Aula 09 - Sistema de Partículas

Sistema de partículas Prof. Me. João Vitor Paulin

Centro de massa

Centro de massa

Centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

Posição do centro de massa: 2 partículas

 A posição do centro de massa é uma média das posições de duas partículas dos sistema, ponderada pelas suas respectivas massas.

Posição do centro de massa: n partículas

 A posição do centro de massa é uma média das posições de todas as partículas dos sistema, ponderada pelas suas respectivas massas.

Velocidade: 2 partículas

Aceleração: 2 partículas

Movimento 3D do CM para n partículas

2ª Lei de Newton para n partículas

Exemplo 01: 

Calcule a posição do centro de massa do sistema abaixo.

Exemplo 01: 

Calcule a posição do centro de massa do sistema abaixo.

CM de corpos contínuos uniformes 

Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:

CM de corpos contínuos uniformes 

dm pode pertencer a:

- Fio (densidade linear): - Superfície (densidade superficial): - Volume (densidade volumétrica): 

Se o corpo (volume) tiver uma densidade uniforme:

CM & Simetrias 

Se um corpo possui um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o CM situa-se nesse ponto, linha ou plano.

Importante:  o CM de um corpo não é necessariamente um ponto do corpo!

Exemplo 02: 

Um disco metálico de raio 2R   tem um orifício de raio R , como mostra a figura. Localize as coordenadas do centro de massa do disco, sabendo-se que sua massa está uniformemente distribuída com densidade superficial.

Exemplo 02: Disco M

Disco m

Tomando como origem o centro do disco:

(Simetria)

Momento linear 

O momento linear (ou quantidade de movimento ou momentum) de uma partícula é uma quantidade vetorial definida como:



O momento linear de um sistema de N  partículas é a soma vetorial dos momentos lineares individuais:

Conservação do momento linear 

2ª lei de Newton:

 A força resultante que atua numa partícula é dada pela taxa da variação do momento linear da partícula.

Impulso & Momento linear

Impulso & Momento linear

Te o r em a d o Im p u l s o -M o m e n t o L i n e ar

 A variação do momento linear durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força resultante que atua sobre a  partícula durante esse intervalo.

Impulso & Momento linear

No SI: Momento linear: kg.m/s = N.s Impulso: kg.m/s = N.s

Exemplo 03: 

Um canhão de massa M = 100 kg  dispara uma bala de massa m = 1,0 kg com velocidade de 300 m/s em relação ao canhão. Imediatamente após o disparo, quais são a velocidade da bala e do recuo do canhão?

Exemplo 03:

M = 100 kg m = 1 kg vrel = 300 m/s v0 = ? V0 = ?

Colisão 

Em Física, dá-se o nome de colisão a uma interação entre duas partículas (dois corpos) cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia.

Colisão 

Durante uma colisão as forças internas do sistema são muito maiores que as forças externas que podem agir sobre ele.



Durante a colisão podemos desprezar as forças externas (já que o sistema é agora isolado) e dizer que: “imediatamente após uma colisão, o momento total do sistema que colide é igual ao momento total do sistema imediatamente antes da colisão.”



O momento linear é apenas transferido de uma partícula à outra.

Exemplo 04: 

Suponha que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquira a velocidade de 1,0 m/s. Determine o impulso transmitido e a força média exercída pela bola branca na colisão, sabendo que a bola de bilhar apresenta uma massa de 0,3 kg e que o contato dura 10-3 s.

Exemplo 04: O impulso transmitido pela bola branca é igual a variação do momento linear da bola atingida

Colisão: Classificação

Colisão

Subtipo

Momento linear

Energia cinética

Observação

Elástica

-

Conserva

Conserva

-

Conserva

Não é conservada

-

Não é conservada

 Após a colisão, o sistema move-se como um só corpo

Parcialmente

Inelástica Totalmente

Conserva

Colisão elástica Unidimensional

Bidimensional

Conservação do momento linear

Conservação do momento linear

Conservação da energia cinética

Colisão inelástica Conservação do momento linear

Conservação da energia cinética

Exercícios Sistema de partículas

Exercício 01. 

Três varas finas, cada uma de comprimento L, estão arranjadas na forma de um U invertido, como mostra a figura. Cada uma das valaras que formam os braços do U tem massa M e a terceira vara (horizontal) tem massa 3M. Onde está localizados o centro de massa do conjunto?

Exercício 02. 

 A figura mostra uma placa de dimensões d1  = 11,0 cm, d2  = 2,80 cm e d3  = 13,0 cm. Metade da placa é feita de alumínio (densidade = 2,70 g/cm³) e a outra metade de ferro (densidade = 7,85 g/cm³), como mostrado. Onde está o centro de massa da placa?

Exercício 03. 

Determine a posição do centro de massa de uma chapa em forma de quadrante de círculo de raio a.

Exercício 04. 

Uma bala de 3,54 g é atirada horizontalmente sobre dois blocos em repouso sobre uma mesa sem atrito, como mostra a Figura. A bala passa através do primeiro bloco, de 1,22 kg de massa, e fica engastada no segundo, de massa de 1,78 kg. Os blocos adquirem as velocidade de 0,630 m/s e 1,48 m/s respectivamente. Desprezando a massa removida do primeiro bloco pela bala, determine (a) a velocidade da bala imediatamente após emergir do primeiro bloco e (b) sua velocidade original.

Exercício 05. 

Uma partícula A e uma partícula B são empurradas uma contra a outra, comprimindo uma mola colocada entre elas. Quando são liberadas, a mola as arremessa em sentidos opostos. A massa de A é duas vezes a massa de B, e a energia armazenada na mola era de 60 J. Suponha que a mola tenha massa desprezível e que toda a energia armazenada seja transferida para as partículas. Depois de terminada essa transferência, qual é a energia cinética de cada uma das partículas?

Exercício 06. 

Dois pêndulos, cada um de comprimento l estão, inicialmente, posicionados como mostra a figura. O primeiro pêndulo é solto e atinge o segundo. Suponha que a colisão seja completamente inelástica e despreze a massa dos dois e quaisquer efeitos resultantes do atrito. Até que altura o centro de massa sobre após a colisão?

Exercício 07. 

Um próton (massa atômica 1,01 u) choca-se elasticamente, a 518 m/s, com outro próton parado. O primeiro próton é desviado 64,0° de sua direção inicial. (a) Qual é a direção da velocidade do próton alvo após o choque? (b) Quais as velocidades dos prótons depois do impacto?