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Implementación en MATLAB del Método de Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios Miguel Ataurima Arellano 11 de Agosto de 2013

Usando la notación matricial, la regresión estándar puede ser escrita como (1)

 +  y  =  X   +

donde y  es un vector T  dimensional conteniendo observaciones sobre la variable dependiente,  X  es una matriz T   k  de variables independientes,    es un vector  k  de coe…cientes, y   es un vector T  de perturbaciones. T  es el número de observaciones y k  es el número de regresores.

1. 1.1. 1.1.

Coe…c Coe…cien iente tes s Re Resu sulta ltan ntes Coe…cie Coe…cient ntes es de la Re Regre gresión sión

Los coe…cientes de la regresión por mínimos cuadrados  b son calculados mediante la fórmula MCO estándar 1 (2) b = X  X  X  y

  0

1.2. 1.2.

Erro Errore res s Está Estánd ndar ar



0

El vector de errores estándar contiene la medida de la exactitud de los coe…cientes estimados estimados (el mayor mayor ruido estadístico estadístico en la estimación) estimación).. La matriz de covarianz covarianzaa de los coe…cientes coe…cientes estimados estimados es calculada calculada como: var (b) =  s 2 X  X 

  0

1

0

;

s2 =

^ ^ T   k

;

^  =  y  X b

(3)

donde ^  es el residuo. Los errores estándar de los coe…cientes estimados son las raíces cuadradas de los elementos de la diagonal de la matriz de covarianzas de los coe…cientes. 1.3. 1.3.

Esta Estadí díst stico icos s

t

El estadístico t, el cual es calculado como el ratio del coe…ciente estimado respecto de su error estándar, es usado para veri…car la hipótesis de que un coe…ciente es igual a cero. Para interpretar el estadístico t, se debe examinar la probabilidad observando el estadístico t   obtenido de que el coe…ciente sea igual a cero. Este cálculo de probabilidad se describe a continuación (en los casos donde las normalidad puede solo mantenerse asintóticamente, se debe utilizar el estadístico z  en vez del estadístico t). 1

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Aplicación: OLS en MATLAB

1.4.

Probabilidad

Esta probabilidad es conocida como el p  value o el   nivel de signi…cancia marginal . Dado un p  value, se puede decir (de un solo vistazo) si se rechaza o acepta la hipótesis de que el verdadero coe…ciente es cero contra la alternativa de dos colas de que es diferente de cero. Por ejemplo, si se realiza la prueba al 5 % de nivel de signi…cancia, un p  value  menor que 0.05 es tomado como una evidencia para rechazar la hipótesis nula de que el coe…ciente es cero. Los  p  values para los estadísticos  t  son calculados a partir de una distribución con T   k  grados de libertad. El p  value  para los estadísticos z  son calculados usando la distribución normal estándar.

2. 2.1.

Estadísticas de Resumen R  cuadrado

El estadístico  R 2 mide grado de satisfacción que otorga la regresión en la predicción de los valores de la variable dependiente dentro de la muestra. En la con…guración estándar, R2 puede ser interpretado como la fracción de la varianza de la variabe dependiente explicada por las variables independientes. Este estadístico es igual a 1 si la regresión ajusta perfectamente, y 0 si se ajusta peor que la media simple de la variable dependiente. Éste puede ser negativo por diversas razones. Por ejemplo, si la regresión no tiene un intercepto o constante, si la regresión contiene restricciones de coe…cientes, o si el método estimado es de mínimos cuadrados de dos etapas o ARCH. El R2 (centrado) se calcula como T 

0

2

R =1



^ ^ ; (y  y) (y  y) 0

y =

X t=1

yt T 

(4)

donde y es la media de la variable dependiente. 2.2.

R  cuadrado

ajustado

Un problema con el uso de R2 como medida de bondad de ajuste es que el R2 nunca decrecerá conforme se añada mas regresores. En el caso extremo, se obtendrá siempre un R2 de 1 si se incluyen tantos regresores independientes como observaciones de la muestra. El  R 2 ajustado, comúnmente denotado como R 2 , penaliza el  R 2 por cada adición de regresores que no contribuyen al poder explicativo del modelo. El  R 2 ajustado es calculado como:  2 = 1  1  R2 T   1 (5) R

 

T   k

El R 2 nunca es mayor que el R2, puede decrecer conforme se añadan regresores, y para modelos pobremente a justados, puede ser negativo.

2

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2.3.

Error Estándar de la Regresión

El error estándar de la regresión es una medida resumen basada en la varianza estimada de los residuos. El error estándar de la regresión es calculada como:

s 

s  =

2.4.

0

^ ^

(6)

T   k

Suma de los residuos al cuadrado

La suma de los residuos al cuadrado puede ser usado en una variedad de cálculos estadísticos, por lo que conviene presentarla separadamente T  0

^ ^  =

X

yi  X i0 b

t=1

2.5.



2

(7)

Logaritmo de Máxima Verosimilitud

El logaritmo de la función de verosimilitud (asumiendo errores distribuidos normalmente) evaluado en los valores estimados de los coe…cientes es calculado como l  =



T 

2



0

1 + log (2 ) + log

  ^ ^

(8)

T 

Las pruebas del ratio de verosimilitud pueden llevarse a cabo observando la diferencia entre los valores del logaritmo de la función de verosimilitud de las versiones restringidas y no restringidas de una ecuación. 2.6.

Estadístico Durbin-Watson

El estadístico Durbin-Watson mide la correlación serial en los residuos. El estadístico es calculado como DW  =

T  t  ^t1 )2 t=2 (^ T  2t t=1 ^

P

(9)

P

Johnston y Dinardo (1997) proveen una tabla de los puntos de signi…cancia de la distribución del estadístico Durbin-Watson. Como regla general, si el DW  es menor que 2, hay evidencia de una correlación serial positiva. Si el estadístico  DW  es muy cercano a 1, se está indicando la presencia de correlación serial en los residuos. Existen mejores pruebas para la correlación serial tales como el estadístico Q, la prueba del estadístico LM de Breusch-Godfrey, los cuales proveen una estructura de prueba mas general que la prueba de Durbin-Watson. 2.7.

Media y Desviación Estándar de la Variabla Dependiente

La media y desviación estándar de y  son calculadas usando la formula estándar T 

y =

X t=1

yi  ; T 

v  uutX T 

sy =

t=1

3

(yt  y)2 T   1

 

(10)

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Aplicación: OLS en MATLAB

2.8.

Criterio de Información de Akaike

El criterio de información de Akaike (AIC ) se calcula mediante AIC  = 2 

l k +2 T  T 

 

(11)

donde  l  es el logaritmo de la función de verosimilitud. El  AI C  es comúnmente usado en la selección de modelos para alternativas no comprobadas (se previere el menor valor del AIC ). 2.9.

Criterio de Schwarz

El criterio de Schwarz (SC ) es una alternativa al AIC  que impone una penalización a los coe…cientes adicionales SC  = 2 

2.10.

l k  + log T   T  T 

 

(12)

Criterio de Hannan-Quinn

El criterio de Hannan-Quinn (HQ) emplea otra función de penalización HQ =

2.11.

Estadístico

2



l k + 2  log (log T )  T  T 

 

(13)

F 

El estadístico F  reportado como salida de la regresión proviene de probar la hipótesis de que todos los coe…cientes pendiente (incluyendo la constante o intercepto) en una regresión son cero. Para los modelos de mínimos cuadrados ordinarios, el estadístico F  se calcula como 2 R

F  =

k1 1  R2 T   k

(14)

bajo la hipótesis nula con errores distribuidos normalmente, éste estadístico tiene una distribución F   con numerador de  k  1 grados de libertad y un denominador de T   k  grados de libertad. El p  value  del estadístico F , es el nivel de signi…cancia marginal de la prueba F . Si el p  value  es mejor que el nivel de signi…cancia que se esta probando, se rechaza la hipótesis nula de que todas los coe…cientes pendiente son iguales a cero. Observe que la prueba F  es una prueba conjunta de modo que incluso si todos los estadísticos t  son insigni…cantes, el estadísico F  pueda ser altamente signi…cativo.

4

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Aplicación: OLS en MATLAB

3.

Aplicación MATLAB

En el archivo  datos.xlsx  se hallan los datos correspondientes al producto bruto interno (GDP ), la tasa de interés de corto plazo ( RS ) y los niveles de precio ( P R) para el periodo 1993:1-2003T4.

1. Importe las series contenidas en Excel a variables MATLAB. 2. Implemente el Método de Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) 3. Aplique el Método a los siguientes modelos de regresión y compruebe sus resultados con los arrojados por EViews: MODELO 1:

log(M 1t ) =   1 +  2 log (GDP t ) +  3RS t + t Dependent Variable: LOG(M1) Method: Least Squares Date: 06/09/12 Time: 11:54 Sample: 1 208 Included observations: 208 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C LOG(GDP) RS

1.196925 0.798093 -0.030792

0.022414 0.003910 0.001593

53.40080 204.1052 -19.33220

0.0000 0.0000 0.0000

R-squared  Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

0.995691 0.995649 0. 056175 0.646915 305.2609 23682.98 0.000000

5

Mean dependent var S.D. dependent var Akaik e info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

6.000824 0.851594 -2.906355 -2.858217 -2.886890 0.154173

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Aplicación: OLS en MATLAB

MODELO 2:

log(M 1t) =   1  +  2 log (GDP t ) +  3 RS t + log (P Rt ) + t Dependent Variable: LOG(M1) Method: Least Squares Date: 06/09/12 Time: 12:05 Sample (adjusted): 2 208 Included observations: 207 after adjustments Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C LOG(GDP) RS DLOG(PR)

1.215400 0.794784 -0.025585 -2.911393

0.023108 0.003993 0.002193 0.902595

52.59701 199.0219 -11.66448 -3.225581

0.0000 0.0000 0.0000 0.0015

R-squared  Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

0.995960 0.995901 0. 054409 0.600954 310.9221 16683.21 0.000000

Mean dependent var S.D. dependent var Akaik e info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

6.006429 0.849803 -2.965431 -2.901031 -2.939388 0.158003

4. Gra…que las series  ^  (residuos), y (y  actual), e y^ (y  ajustado) 7.5 7.0

MODELO 1

6.5 6.0 5.5 5.0 .15

4.5

.10 .05 .00 -.05 -.10 -.15 25

50

75

100

Residual

125 Actual

150

175

200

Fitted

7.5 7.0

MODELO 2

6.5 6.0 5.5 5.0

.16

4.5

.12 .08 .04 .00 -.04 -.08 -.12 25

50

75

100

Residual

 

6

125 A ct ual

150 Fitt ed

175

200

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Solución para el Modelo 1   progmodelo1.m

 1 2



  clc;   clear;

3 4 5

% Lectura de datos desde libro excel DATA = xlsread(’datos01’,1,’B2:E209’);

6 7 8 9 10 11

% Separación de series M1 = DATA(:,1); GDP = DATA(:,2); RS = DATA(:,3); PR = DATA(:,4);

12 13 14

% Numero de observaciones T = length(DATA);

15 16 17

% Etiquetas de regresores nombrevariables = {’c’,’log(GDP)’,   ’RS’};

18 19 20

% Creación de matriz de regresores X = [ones(T,1) log(GDP) RS];

21 22 23

% Variable explicada y = log(M1);

24 25 26

% Dimensiones [T,k] = size(X);

27 28 29

% Hipótesis Nula (H0) beta0 = zeros(k,1);

30 31 32

% Vector de coeficientes estimados por MCO b = (X’*X)^-1*X’*y;

33 34 35 36

% Vector de residuos y_hat = X*b; u_hat = y - y_hat;

37 38 39

% Suma de cuadrado de residuos SCR = u_hat’*u_hat;

40 41 42

% Varianza residual estimada s2 = SCR/(T-k);

43 44 45

% Matriz de varianza-covarianza: var_covar_hat_b = s2*(X’*X)^-1;

46 47 48 49

% Varianza del estimador MCO xi = diag((X’*X)^-1); var_hat_b = s2*xi;

50 51 52

% Error Estándar seb = sqrt( var_hat_b );

53 54 55

% Estadísticos t tstat = (b-beta0)./seb;

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano

1

 

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56

% p-values de los Estadísticos t p_value_t = 2*cdf(’t’, -abs(tstat), T-k);   %icdf(’Normal’,,0,1)

57 58 59

% R cuadrado mediay = sum(y)/T; R2 = 1 - SCR/(y’*y - T*mediay^2);

60 61 62 63

% R cuadrado ajustado: R2a = 1 - (1-R2)*(T-1)/(T-k);

64 65 66

% Error Estándar de la Regresión: s = sqrt(SCR/(T-k));

67 68 69

% Logaritmo de Verosimilitud L = -( 1+ log(2*pi) + log(SCR/T) )*T/2;

70 71 72

% Estadístico Durbin-Watson DW = sum(diff(u_hat).^2)/SCR;

73 74 75

% Desviación Estándar de la Variabla Dependiente sy = sqrt(sum((y-mediay).^2)/(T-1));

76 77 78

% Criterio de Información de Akaike (AIC) AIC = -2*L/T + 2*k/T;

79 80 81

% Criterio de Schwarz (SC) SC = -2*L/T + log(T)*k/T;

82 83 84

% Criterio de Hannan-Quinn (HQ) HQ = -2*L/T + 2*log(T)*k/T;

85 86 87

% Estadístico F Fstat = (R2/(k-1))/((1-R2)/(T-k));

88 89 90

% p-value del Estadístico F p_value_F = 1-cdf(’F’, Fstat, k-1, T-k);

91 92 93 94 95 96 97 98 99

       

100 101

 

102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113

   

% Impresión de resultados (estilo EViews) datos = [b seb tstat p_value_t]; fprintf(’Método: Mínimos Cuadrados Ordinario\n’); fprintf(’Observaciones incluidas: %5d\n’, T); fprintf(’--------------------------------------------------------------------------------\n’ ); fprintf(’%-15s %15s %15s %15s %15s\n’,   ’Variables’,   ’Coeficiente’,   ’Error Est.’, ... ’estadístico t’,   ’p-value’); fprintf(’--------------------------------------------------------------------------------\n’ ); for   i=1:k coefs(i,:) = sprintf(’%-15s %15.6f %15.6f %15.6f %15.6f’, nombrevariables{i}, datos(i,:)); end disp(coefs); fprintf(’--------------------------------------------------------------------------------\n’ ); nombrestats01 = {’R cuadrado’,   ’R cuadrado ajustado’,   ’ES de la regresión’, ... ’Suma de res. cuadrados’,   ’Log verosimilitud’,   ’Estad. F’,   ’Prob(Estad. F)’}; nombrestats02 = {’Media var depend.’,   ’Desv. Estand. var depend.’,   ’Criterio Inf. Akaike’, ... ’Criterio Schwarz’,’Criterio Hannan-Quinn’,  ’Criterio Durwin-Watson’}; valorestats01 = [R2; R2a; s; SCR; L; Fstat; p_value_F]; valorestats02 = [mediay; sy; AIC; SC; HQ; DW]; for   i=1:6

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano

2

 

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114 115 116 117 118 119

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estadisticos(i,:) = sprintf(’%-22s %15.6f %-25s %15.6f’, ... nombrestats01{i}, valorestats01(i), ... nombrestats02{i}, valorestats02(i)); end   disp(estadisticos);   fprintf(’%-22s %15.6f\n’, nombrestats01{7}, valorestats01(7));

120 121 122

 

123 124 125 126 127 128 129 130 131

             

132 133 134 135

   

% Gráficas figure(1); periodos = (1:T)’; [AX,H1,H2] = plotyy(periodos, u_hat , periodos, [y y_hat]); set(AX(1),’XLim’, [1 T]); set(AX(1),’YLim’, [-0.5 1]); set(AX(2),’XLim’, [1 T]); set(AX(2),’YLim’, [1 max(y)+1]); set(H2(1),   ’Color’, [1 0 0]); set(H2(2),   ’Color’, [0 0.5 0]); legend(’Residuos’,   ’Actual’,   ’Ajustado’, ...   ’Location’,   ’SouthOutside’,   ’Orientation’,   ’Horizontal’); grid on; xlabel(’Periodos’); set(AX,   ’FontSize’, 8); 

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano



3

 

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  Ejecución:





Método: Mínimos Cuadrados Ordinario Observaciones incluidas: 208 -------------------------------------------------------------------------------Variables Coeficiente Error Est. estadístico t p-value -------------------------------------------------------------------------------c 1.196925 0.022414 53.400796 0.000000 log(GDP) 0.798093 0.003910 204.105227 0.000000 RS -0.030792 0.001593 -19.332195 0.000000 -------------------------------------------------------------------------------R cuadrado 0.995691 Media var depend. 6.000824 R cuadrado ajustado 0.995649 Desv. Estand. var depend. 0.851594 ES de la regresión 0.056175 Criterio Inf. Akaike -2.906355 Suma de res. cuadrados 0.646915 Criterio Schwarz -2.858217 Log verosimilitud 305.260875 Criterio Hannan-Quinn -2.781233 Estad. F 23682.976068 Criterio Durwin-Watson 0.154173 Prob(Estad. F) 0.000000 



8

7

6

5 0.2 4

0.1 0 −0.1 −0.2

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Periodos Residuos

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano

Actual

4

Ajustado

 

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Solución para el Modelo 2   progmodelo1.m

 1 2



  clc;   clear;

3 4 5

% Lectura de datos desde libro excel DATA = xlsread(’datos01’,1,’B2:E209’);

6 7 8 9 10 11

% Separación de series M1 = DATA(:,1); GDP = DATA(:,2); RS = DATA(:,3); PR = DATA(:,4);

12 13 14

% Numero de observaciones T = length(DATA);

15 16 17

% Etiquetas de regresores nombrevariables = {’c’,’log(GDP)’,   ’RS’,   ’dlog(PR)’};

18 19 20

% Creación de matriz de regresores X = [ones(T-1,1) log(GDP(2:end)) RS(2:end) diff(log(PR)) ];

21 22 23

% Variable explicada y = log(M1(2:end));

24 25 26

% Dimensiones Reajustadas [T,k] = size(X);

27 28 29

% Hipótesis Nula (H0) beta0 = zeros(k,1);

30 31 32

% Vector de coeficientes estimados por MCO b = (X’*X)^-1*X’*y;

33 34 35 36

% Vector de residuos y_hat = X*b; u_hat = y - y_hat;

37 38 39

% Suma de cuadrado de residuos SCR = u_hat’*u_hat;

40 41 42

% Varianza residual estimada s2 = SCR/(T-k);

43 44 45

% Matriz de varianza-covarianza: var_covar_hat_b = s2*(X’*X)^-1;

46 47 48 49

% Varianza del estimador MCO xi = diag((X’*X)^-1); var_hat_b = s2*xi;

50 51 52

% Error Estándar seb = sqrt( var_hat_b );

53 54 55

% Estadísticos t tstat = (b-beta0)./seb;

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano

5

 

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56

% p-values de los Estadísticos t p_value_t = 2*cdf(’t’, -abs(tstat), T-k);   %icdf(’Normal’,,0,1)

57 58 59

% R cuadrado mediay = sum(y)/T; R2 = 1 - SCR/(y’*y - T*mediay^2);

60 61 62 63

% R cuadrado ajustado: R2a = 1 - (1-R2)*(T-1)/(T-k);

64 65 66

% Error Estándar de la Regresión: s = sqrt(SCR/(T-k));

67 68 69

% Logaritmo de Verosimilitud L = -( 1+ log(2*pi) + log(SCR/T) )*T/2;

70 71 72

% Estadístico Durbin-Watson DW = sum(diff(u_hat).^2)/SCR;

73 74 75

% Desviación Estándar de la Variabla Dependiente sy = sqrt(sum((y-mediay).^2)/(T-1));

76 77 78

% Criterio de Información de Akaike (AIC) AIC = -2*L/T + 2*k/T;

79 80 81

% Criterio de Schwarz (SC) SC = -2*L/T + log(T)*k/T;

82 83 84

% Criterio de Hannan-Quinn (HQ) HQ = -2*L/T + 2*log(T)*k/T;

85 86 87

% Estadístico F Fstat = (R2/(k-1))/((1-R2)/(T-k));

88 89 90

% p-value del Estadístico F p_value_F = 1-cdf(’F’, Fstat, k-1, T-k);

91 92 93 94 95 96 97 98 99

       

100 101

 

102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113

   

% Impresión de resultados (estilo EViews) datos = [b seb tstat p_value_t]; fprintf(’Método: Mínimos Cuadrados Ordinario\n’); fprintf(’Observaciones incluidas: %5d\n’, T); fprintf(’--------------------------------------------------------------------------------\n’ ); fprintf(’%-15s %15s %15s %15s %15s\n’,   ’Variables’,   ’Coeficiente’,   ’Error Est.’, ... ’estadístico t’,   ’p-value’); fprintf(’--------------------------------------------------------------------------------\n’ ); for   i=1:k coefs(i,:) = sprintf(’%-15s %15.6f %15.6f %15.6f %15.6f’, nombrevariables{i}, datos(i,:)); end disp(coefs); fprintf(’--------------------------------------------------------------------------------\n’ ); nombrestats01 = {’R cuadrado’,   ’R cuadrado ajustado’,   ’ES de la regresión’, ... ’Suma de res. cuadrados’,   ’Log verosimilitud’,   ’Estad. F’,   ’Prob(Estad. F)’}; nombrestats02 = {’Media var depend.’,   ’Desv. Estand. var depend.’,   ’Criterio Inf. Akaike’, ... ’Criterio Schwarz’,  ’Criterio Hannan-Quinn’,  ’Criterio Durwin-Watson’, ’’}; valorestats01 = [R2; R2a; s; SCR; L; Fstat; p_value_F]; valorestats02 = [mediay; sy; AIC; SC; HQ; DW]; for   i=1:6

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano

6

 

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingenieria Económica, Estadística y Ciencias Sociales

114 115 116 117 118 119

MATLAB para el Análisis Económico NIVEL BÁSICO

estadisticos(i,:) = sprintf(’%-22s %15.6f %-25s %15.6f’, ... nombrestats01{i}, valorestats01(i), ... nombrestats02{i}, valorestats02(i)); end   disp(estadisticos);   fprintf(’%-22s %15.6f\n’, nombrestats01{7}, valorestats01(7));

120 121 122

 

123 124 125 126 127 128 129 130 131

             

132 133 134 135

   

% Gráficas figure(1); periodos = (1:T)’; [AX,H1,H2] = plotyy(periodos, u_hat , periodos, [y y_hat]); set(AX(1),’XLim’, [1 T]); set(AX(1),’YLim’, [-0.5 1]); set(AX(2),’XLim’, [1 T]); set(AX(2),’YLim’, [1 max(y)+1]); set(H2(1),   ’Color’, [1 0 0]); set(H2(2),   ’Color’, [0 0.5 0]); legend(’Residuos’,   ’Actual’,   ’Ajustado’, ...   ’Location’,   ’SouthOutside’,   ’Orientation’,   ’Horizontal’); grid on; xlabel(’Periodos’); set(AX,   ’FontSize’, 8); 

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano



7

 

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MATLAB para el Análisis Económico NIVEL BÁSICO

  Ejecución:





Método: Mínimos Cuadrados Ordinario Observaciones incluidas: 207 -------------------------------------------------------------------------------Variables Coeficiente Error Est. estadístico t p-value -------------------------------------------------------------------------------c 1.215400 0.023108 52.597007 0.000000 log(GDP) 0.794784 0.003993 199.021879 0.000000 RS -0.025585 0.002193 -11.664476 0.000000 dlog(PR) -2.911393 0.902595 -3.225581 0.001465 -------------------------------------------------------------------------------R cuadrado 0.995960 Media var depend. 6.006429 R cuadrado ajustado 0.995901 Desv. Estand. var depend. 0.849803 ES de la regresión 0.054409 Criterio Inf. Akaike -2.965431 Suma de res. cuadrados 0.600954 Criterio Schwarz -2.901031 Log verosimilitud 310.922096 Criterio Hannan-Quinn -2.797983 Estad. F 16683.210592 Criterio Durwin-Watson 0.158003 Prob(Estad. F) 0.000000 



8

7

6

5 0.2 4

0.1 0 −0.1 −0.2

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Periodos Residuos

EXPOSITOR:  Miguel Ataurima Arellano

Actual

8

Ajustado

 

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