Aula Remota - IC281 06-07-2021
November 13, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Introdução a Bioestatística Aula remota (01/06/2021) ● Estatística - é a ciência que tem por objetivo coletar dados, tabular, analisar e
interpretar informações e delas extrair conclusões válidas para a tomar decisões. ● Estatística descritiva- ramo da estatística que aplica várias técnicas (baseada
na matemática) para descrever e sumarizar um conjunto de dados. ● Estatística inferencial- aplica várias técnicas (baseada na matemática), a partir
de uma amostra, para tirar conclusões sobre uma população. ● Bioestatística - aplicação da estatística nos campos relacionados a Saúde, Biologia, Biotecnologia, entre outros. ● População-conjunto de quaisquer elementos (valores, pessoas, objetos, etc...
.). ● Amostra- é um subconjunto de uma população. ● Amostra aleatória- os elementos da população são escolhidos de tal forma
que cada um deles tenha igual chance de fazer parte da amostra. ● Amostra Aleatória Simples de n elementos – escolhe-se, de maneira que toda
a amostra de tamanho n possível tenha a mesma chance de ser escolhida. ● Média aritmética, variância e desvio padrão.
çã çã: : 3 çã çã ; ; 3 ∑ ++ ++ 2 ∑ ++ ++ 2
Ex: 1,2, e 3; Média: Média:
=
(População);
=
(Amostra).
Variância: média das distâncias de cada valor da série em relação à média do grupo.
Variância:
∑−− − − 0,67; − +− −+− ∑−− √ 0,0,67 =
=0,82.
Desvio padrão: Notação
∑−− ∑ µ ∑ ) ( ∑ − ∑ − − − .
Variância populacional: Variância Amostral:
;
Desvio padrão: raiz quadrada da variância.
∑ ∑ − − µ ; ∑ ∑ − ∑ − − −
Desvio Padrão Populacional:
Desvio Padrão Amostral:
.
Exercício de interpretação 1: Interpretar os resultados da pressão arterial sistólica e diastólica de 2 de dois grupos de atletas (A e B) após uma mesma prova de esforço.
A: médias 12/8 e variâncias: 0,005/0,004 B: médias 12/8 e variâncias: 17,08/ 15,09 Exercício 2: Determinar o peso médio, a variância e o desvio padrão de uma amostra aleatória de 10 recém-nascidos, em uma maternidade. Pesos em quilogramas, como mostrado a seguir:
3,95 3,30 4,40 3,78 3,45 3,88 4,36 3,85 3,75 3 ,75 4,18
∑ +++++ ++++ ,+,+,+,+,+, +,+,+,+, 3,89
=
Média:
(∑ ) ∑ − − ∑ −−
, ,−
0,13
∑ ∑−− ∑ −−
S=
, , , − 0,36
Usando o BioEstat: Abrir BioEstat ►Planilha (Dados (Dados ►inserir os dados por por coluna coluna
usando o ponto no lugar da vírgula-marcar dados) dados ) ► clicar em Estatísticas ►clicar em Estatística Descritiva ►clicar em Dados Quantitativos Quantitativos ►Abre quadroem(Seleção de amostra para estatísticas DescritivasDescritivas-Colunas Colunas disponíveis ►Ab 1 #1) re ►clicar >> ►clicar em Executar Estatística (abre (abre quadro com as Estatísticas) ►Editar ►Copiar resultados. -1Tamanho da amostra = 10 Mínimo
3.3000
Máximo
4.4000
Amplitude Total
1.1000
Mediana 3.8650 Primeiro Quartil (25%) 3.7575 Terceiro Quartil (75%)
4.1225
Desvio Interquartílico
0.3650
Média Aritmética 3.8900 Variância
0.1271
Desvio Padrão
0.3565
Erro Padrão 0.1127 Coeficiente de Variação 9.16% Assimetria (g1)
-0.1031
Curtose (g2) -0.5189 Média Harmônica =
3.8601
N (média harmônica) = 10 Média Geométrica =
3.8751
N (média geométrica) = 10
Variância (geom.) =
1.0037
Desvio Padrão (geom.) = 1.0970 Exercício 3: Dado o seguinte conjunto de tempos de reação (em segundos) de seis indivíduos a um estímulo, 4 2 3 3 6 3. Calcular a média, mediana, moda, a variância e o desvio padrão. Aula remota (08/06/2021) ●Estudo observacional- verificamos e medimos características específicas, não
tentamos modificar os elementos a serem estudados. Ex 1: Local da floresta onde os pássaros se alimentam. Estação do ano Primavera Outono
Árvores
Arbusto
Chão
Total
30 13
20 22
9 26
59 61
Total
43
42
35
120
Perguntas: Dado que estamos na primavera, qual a proporção dos que se alimentam no chão? Dado que os pássaros se alimentam no arbusto, qual a proporção na primavera? ●Estudo experimental- aplicamos determinado tratamento e passamos, então
a observar seus efeitos sobre a variável dos elementos a serem estudados. Ex2: Comparação da eficácia de 4 variedades (tratamentos) de um medicamento A 31 23 22 45 49
B 24 19 42 33 33
C 59 74 43 42 57
D 54 46 61 37 52
Perguntas: Neste caso, quais são as unidades amostrais? Quais seriam algumas variáveis de interesse? i nteresse?
● Tipos de variáveis
Qualitativa (classificaçãocategorica) Nominal: sexo, estado civil, tipo sanguíneo, etc... .
Ordinal: nível de
Quantitativa (númerica)
Discreta: número de pessoas doentes, número de filhos, nºde pessoas que usam ortodôntico, etc... . Contínua: peso de uma
pessoa, estatura, idade, escolaridade, intensidade do exercício etc,... . físico, estágio de uma doença, etc.. . ● Tabulação:
Variável qualitativa: Distribuição do sexo com relação ao habito de fumar Sexo
Fumantes
Não fumantes
Masculino 60 (40%) (60%) 40 (60%) (40%) Feminino 40 60 Total 100 100 Tipo de gráficos: colunas, barras e setores.
Ex-fumantes
Total
50 (50%) (50%) 50 100
150 (50%) (50%) 150 300
Perguntas: Considerando o grupo Masculino, qual o percentual de não fumantes? Qual o percentual de fumantes do sexo Feminino? Exercício 1: Construir gráficos para representar a tabela de dupla entrada acima.
Variável quantitativa discreta: Nº de filhos por família famíli a em 25 domicílios de certa localidade Nº de Filhos 0 1 2
Frequência (ni) 1 4 10
fi 0,04 0,16 0,40
3 4 5 Total
6 2 2 25
0,24 0,08 0,08 1,00
Exercício 2: Construir o gráfico em barras. Sugestão: Use o Bioestat.
Variável quantitativa contínua: Distribuição de frequência das alturas, expressas, em centímetros, de 30 atletas do sexo masculino de uma Universidade. Classe(cm) 162 a 167 167 a 172 172 a 177 177 a 182 182 a 187
xi 164,5 169,5 174,5 179,5 185,5
ni 4 9 8 6 3
fi 0,13 0,30 0,27 0,20 0,10
Ni 4 13 21 27 30
Fi 0,13 0,43 0,70 0,90 1,00
● xi é o ponto médio da i -ésima classe; é a média dos pontos extremos da classe; ● n é quantidade total de observações; ● ni é a quantidade de observações, ou frequência, da i -ésima classe ( que se
supõe concentrada no respectivo ponto médio); ● fi é a frequência relativa da classe, obtida dividindo-se ni por n;
● Ni é a frequência acumulada até a i -ésima classe, e indica a quantidade de
observações inferiores ao limite superior da classe; é obtida somando-se os valores das frequências observadas; ● Fi é a frequência relativa acumulada, obtida dividindo -se Ni pelo total de
observações. Histograma e polígono de frequência: é um conjunto de retângulos com bases sobre um eixo dividido de acordo com os tamanhos de classe, centros nos pontos médios Exercício 3: Construir o Histograma das alturas em centímetros.
168 172 170 181 169 173 164 175 182 177 176 173 170 186 183 170 168 166 169 180 175 164 181 179 172 169 174 171 178 166 Procedimento: Calcular a amplitude total: diferença entre o maior e o menor valor; dividi-la pelo nº de classes (neste caso, escolher entre 5 e 10 classes); o valor encontrado será o comprimento da classe, o qual deverá ser somado ao limite inferior da série para construção da 1ª classe, e assim por diante. Então, a 1ª classe se inicia no limite inferior até o valor encontrado após a soma acima, exclusive. Sugiro, também, a construção deste histograma pelo Bioestat: clicar em gráficos e histograma. Usando o BioEstat:
(Dados ►inserir os dados dados por coluna-marcar coluna-marcar dados) ► clicar Abrir BioEstat ►Planilha (Dados dados) ► clicar em Gráficos ►clicar em Histograma ► Seleção de amostras para gráfico Histograma ( colunas disponíveis=1) ► ► clicar >> ► clicar ► clicar em Executar Estatística (os dados estão distribuídos dist ribuídos em intervalos de classe ►Não) ►Aparece um quadro: Especificação das classes preencha e clique em confirmar ) ►Histograma aparece ► ► clicar em Editar ►Copiar (metafile).
Medidas associadas a variáveis quantitativas e gráfico Box Plot Percentis- divide uma série de dados em 100 grupos (1% cada grupo). Posição (ordem) do percentil de ordem Ex: 1 2 3 4 5 ►
×0, 5
º
é
►
50 L 4,3100100 ×50,53 5025.×50,53 3 50 50 ; íí 1,7755 2255 1º ;;50 2º ;; 75 3º 1,5 ; 1,5 . < 1,5 ; 1,5
OBS:
Limites de discrepância:
Valores discrepantes ou outliers:
25%
25% 1º Q
25%
mediana
25% 3º Q
Diagrama em caixas (Box Plot): Ex 1: 1 2 3 4 5 Abrir BioEstat ►Planilha (Dados ►inserir os dados por coluna-marcar coluna-marcar dados) dados) ►clicar
em Gráficos ►clicar em em Box-Plot: Box-Plot: mediana e quartis ou média e desvios ►Seleção de amostras para gráfico Box-Plot (colunas disponíveis=1) ►clicar >> ►clicar em Executar Estatística ► Gráfico Box-Plot aparece ►clicar em Editar ►Copiar (metafile).
Para revelar tendências centrais, dispersão, tipo de distribuição e a presença de outliers (valores extremos).
Exercício 4: Usando o Box Plot comparar a eficácia das 4 variedades (tratamentos) Ex 2. Calcular a variância entre médias (MSR) e a variância total (MSE). Calcula F=MSR/MSE.
Comentar: Assimetria:
̅̅ > ► clicar em Executar estatística ►Abre quadro: Teste de Contingência C ►clicar em Editar ►Copiar Resultados. Resultados. Resultados: 80
120 100
90
130 80
Resultados: Tabela de Contingência = Qui-quadrado =
3x2
3.2105
Coef. de Contingência C = Graus de liberdade =
0.0730
2
(p) = 0.2008
Exercício 2: Foi feito um estudo multicêntrico para testar o efeito de um antihipertensivo sobre a probabilidade de derrame recorrente. Um pesquisador suspeita de que os tratamentos coadjuvantes diferentes ministrados nos diversos centros, embora permitidos no protocolo, podem ter efeito sobre o risco de derrame recorrente. Calcule e interprete o coeficiente de contingência . Os dados estão apresentados no quadro abaixo:
Derrame recorrente Sim Não 16 179 12 70 21 78 12 54 61 381
Centro A B C D Total
Total 195 82 99 66 442
Exercício 3: Calcule e interprete o coeficiente de contingência em relação ao sexo e o hábito de fumar. Os dados estão apresentados no quadro abaixo:
Sexo
Fumantes
Masculino Feminino Total
60 40 100
Não fumantes 40 60 100
Ex-fumantes 50 50 100
Total 150 150 300
Exercício 4: Distribuição de portadores de prótese dupla segundo o grupo de renda, em salários mínimos (SM) e disfunção craniomandibular.
Disfunção craniomandibular Grupo de renda
Nula
Leve
Menos de 5 SM DE 5 a 10 SM Mais de 10 SM
19 21 25
21 24 21
Moderada severa 10 5 2
9,49 , á ã .
Caso compare com o coeficiente .
e
Calcule e
Aula remota 17/06/2021
Alguns conceitos de probabilidade Experimento Aleatório- apresenta mais de um resultado possível.
EX 1: O nº de pessoas diagnosticados positivamente, em um município, após o teste de Covid-19 “RT “RT--PCR” PCR” (seleção, (seleção, p.ex, de 10 funcionários); EX 2: O nº de pacientes atendidos na emergência de um centro de traumatologia (máx. de 24 pacientes); EX 3: As espécies de aves que são capturadas numa rede de uma floresta nativa; EX 4: Face, voltada para cima, no lançamento de uma moeda 3 vezes. Espaço amostral (S) - conjunto dos resultados possíveis de um
experimento aleatório. EX 1: S=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10);
EX4:S=(ca,ca,ca; ca,ca,co; ca,co,ca; co,ca,ca; ca,co,co; co,ca,co; co,co,ca; co,co,co). ca=cara; co=coroa Evento A,B... .) - subconjunto de um espaço amostral.
EX 1: A=(2,5,9 ); EX 2: B= (0,10, 23). Obs- se o resultado é um elemento de A, dizemos que o evento A
ocorre. Eventos mutuamente exclusivos ou excludentes- não podem
ocorrer mesmo tempo.
OBS 1: Complementar de A= A) + P (B) = P (S ) = 1 A e B são complementares se P ( A Conceito de probabilidade - é um nº P € [ 0, 1], 1], associado a ocorrência de um evento.
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; ii) P(S)= 1; iii) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos ou excludentes, isto é, A∩B=Ǿ, então P(AUB)= P(A) + P(B). Obtenção da probabilidade:
º º define-se
Conceito clássico- P(A)= joga-se uma moeda equilibrada, S=(cara,coroa) P(A)= .
⇒
Conceito
frequência
º ê º çõõ
; EX: A=(cara),daí
ou empíricoP(A)= ; Considerando o EX acima, joga-se
a moeda várias vezes e observa-se o nº de caras, daí P(A)= ..
º º .
Lei dos grandes números- se repetimos um experimento um grande
nº de vezes, a probabilidade pela frequência relativa (conceito frequência) de um evento tende para a probabilidade prob abilidade teórica (conceito clássico). Ex 1: Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser atingida por um raio este ano na região R.
Solução: O espaço amostral consiste nestes dois eventos simples: A pessoa escolhida é atingida (A) ou não (B). Estes eventos não são igualmente prováveis. Porém, sabemos que em um ano recente, 10 pessoas foram atingidas por um raio nesta região. Considerando que a população da região é de 150.000
. 0,00006666
pessoas, temos que: P(A)=
( conceito frequencial ou empírico)
Ex 2: Em um teste uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas possíveis. Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada?
clássico) S=( a, b, c, d, f), então P(resposta errada)= ( conceito clássico) Exercício 1: Uma companhia de seguros estudou as causas de morte por acidente doméstico e compilou um arquivo que consistia em 160 mortes
causadas por quedas, 120 mortes causadas por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras. Selecione aleatoriamente um desses casos, qual é a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento? Exercício 2: Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha exatamente 2 meninos. Suponha que as probabilidades de menino e menina sejam as mesmas, e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra. Exercício 3: Ao escolher entre diversos fornecedores de equipamentos biomédicos, um comprador deseja saber a probabilidade de um equipamento
falhar durante os dois primeiros anos. Qual conceito você usaria para obter esta probabilidade? Explique.
Exercício 4: Em uma pesquisa entre pessoas de um município que tomaram a 1ª a dose da vacina contra a covid 19, 1162 afirmaram que tiveram sintomas, enquanto 2648 afirmaram que não tiveram. Selecionada aleatoriamente uma dessas pessoas, determine a probabilidade de ele ou ela el a ter tido sintomas. Exercício 5: Uma pesquisa originou os dados amostrais do quadro a seguir:
Escovadas por dia Número 1
228
2
672
3
240
Selecionado aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de obter alguém que escove os dentes três vezes por dia, conforme recomendam os dentistas? Exercício 6: Um casal planeja ter 3 filhos.
a. Relacione os 8 resultados distintos possíveis de acordo com o sexo de cada criança. Suponha que estes resultados sejam igualmente prováveis. b. Determine a probabilidade de serem todas meninas. c. Determine a probabilidade de haver ao menos uma criança de cada sexo. d. Determine a probabilidade de exatamente 2 crianças de cada sexo. Exercício 7: Ambos os pais têm o par de genes castanho/azul da cor dos olhos, e cada um deles contribui com um gene para um filho. Suponha que se o filho
tem ao menos um gene castanho, essa cor dominara e os olhos serão castanhos. a. Relacione os diferentes resultados possíveis, supondo-os igualmente prováveis. b. Qual a probabilidade de o filho ter olhos castanhos? Exercício 8: Admitindo que a probabilidade de uma criança ser menino (H) é 0,50. Determinar a probabilidade de uma família de seis filhos ter:
a) Ao menos um H b) Ao menos um Mulher (M)
Regra da Adição
P (A ou B) = P (ocorrência de A, ou B, ou ambos)
∩
∩
P(AUB)= P(A)+P(B) – P(A B)
P(A B) P(A)
P(B) Ss AA
Definição: Os eventos A e B dizem-se mutuamente excludentes ou exclusivos se não podem ocorrer simultaneamente. P(AUB)= P(A)+P(B)
P(A) P(B)
Exercício 1: Se um dos 2072 indivíduos do quadro abaixo é escolhido aleatoriamente. Ex 1:Teste de Seldane Sintoma
Seldane
Placebo 49
Grupo de controle 24
Dor de cabeça Não-dor de
49
cabeça Total
Total 122
732
616
602
1950
781
665
626
2072
Determine as seguintes probabilidades: a. De ser obter alguém que fez uso de um placebo ou estava no grupo de controle.
0,623 0
P (placebo ou controle) =
b. De ser obter alguém que fez uso de um placebo e estava no grupo de controle. P(Placebo e controle)=
c. De ser obter alguém que tenha usado seldane ou estava no grupo de controle. P(seldane U grupo de controle)= P(seldane=A)+P(grupo de controle=B)-
∩ + 0679 P(sedane=A
grupo de controle=B)= P(AUB)= P(A)+P(B)=
Exercício 1:
a) De ser obter alguém que tenha usado Seldane ou que não teve dor de cabeça b) Dado que o indivíduo usou Seldane, qual a probabilidade de ter tido dor de cabeça?
https://www.passeidireto.com/arquivo/29450357/estatistica-aplicada-aoturismo turismo Aula remota 22/06/2021)
Probabilidade condicionalA BBB
P(A/B)=
> ∩
B
Ex 1:Teste de Seldane
Sintoma
Seldane (B)
Placebo (C) 49
Grupo de controle 24
Dor de cabeça (A)
49
Não-dor cabeça de Total
732
Total 122
616
602
1950
∩ 0, 4 412 1 2 41 41, , 2 % ; P(A/B) = ∩ 0,063; P(C/A) = 781
665
626
2072
Calcular: a) P(AUB)=P(A)+P(B) - P(A∩B) =
Exercício 1: Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão arterial de acordo com as proporções do quadro a seguir:
Pressão/Peso Excesso Normal (D) Deficiente Total (C) (E) Alta (A) 100 8 2 110 Normal (B) 150 54 20 224 Total 250 62 22 334 a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta (A), dado que tem peso Normal (D). b) Se se verifica que a pessoa escolhida tem t em excesso de peso (C), qual a probabilidade de ela ter também pressão alta (A)? c) Calcular: P(E/B); P(C/B); P(E/A). Eventos independentes: Sejam A e B eventos de S. Intuitivamente,
∩ A e B são independentes, daí /
►
;
/ ∩B∩∩ . ∩ A . . ►
Exercício 1: Uma família deseja ter 2 filhos. A probabilidade de
nascer Homem ou Mulher em cada nascimento é igual . Qual a probabilidade de nascer Homem no segundo nascimento dado que nasceu mulher no primeiro. Então temos os eventos: M=(nasceu mulher no primeiro nascimento); H (nascer homem no segundo nascimento) ►
∩ / H ∩ M . ►
x
Exercício 2: Calcular Sejam Ap econsiderando B eventos Ataise B:que P(A)=0,2, P(B)=p e P(AUB)= 0,6.
a) Mutuamente exclusivos; P(AUB)= P(A) + P(B) 0,6 = 0,2 + p p= 0,4 b) Independentes. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A).P(B) 0,6 = 0,2 + p - 0,2p P=0,5.
⇒
⇒
⇒
⇒
Exercício 3: Uma empresa de consultoria participa de duas
concorrências para realizar estudos de impacto ambiental. A probabilidade de vencer a primeira concorrência é de 50% e de vencer a segunda é de 70%, enquanto que a probabilidade de vencer ambas concorrências é 40%. A= (vence a 1ª concorrência); B=(vence a 2ª concorrência) C=(vence ambas as concorrências). Qual a probabilidade de vencer a segunda concorrência dado d ado que ela venceu a primeira? P(B/A) = = = =0,8
∩ ∩ ,
OBS: A e B são eventos independentes se P(A∩B) = P(A). P(B) P(B) Exercício 4: Verifique a associação dos eventos CEGO (C) e SURDO
(S), de acordo com as probabilidades do quadro abaixo: CEGO/SURDO 0,0004 0,0796 0,0046 0,9154 Total 0,0050 0,9950 Calcule: P(S/C); P(C/S) e conclua.
̅
Toial 0,0800 0,9200 1,0000
̅
Aula remota 24/06/2021)
Teorema de Bayes- Partição de um espaço amostral S (i=1,2,3,4)
se: Ai∩Aj=Ǿ, B é um evento arbitrário. arbitrário. A4
B
A1
A3
A2
B= A1∩B U A2∩B U U A3∩B U A4∩B; A4∩B; P(B)= P(A1∩B) + P (A2∩B) + P(A3∩B) + P(A4∩B); P(A4∩B);
∩ P(B/A1)= ► P(A1∩B)=P(A1).P(B/A1); P(A1∩B)=P(A1).P(B/A1); ∩ P. P / P(A1/B)= = ∑ Pi.P/i .
Sejam A1, A2,............,An eventos que formam uma partição de S. Seja B contido em S. Sejam conhecidas P(Ai) e P(B/Ai), i=1,.....n. Então:
./ j=1,......,n ∑ . / Em uma indústria farmacêutica 3 laboratórios 1, L2 e L3 produzem / 30%, 45% e 25%, dos medicamentos, medicamen tos, respectivamente. =
Exercício 1:
,
L
Sabe-se por experiências anteriores, que 2%, 3% e 2% dos medicamentos feitos por cada laboratório estão, respectivamente, fora das especificações. Suponha que um medicamento, já acabado, seja selecionado aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de que tal medicamento esteja fora da especificação? b) Qual a probabilidade de que tenha sido produzido pelo laboratório L1, dado que está fora da especificação? B=FE=(o medicamento está fora da especificação); A1=L1( o medicamento é proveniente do laboratório 1), A2=L2 (idem laboratório 2), A3 = L3 (idem laboratório 3). L1
FE L2
L3
FE= L1∩ L1∩FE FE U L2∩ L2∩FE FE U L3∩ L3∩FE; FE; P(FE)= P(L1∩ P(L1∩FE) FE) + P (L2∩ (L2∩FE) FE) + P(L3∩ P(L3∩FE); FE); P(FE/L1) =
∩ ∩ ► P(L1∩FE)=P(L1).P(FE/L1);
∩ P(FE/L2) = ► P(L2 P(L2∩FE)=P(L ∩FE)=P(L2).P(FE/L2); 2).P(FE/L2); ∩ P(FE/L3) = ► P(L3 P(L3∩FE)=P(L ∩FE)=P(L3).P(FE/L3). 3).P(FE/L3).
P(FE)= P(L1). P(FE/L1) + P(L2). P(FE/L2) + P(L3). P(FE/L3) a) P(FE)= (0,30 x 0,02 + 0,45 x 0,03 + 0,25 x 0,02) = 0,02450. b) P(L1/FE) = =
∩FE , × , , 0,24490
Exercício 2: Suponha um teste para Covid em que 95% dos que têm
o mal reagem positivamente, enquanto 3% dos que não têm o mal reagem positivamente. Suponha ainda que 2% dos hospedes de um hotel Covid.positivamente Qual a probabilidade escolhido ao acaso,tenham e que reaja ao teste,deterum de doente fato o mal? Exercício 3: Em uma localidade, 8% dos adultos de mais de 50 anos
têm diabetes. Se um médico local diagnostica diagnostica corretamente 95% das pessoas que tem a doença, e diagnostica erroneamente 2% dos que não a têm, qual a probabilidade de um adulto de mais de 50 anos diagnosticado como portador da doença, ter de fato o mal? Aula remota 24/06/2021)
●Variável aleatória X É uma função que associa a cada, elemento de um espaço amostral um número real. EX1: Escolhe-se aleatoriamente três nascituros em uma maternidade (verificação da ocorrência do sexo). Então: S=
,,,,,,,
Seja X o número o número de homens.
1; 2; 2; 3; 1; 2; 1; 0
Distribuição de probabilidade de X X 0 1 2 3
0 1 4 9
P(X) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Total p=1/2, n=3
-
E(X)=
= (0×1/8)+ (1×3/8)+ (2×3/8) +(3×1/8)=1,5
(0×1/8)+ (1×3/8) + (12×3/8) +(9×1/8) 1,5∑ .. (( ) V(X)= E – – = 0,75
APP- Probability Distributions
Distribuição Binomial (Variável Aleatória Discreta) e o Modelo Probabilístico Normal (Distribuição Contínua) ●
Definições: 1- Variável Aleatória (V.A)
Seja E um experimento e S o conjunto de todos os resultados possíveis associados ao experimento. Uma função X , que associe a cada elemento s S um número real ,X(s) , é denominada variável aleatória. Ex. Considere o experimento de se jogar uma moeda duas vezes. Consideremos, o espaço S abaixo, associado a este experimento.
S=[caracara, caracoroa, coroacara, coroacoroa]; Seja X a v.a que representa o número de caras .Daí, X(caracara)=2,X(caracoroa)=X(coroacara)=1,X(coroacoroa)=0. caracara
2
caracoroa 1 coroacara 0 coroacoroa Domínio(S)
R x
2- Variável Aleatória Discreta e Contínua
Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X (contradomínio-R ) for finito ou infinito numerável, denominamos X de variável aleatória discreta. Suponha-se que o contradomínio de X, seja um intervalo, isto é, X possa tomar todos os valores possíveis no intervalo, então, diremos que X é uma variável x
aleatória contínua.
Associadas as variáveis aleatórias temos as suas funções de probabilidades. 3-Distribuição Binomial (Distribuição Discreta) - As probabilidades
são constantes e independentes na repetição da experiência aleatória.
̅ 2;̅̅ 2;̅ 11 −
P(X=2)=
= 3/8
; V(X)= np(1-p); 1-p=q. P(X=x)=
1 −
; X= 0,1,…… n n
Exercício 1:
a) Em um 70%Seleciona-se dos profissionais saúde de estão8(oito) com suspeita da hospital covid-19. uma de amostra profissionais. Elaborar a distribuição de probabilidade. Calcular o valor esperado, variância e desvio padrão.
− 0,0,770010, 7 0 10,70−
P(X=0) =
= 0,00007
P(X=1) = p=0,7, x=1.
Na APP:
n=
8
x=
1
= 0,0012. Na tabela: n=8,
p= p(X=x)
0,7 0.00122
. . . Valor esperado= E(X)= np= 8x0,70=5,6 Variância= V(X)= np(1-p)=8× 0,70x0,30= 1,68 b) Em uma amostra de 10 profissionais de saúde, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 profissionais estejam com suspeita da doença?
Exercício 2: De acordo com uma pesquisa, um de cada quatro
profissionais de saúde de um hospital são hipertensivos. Considere uma amostra de 20 profissionais. a) Calcule a probabilidade de que exatamente quatro sejam
− 0, 2 5; 4 0, 2 5 5 1 0,18,29557%. 0,255 0,755 0,18969 ≥ 2 hipertensivos.
4 APP: n= 20 p= 0,25 X= p(X=x)= 0.18969 b) Calcule a probabilidade de que pelo menos dois profissionais sejam hipertensivos. c) Se descobrisse que exatamente 12 dos profissionais sejam hipertensivos, você duvidaria da exatidão dos resultados desse estudo? d) Calcule o número esperado de profissionais hipertensivos do hospital.
20×0, 2 55
Exercício 3: A probabilidade de um menino ser daltônico é de 8%.
Qual é a probabilidade de serem daltônicos todos os 4 meninos que se apresentam, em determinado dia, para um exame oftalmológico? Exercício 4: Um exame é constituído de dez testes tipo certo-errado.
Quantos testes acerta, em média, um aluno que nada sabe sobre a matéria do exame? Exercício 5: Suponha que determinado medicamento usado para o
diagnóstico precoce da gravidez é capaz de confirmar casos positivos em apenas 90% das gestantes muito jovens. Isto porque, em 10%, das gestantes muito jovens, ocorre uma escamação do epitélio do útero, que é confundida com a menstruação. Nestas condições, qual é a probabilidade de 2, de 3 gestantes muito jovens que fizeram uso desse medicamento, não terem confirmado precocemente a gravidez?
4 - O Modelo Normal
Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade (fdp), é uma função f, que satisfaz às seguintes condições: f(x) 0, R , x
x
1 f ( x )dx RX d
Além disso ,definimos para qualquer c
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