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MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 3 PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.

 Aula 3  Análise Combinatória Combina tória e Teorema eorema Binomial Binomial

Conteúdo ·Conceitos

de

Permutações,

Arranjos

e

Combinações. ·Teorema Binomial utilizando os coeficientes binomiais. ·O Triânulo de Pascal como uma ferramenta adicional facilitadora da utilizaç!o do Teorema Binomial.

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"ntroduç!o

 Análise combinatória

P#OB$%&A' (% CO)TA*%&

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Princ+io -undamental da Contaem

Exemplo: Exemplo Um número de telefone é uma se!"ncia de # d$%itos& mas o primeiro d$%ito de'e ser diferente de ( ou )* +uantos números de telefone distintos existem,

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Princ+io -undamental da Contaem

ara cada d$%ito temos a possibilidade de )( números& com exce./o do )0& onde só poder/o existir # números: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 #*)(*)(*)( 2 )(*)(*)(*)(  Assim: #* )(***)(  #*)(4 4 'e5es

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Princ+io -undamental da Contaem

6e um determinado e'ento ocorre em 'árias etapas sucessi'as e independentes& onde: ) é o número de possibilidades de ocorrer a )7 etapa& 8 o número de possibilidades de ocorrer a 87 etapa& 3 o número de possibilidades de ocorrer a 37 etapa&  3 n o número de possibilidades de ocorrer a n-ésima etapa  n

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Princ+io -undamental da Contaem

9 número total de possibilidades de ocorrer esse e'ento é dado por   ) * 8 *3 *  * n

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A##A)O '"&P$%'

;ado um con# posi.Kes? as pe.as brancas >8 torres& 8 ca'alos& 8 bispos& a rain=a e o rei?,

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P%#&6TA78O CO& %$%&%)TO' #%P%T"(O'

# posi.Kes no total Iepeti.Kes: 8 torres& 8 ca'alos& 8 bispos

( 2, 2, 2) 8

 P 



8! 2!2!2!



8.7.6.5.4.3.2 2.2.2

 5040

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CO&B")A78O '"&P$%'

Combina./o simples é uma ferramenta combinatória utili5ada uando dese C(s

 9  C 9,5     5  C 9,5 

C 9 ,5 

ruo de  C(s

9! 5!(9  5)! 9! 5!4!



9.8.7.6.5! 5!4.3.2.1.

 126maneiras

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Coeficientes Binomiais

;ados dois números naturais& n e  p& com n X p& definimos o coeficiente binomial n sobre p& e indicamos por:

  n       p 

ou

C n , p 

n!  p!( n   p )!

onde n D dito numerador e p c0amado denominador *

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Triânulo de Pascal

9 triYn%ulo de ascal é uma seu"ncia de números binomiais& isto é& inteiros da forma C>n& p?& dispostos em uma tabela em forma de triYn%ulo& como na fi%ura abaixo: $in0a 2 $in0a 5 $in0a < $in0a ; $in0a = $in0a >

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Triânulo de Pascal

Oúmeros binomiais em de tabela:  A Zlin=a n[ desta tabela será formada pelos inteiros C>n&p?& onde p 'aria de ( até n* N $in0a 2& formada apenas pelo C >(&(?  )* N $in0a =: C E=,2F C E=,5F C E=, ? 5

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Triânulo de Pascal

ropriedade: Em uma mesma lin=a& os coeficientes binomiais euidistantes dos extremos s/o i%uais*  Aplicando a fórmula de combina./o para a lin=a @& por exemplo:  5   5   5         0   1   2 

 5     3 

 5     4 

 5     5 













)

@

)(

)(

@

)

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Triânulo de Pascal  5   5   5         0   1   2 

 5     3 

 5     4 

 5     5 













)

@

)(

)(

@

)

Esses coeficientes binomiais s/o complementares e& portanto& i%uaisJ

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 A partir da lin=a )& a cada elemento x& com exce./o do primeiro e último& é i%ual \ soma dos dois elementos da cima de anterior: 5 5

5 5

>

5

5

<

5

5

;

;

5

=

?

=

5

52

52

>

5

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Essa propriedade é con=ecida como Relação de Stifel  e pode ser %enerali5ada por:   n    n  1    n  1            p     p     p  1 

Exemplo:

& nXp

 10  10! 10.9.8! 90    45   2   8   8!2! 8!2.1

 9  9! 9.8.7! 72    36    7  7!2! 7!2.1 2

H 4 =>

 9  9! 9.8!  9    8  8!1! 8!

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Teorema Binomial

9 teorema binomial fornece uma fórmula para a pot"ncia de um bin]mio& isto é& uma fórmula ue permite calcular diretamente uma express/o do tipo Ea H bFn& onde n é um inteiro positi'o* ara n  (  >a ^ b?(  ) ara n  )  >a ^ b?)  a ^ b ara n  8  >a ^ b?8  a8 ^ 8ab ^ b8 ara n  3  >a ^ b?3  a3 ^ 3 a3b ^ 3ab3 ^ b3 ara n    >a ^ b?  > a ^ b?3 >a ^ b?  a ^ a3 b ^ a8b8 ^ ab3 ^ b

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Teorema Binomial

 _ medida ue o expoente n aumenta& o desen'ol'imento do bin]mio >a+b?n  fica mais complexo& podendo ser obtido multiplicando-se o desen'ol'imento anterior& > a+ b?n-) & por >a ^ b?& isto é: >a + b?n  >a + b?n-) * >a + b? Exemplo: ara n    >a ^ b?  > a ^ b?3 >a ^ b?

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Teorema Binomial

9s coeficientes de >a^b?n s/o os inteiros ue formam a lin=a n do triYn%ulo de ascal& ue s/o os números binomiais C>n&p?* >a ^ b?(  ) >a ^ b?)  )a ^ )b >a ^ b?8  )a8 ^ 8ab ^ )b8 >a ^ b?3  )a3 ^ 3 a3b ^ 3ab3 ^ )b3 >a ^ b?  > a ^ b? 3>a ^ b?  )a ^ a3 b ^ a8b8 ^ ab3 ^ )b

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Teorema Binomial

>a ^ b?(  ) >a ^ b?)  )a ^ )b >a ^ b?8  )a8 ^ 8ab ^ )b8 >a ^ b?3  )a3 ^ 3 a3b ^ 3ab3 ^ )b3 >a ^ b?  )a ^ a3 b ^ a8b8 ^ ab3 ^ )b

5 5 5 5 < 5 5 ; ; 5 5 = ? = 5

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Teorema Binomial

órmula do teorema binomial:

 n  n k  k  (a  b)    .a .b k  o  k   n

n

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Teorema Binomial

Exemplo: Ea H bF> 4 I

N Aplicando a fórmula:

 n  n  k  k  (a  b)    .a .b k  o  k   n

n

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- )0 termo:   5 .a  .b  )*a@*)  a@  0    

5 0

0

- 80 termo:

 5  51 1  .a .b  1 

- 30 termo:

 5  52 2   .a .b  2 

- 0 termo: - @0 termo: - 0 termo:

 5  53 3  .a .b  3 

 @*a*b )(*a3*b8

 n  n k  k  (a  b)    .a .b k  o  k   n

n

 )(*a8*b3

 5  54 4  .a .b   4   5  55 5  .a .b  5  

@*a)*b @*a(*b@  @b@

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N Iesultado: Ea H bF> 4 a> H >.a=.b H 52.a;.bb>

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NExemplo:

(esenJolJer

E;KH3x?3*8 ^ *>3x?8*88 ^ *>3x?)*83 ^ )*>3x?(*8  #)x ^ *>84x?3*8 ^ *>Vx?8* ^ *>3x?)*# ^ )*>3x?(*)  5K= H