Aula de Laboratório n 2 - Viscosidade - Lei de Stokes (Copiado)

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INTRODUÇÃO

1.1 Objetivo

Este relatório tem como objetivo apresentar as viscosidades absolutas dos seguintes fluídos: Glicerina, Óleo Lubrificante SAE 30 e Óleo de Rícino, conforme levantamento de dados feito no laboratório de fluídos mecânicos da PUC-MG e compará-los com os valores tabelados. 1.2 Conceituação teórica

Viscosidade: Viscosidade: É a resistência do fluido f luido ao escoamento. Varia inversamente em função da variação da temperatura e diretamente em função da pressão.  A viscosidade desempenha nos fluidos o mesmo papel que o atrito nos sólidos. Este conceito é encontrado em problemas de escoamento de fluidos e tratado como uma medida da resistência que um fluido oferece a uma força de cisalhamento aplicada. Viscosidade Aparente: É aquela medida em um único ponto e através de cisalhamento constante. É expressa por unidades de Poise ou centiPoise (mPa/s). Utilizada na leitura de viscosidade de fluidos pseudo-plásticos. Viscosímetros: Brookfield, Haake. Viscosidade Cinemática: É aquela medida por um sistema de geometria que se utiliza da gravidade para sua obtenção de medida. Medida por copos tem como método a contagem, através de um cronômetro, do tempo gasto para o fluido escorrer pelo orifício inferior destes copos.

Viscosidade Absoluta: É aquela que é medida por um sistema de geometria que não sofre influência da gravidade para a obtenção desta medida. Lei de Stokes: Consideremos uma esfera de raio R movendo-se através de um fluido com uma velocidade constante. Então, sobre esta esfera existe uma força de resistência exercida pelo fluido, cujo módulo F depende do coeficiente de viscosidade viscosidade µ do fluido, do raio R da esfera e do módulo v de sua velocidade velocidade (se este é pequeno). A única maneira pela qual estas grandezas podem ser combinadas para

que o resultado tenha dimensão de força é no produto µRv. Pela análise física deste problema, Stokes descobriu que o módulo da força de resistência do fluido sobre a esfera se escreve (lei de Stokes):  F   6 *  *  * R *V  , sendo:

Fr = Força resistente  = Viscosidade absoluta



R = Raio da esfera V = Velocidade da esfera Iremos aplicar esta expressão ao caso de uma esfera que cai verticalmente no interior de um tubo que contém um líquido no qual queremos determinar a sua viscosidade. As forças que atuam na esfera são: peso (P), empuxo (E) e a força resistente (F), e estaremos considerando: - P = mg (peso da esfera) -  F   6 *  *  * R *V   (Lei de Stokes) - E = Empuxo dado pelo principio de Arquimedes (Todo corpo imerso em um fluído, recebe uma força ascendente, empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume do líquido deslocado.); Massa especifica do líquido x aceleração local da gravidade x volume da esfera; Logo temos que empuxo é dado pela seguinte expressão:  E      * g * Ve , onde

-ρ = massa especifica do liquido; -g = aceleração da gravidade; -Ve = Volume da esfera = volume do líquido deslocado.  A esfera ao ser colocada na superfície do liquido, iniciará o movimento de queda vertical, sujeita a uma força retardadora, crescente com a velocidade, dada pela lei de Stokes. Essa força resistente vai crescendo até atingir um valor tal que, ao ser somado com o empuxo que atua sobre a esfera, nos da uma resultante igual ao peso da esfera. Nesse instante, a resultante das forças que atuam sobre ela é nula e de acordo com

a 2º Lei de Newton, a esfera adquire velocidade constante chamada, velocidade limite ou terminal (V). Então:  F  E  P ,

Substituindo na expressão, as equações do peso (P), empuxo (E) e a força resistente (F), obtermos a viscosidade através da seguinte formula:

  

m * g      * g *Ve 6 *   * R *V 

-  = Viscosidade absoluta ou dinâmica do líquido (adimensional); - m = Massa da esfera (kg); - g = Aceleração local da gravidade (m/s 2); -  = Massa específica do líquido (kg/ m 3); - Ve = Volume da esfera = 4/3. .R3 (m3); - R = Raio da esfera (m); - V = Velocidade terminal ou limite da esfera (m/s). 

 

-  = Viscosidade cinemática (m²/s) Considerações: A Lei de Stokes somente será válida quando a velocidade de queda da esfera for suficientemente pequena para não causar turbulência. Quando ocorre turbulência, a força resistente é muito maior que a dada pela Lei de Stokes. Este fenômeno somente poderá ser analisado da maneira como foi descrito, queda de uma esfera em um meio fluído, quando:

Re 

Vd 

, for < 1, sendo:

 

- Re = Nº de Reynolds (adimensional); - V = Velocidade Terminal (m/s); - d = Diâmetro da esfera (m); - ν = viscosidade cinemática (m 2/s).

O processo descrito é utilizado para medida da viscosidade para líquidos e gases estes, em tubos fechados, utilizando esferas especiais fornecidas pelo fabricante do viscosímetro e inclusive para valores diversos de temperatura e pressão. 2

DESENVOLVIMENTO

2.1 Procedimento experimental

O procedimento consistiu em um sequencia lógica em que os dados foram obtidos através de instrumentos que nos permitiram a leitura de grandezas como temperatura e densidade, na seguinte sequência: 1°- leitura da temperatura e densidade; 2° - Foram definidas as distâncias padrão: (0,2; 0,4 e 0,5 metros); 3° - Soltar no mínimo 3 esferas, uma de cada vez, e cronometrar o tempo nas distâncias estabelecidas; 4° - Anotar os dados colhidos e calcular os dados solicitados na tabela. 2.2 Equipamentos

Os recursos utilizados para que a experiência fosse possível se encontram citados abaixo: Esferas de aço de raio 1,587 x 10-3m e massa 0,144 x 10 -5m;   Densímetro;   Termômetro;   Cronômetro; Três recipientes transparentes de aproximadamente 0,7m de profundidade  contendo em cada um: Glicerina; Óleo SAE 30; Óleo de Rícina. 

2.3 Dados obtidos

 A partir das medições realizadas foi possível determinar a viscosidade dos três fluidos estudados pelo grupo no laboratório. Para que se pudessem encontrar os valores de viscosidade, foi preciso medir o tempo de queda de uma esfera a certas distâncias, em cada um dos fluidos que se desejava determinar a viscosidade. Características da esfera

Massa (kg) 1,44E-04

Raio (m) 1,587E-03

Volume (m³) 1,67E-08

Conforme explicado na conceituação teórica, a viscosidade dinâmica ou absoluta de um fluido é dada por:   

m * g      * g *Ve 6 *   * R *V 

Para efeito de cálculo considerou-se a aceleração da gravidade como 9,81 m/s². É importante destacar também que 1 Poise = 0,1 Pa.s. Já a viscosidade cinemática é dada por: 

 

Uma forma de se garantir medidas mais precisas é realizar uma medida diversas vezes. Na prática realizada foi medido o tempo três vezes, e depois foi feito uma média aritmética de forma a garantir medidas mais eficientes.  Alguns conceitos são necessários para que se saiba a precisão obtida nas medidas: Média  –  M: Média aritmética dos valores obtidos no processo de medição:



     

Desvio Absoluto  – DA: Diferença de cada uma das medidas em relação à média:      

Desvio Relativo  – DR: Relação entre o desvio absoluto e a média:  

 

Desvio Médio Absoluto  – DMA: Média aritmética dos desvios absolutos:  

     

 Abaixo segue as três medidas realizadas para cada fluido, a cada distância determinada. Assim como os seus respectivos desvios calculados.

µ Pa.s 3,310E-01 3,499E-01 3,562E-01 5,144E-01 5,091E-01 5,028E-01 6,889E-01 6,931E-01 6,998E-01

Temperatura (°C) 28 DA M µ Pa.s Pa.s -1,47E-02 3,457E-01 4,19E-03 1,05E-02 5,59E-03 5,088E-01 3,49E-04 -5,94E-03 -5,03E-03 6,939E-01 -8,38E-04 5,87E-03

µ Pa.s 3,372E-01 3,432E-01 3,412E-01 3,392E-01 3,402E-01 3,412E-01 2,802E-01 2,818E-01 2,834E-01

Temperatura (°C) M DA M µ Pa.s Pa.s -3,35E-03 3,405E-01 2,68E-03 6,69E-04 -1,00E-03 3,402E-01 0,00E+00 1,00E-03 -1,61E-03 2,818E-01 0,00E+00 1,61E-03

µ Pa.s 1,164E-01 1,207E-01 1,270E-01 1,175E-01 1,186E-01 1,164E-01 1,075E-01 1,084E-01 1,092E-01

Temperatura (°C) 0 DA M µ Pa.s Pa.s -4,94E-03 1,214E-01 -7,06E-04 5,65E-03 0,00E+00 1,175E-01 1,06E-03 -1,06E-03 -8,47E-04 1,084E-01 0,00E+00 8,47E-04

Tipo

Características do líquido

Óleo de rícino mamona Queda da esfera m 0,2

0,4

0,5

Tempo de queda s 1,58 1,67 1,7 4,91 4,86 4,8 8,22 8,27 8,35

Velocidade m/s 0,127 0,120 0,118 0,081 0,082 0,083 0,061 0,060 0,060 Tipo

Características do líquido

Glicerina Queda da esfera m 0,2

0,4

0,5

Tempo de queda s 1,68 1,71 1,7 3,38 3,39 3,4 3,49 3,51 3,53

Velocidade m/s 0,119 0,117 0,118 0,118 0,118 0,118 0,143 0,142 0,142

Tipo

Características do líquido

Óleo SAE 30 Queda da esfera m 0,2

0,4

0,5

Tempo de queda s 0,55 0,57 0,6 1,11 1,12 1,1 1,27 1,28 1,29

Velocidade m/s 0,364 0,351 0,333 0,360 0,357 0,364 0,394 0,391 0,388

Densidade 0,969

Massa específica (ρ)

Densidade 1,29

Massa específica (ρ)

Densidade 0,889

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 969 DR DMA DA DR DMA µ µ ʋ M µ µ µ % Pa.s m²/s Pa.s Pa.s % Pa.s -0,04 3,416E-04 -1,51E-05 -0,04 0,01 3,70E-17 3,611E-04 3,568E-04 4,32E-06 0,01 -5,42E-20 0,03 3,676E-04 1,08E-05 0,03 0,01 5,308E-04 5,77E-06 0,01 0,00 -3,70E-17 5,254E-04 5,250E-04 3,60E-07 0,00 -3,61E-20 -0,01 5,189E-04 -6,13E-06 -0,01 -0,01 7,109E-04 -5,19E-06 -0,01 0,00 7,40E-17 7,152E-04 7,161E-04 -8,65E-07 0,00 -7,23E-20 0,01 7,222E-04 6,05E-06 0,01

(Kg/m³) 1290 DR DMA DA DR DMA µ µ ʋ M µ µ µ % Pa.s m²/s Pa.s Pa.s % Pa.s -0,01 2,614E-04 -9,54E-05 -0,27 0,01 1,85E-17 2,660E-04 2,640E-04 -9,07E-05 -0,25 -9,28E-05 0,00 2,645E-04 -9,23E-05 -0,26 0,00 2,629E-04 -2,62E-04 -0,50 0,00 0,00E+00 2,637E-04 2,637E-04 -2,61E-04 -0,50 -2,61E-04 0,00 2,645E-04 -2,61E-04 -0,50 -0,01 2,172E-04 -4,99E-04 -0,70 0,00 3,70E-17 2,184E-04 2,184E-04 -4,98E-04 -0,69 -4,98E-04 0,01 2,197E-04 -4,96E-04 -0,69

(Kg/m³) 889 DR DMA DA DR DMA ʋ µ µ M µ µ µ % Pa.s m²/s Pa.s Pa.s % Pa.s -0,04 1,310E-04 -5,56E-06 -0,04 -0,01 -4,63E-18 1,357E-04 1,365E-04 -7,94E-07 -0,01 0,00E+00 0,05 1,429E-04 6,35E-06 0,05 0,00 1,322E-04 0,00E+00 0,00 0,01 4,63E-18 1,334E-04 1,322E-04 1,19E-06 0,01 9,04E-21 -0,01 1,310E-04 -1,19E-06 -0,01 -0,01 1,210E-04 -9,53E-07 -0,01 0,00 -4,63E-18 1,219E-04 1,219E-04 0,00E+00 0,00 -4,52E-21 0,01 1,229E-04 9,53E-07 0,01

Para efeito de comparação com o valor tabelado, conforme medições mais precisas realizadas em laboratórios industriais segue tabela resumo: Tipo

Características do líquido

Óleo de rícino mamona Valores medidos na experiência

Queda da esfera m 0,2 0,4 0,5

Tempo de queda

Velocidade de queda

Viscosidade absoluta (µ)

s 1,65 4,86 8,28

m/s 0,121 0,082 0,060

Pa.s 3,457E-01 5,091E-01 6,939E-01

Temperatura Densidade (°C) 28 0,969 Resultados obtidos Viscosidade µ cinemática ʋ

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 969 Fonte de consulta N° de Reynolds

µ

ʋ

Pa.s

m²/s

0,985 a 20°C

1,02E-03 a 20°C

(ʋ)

Poise 3,457 5,091 6,939

m²/s 3,568E-04 5,254E-04 7,161E-04

Stokes 3,568 5,254 7,161

1,078 0,497 0,268

Tipo

Características do líquido

Óleo SAE 30 Queda da esfera m 0,2

0,4

0,5

Tempo de queda s 0,55 0,57 0,6 1,11 1,12 1,1 1,27 1,28 1,29

Velocidade

µ Pa.s 1,164E-01 1,207E-01 1,270E-01 1,175E-01 1,186E-01 1,164E-01 1,075E-01 1,084E-01 1,092E-01

m/s 0,364 0,351 0,333 0,360 0,357 0,364 0,394 0,391 0,388

Temperatura (°C) 0 DA M µ Pa.s Pa.s -4,94E-03 1,214E-01 -7,06E-04 5,65E-03 0,00E+00 1,175E-01 1,06E-03 -1,06E-03 -8,47E-04 1,084E-01 0,00E+00 8,47E-04

Densidade 0,889

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 889 DR DMA DA DR DMA ʋ µ µ M µ µ µ % Pa.s m²/s Pa.s Pa.s % Pa.s -0,04 1,310E-04 -5,56E-06 -0,04 -0,01 -4,63E-18 1,357E-04 1,365E-04 -7,94E-07 -0,01 0,00E+00 0,05 1,429E-04 6,35E-06 0,05 0,00 1,322E-04 0,00E+00 0,00 0,01 4,63E-18 1,334E-04 1,322E-04 1,19E-06 0,01 9,04E-21 -0,01 1,310E-04 -1,19E-06 -0,01 -0,01 1,210E-04 -9,53E-07 -0,01 0,00 -4,63E-18 1,219E-04 1,219E-04 0,00E+00 0,00 -4,52E-21 0,01 1,229E-04 9,53E-07 0,01

Para efeito de comparação com o valor tabelado, conforme medições mais precisas realizadas em laboratórios industriais segue tabela resumo: Tipo

Características do líquido

Óleo de rícino mamona Valores medidos na experiência

Queda da esfera m 0,2 0,4 0,5

Tempo de queda

Velocidade de queda

Viscosidade absoluta (µ)

s 1,65 4,86 8,28

m/s 0,121 0,082 0,060

Pa.s 3,457E-01 5,091E-01 6,939E-01

Tipo

Características do líquido

Glicerina Valores medidos na experiência Queda da esfera m 0,2 0,4 0,5

Tempo de queda

Velocidade de queda

Viscosidade absoluta (µ)

s 1,7 5,09 8,6

m/s 0,118 0,079 0,058

Pa.s 3,412E-01 5,108E-01 6,904E-01 Tipo

Características do líquido

Óleo SAE 30 Valores medidos na experiência Queda da esfera m 0,2 0,4 0,5

Tempo de queda

Velocidade de queda

Viscosidade absoluta (µ)

s 0,57 1,68 2,96

m/s 0,351 0,238 0,169

Pa.s 1,207E-01 1,778E-01 2,507E-01

Temperatura Densidade (°C) 28 0,969 Resultados obtidos Viscosidade µ cinemática ʋ

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 969 Fonte de consulta N° de Reynolds

µ

ʋ

Pa.s

m²/s

0,985 a 20°C

1,02E-03 a 20°C

(ʋ)

Poise 3,457 5,091 6,939

m²/s 3,568E-04 5,254E-04 7,161E-04

Stokes 3,568 5,254 7,161

Temperatura Densidade (°C) 28 1,29 Resultados obtidos Viscosidade µ cinemática ʋ

1,078 0,497 0,268

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 1290 Fonte de consulta N° de Reynolds

µ

ʋ

Pa.s

m²/s

(ʋ)

Poise m²/s Stokes 3,412 2,645E-04 2,645 5,108 3,960E-04 3,960 6,904 5,352E-04 5,352 Temperatura Densidade (°C) 28 0,889 Resultados obtidos Viscosidade µ cinemática ʋ

1,412 0,630 0,345

1,49E-3 a 11,8E-04 a 20°C 20°C

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 889 Fonte de consulta N° de Reynolds

µ

ʋ

Pa.s

m²/s

0,2E-3 a 20°C

2,5E-04 a 20°C

(ʋ)

Poise 1,207 1,778 2,507

m²/s 1,357E-04 2,000E-04 2,820E-04

Stokes 1,357 2,000 2,820

8,204 3,778 1,901

Tipo

Características do líquido

Glicerina Valores medidos na experiência Queda da esfera m 0,2 0,4 0,5

Tempo de queda

Velocidade de queda

Viscosidade absoluta (µ)

s 1,7 5,09 8,6

m/s 0,118 0,079 0,058

Pa.s 3,412E-01 5,108E-01 6,904E-01 Tipo

Características do líquido

Óleo SAE 30 Valores medidos na experiência Queda da esfera m 0,2 0,4 0,5

Tempo de queda

Velocidade de queda

Viscosidade absoluta (µ)

s 0,57 1,68 2,96

m/s 0,351 0,238 0,169

Pa.s 1,207E-01 1,778E-01 2,507E-01

Temperatura Densidade (°C) 28 1,29 Resultados obtidos Viscosidade µ cinemática ʋ

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 1290 Fonte de consulta N° de Reynolds

µ

ʋ

Pa.s

m²/s

(ʋ)

Poise m²/s Stokes 3,412 2,645E-04 2,645 5,108 3,960E-04 3,960 6,904 5,352E-04 5,352 Temperatura Densidade (°C) 28 0,889 Resultados obtidos Viscosidade µ cinemática ʋ

1,412 0,630 0,345

1,49E-3 a 11,8E-04 a 20°C 20°C

Massa específica (ρ)

(Kg/m³) 889 Fonte de consulta N° de Reynolds

µ

ʋ

Pa.s

m²/s

0,2E-3 a 20°C

2,5E-04 a 20°C

(ʋ)

Poise 1,207 1,778 2,507

m²/s 1,357E-04 2,000E-04 2,820E-04

Stokes 1,357 2,000 2,820

8,204 3,778 1,901

2.4 Análise dos dados

 A partir dos dados obtidos foi possível perceber que as viscosidades encontradas variam muito em relação com os valores pesquisados nas fontes de consultas. Porem é importante destacar que os valores consultados são considerando uma temperatura de 20°C e que a temperatura é um fator de extrema importância na viscosidade de um fluido. Como a temperatura do laboratório esta a 28°C este é um fator que aumentou a variação entre o medido e o consultado. Um exemplo da importância da temperatura nas medições é que o óleo SAE 30 tem a sua viscosidade drasticamente diminuída quando há um aumento de temperatura, a 20°C a viscosidade dele é 250E-6 m²/s e a 40°C a sua viscosidade passa a ser 80E-6 m²/s Outros fatores como o efeito paralaxe, ausência de cronômetros mais precisos e a utilização dos fluidos a um tempo considerado grande foram prejudiciais às medidas. E não se pode deixar de destacar o erro humano, uma vez que as medições foram feitas pelos alunos.

2.4 Análise dos dados

 A partir dos dados obtidos foi possível perceber que as viscosidades encontradas variam muito em relação com os valores pesquisados nas fontes de consultas. Porem é importante destacar que os valores consultados são considerando uma temperatura de 20°C e que a temperatura é um fator de extrema importância na viscosidade de um fluido. Como a temperatura do laboratório esta a 28°C este é um fator que aumentou a variação entre o medido e o consultado. Um exemplo da importância da temperatura nas medições é que o óleo SAE 30 tem a sua viscosidade drasticamente diminuída quando há um aumento de temperatura, a 20°C a viscosidade dele é 250E-6 m²/s e a 40°C a sua viscosidade passa a ser 80E-6 m²/s Outros fatores como o efeito paralaxe, ausência de cronômetros mais precisos e a utilização dos fluidos a um tempo considerado grande foram prejudiciais às medidas. E não se pode deixar de destacar o erro humano, uma vez que as medições foram feitas pelos alunos.

3 CONCLUSÃO

Para que se consiga medir as viscosidades dos fluidos é preciso ter um laboratório onde se consiga controlar a temperatura, de forma a garantir que a temperatura dos fluidos não seja alterada com frequência.  A medição da viscosidade é de extrema importância para um fluido. Muitos equipamentos, principalmente bombas, atendem a apenas uma faixa de viscosidade pré determina pelo equipamento e, para que essa faixa seja respeitada, é preciso que haja um controle rigoroso de temperatura no local. 4 BIBLIOGRAFIA

SILVA, Tadeu Hudson da, Mecânica dos Fluidos e Fenômenos de Transporte Fumarc, Belo Horizonte, 1996 FOX, Robert W. e Alan T. MacDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos Editora Guanabara Koogan S.A., 1992 DELMÉE, Gérard J., Manual de Medição de Vazão Editora Edgard Blucher, São Paulo, 1982