Articulo Convolucion Hans Lopez

Ponencia Realizada en el Primer Congreso Regional de Electricidad, Electrónica y Sistemas, CREES 2009.

1

Método Alternativo para Calcular la Convolución de Señales en Tiempo Continuo Hans I. López

presente artículo expone una solución  Resumen  —El alternativa al método gráfico que se utiliza con frecuencia para obtener la convolución de dos señales continuas. Se discuten las ventajas y desventajas del método, así como las posibles aplicaciones en el ámbito académico.   Palabras Claves  —Convolución,

Ahora considérense a todas las derivadas e integrales de la función impulso unitario como una familia de funciones, que se reconocerán como funciones singulares o elementales. La función escalón unitario [1] es, por ejemplo, obtenida al integrar la función delta de Dirac:

Funciones Singulares, Método

Gráfico

u t  

⎧0, t  < 0

() ⎨ 1, t  ≥ 0 ⎩

t 

=

∫  δ ( λ ) d λ 

(3)

−∞

I. I NTRODUCCIÓN Otros ejemplos de funciones singulares son: rampa unitaria, A convolución es una operación que permite encontrar la r(t); parabola, p(t ); cúbica, c(t); muy utilizadas en el análisis respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo de señales en tiempo continuo. (LTI) si se conoce la respuesta al impulso y la señal de entrada al mismo [1]. ⎧0, t  < 0 r ( t )  ⎨ u ( λ ) d λ  (4) = Dicha operación se realiza con las señales en el dominio del ∫  −∞ , 0 t  t  ≥ ⎩ tiempo y su contraparte, en la frecuencia, es básicamente una ⎧0, t  < 0 multiplicación de las transformadas de Fourier respectivas [2]. t  ⎪ (5)  p ( t )  ⎨ t 2 r ( λ ) d λ  λ  = Aunque el análisis frecuencial facilita en muchos casos el ∫  −∞ t  ≥ ⎪⎩ 2 , 0 análisis de las señales, es de esperarse que en otros se convierta en un desgaste de esfuerzo y tiempo valioso. ⎧0, t  < 0 t  Gracias a la dualidad tiempo-frecuencia, la convolución es ⎪ (6) c (t )  ⎨ t 3 p ( λ ) d λ  = λ  ∫  −∞ útil en el análisis de procesos que impliquen la multiplicación ⎪⎩ 6 , t  ≥ 0 en el dominio del tiempo (tal como ocurre en el proceso de modulación) [3] y en el cálculo de funciones de Es de esperarse entonces que la funciones singulares se autocorrelación; sin embargo, el cálculo de la integral de convolución [4] es dispendioso, computacionalmente computacionalmente exigente  puedan obtener como las derivadas de las de orden superior;  por ejemplo, la función delta de Dirac se podría definir como y en el ámbito académico, un martirio. A continuación se expone un método alternativo para la derivada de la función escalón unitario, la segunda derivada calcular la convolución, el cual promete evitar la evaluación de la función rampa unitaria y así sucesivamente. de la integral y facilitar el análisis de señales.

L

t 

 B.  Integral de Convolución EFERENCIAL II. MARCO R EFERENCIAL

 A.  Funciones Singulares

Sea δ(t) la función impulso unitario [1], también conocida como delta de Dirac, definida en (1) y cuya área total “bajo la curva” es unitaria. δ ( t )

=

⎧0, t  ≠ 0 ⎨ ⎩∞, t  0 (1) =

∞

∫  δ (t ) dt  −∞

=

1

A continuación, considérese un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) caracterizado por su respuesta al impulso h(t). Sea x(t), y(t), la entrada y salida del sistema, respectivamente respectivamente (Fig. 1a). La respuesta al impulso, h(t), es la salida que se obtiene al aplicar un delta de dirac de área unitaria en la entrada del sistema LTI (Fig. 1b). Debido a que el sistema en cuestión es invariante en el tiempo, un retraso de τ unidades de tiempo en la señal de entrada implica un retraso equivalente en la salida del sistema, como se representa en la Fig. 1c. Ahora bien, la linealidad del sistema permite aplicar el principio de superposición mostrado en la Fig. 1d y la Fig. 1e.

Ponencia Realizada en el Primer Congreso Regional de Electricidad, Electrónica y Sistemas, CREES 2009.

2

Es de aclarar que las propiedades dadas en (11) y (12) son extensibles a ordenes superiores. III. MÉTODO BASADO EN FUNCIONES SINGULARES PARA CALCULAR LA CONVOLUCIÓN  A. Convolución de Funciones Singulares

Considerando las definiciones de las funciones singulares y la de la integral de convolución mostrada en (7), así como las  propiedades (11) y (12) de la misma, es posible demostrar las siguientes relaciones: ()

 x t 

()

 x t 

()

 x t 

*

*

*

d  dt 

δ ( t )

=

t 

∫ 

=

( ) (13)

x t 

d 

δ ( t )

()

u t 

=

−∞

( ) (14)

 x t 

dt 

( )

x λ  d λ 

(15)

En (13) se puede reconocer a la función delta de Dirac como el módulo de la convolución, de la misma forma que el cero es para la adición y el uno lo es para el producto. En otras Fig. 1. Integral de Convolución. Nótese la necesidad de la invarianza en el   palabras, la convolución tambien cumple con la propiedad tiempo del sistema en (c) y como se aplica el principio de homogeneidad en modulativa. (d) y el de aditividad en (e) aprovechando que el sistema también es lineal. Ahora bien, de (14) y (15) se puede inferir que la De esta forma (Fig. 1f), la salida del sistema se puede convolución con tales funciones singulares no es mas que una calcular con la denominada integral de convolución dada en forma elegante de representar la integral o derivada de (7). Para simplificar su representación se utiliza el operando cualquier señal, y no solo las de primer orden; por ejemplo, la convolución con r(t) es la segunda integral de la función y la asterisco como la operación de convolución [2]: convolución con la segunda derivada de delta es, por supuesto, ∞ la segunda derivada de la misma.  y (t ) ∫  x (τ  ) h ( t  − τ  ) d τ   x (t ) h ( t ) (7) −∞ El análisis anterior conlleva a resultados de mayor interés cuando la señal x(t) es también una función singular. A En síntesis, la convolución es una operación que permite continuación se muestran algunos ejemplos: determinar la salida de un sistema LTI si se conoce la entrada y la respuesta al impulso que lo caracteriza. δ ( t ) δ ( t ) δ  ( t ) (16) u ( t ) u ( t ) r ( t ) (17) C.  Propiedades de la Convolución r ( t ) u ( t ) p ( t ) (18) La convolución presenta las mismas propiedades básicas del (19) r ( t ) r ( t ) c ( t )   producto [4]: es conmutativa, asociativa y distributiva con respecto a la adición, como se ilustra en (8), (9) y (10), respectivamente:  B. Convolución de Funciones Singulares Desplazadas en el  *

=

*

=

⎡⎣ x ( t ) * h ( t ) ⎤⎦ * h ( t ) x ( t ) * ⎡⎣ h ( t ) * h ( t ) ⎤⎦ (9)  x ( t ) * ⎡ ⎣ h1 ( t ) + h2 ( t ) ⎤⎦ = x ( t ) * h1 ( t ) + x ( t ) * h2 ( t ) (10) 1

=

2

1

2

Existen un par de propiedades adicionales, (11) y (12), con respecto a las operaciones de diferenciación e integración: ()

()

 x t 

*

t 

*

∫ 

−∞

d  dt 

()

h t 

( )

d  =

h λ  d λ 

dt 

⎡⎣ x ( t ) * h ( t )⎤⎦ (11) t 

=

∫ 

−∞

( )

x λ 

*

( )

*

=

*

=

*

=

Si las funciones singulares no se encuentran centradas en el origen aún es posible encontrar su convolución. El resultado se obtiene al extender una de las propiedades de la función delta de Dirac [1], (20), y aplicarla en la definición dada en (7). b

∫   f (t )δ (t  − t  ) dt  0

a

 x t 

=

Tiempo

 x ( t ) h ( t ) h ( t )  x ( t ) (8) *

*

h λ  d λ 

(12)

=

f (t 0 ),

a ≤ t 0 ≤ b

(20)

De esta forma se pueden inferir las siguientes relaciones: δ  ( t  − t 0 ) * δ  ( t  − t 1 )

=

δ  ( t  − t 0

( − t  ) * u (t  − t  )

=

r t 

u t 

0

1

− t 1 ) (21)

( − t  − t  ) (22) 0

1

Ponencia Realizada en el Primer Congreso Regional de Electricidad, Electrónica y Sistemas, CREES 2009. r ( t  − t 0 ) * u ( t  − t 1 )

( − t  ) * r (t  − t  )

r t 

0

1

=

=

p ( t  − t 0

3

− t 1 ) (23)

( − t  − t  ) (24)

c t 

0

1

En este punto se encuentran todas las herramientas dispuestas para enunciar un método general para calcular la convolución. Está basado en las propiedades antes descritas y en la posibilidad de representar una función de interés como una combinación lineal de funciones singulares desplazadas en el dominio del tiempo. El método se define en breve y mas adelante se ilustrará con ejemplos numéricos, para facilitar su comprensión. C.  Descripción del Método

Sea x(t) la entrada a un sistema LTI caracterizado por la respuesta al impulso h(t) y considérese a y(t) como la salida del mismo. i. Represente a x(t) y h(t) como una combinación lineal de  funciones singulares desplazadas en el tiempo. ii. Reemplace a x(t) y h(t), obtenidas en i, en y(t)=x(t)*h(t). iii. Utilice la propiedad distributiva de la convolución, con respecto a la adición. iv. Convolucione las funciones singulares y simplifique el  resultado.

De esta forma se obtiene a y(t) como una combinación lineal de funciones singulares desplazadas en el tiempo. El resultado se puede graficar en algún software de matemática como Matlab, MathCad, Derive o Grapher.

Fig. 3. Entrada aplicada al sistema caracterizado por h(t). A este tipo de señales se les denota como no causales ya que existen para tiempos menores que cero.

De manera similar se muestra, en la Fig. 3, la entrada que se desea aplicar al sistema LTI. Para encontrar la salida resultante se empleará el método propuesto. En (25) y (26) se muestran las representaciones en funciones singulares de h(t) y x(t), respectivamente. ) − 4u (t  − 3) (25) (26)  x ( t ) = 2u ( t  + 1) − 2u ( t  − 2 ) ()

h t 

=

(

4 u t  − 1

A continuación se aplica la propiedad distributiva de la convolución con respecto a la adición.  y ( t ) = x ( t ) * h ( t )

IV. EJEMPLOS DE APLICACIÓN  A. Convolución de dos rectángulos

Considérese el sistema LTI caracterizado por la respuesta al impulso h(t) de la Fig. 2.

⎡⎣ 2u ( t  + 1) − 2u ( t  − 2 ) ⎤⎦ * ⎡⎣ 4u ( t  − 1) − 4 u ( t  − 3)⎤⎦ (27) = ⎣ ⎡ 2u ( t  + 1) * 4 u ( t  − 1) ⎦⎤ − ⎣⎡ 2u ( t  + 1) * 4 u ( t  − 3)⎦⎤ =

− ⎡⎣ 2u ( t  − 2 ) * 4 u ( t  − 1) ⎤⎦ + ⎡⎣ 2u ( t  − 2 ) * 4 u ( t  − 3)⎤⎦

Se convolucionan las funciones singulares y por último se simplifica como se muestra en (28).  y ( t ) = x ( t ) * h ( t )

(28) (t  + 1 − 1) − 8 r (t  + 1 − 3) −8r ( t  − 2 − 1) + 8 r ( t  − 2 − 3) = 8 r ( t ) − 8 r ( t  − 2 ) − 8 r ( t  − 3) + 8 r ( t  − 5 ) =

Fig. 2. Respuesta al impulso de un sistema LTI. El sistema es causal, estable y con memoria.

8r

El resultado final mostrado en (28) es la convolución deseada. Obsérvese que el método evoca los procedimientos   practicados en la álgebra básica, como la múltiplicación de coeficientes y el manejo de signos. De esta forma se justifica su aplicación en el ámbito académico, en la medida que el estudiante puede realizar el cálculo deseado con un ahorro de tiempo considerable. Para terminar el ejemplo, se muestra la gráfica de y(t) en la Fig. 4 y se destaca que aunque fue elaborada en un software de matemáticas, su elaboración manual también es realizable (considerando las características de las señales involucradas).

Ponencia Realizada en el Primer Congreso Regional de Electricidad, Electrónica y Sistemas, CREES 2009.

Fig. 6. Señal f *(-t). Debido a que la señal es real f *(-t) = f(-t).

Fig. 4. Salida del sistema LTI. Convolución de x(t) con h(t).

 f  ( −t ) = −2u ( t  + 1) + r ( t  + 1) + r ( t  − 1) − 2r ( t  − 2 ) − 2u ( t  − 2 )

 B. Cálculo de la Función de Autocorrelación

El segundo ejemplo consiste en la aplicación de la convolución en el cálculo de la función de autocorrelación. Esta es la tranformada inversa de Fourier de la densidad espectral de energía. La función de autocorrelación, R f  (τ), de la señal de energía f(τ), se puede calcular por medio de la convolución de f con el conjugado de su versión reflejada, tal y como se muestra en (29).  R f  (τ  )

=

f  (τ  ) * f  ( −τ  ) *

(29)

(31)

La función de autocorrelación se calcula a continuación. El cambio de variable es un formalismo fundamentado en el hecho que la función no representa una señal.  R f  (τ  ) = f  (τ  ) * f * ( −τ  )

⎡⎣ 2u (τ  + 2 ) − 2r (τ  + 2 ) + r (τ  + 1) + r (τ  − 1) + 2u (τ  − 1)⎤⎦ * ⎡⎣ −2u (τ  + 1) + r (τ  + 1) + r (τ  − 1) − 2r (τ  − 2 ) − 2u (τ  − 2 )⎤⎦

=

(32)

Después de aplicar la propiedad distributiva de la convolución, con respecto a la adición, se obtiene:

Tómese en consideración la señal ilustrada en la Fig. 5, f(t), cuya representación en funciones singulares es la siguiente:

 R f  (τ  ) = f  (τ  ) * f * ( −τ  ) =

 f ( t ) = 2u ( t  + 2 ) − 2r ( t  + 2 ) + r ( t  + 1) + r ( t  − 1) + 2u ( t  − 1)

4

(30)

En la Fig. 6 se muestra la versión reflejada de f(t). En (31) se   puede observar la representación en funciones singulares de f(-t).

Fig. 5. Señal f(t). Debido a que la señal es acotada en tiempo y magnitud, su energía total es finita y la potencia promedio es nula.

−4 r (τ  + 3) + 2 p (τ  + 3) + 2 p (τ  + 1) − 4 p(τ ) − 4 r (τ  )  p (τ  + 3) − 2 c (τ  + 3) − 2 c (τ  + 1) + 4 c (τ  ) + 4 p (τ  )

+4

(33)

−2 p (τ  + 2 ) + c (τ  + 2 ) + c (τ  ) − 2 c (τ  − 1) − 2 p (τ  − 1) −2 p (τ  ) + c (τ  ) + c (τ  − 2 ) − 2 c (τ  − 3) − 2 p (τ  − 3) −4 r (τ  ) + 2 p (τ  ) + 2 p (τ  − 2 ) − 4 p (τ  − 3) − 4 r (τ  − 3)

Fig. 7. Función de autocorrelación de f(t). La simetría de la función es par y en τ = 0 ocurre su valor máximo que equivale a la energía total de la señal.

Ponencia Realizada en el Primer Congreso Regional de Electricidad, Electrónica y Sistemas, CREES 2009. La expresión (33) se puede simplificar, tal y como se muestra en (34). En la Fig. 7 se ilustra la gráfica respectiva.  R f  (τ  ) = f  (τ  ) * f * ( −τ  ) =

−4 r (τ  + 3) + 6 p (τ  + 3) − 2 c (τ  + 3) − 2 p (τ  + 2 ) + c (τ  + 2 )  p (τ  + 1) − 2 c (τ  + 1) − 8r (τ  ) + 6 c (τ  ) − 2 p (τ  − 1)

(34)

+2

−2c (τ  − 1) + 2 p (τ  − 2 ) + c (τ  − 2 ) − 6 p (τ  − 3) − 4 r (τ  − 3) −2c (τ  − 3)

Como se mencionó al principio, la función de autocorrelación es la transformada inversa de Fourier de la densidad espectral de energía y permite encontrar la energía total de la señal cuando se evalua en τ = 0. En este caso f(t) tiene 4J.  E T 

=

R f  ( 0 )

(35)

V. R EVISIÓN DEL MÉTODO PROPUESTO En las secciones previas se ha enunciado e ilustrado la aplicación del método con un par de ejemplos. El paradigma expuesto puede generar diversas apreciaciones en cuanto a su simplicidad. Es así como se plantean, en este capítulo, las condiciones requeridas para su aplicación. En primera instancia se observa la necesidad de representar  las funciones involucradas como una combinación lineal de funciones singulares desplazadas en el tiempo. Esta condición es fundamental para que el método pueda aplicarse y se convierte así en una limitante para la universalidad del mismo; sin embargo, cuando se considera que las entradas al sistema LTI son trenes de bits o señales multinivel de una codificación de línea, las bondades del método empiezan a sobresalir. Por otra parte, y tal vez la mayor razón para que el método tenga aplicación nace en el hecho de que los sistemas LTI  básicos tales como amplificadores, derivadores e integradores,  presentan como respuesta al impulso una función singular; por  lo tanto, se garantiza que h(t) es una combinación lineal de funciones singulares para tales sistemas. Un ejemplo lo representa el grupo de controladores P, PD, PI o PID empleados comúnmente en control analógico. La tercera característica del método y seguramente su debilidad yace en que la respuesta obtenida no está representada directamente en una función definida por  intervalos, como si sucede en el método gráfico utilizado con frecuencia. Es una lástima porque tal representación es para muchos la mas apropiada. Por supuesto, existe una contraprestación y es el hecho de que la gráfica respectiva se puede realizar con un software de matemáticas. Es suficiente con definir las funciones singulares en la herramienta, para que la gráfica se pueda obtener en  breve. Por ejemplo, las gráficas mostradas en las Fig. 2-7 son hechas en grapher 2.0 (software de Apple sobre OS X) bajo la   premisa anterior. Representaciones similares se pueden conseguir mediante calculadoras gráficas y herramientas más  poderosas como Derive o Matlab.

5

VI. CONCLUSIÓN El método propuesto permite encontrar la convolución de dos señales que se puedan representar como combinación lineal de funciones singulares desplazadas en el tiempo. En resumen, se puede mencionar que está basado en las   propiedades de la convolución; evita evaluar la integral de convolución; reduce la cantidad de pasos requeridos para obtener el resultado; y obtiene una representación final que es graficable en un software de matemáticas. La propuesta que se presenta es una alternativa al método gráfico y por supuesto, es menester del usuario identificar los casos en que puede aplicarlo. Se destaca que el método definido en este artículo es un resumen formal de la experiencia del autor como docente de la cátedra de análisis de señales. Ha sido expuesta, optimizada, simplificada y puesta a   prueba por alumnos de ingeniería durante más de ocho (8) semestres. Para el autor es grato destacar que los resultados han sido satisfactorios en pro de la actividad académica y que a su vez, la motivación demostrada por parte de los estudiantes ha incrementado notablemente. En este artículo se dejaron de plasmar ejemplos de aplicación a sistemas LTI, así como ejercicios dirigidos al contexto de las telecomunicaciones, dado que el interés central es la definición formal del método. El trabajo a seguir es la elaboración de un texto basado en la temática, la extensión del método para análisis en tiempo discreto y la búsqueda de herramientas adicionales que faciliten la aplicación y aprendizaje del análisis de señales. R ECONOCIMIENTOS H. I. López quiere agradecer a la facultad de ingeniería de la Fundación Universitaria San Martin, por permitirle formarse en su labor docente, y expresar su sentimiento de gratitud a todos los estudiantes, docentes, colegas y directivos que hicieron parte del proceso de realimentación. R EFERENCIAS [1] S. Soliman, M. Srinath. “Señales y Sistemas Continuos y Discretos”, 2da ed. Prentice Hall, 1999, pp. 19–33. [2] A. Oppenheim, A. Willsky, S. Nawad. “Señales y Sistemas”, 2da ed. Prentice Hall, 1998, pp. 90–115. [3] H. Hsu. “Análisis de Fourier”, 1ra ed. Prentice Hall, 1987, pp. 151-171. [4] B. Lathi. “Introducción a la Teoría y Sistemas de Comunicación”, 1ra ed. Limusa, 2005, pp. 87-94. nació en Barranquilla el 24 de Junio de 1982. Es ingeniero Electrónico de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Obtuvo el mayor promedio acumulado de la facultad de ingeniería en la promoción 2003. Estudiante becado y candidato a Magister en Ciencias de la Información y las Telecomunicaciones de la misma institución. Él se ha desempeñado, desde el año 2004, como docente de ingeniería en electrónica y telecomunicaciones. En la actualidad presta sus servicios como Docente de Medio Tiempo en la Universidad Distrital y como el Coordinador  de Investigación de la Facultad de Ingeniería de la Fundación Universitaria San Martín, ambos empleos ubicados en la ciudad de Bogotá. Sus temas de interés son el análisis de señales y la ingeniería de teletráfico. La investigación que adelanta para su tesis de maestría se fundamenta en la síntesis de tráfico multifractal. Hans I. López