S1 no varía con el tiempo, integrando la ecuación (4.1) sujeta a la condición inicial w1(0) da: w1(t) = w1(0) exp( − S1t) o también

66

log[w1(t) ] = log[w1(0) ] − S1t ⁄ 2.3

(4.2)

La Figura 4.2 muestra un resultado experimental típico. Se debe reconocer que no hay una razón fundamental de por qué la hipótesis de primer orden debiera ser aplicable en cualquiera de las situaciones de molienda, y más tarde serán discutidos varios casos de desviación de esta norma. Sin embargo, muy frecuentemente la hipótesis de primer orden es una excelente aproximación a la verdad. Una verificación experimental de la hipótesis, con resultados como los de la Figura 4.2, prueba que la acumulación de finos no afecta la velocidad de fractura específica del material de mayor tamaño. Sin embargo, esto no prueba que el material más fino también se fracturará con una cinética de primer orden, en presencia de cantidades variables de material más grueso. Este chequeo básico fue ejecutado por Gardner y Austin usando una técnica de trazadores radioactivos[4.7]. Si algún tamaño es marcado con un trazador, entonces el desaparecimiento de esa fracción de tamaño con el tiempo puede ser distinguido de la aparición, en ese mismo tamaño, de productos de fractura de tamaños mayores, ya que éstos no estarían marcados. Entonces: w∗j (t) ⁄ w∗j (0) = exp( − Sjt) donde w∗j (t) es la fracción de material marcado de tamaño j. La Figura 4.3 muestra los resultados obtenidos por Gardner y Austin, donde se demuestra que la fractura es de primer orden en un ambiente en el cual la cantidad de ambos tamaños, menores y mayores, está cambiando con el tiempo. Si esto es verdad, entonces también aparece como razonable suponer que, para condiciones de molienda dada y un W fijo, el ensayo de molienda discontinua puede ser repetido con un tamaño menor como tamaño máximo de alimentación y el valor de S determinado para este tamaño, como se muestra en la Figura 4.2, da el mismo resultado que un ensayo con trazador. Esta metodología es conocida como la técnica de monotamaño. La Figura 4.4 muestra un conjunto de resultados típicos para la molienda en un molino de bolas de laboratorio. La convención adoptada es la de representar gráficamente el valor S de un intervalo de tamaño versus el tamaño superior del intervalo y el tamaño es denotado por el tamaño superior del intervalo.

4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA, O DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE En el sentido que aquí se utiliza, la fractura se define como ocurriendo solamente cuando el producto fracturado tiene un tamaño que cae fuera del rango del tamaño original. Por lo tanto en un intervalo de tamaño de √   2 , por ejemplo 16 x 20 mallas U.S., el material debe alcanzar un tamaño menor que 20 mallas para que se considere que hubo fractura, y por esta razón, los productos de la fractura aparecen en los tamaños menores que 20 mallas. La fractura primaria se define como sigue: Si un material se rompe y los fragmentos producidos se mezclan de nuevo con la masa de polvo en el molino, y si esta distribución de fragmentos pudiese ser medida antes que algunos de ellos sean refracturados, entonces el resultado obtenido sería la distribución de fractura primaria, ver Figura 4.5. El término primario no necesariamente significa que los fragmentos son producidos por propagación de “una” fractura, sino solamente que son producidos por acciones de ruptura que ocurren

67

Figura 4.2 : Ejemplo de gráfico de primer orden; antracita de 16x20 mallas US en un molino de 0.6 m de diámetro.

68

Figura 4.3 : Gráfico de primer orden para carbón irradiado molido en una máquina de Hardgrove normalizada.

antes que los fragmentos sean remezclados de nuevo al seno del material. Se debe también notar que los valores medidos en situaciones de molienda son presumiblemente el promedio de una gran variedad de acciones de fractura sobre muchas partículas y no se puede esperar que ellas se comparen directamente con resultados de pruebas compresivas sobre partículas individuales. Aunque la fractura se aplique a un solo tamaño, ella da todo un rango de tamaños en el producto y para describir el proceso de molienda es necesario describir esta distribución granulométrica. Existen dos formas convenientes para caracterizar la distribución de tamaño de la progenie. Primero, si el material de tamaño 1 es fracturado, la fracción en peso del producto que aparece en el intervalo de tamaño i es llamado bi,1. El conjunto de números bi,1, en que i varía desde 2 a n, describe entonces la distribución de fragmentos producidos por el tamaño 1. En general, se requiere una matriz de números bi,j para describir la fractura de todos los tamaños de interés, esto es, el conjunto bi,1 con n ≤ i ≤ 2, más el conjunto bi,2 con n ≤ i ≤ 3, etc. La segunda forma de describir la distribución de tamaño de la progenie, es el acumular los valores de b desde el intervalo inferior y hacer que Bi,1 represente la fracción en peso acumulativa de material fracturado del tamaño 1 que resulta ser menor que el tamaño superior del intervalo de tamaño i, ésto es:

69

Figura 4.4 : Ejemplo de variación de la velocidad específica de fractura con el tamaño de partícula para cuarzo: molino de 8 pulgadas de diámetro con bolas de 1 pulgada;   2 (ver Figura 4.1). tamaños en intervalos de √

Figura 4.5 : Gráfico de barras típico de la distribución de fragmentos de la progenie primaria.

70

n

Bi,j = bn,j + bn−1,j + ........ + bi,j =∑ bkj

o también

k=i

bi,j = Bi,j − Bi+1,j

(4.3)

La forma B es conveniente para graficar valores y suavizarlos, ver Figura 4.6. Valores reales típicos se dan en la Tabla 4.1. Los valores de Bij (es conveniente eliminar la coma de los valores bi,j y Bi,j cada vez que ello no produzca confusiones) pueden ser determinados mediante pruebas con monotamaños a tiempos de molienda cortos, para los cuales las correcciones aproximadas para tomar en cuenta la reselección para la fractura de los fragmentos primarios son razonablemente válidas. Está implícito que los valores de Bij no cambian con el tiempo de molienda en el molino. Esto fue demostrado por los experimentos con trazadores radioactivos efectuados por Gardner y Austin[4.7] y que ya hemos mencionado. Puede parecer una labor imposiblemente complicada el medir la matriz de valores de B para todos los materiales bajo todas las condiciones de molienda. Sin embargo, se encuentra a menudo[4.9] que los valores de B son insensibles a las condiciones de molienda, por lo menos en el rango de operación normal de los molinos. Por añadidura, los valores de B para todos los materiales que hemos examinado muestran una forma general similar (ver capítulo 5). Además, se ha encontrado que los valores de B son frecuentemente normalizables, ésto es, que la fracción que aparece en tamaños menores que, por ejemplo, la mitad del tamaño inicial es independiente del tamaño de partida. Por esta razón, es una práctica común graficar los valores de B versus el tamaño adimensional (normalizado), como se muestra en la Figura 4.6 Si los valores de B son normalizables, la matriz de valores de B se reduce a un vector, como se ilustra en la Figura 4.7. Entonces, bij puede ser reemplazado por bi−j .

4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA La velocidad de producción de cada tamaño puede ser representada en términos de Si y bij en la forma: Velocidad de producción de tamaño i a partir de la fractura del tamaño j

= bijSjWwj

=

fracción de tamaño j que por fractura pasa a tamaño i

velocidad de fractura del tamaño j

(4.4)

En base a los parámetros de fractura Si y bij se puede establecer un balance de masa por tamaños para la molienda discontinua. Este balance, representado en la Figura 4.8, se puede expresar en la forma que sigue:

71

Tabla 4.1 Conjunto típico de una distribución de tamaños de la progenie. Tamaño malla U.S.A Número del intervalo i 18/25 1 25/35 2 35/45 3 45/60 4 60/80 5 80/120 6 120/170 7 170/230 8 230/325 9 1

Este es el balance fundamental de masa por tamaño para una molienda discontinua en que la carga del molino está completamente mezclada. Este conjunto de n ecuaciones diferenciales describe el proceso de molienda y da, por supuesto, el resultado de la ecuación (4.1) cuando i=1. Si los valores de S y b son independientes del tiempo de molienda, existe una solución analítica para una condición inicial wi(0) determinada. La solución para diversos tiempos de molienda genera valores de wi(t) desde los cuales P(xi,t) puede ser calculado rápidamente por acumulación.

Figura 4.8 : Ilustración del balance de masa por tamaños para un molino discontinuo de laboratorio perfectamente mezclado : el intervalo de tamaño 2 recibe material del intervalo 1; el intervalo de tamaño 3 recibe material de todos los tamaños 1 y 2, etc. y el sumidero recibe material de todos los tamaños mayores.

74

La Figura 4.1 muestra la solución calculada para varios tiempos de molienda utilizando los valores normalizados de B de la Figura 4.6 y los valores de S de la Figura 4.4 para la alimentación indicada. También se muestra los valores experimentales determinados por tamizaje y una extensión a tamaños finos utilizando el Sedigraph. Está claro que el acuerdo entre resultados experimentales y calculados es excelente. Esto es una confirmación de que las suposiciones que se hizo al medir y aplicar los valores de S y B a la solución son correctas para este conjunto de datos: que la molienda es de primer orden y que los valores de b son constantes en el tiempo. Está implícito que no sucede un crecimiento de partículas más pequeñas a más grandes mediante soldadura fría. También está implícito que las propiedades de fractura de un determinado tamaño j en los productos de la fractura son iguales que las del material de tamaño j en la alimentación. Esto no siempre es verdadero, ya que la historia del material de alimentación puede afectar las propiedades de la fractura. También es necesario, por supuesto, que el material que se va a fracturar sea “homogéneo” desde el punto de vista de fractura, es decir, que no consista de una mezcla de componentes resistentes y débiles. Es sorprendente cuan homogéneos son la mayoría de los materiales, desde este punto de vista; rocas visualmente inhomogéneas a menudo proporcionan excelente ruptura de primer-orden.

4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA La ecuación de molienda discontinua fue solucionada por Reid [4.11] en la forma que se indica a continuación: Para i=1 dw1(t) ⁄ dt = − S1w1(t) lo que por integración da: w1(t) = w1(0)exp( − S1t) Para i=2 dw2(t) ⁄ dt = − S2w2 (t) + b21S1w1(t) Sustituyendo w1(t) resulta: dw2(t) ⁄ dt + S2w2(t) = b21S1w1(0)exp( − S1t) Multiplicando por el factor de integración exp(S2t) se obtiene exp(S2t)

dw2(t) + S2w2(t) exp(S2t) = b21S1w1 (0) exp[ − (S1 − S2) t] dt

d[w2(t) exp(S2t)] ⁄ dt = b21S1w1(0) exp[ − (S1 − S2) t] Por lo tanto para S2 = S1 se puede integrar esta expresión por separación de variables: w2(t) =

b21S1w1(0) b21S1w1(0) exp( − S2t) exp( − S1t) − + w2(0) exp( − S2t) S2 − S1 S2 − S1

75

Procediendo similarmente para i=3, i=4, etc. y solucionando términos y deduciendo el término general, se obtiene: i

∑ aij exp ( − S t)

wi(t) =

j

, n≥ i≥ j≥ 1

(4.6a)

j= 1 i−1  wi(0) − ∑ aik  k=1  i>j aij =   i−1  1  Si − Sj ∑ Sk bik akj k=j 

,i=j

,i>j

Esta expresión se denomina solución de Reid . En esta ecuación los valores de aij no dependen del tiempo de molienda pero sí dependen de la distribución granulométrica de la alimentación. La Tabla 4.1 proporciona los primeros términos de la solución. El número de términos crece rápidamente cuando i se hace grande. Reagrupando los términos de un modo diferente, Luckie y Austin [4.12] mostraron que la solución de Reid se puede expresar en la forma: i

wi(t) =

∑ d w (0) ij

j

, n≥ i≥ 1

(4.6b)

j= 1

donde dij está dada por : 0   e − Si t  dij (t) =   i−1  ∑ cikcjk(e− Skt − e − Sit)   k=j

, ij

y cij es : j− 1   − ∑ cikcjk  k= i   cij =  1  i− 1  ( 1 ) Sb c  Si − Sj ∑ k ik kj = k j 

76

, i j

Tabla 4.2 Primeros tres términos en la solución de Reid de la molienda discontinua.

w1(t) = w1(0) e − S1t w2(t) =

S1b21 S1b21 w1(0) e − S1t + w2(0) e − S2t − w1(0) e − S2t (S2 − S1) (S2 − S1)

w3(t) =

S1b21 S2b32 S1b31 w2(0) e − S1t + w1(0) e − S1t + (S3 − S1) (S2 − S1) (S3 − S1)

S2b32 S1b21 S2b32 w2(0) e − S2t − w1(0) e − S2t + (S3 − S2) (S2 − S1) (S3 − S2) w3(0) e − S3t − −

S1b31 S1b21 S2b32 w1(0) e − S3t − w1(0) e − S3t (S3 − S1) (S2 − S1) (S3 − S1)

S2b32 Sb S2b32 w2(0) e − S3t + 1 21 w1(0) e − S3t (S3 − S2) (S2 − S1) (S3 − S2)

Esta forma es más conveniente que la solución Reid para algunas aplicaciones, porque el conjunto de valores de dij representan la función de transferencia para llevar la alimentación al producto. Los valores de dij dependen del tiempo de molienda pero no dependen de la distribución granulométrica de la alimentación. Por otra parte, la solución de Reid puede dar origen a inestabilidades numéricas para pequeños valores de t, lo que lleva a resultados incorrectos, mientras que la forma de Luckie-Austin es más estable y por lo tanto debe ser preferida.

4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA A esta altura pueden establecerse algunas conclusiones muy importantes concernientes a la molienda. En primer lugar, como la solución a las ecuaciones de la molienda discontinua produce resultados virtualmente idénticos a los datos experimentales de la Figura 4.1, las relaciones empíricas que se puedan deducir por aplicación de las leyes de Charles y Bond a los datos, deben también ser consecuencias de la hipótesis de molienda de primer orden, combinada con la forma de los valores de Si y Bij como función del tamaño de las partículas. No existe necesidad, por lo tanto, de buscar las razones fundamentales de por qué estas relaciones son aplicables: son resultados fortuitos de una hipótesis razonable (y probada experimentalmente) y de la forma de los valores de S y B. Por esta razón, el argumento fundamental es “¿Por qué los valores de S y B varían con el tamaño de las partículas y condiciones en el molino en la forma observada?”. Esta pregunta será contestada en el capítulo 5. En segundo lugar, la familia de distribuciones granulométricas obtenidas en la Figura 4.1 depende del tamaño de la alimentación seleccionada. Sin embargo, el balance de masa por tamaño puede ser resuelto mediante los valores de S y B para cualquier distribución granulométrica de la alimentación y, por lo tanto, proporciona una

77

simulación general de la molienda discontinua. Esto se ilustra en la Figura 4.9 donde se utilizó una distribución granulométrica de alimentación poco natural. Claramente no se puede aplicar relaciones empíricas tales como la ley de Charles a tales datos. En tercer lugar, supongamos que se comparan situaciones de molienda en que los valores de B no cambian pero los valores de S se modifican mediante un factor constante k , esto es: S′i = kSi

, n≥ i≥ 1

(4.7)

Las ecuaciones de molienda para cada una de esta situaciones son: i−1

dwi ⁄ dt = − Siwi +

∑ bijSjwj

(A)

j=1 i>1

Figura 4.9 : Cálculo de la distribución de tamaño de la molienda discontinua con una distribución granulométrica de la alimentación poco natural.

78

i−1

dwi ⁄ dt = − S′iwi +

∑ bijS′jwj

(B)

j=1 i>1

Substituyendo la ecuación (4.7) en (B) : i−1

dwi ⁄ d(kt) = − Siwi + ∑ bijSjwj

, n≥ i≥ j≥ 1

(C)

j=1

i>1

Si las ecuaciones A y C se resuelven con la misma distribución granulométrica de alimentación para un tiempo de molienda total τ para A y τ′ para C, es claro que las soluciones producirán resultados idénticos cuando kτ′ en el caso C iguale a τ en el caso

Figura 4.10 : Comparación de la distribución de tamaño de un monotamaño de 16x20 mallas US de coque molido en :  , molino de bolas de 8 pulgadas de diámetro; , molino de bolas de 2 pies de diámetro (U = 1, J = 0.3, ϕc = 0.7, bolas de una pulgada de diámetro).

79

A, porque las ecuaciones son idénticas si kt es reemplazada por t en la ecuación C. Dicho de otra manera, si en el caso B todo es idéntico al caso A excepto que todas las velocidades específicas de fractura son el doble (en general, son aumentadas en k ), es claro que la solución al caso A para un tiempo de molienda, por ejemplo, τ =5 minutos, es idéntica a la solución del caso B para τ =2.5 minutos ( τ′ = τ ⁄ k , en general). El tiempo de molienda τ para ir desde una alimentación dada a un producto deseado es: τ ∝ 1 ⁄S

(4.8)

Esta es una conclusión extremadamente útil porque, si se encuentra que dos diferentes pruebas de molienda dan la misma familia de curvas pero desplazadas solamente por un factor de escala de tiempo, se puede suponer que los valores de B son los mismos y que la variación de S con el tamaño es la misma y que solamente hay un factor de escala en S. Esto se ilustra en la Figura 4.10, donde se ve que la distribución granulométrica varía idénticamente con el tiempo, pero está desplazada por un factor de 1.85 en el tiempo, es decir, el molino de diámetro más grande produce la misma distribución de tamaños del producto en una fracción 1/1.85 del tiempo. En cuarto lugar, si es que el concepto de una energía específica constante E para obtener una determinada molienda (desde una alimentación dada a un producto deseado) ha de ser válida, los valores de S deben ser proporcionales a la potencia consumida por el molino por unidad de masa de material retenido en él. Es decir, doblando la velocidad de aplicación de energía por unidad de masa de material en el molino, debe conducir a una duplicación de los valores de S, a un acortamiento a la mitad del tiempo para producir una determinada molienda y, en consecuencia, el consumo de la misma energía por unidad de masa: E = mp ⁄ SW Por lo tanto la energía específica de molienda es constante aun cuando las condiciones de molienda cambian si mp/SW es constante para todas las condiciones. Esto ha sido confirmado bajo ciertas condiciones en molinos rotatorios de bola de laboratorio por Malghan y Fuerstenau[4.10]. Las implicaciones de esta conclusión son que la molienda de un material determinado en un molino de bolas es un proceso idéntico, en todos los aspectos, para diversas condiciones de operación, excepto en el factor escala de tiempo para los valores de S. Por lo tanto, una fractura eficiente se obtiene cuando mp/SW es mínimo. Condiciones de molienda erradas tales que aumentan mp/SW causan ineficiencia directa.

4.7 REFERENCIAS 4.1

Brown, R.L., J. Inst. Fuel (London), 14(1941)129-134.

4.2

Broadbent, S.R. and Callcott, T.G., Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A249(1956)99-123; J. Inst. Fuel(London), 29(1956)524-528; J. Inst. Fuel(London), 29(1956)528-539; J. Inst. Fuel(London), 30(1957)13-17.

80

4.3

Epstein, B., J. Franklin Inst., 244(1947)471-477; Ind. Eng. Chem., 40(1948)2289-2291; Epstein, B. and Lowry, H.H. reprint, Some Aspects of the Breakage of Coal, Blast Furnace, Coke Oven and Raw Materials Conf., AIME, April 1948.

4.4

Sedlatschek, K. and Bass, L., Powder Met. Bull., 6(1953)148-153.

4.5

Filippov, A.F., Theory of Probability and Its Applications (USSR, English Trans.), 6(1961)275-280.

4.6

Gaudin, A.M. and Meloy, J.P., Trans. AIME, 223(1962)4350.

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4.8

Austin, L.G., Powder Technol., 5(1971/72)1-17.

4.9

Shoji K., Lohrasb, S. and Austin, L.G., Powder Technol., 25(1979)109-114.

4.10 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th European Sym. Zerkleinern, H. Rumpf and K. Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr 1576-1588, Verlag Chemie, Weinheim(1976)613-630. 4.11 Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963. 4.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-51.

81

82

CAPITULO 5 INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO

5.1 INTRODUCCION Nuestro conocimiento actual de la molienda en molinos de bolas está basado en una combinación de experiencia pasada con molinos pilotos y de gran escala y resultados de molinos pequeños de laboratorio. Como se discutió en el capítulo 1, la descripción de un molino contínuo de gran escala debe incluir su distribución de tiempos de residencia. Por el contrario, las pruebas de molienda discontinua en un molino de laboratorio pueden ser enfocadas directamente hacia los factores que afectan la ruptura, sin los efectos complicadores de transferencia de masa. A esto se agrega que es posible examinar cuantitativamente la influencia de cada factor que influye en la ruptura, porque los experimentos son más fáciles y rápidos de efectuar en escala de laboratorio y pueden ser controlados más precisamente. Sin embargo, no existe una garantía a priori que los resultados de un molino a pequeña escala serán idénticos o similares a aquellos efectuados en un molino grande. La correspondencia entre la escala de laboratorio y la piloto o la gran escala debe ser probada experimentalmente. No existe duda de que hay algún grado de correlación entre los resultados de laboratorio y los resultados a gran escala, de otra manera la utilización de pruebas de moliendabilidad en laboratorios, para estimar el tamaño requerido de molinos en gran escala, no daría respuestas correctas. Los métodos de dimensionamiento se han basado principalmente en igualar los resultados de laboratorio, bajo condiciones estandarizadas, con los resultados en escala industrial o con pruebas pilotos en molinos continuos relativamente grandes. Sin embargo, la aplicación de los resultados de pequeña escala a molinos de gran escala puede ser efectuada correctamente solamente vía el detallado método de balance de masa por tamaños, para tomar en consideración todas las diferencias entre las pruebas de laboratorio y la operación a escala completa. Sólo recientemente ha quedado disponible toda la información para hacer esto. Los capítulos siguientes presentan información de pruebas de laboratorio que sin duda alguna corresponden cualitativamente con resultados a gran escala. Se cree que en muchos casos las ecuaciones que se ha desarrollado basadas en pruebas de laboratorio pueden ser cuantitativamente extendidas a molinos de gran tamaño.

83

5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS Es instructivo volver a describir el modo de operación de un molino rotatorio de bolas. Si se concentra la observación en el comportamiento de fractura, la operación del molino es la siguiente. La rotación lleva bolas y polvo alrededor del molino como se ilustra en la Figura 5.1. Cuando las bolas caen en tumbos en el molino golpean polvo atrapado entre otras bolas. Por otra parte, el movimiento general de las bolas en el lecho frotará partículas entre ellas. Crabtree et al. [5.1] distinguen varios diferentes tipos de fractura que pueden suceder. En primer lugar, el impacto masivo produce desintegración completa de una partícula (fractura); Schönert [5.2] ha fotografiado la fragmentación que ocurre y la violencia con la cual las partículas son arrojadas de la región de fractura. En segundo lugar, un golpe de refilón puede astillar una esquina (astillamiento); este mecanismo redondea rocas irregulares a piedras aproximadamente esféricas en la molienda autógena. En tercer lugar, la fricción produce desgaste de las superficies (abrasión); nuevamente en molienda autógena las piedras más o menos esféricas, formadas por astillamiento, se desgastan hasta formar piedras suaves como las piedras de ríos. El astillamiento y la abrasión conducirán a la producción de material fino. Su efecto combinado se denomina atrición. En cualquier molino rotatorio de bolas, bajo condiciones normales, todos estos mecanismos de reducción de tamaño estarán operando. Los valores mensurables de la velocidad específica de ruptura son el efecto neto de la suma de estos mecanismos. Los valores medidos de la distribución de la progenie primaria serán el promedio total de los

Figura 5.1 : Ilustración del movimiento en un molino de bolas a una velocidad normal de operación.

84

fragmentos producidos por cada mecanismo. Debido a la extensa variedad de tipos de impacto presentes en este tipo de molino, cargado con pesadas bolas de acero, es aún posible que los mecanismos se traslapen formando una acción continua de ruptura. Si éste continuo cambia de un mecanismo hacia otro, cuando las condiciones en el molino cambian, se puede esperar que los valores de B cambien, ya que las distribuciones de fragmentos primarios producidas por cada uno de los tres mecanismos son diferentes. A una velocidad de rotación baja, las bolas presentan una acción de volteo relativamente suave y en efecto, existe una tendencia de la masa de bolas a ser levantada por la acción de rotación de las paredes del molino y a deslizarse hacia atrás como una masa compacta. A medida que se aumenta la velocidad, la acción de volteo aumenta y el lecho aparece como una superficie inclinada de la cual están emergiendo bolas rodando hacia abajo y reentrando en la superficie. El lecho de bolas se expande permitiendo a las partículas o a la pulpa penetrar entre las bolas. La serie de colisiones con otras bolas, mientras una bola da tumbos, es el método principal de transferir esfuerzos a las partículas. El lecho está en un estado de cascada. A una velocidad de rotación más alta una cantidad mayor de las bolas son lanzadas de la superficie a lo alto del molino, formando una catarata de bolas. La fracción de velocidad crítica a la cual estos procesos ocurren depende de las condiciones de llenado y del tipo de barras levantadoras (lainas)[5.3]. Las barras levantadoras pueden llevar una fracción de las bolas hacia la formación de catarata, mientras que lainas de ondas o barras levantadoras dentadas requieren velocidades de rotación más elevadas para dar el mismo grado de catarata. El desgaste de las barras levantadoras puede cambiar el desempeño del molino con el tiempo. La potencia requerida para mover el molino pasa a través de un máximo cuando la velocidad de rotación aumenta, correspondiendo a un máximo en la velocidad de elevamiento de las bolas y en el promedio de la altura de elevación. Para el caso de ruptura de partículas de tamaño normal, tales que al no ser demasiado grandes son completamente fracturadas, parece que el número mayor de impactos de bola-polvo-bola causados por el rodar en cascada es lo óptimo para la ruptura. Por consiguiente, las velocidades máximas de fractura se obtienen aproximadamente a la velocidad de máximo consumo de potencia, normalmente cerca de un 75% de la velocidad crítica, dependiendo de la carga de bolas y del tipo de barras levantadoras.

5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LAS PARTICULAS La Figura 5.2 muestra un resultado típico de la variación de la velocidad específica de fractura con el tamaño de partícula xi(tamaño superior del intervalo i), para una carga de bolas de un solo tamaño d. Para las partículas menores: Si = a xαi

, xi α

(5.4)

La distribución de fragmentos de la progenie primaria para la región de fractura normal tiene la forma que se muestra en la Figura 5.4 donde los valores son mostrados gráficamente en la forma acumulativa Bij versus tamaño de fracción del tamaño de fractura xi ⁄ xj . Tres importantes aspectos deben ser notados. En primer lugar, estos valores de B no parecen ser sensitivos a condiciones de molienda tales como carga del polvo, carga de bolas, diámetro del molino, etc. No existe una explicación satisfactoria de este hecho, pero él ha sido verificado experimentalmente en muchas pruebas. El resultado sugiere que el promedio de la acción de fractura efectuada por una colisión de bola con bola es la misma para diferentes diámetros del molino, lo que implica a su vez, que la acción de cascada es la principal. Una bola cayendo en cascada en un molino de gran diámetro cae desde lo alto con una serie de impactos menores de la misma magnitud que en un molino de diámetro menor. Por el contrario una bola cayendo en catarata tendrá una fuerza de impacto superior en un molino de diámetro más grande. La fuerza de fricción entre bolas, cuando éstas se elevan en el lecho, se espera produzca atrición. En segundo lugar, para algunos materiales las curvas de Bij caen una encima de otra para todos los valores de j. A este caso se le denomina B normalizado y significa que todas las partículas que se fracturan presentan una distribución de ruptura con

91

Figura 5.3 : Distribución acumulativa de los fragmentos de la progenie a partir de partículas de cuarzo de 20x30 mallas normalizadas US, bajo varias condiciones de molienda (D = 195 mm, d = 26 mm, ϕc = 0.7 ).

similaridad dimensional, esto es, la fracción de peso de producto menor que, por ejemplo, la mitad del tamaño de fractura es constante. En tercer lugar, los valores de Bij pueden ser ajustados por una función empírica constituida por la suma de dos líneas rectas en un papel log-log, esto es: γ

β

 xi − 1   xi − 1  Bij = Φj  + ( 1 − Φj)    x  j   xj 

,

0 ≤ Φj ≤ 1 , i > j

(5.5)

donde Φj y β se definen en la Figura 5.3 y son características del material. La función en la ecuación (5.5) es la función de distribución de fractura primaria. Si los valores Bij no son normalizables el grado de no-normalización puede a menudo ser caracterizado por un parámetro adicional δ (ver ecuación 6.5). Los valores de γ se encuentran entre 0.5 y 1.5 y β está típicamente entre 2.5 y 5 (ver Tabla 5.1). Broadbent y Callcott [5.4] utilizaron una ecuación que daba los mismos valores de Bij para todos los materiales, pero nosotros no encontramos que esto pueda ser 92

Figura 5.4 : Variación típica de la distribución de fractura primaria para partículas grandes (D=0.6 m, d=26.4 mm).

aplicable. En particular, la distribución granulométrica del producto de un molino es sensitiva al valor de γ . Las distribuciones de fragmentos de la progenie para partículas de gran tamaño esto es, hacia la derecha del máximo de S en la Figura 5.3, tendrán a menudo diferentes valores de B. Esto es debido probablemente a que la acción promedio de fractura en esta región contiene componentes mayores de astillamiento y abrasión, los que conducen a mayores valores relativos de material muy fino y muy grueso. Por lo tanto, la forma de la distribución tiende a ser diferente, con una meseta en la región de tamaño medio, como se muestra en la Figura 5.4.

5.4 VELOCIDAD DE ROTACION En la Figura 5.5 se muestran las variaciones típicas de la potencia neta que se requiere para girar un molino como función de la velocidad de rotación. Las velocidades específicas de fractura normal varían con la velocidad de rotación de la misma manera. Sin embargo, el máximo en la potencia sucede a diferentes fracciones de velocidad crítica para diversos molinos, dependiendo del diámetro del molino, del tipo de barras elevadoras, de la razón de diámetros de bola a molino y de las condiciones de llenado de bolas y polvo. El máximo se encuentra usualmente en el rango de 70 a 85% de la velocidad crítica, con 70 a 75% siendo el rango usual para molinos de diámetro grande con una carga completa de bolas (J = 0.4).

93

Figura 5.5 : Variación típica de la potencia neta con la velocidad de rotación, para un molino de laboratorio provisto de barras levantadoras (D=0.6 m, L=0.3 m, J=0.35, d=25.4 mm) y un molino piloto (D=0.82 m, L=1.5 m, J=0.35 y mezcla de bolas).

Dentro del rango de velocidades cercano al máximo consumo de potencia hay sólo pequeños cambios en las velocidades específicas de fractura normal con la velocidad rotacional. Los resultados de pruebas descritas en las secciones anteriores y posteriores a ésta se obtuvieron con velocidades de molienda dentro de este rango. No existen variaciones significativas en los valores de B con la velocidad de rotación dentro de este rango. Un ajuste empírico de los datos proporciona la siguiente expresión aproximada para la potencia de molienda: 1  , mp ∝ (ϕc − 0.1)   1 [15.7( ] + exp − 0.94) ϕ c   94

0.4 < ϕc < 0.9

(5.6)

Esta ecuación puede ser utilizada para dar una corrección aproximada de los valores S desde una velocidad rotacional a otra: 1  Si ∝ (ϕc − 0.1)   1 + exp[15.7( ϕ c − 0.94)]  

,

0.4 < ϕc < 0.9

(5.6a)

5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO Si se efectúa pruebas de molienda con una masa constante W de polvo retenida en el molino o con una fracción de volumen de llenado fc, los valores de la velocidad específica de fractura son un índice directo de la habilidad del molino para fracturar el material. Sin embargo, si las pruebas se comparan en condiciones en que fc es una variable, es necesario incluir la cantidad de material sobre la que se actúa. Por consiguiente, es más informativo en estos casos comparar las velocidades de fractura absolutas, definidas por SiW o por Sifc. Este término tiene el significado físico de masa de polvo fracturado, por unidad de tiempo y por unidad de volumen del molino, si todo el polvo fuese de tamaño i. Se ha demostrado que para una determinada carga de bolas J, es tan indeseable llenar poco como sobrellenar el molino con polvo. A bajo llenado de polvo la mayor parte de la energía de las bolas se consume en el contacto de acero con acero produciendo valores de Sfc bajos. La potencia de molienda es aproximadamente la misma, tanto para un llenado de polvo bajo como para uno normal, de tal modo que un valor de Sfc bajo resulta en una baja eficiencia energética, ya que bajos valores de mp /SW producen ineficiencia directa. Por añadidura, los valores de α resultan menores que lo normal, lo que tiene el efecto de moler el material fino más rápido proporcionando una sobre molienda de finos. La carga relativa de polvo-bolas queda definida por U = fc / 0.4J obteniéndose valores de este parámetro mayores a 0.2 ó 0.3 para valores normales de α y de las distribuciones de fragmentos de la progenie primaria. Por otra parte, un llenado alto de polvo parece amortiguar la acción de fractura y Sfc resulta nuevamente menor que lo normal. Esto también da origen a velocidades de fractura diferentes al primer orden, con la velocidad disminuyendo a medida que los finos se acumulan en el lecho. La Figura 5.6 muestra la variación de la velocidad absoluta de fractura como una función de J y fc, en el área de ruptura normal para una molienda seca de cuarzo en un molino de laboratorio equipado con barras elevadoras pequeñas. La forma general de la curva de velocidad de fractura versus el llenado de polvo, a una predeterminada carga de bolas, se explica como sigue. Un llenado bajo de polvo produce obviamente una velocidad de fractura menor. A medida que la cantidad de polvo es aumentada, los espacios de colisión entre las bolas se llenan y las velocidades de fractura aumentan. Cuando todos los espacios en los que están sucediendo colisiones entre las bolas en movimiento se llenan con polvo las velocidades de fractura llegan a un máximo. Una cantidad adicional de polvo aumenta el material retenido en el molino, pero no produce incremento de fractura porque las zonas de colisión están ya saturadas y el polvo adicional entra sólo como un depósito en el molino obteniéndose una meseta de velocidades de fractura casi constante. Eventualmente el sobre llenado de polvo conduce a una amortiguación de las colisiones debido a un acolchonamiento producido por el

95

bajo α

no es de primer orden

Figura 5.6 : Variación de la velocidad absoluta de fractura relativa con el llenado de bolas y polvo, para la molienda seca en un molino de laboratorio.

polvo; el lecho de bolas y polvo se expande produciendo un mal contacto bola-bola-polvo y resultando en una disminución de las velocidades de fractura. Los resultados de varios investigadores que utilizaron molinos pequeños con una carga fija de bolas fueron resumidos por Shoji et al. [5.6]. Un trabajo posterior [5.7] demostró que se podría utilizar una expresión más simple en la región normal de llenado, incorporándose también la variación con la carga de bolas: a ∝

1 exp[−cU] 1 + 6.6J 2.3

, 0.5 < U < 1.5, 0.2 < J < 0.6

(5.7)

donde c es 1.20 para la molienda seca. El valor para molienda húmeda depende de las condiciones reológicas de la suspensión: se ha encontrado valores entre 1 y 1.3 para densidades de suspensión normales. La representación gráfica de la ecuación (5.7) se muestra en la Figura 5.6. Si se diferencia Sfc con respecto a U y se lo hace cero, se demuestra que las velocidades absolutas de fractura máximas se producen a un valor de Um=1/c. Se concluye que el rango 0.6 ≤ U ≤ 1.1 es la condición óptima de llenado para obtener velocidades máximas de fractura, a cualquier carga de bolas. Sin embargo, los molinos operan normalmente cercanos al punto más elevado de este rango para evitar el 96

Figura 5.7 : Energía específica, relativa de molienda como función del llenado de bolas: molienda seca en un molino de laboratorio.

desgaste excesivo de las bolas producido por un llenado más reducido de polvo. La capacidad máxima de molienda se obtiene a llenado de bolas de 40 a 45% (para molinos pequeños). El efecto de acolchonamiento se puede cuantificar en forma aislada si se lo define como la reducción de la fractura más allá de Um, de tal manera que no se considera efecto de acolchonamiento hasta la velocidad de fractura absoluta máxima. El factor de reducción de la velocidad de fractura más allá del llenado óptimo de U es entonces el factor de sobrellenado:

Ko =

    (U

1 ⁄ Um )exp( − [(U ⁄ Um ) − 1])

, U ≤ Um

(5.8)

, U ≥ Um

Por ejemplo, con Um = 1, el factor es 0.91 para U = 1.5 y 0.74 para U = 2.0. La potencia neta del molino como función de la carga de bolas se ajusta a la función empírica: mp ∝

1 − 0.937J 1 + 5.95J 5

, 0.2 ≤ J ≤ 0.6

(5.9)

97

Tabla 5.2 Parámetros de B como función del diámetro de bolas: molienda seca de cuarzo β = 5.8. Tamaño de bola d, mm

Tamaño de bola d, pulgadas 3/4 7/8 1 1 1/4 1 1/2 1 3/4 2 2 1/2

19 22 25 32 38 44 51 64

γ

γ ⁄ γ(25 mm)

Φ

Φ ⁄ Φ(25mm)

1.10 1.09 1.08 1.05 1.00 0.95 0.88 0.78

1.02 1.01 1.00 0.97 0.93 0.88 0.81 0.72

0.51 0.58 0.63 0.68 0.69 0.70 0.70 0.70

0.81 0.92 1.00 1.08 1.10 1.11 1.11 1.11

Si se combinan las ecuaciones (5.7) y (5.9) se obtiene los resultados que se muestran en la Figura 5.7. Aun cuando la capacidad de un molino de bolas de laboratorio presenta un máximo a cargas entre un 40 y 45%, la energía específica relativa de molienda mp /SW es mínima alrededor de 15 a 20% de carga. En la práctica, cargas de bolas menores de 25% no son normalmente utilizadas porque pueden producir excesivo desgaste de las barras elevadoras. Por añadidura, la capacidad de molienda es claramente inferior para cargas menores.

5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS Si se considera una unidad representativa de volumen de molino, la velocidad de contactos bola-bola por unidad de tiempo aumenta con una disminución del diámetro de las bolas, porque el número de éstas en el molino aumenta con 1/d 3. Entonces, las velocidades de ruptura en el rango normal son mayores para diámetros de bolas menores. La Figura 5.8 muestra el efecto del diámetro de bolas en un molino de dos pies de diámetro [5.8], que puede ser representado por:

1 1  a ∝  N    ∗ d 1 (d d ⁄ + )    0

, d∗ ≈ 2 mm , d ≥ 10 mm

(5.10)

donde a es el factor pre-exponencial en la ecuación (5.1) que depende de las condiciones del molino, y d es el diámetro de la bola. El segundo término en el miembro derecho de la ecuación (5.10) es una corrección para tomar en cuenta la curvatura de la curva para diámetros de bolas más pequeños. El valor del exponente N0 se conoce en forma precisa [5.9] y se ha informado entre 0.6 y 1.0. Pruebas utilizando el mismo rango de diámetro de bolas en un molino de 200 mm de diámetro no dieron un efecto del diámetro de la bola, esto es, N0=0. Por añadidura, parece que los valores de B también cambian en una forma sistemática, por lo menos para ciertos materiales. Por ejemplo, el mejor y más reciente 98

cálculo de la variación de los parámetros B para cuarzo se presenta en la Tabla 5.2 y Figura 5.9. Parece que una bola más grande produce, de algún modo, una mayor proporción de finos, esto es, un γ menor y un Φ mayor. Por lo tanto, la menor velocidad de fractura específica debido a bolas más grandes se compensa parcialmente por una producción más elevada de fragmentos finos. Si los valores de B cambian con el diámetro de la bola, un __ modelo de simulación adecuado requiere la utilización de un promedio apropiado Bij de los valores de B. Considere una mezcla de bolas con fracciones en masa m1 del tamaño 1, __ m2 del tamaño 2, etc., se supone que la velocidad de ruptura para la mezcla de bolas Sj es una simple suma de las velocidades de ruptura Sjk con cada tamaño de bola dk ponderado con su fracción en masa mk: _ Sj =

∑ mk Sj,k k

Figura 5.8 : Variación de la velocidad específica de molienda en un molino de bolas para la molienda seca de cuarzo (D = 0.6m, J = 0.2, U = 0.5, ϕc = 0.7).

99

__ Bi,j =

∑ (mk Sj,k Bi,j,k) ⁄ ∑ (mk Sj,k) k

(5.11)

k

La Tabla 5.2 y la Figura 5.10 muestran los valores de B de una molienda discontinua de cuarzo con una mezcla de bolas de diferentes tamaños, comparados con los valores de molienda con bolas de un diámetro de 26 mm ó 50 mm. Como se espera, los valores están entre aquellos de los tamaños extremos; la serie de distribuciones granulométricas a diversos tiempos de molienda también mostró pendientes de Schuhmann entre aquellas que se obtuvieron con bolas de diámetro de 26 mm y 50 mm. Esto sugiere que los valores __ promedio Bij quizás puedan ser con la forma usual de la ecuación (5.5) con _ _ajustados _ _ valores efectivos que incluyen γ, Φ y β. Esto se demuestra en la Sección 8.4. Por ejemplo, para una mezcla _ balanceada de Bond con un tamaño máximo de_51 _ mm (2 pulgadas), el valor global γ es 0.91 veces el valor γ para bolas de 25.4 mm y Φ es 1.06 veces Φ para bolas de 25.4 mm, para los datos indicados. Es obvio que no es deseable alimentar un molino con partículas de tamaños muy grandes, debido a que los valores de Si para estos tamaños estarán a la derecha del máximo

Figura 5.9 : Variación de los parámetros de B con el tamaño de las bolas para la molienda seca de cuarzo (D = 0.6 m, J = 0.2, U = 0.5, ϕc = 0.7).

100

Figura 5.10 : Valores experimentales de B para la fractura de cuarzo en un molino con mezcla de bolas: 40% de 50.8 mm, 45% de 38.1mm y 15% de 25.4 mm (40% de sólidos en volumen, D = 0.6 m; ϕc = 0.7).

que se muestra en la Figura 5.2, produciendo bajas velocidades de fractura. Se sabe desde hace mucho tiempo que bolas de gran tamaño fracturan las partículas grandes más eficientemente. En términos de las velocidades específicas de fractura, este concepto puede ser cuantificado mediante la ecuación empírica: xm ∝ d N3

(5.12)

donde xm es nuevamente el tamaño al cual ocurre el valor máximo de S (para un determinado conjunto de condiciones) y d es el diámetro de la bola. La ecuación (5.12) enuncia que la posición del máximo en S se mueve hacia tamaños de partículas mayores cuando el diámetro de la bola se aumenta o dicho de otra manera, cuando el diámetro de la bola se aumenta el molino puede fracturar eficientemente una alimentación que contiene tamaños de partículas más grandes. El valor de N3 no es fácil de obtener experimentalmente debido a la interferencia producida por la ruptura de orden distinto del primero en la región de ruptura anormal. Sin embargo, pruebas recientes [5.10] sugieren 101

que N3=1.0 para materiales frágiles duros, y no un valor de N3=2 como fue utilizado previamente por Austin, Klimpel y Luckie. Como un ejemplo, consideraremos los resultados obtenidos en una serie de ensayos de molienda húmeda de mineral de cobre de Andina de Codelco Chile [5.11], como se muestra en la Tabla 5.1b. Se usaron monotamaños de bolas de 1, 1.5, 2.0, 2.5 y 3.0 pulgadas y monotamaños de partículas de 40x60, 16x20 mallas y 1/4"x3/8". Tomando en cuenta los límites de reproducibilidad y el hecho que se produce fractura de orden distinto del primero para la molienda húmeda, especialmente de partículas de gran tamaño con bolas pequeñas, se llegó a las siguientes conclusiones: •

el valor de a ∝ 1 ⁄ d, esto es, No=1.0

•

los valores de B en la región de fractura normal no cambian en forma significativa con el tamaño de las bolas

•

el valor de Λ resultó constante, Λ =3

•

el valor de µ ∝d1.2, esto es, N3=1.2

Los valores de "a" y xm dependen del material y condiciones de molienda. Sin embargo, el valor de α no parece variar con el diámetro de la bola en la región de fractura normal. El valor de "a" muestra una gran variación desde materiales blandos (débiles) a duros (fuertes), pero el rango de variación de xm es relativamente estrecho: xm depende

Figura 5.11 : Variación pronosticada de los valores de S con el tamaño de bolas para la molienda húmeda de un mineral de cobre (J =0.3, U = 0.75, ϕc = 0.7, D = 0.6 m).

102

no sólo de la resistencia de las partículas grandes sino que también de la geometría del atrapamiento de partículas entre bolas, que es un factor que no cambia mucho con el tipo de material. Si se combinan las ecuaciones (5.2), (5.3), (5.4), (5.10) y (5.12) se obtiene el resultado típico que se muestra en la Figura 5.11, en que se hizo N0=1 y N3 =1.2 y en que los valores de Si corresponden al valor superior del intervalo i. Las curvas representan la mejor descripción de las constantes cinéticas de primer orden. El efecto total de una mezcla de bolas de diversos tamaños, en la región de ruptura normal es nuevamente la suma ponderada:

_ Si =

∑ Sik mk

(5.13)

k

donde mk es la fracción en masa de bolas en el intervalo de tamaño denotado por k y Sik es la velocidad de ruptura específica de las partículas de tamaño xi con bolas de tamaño dk. Si el tamaño de alimentación es suficientemente pequeño como para que la ecuación (5.1) sea válida para las bolas de todos los tamaños en el molino:

_ Si ∝ xαi

mk

(5.13a)

∑ (d

N0 ) k

k

_ y el molino se comporta como si tuviera un tamaño de bola único promedio d definido por: _ 1 Si ∝ _ N xαi = xαi d 0

mk  N  k 

∑  d k

0

Si N0=1, _ 1⁄ d =

m

∑ dkk

(5.13b)

k

Nótese que éste es un diámetro de bola promedio volumétrico superficial (de área específica), esto es, el diámetro de bola que proporciona una área específica igual al promedio del área específica de la mezcla de bolas. La Figura 5.8 muestra el valor de S determinado para una mezcla de 50% de bolas de 27 mm y 50% de bolas de 50 mm. El resultado cae en la línea de un tamaño de bola de 36 mm. La ecuación (5.13b) da _ 1/ d=(0.5/27)+(0.6/50)=35 mm para N0=1. Esto demuestra la aditividad simple en la región de fractura normal. Sin embargo, no es posible definir un tamaño promedio de bola para las condiciones en que la ecuación (5.2) es aplicable, porque ningún tamaño único de bola puede duplicar la acción de fractura de una mezcla de bolas sobre las partículas de tamaño grande. Un método para evitar las incertidumbres en cuanto al efecto del tamaño de las bolas sobre los parámetros de ruptura y a la aditividad de las mezclas de bolas, es determinar los parámetros S y B en un molino conteniendo exactamente la distribución de bolas que se usará en la práctica. Esto no se puede realizar en un molino demasiado 103

pequeño y recomendamos que los ensayos discontinuos se hagan en un molino de por lo menos 0.6 m de diámetro, si las bolas a usar son de 60 mm de diámetro como máximo. La potencia del molino no varía mucho con el tamaño de las bolas (con bolas mayores a 19 mm), de modo que una mala elección del tamaño de bola conduce a un bajo valor de Si dando una ineficiencia directa , bajando el parámetro SiW/mp y aumentando la energía específica de molienda. Sin embargo, y debido al desgaste de bolas, en la práctica es necesario recargar bolas grandes para establecer una carga balanceada apropiada (ver sección 8.3). Además, una carga de bolas demasiado pequeñas produce deslizamiento de la carga y por lo tanto una caída en el consumo de potencia y un excesivo consumo de acero. La selección óptima de tamaño de las bolas depende claramente de la distribución granulométrica de la alimentación y del producto deseado y del balance entre el costo de la energía y del acero (ver sección 8.7). Rose y Sullivan [5.12] demostraron que la dureza de las bolas no afecta la capacidad del molino, siempre que ellas estén por sobre una dureza razonable. Von Seebach [5.13] hizo experiencias en seco con bolas de acero huecas, demostrando que el efecto de la densidad de las bolas sobre la velocidad específica es lineal: Si ∝ a ∝ ρb

(5.14)

donde ρb es la densidad de la bola. Se debe notar que la potencia también es proporcional a ρb, de manera tal que un molino operando con medios de molienda livianos tendrá baja capacidad y bajo consumo de potencia dando, por lo tanto, un consumo de energía específica de molienda comparable a uno trabajando con bolas de alta densidad. Sin embargo, ensayos en molinos de 0.6 m de diámetro dieron una razón de Si de 1.75 entre bolas de una aleación de acero ( ρb=7.8x103 kg/m3) y bolas de cerámica( ρb=3.7x103 kg/m3), que es menor que la razón de densidad de 2.1, aunque la potencia sí varió en proporción a 2.1. Esto sugiere que es mejor determinar los valores de Si para las bolas del material que se utilizará en la práctica, en vez de usar la ecuación(5.14), especialmente en la molienda húmeda.

5.7 DIAMETRO DEL MOLINO Se han realizado muy pocas medidas directas de los valores de S y B en molinos de gran diámetro y el recálculo de los valores de S y B desde datos de molinos continuos de gran tamaño está sujeto a grandes errores (ver capítulo 6). Por lo tanto, es necesario extrapolar resultados de molinos menores y también inferir resultados de la variación de la capacidad de un molino industrial en relación al diámetro de éste. Austin[5.14] y Malghan y Fuerstenau[5.15] han demostrado que los valores de Bij son a menudo los mismos para un determinado material en molinos de 0.15 m a 0.60 m (2 pies) de diámetro y que el exponente es el mismo. Bajo condiciones idénticas de llenado la velocidad específica de fractura aumenta en razón a DN donde N1 es cercano a 0.5 (ver Figura 5.12) por lo tanto: 1

Si ∝ a ∝ DN

1

104

(5.15)

Figura 5.12 : Variación de los valores de Si con el diámetro del molino (fractura normal, d = 25 mm).

Como en la sección 5.3, este resultado sugiere [5.14] que es la acción de cascada la que produce la acción normal de ruptura en el molino. Un valor de Si corresponde a una fracción quebrada por unidad de tiempo y, por lo tanto, representa la fractura por unidad de volumen del molino. El número promedio de bolas que suben y voltean por revolución del molino y por unidad de volumen es constante independiente del diámetro del molino, pero el número promedio de impactos que una bola efectúa cuando cae en cascada en la carga del molino es proporcional a D. Sin embargo, a una determinada fracción de velocidad crítica el número de revoluciones del molino por unidad de tiempo es proporcional a 1/√   D . Si se combinan estos factores y se supone que cada impacto contribuye a la fractura, resulta Si ∝ D ⁄ √   D , esto es, Si ∝ D0.5. Si se supone que los valores de α y Bij permanecen constantes, incluso para molinos grandes, la capacidad del molino como función del tamaño del molino (para ir desde la misma alimentación hasta el mismo producto baja las mismas condiciones de carga) sería: Q ∝

π LD 2 + N1 4

o en forma adimensional

105

 L2  D2 Q2 ⁄ Q1 =      L1   D1 

2 + N1

donde L es la longitud del molino. Esto también supone que la capacidad del molino por unidad de longitud es constante, esto es, que existe un efecto insignificante de las paredes finales del cilindro. La bien conocida regla empírica para capacidad de un molino es por supuesto: Q ∝

π 2.5 LD 4

Bond [5.16] indica que la capacidad de molinos superiores a D=3.8 metros en diámetro es proporcional a ( π L ⁄ 4 ) (D ⁄ Do)2.3, Do=3.8 m, lo que sugiere que N1 disminuye algo para molinos de diámetros grandes. La capacidad es entonces: 2

 L2 D2 Q2 ⁄ Q1 =      L1   D1 

0.5

 Do   D1   

0.3

 D2   Do   

D ≥ Do = 3.8 m

La potencia del molino también varía con LD2.5 para molinos pequeños, de modo que la energía específica de molienda se mantiene constante al variar el diámetro del molino, para pruebas en molinos pequeños. Por añadidura, es de esperar que un molino de diámetro mayor desplazará el máximo en S hacia partículas de tamaños mayores, para un determinado diámetro de bola. Hemos utilizado la expresión empírica: xm ∝ µ ∝ DN2

(5.16)

donde N2 es aproximadamente 0.2. Por consiguiente, el tamaño de bola máximo para un determinado tamaño de partícula máximo en la alimentación puede ser reducido para un molino de mayor diámetro. El desgaste y daño de las lainas debido al impacto de las bolas mayores se agrava por el gran diámetro del molino, por esta razón es también conveniente reducir el tamaño y cantidad de las bolas mayores en molinos de gran diámetro.

5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO Es bien conocido que la molienda húmeda en molino de bolas produce capacidades superiores que la molienda en seco, con la condición que la proporción de sólido a agua (densidad de suspensión) no sea tan alta como para que la carga del molino se vuelva espesa y viscosa. Bond [5.16] indica que la capacidad de la molienda húmeda en escala industrial es 1.3 veces aquella para la molienda seca, con todas las otras condiciones semejantes. Austin et al. [5.17] demostraron que los valores de Bij y α eran aproximadamente los mismos para la molienda húmeda o seca en un molino pequeño de laboratorio (al menos para los materiales investigados). Los valores también fueron los mismos para densidades de pulpa diferentes, con la condición que ésta permaneciese fluida. Sin embargo, la razón de los valores de S, esto es, el factor “a” varió de 1.1 a 1.7 entre la molienda seca y la húmeda para diferentes materiales. La razón fue 1.7 para 106

% de sólidos en volumen

Figura 5.13 : Variación de la velocidad específica de fractura del tamaño máximo (cuarzo de 20x30 mallas), con el tiempo para varias densidades de pulpa (D=200 mm, d=25 mm, J=0.3, U=1.0).

cuarzo. Cuando los valores Bij y α no cambian, la capacidad del molino será función directa de estas proporciones. En pruebas de molienda discontinua de laboratorio, lo que se estudia es la acción de fractura y no la transferencia de masa a lo largo del molino y por lo tanto, los resultados muestran que la fractura ocurre más rápidamente en la presencia de agua. Por añadidura, la comparación de molienda húmeda y seca se efectúa en la región de fractura normal de primer orden, donde el efecto desacelerador de las velocidades de fractura no es evidente (ver más adelante). Por consiguiente, el agua no actúa principalmente para prevenir la desaceleración, recubrimiento de las bolas o reaglomeración de los finos. Por otra parte, 107

los aditivos químicos de molienda no cambian las velocidades de fractura hasta que la densidad de pulpa es alta, en cuyo caso operan afectando la fluidez de la masa. Por lo tanto, la influencia del agua parece ser principalmente el permitir una mejor transferencia de la acción mecánica de las bolas en movimiento hacia las partículas lo que conduce a velocidades de fractura más alta, pero no obstante produciendo el mismo tipo de fractura y, en consecuencia, aproximadamente la misma distribución de fragmentos de la progenie primaria. Tangsathitkulchai y Austin [5.18] realizaron un detallado estudio de la molienda húmeda en un molino de laboratorio mediante el análisis de los valores de S y B. Sus resultados para cuarzo molido en agua destilada se puede resumir como sigue: la fractura de un monotamaño de alimentación de 20x30 mallas proporcionó en forma sistemática una fractura de orden diferente del primer orden, como se muestra en la Figura 5.13. La aceleración o desaceleración de la velocidad de fractura del monotamaño fue producida por la acumulación de material fino, ya que ésta pudo también ser obtenida iniciando la prueba con una alimentación de 50% de cuarzo de malla 20x30 más 50% de material fino. Que la cinética de molienda del monotamaño (gráfico de primer orden) muestre aceleración, comportamiento de primer orden o desaceleración depende de la carga de bolas y polvo en el molino además de la densidad de pulpa. El efecto parece deberse a que la reología de la pulpa en el comienzo de la molienda permite que las partículas grandes escurran desde la superficie de las bolas, de manera que las zonas de fractura entre las bolas que ruedan por la superficie libre de los medios de molienda han sido parcialmente lavadas de partículas. A medida que cambia la reología con la acumulación de finos, las zonas de fractura comienzan a cubrirse de pulpa que no escurre tan fácilmente, y por lo tanto la velocidad específica de fractura y la eficiencia de fractura aumentan. Sin embargo, una vez que se ha producido suficiente fractura para dar origen a una distribución de tamaño más natural, y que se ha acumulado suficiente cantidad de finos para dar una reología más normal, la fractura de las partículas más pequeñas puede ser considerada de primer orden, de manera que en todo el rango de interés se puede aproximar una cinética de primer orden. La Figura 5.14 muestra la variación del valor de “a” para esta región normal, más la velocidad neta de producción de material menor de 270 de mallas. Se concluye que existe un pequeño máximo para una densidad de pulpa de 45% de sólidos en volumen que produce las velocidades máximas de fractura. Un pequeño aumento de la densidad de pulpa por sobre 45% produce una disminución rápida de la velocidad de fractura. La Figura 5.15 muestra los valores de B para estas condiciones. Dentro del rango de reproductibilidad experimental, los valores son constantes (y normalizados) para densidad de pulpa normal, pero cambian a un conjunto de valores diferentes (también normalizados) para la densidad de suspensión alta con una producción más alta de finos. La velocidad neta de producción de finos varía con la densidad de suspensión de la misma manera que “a”, pero la semejanza no es exacta debido al cambio en los valores B. La Figura 5.16 muestra las distribuciones granulométricas producidas a densidades de pulpa normales y altas desde una alimentación de monotamaño de cuarzo de 20x30 mallas. La diferencia en inclinación de las curvas de Schuhmann es bastante clara. La figura también muestra que la fractura desacelera para tiempos largos de molienda, porque la distribución

108

Figura 5.14 : Efecto de la densidad de pulpa en la velocidad de fractura del cuarzo (ver figura 5.12).

Figura 5.15 : Variación de B con la densidad de pulpa (ver Figura 5.10); % en volumen  40%, 40%,  45%,  45%, 47%,  50%, Δ 52%,  54%,  56%

109

Figura 5.17 : Variación de la velocidad de fractura con el llenado del molino y con la densidad de pulpa.

Figura 5.16 : Comparación de las distribuciones de tamaño de molienda discontinua de cuarzo de 20x30 mallas a densidad de pulpa normal y alta (D=200 mm; d=26 mm; J=0.3; U=1.0 ; ϕc=0.7)

110

granulométrica experimentalmente determinada no es tan fina como la pronosticada por la simulación de primer orden. Conclusiones esencialmente similares fueron previamente reportadas por Klimpel et al. [5.19-21] basadas en la velocidad de producción de tamaños finos y no en velocidades de fractura. La Figura 5.14 demuestra que la velocidad de producción de tamaños finos (por ejemplo, menores a 270 mallas) varía de la misma manera que las velocidades de fractura. En base a ésto, los resultados de Klimpel[5.21] con respecto al llenado del molino y la densidad de pulpa son presentados en la Figura 5.17, donde los valores han sido ajustados mediante una forma de la ecuación (5.7) Velocidad neta de producción de finos = kUexp [ − cU ]

(5.17a)

Parece que el nivel óptimo de llenado a una determinada densidad de pulpa cambia hacia valores de U más altos cuando la densidad de la suspensión aumenta. El máximo que se observa en la velocidad de fractura como una función de la densidad de suspensión en la Figura 5.14 se explica convencionalmente postulando que las bolas son cubiertas por una suspensión suficientemente gruesa conduciendo a colisiones eficientes de bola-partícula-bola. Sin embargo, Tangsathitkulchai y Austin [5.17] y Katzer et. al.[5.21] encontraron que, a diferencia de la molienda en seco, la potencia neta entregada al molino discontinuo de laboratorio aumenta y disminuye con la densidad de la suspensión en forma muy similar a la variación de las velocidades de fractura, excepto en condiciones extremas de bajo-llenado, sobre-llenado o alta densidad de pulpa. Esto significa que la energía específica de molienda fue casi constante y que los óptimos en el desempeño del molino fueron óptimos de capacidad y no de energía específica. Esto implica que el efecto de la densidad y reología de la suspensión en estas pruebas es cambiar la acción de las bolas en movimiento: la reología óptima de la suspensión causa el mejor elevamiento de las bolas, el máximo consumo de potencia por el molino y, consecuentemente, las velocidades de fractura (que son una consecuencia de la acción de volteo) también más altas. Por lo menos en molinos pequeños de laboratorio el efecto puede ser explicado de la siguiente manera. Para densidades de pulpa bajas, la sedimentación produce una capa de partículas que se mueve junto a las paredes del molino y cuyo efecto es el de disminuir el diámetro efectivo del molino y por lo tanto reducir la potencia. En condiciones óptimas las partículas sedimentan más lentamente y caen de las paredes del molino a medida que son levantadas, por lo que se encuentran mejor dispersas en la pulpa y más homogéneamente distribuidas en el lecho de bolas. Cuando una pulpa espesa se muele a tamaños finos, nuevamente comienza a pegarse en las paredes del molino reduciendo el diámetro de éste. Esta última acción es claramente visible en experiencias discontinuas, como lo es el hecho que las bolas también se pegan en las paredes debido a la densa y viscosa pulpa que allí está adherida.

5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA La Figura 5.16 muestra que la capacidad de las simulaciones de primer orden para predecir las distribuciones granulométricas correctas del producto comienza a fallar para

111

la molienda muy fina. Este efecto de desaceleración se observa tanto en la molienda seca como en la húmeda. El fenómeno se trata como sigue. Como una primera aproximación se supone que la desaceleración de las velocidades específicas de fractura se aplica igualmente a todos los tamaños en la carga del molino. Esto conduce al hecho importante que la forma de la familia de distribuciones granulométricas que produce la molienda discontinua permanece sin cambio en presencia del efecto de desaceleración, pero el tiempo de molienda requerido para llegar a una distribución granulométrica determinada es mayor. El efecto mencionado puede suceder sólo si B permanece constante. Por lo tanto [5.22] : Si′(t) = KSi(0)

(5.17)

donde Si(0) es el conjunto de valores normales de S, ySi′(t) es el valor promedio de Si para el tiempo t. El parámetro K es el factor de reducción (0 ≤ K ≤ 1) que se vuelve menor cuando el porcentaje de finos aumenta. Designando por θ el tiempo equivalente de una molienda de primer orden (el tiempo ficticio) necesario para alcanzar la distribución, w1(t) ⁄ w1(0) = exp[ − S1(0)θ ] = exp[ − KS1(0)t ], y esto es : K = θ⁄t

(5.18)

El valor instantáneo de Si al tiempo t puede ser representado por: Si (t) = κ Si (0)

(5.19)

donde κ es también un factor de reducción 0 ≤ κ ≤ 1, que es una función de la fineza del material en el molino (por lo tanto una función de t); como dw1(t) = − S1(0)w1(t)dθ y dw1(t) = − S1(t)w1(t)dt, κ = dθ ⁄ dt

(5.20)

Conociendo la variación de θ con t se puede determinar κ por diferenciación gráfica. La relación entre K y κ es claramente Kt = ∫0 κdt La Figura 5.18 muestra el resultado de la t

molienda húmeda de cuarzo. La fractura progresa a velocidades normales (κ =1) hasta que la distribución granulométrica alcanza un tamaño del 80% cercano a 150 µm; luego la velocidad cae a un valor menor para distribuciones de aproximadamente 80% menor a 30 µm o más fina, a una densidad de pulpa de 40% de sólidos en volumen. La disminución ocurre a moliendas más gruesas para densidades de suspensión más alta y los valores de κ disminuyen a valores pequeños para densidades de pulpa muy altas. También se ha encontrado [5.22-23] que la molienda seca a tamaños muy finos puede producir una acción desaceleradora del proceso global de molienda. En la Figura 5.18 se muestran los resultados típicos. Esto no parece ser debido principalmente al recubrimiento de las bolas, ya que no se observó recubrimiento con cuarzo. Posiblemente un lecho de partículas cohesivas finas desarrolla propiedades parecidas a las de un líquido de modo tal que las partículas se deslizan de la región de colisión de bola con bola y se 112

Figura 5.18 : Efecto de desaceleración κ como función de la fineza de molienda (20x30 mallas de alimentación) y densidad de pulpa (D = 200 mm, d = 26mm, ϕc = 0.7) : molienda húmeda : (J = 0.3, U = 1.0), A 40% de sólidos en volumen, B 54% de sólidos en volumen, Molienda seca : (J = 0.2, U = 0.5). 1 cuarzo, 2 Carbón de Western Kentucky # 9, Indice de Moliendabilidad de Hardgrove 52. 3 Clinker de cemento. 4 Carbón de Lower Kittanning.

transmite un esfuerzo insuficiente a las partículas individuales para que suceda la fractura. En la figura se ve bastante claro que materiales diferentes muestran este efecto en diferente grado, posiblemente debido a grandes diferencias en las fuerzas cohesivas de los materiales diferentes. Es bien conocido [5.24] que la molienda seca de materiales por largos intervalos de tiempo (varias horas) puede conducir a la peletización y a la soldadura en frío de finos para formar partículas más grandes. Sin embargo, el efecto de desaceleración sucede en tiempos más reducidos y no demuestra la incorporación de material fino (que fue marcado con trazadores) para formar gránulos mayores [5.25].

5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES Las partículas que son mucho mayores que xm, hacia la derecha del máximo en la curva de S versus x, usualmente se fracturan en forma anormal, como se muestra en la Figura 5.19. A diferencia de la fractura normal, la que generalmente produce una velocidad de fractura de primer-orden, la región de fractura anormal produce una velocidad inicial más rápida seguida por una más lenta. Partículas que son débiles o que poseen una forma tal que les permite ser atrapadas en la colisión entre bolas con bolas son fracturadas más rápidamente, mientras que existe una fracción de partículas más

113

fuertes que se fracturan más lentamente y de ahí que persisten, después que las partículas más débiles han sido fracturadas. No es difícil de imaginar que estas partículas más grandes y fuertes se someterán a un continuo astillamiento y redondeamiento mientras esperan la probabilidad de un impacto intenso que las fracture. El 6% del monotamaño inicial que quedó después de ser éste molido hasta una fractura del 94%, se recogió y se volvió a moler en las mismas condiciones del material inicial, ver Figura 5.19, dando una velocidad de fractura mucho más lenta, que continuaba disminuyendo. Si se compara la forma de las partículas de la alimentación inicial con aquellas del material más fuerte que se recogió, se observa un evidente redondeamiento parcial del material más fuerte. La correcta forma de considerar la velocidad de fractura para cualquier tiempo es considerar la suma de las velocidades de fractura de todo el material que queda en ese tiempo, desde una alimentación inicial con una distribución completa de resistencias, cada material de una resistencia determinada rompiéndose de acuerdo a la hipótesis de primer orden: w0 = 1, S = ∞

w0(t) =

∫w = 0, 0

exp( − St) dw0(S)

(5.21)

S=0

donde w0(S) es la fracción acumulativa de material de una velocidad específica de fractura menor o igual a S en el material de la alimentación de tamaño uno. Sin embargo, esta es una función complicada para manejar y es conveniente aproximar el proceso como la suma de un número finito de materiales, por ejemplo, sólo dos componentes, una fractura rápida y una lenta. Se ha encontrado que estas velocidades específicas de fractura también

Figura 5.19 : Velocidad de fractura de cuarzo para tamaño de alimentación inicial 6.3x9.5mm, y final 6% 6.3x9.5mm (D = 200mm).

114

Figura 5.20 : Forma típica para la suma de la velocidad específica de fractura en molienda SAG.

pasan a través de un máximo cuando la carga de polvo aumenta, de modo que la ecuación (5.7) todavía es aplicable para estos tamaños. Mientras más grandes sean las partículas con respecto al diámetro de bola, menores serán las velocidades de fractura específica. Sin embargo, a medida que las partículas llegan al tamaño de la bola, las colpas empezarán a actuar como un medio de molienda y, por lo tanto, a contribuir a la fracción de llenado del medio J. En este punto, el astillamiento será una gran contribución a la acción de fractura. A tamaños aún mayores, la ruptura autógena de las rocas empezará, como en la molienda semi-autógena (ver capítulo 12). Por consiguiente, una descripción más completa de la variación de los valores de Si con el tamaño de la partícula se muestra en la Figura 5.20. La Figura 5.21 ilustra el cambio en los valores de B que se esperan cuando el astillamiento y la abrasión llegan a ser los componentes más importantes de la fractura completa. Por el momento no existe información suficiente para proporcionar ecuaciones de los valores de B en la región de fractura anormal. Como las colpas grandes forman usualmente una proporción pequeña de la alimentación a un molino de bolas, a menudo es suficientemente preciso utilizar los valores normales de B o un vector único de valores promedios de B para todos los tamaños a la derecha del máximo en los valores de S.

5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO La Figura 5.6 y la ecuación (5.7) muestran que las velocidades de fractura disminuyen a medida que el molino es sobrellenado. Medidas recientes de distribuciones de tiempos de residencia en molinos industriales [5.26] han permitido estimar la cantidad de material retenido en el molino. La Tabla 5.3 muestra los resultados como fracciones de llenado del molino con polvo para una porosidad formal de 0.4. Como la carga de bolas es de aproximadamente 35 a 45% para estos molinos, un llenado de aproximadamente 0.16 corresponde a U=1, y está claro que los molinos son 115

Figura 5.21 : Valores experimentales de B para la molienda de clinker de cemento en   2; un molino de bolas de laboratorio, tamaños de alimentación de intervalos de √  40x50 mallas;  16x20 mallas; Δ 4x6 mallas.

frecuentemente operados en condiciones de sobrellenado (U>1). Con el objetivo de tomar en cuenta este factor en los modelos de simulación, es necesario disponer de una ley de transporte de masa que relacione el material retenido en el molino con el flujo. Desafortunadamente, esta ley dependerá de las propiedades reológicas de la pulpa, las que a su vez, serán función de la densidad de pulpa y de la fineza de la molienda. Por añadidura la ley dependerá de otros factores tales como el tipo de descarga del molino y la mezcla de bolas en la carga. Ya hemos visto en la sección 5.8 que la cantidad de finos en la pulpa influencia la velocidad específica de fractura, dando mayores velocidades de molienda para cantidades de finos “normales” que para un exceso o defecto. Pequeños flujos a través del molino tienden a producir material fino y, como los molinos son buenos mezcladores, existe allí suficiente cantidad de éstos para dar altas velocidades de fractura. Por otra parte, altos flujos al molino producen pequeñas cantidades de finos y por lo tanto menores velocidades de fractura. En circuito cerrado la eficiencia de clasificación, especialmente la magnitud del cortocircuito, afectará el tamaño promedio de finos en el molino. Es posible, entonces, que la determinación de parámetros de fractura en condiciones estandarizadas a partir de ensayos de molienda discontinua no sea suficiente para describir el circuito, si éste es operado con altas variaciones de flujos, como en el caso de cambiar desde circuito abierto a circuito cerrado con grandes cargas circulantes.

116

Tabla 5.3 Material retenido de molinos húmedos de rebalse. Diámetro del molino m

L/D

0.3 0.3 1.83 2.03

1 1 2 1.5

2.21 2.30 2.32

5.5 0.93 0.75

2.34 2.34 2.70 2.93

0.78 1.2 1.37 0.8

3.20

1.34

Flujo de Densidad Peso sólido a de pulpa específico través % del del sólidos sólido ρs molino en peso F tph 0.08 67 2.65 0.14 70 3.8 114 76 3.9 65 63 3.8 122 71 3.2 44 76 3.2 133 70 2.7 155 75 3.5 47 65 3.0 100 52 4.2 232 68 3.0 60 72 2.9 185 79 3.9 82 70 4.2 295 78 3.7 375 75 3.7 388 81 3.6 163 71 3.4

τ min.

1.72 (2.27) 3.5 1.45 1.72 2.44 8.6 2.00 1.67 1.03 0.90 1.85 2.72 4.72 3.13 1.70 3.30 6.58

fc Material Fracción U= retenido de 0.152 W llenado ton met. con polvo fc 0.0023 0.0053 6.6 1.6 3.5 1.8 19.0 5.2 1.3 1.7 3.5 1.85 8.4 6.5 15.4 10.6 21.0 18.0

0.21 0.49 0.29 0.07 0.16 0.08 0.25 0.28 0.10 0.10 0.27 0.13 0.28 0.12 0.45 0.30 0.29 0.25

1.4 3.2 1.9 0.5 1.0 0.5 1.6 1.8 0.7 0.7 1.8 0.9 1.8 0.8 3.0 2.0 1.9 1.6

En el capítulo 8 se mostrará otras relaciones que han sido propuestas para explicar la transferencia de masa en molinos. Sin embargo, ellas están basadas en un número limitado de estudios en planta piloto y a escala industrial. Debido al escaso conocimiento respecto al efecto del flujo de alimentación a un molino sobre la velocidad específica de fractura, ya sea vía cambios en el nivel de llenado o en la cantidad de finos en la pulpa, nosotros escogeremos realizar simulaciones de diseño estandarizadas utilizando valores promedios para las velocidades específicas de fracturas, e introduciendo luego factores de corrección que permitan tomar en cuenta los efectos de grandes cambios en los flujos a través de molino. Esto permitirá introducir diferentes factores de corrección a medida que la experiencia se acumule, sin la necesidad de descartar el programa básico de simulación.

5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDA DISCONTINUA DE LABORATORIO Las ecuaciones empíricas que predicen como cambian los valores de Si con el diámetro de las bolas del molino, con la carga de bolas y de polvo y con la velocidad de 117

Figura 5.22 : Variación de la retención de pulpa, expresada como fracción de llenado intersticial del lecho de bolas, con el flujo volumétrico de pulpa, para J = J0 (densidad de pulpa ≈ 40% en volumen): molino de rebalse de laboratorio de 0.3 m de diámetro por 0.6 m de largo.

rotación del molino son las ecuaciones (5.2) a (5.4), (5.6), (5.7), (5.9), (5.10), (5.12) y (5.16). Ellas se pueden combinar para obtener : 1 CCCC Si (d) = aT (xi ⁄ x0)α   2 3 4 5 C 1 + (x µ ⁄ ) 1 T i   donde: N2

N3

d D C1 =      DT   dT N0

 dT  1 + (d∗ ⁄ dT) , C2 =     ∗  d   1 + (d ⁄ d) 

d ∗ = 2 mm, d ≥ 10 mm

N1

D  D    T C3 =  N  3.8      DT   

D ≤ 3.8m

1

N1 − 0.2

D  3.8   

 1 + 6.6JT2.3  exp[ − c(U − UT)] C4 =  2.3   1 + 6.6J 

118

D ≥ 3.8m

(5.23)

Figura 5.23 : Variación de la densidad de pulpa (expresada como % de sólidos en volumen) con el flujo de pulpa, para tres densidades de pulpa diferentes (ver Figura 5.22).

Figura 5.24 : Variación de los factores de aceleración con la fineza del contenido del molino, para dos niveles de llenado.

119

 ϕc − 0.1   1 + exp[15.7(ϕcT − 0.94)]  C5 =     ϕcT − 0.1   1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]  donde el subíndice T se refiere a las condiciones y resultados del molino de laboratorio (Test). Los valores aT y µT para el tamaño de bola y la carga de bolas y polvo de interés, son características del material, tal como α , Λ , y los parámetros de Bij, a saber, γ, β y φ. No se ha hecho suficiente trabajo para determinar los valores de N0, N1, N2 y N3 y saber si son constantes o dependen de cada material. La combinación _ de __ estos cálculos con las ecuaciones (5.5), (5.11) y (5.13) permiten el cálculo de Si y Bij, que son los valores requeridos para la solución de la ecuación de molienda discontinua: __ Bi, j = ∑ mk Sj,k Bi,j,k ⁄ ∑ mkSj, k k

k

__ Si = ∑ mkSi,k k

donde, para bolas de tamaño promedio dk, los valores de Sik, están dados por (5.23) y los valores de Bi,j,k se los puede calcular de la ecuación 5.5: γ

β

 xi − 1   xi − 1  + ( 1 − Φj)  Bi, j, k = Φj  ,  xj   xj 

0 ≤ Φj ≤ 1

(5.5)

En forma alternativa se puede usar ensayos de molienda discontinua de laboratorio _ para determinar los valores de Si, C3, C4 y C5 en un molino razonablemente grande (por ejemplo D = O.60 m) con la mezcla de bolas y la carga __ se anticipa será usada en el _ que _ molino de gran escala. En este caso, los valores de µT y ΛT son para los valores de Si producido por la mezcla de bolas y d=dT en C1 y C2. Esta técnica tiene la ventaja de evitar suposiciones concernientes a la aditividad del efecto de las bolas.

5.13 REFERENCIAS 5.1

Crabtree, D.D., Kinasevich, R.S., Mular, A.L., Meloy, T.P. and Fuerstenau, D.W., Trans. AIME, 229(1964)201-210.

5.2

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5.3

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5.4

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5.5

Shah, I., M.S. Thesis, An Investigation of Two Cases of Non-First Order Breakage in Dry Ball Milling, Mineral Processing Section, The Pennsylvania State University, 1984.

5.6

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5.7

Shoji, K., Austin, L.G., Smaila, F., Brame, K. and Luckie, P.T., Powder Technol., 31(1982)121-126.

5.8

Austin, L.G., Shoji, K., Smaila, F. and Brame, K., Powder Technol., 31(1982)121-126.

5.9

Gupta, V.K., Powder Technol., 42(1985)199-208.

120

5.10 Cuhadaroglu, M., “A Study of Breakage Kinetics of Large Particles in a Ball Mill”, M.S. Thesis, Mineral Processing Section, The Pennsylvania State University, 1986. 5.11 Magne, L., “Efecto del Tamaño de Bolas en los Parámetros de Molienda”, Habilitación Profesional para optar al título de Ingeniero Metalúrgico, Universidad de Concepción, 1987. 5.12 Rose, H.E. and Sullivan, R.M.E., Rod, Ball and Tube Mills, Chemical Pub. Co., New York, NY (1958). 5.13 Von Seebach, H.M., Effect of Vapors of Organic Liquids in the Comminution of Cement Clinker in Tube Mills, Research Institute Cement Industry, Dusseldorf, W. Germany (1969); Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev., 11(1972)321-331. 5.14 Austin, L.G., Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Develop., 12(1973)121-129. 5.15 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th. European Sym. Zerkleinern, ed., H. Rumpf and K. Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr. 1576-1588, Verlag Chemie, Weinheim(1976)613-630. 5.16 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng., 6(1960)378-391, 543-548. 5.17 Austin, L.G., Celik, M. and Bagga, P., Powder Technol., 28(1981)235241. 5.18 Tangsathitkulchai, C. and Austin, L.G., Powder Technol., 42(1985)287-296. 5.19 Klimpel, R.R., Mining Engineering, 34(1982)1665-1668 and 35(1983)2126. 5.20 Klimpel, R.R., Powder Technol., 32(1982)267-277. 5.21 Katzer, M., Klimpel, R.R. and Sewell, J., Mining Engineering, 33(1981)1471-1476. 5.22 Austin, L.G. and Bagga, P., Powder Technol., 28(1981)83- 90. 5.23 Shah and L.G. Austin, Ultrafine Grinding and Separation of Industrial Minerals, S.G. Malghan, ed., AIME, New York, NY, (1983)9-19. 5.24 Benjamin, J.S., Scientific American, 234(1976)40-48. 5.25 Austin L.G., Shah, J., Wang, J., Gallagher, E. and Luckie, P.T., Powder Technol., 29(1981)263-275. 5.26 Weller, K.R., Proc. 3rd IFAC Symposium, J. O’Shea and M. Polis, eds., Pergamon Press, (1980)303-309.

121

122

CAPITULO 6 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B

6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO La prueba más simple de realizar para obtener los parámetros de fractura de un material es una experiencia de molienda discontinua utilizando el método de monotamaños. Este consiste en moler un material que, en un comienzo, es predominantemente de un solo intervalo de tamaño, por ejemplo, el material retenido en un tamiz de la serie √   2 . Este tamaño es preparado del material inicial por tamizado, triturando partículas mayores si fuera necesario para obtener una mayor cantidad del monotamaño. Mientras mayor es el molino de prueba, más tedioso es preparar una masa suficiente de monotamaño, siendo conveniente tener equipos de tamizado que utilicen tamices mayores que los standard de ocho pulgadas (por ejemplo, un sistema Tylab de 18 pulgadas cuadradas o un tamiz vibratorio Derrick de 1.5 x 4 pies). Se toma una muestra de este material y se somete a una prueba de tamizado en “blanco”, con la misma cantidad de material y tiempo de tamizado que se usará en los ensayos, utilizando los dos tamices que define el monotamaño. Es posible encontrar que una pequeña fracción del material queda retenido en el tamiz de mayor tamaño. Este puede ser considerado como “del tamaño” sin mayor error. También por lo general se encuentra que algún porcentaje de material pasa el tamiz menor de la serie. Este material, que es “casi del tamaño”, tiene malas propiedades de harneado, porque debe golpear las mallas con una orientación adecuada para poder pasar a través de ellos. Este material que pasa a través del tamiz menor hasta el intervalo próximo puede erróneamente ser clasificado como “quebrado”, aun cuando todavía no se ha aplicado trituración. Este error recibirá el nombre de error de tamizado incompleto y no debe ser mayor que 5% si se quiere obtener valores de B precisos (ver más adelante). Si la prueba se realiza solamente para obtener un valor de S, basta con que la cantidad del tamaño que se investiga forme una parte substancial de la muestra. Cuando una cantidad adecuada de material del tamaño deseado ha sido preparado y se ha ejecutado un análisis granulométrico en blanco, el molino de prueba se llena con la carga de bolas y de material deseado (más líquido si se estudia molienda húmeda), extendiéndolos uniformemente en el molino. Se muele el material a diversos tiempos, que son seleccionados para permitir que B sea calculado mediante datos de corto tiempo y S mediante datos de tiempo más largo (se debe contar las revoluciones del molino para estar seguro que un determinado tiempo corresponde al número correcto de revoluciones del molino). El contenido del molino se muestrea, efectuándose un análisis 123

granulométrico de la muestra. Luego el material puede ser retornado al molino para ser molido por un nuevo período o se puede usar una nueva carga de monotamaño, lo que fuese más conveniente. Para un molino grande la muestra puede ser demasiado pequeña para requerir su retorno al molino, en cuyo caso la secuencia completa de tiempos de molienda puede ser efectuada inmediatamente con paradas para obtener muestras. Para molinos pequeños, las muestras pueden ser obtenidas vaciando completamente el contenido del molino a través de una malla gruesa para retener las bolas y dividiendo la carga hasta obtener una muestra de tamaño adecuado. Para molinos más grandes, la toma de muestra directamente del molino detenido ha sido satisfactoria en molienda seca. La mayoría de los molinos son buenos mezcladores por lo que se debe evitar un manejo excesivo del material por cono y cuarteo u otro procedimiento, porque es muy posible que la muestra se “desmezcle” más que se mezcle. Para molienda húmeda, sin embargo, al detener el molino se produce una separación parcial inmediata del sólido y líquido, con el material fino suspendido casi por completo en el líquido. En este caso es necesario vaciar todo el contenido del molino, filtrarlo y secarlo. El material seco es entonces mezclado y muestreado para obtener una pequeña porción representativa. Para la determinación de los valores de S, es necesario determinar solamente la fracción del material que queda del monotamaño luego de cada molienda, de modo tal que basta utilizar un solo tamiz. Sin embargo, para determinar los valores de B es necesario un análisis granulométrico completo y exacto después de un pequeño intervalo de tiempo de molienda. Por otra parte, los valores determinados de S y B son utilizados para obtener una predicción de la distribución granulométrica que se espera, para ser comparada con los datos experimentales y de este modo revisar la consistencia de los datos. Para realizar esta comparación son necesarios análisis granulométricos completos de los productos. El estudio completo de un material específico, bajo un determinado conjunto de condiciones experimentales, requiere medir los valores de S para tres, cuatro o cinco monotamaños iniciales, y obtener las distribuciones granulométricas resultantes de por lo menos dos de los tamaños iniciales. Es ventajoso poder medir las variaciones de potencia del molino de prueba durante las experiencias, ya que cambios inusuales de potencia indicarían irregularidades en las condiciones del molino. Esto no es posible hacerlo midiendo el consumo eléctrico (Watts) del motor del molino si las pérdidas de energía en la transmisión contituyen gran parte del consumo, ya que en estas circunstancias la medida no sería suficientemente sensible para indicar variaciones en el consumo de potencia del molino. Para materiales blandos que se desgastan rápidamente, o para materiales pegajosos, es mejor tamizar en húmedo a 400 mallas, seguido por un secado del material retenido y un tamizado en seco de acuerdo a un procedimiento adecuado. Si se dispone de un filtro de vacío, el material -400 mallas puede ser filtrado y recuperado. El tamizado en húmedo es más eficiente si la muestra se agita con líquido en una vasija grande, con un agente dispersante adecuado, si fuese necesario, y se le permite asentar. El líquido sobrenadante contiene la mayoría de los finos que entonces pueden ser pasados fácilmente a través del tamiz con un lavado mínimo. El sólido asentado se vuelve a lavar si es necesario, se filtra y seca y luego se tamiza en seco. Esto evita la incomodidad de utilizar grandes cantidades de agua (u otro líquido) necesarios para lavar con rociado toda la muestra en los tamices y conduce, además, a deshacerse de los finos adheridos a las fracciones de tamaño mayores. 124

Por supuesto que es necesario usar el sentido común en la selección de las cantidades de muestras a tamizar, para evitar la obstrucción de los tamices. Una muestra de 50 a 100 gramos es adecuada para el tamizado de materiales cuyos tamaños están predominantemente en el rango de tamaños de 8 a 14 mallas, pero el peso de la muestra debe ser reducido cuando contiene materiales más finos. Una guía aproximada es que la cantidad de material menor a 325 mallas nunca debe exceder los 10 gramos. Por otra parte, si la mayoría de las partículas son de tamaño superior a las 8 mallas, debe utilizarse una cantidad mayor de muestra. El procedimiento de tamizaje debe ser seleccionado de manera que sea un compromiso entre un tiempo suficiente para un tamizado completo y uno menor al que comienza a producir demasiada abrasión de las partículas y que conduce a una distribución granulométrica demasiado fina. Generalmente es suficiente utilizar un tiempo de tamizado de 10 minutos, seguido por un cepillado de la malla de los tamices invertidos, para remover el material que obstruye las aberturas, seguido por otros 5 minutos de tamizado. El procedimiento de tamizado debe acortarse para materiales fácilmente desgastables y alargarse para materiales pegajosos.

6.2. TECNICAS DE CALCULO Designemos por w1(t) la fracción en peso de partículas del monotamaño en estudio. La molienda de primer orden da como resultado: logw1(t) − logw1(0) = S1t ⁄ 2.3

(6.1)

Por lo tanto, un gráfico de w1(t), en escala logarítmica, versus t, en escala lineal, debe producir una línea recta, ver Figura 6.1. El punto a tiempo cero se obtiene de la prueba de molienda en blanco y por lo tanto permite corregir automáticamente por errores en tamizado incompleto del monotamaño. No es correcto trazar una línea que pase por cero a t = 0, a menos que la prueba en blanco muestre que no hay error de tamizado incompleto. De la Figura 6.1 se desprende que los tiempos para los ensayos de molienda varían según las características de cada monotamaño; idealmente ellos deben ser seleccionados para dar una secuencia de valores de w1 de aproximadamente 0.8, 0.5, 0.1 y 0.05. El valor de S se determina de la pendiente de la recta. Graficando los valores de Si obtenidos para cada monotamaño xi versus xi en una escala log-log, se puede determinar el valor de a y α de las ecuaciones (5.1) y (5.2). Es a menudo necesario “preacondicionar” la alimentación al molino por medio de una corta molienda para eliminar todo material normalmente débil que pudiera falsear los resultados. Generalmente este tipo de heterogeneidad da líneas rectas en los gráficos de primer orden, pero que comienzan a valores muchos menores de w1(0) =1 para t=0 y falsean las distribuciones de tamaño, especialmente de los finos. El tiempo de preacondicionamiento debe ser determinado experimentalmente, pero generalmente 0.5 minutos son suficientes. Por definición de los valores B, éstos son deducidos de la distribución granulométrica para tiempos cortos de molienda, cuando la carga del molino está constituida predominantemente por el tamaño x1 y solamente cantidades menores de tamaño más pequeño. Así se asegura que éstos no sean retriturados. Mientras más pequeña es la cantidad de material de tamaño x1 quebrado, más precisos son los cálculos de B, especialmente si la corrección por tamizado incompleto es también pequeña. Es difícil efectuar un tamizado y pesado en forma adecuada para el material de tamaño x1 125

Figura 6.1 : Gráfico de primer orden para:  16/20,  40/50,  4/6,  140/200 mallas de clinker de cemento.

molido, si éste constituye solamente un pequeño porcentaje del total, sin embargo, un análisis muy cuidadoso puede dar resultados excelentes bajo estas circunstancias. Como hemos ya mencionado, la molienda inicial es a menudo anormal y cuando esto se observa, la alimentación debe ser preacondicionada como se discutió anteriormente. La experiencia sugiere que se puede obtener buenos resultados cuando se selecciona el tiempo de molienda en forma tal que la cantidad de material de tamaño x1 molido sea de aproximadamente un 20% a 30% del total. Sin embargo, en estas condiciones de molienda es seguro que ha habido un cierto grado de refractura y, por lo tanto, es necesario introducir una corrección. Una técnica de cálculo, denominada Método BI, consiste en medir las distribuciones granulométricas como función del tiempo y extrapolar para tiempos cercanos a cero. Entonces por definición los valores de B se calculan en la forma: Método BI : b2,1 ≈

peso que llega al tamaño 2, para t → 0 peso eliminadode tamaño 1, para t → 0

(6.2)

Desafortunadamente, es difícil obtener distribuciones granulométricas correctas para pequeños grados de fractura y resulta tedioso hacer pruebas cuidadosas a varios tiempos 126

cortos para permitir una extrapolación a tiempo cercano a cero. La extrapolación a tiempo cero desde tiempos más largos está sujeta a errores sistemáticos grandes, incluso cuando P(xi,t) versus t parece ser lineal a tiempos grandes. Para corregir por la fractura secundaria se utiliza un segundo método, denominado Método BII [6.1]. Método BII : Bi,1 ≈

log[(1 − Pi(0)) ⁄ (1 − Pi(t))] , i> 1 log[(1 − P2(0)) ⁄ (1 − P2(t))]

(6.3)

En general, si el tamaño superior se denota con j, la ecuación (6.3) puede ser expresada como : Bi, j ≈

log[(1 − Pi(0)) ⁄ (1 − Pi(t))] , log[(1 − Pj + 1(0)) ⁄ (1 − Pj + 1(t))]

i> j

(6.3a)

Que este procedimiento de corrección funciona bien para molienda en molino de bolas ha sido comprobado por Austin y Luckie [6.1], quienes utilizaron valores típicos de S y B para calcular distribuciones granulométricas de una molienda discontinua a varios tiempos y después aplicaron las técnicas de cálculo BI y BII a los datos simulados. Como las distribuciones granulométricas son exactas, no existen errores experimentales en las curvas y una comparación de los valores de B calculados con los valores “verdaderos” conocidos da una medición del error en las técnicas aproximadas de cálculo. El método es apropiado sólo para tiempos de molienda cortos, en los que la cantidad de monotamaño fracturada es menor que el 30%. Si el material se tritura por tiempos más prolongados los valores de B calculados mediante la ecuación (6.3) resultan demasiado grandes. Obtener buenos valores experimentales de B es la parte más difícil de las pruebas para el cálculo de S y B, porque es necesario (como se mostró arriba) utilizar un pequeño grado de molienda para evitar una fractura secundaria excesiva, y es necesario utilizar un monotamaño como alimentación. Sin embargo, los ensayos a tiempos de molienda cortos son a menudo aquellos en que es difícil de obtener buenos resultados debido a la existencia de componentes débiles en el monotamaño y a errores experimentales. Consecuentemente, el resultado que se muestra en la Figura 6.2 es bastante común: ensayos repetidos de la determinación producen una banda de resultados para B y los valores de B obtenidos por una prueba no son exactamente repetibles en otra. Por lo tanto, errores que resultan en la aproximación del método BII son dominados por la incertidumbre que se produce debido a la variabilidad experimental. A menudo se presenta el caso que las distribuciones granulométricas del producto son paralelas para tiempos diferentes, como se observa en la Figura 4.1. La pendiente de las partes rectas de las distribuciones granulométricas puede ser utilizada como guía para trazar la inclinación correcta a través de los puntos de figuras como la Figura 6.2. Estos métodos de cómputo para B se basan en un efecto de compensación que se aplica como una aproximación solamente para la fractura normal, en la región hacia la izquierda del máximo de Si que se muestra en las Figuras 4.4 y 4.5. Para la fractura anormal, hacia la derecha del máximo de Si, es necesario utilizar el método BIII [6.1] que requiere estimaciones de las velocidades de fractura específica. En esta región los valores de B no son usualmente normalizables. 127

Algunos materiales producen valores de B no-normalizables incluso en la región de fractura normal. Esto ha sido observado para algunas escorias de cemento y puede estar asociado a la naturaleza altamente porosa de las partículas mayores. La Figura 6.3 muestra el resultado típico para un material en que los valores de B son inequívocamente no-normalizados. Para molienda en molino de bolas, siempre hemos encontrado que los valores de B son no-normalizables de la misma manera que se muestra en esta figura. Esto es, mientras más pequeño es el tamaño fracturado más fina es la correspondiente distribución adimensional de B, cuando valores de B no-normalizables se encuentran en la región de fractura normal. Austin y Luckie [6.2] han descrito una técnica para caracterizar tales distribuciones. La forma de los valores de B se puede describir bien como la suma de dos funciones de potencia (que aparecen como dos líneas rectas en el diagrama log-log (ver Figura 6.3); esto es, γ

Bi,1 = Φ1(xi − 1 ⁄ x1) + (1 − Φ1)(xi − 1 ⁄ x1)

β

,

i> 1

(6.4)

donde Φ es la intercepción que se muestra en la Figura 6.3 y γ es la pendiente de la parte fina de la distribución. Como γ y Φ 1 son estimados desde el diagrama, el último término del lado derecho de la ecuación (6.4) se calcula y grafica para dar el valor de β. La Figura 6.4 da la variación de Φ i con el tamaño xj:

Figura 6.2 : Función distribución de fractura primaria, en triplicado, para molienda húmeda de cuarzo en un molino de laboratorio.

128

logΦj = − δ log(xj ⁄ x1) + logΦ1

(6.5)

donde xj es el tamaño superior del intervalo que se considera, -δ es la inclinación (δ > 0) para la molienda en molino de bolas de la línea en la Figura 6.4, Φ1 es la intercepción medida para el tamaño x1. Entonces, las ecuaciones (6.4) y (6.5) son una representación matemática empírica de los valores de B, con parámetros γ, β, δ y Φ1. Para valores de B normalizados, δ=0. La ecuación (6.5) puede ser utilizada para extrapolar solamente hasta Φj = 1 y entonces es usualmente suficiente tomar Φ1 = 1.0 para los valores mayores de j (tamaño xj más pequeños). Hasta la fecha, cada vez que hemos ejecutado una extensión cuidadosa de las distribuciones granulométricas hasta tamaños menores a los de tamizado, para la molienda de primer orden y teniendo en cuenta las diferencias de factores de forma, hemos concluido que los resultados están de acuerdo con las predicciones obtenidas de la

Figura 6.3 : Valores experimentales de la función B para Clinker de Cemento del Tipo II, para varios tamaños de alimentación.

129

Figura 6.4 : Interacción en los gráficos de B como función del tamaño fracturado.

extensión de las funciones de potencia de los parámetros S y B a tamaños menores (ecuaciones (5.1) y (6.1), ver Figura 4.1). Como regla general, si la forma de la distribución granulométrica cambia cerca o en el tamaño en el cual se cambia de método de análisis granulométrico, el cambio de inclinación debe ser considerado como sospechoso.

6.3. RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA En esta sección se describe las técnicas para la determinación indirecta de los valores de S y B por retro-cálculo desde datos experimentales. La base de esta técnica es la utilización de un programa computacional de búsqueda para encontrar los valores de los parámetros característicos de S y B que hacen que los resultados simulados por el modelo del molino se acerquen lo más estrechamente posible a un conjunto de datos experimentales de laboratorio, planta piloto o planta industrial. Las ventajas del método de retrocálculo son: (i) utiliza simultáneamente todos los datos disponibles en el cálculo y por lo tanto distribuye los errores; (ii) puede ser utilizado con datos limitados, reduciendo así la necesidad de una gran cantidad de trabajo experimental; (iii) puede ser aplicado a datos de molienda continua industrial (ver más adelante). La mayor desventaja es que se fuerza a los datos a ajustarse a las suposiciones del modelo propuesto, no siendo siempre posible detectar cuando algunas de estas suposiciones no son válidas.

130

Si se considera los resultados que se muestra en la Figura 4.1, está claro que los resultados simulados están de acuerdo con los resultados experimentales con bastante precisión. Esto significa que la solución de las ecuaciones de molienda discontinua con un apropiado conjunto de valores de S y B predice con gran exactitud los datos experimentales de la molienda discontinua. Entonces, debe ser posible realizar el proceso inverso: dado un conjunto de datos experimentales determinar que valores de S y B que son necesarios para generar estos datos por simulación. Los programas desarrollados por Klimpel y Austin [6.3, 6.4] utilizan suposiciones simplificadas sobre las formas funcionales de S y B con respecto al tamaño de partícula, para reducir el número de parámetros en la búsqueda. En una opción, las formas funcionales escogidas para los valores de S y B son: α

Si = A(xi ⁄ x1)

n> i≥ 1 , β

γ

Bi,1 = Φ1(xi − 1 ⁄ x1) + (1 − Φ1)(xi − 1 ⁄ x1)

,

n≥ i> 1

Luego, si se supone que B es normalizable, se reduce los parámetros desconocidos α , A, γ, β y Φ1. Para valores de B no-normalizados:

Φj = Φk(xj ⁄ xk)

−δ

,

δ > 0, Φj ≤ 1 ,

que introduce el paramétro adicional δ. Para valores de S que pasan por un máximo con respecto al tamaño: α

S1 = A(xi ⁄ x1) Qi donde los factores de corrección Qi son descritos por la distribución log-logística de dos parámetros: Qi =

1 Λ

1 + (xi ⁄ µ)

, Λ>0

Por lo tanto se introduce dos parámetros más, µ y Λ. Para obtener valores confiables de los parámetros de B, Φ1, γ , δ y β , desde datos de molienda discontinua, es necesario utilizar datos experimentales de tiempos cortos de molienda de monotamaños. Para obtener un valor adecuado para el parámetro α es necesario tener datos experimentales de tiempos de molienda más largos. Por lo tanto, los datos de la Figura 4.1 son el tipo de datos necesarios para obtener valores retrocalculados confiables del conjunto completo de parámetros. El programa A se basa en la solución de Reid [6.5] del conjunto de ecuaciones de la molienda continua, modificada por Gardner, Verghese y Rogers [6.6]:

131

i

pi =

∑ aij ej

,

n≥ i≥ 1

(6.6)

j= 1

con :

i− 1  fi − ∑ aik ,i= j  k = 1, i > 1  aij =  i− 1   1 Skbikakj , i > j  Si − Sj ∑ = j k  ∞

ej =

∫ ϕ(t) exp( −

Sjt) dt

0

Para la molienda discontinua (flujo pistón): ej = exp(−Sj t) Se supone que los valores de Si y Bij tienen las formas que se dió anteriormente. Por lo tanto los parámetros descriptivos son A, α, µ, Λ, Φ, γ, β y δ. La entrada del programa consiste en un mínimo de tres distribuciones granulométricas, incluyendo la alimentación a t = 0 y los valores a dos tiempos t1 y t2 en la forma de valores P(xi,t). El programa busca el mejor conjunto de valores de α, β, γ, S1 y Φ1 que minimice el error entre los valores de p(xi,t) calculados y experimentales, suponiendo una fractura de primer orden perfecta. La función objetivo utilizada es: n

2

Min SSQ = ∑ ∑ wi [pi (experimental ) − pi (calculado)]

(6.7)

k i=1

donde la suma sobre k es para todos los pares de tiempo t=0 y t1, t=0 y t2, etc. Los detalles del resto del programa son semejantes a los del Programa B que se discutirá más adelante. Los factores de ponderación wi dependen de la estructura de errores de los datos, la que se determina haciendo réplicas de las pruebas de molienda discontinua (ver más adelante). El procedimiento para determinar los parámetros descriptivos es como sigue: (1) Se hace ensayos con un tamaño de alimentación que dé en forma segura una fractura normal, esto es, un tamaño a la izquierda del máximo en S versus x. Se muele el material por un mínimo de cuatro tiempos, obteniendo las distribuciones granulométricas para cada uno de estos tiempos. A partir de estos datos se usa el 132

programa de retro-cálculo para determinar los parámetros, β, γ, Φ1 y A, haciendo δ = 0. El programa requiere estimaciones iniciales de los parámetros: la estimación inicial de A (=S1) se obtiene del gráfico de primer orden; γ, Φ1 y β se los calcula del gráfico BII y del gráfico de variación de S1 con el tamaño de partícula, o haciendo α = γ . Normalmente los valores de A, y β no se apartan mucho de estos valores calculados y los resultados son insensibles a los valores de β. Los tiempos de molienda se seleccionan para dar distribuciones granulométricas correspondientes, aproximadamente, a las de las distribuciones de 1/3, 2, 5 y 15 minutos de la Figura 4.1, porque los datos de tiempo corto permiten un cálculo más confiable de A y B, y los datos de tiempo prolongado aumentan la confiabilidad del cálculo de α. Los valores de B son más confiables cuando la alimentación consiste solamente en un monotamaño. (2) Los cálculos son repetidos con δ como variable y la suma de cuadrados (SSQ) correspondiente al δ óptimo se compara con la SSQ con δ=0 mediante el test F para comprobar si la adición de la variable δ produjo un mejoramiento estadísticamente significativo. Si este no fuese el caso se hace δ=0. (3) Se elige una alimentación de tamaño mayor tal que se encuentre a la derecha del máximo de S y se muele por lo menos a cuatro tiempos, produciendo cuatro distribuciones granulométricas. (4) Los valores de α, β, γ y δ previamente determinados, junto a Φ1 y A, todos escalados para el nuevo monotamaño, se utilizan como datos fijos en el programa de retro-cálculo y la búsqueda se hace solamente por µ y Λ . La posibilidad de ajustar uno o más de los parámetros durante la búsqueda ha demostrado ser muy valiosa porque: (a) permite mantener en su valor correcto aquellas variables que se conocen en forma precisa de la experimentación; (b) permite investigar la sensibilidad de cualquiera de los parámetros en función de cambios controlados de otros parámetros. En particular, los valores de Bij para los tamaños mayores pueden ser diferentes de los valores normales, de modo que es conveniente suministrar una matriz conocida de valores de Bij para determinar buenos valores para µ y Λ . Se debe hacer notar que este programa impone una ley de primer orden sobre cualquier resultado que provenga de una cinética de orden distinto del primero obtenido con tamaños mayores, de modo tal que µ y Λ son valores promedio efectivos que se basan en una cinética de primer orden. No es novedad por lo tanto, que simulaciones de los resultados no pueden reproducir muy exactamente, en este caso, los valores experimentales para la molienda discontinua, porque la fractura de los tamaños mayores no es necesariamente de primer orden. Sin embargo, el uso subsecuente de los parámetros para simulaciones de molinos continuos, donde la alimentación que entra al molino tiene una distribución granulométrica completa, con pequeñas fracciones de tamaños mayores, ha demostrado ser bastante exitosa. También se debe notar que el programa de retro-cálculo de S y B para la molienda discontinua está diseñado específicamente para operar con datos de ensayos que utilizan 133

un monotamaño de alimentación. Cuando se aplica a datos con una amplia distribución granulométrica existe normalmente demasiado error experimental para esperar obtener valores correctos de los parámetros B, porque entonces el cambio de la distribución granulométrica con el tiempo se hace insensible a los valores de γ, β y Φ. En este caso se puede fijar Φ =0.5 y β =4.

6.4.RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA Lynch et al. [6.7], Kelsall et al. [6.8] y Everell et al. [6.9] han desarrollado varias formas de retrocálculo aplicable a datos de plantas industriales, haciendo los cálculos de Si intervalo por intervalo, donde S1 se determina primero y luego es utilizado en el cálculo de S2, etc. Sin embargo, Austin y Klimpel [6.4] prefieren utilizar formas funcionales para Si de modo de evitar la acumulación de errores. Ellos tienen dos programas diferentes para el retrocálculo desde datos de molinos continuos [6.4], ambos escritos en Fortran IV, con entrada y salida semejantes y utilizando el mismo algoritmo de búsqueda del óptimo. El Programa A es utilizado ya sea para el retrocálculo desde datos de molienda discontinua, discutida anteriormente, o para un “Circuito Abierto”. “Circuito Abierto” significa aquí que la distribución granulométrica de la alimentación al molino y el producto de éste son los valores experimentales; si el molino está en “Circuito Cerrado”, se estima la razón de recirculación de la manera usual y la distribución granulométrica de la alimentación al molino se determina a partir de la alimentación fresca y de la carga circulante. La distribución de tiempos de residencia (DTR) se introduce vía el vector de valores ej. Hay disponibles seis opciones: (i) flujo pistón, para ser utilizada para la molienda discontinua; (ii) mezcla perfecta, (iii) serie de m reactores completamente mezclados de igual tamaño; (iv) modelo de un reactor grande seguido de dos pequeños; (v) modelo de Rogers/Gardner [6.10] y (vi) modelo semi-infinito de Mori et al. [6.11]. Se ha encontrado que si la DTR de un molino, determinada experimentalmente se ajusta a las DTR que resultan de alguno de esos modelos, entonces ese modelo debe ser utilizado en la computación. Se debe reconocer que el material retenido en un molino normalmente no se determina en una prueba industrial, excepto cuando se efectúa una medida de la DTR. Sin embargo, se puede suponer que la forma de la DTR adimensional es similar a la que se puede medir para molinos semejantes, por lo que se puede calcular un tiempo de residencia promedio formal, suponiendo que el material retenido corresponde a un llenado intersticial completo de la carga de bolas (U=1.0). El valor de α obtenido por retro- recálculo no cambia al variar τ y el valor de τ formal produce un valor formal de A. El programa tiene la ventaja de su flexibilidad en la selección de la distribución del tiempo de residencia. Sin embargo, la solución Reid tiende a volverse inestable cuando existe un número de términos en que Si-Sj se vuelve pequeño. Esto es particularmente verdadero cuando se intenta utilizar todas las distribuciones granulométricas, alrededor de un circuito cerrado, en la función objetivo. Por esta razón se desarrolló un segundo programa con un método completamente estable.

134

En el programa B se utiliza el algoritmo de un molino en circuito cerrado desarrollado por Luckie [6.12] para una DTR correspondiente a tres reactores perfectamente mezclados y distintos en serie. Con una selección apropiada de τ1, τ2, y τ3, en que el tiempo de residencia promedio total es τ = τ1 + τ2 + τ3, este modelo de DTR puede representar claramente uno, dos o tres reactores completamente mezclados iguales, un reactor grande seguido por dos pequeños iguales o tres reactores distintos, todos ellos completamente mezclados en serie. Weller [6.14] ha indicado que las DTR que se ha medido en varios molinos industriales de gran escala se las puede aproximar razonablemente con el modelo de un reactor grande seguido por dos pequeños iguales. La función objetivo que se utiliza en este caso es: 2

2

Minimizar F = W1 ∑ w1i (qi obs − qi calc) + W2 ∑ w2i (fi obs − fi calc) + 2

2

W3 ∑ w3i (pi obs − pi calc) + W4 ∑ w4i (ti obs − ti calc) + 2

(6.8)

2

W5 ∑ w5i (qi obs − qi calc) + W6 (C obs − C calc)

Generalmente los factores de ponderación W se toman como 1 ó 0 para facilitar el análisis estadístico; hasta cinco de ellos pueden ser puestos iguales a cero si se desea. El retro-cálculo se hace normalmente fijando los parámetros de B en los valores que se determinaron en el laboratorio y calculando A y α. Si hay tamaños grandes en la alimentación, el cálculo se repite con µ y Λ como variables adicionales para ver si se obtiene un mejoramiento estadístico significativo en el ajuste [6.4]. Finalmente, los parámetros de Φ y γ se introducen como variables adicionales (los resultados son insensibles a β) y se prueba nuevamente el mejoramiento estadístico de ajuste. El programa también da valores de Si intervalo por intervalo para efectuar una comparación. Los factores de ponderación apropiados para el análisis de datos de planta fueron deducidos como sigue: La Tabla 6.1 muestra distribuciones granulométricas en triplicado obtenidas por tamizado de datos de planta cuidadosamente repetidos. Cada muestra fue un compósito de muestras de suspensión tomadas a intervalos de cinco minutos en un período de 30 minutos de operación continua; los tres compósitos fueron obtenidos al mismo tiempo. Se puede observar que los intervalos granulométricos que contienen mayores cantidades de valores más grandes de la varianza sin __ material producen __ ponderación Vi = (pi - pi)2/3 donde__pi es el promedio aritmético de pi. La graficación de __ la varianza no ponderada versus pi en una __ escala log-log sugiere que Vi ∝ pi, de modo que factores de ponderación w__i = 1/__ pi dan una distribución aleatoria de errores ponderados, definidos por ( pi − pi )2 ⁄ pi. La varianza media de estos errores ponderados definida por: V=

∑∑ k

i

__ 2 __ [( pi − pi ) ⁄ pi ] n(k − 1)

(6.9)

135

Tabla 6.1 Réplicas de datos (en triplicado) de la molienda industrial de un mineral de cobre. Intervalo de tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Producto de la molienda fracción en peso, pi 0.010 0.008 0.026 0.049 0.076 0.084 0.095 0.101 0.092 0.083 0.084 0.062 0.041 0.045 0.032 0.113

0.008 0.009 0.031 0.054 0.082 0.094 0.106 0.104 0.093 0.079 0.076 0.057 0.036 0.037 0.034 0.100

0.001 0.012 0.028 0.052 0.084 0.089 0.103 0.095 0.087 0.077 0.078 0.059 0.044 0.042 0.026 0.113

Promedio __ pi 0.0097 0.0097 0.0283 0.0517 0.0807 0.0890 0.1013 0.1000 0.0907 0.0797 0.0793 0.0593 0.0403 0.0413 0.0307 0.1087

Varianza sin ponderación x 104 0.023 0.043 0.063 0.063 0.173 0.250 0.323 0.210 0.103 0.093 0.173 0.063 0.163 0.163 0.173 0.563

resultó ser 4x10-4 para este conjunto de datos. Se supone que los mismos factores de ponderación son aplicables a todas las distribuciones granulométricas utilizadas en el cálculo de un circuito cerrado y que la varianza promedio se calcula por medio de réplicas de todas esas distribuciones. Otro conjunto de datos dió una varianza ponderada promedio de 16x10-4, 11x10-4, 8x10-4 y 4.5x10-4 ,dependiendo del cuidado para obtener buenas muestras granulométricas para calcular la varianza. Un procedimiento similar aplicado a una prueba de molienda discontinua en húmedo de cuarzo, en un molino de 200 mm de diámetro interior por 1, 3, 7 y 15 minutos produjo los mismos factores de ponderación y una varianza promedio total de 3x10-4. Klimpel y Austin [6.4] dan un número de ejemplos para ilustrar los problemas del retro-cálculo de valores a partir de datos industriales. Ellos concluyeron que: (i) El retro-cálculo, intervalo por intervalo, raramente proporciona valores correctos de Si para los tamaños superiores y pequeños errores en las medidas de los tamaños finos dan grandes errores en los valores de Si obtenidos intervalo por intervalo para estos tamaños. (ii) El retro-cálculo, suponiendo que un molino de bolas se comporta como un mezclador perfecto, produce valores de Si radicalmente incorrectos (el valor de α es demasiado grande), cuando se los aplica a datos de un molino de bola con un DTR real.

136

(iii) En presencia de errores experimentales típicos no es posible deducir que la DTR de un reactor perfectamente mezclado es incorrecta (esto es, que el modelo es inadecuado). Los valores incorrectos de Si reproducirán la distribución granulométrica del producto del molino, sin embargo, la utilización de los valores incorrectos de Si a cualquier otro flujo de alimentación producirá predicciones de la distribución granulométrica del producto radicalmente incorrectas. (iv) La utilización de una DTR más cercana al flujo pistón que al DTR correcto da un α demasiado pequeño y vice versa. (v) El uso de los valores de B con un γ menor que el valor correcto produce un α demasiado grande y vice versa. (vi) En el retro-cálculo se debe utilizar el mayor número posible de distribuciones granulométricas del circuito cerrado, ya que éste proporciona el rango más estrecho de valores estadísticamente aceptables y da valores de α más en acuerdo con aquellos determinados por experimento directo.

6.5 REFERENCIAS 6.1

Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol., 5(1972)215-222

6.2

Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol., 5(1972)267-277.

6.3

Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Int. J. of Mineral Processing, 4(1977)7-32.

6.4

Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Powder Technol., 38(1984)77-91.

6.5

Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963.

6.6

Gardner, R.P., Verghese, K. and Rogers, R.S.C., Mining Engineering, 239(1980)81-82.

6.7

Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier (1977).

6.8

Kelsall, D.F., Reid, K.J. and Restarick, C.J., Powder Technol., 1(1967/68)291-300.

6.9

Hodouin, D., Berube, M.A. and Everell, M.D., Industrie Minerale Mineralurge, (1979)29-40.

6.10 Rogers, R.S.C. and Gardner, R.P., A.I.Ch.E. Journal, 25(1979)229-240. 6.11 Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Kagaku Kogaku, 29(1964)204-213. 6.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-51. 6.13 Weller, K.R., Proceeding, 3rd Symposium Automation in Mining, Mineral and Metal Procesing, Int. Federation of Automatic Control, O’Shea J. and Polis, H., Eds.,(1980)303- 309.

137

138

CAPITULO 7 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA

7.1. INTRODUCCION La utilización de modelos macroscópicos como representación de la operación de molienda hace desaparecer la posición en el equipo como variable independiente. Toda información respecto a la distribución espacial de propiedades del material en el molino se ha perdido y debe ser introducida mediante ecuaciones adicionales que describan el movimiento de las diversas “partículas” (mineral y agua) que constituyen la carga del molino. Esta información es menos detallada que la de un modelo microscópico y generalmente se expresa mediante propiedades estadísticas. Se ha demostrado en la práctica que el conocimiento estadístico del tiempo de permanencia de las diversas “partículas” en el molino es suficiente para completar el modelo de la molienda contínua. Se ha elegido como parámetro representativo el tiempo de residencia de las partículas en el molino, describiendo el movimiento de éstas mediante la función de distribución de tiempos de residencia. Desde un punto de vista teórico la función de distribución de tiempos de residencia de las partículas en un molino podría ser deducida de las ecuaciones que describen la tranferencia de masa en el molino, la que está asociada al transporte de material desde que entra hasta que sale del equipo. Desafortunadamente, los estudios de transporte de masa en los molinos no han progresado al punto de entregar información suficiente para su predicción. Por esta razón, es necesario obtener la información de distribución de tiempos de residencia en forma experimental. En esta sección se definirán los conceptos de edad y tiempo de residencia de una partícula, se describirán métodos para medirlos, se estudiarán diversos modelos matemáticos que pueden representar las curvas de distribución de tiempos de residencia y las técnicas computacionales necesarias para determinarlos. Finalmente se desarrollarán las ecuaciones que describen la molienda continua.

7.2. EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA. Denominaremos edad de salida t de una partícula del material que escurre en el molino al tiempo transcurrido entre el instante θ de entrada de la partícula y el instante t de salida de la misma, con − ∞ < θ < t, 0 < t < ∞ y t ′ = t − θ. Obviamente en un molino existen partículas de diversas edades ya que no todas ellas pasan por el molino

139

Figura 7.1 : Representación discreta de la función DTR.

a la misma velocidad. Es así como se puede definir una función de distribución de edades de salida. Consideremos un flujo másico constante de partículas F al molino y denominemos W la masa total constante de partículas retenida en el molino. Supongamos que podemos identificar en la salida del molino los diversos grupos de partículas que tienen la misma edad de salida. Si mi es la masa de partículas con edad t, mi/W será la fracción de partículas en el molino con edad t comprendida en el intervalo ti-1 ,ti, con i=1,2,..., n+1, to = 0, tn+1= ∞ y W= ∑ ni =+ 11 mi , la distribución de edades de salida o distribución de tiempos de residencia (DTR) será ϕi, tal que se cumpla (ver Figura 7.1) :

ϕi Δti = mi ⁄ W 140

(7.1)

Se puede comprobar que ϕi está normalizada, ya que: n+ 1

n+ 1

1 ∑ ϕi Δti = W ∑ mi = 1

i= 1

(7.2)

i= 1

La distribución de tiempos de residencia también puede ser definida como una función continua del tiempo (ver Figura 7.2):

ϕ(t)dt = (1 ⁄ W)dm

(7.3)

donde : ∞

W=

∫ dm

y

∫ ϕ(t)dt =

1

(7.4)

0

Una forma de caracterizar la función DTR es mediante la media y la varianza de la distribución. El valor medio, tiempo promedio de residencia o edad promedio de salida queda definido por: _ t=

∞

∫ tϕ(t) dt, 0

_ o t = ∑ ti ϕi Δti

(7.5)

en que ϕ(t) o ϕi están normalizadas. Como se demuestra en la sección 7.4, el tiempo promedio de residencia, definido por la ecuación (7.5), resulta ser igual al parámetro: _ τ= W ⁄F = t La dispersión de la distribución queda medida por la varianza σ2: ∞

_ σ = ∫ (t − t)2 ϕ(t)dt = 2

0

∞

∫t

2

_ ϕ(t)dt − t 2

(7.6a)

0

o en forma discreta : ∞ 2

σ =

_2 − (t i ∫ t) ϕi Δti = 0

_2 2 t ϕ Δt − t i i i ∑

(7.6b)

La función distribución de tiempos de residencia puede ser_expresada en forma adimensional. Haciendo uso _ del tiempo promedio de residencia t se puede definir el tiempo adimensional t*= t / t, tal que (ver Figura 7.2) 141

Figura 7.2 : Representación continua de la función DTR en forma dimensional y adimensional para un molino industrial de barras de 3 x 4.25 m.

ϕ∗(t∗)dt∗ = ϕ(t)dt _ y como dt* = dt/ t resulta: _ ϕ∗(t∗) = t ϕ(t)

(7.7)

La varianza adimensional será: ∞

_ σ = σ ⁄ t 2 = t∗2 ∫ ϕ∗(t∗)dt∗ − 1 ∗2

2

0

142

(7.8)

7.3.MEDICION EXPERIMENTAL La función DTR puede ser determinada experimentalmente mediante la adición de un trazador junto a la alimentación del molino. Un trazador es una pequeña porción de una sustancia que se comporta en forma similar al material de alimentación y que posee una propiedad que lo distingue de él y que permite su detección a la salida del molino. Dependiendo del sistema se pueden utilizar trazadores cuya propiedad a medir es la conductividad, la absorbancia de la luz, la concentración de un determinado catión, la radioactividad u otra. Por esta razón diferentes trazadores requieren diferentes técnicas experimentales. Entre los factores que deben ser considerados para la selección del trazador para una determinada aplicación se puede mencionar (1) la disponibilidad del trazador y del equipo de detección, (2) el límite de detección a baja concentración, (3) propiedades físicas similares a las del material que se transporta y (4) no debe reaccionar químicamente ni debe absorberse en las paredes del equipo o en las partículas del material.

7.3.1.Trazadores utilizados en molinos industriales En la molienda húmeda frecuentemente se supone que la densidad de la pulpa en el molino es igual a las de la entrada y salida del molino, y que la DTR de las partículas sólidas es igual a la del agua. Bajo estas suposiciones basta determinar la DTR del agua, lo que se logra fácilmente usando cloruro de sodio (NaCl) como trazador y detectando la conductividad del agua a la salida del molino.En molinos industriales húmedos basta con lanzar un saco de papel conteniendo la sal directamente dentro del molino y tomar muestras de la descarga, dejando decantar el sólido y midiendo la conductividad de la solución. Otro trazador que se utiliza para determinar la DTR del agua en molinos es el sulfato de cobre, con determinaciones colorimétricas de las muestras y trazadores radioactivos líquidos, con medición de la radiación emitida. La mayoría de los trazadores radioactivos líquidos se obtienen por irradiación directa de sales y otros compuestos en un reactor nuclear y son emisores de radiación gamma. Ejemplos de este tipo de trazador se dan en la Tabla 7.1. La suposición de que la DTR del agua es igual a la de las partículas en un molino húmedo no es correcta, como se verá más adelante, por lo que en general es conveniente conocer la DTR del sólido además de la del agua. Por otra parte, en la molienda seca se debe determinar siempre la DTR de las partículas sólidas. Dos métodos son frecuentemente usados para marcar partículas sólidas: el teñido con fluorescina y la irradiación nuclear. El método más antiguo, utilizado en la molienda seca de clinker de cemento [7.2], es el que usa fluorescina. Se utiliza aproximadamente 1 g de fluorescina por tph de capacidad del molino, disolviéndola en 1.5 veces su peso en agua. Diez gramos de clinker se someten a vacío en una bolsa de plástico, admitiendo luego la solución de fluorescina de modo que ésta queda incorporada como una capa en los poros internos del clinker. La bolsa se arroja dentro del molino y se toma muestras del polvo que sale de él. El contenido de fluorescina de cada muestra se determina agitando 2 g de muestra con 50 cm3 de agua por 30 segundos, dejando sedimentar el sólido por dos minutos y filtrando. El líquido se coloca en un tubo Nessler y se mide la intensidad comparando visualmente con la solución normalizada, o se determina la concentración con un fotofluorímetro (nefelómetro) que permite detectar 1 parte de fluorescina por 108 partes de muestra. 143

Tabla 7.1 Propiedades de isótopos radioactivos líquidos [7.1] Radio-isótopos Material blanco

82 Br

Reacción nuclear

Vida media 36.0 h

Energía MeV 0.55 y 1.47

KBr ó 81 Br(n,γ) 82 Br NH4Br 15.0 h 1.37 y 2.75 24 Na NaCl ó 23 Na(n,γ) 24 Na Na2CO3 27.8 d 0.325 51 Cr Cromo 50 Cr(n,γ) 51 Cr metálico 12.8 h 0.51 64 Cu Cobre 63 Cu(n,γ) 64 Cu metálico ó CuO 2.7 d 0.41, 0.68, 109 198 Au Oro 197 Au(n,γ) 198 Au metálico 45.6 d 1.1 y 1.29 59 Fe Fe2O3 58 Fe(n,γ) 59 Fe 8.06 d 0.364 131 I Teluro 130 Te(n,γ) 131 Fe metálico Para molinos industriales húmedos, el trazador más confiable de las partículas sólidas es una porción del mismo material de alimentación irradiado en un reactor nuclear, lo que produce la activación de uno o más elementos que forman parte del mineral. De esta forma el comportamiento del trazador será idéntico al del mineral que se muele y transporta en el interior del molino. Dependiendo del objetivo del estudio se puede seleccionar como trazador una muestra de una distribución granulométrica característica del mineral de alimentación o bien una fracción de una granulometría determinada (finos). En cuanto a la variable a medir se puede seleccionar la energía gamma proveniente de uno de los isótopos en particular o bien medir el total de radiación gamma emitida por la muestra.

7.3.2.Método experimental de inyección y medición de un trazador radioactivo Como se verá en la sección siguiente, es conveniente introducir el trazador, junto a la alimentación al molino, en forma de un impulso. Esto se consigue mediante una masa o volumen de trazador muy pequeña adicionada en un intervalo de tiempo muy corto (comparado con el tiempo promedio de residencia) de modo que no perturbe el flujo de material que entra al molino. Los métodos más utilizados para efectuar una inyección puntual, y cuya elección depende del diseño del circuito de molienda y del acceso al lugar de inyección, son [7.1]: (1) volcar un frasco que contiene el trazador en la alimentación del molino, (2) romper por impacto un frasco de vidrio (o saco) que contiene el trazador directamente en la alimentación del molino, (3) inyectar un trazador líquido directamente en la alimentación mediante un método hidráulico-neumático (jeringa). La mayoría de los trazadores radioactivos utilizados para medir la DTR en molinos son emisores de radiación gamma. Por esta razón lo más común es utilizar detectores de NaI(Te) [7.1, 7.3 - 7.5]. La medición se puede efectuar montando los detectores en línea en 144

la descarga del molino, conectándolos a un equipo electrónico que permita fijar el tiempo de medición y un intervalo de espera y registrando o imprimiendo los valores de tasa de conteo. Este método se debe utilizar cada vez que sea posible y cuando la descarga del molino es de difícil acceso y no permite la toma de muestras. Cuando hay limitaciones en cuanto a la actividad a inyectar, o cuando la dilución en el molino es muy alta, puede suceder que la medición en línea no sea capaz de detectar el trazador con buena sensibilidad. En estos casos se puede recurrir a la medición mediante muestreo. Esta consiste en realizar un muestreo discreto de la descarga del molino a intervalos de tiempo determinados (cada 15 segundos durante los 3 primeros minutos, cada 30 segundos hasta los 8 minutos, cada minuto hasta los 13 minutos y cada 2 minutos hasta completar 20 minutos), tomando luego 5 litros de muestra de pulpa, filtrando y separando 400 mililitros de líquido y 1.80 gramos de sólido seco de cada muestra. Luego, se mide la actividad de cada una con un detector de NaI(Te) conectado a un analizador multicanal, el que permite separar los picos de diferentes energías, lo que hace posible la medición simultánea e independiente de isótopos diferentes. Para asegurar que se ha detectado toda la cola de la curva de DTR es necesario que el tiempo total de muestreo sea igual o mayor que 5 veces el tiempo promedio de residencia [7.1].

7.3.3.Medición de DTR en un molino en circuito abierto Consideremos el molino mostrado en la Figura 7.3. Supongamos que se agrega una cantidad Mo de trazador en la alimentación al molino, en un intervalo de tiempo de (0, ∞), siendo CF(t) la concentración de trazador en la entrada, y que éste sale del molino en el mismo intervalo (0, ∞) a la concentración CP(t). El balance de masa da: ∞

M0 =

∞

∫ FCF(t)dt = ∫ FC P(t)dt 0

(7.9)

0

Figura 7.3 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito abierto, Q =F es la alimentación en ton/h.

145

Si suponemos que la función ϕ(t) es la misma para todas las partículas sólidas independientemente de su tamaño, el balance de masa para el trazador se puede expresar en la forma: Material que sale del molino en el intervalo de tiempo entre t = y t+dt con edad t′.

Material que entra al molino en el intervalo de tiempo entre θ y θ + dθ, con 0 < θ < t.

Fracción de este material que sale con edad t − θ entre t y t+dt.

donde t′ = t − θ. Entonces: t

F(t)CP (t) dt =

∫ F(θ) CF(θ) ϕ(t − θ) dθdt 0

Simplificando y suponiendo estado estacionario t

CP(t) =

∫ CF(θ) ϕ(t − θ) dθ

(7.10)

0

Mediante un cambio de variable es fácil demostrar que esta expresión es equivalente a: t

CP(t) =

∫ CF(t − θ) ϕ(θ) dθ

(7.11)

0

La integral de la ecuación (7.11) se denomina convolución y se dice que CP(t) es la convolución de ϕ con CF, y se escribe en la siguiente notación simplificada: CP(t) = ϕ ∗CF(t)

(7.12)

Si el trazador se introduce al molino en un intervalo de tiempo muy pequeño, este estímulo puede ser considerado una función impulso de Dirac: CF(t − θ) = C0 δ(t − θ) donde

δ (t − θ) = 0 si θ ≠ t , ∞

∫ δ(t − θ)dθ =

1 ,

0

y la cantidad de trazador inyectada es: 146

(7.13)

∞

M0 = FC 0 , con C0 =

∫ CP(t)dt

(7.14)

0

De las ecuaciones (7.11) y (7.13) resulta: ∞

CP(t) = C0 ∫ δ(t − θ) ϕ(θ)dθ

(7.15)

0

Usando la propiedad de la función delta de Dirac se obtiene: CP(t) = C0 ϕ(t)

(7.16)

Despejando ϕ(t) se puede concluir que, utilizando un impulso de Dirac como estímulo de trazador en un molino, es posible obtener la función DTR directamente de los valores de concentración según:

ϕ(t) =

CP(t) ∞

(7.17)

∫ CP(t)dt 0

No es necesario conocer el valor absoluto de CP(t) en la ecuación (7.16) para calcular ϕ(t), sino que basta un valor proporcional, como por ejemplo, las fracciones de cuentas n por segundo. Entonces la expresión (7.16) también se puede escribir en la forma:

ϕ(t) =

n(t) ∞

∫ n(t)dt 0

En lo sucesivo trataremos en forma idéntica las variables C(t) y n(t), ya que la unidad en que se mide la concentración es irrelevante.

7.3.4.Medición de DTR en un molino en circuito cerrado En los circuitos de molienda hay molinos que operan en circuito abierto, como los molinos de barras, y otros, como los molinos de bolas, que generalmente trabajan en circuito cerrado. En presencia de recirculación el método experimental para determinar la función DTR descrito en la sección anterior debe ser modificado para permitir tomar en cuenta el trazador que es retornado al molino por el clasificador. Consideremos el circuito de la Figura 7.4 y supongamos que la función DTR es ϕM(t). Aplicando la ecuación (7.10) se obtiene:

147

Figura 7.4 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito cerrado. F=Q(1+C) es la alimentación total al molino, Q es la alimentación fresca y C la razón de recirculación. t

CP(t) =

∫ C (θ) ϕ (t − θ)dθ F

M

0

lo que equivale a: CP(t) = ϕM(t) ∗ CF(t)

(7.18)

Si el trazador se inyecta en forma de un impulso, la concentración del trazador en la alimentación del molino será la superposición del impulso inicial C0 δ(θ) y el pulso secundario CR (θ) (medido en la alimentación del molino) debido al trazador recirculado desde el clasificador. Entonces: CF(θ) = C0 δ(θ) + CR(θ)

(7.19)

donde C0 es la intensidad del impulso inicial dada por:

M0 C0 = = (1 + C)Q

∞

∞

∫ CP(t)dt − ∫ CR(t)dt 0

(7.20)

0

M0 es la cantidad total de trazador inyectado y Q es el flujo de alimentación fresca al molino. Si la concentración del pulso secundario se mide antes de su mezcla con la alimentación, la ecuación (7.19) debe ser reemplazada por: CF(θ) = C0 δ(θ) + CT(θ) C ⁄ (1 + C)

148

(7.21)

ya que CR (θ) = CT (θ) C ⁄ (1 + C) . Reemplazando la ecuación (7.19) en la ecuación (7.18) resulta: CP (t) = ϕM (t) ∗ C0 δ(t) + ϕM (t) ∗ CR (t)

(7.22)

Como la señal del pulso secundario CR(t) no es una función analítica, es necesario resolver la integral de convolución de la ecuación (7.22) en forma numérica. Uno de los mejores métodos se basa en la transformación de la ecuación (7.22) al dominio de frecuencia mediante la transformación de Fourier definida por [7.6]. + ∞

F[C(t)] =

∫ C(t) e − ωjt dt =

C(ωj)

(7.23)

− ∞

donde e − ω j t = cos ωt − jsen ωt, 0 < ω < ∞ , t > 0. Reemplazando la ecuación (7.22) en la expresión (7.23) tenemos: F [CP (t)] = F [ϕ M (t) ∗ C0 δ(t)] + F [ϕM(t) ∗ CR (t)] Usando sobre esta expresión el teorema de convolución de Borel [7.6] resulta: F [CP (t)] = F [ϕM (t)] + F [ϕM (t)]F [CR (t)] o en forma equivalente: CP (ωj) = ϕM (ωj)C0 + ϕM (ωj)CR (ωj)

(7.24)

Despejando ϕM (ωj) de la ecuación (7.24) se obtiene:

ϕM (ωj) =

CP (ωj) C0 + CR (ωj)

(7.25a)

+ ∞

∫C

P

=

(t) e− ωjt dt

− ∞

(7.25b)

+ ∞

C0 +

∫C

R

(t) e−

ωjt

dt

− ∞

Una ecuación semejante se puede obtener definiendo las integrales A, B, C y D en la forma:

149

∞

A=

∞

∫C

R

(t) cos ωt dt,

B=

0

R

(t) sen ωt dt

(7.26a)

(t) sen ωt dt

(7.26b)

0

∞

C=

∫C ∞

∫C

P

(t) cos ωt dt,

D=

0

∫C

P

0

Entonces las concentraciones CR y CF quedan expresadas por: CR (ωj) = A − Bj,

CF(ωj) = C − Dj

y por lo tanto:

ϕM(ωj) =

C(A + C0) + BD BC − D(A + C0) senωjt 2 2 cosωt − (A + C0) + B (A + C0)2 + B2

(7.27)

Midiendo CR(t) y CF(t) se puede calcular A, B, C y D para cada frecuencia en forma numérica usando algoritmos especialmente concebidos, entre los cuales se puede citar la transformada rápida de Fourier [7.7]. La función de distribución de tiempos de residencia ϕM(t) se obtiene usando la transformada inversa de Fourier [7.6]: ∞

1 ϕM(ωj) eωjt dω ϕM(t) = ∫ 2π 0

∞

BC − D(A + C0) 1 C(A + C0) + BD senωt] dω = ∫[ 2 2 cosωt − π (A + C0)2 + B2 (A + C0) + B 0

(7.28)

La Figura 7.5 muestra un ejemplo de deconvolución de una función DTR para un molino de bolas de 3.50 x 4.88 m en circuito cerrado [7.8]. Rogers [7.9] desarrolló un método para determinar la función DTR en molinos en circuito cerrado en el cual no es necesario medir la concentración CR(t) o CT(t) del trazador recirculado. El método es aplicable a cualquier circuito en el que el clasificador retorna al molino una fracción constante a (cortocircuito). Si el trazador consiste en una fracción muy fina del sólido de alimentación, una fracción constante a de este valor volverá en cada instante al molino. El valor de CR(t) para t >0 será (ver Figura 7.4): CR(t) = aCP(t)

(7.29a)

y el valor de CT(t): CT(t) = aCP(t)(1 + C) ⁄ C

150

(7.29b)

Figura 7.5 : (a) Pulsos de concentración de trazador para la entrada y la salida de un molino de bolas industrial de (3.5 x 4.88 m) operando en circuito cerrado. (b) DTR producto de la deconvolución de los pulsos [ 7.8 ].

Entonces, reemplazando la expresión (7.29a) en la ecuación (7.19) y luego ésta en la ecuación (7.22) resulta: CP (t) = ϕM (t)∗C0 δ(t) + aϕM (t)∗CP(t)

(7.30)

Tomando la transformada de Fourier: CP (ωj) = ϕM (ωj)C0 + aϕM (ωj)CP (ωj)

151

y la ecuación (7.25) puede ser reemplazada por:

ϕM(ωj) =

CP(ωj) C0 + aCP(ωj)

(7.31)

El mismo análisis puede ser hecho cuando se traza el agua del molino.

7.3.5.Medición de DTR en equipos en serie En algunos casos es de interés la determinación de las funciones DTR para varios equipos conectados en serie, como por ejemplo, un molino de barras, un molino de bolas y un cajón de bomba. Es posible en estos casos definir una función DTR global y una para cada equipo. Consideremos un proceso constituido por varias etapas en serie, tal como se muestra en la Figura 7.6a, usando la ecuación (7.12) podemos escribir [7.1] C1(t) = ϕ1∗C0(t) C2(t) = ϕ2∗C1(t) | | Ci(t) = ϕi∗Ci − 1(t) | Cn(t) = ϕn∗Cn − 1(t)

(7.32)

Por sustitución sucesiva se obtiene: Cn(t) = ϕn∗.....ϕi∗......ϕ2∗......ϕ1∗C0(t) Por ejemplo en la Figura 7.6a se tiene: t

C1(t) = ϕ1∗C0 ≡

∫ CF(t − θ) ϕ(θ)dθ 0 t

C2(t) = ϕ2∗ ϕ1∗C0(t) ≡

η

∫ [∫ CF(t − θ) ϕ(θ)dθ] ϕ(η)dη 0

0

t

C3(t) = ϕ3∗ϕ2∗ϕ1∗C0(t) ≡

ξ

∫ (∫ [ ∫ CF(t − θ)ϕ(θ)dθ]ϕ(ξ)dξ) ϕ(η)dη 0

152

η

0

0

(7.33)

Definiendo una función DTR global ϕ en la forma:

ϕ = ϕ1∗ϕ2∗......∗ϕn

(7.34)

la ecuación (7.18) se puede expresar en la forma condensada: (7.35)

Cn(t) = ϕ∗C0(t)

_ Por otra parte, denominando M y t la masa total y el tiempo promedio de residencia total del proceso, (ver sección 7.4), tal que: n

M=

∑ Mi, i= 1

_ M t= Q

(7.36)

se puede demostrar que: _ t=

n

∑

_ ti

(7.37)

i= 1

Para medir las funciones DTR de un proceso en serie, se introduce un impulso del trazador en la entrada de la primera etapa y se mide la distribución de concentración del trazador a la salida de cada etapa, como se indica en la Figura 7.6a. La Figura 7.6b da un ejemplo de curvas DTR para un proceso en tres etapas. Como las señales de salida de cada etapa no son funciones analíticas es necesario resolver la ecuación (7.37) de convolución en forma numérica. Usando el método de transformada de Fourier, descrita en la sección 7.3.4., podemos escribir para el término general de la ecuación (7.32): F[Ci(t)] = F[ϕi(t)∗Ci − 1(t)] = F[ϕi(t)]F[Ci − 1(t)]

(7.38)

Figura 7.6a : Proceso constituído por varias etapas en serie. Los números en circuitos indican los puntos de medición.

153

Figura 7.6b : Curvas DTR para un proceso en tres etapas.

lo que escrito en términos de variables de frecuencia es: Ci(ωj) = ϕi(ωj)Ci − 1(ωj)

(7.39)

de donde se puede deducir que:

ϕi(ωj) =

Ci(ωj) Ci − 1(ωj)

(7.40a)

+∞

∫ C (t) e i

=

− ωjt

dt

−∞ +∞

(7.40b)

∫C

i−1(t

) e− ωjt dt

−∞

Definiendo las integrales A, B, C y D en la forma: ∞

∞

A=

∫ Ci(t) cosωt dt, 0

154

B=

∫ Ci(t) senωt dt 0

(7.41a)

∞

C=

∞

∫ Ci − 1(t) cosωt dt,

D = ∫Ci − 1(t) senωt dt

0

(7.41b)

0

y recordando que e− ωjt = cosωt − senωt, la expresión (7.40b) se transforma en: ϕi(ωj) =

A − Bj A C + BD AD − BC ≡ 2 + 2 C − Dj C + D2 C + D2

(7.42)

Para cada valor de ω se puede calcular el valor de ϕi(ωj) usando la transformada rápida de Fourier [7.7]. El valor de ϕi(t) se obtiene de la transformación inversa de Fourier: 1 ϕi(t) = 2π 1 = π

+∞

∫ ϕ (ωj) e i

ωjt

dω

−∞ ∞

∫ 0

[

AD − BD AC + BD senωt] dω 2 2 cosωt − C + D C2 + D2

(7.43)

7.4.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES Los patrones de flujo observados en la práctica pueden presentar diferentes características en lo que se refiere a la varianza o desviación estándar de la función DTR, lo cual está asociado con el grado de mezcla existente en el sistema en cuestión. Los extremos que se pueden presentar son dos: el primero corresponde a una situación de _ mezcla perfecta caracterizada porque la varianza de la distribución es ϕ2 = t2 y el otro extremo asociado a la ausencia total de la mezcla en el sistema, caracterizada por σ2 = 0. Lo anterior permite definir dos reactores ideales, el reactor de mezcla perfecta y el reactor de flujo pistón. El reactor de mezcla perfecta es aquel cuyo contenido es perfectamente homogéneo, de manera que la composición a la salida es exactamente igual a la composición en cada punto interior del reactor. Un balance de materia para el trazador en un mezclador perfecto, puede escribirse en la forma: W

d (C ) = FCF − FC P dt P

(7.44)

y en consecuencia, definiendo τ = W/F se puede escribir:

τ

d [C (t)] + CP(t) = CF(t) dt P

(7.45)

155

Como se concluye de la definición de función DTR, ésta corresponde a la respuesta del sistema cuando la excitación de entrada es un impulso de Dirac, luego si CF(t)= C0 δ(t), y como en este caso CP(t)=C0 ϕ(t) (ver la ecuación 7.16), entonces la ecuación (7.45) se transforma en:

τ

dϕ + ϕ(t) = δ(t), dt

ϕ(0) = 0

(7.46)

ecuación diferencial cuya solución es:

ϕ(t) =

_ 1 − t ⁄τ e o ϕ∗(t∗ ) = e− t∗ , τ = t τ

(7.47)

y que corresponde a la función DTR para mezclador perfecto. Un análisis similar se puede realizar para el reactor de flujo pistón. Teniendo en cuenta que en este caso todo el material pasa sin mezclarse, cada elemento del material permanece en el reactor exactamente el mismo tiempo. La función DTR que se obtiene para esta situación es:

ϕ(t) = δ(t − τ) o ϕ∗(t∗) = δ(t∗ − 1) _ con τ = t.

(7.48)

_ Resulta trivial demostrar en ambos casos que t = τ, puesto que por definición : _ t=

∞

∫ t ϕ(t) dt 0

Para una demostración más general, consideremos un flujo másico F a un reactor que contiene una masa total W. En el intervalo de tiempo de 0 a t, la masa admitida al reactor es Ft. La parte W de esta masa que salió del reactor en el mismo intervalo de tiempo es : t

W(t) = F ∫

θ

∫ ϕ(ξ) dξ dθ

0 0

Por lo tanto: t

Masa material = Ft − F ∫

θ

∫ ϕ(ξ) dξ dθ

0 o

156

t

= F ∫ [1 − 0

θ

∫ ϕ(ξ) dξ] dθ

(7.49)

0

Lo anterior corresponde a la masa de material que permanece en el reactor en el tiempo t. Para tiempos largos, esto es para valores grandes de t, todo el material que había en el reactor en el instante inicial, t=0, ha salida de él, de manera que el material retenido en el reactor será: t

θ

W = lim F ∫ [1 − t→∞

0

∫ ϕ(ξ) dξ]dθ 0

Haciendo τ = W/F, t

θ

τ = lim ∫ [1 − t→∞

0

∫ ϕ(ξ) dξ] dθ

(7.50)

0

Integrando la ecuación (7.50) por partes tenemos: θ

τ = lim [(1 − t→∞

t

t

∫ ϕ(ξ) dξ)θ 0| + ∫ θ ϕ(θ) dθ] 0

0

Como el primer término se anula resulta: ∞

τ=

∫ θ ϕ(θ) dθ ≡

_ t

(7.51)

0

7.5.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA DE MOLINOS ROTATORIOS Shoji et al. [7.10], Mori et al. [7.11] y Kelsall et al. [7.12] han dado resultados de estudios de DTR en molinos rotatorios pequeños. Austin et al. [7.13] analizaron el resultado de experiencias con fluorescina como trazador en un molino de cemento de dos compartimientos de 4 m de diámetro por 10 m de largo con un flujo de 195 ton/hora y Concha y Pearcy [7.8] han mostrado resultados de ensayos con cloruro de sodio como trazador en molinos de bolas de 3 x 4.25 m y de 3.50 x 4.88 m. Las Figuras 7.7 y 7.8 muestran resultados experimentales típicos de curvas de DTR para molinos de bolas y molinos de barras. Los resultados más precisos sobre DTR disponibles son los reportados por Rogers y Gardner [7.4] usando trazadores radioactivos sólidos. Ellos investigaron tres molinos de bolas con descarga de rebalse en circuito abierto, realizando una corrección por la 157

Figura 7.7 : Función de DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m.

Figura 7.8 : Función de DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m.

presencia de la cubeta de descarga. Concluyeron que la función DTR del molino se podía normalizar mediante el tiempo promedio de residencia. El tiempo promedio de residencia del agua fue 15% menor que el del sólido indicando que la densidad de pulpa en el molino fue mayor que la de la alimentación o descarga del molino. Para representar las funciones DTR de molinos encontradas por experimentación y mostradas en las Figuras 7.7 y 7.8 se ha propuesto varios modelos, los principales de 158

Figura 7.9 : Función DTR para mezcladores perfectos iguales en serie.

159

Figura 7.10 : Función DTR para un molino de Bolas industrial de 3.5 x 4.88 m para m ajustado y m=L/D.

Figura 7.11 : Función DTR para un molino de barras de 3 x 4.25 m para m ajustado y m=L/D.

160

los cuales se analizan a continuación: (1) mezcladores iguales en serie; (2) un mezclador grande seguido de dos pequeños; (3)modelo de Rogers- Gardner; y (4) modelo de dispersión axial.

7.5.1.Mezcladores perfectos en serie Para m mezcladores perfectos iguales en serie se tiene (Figura 7.9):

ϕ∗(t∗) =

σ(t) =

mm t∗m − 1 e− mt∗ (m − 1) !

tm − 1 1 e−t ⁄ τ τm (m − 1) !

τT = mτ ; σ2T = σ2T ⁄ m ; σ∗2T = 1 ⁄ m

(7.52)

(7.53) (7.54)

donde t∗ = t ⁄ τT, ϕ∗(t∗) = σTϕ(t), σT∗2 = τT ⁄ τ y τ es el tiempo promedio de residencia de cada reactor. Al comparar las curvas experimentales de DTR, por ejemplo, en las Figuras 7.7 y 7.8, con las curvas de la Figura 7.9 se puede observar que hay cierta similitud entre las curvas con m pequeño (1 0

(7.62)

    

(7.63)

Es conveniente escribir la ecuación de difusión convectiva, ecuación (7.61), y condiciones iniciales y de contorno, ecuación (7.62) y ecuación (7.51) en forma adimensional. Definiendo los parámetros característicos L= largo del molino, τ= tiempo promedio de residencia y c0= concentración de trazador inyectado, tal que ϕ(z,t)= c(z,t)/c0 y recordando que u=L/τ se puede establecer las variables adimensionales:

Figura 7.17 : Ilustración de la dispersión causada por una rotación de molino.

166

Figura 7.18 : Variación del coeficiente de dispersión D de un molino seco en función de la fracción de llenado de bolas y de polvo.

z∗ = z ⁄ L, t∗ = t ⁄ τ, ϕ∗ = τϕ = τc ⁄ c0 ,

(7.64)

mediante las cuales las ecuaciones (7.59) a (7.63) se transforman a: ∂ϕ∗ ∂ϕ∗ ∂2ϕ∗ + = D∗ ∂t∗ ∂z∗ ∂z∗

(7.65)

Con condiciones iniciales y de contorno :

167

ϕ∗(z∗,t∗) =

1   0 

,

z∗ = 0,

t∗ = 0

,

0 < z∗ ≤ 1,

t∗ = 0

 1 ϕ∗(z∗,t∗) , ∂ϕ∗  D∗ =  ∂z∗  , 0

z∗ = 0,

z∗ = 1,

    

t∗ > 0   t∗ > 0  

(7.66)

(7.67)

Figura 7.19 : Solución a la ecuación de Difusión Convectiva adimensional con condición de contorno completa ecuación (7.67).

168

La solución a estas ecuaciones es complicada y se la puede encontrar en el texto de Austin, Klimpel y Luckie [7.17] . Su representación gráfica se da en la Figura 7.19. Mori et al [7.18] resolvieron la ecuación (7.65) para el caso semi-infinito, esto es, con las condiciones iniciales de la ecuación (7.66) y para las condiciones de contorno se usó ∂ϕ∗ ⁄ ∂z∗ = 0, para z*= ∞ y t*> 0. La solución resultó que: ϕ∗(z∗,t∗) =

ϕ(z,t) =

1 1 exp[− (z∗ − t∗)2 ⁄ (4D∗t∗)] 2 √ πD   ∗ t ∗3

1 1 exp[− (z − ut)2 ⁄ (4Dt)] 2 √ π Dt  3

(7.68)

(7.69)

Esta solución, obtenida al utilizar la condición de contorno errada para z=L, se muestra en la Figura 7.20 con D* como parámetro. Se puede observar al comparar las Figuras 7.19 y 7.20 que la solución semi-infinita da curvas bien semejantes a las obtenidas con la condición de contorno correcta para valores de D* j

∞

donde : ej =

∫ e− S t ϕ(t) dt j

(7.75)

0

Figura 7.23 : Extensión del concepto de molienda discontinua a molienda continua.

172

Tabla 7.2 Modelos de DTR para molinos rotatorios. Modelo de flujo

ϕ(t)

ej

Pistón

δ(t ⁄ τ)

exp(− Sj τ)

Mezcla perfecta

1 − t ⁄τ e τ

1 1 + Sj τ

m mezcladores perfectos en serie

tm − 1 m e− m t ⁄ τT ( )m τT (m − 1) !

1 (1 + Sj τT ⁄ m)m

1 mezclador grande seguido de 2 pequeños iguales en serie

τ1 [e− t ⁄ τ − e− t ⁄ τ ] − (τ1 − τ2) t e−t ⁄ τ (τ1 − τ2 ) τ2

1 (1 + Sj τ1)(1 + Sj τ2)2

Semi-infinito con dispersión axial (Mori) 4 etapas iguales en serie con flujo cruzado (Rogers-Gardner)

1

2

2

 (1 − t ⁄ τ)2   −√ (1 ⁄ τ)   1 + 4D    ∗τS  j − 1 exp−  ∗  exp  ∗ 3 ∗ 2√   π D  (t ⁄ τ ) 2D  4D (t ⁄ τ)    0 ≤ D∗≤ 0.5 (Ver referencia 7.4)

(Ver referencia 7.4)

173

De la expresión (7.75) se desprende que ej es la transformada de Laplace de la función DTR con respecto a la variable Sj. De esta forma para diversos tipos de ϕ(t) se puede calcular ej, como se muestra en la Tabla 7.2.

7.7.REFERENCIAS 7.1. Comisión Chilena de Energía Nuclear, Obtención de la función DTR para el análisis y modelación de equipos de procesos, Curso Latinoamericano sobre Aplicación de Trazadores Radioactivos en Procesos Industriales y Naturales, Santiago, 1985. 7.2. Mardulier, F.J. and Wightmann. D.L., Rock Products, 74 (1971) #6,74-75; 90-99; #7,78-79; 90-91; 108-110; #8,60-61; 86-88. 7.3. Gardner, R.P., Verghese, K. and Rogers, S.C.R., Mining Engineering, 32 (1980), 422-431. 7.4. Rogers , R.S.C. and Gardner, R.P., J.A.I.Ch.E., 24(1979), 229-240. 7.5. Gardner, R.P., Rogers, R.S.C. and Verghese, K., Int. J. App. Radiation and Isotopes, 28(1977), 861-871. 7.6. Korn R.A. and Korn T.M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw Hill, New York, (1961) 4.11.6. 7.7. Brigham, E.O., The Fast Fourier Transform., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1974. 7.8. Concha, F. y Pearcy F., Fundamentos Dinámicos de la Mineralurgia, Curso Panamericano de Metalurgia Extractiva, Universidad de Concepción, 1985. 7.9. Rogers, R.S.C., Bell, D.G. and Hukki, A.M., Powder Technol., 32(1982), 245-252. 7.10. Shoji, K., Hogg, R. and Austin, L.G., Powder Technol., 7(1973), 331-336. 7.11. Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Kagaku Kogaku, 28(1964), 204-213. 7.12. Kelsall, D.F., Reid. K.J. and Restarick, C.J., Powder Technol., 3(1969-70), 170-178. 7.13. Austin, L.G., Luckie, P.T. and Ateya, B.G., Cement and Concrete Research, Pergamon Press, 1(1971), 241-256. 7.14. Herbst, J.A. and Bascur, O. ESTIMILL , Department of Metallurgy and Metallurgical Eng., University of Utah, Salt Lake City, UT, 1979. 7.15. Weller, K.R., Automation in Mining, Mineral and Metal Processing, 3rd IFAC Symposium Proc., O’Shea, J. and Polis, H., eds., Pergamon Press, (1980), 303-309. 7.16. Marchand, J.C.Hodouin, D. and Everell, M.D., Ibid, (1980), 295-302. 7.17. Austin, L.G., Klimpel R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling, SME-AIME, Inc., New York, NY (1984), 531-535. 7.18. Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Proc. 2nd. European Symp. Zerkleinern, Verlag Chemie, Weinheim, ed. H. Rumpf and W. Pietsch, Dechema Monographien 57, Nr. 993-1026 (1967), 605-632.

174

CAPITULO 8 ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DE BOLAS Y TRANSPORTE DE MASA

8.1.INTRODUCCION Este capítulo muestra los procedimientos para combinar las ecuaciones de ruptura dadas en el capítulo 5 con las ecuaciones de la molienda continua para construir un simulador de la molienda. Esto involucra el cálculo de la ruptura para mezclas de bolas, lo que a su vez requiere la determinación de la distribución de tamaño de las bolas en el molino. Para el escalamiento de los parámetros de ruptura se utilizan las relaciones de Bond para la capacidad, potencia y energía específica de molienda. A continuación se utiliza una relación para el transporte de masa en el molino que toma en cuenta la condición de sobrellenado a flujos de alimentación altos; aquí nuevamente se supone que el método de diseño de Bond es válido bajo condiciones normales de operación.

8.2.POTENCIA DEL MOLINO 8.2.1.Teoría Hay dos enfoques para la derivación de las ecuaciones que describen la potencia requerida para mover un molino rotatorio [8.1-8.4]. El primero trata el problema calculando la trayectoria de las bolas sobre todas las posibles trayectorias. El segundo enfoque [8.5] considera el momento del centro de masa de la carga de bolas y polvo con respecto al centro del molino y considera que debe ser igual al momento de las “fuerzas de fricción” en las paredes del molino. Es instructivo observar el interior de un molino rotatorio de laboratorio acondicionado con una pared lateral transparente, de modo que se pueda estudiar el movimiento de la carga directamente por observación. Una descripción aproximada, como se ve en la Figura 5.1, muestra que una bola entra en la superficie de la carga bajo la marca de la mitad de la superficie y se mueve alrededor del eje hasta que llega a la superficie. Una vez que emerge, rueda hacia abajo por la superficie, de modo que aparece una corriente de bolas, formando una superficie libre que recibe el nombre de cascada. Sin embargo, hay algunas bolas que, junto a parte del polvo son proyectadas en el espacio interior del molino en una trayectoria parabólica que recibe el nombre de catarata. Las barras levantadoras previenen que la carga deslice como un todo por la superficie interior del molino. En principio, un análisis correcto de las fuerzas en los dos enfoques descritos debiera dar el mismo resultado. Sin embargo, el cálculo mediante el torque del centro de 175

Figura 8.1 : Variación de la potencia del molino con la fracción de la velocidad crítica con la carga de bolas como parámetro : molino de laboratorio de 0.6 m de diámetro.

la masa no toma en consideración que un cierto número de bolas está en vuelo, y que por lo menos parte de la energía cinética de estas bolas debe recuperarse al chocar éstas con las paredes del molino. Por otra parte, la descripción de las trayectorias de todas las bolas se torna muy difícil debido a la complejidad de las fuerzas de interacción entre las bolas y especialmente por el polvo atrapado entre ellas. Debido a la complejidad en el análisis teórico del sistema descrito, frecuentemente se utiliza ecuaciones que se basan en experimentos y no en teoría. Aquí daremos un tratamiento elemental al problema de la potencia de un molino que involucra conceptos simples de mecánica y similitud geométrica.

176

_ Definamos la altura media de elevación de las bolas h, a través de la energía potencial media de una bola. Si ρb es la densidad y d es el diámetro de la bola, la energía _ necesaria para levantar cada bola a la altura h es igual a su energía potencial _a esa altura, _ más la energía cinética de rotación m(rω)2 ⁄ 2, donde la masa m = πρb d 3 ⁄ 6, r es el radio medio de la trayectoria de la bola y ω es la velocidad de _rotación. Entonces, la energía _ 3 2 media_ para levantar una bola será proporcional a ρb d [h + ( rω) ⁄ 2]. Se supone aquí que h es independiente de las propiedades de la bola, tales como tamaño o densidad. Haremos la suposición que la forma del movimiento de una bola en molinos de diversos tamaños es similar e independiente del tamaño de éste para un tamaño de bola mucho menor al tamaño del molino y para una longitud del molino tal que haga despreciable los efectos de las paredes laterales. En estos casos es razonable suponer que la_ altura media de elevación de las bolas es proporcional al diámetro del molino, esto es h ∝ D, y por lo tanto la: (energía media para levantar una bola) ∝ ρb d3D Para un determinado porcentaje de llenado del molino, esto es para un valor prescrito de J, el número de bolas en el molino será proporcional al cuociente entre el volumen del molino y el volumen de una bola: (número de bolas presentes en el molino) ∝ D2L ⁄ d3 Se puede suponer que el número de bolas levantadas por unidad de tiempo es proporcional al producto del número de bolas presentes y la velocidad del molino. Como la velocidad del molino es rpm = ϕc 42.3 ⁄ D1 ⁄ 2 , la energía requerida por unidad de tiempo, esto es la potencia mp para mover los medios de molienda, será : mp ∝

42.3ϕc D2L 3 3 ρbd D 1⁄2 d D

mp ≈ K ρbD2.5

(8.1)

donde el valor de K es constante solamente para determinadas condiciones en un molino. Debido a que el modelo utilizado en la derivación de la ecuación (8.1) es sobresimplificado, es preferible introducir un coeficiente variable en el exponente de D, tal que (8.1) se exprese en la forma más general: mp = Kρb D2 + n2

(8.1a)

donde se puede esperar que n2 sea cercano a 0.5. Como se ha supuesto que no hay efecto de las paredes laterales del molino, al doblar el largo de éste se duplican los requerimientos de potencia. El valor de K variará con la magnitud de la carga de bolas en el molino. A pequeñas cargas de bolas en el molino se puede suponer que la potencia aumentará en forma proporcional a la carga, mientras que a mayores cargas la potencia disminuye debido a que a valores altos de J , las bolas que ruedan sobre la superficie forman un pie en la base de la superficie inclinada. Por ello, no son levantadas desde el punto de contacto 177

Figura 8.2 : Coeficiente para la potencia del molino utilizando la ecuación de Beeck para la molienda de cemento, (datos U.S.A. Hackman et al [8.9], D=2.9 a 4.5 m, L/D=2.7 a 3.7, ϕc=0.7 a 0.8).

_ con la carcaza del molino, sino desde la superficie del pie, con lo cual h disminuye. Se espera, entonces, que la potencia pase por un máximo a medida que la carga de bolas aumente, como se muestra en la Figura 8.1.

8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino Tal como vimos en la capítulo 3, Bond [8.6] da una ecuación empírica para la potencia en el eje de un molino de bolas de rebalse : mp ⁄ M = 15.6D0.3ϕc(1 − 0.937J)1 − 0.1 ⁄ 29 − 10ϕc , kW ⁄ ton  

(8.2)

en que D es el diámetro interno en metros y M es la carga de bolas en toneladas. El resultado debe ser multiplicado por 1.08 para la molienda seca en molinos de parrillas. También se da una corrección Ss que debe ser subtraída de la ecuación (8.2), para el caso en que las bolas tengan un diámetro máximo dm menor que 45.7 mm (1.8 pulgadas) en un molino de diámetro mayor que D =2.4 m (8 pies). Ss = 1.1(1.8 − dm ⁄ 25.4) ⁄ 2 , kW ⁄ ton

(8.3a)

en que dm está en milímetros. Por ejemplo, para bolas de 12.7 mm (0.5 pulgadas) la corrección es de 0.7 kW/ton. Rowland [8.7] modificó esta relación para molinos mayores que 3.6 m (12 pies) dando: dm  9.84D Ss = 1.1 −  , kW ⁄ ton 20 25.4   178

(8.3b)

Figura 8.3 : Potencia neta como función de la carga de bolas y fracción de velocidad crítica para un molino de laboratorio; D=0.6 m, d=26 mm.

en que dm está en milímetros y D en metros. Beeck [8.8] propuso una ecuación empírica para la molienda seca de cemento: mp ⁄ M = 42.3CBe D0.5ϕc , kW ⁄ ton

(8.4)

donde M es la carga de bolas en toneladas métricas y el valor de CBe varía con J como se muestra en la Figura 8.2. En la misma figura se muestran valores de CBe calculados de los valores de J, ϕc y mp en molinos finales de la industria norteamericana de cemento coleccionada por Hackman et al. [8.9]. La práctica industrial del cemento en los Estados Unidos es bastante diferente que la alemana; por ejemplo, el nivel de llenado de bolas es consistentemente mayor, con un promedio de J=0.36; el porcentaje de velocidad crítica está normalmente entre 70% y 80% con un promedio de 75%. La distribución de los datos norteamericanos para CBe se muestra en función de J en la Figura 8.2. Se debe destacar que la medición de potencia en molinos grandes puede no ser muy precisa y que la potencia medida variará también con la eficiencia del motor y la transmisión. La

179

Figura 8.4 : Potencia neta por tonelada métrica de medios de molienda como función de la carga de bolas a 70% de la velocidad crítica para molinos de laboratorio.

disposición de los datos originales muestra que los molinos de grandes diámetros tienen una potencia específica mp/M significativamente mayor, sin embargo los datos están demasiado dispersos para obtener un valor preciso del exponente de D. La Figura 8.3 muestra la variación típica de la potencia con la carga de bolas, a varias fracciones de velocidad crítica. La potencia máxima resulta a fracciones de llenado de 45% para cada velocidad de rotación. Haciendo cálculos con la expresión ϕc(1 − 0.1 ⁄ 29 − 10ϕ ) en la ecuación (8.2) de Bond , se puede demostrar que ella no da la forma correcta de variación con la velocidad de rotación para este molino. Un ajuste empírico de los resultados da: c

mp ∝ (ϕc − 0.1)

1

1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]

para 0.4 < ϕc < 0.9

(8.5)

La Figura 8.4 muestra los resultados de potencia por tonelada de medio de molienda como función de J. El resultado no se ajusta a la relación de Bond de (1-0.937J) Como conclusión se propone que la ecuación de Bond sea usada para molinos grandes, D>2 m y que para molinos más pequeños, usados en el modo discontinuo y en seco, se utilice la siguiente ecuación para la potencia neta: 180

 (1−0.937J)  (ϕc − 0.1) mp ⁄ M = 13.0D0.5  , kW ⁄ ton  5  1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]  (1+5.95J )

(8.6)

donde D está dado en metros y M en toneladas métricas. Esta ecuación es válida para la potencia neta en la molienda discontinua seca, mientras que la ecuación de Bond es válida para la potencia en el eje, en molienda continua húmeda de molinos de rebalse. Se realizó una experiencia con un molino de 0.82 m de diámetro interior por 1.53 m de largo, provisto de rodamientos hidráulicos, que consistió en operar el molino en forma discontinua en seco y continua en circuito abierto y en húmedo, a los mismos valores de J y ϕc. Se comprobó que la operación continua dio un valor de potencia 1.07 veces mayor a la operación discontinua y que debía agregarse otro factor de 1.10 para tranformar la potencia neta en potencia en el eje. Entonces la razón de potencia para el molino en operación continua húmeda a discontinua seca es de 1.18. Esto da la intersección para molinos pequeños en la Figura 8.5 (línea sólida) con la ecuación de Bond a D=2.5 m (8 pies) para J=0.35. Un aumento de la velocidad de rotación del molino hace que más bolas volteen por unidad de tiempo, y por lo tanto, que aumente la potencia requerida para mover el molino. Sin embargo, a velocidades de rotación superiores al 70 a 80% de la velocidad crítica, este aspecto es contrarrestado por el aumento del pie de la carga. Por lo tanto, la potencia requerida para operar un molino rotatorio de bolas es una función compleja de la frecuencia de las acciones de volteo y de la altura de éste, las que actúan en sentido contrario para dar una potencia máxima en la región de 0.4