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Association de Liaisons Liaisons 1-

Hypothèses : Toutes les liaisons seront supposées parfaites ( sans frottement ). Les notations usuelles des torseurs seront utilisées,c'est-à-dire:

 X  L    { } =  Y   M     Z  N 

 p u    { } =  q v     r  w 

 

2 - Position du Problême: On a vu que le graphe de structure d'un mécanisme est un graphe minimal minimal:: il traduit le schéma de principe cinématique. sommets adjacents du graphe sont reliés par un seul arc.(fig.1) Or, les problêmes de guidage, de transmission transmission d'efforts et de fabrication imposent des compromis et conduisent à des solutions plus ou moins complexes par introduction de liaisons supplémentaires.  Ainsi,, verra Ainsi verra-t'on t'on apparaître apparaître des liaisons en parallèle (fig.2) et des liaisons en série.(fig.3) série.(fig.3)

L'étude qui va suivre a pour but de vous faire réfléchir pour concevoir des solutions correctes en fonction des problêmes qui se poseront.

3 - Liaisons en parallèle: parallèle: L'étude d'un exemple va permettre de déduire quelques règles.

L1 : liaison linéaire annulaire L2 : liaison pivot

3.1. Etude Statique:

( S → S )  =  (0 ) ) + ( E XT → S )  = (0)  

Isolons S2.On S2.On peut alors écrire que soit

(L

1

→ S 2 ) + ( L2 → S2 O

2

2

2

O

O

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Association de Liaisons Liaisons On remarque immédiatement que le torseur statique de la liaison équivalente résulte de l'addition des torseurs statiques de chaque liaison. Par extension,on déduira la règle suivante: Le torseur statique de la liaison équivalente équivalente à n liaisons en // est égal à la somme des torseurs statiques de chaque liaison ( définis au même point.

Détaillons Détaill ons chaque torseur:

 0 0 ( L1 → S 2 ) =  Y 1   0    Z 1 0 O

 X  2 0  ( L 2 → S 2 ) =  Y  2    M 2       Z  2 N  2  O

Le torseur statique de la liaison équivalente sera tel que:

 X = X 2 Y = Y 1 + Y 2  Z = Z 1 + Z 2 L=0  M = M 2 N = N 2

 

ce qui donne:

 X  0    Y     M      Z  N  O r

on reconnaît le torseur statique d'une liaison pivot pivot d'axe  d'axe ( O, i )   Cette liaison est-elle e st-elle hyperstatique? hyperstatique? Le nombre d'inconnues statiques est

I  S   = 2 + 5 = 7 .

Le nombre d'équations d'équations indépendantes indépendantes qui permettent permettent le calcul est 5, autrement dit le rang du système d'équations est

r   S   = 5 .

On déduit le degré d'hyperstatisme de la liaison : h = 2. D'où la deuxième règle: le degré d'hyperstatisme d'hyperstatisme de la liaison équivalente à n liaisons en // est égal à la différence entre le nombre total d'inconnues statiques introduites par les liaisons et le nombre de relations indépendantes en entre tre elles :

3.2. Etude Cinématique: Ecrivons les torseurs cinématiques de chaque liaison:

1

 p1 u1    =  q1   0     r 1 0  O

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2

2

 p2 0   =  0   0    0 0 O

h = I  S  − r S  

 

Association de Liaisons Liaisons D'un point de vue fonctionnel, le torseur cinématique de la liaison équivalente doit  être compatible avec celui doit être de chaque liaison,ce qui impose:

 p = p1  AND p2 q = q1  AND 0 = 0  A N D 0 = 0 r = r 1 AN  A N D 0 = 0 u = u1 AN  A N D 0 = 0 v = 0 AN  A N D 0 = 0 w = 0 AN On en déduit:

 p 0    =  0 0    0 0  O ce qui représente le torseur cinématique d'une liaison pivot. On a vu que la condition de compatibilité impose un nombre de relations de nullité indépendantes égal à 5 (qui est aussi r  ) ce qui donne 6-5=1 degré de mobilité. D'où la troisième règle: le degr é de mobilité de la liaison équivalente à n li liaisons aisons en // est égal à 6 moi moins ns le nombre de relations de nullité indépendantes indépendantes imposées.

m = 6 − r  S  

Remarques:: 3.3. Remarques On a pu observer dans le système précédent, la présence de 2 relations 0 AND 0. 0. Celles-ci traduisent la présence de 2 inconnues hyperstatiques. Celles-ci En effet, 0 AND 0 a 0 a pour résultat 0 mais on obtiendrait le même résultat avec xx AND 0; 0; ce qui signifie que l'on a supprimé 2 degrés de liberté en trop (car 2 relations). r

v = 0 et w = 0 traduisent les translations supprimées suivant

r

 j  et k  et l'on vérifie bien dans le torseur

statique l'indétermination introduite par les relations:

= + 1 2   Y  Z = YZ 1 +Y Z 2 3.4. Recherche de l'isostatisme: l'isostatisme: Le problême consiste à trouver les liaisons

1

et

2

pour que la la liaison pivot soit soit isostat isostatique. ique.

Dans le cas de cet exemple, on doit toujours avoir m L'isostatisme impose h 5.

 =

I

− r S   = 0

= 6 − r   = 1 

ce qui conduit à avoir un nombre total d'inconnues statiques statiqu es égal à

 A titre d'exercice, trouvez toutes les solutions possibles pour ce problème.

Pour celà, écrivez chaque chaque torseur en son centre de liaison respectif. respectif. Soit d la distance entre les centres de liaison. © Jean-Paul Molina

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Voici quelques solutions et exemples: Liaison   Rotule Rotule  +  Liaison Liaison   linéaire   annulaire annulaire   Liaison

Ce type de solution est le plus souvent rencontré dans les montages de roulements rigides à billes: il correspond au cas où le maintien axial s'effectue sur un seul roulement. En effet, dans la limite du déversement admissibl admissible, e, un roulement rigide à billes possède un comportement de liaison rotule s'il est maintenu axialement, axialement , et de liaison linéaire annulaire annulaire dans le cas contraire. Bien évidemment, les roulements à rotule conviennent eux-aussi! L'exemple proposé ci-aprés illustre aussi ce type de solution: il s'agit d'un pivot de pivot  de pont pont   tournant. tournant . La liaison linéaire annulaire est assurée par le roulement à rotule à 2 rangées de rouleaux 1 et la liaison rotule est assurée par la butée simple effet à rouleaux 2 . remarquera les centres de rotulage ne sont pas confondus ce qui assure la liaison pivot équivalente (On sinon la liaisonque deviendrait sphérique!)

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Liaison   Pivot Pivot  Glissant Glissant   +  Liaison Liaison   Ponctuelle  Ponctuelle  Liaison

Ce type de solution permet un réglage longitudinal de l'arbre et un faible encombrement axial Poulie   Redex  Redex   exemple: Poulie

Liaison  Plane Liaison  Plane +  + Liaison  Liaison linéaire  annulaire annulaire  

Ce type de solution est fréquemment rencontré lors de la réalisation de liaisons complètes: le degré de liberté en rotation de la liaison pivot étant supprimé par la fixation (généralement par vis). Par exemple, un flasque flasque en  en appui plan sur un carter est centré dans celui-c celui-cii (centrage court). Ce centrage est assimilé à une liaison linéaire annulaire du fait de sa faible pénétration. Des vis de fixation assureront l'assemblage.

3.5. Généralisation: Dans le cadre de l'exemple de la liaison pivot que l'on a utilisé ici, des soluti solutions ons ont été proposées avec 2 liaisons en parallèle.

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Association de Liaisons Liaisons Il est bien évident que l'on peut utiliser 3, 4,ou 5 liaisons en parallèle. Voici une liaison pivot isostatique obtenue gràce à 2 liaisons linéaires annulaires annulaires et une liaison ponctuelle.

On pourrait aussi utiliser 5 liaisons ponctuelles. Naturellement, certaines conditions géométriques doivent être remplies (déterminables par calcul). Naturellement, En outre, la multiplication des liaisons complique la fabrication du fait de la nécessité d'introduire d'introduire des tolérances géométriques permettant d'assurer l'isostatisme. En effectuant le même genre de démarche, il sera alors possible de réaliser d'autres types de liaison (pivot glissant,plane,...) par introduction de liaisons en parallèle.

4 - Liaisons en série. Ici aussi, l'étude d'un exemple va permettre de déduire quelques règles. Soit alors un sous-ensemble d'un mécanisme de transformation de mouvement. On se propose de trouver la liaison équivalente entre l'arbre incliné et l'arbre de sortie (partie droite)

2

1

0 En analysant les surfaces de contact entre solides, on trouve: - une liaison pivot glissant - une liaison rotule

entre l'arbre incliné et la sphère.

entre la sphère et l'arbre de sortie.

4.1. Etude Cinématique: Ecrivons les torseurs cinématiques de chaque liaison.

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0 0    = 0   0     r 1 w 1   A

 p 2 0   =  q 2   0    r  2 0 A

r

Le repère choisi étant tel que ( A , k )  soit l'axe de l'arbre incliné. Nous avons une chaine cinématique ouverte,alors le torseur cinématique de la liaison équivalente est tel que .

=

En effet:

Ω 20 = Ω 21 + Ω 10 et V ( A ,2 / 0) = V ( A , 2 / 1) + V ( A ,1 / 0 )   r

r

r

r

r

r

Par extension,on déduira la règle suivante: le torseur cinématique de la liaison équivalente à n liaisons en série est égal é gal à la somme des torseurs cinématiques de chaque liaison ( définis au même point ) d'aprés la composition composi tion des mouvements.

Si l'on note le torseur cinématique de la liaison équivalente:

 p u    q   v       r  w   A On obtient:

 p = p2 q = q2 r = r1 + r 2 u= 0 v = 0 w = w 1

 

ce qui donne:

 p 0    q   0     r w   A ce qui caractérise une liaison linéaire annulaire . Le nombre d'inconnues cinématiques est

I c   = 2 + 3 = 5 .

Le nombre d'équations d'équations in indépendantes dépendantes qui permettent le calcul est 4,autrement dit le rang d du u système d'équations est

r c   = 4 .

On déduit le degré de surabondance de la liaison :

hc = I c − r c  = 5-4 = 1

interne   On dit alors que la liaison possède 1 degré de mobilité   interne D'où la deuxième règle:

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Le degré de surabondance de la liaison équivalente à n liaisons en série est égal à la différence entre le nombre total d'inconnues cinématiques introduites par les liaisons et le nombre de relations relations indépendantes entre elles :

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hc = I c − r c  

 

Association de Liaisons Liaisons Dans le cas de cet exemple,le nombre d'inconnues cinématiques indique un degré de mobilité cinématique égal à 5,mais l'équation

r = r1 + r 2  traduit la présence d'une mobilité interne (il s'agit de la rotation de la

r

sphère autour de ( A , k )  ) ce qui donne un degré de mobilité cinématique utile égal utile  égal à 4. D'où la règle suivante: Le degré de mobilité utile de la liaison équivalente à n liaisons en série est égal au nombre d'inconnues cinématiques indépendantes du torseur cinématique de celle-ci :

mu = r c   4.2. Etude Statique: Ecrivons les torseurs statiques des liaisons:

 X 1 L 1    =  Y 1  M 1     0 0  A

 X  2 0   =  Y  2   0    Z  2 0 A

compatible avec  avec D'un point de vue transmission d'efforts,le torseur statique de la liaison équivalente doit être compatible celui de chaque liaison,ce qui impose:

 X = X 1  and X  2 Y = Y 1  and Y  2  Z = 0  and Z  2 = 0 L = L 1  and  and 0 = 0  M = M 1  and  and 0 = 0

 

N  = 0 and  and 0 = 0 On en déduit:

 X  0   =  Y  0    0 0  A on retrouve le torseur statique d'une liaison linéaire annulaire . 4.3. Remarques: La dernière équation N =  =  O and 0 est 0 est vraie même si l'un des éléments est différent de 0, celà signifie qu'il existe un degré de surabondance (ou 1 mobilité interne) dans une liaison. r

N = 0  traduit l'absence de couple autour de ( A , k ) ,donc un degré de liberté en rotation possible autour de   r

( A , k ) .

5 - Conclusion: Dans le cas des liaisons associées en parallèle, parallèle, l'existence de relations cinématiques cinématiques du  du type 0 AND 0  0  traduit l'existence de degré(s) d'hyperstatisme. Dans le cas des liaisons associées en série, série, l'existence de relations statiques statiques du  du type 0 AND 0 traduit 0 traduit l'existence de degré(s) de mobilité interne. interne .

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