Astrofísica - Apuntes de Cosmología

Astrofísica - Cosmología 3.2 Era de radiación Equilibrio termodinámico Distribuciones en equilibrio estadístico Acoplamiento de los neutrinos Desacoplo de materia y radiación

22 22 22 23 23

3

4. VALIDACIÓN DE MODELOS

25

3

4.1 Relaciones geométricas Relaciones en el Universo material Definiciones de distancia Diagrama de Hubble Tamaño angular Conteo de galaxias Valores de los parámetros cosmológicos

25 25 25 26 27 27 28

4.2 Nucleosíntesis primordial Abundancias esperadas Deuterio Discordancias con el helio

28 29 29 30

4.3 Insuficiencias: otras teorías Planitud Horizonte Suavidad Antimateria Monopolos Modelos inflacionarios Primera teoría inflacionaria La nueva teoría inflacionaria Otras teorías

30 30 30 30 30 31 31 32 32 33

Cosmología

1. INTRODUCCIÓN A LA COSMOLOGÍA 1.1

Condicionantes

1.2 Observaciones de significado cosmológico Edad del sistema solar Cúmulos globulares La estructura del Universo Limitaciones luminosas Expansión de las galaxias Radiación de fondo

3 3 4 4 5 5 5

1.3 Principios e hipótesis Homogeneidad e isotropía del Universo Principio cosmológico Expansión Descripción relativista Principio antrópico

6 6 6 7 7 7

2. EL UNIVERSO RELATIVISTA

9

2.1 Descripción relativista El factor de escala La métrica de Robertson y Walker Geodésicas Movimiento de los fotones Desplazamiento al rojo cosmológico Efecto Döppler relativista

9 9 9 10 11 11 12

2.2 Ecuaciones de Einstein Ecuación del campo gravitatorio Primeros modelos Ecuaciones de Einstein Densidad crítica Universo material

12 13 13 14 14 15

2.3 Modelos cosmológicos Modelos de Friedmann con radiación Modelos de Friedmann sin radiación (materiales) Edad del Universo Familias de modelos Universo estacionario Modelos inflacionarios

15 15 16 16 17 17 18

3. HISTORIA DEL UNIVERSO

19

3.1 Reconstruyendo el pasado Épocas de radiación y de materia Acoplo de materia y radiación Acoplamiento de partículas Eras anteriores Teorías de unificación Nucleosíntesis primordial

19 19 19 19 20 20 21

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Astrofísica - Cosmología

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Cosmología - Introducción

1. Introducción a la Cosmología

1.1

Condicionantes

medida su concentración y la de su producto, se puede estimar el tiempo transcurrido si se suponen conocidas las abundancias iniciales. La única complicación es que el producto, a su vez, sea también radiactivo, dando lugar a una serie o cadena radiactiva. Evidentemente, para medir tiempos largos, conviene escoger isótopos o series con vidas medias largas. Se habla así del método de datación por abundancias isotópicas, basado en la desintegración de elementos radiactivos. Entre las series de desintegración empleadas están: • U238 → Pb206, con τ ≃ 4.5·109 años.

Como definición de la cosmología podemos tomar que es la ciencia que estudia la historia y estructura del Universo en su totalidad. También son aceptables los dos siguientes enunciados: estudio de las propiedades físicas y geométricas del Universo a gran escala en el transcurso del tiempo, o bien ciencia que reúne y ordena los fenómenos en su totalidad (ciencia de la totalidad). A partir de las observaciones y hechos comprobables y medibles, debemos ir realizando una descripción coherente del Universo, pero sin embargo, encontramos una serie de inconvenientes o características que lo limitan grandemente. Podemos enumerar que: • no es elegible ni el lugar ni el instante de la observación • no hay posible comparación • no accedemos a unos límites • la exploración es insuficiente, debiendo hacer referencia a objetos de naturaleza desconocida • la muestra de tales objetos no parece representativa • no hay una teoría incuestionable sobre el origen y evolución del Universo • la teoría de la relatividad general es básica

1.2

Observaciones de significado cosmológico

En esta sección se recogen los hechos y datos más significativos que deben tomarse como puntos de partida y condiciones básicas en la realización de toda teoría cosmológica coherente.

Edad del sistema solar Un referente importante en el análisis cosmológico del Universo o sólo del ámbito del sistema solar, es la edad o antigüedad. Tenemos así varias fuentes relacionadas con la geología y la física de las sustancias radiactivas. El problema de la determinación de la edad de las rocas se resolvió tras el descubrimiento por Rutherford de la ley que rige la desintegración radiactiva. Los científicos advirtieron que las sustancias radiactivas de larga vida media disminuían su actividad de una forma muy regular, constituyendo un reloj natural. Cualquiera de estas sustancias sigue una ley estadística de tipo exponencial

N (t ) = N 0 e − λ ⋅t donde τ = 1/λ está definido como el período de semidesintegración1. De este modo, tomada una muestra de material radiactivo, y 1

La vida media es el tiempo en que la actividad baja a la mitad. Se relaciona con el período por un factor ln2 . Es un comportamiento estadístico, de un conjunto numeroso de átomos, riguro-

• U235 → Pb207, con τ ≃ 7·108 años. • Th232 → Pb208, con τ ≃ 1.4·1010 años. • Rb87 → Sr87, con τ ≃ 4.99·1010 años. • I129 → Xe129, con τ ≃ 1.7·107 años. • K40 → Ar40, con τ ≃ 1.3·109 años. • Al26 → Mg26, con τ ≃ 7.2·105 años • y otros, como I127 → I125, Po244 → U238, Re187 → Os187. En los años 1920s, la medición de la relación plomo-uranio y helio-uranio de algunas rocas (en las cuales quedan aprisionados los productos de la desintegración, aunque sean gases), permitió datarlas en más de 2.000 millones de años. La lectura de los diversos relojes radiactivos ha permitido calcular una edad para las rocas más antiguas de la Tierra de alrededor de 3.800 millones de años. Este es un tiempo transcurrido desde la formación de esas rocas, posterior a la solidificación terrestre, y distinto (por inferior) del estimado para el sistema solar. El ambiente terrestre, con sus continuos agentes del modelado geológico, no es propicio para encontrar rocas preservadas desde los primeros instantes de la formación del planeta. El método rubidio-estroncio, de período de 47.000 millones de años, aplicado a las rocas lunares traídas por las misiones Apolo, ha permitido fijar para las rocas más antiguas de la Luna una edad de 4.200 millones de años. Gracias a otras muestras recogidas del mar de la Tranquilidad, datadas con el mismo método en 3.700 millones de años, sabemos que los mares lunares son cuencas más jóvenes (aunque antiguas), de lava aflorada a través de brechas en la superficie lunar, de una probable época arcaica de gran actividad meteorítica. Se cree que la edad de los meteoritos es la más cercana a la del sistema solar. Los datos de los diversos métodos indican una edad de 4.500 a 4.600 millones de años. Corresponde a la época del fraccionamiento químico, de fusión y resolidificación de los asteroides, con separación de los distintos elementos metálicos según su peso. Los valores más antiguos están dados por las condritas, rocas que no tienen evidencias de haber sufrido procesos de fusión, calentamiento o alteración en cuerpos celestes mayores de 100 Km Dicha época se cree inmediatamente posterior al nacimiento del sistema solar, del que los meteoritos serían residuos bien conservados en el vacío del espacio, fósiles del sistema solar primordial. Particularmente interesante es la datación por el isótopo 26 del magnesio, originado por la desintegración radiactiva del aluminio 26. Su vida media es relativamente corta, de 720.000 años, y sólo se sintetiza en explosiones de supernova. Esto significa que la solidificación de este metal en las rocas debe haberse realizado pocos millones de años después de haberse creado, mientras todavía era aluminio y se comportaba como tal, y antes de pasar a ser una impureza de magnesio en silicatos. Esta es una prueba de que el samente constante. Se debe a inestabilidades energéticas de ciertos núcleos atómicos, por lo que no depende de ninguna variable termodinámica (presión, temperatura) o campos EM.

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Cosmología - Introducción sistema solar se formó hace unos 4.500 millones de años, y además, que lo hizo vinculado a la explosión de una supernova. El análisis de abundancias de los distintos elementos en el sistema solar, comparados con los de otros ambientes estelares, nos confirma en que el material del que estamos hechos proviene en gran parte de una generación anterior estelar. De un modo estimativo, podemos tomar los factores que determinan la abundancia de una sustancia en el contexto estelar (grado de evolución del Universo, difusión, y viento estelar, y tasa de desintegración), y expresarla analíticamente como t

∫

N (t ) = exp(−λ (t ′ − τ )) ⋅ exp(−ω (t ′ − τ ′)) ⋅ Ψ (t ′) ⋅ P ⋅ dt ′ 0

siendo ω la tasa de devolución al medio, Ψ(t’) la tasa de formación estelar, y P la tasa de producción en procesos R (rápidos, por captura de neutrones en un proceso de supernova).

Cúmulos globulares Los cúmulos globulares son agrupaciones estelares que presentan de forma clara una característica peculiar, el llamado punto de giro. Los puntos representativos de cada estrella de uno de estos cúmulos, llevados a un diagrama HR, se sitúan truncando la secuencia principal y conformando con la rama de las gigantes una figura característica en forma de codo. Esto se interpreta por la ausencia de los tipos estelares más calientes y de menor vida. Tales estrellas no se siguen formando, y el punto de giro da la correspondencia con las estrellas más jóvenes presentes en el cúmulo. La edad de tales estrellas supone una estimación (por abajo) a la edad del propio cúmulo. Las edades de los cúmulos globulares que se encuentran son siempre superiores a los 10.000 millones de años. Esto tiene dos claras interpretaciones: son agrupaciones bastante estables, y no se forman en épocas recientes, desde hace mucho tiempo. En lo que nos interesa, son los objetos conocidos de mayor antigüedad del Universo, llegando hasta los 15.000 millones de años, aunque estas estimaciones tienen en cuenta nuestro conocimiento de las edades estelares. Existen algunas relaciones, a partir de modelos de evolución estelar, que dan la edad como

• las estrellas, planetas y demás cuerpos asociados a los sistemas estelares • las agrupaciones estelares menores, como cúmulos abiertos y globulares • el gas y la materia interestelar • las galaxias, compuestas de los anteriores • los cúmulos de galaxias • la superestructura del Universo: hipercúmulos y voids, en una distribución similar a una esponja Desde un punto de vista cosmológico, referido a la totalidad, interesa principalmente el último. A esa escala hay que decir que nos encontramos con el problema de no topar con unos límites para el Universo, y de que toda referencia lejana se extiende al pasado. Si bien la distribución de materia en el Universo se presenta desigual, llegados a la escala mayor puede aceptarse que se presenta homogéneo e isótropo, es decir, que a gran escala (por encima de los 500 Mpc), en cualquier parte podemos encontrar una estructura semejante de hipercúmulos y voids. No se ha encontrado un lado del Universo más provisto de materia que otro, o con objetos astronómicos que le sean particulares. Las abundancias de los elementos presentes en el sistema solar, y las estimadas en las cercanías de nuestra galaxia, difieren poco. El hidrógeno constituye cerca del 75% de toda la materia, el resto casi todo es helio, y los demás elementos juntos llegan a un 1%. Los patrones espectroscópicos de los distintos cuerpos luminosos del Universo responden al mismo comportamiento de los elementos químicos conocidos en la Tierra, en diversas condiciones termodinámicas.

τ = 10,423 − 1,025 ⋅ log L pg − − 0,43(Y − 0,3) − 0,15(3 + log Z ) en miles de millones de años, teniendo en cuenta la luminosidad del punto de giro, y las abundancias de helio y metales. La edad depende críticamente de la abundancia de helio: entre 0,24 y 0,28 el punto de giro varía en un 30% El problema es que esta abundancia inicial en el propio cúmulo no se conoce, por lo que, dada su antigüedad, se asume un valor igual al de la abundancia primordial (entre 0,20 y 0,26), que no conlleva un error importante, pues es más o menos la misma de ahora. Hay por ello una variación del 3 al 5% en la edad. La abundancia de metales (Z) se estima espectroscópicamente por el hierro y el oxígeno. Las edades de los cúmulos más viejos en nuestra galaxia son de 13 – 14·109 años, mientras que en otras son algo mayores 14 – 15·109 años.

La estructura del Universo La distribución de materia luminosa (directamente observable) en el Universo se puede enumerar en una serie de jerarquías de menor a mayor. Se tienen:

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La densidad media en forma de galaxias (o sea, materia luminosa), con una luminosidad media = 8,8·107 H0·Lsol y una relación masa luminosidad de M / L ≃ 100 es de 7,5·10-31 H0·g/cm3. Notar que en estos cálculos no se emplea un valor de la constante de Hubble, dadas las discrepancias. De otro lado sabemos que la materia del Universo no tiene porqué estar bajo la apariencia de cuerpos estelares detectables por medios ópticos o similares. De hecho se piensa que la materia luminosa no es la más representativa del Universo, sino la punta del iceberg, y que la mayor parte existe como materia oscura, de la que poco se sabe, pero que se conocen sus efectos gravitatorios (a este respecto ver el tema correspondiente: materia oscura - fisiología galáctica). La naturaleza de este componente es esencial en las teorías de formación y evolución del Universo, y conecta a la Astrofísica con la física de partículas. Se tiene en cuenta la posibilidad de admitir varias formas de materia (algunas hipotéticas) a la hora de confeccionar los distintos modelos cosmológicos.

Cosmología - Introducción Limitaciones luminosas Casi todo el conocimiento astronómico que se posee se debe a observaciones y análisis de la radiación electromagnética recibida. Por desgracia la luz tiene una característica crucial, su velocidad finita. De ello se deriva que todo objeto observado, astronómicamente hablando, es un fenómeno del pasado, del estado y posición en que fue emitida la luz que de él vemos. Este efecto, conocido como aberración luminosa, es ya evidente a la hora de tratar con cálculos en el seno del movimiento planetario. Mucho más a la hora de considerar el Universo en su conjunto, llegando a observar fenómenos ocurridos muy lejos y muy atrás en el tiempo, que como ahora sabemos, de poco tiempo después del nacimiento del propio Universo. Otros problemas asociados a las observaciones es la alteración de la información luminosa: efectos de atenuación, absorción, enrojecimiento, desvíos gravitatorios, y posibles efectos desconocidos relacionados con el desplazamiento al rojo. Todo esto podría ser menos importante sino fuera por el hecho de que sólo podemos disponer de observaciones desde un único lugar determinado, la Tierra.

Expansión de las galaxias En los años 1920s Vesto Melvin Slipher encontró que las galaxias presentan inesperados valores de velocidades radiales, mucho mayores que los de las estrellas de la Vía Láctea. Nada se sabía aún de las distancias de esas galaxias, aunque se observaba que las más lejanas se alejaban más rápidamente, si interpretamos que los desplazamientos al rojo observados corresponden con movimientos de alejamiento. Milton L. Humason continuó ese trabajo y confirmó los resultados: cuanto más débiles y distantes parecían las galaxias, tanto más grandes eran sus desplazamientos Döppler y por tanto mayores las velocidades de recesión1. Edwin Hubble se dedicaba a estudiar las galaxias para encontrar pruebas de que se trataban de objetos externos a la Vía Láctea, midiendo de paso sus distancias. De su inventario salió la primera clasificación morfológica de las galaxias. Estimulado por el trabajo de Humason, advirtió una relación casi lineal entre velocidad y distancia, de forma que las más lejanas parecían alejarse a mayor velocidad. La representó con la ley que hoy lleva su nombre (de Hubble) : v = H·d , donde H es una cierta constante, la constante de Hubble. Las velocidades se infieren por los efectos Döppler en las líneas espectrales. Se ha constatado que la recesión de las galaxias se produce en cualquier dirección de observación, por lo que puede aceptarse que es un fenómeno isótropo al menos para nosotros. Descartando que ningún observador tenga una posición privilegiada en el Universo (principio cosmológico), este efecto debe cumplirse para cualquier otro observador en cualquier otra parte del Universo. La interpretación coherente es que se asiste a un proceso de expansión total y conjunta de todo el Universo, una expansión cosmológica generalizada. El Universo pasa a ser algo dinámico, no estático, y se solucionan paradojas como la de Olbers (ver más delante). Por efecto de la expansión todos los cuerpos parecen alejarse mutuamente, tanto más veloces cuanto más lejanos se encuentren. Esto se traduce en un efecto de desplazamiento al rojo de los espectros galácticos, conocido como desplazamiento al rojo cosmológico. Esta interpretación se sustenta sobre dos hechos: la interpretación de los desplazamientos al rojo como de expansión cosmológica, y que el proceso es generalizado. No faltan argu1

Para identificar espectros de algunas galaxias necesitó exposiciones de hasta 100 horas con el mayor telescopio de la época.

mentos contra lo primero, como los de Halton Arp, suponiendo fenómenos de "cansancio de la luz" para explicar los alarmantes excesos de los cuásares, y algunas asociaciones físicas (contactos) de cuásares con galaxias teniendo muy distintos desplazamientos.

La expansión cosmológica es fácil de entender empleando el símil de la expansión sobre una superficie elástica que se expande. Se expande cada punto de dicha superficie, y como resultado, los diversos puntos parecen alejarse unos de otros. El efecto de la expansión es proporcional a la separación observada, de forma que al doble de distancia se observa el doble de efecto. No hay un punto privilegiado, y el resultado de las observaciones en un punto es equivalente al de cualquier otro punto.

Una galaxia A situada dos veces más lejos que otra B, experimenta doblemente la expansión cosmológica y por ello parece alejarse a una velocidad dos veces mayor. Esta es la interpretación más lógica de la ley de Hubble. Posteriormente, estudiando galaxias más lejanas (y antiguas) se hizo otro descubrimiento, y es que el valor de la constante de Hubble es hoy más pequeño de lo que era en el pasado. El Universo tiene una expansión no constante, sino decelerada. La constante no es tal, y debiera hablarse más propiamente del parámetro de Hubble. El argumento de la expansión puede analizarse sobre el tiempo, de modo que es evidente que en tiempos pasados, el cosmos era más pequeño y compacto, que la densidad y concentración era mayor. Llevado al extremo, podemos suponer un estado primitivo tendente a lo puntual, en que la densidad se hiciera casi infinita, y el Universo posterior, el que hoy conocemos, resultara como un explosión. En eso consiste la teoría del Big-Bang, expuesta por primera vez por Gamow y Alpher. Según ellos, el Universo primordial era extremadamente denso, caliente y en expansión, y materia y radiación interaccionaban fuertemente. Por la expansión las colisiones entre partículas fueron a menos, fue perdiendo temperatura y la materia se separó de la radiación (época del desacoplo), para pasar a un Universo similar al que contemplamos. Otra predicción de esta teoría es que la disminución de densidad y temperatura se produjo, en los primeros instantes, de una forma rápida, de modo que la síntesis de elementos más pesados que el hidrógeno y el helio no tuvieron oportunidad, explicando así las abundancias observadas.

Radiación de fondo Según la teoría inicial del Big-Bang, el Universo no sólo era denso y caliente, además debía ser opaco, igual que el interior de una estrella. Tras la recombinación de partículas e iones en áto-

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Cosmología - Introducción mos de helio e hidrógeno, los fotones pudieron viajar libremente por el espacio sin ser dispersados. Esa radiación primordial debería ser detectable todavía, Veríamos la que estaba situada en ese medio, a una distancia recorrida igual a la edad del Universo desde ese momento. Por efecto de la expansión era de esperar que su longitud de onda presentara un fuerte corrimiento al rojo. Esa radiación fósil tendría ahora el aspecto de un pálido resplandor, correspondiente a una emisión radio de 5 grados kelvin. En 1964, continuando los estudios del Big-Bang y desconociendo la predicción anterior, otro grupo, formado por los investigadores de la Universidad de Princeton : R. Dicke, P.J. Peebles, P.G. Roll y D.J. Wilkinson, llegaron a la conclusión de que esa radiación se presentaría como una emisión de 3 grados kelvin. Por la misma época, los investigadores de los laboratorios Bell : Arno Penzias y Robert Wilson, estudiaban las interferencias de un ruido de fondo, que se mantenía de día y de noche, y que no tenía dirección de procedencia. Penzias comentó sus problemas con un colega que le comentó el trabajo del grupo de Peebles. Llamó a Dicke y las piezas encajaron: en 1965 se había descubierto el recuerdo de la explosión que originó el Universo, bajo la forma de una radiación de fondo. La radiación de fondo de microondas es el probable remanente del desacoplo de materia y radiación de cuando el Universo se había expandido menos y estaba más denso y caliente. La emisión de la radiación de fondo no ha sido tarea fácil, dado que no hay "diales" para los radiotelescopios que permitan explorar la banda de radio correspondiente, ni tampoco lo permite el vapor de agua de la atmósfera terrestre. Hicieron falta globos sonda, cohetes y satélites, hasta los resultados obtenidos por el COBE (COsmic Background Explorer) a partir de 1989. El espectro de la radiación de fondo corresponde al de un cuerpo negro a la temperatura de 2.735 K con precisión del 1%. El máximo en radio se sitúa en los 2 mm.

fluctuaciones presentes ya en los primeros tiempos, y toda teoría cosmológica deberá tenerlo en cuenta y explicarlo.

1.3

Principios e hipótesis

Partiendo de los datos enumerados en la anterior sección, debe pasarse a fundamentar la Cosmología en una serie de principios y supuestos.

Homogeneidad e isotropía del Universo El principio de homogeneidad e isotropía establece que el Universo está igualmente distribuido a escala cosmológica por todas sus partes, y que muestra las mismas propiedades en cualquier dirección. Los argumentos que lo apoyan son: • la distribución de materia en el Universo (conteo de galaxias y de otros objetos, como los cuásares) • la estructura a gran escala (esponjiforme pero homogénea) • la homogeneidad e isotropía de la radiación de fondo, y del campo de rayos X • la expansión de Hubble Como debemos considerar que existe una densidad media de materia en el espacio diferente de cero, para escalas cósmicas el modelo de Universo se puede aproximar por una abstracción, un fluido continuo de materia, de densidad igual a la densidad media del mismo, en el que la velocidad media de la materia respecto del mismo es nula en todas direcciones, con movimientos peculiares y caóticos para las estrellas (al modo de un gas de partículas clásico), mucho menores que la velocidad de la luz.

Principio cosmológico

Supone el mayor depósito de radiación del Universo, que podemos calcular con la fórmula de Planck en U (ν ) 8πν 2 1 = 3 hν ⎡ hν ⎤ c exp ⎢ − 1⎥ ⎣ kT ⎦ ∞

nγ =

∫ 0

U (ν ) dν ≈ 500 fot ⋅ cm −3 hν

correspondiendo a una densidad de 4·10-34 g·cm-3 , menor que la densidad media de materia. Presenta una gran homogeneidad, superior a una parte por 10.000 (el nivel de ruido es diez veces menor). Este es un detalle muy importante a la hora de considerar el grado de homogeneidad del Universo. Las distribuciones de materia que ahora observamos (p.e. las galaxias) debían provenir de

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La historia de la Astronomía es una continua lucha contra la idea de que existe un centro o punto preferencial en el Universo, y que hay unas leyes objetivas (científicas) que son válidas en cualquier parte. En la cosmología moderna el principio cosmológico o de uniformidad enuncia que el nombre no posee una posición privilegiada en el Universo. Uno de los principios de la Ciencia es la "objetividad" que presenta, y que concuerda con el principio de la relatividad clásico: las leyes de los fenómenos físicos son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. La unión de la validez universal de la Física con el principio de homogeneidad e isotropía lleva al principio cosmológico de Einstein, que establece que el Universo parece igual a todos los observadores independientemente de dónde estén situados y en qué dirección estén mirando. Según esto, observadores en regiones distintas del Universo verán las regiones próximas probablemente diferentes, pero a una mayor escala (galáctica) las imágenes serán intercambiables. El Universo, a gran escala, ofrece siempre la misma imagen al observador independientemente de donde se encuentre. Dos grandes consecuencias tiene el principio: podemos estudiar el Universo en su conjunto a partir de observaciones locales, y el Universo no tiene ni centro ni límites. Una variante de este principio es el principio cosmológico perfecto de Hoyle, que establece además un modelo de Universo estacionario, igual en el pasado que en el presente. Este último no está corrientemente admitido.

Cosmología - Introducción Expansión El Universo es dinámico, y actualmente se encuentra en expansión. Es una confirmación de la interpretación de los desplazamientos al rojo de las galaxias, que no contradice los principios anteriores. La velocidad de expansión es proporcional a la distancia según la fórmula de Hubble v = H·d, dónde H es un parámetro deducible de las observaciones. Consecuencias inmediatas de este principio son: • en el pasado el Universo era más compacto, denso, y caliente • la paradoja de Olbers tiene solución1 La primera lleva directamente a las teorías que describen los orígenes del Universo como una explosión: son los modelos del Big-Bang. La secunda preguntaba si el Universo podía ser infinito o tener un número infinito de estrellas; si se considera un Universo bajo las siguientes hipótesis: 1- Universo infinito 2- Número de estrellas (o fuentes luminosas) infinito y uniformemente distribuidas 3- Luminosidad media uniforme …el cielo no podría ser oscuro. Al doble de distancia, el volumen encerrado contiene 4 veces más estrellas, y aunque todas estuvieran situadas al límite (luminosidad 1/4, por la ley de inversa del cuadrado para la luz), recibiríamos del conjunto la misma luz que el volumen inicial. En un Universo infinito, el fondo siempre estará totalmente tapizado de estrellas. Para un volumen infinito la suma de luz tiende a hacerse infinita. De una forma más explícita, si N es la densidad de galaxias, el número de galaxias a una distancia entre r y r + ∆r sería n = 4πr2·∆r·N , y la irradiancia recibida (para una luminosidad media e) I = e / 4λr2. Si combinamos ambos resultados obtenemos que I ∝ N·e·∆r , que para un Universo infinito tiende al infinito. La explicación de que no sea así es la combinación de dos factores: a) El Universo está en expansión y b) tiene una edad finita (en realidad sus galaxias u otras fuentes) El primero produce el desplazamiento al rojo de la radiación recibida, más cuanto más lejos (hasta un valor nulo para la velocidad de expansión igual a la de la luz, pero el cielo seguiría siendo luminoso, como de hecho se comprueba por la existencia de la radiación de fondo. La segunda es la que evita que el número de fuentes luminosas sea infinito, pues llegados a cierta distancia (que equivale a mirar en el pasado), las galaxias no existen aún.

Descripción relativista La escala astronómica es el marco por excelencia de los fenómenos gravitatorios. Si además se considera que casi toda la información procede de la recogida y análisis de la luz, es fácil comprender que la teoría científica básica para la descripción de los fenómenos cosmológicos es la de la relatividad. El Cosmos es el marco por excelencia de los fenómenos relativistas, tantos de los descritos por la teoría especial (o restringida) como por la general. En particular, la teoría general es la descripción fundamental de todos los fenómenos Cosmológicos, al ser la teoría más completa sobre la gravedad de que disponemos. La teoría general 1

Habría que llamarla de Kepler, pues así aparece planteada por primera vez en su Dissertatio cum Nuncio Sidereo, sobre la lectura del texto de Galileo Sidereus Nuncius en 1610.

incluye los fenómenos relacionados con la aceleración y la gravedad, y los trata como conceptos asociados a una realidad geométrica y topológica. Los modelos de Universo son descritos en función de las posibles soluciones que admiten las ecuaciones de Einstein para el campo gravitatorio. En principio la teoría general trata el estudio de la interacción local entre masas, sin proponerse el paso a un estudio global. Señalar que tampoco Newton se ocupó de nada relacionado con el problema cosmológico, al partir de un estudio de la interacción entre dos masas. Pero la teoría general va más allá, conectando aceleraciones y gravedad, estructura del continuo y materia. Las soluciones globales aparecen de modo natural con la teoría, y Einstein las trataba en 1917. La Cosmología cobró gran auge a partir de 1924, con la existencia de familias de modelos deducidos de las ecuaciones de campo y ciertas hipótesis simplificadoras. Con la interpretación cosmológica del desplazamiento al rojo, entraban en escena los modelos no estáticos de Friedmann, desarrollados en los años 1930s. El principio de Einstein dice que las leyes naturales son independientes del grado de evolución del Universo. En concreto, es necesario que la gravedad lo cumpla para que no se invalide la teoría general de la relatividad (o al menos, para que no necesite una revisión importante). De acuerdo con las ideas de Einstein se supone un Universo finito2, con sus límites más allá de los observables (por tanto, a efectos "prácticos" como infinito), y cuya tasa de expansión la da la relatividad general en armonía con las ecuaciones del campo gravitatorio. Un modelo cosmológico está definido por un observador comóvil que ve las propiedades macroscópicas del "gas universal" respecto al tiempo3.

Principio antrópico El principio antrópico establece que de las condiciones posibles que aparezcan en un modelo, sólo deberán considerarse aquellas que sean coherentes con la existencia del actual estado de las cosas. Recurre a la existencia del propio observador como condicionante del tipo de Universo en que habitamos. De todos los Universos posibles que podamos considerar, sólo el que sea coherente y además verificable es el aceptable. Presenta las peculiaridades que observamos porque de otro modo no estaríamos aquí. Estamos aquí porque el Universo es así, y por ello no debe parecer tan extraño que algunas cosas sean así y no de otro modo. Por ejemplo, no es casualidad que el Sol tenga más de 4.000 millones de años, porque ese tiempo es necesario para que la vida evolucione hasta nuestra existencia. Esta forma de pensar, de sentido común y tratada como una obviedad, es constantemente nombrada de este modo en el ámbito cosmológico. El principio antrópico es una referencia al hablar de los problemas que planeta nuestro desconocimiento sobre las condiciones iniciales que imponemos en los modelos de Universo. Recurre a la existencia constatable del hombre para no tener que recurrir a la de Dios, a la casualidad o dejar sin respuesta.

2

En la teoría general de la relatividad Einstein dejaba claro que la suposición, en principio arbitraria, de un Universo infinito, conlleva unas condiciones en los límites no asumibles.

3 Se denomina observador comóvil al que participa de la expansión con otro movimiento. Se denomina observador fundamental al que está en reposo respecto a la "nube" Universal, como p.e. las galaxias sin movimiento propio.

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Cosmología - Introducción

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Cosmología - El universo relativista a (t ) =

2. El universo relativista

El problema cosmológico es la concepción del Universo a gran escala. Todas las teorías y modelos aceptados se basan en las soluciones de las ecuaciones relativistas de Einstein para el campo gravitatorio.

2.1

Es claro que si el Universo estaba la mitad de expandido que ahora, tenga un parámetro de expansión la mitad. El parámetro de expansión de Hubble tiene una definición natural a partir de la propia del factor de escala y de la ley de Hubble (que es una ley cinemática) r v p R& (t ) eˆ R& (t ) = H (t ) = r = p R(t ) eˆ R (t ) de modo que es la relación entre la variación del propio factor respecto a él mismo. Además, como consecuencia se tiene la relación

Descripción relativista

La teoría general de la relatividad es el fundamento de la descripción analítica de la Cosmología. Partimos de que se conoce por lo menos básicamente la teoría general de la relatividad, aunque no está de más explicar o recordar convenientemente los conceptos que se empleen. Deben ser familiares los conceptos tratados en la teoría restringida y los relacionados con los tensores y curvatura de superficies. Por ejemplo el concepto relativista de intervalo entre dos sucesos, el intervalo temporal ∆s 2 = ∆t 2 −

R (t ) R (t 0 )

∆x 2 c2

a& (t ) = H (t ) a (t ) Por último se define el parámetro de deceleración como q (t ) = −

&&(t ) 1 &&(t ) R R R (t ) = −− & R(t ) H (t ) 2 R (t ) 2

y es también adimensional, y de signo negativo según los datos que poseemos. Como su nombre indica da la tasa de frenado de la expansión del Universo. Se define de un modo tan aparentemente complicado para simplificar las expresiones en las que suele aparecer.

o el intervalo espacial

δs 2 = δx 2 − c 2 δt 2 siendo ambos invariantes (que no dependen del sistema de referencia inercial escogido). El sistema de tiempo propio es un sistema inercial en el cual se cumple ∆s2 = ∆t2, es decir, que dos sucesos ocurren con la misma posición en distintos instantes. Los sistemas propios son aquellos que se mueven con el objeto medido, por lo que respecto a él están en reposo.

El factor de escala La expansión cosmológica del Universo tiene una directa representación analítica a través de una función, el factor de escala. Es una función del tiempo R(t) que da la medida del cambio que experimenta con el tiempo la distancia entre dos puntos materiales cualesquiera. Por ejemplo, dado un cierto punto A, cualquier otro B se moverá, debido al efecto de expansión cosmológica, según una cierta expresión del tipo AB = d(t) = R(t) ê , donde d es la distancia, ê el vector de la dirección considerada, y R(t) la función de escala, que es adimensional. La función de escala afecta por igual a cualquier variable espacial de posición que definamos, sea lineal o angular. En un continuo relativista da la variación del radio de un elemento esférico infinitesimal en el tiempo dado por la variable x4. El efecto de expansión del Universo puede entenderse como si estuviera constituido de pequeñísimas porciones, en una subdivisión celular de tipo infinitesimal, en que cada una de ellas experimentara un aumento de su radio. Necesitamos establecer una escala para la función de escala, es decir, alguna forma de medirla. Como el Universo es dinámico en su historia, debe escogerse arbitrariamente algún estado como referencia, y cual mejor que el actual. De esta forma se define el parámetro de expansión como la relación del factor de escala respecto del actual

La métrica de Robertson y Walker En la teoría general de la relatividad Einstein introdujo el concepto de que el espacio-tiempo del Universo es una variedad geométrica tetradimensional curvada, gobernada por las leyes de la geometría no euclidiana. Del mismo modo que la aceleración afecta a las medidas del tiempo y del espacio en la relatividad general, también lo hacen los campos gravitatorios; es el principio de equivalencia. Lo que para Newton es una atracción para Einstein es una distorsión del campo. La descripción idónea para representar los efectos de la gravedad es la teoría geométrica de Gauss sobre las variedades dimensionales curvadas. Un concepto fundamental es por tanto el de la métrica, relación que permite expresar el concepto de distancia1. Matemáticamente queda expresado a través de un tensor, el tensor métrico, de modo que el invariante fundamental (el intervalo de la teoría especial referido a la luz, sea el espacial o el temporal) está dado en función de la métrica por

δs 2 = g µν dx µ dxν siendo gµν dicho tensor métrico, que determina la estructura del espacio y representa los potenciales de gravitación. Respetamos la notación tensorial relativista, con el convenio de los sumatorios mudos (con parejas de índices) para los 4 índices de coordenadas. El punto de partida es la teoría de la relatividad general, y el primer paso es la inclusión del principio cosmológico y el postulado de Weyl. El postulado de Weyl dice que las velocidades de la materia en cada región astronómica son pequeñas, o dicho de otro modo, las partículas del sustrato cósmico se encuentran en el es1

Para desarrollar su teoría Einstein partió de un continuo en el que estaba definida el concepto de métrica (o distancia), aunque posteriormente se ha comprobado que la teoría general admite una descripción más general sin necesidad de darla por supuesta.

Página 9

Cosmología - El universo relativista pacio-tiempo en un haz de geodésicas divergentes desde un punto del pasado. Así cada punto de la materia en el continuo posee una velocidad única. Esto implica que el sustrato admite una descripción hidrodinámica (la del fluido cósmico) y sus líneas sólo se intersecan en el origen. Las geodésicas que cumplen el postulado de Weyl admiten conjuntos de hipersuperficies ortogonales. Escojamos las que hacen el tiempo constante y que tienen coordenadas espaciales constantes a lo largo de las geodésicas. Estas coordenadas covariantes corresponderían al sistema estático local de cada partícula. Con ellas puede escogerse la coordenada t de modo que la métrica sea de la forma 2

2

a

ds = dt − H ab dx dx

ds 2 = dx42 − R 2 A2 (dx12 + dx22 + dx32 )

donde queda incluido el factor de escala R = R(t), función del tiempo que da la medida del cambio que experimenta con el tiempo la distancia entre dos puntos materiales, y que representa el efecto de la expansión cosmológica. En un Universo de curvatura esférica, R es el radio de un elemento esférico infinitesimal en el tiempo x4. De otro lado, se puede demostrar que la función A es 1 1+

kr 2 4

con k la constante de curvatura, que puede tomar tres valores (1,0,1), que representan respectivamente los casos de geometrías espaciales hiperbólica, euclídea y esférica. r es la variable de distancia radial. Al cambiar de coordenadas cartesianas a esféricas, y alterando apropiadamente la coordenada radial (a no confundir con el concepto de distancia radial), esta métrica adopta la siguiente forma ds 2 = dt 2 −

⎞ R (t ) 2 ⎛⎜ dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ c ⎝ 1 − kr ⎠

conocida como la de Robertson-Walker. Se suele emplear como coordenada radial r ↔ r/c. También suele emplearse la signatura equivalente

Página 10

−

R (t ) 2 c2

(dψ

2

+ σ K2 (ψ )dθ 2 + σ K2 (ψ ) sin 2 θ dϕ 2

)

Los elementos del tensor métrico para esta elección vienen dados por

g 00 = 1 g11 = − g 22 = −

b

donde las hab son funciones de las cuatro coordenadas. Notar que la coordenada t hace de tiempo cósmico, necesario para dar sentido a una descripción evolutiva del Universo. El factor hab es responsable de los efectos de expansión del sustrato, pero como se exige una isotropía y homogeneidad en el espacio (principio cosmológico), sólo puede depender de la variable temporal, de modo que se puede poner hab = R(t) Iab donde los últimos Iab son ciertos coeficientes constantes que dependerán de cómo se escojan las coordenadas. La función de escala R(t) debe ser siempre real, para que en el transcurso del tiempo un intervalo espacial (una distancia por ejemplo) pudiera convertirse en uno temporal (una medida de tiempo). Como el espacio debe ser homogéneo, isótropo e independiente del tiempo, por un conocido teorema matemático de la geometría diferencial sólo puede corresponder a un espacio de curvatura constante, la cuál puede ser positiva, nula o negativa. Resumiendo, partiendo que la expresión del campo (la métrica) sea invariante respecto de cualquier rotación del sistema de coordenadas que mantenga fijos dos puntos P y Q unidos por cualquier geodésica (la línea más corta entre los dos puntos), la invarianza respecto a rotaciones de cualquier tipo exigen que la curvatura métrica del Universo sea constante. La hipótesis de la isotropía espacial de nuestro Universo idealizado conduce a la métrica

A=

ds 2 = dt 2 −

g 33 = −

R(t ) 2 c

2

R (t ) c

1 − kr 2 2

2

R (t ) 2 c2

1 r2 r 2 sin 2 θ

Geodésicas

Habiendo integrado la gravedad al espacio-tiempo como una curvatura, un cuerpo en ausencia de fuerzas externas (distintas de la gravedad) se mueve siguiendo como trayectorias las líneas geodésicas. Son los "mejores caminos o de menor esfuerzo" al considerar desplazamientos sobre una superficie curva o irregular. Las geodésicas son las curvas que minimizan el camino entre puntos, y matemáticamente se pueden expresar como la línea para la cual el elemento de longitud ∫ds es estacionario entre dos puntos. Hay otra definición alternativa, más propia de la teoría, y es la basada en la construcción por desplazamientos paralelos. El desplazamiento paralelo puede entenderse como la construcción de una curva por prolongación tangencial del vector que da su dirección puntual. De forma analítica la condición de transporte paralelo de un vector se expresa por µ α δA µ = −Γαβ A dx β

donde los Γµαβ son los coeficientes (llamados de Christoffel) de la afinidad, imposición hecha para que exista una derivación invariante en el continuo (derivación que transforme entidades de una clase en otras de la mismas, como vectores en vectores, etc.). En particular, toda curva es una parametrización del tipo dxi /ds y entonces para la curva geodésica queda β ⎛ dxα ⎞ α dx dxγ = 0 ⎟ + Γβγ ds ⎝ ds ⎠

δ⎜

Esta curva se construye por desplazamientos de los propios elementos de línea (vectores direccionales) d 2 xi ds 2

+ Γijk

dx j dx k =0 ds ds

Los símbolos de Cristoffel pueden expresarse en función de la métrica simétrica Γ ijk =

g il 2

⎛ ∂g jl ∂g kl ∂g jk ⎜ − + ⎜ ∂x k ∂x l ∂x j ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Si empleamos una métrica máximamente simétrica, como puede ser la de Robertson-Walker, en las geodésicas se obtienen las ecuaciones

Cosmología - El universo relativista 2 2 2⎤ ⎡ d dx 0 ∂g33 ⎛⎜ dx3 ⎞⎟ ⎥ ∂g 22 ⎛⎜ dx 2 ⎞⎟ ∂g ⎛⎜ dx1 ⎞⎟ 2 + + = g 00 ⎢ 11 ⎢ ∂x 0 ⎜ ds ⎟ ds ds ∂x 0 ⎜⎝ ds ⎟⎠ ⎥ ∂x 0 ⎜⎝ ds ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2⎤ ⎡ ⎛ 2⎞ d dx1 ∂g33 ⎛⎜ dx3 ⎞⎟ ⎥ 11 ⎢ ∂g 22 ⎜ dx ⎟ 2 + 1 =g ⎢ ∂x1 ⎜ ds ⎟ ds ds ∂x ⎜⎝ ds ⎟⎠ ⎥ ⎠ ⎝ ⎥⎦ ⎢⎣

∂g ⎛⎜ dx3 ⎞⎟ d dx 2 2 = g 22 33 ds ds ∂x 2 ⎜⎝ ds ⎟⎠

2

Podemos suponer con una gran aproximación que el tiempo del tren de ondas del fotón, el tiempo involucrado en su emisión o recepción por una partícula cargada (proporcional a su longitud), es mucho menor que el tiempo empleado entre ambos procesos, y equivale a suponer que los fotones son emitidos y absorbidos de forma casi instantánea. El tren de ondas es emitido entre los instantes te + dte y es recibido entre los t0 + dt0, y los caminos recorridos por sus extremos inicial y final son en principio ligeramente distintos, debido a que durante el tiempo de emisión y absorción la expansión también actúa t0

d dx3 =0 ds ds

t 0 + dt 0

cdt

∫ R (t )

∫

↔

te + dte

te

siendo s la parametrización, x0 la coordenada temporal, y el resto las coordenadas espaciales (indistintamente). Estas relaciones se cumplen para cualquier modelo relativista de Universo que consideremos, descrito bajo la métrica de Robertson-Walker.

Movimiento de los fotones

Los fotones, al estar sólo afectados por la gravitación, siguen como trayectorias las geodésicas del continuo de la relatividad general. Escogiendo convenientemente el sistema de referencia, sus trayectorias pueden ser tomadas como radiales (es decir, que pasan por nuestro origen de coordenadas), y entonces podemos escoger x1 = x2 = 0 y x3 como la coordenada radial, lo que evidentemente ha de simplificar mucho los cálculos. Llevando esto a las ecuaciones de las geodésicas, junto con la expresión de la métrica antes vista, se tiene d dt 1 d ⎛ dψ ⎞ =− 2 R (t ) 2 ⎜ 2 ⎟ ds ds dt c ⎝ ds ⎠ d ⎡ R(t ) 2 dψ ⎤ 2 ⎢− 2 ⎥=0 ds ⎢⎣ c ds ⎥⎦

aunque la diferencia va ser más que insignificante. Para el segundo término matemáticamente podemos tomar t 0 + dt 0

t0

t 0 + dt 0

te + dte

te + dte

te

t0

te

∫x =

t −0

∫

1 − kr dψ = cte R (t ) ds t − em

t −0

dr 2

=

∫

t 0 + dt 0

∫

t0

cdt = R(t )

te + dte

t − emi

2

La primera expresión da una relación de la distancia recorrida por un fotón en función del tiempo que lleva viajando y del factor de escala, mientras que la segunda es ignorable (tan sólo da la parametrización).

Desplazamiento al rojo cosmológico

Un fotón de los considerados en Astronomía de cielo profundo, puede estar viajando durante muchos millones de años. Durante ese tiempo el continuo del Universo se expande, lo que afecta al fotón. La expansión del Universo se traduce en un efecto de desplazamiento al rojo: el fotón es como un tren de ondas, que al estar soportado por un continuo curvado y en expansión, sufre también una expansión, un aumento en su longitud de onda. Es por ello que tales desplazamientos al rojo se denominen cosmológicos. La longitud de onda soportada en un continuo, como una distancia lineal, sufre la expansión proporcional al factor de escala λ ∝ R(t), y la frecuencia a la inversa ν ∝ R(t)-1.

∫x −

∫x

∫

te

cdt R (t )

→

cdt0 cdte = R0 Re

Por tanto, la relación entre factores de escala y tiempos de los trenes en emisión y recepción es

dt e dt 0 = R (t e ) R (t 0 )

2

cdt R(t )

∫x+

En la suposición ya comentada de tiempos de emisión y absorción pequeños frente al viaje del fotón, que para el caso astronómico es de millonésimas de segundo frente a millones de años (y más), debe cumplirse con un grado de exactitud elevadísimo que

siendo t0 y te los tiempos de recepción (ahora) y emisión (pasado) respectivamente. Esto puede ponerse en función de la frecuencia del fotón o de su longitud de onda como

ν 0 Re λe = = ν e R0 λ0

La integración de estas dos da

ψ =

cdt R (t )

Dos importantes relaciones que permiten expresar el redshift cosmológico. De este modo, la variación de la longitud de onda nos da el parámetro de expansión z=

∆λ

λ

=

λ0 R (t 0 ) 1 −1 = −1 = −1 λe R (t e ) a (t e )

Si tomamos el propio desplazamiento al rojo como una función del tiempo z = f(t) y desarrollamos en serie de potencias se tiene 1 f (t ) = f&0 ∆t − &f&0 (∆t ) 2 + ... 2

El signo negativo del segundo término se debe a que consideramos incrementos de tiempo hacia el pasado. Tomando la serie hasta el segundo orden, y derivando se obtiene ⎛ q ⎞ z = H 0 ∆t + ⎜⎜1 + 0 ⎟⎟ H 02 (∆t ) 2 2 ⎠ ⎝

Podemos encontrar una relación semejante si lo que desarrollamos en serie de potencias es el factor de escala

R (te ) = R[t0 − (t0 − te )] && R Re = R0 − R&0 ∆t + 0 (∆t ) 2 − ... 2

Página 11

Cosmología - El universo relativista y de la misma forma, hasta el segundo orden, dividiendo por R0 e identificando términos

verge claramente con mayores valores. El efecto tiende asintóticamente al infinito cuando la velocidad tiene a la de la luz.

z q = H 0 ∆t + 0 H 02 (∆t ) 2 z +1 2

Otra relación interesante es la inversa, que da el tiempo transcurrido en base al desplazamiento al rojo; entonces se toma ∆t = f(z), con un desarrollo en seria hasta el segundo orden en z , y por la equivalencia inversa de los término del desarrollo anterior se obtiene ∆t =

z H0

⎡ ⎛ q0 ⎞⎤ ⎢1 − z ⎜1 + ⎟⎥ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎣

Efecto Döppler relativista

En la descripción clásica, la expresión que relaciona el desplazamiento hacia el rojo por efecto Döppler entre un emisor y un receptor de señales luminosas en movimiento relativo uniforme de velocidad de alejamiento v que forma un ángulo θ con la visual, es v ν = 1 − cosθ c ν0

La segunda figura, un diagrama polar, evidencia la diferencia angular; la fórmula clásica (líneas punteadas) no da efecto para un ángulo de 90°, mientras que la relativista (líneas continuas) sí. Además el efecto es mayor para la segunda.

v λ = 1 + cosθ c λ0

siendo ν0 y λ0 para los valores propios (de emisión) y sin subíndice para los modificados (el receptor). Estas relaciones equivalentes (con la relación λν = c) expresan que la variación de la longitud de onda (o de la frecuencia) es proporcional a la velocidad, como se espera de una descripción de las ondas en forma sinusoidal: la sinusoide "se comprime" al ir hacia ella y "se alarga" al alejarse de ella. El término angular cosθ aparece junto a la velocidad porque el efecto Döppler es proporcional sólo a la velocidad según la visual, según la descripción clásica. Considerando los efectos relativistas de la velocidad hay una modificación. Existe un retardo en el tiempo propio del emisor en movimiento, y que hace que sus relojes u osciladores atómicos vayan más despacio, en un factor relativista γ ⎛ v ⎞ ⎜1 + cos θ ⎟ ⎛ v ⎞ ⎝ c ⎠ λ = (λ 0 γ )⎜1 + cos θ ⎟ = λ 0 c 2 ⎝ ⎠ v 1− c2

que también se pude poner en función de la longitud de onda y de los desplazamientos al rojo como ∆λ λ 1+ z = = = 1+ λ0 λ0

1+

v cos θ c

1−

v2 c2

En ambos casos, existe efecto hasta para una dirección perpendicular a la del movimiento. Considerando sólo el movimiento frontal, la velocidad en función del desplazamiento al rojo viene dada por v z2 + 2z ( z + 1) 2 − 1 = 2 = c z + 2 z + 2 ( z + 1) 2 + 1 En las siguientes figuras comparación del efecto Döppler calculado según la aproximación clásica y la relativista. La versión clásica es prácticamente igual mientras la velocidad sea inferior a 0,2c (correspondiendo curiosamente también a z < 0,2), pero di-

Página 12

2.2

Ecuaciones de Einstein

Los modelos cosmológicos son familias de soluciones de las ecuaciones de Einstein, bajo ciertas hipótesis restrictivas. La primera es el principio cosmológico. La segunda se refiere al contenido material del Universo. Para escalas cósmicas se puede aproximar el continuo espacial a uno en el que la velocidad media de la materia respecto del mismo es nula en todas direcciones, con movimientos peculiares y caóticos para las estrellas, al modo de un gas, mucho menores que la velocidad de la luz. Por ello podemos considerar a las estrellas sustituidas por un polvo material sin movimiento caótico. La densidad media de materia ρ es la misma en todas las porciones del espacio (tetradimensional). Se admite la isotropía espacial del sistema para todos los observadores, para todos los lugares, y para todos los instantes (si el observador se halla en reposo respecto de la materia que lo rodea). Estos modelos sólo serán válidos cuando se consideran las propiedades del Universo a muy gran escala. Tal hipótesis de un medio homogéneo en evolución permite hablar de la existencia de un cierto tiempo o edad del Universo.

Cosmología - El universo relativista Ecuación del campo gravitatorio

Primeros modelos

Las ecuaciones de la gravitación dadas por la teoría general de Einstein tienen forma tensorial

Los primeros modelos cosmológicos eran estáticos, con métricas que no dependían del tiempo. En esas condiciones sólo eran posibles tres casos: el modelo plano de la relatividad restringida, y otros dos, llamados de Einstein y de Sitter que imponen un valor de la constante cosmológica distinto de cero. El descubrimiento de la ley empírica de Hubble y su inmediata interpretación como expansión cosmológica llevó a abandonarlos y a adoptar los desarrollados por Friedmann, que incorporaban una métrica variable en el tiempo. Además quedó claro que no había necesidad de incluir la constante cosmológica para obtener soluciones plausibles. En los modelos llamados de Friedmann se toma la constante Λ nula. Se admite también que la densidad media de la materia no es constante respecto al tiempo; esto implica que el campo métrico depende del tiempo. Matemáticamente es aceptable la posibilidad de modelos de Universo con constantes cosmológica no nula, pero de acuerdo con sus predicciones y las observaciones, actualmente se encuentra que su valor no difiere de cero apreciablemente. En modelos de Universo para los primeros instantes del Big-Bang se ha recurrido a ellos, teniendo la constante Λ un valor no nulo; son los modelos de Universo inflacionario. Esta presión cósmica inicial estaría relacionada con fenómenos cuánticos de unificación, y sería como una repulsión que lanzara al Universo en su expansión en una fase muy peculiar de la materia. Bajo las hipótesis de isotropía y homogeneidad Einstein demostró que la métrica ha de ser de la forma

1 ⎛ ⎞ ⎜ Rab − g ab R ⎟ + Λg ab + χTab = 0 2 ⎝ ⎠ y expresan una evidente relación entre la curvatura del continuo (los términos métricos del paréntesis, que forman el llamado tensor de Einstein) y el tensor de materia y energía del último término1, de una forma similar a la ecuación de Poisson ∇2φ = 4πGρ. Se ven completadas con un término isótropo Λ, una constante universal llamada constante cosmológica. Rµν es el cuadritensor (de segundo rango) de Riemann-Ricci Rij = −

∂Γijk ∂x k

+ Γilk Γ ljk +

∂Γikk ∂x j

− Γijk Γkll

obtenido por contracción del tensor de curvatura (de cuarto rango), llamado también de Riemann-Christoffel c =− Rabd

c ∂Γab ∂Γc f f − ΓcfbΓad + ad − Γcfd Γab ∂xd ∂xb

La anulación de este tensor es condición necesaria y suficiente para que el continuo sea integrable. Una nueva contracción de ese tensor da el escalar de Ricci R (a no confundir, por la notación, con el factor de escala) R = R µν g µν Tµν es el cuadritensor impulso-energía del campo, que reúne materia y radiación. Se halla multiplicado por un factor χ = 8πG/c2, y que para fluidos perfectos homogéneos e isótropos es de la forma Tij = ( ρc 2 + P )vi v j − Pgij siendo P la presión y v la tetravelocidad. Es usual dar las velocidades en unidades de c para simplificar los cálculos. Para el caso usual de velocidades mucho menores que la de la luz, las componentes de la tetravelocidad son prácticamente (1,0,0,0), y el tensor es Tµν = (ρc2, -P, -P, -P) con una métrica cartesiana espacial independiente del tiempo. La ecuación del campo incluye asimismo el principio de conservación de la energía, expresado como la anulación de la tetradivergencia del tensor. La constante cosmológica es admisible desde un punto de vista matemático. Fue introducida por Einstein por la dificultad para dar cuenta de la suposición de una densidad media finita de materia. Las soluciones de las ecuaciones con una métrica estática eran inestables, y describían una tendencia del Universo hacia el colapso, por su propia fuerza de gravedad. La constante permitía representar fuerzas que evitaran el colapso gravitatorio del Universo. En aquella época (hacia 1915) se desconocía la expansión del mismo. Friedman encontró que no era necesario este término, y que las ecuaciones de la gravitación podían tener una solución dinámica, lo que quedó reforzado con el descubrimiento de Hubble de la expansión del Universo como un todo.

ds 2 = dx42 − R 2 A2 (dx12 + dx22 + dx32 ) 1

A= 1+

kr 2 4

donde R es la función de escala (dependiente del tiempo) y k un parámetro con tres únicos valores posibles {-1,0,1} , que corresponden a los tres casos de geometrías genéricas (hiperbólica, euclídea y esférica). Si se aplica a las ecuaciones de campo con Λ = 0 se obtienen && ⎞ ⎛ k R& 2 R 1 gik R = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ RAδ ik ⎜ R ⎟⎠ 2 R ⎝R ⎛ k R& 2 ⎞ 1 R44 − g 44 R = −3⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜R 2 R ⎟⎠ ⎝ 1 Ri 4 − gi 4 R = 0 2 Rik −

con los índices (latinos) para las coordenadas espaciales. Para el segundo término podemos tomar el tensor energía de la materia como de polvo (no corpóreo, y sin componente de radiación) T ik = ρ

Las líneas de movimiento de los cuerpos (líneas de Universo) son geodésicas, y sobre ellas y referido a uno de esos cuerpos sólo varía la componente temporal (x4), por lo que el único componente no nulo es T44 = ρ, y análogo para Tik . Teniendo esto en cuenta las ecuaciones de campo quedan reducidas a k R

1

El principio de Mach consiste en que la densidad de materia produce la curvatura del espacio y del tiempo.

dx i dx k ds ds

2

k R

2

+ +

R& 2 2

R R& 2 R

2

+2 −

&& R =0 R

1 χρ = 0 3

Página 13

Cosmología - El universo relativista Restando ambas ecuaciones se tiene

&& 1 R + χρ = 0 R 6 y puesto que R y ρ son siempre positivas, la segunda derivada temporal de R es siempre negativa mientras ρ no se anule. Significa que el Universo está decelerado o tiende a colapsar por su propio peso. No hay ninguna solución para la cual R sea constante (o nula); esto expresa que Einstein no admitiera inicialmente un espacio infinito con una densidad media finita. Las ecuaciones de campo no tienen solución para ningún valor finito de la densidad de masa cósmica. Einstein propuso una solución que luego calificaría como el mayor error de su vida. Añadió un término adicional a las ecuaciones, matemáticamente posible, la constante cosmológica, que permitía admitir una masa finita. En 1920 Friedmann dio con una solución que admitía una densidad finita sin incorporar la constante cosmológica, admitiendo para ello que el espacio no fuera estático, sino dinámico. Una idea formalmente válida que consistía en incorporar el factor de escala en la métrica. Einstein despreció inicialmente esta salida por considerar que no tenía un significado físico evidente.

Ecuaciones de Einstein

En los estudios iniciales de Friedman no se consideraba la importancia de la componente de radiación del Universo, que luego se ha revelado como fundamental por lo menos para los primeros momentos de la expansión universal. En un estudio general, emplearíamos el tensor de energía para fluidos perfectos, sin descartar aún la contribución de la radiación, e incluiríamos la constante cosmológica. Vamos a tomar la métrica de Robertson-Walker y aplicarla a la ecuación tensorial del campo. Los componentes del tensor métrico son

g33 = − g 44 = −

R(t )

2

c 2 (1 − kr 2 ) R(t ) 2 r 2 c2 c2

E11 = − 2 (kc + R& 2 ) R && + R& 2 + kc 2 2 RR E22 = c 2 (1 − kr 2 ) E33 =

2

r2 c

&& + R& 2 + kc 2 ) (2 RR 2

E44 = −

r 2 sin 2 θ c2

&& + R& 2 + kc 2 ) (2 RR

y para el tensor de materia-energía u uβ Tαβ = ( ρc 2 + P ) α − Pg αβ c c ⎧⎪T11 = ρc 2 ⎨ ⎪⎩Tii = − Pg ii

Página 14

que también se ponen como ⎛ kc 2 8πGρ = 3⎜ H 2 + ⎜ R2 ⎝ 8πGρ c

2

⎞ ⎟−Λ ⎟ ⎠

= H 2 (2q − 1) −

kc 2 R2

+Λ

d (UR 3 ) = − Pd ( R 3 )

La última es la de la conservación de la energía, obtenida con la cuadrivergencia del tensor de materia-energía. No es una relación adicional e independiente con las otras dos (proviene también de la ecuación del campo), pero conviene dejarla explícita por la importante información que aporta. A las tres relaciones se las conoce también como identidades de Bianchi, y son las expresiones analíticas más importantes de la Cosmología.

Densidad crítica

Si observamos la primera relación anterior para el caso de Friedman y geometría euclídea (Λ = 0 y k = 0) se encuentra que la densidad puede ponerse como 3R& 2 8πGR 2

=

3H 2 8πG

Este es un importante valor de referencia, porque de la comparación de las medidas de densidad de nuestro Universo podríamos deducir si su geometría global es de tipo euclideo, lo que a su vez determina su expansión. A este valor, en el tiempo actual, se le llama densidad crítica

R(t ) 2 r 2 sin 2 θ

Los del tensor de Einstein 3

3 &2 ( R + kc 2 ) − Λ R2 && R& 2 kc 2 ⎞ ⎛ 2R 8πGρ ⎟+Λ χP = 2 = −⎜ + + ⎜ R R2 R2 ⎟ c ⎝ ⎠

χρc 2 = 8πGρ =

ρ euc =

g11 = 1 g 22 = −

con el índice i para las coordenadas espaciales. Llevado todo a la ecuación de campo se tienen únicamente dos relaciones distintas, coincidiendo las tres de la parte espacial

ρc =

3H 02 8πG

El parámetro de densidad es la relación entre la densidad y el valor euclideo Ω=

ρ 8πGρ = ρ e 3H 2

El conocimiento del valor actual Ω0 Ω0 =

ρ 0 8πGρ 0 = ρe 3H 02

es un parámetro fundamental, que da la curvatura del Universo, y por tanto, la estructura a gran escala. En el caso euclideo, podríamos interpretar el parámetro de Hubble como la velocidad con la que se expandiría el supuesto borde del Universo (caso de existir), es decir, podría entenderse como la velocidad de escape del Universo. De hecho, el cálculo con la teoría newtoniana de la velocidad de escape, aplicado al Universo como un todo, coincide con el mismo valor. Según este razonamiento, la velocidad de escape es la correspondiente a la densidad crítica. Esto nos lleva a deducir la curvatura del Universo:

Cosmología - El universo relativista 1 - Si el Universo tiene una densidad mayor que la crítica, será por la contribución del término de curvatura

Ω0 =

ρ 0 8πGρ 0 = ρc 3H 02

⎛ 2 kc 2 ⎜H + ⎜ 0 R2 0 ⎝ =3 H 02

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

= 1+

kc 2 R& 2

2- De la misma forma, sin son iguales forzosamente ha de ser k = 0, para una geometría euclídea, con una expansión asintótica. 3 - Si la densidad es menor será por k = -1, de una geometría hiperbólica, y se expandirá indefinidamente. Como podemos comprobar, de acuerdo con la teoría general de la relatividad, la densidad de masa está relacionada con la geometría del espacio.

Universo material

Dentro de las familias de soluciones a las ecuaciones hay dos importantes grupos, según se considera una contribución dominante o no del campo de radiación. El Universo de radiación correspondería a las condiciones semejantes a las existentes en tiempos muy pasados, cuando era más compacto y caliente y la radiación dominaba sobre la materia. Toda contribución a la presión en el "medio cosmológico" procede de la radiación, dado que la materia ordinaria permanece agrupada y aislada en el vacío bajo la forma de diferentes cuerpos astrofísicos, muy distantes unos de otros en comparación con sus tamaños (por eso cosmológicamente se la trata como un polvo incorpóreo y homogéneo). La radiación en cambio es entendida como un medio continuo que puede encontrarse en cualquier región por vacía de materia que parezca. En el Universo actual, las observaciones demuestran que la presión (densidad de energía de movimientos erráticos) es mucho más pequeña que la densidad de energía debida a la materia, aunque en las épocas más tempranas no fuera así. Podemos particularizar las soluciones de Einstein para el caso de un Universo material, sin dominio de la radiación, como el que tenemos ahora. Entonces se toma P = 0 y las dos ecuaciones quedan como 3H (1 − Ω) + H 2 (1 − 2q ) +

3kc 2 R2 kc 2 R2

2.3

Modelos cosmológicos

0

lo que implica que su valor es positivo (curvatura esférica) y que el Universo es cerrado. La masa del Universo frenará la expansión y a la larga colapsará.

2

de Hubble. Su conocimiento nos permitiría saber cuál es la dinámica que sigue el Universo.

=Λ

=Λ

Modelos de Friedmann con radiación

Dentro de los universos de Friedman (Λ = 0) hay dos importantes grupos, según se considera un Universo radiativo o uno material (de presión nula). El primero describiría la situación en las primeras etapas de la expansión, mientras que el segundo lo haría posteriormente, en la actualidad y en adelante. En el caso radiativo hay una presión neta por parte del campo de radiación, que cumple la relación P = U/3 entre la presión que ejerce y su energía. Llevándola a la relación de la conservación de la energía da d (UR3 ) = UdR3 + R 3dU = − P dR 3 = −

U dR 3 3

por tanto se debe cumplir U ∝ R-4, es decir, que su energía sea inversamente proporcional a la cuarta potencia del factor de escala. Como para radiación es U = ρc2 se llega a la importante conclusión de que

ρ∝

1

R4

Vemos otras relaciones de interés para este mismo caso, tomando para ello las dos ecuaciones de Einstein para el universo radiativo de Friedmann 3H 2 (1 − Ω) + 8π GP

c2

=

3kc 2

R2

=Λ

kc 2 8π Gρ = ΩH 2 = H 2 (2q − 1) − 2 3 R

a) combinando las dos de forma que se elimine el factor de curvatura se obtiene que q = Ω, de modo que la deceleración y el parámetro de densidad son coincidentes. b) Despejando con la primera, junto con la relación para la radiación ρR4 = R04ρ0 ⎛ H2 ρ ⎞ R4 kc 2 = R& 2 (Ω − 1) = R& 2 ⎜ 0 2 Ω0 − 1⎟ = Ω0 H 02 02 − R& 2 ⎜ ρ0 H ⎟ R ⎝ ⎠ nos permite disponer de una expresión de la variación temporal de la expansión. El factor constante de la curvatura puede ser evaluado con la segunda ecuación para un cierto instante, como puede ser el actual (t0) en el que la presión es casi despreciable kc 2 = R02 H 02 (2q0 − 1 − Ω0 )

De ellas podemos despejar algunos de los parámetros para así tener las relaciones

e igualando, y empleando el factor de escala normalizado a = R/R0

⎛3 ⎞ kc 2 = H 2 R 2 ⎜ Ω − q − 1⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎞ 2⎛ Ω Λ = 3H ⎜ − q ⎟ ⎝2 ⎠

⎛Ω ⎞ a& 2 = H 02 ⎜⎜ 20 + 1 − Ω0 ⎟⎟ ⎝a ⎠

que quedan en función de parámetros que pueden ser estimados o cuantificados a partir de las observaciones: del recuento de densidad, del parámetro de Hubble, y de la variación de la propia ley

Esto significa que la velocidad de la expansión sigue la proporción da/dt = a-1, de una expansión decelerada (recordar que a varía entre 0 y 1 hacia el pasado). Extendiendo a la época actual deberíamos considerar P = 0 y entonces cambiaría el término -Ω0 del corchete por -2Ω0

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Cosmología - El universo relativista Modelos de Friedmann sin radiación (materiales)

Edad del Universo

En un Universo material no hay presión P = 0, lo que llevado a la 3ª ecuación implica

Para calcular o estimar una edad para el Universo se necesita alguna relación temporal a integrar, como puede ser la relación entre tiempo y factor de escala

d (UR3 ) = UdR3 + R3dU = − P dR 3 = 0

ρ ∝ R (t )

→

−3

y la densidad es inversamente proporcional a la tercera potencia del factor de escala, como cualquier densidad volúmica. Esto es muy importante al considerar etapas más antiguas del Universo: al considerar estados más compactos, la densidad de radiación crece más rápidamente que la densidad material, lo que implica que anteriormente había más masa como fotones que como partículas atómicas. Se dice por ello que era una época dominada por la radiación. Otras relaciones significativas: a) De modo análogo al caso radiativo, eliminando el término de curvatura se tiene que q = Ω/2, de modo que la deceleración es la mitad que en el caso radiativo. b) Con la 1ª ecuación más la condición ρR3 = R03ρ0 2

kc =

Ω0 H 02

t0

R0

0

0

t0 = ∫ dt =

R03 & 2 −R R

La derivada del factor de escala se obtiene manipulando las ecuaciones para modelos de Friedman materiales que se han visto en el apartado anterior

⎫ R3 R& 2 = Ω0 H 02 0 − kc 2 ⎪ R ⎬ ⎪ kc 2 = R 2 H 2 ( 2q − 1) ⎭

kc 2 = R02 H 02 (2q0 − 1)

e igualando (con a = R/R0) ⎞ ⎛Ω a& 2 = H 02 ⎜ 0 + 1 − Ω0 ⎟ ⎠ ⎝ a expresión diferente del caso radiativo en da/dt = a-1/2, representando una deceleración menor. Los datos parecen confirmar que el valor de la constante cosmológica es prácticamente nulo, y a falta de justificación, son aceptados los modelos de Friedman. En esa situación, y en un Universo material, dependiendo del parámetro de densidad podemos estudiar la estructura y evolución del Universo de forma simple y obteniendo resultados cualitativos. Hay tres tipologías:

→

R3 R& 2 = Ω0 H 02 0 − R02 H 02 (2q0 − 1) R

→ De este modo se tiene 1

y con la 2ª, con P = 0, y en el tiempo actual t = t0

dR R&

∫

dx

t0 = τ 0 ∫

2q0 + 1 − 2q0 x

0

⎧x = R R0 ⎪⎪ con ⎨ 1 R = 0 ⎪τ 0 = H 0 R&0 ⎩⎪

A τ0 se le llama edad del Universo de Hubble, y es un burdo valor para la edad del Universo. Da el tiempo durante el cuál el universo se ha expandido al ritmo actual (por H0) hasta alcanzar su tamaño. Dado que la expansión es decelerada, la edad de Hubble representa un valor máximo. Por desgracia, hay grandes divergencias entre los valores que pueden aceptarse para la constante de Hubble, discrepancias de hasta el 50% (según los autores, desde 55 hasta 75 km·s-1·Mpc-1). La relación de la edad del Universo material en función de la densidad (o la deceleración) está reflejada en la siguiente gráfica.

• si Ω = 1 es el Universo de Einstein-de Sitter. La geometría es euclidea (k = 0). Se produce una expansión monótona, decelerada y sin fin (tipo M1 - monótona de 1ª especie) dada por ⎛Ω ⎞ H2 a& 2 = H 02 ⎜ − (Ω − 1) ⎟ = 0 a ⎝a ⎠ a=

→

2 2 3 (H0 t)

• si Ω1 la geometría es no euclidea, con k = 1 (tipo esférico). El Universo es cerrado y finito, y la expansión se detiene al llegar a un máximo (para a = Ω/(Ω-1) ) y luego pasa a contracción. Se dice que la masa del Universo consigue invertir la expansión. Se plantea así la cuestión del Big-Crunch (la imagen inversa del Big-Bang) y del Universo oscilante.

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Si se considera un Universo de cualquier tipo, no sólo material, y con constante cosmológica no necesariamente nula, la edad estará dada por una expresión 1

t0 = τ 0 ∫ 0

dx 3 ⎛ ⎞ ⎛Ω ⎞ Ω 3 x 2 ⎜ 0 − q0 ⎟ + 0 + ⎜1 + q0 − Ω0 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ x ⎝

Cosmología - El universo relativista Familias de modelos

En base a las ecuaciones de Einstein, se introducen los parámetros cosmológicos para caracterizar los diferentes modelos. Dichos parámetros son cuatro: • la constante cosmológica Λ

En la siguiente tabla se listan los distintos modelos cosmológicos según los valores de los parámetros. Se tienen: la clase M1 que indica tipo monótono, con explosión inicial y expansión sin fin; M2 para expansión eterna sin explosión inicial, A1 para explosión inicial y acercamiento asintótico al caso estático, A2 para expansión eterna desde caso estático, y el tipo oscilante, con explosión, expansión máxima e implosión.

• la constante de Hubble actual H0 • el parámetro de deceleración q0

Λ

k

Ω0

• y la curvatura k Para un modelo en general se necesitan especificar los 4 parámetros cosmológicos. En el caso habitual de presión nula bastan tres parámetros. Si además se considera la familia de modelos de Friedmann sólo hay dos parámetros independientes, de modo que el Universo es cerrado o abierto según sea q0 mayor o menor que 1/2. El modelo inicial de Einstein era estático (con métrica independiente del tiempo dR/dt = 0). El astrónomo alemán Willem de Sitter (1872-1934) demostró que ese modelo de Einstein no es estable, y que a la mínima perturbación se convierte en un Universo en expansión. Esta deducción fue una de las motivaciones den el trabajo de Humason y Hubble. Ese primer modelo no es sino uno de muchos posibles, como demostró en 1922 Alexander A. Friedmann (1888-1925), cada uno con galaxias en recesión pero no cerrados.

Q0

0 > 0 , < Ωc

M2 - de Sitter < -1 A2 - Lemaitre - Sitter

Ωc >0

> Ωc >0

≤ -1 -1 < q0 < ½ M1 - de Sitter

> Ωc

>0

Ωc

>½

< Ωc Ωc = ∞ 0

>0

0

>0

>½

oscilante

0

1/2

½

M1 - Einstein - de Sitter

>0

0 < q0 < 1/2

M1

0

0

M1 - de Milne

>0

> 1/2

0 0 0

Universo estacionario

Cuando k = +1 la curva de H = 0 tiene un máximo. Los modelos con Λ > ΛE son explosivos con expansión sin fin (M1). Por debajo están los universos oscilantes explosivos, y los expansivos sin fin y sin explosión (M2). Con k = 0, -1 los modelos son oscilantes o tipo M1.

Un modelo de Universo estacionario es compatible con las ecuaciones de Einstein. Fred Hoyle dedujo las características básicas del modelo de estado estacionario añadiendo un término a las ecuaciones de Einstein. Si se acepta el principio cosmológico perfecto (y por tanto el modelo estacionario), debe admitirse la creación continua de materia. El ritmo necesario es de un nucleón (protón o neutrón) por año y por cada 10 kilómetros cúbicos de espacio. Por ir contra el principio de conservación de la materia y la energía queda relegado a una posibilidad no aceptada. Tampoco explica la existencia de la radiación de fondo. La idea del Universo estacionario proviene de generalizar el principio de isotropía y homogeneidad a las cuatro variables relativistas, incluyendo el tiempo, sin mostrar una incómoda preferencia con las variables espaciales. Si bien es muy incómoda la idea de la creación de materia de la nada, es algo que tampoco evita la teoría del Big-Bang.

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Cosmología - El universo relativista Modelos inflacionarios

Los modelos con constante cosmológica no nula se han vuelto a tener en cuenta como responsable temporal de la expansión acelerada de los primeros instantes del Universo, como factor expansivo del Universo inflacionario. Supongamos el caso de una constante cosmológica no nula, y un factor de presión de energía negativa, es decir, que existiera una presión de materia negativa, igual a -ρc2/3, de signo opuesto a la radiativa ordinaria; luego se discute el sentido de esto. Sumando las dos ecuaciones de Einstein se tiene 3q = Λ

→

&& = Λ R R 3

cuya solución es de tipo exponencial R(t) = B·eHt donde H2 = Λ/3. También puede argumentarse con un estado sin densidad ni presión típica, y con una fuerza como Λ ∝ 8πGρinf. Dicho de otro modo, hay una familia de soluciones de la ecuación de Einstein bajo la condición de una presión negativa (mejor se diría una tensión), que dan una expansión de tipo exponencial. La existencia de una etapa primordial de este tipo soluciona muchas cosas: el problema de la planitud, materia exótica, homogeneidad y fluctuaciones (ver en último tema). Resulta que las teorías cuánticas de unificación admiten la posibilidad de interacciones de este tipo,

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lo que significa que es una posibilidad viable de ser tenida en cuenta en las teorías. Los modelos inflacionarios admiten un tipo de peculiar cambio de fase de tipo cuántico, bajo ciertas condiciones muy particulares y distintas de lo que conocemos como materia ordinaria. Un estado cuántico hipersimétrico sufriría tal cambio de fase pasando a un estado menos simétrico, liberando energía y dando lugar a un vacío similar al que conocemos y que posibilita las interacciones de menor nivel y simetría. Las últimas teorías permiten interpretar los distintos tipos de partículas como vibraciones o cuantos en un entramado de dimensiones de las que sólo percibimos dos. La realidad sería un conjunto de fluctuaciones de los que el vacío es un nivel. Puede suponerse que las extremas condiciones iniciales se describen por un vacío con distintas propiedades o vibraciones, un "vacío." que sería distinto y más energético. Nuestro vacío "verdadero" aparecería tras un cambio de fase, creciendo en el interior del "falso" o anterior vacío, liberando energía. La situación queda bien descrita a través de la existencia de un efecto de presión negativa (igual al valor negativo de la densidad de energía que también nace), o de una fuerza expansiva o repulsión gravitatoria reflejada por la constante cosmológica. El efecto de esta transición es una inflación o expansión acelerada, de forma exponencial (en 10-32 s unas 1050 veces), y que actúa sólo durante un período reducido y muy peculiar de los primeros momentos. También es discutible que la descripción relativista y las ecuaciones de Einstein siguieran teniendo validez en esas circunstancias.

Cosmología - Historia del Universo

3. Historia del Universo

un cambio cualitativo en la dinámica del Universo, y puede hablarse con propiedad de una época dominada por la radiación.

Acoplo de materia y radiación 3.1

Reconstruyendo el pasado

Puesto que no existe ninguna evidencia experimental sobre las propiedades físicas de los estados pretéritos y del estado inicial del Universo, sus propiedades deben ser deducidas del estado actual del Universo. Esto puede hacerse aplicando las leyes de la Física a la materia ahora presente en el Universo, y remontándonos a su origen en el pasado. Procediendo de esta manera llegaremos a distintas condiciones iniciales, dependiendo de cómo se aplican las leyes, pero las diferencias serán de detalle y no de la imagen global. Puede objetarse que las leyes de la naturaleza eran diferentes hace miles de millones de años (y de hecho, en algunos aspectos, lo eran), o que las constantes de la naturaleza han cambiado. No hay elección en este asunto, debe trabajarse con lo que se conoce. Si tales diferencias existían cuando el Universo era más joven, se hará evidente al reconstruir el pasado. Si las leyes y constantes cambian, el mismo proceso de cambio es gobernado por una ley susceptible de ser descubierta usando teorías conocidas.

Épocas de radiación y de materia

Sabemos por nuestro conocimiento astronómico que los objetos y el medio ahora presentes están y han sido formados (por síntesis nuclear en el interior estelar) principalmente por hidrógeno y helio. El estado actual del Universo no está en equilibrio térmico. No está todo él a la misma temperatura, sino que consiste en una mezcla de cuerpos a distintas temperaturas (estrellas, gas, planetas, ...) y un campo de radiación fría. El Cosmos parece evolucionar hacia un estado de equilibrio (sin estar todavía en él), a un estado estacionario de baja temperatura. Un gas tiende a expandirse a costa de su energía interna, perdiendo energía calorífica en el proceso. La materia del Universo hace algo parecido, venciendo la fuerza de la atracción gravitatoria, y perdiendo en ello energía, bajando su temperatura. La temperatura baja de forma progresiva con la expansión universal. El análisis hacia atrás en el tiempo pone de manifiesto que el Universo debía estar mucho más caliente en el pasado remoto. Como se ha deducido de las ecuaciones de Einstein, las propiedades globales termodinámicas evolucionan de modo distinto según consideramos un fluido cosmológico material o con presión (de radiación). Mientras que para la materia la densidad varía como R-3 (o como T3), para la radiación lo hace como R-4. Esto implica que con la expansión, la densidad material disminuye más rápidamente que la material. Y a la inversa, en épocas más tempranas, el campo de radiación se hacía más importante. Al cambiar el radio del Universo, el efecto de este cambio es más drástico sobre la densidad de radiación que sobre la densidad de materia. En la actualidad, la densidad de radiación es 100.000 veces menor que la material, y puede hablarse actualmente de una era dominada por la materia. Cuando el Universo tenía una temperatura de 5.000 K la densidad material y la radiativa eran aproximadamente iguales, y en épocas anteriores la energía radiante dominaba sobre la materia. Así con una temperatura de un millón de grados la superioridad radiativa debía de ser del orden del millón de veces. Puede decirse que esa temperatura aproximada supone

Durante los últimos momentos de la era radiativa, podemos suponer cuál era el estado termodinámico del medio. La energía de los fotones conseguía ionizar cualquier especie atómica, y dichos fotones eran más numerosos que las partículas atómicas (recordemos que las densidades de ambos campos, el material y el radiativo, eran iguales). No podían existir átomos neutros, sino ionizados. El medio era un plasma de núcleos, principalmente de hidrógeno y helio, con electrones y un intenso campo de radiación. Los fotones estaban continuamente dispersados por las partículas cargadas, con recorridos libres medios pequeños, de modo que el medio era opaco a la radiación. Otra consecuencia de esta situación era la conexión de las propiedades termodinámicas del campo de radiación con la materia, debido precisamente a la continua e intensa interacción entre fotones y partículas. Por ello se dice que la materia y radiación estaban acopladas (en sus propiedades termodinámicas). Esta ardiente mezcla de partículas y fotones debía ser muy homogénea, por el comentado proceso de intensa interacción colisional, por lo menos hasta el límite dado por el horizonte de Hubble (horizonte causal, alcanzable por la luz desde el momento de la explosión), lo que tiene su importancia a la hora de tratar el asunto de las fluctuaciones de densidad : sólo las fluctuaciones de un tamaño superior al horizonte de Hubble pueden ser responsables de las concentraciones de materia que observamos ahora. Cuando la temperatura bajó por la expansión, pudo ocurrir la recombinación de los átomos en átomos neutros, desapareciendo las partículas cargadas que hacían opaco el medio (principalmente los electrones1), y desacoplándose materia y radiación, que evolucionarían por vías separadas. El campo de radiación seguiría imperturbable, expandiéndose y llegando a nuestros días como la radiación de fondo. Queda así explicada su distribución de cuerpo negro (por emisión de equilibrio térmico). La homogeneidad, procedencia y temperatura de ese campo de microondas concuerda así con el cuadro esperado en la evolución de un Universo en expansión. La era radiativa alcanza su fin cuando las condiciones térmicas son del orden de los 3.000 K (expansión relativa de 1/1.500), momento en el que es posible la captura de electrones por protones para formar el hidrógeno. Con la desaparición de partículas cargadas el medio se hace transparente a la radiación. Materia y radiación siguen a partir de ese momento caminos diferentes, se desacoplan, reflejando evoluciones termodinámicas distintas. La materia pasa a formar las grandes concentraciones, tales como protogalaxias y protocúmulos de galaxias, mientras que la radiación sigue como el residuo de un cuerpo negro que se va enfriando.

Acoplamiento de partículas

Cuando la temperatura era de un billón de grados o más la materia no existía como se la conoce ahora. La intensa radiación, además de romper los átomos, también disgregaría los núcleos atómi-

1

Los electrones están presentes al menos en la misma cantidad que los núcleos atómicos, tanto más según sea el peso atómico. Además la sección eficaz de una partícula cargada para los fotones es inversamente proporcional al cuadrado de la masa de la partícula (difusión de Thomson).

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Cosmología - Historia del Universo cos, y sólo podrían existir partículas elementales con sus antipartículas en una situación de equilibrio dinámico. Por encima de cierta temperatura, superior al millón de grados, la radiación tiene la suficiente energía para convertirse en pares de partículas-antipartículas, y a la inversa, en una relación bidireccional. Este tipo de reacciones son recíprocas cuando la energía media de los fotones es equivalente al doble de la masa de las partículas creadas, según la relación de Einstein E = m1c2 + m2c2. Se habla por ello de una cierta energía o temperatura umbral, que depende de la masa de las partículas consideradas. Cuanto más comprimido es el Universo o más temprana es la época que se considera, mayor es la temperatura y mayor el número de partículas involucradas en reacciones de este tipo. Por debajo de esa temperatura las relaciones quedan descompensadas hacia un lado, no se producen nuevos pares por insuficiencia de energía, y los pares existentes tienden rápidamente a aniquilarse dando radiación. El fenómeno del desacoplo de partículas del campo de radiación (o acoplamiento si nos remontamos hacia atrás) se corresponde con el fin, por enfriamiento, de las reacciones de equilibrio entre partículas, reacciones que quedan orientadas en un sólo sentido y llevan a la desaparición de los compuestos en productos más estables en las nuevas condiciones de menor energía. Una partícula deja de fabricarse cuando la temperatura del medio es inferior a la temperatura umbral del proceso de formación de la misma Tu = mc2/K . Por la conservación de distintas magnitudes, se producen en pares de partícula-antipartícula, a partir de fotones energéticos, e incluso interviniendo otras partículas menores. Con temperaturas de 109 K la energía de los fotones es suficiente para producir pares electrón-positrón. Parte de la radiación caliente es empleada para generar estos pares, que a su vez colisionan para dar fotones, en un estado de equilibrio reactivo. Para reacciones de producción de pares protón-antiprotón o neutrónantineutrón se necesitan temperaturas aún mucho mayores que el billón de grados. Esto permite situar el punto en que el número de nucleones queda establecido y que podemos estimar ahora, constituyendo menos del 1% del total de partículas. En las descripciones termodinámicas del Universo son particularmente importantes los acoplamientos de nucleones (por al bariogénesis y la nucleosíntesis primordial), de neutrinos (por su posible papel en el balance de la materia oscura, y por el dominio final de la materia sobre la antimateria), y de electrones (por la radiación de fondo). Reacciones típicas en las que interviene el neutrino electrónico son p + e- ↔ n + νe n + e+ ↔ p + Ø e n ↔ p + e- + Øe

e + + e - ↔ νe + Ø e -

La fotocomposición de pares electrón-positrón (γ ↔ e + e ) necesita de 0,6 Mev, las de protones más de 3 Mev (3·1010 K), y para nucleones en general más de 1011 K. También hay neutrinos muónicos y tauónicos, particulares de reacciones con esos tipos de partículas. Intervienen en muchas reacciones de creación y aniquilación de partícula. Los desacoplamientos también pueden interpretarse como fenómenos de opacidad para las partículas. Se dice que un medio es transparente si las partículas no interaccionan con otras durante un largo recorrido, y opaco en caso contrario. En el caso de los neutrinos: • Para e+ + e- ↔ νe + Øe tiene sección eficaz σ = GF2T2, con GF la constante de Fermi. • la tasa de interacción es Γ = nσ ≃ GF2T5, con n la densidad de partículas.

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En consecuencia Γ/χ ≃ T3, y a estados más calientes, mayor opacidad neutrínica.

Eras anteriores

El retroceso a estados aún más tempranos del Universo debe hacerse de un modo más lento, porque en una fracción de segundo se produce una gran variación en las condiciones existentes. Si se consideran estados anteriores, los protones y neutrones habrían estado constituidos en sus partículas básicas, partículas como los quarks, cuya existencia hasta ahora no es todo lo firme que se quiere. Se entra definitivamente en la física de partículas. Las condiciones reinantes permitirían la existencia de un equilibrio con partículas aún más extrañas, partículas postuladas en las distintas teorías de unificación y supersimetría, que podrían existir aún y dar cuenta de la masa oscura. La extrapolación de la expansión hacia el pasado corresponde a estados cada vez más densos y calientes de Universo, hasta llegar a un instante inicial, singular, de gran explosión, con temperaturas y densidades en principio infinitas. Dado que ese instante de inicio es inabordable desde la Física, la historia del Universo empieza poco después, unos instantes de tiempo pequeñísimos después, del orden del tiempo de Planck (10-32 s). Según las líneas generales aceptadas, los primeros instantes caen dentro de las mencionadas teorías de unificación y modelos inflacionarios. Los inmediatamente siguientes se caracterizan por una situación en la que dominan las interacciones fuertes, una era hadrónica, con temperaturas superiores a los 1012 K y densidades mayores a los 1014 g/cm3. Esta etapa habría durado hasta los primeros 10-4 segundos. A medida que la densidad y la temperatura descienden por la expansión, aparecen los leptones, que van a dominar entre los 1012 y 109 K. En ese punto se debe producir un avance neto en la aniquilación de los pares positrón-electrón (más deprisa que su formación), pasando a dominar el fluido cosmológico los fotones: era radiativa. La era leptónica se acabaría a los 4 segundos, mientras que la era radiativa se extendería hasta los 1014 segundos (un millón de años). Durante la etapa radiativa, hasta los 200 segundos se habría producido la síntesis primordial de elementos.

Teorías de unificación

desintegración β +

• la tasa de expansión va como χ ≃ T2 / mpP , con mp la masa de Planck

Para muy altas energías las teorías cuánticas predicen situaciones de unión de entre las 4 fuerzas de la naturaleza. Todas las fuerzas o interacciones de la naturaleza se basan en cuatro tipos fundamentales: gravitatoria, electromagnética, nuclear débil y nuclear fuerte. Los físicos se han preguntado porqué existen cuatro tipos de fuerzas. La respuesta más probable es que se tratan de diferentes aspectos de una fuerza única, que reinaba al comienzo del Universo y que posteriormente se dividió en cuatro. Las teorías de unificación de fuerzas tienen su raíz en 1860, cuando Maxwell demostró que electricidad y magnetismo no son entidades distintas, sino aspectos de la misma fuerza. En 1967 Abdus Salam y Steven Weinberg determinaron que era posible unificar la fuerza nuclear débil con la electromagnética, bajo la apariencia de una nueva fuerza electrodébil, con sus particulares partículas mensajeras, los bosones W más el fotón ordinario. Esta unificación es posible a altas energías (a temperaturas superiores a los 1015 K). Alentados por este éxito, se ha intentado seguir adelante con la unificación de fuerzas. Se cree que a temperaturas

Cosmología - Historia del Universo elevadas, superiores a los 1028 K también desaparece la diferencia que caracteriza a las interacciones fuertes. Así la gran teoría unificada (GUT)) describe las interacciones electromagnéticas unidas a las nucleares débil y fuerte. Las condiciones teóricas en que ocurre no son reproducibles en laboratorio, pero eran las existentes en las fases iniciales del universo. Si la teoría es correcta, los quarks pueden transformarse en leptones y viceversa, y el protón sería una partícula inestable pero de larga vida (1032 años). Predicciones como esta son las que se intentan verificar para comprobar la validez de la teoría. El objetivo final es conseguir la teoría de la unificación total, con una superfuerza que incluya también a la gravedad, lo que debería producirse a temperaturas aún más elevadas. Este paso es difícil, pues la mejor teoría gravitatoria que poseemos, la relatividad, es incompatible en diversos aspectos con la mecánica cuántica. A pesar de ello se han propuesto teorías de supergravedad o cuerdas. Según estas teorías, existirían familias de superpartículas asociadas a las ya conocidas, con spin diferente. Interactuarían poco con la materia corriente y podrían constituir la materia oscura. En las teorías de supercuerdas, no existen partículas sino modos de vibración en un entramado multidimensional de 11 a 20 dimensiones, con distintas propiedades. Las ideas aportadas por las teorías de unificación son un ingrediente sustancial en las teorías de los modelos inflacionarios, que se apoyan en el concepto de cambio de fase y ruptura de simetrías cuánticas, con la liberación de energía que expandió de modo exponencial el Universo en los primeros momentos, en concreto para la aparición de la fuerza nuclear fuerte (ver en tema siguiente).

En las teorías cuánticas de unificación de fuerzas, el paso de un estado unificado a otro con fuerzas separadas, supone una rotura de simetría. Aspectos que eran intercambiables o se mostraban de modo simultáneo dejan de serlo. Se pasa de un estado más complejo, con diversas potencialidades, a otros de menor energía que se especializan en aspectos y propiedades distintas, y en apariencia sin parecidos, aunque internamente siga existiendo la simetría de la unificación.

Si las energías son suficientemente altas se consigue unir las diferentes fuerzas, y a la inversa, bajándolas se consigue desacoplarlas. Las teorías corrientes del Big-Bang asumen en los primeros instantes del Universo una gran unificación inicial, y con la expansión (y enfriamiento), sucesivos desacoplamientos de fuerzas y partículas. Así, en un principio habría partículas relativistas (como quarks, leptones, bosones gauge y de Higgs). Con energías superiores a los 0,3-0,9 Mev las fuerzas electromagnética y débil están desacopladas. Del mismo modo, con E > 100 Gev lo están la fuerte y la electrodébil, y con E > 1015 Gev lo están las 4. Para temperaturas superiores a los 1032 K (correspondiendo a t = 10-48 s) las teorías fallan definitivamente. Desde ahí se emplea un modelo de Universo inflacionario que enlaza con el estándar, y que

permite explicar otros problemas (referimos de nuevo al tema siguiente). La secuencia de procesos sustanciales en la historia de Universo puede resumirse en lo siguiente: • 10-43 s - Todas las fuerzas (gravedad, electromagnetismo, nuclear fuerte y nuclear débil) están unificadas. El radio es inferior a los 10-50 cm. • 10-35 s - La gravedad se separa de las otras fuerzas. Comienza la inflación. El Universo mide 10 cm. • 1 s - La interacción fuerte se separa de las otras fuerzas. Termina la inflación. El Universo constituido por quarks y leptones. • Hasta 500.000 años - Separación de la fuerza electrodébil. Formación de protones y neutrones. Nucleosíntesis primordial. Era de radiación. • 106 años - El Universo se vuelve transparente, origen del fondo de microondas. • 109 años - Formación de las protogalaxias. • 3·109 años - Época de los quasares. • 8.000 millones de años - galaxias formadas, Universo semejante al actual.

Nucleosíntesis primordial

Las etapas inmediatamente posteriores a la explosión, durante los tres primeros segundos, estuvieron marcadas por un descenso muy rápido de la temperatura, desde un billón de grados hasta unos 5.000 millones de grados. En esa fase los muones y antimuones se aniquilaron, y el balance protón-neutrón empezó a desplazarse a favor de los protones. Durante los siguientes tres minutos el Universo se enfrió a los 1.000 millones de grados, y los neutrones empezaron a unirse con protones para formar helio y otros núcleos ligeros. Al final de esa etapa la nucleosíntesis inicial quedó ya establecida. Bajando aún más la temperatura la materia empezó a tener su importancia frente a la radiación. Se requieren altas temperaturas para formar los elementos más pesados a partir del hidrógeno, y además un cierto tiempo para disponer de la cantidad necesaria de interacciones. La fase de alta temperatura fue un asunto de horas, y no hubo el tiempo necesario para producir cantidades apreciables de elementos pesados. Además, puesto que no hay núcleos estables con pesos atómicos 5 y 8, la producción de elementos más pesados que el helio no puede proceder directamente de la reacción de una partícula alfa con otra, ni de una alfa con neutrones o protones. Los huecos de peso 5 y 8 suponen un fuerte obstáculo en la síntesis de metales. Las condiciones de síntesis de elementos pesados se consigue de forma ordinaria en el interior estelar, donde se tienen las temperaturas y el tiempo necesarios, tiempo que fue muy corto (de horas, frente a miles, millones o miles de millones de años en un interior estelar) en los primeros estadios del Universo. Puede conseguirse si además de alta temperatura se dispone de una gran cantidad de núcleos de helio, de modo que un tercer núcleo pueda unirse a un inestable isótopo de berilio-8 antes de que se desintegre. Las condiciones del Universo no favorecían esto, de modo que las cantidades de carbono y por encima son casi ridículas comparadas con las de hidrógeno y helio. Sin embargo, posteriormente, la síntesis estelar posibilita el que se produzcan las sustancias más pesadas. Para más detalle ver en tema siguiente.

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Cosmología - Historia del Universo 3.2

se aplica. Para la degeneración se toma la de partículas libres en equilibrio térmico salvo un factor distintivo

Era de radiación

⎛ kT ⎞ g ( E ) = gi ⎜ ⎟ ⎝ hc ⎠

Equilibrio termodinámico

Un punto clave del pasado es aquel que corresponde al desacoplo del campo de radiación, origen del campo de fondo que ahora observamos. La situación debía ser de una temperatura cercana a los 3.000 K; entonces la densidad de radiación ioniza todo tipo de átomos, y protones, neutrones y electrones desprendidos vagan libremente por el espacio formando con los fotones una sopa de materia-radiación caliente. Debido a que los electrones son eficaces difusores de la radiación, la mezcla es opaca. La situación es de homogeneidad, de equilibrio termodinámico, con la radiación dominando claramente sobre la materia (5 a 1 en densidad) y determinando el transcurso del Universo hasta ese momento. Tras la recombinación el Universo será transparente y dominará la materia. Recordamos las relaciones más importantes dadas por las ecuaciones de Einstein para un Universo de Friedmann de radiación densidad

R (t ) 4 q=Ω

deceleración

• ge- = 4 para electrones; por la doble identidad e+-e- y por el spin. • gn = 8 para los bariones; identidades n, p, más antipartículas, y el spin. • gν = 4 para los neutrinos; electrónico y muónico, + antipartículas; podría considerarse un tercer tipo, el tauónico, con su antipartícula. El spin es único, helicoidal. La densidad de una familia de partículas, con todo tipo de energías, por supuesto que en equilibrio termodinámico, es 3

⎛ kT ⎞ 1 ni = gi ⎜ ⎟ ⎝ hc ⎠ 2π 2

>> (2Ω − 1)

a 2 ≈ 2 H 0t

→

3

⎛ kT ⎞ 1 ni = gi ⎜ ⎟ ⎝ hc ⎠ 2π 2

∞

E

4,5 ⋅ 105

2

2

0

±1

3

dx

∫ ex

2

0

±1

=

gi ⎛ kT ⎞ ⎜ ⎟ I ± (2) 2π 2 ⎝ hc ⎠

3

∞

0

3

x dx

∫ c2 e x

2

±1

=

gi ⎛ kT ⎞ kT I ± (3) ⎜ ⎟ 2π 2 ⎝ hc ⎠ c 2

con I±(3) para la nueva integral. Estas integrales cumplen la propiedad

2

I + (α ) ⎛ 1 ⎞ = ⎜1 − ⎟ I − (α ) ⎝ 2α ⎠

Distribuciones en equilibrio estadístico

I − (α ) = α !ξ (α + 1)

y por tanto se verifica que

Necesitamos expresiones que permitan describir el comportamiento de las partículas que componen el fluido cósmico. La estadística para gases de partículas da una distribución de la densidad en equilibrio estadístico que viene descrita por las expresiones g (E) n f (E) = fermiones exp x 2 + z 2 + 1 g (E) nb ( E ) = bosones exp x 2 + z 2 − 1

(

(

ρi ni

)

)

• g(E) es el número de grados de libertad por partícula (degeneración energética) • x = pc/KT es el término cinético • z = mc2/KT es el término másico • E = KT(x2+z2) + µ la energía total (relativista según la inclusión de los dos términos anteriores). El potencial químico µ es un término que en las condiciones de fluido cósmico energético (plasma o medio aún más caliente) no

=

kT I ± (3) c 2 I ± (2)

Veamos algunas relaciones significativas. Para los fotones la temperatura crece de modo inverso al factor de escala, pues nγ = 20 T 3

ργ = 7,8 ⋅ 10−36 T 4 y como

Fermiones son los nucleones y electrones, mientras que ejemplo de bosones son los fotones. Los distintos términos representados son:

Página 22

∞

g ⎛ kT ⎞ kT

∫ c 2i dni = 2πi2 ⎜⎝ hc ⎟⎠ 0

t

dx

∫ ex + z

donde I±(2) simboliza esa integral. La densidad másica de partículas es

ρi =

y como ρ/ρ0 = a-4 también es

ρ≈

∞

Considerando una época en la cual las partículas tienen energías relativistas se aproxima por

Para las épocas que nos interesan (las antiguas), con a < 1, podemos tomar a2

• gγ = 2 para fotones; dos casos por el spin.

⎡Ω ⎤ a& 2 ≈ H 02 ⎢ 20 − (2Ω0 − 1)⎥ ⎣a ⎦

expansión

Ω0

y según el tipo de partículas es

1

ρ∝

3

ρ∝

1 R4

→

T∝

1 R

y esto permite establecer que para la radiación la temperatura y la expansión son inversamente proporcionales. Entre las distintas partículas, si están en equilibrio térmico (acopladas) se cumple nν g = ν nγ gγ ne g = e nγ gγ

I + ( 2) 3 = I − ( 2) 2

g I (3) 7 ρν = ν + = ργ gγ I − (3) 4

I + ( 2) 3 = I − ( 2) 2

ρe g e I + (3) 7 = = ργ gγ I − (3) 4

Cosmología - Historia del Universo Si no hubiera equilibrio térmico sería

suma de los fotones y electrones de antes del desacoplo). A partir de ese momento se tendrá

nν g T 3 I (2) 3 Tν3 = ν ν3 + = nγ gγ Tγ I − ( 2) 2 Tγ3

Sγe Sν

ρ e ge Te4 I + (3) 7 Te4 = = ργ gγ Tγ4 I − (3) 4 Tγ4 El equilibrio térmico entre las distintas partículas consideradas (electrones, fotones y neutrinos) se corresponde con una temperatura superior a los 3 Mev (unos 3·1010 K), que es la energía umbral de los neutrinos (a la que se crean y destruyen en reacciones de equilibrio). Entonces los fotones, electrones y neutrinos están acoplados, intercambiando con facilidad sus identidades en reacciones de partículas, es decir, coexisten en equilibrio y están en contacto térmico (o energético). Por debajo de esa temperatura no hay equilibrio con los neutrinos, las reacciones de creación y aniquilación en las que se ven involucradas se desplazan a un lado, y los neutrinos se desligan de todo intercambio con fotones y electrones, aislándose térmicamente para la posterior evolución del Universo. En la era de radiación moderna (desde la era leptónica excluyendo los primeros momentos) podemos distinguir dos situaciones: una más primitiva con acoplamiento de fotones, electrones y neutrinos, y otra más moderna con neutrinos desacoplados, con temperaturas entre 3·1010 K y 3.000 K. En el primer caso la densidad total de partículas se calcula con

ρtot = ργ + ρ e + ρν =

9 ργ ≈ 35 ⋅ 10−36 T 4 2

=

11 4 ⎛ Tγ = ⎜ 7 7 ⎜⎝ Tν

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3

→

Tγ Tν

≈ 1,4

Esta argumentación nos lleva a una predicción que pudiera ser comprobada experimentalmente. Debiera ser constatable una radiación cósmica neutrónica, al modo de la radiación cósmica de fondo de los fotones en microondas, que correspondiera a la temperatura-energía de desacoplo de los neutrinos, y desplazada al rojo por el efecto de la expansión. Tal distribución sería también como la de un cuerpo negro. Su máximo debiera coincidir con 1,4 veces la temperatura del desacoplo corregida de la expansión desde ese momento hasta nuestros días. Podría ser diferente por la presencia de otras especies de neutrinos (como los mesónicos), y la temperatura sería algo distinta al cambiar la degeneración (de 4 a 6). La densidad total de fotones y neutrinos sería 4 ⎡ ⎤ gν ⎛⎜ Tν ⎞⎟ I + (3) ⎥ ⎢ ρ = ργ + ρν = ργ 1 + = ⎢ gγ ⎜ Tγ ⎟ I − (3) ⎥ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ 4⎤ ⎡ 7 ⎛⎜ Tν ⎞⎟ ⎥ ⎢ = ργ 1 + = 1,45 ργ ⎢ 4 ⎜ Tγ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

Por tanto ρ = 12·10-36 T4 y recordemos que la temperatura se relaciona con la edad como T = 4.5·105 t-1/2.

Desacoplo de materia y radiación Acoplamiento de los neutrinos 10

Como se ha dicho, con temperaturas inferiores a los 10 K los neutrinos se desacoplan dejando de estar en contacto térmico con el resto (núcleos, electrones y fotones). Para el estudio de las condiciones en esta época se recurre a un razonamiento, basado en la homogeneidad. El estado del Universo era homogéneo y en equilibrio térmico, y termodinámicamente se habla de adiabaticidad. En un Universo primitivo lleno de un gas caliente de partículas elementales, en equilibrio térmico, que se expande con el espacio, la densidad de entropía de un volumen comóvil permanece constante. Como la entropía es U = TS - PV, en un Universo de radiación es S=

(U + P)V 4 ρc 2 = T 3 T 4

2 4 ργ c 3 Tγ

3

⎛R ⎞ ρ0 T 4 = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ −36 R ⎝ d ⎠ 1,2 ⋅ 10 siendo ρ0 la densidad (material) actual. Si se consideran temperaturas del campo de radiación (con RT = cte = R0T0), y tomamos la densidad crítica Tdr =

3

Obsérvese que como ρ∝T es S∝T . Antes del desacoplo de los neutrinos (T > 1010 K) se tiene que Tγ = Te = Tν = T. Las relaciones entrópicas van a depender de los factores de degeneración (por la densidad), pues la temperatura es la misma Sγ =

Hacemos el cálculo de las condiciones de este desacoplo. Como ya se dijo se pasa de un Universo de radiación a otro en el que domina la materia. La densidad del campo de radiación va como ρr = 1,2·10-36 T4, mientras que la materia va como ρm ∝ R3. En el momento del desacoplo las densidades son semejantes ρmat = ρrad lo que nos lleva a

Sν = Se =

4 ρec 2 7 = Sγ 3 T 4

Para una época posterior al desacoplamiento de los neutrinos las temperaturas de estos y del campo de radiación (que es también el de la materia) son distintos Tγ ≠ T, pero las relaciones entrópicas permanecen. Además hay que tener en cuenta que con la desaparición del equilibrio de los neutrinos, la desintegración de los pares electrón-positrón produciendo neutrinos es una reacción que queda desplazada a la derecha por el enfriamiento, dejando una proporción de electrones despreciable. Esto conlleva que la práctica totalidad de su entropía pase a la de los fotones, y sólo deban considerarse neutrinos de un lado, y fotones de otro (con entropía

ρ0

1,2 ⋅ 10−36 T03r

≈ 3000 K

que se corresponde con una edad del Universo para el momento del desacoplo de ± 6·105 años (con ρ ≃ 4.5·105 t-2). Estudiando desde el punto de vista de los recorridos libres medios y opacidades se tiene para los fotones dispersados por los electrones (al ser más) un tiempo intercolisional

τ=

1 ≈ 3000 años neσ t c

habiendo tomado σT = 0,66·10-24 cm2 y ne = ργ/σT . Como el tamaño del Universo conectado para ese momento es de 6·105 años-luz, implica un recorrido libre medio mucho menor que el mismo, y por ello, la situación es de opacidad. Tras la recombinación

τ2 =

4

⎛ 3kT ⎞ ⎜ ⎟ ≈ 104τ1 neσ t c ⎝ 5 ⎠ 1

Página 23

Cosmología - Historia del Universo por la recombinación del hidrógeno ionizado. En este caso el rlm es mayor que el diámetro de Hubble (que es un valor máximo) y el Universo pasa a ser transparente. Puede calcularse el redshift correspondiente al momento del desacoplo, que se co-

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rresponde con un valor máximo de z, pues para valores mayores se refiere a épocas inobservables (opacas) z=

R0 T − 1 = r − 1 ≈ 1000 R Tr 0

Cosmología - Validación de modelos

4. Validación de modelos

La tarea a la que se enfrenta la Cosmología es doble: de un lado identificar el modelo de Universo en el que nos encontramos, y de otro dar cuenta de su historia, origen y propiedades de un modo coherente. Para lo primero deben estudiarse procedimientos que permitan estimar valores de los parámetros cosmológicos. La teoría del Big Bang es aceptada como estándar en Cosmología. La comunidad científica la emplea porque da cuenta de hechos observacionales (radiación de fondo, desplazamientos al rojo y nucleosíntesis primordial) y mientras no se demuestre su invalidez o aparezca otra teoría mejor. Los datos observacionales de que disponemos en nuestros días son parciales y tienen grandes defectos de selección, sin contar con las limitaciones de tipo instrumental.

aunque en la práctica k sólo puede tener los valores {-1,0,1}, por lo que ha de ser k =1

→

⎛ te ⎞ dt ⎟ ⎜ r1 = sin ⎜ c ∫ ⎟ ⎜ t R1 (t ) ⎟ ⎝ 0 ⎠

k =0

→

r = c∫

te

t0

k = −1

cdt R0 (t )

⎛ t0 ⎞ dt ⎟ ⎜ r−1 = sinh ⎜ c ∫ ⎟ ⎜ t R−1 (t ) ⎟ ⎝ e ⎠

→

Las expresiones para R(t) se obtienen de la resolución parten de las ecuaciones de Einstein. Para un Universo de Friedmann material (Λ = 0, Ω = 2q) se toma Ω H 2 R3 2q H 2 R 3 R& 2 = 0 0 0 − kc 2 = 0 0 0 − H 02 R02 (2q0 − 1) R R La solución para el caso euclídeo (k = 0) es

4.1

⎛ 3 H 0t ⎞ ⎟ R (t ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ t0 ⎠

Relaciones geométricas

La expansión cósmica es una expansión del propio espacio. No se trata de una recesión sistemática de las galaxias en un espacio estático, sino en una dilatación del propio espacio que arrastra a lo que se sustenta sobre él. La luz se comporta en el espacio en expansión de forma distinta a cómo lo hace en otro estático. Se da la coincidencia de que la gran mayoría de las observaciones cósmicas se basan en la luz y en otras formas de radiación electromagnética. Este distinto comportamiento afecta a la linealidad de las relaciones de medida con la distancia. Por ejemplo, si en el caso normal, de espacio estático y euclídeo, de que un objeto disminuye su tamaño visual de una forma regular con la distancia (como la inversa del cuadrado), en un espacio en expansión no, y puede ocurrir que a mayor distancia la imagen sea mayor.

2

a (t ) =

R(t ) ⎛ t ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ R0 ⎝ t0 ⎠

z=

0

dr 1 − kr

2

=

c dt

∫ R (t )

te ⎛ ⎞ dt ⎟ ⎜ sin ⎜ c k ∫ R(t ) ⎟⎟ ⎜ k t0 ⎝ ⎠

1

k >0

→

r=

k =0

→

r = c∫

te

t0

k