Aturan Sinus, Cosinus Dan Luas Segitiga

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL REPUBLIK INDONESIA

Mempersembahkan

APLIKASI SI NUS, COSI NUS D AN L UAS SE GITIGA Untuk Kelas X SMA Disusun Oleh :

Padiya,S.Pd.

Semester 2

Pengajar Matematika SMAN 1 Rantau Kabupaten Tapin Propinsi Kalimantan Selatan

STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan perbandingan , fungsi, persamaan, dan identitas trigonomteri dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR 1. Menngunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri, rumus sinus dan rumus kosinus dalam pemecahan masalah. 2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan

INDIKATOR Membuktikan rumus sinus dan rumus kosinus Menggunakan rumus sinus dan rumus kosinus dalam penyelesaian soal. Menghitung luas segitiga yang komponennya diketahui Menghitung luas segibanyak tertentu dengan menggunakan rumus luas segitiga

TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa dapat : • Membuktikan aturan sinus • Menghitung unsur-unsur segitiga dengan menggunakan aturan sinus. • Membuktikan aturan kosinus. • Menghitung unsur-unsur segitiga dengan menggunakan aturan kosinus • Membuktikan rumus luas segitiga. • Menghitung luas suatu segitiga • Menghitung luas segibanyak tertentu dengan menggunakan rumus luas segitiga

MENU UTAMA ATURAN SINUS ATURAN KOSINUS

LUAS SEGITIGA

SELESAI

PILIH SALAH SATU (TEKAN

ATURAN SINUS Pada segitiga ABC berlaku

BUKTI :

B

Perhatikan segitiga ABC di samping.

A

Pada segitiga ABC tersebut sisi AB = c, sisi AC = b dan sisi BC = a.

b

c

a D

a b c = = SinA SinB SinC

C

Pada segitiga ABC tersebut buatlah garis tinggi AD.

Perhatikan segitiga ADB dan segitiga ADC siku-siku di D di samping. Pada segitiga ADB tersebut berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut : AD SinB = AB ⇒AD = AB.sin B

A

b

c

⇒ AD= c.sin B (1) B

aD

C

Pada segitiga ADC siku-siku berlaku di D AD ⇒AD = AC.sin C

SinC =

AC

⇒AD = b.sin C (2)

Dari (1) AD = c.SinB dan (2) AD = b.SinC diperoleh hubungan sebagai berikut: c.sin B = b.sin C

b c = SinB SinC

(3)

Perhatikan segitiga AEC dan segitiga BEC siku-siku di E di samping. Pada segitiga AEC berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut : EC SinA = AC ⇒ EC = AC.sin A

C

a b

A

E c

Pada segitiga ABC di atas buatlah garis tinggi CE.

B

⇒ EC= b.sin A (4) Pada segitiga BEC siku-siku di E berlaku :

EC ⇒ EC = BC.sin B SinB = BC ⇒ EC = a.sin B (5)

Dari (4) EC = b.SinA dan (5) EC = a.SinB diperoleh hubungan sebagai berikut: b.sin A = a.sin B

a b = SinA SinB

(6)

b c = SinB SinC

(3)

b a = SinB SinA

(6)

Dari rumus (3) dan (6) di atas diperoleh hubungan sebagai berikut :

a b c = = SinA SinB SinC Rumus terakhir dikenal dengan

ATURAN SINUS

CONTOH SOAL •

Pada segitiga ABC diketahui ∠ A = 30o, ∠ B = 45o dan sisi a = 6 cm. Tentukanlah : a. besar ∠ C.

b. panjang b.

Jawab : •

Dalam ∆ ABC berlaku ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180o, maka ∠ C = 180o - ∠ A - ∠ B = 180o – 30o – 45o = 105o Jadi besar ∠ C = 105o

b.

a b 6 b = ⇒ = SinA SinB Sin30 o Sin 45o 6.Sin 45o 6.0,7071 b= = =8,49 o Sin30 0,5

Jadi panjang b = 8,49 cm

ATURAN SINUS Pada segitiga ABC berlaku a b c = = SinA SinB SinC

APLIKASI ATURAN SINUS Aturan sinus secara umum dapat diaplikasikan (digunakan) untuk menentukan unsur-unsur pada sebuah segitiga yang belum diketahui, apabila unsur-unsur yang lainnya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam sebuah segitiga dapat terdiri dari 1) sisi, sudut, sudut disingkat ss, sd, sd 2) sudut, sisi, sudut disingkat sd, ss, sd 3) sisi, sisi, sudut disingkat ss, ss, sd

CONTOH : 1. Pak Udin ingin mengukur panjang batas-batas kebunnya yang berbentuk segitiga. Pada titik-titik pojok kebun ditempatkan tonggak A, B dan C. Jika jarak tonggak A dan B = 70 m dan ∠ ABC = 40o ; ∠ BCA = 60o, tentukan panjang batas kebun Pak Udin lainnya yang belum diketahui !

Penyelesaian: Keadaan kebun Pak Udin di atas dapat kita gambarkan sebagai berikut : 70 m

A

40o 60o C

B

Pada gambar di samping Diketahui : Panjang AB = c = 70 m ∠ ABC = ∠ B = 40o ∠ BCA = ∠ C = 60o (sisi, sudut, sudut) Yang belum diketahui : ∠ BAC = ∠ A = …..? Panjang AC = b = ….? Panjang BC = a = ….?

Pada segitiga ABC berlaku : ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180o ∠ A = 180o - ∠ B - ∠ C = 180o – 40o – 60o = 80o *) Menentukan panjang BC = a sebagai berikut :

a c c.SinA = ⇒a= SinA SinC SinC o 70.Sin80 70.0,9848 a= = = 79,60 o Sin60 0,8660 Jadi panjang BC = a = 79,60 m

*) Menentukan panjang AC = b sebagai berikut :

b c c.SinB = ⇒b= SinB SinC SinC 70.Sin 40o 70.0,6428 b= = = 51,96 o Sin60 0,8660 Jadi panjang AC = b = 51,96 m Dengan demikian panjang batas-batas kebun pak Udin yang lain adalah panjang BC = 79,60 m dan panjang AC = 51,96 m

2. Pada pukul 09.00 WIB kapal KAMBUNA berlayar dari Tanjung Priok dengan arah 060o dan kecepatan rata-rata 8 mil/jam. Pada pukul 11.00 WIB kapal itu mengubah haluan menjadi 085o dengan kecepatan tetap. Berapakah jarak kapal KAMBUNA dari Tanjung Priok pada pukul 13.00 WIB dan bagaimana arahnya ?

Penyelesaian : Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut : U O Kec = 8 mil/jam 85 U R B pukul 13.00 WIB T Kec = 8 mil/jamQ pukul 11.00 WIB

60O

B

S T

P Tanjung Priok pukul 09.00 WIB S

Panjang PR = ….? ∠ UPR = ….?

Pada gambar di atas ∠ PQS = ∠ UPQ = 60o (sudut berseberangan) ∠ TQR = ∠ UQT - ∠ UQR = 90o - 85o = 5o ∠ PQR = ∠ PQS + ∠ SQT + ∠ TQR = 60o + 90o + 5o = 155o

Karena kecepatan kapal tetap yaitu 8 mil/jam, dan lama perjalanan dari P ke Q sama dengan dari Q ke R yaitu 2 jam , maka : PQ = QR = 2 jam x 8 mil/jam = 16 mil Dengan demikian segitiga PQR adalah segitiga sama kaki, sehingga ∠ QPR = ∠ QRP = ½ (180o - ∠ PQR) = ½ (180o - 155o) = ½ (25o) = 12,5o Pada segitiga PQR berlaku : PR QR QR.SinQ = ⇒ PR = SinQ SinP SinP 16.Sin155o 16.0,4226 PR = = = 32,25 o Sin12,5 0,2164

Jadi jarak kapal KAMBUNA dari pelabuhan Tanjung Priok pada pukul 13.00 WIB adalah 32,25 mil dengan arah 072,5o (yaitu ∠ UPR = ∠ UPQ + ∠ QPR = 60o + 12,5o = 72,5o)

APAKAH ANDA SUDAH MENGERTI ???? SUDAH = BELUM = PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

ATURAN KOSINUS 2 2 2 Pada setiap segitiga b +c −a CosA = ABC berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.Cos A b2 = a2 + c2 – 2.a.c.Cos B c2 = a2 + b2 – 2.a.b.Cos C

2bc 2 2 2 a +c −b CosB = 2ac 2 2 2 a +b −c CosC = 2ac

Perhatikan segitiga ABC di samping. C(b.cos A, b.sinA) Jika segitiga tersebut kita C letakkan pada bidang koordinat kartesius dengan titik A berimpit pada titik asal O(0,0) dan sisi AB berimpit a dengan sumbu X. Maka diperoleh koordinatkoordinat titik sudut segitiga itu sebagai berikut.

BUKTI : Y

b

X O A(0,0) A c

B(c,0) B

Titik A(0,0) , Titik B(c,0) Titik C(b.cos A, b.sinA)

Y

Kita cari panjang BC dengan menggunakan rumus jarak : C C(b.cos A, b.sinA) BC2 = (b.cosA – c)2 + (b.sinA-0)2 a2 = b2.cos2A – 2.b.c.cos A + c2 +

b

b2.sin2A a2 = b2 ( cos2A + sin2A ) + c2 -

a

2.b.c.cosA karena cos2A + sin2A = 1, maka

X O A A(0,0) c

B(c,0) B

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

atau

b2 + c2 − a 2 CosA = 2bc

Dengan cara yang sama, jika kita letakkan sudut B pada titik asal O(0,0) dan sisi BC berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh : 2 2 2

b = a + c − 2ac.CosB a + c −b atau cos B = 2ac 2

2

2

Demikian juga , jika kita letakkan sudut C pada titik asal O(0,0) dan sisi CA berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.CosC a2 +b2 −c2 atau cos C = 2ab Rumus-rumus di atas dinamakan

ATURAN KOSINUS

CONTOH SOAL Pada segitiga ABC diketahui ∠A = 60o , b = 5 cm dan c = 6 cm. Tentukan panjang a !. Jawab : a 2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A a2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos 60o = 25 + 36 – 60. ½ = 61 – 30 = 31 a = √ 31. Jadi panjang a = √31 cm.

ATURAN COSINUS

Pada segitiga ABC berlaku a = b + c − 2bc.CosA 2

2

2

b = a + c − 2ac.CosB 2

2

2

c = a + b − 2ab.CosC 2

2

2

APLIKASI ATURAN COSINUS

Aturan cosinus secara umum dapat diaplikasikan (digunakan) untuk menentukan 1. Panjang sisi pada sebuah segitiga yang belum diketahui, apabila dua sisi lainnya dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu diketahui (ss,sd,ss) 2. Besar sudut-sudut sebuah segitiga jika panjang ketiga buah sisinya telah diketahui (ss,ss,ss)

CONTOH : 1. Sebuah bola bilyard bergerak dengan arah 060o sejauh 40 cm, kemudian memantul dan bergerak dengan arah 280o sejauh 35 cm. Tentukan jarak dan arah posisi akhir bola bilyard dari posisi awal. !

Penyelesaian : Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut : Pada gambar disamping ∠ KLS = ∠ UKL = 60o ∠ KLB = ∠ BLS - ∠ KLS Posisi akhir bola bilyard U = 90o – 60o = 30o M 35 cm 280O ∠ BLM = 10o L B T ∠ KLM = ∠ oKLB +o ∠ BLM U = 30 + 10 = 40o Dengan demikian pada segi40 cm 60O S tiga KLM diketahui : B T K Posisi awal bola bilyard Panjang KL = m = 40 cm ∠ KLM = ∠ L = 40o S Panjang LM = k = 35 cm Panjang KM = l =….? (ss, sd, ss) ∠ UKM = ….?

Menentukan panjang KM = l adalah sebagai berikut :

l = k + m − 2km.CosL 2

2

2

l = 35 + 40 − 2.35.40.Cos 40 2

2

2

o

l =1225 +1600 − 2800.0,7660 2

l = 2825 − 2144,8 2

l 2 = 680,2 l = 680,2 = 26,08 Jadi jarak posisi akhir bola bilyard dari posisi awal adalah = panjang KM = l = 26,08 cm

Menentukan arah bola bilyard pada posisi akhir dari Posisi awal, sebagai berikut : ∠ UKM = ∠ UKT - ∠ MKL - ∠ LKT KL2 + KM 2 − LM 2 Cos∠MKL = 2.KL.KM 40 2 + 26,08 2 − 352 ⇒Cos∠MKL = 2.40.26,08 1600 + 680,17 −1225 ⇒Cos∠MKL = 2086,4 1055,17 ⇒CosMKL = = 0,5057 2086,4 ⇒∠MKL = 59,62 o

Dengan demikian ∠ UKM = ∠UKT - ∠ LKT - ∠ MKL = 90o -30o-59,62o=0,38o Jadi dengan demikian jarak bola bilyard pada posisi akhir dari posisi awal adalah = panjang KM = 26,08 cm dengan arah 0,38o

APAKAH ANDA SUDAH MENGERTI ???? SUDAH = BELUM = PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

LUAS SEGITIGA C

a

b

A

Luas segitiga ABC disamping adalah :

c

L = ½ a.b.sin C

B

atau

L = ½ a.c.sin B

atau

L = ½ b.c.sin A

BUKTI :

C

CD SinA = AC

a

b

A

Luas segitiga ABC di samping adalah : L = ½ x AB x CD (1) Pada segitiga ADC, sikusiku di D berlaku :

D c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

B

⇒CD = AC.sin A (2) Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan sebagai berikut : L = ½ x AB x CD L = ½ x AB x AC.sin A L = ½ .c.b.sinA L = ½ .b.c.sin A

Luas segitiga ABC di samping adalah : L = ½ x AB x CD (3)

C

Pada segitiga BDC, sikusiku di D berlaku : b

A

CD SinB = BC

a

D c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

B

⇒CD = BC.sin B (4) Dari (3) dan (4) diperoleh hubungan sebagai berikut : L = ½ x AB x CD L = ½ x AB x BC.sin B L = ½ .c.a.sinB L = ½ .a.c.sin B

Luas segitiga ABC di samping adalah : L = ½ x AC x BE (5)

B

Pada segitiga BEC, sikusiku di E berlaku : a

c

A

BE SinC = BC

E b

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi BE.

C

⇒BE = BC.sin C (6) Dari (5) dan (6) diperoleh hubungan sebagai berikut : L = ½ x AC x BE L = ½ x AC x BC.sinC L = ½ .b.a.sin C L = ½ .a.b.sin C

CONTOH SOAL 1. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 4 cm, b = 6 cm dan ∠ C = 30o Jawab : L = ½ a.b.sin C = ½ .4.6.sin 30o = 12. ½ = 6 Jadi luas segitiga ABC tersebut adalah 6 cm2 2. Luas segitiga ABC adalah 24√3 cm2. Panjang sisi a = 8 cm dan panjang sisi c = 12 cm. Tentukan besar ∠ B (dua kemungkinan)!. Jawab : 1 L L = ac.SinB ⇒ SinB = 1 2 a.c 2 24 3 24 3 1 SinB = = = 3 1 48 2 .8.12 2 1 SinB = 3 2 maka

B =60 0 atau

B = 120 o

RUMUS LUAS SEGITIGA Pada

segitiga

ABC

berlaku

1 Luas = a.b.SinC atau 2 1 Luas = a.c.SinB atau 2 1 Luas = b.c.SinA 2

APLIKASI RUMUS LUAS SEGITIGA Rumus luas segitiga dapat digunakan untuk menghitung luas segiempat, segilima, segienam dan segi banyak lainnya. Dengan kata lain rumus luas segitiga dapat digunakan untuk menghitung atau menentukan luas segi-n dengan n ≥ 3

Contoh 1 : C

D 6 cm

A

60o 8 cm

B

Pada jajargenjang ABCD di atas diketahui : AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan ∠ BAD = 60o. Hitunglah luas daerah jajargenjang ABCD tersebut.

Penyelesaian C

D 6 cm

A

60o 8 cm

B

Pada jajargenjang tersebut kita bagi menjadi dua buah segitiga yaitu , segitiga ABD dan segitiga BDC yang kongruen (sama dan sebangun)

Luas segitiga ABD adalah L = ½ AB. BD. Sin ∠ BAD L = ½ 8.6.Sin 60o L = ½ 48. 0,8660 L = 20,784 Jadi luas segitiga ABD = 20,874 cm2 Karena segitiga BDC kongruen dengan segitiga ABD, Maka luas ∆ BDC = luas ∆ ABD = 20, 874 cm2

Dengan demikian luas jajargenjang ABCD adalah sama dengan luas segitiga ABD ditambah luas segitiga BDC = 20,784 cm2 + 20.784 cm2 = 41,564 cm2

Contoh 2 : S

T

O

U

8 cm P

8 cm Q

Pada gambar di samping segienam PQRSTU berada dalam sebuah lingkaran R yang berjari-jari 8 cm dan berpusat di O Hitunglah : a. Luas ∆ OPQ b. Luas segienam PQRSTU

Penyelesaian : S

T

O

U

8 cm P

8 cm Q

Pada segienam PQRSTU kita buat enam buah segitiga,yaitu : ∆ POQ, ∆ QOR, ∆ ROS , ∆ SOT, ∆ TOU, dan ∆ UOP yang kongruen Karena PQRSTU merupakan segienam beraturan, maka o o ∠ POQ = 360 /6 = 60 dan R OP = OQ = 8 cm. a. Luas ∆ POQ = ½xOPxOQx sin ∠ POQ = ½ x 8 x 8 x Sin 60o = 32 x 0,8660 = 27,712 cm2

b. Segienam PQRSTU terbentuk dari enam segitiga yang masing-masing kongruen dengan ∆ POQ Jadi luas segienam PQRSTU = 6 x luas ∆ POQ = 6 x 27,712 cm2 = 166,272 cm2

APAKAH ANDA SUDAH MENGERTI ???? SUDAH = BELUM = PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SELAMAT ANDA S UDAH SELESAI MEMPELAJARI RUMUS-RUMUS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

SEMOGA BERHASIL