UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
DEFLEXION DE VIGAS (RESISTENCIA DE MATERIALES) Bonilla M., Bonilla G., Sailema, Vallejo.
Año: 2017
DEFLEXION DE VIGAS (RESISTENCIA DE MATERIA M ATERIALES) LES) (Michelle Caroline Bonilla Coca)
[email protected]
(Ronny Gabriel Bonilla Silva)
[email protected]
(Karla Belen Sailema Moreta)
[email protected]
(Cristhian Daniel Vallejo Lopez)
[email protected]
RESUMEN:
Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseñados por resistencia, vale decir, no se romperán bajo la carga, pero podrán deformarse mas allá de lo deseable, lo que llevaría consigo el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales.
Cada día en el mundo de la construcción se exige la fabricación de elementos estructurales capaces de soportar grandes cargas para resguardar la seguridad social, esto se ha presentado como una problemática puesto que una de las bases estructurarles de una obra se encuentra en las vigas que presenta la misma, generando problemáticas así como lo es la deflexión a la que se puede someter esta parte estructural.
PALABRAS CLAVE: Esfuerzo, Deflexión, Resistencia de materiales.
Para abordar el análisis de las vigas resulta necesario analizar las deformaciones que experimentara la misma, luego de ser cargada. Esto se lo realiza mediante la aplicación de métodos existentes en el estudio de la resistencia de materiales; dichos métodos conocidos como (Método de de doble integración) y (Método de área de momento) nos permitirá realizar la aplicación de conocimientos previos de integrales para lograr obtener los estudios que se pretende realizar.
ABSTRACT.
Every day in the world of construction requires the manufacture of structural elements capable of withstanding heavy loads to safeguard social security, this has been presented as a problem since one of the structural bases of a work is in the beams that it presents, generating problems as well as the deflection to which this structural part can be subjected. In order to approach the analysis of the beams it is necessary to analyze the deformations that the same will experience, after being loaded. This is done by applying existing methods in the study of the resistance of materials; These methods known as (Dual Integration Method) and (Moment Area Method) will allow us to perform the application of previous knowledge of integrals in order to obtain the studies that are intended to be performed.
Una viga es una representación física de una sección estructural o miembro de una estructura, de la cual se desea investigar para comprender su deformación o deflexión, esfuerzos o modo de falla cuando se ha puesto en contacto con una carga mayor a su limite de capacidad de soportar una carga; importante análisis puesto que dicha viga sirve como complemento a la mecánica e ingeniería estructural y sobre todo para el diseño de estructuras.
A beam is a physical representation of a structural section or member of a structure, from which it is desired to investigate to understand its deformation or deflection, stress or failure mode when it has come into contact with a charge greater than its capacity limit of Bear a load; Important analysis since this beam serves as a
El análisis de las deformaciones tiene básicamente dos objetivos. Por una parte el poder obtener nuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas; por otra parte, las deformaciones en sí.
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complement to the mechanics and structural engineering and especially for the design of structures.
así como también su punto de ruptura debido a la exposición de una carga mayor. Es por este motivo que la presente investigación se hace con el propósito de establecer un claro concepto de la importancia de obtener los conocimientos matemáticos que entran en el campo de la resistencia.
The analysis of the deformations has basically two objectives. On the one hand being able to obtain new conditions, which translated into equations, allow us to solve the unknowns in beams; On the other hand, the deformations themselves.
2 MATERIAL Y METODOS
Wood or steel beads, for example, can be correctly designed by resistance, It means they will not break under the load, but they may deform beyond what is desirable, which would lead to the collapse of finishing elements such as fake skies or Windows.
Keywords:
Año: 2017
Para dar a conocer nuestro proceso de investigación se ha hecho énfasis en el método Deductivo así como también diferentes técnicas de investigación, entre las cuales se puede dar a conocer las siguientes: Haciendo relación al método especificado, nos hemos enfocado en este método precisamente para inferir de lo general a lo mas especifico, es decir de lo universal a lo individual, para así poder llegar a una conclusión de tipo particular.
Effort, Deflection, Resistance of materials.
1 INTRODUCCIÓN La necesidad de utilizar materiales cada vez mas ligeros y a la vez mas resistentes en ciertas aplicaciones como es el caso de la industria relacionada al área de construcción, ha provocado el requerimiento de nuevos materiales que sean capaces de trabajar bajo fuertes condiciones de esfuerzo. La teoría de la resistencia de materiales y del calculo de estructuras es hoy una teoría altamente elaborada, constatada experimentalmente en sus aplicaciones, con un alto nivel de coherencia interna, y de gran utilidad practica.
Una vez dado a conocer el método que conlleva esta investigación, hacemos énfasis a las diferentes Técnicas investigativas aplicadas al presente articulo: Se decidió usar la Técnica de Observación, puesto que, a través de ella se ha podido utilizar de una manera sistemática nuestro sentido en la búsqueda de los datos que necesitamos para resolver el problema de investigación que hemos presentado. Así como también la Técnica de Análisis de Contenido que se la ha empleado para la clasificación de las diferentes partes de nuestro escrito conforme a las categorías que se establecieron en nuestra investigación, para lograr extraer la información predominante y necesaria.
En su formulación se utilizan expresiones formales (matemáticas) que ligan entre si gran numero de términos teóricos, unos correspondientes a comportamientos de experimentación en este caso deflexión, otros solo determinables a través de los efectos que, siempre según la teoría, pueden producir fuerza o momento. Algunos de los materiales fabricados han sido estudiados en lo referente a sus propiedades mecánicas y físicas, así como también en lo relacionado a sus procesos de producción.
3 RESULTADOS. 3.1 DEFLEXION DE VIGAS
El problema principal a resolver en esta investigación puede formularse como: Necesidad de automatizar la determinación de el esfuerzo máximo del material.
3.1.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA Para comenzar este tema se debe dar a conocer la siguiente ecuación en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:
El objetivo de la investigación es hacer relación al calculo de la resistencia de un material correspondiente al área de Ingeniería Civil, dando así a conocer por medio de aplicaciones que conllevan conocimientos matemáticos, como se puede determinar la capacidad máxima de los materiales antes de llegar a su deflexión; 2
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1 = .
1 = = ∗
(1)
Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.
Donde ‘ρ’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’). Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión
(2) Figura 2. Viga en deflexión por ser sometida a la carga
3.1.2
Ec. (2) Expresión radio de curvatura de una curva plana
MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN
Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.
Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:
(3)
Ec. (3) Ecuación diferencial de la Elástica
Ec. (1) Curvatura de la superficie el momento flector en una viga sometida a flexión.
1 = 1+
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Corresponde la primera derivada de la función.
Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.
Corresponde a la segunda derivada de la función.
El método de doble integración produce ec uaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
= ∗
(4)
Ec. (4) Ecuación diferencial de la elástica
Figura 1. curva plana en un punto ‘P(x,y)’
El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga
Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:
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prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:
∙ ∙ = ∫ ∙ +
El término ‘C2 ’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1 ’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.
(5)
Ec. (5) Integral de la Ecuación diferencial elástica.
En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:
= ≅
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(6)
Ec. 6
De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga. Fig. 4 Vigas apoyadas
Del apoyo en ‘ A’ puede establecerse: x = LA → y = 0 Y, debido al apoyo en ‘B’ : x = LB → y = 0
Fig.3 Inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:
∙ ∙ = ∫∫ ∙ +∙ +
(7)
Fig. 5 Vigas empotradas
Ec. (7)
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Debido al empotramiento ‘A’ : x = LA → y = 0 x = LA → θ = 0
3.1.3
Si integramos la expresión anterior, obtenemos:
∫ = ∫ ∙ ∙
MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO
El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga.
(9)
Ec. (9) Integración de la ecuación elástica. Planteando que:
/ = −
La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados.
(10)
Ec.10 Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:
/ = ∫ ∙ ∙
El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector. La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.
(11)
Ec. (11) Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento:
Fig.7
Fig.6 Curva Elástica con rectas tangentes.
“El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’ entre esos dos puntos”
Puede observarse que ‘B/A ’ es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto ‘B’ respecto a la que pasa por ‘A’. De forma análoga se define el ángulo A/B. Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario. Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la elástica de la forma:
() = = ∙
Luego, como se observa en la figura, considerarse aceptable la aproximación:
≅ ∙
(8)
puede
(12)
Ec. (12) Donde ‘d’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la
Ec. (8) Ecuación Elástica
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distancia medida desde el punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘d ’ queda:
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De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’ respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:
/ = ̅ ∙ ∫ ∙ ∙
(16)
Ec. (16) Fig. 8
= ∙ ∙ ∙
Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).
(13)
Ec. (13)
Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:
/ = ∫ ∙ ∙ ∙
(14)
Ec. (14) Lo cual puede rescribirse de la forma:
/ = ̅ ∙ ∫ ∙ ∙
Fig. 9 (15)
3.2 APLICACIONES
Ec. (15)
3.2.1 VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA TRIANGULAR
Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’. La ecuación (15) supone la base del segundo teorema de área momento: “La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la desviación vertical ‘tA/B’ ”.
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/ 1 = ∫ 4 − 3 ∙ ∙ / = 1 ∫ 4 − 3 ∙ ∙ / = 1 12 − 15 = 96 − 480 = 120 3.2.1.2 POR METODO DE DOBLE INTEGRACION
Fig. 10
3.2.1.1 POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTO
La viga es simétrica por lo tanto se puede analizar un solo tramo. Con la ecuación general de momento flector establecemos la ecuación diferencial de la elástica para el primer tramo.
Establecemos el equilibrio externo
= = 4
= 4 − 3 ∙ = 4 − 3
Determinamos la ecuación general de momento flector
∗ = 2/2 ∗ = = 4 − 2 ∙ 3 ∙ 2 = 4 − 2 / 1 = = ∫ 4 − 3 . / 1 = [ 8 − 12] = 32 − 192 5 = 192
Integrando la ecuación dos veces obtenemos:
∙ = 8 − 12 + ∙ = 24 − 60 + + Según la deformación de la viga, la pendiente es nula cuando X= L/2
0 = 8 − 12. 16 + = 5 192
Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando x=0 Por lo tanto
= 0
Reemplazando obtenemos:
Para determinar la flecha máxima se calcula la desviación tangencial en el extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en L/2.
en las ecuaciones anteriores
Ecuación general de ángulo:
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5 ∙ = 8 − 12 − 192 + 5 ∙ = 24 − 60 192
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concisa, varios métodos para determinar la deflexión y la pendiente que sufre en puntos específicos.
Ecuación general de flecha:
5 CONCLUSIONES.
Prevenir el valor máximo de deflexión que van a sufrir las estructuras de una construcción en función del modulo de elasticidad del material y las fuerzas que se aplican(cargas) es muy importante para prevenir fallas y daños.
Se puede aplicar los conocimientos adquiridos acerca de la doble integración puesto que son base fundamental para aplicación de los métodos que correspondes al cálculo de una deflexión en vigas. Logrando así la aplicación de las matemáticas en el campo de Ingeniería Civil, específicamente en el campo estructural.
El cálculo de la deflexión máxima que puede soportar la viga hace que nuestra estructura sea segura y a la vez brinde seguridad, con aplicaciones matemáticas podemos analizar el punto máximo de flexión en la cual la viga pueda mantener elementos que componen la obra civil.
Determinamos el ángulo en los apoyos reemplazando X=0 en la ecuación correspondiente
5 = − 192
Siendo simétrica la viga, este valor también es valido para el otro extremo de la viga. Y la flecha máxima reemplazando en X= L/2
= − 120
4 DISCUSION. Para un ingeniero civil es necesario determinar donde la viga que se va a analizar va a fallar, es decir, a que esfuerzo ésta se va a romper, ya sea de tracción, compresión y flexión. Procedente a esto añadir un factor de seguridad para riesgos de casos extremos.
AGRADECIMIENTOS. LITERATURA CITADA.
En base al trabajo de investigación se puede determinar, que la metodología que se presenta para poder determinar el momento de deflexión en una viga es de vital importancia, puesto que las vigas son la base estructural para la seguridad de la sociedad en convivencia con el área constructiva.
[1] [2] [3]
Para facilidad y optimización de estos cálculos nosotros utilizamos los métodos planteados en la investigación para que sean mas exactos y concisos.
[4] [5]
Las cargas de flexión aplicadas a una viga hacen que se flexiones en una dirección perpendicular a su eje. Una viga recta en su origen se deformará y su forma será ligeramente curva. En la mayor parte de los casos el factor critico es la deflexión máxima de la viga, o su deflexión en determinados lugares. Con frecuencia se deben establecer limites para la cantidad de deflexión que pueda sufrir una viga o un eje, cuando se lo somete a una carga, siendo el fundamento de este articulo describir de una manera breve y
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William A. Nash, Resistencia de Mateliales, Ed. McGraw-Hill, Mexico, 1970 S. P. Timoshenko, Resistencia de Materiales, Ed. Epasa-Calpe, Madrid, 1980 Fernandin L. Singer y Andrew Pytel, Resistencia de Materiales, Ed. Harle, México, 1982 Askeland, D.R.; Phulé, Ciencia e Ingeniería de los Materiales, 4 ª. Ed. Thomson, p. 115, 2003 Saxena S.A., Ciencia y Diseño de Materiales para Ingeniería, 1º ed. CECSA, p. 13., 2000
