Aula 10

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 10 – Análise de Tensões

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 



 Analisar as tensões principais;   Verificar as tensões tensões de cisalhamento máximas;



 Reconhecer o Circulo de Mohr  para tensões.

ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

ANÁLISE DE TENSÕES PRINCIPAIS

 O estado geral de tensão é caracterizado por seis tensões

•

independentes (3 normais e 3 cisalhantes);  O estado geral de tensão não é comum em engenharia;

•

•

 Engenheiros fazem simplificações e tornam este estado em um plano de tensão, ou seja, um único plano e com três componentes (2 normais e 1 cisalhante). ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

ESTADO GERAL DE TENSÃO

 z

yz xz xy

 y

 x

ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL y xy

 z

•

= 0;

 yz =

0;

 xz =

0.

•

•

xy x

x

xy

xy y ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL

Na pr prát átiica da en enge genh nhar aria ia,, mu muit itas as ve veze zess é im impo port rtan antte determinar a orientação dos planos para encontrar situações particulares (tensões máxima e mínima). As tensões normais e as tensões de cisalhamento variam continuamente quando os eixos são rotacionados através do ângulo q, nos planos em que as tensões agem. Observe a figura a seguir. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

y DE TENSÃO NO PLANO TRANSFORMAÇÃO y’

xy

x' x'y’

 xy

q

x

x

xy y' x'

xy

x'y’

y

 x  x’

y

 y’

xy  x’y’ ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

TRANSFORMAÇÃO TRANSFORMA ÇÃO DE TENS TENSÃO ÃO NO PLANO PLANO - EXPRE EXPRESSÕE SSÕESS Abaixo temos as relações que fazem as transformações  

  x '

  y '





  x



x

 

   y

2   x

   y

2   x

  x ' y '

 

 

y

x’





  x  

  x  

   y

 

 

2    y

 

2

 



 

y’



xy



x’y’

sen(2q ) . cos(2q )    xy .sen

sen( 2q ) . cos( 2q )    xy .sen

   y

2

se n( 2q    )    xy . cos( 2q ) .sen ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

ANÁLISE DE TENSÕES AULA 10  

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1

O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento da figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 50 MPa

25 MPa

80 MPa

q   300

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 Da figura e observando a convenção de sinais temos que:  x=

- 80 Mpa;  y= + 5 0 M p a ; xy = - 2 5 M p a e   = - 30º   x '

  

 x '





  x

   y

2 



80  50 2

  x



 



   y

 

 

2

sen(2q ) . cos(2q )    xy .sen

80  50 2

. cos( 60º )  25. sen(60º )

15  65.(1 / 2)  25.( 3

)  25,8 M  MPa Pa

   x '

  

2

ANÁLISE DE TENSÕES AULA 10  

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1   y '



 y ' 

  

  x

   y

2 



  x  

   y

 

 

2

. cos( 2q )    xy .sen sen( 2q )

80  50   80  50 . cos( 60º )  (25). se  sen n(60º ) 2 2

 MPa Pa 15  65.(1 / 2)  25.( 3 )  4,15 M 2

 y '  

  

  x ' y '

 

 

 

 x ' y '

  x

   y

. sen(2q )    xy . cos( 2q )

2  80  50 2







. sen( 60º ) 25. cos( 60º )

 

 MPa Pa 68,8 M

ANÁLISE DE TENSÕES AULA 10  

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO Para determinarmos tais valores devemos derivar a seguinte

equação e igualar a zero:   x '



  x

   y

2



  x  

Assim,

   y

2  

d   d q 

 x '

2.

 

 

 

 x

sen(2q ) . cos( 2q )    xy .sen

    y

2

. sen( 2q )  2  xy . cos( 2q )  0

t g (2q  p ) 

2.  xy ( 

    x  y

)

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q  qp1   e q  qp2)

onde as tensões normais são máxima e

mínima. Fazendo as substituições devidas, teremos:   

1, 2 

  

 x

    y

2

    y 2

  

 

( 

 x

)

 

2

 (  xy )

2

Depe De pend nden endo do do si sina nall ut util iliz izad ado, o, de dete term rmin inar arem emos os o va valo lorr máximo ou mínimo.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO Para determinarmos este valor devemos derivar a seguinte

equação e igualar a zero:   x ' y '

Assim,

 

  x  

   y

2

d  

 

 x ' y '  

d q 

se n (2q    )    xy . cos( 2q ) .sen

2.

    x  y

2

. cos( 2q )  2  xy . sen( 2q )  0

t g ( 2q  p ) 



(  x

   y

2.  xy

)

ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10  

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q  qp1 e q  qp2)

onde a tensão cisalhante é máxima máxima.. Os planos

para tal cond ndiição sã sãoo aquele less rotacio iona naddos de 45 45ºº em relação aos planos de tensão principal.   

máxima 

  

( 

 x

     y  

2

) 2  (   xy ) 2

Neste plano, ocorre uma tensão normal denominada média e   x

dada por:  média



   y

2

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Suponha que uma torção T seja aplicada a uma barra e prod pr oduz uzaa um es esta tado do de cis isal alha hame ment ntoo pu puro ro no ma matter eria ial. l. Determine:

a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão média associada; b) As tensões principais.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 x = y= 0 e xy= - •

 x     y

     máxima



máxima 

  

 média



 média





( (

)

2 00

  x

2 2

2



2

 (   xy )

) 2  (  ) 2

   y

00

2

0

    

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 x = y= 0 e xy=  •

 2

tg (2q  p )

0

q  45

  x '



  x

q  p1

   y

2



1

  x





 

( 45º e  

   y

2   

2. 



 x

 2

 

2.  xy 

   y

q  p 2



) 

0 0 135º

 . cos( 2q )    xy . se  sen n(2q )

e

 1

  

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

– EX 2 APLICANDO 2O. CONHECIMENTO   2 .  xy

tg ( 2q  p )  •

 

(  x

   y

)

 

00

 q  p1 

45º  e q  p 2



135º

= - 

 

  Substituindo 45º e 135º   x

'

     e   y      '

2

q  450

 

1=



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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

 MOHR

CÍRCULO DE PARA TENSÕES. Neste tópico, é possível mostrar que as equações para tran anssformação da tens nsãão no plano têm uma solu luçção gráfica que muitas vezes é mais conveniente.

Além disso, essa abordagem nos permite   “visualizar”  qual será a variação das componentes de tensão normal e tensão de cisalhamento, à medida que o plano em que agem é orientado em diferentes direções.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

 MOHR

CÍRCULO DE PARA TENSÕES. A partir das equações:   x '



  x

   y

2



  x  

   y

 

2

 

. cos( 2q )    xy .sen(2q ) 

  x ' y '

 

  x  

   y

2

.sen   (2q    )    xy . cos( 2q )

É possível escrever que: [  x '  (

  x

   y

2

(  x '   médio )  R  (

  x

2

)]

2    x ' y ' 

2    x ' y ' 

   y

2

2

2 ) 2    xy

 R

2

(

  x

   y

2

2 ) 2    xy

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

CÍRCULO DE  MOHR PARA TENSÕES.

(x   – y)/2

C  

médio

()

xy

R A

()

x

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 Devido a carga aplicada a um cilindro maciço um ponto A

fica submentido ao estado de tensão abaixo. Desenhe o círculo de Mohr. 12 MPa

6 MPa

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 Pela convenção: x = -12 MPa; y= 0 e xy= -6MPa

 Centro do círculo:  X C   (  Ponto inicial A:

•

   x   



y  MPa Pa        )  6 M 2

•

  x

 X  A Y  A

 MPa 

 6

   y

 12  6 

2

2

 MPa

 12

   xy  6

 MPa   x

•

 Raio R:

 R  (

   y  

2 

2

)

2    xy 

 MPa Pa 8,49 M

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

APLICANDO O CONHECIMENTO 12 – EX 3

A R

6 2qp



C

6



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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: 

  

 As tensões principais;   As tensões de cisalhamento máximas; máximas;  O círculo de Mohr  para  para tensões;   Aplicações.