Asservissement

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Systèmes fondamentaux

SYSTEME DU SECOND ORDRE

1. Définition Les systèmes du second ordre, sont représentés par une équation différentielle linéaire du second ordre : 2 z ds(t ) 1 d 2 s( t ) s( t ) + . + 2. = K . e(t ) . Ce qui revient à écrire en prenant comme conditions initiales : s(0) = 0 ω n dt ω n dt 2 et s’(0) = 0, la fonction de transfert : K H ( p) = Où : p2 2z − z est le coefficient d’amortissement réduit (aussi noté ξ ) 1+ .p+

ωn

− ω n est la pulsation propre non amortie. − K est le gain du système. Plus généralement tout système physique du second ordre à une fonction de transfert de la forme :

H ( p) = K .

2. Réponse impulsionnelle. L’entrée est définie par e(t) = δ(t), soit dans le domaine de Laplace E(p) = 1. D’où il vient : S ( p) +

Soit : S ( p) =

2z

ωn

. S ( p). p +

1

ω n2

ω n2

1 + a. p + b. p ² p2 2z .p+ 2 1+ ωn ωn

. S ( p). p ² = K

Kω n2 p ² + 2 zω n p + ω n2

Le discriminant : ∆ = 4ω n ²( z ² − 1) . Cas 1 : z > 1, le système est amorti et le dénominateur possède deux racines réelles. p 1 ou 2 = ω n . ( − z ± z ² − 1) < 0

S(p) se décompose en éléments simples : S ( p) = Après identification il vient : A = − B =

Kω n2 A B = + ( p − p1 )( p − p 2 ) ( p − p1 ) ( p − p 2 )

Kω n 2 z² − 1

La réponse temporelle a donc pour expression : s(t ) =

Kω n 2 z² − 1

(e p1t − e p2 t )

Représentation graphique.

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Cas 2 : z = 1, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Laplace s’écrit : S ( p) =

Kω n2 . ( p + ω n )²

La réponse temporelle a donc pour expression : s(t ) = Kω n2 e −ω n t . t . Cas 3 : z < 1, le système présente des oscillations amorties. Le dénominateur possède deux racines complexes conjuguées.

(

p 1 ou 2 = ω n . − z ± j 1 − z ²

La réponse temporelle a donc pour expression : s(t ) =

Kω n 2 z² − 1

)

(e p t − e p t )

En développant les exponentielles complexes, on obtient : s(t ) =

1

2

Kω n z² − 1

(

e −ωnt sin ω n 1 − z ² . t

)

Représentation graphique.

3. Réponse indicielle L’entrée est définie par e(t) = u(t), soit E(p) = 1/p La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : S ( p) =

Kω n2

(

p p ² + 2 zω n p + ω n2

)

Cas où z > 1 : régime apériodique sans dépassement Les pôles de S(p) sont : p1 ou 2 = ω n .( − z ± z ² − 1) , p3 = 0. En décomposant en éléments simples : S ( p) = Avec A = K ; B =

Kω n2 A B C . = + + p( p − p1 )( p − p2 ) p ( p − p1 ) ( p − p2 )

Kω n2 Kω n Kω n2 Kω n = et C = = ( p1 − p2 ) p1 2 p1 z ² − 1 ( p2 − p1 ) p2 2 p2 z ² − 1

⎡ ω n ⎛ e p2t e p1t ⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ − La réponse temporelle a donc comme expression : s(t ) = K ⎢1 − p1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 z ² − 1 ⎝ p2 1 1 1 1 Si on pose : T1 = − et T2 = − = = p1 ω n .( − z − z ² − 1) p2 ω n .( − z + z ² − 1)

La réponse indicielle s’écrit alors : s( t ) =

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K T1 − T2

t t ⎡ − − . ⎢T1 .(1 − e T1 ) − T2 .(1 − e T2 ⎢⎣

⎤ )⎥ ⎥⎦

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Le comportement du système est donc non oscillant et amorti. La réponse est de type apériodique qui tend asymptotiquement vers sa valeur limite K sans la dépasser. Cette propriété de non dépassement est souvent recherchée dans de nombreux asservissements (en usinage, en dépose de produit, en soudage...). Noter la pente à nulle l’origine caractéristique d’un système d’ordre supérieur ou égale à 2. Représentation graphique.

1

s(t)

0.8 0.6 0.4

z croissants

0.2 t 00

5

10

15

20

Cas où z = 1 : régime apériodique critique La sortie dans le domaine de Laplace s’écrit : Kω n ² Kω n K K S ( p) = =− − + (ω n + p)² p (ω n + p)² (ω n + p) p

[

D’où l’on tire la réponse temporelle : s(t ) = K . (1 − (1 + ω n t ). e − ω n t )

]

C’est le régime apériodique qui est le plus rapide sans dépassement.

Cas où z < 1 : régime oscillatoire avec dépassement La sortie a pour expression dans le domaine de Laplace : S ( p) = En décomposant en éléments simples : S ( p) =

Kω n2

( p ² + 2 zω

np

)

+ ω n2 p

A Bp + C + . p p ² + 2 zω n p + ω n2

Kp + 2 Kzω n K − . p p ² + 2 zω n p + ω n2 En modifiant le dénominateur de la deuxième fraction, on obtient : Kp + 2 Kzω n Kp + 2 Kzω n K K S ( p) = − = − 2 p p ² + 2 zω n p + z ²ω n ² − z ²ω n ² + ω n2 p p + zω n + ω n 1 − z ²

En identifiant les constantes, il vient : S ( p) =

(

) (

Ce qui permet de faire apparaître les transformées de Laplace des cosinus et sinus amortis : ⎡ p + zω n ωn 1 − z² z 1 S ( p) = K ⎢ − 2 2 − ⎢p 1 − z ² p + zω 2 + ω 1 − z ² p + zω n + ω n 1 − z ² n n ⎣

(

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) (

)

(

) (

)

)2

⎤ ⎥ 2⎥ ⎦

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⎤ ⎡ z e − zω nt sin ω n 1 − z ². t ⎥ . La réponse temporelle devient donc : s(t ) = K ⎢1 − e − zω n t cos ω n 1 − z ². t − 1 − z² ⎦ ⎣ Si on pose cos ϕ = z et sin ϕ = 1 − z ² et la réponse indicielle devient dont :

(

)

(

)

⎡ ⎤ 1 s(t ) = K ⎢1 − e − zω nt sin ω n 1 − z ². t + ϕ ⎥ 1 − z² ⎣ ⎦

(

)

Représentation graphique.

Pseudo période. La réponse a pour allure une sinusoïde amortie de pseudo pulsation réelle : ω a = ω n . 1 − z ² et de pseudo 2π période : Ta = . ωn . 1 − z² Courbe enveloppe L’enveloppe est constituée de deux exponentielles décroissantes d’équations : y (t ) = K .(1 ±

1 1 − z²

. e − zω n t ) .

Dépassements relatifs. Un des critères d’amortissement est le dépassement D1, égal à l’amplitude de la première oscillation. Les dépassements relatifs sont donnés pour les instants tk tels que s&( t k ) = 0 . Donc t k = k

π ω n 1 − z²

avec k entier.

Le dépassement relatif d’ordre k est défini par : − zkπ

s( ∞ ) − s( t k ) e − zω nt k = sin ω n 1 − z ². t k + ϕ = e 1− z ² Drk = s( ∞ ) 1 − z² Le dépassement ne dépend donc que de z, ce qui permet d’identifier z à partir d’un tracé expérimental, par la

(

formule : z =

(ln Dr1 ) 2 2 π 2 + (ln Dr1 )

où Dr1 =

)

D1 . s( ∞)

Temps de réponse Le temps de réponse à 5% minimum est obtenu pour un dépassement relatif de 5%. Ce qui correspond à un coefficient d’amortissement z = 0,69. C’est le compromis rapidité-amortissement le plus souvent utilisé.

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Réponse indicielle d’un système du 2ème ordre

Temps réduit : t.ωn

Dépassements relatifs

Coefficient d’amortissement z

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Lieux de transfert K . La fonction de transfert isochrone devient : H ( jω ) = ω² ω 1− + 2 jz ωn ² ωn K Le module vaut : A(ω ) = H ( jω ) = . 2 2 ⎛ ⎛ ω² ⎞ ω ⎞ ⎟ ⎟ + ⎜ 2z ⎜1 − ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ²⎠ ⎛ 2 zωω n ⎞ Et l’argument : Φ(ω ) = arg( H ( jω ) ) = − Arc tan⎜ ⎟. ⎝ ωn ² − ω ²⎠

a.

Diagrammes de Bode

On voit sur les diagrammes cicontre que l'évolution du module est fonction de la valeur de z : on retrouve pour tous les tracés un asymptote horizontale lorsque ω→ 0 (20 log K) et un asymptote de -40dB par décade lorsque ω→∞ ; droite d’équation : ⎛ ω ⎞ AdB = 20.log K − 40.log⎜ ⎟ ⎝ ωn ⎠

Résonance – coefficient de surtension. Le diagramme d’amplitude de Bode, présente un maximum si sa dérivée s’annule. Ce qui est le cas lorsque 1 . Dans ce cas la pulsation correspondante est appelée pulsation de résonance : z≤ 2

ω = ω R = ωn . 1 − 2z 2 Et on définit le coefficient de surtension : Q =

A(ω R ) 1 = . A(0) 2z 1 − z 2

2 . On définit en général la valeur 2 en dB de la surtension, Q. Une valeur usuelle de réglage d’un asservissement est QdB = 20.log Q = 2,3dB .

La surtension n’existe que si le coefficient d’amortissement est inférieur à

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Diagramme de phase Le diagramme asymptotique est composé de 2 droites horizontales: Φ(ω → 0) = 0° Φ(ω → ∞) = −180° Le changement de phase a lieu pour la pulsation de cassure. Le diagramme asymptotique est assez proche de la courbe réelle. Remarque : plus z est grand plus la courbe est écartée des asymptotes.

Cas où z > 1. H(p) la fonction de transfert d'un système du second ordre avez z > 1. Dans ce cas il est préférable d’étudier le système comme le produit de deux systèmes du premier ordre. K K H ( jω ) = = 2z ω² (1 + jτ 1ω )(1 + jτ 2 ω ) 1+ jω − ωn ωn ² Diagramme d’amplitude Dans le cas d'un système apériodique, à partir des deux racines du dénominateur, on peut tracer une première asymptote issue de ω2 avec une pente de -20 dB/décade. Puis une deuxième asymptote est issue de ω1 avec une pente de -40dB/décade.

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Diagramme de phase

Le diagramme asymptotique relatif à la phase présente deux décrochements : le premier pour ω2 introduit un changement de phase de -90° ; le deuxième pour ω1 un nouveau décrochement de -90°. L'asymptote à l'infini est de -180°.

b. Représentation de Nyquist Pour ω = 0, le module Adb(0) = K, (le tracé ci-contre est pour K=1). pour ω → +∞ , le module est égal à zéro et l'argument tend vers -180°. Si z ≤ 2 2 la courbe passe au delà du cercle de rayon K, la pulsation de résonance est obtenue pour le module maximal. La pulsation de résonance se mesure à l’intersection avec l’axe imaginaire. La tangente pour ω → +∞ , est de -180°. La courbe ne passe pas au dessus de l’axe réel.

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c.

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Représentation de Black.

Le diagramme ci-contre représente différents tracés en fonction de z, de système de 2nd ordre. L'asymptote verticale est pour Φ = -180° .

Annexe : évolution de T5% en fonction de z.

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