Aspectos numéricos de la simulacion de sistemas
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Apuntes de simulacion de sistemas...
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Aspectos numéricos de la simulación de sistemas • Ob etivos – Entender el concepto concepto básico básico de la simulación simulación digital de sistemas sistemas continuos continuos – Conocer los conceptos de de algoritmo de integración, paso paso de integración integración e n erva o e comun cac n – Distinguir un algoritmo de integración explícito explícito de uno uno implícito – Distinguir un algoritmo algoritmo de integración integración de paso fijo de uno uno de paso variable variable – Reconocer un sistema “stiff” “stiff” y su problemática problemática en tiempo tiempo de simulación simulación – Saber como se se resuelve en tiempo de simulación una una ecuación algebraica – Reconocer un lazo algebraico algebraico y como tratarlo – Saber como se modelan los los eventos y como como se tratan en un programa programa de . – Realizar el diagrama diagrama de flujo (pseudocódigo) (pseudocódigo) de un algoritmo algoritmo que resuelva resuelva un modelo dinámico continuo. Simulación. Master en IPS 11/12
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TEMA 2. Aspectos numéricos de la simulación de sistemas • Contenidos: – 2.1 El concepto de simulación digital de sistemas continuos – 2.2 Métodos numéricos de resolución de ODEs: algoritmos de integración • • • • • •
Méto Método doss exp explí líci cito toss Méto Método doss imp implí líci cito toss Méto Método doss de pred predic icci ción ón-c -cor orre recc cció iónn Errores Mejo Mejora rass en la esti estima maci ción ón:e :ext xtra rapo pola laci ción ón Métod todos de paso variab iable
• Sist istema emas “stiff”
– 2.3 Métodos numéricos de resolución de DAEs – . – 2.5 Modelado de discontinuidades: eventos
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Método de Euler: errores • Supongamos un sistema cuyo modelo matemático es: • La solución exacta es: ye (t ) t 12 0.5e t
2
y (0) 0.5
COMPRUÉBELO
• La so uc ón numér ca usan o e méto o e Eu er es:
yn (t h) yn (t ) h· yn (t ) yn (t ) h· yn (t ) t 2 1
• Comparemos ambas soluciones si h=0.2
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Métodos explícitos: Adams-Bashforth 2º orden • Aproximación de orden 1: • Método de Adams-Bashforth 2º orden o regla trapezoidal • e aprox ma a unc n er va a a par r e una n erpo ac n nea en ase a su valor en los dos pasos de integración previos f ( y(t ), u (t )) f ( y (t h), u (t h)) , , h t h f(y(t),u(t)) y (t h) y (t ) f ( y ( ), u ( ))d t
h
2
,
,
t2h
t-h
t
t+h
• A diferencia del método de Euler, este es un método multipaso. En concreto es un método de dos pasos, ya que requiere valores de la función derivada de dos pasos de integración previos. 5 3 , • 12 Simulación. Master en IPS 11/12
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2.1 El concepto de simulación g a e s s emas con nuos • Obtenido Obtenidoss los modelos modelos matemátic matemáticos os que que sirven sirven para representa representarr los sistemas sistemas físicos debemos debemos simularlos resolver dicho dicho modelo matemático matemático usando usando un ordenador). • El prob problem lemaa de de simu simulac lación ión tambié tambiénn se se deno denomin minaa problema de valor inicial (IVP, Initial Value Problem).
– Es decir, conocido el valor de la salida del modelo en t=0 (condiciones iniciales) calcular los valores de la salida del modelo en determinados instantes, que en ocasiones están igualmente espaciados.
•
ecuaciones que forman el modelo se pueden catalogar en: – ODEs (ordinary differential equations) o EDOs (ecuaciones diferenciales ordinarias) dx x, y, • Ecuacio Ecuaciones nes explícit explícitas as y causal causales es dt • De la forma: y g ( x, t )
–
s
erent a a ge ra c equat ons
f (
• Ecuaci Ecuacione oness implíc implícita itass y no causa causales les • De la for forma:
dx
, x, y, t ) 0
dt g x, y, t
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• Eje Ejemplo plo de ODE ODEss y DA DAEs Es:: – El sistema mecánico de la figura, en el cual cual están presentes tres fuerzas en la recc n x e esp azam ento: a e mue e - x y a r cc n v scosa proporcional a la velocidad de desplazamiento del bloque -a dx/dt y una fuera externa F, se puede obtener un modelo matemático sencillo a partir de la
m
d 2 x (t ) 2
ODEs
DAE F t ) dx(t ) dt
x t ) a v t ) m .
F (t ) k x(t ) a
dv t dt
0.
dv(t ) dt dx(t ) t
1
v
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m
t 4
dx(t )
Métodos explícitos: polinomios de extrapolación • Una expresión general del polinomio de extrapolación que pasa por los puntos f(y(t),u(t)), f(y(t-h), u(t-h)), ..., f(y(t-nh), u(t-nh)) es: f(y(t),u(t)) f(y( ), u( )) f(y(t),u(t )) α f(y(t),u(t)) α(α1) 2 α(α1) (α n1) n f(y(t),u(t)) f(y(t),u(t)) 2! n!
f(y(t),u(t)) f(y(t),u(t)) f(y(t h),u(t h)) 2 , , , , f(y(t),u(t)) f(y(t h),u(t h)) f(y(t),u(t)) f(y(t h),u(t h)) (f(y(t h),u(t h)) f(y(t 2 h),u(t 2 h))) f(y(t),u(t)) 2 f(y(t h),u(t h)) f(y(t 2 h),u(t 2 h)) Siendo: α
t-2h
t-h
t
t+h
t
f(y(t),u(t))
(τ t)
y τ t , t h
t-2h
Se selecciona el orden de la ex rapo ac n y se sus uye en:
t-h
t
t+h
t h
y (t h) y (t ) f y ( ), u ( ) d t
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Métodos explícitos: polinomios de extrapolación • Resultado: Métodos MULTIPASO • Adams-Bashforth 4º orden (4 pasos) y (t h) y (t )
h 55 f ( y (t ), u (t )) 59 f ( y (t h), u (t h)) 24 37 f ( y (t 2h), u (t 2h)) 9 f ( y (t 3h), u (t 3h))
• Adams-Bashforth 5º orden (5 pasos)
1901 f ( y (t ), u (t )) 2774 f ( y (t h), u (t h)) 2616 f ( y (t 2h), u (t 2h)) 1274 f ( y (t 3h), u (t 3h)) y (t h) y (t ) 720 251 f ( y (t 4h), u (t 4h)) • Problema: inicialización del método • En Adams-Bashforth 4º orden hasta el cuarto paso no se puede utilizar el método -
• Solución: En el arranque se usan métodos de Runge-Kutta de un paso que tengan el mismo orden de error que el método multipaso elegido. Simulación. Master en IPS 11/12
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Métodos explícitos: métodos de Runge-Kutta • Otro procedimiento general para obtener algoritmos explícitos es hacer un desarrollo en serie de Taylor de la función y(t+h) en torno a y(t) y truncar la serie y (t h) y (t ) h· y(t )
h
2
2! dt h f ( y (t ), u (t )) dy (t ) f ( y (t ), u (t )) du (t ) y (t ) h· f ( y (t ), u (t )) 2! y u dt dt
y (t ) h· f ( y (t ), u (t ))
2!
y(t ) y (t ) h· f ( y (t ), u (t ))
2
h df ( y (t ), u (t ))
2
f y · f ( y (t ), u (t )) f u 2!
dt
• método de Euler t h
t
h·
t u t
• En general el problema es que deben estimarse unas derivadas parciales: f y y f u Simulación. Master en IPS 11/12
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Métodos explícitos: métodos de Runge-Kutta • Los métodos de Runge-Kutta tratan de sustituir dichas derivadas por evaluaciones de la función en puntos intermedios a t y t+h, con la condición de obtener la misma precisión. • Ejemplo: Runge-Kutta 2º orden • Se trata de encontrar los coeficientes de la ecuación w 1, w2 y de la ecuac n: y · w1· y , u · ,u · y w2 · y
y (t h) y (t ) h·w1 · f y (t ), u (t ) w2 · f y ( ), u ( )
t ·h • el término de segundo orden 2 f ( y (t ), u (t )) du (t ) h f ( y (t ), u (t )) y (t h) y (t ) h· f ( y (t ), u (t )) f ( y (t ), u (t )) y
y (t h) y (t ) h· f ( y (t ), u (t ))
h
2
f · f ( y (t ), u (t )) f u y
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u
du (t )
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Métodos explícitos: métodos de Runge-Kutta · ·· , dt 1 t ·h t ·h d y y , u y y , u
•
• Derivando y() respecto a : d d
d d
· ·
y t
f ( y( ), u ( ))
d dt
y t , u t
dt d d dt
y t
· ·
y t , u t
( y (t ) ·h· f ( y (t ), u (t ))) y(t ) h
d dt
d dt
· ·
y t
y t , u t
( f ( y (t ), u (t )))
f ( y, u ) f ( y, u ) du (t ) f ( y (t ), u (t )) f ( y( ), u ( )) f ( y (t ), u (t )) ·h dt u y
• Sustituyendo en: t h
t
h
w
y (t h) y (t ) h·(w1 · f ( y (t ), u (t )) w2 · f ( y ( ), u ( )))
w
t , u t
w
h2
f ( y(t ), u(t )) y
y (t h) y (t ) h( w1 w2 ) f ( y (t ), u (t )) w2 h
t , u t
f ( y (t ), u (t )) du (t ) u
2
f y · f ( y(t ), u(t )) f u
t
du (t )
dt
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Métodos explícitos: métodos de Runge-Kutta • Comparando con el desarrollo en serie hasta el 2º orden:
·
,
2
· 2! y
h
y (t h) y (t ) h( w1 w2 ) f ( y (t ), u (t )) w2 h
du (t )
,
u
2
dt
f y · f ( y(t ), u (t )) f u
du (t ) dt
1 Sistema compatible indeterminado: 2 12 • La solución correspondiente a w 1=0, w2=1 y =0.5 es conocida como • Igualando coeficientes:
w1 w2
Runge-Kutta de 2º orden o Método del Punto Medio:
y (t h) y(t ) h f y (t ) 0.5 h f y (t ), u (t ) , u (t 0.5·h) 1
Y 2
Y 1 0.5 h f Y 1 , u (t ) 1 2, Simulación. Master en IPS 11/12
. · 28
Métodos explícitos: métodos de Runge-Kutta w2 1 w2 1 w1
Sistema compatible indeterminado: Infinitas soluciones
• La solución correspondiente a w 1=0.5, w2=0.5 y =1. es conocido como Método de Heun: y (t h) y(t ) y (t )
h
2
h
f y (t ), u (t ) f y (t h), u (t h)
2
f y (t ), u (t ) f y (t ) h· f y (t ), u (t ) , u (t h) Y 1 y(t ) 2
1
1
y (t h) Y 1
h
,
f Y 1 , u (t ) f Y 2 , u (t h)
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PUNTO MEDIO
Y 1 y(t )
1 . 1, y(t h) Y 1 h f Y 2 , u(t 0.5·h) 2
HEUN
Y 1 y(t ) Y Y h
Y u t
y(t h) Y 1
h
f Y 1, u(t ) f Y 2 , u(t h)
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– La ecuación básica de un modelo matemático dinámico en formato de ODE es de la forma:
,
– De modo que si se quiere conocer el valor de y(t+ t) debe recurrir a la t t
y (t t ) y (t )
f ( y( ), u( ))d t
– Se supone que u(t) es conocida, pero y(t) no es conocida en (t, t+ t), por tanto f(y(t),u(t)) tampoco es conocida en ese intervalo. • Para resolver la ecuación anterior se necesita hacer al una hi ótesis sobre su valor o encontrar algún procedimiento de estimación. A cada una de estas aproximaciones corresponderá una fórmula o algoritmo de integración. y
t-2h
t-h
t
,u
t+h
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t 13
. • • • • • • •
Métodos ex lícitos Métodos implícitos Métodos de redicción-corrección Errores Métodos de paso variable – Estabilidad – Sistemas “stiff”
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Ejemplo aplicación RK 4
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INICIO Leer R,L,C, Vc0, i20
La tensión u(t) es una función del tiempo conocida, u=f(t)
Leer h, tmax =
= .
=
Vc(i)= Vc0; i2(i)= i20
t(i)>tmax
NO
¿?
SI FIN
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Ejemplo: sistema mecánico y(t h) y(t ) h f ( y(t ), u (t ))
dx (t ) t dv (t ) dt
• Entrada al modelo u(t)=F(t) • Variables de estado v(t )
1
1 m ( F (t ) k x(t ) a v(t ))
• y2(t)=v(t) • Funciones derivadas: f 1 ( x (t ), v(t ), F (t )) v(t ) f 2 ( x (t ), v(t ), F (t ))
1 ( F (t ) k x(t ) a v(t )) m
• Ecuaciones recursivas para simular x(t h) x(t ) h· f 1 ( x(t ), v(t ), F (t )) x(t h) x(t ) h·v(t ) v(t h) v(t ) h· f 2 ( x(t ), v(t ), F (t )) v(t h) v(t )
m
( F (t ) k x(t ) a v(t ))
• Deben suministrase las condiciones iniciales: x(0) y v(0) Simulación. Master en IPS 11/12
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INICIO Leer m, k, a, v0, x0
La fuerza es una función del tiempo conocida, F=f(t)
Leer h, tmax =
= .
=
x(i)=x0; v(i)=v(0) derx= v(i); derv= 1/m·(F(i)-k·x(i)-a·v(i))
t(i)>tmax
SI FIN
NO
x(i+1)=x(i)+h·derx =
·
F(i+1)=f(t(i+1)) i=i+1 Simulación. Master en IPS 11/12
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Ejemplo: sistema mecánico y (t h) y(t ) h f ( y (t h), u (t h))
dx (t ) t dv (t ) dt
• Entrada al modelo u(t)=F(t) • Salidas del modelo v(t )
1
1 m ( F (t ) k x(t ) a v(t ))
• y2(t)=v(t) • Funciones derivadas: f 1 ( x (t ), v(t ), F (t )) v(t ) f 2 ( x (t ), v(t ), F (t ))
• Ecuaciones recursivas para simular
1 ( F (t ) k x(t ) a v(t )) m
x (t h) x (t ) h· f 1 ( x (t h), v(t h), F (t h)) x (t h) x (t ) h·v(t h) v(t h) v(t ) h· f 2 ( x (t h), v(t h), F (t h)) v(t h) v (t )
m
( F (t h) k x(t h) a v(t h))
• Deben suministrarse las condiciones iniciales: x(0) y v(0) Simulación. Master en IPS 11/12
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Ejemplo: sistema mecánico • Ecuaciones recursivas para simular x(t h) x(t ) h· f 1 ( x(t h), v(t h), F (t h)) x (t h) x(t ) h·v(t h) v t
) v t ) · 2 x t ), v t ), F t )) v t ) v t ) m F t ) x t ) a v t ))
• Estas ecuaciones no se pueden resolver directamente, son ecuaciones mp c as:
• x(t+h) depende de v(t+h), que no se conoce y que depende a su vez de x(t+h) • v(t+h) depende de si mismo y de x(t+h), que no se conoce, y que depende a su vez de v(t+h) , F(t+h), que son datos conocidos en el instante t
• Pero no es un procedimiento general, y en ocasiones puede suceder que no se pueda despejar • Se puede utilizar un método para resolver ecuaciones implícitas , Simulación. Master en IPS 11/12
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Método de Euler y Adams-Bashforth de dos pasos y (0) 0.5
• Supongamos un sistema cuyo modelo matemático es:
2
•
yn (t h) yn (t ) h· yn (t ) yn (t ) h· yn (t ) t 2 1
• La solución numérica usando Adams-Bashforth de dos pasos es: ya (t h) ya (t )
h
3· y (t ) t 2 1 y (t h) t h 2 1 2 a
a
• Comparemos ambas soluciones si h=0.2
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Ejemplo: sistema mecánico dt dv(t )
v(t )
y(t h) y(t )
1 m ( F (t ) k x(t ) a v(t ))
• Ecuaciones
x (t h) x (t )
h
2
h
2
3 f ( y(t ),u(t )) f y(t h),u(t h)
·3· f 1 ( x(t ), v(t ), F (t )) f 1 ( x(t h), v(t h), F (t h))
recursivas x(t h) x(t ) h h·3·v(t ) 3·v(t h) 2 para h v(t h) v (t ) ·3· f 2 ( x (t ), v (t ), F (t )) f 2 ( x (t h), v (t h), F (t h)) v(t h) v(t ) 3·1 m ( F (t ) k x(t ) a v(t )) 1 m ( F (t h) k x(t h) a v(t h)) 2 h
• • Problema: en el arranque, cómo es un método multipaso para calcular x(h) y v(h) debe hacerse una estimación de x(-h) y v(-h)
• Solución: • En el arranque (cálculo de x(h) y v(h)) se usan métodos de Runge-Kutta de un aso ue ten an el mismo orden de error ue el método multi aso elegido. Simulación. Master en IPS 11/12
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Métodos implícitos de orden 1 • Usando la expresión para un polinomio de u u f(y(t),u(t)) y f(y(t+h),u(t+h))
,
f ( y( ), u ( )) f ( y(t ), u (t ))
f ,
t u t
( t )
h
t
t h
• Sustituyendo en:
y (t h) y (t )
h
•
2
f ( y( ), u)d t
t-2h t-h
,
t
t+h
,
• Este método recibe el nombre de Euler modificado, regla trapezoidal o método de Crank-Nicolson.
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Métodos implícitos de orden n • Una ex resión eneral del olinomio de extra olación ue asa or los untos f(y(t+h),u(t+h)), f(y(t),u(t)), f(y(t-h),u(t-h)), ..., f(y(t-nh),u(t-nh)) es: f ( y( ), u( )) f ( y(t h), u(t h)) f ( y(t h), u(t h))
...
( 1) ( n 1) n! t h u t h
n f ( y(t h), u(t h)).
( 1) 2 f ( y(t h), u(t h))
Siendo:
2! ( (t h)) h
t h u t h t u t 2 f ( y(t h),u(t h)) ( f ( y(t h), u(t h))) f ( y(t h),u(t h)) f ( y(t ), u(t )) f ( y(t ), u(t )) f ( y(t h),u(t h)) f ( y(t h),u(t h)) 2( f ( y(t ), u(t )) f ( y(t h), u(t h)) ... t h
•
us uyen o en:
y
y
• Todas las expresiones anteriores
y
,u
t
t h
h
t h , u t h
• Donde representa a los términos conocidos en t y un coeficiente conocido. • Necesitan resolver una ecuación algebraica en cada iteración. Pueden emplearse varios métodos, por ejemplo sustituciones sucesivas ó Newton-Raphson Simulación. Master en IPS 11/12
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Resolución de ecuaciones implícitas • En general la ecuación básica de integración de los métodos implícitos: x=h·f(x,u)+a se puede poner como F(x)=x-h·f(x,u)-a=0. • La solución de esa ecuación x= tal ue F =0 se uede obtener or varios métodos.
• Métodos básicos: • Método de la bisección • Método de la secante • Método de Régula Falsi • -
• Método más complejos: • Método de Muller • Méto o e Laguerre • Método de Jenkins-Traub •
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Resolución de ecuaciones implícitas: método de la bisección • Se escoge un intervalo [a,b] donde está la · . • Se divide el intervalo por el punto medio m=(a+b)/2 • Se evalúa la función F(x) en x=m y se elige el intervalo [a,m] o [m,b] según la siguiente re la: • Si F(a)·F(m)Nº max iteraciones
SI h=h/2; n=0
Ei=MAX(atol,rtol·|y(t+h)|) Simulación. Master en IPS 11/12
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Métodos explícitos: métodos de Runge-Kutta w2 1 w2 1 w1
Sistema compatible indeterminado: Infinitas soluciones
• La solución correspondiente a w 1=0.5, w2=0.5 y =1. es conocido como Método de Heun: y (t h) y(t ) y (t )
h
2
h
f y (t ), u (t ) f y (t h), u (t h)
2
f y (t ), u (t ) f y (t ) h· f y (t ), u (t ) , u (t h) Y 1 y(t ) 2
1
1
y (t h) Y 1
h
,
f Y 1 , u (t ) f Y 2 , u (t h)
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PUNTO MEDIO
Y 1 y(t )
1 . 1, y(t h) Y 1 h f Y 2 , u(t 0.5·h) 2
HEUN
Y 1 y(t ) Y Y h
Y u t
y(t h) Y 1
h
f Y 1, u(t ) f Y 2 , u(t h)
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Ejemplo: sistema mecánico, Método del punto medio y (t h) y (t ) h f y (t ) 0.5 h f y (t ), u (t ) , u (t 0.5·h)
dx (t ) dt dv (t ) dt
• = • Salidas del modelo • y1(t)=x(t) • y2(t)=v(t) • Funciones derivadas:
v(t ) 1 m ( F (t ) k x(t ) a v(t ))
( x(t ), v(t ), F (t )) v(t ) f 2 ( x (t ), v(t ), F (t )) 1 ( F (t ) k x (t ) a v(t )) 1
m
• x(t h) x(t ) h· v(t ) 0.5·h h
m
( F (t ) k x(t ) a v(t ))
. ·
m
. ··
0.5·h
m
• Deben suministrase las condiciones iniciales: x(0) y v(0) Simulación. Master en IPS 11/12
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Métodos explícitos: Runge-Kutta 4º orden Y 1 y (t ) 2
3 4
h 1
2
·
1
,u
2
, u t . ·
h
· 2 · 1
1
t h
Y
3
,
h
. · Y , u t
2·
Y , u t 0.5·h
6 2· f (Y 3 , u(t 0.5·h )) f (Y 4 , u(t h )))
• El principal esfuerzo de los métodos de Runge-Kutta consiste en las evaluaciones de la función derivada (en este caso cuatro veces). Simulación. Master en IPS 11/12
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Ejemplo aplicación RK 4
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INICIO Leer R,L,C, Vc0, i20
La tensión u(t) es una función del tiempo conocida, u=f(t)
Leer h, tmax =
= .
=
Vc(i)= Vc0; i2(i)= i20
t(i)>tmax
NO
¿?
SI FIN
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• Apliquemos al siguiente ejemplo: •
on e
es un par me ro, y
• Apliquemos Euler implícito:
= .
1 1 y (t ) ·(t · y 2 (t ) ) 2 t t
a so uc n exac a es:
1 t
2
1
1
2 t h (t h)
1 1 · · · y 2 2 t h ( t h ) F f ( y (t h), t ) Hessiano: 1 h· 1 h·2·(t h)· · y (t h) 1 t h t h
=
• Estimando el
1 1 f ( y (t ), t ) · t · y 2 (t ) 2 t (t )
y (t h) y (t ) h· f ( y (t h), t ) y (t h) y (t ) h· · (t h)· y (t h)
•
y
y
y
• La ecuación iterativa a resolver en y(t h) y(t h) F F ( y(t h)i ) i 1 i y ( t h ) cada paso de integración es: y ( t h ) • s: 1 1 yi (t h) y (t ) h · (t h)· yi2 (t h) 2 t h t h i
yi 1 (t h) yi (t h)
··
· ·
i
• La estima inicial se obtiene Euler o Euler explícito):
1 1 y (t h) y (t ) h· f ( y (t ), t ) y (t h) y (t ) h· · t · y 2 (t ) t t Simulación. Master en IPS 11/12
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• En este caso estimar el Hessiano resulta sencillo, y se puede hacer de modo exacto analítico : F t h t y (t h)
1 ·
y (t h)
1 ·2·(t )· · y (t )
• Pero no siempre es así … • em s en ocas ones no se spone e erram entas que man pu en simbólicamente las ecuaciones. Entonces se recurre a una estimación numérica del Hessiano. • Una técnica adecuada es usar una aproximación en diferencias • Sea: F ( x) x h· f ( x, u ) a • Podemos aproximar el Hessiano por la siguiente expresión:
F F x F x x 2· • Donde es pequeño y positivo.
x
x
2·
• ¿Qué sucede si tengo que integrar numéricamente varias ecuaciones de forma simultánea?, por ejemplo el sistema mecánico seleccionado. Simulación. Master en IPS 11/12
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• En el caso de un modelo con una sola x h· f ( x, u ) a F ( x ) x h· f ( x, u ) a 0 ecuación diferencial se tiene que: 1 1 • La ecuación recursiva xi 1 xi F ( x) F ( xi ) xi 1 h f ( x, u ) xi h· f ( xi , u a) x x x iterativa resulta ser: x i
i
• En el caso de un modelo con n variables de estado, y por tanto n funciones derivadas se x h· f ( x, u ) a F ( x ) x h· f ( x , u ) a tiene ue la ex resión resulta ser vectorial: x1 h· f 1 ( x1 , x2 ,..., xn ) a1 x2 f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) x2 h· f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) a2 ; F x . ; f . . . . . xn f n ( x1 , x2 ,..., xn ) xn h· f n ( x1 , x2 ,..., xn ) an x1
• Donde
f 1 ( x1 , x2 ,..., xn )
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• La ecuación recursiva iterativa resulta ser: F 1 x 1
F 2 F xi 1 xi F ( xi ) xi x 1 x x ... F n x1
1
i
f 2 x2
...
f n x1
f n x2
...
...
... ...
...
...
F n x2
...
F 1 xn F 2 xn ... F n xn x
1
xi
... F x
·
i
1
f 1 1 f 2 xi 1 xi I h x 1 ...
f 1
1
F 1 x2 F 2 x2
...
2
...
f 1 n f 2 x h · f ( xi , u ) a xn i ... f n xn x i
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