Mestrado em Engenharia Elétrica Disciplina: Probabilidade e Processos Estocásticos Parte 1: Introdução à Probabilidade José Raimundo Gomes Pereira
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20 de Março de 2017
Referências: ROSS, S. M. Introduction to Probability Models. Ninth Edition. Academic Press, 2007 KAY, S. Intuitive Probability and Random Processes using MATLAB . Springer, 2006. WASSERMAN, A. All of Statistics. A Concise Course in Statistical Inference . Springer, 2004. DEKKING, F.M.; KRAAIKAMP, C.; LOPUHAÃ, H.P. e MEESTER, L.E. A Modern Introduction to Probability and Statistics. Understanding Why and How . Springer, 2005. STATISTICS TOLBOX. For use with MATLAB. User’s Guide. 2003.(www.mathworks.com). TORGO, L. Introdução à Programação em R. 2006.
Modelos Probabilísticos
Nas engenharias há uma crescente necessidade de desenvolver estudos visando obter modelos que descrevam sistemas que variam de forma aleatória, não determinísitca da ótica do observador Um modelo é uma representação aproximada de uma situação física Modelos probabilísticos são formas matemáticas para descrever, ou modelar, o comportamento de variáveis associadas à experimentos ou fenômenos com um comportamento não determinístico, ou seja aleatório Processos estocásticos são modelos probabilísticos para descrever sistemas que se desenvolvem no tempo de forma aleatória
Alguns exemplos:
sequência de medições de voltagem ou temperatura “stream” de dados binários no computador sequência de índices na BOVESPA sinais de fala relativas à elocuções de palavras em um dicionário sequência de imagens de uma TV a cabo sequência de lançamentos de um dado número de e-mails para serem transmitidos em intervalos de tempo fixos taxa de glicose em pacientes que chegam a um PS
Conceitos básicos Experimento aleatório: são experimentos (ou fenômenos) que repetidos (ou observados) sob as mesmas condições apresentam variações em seus resultados; impossível afirmar exatamente o resultado que ocorrerá; podemos descrever um conjunto com todos os resultados possíveis. Espaço amostral (S , Ω): o conjunto que contém todos os resultados possíveis do experimento; pode ser enumerável ou não enumerável Evento: qualquer resultado de interesse para o experimento, portanto, um subconjunto (⊂) do espaço amostral (denotados por A, B , C , ...). Referência: ROSS(2007), Chapter 1.
Exemplo 1.1
1. Contar o número de “voice packets” contendo somente silêncio produzido por N “locutores” em um período de 10ms. S = {0, 1, 2, 3, ...., N }
(discreto )
A : ocorrer 5 ou mais “packets” A = {5, 6, .., N }, A ⊂ S
2. Medir o tempo entre as chegadas de duas mensagens consecutivas em um ponto de transmissão: S = {t : t > 0}
(contínuo )
B : o tempo é no máximo 10 seg B = (0, 10], B ⊂ S
Conceitos básicos Se A ⊂ S e B ⊂ S , então
(A ∪ B ) ⊂ S
(A ∩ B ) ⊂ S
Ac ⊂ S
(B − A) = ( B ∩ Ac ) ⊂ S
Em termos de ocorrências no experimento:
A ∪ B :
"resultados A ou B " A ∩ B : "resultados de A e B " Ac : "resultados que não são de A" B − A: "resultados de B que não são de A"
Conceitos básicos
As operações estão definidas para quantidades enumeráveis de conjuntos:
n i
i
1
2
... ∪ An -
evento que ocorre se pelo menos
i
1
2
... ∩ An -
evento que ocorre se todos os Ai
∪ A = A ∪ A ∪ um A ocorre ∩ A = A ∩ A ∩ 1
=
i
n i
1
=
ocorrem
Leis de De Morgan
n i n i
∪ ( ∩ (
1 Ai )
c
=
c ) A i 1
=
∩ = ∪ =
n i n i
1
=
Ac i
c A 1 i
=
Conceitos básicos
Dois eventos, A e B , que não possam ocorrer conjuntamente são denomindados de mutuamente exclusivos (ou disjuntos ) então, temos A ∩ B = 0/ denominado evento certo 0 / ⊂ S ; 0 / é denominado evento impossível Os elementos em S = {s 1 , s 2 , s 3 , ...} são denominados eventos elementares .
A
S ⊂ S ; S é
intenção é mensurar a “chance” da ocorrência dos eventos de interesse, para isso definimos a probabilidade de ocorrência dos eventos.
Probabilidade
Definição: A probabilidade é uma função P (·), definida para eventos do espaço amostral S , que satisfaz: (i ) 0 ≤ P (A) ≤ 1, para todo A ⊂ S . (ii ) P (S ) = 1 (iii ) Se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos mutuamente exclusivos , então k
P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) =
∑ P (Ai ). i
1
=
Probabilidade: propriedades 1. 2. 3. 4.
0) = 0. P ( /
P (Ac ) = 1 − P (A). P (B − A) = P (B ) − P (A ∩ B )
Se A e B são eventos quaisquer, P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )
5. Se A ⊂ B , então P (A) ≤ P (B ). 6. Se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos quaisquer k
P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) ≤
∑ P (Ai ). i
1
=
(∗)
Exercício 1.1
1. Verificar, analíticamente, a lei de De Morgan apresentada. 2. Fazer a verificação das propriedades apresentadas decorrentes da definição de probabilidade. 3. Sendo P (A) = 0, 9, P (B ) = 0, 8 e P (A ∩ B ) = 0, 75, determine: (a) P (A ∪ B ) (b) P (A ∩ B c ) (c) P (Ac ∩ B c )
Probabilidade com
S discreto
Seja S finito e todos seus resultados equiprováveis , isto é, podemos assumir que cada evento elementar tem a mesma probabilidade de ocorrência. Definimos, para todo A ⊂ S , n(A) , P (A) = n(S )
onde n(A) é número de elementos em A. Esta
definição está associada à idéia de frequência relativa da ocorrência de eventos e satisfaz aos três axiomas da definição de probabilidade. Exercício:
Exemplo 1.2
1. Considere um experimento de lançar dois dados (idênticos e honestos) e observar os pontos obtidos em cada um. (a) Descreva o espaço amostral do experimento. (b) Qual a probabilidade dos dados apresentarem iguais número de pontos?
2. Considere um experimento de lançar dois dados (idênticos e honestos) e observar a soma dos pontos obtidos nos dados. (a) Descreva o espaço amostral do experimento. (b) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser maior que 10?
Probabilidade com
S discreto
Podemos recorrer aos métodos de contagem . 1. Permutação de n objetos: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ...... × 2 × 1
2. Arranjos : n objetos de um conjunto com N (ordem diferência) (N )n = N × (N − 1) × (N − 2) × .... × (N − n + 1)
3. Combinação : n objetos de um conjunto com N (a ordem não diferência)
��
N N ! = n n!(N − n)!
Exemplo 1.3
Considere que uma linha de produção temos um lote com 50 itens, dos quais 10 são defeituosos. Suponha que 10 itens são selecionados ao acaso para serem testados. (a) Qual a probabilidade de que exatamente 5 dos itens testados sejam defeituosos? (b) Qual a probabilidade de que pelo menos um dos itens testados seja defeituoso?
Probabilidade Condicional Existem situações onde há interesse em conhecer a probabilidade da ocorrência de um evento A, sob a condição de ocorrência de um outro evento B . Situação: Em um estoque temos “chips” de três fornecedores, denominados por A, B e C . Sabe-se que neste estoque há “chips” que apresentam defeitos. Se um “chip” selecionado ao acaso é defeituoso, qual a probabilidade de ser do fornecedor A? D : ser defeituoso A : ser fornecido por A P (A “sob
a ocorrência de” D ) ≡ P (A|D )
Probabilidade Condicional Definição: A probabilidade condicional da ocorrência de A, dado que B tenha ocorrido, é dada por P (A ∩ B ) , P (A|B ) = P (B )
onde P (B ) > 0.
Observações: (a) Se A e B são m.e. ⇒ P (A|B ) = 0 (b) Esta definição satisfaz os axiomas da definição de probabilidade. Exercício: Mostrar que a definição de probabilidade condicional satisfaz os axiomas da definição de probabilidade.
Exemplo 1.4
Em um estoque há “chips” de três fornecedores, onde 50% são do fornecedor A, 30 % de B e 20% de C . Sabe-se que a porcentagem de defeituosos é 1,2% para A, 1,8% para B e 2,0% para C . Se um “chip” selecionado ao acaso for defeituoso, encontre a probabilidade de: (a) Ser do fornecedor A? (b) Ser do fornecedor C ?
Probabilidade Condicional Regra da Multiplicação: da definição de probabilidade condicional, temos os seguintes resultados: 1. Se A e B são eventos quaisquer P (A ∩ B ) = P (A|B )P (B )
ou P (A ∩ B ) = P (B |A)P (A)
2. Se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos quaisquer k
� P ( A ) = P (A )P (A |A ) i
i
=
1
2
1
...P (Ak |A1 ∩ A2 ...Ak −1 )
1
Exercício: Fazer a verificação destes resultados decorrentes da definição de
Exemplo 1.5
Considere que uma linha de produção temos um lote com 50 itens, dos quais 10 são defeituosos. Suponha, agora, que itens são selecionados ao acaso, um após o outro, para serem testados. (a) Se forem selecionados dois itens, qual a probabilidade de segundo ser bom? (b) Se forem selecionados três itens, qual a probabilidade de sair o primeiro defeituoso, o segundo bom e o terceiro bom?
Teorema da Probabilidade Total Sejam A1 , A2 , A3 , ..., Ak uma partição de S , i.é., eventos em S tais que Ai ∩ A j =
0 / , ∀i = ̸ j
∪k i 1 Ai = S . =
Sendo B um outro evento qualquer em S , então P (B ) = P {∪k i 1 (B ∩ Ai )} =
k
P (B ) =
∑ P (B |Ai )P (Ai ) i
1
=
A
probabilidade de qualquer evento pode ser especificada em termos da probabilidade dos eventos na partição.
Teorema de Bayes
Sendo A1 , A2 , A3 , ..., Ak uma partição e B um evento qualquer de S , pelo teorema da Probabilidade Total, temos que P (A j |B ) =
P (B |A j )P (A j ) k ∑i
1
=
P (B |Ai )P (Ai )
, j = 1, 2, ..., k .
Podemos
inverter as probabilidades condicionais para obter probabilidades para os eventos na partição do espaço amostral Exercício: Fazer a verificação do Teorema da Probabilidade Total e do Teorema de Bayes.
Exemplo 1.6
Um teste de laboratório é efetivo em 95% dos casos (detectar corretamente a doença) e apresenta “falso-positivo” em 1% dos casos (indicar falsamente a doença). Se em uma população, onde 5% das pessoas tem a doença, uma pessoa é selecionada ao acaso e submetida ao teste, (a) qual a probabilidade do resultado ser positivo? (b) qual a probabilidade da pessoa ter a doença se o teste for positivo?
Independência de Eventos
Temos situações em experimentos onde a ocorrência de um evento A não “afeta” a probabilidade da ocorrência de um outro evento B ⇒ “os resultados em B independem dos resultados em A”, P (A|B ) = P (A)
e P (B |A) = P (B ),
Formalmente, Definição: Dizemos que dois eventos A e B são independentes se, e somente se, P (A ∩ B ) = P (A)P (B ).
Independência de Eventos
Extensão: os eventos A1 , A2 , A3 , ..., Ak são ditos independentes (ou conjuntamente independentes ) se, ∀ m = 2, 3, ..., k , P (Ai ∩ Ai ∩ ... ∩ Ai m ) = P (Ai )P (Ai )...P (Ai m ) 1
2
1
2
i.é., são independentes “2 a 2”, “3 a 3”,....,“ k a k ”. Pela definição, se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos (conjuntamente) indepedentes, então temos que P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 )...P (Ak ).
Exemplo 1.7 Considere o experimento de lançar 10 vezes uma moeda (“honesta”). Defina os eventos: Ai : ocorre cara no i -ésimo lançamento , i = 1, 2, .., 10
(a) É razoável supor que os eventos A1 , A2 , ..., e A10 são conjuntamente independentes? (b) Qual a probabilidade de ocorrer dez caras? (c) Qual a probabilidade de ocorrer exatamente uma cara? Observação: Nas situações reais, a forma como os experimento são realizados é que define se podemos considerar os eventos como independentes ou não.
Exercício.
1. Considere uma urna com bolas numeradas por 1, 2, 3 e 4. Sendo uma bola selecionada ao acaso, considere os eventos: A = {1, 2},
B = {1, 3}
e C = {1, 4}.
Verifique se A, B e C são eventos conjuntamente independentes. 2. Sendo A e B eventos independentes em S , mostre que (a) A e B c são independentes. (b) Ac e B são independentes. (c) Ac e B c são independentes.
Exemplo 1.8 Amostras de produtos de dois fornecedores (Fornec.) são classificadas com relação a satisfazer ou não as especificações (S.Espec.). Os resultados de 126 amostras são os seguintes: Fornec. \ S.Espec. Sim Não 1 80 4 2 40 2 Sendo uma amostra selecionada ao acaso, defina: A : a amostra é do fornecedor 1 B : a amostra atende a especificação .
(a) A e B são independentes? (b) Ac e B são independentes?
