Asesoria Ex2

Área de Asuntos Académicos

6

Asesoría de Resistencia de Materiales 2 Examen 2 2021.2 Gean Tacilla y Josue Atahuaman

14/12/2021

Pregunta 1 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva Pregunta 1, Examen 2 2021.1 La viga de concreto armado, cuya sección se muestra en la figura, está reforzada con tres varillas de ⅝” de diámetro. El concreto tiene f’c = 210 kg/cm2 y E = 2.2x105 kg/cm2; el acero fy = 4200 kg/cm2 y E = 2x106 kg/cm2. Se pide: a) La relación Mt/Mcr, donde Mt es el momento positivo admisible de la sección asumiendo que el concreto sí resiste tracción (método de la sección transformada) y Mcr es el momento positivo admisible de la sección asumiendo que el concreto no resiste tracción. (2.5 puntos) b) Explique el resultado anterior en no más de tres líneas de texto. De exceder ese límite, se le descontará medio punto. (0.5 puntos) Esfuerzos admisibles: fc-comp = 85 kg/cm2; fc-trac = 10 kg/cm2; facero = 2500 kg/cm2.

Josue Atahuaman - Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

Pregunta 1 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva Pregunta 1, Examen 2 2021.1 Colocamos los datos que utilizaremos

𝐸𝑐 = 2.2 ∗ 105

𝑘𝑔 𝑐𝑚2

𝑘𝑔 𝐸𝑠 = 2.0 ∗ 10 𝑐𝑚2 6

𝑓𝑠𝑎𝑑𝑚 = 2500 𝑓𝑐𝑐𝑜𝑚𝑝 = 85

𝑓𝑐𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐

Calculo n, Sección transformada

Josue Atahuaman - Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

𝑘𝑔 𝑐𝑚2

𝑘𝑔 𝑐𝑚2

𝑘𝑔 = 10 𝑐𝑚2 5 8

𝐴𝑠 = 3∅ “

𝐴 = 3 ∗ 1.99 𝑐𝑚2

Pregunta 1 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva Pregunta 1, Examen 2 2021.1 Calculo de las propiedades de la sección transformada

Cálculo de los momentos admisibles si resiste tracción

Verificación de esfuerzos en el acero

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Pregunta 1 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva Pregunta 1, Examen 2 2021.1 Cálculo de la altura de compresiones

Relación de momentos

Comentario

Cálculo del momento admisible

El momento en el caso que el concreto resiste tracción se realizó sin considerar el comportamiento inelástico del concreto, que si se considera en el otro caso

Verificación de los esfuerzos en el acero

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Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva Pregunta 2, Examen 2 2021.1 Dibujar los diagramas totalmente acotados de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del pórtico ABCDEF mostrado. La rótula C se ubica en el punto medio del tramo BD. Las cargas P1 están a 1.5 m de los extremos B y D, respectivamente. La carga distribuida es perpendicular a la barra AB. Datos: P1 = 3.5 ton, P2 = 2 ton, P3 = 3 ton, w = 2.5 ton/m.

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Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva

Equilibrio del primer tramo ෍ 𝑀𝐴 = 0

3.5 ton

𝐵𝑦 ∗ 7.5 + 𝐵𝑥 ∗ 6 = 2.5 ∗ 7.5 ∗

𝑩𝒙

7.5 + 3.5 ∗ 6 2

𝐵𝑦 ∗ 7.5 + 𝐵𝑥 ∗ 6 = 91.31 ෍ 𝐹𝐵 = 0

𝑩𝒚

2 ton

𝐵′𝑦 = 𝐵𝑦 + 2

𝑩𝒚

𝑨𝒙 𝑨𝒚 Josue Atahuaman - Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

𝑩′𝒚

Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva Equilibrio del segundo tramo

𝑩′𝒚

𝟑. 𝟓 𝒕𝒐𝒏

𝟐 𝒕𝒐𝒏

𝑩𝒙

෍ 𝑀𝐸 = 0 𝐵𝑥 ∗ 6 + 2 ∗ 2.5 + 3 ∗ 6 = 𝐵𝑦 + 2 ∗ 3 + 3.5 ∗ 1.5

3 𝒕𝒐𝒏

𝐵𝑥 ∗ 6 + 2 ∗ 2.5 + 3 ∗ 6 = 𝐵𝑦 + 2 ∗ 3 + 3.5 ∗ 1.5 −𝐵𝑥 ∗ 6 + 𝐵𝑦 ∗ 3 = 11.75 𝐵𝑦 ∗ 7.5 + 𝐵𝑥 ∗ 6 = 91.31 (𝐷𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)

𝐵𝑦 ∗ 10.5 = 103.06 𝐵𝑦 = 9.82 𝑡𝑜𝑛

𝑬𝒙 𝑬𝒚 Josue Atahuaman - Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

𝐵𝑥 = 2.95 𝑡𝑜𝑛

Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva

Equilibrio del primer tramo

𝟑. 𝟐𝟗 𝒕𝒐𝒏 𝟐𝟒. 𝟐𝟏 𝒕𝒐𝒏. 𝒎

𝟔. 𝟑𝟐 𝒕𝒐𝒏

3.5 ton 𝟐. 𝟗𝟓 𝒕𝒐𝒏

𝟔. 𝟏𝟓 𝒕𝒐𝒏

𝟐. 𝟗𝟓 𝒕𝒐𝒏 𝟐𝟒. 𝟐𝟏 𝒕𝒐𝒏. 𝒎

𝟑. 𝟐𝟗 𝒕𝒐𝒏

𝟏𝟐. 𝟔𝟎 𝒕𝒐𝒏

Josue Atahuaman - Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

𝟗. 𝟖𝟐 𝒕𝒐𝒏

Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva 𝟏𝟕. 𝟑𝟐 𝒕𝒐𝒏 Equilibrio del segundo tramo

𝟓. 𝟗𝟓 𝒕𝒐𝒏 𝟑𝟓. 𝟕𝟏 𝒕𝒐𝒏. 𝒎

𝟏𝟏. 𝟖𝟐 𝒕𝒐𝒏 𝟑. 𝟓 𝒕𝒐𝒏

𝟐. 𝟗𝟓 𝒕𝒐𝒏

𝟑𝟓. 𝟕𝟏 𝒕𝒐𝒏. 𝒎

𝟓. 𝟗𝟓 𝒕𝒐𝒏

𝟐 𝒕𝒐𝒏

3 𝒕𝒐𝒏

𝟏𝟕. 𝟑𝟐 𝒕𝒐𝒏

𝟓. 𝟗𝟓 𝒕𝒐𝒏

𝟏𝟕. 𝟑𝟐 𝒕𝒐𝒏

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Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva DFN

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Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva DFC

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Pregunta 2 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva DMF – TON.M

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Pregunta 3 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva El elemento rígido ABCD mostrado se apoya en B y está articulado a las barras CE (𝑬 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝝈𝑭 = 240 𝑀𝑃𝑎, 𝑨 = 200 𝑚𝑚2 ) y DE (𝑬 = 75 𝐺𝑃𝑎, 𝝈𝑭 = 150 𝑀𝑃𝑎, 𝑨 = 400 𝑚𝑚2 . La carga P aumenta gradualmente su valor hasta alcanzar la fluencia en las dos barras y luego, se retira totalmente. Se pide: a) Calcular la carga de fluencia y la carga última del sistema. b) Hallar los esfuerzos residuales y las deformaciones permanentes en las barras después del retiro total de la carga P. c) Dibuje el DCL del cuerpo rígido ABCD luego del retiro total de la carga P.

Gean Carlo Tacilla- Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

Pregunta 3 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Primer paso, EQUILIBRIO

𝑭𝑪

෍ 𝑀𝐵 = 0

𝑭𝑫

𝐹𝐶 (0.6) 4 + 𝐹𝐷 3 − 𝑃 2 = 0 … (1)

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Pregunta 3 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Segundo paso, COMPATIBILIDAD 𝜹𝑪 𝑫𝑪

𝑫𝑫

𝜹𝑫

𝐷𝐴 = 2𝜃 𝐷𝐶 = 4𝜃 𝐷𝐷 = 5𝜃

𝐷𝐶 4𝜃 = → 𝐷𝐶 = 0.8𝐷𝐷 𝐷𝐷 5𝜃

𝛿𝐶 𝛿𝐶 = 0.6𝐷𝐶 → 𝐷𝐶 = 0.6 𝛿𝐷 𝛿𝐷 = 0.6𝐷𝐷 → 𝐷𝐷 = 0.6

𝑫𝑨

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𝛿𝐶 𝛿𝐷 𝐷𝐶 = 0.8𝐷𝐷 → = 0.8 → 𝛿𝐶 = 0.8𝛿𝐷 0.6 0.6

Pregunta 3 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Segundo paso, LEYES CONSTITUTIVAS 𝛿𝐶 = 0.8𝛿𝐷 𝐹𝐶 (5) 𝐹𝐷 (4) = 0.8 (200)(200) (75)(400) 𝐹𝐶 = 0.853𝐹𝐷 … (2)

→De (2) en (1) se tiene: 𝐹𝐶 (0.6) 4 + 𝐹𝐷 3 − 𝑃 2 = 0 … (1) 𝐹𝐷 2.05 + 𝐹𝐷 3 = 2𝑃 → 5.05𝐹𝐷 = 2𝑃 → 𝐹𝐷 = 0.4𝑃 𝐹𝐶 = 0.34𝑃

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Pregunta 3 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →a) Cálculo de la carga de fluencia 𝐹𝐶 0.34𝑃 → 240𝑥106 = → 𝑃 = 141.18 𝐾𝑁 𝐴 200𝑥10−6

𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 𝐶𝐸

𝜎𝐹 =

𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 𝐷𝐸

𝐹𝐷 0.4𝑃 6 𝜎𝐹 = → 150𝑥10 = → 𝑃 = 150 𝐾𝑁 𝐴 400𝑥10−6

𝑃𝐹 = 141.18 𝐾𝑁

→a) Cálculo de la carga última 𝑃𝐹 = 141.18 𝐾𝑁 → 𝐹𝐶𝐹 = 48 𝐾𝑁

𝐹𝐷𝐹 = 150𝑥106 400𝑥10−6 = 60 𝐾𝑁

𝐹𝐶 0.6 4 + 𝐹𝐷 3 = 2𝑃 → 48 0.6 4 + 60 3 = 2𝑃 → 𝑃𝑈 = 147.60 𝐾𝑁

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Pregunta 3 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →b) Cálculo de los esfuerzos residuales 𝑃 ∗= −𝑃𝑈 → 𝑃 ∗= −147.60 𝐾𝑁 → 𝐹𝐶 𝐷𝑒𝑠 = 0.34𝑃 → 𝐹𝐶 ∗= −50.184𝐾𝑁

→ 𝐹𝐶 𝑅𝑒𝑠 = 48 − 50.184 = −2.184 𝐾𝑁

→ 𝐹𝐷 𝐷𝑒𝑠 = 0.4𝑃 → 𝐹𝐶 ∗= −59.04 𝐾𝑁

→ 𝐹𝐷 𝑅𝑒𝑠 = 60 − 59.04 = 0.96 𝐾𝑁

(−2.184)𝑥103 → 𝜎𝐶 𝑅𝑒𝑠 = = −10.92 𝑀𝑃𝑎 200𝑥10−6 0.96𝑥103 → 𝜎𝐷 𝑅𝑒𝑠 = = 2.40 𝑀𝑃𝑎 400𝑥10−6 →b) Cálculo de las deformaciones permanentes 0.96𝑥103 (4) 𝛿𝐷 = → 𝛿𝐷 = 0.128 𝑚𝑚; 𝛿𝐶 = 0.8 0.128 = 0.1024 𝑚𝑚 (75𝑥109 )(400𝑥10−6 )

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Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva En la siguiente figura se muestra un pórtico conformado por una viga y dos columnas (una de acero y otra de madera). La columna de acero que tiene un módulo de elasticidad de 𝟐𝟎𝟎 𝑮𝑷𝒂, un esfuerzo de fluencia 𝝈𝒚 = 𝟐𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂, y 𝝈𝒂𝒅𝒎−𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊ó𝒏 = 𝟎. 𝟔𝝈𝒚 ; puede considerarse como empotrada-articulada en el plano XZ y doblemente empotrada en el plano XY. La columna de madera es del Grupo B y puede considerarse empotrada-articulada en ambos ejes para el primer tramo (columna rectangular) y biarticulada en ambos ejes para el segundo tramo (columna circular). Las columnas reciben una carga con doble excentricidad como se observa en cada una de las secciones. Emplear el método de interacción y las fórmulas empíricas del AISC y de la norma E 010 para determinar la máxima carga distribuida “w” que se puede aplicar sobre la viga

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Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Para la columna de acero 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 𝜎𝑦 = 250 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎𝑑𝑚−𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 = 0.6𝜎𝑦 = 150 𝑀𝑃𝑎 Plano XY

Plano XZ 𝐸 − 𝐴 → 𝐿𝑒 = 0.7 7.00 = 4.9 𝑚

𝐸 − 𝐸 → 𝐿𝑒 = 0.5 7.00 = 3.5 𝑚

0.2(0.15)3 0.197(0.147)3 𝐼𝑦 = − 12 12 −6 4 𝐼𝑦 = 4.102𝑥10 𝑚

0.15(0.2)3 0.147(0.197)3 𝐼𝑧 = − 12 12 −6 4 𝐼𝑧 = 6.344𝑥10 𝑚

𝜌=

4.102𝑥10−6 𝜌= 0.20 0.15 − (0.197)(0.147)

6.344𝑥10−6 (0.20)(0.15) − (0.197)(0.147)

𝜌 = 0.0628 𝑚

𝜌 = 0.0781 𝑚

𝐿𝑒 4.9 = = 78.025 𝜌 0.0628

𝐿𝑒 3.5 = = 44.814 𝜌 0.0781

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Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Cálculo de 𝐶𝐶 𝐶𝐶 = 𝜋

2𝐸 𝜎𝑓

→ 𝐶𝐶 = 𝜋

2(200𝑥103 ) 250

=125.664

𝐿𝑒 = 78.025 < 125.664 = 𝐶𝐶 𝜌 →Cálculo de F.S y esfuerzo admisible 𝐿 𝐿 5 3 𝑒ൗ𝜌 1 𝑒ൗ𝜌 𝐹. 𝑆 = + − 3 8 𝐶𝐶 8 𝐶𝐶 𝜎𝑎𝑑𝑚

𝐿𝑒ൗ 𝜌 250 = 1− 1.870 2𝐶𝐶2

3

→ 𝐹. 𝑆 = 1.870

2

→ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 107.92 𝑀𝑃𝑎

→Cálculo de la carga crítica P 𝑃 0.09𝑃 0.1 0.07𝑃 0.075 1.041𝑥10−3 + 6.344𝑥10−6 + 4.102𝑥10−6 ≤ 1 107.92𝑥106 150𝑥106 150𝑥106 Gean Carlo Tacilla- Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva 𝑃 0.09𝑃 0.1 0.07𝑃 0.075 1.041𝑥10−3 + 6.344𝑥10−6 + 4.102𝑥10−6 ≤ 1 107.92𝑥106 150𝑥106 150𝑥106

8.90𝑥10−6 𝑃 + 9.46𝑥10−6 𝑃 + 8.53𝑥10−6 𝑃 ≤ 1 26.89𝑥10−6 𝑃 ≤ 1 → 𝑷 ≤ 𝟑𝟕. 𝟏𝟗 𝑲𝑵 → 𝑷𝒄𝒓 = 𝟑𝟕. 𝟏𝟗 𝑲𝑵 →Para la columna de madera de sección rectangular 𝐸 = 75 000 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2

𝜎𝑎𝑑𝑚−𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 = 145 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2 𝑓𝑐 = 110 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2

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Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva 𝐸 − 𝐴 → 𝐿𝑒 = 0.7 500 = 350 𝑐𝑚 𝐿𝑒 350 𝜆= →𝜆= = 14 𝑑 25 →Cálculo de 𝐶𝑘 𝐸 75000 𝐶𝑘 = 0.7025 → 𝐶𝑘 = 0.7025 → 𝐶𝑘 = 18.343 𝑓𝑐 110 𝜆 = 14 < 18.343 = 𝐶𝑘 →Cálculo del esfuerzo admisible 𝜎𝑎𝑑𝑚

1 𝜆 = 𝑓𝑐 1 − 3 𝐶𝑘

4

→ 𝜎𝑎𝑑𝑚

1 14 = 110 1 − 3 18.343

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4

→ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 97.558 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2

Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Cálculo de la carga crítica P 5𝑃 12.5 5𝑃 15 𝑃 30𝑥253 25𝑥303 30𝑥25 + 12 + 12 ≤ 1 97.558 145 145 1.367𝑥10−5 𝑃 + 1.103𝑥10−5 𝑃 + 0.920𝑥10−5 𝑃 ≤ 1

3.390𝑥10−5 𝑃 ≤ 1 → 𝑷 ≤ 𝟐𝟗𝟒𝟗𝟖. 𝟓𝟑 𝑲𝒈 → 𝑷𝒄𝒓 = 𝟐𝟖𝟗. 𝟑𝟖 𝑲𝑵 →Para la columna de madera de sección circular 𝐸 = 75 000 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2 𝜎𝑎𝑑𝑚−𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 = 145 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2 𝑓𝑐 = 110 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2

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Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva 𝐴 − 𝐴 → 𝐿𝑒 = 1 300 = 300 𝑐𝑚 𝐿𝑒 300 𝜆= →𝜆= = 12 𝑑 25 →Cálculo de 𝐶𝑘 𝐸 75000 𝐶𝑘 = 0.6084 → 𝐶𝑘 = 0.6084 → 𝐶𝑘 = 15.886 𝑓𝑐 110 𝜆 = 12 < 15.886 = 𝐶𝑘 →Cálculo del esfuerzo admisible 𝜎𝑎𝑑𝑚

1 𝜆 = 𝑓𝑐 1 − 3 𝐶𝑘

4

→ 𝜎𝑎𝑑𝑚

1 12 = 110 1 − 3 15.886

Gean Carlo Tacilla- Miembro del Área de Asuntos Académicos EERI PUCP

4

→ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 98.062 𝐾𝑔Τ𝑐𝑚2

Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Cálculo de la carga crítica P 𝑃 5𝑃 12.5 5𝑃 12.5 𝜋(25)2 𝜋(12.5)4 𝜋(12.5)4 4 4 4 + + ≤1 98.062 145 145 2.077𝑥10−5 𝑃 + 2.248𝑥10−5 𝑃 + 2.248𝑥10−5 𝑃 ≤ 1

6.573𝑥10−5 𝑃 ≤ 1 → 𝑷 ≤ 𝟏𝟓𝟐𝟏𝟑. 𝟕𝟓 𝑲𝒈 → 𝑷𝒄𝒓 = 𝟏𝟒𝟗. 𝟐𝟓 𝑲𝑵

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Pregunta 4 EX 2 2021.1-Ing. Ginocchio, Ing. Rubiños, Ing. Silva →Se realiza el D.C.L de la viga

𝟑𝟕. 𝟏𝟗

𝟑𝟕. 𝟏𝟗

5𝑊 = 74.38 → 𝑊 = 14.876 𝐾𝑁/𝑚

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Asesoría de Resistencia de Materiales 2 – Examen 2– 2021.2

MUCHAS GRACIAS POR SU ASISTENCIA Y

TODOS LOS ÉXITOS EN ESTE SEGUNDO EXÁMEN DE PARTE DE LA FAMILIA EERI PUCP Ponentes: Gean Tacilla y Josue Atahuamán