A_Simple_Genetic_Algorithm_for_the_Design_of_Reinforced_Concrete_Beams
Short Description
Download A_Simple_Genetic_Algorithm_for_the_Design_of_Reinforced_Concrete_Beams...
Description
E n g in e e r in g
\ue0009
C o m p u te rs
A
S i m
p l e
G e n e t i c
A l g o r i t h m
f o r
t h e
D e s i g n
C . A . C o e l l o
A b s t r a c t ,
W
e
F .
p r e s e n t
o f
R e i n f o r c e d
t e d i o u s p r o c e d u r e s ,
c o n c r e t e ,
s t e e l
w h i l e
a l s o
a n ds h u t t e r i n g .
t h e o u r
p r a c tic a l
a r e
e n g i n e e r s
m
e ffic ie n t
r e q u i r e d ,
c o m p a r e
r e s u lts w it h
th o s e
r a t h e r
t h a n
t h e
t r a d i t i o n a l
s e a r c he n g in e ,
a n d
o b ta in e d v ia
to is c u r r e n tly M
b x i c o ,
e t h o d
c e r t a i n
H o w e v e r , h i g h l y
a n y
te s te d
d e s i g n m
s e a r c ht e c h n i q u e
t h e
o p t i m a l
e v a lu a te
[ 1 ] .
t h e
a
u s e
a r t i f i c i a l
d e a l b e in g
p o t e n t i a l
n a t u r a l s e le c tio n ,
c a l l e dt h e
th is
T h e i l a r
t h e
3 ] .
g e n e t i c
a
s i m
D e s i g n
p r o b l e m
n o n l i n e a r
T h i s f o r
p e r f o r m i n g t h e
n u m b e r
a t h e
a i n l y
a n d
m o r e a s
a t teh e
m e th o d le a d s
in fin ite
t h e
a u t o m
u s e
a l t e r n a t i v e
i s p r e f e r r e d o v e r
s
a no p t i m i z a t i o n m o d e l f o r
t h e i r
o f
B e a m
S a n t o s H e r n f i n d e z 2
h e l p
s t r e n g th
C o n c r e t e
t e c h n i q u e
o p t i m a l
( F i g .
3 ) .
T h e
i n s t e a d
o p tim iz a tio n ; o f a
c o s t f u n c t i o n , a n d e i t h e r
( a s
i n
t r a d i t i o n a l
d e s i g n )
o trh e
t h e
g r a d i e n t
e n g i n e e r
o f
t h e
1 . I n t r o d u c t i o n i n t e r v e n t i o n , T h e
r e i n f o r c e d
e le m e n ts p la y s
a
c o n v e r g e s d e s i g n
u s e
t r a d i t i o n a l a
c e r t a i n s o lu tio n t h a t is
m a t h e m a t i c a la n a l y s i s p r o b l e m re q u ire m e n ts a r e
v e rify
t h a t
th e
a re s a t i s f i e d . I f s u c hr e q u i r e m e n t s a
a
a
n o r m a l l y Fig.
1,
t h e
i s
t y p i c a l l y
o f h i g hc o s t
( s e e
in t e r m s
F i g . o f
1 ) .
t i m e
T h i s
p r o c e s s
a n dh u m
a n
a p p l i e d u n t i l
r e i n f o r c e d
o m
m
o m
a n d o f f p r i n t r e q u e s t st o :
at o t a l
t h i s
w e i g h t
s e c t i o n
t o
g iv e n
s e c t i o n
e n t o f
m
b u t
i t
f o u n d a
r e s i s t a n c e o f
a y
T h e r e f o r e , s l o w ,
s h o w n
a s s u m e s
e n t
a p p l i e d b e n d i n g m
C o r r e s p o n d e n c e
t h e
b e n d i n g m o m e n t . T h i s
a
w h i c h
lik e
e n g i n e e r
o f t e n m
s u b - o p t i m a l
b e a mb e f o r e h a n d , a n d a t r i a l s e c t i o n i s c h o s e n .
n e w
e x p e r i e n c e
a
i t e r a t i v e
in w h i c h t h e
f o r t h e
t e c h n i q u e
r e a s o n a b l e
d e t e r m i n e d , d e r i v e d f r o m h i s
l e a s t
T h e
d e s i g nm e t h o d
t h e n c o r r o b o r a t e d
i n
t oa t
a n dt h e
o m
q u i t e n o to n l y a l s o
is
d i f f i c u l t y t h e
e n t
s u ita b le . T h i s
s e c tio n w i t h t h e
s u b s t a n t i a l the
i n m a t c h i n g t h e t h e
t o t a l
b e a m 's w e ig h t, m
a n y o f
e c o n o m i ca n a ly s is
a s i n c et h e
R e a l W
I
o r l dP r o b l e m
I I
s t r u c t u r e
ld e n flW :
! J In c o rp o ra te
t h e umn o, ~ e
In itio l D e s ig n
J
A n a ly s is
I
D e c o d in g
I M
o d ify
A n a ly s is
d e s i g nu s i n g
e x p e r i e n c e / h e u r i s t i c s M o d ify d e s ig n u s in g
, m o m
c r o s s o v e r
m u ta tio n
_~ 'Y e s l
F i g .
1 .
F in a l
T r a d i t i o n a l
d e s i g n
F ln a l D e s ig n
D e s ig n
p r o c e s s e s .
s o m e f o r c e d -
g e n e r a l
c o n c e p t s
c o n c re te
f r o mr e i n -
m o d e l
w ill
I
Id e n tify :
s a t i s f i e d
[ G
e n e r a t e
]
in itia l D e s ig n
2 . A n a ly s is
-
-
B a s i c
C o n c e p t s
I
S t r e n g t h
b e tte r p re d ic ts th e
s e c tio n -
th e
1
th e
lo a d s
s u b je c te d a r e
m
o s t
to
e c o n o m
f i n d
i c a l
s e c tio n
liv e
d e s i g nt h a t
t h a t
m
in im
izes
m o d e l
t h e
a
r e i n f o r c e d c o n c re te p r o c e d u r e s ,
b u t
a l s o
f o r
m o r e
w h ic h
c e r t a i n l y
it
a
s t r u c t u r e
a p p ly
th e
s a f e t y f a c t o r s
th e m .
o p t i m a l
r e c t a n g u l a r
T h e
b a s i c
a s s u m p t i o n s
t h a t
a r te a k e n
w h e n u s in g
c o n s i d e r s
t h e
m o d e l
c o s t s
fo llo w s
o f
c o n c r e t e ,
th e
*
P la n e
s e c tio n s
b e fo reb e n d in g r e m a i n
p la n e
b e n d in g . ( i . e .
th e
s t r e n g t h
s h u tte rin g . O u r
c a tio n s
s t r e s s
d e t e r m i n e dt h a n
a l l o w s t h e u s e o f d i f f e r e n t fo r
a
lo a d s ,
p h y s ic a lly
s u ita b le . th is
h i g h
le v e ls .
[1 ].
B e c a u s e
c o n c e r n is
a
th e a t
B e le g u n d u
o n l y
s t r e n g t h o f
re c o g n itio n
a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s ) t h a t
m
a k e
e
u l t i m
a t e
c a p a c ity ,
p r o p o r t i o n a l .
a r e
a fte r
!8 7
i
o . s f ~
i n c l u d e w i t h
-
7
c e r t a i n
t h e
p a r a m e t e r s c o m b i n e d
p a r a m e t e r s
m o d e l ,
o p t i m a l
t h a t
s u i t a b l e
r
/ - ' 7
T h e
o f
G a l i l e i
[ 7 ] ,
a l t h o u g h h is
[ 9 ] ) a t t e m p t s o p t i m
b e a m s w a s
u s e
c a l c u l a t i o n sw
a
d i g i t a l
c o m
t h i s t h e
L a g r a n g e
p r o p o s e d e r e
i n
a l
J
f i r s t
p u t e r
a
t h e
c a lc u lu s o f
d e n s i t y t w o
c o n t r o l |
te n s ile
T h e
t h e
s t r e n g t h
f l e x u r a l c o m |
s u p p o r t s
v a r i a b l e s
d i f f e r e n t
T h e
c o n c r e t e
a
w e r e
p o i n t sa l o n g
s t r e s s ,
n e g l e c t e d
s h e a r
i s
0 . 0 0 3 .
b e a m
|
c o m p r e s s i v e
b e a m ,
g i v e n o f
T h e
c r o s s - s e c t i o n s
a n d c o n s t r a i n t s w e r ei m
p o s e d .
t h e
s o lv e
lo a d .
H
a u g
g e n e r a l i z e d
s t a t i c a l l y d e t e r m i n a t e
s .
V e n k a y y a [ 1 0 ]
T h e
v a l u e s
e t h o d
d e v e l o p e d a
c r i t e r i o n |
t h e
t h e
N e w to n 's a l g o r i t h m
s t r a i n
c e r t a i n
a n dd e f l e c t i o n
i t e r a t i v e m
p u t a t i o n s .
u l t i m a t e
a
v a r i a t i o n sw i t h
a d e
w i t h
|
a u g
a m
t h e n e u t r a l a x i s .
H
t h e
p r o b l e m
T
f r o m
f o r
s t r u c t u r a l e l e m e n t .
n o n - l i n e a r
p r o b l e m
t o o l
m
e t h o d
a
t h e
0 . 8 5 f ' c .
s u b j e c t e d
s t a t i c l o a d i n g . H i s
m
e t h o d
| n o t
e x c e e d
f y .
A c c o r d i n g t r a p e z o i d a l F ig .
t h e
r e c t a n g u l a r g iv e n
th is
a s s u m
s t r e s s n o m
d i s t r i b u t i ol n ik e
i n a l
b e a mw i t h
m
o m
e n t
th e
( d )
e a
l i m i t s
o n s i z e s
o f
t h e a p p l i e d
s h o w n
c a p a c i t y
t r u s s e s ,
a
t h e
t e n s i o n
f r a m e s
a n db e a m s .
I n t h e s e
s t r u c t u r a l e l e m e n t
t h e
t h e c a s e s ,
M
n
=
b d 2 f ' ~ w
( 1
-
0 .5 9 w )
m
(1 )
a x i m
u m
m
d e f l e c t i o n
a A r o r a e x t r e m e
c o m p r e s s i v e f i b e r
t h e
c o n c r e t e ,
w=
[ 1 2 ]
t h e
s w i t h
t e n s i o n
H
g r a d i e n t p r o j e c t i o n m
c o n s t r a i n t s
i z e
t h e
p l y
c o n c e n t r a t e dlo a d .
f r e q u e n c y t h e
s i m
i n i m
a u g e t h o d
a n d
( A J y b d f ' ) ,
r e i n f o r c e m e n t
a
c e n t r o i d b e a m
o f
w e i g h t
m i n i m i z e d .
b y [ 6 ] :
K a r i h a l o o
t h e
t h e
p a r a m e t e r
s t r e s s ,
c l a m p e d
d e f l e c t i o n ,
n a t u r a l
a n d
r e i n -
is
the
p a r a m e t e r
f o r c e m e n t . i n f i n i t e
n u m
b e ro f s o l u t i o n s
t o
S a o u m
a
M
u r a d
[ 1 3 ]
d e v e l o p e da
m
e t h o d f o r
m i n i m u m l o a d e d , p a r t i a l l y m u n t i l
a
( 1 )
n i n e
v a ria b le s : s ix
s .
T h i s
g e o m e t r i c a l
s u i t a b l e s e c t i o n i s
s e c tio n s
o d e l
b e a m
e v a l u a t e d
d o e s n o t i n c o r p o r a t ae n y
th is c o s t
t h a t o n l y a f e w
of
tensile
c o m p r e s s i v e m
m a n n e r . S in c e E q . p a r a m e t e r ,
t h e r e
i l d
a r e i s u l t i m
a t e
w i t h
r e s p e c t
t o
a t
b o t h T h is
th e
c ra c k in g
m o d e l
m e t h o d
e n t
th e
u s in g
c o u p le d
c o s t
o m
w a s w ith
i n
e e rin g
m
th e
a p p lie d
lo a d .
p e n a l t y - f u n c t i o n s
q u a s i - n e w t o n u n c o n s t r a i n e d
t e r m s
o f
d e s i g n
p a r a m e t e r s .T h i s
v a r i a b l e s l, e n g t h ,
f u n c t i o n
m
in im
ized
s u b j e c t t o
S o m e
o t h e r
a u t h o r s
d
m u l t i o b j e c t i v e
o p tim iz a tio n te c h n iq u e s
d e a l
w ith
th is
p r o b l e m .
F i g . 5 .
w ith a
h o llo w
r e c t a n g u l a r c r o s s - s e c t i o n a n d
m a x im iz e d A fter
using
m
a n y
d i f f e r e n t
c o n c lu d e d t h a t A l s o , m e t h o d f o r
O s y c z k a
y ( x )
n a t u r a l f r e q u e n c y .
w h e r e
is
= c l A
the
s
+ c z b d
c o s t
q - c s d
p e r u n it
+
(2 )
le n g th o f
th e
a p p r o a c h e s
g a m e t h e o r y [1 6 ,
th e
t h e
o f
c o e ffic ie n t
th e m
i n - m
a x
( $ / e m 3 ) ,
c 3i s
v o lu m e the
c o s t
o f
c o n c r e t e
th e
c o e ffic ie n t
s h u t t e r i n g
a n t h e c o s t c o e f f i c i e n t d u e t o s h u t t e r i n g a l o n g t h e b o t t o m
p o s t - t e n s i o n e d f l o o r
m i n i m u m th e
e - c o n s t r a i n t m
h o r i z o n t a l
a
in itia l
e t h o d
t r a n s f o r m
p r o b l e m
in to
t h a t
a
o f th e
th is
s in g le
th e
b e a m a s
v a ria b le g iv in g
s h o w n
th e
[ t 9 ]
o p tim a l
a
r e i n f o r c e d
sim
b
o f
th e
b e a m ,
a l s o
o n l y
a f f e c t
t h e
is
t h e y
m o d e l
c o n c re te
C h a k r a b a r t y ' s m o d e l
th e
i n
w id th
b a l.
2 ) ,
c a m b e r .
m u ltio b je c tiv e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m n o n l i n e a r o p t i m i z a t i o n
( $ / c m
th e
f o r
th e
o f
a
b e a m ,
b u t w ill
also
n o t
d e t e r m i n e
m
o m
e n t d
s e c tio n s
[4 ,
c o s t
s o m e
v a ria b le s
t h a t
th e
t o t a l
o f
th e
a
ilarities m o m e n t. u s e a
f o r
m odified
it
C h a k r a b a r t y ' s m o d e l
o p tim a l
m o d e l
th e
fo llo w in g :
i m p l e m e n t a t i o n ,a l t h o u g h
slightly
=
to
c l A ~
+ c 2 b d
+
c o n c re te T h e d e s i g n s
i n
o rig in a l
s o m e
m o d e l
le a d s
i n c o n s i s t e n t <
c a s e s .
I
( e q u i l i b r i u mc o n s t a n t )
a 2
c o n c r e t e le n g th
o f
b e a m th e
e x p re s s io n
[5 ]:
F i g . w ill
be
5 .
g iv e n
T h e
c o s t th e
p e r
+
u n i t
c o n s tr a in t)
fo llo w in g 0 .2 5
(3 )
< b / d
(4 )
A ] g o r i t h m
R e i n f o r c e dC o n c r e t e B e a m
( w i d t h - h e i g h tr a t i o
s
(5 )
c o n s t r a i n t )
A s
Q ( d
-
:
o
(1 7 )
b d f;/f,
a s k d ) ( f ~ f ' ~ k d b +
w h e r e ( a c t i n g m
a 6 /b
<
1
d ,
b ,
M
T ,
M
T
o m
(6 )
e n t c o n s t r a i n t )
4 (0 " 5 9 )M T
(7 )
( m i n i m u m w i d t h c o n s t r a i n t )
1 A
s ,
k d>
0
( n o n - n e g a t i v i t y
- -
1
0 .9 b d 2 f~
-= -
1 .1 8 H e r e
is
a
v a r i a b l e d e f i n i n gt h e
t o t a l T h i s
s e l f- w e i g h t t h e
o f
t h eb e a m
,
is
a
l a s t
e x p r e s s i o n ( d e p t h o f
v a r i a b l ed e f i n i n g g iv e n
d e p t h
b e
w h e r e
w s =
=
w ~
0 . 0 0 7 8 5
x G ( $ / c m
k g / c m
3
3 )
b l o c k
b y :
A s / ( a l b
( l 8 )
)
( a s s u m e vd a l u e )
t h e
t h e
T h e
u n i t
g e n e t i c
( G A )
a l g o r i t h m
a
h e u r i s t i c
s t e e l r e i n f o r c e m e n t ( $ / k g ) . b y ~ --- ( 1
w h e r e t h e
(1 ).
(9 )
c s i s c o s t o f
f r o mE q n
t h e e q u i v a l e n t
- -
c I
d e r i v e d
G is
c o v e r
" } -
the u n i t
r ) C
c X
1 0
c o s t
o f
+ r ) c r
x
. 6
( $ / c m
a )
J o h n H o l l a n d
(1 0 )
c o n c r e t (e $ / m 3 ) a n d r
is
r a t i o . i n d i v i d u a l m a t h e m a t i c a lo b j e c t s ( t y p i c a l l y f i x e d c 3
w h e r e
=
2 ( 1
i 0
. 4
( $ / c m
2 )
( 1 1 ) s t r i n g s ) ,
q
a c 4
=
c r
x
a ,
1 0 . 4 ( $ / c m
=
2 )
e a c h
w i t h
a n
v a l u e ,
p o p u l a t i o n(i.e.
the
i n t o
g e n e r a t i o n )
(1 2 )
0 . 8 5 s
(1 3 ) o c c u r i n g g e n e t i c o p e r a t i o n s ( n o t a b l y
w h e r e ( N
/ c m
( N
/ c m
f y
i s
t h ey i e l d s t r e n g t h o f
s t e e l
D =
l o a d ,
w e =
c o n c r e t e ,
1 . 4
=
D (1
+
( a s s u m e d )
(1 4 )
r ) w ~ k L 2
i s
t h e
l o a f da c t o r
f o r
kis
a l g o r i t h m
m u s t
s p a no f t h e
b e a m( c m
d e a d
A
=
3 .
a n dL
w a y
p o t e n t i a l s o l u t i o n s
t o
th e
o f p o t e n t i a l
1 / ( f , Q
A n
e v a l u a t i o n
f u n c t i o tnh a t
e n v i r o n m e n t ,r a t i n g
) .
f ' )
(1 5 )
Q
0 .9 0
f l e x u r e ) a n d f ~
r e p r e s e n t a t i o nf o r
s o l u t i o n s .
a 4
= 0 . 8 5 ( a s s u m e d ) i s t h e
r e d u c t i o n
b e n d i n gm a s
A
p r o b l e m .
the b e a m )
) ,
1 .
2 .
s e c tio n
c m
g e n e t i c
2 ) .
w h e r e
w h e r e
s e x u a lr e c o m b i n a t i o n ) . A
a 3
t h e
r e i n f o r c e m e n t
o m
4 .
s o l u t i o n s
G e n e t i c o p e r a t o r st h a t
a l t e r t h e
t h er o l e t e r m
s
o f
th e
t h e i r
c o m p o s i t i o n
c h i l d r e n .
f o r f a c t o r
p l a y s
5 .
V a l u e s f o r
v a r i o u s p a r a m e t e r s t h a t
a l g o r i t h m
e n t
( p o p u l a t i o ns i z e s ,
th e
g e n e tic
p r o b a b i l i t i e s
= C e r t a i n
b e a m
c o m m u n i t y :
.
|
s e l f - w e i g h t
o f
A
c h r o m o s o m e
a
d a t a
s t r u c t u r e t h a t
h o l d s
a
t h e b e a m ) , w e u s e :
M
T
=
( 1 6 )
a r r a y o f i n t e g e r s p o i n t
r e p r e s e n t a t i o n ) .
( f l o a t i n g
C
|
. A
.
C r o s s - p o i n t
A
C o e l l o C o e l l o
C r o s s - p o i n t !
i
|
[ll0 1 1 [0 lltl[0 J l 1 , a n d g o n e
|
a l .
A
m
f o r
a y
a
f l o a t i n g
h a v e
a na l l e l e
f r o m 0
( p l u r a l s c h e m a t a )
s c h e m a
a
a
t o
p a t t e r n
/
#
b e i n g
A
p a r t i c u l a r c h r o m o s o m e p a r t i c u l a r s c h e m c h r o m
o s o m
T h e
e
a
if
it
0 1 1 0 1m
f o l l o w i n g s e g m e n t
e v a lu a te
m a t c h e s t h e s c h e m
a
o f
D e s c e n d a n t s
" c o n t a i n ' a
a t c h e s
o p e r a t i o n
/
p o i n tr e p r e s e n t a t i o n ,
s c h e m a#
e
F i g . 6 , U
(e .g .
1 # 0 # ) .
i l l u s t r a t e d
s e
p s e u d o - c o d [ e2 2 ] :
2
v a l u e
G ( t ) ;
u s i n Gg
T h e
o f
th is
r a n d o m
l y
a c c e p t e d
p o p u l a t i o n w ill
r e p r e s e n ta l l
be
W
a
t h e p o s s ib le s o l u t i o n s
a p p l y
s o l u t i o n
t h e f i t n e s s ,
t h e T h e r e
a r e
t w o
p a r e n t s o f m
m
e n t
c h r o m
o s o m
e .
K
n o w
h e n
a s e le c tio n
t h e
a c o m
a n y
t h e
a
a p p l i c a t i o n s
s e l e c t i o n ) .
t w o - p o i n t
a
a i ns e l e c t i o n
s c h e m e s :
i n d i c a t e d M
a
g e n e r a t i o n .
D u r i n g
r o u l e t t e
a 0 t o
w h e e l
s e l e c t i o n ,
w h e e l
1 a n d
c e r t a i n
p r o b a b i l i t y F ~
p u t e d a c c o r d i n g
t ot h e
f o r m
o f
u l a
b e i n g
a s s u r e s
s e le c te d ,
p e r f o r m i n g t w o - p o i n t
a s
e
r a n d o m
i n d i c a t e dF ii g n . e
l y 6 .
t w o
r a n d o m
l y s e le c te d
7 . p o r t a n t g e n e t i c
r e p r e s e n t a t i o n ,a T h i s
m
u t a t i o n
o p e r a t o r
a l l o w s
t h e
c h r o m o s o m i c m a t e r i a l
p o p u l a t i o n a n d ,
i n d i v i d u a l
o f
s c h e m
s c h e m
a n o t h e r i m
b i n a r y
p o i n t
c h r o m o s o m e a r e
i nF i g .
u t a t i o n
w a y s
c h r o m o s o m e
c r o s s o v e r
t h e
a i n
s i n g l e - p o i n t
t h e
W
h e n
t h e
m
s i n g l e - p o i n t
a s
t a k e s
f o l l o w i n g
a
p o s i t i o n
s e l e c t e d
a s
i n g
c a l l e d
i n t r o d u c t i o n r o u l e t t e
a n d
~ 2 1 1 ;
t a k e s p l a c e .
a r e
g e n e r a t e d .
p o s i t i o n s o f t h e
o s o m
1 );
-
p o p u l a t i o ni s
i n d i v i d u a l s o f
p r o b l e m .
c h r o m
th is
b e i n g
a
t h e
o
o f t h e
a n i n i t i a l
n u m b e r s ) t h a t
t w
e f f e c t
t w o F i r s t ,
e e n
t h e
( b i n a r y t o u r n a m
A f t e r
b e t w
a i n
s e le c tiv e
+
e v a l u a t e
c r o s s o v e r
p a i r
r e m
t y p i c a l
a ( t )
s i n g l e - p o i n t
w h i c h p a r e n t s
G (0 );
g e n e r a t e
a
t h e
t : : 0 ;
t : = t
o f
N o t i c e t h a t
f r o m
t h e
t h a t - - g i v e na n y
t h e
t h e o r e t i c a l
p o p u l a t i o n - - t h e
e n t i r e
s e a r c h
[2 2 1 .
[ 2 2 ] : I f
w e
k n e w
t h e
f i n a l
s o l u t i o n
i t
w o u l d
F i L s t o p w h e r e th is
f ~
i s
t h e
f i t n e s s
s e le c tio n s c h e m
h i g h e r
e
p r o b a b i l i t yo f
v a l u e
o f
t h e
e a c h
o s o m
i n d i v i d u a l s
b e i n g
a r e t h e
i .
I n
a
b e s t
o n e
s e le c te d
f r o mt h i s
set
a g e n e r a t i o n .T h i s
e
v e r i f y
i n d i v i d u a l s
t o u r n a m e n t
k
c h r o m
o f
s e v e r a l
w h e n t h e
d i f f e r
f r o m
w a y s
[ 2 2 ] :
p o p u l a t i o n
t r a d i t i o n a l
t h e m
a n y
9 c a r r y
o u t
a
s e a r c h .
s t a b i l i z e d (i.e.
t e c h n i q u e s
all
e s .
A l g o r i t h m f o r
D e s i g n
B e a m s
C ro s s -p o in ts
C ro s s -p o in ts
b in a ry
e n c o d in g
I s l s I 5 1 0 1 7 1 3 J
I l l o
l l l o
l l i l l o
l l l
flo a tin g p o in t e n c o d in g D e s c e n d a n ts
F i g . 8 . R e p r e s e n t i n gt h e p o i n t
F i g . 7 .
U s e
o f
t h i s
a
t h e
t w o - p o i n t c r o s s o v e r b e t w e e t nw o g e n e s
a t t h e
e x t r e m
e s
a r ek e p t ,
s a m
e
n u m
b e r u s i n g
b i n a r y
f l o a t i n g
e n c o d i n g s .
c h r o m o s o m e s .
a n d t h o s e
t h e
c r o s s - p o i n t sh a p p e n s t h e p e r f o r m
a
e d ,
a n di f b o t h
a r e
s i n g l e - p o i n tc r o s s o v e w r ill
t h e
t h e
'flo a tin g p o in t'
p a r e n t s
p r e f e r r e d
r e m a i n
p o s itio n
9
u s e
s to c h a s tic o p e r a t o r s r a t h e r
t h a n
c h r o m o s o m e . T h e r e f o r e , s o m o f
9 ( s o m e t i m e s
c a lle d
g a t h e r i n gi n f o r m a t i o nf r o m p o i n t s
im a
p licit
p a r a l l e l i s m
p o p u l a t i o no f
a b ility
) ,
s e a r c h
d i r e c t
th e y t h e
s a m e
3
d e c i m
c o u l d
m a i n t a i n m u ltip le p a r t i a l s o lu tio n s a k e
s u s c e p tib le
t r a d i t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n
p r o v i d e s a
c o n th e
b i n a r y
th e
@
n u m
b e r o f
b 2 ,...,
b ma r e
s c h e m a t a
c o d in g [ 3 ] ,
i t s
u s e
s c ie n tis ts . T h is a n a ly s is o f
th e
b it
o f
z e ro s
r e p r e s e n t a t i o n s p a c e s p a c e ,
g e n e ra lly t r u e
'im
a l s ob e
a n d
th e
b i n a r y
w h e r e
c o d in g .
t h e o r e t i c a l
a
b i n a r y
n u m
b e r
@
p o s i t i o n o f p o s itio n ,
1 ,
( 9 t ,
w ith
T h e G r a y c o d e r e p r e s e n t a t i o h n a s
t h e
p r o p e r t y
l a r g e r
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s
w h ic h
th e
a d j u s t e d
a lo g ic a l
c h o ic e .
c h a n g e o f
k n o w n
a
s i n g l e
te c h n iq u eu s e d
t o
t o
s p a c e ,
o f a n d
i t
i s
t w
o
a r g u e d
f o r m
th e T h e
c l o s e
g e n e tic
p o i n t r e p r e s e n t a t i o ns c h e m e s e e m s a
o f t h e
m u s t
p licit
e x p e r i m e n t
w ith
b e
r e p r e s e n t a t i o n
o n g
[ 2 1 ] .
s t r i n g
flo a tin g p o i n t
=
th e
w o r t h w h i l e
A c c o r d i n g
la rg e
a n y
a m fa c ilita te s
t h e
1 , b 2 ,...,
i n f o r m a t i o n o f
h a s
H o w e v e r ,
p a r a m e t e r s
a r e
w ith
h ig h e r p re c is io n t h a n
te c h n iq u e
p a r t i c u l a r, f o r
o t h e r s
g e n e tic
c a lle da lle le s (e ith e r
c o d i n g
a lp h a b e ts ,
w h i l e
b e
c o u n t e r p a r t ,p a r t i c u l a r l y
o t h e r
b ~ ) , w
p l a c e s , all
s t r i n g .
a d v a n t a g e so f
h e r eb l ,
v a ria b le s c o u l d
T h e ir
c u r r e n t l y h e lp s m
T h e
a l
still
e
'flo a tin g ' th e
im
t h e
m a y
p lied
m is le a d in g s i n c e t h e
d e c im a l p o i n t 'fix e d
p o i n t
a
fix e d
r e p r e s e n t a t i o n '
n e x t
s e c tio n . s o lv e
th is
o p tim iz a tio n p r o b l e m ,
th e
P a r a m e t e r
C h a k r a b a r t y
(B in a ry )
A s ( c m 2 )
3 7 .6 9 2 6
3 6 .1 8 9 3
4 1 .5 9 0 5
3 7 .5 2 0 5
d ( c m )
8 6 .0 6 2 9
8 9 .5 4 0 2
7 8 .6 1 7 7
8 6 .4 7 7 6
3 0 .0 1 6 2
3 0 .0 4 4 7
b ( c m ) M
~ ( N
c m
)
8 0 '0 6 4 , 7 1 1 .7 3
k d ( c m )
[ 3 ] ,
8 0 '5 4 0 , 2 4 2 .0 6 2 0
1 4 .7 8 1 4
C o s t ( $ / c m )
0 .4 4 3
a n d
( G r a y
0
8 0 '1 3 1 ,6 6 1 .9 1 6
1 4 .1 8 4 2
1 6 .2 8 5 7
1 4 o 7 1 2 8
0 .4 4 4 2
0 .4 4 6 4
0 .4 4 3 6
5
[ 2 3 ]
G r a y
c o d i n g
s w i t h
a
[ 2 4 ]
f o r
d e c i d e d
e x p e r i m e n t
w i t h
s h o w n
f l o a t i n g p o i n t
=
m
p o i n t
e n t i o n t h a t
a
b i n a r y t o u r n a m T h e
o n l y
a
u r
e n ts e l e c t i o n
t h e
a
f u n c t i o n
t h e c o s t i n i m
b e r
g i v e n
t h e
f o r m
f i t n e s s
( t h e
E q .
c r o s s - s e c t i o n a l
u s a
d e s i g n
a t e d
u s i n g
a r e a8 = 1 9
m =
m
4 2 )
b a r s
#
a n d3
b a r s
2 8 4 m m 2 ) . T h i s
t o t a l
i s g r e a t e r
r e g u l a t i o n s r e c o m
r e i n f o r c i n g b a r s i z e s
f i t n e s s
=
M A s
a t e r i a l s ) , w e
f u n c t i o ni s
j u s t
t h e
t h i s
a a b o u t
m
e n d . T h e
a v a i l a b l e
a n d
c a n s e e
a r es h o w n f r o m
T a b l e 2 r e s u l t s ,
[ 6 - 1 . t h e
f l o a t i n g
t h e
t o t a l 1 ~ m
h e i g h t o f 9 5 .1 2 5
F ig .
9 ) ,
w h i c h
o r e t h a n C h a k r a b a r t y ' s d e s i g n .
T h i s s l i g h t
[ 6 ] :
r e i n f o r c e d
r e c t a n g u l a r a
u n i f o r m
l o a d
o f
1 5
k N
/ m
a
u n i f o r m =
3 0
M
P a
t h e
y i e ld
s t r e n g t h f y
= 8 6 .4 7 8 c m
s h u t t e r i n g( C S H )
0 .1 0 , u n i t
w e i g h t o f
a r e
c o n c r e t e
2 3 2 3
k g / m
3 3 b a r s # 6 -
c a p a c i t yr e d u c t i o n T h e
u l t i m
a t e u n i f o r m l o a d
1 . 4
x
1 5
+
x
= is
55
x
1 0 2 /8 =
6 8 7 .5 k N ,
t h e
c 1 = 0 .0 0 5 6 5 2 0
c 2
m=
o t h e r
6 8 7 ,5 x
m o d e l
=
4 3 8 ,2 3 3 ,9 5 0
a 6
= 3 0 .0 0
l 0
s
N c m .
c o n s t a n t s :
= a 2
a 3
p o i n t
G r a y
c a s e ) .
p l y
s u p p o r t i n ga
g iv e s
(2 ),
o n l y
i z a t i o n
l e a s t - c o s t
s i m
f i n a l
b e t w e e n
f r o m
D e s i g n a
t h e
a r e
h e n e v e r t h e
a n y c o n s t r a i n t ,t h e
m
a n d
is a p p r o x i m
r e p r e s e n t a t i o n
c o n s t r a i n t sv i o l a t e d . W
r e q u i r e a
3 7 .5 2 0 5
I n s t i t u t e )
( c o s t * ( v * 5 0 0 +
o f
1
C h a k r a b a r t y [ 5 ]
t h a n
f l o a t i n g p o i n t
n u m
f u n c t i o n w a s
p e n a l t y
t w o -
o p e r a t o r t h a t
m u ta tio n , w h i c h
r e p r e s e n t a t i o ns e l e c t s O
e t h o d
( n o m i n a l
F i n a l l y ,
w a s
i n gm
T a b l e
( n o m i n a l
r e p r e s e n t a t i o n .
a ll
m
c o n t i n u o u s A s
f2
0
w i t h
s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m
v i o l a t e
( F P )
3 0 .0 0 2 2
7 9 '1 1 1 ,8 4 6 .5 6 5
p r o g r a m
u s i n g
C o d i n g )
= 6 8 ,7 5 0 ,0 0 0
a 5 =
0 .5 0
4
b a r s
#
1 0
E v e r a r d
s ta n d a rd
re in fo rc in g b a rs
N o m i n a l
B a r
s i z e
d e s ig n a tio n
W
e ig h t
(lb /ft)
D i a m e t e r
d i m e n s i o n (s R o u n d
C r o s s - s e c t i o n a l
(in )
[ 6 ] .
a r e a
s e c t i o n s )
P e rim e te r
( i n 2 )
a r e a ( i n 2 )
0 .3 7 6
0 .3 7 5
0 .1 1
1 .1 7 8
0 .6 6 8
0 .5 0 0
0 .2 0
1 .5 7 1
1 .0 4 3
0 .6 2 5
0 .3 1
1 .9 6 3
1 .5 0 2
0 .7 5 0
0 .4 4
2 .3 5 6
2 .0 4 4
0 .8 7 5
0 .6 0
2 .7 4 9
3 .4 0 0
1 .1 2 8
1 .0 0
4 .3 0 3
1 .2 7 0
1 .2 7
3 .9 9 0
5 .3 1 3
1 .4 1 0
1 .5 6
4 .4 3 0
7 .6 5
1 ,6 9 3
2 .2 5
5 .3 2 0
1 3 .6 0
2 .2 5 7
4 .0 0
7 .0 9 0
2 .6 7 0
o f
C r o s s - s e c t i o n a l
(in )
3 .1 4 2 3 .5 4 4
th e
t h e s e c t i o n , t h e P a r a m e t e r
C h a k r a b a r t y
A s ( c m 2 ) d ( c m ) b ( c m )
( F P )
3 1 .1 2 6 7
3 9 .5 4 1 2
1 0 1 .5 4 9 4
8 2 .7 0 4 3
2 0 .0 0 0 0 .3 7 2 5
a n d
n o t
t a k e
o t h e r
v a lu e .
o f s t e e l , c o n c r e t e
s h u t t e r i n g
1 0 . 7 0 ~
2 0 .6 8 2 5 0 .3 8 8 5 i m
p o r t a n to b s e r v a t i o n
s h o w i n g m o r e
e x a m
p l e s .
O
m
u rm
a d e
o d e l
b e f o r e
m o r e
t h a n Ch a k r a b a r t y ' s T a b l e
4 .
C o m p a r i s o no f
m
a k e
th e b id
a
p r a c t i c e
r e c i p e
u s e d
b y
c o m
c i v i l e n g i n e e r s .
T h e
m
r e a s o n u s
P a r a m e t e r
C h a k r a b a r t y
A s ( c m 2 )
4 3 .6 0 1 7
4 3 .7 6 4 4
d ( c m )
7 6 .1 4 9 9
7 5 .9 1 0 2
b ( c m )
4 0 .0 0 0
4 0 .0 0 4 2
0 .5 0 7 3
( F P )
0 .5 0 7 7
a
' r e a s o n a b l e '
5 .
C o m p a r i s o no f
c o n c r e t e ,
c o n t r o l
t h e
a n d
b e a m 's
d e f l e c t i o n .
S i n c e C h a k r a b a r t y
p e r f o r m
a n a l y s i s
s i m
i l a r
t h a t
th e v a l u e s o f T a b l e s
b .
3 , 4
T h e a n d
t h a n P a r a m e t e r
a
b e t w e e n p r o v i d e a
t o
o u no t f r e i n f o r c e m e n t s t e e l i n
t h a t
F i r s t T a b l e
a m
o n
C h a k r a b a r t y
t h e
w h e n
w h i c h
O
u r
A s ( c m 2 )
5 5 .4 4 3 5
3 5 .7 1 7 2
d ( c m )
6 2 .5 9 7 4
1 0 4 .3 2 2 3
b ( c m )
6 2 .5 0 0
i m p o s e d
p r a c t i c e
E q .
(5 ).
e n g i n e e rw o u l d
6 2 .5 0 1 0 0 .7 2 7 4 t h e
t h a t w h e n
s h o w n 6 2 .5 0 ,
is 6 3 .9 8 ~
( F P ) t h e
0 .6 3 4 1
5 .
te s ts a r e
a r e
f o r
o f p r o a c h
u s e d
b y
th e
C h a k r a b a r t y
[ 4 ]
a n d
t h e
G A
u s i n g
= C
f l o a t i n g a n d
=
S H
i s
6 4 .5
p o in t re p re s e n ta tio n , b C
i s
v i o l a t e d b y C h a k r a b a r t y ' s d e s i g n .
P a r a m e t e r
C h a k r a b a r t y
A ~ ( c m 2 )
S H
=
C h a k r a b a r t y
( F P )
5 7 .0 0 7 2
5 0 .2 5 8 3
A s ( c m 2 )
5 5 .4 2 4 0
d ( c m )
5 9 .8 6 7 8
6 6 .7 0 2 9
d ( c m )
6 1 .2 6 9 8
6 7 .0 9 8
b ( c m )
4 0 .0 0 0
4 0 .0 0 3 3
b ( c m )
4 0 .0 0 0
4 0 .0 0 5 0
C o s t ( $ / e m )
0 .3 6 8 0
o f
C o s t ( $ / c m )
0 .3 7 1 6
p r o a c h
th e
u s e d
4 9 .9 2 7 8
0 .6 9 8 7
b y
C h a k r a b a r t y
= =
S H
=
6 4 5
a n d
C
S H
=
[ 4 ]
a n d
t h e
G A
6 4 .5
f l o a t i n g a n d
1 .0 7 7 5
P a r a m e t e r C h a k r a b a r t y
C h a k r a b a r t y
A s ( c m 2 )
( F P )
( F P )
A s(cm 2)
4 2 .3 5 1 0
4 2 .5 5 6 8
3 7 .2 0 0 6
3 7 .0 3 1
8
d ( c m )
7 8 .3 6 5 0
7 8 .0 6 2 5
d ( c m )
8 9 .5 4 5
9 0 .0 2 0 5
b ( c m )
4 0 .0 0 0
4 0 .0 0 0
b ( c m )
4 0 .0 0 0
4 0 .0 0 1 0
C o s t ( $ / c m )
0 A 8 4
C o s t ( $ / c m )
u s e d
5
0 .6 2 0 6
o f p r o a c h
b y
=
S H
= [ 4 ]
a n d
t h e
G A
u s i n g
=
6 4 .5
f l o a t i n gC
C h a k r a b a r t y
3 3 .2 6 9
d ( c m ) b ( c m )
1
3 3 .2 2 7 9 1 0 1 .3 5 6 5
4 0 .0 0 0
C h a k r a b a r t y
A s ( c m 2 )
4 5 .9 4 5 4
4 5 .9 0 1
d ( c m )
7 2 .4 0 8 8
7 2 .5 1 0 3
b ( c m )
4 0 .0 0 0
4 0 .0 0 0 3
C o s t ( $ / c m )
0 .5 5 1
!
b y
p o in t re p re s e n ta tio n , b S H
=
r e s u l t s
th e
C h a k r a b a r t y
[ 4 ]
w et e s t e d d i f f e r e n t
v a t u e fs o r
a n d
=
t h e
G A =
u s i n g
a r e
s h o w n i n
t h e
s h u t t e r i n g . T h e T a b l e s
6 - t 2 .A g a i n ,
a n c i e s b e t w e e n f l o a t i n g
t h e
t h o s e i n d i c a t e
3 2 .2 5 a n d
o f t h e
2 .1 5 5 .
P a r a m e t e r
C h a k r a b a r t y
( F P )
A s ( c m 2 )
3 3 .0 3 7 2
3 5 .0 6 9 8
d ( c m )
9 5 .5 2 7 9
9 5 .4 7 1
b ( c m )
4 0 .0 0 0
C o s t
2
0 .5 5 1 2
r e i n f o r c e m e n ts te e l,
u s e d
( F P )
0 :7 1 9 9 F i n a l l y ,
p r o a c h
a n d
4 0 .0 0 0 1
0 .7 1 9 8
o f
6 4 .5
= 4 .3 1 .
P a r a m e t e r
( F P )
1 0 1 .1 7 2 4
C o s t ( $ / c m )
S H
a n d
2 .1 5 5
A s ( c m z )
1
0 .4 8 4 8
th e
C h a k r a b a r t y
P a r a m e t e r
7
0 .6 2 0 7
=
C
u s i n g
=
2 .1 5 5 .
P a r a m e t e r
C
1
0 .7 0 3 5
=
C
1 2 9 .0 a n d
v i o l a t e d b y C h a k r a b a r t y ' s d e s i g n .
P a r a m e t e r
( F P )
=
=
( $ / c m )
0 .3 8 7 5
9
0 .3 8 7 6
O
n e
o f t h e
m
a i np r o b l e m s
t h e
m
o s t
p o p u l a t i o n m
u t a t i o n e r r o r
t h o s e
C h a k r a b a r t y ' sm
o d e l ( o r
d e r i v e d
w h e n
a p p r o p r i a t ep a r a m e t e r v a l u e s m
a x i m
u m
c r o s s o v e r p r o c e s s
n u m
r a t e ) .
b e r T h i iss
u s u a l l y a
w h i c h
f r o m t h i s r e s e a r c h w h e n a
p o i n t v i o la ti n g s o m e d e f i n e d
E q.
(5).
c o n s t r a i n t - - u s u a l l ty h a t
r e p r e s e n t a t i os nc h e m e
d i l e m m a : t h e b e s t
r e s u l t s ,
i s
u s e d .
W
e
c o n f r o n t a e d
f l o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t a t i o n b u t
w a s
a l st o h e
h a r d e s t
f l o a t i n g
t od e a l
t h e w i t h
A lg o rith m f o r
t e r m
s
o f
D e s i g n R e i n f o r c e d C o n c r e t e B e a m s
f i n d i n g t h e
O b v i o u s l y u s e f u l
i f
m
o s t
a p p r o p r i a t e p a r a m e t e r s .
o p t i m i z a t i o n
w ill
n o t
t h a t
i t s o u t c o m e s a r e
i n c o r p o r a t e s t h e
t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c a l p r o g r a m
t a b u
m
i n g
f o r
i n v o l v e d
s t r u c t u r a l
i n t r o d u c i n g c o n s i d e r a b l e
|
e m p i r i c a l
n u m
|
C h o o s e c o n s t a n t sf o r m
a x i m
o m
u m n u m
o s o m
e s
b e r
( w e
a n d
u s e d
t h e
4 0 0
0 . 1 a t
i n c r e m e n t so f 0 .1
l o o p ) .
T h i s
i m p l i e s
( t h i s
t h a t
8 1
|
a r e
t h e
t h e
a
p a r a m e t e r s
c r o s s o v e r the
o t h e r
file
r a t e s
u s e d .
w ith t h e
t h e
c o s t s
s m a l l e s t
W
a u t h o r s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g et h e A s c e n s i 6 n
t o
R o b e r t o n y C r u z
t h e
f i n a l
S in c e
D ia z
s o r t e di n i s
r u n
m
m
o n l y
i n
t h e
w o r k
W
o r k
a
t h i s
p a r a l l e l ,
s i n g l e r u n ( a p p r o x i m
a n d
r e m a i n s
a r e a n a l y s i s
i t h o u t
th e ir
t h e s i s ,
.
(1 9 7 5 ) A d a p ta tio n
z a tio n 4 .
h e lp
U n i v e r s i t y
N a t u r a l
o f
A rtific ia l
a n d
C h a k r a b a r t y , B .K .
6 6
M
H
z
a t e l y
(1 9 9 2 ) A
w i t h
m o d e l
b e a m .
o f
f o r
S t r u c t u r a lE n g i n e e r i n g ,
a b e a m s .
E v e r a r d , N
. J.
C o m p u t e r s
( 1 9 9 3 )
M
c G
r a w
N
o r t h w
- H
i l l ,
N
a nS dt r u c t u r e s , 4 2 , 3 , 4 4 7 - 4 5 1
T h e o r y
P r o b l e m s
S c h a u m 's O u t l i n e
d o n e .
i n t e r e s t e d
W
t h e
T h i r d
T w o e s t e r n U
p u b lis h e d
e a r e
d o i n g
R e i n f o r c e d
8~
a
e d itio n ,
e wY o r k
C o n c l u s i o n s
t o
o p tim a l
1 1 8 , 1 1 , 3 2 3 8 - 3 2 4 2
1 5 s
C o n c r e t e D e s i g n .
u c h
W
o t h e r
c o n c r e t e
M
I n g e n i e r i a C h i a p a s .
a s c e n d i n go r d e r ,
s e a r c h e fdo r
D X / 2 r u n n i n g
F u t u r e
In g .
R e f e r e n c e s
u t a t i o n
6 .
8 .
o f
a r y
r e i n f o r c e d
r e q u i r e df o r
a
C a r l o s N a r c i a
t h e
c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n tf r o m p e r f o r m
a s
o f
th e
a n s w e r .
t h e
s a m e
w o r k
o lin a
th e
U n i v e r s i d a d A u t 6 n o m a
J. H
a s
E liz a ld e M
h e n
i s
v a l u e
s u m
t h e
e n t s
n e c e s s a r y .
c o n t a i n s f i n a l
A c k n o w l e d g m
T h e
a c t u a l l y a r u n s
s a c r i f i c i n g s a f e t y .
c h r -
a n d5 0 g e n e r a t i o n s , r e s p e c t i v e l y ) .
| 0 .9
w i t h o u t
b e r s e e d
t h e p o p u l a t i o n s i z e
o f g e n e r a t i o n s
a i n
s h o u l d p r o v i d e a
p o w e r f u l t o o l
t h o u g h t h e
m
N e w
n i v e r s i t y
( o r i g i n a l l y
in
H a u g , E .J .
o f
B e a m s w ith
t h e o r e t i c a l b e a m s
t h i s
w ith o f
in e q u a lity c o n s tra in ts A p p lie d M
e c h a n i c s .
d e fle c tio n .
T r a n s a c t i o n so f
th e
A S M
E ,
9 9 9 - 1 0 0 4
f a r p r o m i s i n g ,
t h e
t h e
a t t r a c t e d t h e
S tru c tu re s ,1 , 2 6 5 - 3 0 9 1 1 . K a r i h a l o o , B .L .
h a s s o
f a r,
w e
b e e n
u s e d
o n l y
f o r
(1 9 7 9 )
O
p t i m
a l
m u l t i - p u r p o s e
tie -b e a m s .
a c a d e m i c
A p p lic a tio n s ,
2 7 , 3 , 4 2 7 - 4 3 8
a r ec o n s i d e r i n g
1 2 .
H a u g ,
E .J .;
A
r o r a ,
J .S .
(1 9 7 9 )
A p p lie d
O
p t i m
a l
D e s i g n .
Y o r k
w o r k i n g s t r u c t u r a l o p t i m 2
y e a r s ,
i z a t i o n
p r o b l e m
a r e o f
b e a m s
t h e s
u s e d u r i n g
a b l e
[2 5 3 , c o l u m n s [ 2 4 ,
f o r t h e 5 8 9 - 6 0 4
o p t i m a l 2 6 ]
p l a n e
I4 .
G u p t a , N .C .D .;
a p p lic a tio n s t r u c t u r a l
S t r u c t u r e s ,2 2 , 6 , 9 6 5 - 9 7 1
d e s i g n .
C o m p u t e r s
e t
1 5 .
R a o ,
o p tim iz a tio n w ith
u n c e r t a i np a r a m e t e r s
A I A A J o u r n a l , 2 2 ,
C r a b t r e e , D .L .,
s t r u c t u r a l
E d ito r s ). I I T T
a L
I n t e r n a t i o n a lT e c h n o l o g y
s to c h a s tic
1 1 , 1 6 7 0 - 1 6 7 8 lo a d e d
o f Y o rk ,
1 9 .
re in fo rc e d
1 9 3 -2 2 7
P r a k a s h ,A . ; A g a r w a l a ,
o f
( 1 9 8 8 ) O p t i m u m ( P e a r s o n ,
D . W
,
a x ia lly
S t e e l e ,
N . C .
lo a d e d a n d
3 0 , 4 , 1 0 0 9 - 1 0 1 1 E c o le
M
in e s
=
u s in g
tio n s
A r t i f i c i a l In te llig ie n c e ( C h e n , J. ,
A tria, F .G .
2 8 .
G l o v e r ,
F .
( 1 9 8 9 )
T a b u
2 9 .
G l o v e r ,
F .
( 1 9 9 0 ) T a b u
-
-
P a r t
P a r t
L
I I .
J o u r n a l
o n
O R S A J o u r n a l
o n
View more...
Comments
