Aula - Punção - Método Cross
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Punção em lajes pelo método cross...
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Professor: Henrique Jorge Nery de Lima
São lajes apoiadas diret iretaamente so sobbre os pilare ares sem a utiliza ização ção de cap capité itéis. Pode Podem m ser ser maciç aciças as ou ne nerv rvur urad adas as..
Vantagens:
Redução nos custos com materiais e mão de obra;
Flexibilidade de layout;
Possibilidade de reduzir o pé-direito do pavimento e a altura total do edifício;
Redução de cargas nas fundações (peso próprio, vento);
Maior velocidade de execução da obra.
Desvantagens:
Momentos elevados na ligação Laje-pilar;
Redução da rigidez global da edificação devido a ausência de vigas;
Punção
Divide-se a estrutura em pórticos (podem ser externos, intermediários ou internos); Calcula-se os esforços atuantes na estrutura. Distribui-se os momentos atuantes conforme a NBR 6118:2014
Dimensiona-se as armaduras, respeitando-se as armaduras mínimas prescritas em normas. Detalha-se as armaduras. A NBR 6118:2014 determina que esse detalhamento seja da seguinte forma:
Na região de ligação laje-pilar são observadas elevadas tensões originadas pelos esforços de flexão e de cisalhamento, que podem provocar ruptura por punção da laje com uma carga inferior à de flexão. A ruptura por punção está associada à formação de um tronco de cone que tende a se desligar da laje.
A armadura de punção, quando dimensionada inadequadamente, pode causar graves acidentes como o colapso de uma laje, ou mesmo a ruína total da estrutura por colapso progressivo. A ruptura por punção pode ocorrer sem aviso e de forma frágil.
Modo de ruptura ao redor do pilar, dado por cisalhamento em elementos delgados submetidos a cargas localizadas aplicadas transversalmente .
Resistência do concreto à compressão (f’c); Taxa de armadura de flexão tracionada (ρ) – razão entre a área de armadura tracionada (As) pela área de concreto (Ac); Tamanho e geometria do pilar – determinam a forma como as tensões se distribuem na ligação laje-pilar; “Size effect (ξ)”, ou efeito de tamanho, fator que leva em consideração a
altura útil da laje.
Com o objetivo de evitar o uso de capitéis e “drop painels” o emprego de armaduras de cisalhamento para o combate à punção tem crescido significativamente. A resistência das lajes com armaduras de punção pode chegar ao dobro da resistência das lajes sem essa armadura (Gomes 1991). Os modelos mais comuns dessas armaduras são os estribos e os conectores tipo pino (studs).
Fissuras Características de Punção em Edifício Garagem no Brasil Colapso progressivo no edifício Skyline
Colapso parcial do edifício Pipers Row Car Park, Wolverhampton (1997)
Verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies de críticas definidas no entorno de áreas de forças concentradas;
Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento; Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou carga concentrada, deve ser considerada a capacidade de ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal; Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal;
A terceira superfície crítica, (contorno C”), apenas deve ser verificada quando for necessário colocar armadura transversal.
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Verificação do contorno “ C ”: =
≤
∗
2 = 0,27 ∗ ∗
Onde: Fsd – é a força ou a reação concentrada de cálculo; d = ( d x – dy)/2 – altura útil; μo = perímetro do contorno C (como exemplo o do pilar); = 1 −
fck
- com fck em MPa
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Verificação do contorno “ C ’ ”: =
∗
≤
1 = 0,13 ∗ 1 +
∗ 100 ∗ ∗
Onde: Fsd – é a força ou a reação concentrada de cálculo; d – altura útil ao longo do contorno crítico C’ da área de aplicação da força, em centímetros; μ = perímetro do contorno C’ (como exemplo perímetro afastado 2d do pilar); ρ = (ρx∗ ρy) – taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser desprezada);
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Verificação do contorno “ C’’ ”: HAVENDO NECESSIDADE DE ARMADURA DE CISALHAMENTO. =
∗
≤ 3 = 0,10 ∗ 1 +
∗ 100 ∗ ∗ + 1,5 ∗
∗
∗∗ ∗
Onde: sr – espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior que 0,75d; Asw – área de armadura de punção num contorno completo paralelo a C’; μ = perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilar de borda ou canto; α − ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; fywd – é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 Mpa para conectores e 250 Mpa para estribos.
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Verificações a serem realizadas: No perímetro da coluna, ou no perímetro da área carregada, o máximo cisalhamento à punção não deve exceder: υ < υ,
Onde: υEd é a carga atuante na ligação.; υ, é o valor de cálculo máximo da resistência ao cisalhamento ao longo da seção considerada. Reforço à punção não será necessário se: υ < υ,
Onde: υ, é o valor de calculo da resistência ao cisalhamento sem armadura de
punção ao longo da seção considerada.
υ = β ∗
μ ∗
< υ, = 0,5 ∗ 1 −
250
∗
d – profundidade média efetiva da laje; μi – comprimento do perímetro de controle distante 2d da face do pilar, em mm; Ved – cortante de cálculo atuante; fck em MPa
υ = β ∗
μ ∗
< υ, = 0,18 ∗ ξ ∗ 100 ∗ ρ ∗ ′ ∗ μ1 ∗
μi – comprimento do perímetro de controle distante 2d da face do pilar, em mm;
d – profundidade média efetiva da laje; f ’c – resistência à compressão do concreto, deve ser menor que 90 MPa ρ – taxa de armadura, deve ser menor ou igual a 0,02; ξ – representa o size effect sendo igual a 1+ 200/ ≤ 2,0 com d em mm
Caso haja a necessidade de armar a punção, deve-se fazer as seguintes verificações:
Ruptura por cisalhamento dentro da região das armaduras, considerando a resistência máxima devido à combinação das armaduras de cisalhamento e do concreto: 1 , = 0,75 ∗ , + (1,5 ∗ ∗ ∗ , ∗ ) β Ruptura ocorrendo fora da região das armaduras de cisalhamento:
, = 0,18 ∗ ξ ∗ 100 ∗ ρ ∗ ′ ∗ μ ∗ Verificação da resistência da biela comprimida próxima das extremidades do pilar ′ ′ , á = 0,3 ∗ ∗ 1 − ∗ μ ∗ 250
Asw – área da armadura de cisalhamento por camada; fyw,eff = 1,15*(250+0,25*d), no qual o 1,15 substitui o γs, dado em N/mm² e com d em mm; ρ – taxa de armadura, deve ser menor ou igual a 0,02; ξ – representa o size effect sendo igual a 1+ 200/ ≤ 2,0 com d em mm sr – é o espaçamento radial das camadas de armadura do cisalhamento;
1 - Calcula-se os coeficientes de distribuição de momentos em torno de cada nó rígido interno da estrutura, indicando-os em torno de cada nó. 2 Calcula-se, com o auxílio das tabelas do método das deformações da Hiperestática, os momentos de engastamento perfeito do sistema principal (obtido bloqueando-se, com chapas, as rotações de todos os nós internos rígidos da estrutura. –
3 Libera-se, uma de cada vez, a rotação de cada nó interno, equilibrando a carga-momento que nele passa então a atuar. Os momentos equilibrantes que surgem serão propagados aos nós opostos de cada barra, multiplicados pelos devidos coeficientes de transmissão de momentos. Uma vez equilibrado o nó, voltamos a fixá-lo com a chapa e passamos ao equilíbrio dos outros nós por procedimento idêntico, até que, no último nó equilibrado (já estando os demais em equilíbrio), os momentos equilibrantes que nele apareçam acarretem a propagação aos nós adjacentes, de momentos de valor desprezível. –
4 Encerrado o equilíbrio dos nós, os momentos finais que atuarão em cada um deles serão iguais à soma dos momentos de engastamento perfeito com aqueles despertados na fase de equilíbrio dos nós. –
5 Conhecidos os momentos finais nos nós, obtém-se os diagramas de momentos fletores atuantes na estrutura, e a partir dele e do carregamento externo, chega-se às reações de apoio e aos diagramas de esforço cortante e normal –
1) Para a laje lisa mostrada abaixo: a) Divida a estrutura em pórticos; b) Calcule a estrutura como pórtico; c )Dimensione a armadura; d) Detalhe a armadura de flexão. Como a Norma NBR 6118/2014 recomenda que a armadura de flexão seja colocada? e) Verificar o pilar central à punção pela NBR 6118/2014.
DADOS: Laje com 18 cm de espessura; - Pilares com 4,0 metros de altura e seção 30 x 30 cm; - fck = 30,0 MPa; - Sobrecarga de 3,0 kN/m².
PÓRTICO EQUIVALENTE Os esforços atuantes serão calculados pelo Método de Cross e para isso a estrutura será dividida em pórticos planos nas duas direções ortogonais. A estrutura acima pode ser dividida em seis pórticos – três em cada direção, dois passando pelo pilar central e quatro passando pelos pilares laterais. Devido às simetrias geométrica e de carregamento analisaremos apenas dois pórticos em apenas uma das direções e adotaremos a solução para a outra. Abaixo são mostradas figuras com as larguras colaborantes das lajes em cada pórtico.
(a) Pórtico Central
Calculando
(b) Pórtico Lateral
primeiro o Pórtico Equivalente Central, temos:
1º Passo: Verificação da espessura da laje O ACI propõe uma fórmula para pré-determinação da altura útil da laje: hmin
L
500cm
hmin 15cm
como h = 18 cm
OK!
2º Passo: Cálculo das cargas atuantes no pórtico equivalente Peso Próprio: gp = 25 kN/m³ 25 * 0,18 4,5 kN/m² Sobrecarga:........................................................3,0 kN/m² Carga total atuante = 7,5 kN/m² O carregamento por metro linear fica sendo então: Q = 7,5 *5 37,5 KN / m
3º Passo: Determinação dos Momentos de Engastamento Perfeito Momentos de Engastamento Perfeito são momentos que as barras exerceriam sobre os nós da estrutura se estes fossem, assim, considerados apoios engastados. No caso da estrutura acima o pórtico central que se obtém é o seguinte:
Temos as barras horizontais 1 e 2 (laje na estrutura real) consideradas engatadas nos nós A, B e C. Calculamos então estas barras como estando bi-engastadas. M
M
q l 2 24
37,5 5 24
2
M 39,05 kN m
q l 2 12
2
37,5 5 12
M 78,13 kN m
4º Passo: Cálculo dos Momentos de Inércia – Rigidez das Barras - Pilares: I p
bh
3
3
12
0,3 0,3
12
I p
0,000675 m
4
- Lajes: I p
b h3
3
12
5 0,18
12
I p
0,00243 m
4
5º Passo: Cálculo das Rigidezes Relativas das Barras (k) - Barras bi-engastadas:
k
I
l
- Barras engastadas e apoiadas:
k
3 I
4
l
, não temos este caso.
- Pilares: k p
0,000675
4
0,000169 m
3
- Lajes: k l
0,00243
5
0,000486 m
3
6º Passo: Cálculo dos Coeficientes de Distribuição (d) Os coeficientes de distribuição, d, em cada barra são os percentuais com que cada barra contribui com a rigidez total do nó. d i
k i k i
- Nó A: d 1
d 3
0,000486
2 0,000169 0,000486
d 4
d 1
0,000169
2 0,000169 0,000486
0,589
d 3
d 4
0,21
-NóB: d 1
d 2
d 5
d 6
0,000486
2 0,000169 2 0,000486 0,000169
2 0,000169 2 0,000486
- Nó C: igual ao Nó A.
d 1
d 2
0,37
d 1
d 2
0,13
1 2 , 0 1 2 , 0
0,59
O gráfico final de momentos após a aplicação do Método de Cross é o seguinte (em kN.m):
Calculando esta estrutura por um software livre como o FTOOl, da PUC do Rio de Janeiro, temos (em kN.m):
Portanto, os resultados encontrados através do Método de Cross é perfeitamente válido, com um cálculo manual extremamente simples e rápido, chegando a um erro máximo de apenas 5%. Calculando agora o pórtico lateral pelo Método de Cross tendo como carregamento total 18,75 kN/m, temos como resultado o seguinte diagrama de momentos fletores:
7º Passo: Distribuição dos Momentos no Pórtico Equivalente segundo a NBR 6118:2003 A NBR 6118:2007 define quatro faixas de distribuição de momentos em cada pórtico equivalente: a)45% dos momentos positivos para as duas faixas internas; b)27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; c)25% dos momentos negativos para as duas faixas internas; d)37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.
Mais fácil para o calculista seria raciocinar da seguinte maneira: a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas laterais; b) 55% dos momentos positivos para a faixa central; c) 25% dos momentos negativos para as duas faixas laterais; d) 75% dos momentos negativos para a faixa central. Com a figura da distribuição ficando da seguinte forma:
* Note-se que a figura da norma não foi alterada, foi apenas mostrada deforma diferente, com os pilares no centro e não nas laterais. Assim, o procedimento seguinte será calcular as frações dos momentos em cada faixa definida anteriormente.
PÓRTICO CENTRAL Faixa Central - Negativos
PÓRTICO LATERAL Faixa Central - Negativos M A
M B
M A
M B
M C
0,75 32,82
24,62 kN .m
0,75 100,78
75,58 kN .m
- Positivos
0,75 16,41 12,31 kN .m
0,75 50,39
37,79 kN .m
- Positivos
Faixas Laterais - Negativos
M 1 M 2 0,55 25,19 13,85 kN .m
M 1 M 2 0,55 50,38 27,71 kN .m
Faixas Laterais - Negativos
M A
M C 0,125 32,82
M B
0,125 100,78 12,59 kN .m
4,10 kN .m
- Positivos
M C
M A
M B
M C
0,25 16,41
4,10 kN .m
0,25 50,39 12,60 kN .m
- Positivos
M 1 M 2 0,225 50,38 11,33 kN .m
M 1 M 2 0,45 25,19 11,34 kN .m
É importante notar que os coeficientes utilizados no cálculo dos momentos negativos no Pórtico Lateral são o dobro do que a norma determina. Isto ocorre porque, o pórtico sendo lateral, não possui duas faixas laterais como um pórtico central; o que implica que se não
8º Passo: Cálculo das Armaduras de Flexão segundo a NBR 6118:2003 Dados: f ck = 25 MPa f cd
f ck
30
1,4
1,4
f cd 21,42 MPa
214,28 kgf / cm²
Aço CA-50 f yk = 500 MPa f yd
f ck 1,15
500 1,15
f yd
434,7 MPa
4347 kgf / cm²
d h 2,5 18 2,5 d 15,5 cm
bw = 2,5 m ARMADURA
MÍNIMA De acordo com a NBR 6118:2003 na seção 17.3.5.2, o valor mínimo de taxa de armadura definido na Tabela 17.3 para concreto com resistência de 30 MPa é min = 0,15%. Diste fato, tomando-se a largura de 1,25 m, tem-se: min
A s ,min Ac
500 0,0015 0,0015 18 A s ,min 3,375 cm² 4
PÓRTICO CENTRAL Faixa Central - Negativos
M A
k md k x
k z
A s
M C
24,62 kN m
M d
2
bw d f cd
1,4 24,62 2 2,5 0,155 30000 1,4
1,25 1,917 0,425 k md
1 0,4 k x M d
k z d f yd
M B
k z
k x
k md 0,027
1,512
0,395
1,4 24,62 10 0,389 0,155 500 1,4
75,58 kN m
A s
A s
12,94 cm²
35,89 cm²
26 Ø 8,0 mm c/ 10
29 Ø 12,5 mm c/ 9
- Positivos M 1
M 2 27,71 kN .m
A s
14,47 cm²
29Ø8,0mmc/9
Faixas Laterais (considerar a largura de distribuição de 1,25 m). - Negativos
M A
M C
4,10 kN .m
A s
2,25 cm²
< As,min, adota-se As,min = 3,375 cm² M B
12,59 kN .m
A s
6,79 cm²
14 Ø 8,0 mm c/ 9
6,13 cm²
13 Ø 8,0 mm c/ 10
- Positivo
M 1 M 2 11,33 kN .m
A s
A s
PÓRTICO LATERAL Faixa Central - Negativos M A
M B
37,79 kN .m
M C
12,31 kN .m
6,64 cm²
A s
19,33 cm²
A s
7,45 cm²
6 Ø 12,5 mm c/ 10 7 Ø 20,0 mm c/ 9
- Positivo M 1 M 2
13,85 kN .m
6 Ø 12,5 mm c/ 10
11 Ø 6,3 mm c/ 11
Faixas Laterais - Negativos
M A
M C
4,10 kN .m
A s
2,25 cm²
< As,min, adota-se As,min = 3,375 cm²
M B
12,6 kN .m
A s
6,79 cm²
6 Ø 12,5 mm c/ 10
- Positivo M 1
M 2 11,34 kN .m
A s
6,13 cm²
6 Ø 12,5 mm c/ 10
7 Ø 8,0 mm c/ 9
10º Passo: Detalhamento da armadura de flexão segundo a NBR 6118:2003
É apresentado na figura a seguir o detalhamento do pavimento em uma direção, sendo este idêntico ao apresentado para a direção ortogonal.
(a) Armadura Negativa (b) Armadura Positiva Armadura passiva do pavimento em uma das direções ortogonais
9º Passo: Cálculo à Punção segundo a NBR 6118:2003 A Norma brasileira adota duas verificações para o cálculo quanto à resistência à punção de ligações laje-pilar. São elas: verificação na primeira seção crítica C, que corresponde ao perímetro de contorno do pilar ou área carregada, e verificação na segunda seção crítica C’, cujo perímetro é o contorno afastado de
2d do pilar ou área carregada (correspondente ao Perímetro Crítico u e u * na figura abaixo.
(a) Seção crítica para pilares de (b) Seção crítica para pilares de (c) Seção crítica reduzida para centro borda pilares de borda Seções críticas e seção crítica reduzida segundo a NBR 6118:2003
Na primeira verificação é checada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto através da tensão de cisalhamento. Na segunda verificação é checada a capacidade à punção da ligação laje-pilar associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma tensão de cisalhamento no contorno C’.
Percebe-se que os ângulos entre as linhas que formam o perímetro da seção crítica são suavizados através de trechos circulares (trechos de ¼ de círculo) cujos centros estão nos cantos dos pilares.
Cálculo da tensão solicitante Para pilares interno com carregamento simétrico
Sd
F Sd u d
Fsd : força ou reação concentrada de cálculo; u : perímetro crítico; d : média aritmética das alturas úteis das armaduras passivas de flexão nas direções ortogonais;
Para pilares internos quando houver transferência de momento da laje para o pilar Sd
F Sd u d
K M Sd 1 W p1 d
onde: W p* : Módulo de Resistência Plástica perpendicular à borda livre para o perímetro u, dado pela equação: 2
W p
C1 2
2
C 1 C 2 4C 2 d 16 d 2 dC 1
Para pilares de borda quando não agir momento no plano paralelo à borda livre da laje: Sd
F Sd u * d
onde:
K 1 M Sd 1 W p1 d
MSd1 = (MSd – MSd*) ≥ 0 MSd* = Fsd . e* Msd : momento de extremidade de cálculo (por qualquer método); Msd* : momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar; u* : perímetro crítico reduzido; e* : excentricidade do Perímetro Reduzido. W p1 : Módulo de Resistência Plástica perpendicular à borda livre para o perímetro u; W p* : Módulo de Resistência Plástica perpendicular à borda livre para o perímetro u*. W p1 e W p* são dados pelas equações abaixo:
W p1
W p *
c² 2cd cd 8d ² 3 4
c² 2cd cd 8d ²
Tabela 1.1 – Valores de K: C 1 /C 2
0,5
1,0
2,0
3,0
K 1
0,45
0,60
0,70
0,80
C1 é a dimensão perpendicular e C2 a dimensão paralela à borda livre considerada.
Cálculo da tensão resistente Para evitar uma ruptura por compressão diagonal do concreto na superfície crítica C, uma verificação deve ser feita para lajes com ou sem armadura de punção: confronto entre a tensão atuante ou de projeto, Sd, e a tensão resistente Rd2:
= 0,27 v f cd
Sd Rd2
onde:
f 1 ck , f ck em MPa 250 Sd : dado anteriormente e calculado com u 0 (perímetro do pilar ou ponto de carregamento, perímetro da superfície C) em lugar de u; f cd : resistência à compressão de cálculo do concreto;
v
Para evitar uma ruptura por puncionamento da laje na superfície crítica C’, em elementos estruturais ou trechos sem armadura de punção deve ser feita uma nova verificação: confronto entre a tensão atuante ou de projeto, sd, e a tensão resistente Rd1: Sd onde:
x y
d
20 100 f ck 1/ 3 Rd 1 0,13 1 d
dx dy 2
: taxa geométrica de armadura passiva de flexão. x e y são as taxas geométricas de armadura nas direções ortogonais calculadas da seguinte forma: - na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados; - no caso de proximidade da borda prevalece a distância até a borda menor que 3d.
Quando a verificação acima ( Sd ≤ Rd1) não for atendida, haverá a necessidade de armadura de punção e a verificação da superfície crítica C’ deverá ser feita de acordo com a equação: Sd
20 d A f sen 100 f ck 1/ 3 1,5 sw ywd Rd 3 0,10 1 d sr u d
onde: sr : espaçamento radial entre linhas da armadura de punção, não maior que 0,75.d; Asw : área de armadura de punção num contorno completo paralelo a C’; f ywd : resistência da armadura de punção, limitada a 300 MPa para conectores e 250 MPa para estribos (aços CA-50 ou CA-60) em lajes com espessura menor que 15 cm, acima deste valor
No caso da necessidade de armadura de punção, deve-se realizar uma terceira verificação. A uma distância de 2d do último contorno de armadura define- se a superfície crítica C”, como visto na figura abaixo, cuja tensão atuante Sd, deve satisfazer à condição Sd ≤ Rd1.
Na presença de armadura de punção em uma ligação, três verificações devem ser feitas:
IMPORTANTE
- tensão de compressão do concreto no contorno C, conforme item a); tensão istent à ção tor C’ for ite c);
PILAR
INTERNO Tensão atuante:
u 308,5 cm
u 4 l 2 r 4 30 2 2 15
d
F Sd
dx dy
15,5 14,5
2
QT l 2
d 15 cm
2
7,5 10
3
2
5 1,4 F Sd
262,5 kN 26,25 tf
Superfície Crítica C: Sd
F Sd
26,25 10
3
120 15
u0 d
Sd
14,58 kgf / cm²
Sd
5,67 kgf / cm²
Superfície Crítica C’:
Sd
F Sd u d
3
26,25 10
308,5 15
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