aturan-sin-cos-dan-luas-segitiga.pdf

Page 1 of 18

Kegiatan Belajar 5 A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 5, diharapkan siswa dapat a. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan sinus b. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan kosinus c. Menghitung luas segitiga sembarang

B. Uraian Materi 4

Aturan Sinus Untuk memahami aturan sinus maka lakukan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.1 Tujuan kegiatan : Menemukan aturan sinus Permasalahan

: Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut) jika diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi.

Kegiatan C

Perhatikan gambar di samping, maka

β

diketahui

E a

∠ CAB = θ, ∠ ABC = ά, ∠ BCA = β

b

AC = b, AB = c dan BC = a θ A

ά

∟

D

c

B

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 2 of 18

1) Perhatikan ∆ BDC maka panjang CD adalah. CD ......... ⇒ CD = sin α × ........ ⇒ sin α =

⇒ CD = ....sin α

( persamaan 1)

2) Perhatikan ∆ ADC maka panjang CD adalah

CD ......... ⇒ CD = sin θ × ....... ⇒ CD = .....sin θ persamaan 2) ⇒ sin θ =

Dengan cara subtitusi, persamaan 1) dan 2) maka didapat persamaan CD = .....sin α

persamaan 1) dan CD = .....sin θ

persamaan 2)

maka didapat persamaan

⇒ .....sin α = .....sin θ a .......... ( persamaan 3) ⇒ = ........ sin α 3) Perhatikan ∆ AEB maka panjang AE adalah. AE ......... ⇒ AE = sin α × ........

⇒ sin α =

⇒ AE = ....sin α

( persamaan 4)

4) Perhatikan ∆ AEC maka panjang AE adalah. AE ......... ⇒ AE = sin β × ........

⇒ sin β =

⇒ AE = ....sin β

( persamaan 5)

Dari persamaan 4 dan 5 maka AE = .... sin α

( persamaan 4) dan AE = .... sin β

( persamaan 5)

Diperoleh persamaan

⇒ .....sin α = .....sin β ⇒

.......... a = ........ sin β

( persamaan 6) Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 3 of 18

Dari persamaan 3 dan 6, dapat disimpulkan bahwa ...... ...... a = = ........ sin ... ....... Dari kegiatan di atas, dapat dirumuskan bahwandalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi- sisi BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi berturut-turut adalah θ, ά, dan β (gambar tampak pada kegiatan 5.1) berlaku aturan sinus berikut :

a b c = = sin θ sin α sin β Aturan ini dapat digunakan untuk mencari unsur-unsur suatu segitiga (panjang sisi dan besar sudut) apabila telah diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi tersebut.

Contoh : 1. Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60o, dan sudut

C = 75o,

jika sin 75o = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB Penyelesaian Buat sketsa gambarnya C

Maka besar sudut B adalah

75o

∠ B = 180o – (∠ A + ∠ C)

a

25 cm

∠ B = 180o – (60o + 75o)

60o A

c

B

∠ B = 180o – 135o ∠ B = 45o

Sehingga

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 4 of 18


Panjang BC BC AC = sin A sin B 25 a ⇒ = o sin 60 sin 45o 25 a ⇒ = 1 1 3 2 2 2 a 2 25 3 ⇒ = 2 2 25 3 2 ⇒a= × 2 2 ⇒

25 3 2 25 6 ⇒a= 2 ⇒a=

Jadi panjang BC adalah

25 6 cm 2


Panjang AB adalah AB AC = sin C sin B c 25 ⇒ = o sin 75 sin 45 o a 25 ⇒ = 0,9659 1 2 2 c 2 ⇒ = 24,1475 2 2 ⇒ c = 24,1475 × 2 ⇒

⇒ c = 24,1475 × 2 ⇒ c = (24,1475) 2 ≈ 34,15 Jadi panjang AB adalah 34,15 cm

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 5 of 18

2. Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 2 cm, sudut B = 45o tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Penyelesaian C

AC AB = sin B sin C 16 8 2 ⇒ = o sin C sin 45 1  2 8 2 ⇒ 16 sin C =  2  8 ⇒ sin C = 16 1 ⇒ sin C = 2 o ⇒ C = 30 ⇒

a 16 cm 45o

( )

A

8 2 cm

B

maka ∠ A = 180o – (∠ B + ∠ C)

∠ A = 180o – (45o + 30o) ∠ A = 105o Jadi besar sudut A adalah 105o dan besar sudut C = 30o

Aturan Kosinus Untuk memahami aturan kosinus maka kerjakan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.2 Tujuan kegiatan : Menemukan aturan kosinus Permasalahan

: Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut) jika diketahui panjang ketiga sisi dan salah satu sudut.

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 6 of 18

Kegiatan C θ a ∟

b β A

c

ά

D

B

1) Perhatikan ∆ ADC CD AC ⇒ CD = ......sin β ⇒ sin β =

...... AC ⇒ ....... = b. cos β

( persamaan 1)

⇒ cos β =

( persamaan2)

2) Perhatikan ∆ BDC, dengan menggunakan teorema pythagoras, dengan mensubtitusikan persamaan 1 dan 2 diperoleh CB2 = DB2+ CD2 CB2 = (AB – AD)2 + CD2 CB2 = (AB2 – 2(AB)(AD) + AD2) + CD2 a2 = (c2 - 2c.b.cos β +( ....... cos β)2) + (…… sin β)2 a2 = c2 - 2cb.cos β + b2………. + b2 ……… a2 = c2- 2cb.cos β + b2(…………+ ………) a2 = ……+ …… - 2cb.cos β Dengan cara yang sama kita juga bisa melakukan langkah untuk sudut ά dan sudut θ. Secara umum dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi tersebut adalah β, ά dan

θ, berlaku aturan kosinus sebagai berikut :

• a 2 = b 2 + c 2 − 2bc. cos α • b 2 = a 2 + c 2 − 2ac. cos β • c 2 = a 2 + b 2 − 2ab. cosθ Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 7 of 18

Contoh : 1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60o, tentukan panjang sisi AB Penyelesaian C 60o

4 cm

6 cm

A

B

⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2( AC )( BC ). cos C ⇒ AB 2 = 6 2 + 4 2 − 2(6)(4). cos 60 o ⇒ AB = 36 + 16 − 2(24)( 12 ) ⇒ AB = 52 − 24 ⇒ AB = 28 ⇒ AB = 2 7 Jadi panjang sisi AB adalah 2 7 cm

2. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 5 cm, tentukan sin A Penyelesaian C 60o

5 cm

8 cm

A

7 cm

B

⇒ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc. cos A ⇒ 5 2 = 8 2 + 7 2 − 2(8)(7). cos A ⇒ 25 = 64 + 49 − 2(56). cos A ⇒ 25 − 113 = −112. cos A 88 112 11 x ⇒ cos A = → 14 r ⇒ cos A =

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 8 of 18

maka y = r 2 − x2 y = 196 − 121 y = 75 y=5 3 Sehingga nilai sin A =

5 3 14

Luas Segitiga Untuk memahami menentukan luas segitiga maka kerjakan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.3 Tujuan kegiatan : Menemukan rumus menghitung luas segitiga dengan perbandingan trigonometri Permasalahan

: Bagaimana menetukan luas segitiga yang diketahui unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut).

Kegiatan C

Perhatikan segitiga ABC di samping, panjang CD :

θ a ∟

b β A

c

D

CD AC ...... sin β = b CD = ..... sin β

sin β =

ά B

atau atau atau

CD BC ........ sin α = a CD = .... sin α

sin α =

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 9 of 18

Luas segitiga ABC di atas adalah 1 L ∆ ABC = .(alas )(tinggi ) 2 1 L ∆ ABC = (.......)(CD ) 2 1 L ∆ ABC = (......)(.............) 2 1 L ∆ ABC = .................. 2

1 (.......)(............) 2 1 = ............... 2

atau

L ∆ ABC =

atau

L ∆ ABC

Contoh : 1. Tentukan luas segitiga ABC, jika diketahui AB = 15 cm, BC = 10 cm, ∠ B = 30o. Penyelesaian C

1 ( AB ) BC sin 30 o 2 1 1 = (15)(10 )  2 2 75 = 2 = 37,5 cm 2

(

L ∆ ABC = 10 cm

L ∆ ABC 30o A

15 cm

B

L ∆ ABC L ∆ ABC

)

2. Tentukan luas segitiga PQR, jika diketahui ∠P = 120o, panjang PR = 10, PQ = 8 . Penyelesaian

1 (PQ )(PR )sin P 2 1 = (10 )(8)sin 120 o 2 1  = 5(8) 3 2 

L ∆ PQR =

R

L ∆ PQR

10 cm Q

120o P

8 cm

L ∆ PQR

L ∆ PQR = 20 3 cm 2

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 10 of 18

3. Hitunglah luas segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisinya a = 3 m, b= 8 m, c = 9 m Penyelesaian C

8 m

A

Dicari 3m

B

9 m

dahulu

salah

satu

sudutnya

dengan

menggunakan aturan kosinus.

82 = 92 + 32 − 2(9)(3). cos B 64 = 81 + 9 − 54. cos B 64 − 90 cos B = − 54 26 cos B = 54 13 cos B = 27

y = 27 2 − 132 y = 729 − 169 y = 560 y = 4 35 sin B =

4 35 27

Jadi luas segitiga ABC adalah 1 (9)(3)sin B 2 27  4  L= 35   2  27  L=

L = 2 35 cm 2

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 11 of 18

C. Rangkuman 5 Pada segitiga ABC, jika panjang AB = c, AC = b, BC = a, ∠ A= β, ∠ B = ά, ∠ C = θ, C θ b

a

β

ά

A

c

B

berlaku : 1. Aturan sinus a b c = = sin θ sin α sin β 2. Aturan kosinus


a2 = b2 + c2 – 2bc.cos ά
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos β
c2 = a2 + b2 – 2cb.cos θ 3. Luas segitiga


L ∆ ABC =

1 bc sin β 2


L ∆ ABC =

1 ac sin α 2


L ∆ ABC =

1 ab sin θ 2

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 12 of 18

D. Lembar Kerja 5 1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 13 cm, ∠BAC =45o dan ∠ABC = 30o, tentukan panjang sisi AB. ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

2. Tentukan besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga di bawah. a.

b. R

C

30o

Q

5 45o A

4

30o B

P

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 13 of 18

3. Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7, b = 8 dan c = 9, tentukan nilai dari: a. sin A

c. sin B

e. sin C

b. tan A

d. tan B

f. sin C

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

4. Tentukan nilai sin x dan tan y dari gambar di bawah ini C x y A 1

3 ∟ D

30o B

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 14 of 18

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 5. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui ∠ A = 120o pajang AC = 10 cm dan panjang AB = 8 cm ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ............................................................................................................................... 6. Tentukan luas Jajargenjang ABCD di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, AD = 6, ∠BAD = 60o D

C

6 60o A

8

B

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

7. Sebidang tanah seperti gambar di bawah akan di jual dengan harga Rp. 100.000 per m2. tentukan harga total tanah tersebut Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 15 of 18

12 m

80o 12 m

6m 60o

120o

12 m 9m 105o

100o 15 m

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

E. Tes Formatif 5 1. Nilai kosinus sudut C pada segitiga di bawah ini adalah a.

1 3

b.

1 7 4

c.

3 4

d.

1 6 3

e.

2 2 3

C

15 30o A

10

B

2. Suatu segitiga ABC dengan sisi BC = 7 , sisi AC = 6 dan sisi AB = 5, maka nilai sin A adalah 5 1 6 d. 6 a. 12 12 2 1 6 e. 6 b. 5 6 1 c. 6 15 3. Segitiga PQR siku-siku sama kaki, sudut Q = 900 dan PR = 8 cm, maka panjang PQ = D. 4 2 a. 16 2 b. 10 2 E. 2 2 c. 8 2

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 16 of 18

4. Sisi-sisi suatu segitiga ABC adalah 3, 5 , dan 7, maka sudut terbesar dari segitiga tersebut adalah a. 750 d. 1200 e. 1500 b. 900 0 c. 60 5. Dari segitiga ABC diketahui a = 4 cm, b = 3 cm. Jika luas segitiga = 6 cm2, maka sudut C =…. a. 1200 d. 450 0 e. 300 b. 90 c. 600

9. Suatu segitiga ABC diketahui panjang BC = 10 cm, AB = 6 cm, dan ∠ B = 30o. luas segitiga ABC adalah… a. 60 3

d. 30

b. 30 3

e. 60

c. 15 10. Diketahui segitiga ABC, dengan BC = 3 cm, AC = 4 cm, dan ∠ A = 30o, maka

6. Jika dalam segitiga ABC diketahui sisi BC = 10, AC = 40, dan ∠ C = 120o, maka AB = d. 10 17 a. 10 13 b. 20 3

e.

a.

2 5 5

d.

2 3

b.

1 5 3

e.

1 2

c.

1 3 2

50

c. 10 21

cos ∠ B adalah….

7. Pada segitiga ABC diketahui ∠ A =

11. Pada suatu jajargenjang ABCD

60o, ∠ B = 75o, dan BC = 3, maka

diketahui AB = 6 cm, AD = 4 cm,

panjang AB =…

dan ∠ BAD = 60o. luas jajargenjang

a. 3 2

d. 6 2

ABCD adalah…

b. 3 6

e. 3 3

a. 24 3

d. 12

b. 24

e. 6 3

c.

6

c. 12 3 8. Jika diketahui titik O(0, 0), A( 4 3 , 4) dan B(6, 6 6 ) maka luas segitiga AOB adalah…

12. Dalam suatu segitiga ABC diketahui BC = 15 cm, AB = 12 cm, dan luas

a. 32

d. 72

segitiga adalah 45 cm2, besar sudut

b. 48

e. 96

C adalah…

c. 64

a. 90o

d. 30o

b. 60o

e. 15o

c. 45o Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 17 of 18

13. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB

c. a 7

o

= 6 cm, AC =10 cm, dan ∠ A = 60 . 17. Pada segitiga ABC diketahui a + b =

Panjang BC adalah.. a. 2 19

d. 2 29

b. 3 19

e. 3 29

10, sudut A = 30o, dan sudut B = 45o. maka panjang sisi b adalah….

( ) b. 5(2 − 2 ) c. 10(2 − 2 )

( ) e. 10(1 + 2 )

a. 5 2 − 1

c. 4 29 14. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang panjang sisinya 5 cm, 6 cm dan 21 cm adalah..

b.

1 21 6

c.

1 21 5

18. Pada gambar di bawah, jika PQ = 10 3 maka panjang PS adalah…

1 d. 21 6 e.

S

a. 20 b. 20 3

1 21 3

c. 30 60o

30o

d. 30 3 P

∟

1 a. 21 5

d. 10 2 + 2

Q

R

e. 36 3

15. Pada segitiga ABC diketahui panjang

19. Diketahui segitiga ABC dengan

sisi AB = 2 cm, AC = 3 cm, dan BC =

panjang AC = BC = 6 cm, AB =

2 cm. nilai sin A adalah….

6 3 . Luas segitiga ABC adalah...

1 3 2

1 5 b. 3

d.

1 5 3

1 e. 15 4

a. 36 3

d. 9 2

b. 18 3

e.

9 2 2

c. 9 3

1 c. 7 4

20. Nilai (p x q) dari gambar di bawah ini

16. Diketahui segitiga ABC dengan ∠ B

adalah…

= 45o dan CT adalah garis tinggi dari

a. 3 3

sudut C.

b. 6

jika BC = a dan AT =

p q

5 a 2 maka AC adalah… 2

c. 9

a. a 3

d. a 11

b. a 5

e. a 13

1 e. 13 2

d. 6 3

30o

∟

a.

3

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 18 of 18

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]