CONFIABILIDADE CONFIABILIDAD E ESTRUTURAL Prof. Luís Volnei Sudati Sagrilo (
[email protected] [email protected]))
Programa de Engenharia Civil
COPPE/UFRJ
OBJETIVO: - Fu Funç nçõe õess de Var Variá iáve veis is Al Alea eató tóri rias as;; - Tra Trans nsfo forma rmaçõ ções es pro proba babi bilí líst stic icas; as;
• CONFIABILIDADE ESTRUTURAL – Bibliografia
•
Ang, A.H-S. and Tang, W.H. - Probability Concepts in Engineering Planning and Design, Vol. I, John Willey and Sons, New York, 1975.
•
Ang, A.H-S. and Tang, W.H. - Probability Concepts in Engineering Planning and Design, Vol. II, John Willey and Sons, New York, 1984.
•
Kiureghian, A.D. and Liu, P.L. - Structural Reliability Under Incomplete Incomplete Probability Information, Journal of Engineering Mechanics (ASCE), Vol. 112, No.1, 1986.
•
Notas de aula.
Conceitos Básicos/Revisão
Funções de Variáveis Aleatórias
• F unções de Variáveis Aleatórias – Caso 1: Uma única variável • Y = g(X) • X V.A. com distribuição de probabilidades conhecida FX(x) • Qual é a distribuição de Y? • EXEMPLOS
Y
X
Y a bX cX Y
2
aX
•Através de algumas transformações matemáticas é possível obter analiticamente F (y).
• Funções de Variáveis Aleatórias
– Caso 2: + de 1 V.A. • Z = g(X1, X2, …, XN ) • X1, X2, …, XN V.A.s com distribuição conjunta conhecida FX(x) • Exemplo Z = R – S;
Z = F yW - M
• Qual é a distribuição de Z, i.e., FZ(z)? • Como regra geral, é muito díficil obter FZ(z) de forma analítica !!!
• Funções de Variáveis Aleatórias - Exemplos – Soma (ou dif.) de variáveis Normais (X e Y) Z XY
X N X , X
Y N Y , Y
– Z é também Normal Z N Z , Z Z X Y
2
2
2
Z X Y 2 X ,Y X Y
– Um dos raros casos em estatística que se sabe qual é a distribuição de uma variável que é função de outras variáveis aleatórias !!! – O resultado pode ser generalizado para a soma de várias variáveis normais.
• Funções de Variáveis Aleatórias - Exemplos – Soma (dif.) de variáveis Normais Z a0
Xi
a1X1 a 2 X 2
N X
i
a
N
X N
, Xi
– Z Normal Z N Z , Z N
N
Z a 0 a i Xi
a i a ji, j Xi X j
i 1
i 1 j1
– Cálculo de Probabilidades
z PZ z
N
2 Z
Z
i,i 1.0
• Funções de Variáveis Aleatórias - Exemplos – Soma de variáveis: pelo menos uma não Normal Z a0
a
X1 a 2 X 2
1
a
N
X N
– Média e Variância (Desvio Padrão) N
Z a 0 a i X i 1
N
i
N
a i a ji , jX X 2 Z
i
j
i ,i 1.0
i 1 j1
– Cálculo de probabilidades : não se sabe qual é a distribuição de probabilidades !!! – Funções não-lineares: mesmo com normais não se sabe qual a distribuição resultante !!!
Equivalência Estatística
• Equivalência Estatística – Transformação de Variáveis
FX x ,
FY y ,
Xx
y equivalent e a x ? PX x PY y FX x FY y y FY FX x 1
conhecidas
• Equivalência Estatística – Transformação de Variáveis – Exemplo Y=UN(0,1) e X
= TI(,u)
FY y y FX x exp exp x u FX x FY y y exp exp x u x
ln ln y
u
Dist. Uniforme
• Equivalência Estatística – Transformação de Variáveis – Exemplo V=N(0,1) e U = N(,)
v F v v
P V
V
u PU u FU u
u PV v
P U
FV v FU u v u
• Equivalência Estatística – Transformação de Rosemblatt
Equivalência envolvendo condicionadas
FV1 v1
FV2 v 2
FU1 u1 FU
U1
2
u
2
u1
FV N v N
FU
N
U1 , U 2 ,, U N
1
u
N
u1 , u 2 , , u N
1
Demonstra-se que V1, V2, ..., VN são estatisticamente independentes!
FV1 , V2 ,, V N v1 , v 2 , , v N
FV1 v1 FV2 v 2 FV N v N
• Equivalência Estatística – Transformação de Rosemblatt Caso Particular de Variáveis U e V Normais (V arbitrariamente Normais Padrão) FU ,U u1 , u 2 FU u1 FU U u 2 u1 1
2
1
2
1
u1 1 1
FU1 u1
FU
2
U1
u 2 2 2 u1 1 1 u 2 u1 2 1 2
Rosemblatt V1 e V2 estatisticamente independentes u u v F u v u u u u v F u u v 1 1 1
1
U1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
U 2 U1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
• Equivalência Estatística – Transformação de Rosemblatt Caso Particular de Variáveis U e V Normais (V arbitrariamente Normais Padrão) u u 1 0 v 1 v u u u 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
u v v Γ u 1
1
1
1
2
2
2
2
1 Γ L 1 1 LL ρ 1 1
2
T
L – matriz obtida na decomposição de Cholesky sobre a matriz de correlações!
1 0 1
2
Obs.: Formulação também é válida para N variáveis normais correlacionadas
• Transformada de Nataf Variáveis: U quaisquer e correlacionadas, S normais padrão correlacionadas V normais padrão não correlacionadas s1 FU u1 s1 1 FU u1 s F u s 1 F u U 2 2 U 2 2 1
1
2
2
s1 0; s 2 0; s1 1 e s 2 1
por definição
Rosemblatt para normais correlacionadas NATAF
s1 s1 1 s FU u1 s v1 1 1 Γ Γ Γ 1 v s s s F u 2 2 U 2 2 2 s 2 Transformada de NATAF – Fórmula Geral para N variáveis 1
2
1 FU u1 v1 V Γ 1 F u v 1
Transforma variáveis quaisquer, correlacionadas ou não, para normais padrão estatisticamente independentes!
• Transformada de Nataf – correlação equivalente Variáveis: U quaisquer e correlacionadas, S normais padrão correlacionadas V normais padrão não correlacionadas
ρu
1 u matriz u 1
1 s ρs matriz s 1 s Fu
de correlação original
de correlação das variáveis S1 e S2
F paper Liu and Kiureghian , 1989.
Usualmente F 1.0 e na prática :
ρs
ρu
FIM
• F unções de Variáveis Aleatórias – EXEMPLO 1 Y
X
1 x 1 1 X N , ; fX x exp 2 2 2
;
X y PX y
PY y P
FY y
x dFX y dx dFy y fX y FY y FX y ; fY y
dy
dx
dy
1 y 1 1 1 2 fY y 1 exp fY y exp y N0 ,1 2 2 2 2 2
1 1 exp y 2 dy Tabelada em livros 2 2 x x P X x P Y x P Y y
FY y y
X : Variável Normal Y : Variável Normal Reduzida
Distribuição Normal Padrão N (0,1)
P(Y-y)= Φ(-y) Φ(-y) → Tabelas do final de livros de estatística
• F unções de Variáveis Aleatórias •
EXERCÍCIO Se
Y X2
e f X x N0,1 x
obtenha
FY y e f Y y
1 2
exp
1 2
x2
• Distribuição Conjunta de Probabilidades – Exemplo de distribuição conjunta Normal conjunta f XY x, y
1 2X Y
1 exp 21 1 2
x X y Y 2x X y Y X Y X Y 2
2
2
Caso = 0.0 1 x y X Y f XY x, y exp 2X Y 2 X Y 1
2
2
f X x f Y y
Obs.: Esta distribuição pode ser generalizada para N variáveis, desde que sejam dadas as correlações entre cada par de variáveis (Melchers, 1987).
• Distribuição Conjunta de Probabilidades – Normal conjunta f XY x, y f X x f Y X y x
2 1 1 x X f X x exp 2 X 2X
2 (x) 1 y Y Y / X x X 1 f Y X y x exp 2 2 2 Y 1 2 Y 1 2 1 1 y Y x f Y X y x exp Pode ser 2 Y ( x ) estendida para 2 Y x Y
Y (x)
N variáveis…
Y x Y Y / X x X Y (x) Y
1 2
• Distribuição Conjunta de Probabilidades – Normal conjunta (Cumulativa) FXY x, y FX x
FX x FY X y x 2 x X 1 1 x X exp dx 2 X 2X X
x
FY X y x
y
2 y Y x 1 1 y x Y exp dy 2 Y x 2 Y ( x ) Y x
Y x Y Y / X x X Y (x) Y
1 2
Distribuição Normal Padrão N (0,1)
Pf = Φ(-β) Φ(-β) → Tabelas do final de livros de estatística Φ-1(pf) = - β Transformada
Inversa (.) → pdf da normal padrão
