Astrofísica Total
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1. Descripción macroscópica del campo de radiación. Nociones básicas ....................................... 1.1. Intensidad Específica .......................................................................................................... 1.2. Densidad de Energía Radiativa ........................................................................................... 1.3 Intensidad Media ................................................................................................................. 1.4. Flujo de Radiación .............................................................................................................. 1.4.1. Flujos Entrante y Saliente .................................................................................... 1.5. Presión de Radiación .......................................................................................................... 1.6. Algunos Casos Físicos de Interés ....................................................................................... 1.7. Cuestiones y Ejercicios ....................................................................................................... 2. Transporte Radiativo ...................................................................................................................... 2.1. Introducción ........................................................................................................................ 2.2. Opacidad ............................................................................................................................. 2.3. Profundidad Óptica ............................................................................................................. 2.4. Emisividad .......................................................................................................................... 2.5. Contribución del Scattering a la Emisión ........................................................................... 2.6. Ecuación del Transporte Radiativo (Radiative Transfer) .................................................... 2.7. Función Fuente ................................................................................................................... 2.8. Casos Sencillos ................................................................................................................... 2.9. Interpretación Sencilla de la Ecuación de Transporte ........................................................ 2.10. Cuestiones y Ejercicios ..................................................................................................... 3. El Cuerpo Negro .............................................................................................................................. 3.1. Función de Planck ............................................................................................................... 3.1.1. Aproximación de Rayleigh-Jeans ........................................................................ 3.1.2. Aproximación de Wien ........................................................................................ 3.1.3. Ley del Desplazamiento de Wien ........................................................................ 3.1.4. Ley de Stefan-Boltzmann .................................................................................... 3.2. Ley de Kirchhoff para la Emisión Térmica ........................................................................ 3.3. Temperatura de Brillo (Brightness Temperature) ............................................................... 3.4. Temperatura de Color ......................................................................................................... 3.5. Temperatura Efectiva. Luminosidad. .................................................................................. 3.6. Comentarios: Otras Temperaturas ...................................................................................... 3.7. Cuestiones y Ejercicios ....................................................................................................... 4. Nociones Básicas de Física Atómica. Leyes de Boltzmann y Saha. ............................................. 4.1. Generalidades Básicas de Espectroscopía .......................................................................... 4.1.1. Acoplamiento de Russell-Saunders (L-S) ............................................................ 4.1.2. Estructura Fina ..................................................................................................... 4.1.3. Paridad ................................................................................................................. 4.1.4. Reglas de Selección ............................................................................................. 4.2. El Átomo de Hidrógeno ...................................................................................................... 4.2.1. Transiciones Ligado-Ligado (b-b) ....................................................................... 4.2.2. Transiciones Ligado-Libre (b-f) ........................................................................... 4.2.3. Transiciones Libre-Libre (f-f) .............................................................................. 4.2.4. Estructura Fina ..................................................................................................... 4.2.5. Estructura Hiperfina .............................................................................................
4.2.6. Estados metaestables ............................................................................................ 4.3. Excitación Térmica. Fórmula de Boltzmann. ..................................................................... 4.4. Ionización. Ley de Saha. ..................................................................................................... 4.5. Cuestiones y ejercicios ....................................................................................................... 4.6. Apéndice: Función de Partición. ......................................................................................... 4.7. Apéndice: Coeficientes de Einstein. ................................................................................... 4.8. Apéndice: Poblaciones Invertidas. Máseres. ...................................................................... 5. Medidas fotométricas de las estrellas ............................................................................................ Escala de magnitudes. Brillo. Distancias Interestelares. Magnitud Absoluta. Magnitudes Monocromáticas y Bolométricas. Sistemas Fotométricos. Índice de Color y Temperatura. Corrección Bolométrica como función de la Temperatura Superficial. Magnitud Bolométrica y Luminosidad. Extinción Interestelar. Enrojecimiento. 6. Propiedades Estelares ..................................................................................................................... Luminosidad y Temperatura. La Estrella como Cuerpo Negro. Temperatura de Color. Radios estelares. Técnicas Interferométricas. Técnicas de Ocultación por La Luna. Clasificaciones de Estrellas (Espectros). Tipos Espectrales y Temperatura Efectiva. Diagrama de Hertzsprung-Russell. 7. Masas Estelares ............................................................................................................................... Estrellas Binarias: Movimiento Orbital, Binarias Astrométricas y Espectroscópicas, Efecto Doppler, Curva de Velocidad Radial, Función de Masas, Binarias Eclipsantes. Relación MasaLuminosidad. Densidades Estelares y Gravedad superficial. 8. Atmósferas estelares ........................................................................................................................ 8.1. Transporte Radiativo en una Atmósfera Estelar ................................................................. 8.2. Simetría Esférica (No Dependencia Azimutal) .................................................................. 8.3. Atmósfera Plano-Paralela ................................................................................................... 8.3.1. Aproximación de Eddington-Barbier ................................................................... 8.3.2. Flujo Estelar Emergente ....................................................................................... 8.4. Equilibrio Radiativo ............................................................................................................ 8.5. Caso Gris. Aproximación de Eddington. ............................................................................ 8.6. Opacidad en Atmósferas Estelares ...................................................................................... 8.7. Absorción b-f (Hidrógeno) ................................................................................................. 8.8. Absorción f-f (Hidrógeno) .................................................................................................. 8.9. Absorción b-b (Hidrógeno) ................................................................................................. 8.10. El Ión Negativo de Hidrógeno (H-) .................................................................................. 8.11. Otras Opacidades .............................................................................................................. 8.11.1. Helio ................................................................................................................... 8.11.2. Metales y Moléculas .......................................................................................... 8.12. Scattering .......................................................................................................................... 8.13. Coeficiente de Extinción Total ......................................................................................... 8.14. Influencia de la Opacidad No Gris ................................................................................... 8.15. Influencia de la Opacidad No Gris en la Estratificación de T .......................................... 8.15.1. Absorción Media de Rosseland .......................................................................... 8.15.2. Cambios en T(τ) en el Caso No Gris. Enfriamiento Superficial. Retrocalentamiento (Backwarming) .................................................................. 8.16. Equilibrio Hidrostático .....................................................................................................
8.17. Equilibrio Hidrostático: Presión del Gas .......................................................................... 8.17.1. Integración de P .................................................................................................. 8.18. Presión Electrónica ........................................................................................................... 8.19. Presión de Radiación ........................................................................................................ Ejercicios ................................................................................................................................... Apéndices .................................................................................................................................. Formación de Líneas ...................................................................................................... Anchura Equivalente de una Línea ................................................................................ Ensanchamiento de líneas .............................................................................................. Ensanchamiento Natural ................................................................................................ Fuerza del Oscilador ...................................................................................................... Ensanchamiento Doppler Térmico ................................................................................. Perfil de Voigt ................................................................................................................ Ensanchamiento Rotacional ........................................................................................... Ensanchamiento Colisional ............................................................................................ Curva de Crecimiento .................................................................................................... W(λ) para líneas delgadas .............................................................................................. líneas Ópticamente Gruesas ........................................................................................... Determinación Curva de Crecimiento ........................................................................... Forma de la Curva de Crecimiento ................................................................................ 9. Estructura y Evolución Estelar ...................................................................................................... 9.1. Equilibrio Hidrostático y Teorema del Virial ...................................................................... 9.1.1. Problema del Virial .............................................................................................. 9.2. Ecuaciones de Estado ......................................................................................................... 9.3. Escalas de Tiempo para la generación de Energía. Procesos Nucleares en Estrellas. ........ 9.4. Ecuación de la Energía. Transporte Radiativo. Convección. .............................................. 9.5. Condiciones de Contorno. Formulación del Problema. Modelos Estelares. ...................... 9.6. Opacidad Estelar ................................................................................................................. 10. Evolución Estelar ........................................................................................................................... 10.1. Formación Estelar y Primeras Fases Evolutivas ............................................................... 10.2. Evolución de Estrellas Individuales. Fases Principales de la Evolución Estelar. ............. 10.3. Estadios Avanzados de la Evolución ................................................................................ 10.4. Residuos de la Evolución estelar ...................................................................................... 10.5. Comparación con las Observaciones. Aplicaciones de la Teoría de la Evolución Estelar.......................................................... Tabla de magnitudes absolutas y colores de las estrellas .................................................................
Cap´ıtulo 1
Descripci´ on macrosc´ opica del campo de radiaci´ on. Nociones b´ asicas
1
1.1.
Intensidad espec´ıfica
# Campo de radiaci´on: - Fotones de distintas energ´ıas (λ,ν) propag´andose en todas direcciones • Suponemos dos elementos de superficie, dA y dA1, a lo largo de la direcci´on n. ´ • Angulo s´olido trazado por dA en dA1: dΩ =
dA1 = sen θ dθ dφ r2 n
dA θ
dA
1
r dΩ
d Ω = dA 1/ r
2
dA
Figura 1.1: Campo de radiaci´ on
• Energ´ıa que fluye a trav´es de dA1 procedente de dA en dt y dν dEν = Iν dt dν dA dΩ cos θ
(1.1)
dEλ = Iλ dt dλ dA dΩ cos θ
(1.2)
# Iν , Iλ: Intensidad espec´ıfica (o monocrom´atica)
2
• Iν , Iλ: distribuci´on en frecuencias (longitudes de onda) del campo de radiaci´on – Funci´on del punto, tiempo, direcci´on y frecuencia (longitud de onda). • Iν en radioastronom´ıa se conoce como brightness (brillo) • Unidades: Iν = erg cm−2 s−1 ster−1 Hz −1 ˚ −1 Iλ = erg cm−2 s−1 ster−1 A • Relaci´on entre Iν e Iλ: Iλdλ = Iν dν
:
Iλ = −
c Iν λ2
(1.3)
⇒ Iν e Iλ tienen distinta dependencia funcional. – Si λ ↑→ ν ↓ – Para ∆λ = cte. → los correspondientes ∆ν 6= cte.. – Si λ ↑ y ∆λ = cte. ⇒ ∆ν son cada vez m´as peque˜nos (en la representaci´on Iλ). – Estos “∆ν” contienen menos energ´ıa que los ∆ν=cte. para el caso de Iν . • En el caso del Sol: λmax ∼ 4500 ˚ A (Iλ) ;
3
λmax ∼ 8000 ˚ A (Iν )
1.2.
Densidad de energ´ıa radiativa
• El haz Iν en dt recorre dl = c dt. Por tanto: dEν =
Iν dΩ dν cos θ dl dA c
(1.4)
– cos θ dl dA = volumen que atraviesa el haz en dt. Iν dΩ dν dV (1.5) c # Densidad de energ´ıa espec´ıfica (energ´ıa por unidad de volumen) integrada en ´angulo s´olido: dEν =
Z
dEν 1 = uν dν = dV c Ω es decir:
1 uν = c
Z
Z
Iν dΩ dν Ω
Iν dΩ
Ω
– uν = densidad de energ´ıa por Hz en el haz Iν (Ω). • Unidades: uν = erg cm−3 Hz −1
4
(1.6)
(1.7)
1.3.
Intensidad media
# Intensidad media: Valor medio de Iν sobre todos los ´angulos s´olidos: 1 Jν = 4π
Z
Iν (Ω) dΩ
(1.8)
Ω
• Campo is´otropo: Iν 6= Iν (Ω): J ν = Iν uν =
Jν 4π c
uν =
5
(1.9) Iν 4π c
(1.10)
1.4.
Flujo de radiaci´ on
# Consideremos el campo de radiaci´on Iν y dA. • Flujo de energ´ıa procedente de todas las direcciones que atraviesa dA en dt en el intervalo de frecuencia dν es: R
dEν = Fν = Ω dA dt dν
Z
Iν cos θ dΩ
(1.11)
Ω
– El flujo procedente de dΩ: dFν = Iν cos θ dΩ • Unidades: erg cm−2 sec−1 Hz −1 1 Jansky = 1 Jy = 10−26W m−2 Hz −1 – Fν = densidad de flujo (’flux density’) • Campo is´otropo: Fν = 0 – entra y sale la misma radiaci´on de la superficie. – Fν es una “medida” de la anisotrop´ıa del campo.
6
(1.12)
Flujos entrante y saliente
1.4.1.
• Suponemos una esfera y un punto en su superficie (dΩ = sin θ dθ dφ): Fν =
Z
2π
dφ 0
Z
π
Iν (θ, φ) sin θ cos θ dθ
(1.13)
0
# Flujos entrante y saliente:
Fν =
Z
2π
dφ 0
Z
π 2
Iν sin θ cos θ dθ +
0
Z
2π
dφ 0
Z
π π 2
Iν sin θ cos θ dθ (1.14)
Fν = Fν+ − Fν− – Fν+, Fν− = flujo que sale y entra a la esfera respectivamente. + Fν
θ
φ
− Fν
Figura 1.2: Flujo entrante y saliente
7
(1.15)
• Caso is´otropo: Fν = 0 Fν+ = Fν− = Iν
Z
2π
dφ 0
Z
π 2
sin θ cos θ dθ = πIν
(1.16)
0
• Esfera radiativa (estrella: Fν− = 0) sin dependencia azimutal: Fν = 2π
Z
π 2
Iν sin θ cos θ dθ
(1.17)
0
– Ecuaci´on b´asica para computar el espectro emergente de una estrella. – Si adem´as Iν 6= Iν (θ) (Iν igual para cada hemisferio):
Fν = π I ν
– Mismo resultado que caso is´otropo
8
(1.18)
1.5.
Presi´ on de radiaci´ on
• La radiaci´on electromagn´etica transporta un momento p=E/c en la direcci´on de propagaci´on del haz. • Fotones con energ´ıa hν tienen un momento: p=
hν c
• En nuestro caso consideramos que hay una transferencia de momento a la superficie dA. 1111 0000 n 0000 1111 0000θ 1111 dA dV dl = c dt
# Presi´on de radiaci´on: componente normal del momento por unidad de tiempo y ´area en el intervalo de frecuencias ν, ν + dν 1 dEν cos θ c dA dt – En t´erminos de la intensidad espec´ıfica: dPν =
dPν = Pν dν dΩ =
Iν cos2 θ dν dΩ c
(1.19)
(1.20)
– Integrado en ´angulos s´olidos: Pν =
Z
Iν cos2 θ dΩ Ω c
• Unidades: dinas cm−2 Hz −1
9
(1.21)
# Integral Kν – Se define la integral Kν como: 1 Kν = 4π
Z
Iν cos2θ dΩ
(1.22)
4π Kν c
(1.23)
Ω
es decir: Pν =
• Caso is´otropo: Z
cos2 θ dΩ =
Ω
1 Kν = Iν ; 3
Pν =
10
4π 3
4π Iν ; 3c
Pν =
uν 3
(1.24)
1.6.
Algunos casos astrof´ısicos de inter´ es
# Las magnitudes que definen el campo de radiaci´on son u´tiles en diferentes situaciones en Astrof´ısica. Algunos ejemplos no excluyentes: • Objetos extensos: Sol, estrellas cercanas resueltas por interferometr´ıa, nebulosas, etc. → se mide Iν (se resuelve la superficie, i.e. “dA”) • Objetos puntuales → Fν
• Medio interestelar difuso → Jν , uν • Interiores estelares, medio circunestelar → Pν
11
1.7.
Cuestiones y ejercicios
1. Justificar: a) la intensidad espec´ıfica de un haz de radiaci´ on es independiente de la distancia y b) el flujo varia con el inverso del cuadrado de la misma. a) Supongamos dos puntos cualesquiera en la direcci´ on de propagaci´on separados una distancia R y dA1 y dA2 dos secciones normales al haz en esos puntos. La energ´ıa transportada que pasa a trav´es de los elementos de ´area se puede expresar como: dE1 = Iν (1)dA1 dtdΩ1 dν1 dE2 = Iν (2)dA2 dtdΩ2 dν2 – dΩ1 =
dA2 R2 ,
dΩ2 =
dA1 R2
1111111111111111111111 0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111 000 111 000 111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 000 111 000 dA 111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 000 000 111 dA 1 111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 000 111 000 2 111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 000 111 R 000 111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 Figura 1.3: La intensidad permanece constante
– C´omo dν1 = dν2 y dE1 = dE2 (energ´ıa se conserva): Iν (1) = Iν (2) ⇒ Iν = cte. ↔
dIν =0 ds
b) Flujo: la energ´ıa por unidad de ´ area y tiempo. dE = F dAdt – Consideramos dos superficies esf´ericas S1 y S de radios r1 y r alrededor de una fuente de radiaci´ on. La energ´ıa que atraviesa ambas superficies es la misma. Por tanto: F (r1 )4πr12 = F (r)4πr2
F (r) =
F (r1 )r12 r2
– Si consideramos S1 una superficie de referencia: F =
12
cte r2
2. Justificar (¸cualitativamente”) que medimos: a) la intensidad cuando se resuelve la superficie radiante, b) el flujo en caso contrario. a) Supongamos una fuente extensa a una distancia r que se focaliza a trav´es de un sistema ´optico (es decir, nuestro telescopio). Sea Ad el elemento de resoluci´on espacial de nuestro detector (p.e. pixel de un CCD, grano de una emulsi´on fotogr´ afica, fotomultiplicador con ese ´ area de fotoc´ atodo, etc.). Ad corresponde a la imagen del ´area As de nuestra fuente. - El ´angulo s´olido que ”ve”Ad es: As /r2 – Claramente estamos midiendo Iν ya que el detector detecta radiaci´ on procedente de un ´angulo s´olido (de un elemente de superficie de la fuente). b) Si r aumenta, la fuente disminuye su tama˜ no pero Ad sigue estando completamente iluminada. – Al aumentar r llega un instante en que la superficie de toda la fuente subtiende un ´angulo s´olido que se enfoca en un ´area igual o menor que Ad . Cuando esto ocurre la fuente no se resuelve espacialmente y pasamos a medir flujo.
Figura 1.4:
13
3. Una c´ amara consiste de una peque˜ na apertura de di´ametro d a una distancia L del plano de la pel´ıcula (ver figura). Mostrar que el flujo Fν en el plano de la pel´ıcula depende de la intensidad Iν (θ, Φ) de la forma: Fν ≈
π cos4 θ Iν (θ, Φ) 4f 2
Figura 1.5:
– El flujo en el plano es: Fν =
Z
Iν cos θdΩ ≈ Iν cos θ ∆Ω
–(∆Ω es muy peque˜ no). – Por otra parte: ∆Ω =
∆A cos θ ∆A cos θ d2 cos3 θ = = π r2 L2 / cos2 θ 22 L2
– ∆A = π(d/2)2 y r = L/ cos θ. – Llamando f = L/d, se deduce el resultado pedido.
14
Cap´ıtulo 2
Transporte radiativo 2.1.
Introducci´ on
Iν (0)
Iν
Figura 2.1: Interacci´ on materia-radiaci´ on
• Radiaci´on se propaga a trav´es de un medio material ⇒ Iν 6= cte. • Interacci´on materia–radiaci´on a˜nade o sustrae energ´ıa de Iν (Ω) (car´acter estad´ıstico) Absorci´on: toma fotones de Iν (Ω). Se calienta el medio. Dispersi´on (scattering): toma fotones del ´angulo s´olido Ω y los transporta a Ω’. Nota: scattering toma tambi´en fotones de Ω’ y los lleva a Ω (a˜ nade energ´ıa Iν ). Emisi´on: A˜nade fotones a Iν (Ω) (p. e., movimiento de una part´ıcula cargada; estados excitados at´omicos o moleculares). 1
2.2.
Opacidad
• Suponemos haz de radiaci´on propag´andose en un medio. La variaci´on de Iν se puede expresar como: ds
I’ ν
Iν dIν
Figura 2.2: Variaci´ on de Iν a lo largo de un medio de espesor ds
dIν = −αν Iν ds
(2.1)
– αν (cm−1 ) = coeficiente de extinci´on (tambi´en opacidad o coef. de absorci´on). – Alternativamente: dIν = −κν ρ Iν ds
(2.2)
– κν (cm2 g −1) = coef. m´asico de absorci´on u opacidad espec´ıfica. – ρ = densidad del material (g cm−3 ) αν = κν ρ
2
(2.3)
Opacidad en t´erminos microsc´opicos • Suponemos un medio con: n = part´ıculas/cm−3, σν = secci´on eficaz (´area efectiva).
......... .. .. .. .... .. ........ ds
dA
Figura 2.3: Elemento de volumen en un medio
– Secci´on eficaz total en el ´area dA a lo largo de ds: n σν dA ds
(2.4)
n σν ds
(2.5)
– por unidad de ´area:
– (2.5) = n´umero de fotones absorbidos o dispersados en el espesor ds. Por tanto: αν = κν ρ = n σν • α, κ y σ = f (ν), pero no son una distribuci´on del tipo de Iν .
3
(2.6)
Camino libre medio – αν ”da una idea”de lo que se desplaza un fot´on en un medio sin ser absorbido o dispersado. El inverso: lν =
1 αν
;
(cm)
– “representa.el camino libre medio del fot´on (distancia entre encuentros con part´ıculas). • Opacidad incluye absorci´on y scattering, siendo cada proceso independiente: αν = ανa + ανs – lν se puede definir para absorci´on o para scattering
4
2.3.
Profundidad ´ optica
dIν = −αν Iν ds = −κν ρ Iν ds – Radiaci´on “ve”la combinaci´on de αν y ds simult´aneamente. • Profundidad ´optica: dτν = αν ds = κν ρ ds
(2.7)
– τν = raz´on entre la distancia recorrida y el camino libre medio del fot´on. dIν = −Iν dτν dIν = −αν ds = −dτν Iν – Integrando en el espesor del medio: Z s αν ds′ ) = Iν (0) e−τν Iν (s) = Iν (0) exp(−
(2.8) (2.9)
(2.10)
0
– (2.10) es la ley de extinci´ on en su forma m´ as simple. – Si en un medio vamos de 0 a s: τν =
Z
s
αν (s′) ds′ 0
5
(2.11)
Medios ´opticamente gruesos y delgados τν = 0 0
Iν
Z
s
αν ds 0
τν s
.... . .. .. .. .. ... . .. ... αν
.
Figura 2.4: Medio de espesor s y profundidad ´optica τν
– La transparencia relativa del medio depende de τν τν ≈ 1: los fotones han viajado lo suficiente para ser absorbidos o dispersados. τν ≫ 1: El fot´on es absorbido muchas veces antes de recorrer la distancia 0 − S. Medio ´opticamente grueso τν ≪ 1: no hay absorci´on o dispersi´on en 0 − S. Medio ´ opticamente delgado
6
2.4.
Emisividad
• Un medio medio emite fotones por: – Conversi´on de energ´ıa t´ermica en radiaci´on – Atomos excitados previamente • Coeficiente de emisi´on jν : Energ´ıa emitida por unidad de volumen, de tiempo, de ´angulo s´olido e intervalo espectral: dEν = jν dV dΩ dt dν
(2.12)
– Unidades: jν = erg cm−3 ster−1 Hz −1 s−1. • Cantidad de energ´ıa emitida por un medio de espesor ds y coeficiente de emisi´on jν : dIν (Ω) = jν (Ω) ds
7
(2.13)
• jν incluye: Emisi´on espont´anea: tendencia natural de todo sistema cu´antico a alcanzar su estado de m´as baja energ´ıa. Este emisi´on no es funci´on del campo de radiaci´on. Emisi´on inducida: relacionada con el n´umero de fotones (Iν ) en la vecindad de un ´atomo o mol´ecula excitados y capaces de emitir otro fot´on. • El coeficiente de emisi´on se puede expresar como: jν = ǫν ρ ;
(ǫν = emisividad)
(2.14)
– ρ =densidad del medio (g cm−3) • Unidades de ǫν : erg s−1 Hz −1 ster−1 g −1) erg s−1 Hz −1 g −1 , (integrada en ´angulo solido).
• Caso is´otropo – Energ´ıa emitida: dEν =
1 ǫν ρ dV dt dν dΩ 4π
8
(2.15)
2.5.
Contribuci´ on del scattering a la emisi´ on
• Dispersi´on de fotones contribuye a la “emisi´on”: → la energ´ıa del fot´on retorna al campo de radiaci´on en otra direcci´on. • Casos sencillos: – Scattering coherente: ν del fot´on dispersado igual a la del fot´on incidente – Scattering is´otropo: direcci´on del fot´on dispersado no guarda relaci´on con la direcci´on del fot´on incidente – dIν en estos casos:: dIν =
Z
Ω
ανs Iν (Ω)
dΩ ds 4π
dIν = ανs Jν ds – Jν = intensidad media
9
(2.16)
(2.17)
2.6.
Ecuaci´ on de transporte radiativo (radiative transfer)
• Radiaci´on Iν a trav´es sufre una variaci´on al atravesar un medio ( → Expresi´on formal de la ecuaci´on de transporte radiativo: dIν = −αν Iν + jν ds
(2.18)
– Para cada caso concreto: opacidad y emisividad – De forma expl´ıcita: dIν = −(ανa + ανs )Iν + ds
Z
Ω
ανs Iν
dΩ + jν 4π
• Soluci´on en dos casos sencillos: – S´olo emisi´on (αν = 0): Iν =
Iν0
+
Z
s
jν (s′ ) ds′ 0
– S´olo absorci´on (jν = 0): Iν =
Iν0 exp(−
Z
10
0
s
αν (s′) ds′ )
(2.19)
2.7.
Funci´ on fuente
– Dividimos la ecuaci´on de transporte por αν (y dτν = αν ds): dIν jν = −Iν + = −Iν + Sν dτν αν
(2.20)
Funci´ on fuente: Sν = jν /αν • Soluci´on formal de la eq. de transporte: – Integrando (multiplicamos por eτν primero): eτν
dIν + Iν dτν
=
−τν
Iν (τν ) = Iν (0) e
d τν (e Iν ) = eτν Sν dτν
+
Z
0
– Da la intensidad en el punto con τν .
11
τν
′
−(τν −τν )
Sν e
′
dτν
(2.21)
• Interpretaci´on: Iν tiene dos t´erminos: −τν
Iν (τν ) = Iν (0) e
Z
+
τν
′
−(τν −τν )
Sν e
0
τ ’ν
0
I (0) ν
S τ’ ν
τ
ν
I (τ ) ν ν
ν τ
0
′
dτν
ν
− τ ’ν L
1. Iν (0) disminuida por el factor de extinci´on e−τν . ′
−(τν −τν )
, 2. Integral de Sν sobre todas las τν disminuida por la absorci´on e ′ donde (τν − τν ) es la diferencia de profundidad ´optica entre el punto de emisi´on y el de observaci´on.
12
2.8.
Casos Sencillos
• Sν = constante −τν
Iν (τν ) = Iν (0) e
+
Z
τν
′
−(τν −τν )
Sν e
0
Iν (τν ) = Iν (0) e−τν + Sν (1 − e−τν ) 1. τν Sν
→ atenuaci´on (absorci´on)
– Si Iν (0) < Sν
→ “emisi´on” sobre Iν
2. τν >> 1 e−τν ≈ 0
(1 − e−τν ) ≈ 1
;
Iν = Sν 13
′
dτν
• Scattering is´otropo puro # Energ´ıa emitida: fotones dispersados en la direcci´on que se considere. – Is´otropo: ανS 6= f (Ω) – El coeficiente de emisi´on es: jν =
Z
jν = αν
αν Iν Ω
Z
Iν Ω
Sν = Jν
14
dΩ 4π
dΩ 4π
2.9.
Interpretaci´ on simple de la eq. de transporte
dIν = −Iν + Sν dτν • Si Iν > Sν
⇒
dIν dτν
0
⇒ Iν tiende a crecer
⇓ – Sν es la cantidad a la que Iν tiende a aproximarse. De hecho, alcanza ese valor cuando τν es lo suficientemente grande.
15
2.10.
Cuestiones y ejercicios
1. La principal contribuci´ on a la opacidad en el n´ ucleo solar es scattering por electrones, σν ≈ 0,6 × 10−24 cm2 . Suponiendo una densidad en el n´ ucleo de ρ = 100 g cm−3 , estimar la distancia recorrida por un fot´ on entre encuentros. Soluci´ on: Para estimar el coeficiente de extinci´ on total estimamos el n´ umero de electrones en el n´ ucleo. Suponemos que el Sol est´ a compuesto exclusivamente de H y que ´este se encuentra ionizado en el n´ ucleo. La densidad de protones es: Np =
ρ mp
– siendo mp = 1,67 10−24 g la masa del prot´ on de aqu´ı resulta: Np = 1,2 1026 cm−3 – La opacidad es αν = N σν ≈ 72 cm−1 y el camino recorrido lν =
1 ≈ 0,01 cm αν
2. Supongamos un fot´ on de un campo de radiaci´ on Iν viajando en un medio homogeneo con densidad ρ = 2,5 × 10−7 g cm−3 2 −1 y una opacidad κν = 0,264 cm g (valor aproximado para una λ = 5000 ˚ A). Calcular la distancia media caracter´ıstica recorrida por el fot´ on para que la intensidad decaiga en un factor e−1 .(Nota: los valores dados se aproximan a zonas de la fotosfera solar). Soluci´ on: Ecuaci´ on que da la intensidad: I(ν) = I0 (ν) e−
Rs
0 κν ρds
= I0 (ν) e−κν ρs
Por tanto: I(ν) = e−1 = e−κν ρs I0 (ν) Operando s = 1,52 × 107 cm 3. Una nube de gas de radio R situada a una distancia d produce fotones de rayos X a un tasa Γ (fotones por unidad de volumen y unidad de tiempo). Suponemos que el medio es ´ opticamente delgado y los fotones no son absorbidos. Un detector en la Tierra tiene un haz de tama˜ no angular de radio ∆θd y un ´ area efectiva ∆A. a) ¿cu´ al es la intensidad observada (fotones por unidad de tiempo, ´ area y estereoradi´ an) hacia el centro de la nube, si la fuente est´ a resuelta completamente? b) ¿cu´ al es el flujo observado cuando la fuente no se resuelve? Respuesta: a) Suponemos que la nube emite isotr´ opamente. La ecuaci´ on de transporte es (no hay absorci´ on): dI Γ =j= ds 4π con I definida en funci´ on del n´ umero de fotones (fotones cm−2 s−1 ster−1 ). Por tanto, integrando a lo largo de una l´ınea a trav´es del centro: I = j 2R =
RΓ 2π
b) En este caso, el tama˜ no angular de la fuente ∆θs = R/d es menor que el haz del detector ∆θd . El flujo es: F =
L 4πd2
y la luminosidad (energ´ıa por segundo) de la fuente: L=
16
4π 3 R Γ 3
por tanto: R3 Γ 3d2 4. Mostrar que la condici´ on para que una nube ´ opticamente delgada de material pueda ser barrida por la presi´ on de radiaci´ on de una estrella cercana es que la raz´ on M/L de la estrella sea menor que κ/(4πGc), siendo G la constante de gravitaci´ on, c la velocidad de la luz yκ el coeficiente de absorci´ on m´ asico del material de la nube (lo suponemos independiente de la frecuencia). Respuesta: El flujo a una distancia r de la estrella es F = L/(4πr 2 ), arrastrando la radiaci´ on un momento por unidad de tiempo (tasa del momento) L/c. La fuerza de la radiaci´ on por unidad de masa que se ejerce sobre la nube es la tasa del momento por unidad de superficie absorbido por el material: F =
κL κF = c 4πr 2 c Por otra parte, la fuerza gravitacional debida a la estrella por unidad de masa es frad =
fgrav =
GM r2
La condici´ on para que el material sea barrido es fgrav < frad . Por tanto: M κ < L 4πGc • L´ımite de Eddington La expresi´ on anterior es v´ alida en toda configuraci´ on esf´erica. Si en la relaci´ on anterior, consideramos la situaci´ on es de equilibrio: 4πcGM κ La luminosidad cr´ıtica depende de κ. Si consideramos scattering Thompson por electrones libres -da el valor m´ınimo de la opacidad de un gas de H ionizado -(ver problema 1) y el coeficiente m´ asico por ’atomo de H es σT /mH , el valor resultante es el conocido por el l´ımite de Eddington: L=
L=
4πcGM mH σT
5. Se llama fotoionizaci´ on a un proceso en el que un ´ atomo o mol´ecula absorbe un fot´ on y se libera un electr´ on. La energ´ıa requerida es al menos igual al potencial de ionizaci´ on, hν0 . Mostrar que el n´ umero de fotoionizaciones por unidad de tiempo y volumen viene dado por: 4πna
Z
∞ ν0
σν Jν dν = cna hν
Z
∞
ν0
σν uν dν hν
siendo: na = densidad del n´ umero de ´ atomos σν = secci´ on eficaz de fotoionizaci´ on
Respuesta: Supongamos un elemento de volumen dV de secci´ on dA y espesor dl normal a la propagaci´ on del haz de radiaci´ on. La variaci´ on de la intensidad del haz ser´ a: dIν = −αν Iν dl con αν la opacidad del medio. La energ´ıa absorbida en dV , dt, dν y dΩ es: −dIν dAdtdνdΩ o αν Iν dV dtdΩdν
17
. La energ´ıa total (en todas las direcciones) absorbida por unidad de tiempo, volumen y unidad de intervalo espectral es: Z
αν Iν dΩ = 4παν Jν
Ω
Siendo Jν la intensidad media. Cada fotoionizaci´ on requiere una energ´ıa hν con ν > ν0 . Por otra parte, la opacidad es: αν = na σν Por tanto, el n´ umero de fotoionizaciones por unidad de volumen y tiempo es (teniendo en cuenta que Jν = resultado del enunciado.
18
uν c ) 4π
el
Cap´ıtulo 3 El cuerpo negro. • Cuerpo negro: Distribuci´on de fotones en un recinto en equilibrio termodin´amico (T = cte.)
Figura 3.1: Cuerpo negro
- Cavidad cerrada excepto por un agujero muy peque˜no. – Radiaci´on que entra: probabilidad muy peque˜na de escapar. –Radiaci´on se absorbe por las paredes de la cavidad o por el gas del interior. – Si la c´amara se calienta: paredes emiten fotones. – Cada foton se reabsorbe; los que escapan son despreciables. – Si T =cte: equilibrio termodin´amico dentro de la c´amara. – Peque˜na fracci´on de fotones que escapan permite que se mida el espectro del interior (s´olo depende de la temperatura)
1
• Fotosfera estelar: Se comporta b´asicamente se comporta como un cuerpo negro: i) Escapa una fracci´on despreciable de radiaci´on: → en lo m´as profundo, τν suficientemente grande para impedir que se escape la mayor parte de los fotones emitidos. ii) Fotones se reabsorben muy cerca de donde se emiten. iii) Son tantos los que se dirigen hacia afuera como hacia adentro. iv) Material cercano al equilibrio termodin´amico: radiaci´on BB – Las capas m´as elevadas se desvian de BB: el “agujero”se vuelve m´as y m´as importante. → Hay una transici´on de equilibrio termodin´amico local casi perfecto (LTE) a un situaci´on de no-LTE en las capas m´as altas.
2
3.1.
Funci´ on de Planck
• Campo de radiaci´on emitido por un cuerpo negro. La intensidad es: 2hν 3 1 2hc2 1 Bν (T ) = 2 hν/kT ; Bλ(T ) = 5 hc/λkT (3.1) c e λ e −1 −1 – h = cte. de Planck = 6,626 × 10−27 erg s – k = cte. de Boltzmann = 1,38 × 10−16 erg grad−1
Figura 3.2: Curvas de cuerpo negro
3
3.1.1.
Aproximaci´ on de Rayleigh-Jeans
• hν kT : 2ν 2 Bν (T ) = 2 kT c
(3.2)
– L´ınea recta en un diagrama (log Bν , log ν). – Util en radio. 3.1.2. Aproximaci´ on de Wien • hν kT :
2hν 3 − hν Bν (T ) = 2 e kT c
– Bν (T ) ↓ muy r´apidamente con ν.
4
(3.3)
3.1.3.
Ley del desplazamiento de Wien
– Frecuencia para la cual Bν (T ) es m´aximo. δBν • [ δνν=ν ] = 0: max
νmax = 5,88 × 1010 Hz grad−1 T
(3.4)
– νmax se desplaza linealmente con la temperatura. • Con la representaci´on en λ de la funci´on de Planck: λmaxT = 0,290 cm grado
(3.5)
! M´aximos de Bλ y Bν no ocurren simult´aneamente en λ y ν ! λmax νmax 6= c – Muy u´til para caracterizar el rango de frecuencias v´alido para las aproximaciones anteriores: R−J : W :
ν νmax ν νmax
5
hν 1) kT hν 1) ( kT (
3.1.4.
Ley de Stefan-Boltzmann
• Flujo de radiaci´on: Z Fν =
Iν cos θ dΩ Ω
– Para un BB: radiaci´on escapa (Fν ) y es is´otropa: Fν = π Iν • Flujo total de la radiaci´on de un BB (integrando en ν): Z F = 0
∞
2πh Fν dν = 2 c
Z 0
∞
2π 5k 4 4 4 dν = T = σT 15h3c2 −1 (3.6)
ν3 e
hν kt
F = σT 4
(3.7)
– σ = cte. de Stefan-Boltzmann = 5,67×10−5 erg s−1 grad−4 cm−2
6
3.2.
Ley de Kirchoff para la emisi´ on t´ ermica
– Funci´on fuente, Sν , de un BB es Bν (T ). La emisividad del material es: jν = αν Bν (T )
(3.8)
– Ley de Kirchoff para emisi´on t´ermica. – En este caso, la ecuaci´on de transporte: dIν = −αν Iν + αν Bν (T ) ds
(3.9)
dIν = −Iν + Bν (T ) dτν
(3.10)
— N ota: Radiaci´on de cuerpo negro: Iν = Bν Radiaci´on t´ermica de un material: Sν = Bν
7
3.3.
Temperatura de brillo (brightness temperature)
• Para un campo de radiaci´on Iν , se define la temperatura de brillo, Tb(ν), a la frecuencia ν como: Iν = Bν (Tb)
(3.11)
• Util en radio (medio interestelar): R-J aplicable (hν kT ): 2ν 2 c2 Iν = 2 kTb → Tb = 2 Iν (3.12) c 2ν k – Ecuaci´on de transporte se puede poner en funci´on de Tb: dTb = −Tb + T (3.13) dτν Tb = Tb(0) e−τν + T (1 − e−τν ) – T = temperatura del medio. – Si τν > 1 : Tb → T
(3.14)
– Unicidad de Tb se basa en la condici´on mon´otona de la ley de Planck. – En la aproximaci´on de Wien Tb no es u´til: no se puede formular una ecuaci´on de transporte lineal en Tb.
8
3.4.
Temperatura de color
• Temperatura de BB a partir de los flujos relativos en dos λ distintas: hc ( 1 − 1 ) λ2 5 kT S(λ1) = ( ) e λ2 λ1 (3.15) S(λ2) λ1 – Util para determinar la l.d.o.m´axima del espectro de radiaci´on. – Se utiliza la aproximaci´on de Wien – En la pr´actica, hay que tener en cuenta τν para cada λ
9
3.5.
Temperatura efectiva. Luminosidad
• Se determina a partir del flujo total emitido: Z Z F = Iν cos θdΩdν = σTe4 ν
(3.16)
Ω
• Suponemos un BB de radio R y temperatura T (por ejemplo, una estrella). – Energ´ıa total emitida por segundo: L = 4πR2σT 4
(3.17)
– L = Luminosidad de una estrella de radio R y temperatura efectiva T
10
3.6.
Comentarios. Otras temperaturas
• Te, Tb: dependen del valor de la intensidad de la fuente. • Tc: depende de la forma del espectro. • Temperatura cin´etica: relacionada con la velocidad media de las part´ıculas del gas: 1 2 3 mv = kTk 2 2
(gas ideal)
– Tk (corona solar) ≈ 106K(→ ve ≈ 6800km s−1) – Tk (ionosfera) ≈ 2 × 103K(→ ve ≈ 300km s−1) • Temperatura de excitaci´on, ionizaci´on • En equilibrio termodin´amico: todas las T s iguales.
11
Figura 3.3: Distribuci´ on energ´etica de una estrella : No es un cuerpo negro exacto
12
3.7.
Cuestiones y ejercicios
1. Un remanente de supernova tiene un di´ ametro angular θ = 4.3 arcmin y un flujo a 100 M Hz de F100 = 1,6 × 10−19 erg cm−2 s−1 Hz−1, siendo la radiaci´on t´ermica. a) Estimar la temperatura de brillo? b) Si La regi´on emisora es en realidad m´ as compacta que la indicada por el tama˜ no angular observado, indicar el efecto sobre el valor de Tb Respuesta: a) La intensidad espec´ıfica (brightness) es Iν = Fν /∆Ω, donde ∆Ω = π(∆θ)2 . En nuestro caso ∆θ = θ/2 = 2,15arcmin = 6,25 × 10−4 radian. Por tanto: Iν = 1,3 × 10−13 erg cm−2 s−1 Hz −1 ster−1 y: Tb =
c2 Iν = 4,2 × 107 K 2ν 2 k
(aproximaci´on de Rayleigh-Jeans es apropiada). b) Tb ∝ Iν ∝ (∆θ)−2 . Si el ∆θ verdadero es menor, Tb ser´a mayor que el dado arriba. 2. Una nube interestelar de radio R situada a una distancia d de la Tierra tiene una temperatura T y emite t´ermicamente a una raz´ on P (ν) (energ´ıa por unidad de tiempo, volumen y rango de frecuencia). a) Suponiendo que la nube es ´ opticamente delgada, ¿cu´ al es la intensidad de la nube medida en la Tierra? (dar la respuesta en funci´on de la distancia b de un punto de la nube a su centro y suponer que la nube se observa a lo largo de rayos paralelos) b) ¿Cu´ al es la temperatura efectiva de la nube? Respuesta: N´otemos que la emisividad de la nube es: jν = P (ν)/4π y que podemos suponer que la opacidad es cero. Utilizando la ecuaci´on de transporte obtenemos: Z Iν (b) =
jn u(z)dz =
P (ν) 2 (R − b2 )1/2 2π
. La potencia total emitida por la nube es: 4 3 πR P 3 R con P = P (ν)dν. Por definici´ on L = 4πR2 σTe4 y por tanto: L=
Te = (
P R 1/4 ) 3σ
3. La corona interna del Sol emite ondas de radio con un flujo sobre la superficie terrestre de 5 × 10−22 W m−2 HZ−1 a una frecuencia de 200 MHz. Estimar la temperatura de la corona si suponemos que emite como un cuerpo negro. •
hν kT
= 10−2 /T 0 n= n=4 −0.85 eV 8
13.60 12.75 Paschen
12.08
n=3 −1,51 eV
Balmer
10.20
n=2 −3.40 eV Lyman
0.00
n=1 −13.60eV
Figura 4.2: Esquema simple de los niveles de energ´ıa de H. Se muestra el n´ umero cu´antico n, la energ´ıa de ligadura (derecha) y el potencial de excitaci´ on (izquierda), ambos en eV . para los cuatro primeros valores de n
Cuadro 4.1: L´ımites de ionizaci´on de las primeras series de H n 1 2 3 4 5
˚) λ (A 912 3647 8208 14588 22790
12
Nombre Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund
• Fotoionizaci´on: absorci´on ligado - libre (produce opacidad continua): • Captura: emisi´on libre - ligado (produce emisi´on continua de fotones): ** Ejemplo, serie de Balmer: n = 2, λ = 3647 ˚ A, energ´ıa de ionizaci´on X2 = 3,4 eV Fotoionizaci´on: opacidad continua para fotones con λ < 3647˚ A. Captura: transici´on del continuo a n = 2 → emisi´on continua de fotones con λ < 3647˚ A. • Ambos procesos dan lugar al continuo y a la discontinuidad de Balmer, muy importantes en el espectro de muchas estrellas.
Figura 4.3: L´ıneas y discontinuidad de Balmer en espectros estelares
13
4.2.3.
Transiciones libre-libre (b-f )
• Transiciones entre estados del continuo. – Estados libres no cuantizados – Originan la radiaci´on bremsstrahlung (opacidad libre-libre). • Escenarios astrof´ısicos relevantes: – Interiores estelares: H completamente ionizado; αf f principal fuente de opacidad. – Regiones HII y nebulosas planetarios (PN): bremsstrahlung muy notable en l.d.o. de radio en estas regiones. • Nota: Eion(H) =13.6 eV ⇔ λ = 912 ˚ A⇔ T∗ ∼ 30000 K – Estrellas que producen fotoionizaci´on: B3, T∗ ∼ 30000 K, M ∼ M , L ∼ 2 × 103L
Figura 4.4: La regi´ on HII S106 en el infrarrojo cercano (izquierda) y en 6 cm (derecha)
14
4.2.4.
Estructura fina
• Estructura fina: interacci´on spin-orbita (l − s): – spin del electr´on interacciona con el momento angular orbital del ´atomo. n: l = 0, 1, 2, ..., n − 1(S, P, D) → j = l ± 12 . • Estados, nomenclatura y peso estad´ıstico: S(l = 0)
j=
1 2
1 3 j= , 2 2 3 5 D(l = 2) j = 2 2 2s+1 n lj
P (l = 1)
gn = 2n2 • Diferencia de energ´ıa entre estados debido a la interacci´on spin-orbita: ∆En,j
α2RZ 4 3 1 ( − = ) n3 4n j + 12
h c) ≈ 137−1. α = cte. de estructura fina = e2/( 2π
15
(4.3)
• Ejemplo: Nivel 2p # n = 2 → l = 1, j = 1/2 ;
∆E = −5,66 × 105 eV
# n = 2 → l = 1, j = 3/2 ;
∆E = −1,1 × 105 eV
– Nivel 2p se desdobla en 2 con ∆E ∼ 4,5 × 105 eV # L´ınea Hα(λ = 6563 ˚ A): E2 − E3 = 1,3 ev – Estructura fina: ∆λ ∼ 10−5 λHα ∼ 0,06 ˚ A # Resoluci´on de un espectr´ografo: R = λ/∆λ – En el caso de Hα: R ∼ 100,000(∼ v = 2,7km/s) # Espectr´ografos de alta resoluci´on (!! ensanchamiento de l´ıneas !!) ˚ # L´ıneas del doblete de NaI: ∆λ = 6 A
Figura 4.5: Niveles de energ´ıa del ´ atomo de hidr´ ogeno. Arriba a la derecha se muestra la estructura fina para el nivel n=2. El desplazamiento Lamb entre los estados 22 S1/2 y 22 P1/2 corresponde a ∆E = 4.4 × 10−6 eV. Abajo se muestra la estructura hiperfina del estado n=1; la diferencia de energ´ıa entre ambos estados es ∆E = 5.8 × 10−6 eV. El fot´on emitido en una transici´ on entre ambos estados corresponde a λ = 21.11 cm
16
4.2.5.
Estructura hiperfina
• Estructura hiperfina: interacci´on spin – spin: – spin del electr´on y del prot´on interaccionan. # Nivel 12s 1 deH se desdobla en 2 niveles con separaci´on: 2
∆E ∼ 5,9 10−6 eV
⇔ λ ≈ 21 cm
. – Transici´on entre ambos niveles es “altamente prohibida”: electr´on cambia spin. – Probabilidad muy peque˜na: vida media del nivel τ ≈ 107 a˜nos. • Escenario astrof´ısicos: – H en el medio interestelar (baja densidad) de la Galaxia (y en otras galaxias externas) muy abundante → λ = 21 cm(ν = 1420 M Hz) facilmente observable. Traza la distribuci´on de H en la Galaxia).
Figura 4.6: Emisi´ on de 21 cm (HI) en el plano gal´actico
17
4.2.6.
Estados metaestables
• F´ısica del medio interestelar: muy influenciada por transiciones que no siguen las reglas de selecci´on. – Por ejemplo, transiciones en las que los e− cambian la orientaci´on del spin: • transiciones prohibidas: muy baja probabilidad. # Ejemplo: HI 22s 1 → 12s 1 2
2 2P 3/2 2S 1/2 2P 1/2
n=2
2S
n=1
1/2
– No cambia l, ∆l = 0 – Fot´on emitido se lleva una unidad de momento angular. ⇒ e− tiene que cambiar (“flip”) su spin para que el momento angular orbital se conserve. – Transici´on de muy baja probabilidad: raz´on ∼ 10 s−1 (transiciones permitidas 108 s−1). – H permanece durante un tiempo muy largo en el estado 22s 1 antes de 2 caer espont´aneamente al estado fundamental
18
• Escenarios astrof´ısicos: # ρ estelares muy altas: – H(22s 1 ) colisiona muchas veces antes de caer al nivel fundamental. 2
– La energ´ıa de excitaci´on se puede transferir a la part´ıcula colisionante produciendo una des-excitaci´on colisional (inverso: excitaci´on colisional). # En el medio interestelar las colisiones son poco frecuentes y puede ocurrir la transici´on (proceso m´as probable es emisi´on de dos fotones) Estados metaestables: Niveles energ´eticos con probabilidades de transici´on muy bajas – Importantes en medios de baja densidad.
• Nomenclatura de ´atomos e iones en Astrof´ısica – Atomo neutro: I (ejemplo HI, CaI) – Una vez ionizado: II (ejemplo HII, CaII) – Dos veces ionizados: III (ejemplo OIII) – .......
19
4.3.
Excitaci´ on t´ ermica. Formula de Boltzmann
# Intensidad de una l´ınea depende de (“al menos”en sentido cualitativo): – N´umero de ´atomos en el estado de ionizaci´on correspondiente – N´umero de ´atomos en el estado de excitaci´on que da lugar a la transici´on. • Ley de Boltzmann: distribuci´on (en equilibrio termodin´amico) de la poblaci´on de ´atomos entre los distintos estados energ´eticos (niveles de excitaci´on) para un estado de ionizaci´on. Ni,m gi,m (− χi,m ) = e kT Ni,1 gi,1
(4.1)
– Ni,m = n´umero de ´atomos por unidad de volumen en el grado de ionizaci´on i que se encuentran en el nivel de excitaci´on m – Ni,1 = nivel fundamental – g = peso estad´ıstico – χi,m = energ´ıa de excitaci´on E1 − Em – χi = E1 − E∞ = energ´ıa de ionizaci´on del i´on – k = cte. de Boltzmann = 1,38 × 10−16 erg/K = 8,6174 × 10−5 eV /K
20
# Si consideramos el n´umero total de ´atomos en ese estado de ionizaci´on: Ni,m gi,m (− χi,m ) = e kT Ni ui(T ) – ui(T ) =
P
χi,m (− kT )
gi,me
(4.2)
= funci´on de partici´on (suma de estados).
# Tomando logaritmos (decimales) en la ley de Boltzmann: log –θ=
5040 T ,
Ni,m gi,m = log − χi,mθ Ni,1 gi,1
χi,m (eV )
Figura 4.1: Fracci´ on de atomos en funci´on de la temperatura de excitaci´on
21
(4.3)
• Ejemplo: NaI en la atm´osfera del Sol (T ∼ = 6000 K) # L´ınea NaI D2, λ = 5890 ˚ A (32P3/2 → 32S1/2) – ∆E =2.10 eV –g(J = 3/2) = 2J + 1 = 4 –g(J = 1/2) = 2 – Boltzmann:
N (P3/2 ) N (S1/2 )
≈ 0,034
22
4.4.
Ionizaci´ on. Ley de Saha
# Describe el equilibrio de la reacci´on: Atomo ⇐⇒ Ion + e− . – La diferencia de energ´ıa entre el estado fundamental y un estado en el continuo es: 1 (Ec = − mv 2) 2 • Saha: relaci´on entre las poblaciones de los estados fundamentales de un ´atomo una vez ionizado y el ´atomo neutro: χ0 + Ec
;
N1,1 g1,1 (2πme)3/2(kT )5/2 −χ0/kT Pe = 2 e N0,1 g0,1 h3
(4.4)
donde Pe = NekT es la presi´on electr´onica (dinas cm−2). - Alternativamente, en funci´on de la densidad electr´onica: N1,1Ne g1,1 (2πmekT )3/2 −χ0/kT =2 e N0,1 g0,1 h3
23
(4.5)
# Para todos los estados de excitaci´on y para cualquier grado de ionizaci´on: Ni+1 ui+1 (2πme)3/2(kT )5/2 −χi/kT Pe = 2 e Ni ui h3
(4.6)
(i = grado de ionizaci´on ↔ n´umero de veces ionizado) – En funci´on de Ne: Ni+1Ne ui+1 (2πmekT )3/2 −χi/kT =2 e Ni ui h3
(4.7)
# Tomando logaritmos se llega a la expresi´on: log
Ni+1 ui+1 5 = log 2 + log + log T − χiθ − log Pe − 0,48 Ni ui 2
24
(4.8)
• Ejemplo: Atomo de Na (χ0 = 5,14 eV, χ1 = 47,29 eV ) en condiciones solares (T = 6000 K, Pe = 10 dinas/cm2). – u0,1 ≈ g0,1 = 2, u1 ≈ g1,1 = 1 u2 = g2,1 = 4. – Saha: N1 ≈ 4 103 N0 N2 ≈ 4 10−31 N1 ⇒ N a predominantemente una vez ionizado en la atm´osfera de estrellas tipo solar. • Comparaci´ on de N a e H en condiciones solares: T = 6000 K ; [N a/H] ∼ 10−6 N (N a+) ∼ e−5,14/kT
;
N (H +) ∼ e−13,6/kT
N (N a+) ∼ 107 + N (H ) . ⇒ Ionizaci´on de los ´atomos de N a con respecto al H compensa aproximadamente la deficiencia en la abundancia. ⇒ e− libres en la atm´osfera solar provienen pr´acticamente de los ´atomos de baja ionizaci´on en la atm´osfera solar. – Estos e− libres (procedentes de metales) determinan la ionizaci´on de H en la ecuaci´on de Saha a trav´es de Pe (Ne).
25
Figura 4.2: Ionizaci´ on y excitaci´ on t´ermica en funci´on de la temperatura para distintos iones. (Pe = 100 dinas/cm2 )
26
27
4.5.
Cuestiones y ejercicios
1. ¿Podr´ıas escribir los valores de l, j y m que caracterizan los subniveles del nivel n = 2 en el ´atomo de hidr´ogeno? Respuesta: n = 2 : l = 1j = 23 m = − 32 , − 12 , 12 , n = 2 : l = 1j = 12 m = − 12 , 12 n = 2 : l = 0j = 21 m = − 12 , 12
3 2
2. ¿Sabr´ıas estimar el orden de magnitud de la fracci´on de ´atomos de HI que se encuentran en el nivel n = 2 con relaci´on al estado fundamental a una temperatura de 10000 K? Respuesta: La poblaci´ on relativa de dos niveles viene dada por la ley de Boltzmann: Nn gn − En −Em kT = e Nm gm Para n = 2, En − Em = 10,2 eV y gn = 2n2 = 8. Por tanto: N2 ≈ 5,8 10−6 3. ¿Sabr´ıas estimar la poblaci´ on del nivel 32 P3/2 de NaI en relaci´on al estado fundamental 31 S1/2 para una temperatura de 6000 K? Respuesta: La diferencia de energ´ıa entre ambos niveles de N aI da lugar a la l´ınea D2 (λ = 5890˚ A), que corresponde a 2,10 eV . El peso estad´ıstico (g = 2J + 1) del nivel 32 P3/2 es g = 4(J = 3/2); para el nivel 31 S1/2 es g = 2(J = 1/2). Para T = 6000 K, se obtiene (aplicando Boltzmann): N (P3/2 ) ≈ 0,035 N (S1/2 ) 4. ¿C´ ual es el orden de magnitud de la raz´ on de electrones procedentes de LiI e HI para una temperatura de 5000 K? ¿C´ uantos electrones, en orden de magnitud, proceden de HeII? Respuesta: Seg´ un Saha el factor exponencial para Li, H y He+ es: N (Li+ ) ∼ e−
5,392 kT
13,6
N (H + ) ∼ e− kT N (He++ ) ∼ e−
54,416 kT
Con T = 5 103 K y k = 8,62 10−5 eV deg −1 , se obtiene: N (Li+ ) ∼ 3,7 10−6 N (Li) N (H + ) ∼ 2 10−4 N (H) N (He++ ) ∼ 1,5 10−55 N (He+ ) 5. Una estrella de tipo G5V tienen una temperatura de 5520 K y una presi´on electr´onica de 20 dinas/cm2 . Estimar la Pe de una estrella gigante del mismo tipo espectral y temperatura T = 4650 K si la ionizaci´on del F e es la misma en ambas estrellas. ¿Qu´e puede decirse de la ionizaci´on del Sr?. Datos: χF e = 7,87 eV, log 2u1 /u0 = 0,40; χSr = 5,70 eV, 28
log 2u1 /u0 = 0,32
– Con Saha se halla la ionizaci´ on del F e en la estrella enana: log(N1 /N0 )F e = −
5040 × 7,87 + 2,5 log 5520 − 0,48 + 0,40 − log20 = 0,79 5520
- Para la gigante la ionizaci´ on tiene el mismo valor. Por Saha: Pe = 0,59 dinas/cm2 – En el caso del Sr, aplicamos Saha en ambas estrellas: # Enana: (N1 /N0 ) = 489 # Gigante: (N1 /N0 ) = 1382 6. El doblete de M gII a λ = 4481 ˚ A proviene de la transici´ on del t´ermino: 32 D3/2,5/2 → 42 F3/2 Suponiendo Pe = 100 dinas cm−2 y T = 7200 K, calcular la fracci´on de ´atomos de M g capaces de absorber fotones con λ = 4481 ˚ A, sabiendo que el potencial de excitaci´on del t´ermino m´as bajo de la transici´on es χ(32 D) = 8,83 eV y que el nivel fundamental del M gII es un t´ermino 32 S1/2 . Datos: – Primer potencial de ionizaci´ on de M g: χ1 = 7,65 eV – Segundo potencial de ionizaci´ on M g: χ2 = 15,03 eV – log
2u1 u0
= 0,43 ; log
2u2 u1
=0
# Se aplica Boltzmann para estimar la fracci´on de ´atomos de M gII en el nivel 32 D respecto del nivel 32 S g(32 D) = (2J1 + 1) + (2J2 + 1) = (2L + 1)(2S + 1) = 10 ;
g(32 S) = 2
log N (32 D)N (32 S) = −(5040/7200) × 8,83 + log(10/2) = −5,48 N (32 D) = 10−5,48 × N (32 S) – Aplicamos Saha para ver la fracci´ on de M gII y operando: log
log
N1 5040 =− × 7,65 + 2,5 log 7200 − 0,48 − log 100 + 0,43 N0 7200
N1 = 2,24 → N0
N1 = 173 → n0
N1 = 173/174 = 0,994 N1 + N0
– Para la segunda ionizaci´ on: log
N2 = −3,36 N1
– se puede despreciar. – N´ umero de ´ atomos capaces de absorber fotones con λ = 4481 N (32 D) 10−5,48 × N (32 S) = = 0,994 × 10−5,48 = 3,4 × 10−6 Ntotal Ntotal 29
7. Suponer gas hidr´ ogeno puro con una presi´on gaseosa Pg = 103 dinas cm−2 y una temperatura T = 10080 K. Calcular la raz´ on H ∗ /H y la presi´ on electr´onica Pe = ne kT . Nota: n = ne + H + + H ; Pg = nkT Datos: χion = 13,6 eV ; k = 1,36 × 10−16 erg grados−1 • Ley de Saha: log
N+ u+ 5 5040 = log + log 2 + log T − χion − log Pe − 0,48 N u 2 T
– u+ = 1; u = 2 – Operando:
log
N+ N
= 2,73 − log Pe
– Por otra parte: Pg = nkT = (ne + N + + N )kT = 2Pe + N kT
log
;
(ne = N + )
Pg − PH N+ = 2,73 − log = 3,03 − log(Pg − PH ) N 2
– Operando: N+ (Pg − N kT ) = 1,07 × 103 N N+ (103 − N 1,37 × 1012 ) = 1,07 × 103 N – Podemos despreciar el segundo t´ermino del par´entesis. Operando con n´ umeros: N + /N = 1,07 → e− = N + ≈ N → Pg ≈ 3Pe → Pe ≈ 330 dinas cm−2
30
4.6.
Ap´ endice: Funci´ on de partici´ on
Sea N 0 el n´ umero total de ´ atomos neutros (incluye todos los estados de excitaci´ on) N 0 = N10 +
∞ X
Nn0 = N10 +
n=2
∞ N10 X gn e−χn /kT g1 n=2
donde se ha aplicado la ley de Boltzmann. Reagrupando. N0 N = 1 g1 0
g1 +
∞ X
! −χn /kT
gn e
=
n=2
N10 u0 (T ) g1
u0 (T ) = funci´ on de partici´ on. = suma pesada de las formas en las que se pueden localizar los electrones. Ejemplo: En el caso del Sol practicamente todo el H se encuentra en el nivel fundamental. Por tanto u0 ≈ 2. Analogamente para los iones: u+ (T ) = g1+
∞ X
+
gn+ e−χn /kT
n=2
Para H + , u+ = 1, ya que no quedan electrones.
4.7.
Ap´ endice: Coeficientes de Einstein
La ley de Kirchhoff, jν = αν Bν , relaciona los procesos de emisi´ on y absorci´ on para un emisor t´ermico. Einstein estableci´ o esta relaci´ on de forma sencilla entre ambos procesos, analizando la interacci´ on de radiaci´ on con un sistema at´ omico de dos niveles discretos de energ´ıa con su correspondiente peso estad´ıstico. Einstein identific´ o tres procesos: 1.
Emisi´ on espont´ anea: El electr´ on experimenta espont´ aneamente una transici´ on hacia el nivel de energ´ıa m´ as bajo con la emisi´ on de un fot´ on.
2.
Absorci´ on estimulada: Un fot´ on es absorbido produci´endose la correspondiente transici´ on.
3.
Emisi´ on estimulada: Cuando un electr´ on experimenta una transici´ on hacia abajo emite un fot´ on. Si ello ocurre en la presencia de un fot´ on del mismo tipo como el emitido en la transici´ on, la probabilidad del evento se incrementa de forma notable (“resonancia”).
Supongamos un ´ atomo con dos niveles energ´eticos n y m, siendo m el de m´ as baja energ´ıa. Los procesos anteriores los podemos describir en t´erminos de su probabilidad: – El n´ umero de ´ atomos que pasa del nivel n al nivel m por emisi´ on espont´ anea lo podemos expresar como: Nn→m = Anm Nn dt – El n´ umero de ´ atomos que absorbe un fot´ on y experimenta un transici´ on hacia arriba: Nm→n = Bmn Nm Iν dt – El n´ umero de ´ atomos que experimenta una emisi´ on inducida debido a la presencia del campo de radiaci´ on Iν : Nn→m = Bnm Nn Iν dt en estas expresiones: 31
Anm = Coeficiente de Einstein de emisi´ on espont´ anea Bmn = Coeficiente de Einstein de absorci´ on (estimulada) Bnm = Coeficiente de Einstein de emisi´ on estimulada Los tres coeficientes no son independientes y dependen del ´ atomo en cuesti´ on. En equilibrio t´ermico el campo de radiaci´ on est´ a dado por la funci´ on de Planck y la ley de Boltzmann da la distribuci´ on de ´ atomos entre los distintos estados excitados. Se debe cumple: Nm Bmn Bν (T ) = Nn [Anm + Bnm Bν (T )] Teniendo en cuenta las expresiones de las leyes de Boltzmann y Planck se llega a: gn Bnm = gm Bmn Anm =
2hν 3 Bnm c2
- gm y gn son los pesos estad´ısticos.
4.8.
Ap´ endice: Poblaciones invertidas: m´ aseres
Para un sistema en equilibrio t´ermico: n2 g1 −hν = exp( ) g1 g2 Incluso cuando el material no est´ a en equilibrio t´ermico, esta relaci´ on se suele satisfacer. Cuando se invierte la relaci´ on anterior hay ´ atomos suficientes en el nivel superior n2 para causar una inversi´ on en la poblaci´ on de las niveles: n2 n1 < g1 g2 n1 n2 < g1 g2 En este caso, el coeficiente de absorci´ on es negativo: αν ≤ 0. En lugar de decrecer, la intensidad se incrementa a lo largo del camino. Tal sistema se llama maser (laser) -microwave amplification by stimulated emission of radiation. La amplicaci´ on puede ser muy grande. Una profundidad ´ optica negativa de -100, lleva a un factor de amplificaci´ on de 1043 . M´ aseres astrof´ısicos se observan de mol´eculas tales como OH, H2 O, N H3 , SiO, etc.
32
TEMA 5 MEDIDAS FOTOMÉTRICAS DE LAS ESTRELLAS
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Astrofísica estelar
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1
Magnitudes estelares Hiparco de Rodas (190-125 AC) clasificó las estrellas de acuerdo a su brillo en el cielo en seis intervalos a los que llamó magnitudes. A las estrellas más brillantes les asignó magnitud 1 y a las estrellas en el límite de visibilidad les asignó la magnitud 6.
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2
1
Escala de magnitudes Dado que la respuesta del ojo humano es logarítmica, el brillo de estrellas de magnitud 1 y magnitud 6 difiere en un factor 100. En la actualidad, la escala de magnitudes viene definida por la relación:
m1 − m2 = −2.5 log
B1 B2
Ley de Pogson
B1 = 10 −0.4 ( m1 −m2 ) B2
La magnitud es una cantidad adimensional. La escala de magnitudes es una escala relativa. El cero de la escala viene dado por la magnitud de la estrella Vega: Mag(Vega) = 0.0 mag
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3
Brillo y Luminosidad Luminosidad = L ≡ enegía emitida por la fuente en la unidad de tiempo.
L
[L] = erg s-1 = w
d B
Brillo = B = energía emitida por la fuente en la unidad de tiempo y recibida en la Tierra. [B] = erg s-1 cm-2 = w m-2
El brillo y la luminosidad de una fuente están relacionados a través del cuadrado de la distancia de la fuente a la Tierra
B= Curso 2009-10
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L 4πd 2
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4
2
Brillo de distintos objetos Objeto
Magnitud
Sol Luna llena Venus Júpiter Sirio Estrella Polar Límite del ojo Plutón Límite del telescopio
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-26.5 -12.5 -4.0 -3.0 -1.4 2.0 6.0 15.0 30.0
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5
Distancias estelares Paralaje trigonométrica,
π : ángulo bajo el cual se ve el radio de la órbita de la Tierra, desde una estrella a una distancia dada. Se expresa en segundos de arco (“).
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6
3
Parsec: unidad de distancia estelar Parsec: es la distancia a la cual se encuentra una estrella cuya paralaje es 1”. Distancia estelar : la inversa de la paralaje trigonométrica expresada en ” . d pc = 1/π” La estrella más cercana a la Tierra, Próxima Centauri, tiene una paralaje de 0”.765, correspondiente a 1.31 pc.
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7
Las 20 estrellas más brillantes
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Nombre
Magnitud Distancia aparente (parsec)
Sirius Canopus Alpha Centauri Vega Arcturus Capella Rigel Procyon Betelgeuse Achernar Beta Centauri Altair Alpha Crucis Aldebaran Spica Antares Pollux Fomalhaut Deneb Beta Crucis
-1.50 -0.73 +0.10 +0.04 0.00 +0.05 +0.08 +0.34 +0.41 +0.47 +0.61 +0.77 +1.58 +0.86 +1.12 +0.90 +1.15 +1.18 +1.26 +1.24
Astrofísica estelar
2.6 30.1 1.3 8.0 11.0 13.8 184.0 3.5 184.0 19.9 92.0 5.1 19.6 16.0 84.0 128.8 11.3 6.9 429.4 153.4 Ángeles Díaz Beltrán
8
4
Magnitud absoluta M m 10pc Se define la Magnitud absoluta de una fuente como su magnitud aparente a la distancia de 10 pc La diferencia entre la magnitud aparente y la absoluta de una fuente se llama módulo de distancia y depende de la distancia de ésta al observador L / 4πd 2 10 m − M = µ = −2.5 log = −5 log = −5 + 5 log d 2 L / 4π10 d Curso 2009-10
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9
Magnitudes monocromáticas y bolométricas La energía emitida por una estrella es función de la longitud de onda. Las magnitudes estelares – L, B, m, M – se pueden definir para una longitud de onda determinada: magnitudes monocromáticas: Lλ , Bλ , mλ , Mλ Las magnitudes estelares integradas a todo el espectro electromagnético se denominan bolométricas Fλ
λ Curso 2009-10
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10
5
Magnitudes monocromáticas y bolométricas mλ1 − mλ 2
Bλ1 Lλ1 / 4πd12 = −2.5 log = −2.5 log Bλ 2 Lλ 2 / 4πd 22
Los brillos y las luminosidades monocromáticas se expresan por unidad de longitud de onda o frecuencia: erg s-1 cm-2 Ǻ-1 (ó Hz-1), erg s-1 Ǻ-1 (ó Hz-1) ∞
Lbol = ∫ Lλ dλ 0
mbol ,1 − mbol ,2
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∞ L dλ 2 Bbol ,1 ∫ λ1 ⋅ d 2 = −2.5 log = −2.5 log 0∞ L dλ d12 Bbol ,2 ∫0 λ 2 Astrofísica estelar
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11
Sistemas fotométricos Desde el punto de vista operacional, los flujos medidos no son monocromáticos sino que se integran sobre una determinada banda pasante, definida por un filtro. Los sistemas fotométricos proporcionan medidas en diferentes intervalos espectrales o bandas fotométricas. La longitud de onda efectiva de cada banda se define como:
λ0 =
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∫∆λ λSλ ( λ )dλ ∫∆λ Sλ ( λ )dλ Ángeles Díaz Beltrán
12
6
Ventanas de observación
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13
Sistemas fotométricos La magnitud correspondiente a un filtro determinado, x, se define a través de la función de transmisión del mismo:
fλTx ( λ )dλ ∫ ∆ λ mx = −2.5 log ∫ fλ ,VegaTx ( λ )dλ ∆λ Existen distintos sistemas fotométricos: sistema de Johnson (UBV), sistema de Ströngren (uvbyHβ), sistema de SDSS (u’, g’, r’, i’, z’), etc… cada uno definido por sus propias características Curso 2009-10
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14
7
Sistema fotométrico de Johnson Sistema de Johnson: U B V R I (J H K L M N) U ≡ UV cercano ; B ≡ Azul; V ≡ Visual; R ≡ Rojo; I ≡ IR cercano J H K L M N ≡ Infrarrojo
U B
V
R
I
Funciones de transmisión para los filtros del sistema de Johnson Curso 2009-10
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15
Características de los filtros del Sistema de Johnson
Flujos absolutos para una estrella de magnitud U=B=V=R=I=J=K=L=M=N=0.0 para las longitudes de onda efectivas del Sistema de Johnson
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16
8
Índice de color La diferencia en las magnitudes de una misma fuente, medida en dos longitudes de onda diferentes se denomina índice de color.
mλ1 − mλ2 = −2.5 log
Sλ1 Sλ2
Los índices de color para la estrella de referencia, cuyas magnitudes en todas las bandas es 0.0,es también 0.0.
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17
Índice de color y temperatura Dado que la distribución espectral de energía de una estrella se aproxima a la de un cuerpo negro de una determinada temperatura, el índice de color es, en primera aproximación, una medida de la temperatura superficial de una estrella.
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18
9
Relación entre magnitudes monocromáticas y bolométrica La diferencia entre una magnitud monocromática y la magnitud bolométrica se denomina corrección bolométrica. La corrección bolométrica es siempre negativa. En general se define con respecto a la magnitud visual:
B.C . = mbol − V La corrección bolométrica es ~ 0 para estrellas cuyo máximo de emisión se encuentra en el visible, entre ellas el Sol.
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19
Corección bolométrica como función de la temperatura superficial
Flower, P.J. 1996: ApJ, 469, 355
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20
10
Valores de referencia para el Sol: V = -26.77 mbol, = -26.85 MV, = 4.79 Mbol, = 4.72 µ = -31.56 U.A. = 1.496 x 1013 cm S= 1.36 x 106 erg s-1cm-2 L = 3.86 x1033 erg s-1 (U-B)= +0.13 (B-V) = +0.65 B.C. = -0.07
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(V-R)= +0.52
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21
Magnitud bolométrica y luminosidad La magnitud absoluta es una medida de la luminosidad. Ambas cantidades se pueden relacionar fácilmente si las luminosisdades se expresan en unidades solares.
M bol ,∗ − M bol ,Í = −2.5 log
L∗ LÍ
L∗ −0.4 ( M bol ,∗ −M bol ,Í ) = 10 LÍ Curso 2009-10
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22
11
Absorción debida a la materia entre la estrella y el observador En su camino hasta el observador, la radiación procendente de una estrella es absorbida por el material interestelar de acuerdo a la expresión Iλ = I0 e −τ donde τλ es el espesor óptico a la l.d.o. λ Expresado en magnitudes λ
Aλ = mλ − mλ ,0 = −2.5 log
I e −τ λ Iλ = −2.5 log λ ,0 = −2.5 log e ⋅ τ λ Iλ ,0 I λ ,0
Aλ = 1.086τ λ
Es decir:
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Correccion de absorción y extinción El flujo de un objeto medido en la Tierra está afectado por (a) la absorción en la atmósfera terrestre y (b) extinción y absorción por el medio interestelar. Corrección de absorción atmosférica
m λ = mλ ,0 + k sec z H
z
H/cos z
Suposición de atmósfera plano paralela
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k ≡ coeficiente de absorción
Los valores típicos de k en el óptico van de 0.3 a ~ 400nm a 0.1 a ~ 800nm Ángeles Díaz Beltrán
24
12
Extinción interestelar Está producida por gas y granos de polvo en el medio interestelar entre el objeto y el observador. Es proporcional a la densidad de columna del gas interestelar en la línea de visión. Un buen indicador de la extinción es la emisión térmica del polvo en el disco galáctico (“galactic infrarred cirrus”). La extinción es máxima en el plano de la Galaxia y mínima en la dirección perpendicular al mismo. La extinción es dependiente de la longitud de onda y es mayor a longitudes de onda menores, por lo que produce un “enrojecimiento” de la radiación estelar. Curso 2009-10
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25
Cálculo de la extinción En función de las propiedades de las partículas τ λ = α λ L = ng πa 2Qext L absorbentes donde a ≡ radio de los granos de polvo ng ≡ densidad numérica de los granos L ≡ camino recorrido por la radiación Qext ≡ coeficiente de extinción, función de las propiedades ópticas de los granos . Qext = 2, para un gran número de partículas. 2 En general: Aλ = 1.086 L ∫ πa Qext ( a )ng ( a )da Observacionalmente, AV ≈ 2 mag/kpc
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13
Extinción y enrojecimiento
Aλ ∝ λ−1
mV ,obs = mV ,0 + AV EB −V = ( B − V )obs − ( B − V )0
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La extinción depende inversamente de la longitud de onda ⇒``curva de enrojecimiento´´ El valor de la extinción, para el filtro V, viene dado por AV El enrojecimiento de la radiación estelar (“reddening”) viene dado por el exceso de color: E(B-V) La relación entre la extinción y el exceso de color para una curva de enrojecimiento estándar es: AV = 3.1 EB-V
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Enrojecimiento y sus efectos El valor de la extinción afecta a la magnitud aparente de una fuente y por tanto a su módulo de distancia.
mλ − M λ = −5 + 5 log d + Aλ Las distancias derivadas sin tener en cuenta el valor de la extinción son menores. Curso 2009-10
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Curva de enrojecimiento (Savage & Mathis 1979: ARAA, 17, 73)
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14
Ley de extinción
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15
TEMA 6 PROPIEDADES ESTELARES
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1
Propiedades estelares Una estrella es una configuración gaseosa, autogravitante y autoluminosa. Los parámetros que se usan para caracterizar una estrellas son: Luminosidad (L), Masa (M), Temperatura (Te) y Radio (R). El rango de valores observados para estos parámetros es: 10-6 L ≤ L ≤106 L 1.25 x 10 -3 R ≤ R ≤ 1.5 x 10 3 R 0.05 M ≤ M ≤ 120 M 2 x 10 3 K ≤ Te ≤ 1 x 10 5 K Curso 2009-10
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2
1
Medida de la luminosidad estelar Se puede determinar la luminosidad de una estrella – L – a partir de la medida de su magnitud aparente, corregida de extinción, conociendo la distancia de la estrella al observador. Lλ = 4π d 2 × 10 −0.4 [( mλ −K λ )− Aλ ]
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3
Luminosidad y temperatura Podemos considerar que las estrellas están formadas por capas gaseosas concéntricas en equilibrio térmico. La intensidad de la emisión resultante de un medio como éste es la función de Planck la cual es independiente de las propiedades del medio, sólo depende de su temperatura. I λ ( λ ) = Bλ ( λ ,T ) =
2 hc 2 5
λ
1 (e
hc / λkT
−1)
Si integramos la intensidad a todas las frecuencias obtenemos la energía emitida por unidad de área y de tiempo: σ = cte. de Stefan.Boltzmann F = σT 4 Curso 2009-10
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4
2
Luminosidad y temperatura Esto permite escribir L – luminosidad estelar – como L = 4πR∗2 ⋅ σT 4 Esta definición de luminosidad estelar permite definir la temperatura efectiva de la estrella – Te – como la temperatura del cuerpo negro esférico de igual radio que la estrella y que reproduce el valor de su luminosidad.
L = 4πR∗2 ⋅ σTe
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4
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5
Las estrellas como “cuerpos negros”
Si las estrellas fueran “cuerpos negros” su espectro vendría dado por la ley de Planck.
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Sin embargo, no lo son y, por tanto, su espectro es diferente. En realidad la radiación que recibimos es la suma de emisiones de diferentes capas superficiales a diferentes temperaturas pero el efecto total es equivalente al de una capa de temperatura Te .
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6
3
Temperatura de color La observación de la intensidad de la radiación emitida por las estrellas en función de la frecuencia concuerda muy bien con la curva de Planck. Ajustando las curvas de emisión estelares a las de Planck podemos estimar las temperaturas de las “superficies” que generan esa emisión observada. Se denomina “temperatura de color” de una estrella a la temperatura del cuerpo negro cuyo espectro se ajusta mejor en una determinada banda de frecuencia.
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Temperatura de color y sistema de Johnson
Calibración de Te en función del color (B-V)
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8
4
Radios estelares La estrellas, incluso las más cercana, subtienden diámetros angulares que son demasiado pequeños para poderse medir desde la Tierra. Hay diferentes métodos para la medida de radios estelares, pero sólo son aplicables a unas pocas estrellas. La estimación de los radios estelares se suele hacer a partir de la medida de su luminosidad y de su temperatura de color.
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Medida de radios estelares a partir de imágenes En este tipo de imagen el radio de la zona más interna es:
θ (' ' ) = 2.52 ×10 5
λ D
donde λ es la longitud de onda de la luz observada y D es el diámetro del telescopio. Para λ = 5000 Å y D= 5 m, θ= 0”.025 Se ve dificultado por el fenómeno de la difracción, que hace que no todos los rayos procedentes de la misma estrella confluyan en el mismo punto focal. Curso 2009-10
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Este ángulo es mayor que los tamaños característicos de los radios estelares excepto para el caso de las estrellas supergigantes. Ángeles Díaz Beltrán
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5
Imagen de Betelgeuse obtenida con HST
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Técnicas interferométricas Las medidas directas mediante técnicas interferométricas pueden alcanzar resoluciones de alrededor de 0.01´´. El diámetro angular de Betelgeuse se observó por primera vez en 1921, obteniéndose 0.051 ´´. R Doradus (en la constelación Dorado en el hemisferio Sur) es la estrella con el mayor diámetro medido: 0.057 ´´. 0’’.057 = 1.6 × 10 -5 grados
Si se conocen el tamaño angular y la distancia a una estrella dada, se puede derivar su tamaño lineal. Tamaño lineal = tamaño angular [radian] × distancia
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6
Radios estelares obtenidos a partir de medidas interferométricas T.E.
2α
π (trig)
R / R
α Boo
K2 IIIp
0".022
0".090
26
α Tau
K5 III
0.020
0.048
45
α Sco
M1-2 Iab-Ib
0.040
0.0058
740
α Ori
M2 Iab
0.047 0.034
0.005
1000 730
Estrella
β Peg
M2 II-III
0.021
0.015
150
α Her
M5 Ib-II
0.30
(0.0047)
680
α Cet
M6e III
0.047
0.013
390
α CMa
AI V
0.0068
0.377
2.05
α Lyr
A0 V
0.0037
0.123
3.9
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Técnicas de ocultación por la Luna Debido a la difracción de la luz en el limbo lunar, la ocultación de una estrella por la luna produce una curva de luz en forma de una onda sinusoidal amortiguada. Aplicándose este método de ocultación se logró establecer, por primera vez, el diámetro de las estrellas Antares, θ= 0”.041 ± 0”.001, y µ Gem, θ= 0”.0223.
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7
Clasificación espectral de las estrellas A finales del siglo XIX se clasificaron en el Harvard College Observatory varios centenares de miles de estrellas a partir de espectros azules de resolución moderada, que constituyeron la base de la clasificación espectral de las estrellas http://www.astrogea.org/surveys/dones_harvard.htm
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Clasificación de Harvard Dependiendo de la temperatura de una estrella, aparecen distintas líneas de absorción en su espectro. Las estrellas se clasifican de acuerdo a dichas líneas. Inicialmente, las estrellas se clasificaron en 7 clases espectrales que responden a una secuencia de temperatura decreciente.
O –– B B –– A A –– FF –– G G –– K K –– M M O Temperatura decreciente Los tipos espectrales son independientes de la distancia. Pueden identificar estrellas con propiedades similares. Curso 2009-10
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Características de los tipos espectrales
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Espectros de estrellas de distintos tipos de Harvard
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Estrellas de tipos espectrales tempranos
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Estrellas de tipos espectrales tardíos
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Tipos espectrales y temperatura efectiva
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Colores en el sistema de Johnson-Cousins de estrellas de distinto tipo espectral
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Diagrama de Hertzsprung-Russell En 1905, los astrónomos Ejnar Hertzsprung y Henry Norris Russell, de forma independiente, notaron que la luminosidad de la mayor parte de las estrellas decrecía siguiendo la secuencia espectral O – M. Desarrollaron la técnica de representar la magnitud absoluta de una estrella frente a su tipo espectral para buscar familias de estrellas similares. Estos diagramas se llaman Diagramas H – R y representan la luminosidad estelar en el eje Y, aumentando hacia arriba, y temperatura efectiva en el eje X, aumentando hacia la izquierda. Curso 2009-10
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12
Diagrama H-R de estrellas en la Vecindad Solar En el diagrama H – R, luminosidad y temperatura se representan en forma logarítmica. Las estrellas más calientes se encuentran a la izquierda y las estrellas más frías se encuentran a la derecha. Las más luminosas están arriba y las menos luminosas están abajo. El Sol se encuentra en una posición intermedia.
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Diagrama H-R La mayor parte de las estrellas en la vecindad solar se encuentran a lo largo de una línea diagonal en el diagrama. Es lo que llamamos la Secuencia Principal. Hay algunas estrellas muy luminosas y frías, que llamamos supergigantes, y unas cuantas muy débiles y calientes, que llamamos enanas blancas Curso 2009-10
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13
Clases de luminosidad Además de los tipos espectrales O – M, también, en base a su posición en el diagrama H – R, se distinguen las Clases de Luminosidad. La clase de luminosidad está relacionada con la densidad de electrones en la fotosfera de la estrella, más baja para gigantes que para enanas, lo que afecta a las intensidades y perfiles de las líneas espectrales. II
IIII
Alta luminosidad baja Ne Supergigantes Curso 2009-10
III III Gigantes
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IV IV
VV
Baja luminosidad alta Ne Secuencia Principal Ángeles Díaz Beltrán
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Clasificación bidimensional: MK Las líneas correspondientes a los diferentes tipos espectrales están desplazadas entre sí por 0.3 dex para su mejor visualización
Flower, 1996:ApJ 469, 355 Curso 2009-10
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Diagrama H-R y parámetros estelares Las líneas diagonales en el diagrama H-R corresponden a líneas de igual radio L = 4πR2 σ Te4 (L/L)= (R/R)2 (T/T )4 El Diagrama H – R es una herramienta clave para el estudio de la estructura y evolución de las estrellas y cualquier teoría sobre ello tiene que ser capaz de explicar la posición de las distintas estrellas en este diagrama. Curso 2009-10
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Diagrama H-R construido a partir de datos del satélite Hipparchos
16631 estrellas dentro de un radio de 400 pc alrededor del Sol
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TEMA 7 MASAS ESTELARES
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1
Estrellas binarias La estrella Mizar es un sistema binario en el que las dos componentes Mizar A y Mizar B se resuelven espacialmente. Cada una de esas componentes es, a su vez, un sistema binario que sólo se puede detectar espectroscópicamente.
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2
1
Estrellas binarias Aproximadamente el 70 % de las estrellas en la vecindad solar son binarias (casi el 100 % en el caso de las estrellas masivas). Hay varios tipos de estrellas binarias:
M1
d1 Curso 2009-10
M2
Binarias visuales Binarias espectroscópicas Binarias eclipsantes
d2 Astrofísica estelar
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3
Estrellas binarias visuales
Sistema doble “Albireo”
Sus componentes se pueden resolver con el telescopio. A veces se puede detectar el movimiento del centro de masas del sistema. La mayor parte de las veces, sólo se puede observar el movimiento relativo de las dos estrellas. Un caso particular son las binarias astrométricas, en que solamente una de las estrellas es visible. La detección de las binarias visuales requieren distancias pequeñas al observador y órbitas y períodos muy grandes para las estrellas del sistema http://www.dibonsmith.com/orbits.htm
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4
2
Mvimiento orbital de binarias visuales Se mide el movimiento orbital de cada componente sobre las estrellas del fondo del cielo.
http://csep10.phys.utk.edu/guidry/java/binary/binary.html
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5
Órbitas de estrellas binarias: efectos de proyección Observamos órbitas aparentes, es decir la proyección de las órbitas reales sobre el plano del cielo. La inclinación del plano de la órbita real con respecto a la línea de visión es el ángulo de inclinación i
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6
3
Binarias astrométricas Sirius A & B
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Son sistemas binarios en los que sólo una de las estrellas es visible. La estrella secundaria en general es una componente poco brillante: una WD, una BD, etc … Se detecta la presencia de la compañera debido al movimiento perturbado de la estrella más brillante
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7
Binarias astrométricas
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8
4
Determinación de las masas de estrellas binarias visuales 2
2π 3 G( M1 + M 2 ) = a 3ª ley de Kepler ⇒ P a ≡ semieje mayor de la órbita relativa P ≡ período de revolución M1,M2 ≡ masas de las estrellas
Si escribimos a en UA, P en años y M en masas solares: a3 M1 + M2 = 2 P Si el semieje mayor se mide en segundos de arco: 3 a 1 M1 + M2 = 2 π P Para conocer los valores individuales de M1 y M2 hay que usar: M1a1 = M2 a2 Curso 2009-10
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Binarias espectroscópicas Es el tipo más común de binarias. Sus componentes no se pueden resolver con el telescopio. Se observa su espectro en el que se detectan desplazamiento en sus líneas de absorción.
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10
5
Desplazamiento Doppler de las líneas espectrales en estrellas binarias ∆λ v r = λ c
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Debido a la inclinación de la órbita medimos vr sen i
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11
Si las dos estrellas tienen luminosidades similares, se observan los dos sistemas de líneas de absorción: binaria espectroscópica doble. En caso contrario, sólo se observa un sistema de líneas: binaria espectroscópica simple.
6
Curva de velocidad radial de binarias espectroscópicas La velocidad radial varía a lo largo del movimiento orbital. A partir de la “curva de velocidad radial” se determina el período, P, de la órbita.
P v = 2π a
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Función de masas para binarias espectroscópicas Las curvas de velocidad radial dan: a1 sen i a2 sen i P
+ Leyes de Kepler ⇒ M1 sen3 i + M2 sen3 i
En general, no conocemos i. Estadísticamente, para estrellas de un mismo tipo espectral, se puede tomar el valor medio de la cantidad M1 sen3 i y tener en cuenta que = 0.59 para todas las orientaciones posibles
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14
7
Binarias eclipsantes En estrellas binarias eclipsantes, el plano de la órbita está casi en la línea de visión (perpendicular al plano del cielo). En su movimiento orbital las estrellas se eclipsan una a otra alternativamente.
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15
Eclipses entre dos estrellas binarias
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8
Relación Masa-Luminosidad
Empíricamente se encuentra: L ∝ Mα α= 2.5, M < 0.5 M α = 4, M≥ 0.5 M
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Densidades estelares y gravedad superficial El conocimiento de la masa y el radio de las estrellas permite estimar sus densidades medias y el valor de la gravedad en su superficies. ρ M / MÍ = ρÍ (R / RÍ )3
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g M / MÍ = gÍ (R / RÍ )2
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18
9
Cap´ıtulo 8
Atm´ osferas estelares Regi´on de transici´on entre el interior estelar y el medio interestelar Fotosfera: capa donde se origina el espectro estelar observado
Distribuci´on de temperatura en las capas externas del Sol en funci´on de la profundidad geom´etrica. Centro del Sol hacia la derecha Figura 8.1:
1
Par´ametros que definen la fotosfera - Te L = 4πR∗2σTe4 -g g = GM∗/R∗2 - Composici´on qu´ımica χ - secundarios: rotaci´ on, B,...
# Descripci´on de una atm´osfera estelar: • T (r) y P (r) para unos valores de Te, g y χ. # Modelos de atm´osferas ⇔ Magnitudes observables: Ecuaci´on de transporte de energ´ıa (radiativo, convecci´ on, conducci´on mec´anica, magn´etica) → distribuci´on de T . - Radiativo: Modo dominante - Convecci´ on: estrellas fr´ıas y pre-secuencia principal Ecuaci´on hidrost´atica (hidrodin´amica, magnetohidrodin´amica) → distribuci´on de P . Composici´on qu´ımica: ionizaci´on, poblaci´on de estados, constantes del material.
2
8.1.
Transporte radiativo en una atm´ osfera estelar dIν = −Iν + Sν dτν Z τν Iν (τν ) = Iν (0)e−τν + Sν (tν )e−(τν −tν )dtν
(8.1) (8.2)
0
Expresa Iν (τν ) a lo largo de la l´ınea de visi´on Acopla los par´ametros f´ısicos del material atmosf´erico al espectro emergente. Hay que conocer Sν (tν ) Hay que suponer una geometr´ıa apropiada y las direcciones z relevantes para el observador
3
8.2.
Geometr´ıa esf´ erica (no dependencia azimutal)
dIν ∂Iν dr ∂Iν dθ = + dz ∂r dz ∂θ dz
(8.3)
∂Iν cos θ ∂Iν sin θ − = −Iν + Sν ∂r κν ρ ∂θ κν ρr
(8.4)
– dr = cos θdz, rdθ = − sin θdz (en la figura -dθ) Atm´osferas extensas: supergigantes, interiores estelares Secuencia principal: R∗ >> espesor fotosfera ⇒ Atm´osfera plano-paralela Re Rp
(VINCI, VLTI, 2003) (www.eso.org/outreach/press-rel/pr-2003/pr-14-03.html) # α Eri :
∼ 1,5
4
8.3.
Atm´ osfera plano-paralela
• Estrellas SP (V): R∗ >> espesor fotosfera (≈ 0,1 % R )
Figura 8.2:
Atm´osfera plano-paralela: θ independiente de z
dIν cos θ = −Iν + Sν (8.5) κν ρdr • Usualmente se utiliza la profundidad en la atm´osfera: x = −r
dIν = Iν − Sν dτν
(8.6)
Sν (tν )e−(tν −τν ) sec θ sec θdtν
(8.7)
cos θ Z Iν (τν ) = −
τν
dx = −dr
c
(c reemplaza Iν (0). Se elige debido a las condiciones diferentes para la radiaci´ on entrante (θ ≥ π/2) y saliente (θ ≤ π/2). 5
# Intensidad entrante (cos θ < 0): Z τν Iνin(τν ) = − Sν (tν )e−(tν −τν ) sec θ sec θdtν 0
# Intensidad saliente (cos θ > 0): Z τν Z Iνout(τν ) = − Sν (tν )e−(tν −τν ) sec θ sec θdtν = ∞
∞
Sν (tν )e−(tν −τν ) sec θ sec θdtν
τν
– En la superficie estelar (τν = 0): Iνin(0) = 0
Iνout(0) =
Z
(8.8)
∞
Sν e−tν sec θ sec θdtν
0
• Ecuaci´on de transporte relevante para el Sol • Estrellas: Flujo
6
(8.9)
8.3.1.
Aproximaci´ on de Eddington-Barbier Iν+(τν = 0, θ) =
Z
∞
Sν (tν )e−tν sec θ d(tν sec θ)
(8.10)
0
• Hip´otesis: Sν (τν ) = ao + a1τν + a2τν2 + ... + anτνn R ∞ n −x – ( 0 x e dx = n!) Iν+(τν = 0, θ) = ao + a1 cos θ + 2a2 cos2 θ + ... + n!an cosn θ (8.11) • Aprox. Eddington-Barbier: Sν (τν ) = ao + a1τν I+ ν (τν = 0, θ) = ao + a1 cos θ = Sν (τν = cos θ)
(8.12)
# Iν (θ) → oscurecimiento en el limbo observable en el Sol. En el centro (θ = 0, cos θ = 1): Iν = a0(ν) + a1(ν) (≡ Sν a τν = 1) En el borde (θ = π/2, cos θ = 0): Iν = a0(ν) (Sν en la superficie) Eddington-Barbier → se ve la atm´osfera hasta τν = 1
7
8.3.2.
Flujo estelar emergente Z Fν =
Iν cos θdΩ
(8.13)
Ω
# dΩ = sin θdθdφ. • Si Fν 6= f (φ): π 2
Z Fν = 2π
Iν+ cos θ sin θdθ
+ 2π π 2
0
Z
π 2
Z
∞
Fν = 2π
−(tν −τν ) sec θ
Sν e 0
π
Z
Iν− cos θ sin θdθ (8.14) Z
π 2
Z
τν
sin θdtν dθ−2π 0
τν
Sν e−(tν −τν ) sec θ sin θdtν dθ
0
(8.15)
• En la superficie estelar: Iν− = 0 • C´omo d(cos θ) = − sin θdθ: Z Fν (0) = 2π
1
Iν+ cos θd(cos θ)
0
8
(8.16)
# Aprox. Eddington-Barbier • Sν (τν ) = aν + bν τν Z 1 2 Fν (0) = 2π (aν + bν cos θ) cos θd(cos θ) = (aν + bν )π 3 0 (8.17) – Comparando Fν con Sν : 2 Fν (0) = πSν (τν = ) (8.18) 3 • Flujo emergente es π veces la funci´ on fuente en τν = 2/3 # Hip´otesis Sν = Bν (T ) (LTE): 2 Fν (0) = πBν (T (τν = )) 3 # Hip´otesis κν = 6 f (ν) (Atm´ osfera gris):
(8.19)
2 Fν (0) = πBν (T (τ = )) (8.20) 3 ⇒ Fν (0) corresponde a un bb cuya temperatura es la de la atm´osfera estelar a τ = 2/3 2 4 F (0) = σT0 (T0 = T (τ = )) (8.21) 3 # Por definici´on: To ⇔ Temperatura efectiva 9
8.4.
Equilibrio radiativo
La energ´ıa se produce en el interior estelar y se conserva en su paso por la atm´osfera En la atm´osfera no hay fuentes ni sumideros ⇓ Div F = 0 (Se deben incluir todas las formas de transporte de la energ´ıa relevantes. Aqu´ıs´ olo consideramos transporte radiativo) # Atmosfera plano-paralela: • Conservaci´on de energ´ıa: d F (x) = 0 → F (x) = F0 = cte ; F0 = dx
10
Z 0
∞
Fν dν = σTe4 (8.22)
1. Ecuaci´on de Milne • Eq. de transporte radiativo: dIν = Iν − Sν cos θ dτν – Integrando en ´angulos s´olidos: Z Z Z dIν cos θ dΩ = Iν dΩ − Sν dΩ dτν Ω Ω Ω – dτν = κν ρdx: d dx
Z
Z
(8.24)
Z κν ρIν dΩ −
cos θIν dΩ = Ω
(8.23)
Ω
κν ρSν dΩ
(8.25)
Ω
– Integrando en frecuencias y suponiendo Sν is´otropa: d dx
Z
∞
Z
Z κν Jν dν − 4πρ
Fν dν = 4πρ 0
∞
0
Z
κν Sν dν = 0 0
∞
Z κν Jν dν =
0
∞
(8.26)
∞
κν Sν dν
(8.27)
0
# Significado: radiaci´ on total absorbida (izquierda) = radiaci´ on total emitida (derecha).
11
2. Ecuaci´on de Milne • En equilibrio radiativo: flujo integrado en frecuencias es cte. F (x) = F0 = cte. – Expl´ıcitamente: Z 0
∞
Z [ 0
π 2
Z
∞ −(tν −τν ) sec θ
Sν e
Z sin θdtν dθ−
τν
0
12
π 2
Z 0
τν
F0 2π (8.28)
Sν e−(tν −τν ) sec θ sin θdtν dθ]dν =
3. Ecuaci´on de Milne • Multiplicamos por cos θ la ecuaci´on de transporte e integramos en ´angulos s´olidos: Z Z Z dI ν cos2 θ dΩ = cos θIν dΩ − cos θSν dΩ dτ ν Ω Ω Ω – Izquierda: integral Kν multiplicada por 4π (relacionada con la presi´on de radiaci´on). – Primera integral de la derecha: Fν – Segunda integral de la derecha = cero (Sν is´otropa) • Integrando en frecuencias: Z ∞ dKν F0 dν = dτν 4π 0
13
(8.29)
8.5.
Caso gris. Aproximaci´ on de Eddington
# Caso gris: κ 6= f (ν) – (´ unica fuente de opacidad gris: dispersi´ on por electrones). • IntegrandoRla ecuaci´on de transporte en frecuencias y hacien∞ do (I, S) = 0 (Iν , Sν )dν : dI =I −S dτ • Las ecuaciones de equilibrio radiativo quedan: cos θ
(8.30)
F = F0
(8.31)
J =S
(8.32)
dK F0 F0 = → K(τ ) = τ + cte. dτ 4π 4π
(8.33)
14
• Aproximaci´on de Eddington: Campo de ⇔I=J Z 1 K(τ ) = J cos2 θdΩ = 4π Ω – (34) en (33):
radiaci´on is´otropo 1 J 3
1 dJ F0 = = cte 3 dτ 4π
(8.34)
(8.35)
– Integrando 3 J(τ ) = F0τ + cte 4π – Como J = S (equilibrio radiativo) 3 F0τ + cte. 4π # Da la dependencia de S con τ • Si suponemos S = funci´on de Planck:
(8.36)
S(τ ) =
(8.37)
σ 4 S(τ ) = B(τ ) = T π
(8.38)
3 σT (τ ) = F0τ + cte 4
(8.39)
3 3 T 4(τ ) = Te4τ + cte = Te4(τ + cte) 4 4
(8.40)
4
15
16
• Hip´otesis (Eddington): I − = 0, I + no depende de la direcci´on (0 < θ < π/2). – La integraci´on sobre el ´angulo s´olido se reduce a la semi-esfera (I + = cte): Z J(τ ) =
IdΩ 1 = 4π 2
Z 0
π 2
1 + I sin θdθ + 2
π
Z
I − sin θdθ (8.41) π 2
1 + 1 + − J(τ ) = [I (τ ) + I (τ )] = I (τ ) 2 2 Z F (τ ) = 2π
π 2
π
Z
+
I − cos θ sin θdθ
I cos θ sin θdθ + 2π π 2
0
(8.42)
F (τ ) = π[I +(τ ) − I −(τ )] = πI +(τ )
(8.43) (8.44)
- En la capa l´ımite (τ = 0): F0 = 2πJ(0)
17
(8.45)
– Operando con las ecuaciones anteriores: 1 F0 1 J(τ ) = τ + J(0) 3 4π 3 3 2 J(τ ) = (τ + )F0 4π 3 3 2 S(τ ) = (τ + )F0 4π 3 3 4 2 T = Te (τ + ) 4 3 4
Para τ =
2 3
(8.46)
→ T = Te
Comparaci´on de la distribuci´on de temperaturas para el caso gris con la observada a λ = 5000 ˚ A(Gray 1992). Figura 8.3:
18
Ejercicio: Oscurecimiento en el limbo en una atm´osfera gris # La intensidad en la superficie: Z ∞ Iν (0, θ) = Sν e−τν sec θ sec θdθ 0 3 • En el caso gris: S(τ ) = 4π (τ + 23 )F0 # Por tanto, la intensidad es de la forma:
I(0, θ) = a + b cos θ I(0, θ) =
3 2 (cos θ + )F0 4π 3
– Para θ = 0: 3 2 I(0, 0) = (1 + )F0 4π 3 – Y de aqui se obtiene una relaci´on simple para el oscurecimiento en el limbo: I(0, θ) 2 + 3 cos θ = I(0, 0) 5
19
Ejemplo: 1. Suponer una estrella con una atm´ osfera plano-paralela gris en donde la aproximaci´on de Eddington es v´alida: T4 =
3 4 2 T (τ + ) 4 e 3
Hallar la fracci´ on de la intensidad emitida en la direcci´on θ = 0 que se origina a distintas profundidades ´opticas, suponiendo que la estrella radia como un cuerpo negro.
• En general, la intensidad de radiaci´ on que emite la estrella es: ∞
Z
Sν e−τν secθ sec θdτν
Iν (θ) = 0
• En nuestro caso (θ = 0; sec θ = 1) ∞
Z
Be−τ dτ =
I(θ = 0) = 0
σ π
∞
Z
T 4 e−τ dτ =
0
I=
3σ 4 T 4π e
Z 0
∞
2 (τ + )e−τ dτ 3
5σ 4 T 4π e
– es la intensidad que sale para todas las profundidades ´opticas • La que sale a partir de una profundidad τ : I(τ ) =
3σ 4 T 4π e
Z 0
τ
2 3σ 4 5 5 (τ + )e−τ dτ = Te [ − (τ + )e−τ ] 3 4π 3 3
I(τ ) = 1 − (0,6τ + 1)e−τ I
τ
0.0
0.2
0.4
0.6
1
10
∞
I(τ ) I
0.0
0.08
0.17
0.25
0.41
∼1
1
20
8.6.
Opacidad en atm´ osferas estelares
# Tres mecanismos b´asicos: Opacidad del continuo - Transiciones ligado-libre (b-f): ionizaci´on - Transiciones libre-libre ((f-f): bremsstrahlung Opacidad de las l´ıneas - Transiciones ligado-ligado (b-b) # Otros mecanismos: Scattering: cambio de direcci´on del fot´on sin cambiar λ. - Rayleigh: λ del fot´on > λ de resonancia de la part´ıcula (var´ıa como λ−4). - Thomson: λ del fot´on χion − χn # Eq. 8.3:
3
λ< 0
αn = α0 nλ5 gn ∝
hc χion − χn
(8.6)
λ3 0 g n5 n
1. Para cualquier n: αn ∝ λ3 2. En el l´ımite de ionizaci´on, Ecin (del e− liberado) = 0: Rc ν= 2 y αn ∝ n n 3. Para las λ de ionizaci´on de los niveles n: salto importante de la opacidad (causa: poblaci´on de los niveles)
Figura 8.1: Coeficientes de absorci´on b-f del hidr´ogeno
# En el visible: Continuo de Paschen principal contribuyente a la opacidad del H 4
8.8.
Absorci´ on f-f (Hidr´ ogeno)
# Colisi´on de un electr´on con un prot´on: se puede absorber un fot´on variando la energ´ıa cin´etica: 1 1 (8.7) hν = mv22 − mv12 2 2 - Depende de la velocidad del electr´on - Menor que la absorci´on b-f # Coeficiente de absorci´on f-f (suponiendo distribuci´on maxwelliana de velocidades): 2 2
αf =
2 he 1 R 3 3 3/2 3 πm ν
2m πkT
1/2 (8.8)
• Coeficiente de absorci´on (cm2) por ´atomo de HI: αf gf NeNp κ(Hf f ) = N0 (2πmkT )3/2 − hcR κ(Hf f ) = αf gf e kT 3 h – gf = factor de Gaunt
(8.9) (8.10)
• Estrellas tipos BAF: absorci´on continua de HI es la contribuci´on dominante (modula su distribuci´on energ´etica. No en estrellas m´as fr´ıas. 5
8.9.
Absorci´ on b-b (Hidr´ ogeno)
# Transici´on b-b: hν = hc/λ = χu − χi • En el H:
(8.11)
χn = χion(1 − n12 )
– χion, χu, χi potenciales de ionizaci´on, excitaci´on del nivel superior e inferior, respectivamente • De forma pr´actica: 1 1 1 = RH ( 2 − 2 ) λ ninf nsup
(8.12)
– RH = 109677.5 cm−1 (constante de Rydberg) • La secci´on eficaz b-b es: σνbb
πe2 = fij φν me c
– fij = fuerza del oscilador de la transici´on i → j – φν = perfil de la l´ınea
6
(8.13)
8.10.
El i´ on negativo de Hidr´ ogeno (H −)
# H o muy polarizado → se puede formar H − ligando un e− • La energ´ıa de ligadura es: χ(H −) = 0,754 ⇔ λ = 1,644 µm • Para las condiciones solares (aplicando Saha): N (H −) −8 ≈ 3 × 10 N (H o) • Pero H − es la fuente de opacidad al continuo m´ as importante en el Sol: ¿? Fotones con λ < 1,644µm ionizan H − → todos los iones H − contribuyen a la absorci´on del continuo en la regi´on visual. En esta regi´on la contribuci´on de H o corresponde al continuo de Paschen → Hay que comparar la poblaci´ on relativa del H − y de H o(n = 3): Para el Sol, utilizando Boltzmann: NH (n = 3)) = 6 × 10−10 NH (n = 1)
→
7
NH (n = 3)) −2 = 2 × 10 N (H −)
Para estrellas de los primeros tipos (A): NH (n = 3)) >> 1 NH (n = 1) ⇒ Absorci´on de H neutro es mucho m´as importante Estrellas tard´ıas pocos e− libres (absorci´on H − poco importante).
8
8.3. STELLAR CONTINUA
189
Figure 8.14: Continuous extinction coefficients κcν from hydrogen and helium, per neutral hydrogen atom and per unit electron pressure, for the depth τ0 = 1 (continuum optical depth at λ = 5000 ˚ A) in the photospheres of three dwarf stars. The coefficients κ are here measured per neutral hydrogen atom in whatever state of excitation, assuming Boltzmann population ratios, and normalized by the electron − pressure because the H /H density ratio scales with Pe . The cross-sections are in units of 10−26 cm2 , not cm2 as specified in the y-axis labels. Panel (a) is for the Sun, panel (b) for a late A dwarf, panel (c) for a late B dwarf. The curves do not extend beyond the Balmer edge at left where the neglected metal edges become important. From Gray (1992).
9
8.11.
Otras opacidades
8.11.1.
He
# He: 10 % (en n´umero) • Ionizaci´on: 24.6 eV • Primer estado excitado: 19.8 eV ⇒ λ < 500 ˚ A puede contribuir a la absorci´on • Para el Sol (Boltzmann - g1 = 1, g2 = 3): log NHe(2s3S)/NHe(1s1S)) = 0,48−19,8(5040/5770) = −16,8 – S´olo 10−17 ´atomos de He contribuyen a la absorci´on y s´olo 10−18 ´atomos son He en el 1er. estado excitado. ⇒ Absorci´on de He despreciable en el Sol ⇒ Fotoionizaci´on de He relevante en las estrellas m´as calientes (tipo O) 8.11.2.
Metales y mol´ eculas
# F e, C, Si, M g, .. producen opacidad b-f relevante en el UV # H2, H2−, CN −, C2−, H2O−, CH3, T iO...: importantes en estrellas de los u´ltimos tipos espectrales (muy fr´ıas)
10
8.12.
Scattering
# Atomo: oscilador arm´onico amortiguado (aprox. cl´asica). • Secci´on eficaz para un oscilador cl´asico: 8πe4 ν4 σ(ν) = [ ] 3m2e c4 (ν 2 − ν02)2 + γ 2ω 2
(8.14)
– ν0 =frecuencia del oscilador sin amortiguamiento – γ = cte. de amortiguamiento – ω = 2πν 1. Rayleigh: ν 1 → Rλ (λ) > 1): → X(λ) >> 1, X(λ) >> Rλ0 →
1 X(λ)
n = h2 n2 Curso 2003-2004 UAM
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3
Una transición específica causa una absorción continua que es nula a bajas frecuencias , salta abruptamente a una frecuencia crítica, νc =χn / h, hasta alcanzar un valor máximo y después decrece con
ν 3..
Para una transición ligado-libre específica
Para un ion específico, κb-f es la suma de varios de estos continuos, correspondientes a varios números cuánticos principales y muestra un número determinado de “cortes” o “bordes” de absorción:
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4
Para una serie de elementos pesados es la suma de un número apreciable de continuos individuales, por lo tanto los cortes de absorción se verán solapados en gran medida. La opacidad ligado-libre total consistirá en la suma de las individuales correspondientes a todos los elementos relevantes, de masa atómica A, en todos los estados de ionización, i, y en todos los estados de excitación, n.Por tanto, hay que : • multiplicar α b-f por el número de átomos de masa atómica A, por cm3, XA ρ / A mH • multiplicar por el número de electrones por átomo ligados en el estado n, NA,n calculado mediante la ley de Saha en función de la temperatura, T, y el número de electrones libres por cm3, Ne • sumar sobre todos los elementos en sus diferentes estados de ionización • sumar sobre todos los valores de n que contribuyen
κ
b − f (ν ) × ρ = ∑∑ α A
b − f (ν )
n
X Aρ × N A, n AmH
κb-f (ν) tendrá un comporta-miento irregular con ν, ρ y T .
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5
TRANSICIONES TRANSICIONESLIBRE-LIBRE LIBRE-LIBRE En la aproximación hidrogenoidea, el coeficiente de absorción para un átomo y un electrón, por cm3, se puede escribir:
4π e 6 Z 2 g f − f α f−f = 3 3chme2 v ν 3 Z ≡ carga del ión g f − f ≡ factor de
Gaunt
me ≡ masa del electrón e ≡ carga del electrón
αf-f varía suavemente con ν y no hay restricción en cuanto al intervalo de frecuencias. El coeficiente de absorción para todos los elementos en todos los posibles estados de ionización es una función de buen comportamiento con ν, ρ y T.
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6
En este caso, hay que: • multiplicar α f-f por el número de átomos de masa atómica A, por cm3, XA ρ / A mH • multiplicar por el número de electrones libres, Ne • sumar sobre todos los elementos en sus diferentes estados de ionización • Integrar a todas las posibles velocidades de los electrones
κ
f − f (ν ) × ρ = ∑ ∫ α A v
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f − f (ν )
X Aρ × N e (v) dv AmH
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7
“SCATTERING” “SCATTERING”POR POR ELECTRONES ELECTRONESLIBRES LIBRES En la imagen clásica de un átomo, podemos considerar al electrón como ligado al mismo. Cualquier fuerza que trate de arrancar al electrón del átomo encontrará una fuerza que se opone a ello. El electrón entonces oscilaría con una frecuencia propia ω=2πν. La sección eficaz de dispersión para un oscilador clásico se puede escribir como:
8πe 4 σ (ν ) = 3me2c 4
⎤ ⎡ ν4 ⎢ ν 2 − ν 2 + γ π 2ω 2 ⎥ ( /2 ) 0) ⎦ ⎣(
donde ν0 es la frecuency del oscilador y γ is la constancte de amortiguamiento. Para electrones libres (“scattering Thompson”) ν0=0, γ=0 y
8πe 4 σT = 3me2c 4 En este caso el coeficiente de absorción no depende de la frecuencia y viene dado por:
κ e × ρ = σ e Ne Donde Ne es el número de electrones libres por cm3 . Curso 2003-2004 UAM
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8
COEFICIENTE COEFICIENTEDE DEABSORCIÓN ABSORCIÓNTOTAL TOTAL En general, el coeficiente de absorción total viene dado por: bf ff s + + + κν = (1 − e − hν kT )∑ x j (κ bb κ κ κ ) j j j j
Donde el sumatorio se extiende a todos los elementos j cuyo porcentaje en número es Xj El término [1- exp(-hν/kT)] tiene en cuenta la emisión inducida o estimulada (un fotón incidente induce al electrón a desexcitarse emitiendo un fotón de la misma energía)
OPACIDAD OPACIDADMEDIA MEDIADE DEROSSELAND ROSSELAND El coeficiente de absorción medio de Rosseland o la opacidad media de Rosseland, representa un promedio ponderado sobre el flujo y por lo tanto siempre se aproxima al valor más bajo de κλ .
1 15 α 4eα = κ 4π 4 (eα − 1) 2 Donde α=hν/kT. Curso 2003-2004 UAM
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9
FÓRMULAS FÓRMULASAPROXIMADAS APROXIMADASPARA PARAEL EL COEFICIENTE COEFICIENTEDE DEABSORCIÓN ABSORCIÓN
ªABSORCIÓN LIGADO-LIBRE κ
b − f (ν ) =
con
1 α ∑∑ ρ A n
b − f (ν )
X Aρ × N A, n AmH
64π 4 me e10 Z 4 g b − f α b− f = 3 3ch 6 n 5 υ 3
NA,n se determina a partir de la Ley de Saha: N A, n
h3 χ n / kT T = Nen e 2(2π mkT )3 / 2 2
y Ne =
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1 ρ 1 ρ = (1 + X ) mH μ e mH 2
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10
Teniendo en cuenta sólo los elementos más abundantes:
Z′ / A ≅ 6 2
hn 2 χ n Z′ = 2π 2 me4 2
Se obtiene:
,
e6h 2 Z ′2 2 2π ⋅ κ b − f (ν ) = ∑ 2 3/ 2 7 / 2 A 3 cmH m k A, n 3
C =cte.
≅6
⎡ g b − f χ n χ / kT ⎛ kT ⎞3 ⎤ ρ ⋅⎢ e n ⎜ ⎟ ⎥ X A (1 + X ) 7 / 2 T ⎝ hν ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ n kT Si tenemos encuenta que H y He contribuirán muy poco a las fotoionizaciones, podemos tomar X A ≡ Z y, por otra A parte, podemos considerar que los estados con n=1 son los que más contribuyen. Por tanto:
∑
⎡ g b − f χ n χ / kT ⎛ kT ⎞3 ⎤ ρ e n ⎜ X + X ( 1 ) κ b − f (ν ) = 6 C Z ⎢ ⎟ ⎥ A n kT h T 7/2 ν ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣
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Evaluemos ahora el término entre corchetes. Para una temperatura y densidad dada, T y ρ, los elementos y los estados de ionización con χn ≅ kT son los que más contribuyen: los que tienen χn " kT (por ejemplo, H y He) tienen muy pocos electrones y los que tienen χn 1 kT requieren energía muy elevadas. El término entre corchetes se reduce pues a la unidad, con lo cual
κ b − f = cte. Z (1 + X )
ρ T 7/2
Una expresión aproximada pra la opacidad media de Rosseland debida a las transiones ligado-libre es:
κ b − f ≅ 4.34 ⋅10 25 Z (1 + X ) ρ T −7 / 2 Ley Leyde deopacidad opacidadde deKramers Kramers
cm 2 g −1
®
Reciben este nombre las opacidades que siguen leyes de la forma:
κ ∝ ρ T −7 / 2
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ªABSORCIÓN LIBRE-LIBRE Partimos de :
κ f − f (ν ) =
con:
1 ρ
X Aρ ∑A ∫ α f − f (ν ) Am × N e (v) dv H v
4π e 6 Z 2 g f − f α f−f = 3 3chme2 v ν 3
Ahora, los elementos que más contribuyen a la opacidad son X A = X +Y . H y He, para los cuales Z2 / A = 1 y
∑ A
Para calcular 1/v podemos usar el valor medio sobre la distribución de Maxwell:
2me 1 = v π kT y
∫ N e (v)dv = nº total de electrones libres = v
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1 1+ X ρ ρ = e mH 2 mH
13
Usando la media de Rosseland
⇒ ν
3
⎛ kT ⎞ = 196.5⎜ ⎟ ⎝ h ⎠
3
se obtiene:
κ
22 f − f = 3.68 × 10 ( X + Y )(1 + X )
ρ T 7/2
Ley Leyde deKramers Kramers
cm 2 g −1
®
ª“SCATTERING” POR ELECTRONES LIBRES κe =
8πe 4 σT = 3me2c 4
con
Sustituyendo y usando
Ne =
1 σ e Ne ρ
1 1+ X ρ ρ = e mH 2 mH
e4 4π κ e= (1 + X ) = 0.20(1 + X )cm 2 g −1 4 2 3 c mH me Curso 2003-2004 UAM
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14
OTROS OTROSPROCESOS PROCESOSQUE QUECONTRIBUYEN CONTRIBUYEN AALA LAOPACIDAD OPACIDAD ABSORCIÓN POR EL ION NEGATIVO DE HIDRÓGENO Un electrón libre en las cercanás de un átomo de hidrógeno, puede producir un momento bipolar en el mismo y propiciar la captura de otro electrón por el átomo. El resultado es el ion negativo de hidrógeno H - . Este ion tiene un potencial de ionización de sólo 0.754 eV y una elevada sección eficaz para la absorción bien ligado-libre:
H − + hν ↔ H + e − (v) o libre-libre
H − + e − ( v ) + hν ↔ H − + e − ( v )
En las envolturas de estrellas frías, este proceso puede constituir la fuente dominante de opacidad La contribución del H- a la opacidad estelar depende del número de iones de H- que se puede calcular mediante la ley de Saha: −
donde Z H − Curso 2003-2004 UAM
3/ 2
⎛ ⎞ h2 ⎜⎜ ⎟⎟ e χ / kT ⎝ 2π me kT ⎠ = 1 , Z H o = 2 y $ = 0.754 eV
N (H ) Ne Z H − = 2 ZHo N (H o )
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15
Si [ es la fracción de hidrógeno ionizado ([ ≈ 0 para las envolturas de estrellas frías) y Dν representa la dependencia funcional de la frecuencia de la absorción por H- , la opacidad debida a este ion se puede escribir como:
κ
H−
=
aν N H −
ρ
⎛ NH − = N H (1 − x )⎜ ⎜N o ⎝ H
⎞ Ne ⎛ h2 ⎜ ⎟⎟ aν XN A (1 − x) ⎜ 4 ⎝ 2π me kT ⎠ aν XN A
(1 − x) Pe 4 μ e kT
⎞⎛ aν ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ρ ⎠
3/ 2
e χ / kT =
⎛ ⎞ h ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2π me kT ⎠ 2
⎞ ⎟⎟ = ⎠
3/ 2
e χ / kT
Por tanto, la opacidad total es directamente proporcional a la densidad electrones libres. En estrellas deficientes en metales, los electrones proceden de átomos de hidrógeno ionizados cuyo número aumentará con la temperatura hasta que el número de átomos neutros comience a declinar significativamente. Sin embrago, en estrellas ricas en metales, son los metales de bajo potencial de ionización (Ca, Na, K, Al) ) los que aportan los electrones y la dependencia de la tempertaura no es tan importante. Consecuentemente, la opacidad debida al H- es mucho más importante en estrellas ricas en metales. Por otra parte, la opacidad también depende de la presión electrónica, lo que hace que su importancia aumente para estrellas en la secuencia principal. Curso 2003-2004 UAM
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La dependencia funcional de la frecuencia de la sección eficaz para la absorción por el H- no es una ley de potencias sino que aumenta linealmente con la frecuencia a altas energías hasta λ ≈ 8500 Å y después decrece hasta alcanzar la frecuencia de ionización λ ≈ 16,500 Å. Después aumenta debido a las transiciones libre-libre. Como consecuencia de esto, la media de Rosseland no es una ley de Kramers
κ
H
−
≈ 2.5 × 10 −31 ( Z / 0.02) ρ 1/ 2T 9
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cm 2 g −1
17
TRANSICIONES LIGADO-LIGADO
A temperaturas por encima de 106 K, la mayor parte de los fotones tendrán energías capaces de ionizar átomos e iones, por lo cual las transiciones entre niveles discretos de energía no constituirán una fuente importante de opacidad (< 10 %). Sin embargo, a temperaturas más bajas, las transiciones ligado-ligado en el UV pueden doblar el valor de la opacidad. En el interior de la estrella el ensanchamiento térmico y el debido a la presión son substanciales y el resultado neto de estas transiciones es una absorción continua. La expresión para el coeficiente de absorción para las transiciones ligado-ligado de átomos hidrogenoideos posee la misma dependencia funcional de la frecuencia que para las transiciones ligado-libre, es decir ∝ ν-3. Por lo tanto la media de Rosseland será una ley de Kramers. Sin embargo, la absorción total mostrará una fuerte dependencia con la temperatura.
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4 AABAJAS BAJASTEMPERATURAS TEMPERATURAS(T(T≤≤10 104K) K)
➪ ABSORCIÓN MOLECULAR Las molécuals pueden existir en atmósferas con T< 5000 K. Las moléculas pueden contribuir a la opacidad vía fotodisociación o vía bandas de absorción. La importancia de la absorción molecular depende de la composición química de la atmósfera así como de su temperatura y densidad
➪ “ SCATTERING” RAYLEIGH El tratamiento es el mismo que en caso del “sattering” por electrones, pero ahora ν2 " νo2 y γ2 " νo2 . Por tanto la sección efeccaz para este proceso es
8πe ⎛ ν ⎞ ⎜ ⎟⎟ σ (ν ) = 2 4 ⎜ m c 3 e ⎝ν 0 ⎠ 4
4
➪ PHOTOEXCITACIÓN A ESTADOS AUTOIONIZANTES Este proceso puede darse en átomos o iones con más de un electrón. Inicialmente dos electrones se encuentran en distintos niveles excitados de energía cuya suma es mayor que la requerida para desligar uno de los electrones del átomo. El átomo o ion puede realizar una transición a otro estado de la misma energía que el inicial, en el cual uno de los electrones está en su estado fundamental y el otro y el otro deja de estar ligado. Este proceso constituye una clase especial de proceso ligadoligado o ligado-libre. Curso 2003-2004 UAM
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9 AAALTAS ALTASTEMPERATURAS TEMPERATURAS(T(T≥≥10 109K) K)
➪ PRODUCCIÓN DE PARES Consiste en la conversión de un fotón en un para positrón-electrón. La energía umbral para este proceso es 2mec2≈1.02 Mev (T ≈ 1010 K). Z2 En orden del magnitud, la sección eficaz es: σ par ≈ σ 0 137 donde σ0 es la sección eficaz para el “scattering” Thompson, 1/137es la constante de estructura fina, e2/¬. , y Z es el número atómico del núcleo correspondiente, si el par se produce en el campo de éste, o ± 1 si se produce en el campo de un positrón o un electrón, respectivamente.
➪ “SCATTERING” COMPTON A altas frecuencias, hν 1 mec2 , la sección eficaz para este proceso se puede aproximar por:
σ Compton ≅
3σ 0 8hν / mec 2
1⎤ ⎡ 2 + ln( 2 h / m c ) ν e ⎢⎣ 2 ⎥⎦
➪ FOTODESINTEGRACIÓN Precisa fotones de energías del orden de Mev.
➪ “SCATTERING” FOTÓN-FOTÓN Curso 2003-2004 UAM
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20
Los coeficientes de opacidad se pueden calcular para las condiciones típicas de los interiores estelares, teniendo en cuenta todas las posibles interacciones entre diferentes elementos y fotones de distinta energía. Tablas de opacidades detalladas se pueden en contrar en: http://physics.nist.gov/Divisions/Div842/Icamdata/PDF/1Databases/magee.pdf http://www-phys.llnl.gov/Research/OPAL/ Coeficientes de opacidad (en cm2 g-1) para estrellas de composición solar) OPAL Iglesias & Rogers 1996, ApJ, 446
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FUENTES FUENTESDOMINANTES DOMINANTESDE DEOPACIDAD OPACIDAD PARA PARAESTRELLAS ESTRELLASDE DEDISTINTOS DISTINTOSTIPOS TIPOS
Como hemos visto, κb-f y κf-f tienen la misma dependencia funcional de T y ρ (ley de Kramers), pero el factor numérico es mayor en la primera que en la segunda por tres órdenes de magnitud. Por lo tanto:
c La absorción ligado-libre domina a la absorción libre-libre para estrellas con metalicidad Z ≥ 0.02 (estrellas de la población I).
c La absorción libre-libre domina a la absorción ligado-libre para estrellas con metalicidad Z ≤ 0.005 (estrellas de la población II extrema).
c El “scattering” domina cuando la ley de Kramers da un
coeficiente muy bajo, es decir a temperaturas muy elevadas y/o densidades muy bajas.
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ESTRELLAS ESTRELLASDE DETIPO TIPOOO En estrellas de tipo O, la fuente dominante de opacidad es el “scattering” por electrones libres. ESTRELLAS ESTRELLASDE DETIPO TIPOBB
En estrellas de tipo B, las transiciones ligado libre del átomo de hidrógeno, son la fuente dominante de opacidad. En la figura se pueden apreciar los continuos de Balmer, Paschen y Brackett.
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23
ESTRELLAS ESTRELLASDE DETIPO TIPOAA
En estrellas de tipo A tardío, la ionización del H (continuos de Balmer, Paschen y Brackett) sigue dominando, pero ya se aprecia la contribución del ion negativo de hidrogeno en el óptico y en el infrarrojo.
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24
ESTRELLAS ESTRELLASDE DETIPO TIPOGG
En estrellas de tipo G, la opacidad debida al ion negativo de H domina en el óptico (transiciones ligado-libre) e infrarrojo (transiciones libre-libre) , con una contribución procedente del continuo de Balmer por debajo de los 3647 Å.
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25
REGIONES REGIONESDE DEDOMINIO DOMINIOEN ENEL EL DIAGRAMA DIAGRAMAlogT-log logT-logρρ
?
Para estrellas con alta temperatura y baja densidad, la fuente de opacidad dominante es el “scattering” por electrones libres. La igualdad entre κe y κb-f nos da la linea que separa las regiones de dominio del “scattering” y las transiciones ligado-libre y libre-libre. 7/2
?
ρ = 4.5 ×10 − 27
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T
Z 26
TEMA 10 EVOLUCIÓN ESTELAR 1. Formación estelar y primeras fases evolutivas
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Astrofísica estelar
Ángeles Díaz Beltrán
1
Nubes moleculares de alta densidad
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Astrofísica estelar
Ángeles Díaz Beltrán
2
1
Masa de Jeans Las estrellas se forman a partir de condensaciones en nubes de gas y polvo. Existe un valor mínimo de la masa necesaria para que una nube comience a colapsar → Criterio de Jeans
Curso 2009-10
Astrofísica estelar
Ángeles Díaz Beltrán
3
Comienzo del colapso
Infrarrojo
Óptico
Para las condiciones físicas del medio interestelar difuso, la masa de Jeans es mucho mayor que la masa de una estrella. Esto no es así para el caso de las nubes moleculares que están en equilibrio cuasi-estacionario, muy próximas a las condiciones de colapso. Bajo la acción de algún agente externo, como colisiones con otras nubes o fuerzas de marea, o inestabilidades internas pueden iniciar el mismo. En estas nubes moleculares, las temperaturas típicas son de ~ 10-100 K y las densidades de ~ 103-106 cm-3, lo que da masas de Jeans del orden de 104 - 105 MÍ. Cuando comienza el colapso, la nube emite en el IR. Curso 2009-10
Astrofísica estelar
Ángeles Díaz Beltrán
4
2
Imágenes de Orión en el óptico y en el IR
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Fragmentación Durante el colapso, la única fuente de energía es la contracción gravitatoria. La escala de tiempo para el colapso es la escala de tiempo de caída libre: Al principio el material es muy transparente. La nube se enfría emitiendo una intensa línea de C. Este proceso mantiene su temperatura prácticamente constante. En condiciones isotermas → la masa de Jeans disminuye cuando aumenta la densidad. Cuando ésta aumenta en un factor 4, la masa de Jeans se reduce a la mitad y la nube puede fragmentarse en dos. La energía radiada por segundo durante el colapso isotermo es:
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Límite de masa para la fragmentación Esta energía es mucho menor que la correspondiente a un cuerpo negro a la temperatura de la nube, que sería: Cuando Lc≃ Lg la energía generada gravitatoriamente no puede radiarse de forma eficiente y el colapso pasa de ser isotermo a ser adiabático. En ese caso: es decir, un mayor aumento de la densidad produce un aumento de la masa de Jeans. La condición Lc= Lg proporciona el límite mínimo de la masa que puede alcanzarse al final del proceso de fragmentación
Este valor de la masa no es muy dependiente de la temperatura. Para T = 1000 K la masa límite es 0.05 MÍ. Curso 2009-10
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Mecanismo de formación de una estrella a partir del medio interestelar
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Formación estelar a partir de una nube molecular
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Fases de la formación estelar A final del proceso de fragmentación los fragmentos no están aún en equilibrio y siguen contrayéndose. El colapso es isotermo, a una T~ 10 K. (fase A-B) Cuando el fragmento alcanza una densidad ρ ~1011 cm-3 el material se vuelve ópticamente grueso, incluso en el IR. El fragmento se encuentra cerca del equilibrio virial y la contracción prosigue de forma cuasi hidrostática → protoestrella Cuando la densidad es ~ 1016 cm-3 y la temperatura ha aumentado a ~ 1000 K, se disocia el H2 en la zona central de la protoestrella. La energía gravia se transforma en energía de disociación y la protoestrella colapsa de nuevo con una escala de tiempo de caída libre. (C) Cuando la densidad aumenta hasta 1022 cm-3 y la temperatura alcanza 104 K, comienza otra fase de contracción cuasi hidrostática. La zona central tiene un tamaño de unos 10 RÍ pero una masa de sólo 10-3 MÍ. Está rodeado de una envoltura de unos 106 RÍ. La masa de esta envoltura va cayendo sobre la zona central con velocidades supersónicas y produce un frente de choque que ayuda a calentar esta zona central. Curso 2009-10
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Evolución pre-secuencia principal La conservación del momento angular origina la rotación de la protoestrella que puede generar un disco de acreción. Esta fase se alcanza tras unos cuantos miles de años para una estrella de 1 MÍ. La estrella ya está casi formada pero aún no ha iniciado la fusión del H. (D-E) La estrella se contrae ahora en una escala de tiempo de Kelvin-Helmholtz transformado energía gravitatoria en radiación.→ estrella pre-secuencia principal La opacidad de la envoltura aumenta, la estrella se hace completamente convectiva y su luminosidad decrece. Se mueve en el diagrama H-R a lo largo de la línea de Hayashi, hacia abajo → estrellas T-Tauri (E-F) Finalmente se alcanza la temperatura de 107 K y la densidad de 1026 cm-3 en el centro de la estrella y comienzan las reacciones de fusión. (G)
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Traza evolutiva de una protoestrella A→ B C
Colapso isotermo Protoestrella ópticamente gruesa Disociación de H2
C→ D
convección E E-F F-G Curso 2009-10
Disminuye la acreción Traza de Hayashi Transporte radiativo Astrofísica estelar
Traza de Henyey Ángeles Díaz Beltrán
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Traza de Hayashi: estrellas completamente convectivas En este caso, Pr es despreciable (β = 1) y la ionización es total (γ = 5/3) ⇒ P = K T2.5 con K = cte. La estructura de estas estrellas se puede aproximar por un polítropo de índice n = 3/2 Usando la correspondiente solución de Emden, K viene determinada por M, R y µ ρc / ρ = 5.99 Para este modelo: Tc = 1.234 ×10 7 µ Pc = 8.658 × 1015
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M / MÍ R / RÍ
( M / M Í )2 ( R / RÍ )4
K dinas cm −2
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Trazas evolutivas pre-secuencia principal La energía en este tipo de estrellas procede de la contracción gravitatoria. Las estrellas presecuencia principal se mueven desde la zona de las gigantes a la secuencia principal. Las estrellas masivas lo hacen muy rápidamente: 105 años para M=15 MÍ frente a los 107 invertidos por estrellas de 1 MÍ . Las estrellas demasiado pequeñas para alcanzar la fusión nuclear son las enanas marrones . Las estrellas mayores que unas 100 MÍ no son estables.
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Acreción de gas sobre protoestrellas
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Discos de acreción en protoestrellas
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Discos y “jets” en estrellas jóvenes
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Formación de sistemas planetarios Las teorías actuales sobre la formación de sistemas planetarios tiene sus orígenes en ideas propuestas por Immanuel Kant en 1755. La idea principal es que el Sistema Solar, así como otros sistemas planetarios, se forman a partir de un disco proto-planetario de gas y polvo que rodea a una estrella en nacimiento. Si el disco es suficientemente denso, los granos de polvo tenderán a amalgamarse junto con partículas de hielo y finalmente se acumularán en planetesimales. Estos planetesimales seguirán creciendo y se harán lo suficientemente grandes para atraer y capturar gas gas del disco estelar y construirán atmósferas gaseosas
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Esquema de formación de sistemas planetarios
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Simulación hidrodinámica que calcula la evolución de un disco protoestelar que forma un protoplaneta gigante
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Discos proto-planetarios en la nebulosa de Orión
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TEMA 10 EVOLUCIÓN ESTELAR 2. Evolución de estrellas individuales. Fases principales de la evolución de estelar.
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Duración de la fase de Secuencia Principal Las estrellas pasan la mayor parte de su vida en la secuencia principal. En la SP las estrellas fusionan H en He en sus centros. Las estrellas poco masivas fusionan H por la cadena protón-protón. Las estrellas más masivas lo hacen usando el ciclo CNO. La vida media de las estrellas en SP es inversamente proporcional a su masa (unos 2x106 años para M=20 M y unos 1010 años para M=1 M .
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1
Evolución en la Secuencia Principal Durante el período de combustión de H, la estrella permanece en la Secuencia Principal. A medida que cambia su composición química su posición en el DHR se desplaza ligeramente, por lo que la SP no es en realidad una línea sino una banda. Las estrellas con masas superiores a 20 M sufren una pérdida de masa importante lo que mueve también su posición en el diagrama. En la SP L ∝ µc4 M3 µc15 / 16 X H−1 / 8 M 1 / 2 cadena p − p Tef ∝ 27 / 40 X H−1 / 20 M 7 / 20 ciclo − CNO µc
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Evolución en la SP de estrellas masivas
ZeroAge Main Sequenc e (ZAMS)
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MS evolution
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Estrellas de masa intermedia-alta La fusión se realiza mediante el ciclo CON que depende fuertemente de la temperatura. Por lo tanto, se encuentra muy concentrada. Esto produce un alto gradiente de temperatura en las zonas centrales y genera convección. La envoltura, sin embargo es caliente y poco densa y por tanto radiativa. Estas estrellas tienen centros convectivos y envolturas radiativas. La presión de radiación importante para M ≥ 20 M La estrellas más masivas están dominadas por radiación. Curso 2009-10
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Estrellas de bajaNúcleo masa radiativo La fusión del H se hace a través de la cadena P-P. La producción de energía no depende fuertemente de la temperatura las reacciones nucleares se producen en la zona zontral de forma distribuida y el gradiente de temperatura es moderado. Inicialmente, en la MS, la envoltura de la estrella es convectiva, fría y opaca mientras que el núcleo es radiativo.
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3
Estructura de las estrellas muy masivas “Core” convectivo de grandes proporciones que contiene una fracción substancial de la masa estelar y que determina su evolución. Combustión de hidrógeno a través del ciclo CNO. “Scattering” por electrones libres como fuente de opacidad dominante (prácticamente constante). Importante tasa de pérdida de masa, ya en la SP, a través de vientos estelares (confirmado observacionalmente en supergigantes M, perfiles P-Cygni, estrellas Of, estrellas WR, etc …) Convección + pérdida de masa desplazamiento de los productos de la nucleosíntesis estelar hacia la superficie donde son observables. Curso 2009-10
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Estrellas dominadas por presión de radiación Tomemos la ecuación general de estado para una mezcla de gas R 1 kρT ideal con radiación: P= ρT + aT 4 = 3 µmH β µ P
aT 4
1− β = r = donde β = Pg / P ⇒ P 3P Si β es constante ⇒ T4 ∝ P Sustituyendo en la ecuación de estado se obtiene: 1/ 3 1/ 3 3R 4 1 − β 4 ρ 4 / 3 P = 4 aµ β
Esta es la ecuación corresponde a un polítropo de índice n=3 con 1/ 3
3R 4 K = 4 aµ Curso 2009-10
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1 − β 4 β
1/ 3
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Estrellas supermasivas Estas estrellas están dominadas por la presión de la radiación. Para estas estrellas, β es constante y su estructura se puede representar mediante un polítropo de índice n =3, para el cual R2 K = π Gρ c2 / 3 2 ξ1 Su densidad central será: ρc = 54.2 ρ = 54.2
3M 4π R 3
Igualando las expresiones para K y eliminando ρc: ecuación cuártica de Eddington
M = 3.02 ×10 −3 4 4 µ β M
1− β
2
1− β Para 0≤β≤1, la función 4 4 es monotónicamente decreciente ⇒ β disminuye µ β a medida que M aumenta ⇒ las estrellas supermasivas están dominadas por la presión de radiación Curso 2009-10
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Efectos del cambio en composición química Fusión de H ⇒ µc ↑ y XH ↓ . Por tanto L y Tef deberían aumentar. Esto es así en estrellas poco masivas en que el núcleo es radiativo. Para estrellas masivas, con núcleo convectivo, L aumenta pero Tef disminuye. Cuando la mayor parte del H de la zona central de la estrella se ha consumido, la combustión de H se desplaza a una capa concéntrica con el núcleo, ahora compuesto de He. Se va desarrollando un “core” isotermo ya que dT 3 κ r Lr dT = ; Lr = 0 ⇒ = 0 ⇒ T = cte. 3 2 dr 4 ac T 4π r dr
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Estructuras isotermas La ecuación de estado para un gas ideal, para el caso de temperatura constante es k P= T0 ρ = Kρ µmH k Esta es una relación politrópica de índice ∞ y K = T0 µmH dP dφ 1 d r 2 dP =− ρ = −4π Gρ y 2 dr dr r dr ρ dr dφ dρ dφ K dρ = −γ Kρ γ −2 =− se obtiene : que se convierte en dr dr dr ρ dr
Usando
que podemos integrar con φ(0) = 0 → Curso 2009-10
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ρ = ρ c e −φ / K Ángeles Díaz Beltrán
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Estructuras isotermas Introduciendo esta solución en la ecuación de Poisson d 2φ 2 dφ + = 4π Gρ c e −φ / K 2 dr r dr
Y usando las variables adimensionales: r = α ξ , φ = Kθ 1/ 2
1 −1 n λ ( n + 1 ) K α= 4π G
se tiene :
d 2θ 2 dθ + = e −θ dξ 2 ξ dξ
Esta es la Ec. de Lane-Emden isoterma que hay que integrar con las c.c. ξ(0) = 0 y (dθ/dξ)ξ=0 = 0 La configuración tiene un radio infinito. Curso 2009-10
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El límite de Schönberg-Chandrasekhar Sin embargo, el hecho de que el núcleo isotermo de la estrella esté sometido a una presión externa creada por la envoltura estelar establece un radio para el mismo. Existe un límite a la cantidad de material que un núcleo isotermo puede soportar, conocido como límite de Schönberg-Chandrasekhar. Esta masa límite depende de la fracción de masa estelar contenida en el núcleo de la estrella y del peso molecular promedio del núcleo (µc) y de la envoltura (µ0). q S− C =
M S− C µ ≈ 0.37 0 M µc
Cuando se sobrepasa este límite, la respuesta de la estructura de la estrella depende de su densidad. En estrellas de masa mayor de ~ 1.3 M, la estrella procede a la contracción rápida de su núcleo. Esta contracción causa un aumento de temperatura que llevará al inicio de la combustión de He. En estrellas de menor masa, su mayor densidad hace la contracción sea más lenta y que se alcance el régimen de degeneración de electrones. La presión de los electrones degenerados ayuda a estabilizar el “core”. Curso 2009-10
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Formación de una estrella gigante roja. Estrellas de masa intermedia Debido al agotamiento del H, cesa la fusión en el núcleo de la estrella y se traslada a una capa alrededor del mismo. El núcleo es isotermo y no posee fuentes de producción de energía ⇒ se contrae. La contracción del “core” y la fusión de H en la capa producen más energía de la necesaria para que la presión equilibre el peso de la estrella ⇒ la envoltura de la misma se expande a luminosidad constante y, por tanto, se enfría.
“core” de He isotermo
L = 4πR2 Te4
Se produce una Gigante Roja Curso 2009-10
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Formación de una estrella gigante roja. Estrellas de baja masa Núcleo radiativo Al agotarse el H en el centro de la estrella, el centro se contrae lentamente y hay un aumento muy rápido de la densidad. Se produce un núcleo de electrones degenerados: la presión sólo depende de la densidad electrónica. Puede aumentar T sin que aumente la presión. La temperatura resulta uniforme debido a la buena conducción del calor. El H se fusiona en He en una capa intermedia que rodea al núcleo y que crece gradualmente. La estrella se convierte en Gigante Roja
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Estructura de una estrella gigante roja
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Evolución tras la fase de SP: desarrollo de la capa de fusión de Hidrógeno
• Cuando se agota el H en la zona central, la combustión continúa en la capa que rodea al núcleo. • A medida que la combustión de H en la capa tiene lugar, ésta se mueve hacia fuera en fracción de masa. • La posición de la estrella en DHR se desplaza hacia la derecha, fuera de SP.
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Evolución tras la fase de SP: desarrollo de la capa de fusión de H (cont.)
Evolución de la temperatura y la densidad. La contracción del “core” y la consiguiente liberación de energía gravitatoria mantiene un cierto gradiente de T en la zona central que tiende a la isotermicidad Curso 2009-10
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Evolución tras la fase de SP: desarrollo de la capa de fusión de H (cont.)
A medida que la estrella evoluciona hacia el estado de gigante roja, aumenta su radio y se enfría su envoltura. La convección es ahora el mecanismo de trasporte de energía dominante. El borde de la capa de convección penetra profundamente en la estrella alcanzando regiones donde ha habido combustión de H. Algunos de los resultados de esa combustión son transportados hacia la superficie (1er dragado) → aumento de 14N en la superficie. Curso 2009-10
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Evolución de la estructura interna de una estrella de 1.3 M
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Inicio de la combustión de He. Estrellas con masas mayores de 1.3 M
• • • •
La zona central de la estrella es caliente y poco densa. Los electrones no se degeneran. La combustión de He se inicia de forma no violenta. La estrella tiene ahora dos fuentes de producción de energía: la combustión de He en la zona central y la combustión de H en la capa que rodea al núcleo.
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Inicio de la combustión de He. Estrellas de baja masa: “Flash” de helio En el núcleo de la estrella los electrones están degenerados la presión sólo depende de la densidad electrónica. Puede aumentar T sin que aumente la presión. Cuando la T central alcanza 108 K, se inicia la fusión de He a través de la reacción “triple alfa” en un proceso de fuga térmica. Los electrones dejan de estar degenerados: el “core” se expande violentamente y la envoltura se contrae ⇒ flash de helio
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TEMA 10 EVOLUCIÓN ESTELAR 3. Estadios avanzados de la evolución.
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Evolución tras la fusión de Helio. Estrellas de baja masa Tras el “flash de helio” la fusión de He continúa de forma estable. La estrella se sitúa en el Diagrama HR en la Rama Horizontal (HB). Cuando el He se agota en el centro de la estrella ésta sufre un proceso similar al experimentado tras el agotamiento de hidrógeno. Ahora la estructura es de doble capa: la primitiva, de H, y una segunda, de He. La estrella asciende por segunda vez por la rama de las gigantes (AGB)
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1
Evolución tras la fusión de He en el centro. Estrellas de masa intermedia Cuando el He se agota en la zona central, la estrella sufre un proceso similar al experimentado en la fase agotamiento de H. El núcleo se contrae aumentando su temperatura y su densidad y la combustión de He se desplaza a una capa caliente que rodea al núcleo y que contiene los productos de la fusión de He: esencialmente C y O. Inicialmente, la capa de combustión de He produce una gran cantidad de energía y la capa de H se mueve (en fracción de masa) hacia zonas más frías. La capa de H se apaga, se hace más fría con el consiguiente aumento de la opacidad y el desarrollo de una nueva capa de convección. La estrella asciende por la rama gigante asintótica. La capa de convección se hace profunda y alcanza los productos de la fusión de H en la capa, produciéndose un 2º dragado (esto sólo sucede para estrellas con masas mayores de 4 M ).
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Evolución en la fase de AGB. Común a las estrella de masa baja e intermedia • Ahora, la estrella tiene un núcleo de C-O una estructura de doble capa: en la más próxima al núcleo (la más caliente) se fusiona He, mientras que en la más alejada del mismo (la más fría) se fusiona H. • La envoltura se vuelve completamente convectiva y aumenta su profundidad. Llega un momento en que la envoltura comienza a incluir la zona donde estuvo la capa de fusión de H. La envoltura se enriquece en He y N procedentes de la combustión del H a través del ciclo CNO a alta temperatura. • El núcleo inerte de C-O se vuelve degenerado. La conducción térmica mantiene la temperatura central constante y cercana a la de la capa de combustión de H. • Esta situación es muy inestable para la estrella, que sufre lo que llamamos pulsos térmicos. • En uno de estos pulsos, la estrella no va a poder retener la envoltura que va a ser expelida al exterior formando una nebulosa planetaria. • El centro de la nebulosa planetaria es el núcleo de C-O, muy caliente (alrededor de 100,000 K) y donde los electrones están degenerados. Curso 2009-10
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Evolución en la Rama Gigante Asintótica (AGB)
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Pulsos térmicos
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Nebulosas planetarias
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Nebulosas planetarias
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Nebulosas planetarias
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Estrella variable de largo período
Evolución de una estrella de 5 M Límite de SchönbergChandrasekhar
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“core” isotermo de Inactive C- O
x
“core” de He isotermo
proceso 3α Fase de Gigante Roja 1er dragado: se altera la composición superficial debido a la convección en las zonas externas
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Evolución de una estrella de 2 M y metalicidad solar
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Trazas evolutivas para estrellas menos masivas que el Sol
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Trazas evolutivas de estrellas de diferentes masas Iben, 1967, ARAA, 5, 571
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Evolución de estrellas masivas Los dos parámetros importantes para la evolución distintiva de estrellas masivas son: convección y pérdida de masa. La convección se trata mediante la teoría de la longitud de mezcla + “overshooting”. El efecto del “overshooting” es transportar material no procesado hacia el “core” de la estrella aumentando su tamaño y propocionándole más combustible se alarga la vida de la estrella en MS y se ensancha ésta.
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Pérdida de masa en estrellas muy masivas La evolución de las estrellas muy masivas depende crucialmente de la pérdida de masa por vientos que ocurre a lo largo de su evolución principalmente para estrellas de masas m > 25 M El núcleo de CO se hace más pequeño y por tanto, se formarán menos elementos y la explosión de SN dispone de menos masa para transmutar en elementos pesados. Lo que ocurre es que estas estrellas eyectan más C y menos O. Algunas estrellas muy masivas pierden casi completamente su envoltura. En núcleo estelar, sin H ni He se llama estrella WR.
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Perfiles P-Cygni en estrellas muy masivas
Atlas de espectros UV obtenidos con FUSE de estrellas en las Nubes de Magallanes Curso 2009-10
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Estrellas Wolf Rayet
M1-67 Hubble Space Telescope (Grosdidier et al. 1998) Curso 2009-10
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Efectos de la rotación
Meynet & Maeder 2002 Curso 2009-10
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Secuencias evolutivas de estrellas muy masivas M > 60 M O Of BSG WRN WRC WRO SN 25 M ≤ M ≤ 60 M , alta tasa de pérdida de masa O BSG YSG RSG B SG WRN WRC SN 25 M ≤ M ≤ 60 M , baja pérdida de masa O BSG YSG RSG B SG SN M ≤ 25 M O (BSG) RSG YSG, Cefeidas RSG SN
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Vidas medias en las distintas fases de estrellas masivas de metalicidad solar Tipo
M/M
log(L/L)
tH(Ma)
tHe(Ma)
%t(BSG)
%t(RSG)
B1
15
4.25
11.58
2.3
1
55
O8
25
4.85
6.62
1.2
16
38
O6
40
5.34
4.53
0.86
58
14
O5
60
5.70
5.71
0.71
93
0
O4
85
5.98
3.25
0.76
100
0
O3
120
6.23
2.81
0.84
100
0
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Características de las trazas evolutivas de estrellas masivas
Maeder & Meynet, 1989 Curso 2009-10
Ensanchamiento de la MS debido a la pérdida de masa y al “overshooting”. Contracción del “core” y rápida expansión de la envoltura. Comienzo de la fase de fusión de He. tHe/tH = 0.2 Bucles azules en el Diagrama H-R Pérdida de una parte substancial de la envoltura evolución hacia el azul. La estrella atraviesa la frnaja de inestabilidad.
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Estrellas Cefeidas En la franja de inestabilidad del Diagrama HR, las estrellas muestran pulsaciones radiales estrellas variables pulsantes Las estrellas pulsantes, que no deben confundirse se reconocen por sus cambios periódicos de brillo acompañados de variaciones periódicas de su velocidad radial. Dentro de esta categoría se encuentran las estrellas Cefeidas que deben su nombre a la típica δ Cephei Son estrellas masivas que muestran variabilidad con períodos de unos pocos días a unas pocas semanas. Curso 2009-10
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Estrellas Cefeidas Eddington (~ 1920) demostró que el período de pulsación de las estrellas pulsantes, P, es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su densidad media P∝ -1/2 Esta es la llamada relación períododensidad, que explica porque el período de pulsación disminuye, conforme nos movemos hacia abajo en la banda de inestabilidad del diagrama H-R. La relación período-densidad es la base de la relación períodoluminosidad encontrada por HenriettaCurso 2009-10
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Curva de luz (arriba) y de velocidad radial (abajo) de la estrella δ Cephei. Obsérvese como una curva es la imagen especular de la otra.
Relación período-luminosidad para Cefeidas de la población I determinada por Sandage and Tammann (1969), Schmidt (1984) y Böhm-Vitense (1986).
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Esquema de la pulsación estelar
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Relación período – luminosidad para estrellas cefeidas en las Nubes de Magallanes
= -3.53 log P + 2.13 ( - ) + φ donde φ ~ -2.25 es un punto cero Curso 2009-10
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Determinación de distancias a galaxias mediante la observación de estrellas Cefeidas
Con el Telescopio Espacial Hubble podemos observar Cefeidas en galaxias hasta unos 30 Mpc (unos 100 millones de años luz), medir su período de pulsación y, a través de la relación período-luminosidad, determinar la distancia a una galaxia dada.
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Curvas de luz para Cefeidas en M100 (HST “key project”)
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Últimos estadios de la evolución de estrellas muy masivas Las estrellas con M > 8 M pasan por sucesivos ciclos de combustión de los diferentes elementos hasta los del grupo del Fe. Desarrollan una estructura de capas de material inerte separadas por delgadas capas de combustión. Tras la combustión del Si y la síntesis de los elementos del grupo del Fe, la estrella no puede seguir realizando reacciones de fusi ón. Se produce un colapso del núcleo y una explosión de SNII. El resíduo es una estrella de neutrones (NS) o un agujero negro (BH). Curso 2009-10
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Los procesos de nucleosíntesis que tienen lugar en las explosiones de SN se denominan “nucleosintesis explosiva”
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Evolución esquemática de estrellas muy masivas
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Final de la vida de una estrella masiva Una estrella de mas de 20 masas solares tiene un final violento. Los sucesivos estadios de fusión son cada vez más rápidos.
Fusión de C
600 años
Si Fusión de Ne Fusión de O
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1 año
F e 1 día
6 meses
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Mecanismo de la explosión de la supernova • Se ha formado un núcleo inerte de Fe, del tamaño aproximado de la Tierra, que está comprimido a altas densidades. La regiones externas se han expandido hasta un tamaño similar al de Júpiter. • La generación de energía ha cesado, con lo cual ha desaparecido la fuente de la presión que sustentaba la estrella frente a la gravedad. • El corazón de la estrella colapsa y las capas externas caen sobre éste. Lo hacen tan rápido que “rebotan” sobre el núcleo de Fe a una velocidad cercana a la de la luz. • Este rebote origina la explosión de la estrella como supernova. • La energía que se libera en este proceso es tan elevada que la estrella puede ser tan brillante como la galaxia que la alberga.
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Mecanismo de la explosión de la supernova Supernova en M51 • Durante este proceso el Fe se ha fotodisociado en sus componentes, los protones y electrones se han recombinado para formar neutrones produciéndose una gran cantidad de neutrinos. • Tras la explosión, el núcleo se contrae hacia densidades cada vez más altas. • Si su masa no supera el límite de 2.44 masas solares, impuesto por la degeneración de los neutrones, se transformará en una estrella de neutrones. • En caso contrario, nada podrá parar el colapso y se formará un agujero negro.
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Supernova 1987a
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La Nebulosa del Cangrejo: un residuo de supernova
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TEMA 10 EVOLUCIÓN ESTELAR 4. Residuos de la evolución estelar
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Residuos de la evolución estelar Los estadios finales de la evolución de las estrellas conllevan siempre una elevada pérdida de masa en forma de vientos estelares (estrellas masivas) o de pulsos térmicos. Las estrellas acaban su vida en explosiones violentas (supernovas) o eyecciones de la envoltura (nebulosas planetarias) devolviendo así parte de los elementos formados en su interior al medio interestelar. Resumen: masa inicial ≤ 8M → enana blanca, masa final ≤ 1.4M masa inicial ≥ 8M estrella de neutrones, masa final ≤ 3M agujero negro, masa final ≥ 3M
Las estrellas con masas iniciales ≤ 0.5M no alcanzan el estadio de fusión de helio. Tras completar la fusión de hidrógeno, la estrella se contare y se calienta. La contracción se para cuando el gas de electrones se degenera. A partir de entonces la estrella se enfriaría gradualmente. Estas estrellas no son observables, puesto que su vida en SP es más larga que la edad de Universo (≥ 40 Ga frente a 15 Ga) . Sólo las estrellas con M > 0.7M tienen una vida en SP más corta que la edad del Universo.
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Estrellas enanas blancas Para un gas de electrones degenerados, K es una constante fija. Supongamos una densidad central dada – ρc – y un índice n n politrópico n. Entonces ρ = λθ = ρcθ es una función conocida de ξ. La relación entre ξ y r es : r = α ξ con 1/ 2 1 −1 ( n + 1 )Kλ n α= 4π G
En r = R, ξ=ξ1, una constante conocida y la relación entre la densidad central y el radio del modelo es: R ∝ ρc(1− n ) / 2 n Curso 2009-10
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Estrellas enanas blancas (cont.) ( 3 −n ) / 2 n 3 Para un valor dado de n: M ∝ ρ c R → M ∝ ρ c y, eliminando la densidad entre las expresiones de R y M, se tiene: 1− n
R ∝ M 3 −n
Relación Masa-Radio
Por tanto: Existe una familia de modelos unidimensional. Podemos especificar la masa o el radio, pero no ambos. Para n=3/2 (electrones degenerados no relativistas) → R∝ M-1/3 ⇒ el radio disminuye cuando la masa aumenta. Con el aumento de la masa, aumenta la densidad central. Llegará un momento en que los electrones serán relativistas y habrá una transición entre un polítropo de n=3/2 a un polítropo de n=3.
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Estrellas enanas blancas (cont.) El modelo completo de una enana blanca consiste en la combinación de dos polítropos, uno que describe el “core” central, con n=3 y otro que describe las zonas externas, con n=3/2. Cuando la mayor parte de la estrella es relativista su estructura es la un polítropo de índice 3. En este caso, la masa total del polítropo no depende de la densidad central 3/2
dθ K M = 4π − ξ 2 dξ ξ =ξ1 π G
Introduciendo valores numéricos se obtiene: Masa de Chandrasekhar
MCh =
5.836
µe2
M
Las enanas blancas tienen una composición química rica en He,C,O y µe = 2. Por tanto MCh ≃1,46 M
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Enfriamiento de las estrellas enanas blancas La temperatura en el centro de la estrella es T ≈ 108 K y el gas de lectrones degenerados posee una alta conductividad térmica. La estrella tiene una atmósfera residual de H y He que radia energía luminosa, de forma que la enana blanca se enfría lentamente. Las EB forman una secuencia de “enfriamiento” a masa y radio constantes. Su tiempo de enfriamiento es ~ 10 Ga, la edad del disco de nuestra Galaxia
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Estrellas de neutrones En el colapso de un residuo estelar de masa mayor que 1.46 M, la presión electrónica alcanza valores lo suficientemente elevados para que se dé la reacción inversa de la de desintegración espontánea del neutrón. p+ (e-, νe)n Esto conduciría a la formación de una estrella de neutrones degenerados (predicho teóricamente por Landau en los años 1930). Sus propiedades son similares a los de una enana blanca, pero con parámetros diferentes. R=
4.7 Km M M
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Estrellas de neutrones Su masa límite es la masa de Oppenheimer-Volkov MO-V ≈ 3 M Si la masa del residuo supera este valor, no habrá nada que frene el colapso y se formará una “singularidad gravitatoria” agujero negro Las estrellas de neutrones se detectan como fuentes emisoras de rayos X o como púlsares
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Púlsares Una estrella de neutrones tiene un radio muy pequeño y rota muy rápidamente, generando un intenso campo magnético. Este campo magnético, combinado con la rápida rotación, acelera los electrones formando un láser de electrones libres colimado en la dirección del eje magnético. El residuo en el centro de la nebulosa del Cangrejo es un púlsar.
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La Nebulosa del Cangrejo: un residuo de supernova
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Nebulosa del Cangrejo 1956- 1999
Expansión de la nebulosa del Cangrejo
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Detección de estrellas de neutrones y agujeros negros: estrellas binarias de rayos X
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TEMA 10 EVOLUCIÓN ESTELAR 5. Comparación con las observaciones. Aplicaciones de la teoría de la evolución estelar
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Cúmulos globulares
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Características de los cúmulos globulares
• • • • • •
Tamaño: ∼ 40 pc de diámetro Nº de estrellas: n x 105 Distancia entre estrellas: ∼ 0,1 pc Localización: en el halo de la Galaxia Nº de cúmulos catalogados en la Galaxia: ∼ 100 Cinemática: Se mueven alrededor del centro galáctico en órbitas elípticas elongadas pasando a través del disco una vez cada 108 años aproximadamente.
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Diagrama Color-Magnitud de los cúmulos globulares Los DCM de cúmulos globulares muestran • una Secuencia Principal poblada por estrellas débiles y relativamente frías (más tardias que el Sol). • una rama Gigante Roja muy desarrollada. • una Rama Horizontal que puede ser azul, roja o mixta. • una Rama Gigante Asintótica. Curso 2009-10
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Metalicidad de cúmulos estelares La metalicidad de cúmulos estelares se determina principalmente a través de observaciones espectroscópicas de sus estrellas más brillantes, normalmente gigantes o supergigantes rojas. La metalicidad de los cúmulos se denota por [Fe/H] = log (Fe/H) – log (Fe/H)
Distribución de metalicidades de los cúmulos estelares en nuestra Galaxia
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Determinación de la edad de los cúmulos estelares • En los DCM de los cúmulos estelares el punto de giro de la Secuencia Principal (“turn off point”) es un indicador de la edad del cúmulo. • Superponiendo isocronas de distintas edades calculadas mediante modelos de evolución estelar se puede determinar la edad de un cúmulo determinado. • La base del método descansa sobre los fundamentos de la teoría de la evolución estelar.
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Comparación de DCM esquemáticos para cúmulos abiertos de distintas edades En esta comparación entre DCM correspondientes a distintos cúmulos abiertos se puede apreciar la relación entre el punto de giro de la Secuencia Principal y la edad derivada para cada cúmulo. Los cúmulos más antiguos, como M67 tienen un DCM muy similar al de un cúmulo globular.
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Estimación de la edad de los cúmulos globulares Si MV(TO) es la magnitud absoluta de las estrellas en el Punto de giro de la Secuencia Principal se tiene la relación MV(TO) = 2.70 log (t/Gaño) + 0.30 [Fe/H] + 1.41 donde [Fe/H] denota la metalicidad del cúmulo. • Un punto débil de este método es que MV(TO) depende de la distancia calculada al cúmulo. • Un error de un 10% en la distancia → error de 0.2 mag en µ. • Este error se traduce en un 20 % en la determinación de la edad del cúmulo. Curso 2009-10
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• Para solventar este problema, se usa como parámetro ∆V = MV(TO) – MV(HB) MV(HB) no depende de la edad.
∆V = 2.70 log (t/Gaño) + 0.13 [Fe/H] + 0.59 Para 43 cúmulos globulares < ∆V > ∼ 3.55 con σ ∼ 0.15 -2.5 < [Fe/H] < -0.5 Edad ∼ 15 ± 1 Gaño
Mejora en la obtención de DCM de cúmulos globulares Observaciones desde Tierra
Observaciones con HST Curso 2009-10
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Metalicidad y edad de cúmulos globulares
Existe una correlación edad metalicidad para los cúmulos globulares del halo: a)l os más pobres en metales están entre 6 y 12 kpc. b) los más viejos están en r < 5 kpc, con edades entre 10 -12 Gyr. c) variedad de edades de hasta 4 Gyr de diferencia para R > 12 kpc
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Determinación de la distancia a los cúmulos estelares Superposición de Secuencias Principales • Se puede determinar la distancia a cúmulos estelares suponiendo que las estrellas de secuencia principal del mismo tipo espectral tienen la misma magnitud absoluta. • Esto se traduce en desplazar la secuencia principal de un cúmulo dado hasta que coincida con un cúmulo de referencia cuya distancia se conoce por otros medios independientes. • El desplazamiento sobre el eje de ordenadas nos da m-M, es decir el módulo de distancia del cúmulo. Curso 2009-10
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Superposición de secuencias principales
DCM del cúmulo globular M3 y su ajuste a la SP de estrellas cercanas con distancia determinada astrométricamente .
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Determinaciones de la distancia al cúmulo de las Hyades El cúmulo de las Hyades se usa frecuentemente como calibrador del método de Superposición de Secuencias Principales. La figura muestra las distintas determinaciones de la distancia de este cúmulo usando métodos trigonométricos. El último punto corresponde a los datos de Hipparcos.
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Determinación de la distancia a cúmulos globulares Observación de estrellas RR-Lyrae • Son estrellas variables fácilmente observables en cúmulos globulares. • Se encuentran en la Rama Horizontal, en la franja de variabilidad. • Su magnitud absoluta es prácticamente constante MV=0.75±0.1, aunque pueden existir efectos dependientes de la metalicidad que son difíciles de calibrar ya que sólo un par de ellas tienen distancias determinadas astrométricamente.
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Estrellas RR-Lyrae en cúmulos globulares Los cúmulos globulares contienen muchas estrellas RR-Lyrae. Son fáciles de encontrar.
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Estrellas RR-Lyrae Las estrellas RR Lyrae pueden duplicar su brillo en el transcurso de un día.
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Curvas de luz de estrellas RR Lyrae
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Proceso para medir distancias a cúmulos globulares 1. Identificar un cúmulo globular 2. Medir su distancia por el método de las paralajes espectroscópicas 3. Identificar las estrellas RR Lyrae y medir sus magnitudes aparentes 4. Usando la distancia del cúmulo calcular sus magnitudes absolutas. 5. Calcular la magnitud abosoluta media de las estrellas RR Lyrae 6. Observar otro cúmulo más distante, identificar sus estrellas RR Lyrae y medir sus magnitudes aparentes. 7. Obtener su distancia usando la magnitud absoluta media calculada para el primer cúmulo. Curso 2009-10
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