Augustos de Morgan

 

Augustos De Morgan

Augustus De Morgan (27 de junio de 1806 - 18 de marzo de 1871) fue un matemático y lógico nacido en la India. Profesor de matemáticas en el Colegio Universitario de Londres entre 1828 y 1866; primer presidente de la Sociedad de Matemáticas de Londres. De Morgan se interesó especialmente por el álgebra. Fue tutor de Ada Lovelace. Escribió varias obras de lógica en las que se encuentra la idea de aplicar en esta esfera los métodos matemáticos, así como los primeros resultados de tal aplicación. En la moderna lógica matemática, llevan el nombre de De Morgan las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: «la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones»; «la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones».

Su obra principal se titula La lógica formal o el cálculo de inferencias necesarias y probables (1847)

 

George Boole

Matemático británico. Autodidacta, fundó su propia escuela de enseñanza elemental. Publicó diversos artículos sobre la combinación del álgebra y el cálculo, y desarrolló un álgebra propia, que aplicó a la lógica, sosteniendo que ésta debería ser una rama de las Matemáticas, en lugar de la Filosofía. Fue el iniciador de la lógica simbólica, que representa los procesos del razonamiento mediante símbolos matemáticos. Sus trabajos impresionaron a sus colegas de la época, lo que le ganó en 1849 el puesto de profesor del Queen´s College de Cork, que le fue ofrecido a pesar de que no tenía título universitario.

 

Gottlob Frege

La actividad intelectual de Gottlob Frege (1.848 - 1.925) siempre estuvo orientada hacia

temas

de

la

lógica

y

de

la

matem&oaacute;tica.

En un artículo de 1.914, La lógica en la matemática, Frege afirma que la labor del matemático está dominada por la deducción y la definición, dos actividades que dependen de leyes lógicas; debido a esto, la matemática se haya ligada más estrechamente a la lógica que a cualquier otra ciencia. De ahí que Frege considerase a las matemáticas como una extensión de la lógica. De hecho, su programa de fundamentación de las matemáticas puras consistía en demostrar que éstas tratan exclusivamente con conceptos reducibles a un pequeño número de nociones lógicas. Para Frege, la lógica era la teoría más básica o fundamental, irreductible a otra, siendo sus principios verdades irrefutables e indudables; no habría saber anterior a la lógica, ninguno de sus principios reposa o es deducible de principios de otras ciencias, al contrario, es sobre la base que proporciona la lógica de donde toda teoría se constituye.

 

Giuseppe Peano

El papel del matemático italiano Giuseppe Peano fué crucial en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor, mediante reglas de juego, del proceso de la demostración. La lógica de enunciados y Peano: 

Hasta el año 1878, en el que comenzó a publicarse una serie de artículos de Hugh Mc Coll (1837-1909) sobre el "Cálculo de enunciados equivalentes", equivalentes", se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a partir de entonces cuando se empezó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda la lógica matemática es la teoría de enunciados, y no la teoría de clases. La gran aportación de Peano al respecto fue la idea de que es posible poner todas las argumentaciones de la lógica de enunciados y de la lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones. En este sentido, afirmaba que "todos los teoremas de la matemática sin implicaciones entre enunciados". Esta idea de Peano fue inspiradora de la definición que Russell y Whitehead daban en los Principia Mathematica del concepto que tenían de la Matemática: Matemática: La matemática es la clase de los enunciados de la forma "si A entonces B", estando los enunciados A y B sujetos a ciertas limitaciones. Para Peano la Lógica Matemática era, realmente, la Lógica de la Matemática, esto es, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las argumentaciones del quehacer de la matemática

 

  Bertrand Rusell

Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de uno de los creadores de la logística y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosofía científica contemporánea. Lo fundamental de su obra está en sus aportes a la lógica. Decididamente antiaristotélico, llegó a afirmar que quien quería iniciarse en la lógica debía comenzar por no estudiar la lógica de Aristóteles. Por influencia de los trabajos de Cantor descubrió en la teoría de conjuntos varias paradojas que resolvió mediante la teoría de los tipos; años más tarde establecería una teoría similar, la de la jerarquía de los lenguajes, para eliminar las paradojas semánticas. Siguiendo los trabajos de Cantor, Peano y Frege, Rusell se propuso fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culminó con la publicación (1910-1913) de los monumentales ''Principia Mathematica'' Mathematica '' (en colaboración con Whitehead), obra que, además, sentaba las bases de la moderna lógica formal.

 

Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978) tuvo múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y la prueba de incompletez semántica. En ''Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal'' establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.