ASM-18 Sintesis Analitica-II-handout

Clase: Análisis y Síntesis de Mecanismos

06/07/2020

Universidad Autónoma Chapingo

5.7 Generación de movimiento: 3 posiciones

Departamento de Enseñanza, Investigación y Servicio en

Análisis y Síntesis de Mecanismos

Ingeniería Mecánica Agrícola Clase: Análisis y Síntesis de Mecanismos Capítulo 5. Síntesis analítica – Parte II - Generación de movimiento: 3 posiciones - Síntesis con pivotes fijo definidos - Síntesis analítica de 4 y 5 posiciones - Otros métodos de síntesis de mecanismos

Problema:  Diseñar un M4L que moverá una línea localizada en su eslabón acoplador, de modo que un punto P pase por los puntos P1, P2, y P3, y que también haga girar la línea un ángulo α2 y α3 en la segunda y tercera posición.  Encontrar las longitudes y ángulos de los 4 eslabones y las dimensiones del eslabón acoplador A1P1 y B1P1.

P1 P2

P3 α2

α3

Profesor: Efrén Fitz Rodríguez, PhD.

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5.7 Generación de movimiento: 3 posiciones

Procedimiento:  El mismo método de definición de dos díadas, una en cada extremo del M4L.  El método utilizado para la síntesis de movimiento de dos posiciones puede ampliarse a tres, cuatro y cinco posiciones en el plano.

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5.7 Generación de movimiento: 3 posiciones

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 Por conveniencia, se sitúa el sistema de coordenadas XY global en el primer punto de precisión P1.  Se definen las otras dos posiciones de precisión.  Los vectores de diferencia de posición P21 trazados de P1 a P2 y P31, trazado de P1 a P3 tienen ángulos δ2 y δ3, respectivamente.  Los vectores de diferencia de posición P21 y P31 definen el desplazamiento del movimiento de salida del punto P de la posición 1 → 2 y de la 1 → 3, respectivamente.

P2

P21

P1

P31 P3 α2

α3

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 Se resuelve para la diada izquierda del mecanismo (vectores W1 y Z1) y luego se utilizará el mismo procedimiento para resolver para la diada derecha (vectores U1 y S1).  Para resolver para W1 y Z1 se plantean ahora dos ecuaciones de lazo vectorial, una alrededor del lazo que incluye las posiciones P1P2, y la segunda alrededor del lazo que incluye las posiciones P1-P3.

P2

P21

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P1

P31 P3 α2

α3

W2 + Z2 - P21 - Z1 -W1 = 0 W3 + Z3 - P31 - Z1 -W1 = 0

12 variables (w, θ, β2 , β3 ,z, ψ, α2 , α3, p21 , p31 , δ2 y δ3 ) y 4 ecuaciones. Parámetros conocidos: (α2 , α3, p21 , p31 , δ2 y δ3 ) De los 6 parámetros restantes (w, θ, β2 , β3 ,z, ψ), se suponen dos. Una opción: Suponer valores para los ángulos β2 y β3

Parte Real

Parte Imaginaria

W2 + Z2 - P21 - Z1 -W1 = 0 W3 + Z3 - P31 - Z1 -W1 = 0

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Dr. Efrén Fitz Rodríguez

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5.7 Generación de movimiento: 3 posiciones

Quedando pendiente determinar las magnitudes y ángulos de los vectores W y Z.

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5.7 Generación de movimiento: 3 posiciones

Simplificando la notación:

Sustituyendo:

De manera matricial:

De manera similar repetir el procedimiento para la diada del lado derecho U y S. U2 + S2 - P21 - S1 -U1 = 0 U3 + S3 - P31 - S1 -U1 = 0 Es evidente que existe una infinidad de soluciones a este problema de síntesis de tres posiciones.

Una selección inapropiada de las dos elecciones libres podría llevar a una solución con problemas de circuito, ramo o grado al moverse entre todas las posiciones especificadas. Por lo tanto, hay que verificar la función de la solución sintetizada con éste o cualquier otro método.

A·x=b

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→

x = A-1 · b

x = A\b

←┘

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Síntesis para la localización de un pivote fijo especificado

 Los pivotes fijos están restringidos a las

dimensiones de la máquina y su ubicación normalmente se conoce.  En el problema de 3 posiciones, se considera la

posición de las coordenadas x y y de los pivotes fijos (O2 y O4) como elecciones libres, en lugar de los ángulos de los eslabones.  Esto implica una serie de ecuaciones no lineales

con funciones trascendentales, para los ángulos ?

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Ecuaciones vectoriales para cada punto de precisión: W1 + Z1 = R1 W2 + Z2 = R2 W3 + Z3 = R3

En notación compleja:

W1 + Z1 = R1 W2 + Z2 = R2 W3 + Z3 = R3

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W = w e jθ

y

Z = z e jφ

y

Matriz de coeficientes aumentada.

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Dado que:

Expandiendo el determinante respecto a la 1ra columna que contiene las incógnitas β2 y β3: A

B

C

Simplificando, se asume que:

Por lo tanto:

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Las incógnitas β2 y β3 están incluidas en expresiones trascendentales en la ecuación anterior. Al desarrollarla resulta en:

Donde:

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Donde: Análisis y Síntesis de Mecanismos

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Donde:

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 Las constantes C1-C6

están definidas en términos de los parámetros conocidos: (las magnitudes y ángulos de los vectores de posición R1, R2, y R3).

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Análisis y Síntesis de Mecanismos

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 Las 10 variables son:

 La solución para encontrar los ángulos β2 y β3

presenta dos resultados: 1. Una solución trivial donde: β2 = α2 y β3 = α3 2. La solución no trivial es la deseada.

 El procedimiento se repite para el lado derecho del

mecanismo.

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Síntesis analítica de 4 y 5 posiciones

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 Las mismas técnicas derivadas para la síntesis de

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dos y tres posiciones pueden ampliarse a cuatro y cinco posiciones si se escriben más ecuaciones de lazo vectorial, una por cada punto de precisión  Las ecuaciones de lazo vectorial se escriben de

manera general, aplicable a cualquier número de posiciones de precisión.  Los ángulos α2, α3, β2, β3, γ2,, γ3,

se denotan como: αk, βk, γk,, k = 2:n, donde k representa la posición de precisión y n = 2, 3, 4 o 5 representa el número total de precisiones.

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5.14 Otros métodos de síntesis de mecanismos  Existen

En notación compleja:

Para simplificar:

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Ecuaciones de Lazo vectorial.

otras técnicas para la síntesis de mecanismos que proporcionan un movimiento prescrito.

 La mayoría de estos métodos son complicados y

muchos son matemáticamente complejos.  Pocos permiten una solución de forma cerrada; la

mayoría requieren iterativa.

una

solución

numérica

Izq.

 La mayoría aborda el problema de síntesis de

Der.

trayectoria, con o sin interés por la temporización prescrita.

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Métodos de síntesis de Mecanismos

Algunos métodos de síntesis de M4L

• Precisión : Método que intenta encontrar una Análisis y Síntesis de Mecanismos

solución que pasará exactamente por los puntos (de precisión) deseados, pero que pueden desviarse de la trayectoria deseada entre los puntos. • Ecuación: se refiere a métodos que resuelven la curva

del acoplador para hallar el mecanismo que generará una curva del acoplador completa muy aproximada a un conjunto de puntos deseados en la curva. • Optimizados: se refiere a un procedimiento de

optimización iterativo que intenta reducir al mínimo una función objetivo.

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Algoritmos genéticos

Métodos de Optimización

Fang[35] describió una aproximación inicial a la síntesis de mecanismos que utiliza algoritmos genéticos.

 Los métodos de optimización mencionados son un grupo

diverso y algunos tienen poco en común excepto el objetivo de encontrar un mecanismo que genere una trayectoria deseada.  Todos permiten que se especifique un número teóricamente ilimitado de puntos de diseño, si N se hace demasiado grande se incrementará el tiempo de computación y es posible que no mejore el resultado.  Una limitación inherente a los métodos de optimización es que pueden converger a un mínimo local próximo a las condiciones de inicio.  El resultado puede no ser tan bueno como otros mínimos localizados en otra parte en el espacio de las variables. La determinación del óptimo global es posible aunque más difícil y requiere más tiempo.

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Los algoritmos genéticos emulan la forma en que los organismos vivos se adaptan a la naturaleza.  Inicialmente se genera una población de “organismos” aleatorios que representan el sistema a ser optimizado. Éste adopta la forma de una cadena de bits, análoga a los cromosomas de una célula, la cual es llamada primera generación.  En una población dada se realizan dos operaciones, llamadas cruzamiento y mutación.  El cruzamiento combina una parte del “código genético” de un organismo “padre” con una parte del código de un organismo “madre”.  La mutación cambia los valores del código genético en puntos aleatorios en la cadena de bits.  Se crea una función objetivo que expresa la “idoneidad” del organismo para la tarea. Se produce cada generación sucesiva seleccionando los organismos que se adaptan mejor a la tarea. La población “evoluciona” a través de generaciones hasta que se satisface un criterio de terminación basado en la función objetivo.

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Redes Neuronales Vasiliu y Yannou[38] también se enfocan sólo en la forma de la trayectoria deseada y la representan de manera aproximada con cinco términos de una serie de Fourier. Utilizan un método de red neuronal artificial para sintetizar un mecanismo que genere la forma aproximada de la curva. Una red neuronal es una gráfica de neuronas de entrada que representan la forma de la trayectoria, y neuronas de salida que representan los parámetros dimensionales del mecanismo. Se considera que la red “relaciona” apropiadamente la salida con la entrada con varias configuraciones. El tiempo de aprendizaje fue de 30 horas y 14000 iteraciones para su ejemplo, de modo que este método es intensivo por lo que se refiere a tiempo de computadora.

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A continuación: Capítulo 6 Análisis de velocidad

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