Aula 3

Centro de Educação Superior de Brasília Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília Curso: Engenharia Civil Professor: Douglas Esteves Disciplina: Mecânica Resultante de um Sistema de Forças

Momento de uma Força – Formulação Escalar Quando uma força não central é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação do corpo em torno de um ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência de rotação algumas vezes é chamada de torque, mas normalmente é denominada momento de uma força, ou simplesmente momento.

Nas figuras acima podemos observar os seguintes aspectos: - Na figura (a) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é diferente de 90º , dessa forma será mais difícil provocar o giro uma vez que o braço do momento será menor que a distância d. - Na figura (b) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é de 90º, dessa forma a chave tende a girar em torno do ponto O ( ou eixo z), e a intensidade desse momento é proporcional a intensidade da força F e a distância perpendicular do momento d. ou seja quanto maior for a força e quanto maior for o braço, maior será o efeito do momento ou o efeito de rotação. - Na figura (c) a força foi aplicada ao longo do braço ou seja o ângulo formado entre a força e o braço é de 0º, dessa forma o momento dessa força será zero, ou seja não provoca nenhum momento. Intensidade do Momento A intensidade do momento ( MO) é dada pela relação: onde F representa a força que está sendo aplicada e d representa o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha de ação da força. Notas de Aula : Mecânica

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Direção do Momento A direção de MO é definida pelo seu eixo do momento, que é perpendicular ao plano que contém a força F e seu braço do momento d. Utilizando a regra da mão direita podemos estabelecer o sentido da direção de MO. de acordo com essa regra a curva natural dos dedos da mão direita, quando eles são dobrados em direção a palma da mão representa a tendência da rotação causada pelo momento e o polegar nos dá a o sentido direcional de MO.

Momento Resultante No problemas bidimensionais, onde todas as forças estão no mesmo eixo x~y, o momento resultante (MR)O em relação ao ponto O ( o eixo z) pode ser determinado pela adição algébrica dos momentos causado no sistema por todas as forças. Por convenção definimos que o momento é positivo quando o giro é no sentido anti-horário e o momento é negativo quando a tendência de giro é no sentido horário.

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Exemplos de aplicação 1) Determine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso. a)

Solução:

(

)(

)

b) Solução:

(

)(

)

2) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na figura abaixo.

OBS: A força de 20N deve ser considerada fazendo a sua decomposição nos eixos x e y. y

x 20N

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Produto vetorial O momento de uma força será formulado com o uso de vetores cartesianos assim veremos alguns conceitos para futuras aplicações. Produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que é escrito: C = A x B. Intensidade A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo eles ( ). Logo, C = AB sen .

entre

Direção O vetor C possui uma direção perpendicular ao plano que contém A e B, de modo que C é determinado pela regra da mão direita; ou seja dobrando-se os dedos da mão direita a partir do vetor A até o vetor B, o polegar aponta na direção de C, como mostra a figura. Para conhecer a direção e a intensidade de C, podemos escrever: C = A × B = (AB sen ) uC Onde o escalar AB sen unitário uC define sua direção.

define a intensidade de C e o vetor

Propriedades do produto vetorial A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A x B B x A. Em vez disso temos:A x B = -B x A.

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Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à propriedade associativa; a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição, A × (B + D) = (A × B) + (A × D)

Formulação Vetorial Cartesiana

Maneira prática de obter esses resultados. Construímos um círculo como o da figura abaixo, então ‘ o produto vetorial’ de dois vetores unitários no sentido anti-horário do círculo produz o terceiro vetor unitário positivo; por exemplo: K x i = J. fazendo o produto vetorial no sentido horário do círculo, um vetor unitário negativo é obtido; por exemplo: i x K = - J.

Desenvolvimento do produto vetorial em forma de vetores cartesianos Considere agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, expressos na forma de vetores cartesianos, temos.

Efetuando as operações de produto vetorial e combinando os termos resultantes,

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Essa equação também pode ser escrita de uma forma mais compacta de um determinante como:

A solução através do determinante é feita usando o teorema de Laplace que diz: “O determinante de uma matriz quadrada M  a ij m x m m  2 pode ser obtido pela soma dos produtos dos

 

elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.” Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento a ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A ij , tal que A ij  (1) i  j  MCij . Assim temos:

Momento de uma força – formulação vetorial Momento de uma foça F em relação ao eixo de momento que passa por O ou mais exatamente em relação ao eixo do momento que passa por O e é perpendicular ao plano de O e F pode ser expresso na forma de produto vetorial:

MO = r x F N Nesse caso, r representa um vetor posição de dirigido de O até algum ponto sobre a linha de ação de F.

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Intensidade A intensidade do produto vetorial é definida por partir do encontro de r e F.

onde o ângulo

(

Assim podemos escrever:

é medido a

)

A direção e o sentido são determinados pela regra da mão direita.

Principio da Transmissibilidade Esse princípio define que F (vetor deslizante) pode agir em qualquer ponto sobre a sua linha de ação e ainda produzir o mesmo momento em relação ao ponto O.

Formulação do Vetor cartesiano Se estabelecemos os eixos coordenados x , y , z , então o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos. Essa relação é utilizada quando for necessário fazer o cálculo do momento de corpos tridimensionais na forma cartesiana. |

|

Onde: representam as componentes x, y, z do vetor posição definido no ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação da força. representam as componentes x, y , z do vetor força. - Se o determinante for expandido, então , teremos: (

)

(

)

(

)

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Momento resultante de um Sistema de Forças Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças o momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela adição vetorial do momento de cada força. Essa resultante pode ser escrita na forma de: ∑(

)

Exemplo de aplicação. Determine o momento produzido pela força F na figura abaixo em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. Solução: Como mostra a figura tanto rA como rB podem ser usados para determinar o momento em relação ao ponto O. Esses vetores são: {

}

{

}

Veja essas forças na figura ao lado

Dessa forma podemos expressar a força F como um vetor cartesiano .

Agora que já conhecemos as componentes cartesianas da força F , podemos calcular o momento em relação ao ponto O. Para isso usamos a relação do determinante.

Cálculo do momento em relação a RA.

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Cálculo do momento em relação a RB.

O princípio dos momentos Como F = F1 + F2, temos: MO = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2 _ O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto.

Para os problemas bidimensionais podemos usar o princípio dos momentos decompondo a força em suas componentes retangulares e depois determinar o momento usando uma análise escalar. Logo temos: MO = Fxy – Fyx

Exemplo de aplicação

1) Determine o momento da força na figura abaixo em relação ao ponto O. Solução: Podemos calcular esse momento de duas maneiras, uma seria usando a forma escalar e a outra usando o princípio dos momentos, vejamos. Solução I ( forma escalar ) 1º ) encontramos o valor do braço (d) através da trigonometria

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Agora aplicamos a definição de momento na forma escalar.

Solução II ( Princípio dos momentos ) 1) Fazemos a decomposição da força F. 2) considerando o sentido anti-horário como positivo e aplicando o princípio dos momentos temos:

(

)

(

)

3) A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura abaixo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.

Solução I ( Análise Escalar): Fazemos a decomposição da força nas componentes x e y. conforme figura abaixo e depois calculamos o momento.

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Solução II ( Análise Vetorial ) Empregando a abordagem do vetor cartesiano, os vetores de força e posição podem ser escritos da seguinte forma:

Desta forma o momento pode ser calculado.

Exercícios:

1) Determine o momento da força em relação ao ponto O.

2) Determine o momento da força em relação ao ponto O.

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3) Determine o momento da força em relação ao ponto O.

4) Determine o momento da força em relação ao ponto O . Despreze a espessura do membro.

5) Se o momento produzido pela força de 4 KN em relação ao ponto A é 10 KN.m no sentido horário, determine o ângulo .

6) O cabo do martelo está sujeito à força de F = 100 N. Determine o momento dessa força em relação ao ponto A. ;

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7) Dois homens exercem forças de F = 400N e P = 250N sobre as cordas, determine o momento de cada força em relação a A. Em que sentido o poste irá girar, horário ou anti-horário?

O poste irá girar no sentido horário

8) De acordo com a figura da questão 7 , se o homem B exerce uma força P = 150N sobre sua corda, determine a intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o poste gire; ou seja para que o momento resultante em relação a A devido as duas forças seja zero.

9) Se as pinças são usadas para prender as extremidades do tubo de perfuração P . Se um torque ( momento) Mp = 1200 N.m é necessário em P para girar o tubo, determine a força que precisa ser aplicada no cabo da pinça F. considere º.

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10) Determine o momento mínimo produzido pela força F em relação ao ponto A. Especifique o ângulo Ɵ ( ) Resp: Mmin= 0 e Ɵ = 146,31º

11) Se FB = 150N e FC = 225N, determine o momento resultante em relação ao parafuso localizado em A.

Resp: M = 291,9 N.m

12) A barra do mecanismo de controle de potência de um jato comercial está sujeita a uma força de 80N. determine o momento dessa força em relação ao mancal em A.

Resp: M = 7,71 N.m

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Momento em Relação a um Eixo Específico Determina-se o momento da força em relação a um ponto do sistema e depois se realiza a projeção sobre eixo que se deseja a partir do produto escalar. O momento de uma força em relação a um eixo especificado pode ser determinado desde que a distância perpendicular da a partir da linha de ação da força até o eixo possa ser determinada. . ( ) onde Ua define a direção do eixo e r é Devemos usar uma análise vetorial, definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo até qualquer ponto sobre a linha de ação da força. Se o valor de Ma calculado é calculado como um escalar negativo, então o sentido da direção de M a é oposto a Ua. Exemplos de aplicação. 1) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os momentos dessa força em relação ao eixo x. Solução:

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2) Determine o momento resultante das três forças na figura abaixo em relação ao eixo x, ao eixo y e ao eixo z. Solução: Lembrando que uma força paralela a um eixo ou na mesma linha de ação do eixo não produz qualquer momento temos: (

)( (

) )(

(

( )

)(

)( (

) )(

)

)

Momento de um Binário Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, mas direções opostas, e são separadas por uma distância perpendicular d ( conforme figura abaixo).

Como a força resultante é zero, o único efeito de um binário é produzir uma rotação ou tendência de rotação em uma direção específica.

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Formulação Escalar O momento de um binário M conforme a figura abaixo é definido como tendo uma intensidade de:

Formulação Vetorial O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial usando a seguinte equação. . A aplicação dessa equação deve ser usada quando calculamos o momento de duas forças em relação a um ponto situado na linha de ação de uma das forças. Se por exemplo os momentos são tomados em relação ao ponto A da figura abaixo, o momento da força –F é zero e o momento da F deve ser calculado usando a equação .

Binários Equivalentes Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois binários é obtido pela soma dos binários.

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Exemplos de aplicação

1) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B. Solução:

Ou então: ∑ O momento é positivo pois ambas as forças produzem giro no sentido anti-horário.

2) Determine a intensidade e a direção do momento de binário agindo sobre a engrenagem.

Solução:

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3) Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrada na figura abaixo. O segmento AB está direcionado 30º abaixo do palno x~y. Solução: O momento das duas forças pode ser calculado em relação a qualquer ponto, então vamos calcular em relação ao ponto O. A força aplicada no ponto A exerce momento só em relação ao eixo y. A forção aplicada em B exerce momento nos três eixos.

( ) (

)

( ) ( temos: Força aplicada no ponto A

(

)

) (

) fazemos o produto vetorial e

Força aplicada no ponto B ( ) ( ) Assim temos que o momento resultante é igual a:

Exercícios de Aplicação.

13) Determine o momento produzido pela força F em relação a diagonal AF do bloco retangular. Expresse o resultado na forma de vetor cartesiano.

: [

]

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14) Determine o momento da força F em relação ao eixo que se estende entre A e C. expresse o resultado como um vetor cartesiano. Resp : (11,51 i + 8,64 j) KN.m

15) Determine o momento produzido pela força F com relação ao segmento AB do encanamento. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. Resp : (-52,8 i – 70,4 j) N.m

16) Determine o momento de binário resultante que age sobre a viga.

Resp : - 740 N.m

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17) Um homem de peso 600 N caminha numa viga de madeira simplesmente apoiada em A e articulada em C. A distância entre A e C é de 4,0 m. O peso da viga é de 900 N e seu comprimento é de 6,0 m. Determine a máxima distância x, indicada na figura, que o homem pode caminhar sobre a viga para que ela permaneça em equilíbrio?

18) Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Resp :

19) Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do ventilador criam um momento de binário MO = 6,0 N.m sobre as mesmas. Determine a intensidade das forças de binário na base do ventilador de modo que o momento de binário resultante no ventilador seja zero.

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20) Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário que age sobre a viga seja 1,5 KN.m no sentido horário. Resp : F = 2,33 KN.m

21) Determine a intensidade necessária dos momentos de M2 e M3 de modo que o momento de binário resultante seja zero.

Resp: M2 = 424,26 N e M3 = 300 N

Simplificação de um sistema de forças e binários Um sistema é equivalente se os efeitos externos que ele produz sobre um corpo são iguais aos causados pelo sistema de forças e momentos binários originais. Nesse contexto, os efeitos externos de um sistema se referem ao movimento de rotação e translação do corpo se este estiver livre para se mover, ou se refere às forças reativas nos suportes se o corpo é mantido fixo. Vamos considerar que uma pessoa está segurando o bastão da figura abaixo que está sujeito a uma força F.

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Se aplicarmos um par de forças F e –F iguais e opostas, no ponto B, onde se encontra a linha de ação da força F.

Observamos que –F em B e F em A se cancelam, deixando apenas a força F em B, conforme figura abaixo.

Observe que a força F foi movida de A para B sem modificar os efeitos externos sobre o bastão, ou seja a reação na empunhadura permanece a mesma. Isso mostra o princípio da transmissibilidade, que afirma que uma força agindo sobre um corpo ( bastão) é um vetor deslizante, já que pode ser aplicado em qualquer ponto ao longo da sua linha de ação. Se F for aplicado perpendicularmente ao bastão, como na Figura (a), então podemos aplicar um par de forças F e –F iguais e opostas no ponto B (b). A força F agora é aplicada em B, e as outras duas forças, F em A e –F em B, formam um binário que produz o momento de binário M = Fd (c).

a)

b)

c)

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Podemos generalizar esse método de reduzir um sistema de forças e binários a uma força resultante FR equivalente agindo no ponto O e um momento de binário resultante (MR)O (decorrente do deslocamento das forças na figura b) usando as duas equações a seguir:

∑

∑

∑

Onde a primeira equação estabelece que a força resultante do sistema seja equivalente à soma de todas forças; A segunda equação estabelece que o momento de binário resultante do sistema seja equivalente à soma de todos os momentos de binários ∑ , mais os momentos de todas as forças ∑ relação ao ponto O.

em

Exemplo de aplicação Substitua o sistema de forças e binários na figura abaixo por um sistema de forças e momento de binário resultante equivalente agindo no ponto O.

Solução: Primeiro fazemos as decomposições das forças de 3KN e de 5KN. Assim temos: Eixo Y : 3KN . sen 30º = 1,5 KN ( para cima) (

)

Mais a força de 4KN para baixo. Eixo X (

)

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Usando o teorema de pitágoras encontramos a força resultante; √(

)

(

)

√

Sua direção Ɵ é dada pelo arc tangente. (

)

Agora substituímos os momentos de binário por o momento resultante. Os momentos de 3KN e 5KNem relação ao ponto O serão determinados usando as componentes x e y. ( )

(

) (

∑ ) (

)

(

) (

) (

)

( ) (

)(

)

( ) (

)(

)

Exercícios de Aplicação.

22) Substitua o sistema de forças que age sobre a treliça por um força e momento de binário resultante no ponto C.

Resp : FR = 4250N , direção 61,9º , M = 9,6 KN.m

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23) Substitua o sistema de forças que age sobre a viga por uma força e momento de binário equivalente no ponto B. Resp: FR = 5,93 KN , direção 77,8º , M = -11,6KN.m

24) Substitua as duas forças por uma força e momento de binário resultante equivalente no ponto C. Considere F = 100N

Resp: FR = 149,6 N, direção 78,4º , M = 26,41N.m

25) Substitua o sistema de forças que age sobre o poste por uma força e momento de binário resultante no ponto A.

Resp: FR = 542N , direção 10,6º , M = 441 N.m

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Redução de um carregamento distribuído simples Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque. O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função ( ) A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças atuantes no sistema e em muitos casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema. A força resultante é igual a área total sob o diagrama de carga.

Exemplo: Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura.

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Solução

Localização da força resultante:

( Intensidade e localização da força resultante )

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Intensidade da Força Resultante de Formas Geométricas mais Simples Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque. O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função ( ) Intensidade da Força Resultante A força resultante de um carregamento distribuído é equivalente à área sob o diagrama do carregamento e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro geométrico dessa área. Dessa forma temos:

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Posição de uma Carga Uniformemente Distribuída - Carga Retangularmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a carga resultante se encontra no meio do retângulo. - Carga triangularmente D istribuída: Para essa tipo de c arregamento a carga resultante se encontra a 1/3 da extremidade que possui maior carga. Carga Trapezoidalmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a carga resultante se encontra através da relação: ( ) Exemplos de aplicação 1) Calcule as reações RA e RB nos esquemas abaixo a)

Solução:

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b)

Solução:

Posição da carga pontual é sempre igual a 1/3 da base do triângulo do lado da maior concentração de carga.

Exercícios de Aplicação.

26) Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga , medindo a partir do ponto A. Para cada caso. a)

Resp : FR = 40,5 KN ; Posição = 1,25m Notas de Aula : Mecânica

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b)

Resp : FR = 9,9 KN ; Posição = 2,51m

c)

Resp : FR = 27 KN ; Posição = 1m

d)

Resp : FR 30 KN ; Posição = 3,4 m

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27)Um carregamento distribuído com p = (800x) Pa atua no topo de uma superfície de uma viga como mostra a figura. Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente. Resp: FR = 6,48 KN , x = 6m

28) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na viga medindo a partir de A. Resp: FR = 75 KN ; x =1,2m

29) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na viga medindo a partir de A.

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30) O vento soprou a areia sobre uma plataforma de modo que a intensidade da carga pode ser aproximada pela função w = (0,5x3) N/m. simplifique esse carregamento distribuído para uma força resultante equivalente e especifique sua intensidade e posição medida a partir de A. Resp:

ESTEVES, Douglas. Resultante de um sistema de forças: Momento. 13-14 de mar de 2014. 34 p. Notas de Aula. Material retirado do livro: mecânica para engenheiros ( estática) 12ª ed do Hibbeler.. .

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