Aura Igant Culegere

CULEGERE MATEMATICĂ ALGEBRĂ CLASA a XI-a M_tehnologic

Autor: Prof. IGNAT AURA

Referent științific:

Prof. Dr .Cojocaru Mihaela

Pregătirea elevilor la matematică, în vederea susţinerii examenului de bacaluareat şi alte concursuri, este foarte necesara si binevenita, mai ales pentru elevii din liceele tehnologice. Date fiind rezultatele slabe obtinute la examenul de Bacalaureat in ultimii ani, autoarea acestei lucrari, doamna profesoara Aura Ignat, si-a focusat atentia pe o pregatire temeinica care trebuie să se realizeze ritmic, inca din clasa a XI-a, pregatire care să fie bazată pe metode accesibile pentru elevii de la acest profil. In acest scop, aceasta culegere, îi ajută pe elevi si pe profesori, sa realizeze o recapitulare şi consolidare a materiei la algebra de clasa a XI-a, intr-un context simplu si accesibil. Lucrarea de fata se dovedeste a fi un auxiliar util la orele de matematica, profil M2. Culegerea este structurata in trei parti. Prima parte cuprinde Programa scolara in vigoare, partea a doua are trei capitole importante: Matrice, Determinanti si Sisteme de ecuatii liniare, iar ultima partea Aplicatii si modele pentru examenul de Bacalaureat. Fiecare din cele trei capitole debuteaza cu un breviar teoretic, foarte important pentru fixarea notiunilor teoretice studiate, apoi un set de exercitii rezolvare ca model si in final, un set de Teste propuse spre rezolvare. Pornind de la ideea ca alegebra este una dintre cele mai importante parti ale matematicii de liceu, dar si una dintre cele mai dificile, exercitiile si problemele alese sunt de grade de dificultate diferite, astfel incat sa permita atat fixarea cunostintelor de baza, cat si antrenarea in vederea obtinerii unor performante superioare in domeniu. In lucrare se gasesc exercitii si probleme date la examenul de bacaluareat in anii precedenti, in felul acesta autoarea motivand elevii sa se pregateasca foarte serios pentru examenul de la sfarsitul clasei a XII-a si oferindu-le in acelasi timp, modele reale de subiecte din notiunile studiate la clasa. Prezenta lucrare nu se substituie manualelor scolare, ci este un material

auxiliar, folositor in completarea si aprofundarea problematicii algebrei studiate in clasa a XI-a atat pentru elevi cat si pentru profesori! Prof. Dr.Cojocaru Mihaela

Brăila, 2015

Cuprins 1.programa școlară clasa a XI-a , M_tehnologic. 2. Matrice Matrice Egalitatea matricelor Operații cu matrice 3. Determinanți : Determinantul unei matrice patratice de ordinul cel mult 3. Proprietăți. Aplicații ale determinanților în geometrie. 4. Sisteme de ecuații liniare: Matrice inversabile Ecuații matriceale Sisteme de ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute. Forma matriceală.

Metode de rezolvare a sistemelor liniare. 5. Aplicații modele bacalaureat

Programa şcolară a fost aprobată prin ordinul ministrului nr. 3252/ 13.02.2006 (Anexa 2)

MATEMATICĂ - PROGRAMA 2 Filiera teoretică, profil real, specializarea ştiinţe ale naturii: 3 ore / săpt. (TC + CD) Filiera tehnologică, toate calificările profesionale: 3 ore / săpt. (TC)

NOTĂ DE PREZENTARE În noua structură a învăţământului preuniversitar, nivelul ridicat de complexitate al finalităţilor este determinat de necesitatea asigurării deopotrivă a educaţiei de bază pentru toţi cetăţenii – prin dezvoltarea echilibrată a tuturor competenţelor cheie şi prin formarea pentru învăţarea pe parcursul întregii vieţi – şi a iniţierii în trasee de formare specializate. Studiul matematicii în ciclul superior al liceului urmăreşte: să contribuie la formarea şi dezvoltarea capacităţii elevilor de a reflecta asupra lumii şi oferă individului cunoştinţele necesare pentru a acţiona asupra acesteia, în funcţie de propriile nevoi şi dorinţe; să formuleze şi să rezolve probleme pe baza relaţionării cunoştinţelor din diferite domenii; să înzestreze absolventul de liceu cu un set de competenţe, valori şi atitudini, pentru a favoriza o integrare o integrare profesională optimă. În elaborarea programei au fost avute în vedere schimbările intervenite în structura învăţământului preuniversitar şi modificarea structurii liceului prin noile planuri-cadru de învăţământ Astfel, planurile-cadru pentru clasele a XI-a şi a XII-a, ciclul superior al liceului, păstrează structura celor din ciclul inferior al liceului şi sunt structurate pe trei componente: trunchi comun (TC); curriculum diferenţiat (CD); curriculum la decizia şcolii (CDŞ) – la filierele teoretică şi vocaţională, respectiv curriculum de dezvoltare locală (CDL) – la filiera tehnologică. Curriculumul de Matematică propune organizarea activităţii didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum şi utilizarea în practică în contexte variate a competenţelor dobândite prin învăţare. În mod concret, s-a urmărit: 

esenţializarea conţinuturilor în scopul accentuării laturii formative;



compatibilizarea cunoştinţelor cu vârsta elevului şi cu experienţa anterioară a acestuia;



continuitatea şi coerenţa intradisciplinară;



realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline;



prezentarea conţinuturilor într-o formă accesibilă, cu scopul de a stimula motivaţia pentru studiul matematicii;



asigurarea unei continuităţi la nivelul experienţei didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învăţământ. Prin aplicarea programei şcolare de Matematică se urmăreşte formarea de competenţe înţelese ca ansambluri structurate de cunoştinţe şi deprinderi dobândite prin învăţare. Dobândirea acestor competenţe permite identificarea şi rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate. Acest tip de proiectare curriculară îşi propune focalizarea demersului didactic pe achiziţiile finale ale învăţării, accentuarea dimensiunii acţionale a învăţării în formarea personalităţii elevului şi corelarea finalităţilor învăţării cu aşteptările societăţii.

Programa de Matematică este structurată pe un ansamblu de şase competenţe generale şi individualizează învăţarea pentru filierele, profilurile şi specializările cărora li se adresează. Programa urmăreşte asigurarea unui echilibru între formarea competenţelor generale de cunoaştere şi nevoia de a opera cu concepte matematice în contexte proprii profilului şi specializării în scopul orientării către finalităţile liceului. Prezentul document prezintă în mod unitar competenţele specifice şi conţinuturile vizate pentru trunchi comun, precum şi pe cele pentru curriculum diferenţiat. Programa este construită astfel încât să nu îngrădească libertatea profesorului în proiectarea activităţilor didactice. Astfel, în condiţiile realizării competenţelor generale şi specifice, în condiţiile parcurgerii integrale a conţinuturilor obligatorii, profesorul poate: 

să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conţinut;



să grupeze în diverse moduri elementele de conţinut în unităţi de învăţare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;



să aleagă sau să organizeze activităţi de învăţare adecvate condiţiilor concrete din clasă.

Programa şcolară de Matematică are următoarele componente: -

competenţe generale; valori şi atitudini; competenţe specifice şi conţinuturi asociate acestora; sugestii metodologice.

COMPETENŢE GENERALE

Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunţuri matematice Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluţiilor Modelarea matematică a unor contexte problematice, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii

VALORI ŞI ATITUDINI Curriculumul şcolar pentru disciplina Matematică are în vedere formarea la elevi a următoarelor valori şi atitudini:



manifestarea curiozităţii şi a imaginaţiei în crearea şi rezolvarea de probleme



manifestarea tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare



dezvoltarea unei gândiri deschise, creative şi a unui spirit de obiectivitate şi imparţialitate



dezvoltarea independenţei în gândire şi acţiune



manifestarea iniţiativei şi a disponibilităţii de a aborda sarcini variate



dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii



formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice



formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională.

COMPETENŢE SPECIFICE ŞI CONŢINUTURI

Competenţe specifice Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matricială a unui proces Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

Conţinuturi Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare Matrice

Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare Interpretarea unor proprietăţi ale funcţii cu ajutorul reprezentărilor grafice Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice

Elemente de analiză matematică Limite de funcţii

 Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi. Determinanţi  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi.  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan. Sisteme de ecuaţii liniare  Matrice inversabile din Mn (C), n=2,3 .  Ecuaţii matriceale.  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar.  Metode de rezolvare a sistemelor liniare: metoda Cramer, metoda Gauss.

 Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile +∞ şi -∞.  Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de gradul I, funcţia de gradul al IIlea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere (n=2, 3), funcţia radical (n= 2, 3), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2.  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere (n = 2, 3), funcţia radical (n = 2, 3), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii: 0/0, ∞/∞, 0.∞  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: verticale, orizontale şi oblice. Funcţii continue  Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue.  Semnul unei funcţii continue pe un interval de

Competenţe specifice

Conţinuturi numere reale utilizând consecinţa proprietăţii lui Darboux. Funcţii derivabile  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii întrun punct, funcţii derivabile.  Operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi II pentru funcţiile studiate.  Regulile lui l’Hospital pentru cazurile: 0/0, ∞/∞. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor  Rolul derivatelor de ordinul I şi al II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate.  Reprezentarea grafică a funcţiilor. NOTĂ:

 În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un punct nu se va introduce definiţia cu ε .  Se utilizează exprimarea “ proprietatea lui.. “ , “regula lui…”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei. SUGESTII METODOLOGICE

Reconsiderarea finalităţilor şi a conţinuturilor învăţământului determinată de nevoia de adaptare a curriculumului naţional la schimbările intervenite în structura învăţământului preuniversitar (pe de o parte, prelungirea duratei învăţământului obligatoriu la 10 clase, iar pe de altă parte, apartenenţa claselor a IX-a şi a X-a la ciclul inferior al învăţământul liceal sau la şcoala de arte şi meserii) este însoţită de reevaluarea şi înnoirea metodelor folosite în practica instructiv-educativă şi vizează următoarele aspecte:  aplicarea metodelor centrate pe elev, pe activizarea structurilor cognitive şi operatorii ale elevilor, pe exersarea potenţialului psihofizic al acestora, pe transformarea elevului în coparticipant la propria instruire şi educaţie; 

folosirea unor metode care să favorizeze relaţia nemijlocită a elevului cu obiectele cunoaşterii, prin recurgere la modele concrete;



accentuarea caracterului formativ al metodelor de instruire utilizate în activitatea de predare-învăţare, acestea asumându-şi o intervenţie mai activă şi mai eficientă în cultivarea potenţialului individual, în dezvoltarea capacităţilor de a opera cu informaţiile asimilate, de a aplica şi evalua cunoştinţele dobândite, de a investiga ipoteze şi de a căuta soluţii adecvate de rezolvare a problemelor sau a situaţiilor-problemă;



îmbinare şi alternanţă sistematică a activităţilor bazate pe efortul individual al elevului (documentarea după diverse surse de informaţie, observaţia proprie, exerciţiul personal, instruirea programată, experimentul şi lucrul individual, tehnica activităţii cu fişe etc.) cu activităţile ce solicită efortul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuţiilor în grup, asaltului de idei etc.;



însuşirea unor metode de informare şi de documentare independentă, care oferă deschiderea spre autoinstruire, spre învăţare continuă. Acest curriculum are drept obiectiv crearea condiţiilor favorabile fiecărui elev de a-şi

forma şi dezvolta competenţele într-un ritm individual, de a-şi transfera cunoştinţele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta. Pentru realizarea acestui obiectiv este util ca profesorul să-şi orienteze demersul didactic spre realizarea următoarelor tipuri de activităţi: 

formularea de sarcini de prelucrare variată a informaţiilor, în scopul formării competenţelor vizate de programele şcolare;



alternarea prezentării conţinuturilor, cu moduri variate de antrenare a gândirii;



solicitarea de frecvente corelaţii intra şi interdisciplinare;



punerea elevului în situaţia ca el însuşi să formuleze sarcini de lucru adecvate;



obţinerea de soluţii sau interpretări variate pentru aceeaşi unitate informaţională;



susţinerea comunicării elev-manual prin analiza pe text, transpunerea simbolică a unor conţinuturi, interpretarea acestora;



formularea de sarcini rezolvabile prin activitatea în grup;



organizarea unor activităţi de învăţare permiţând desfăşurarea sarcinilor de lucru în ritmuri diferite;



sugerarea unui algoritm al învăţării, prin ordonarea sarcinilor.

Prezentul curriculum îşi propune să formeze competenţe, valori şi atitudini prin demersuri didactice care să indice explicit apropierea conţinuturilor învăţării de practica învăţării eficiente. Cadrele didactice îşi pot alege metodele şi tehnicile de predare şi îşi pot adapta practicile pedagogice în funcţie de ritmul de învăţare şi de particularităţile elevilor. Pe parcursul ciclului liceal superior este util ca, în practica pedagogică, profesorul să aibă în vedere următoarele aspecte ale învăţării pentru formarea fiecăreia dintre competenţele generale ale disciplinei. 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite Exemple de activităţi de învăţare: 

analiza datelor unei probleme pentru verificarea noncontradicţiei, suficienţei, redundanţei şi eliminarea datelor neesenţiale;



interpretarea parametrilor unei probleme ca o parte a ipotezei acesteia;



utilizarea formulelor standardizate în înţelegerea ipotezei;



exprimarea prin simboluri specifice a relaţiilor matematice dintr-o problemă;



analiza secvenţelor logice în etapele de rezolvare a unei probleme;



exprimarea rezultatelor rezolvării unei probleme în limbaj matematic;



recunoaşterea şi identificarea datelor unei probleme prin raportare la sisteme de comparare standard.

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunţuri matematice Exemple de activităţi de învăţare: 

compararea, observarea unor asemănări şi deosebiri, clasificarea noţiunilor matematice studiate după unul sau mai multe criterii explicite sau implicite, luate simultan sau separat;



folosirea regulilor de generare logică a reperelor sau a formulelor invariante în analiza de probleme;



utilizarea schemelor logice şi a diagramelor logice de lucru în rezolvarea de probleme.



formarea obişnuinţei de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată;



folosirea unor criterii de comparare şi clasificare pentru descoperirea unor proprietăţi sau reguli.

3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete Exemple de activităţi de învăţare: 

cunoaşterea şi utilizarea unor reprezentări variate ale noţiunilor matematice studiate;



folosirea particularizării, a generalizării, a inducţiei sau analogiei pentru alcătuirea sau rezolvarea de probleme noi, pornind de la o proprietate sau problemă dată;



construirea şi interpretarea unor diagrame, tabele, scheme grafice ilustrând situaţii cotidiene;



exprimarea în termeni logici, cu ajutorul invarianţilor specifici, a unei rezolvări de probleme;



utilizarea unor repere standard sau a unor formule standard în rezolvarea de probleme.

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora Exemple de activităţi de învăţare:  intuirea algoritmului după care este construită o succesiune dată, exprimată verbal sau simbolic şi verificarea pe cazuri particulare a regulilor descoperite;

 formarea obişnuinţei de a recurge la diverse tipuri de reprezentări pentru clasificarea, rezumarea şi prezentarea concluziilor unor experimente;  folosirea unor reprezentări variate pentru anticiparea unor rezultate sau evenimente;  intuirea ideii de dependenţă funcţională;  utilizarea metodelor standard în aplicaţii în diverse domenii;  redactarea unor demonstraţii utilizând terminologia adecvată şi făcând apel la propoziţii matematice studiate. 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluţiilor Exemple de activităţi de învăţare:  identificarea şi descrierea cu ajutorul unor modele matematice, a unor relaţii sau situaţii multiple;  imaginarea şi folosirea creativă a unor reprezentări variate pentru depăşirea unor dificultăţi;  exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme; formarea obişnuinţei de a căuta toate soluţiile, de a stabili unicitatea soluţiilor sau de a analiza rezultatele;  identificarea şi formularea a cât mai multor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze;  verificarea validităţii unor afirmaţii, pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple şi contraexemple;  folosirea unor sisteme de referinţă diferite pentru abordarea din perspective diferite ale unei noţiuni matematice. 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii Exemple de activităţi de învăţare:  analiza rezolvării unei probleme din punctul de vedere al corectitudinii, al simplităţii, al clarităţii şi al semnificaţiei rezultatelor;  reformularea unei probleme echivalente sau înrudite;  rezolvarea de probleme şi situaţii-problemă;  folosirea unor reprezentări variate ca punct de plecare pentru intuirea, ilustrarea, clarificarea sau justificarea unor idei, algoritmi, metode, căi de rezolvare etc.;  transferul şi extrapolarea soluţiilor unor probleme pentru rezolvarea altora;  folosirea unor idei, reguli sau metode matematice în abordarea unor probleme practice sau pentru structurarea unor situaţii diverse;

 expunerea de metode standard sau nonstandard ce permit modelarea matematică a unor situaţii;  analiza capacităţii metodelor de a se adapta unor situaţii concrete;  utilizarea rezultatelor şi a metodelor pentru crearea de strategii de lucru. Toate acestea sugestii de activităţi de învăţare indică explicit apropierea conţinuturilor învăţării de practica învăţării eficiente. În demersul didactic, centrul acţiunii devine elevul şi nu predarea noţiunilor matematice ca atare. Accentul trece de la “ce” să se înveţe, la “în ce scop” şi “cu ce rezultate”. Evaluarea se face în termeni calitativi; capătă semnificaţie dimensiuni ale cunoştinţelor dobândite, cum ar fi: esenţialitate, profunzime, funcţionalitate, durabilitate, orientare axiologică, stabilitate, mobilitate, diversificare, amplificare treptată.

Breviar teoretic CAPITOLUL : MATRICE

Fie m,n



C o funcţie care asociază unei perechi de   indici un număr complex este numită matrice. f(i,j) = aij; aij C  a 11   a 21

N* f:

1,2,..., m 1,2,..., n  x

a 12 ...........a 1n   a 22 ...........a 2n 

 ...............................  

 a  m1

f=



a m2 ...........a mn 

Această funcţie se numeşte şi matrice de tipul (m,n) sau matrice cu m linii şi n coloane. I. Dacă n=1, o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice coloană:  a 11   a 21







 

 .

A=

 a  m1

  

II. Dacă m=1, o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice linie A= (a11, a12, a13,…, a1n) III. Dacă m=n, o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice pătratică de ordin n.

 a 11   a 21

a 12 ...........a 1n   a 22 ...........a 2n 

 ...............................  

A=

 a  n1



a n2 ...........a nn 

Mm,n (C) este prin notaţie mulţimea tuturor matricelor de tipul (m,n).

Dacă m=n, Mn (C) este mulţimea matricelor pătratice de ordinul n. Mm,n (R) – mulţimea tuturor matricelor de tip (m,n) cu elemente reale. Mm,n (Q) – mulţimea tuturor matricelor de tip (m,n) cu elemente raţionale. Mm,n (Z) – mulţimea tuturor matricelor de tip (m,n) cu elemente întregi.

Ex.: A=

1   2

B=

 2   6  5 

1  2 

0 3

1/3 5 2/4

; matrice A

7  3/4  1 

Egalitatea matricelor a 12 ...........a 1n  a 11  a 22 ...........a 2n  a 21  ...............................   a a m2 ...........a mn  m1 Fie A=



; matrice A  

 b11   b 21 



 

M2,3 (N)



M3 (Q) b12 ...........b1n   b 22 ...........b 2n 

 ...............................  



; B=

 b  m1



b m2 ...........b mn 

() A=B dacă şi numai dacă aij= bij

i = 1, 2,…, m şi j = 1, 2,…, n

Matrici remarcabile

On =

In =

 0 0...........0     0 0...........0   .......................     0 0...........0   

 1 0...........0     0 1...........0   0 0.....1....0     ......................   0 0...........1   

On – matricea nulă

In – matricea unitate

- La o matrice pătratică elementele de forma aij formează diagonala principală a matricei, iar elementele de forma a1n; a2n1; a3n-2, formează diagonala secundară. - Într-o matrice pătratică suma elementelor de pe diagonala principală se numeşte urma matricei sau traseul matricei:

n

a i 1

ij

= Tr.A

Operaţii cu matrice:

I. Adunarea matricelor – se adună numai matrice de acelaşi tip. Fie A, B ____

____

1, m A= (ai,j) i=

1, n ; j=



____

Ex.: A=

 2  1

C= A+B =

;

1, n

C = (a(i,j)) i= 

1, n ; j=

____

1, m

ci,j = ai,j + bi,j; c

____

1, m ; B= (bi,j) i=

def

A+B

____



j=

Mm,n(C)

3

6

2

4

1   1

 , B=

 1   2

3  - 3 

0 1

9  1 

3 3

Proprietăţi: 1. Adunarea este asociativă: (A+B) + C = A + (B+C) 2. Adunarea este comutativă: A+B = B+A 3. Adunarea prezintă un element neutru: matricea nulă. A+0 = A () 4. Orice matrice este simetrizabilă

A



Mm,n(C)

   B

A+B= B+A = 0 m,n not.

B



-A şi se numeşte opus al lui A.

5. A+A = 2A

A  A  ...  A n ori A

nA =

,n



N

II. Înmulţirea Fie A



Mm,n(C) şi B



Mn,p(C)

A = (aij)

Mm,n(C) a.î.

Mm,n(C)

B = (bij)

A.B= C

C



a Mm,p(C)

a12 ...........a1n   a11   a ...........a  a 21 22 2n     ...............................   a a ...........a mn  m1 m2 

ik

b kj

C= (cij) (cij) =  c11   c 21













 b11   b 21

b12 ...........b1p   b 22 ...........b 2p  ...............................   b n1 b n2 ...........b np 

   =



b12 ...........c1p   b22 ...........c2p    ...............................  cm1 cm2 ...........cmp 

c11= a11 b11+ a12 b21+ a13 b31+… + a1n bn1 c12= a11 b12+ a12 b22+ a13 b23+… + a1n bn2 …………………………………………. cmp= am1 b1p+ am2 b2p+ … + amn bnp

Exemplu:

1   0

2 4

3  - 3 

1   0  -1 

4 2 1

   

 =

 2   3

11 5

  

c11= 1.1+ 2.0 + 3.(-1) = -2 c12= 1.4+ 2.2 + 3.1 =

11

c21= 0.1+ 4.0 + (-3).1 = 5

Proprietăţi: 1. Înmulţirea este asociativă: (AB) .C= A.(BC) 2. Înmulţirea nu este totdeauna comutativă: A.B



B. A

3. În mulţimea Mn(C)In este element neutru: A.I=A 4. Nu orice matrice pătratică este simetrizabilă în raport cu înmulţirea. 5. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare:

Obs. A.(B+C) = A.B + A.C

A.B + A.C

(B+C) .A = B.A+ C.A

(B+C) .A

6. Fie α

α



A

C; A





1.A = A



a,b



a,b



A,B

 



B(A+C)

BA+AC

Mm,n(C) α

Mm,n(C);





α A = ( aij)

C, (a+b) .A = a.A + b.A C, (a.b) .A = a(b.A)



Mm,n(C); a





C, a(A+B) = aA+aB

 A,B Mm,n(C); a C a(A.B) = (a.A)B = A(a.B)

A  A  ...  A n ori A

7. An =

An se notează şi An

Transpusa unei matrici: 

A At Transpusa se obţine prin schimbarea liniilor în coloane.

 a 11   a 21

a 12 ...........a 1n   a 22 ...........a 2n 

 a 11   a 12

 ...............................  

A=

 a  m1

 ...............................  

a m2 ...........a mn 

a 12 ...........a m1   a 22 ...........a m2 



At =

 a  1n



a 2n ...........a mn 

Ex.:

A=

 27   2  2 

5 6 4

Proprietăţi: 1. (At)t = A 2. (A+B)t= At+ Bt

3 9 5

4   10  3 

At =

 27   5  3   4 

2 6 9 10

2  4 5  3 

3. (A.B)t =

α

.

At

Urma unei matrici - urma unei matrici pătratice reprezintă suma elementelor de pa diagonala principală. n

a i 1

ii

= Tr.A

Proprietăţi: 1. Tr. (A+B) = Tr.A + Tr.B α α 2. Tr.( A) = Tr.A β β α α 3. Tr.( A+ B) = Tr.A + Tr.B 4. Tr.( A.B) = Tr.( B.A)  PA(x) = x2- Tr. A.x + det.A polinom caracteristic () matrice verifică proprie ei ecuaţie caracteristică (teorema Cayley – Hamilton):

A2-Tr. A.A + det. A.In = 0

Tehnici de aflare a An

 Inducţie: A Mm,n(C)  Se calculează A2, A3 A4  Se observă o corespondenţă între elementele matricei A2, A3 A4 cu elementele matricii A şi cu puterea la care este ridicată matricea.  Se propune o formă pentru An  Se demonstrează prin inducţie.

I.

Ex.:

A=

2

A=

1   0

2 1

1   0

2 1

  

1 0

2 1

 

 =

1   0

4 1 





A3=

A4=

1   0

4 1

1   0

6 1

n

Fie A =

1   0

1   0

2n 1



2 1

1 0 2n 1

Dem: An+1 =

An+1=An.A=

1 0

  

2 1  

=

6 1

1   0

8 1

     

   2(n  1) 1

1   0

  

2(n  1) 1

1   0

=

1   0

1 0

2 1

 

 =

2  2n 1

1   0

 

 =

1   0

2(n  1) 1   

  

2. Binomul lui Newton  Fie A Mm,n(C) Dacă A = B+C



An = (B+C)n

An = (B+C)n = Cn0.Bn.C0 + Cn1.Bn-1.C1+ Cn2.Bn-2.C2+…+ Cnn.B0.Cn Metoda este eficientă când: 1. A se poate scrie ca I+B, unde B este idem sau nul potentă de la un rang încolo. 3. Când B şi C sunt idem potente de la o putere încolo 3  0   0 3   2  2       2  2   0 0   0  0 Fie A= A= + = 2I+B

2

A =

3

A =

 2   0

3 2

 4   0

2 4

  2     0

3 2

  2     0

3 2

  

=  

 =

 4   0

2 4

 8   0

36 8

  









(2.I2)n= 2n.I2

B2 =

 0   0

3 0

  0     0

3 0

  

=

 0   0

0 0

  

; Bn =

 0   0

0 0

  

An = (2I+B)n = Cn0.2n.I + Cn1c2n-1. I.B +…+ Cnn.Bn = 2n.I+n2n-1. I.B + [n(n-1)]/2 . 2n-2. B2+…+n Bn Dem. I.B = B şi B2B3… Bn= 0

An =

 2n   0 

2   2n 

+

 0   0 



n  2 n -1  3 0

  



=

 2n   0 

n  2 n -1  3 2n 







Test 1

1.

2.

3.

Fie matricea A2  3 A .

 3  2 1   A   2 1 1    2 2 0  

Rezolvă ecuaţia:

 1   x

x  1  1 

. a) Scrie transpusa matricei, b) Să se calculeze

x x  1  x x  1     x   x2 x   x2 

 

An

 1  x

 

x  1  1 

.  1 0 0   A   1 1 0  2 3 1  

Să se calculeze , n număr natural nenul, unde: a) x x  1 x  2    A x2 x 0    x 1 0 x   b) . Demonstrează rezultatul obţinut, doar la a)

;

Test 2

1.

Fie matricea A2  3 A .

 2 2 1   A   0 1 2   1 2  2  

. a) Scrie transpusa matricei, b) Să se calculeze



2.

Rezolvă ecuaţia:

 1 2  1 3   Y     X     2 1  2 4   X    1  3   Y   1  1  1  4 7  1     

.

3.

 1 0 0   A   1 1 0  0 2 1  

An

Să se calculeze , n număr natural nenul, unde: a) x x  1 x  2    A x2 x 0    x 1 0 x   b) . Demonstrează rezultatul obţinut, doar la a).

Test 3

1. Care este transpusa matricei

2. Dacă

 1 2 3   A   4 5 6  7 8 9  

t

. Verifică relaţia

 1 1 0   2  3 1

A   3. Fie

4. Determină matricea

A  1  i 2i 

.

 A  A t

 1 2 3    0 2  1

.

B   şi

X  M2Z 

. Calculaţi A+B.

dacă :

 2 1   0 1    3 4    X        3  1  5  6   2 1 

5. Calculează

A  5B

 1 1 1   2 0 2

A   dacă

 2  1 1    1 2 3

B   şi

;

TEST 4

( )

A= 2 0 0 5

1. Se consideră matricea 2. Fie matricea

( )

X= 1 3 0 1

. Calculați

()

a A= b c

3. Se consideră matricele

. Calculați

3

10

.

Xn , n ∈ N¿ .

B=( x

y

( )( )

.

și

2

A + A + A + …+ A

z)

. Dacă

ax +by +cz=5

,

n ¿ atunci calculați ( A ∙ B ) , n∈ N .

2 1 1 6 3 X + 0 3 = −6 8 4 −1 3 12

4. Rezolvați ecuația

CAPITOLUL : DETERMINANȚI.

Fie A



Mm(C) ____

____

1, m A = (ai,j) F: A



i=

Mm(C)



; j= det.A

ε (σ ) a

σ Sn

1, n

σ (1) 

a σ (2)

a

 .......... .. σ (n)

Det.A =

ε (σ ) a

σ Sn

σ (1) 

a σ (2)  .......... ..a σ (n)

Definiţie: Nr. det.A = , unde Sn este mulţimea tuturor permutărilor, se numeşte determinantul matricii A sau determinant de ordin n.

Det.A =

a 11

a 12 ...........a 1n

a 21

a 22 ...........a 2n

.................................. a n1 a n2 ...........a nn

Observaţie: determinantul unei matrici nu are sens decât pentru matrice pătratice.

Proprietăţile determinanţilor 1) Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricei transpuse.  A Mm(C); det.A = det. tA a 11

a 12 ...........a 1n

a 21

a 22 ...........a 2n

.................................. a n1

a n2 ...........a nn

=

a 11

a 12 ...........a 1n

a 21

a 22 ...........a 2n

.................................. a n1 a n2 ...........a nn

2) Dacă toate elementele unei linii (sau ale unei coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul. 3) Dacă într-o matrice schimbăm 2 linii (sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu (-) determinantul matricei iniţiale. 4) Dacă o matrice are 2 linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul. 5) Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) sunt înmulţite cu un număr  obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu  înmulţit cu determinantul matricei iniţiale. 6) Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt egale sau proporţionale atunci determinantul matricei este nul. i j n 1 i  n

7) Fie A = (aij)

o matrice pătratică de ordinul n. Fie elementele liniei i de forma a i,j

____

1, n

() = a’ij + a’’ij

j=

;

Dacă A’, respectiv A’’ este matricea care se obţine prin înlocuirea elementelor de pe linia i cu elementele a’ij (respectiv a’’ij), atunci det.A = det.A’ + det.A’’.

a 11

a 12 .............................a 1n

a 11

................................................... a' i1  a' ' i1 a' i2  a' ' i2 ...... a'in  a' ' in .................................................... a n1

a n2 ..............................a nn

a 12 ..........a 1n

a 11

a 12 ..........a 1n

................................. a'i1 a' i2 ........a'in

................................. a' 'i1 a' 'i2 ........a' 'in

................................. a n1 a n2 ............a nn

................................. a n1 a n2 ............a nn

=

+

8) Dacă o linie (sau o colană) a unei matrice pătratică este o combinaţie liniară de celelalte linii (sau coloane) atunci determinantul matricei este zero. 1

2

4

-3 2

3 5

- 10 -6

Ex.:

=0 I2 = I3-I1

9) Dacă la o linie (sau o colană) a matricii A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea A. 10) Determinantul produsului a două matrice este egal cu produsul determinanţilor celor două matrice. 

Det(.A B) = det.A



det.B

Calculul determinanţilor 1) Determinantul unei matrici de ordin 2

a 11

a 12

a 21

a 22





= a11 a22 - a12 a21 3 7 Ex.:

2 1





=3 1-7 2

2) Determinantul unei matrici de ordin 3 a) Regula triunghiului

a 11 a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 a 33

















= a11 a22 a23 + a21 a31 a32 + a12 a23 a13 - a11 a22 a31 – 







a12 a13 a33 – a23 a32 a11

1 2 -1 3 4 0 5 -1 1



Ex.:















= 1 4 1 + 2 0 5 + (-1) 3 (-1)- (-1) 4 5 – 







0 (-1) 1– 2 3 1 = 21.

Regula lui Sarrus a11 a12 a13 a 21 a 22 a 31 a 32

a 23 a 33

















= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 – a21 a12 a33 – 







a11 a12

a13 a11 a32 a33 – a31 a32 a11

a21

a23

a22 1

2

1

1

4

2

3 1

6 3 2 1

1

4

2



Ex.: -















= 1 4 (-3) +(-1) 6 1 + 3 (-2) (-2)–(-1) (-2) (-3) – 







1 6 (-2) - 3 4 1 =0 2 -1 - 4 1 4 -5

-5 3+1

D = (-1) 2

4

4 + (-1)3+10

1 2 4 3 1 -5 6 -5  4

1 -1 - 4 3 6

4 4

-5 4 + (-1)3+11

+ (-1)3+4(-1)

1 2 -1 3 1 4 6 -5 4 Aceşti determinanţi de ordin 3 se dezvoltă după regula lui Sarrus sau a triunghiului.

4) Determinantul unei matrici triunghiulare

a 11 0 a 11 a 22 a 11 a 32 .... ... a n1 a n1

0..... 0 0..... 0 a 33 .... ... ... a n3 ... a nn



= a11 a22… anm 5) Determinant Vandermonde

1 a1 a 12 .... a1n -1

1 a2 a 22 ... a 2 n-1

1..... 1 a 3 ..... a n a 3 2 .... a n 2 ... ... a 3 n -1 ... a n n-1

 a

1 ji  n

i

 aj

= Pentru a calcula determinanţi se folosesc şi proprietăţile determinanţilor

Aplicații ale determinanților în geometrie 1.Ecuaţia dreptei determinată de punctele

x AB : x A xB

A( x A , y A )

şi

B( x B , y B )

:

y 1 yA 1  0 yB 1 xA

yA 1

xB xC

yB 1  0 yC 1

A( x A , y A ) B( x B , y B ) C ( xC , y C ) 2.Condiţia de coliniaritate a trei puncte , şi : , sau verificăm dacă un punct aparţine dreptei determinate de celelalte două puncte. De

exemplu

C  AB

.

3. Dacă punctele A, B şi C nu sunt coliniare atunci aria triunghiului ABC este:

AABC 

1 || 2

xA   xB xC

yA 1 y B 1. yC 1

, unde

TEST 1.

1. Să se calculeze determinanţii

1 

1 1 1 ab bc ca 1 1 1 c a b

7 5 2 2  8 6 3

8 5 4 1

9 7 4 .

.

3 x 1 x 1 3  0 1 3 x

3x x  2 0 4 2 2. Rezolvaţi ecuaţiile:

(1p) şi

(1p)

3. Se dau punctele A(7;2), B(5;3), C(3;4) D(3;1). Se cere: a) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare b) Să se calculeze aria triunghiului ABD. c) Să se scrie ecuaţia dreptei AB. 4. Să se determine m



R pentru care punctele A(m,m+2) B(m, 3) C(1,3 )sunt coliniare

Test 2.

5 7 2 7 1.

2 7 5 7

Valoarea determinantului a)-6

b) 3

c) 6;

d) -3.

2 2 2 1 1 1 3 4 1 2.

a) Calculati valoarea detreminantului:

a a2 b b2

a3 b3

c2

c3

c

b)Calculaţi următorul determinant de tip Vandermonde 3. Se consideră punctele A(1,4), B(-2,8) şi C(0,3). a) sa se scrie ecuatia dreptei AB

 b) Sa se studieze daca punctul C AB

4. Completati spatiile libere tinand cont de proprietatile determinantilor: a) det(A+B)=.......... b)Daca un determinant are doua linii sau coloane identice, atunci........ c)Daca elementele a doua linii sau coloaneale unui determinant sunt proportionale , atunci......

TEST 3

4 1 3 2 1) Calculați determinanții: a)

3  cos 

 3  cos 

sin 

cos 

d)

;

2i  3 i3 i2 2i  3

2 2

b)

;

c)

;

2 3 1  4 1 1 1 2 2 ;

1

3 2 4

e) 2

. 3

 1 x  1 1  0. 0 x 2 2) Rezolvați în R ecuația

x1  x 2  x3 3) Știind că

sunt rădăcinile ecuației mx1  x1 x3

parametrului real m încât

x2 x2 x1

 mx2 x 2  0. mx2

x 3  2 x 2  5x  6  0

, determinați valorile

TEST 4

1. Să se calculeze determinanţii:

1 3 2 1 2 0 3 1 2

2 3 4 1 a)

;

b)

.

2. a) Se dau matricele

A=

(

x 2 −1 −1 x ș i B= 2 3 0 1

)

(

)

. Să se determine

x ∈ R , știind că

det ( A+ B ) ≤ detA +detB . I b) Să se arate că det ( A ∙ A ) = det (¿¿ 2) , unde ¿ t

3.

| |

1 1 ∆ ( x )= 1 3 Fie determinantul 1 x

1 9 2 x

( ) ( )

A= 2 1 , I 2 = 1 0 3 2 0 1

, unde x este un număr real.

a) Calculați ∆ ( 2 ) . b) Rezolvați în R ecuația ∆ ( x )=0 .

4. În reperul cartezian

xOy

a) Să se scrie ecuația dreptei

se dau punctele

A (2 ; 4 ), B(−1,2) ,C (m+1,0) .

AB .

b) Să se calculeze aria triunghiului OAB . c) Să se determine m∈ R dacă punctele

A ,B,C

sunt coliniare.

.

CAPITOLUL : SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Matrice inversabile: () Def.: Fie A o matrice pătratică de ordin n. Se spune că A este inversabilă dacă matrice B pătratică de ordin n astfel încât AB=BA = I.

o

Teorema: () 1. Inversa unei matrice pătratice, dacă

este unică.

2. Fie A o matrice pătratică de ordin n cu coeficienţii numere complexe. Atunci matricea A este inversabilă dacă şi numai dacă det.A este nenul. Ex.: Algoritm pentru A-1

a11 a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33

A=

1. Se calculează det.A: - dacă det.A =0 

2. det.A



A: singulară

 ()

A-1

0

Se calculează At

 a 11   a 12 At=

 a  13

a 13   a 32 

a 12 a 22

a 33 

a 23

3. Se calculează A*

 T11   T12 A* =

T22

 T  13

1 det.A  

a 22 a 32

T33 

T23

 4. A-1 =

T13   T32 

T12

unde T11 = (-1)1+1.D11 =

  

A.A-1= A-1.A =I

A*

Ecuaţii matriciale: I. Ax = B

A,B – matrice pătratică

Calculăm det.A =0

 ()

A-1

Calculăm A-1 A-1./Ax =B



x= A-1.B

II. xA =B 

Verificăm det.A 0

 ()

Calculăm A-1 .

-1

XA=B/ A



X= B. A-1

A-1

a 23 a 33

III. A.x .B =C A,B, C – matrice pătratică Calculăm det.A şi det.B   () det.A 0 A-1   () det.B 0 A-1 Calculăm A-1 şi B-1 A-1./A.x.B =C



x.B = A-1.C/ B-1



x= A-1.C. B-1

Sisteme de doua ecuatii cu doua necunoscute Def.Un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute are forma  a1 x  b1 y  c1  a 2 x  b2 y  c 2

(S ) : 

unde

a1 , b1 , a 2 , b2

se numesc coeficientii necunoscutelor , iar

c1 , c 2

termenii liberi.

Def.Se numeste solutie a sistemului orice cuplu (s1 , s2) care este solutie pentru fiecare din ecuatiile sistemului. Studiul solutiilor unui sistem de ecuatii liniare conduce la trei probleme: - existenta solutiilor (conditiile in care un sistem admite solutii) - gasirea unei metode de obtinere a solutiilor - determinarea tuturor solutiilor Un sistem care nu are nici o solutie se numeste incompatibil.Daca sistemul poseda solutii se spune ca este compatibil (determinat cu o solutie si nedeterminat cu mai mult de o solutie) Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii. Metoda de rezolvare a unui sistem liniar consta in a inlocui sistemul dat printr-un nou sistem care este echivalent cu primul , dar care poate fi rezolvat mai usor.

Transformari aupra ecuatiilor unui sistem

O1)Adunarea unei ecuatii a sistemului la o alta ecuatie a sistemului O2)Inmultirea ecuatiilor sistemului prin factori nenuli O3)Schimbarea ordinii ecuatiilor intr-un sistem

Metode de rezolvare

1.Metoda combinatiilor liniare (metoda reducerii) 2.Metoda substitutiei 3.Metoda eliminarii (Gauss) 4)Regula lui Cramer

A=

 a1   a2

b1   b2 

- matricea sistemului (formata din coeficienti necunoscutelor)

  det( A)  a1b2  a 2 b1

- determinantul sistemului

0

x 

c1 c2

b1 b2

(se obtine din y 

a1 a2

c1 c2

(se obtine din x





inlocuind coeficientii lui x , prin coloana termenilor liberi)

inlocuind coeficientii lui y , prin coloana termenilor liberi)

y x ;y   

5)Metoda matricii inverse

A=

 a1   a2

b1   b2 

 x X     y  c  C   1   c2 

AX = C – scrierea matriciala a sistemului

Sisteme liniare omogene  a1 x  b1 y  0  a 2 x  b2 y  0

(S ) : 

Sistemul omogen.

in care termenii liberi sunt zero se numeste sistem liniar

Intotdeauna acest sistem este compatibil avand cel putin solutia banala (cu toate componentele egale cu zero) x = y = 0.   det( A)  0 Daca atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai solutia banala.In acest caz sistemul este compatibil determinat.   det( A)  0 Daca atunci sistemul are si alte solutii diferite de cea banala.Sistemul este compatibil nedeterminat.

Sisteme de trei sau patru ecuatii cu doua necunoscute Se poate rezolva sistemul format din doua ecuatii ale sistemului dat ,apoi se verifica daca solutiile obtinute sunt si solutii ale celorlalte ecuatii ale sistemului.

Sisteme de trei ecuatii cu trei necunoscute

 a1 x  b1 y  c1 z  d1  ( S ) :  a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  a xb yc z  d 3 3 3  3

Def.Un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute are forma ai , bi , ci se numesc coeficientii necunoscutelor , iar di termenii liberi ai sistemului.

, unde

Def.Se numeste solutie a sistemului orice triplet (s 1 , s2 , s3) care este solutie pentru fiecare ecuatie a sistemului. Interpretare geometrica Cum fiecare ecuatie a sistemului este ecuatia unui plan in spatiul cartezian Oxyz , se poate interpreta geometric sistemul compatibil determinat prin concurenta planelor intr-un punct , iar sistemul compatibil nedeterminat prin ocncurenta planelor dupa o dreapta (sistem simplu determinat) sau dupa un plan (sistem dublu nedeterminat – cele trei plane coincid).In fine sistemul incompatibil corespunde celorlalte situatii ale planelor in spatiu (plane paralele , doua plane paralele intersectate de al treilea , plane concurente doua cate doua , fara punct comun pentru cele doua drepte etc.)

Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii

Metode de rezolvare

1)Metoda combinatiilor liniare 2)Metoda eliminarii (Gauss) Utilizand metoda lui Gauss (de eliminare succesiva a necunoscutelor prin transformari elementare) se ajunge de la sistemul initial la unul echivalent avand urmatoarea forma tiunghiulara :

L1 L2 L3

... 0 0

... ... 0

... ... ...

... ... ...

Etapele necesare de parcurs pentru a obtine forma triunghiulara a sistemuli (S)

 a1 x  b1 y  c1 z  d1  ( S ) :  a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  a xb y c z  d 3 3 3  3

L1 L2 L3

x a1 a2 a3

y b1 b2 b3

z c1 c2 c3

d1 d2 d3

si tabloul

a1  0

Daca , atunci prima ecuatie a sistemului ramane pe loc , iar zerourile de pe prima coloana le obtinem cu transformarile :

- ecuatia

L2

a2 L1 a1

L3 

a3 L1 a1

se inlocuieste prin ecuatia

L3 - ecuatia

L2 

se inlocuieste prin ecuatia

Pentru a obtine zeroul de pe colana a doua se face transformarea : L3 

L3 - ecuatia

se inlocuieste prin ecuatia

b3 L2 b1

Daca a1 = 0 , atunci se ia drept ecuatie L1 o alta ecuatie care sa aiba coeficientul lui x diferit de zero (se face o schimbare a doua ecuatii intre ele) Pentru sistemul (S) doua matrici joaca un rol important in studiul lui.

 a1  A   a2  a  3

c1   c2  c3 

b1 b2 b3

 a1  A   a2  a  3

- matricea sistemului

b1

c1

d1 

b2 b3

c2 c3

d2  d 3 



- matricea extinsa a sistemului

3) Regula lui Cramer

 a1  A   a2  a  3 a1   a2 a3

b1 b2 b3 b1 b2 b3

c1   c2  c3  c1 c2 c3 - determinantul sistemului

d1  x  d2 d3

b1 b2 b3

c1 c2 c3 (se obtine din

a1  y  a2 a3

d1 d2 d3



c1 c2 c3 (se obtine din

liberi)

inlocuind coeficientii lui x , prin coloana termenilor liberi)



inlocuind coeficientii lui y , prin coloana termenilor

a1  z  a2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 d3 (se obtine din



inlocuind coeficientii lui z , prin coloana termenilor

liberi)

x

y x  ;y  ;z  z   

4) Metoda matricii inverse

 a1  A   a2  a  3

b1 b2 b3

c1   c2  c3 

 x   X   y  z  

 d1    C   d2   d   3

det( A)  0  X  A 1C AX = C – scrierea matriciala a sistemului . Daca Sisteme liniare omogene

Sistemul

 a1 x  b1 y  c1 z  0  ( S ) :  a 2 x  b2 y  c 2 z  0  a xb yc z  0 3 3  3

se numeste sistem liniar omogen

Intotdeauna acest sistem este compatibil avand cel putin solutia banala (cu toate componentele egale cu zero) x = y = z = 0.   det( A)  0 Daca atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai solutia banala.In acest caz sistemul este compatibil determinat.   det( A)  0 Daca atunci sistemul are si alte solutii diferite de cea banala.Sistemul este compatibil nedeterminat.

Sisteme de m ecuatii cu n necunoscute

 a11 x1  a12 x 2  ....  a1n x n  b1  a x  a x  ....  a x  b  21 1 22 2 2n n 2 

Au forma :

 ...............................................  a m1 x1  a m 2 x 2  ....  a mn x n  bm

(2)

Daca un sistem are solutii , atunci il numim compatibil (determinat daca are exact o solutie si nedeterminat daca sistemul are mai mult de o solutie) Sistemul (2) se numeste omogen daca are toti termenii liberi egali cu zero.Sistemul astfel obtinut  a11 x1  a12 x 2  ....  a1n x n  0  a x  a x  ....  a x  0  21 1 22 2 2n n 

 ...............................................  a m1 x1  a m 2 x 2  ....  a mn x n  0

se numeste sistemul omogen asociat sistemului (2).

Coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice de tip m x n  a11   a 21

 ...   a  m1

a12 a 22

... ...

... am2

... ...

 x1     x2 

X      x   n

a1n   a2n 

...   a mn 

numita matricea sistemului (2)  b1     b2 

C      b   m

Daca si sunt coloana necunoscutelor si respectiv coloana termenilor liberi , atunci sistemul (2) se poate scrie sub forma matriciala AX = C. Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii.

Discutia unui sistem Compatibilitatea Th.Kronecker – Capelli . Sistemul liniar (2) este compatibil daca si numai daca rangul matricii sistemului coincide cu rangul matricii extinse. Comform teoremei avem nevoie de calculul rangului matricii A.Daca rang(A) = r , atunci exista cel putin un minor nenul de ordin r.Pentru usurinta in prezentare sa presupunem ca minorul nenul de ordin r este format din primele r linii si primele r coloane.Pe acesta

p (considerat) il numim determinant principal si-l notam

.Ca sa avem egalitatea rang(A) =

A A rang( ) trebuie probat ca orice minor al matricii care-l contine pe cel principal si care nu este minor al lui A este nul.Orice astfel de minor de ordin r + 1 , obtinut prin bordarea determinantului principal cu elemente corespunzatoare ale coloanei termenilor liberi , precum si cu cele ale uneia din liniile ramase , se numeste minor caracteristic.Vom nota un astfel de

 car ,k minor prin

, unde k indica linia utilizata pentru bordare.

Th.(Rouche) . Sistemul liniar (2) este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli. Deci daca cel putin un minor caracteristic este nenul sistemul este incompatibil. Determinarea solutiilor Presupunem ca rang(A) = r si ca am ales ca determinant principal al sistemului compatibil a11 ... a1r  p  ... ... ... a r1 ... a rr .De precizat ca odata ales determinantul principal cu el se merge pana la determinarea solutiilor.Necunoscutele ale caror coeficienti sunt in determinantul principal se numesc necunoscute principale.Deci in cazul nostru acestea sunt x 1 , x2 , ...., xr.Celelalte necunoscute (daca exista) adica xn+1 , ..... , xn se numesc necunoscute secundare. Ecuatiile ale caror coeficienti se afla in determinantul principal se numesc ecuatii principale.In aczul de fata primele r ecuatii sunt principale.Celelalte ecuatii (daca exista) se numesc ecuatii secundare.  a11 x1  a12 x 2  ....  a1n x n  b1  a x  a x  ....  a x  b  21 1 22 2 2n n 2 

Se rezolva sistemul format din ecuatiile principale :

 ...............................................  a r1 x1  a r 2 x 2  ....  a rn x n  br

(*)

A Solutiile acestui sistem sunt solutii si pentru (2) (din rang(A) = rang( ) , rezulta ca celelalte linii sunt combinatii liniare ale ecuatiilor principale , ceea ce arata ca o solutie a sistemului de mai sus este solutie si pentru (2)). Analizam cazurile :

- daca r = n , atunci sistemul (*) are atatea ecuatii cate necunoscute.Pentru rezolvare se pot x1 

 x1 p

; x2 

 x2 p

;......; x n 

 xn

 xn

p

aplica formulele lui Cramer : inlocuind coloana coeficientilor lui xn cu termenii liberi.

, unde

p se obtine din

- daca r < n , atunci in ecuatiile principale se inlocuiesc necunoscutele secundare variabil

x r 1   r 1 ,....., x n  n ;  k  R si se rezolva sistemul format din ecuatiile principale (in care necunoscutele secundare trec in membrul drept).Pentru rezolvare se aplica regula lui Cramer.

TEST 1

1) Scrieţi sub formă matriceală sistemul:

 2 x1  x 2  x3  1    x1  2 x 2  2  4x  x  2x  0 2 3  1

.

2) Scrieţi sistemul de ecuaţii liniare asociat matricei extinse:

3) Se consideră sistemul:

 mx  2 y  2 z  0   2 x  my  2 z  0  2 x  2 y  mz  0 

 1 2 1  2   0 4 3 5  2 2 0 3 

1   1 1 

.

 a) Să se determine m R, astfel încât sistemul să admită numai soluţia banală. b) Pentru m = - 4, rezolvaţi sistemul.

3x  y  z  0   2 x  y  3 z  7  x  2 y  2z  7   

4)) Dacă ( x, y, z) este soluţia sistemului: a)0; b)1; c)-1; d)2; e) – 2.

TEST 2 I. Încercuiţi răspunsul pe care-l consideraţi corect.

, atunci: x+y+z este:

.

Se dă sistemul

 4x  y  z  9   x  y  2z  5  x  2y  z  2 

.

1) Determinantul sistemului este egal cu: a. -8; b. 0 ; c. -6 ; d. -10 . 2) Transpusa coloanei termenilor liberi este: a. (4,1,1) b. t(9,5,2) c. (2,5,9); d. (9,5,2) x 3) Folosind metoda lui Cramer , este: a. egal cu 0; b. mai mare decât 0; c. mai mic decât 0; d. acelaşi ca şi det A . 4) Soluţia sistemului este: a. (2,1,0) b. t(1,1,3) ; c. (1,2,3) ; d. (3,5,1) . II. Stabiliţi prin săgeţi corespondenţa(dacă există) dintre elementele din coloana A şi cele din coloana B . A B 1. sistem compatibil nedeterminat a. are întotdeauna cel puţin o soluţie 2. sistem incompatibil b. are o singură soluţie 3. sistem compatibil determinat c. nu are soluţii 4. sistem compatibil d. are câteodată cel puţin o soluţie e. are o infinitate de soluţii III.Completaţi următoarele enunţuri: a. Dacă numărul de ecuaţii = numărul de necunoscute = rangul matricei sistemului = n, adică det A ………………, sistemul este ……………………………………… b. În acest caz soluţia sistemului este ………................ şi pentru rezolvarea sa se aplică METODA LUI ………......................, c. iar soluţiile sale sunt date de FORMULELE LUI ………………………………… : x1  ........

x1 x2

x2  ........

,

xn

xn  ........

, …… ,

,

d. unde , , ……… , se obţin din …………………, prin ………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………… IV. Transcrieţi pe verso litera corespunzătoare fiecărui enunţ şi notaţi în dreptul ei A sau F, după cum apreciaţi că enunţul este adevărat sau fals. Dacă enunţul este fals, rescrieţi-l asfel încât să devină adevărat. a. Metoda lui Gauss se mai numeşte şi metoda delimitării succesive. A

b. Matricea (A barat) se numeşte matricea extinsă a sistemului. c. A rezolva un sistem liniar înseamnă a decide dacă acesta este comparabil sau incomparabil, iar în cazul comparabilităţii, a-i găsi soluţiile. d. Un sistem liniar se numeşte omogen dacă toţi termenii liberi din ecuaţiile sistemului sunt nuli.

TEST 3 1

Citeşte cu atenţie afirmaţiile de mai jos. În cazul în care apreciezi că afirmaţia este adevărată, încercuieşte litera A. În caz contrar încercuieşte litera F şi înlocuieşte, în spaţiul liber, cuvintele subliniate cu altele care fac afirmaţia adevărată. A ) A F (

F

a. Sistemul liniar omogen are întotdeauna doar soluţia banală. ( b. Sistemul compatibil nedeterminat este sistemul care nu are nici o soluţie. )

A F c. O matrice detA  0 .(

A  M n  C  , n  2, 3

este inversabilă dacă şi numai dacă

)

A F d. Un sistem liniar cu numărul de ecuaţii egal cu numărul de necunoscute şi detA  0 se numeşte sistem Cramer. ( ) A F (

2

e. Sistemul incompatibil este sistemul care are mai mult de o soluţie. )

Înscrie în spaţiul din faţa fiecărui număr din coloana A, litera din coloana B care cores-punde tipului de sistem menţionat în coloana A.

1.

2.

3.

4.

A  2x  3y  4   4x  6y  7  2x  3y  4   4x  6y  8

B D. sistem compatibil determinat cu două ecuaţii şi două necunoscute

E. sistem liniar omogen de două ecuaţii şi două necunoscute

 2x  3y  4   x  2y  2

P. sistem incompatibil

 2x  3y  0   x  2y  0

Q. sistem compatibil nedeterminat

5.

3

 x y1   yz 0  x  2z  0 

R.

sistem liniar de trei ecuaţii şi două necunoscute

S.

sistem compatibil determinat de trei ecuaţii şi trei necunoscute

 x  2 y  3z  3   2x  y  z  4  mx  y  4z  1  mR

Se consideră sistemul: , . I Valoarea parametrului real m astfel încât următorul sistem să aibă soluţie unică este:

a)

m  R \  3

II

b)

m  10

c)

m3 d)

 0, 3, 1

Valoarea parametrului real m pentru care tripletul sistemului:

mR

a)

b)

m  1

este soluţie a

m 0

c)

 4  4

m  R \   3

 2 

d)

mR

3  2 

 1 5 

Scrie sistemul de ecuaţii liniare asociat următoarei matrice extinse: . 5 Să se rezolve următorul sistem utilizând metoda matriceală sau regula lui Cramer:

 2 x  3y  5    x  4y  3

. TEST 4

1. Să se studieze care din matricele următoare sunt inversabile iar în caz afirmativ, să se calculeze inversele lor:

 5 3  4 2  

A  

2

,

 7 2 8   B   4 5 6  1 8 3  

 10 4   5 2  

C   ,

Să se rezolve următoarea ecuaţie matriceală:

,

 9 6 3   D   8 5 2  7 4 1  

 5 3  7 3    X    4 2 6 4    

 x  y  2z  4   y  3z  1 

3

Scrie sub formă matriceală sistemul:



4x  y  0

.

4. Să se rezolve urmatorul sistem liniar:

 2x  y  z  9   x  y  2z  5

 x  2y  z  2 

CAPITOLUL : . APLICAȚII MODELE BACALAUREAT (modele Bacalaureat 2009)

1.În mulţimea aR unde .

M 2 ( R)

 4 8   2 4

A   se consideră matricele

,

 1 0  I 2    0 1

şi

X  a   I 2  aA

A2  8 A

a) Să se demonstreze că . det X  a  b) Să se calculeze . X  a   X  b   X  a  b  8ab  a, b  R c) Să se domnostreze că , .

M 2 ( R) 2.. .În mulţimea

a) Calculaţi b) Calculaţi

A2

se consideră matricea

şi

A3

 1 3   3 1

A  

.

.

det( A  I 2 )

.

A c) Determinaţi inversa matricei .

 4 6   2 3

A 3. În mulţimea matricelor pătratice de ordinul doi peste R, M2(R), a) Să se calculeze A2.

,

 x 0   0 x

X  b) Să se determine matricele X  M2(R), (X+A) să fie egal cu 2.

, astfel încât determinantul matricei

c) Dacă pentru orice nN*, An= A atunci să se demonstreze ca pentru orice nN*, A+2A2+

…nAn =

n(n  1) 2

A.

4.În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(2,3), C(0,-1). a) să se calculeze lungimea segmentului [AB]. b) Sa se scrie ecuaţia dreptei AB. c) Să se verifice dacă punctele A, B, C sunt coliniare. 1 1

1

D (a)  1 3 9 1 a a2 5. Se consideră determinatul

unde a este număr real. D(9). a) Să se calculeze valoarea determinantului D(a )  0. b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia D (3 x )  0. c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

6.În sistemul cartezian xOy se consideră punctele An ( 0 , n ), Bn ( 1 , n ), C n ( 2 , n ), Dn ( 3 , n ), n  1 ,4 a) să se scrie ecuaţia dreptei

A1 A2

.

.

B1 A2 b) să se calculeze lungimea segmentului . A2C3 D4 c) să se calculeze aria triunghiului

7. Se consideră determinantul

D(m) =

| | 1 1 1 1 2 4 2 1 m m

a) Să se calculeze D(4). b) Să se rezolve ecuaţia D(m) =0.

, m ϵR

x c) Să se rezolve ecuaţia D( 2 ) = 0.

8. Se consideră sistemul

{

x +3 y +2 z=b x−2 y+ az=5 , unde a,b ϵ R x+ y + 4 z=4

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Pentru a = -1 şi b =2 să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer.

9. Fie punctele

A1,1 , B  2,3 , C  3, m  1 , m  R.

a) Să se determine b) Pentru

m  1

mR

O  0,0

 m 1 2 3   A 3 2 4  4 2 3  

a) Să se determine b) Să se determine c) Pentru

pentru care punctele

aflaţi aria triunghiului

c) Aflaţi distanţa de la

10. . Fie matricea

A, B, C

m2

mR mR

la dreapta

ABC

AB

sunt coliniare. .

.

. Se cere:

pentru care pentru care

trA  7

A

.

este inversabilă.

det( A  2 I 3 ) să se calculeze

.

BIBLIOGRAFIE : 1. Burtea Marius, „Matematică- clasa a XI-a”,Bucureşti, Editura Campion , 2011

2. Schneider A. Gheorghe, „Matematică- Exerciţii si problme pentru clasa a XI-a”,Craiova, Editura Hyperion, 2011 3. Ganga Mircea, „Matematică- manual pentru clasa a XI-a”,Ploieşti, EdituraMathpress,2003 4. T. Cohal ,”Mate2000+7/8-Algebră”,Piteşti, Editura Paralela 45, 2007 5. www.didactic.ro 6. www.evaluareineducatie.ro