Articulo Beta de Newmark

METODO DE β DE NEWMARK  Yesica Maritza Aigaje Tandayamo Universidad Nacional De Chimborazo Ingeniería aigaje.yesica.civgmail.com !""#$!%$&' yesica(t)*oethotmail.com

RESUMEN +a acci,n sísmica *)ede ser re*resentada re*resentada matem-ticamente matem-ticamente mediante mediante dos an-lisis matem-ticos matem-ticos  *ara n)estro caso realizaremos )n an-lisis din-mico /)e nos *ermite obtener la res*)esta en el tiem*o tiem*o *osee )na base base matem-tica matem-tica y 0ísica 0ísica rig)ros rig)rosaa a)n/)e )n )n *roceso *roceso largo largo el m1todo m1todo β de  Ne2mar3 nos *ermite encontrar la res*)esta lineal o no lineal de sistemas con m4lti*les grados de libertad en este caso *ara )n grado de libertad y la misma /)e res)elve o realiza la integraci,n n)m1rica de la ec)aci,n de movimiento la misma /)e *resenta modi0icaci,n modi0icaci,n *or el m1todo teta de 5ilson mediante )n an-lisis se *)ede de0inir /)e β tomar- valores de varía entre ! y 67' *ara el caso en /)e la aceleraci,n varíe en 0orma lineal el valor de 8 es de 67$.

Palabras claves: Un grado de libertad lineal 9eta valores ABSTRACT The seismic action can be re*resented mathematically by t2o mathematical analysis to o)r case 2e 2ill have a dynamic analysis 2hich allo2s )s to get the ans2er in time has a rigoro)s mathematical and *hysical basis altho)gh a long *rocess the Ne2mar3 8 method allo2s )s to 0ind the linear or  non linear res*onse o0 systems 2ith m)lti*le degrees o0 0reedom in this case to a degree o0 0reedom and the same that meets or *er0orms the n)merical integration o0 the e/)ation o0 motion the same having modi0ication by the method o0 5ilson teta thro)gh analysis can be de0ined to ta3e val)es 8 ranges bet2een ! and 67' 0or the case in 2hich the acceleration varies linearly val)e 8 is 67$ .

Keywords: A degree o0 0reedom linear 9eta val)es

INTRODUCCIÓN :l sistema de )n grado de libertad nos *ermite ado*tar )n des*lazamiento )ltimo *ara la estr)ct)ra donde nosotros conocemos la masa mediante la relaci,n entre *eso sobre la gravedad y la alt)ra de la col)mna este *rocedimiento ha sido )tilizado en *)entes de )na *ila. :l m1todo 8 de Ne2mar3 nos *ermite encontrar la res*)esta lineal o no lineal de sistemas con m4lti*les grados de libertad en este caso *ara )n grado de libertad y nos *ermite de otra manera manejar la aceleraci,n ya /)e s)*onemos /)e esta no es constante.

METODOO!"A :;isten varios *rocedimientos n)m1ricos *ara resolver o realizar la integraci,n n)m1rica de la ec)aci,n de movimiento %.' *or ejem*lo el conocido como 9eta de Ne2mar3 y s)s modi0icaciones *osteriores entre las /)e se enc)entra el m1todo Teta de 5ilson.< Cho*ra 6""&=.

M#$odo de New%ar&  :ste m1todo es el m-s di0)ndido dentro de la ingeniería ya /)e con esta *odemos hallar integraci,n de la ec)aci,n del movimiento> ´ + Kq= P  M q ⃛ + C q

M ? matriz de masa C? matriz de amortig)amiento @? matriz de rigidez

q⃛ ? aceleraci,n q´

? velocidad

/ ? des*lazamiento ? incremento de las cargas a*licadas.

'

la

odemos ver /)e hay )n incremento de la aceleraci,n y velocidad en )n intervalo de tiem*o de an-lisis y se va a e;*resar en incrementos de des*lazamientos valores de aceleraci,n y velocidad en )n *aso *revio de an-lisis y encontrar los valores al 0inal del intervalo. :stos valores se aj)stan hasta /)edar en e/)ilibro de la ec)aci,n de movimiento. ´ + Kq= P  M q ⃛ + C q

Usando la serie de Taylor se obtiene> 2

∆t 

 x =∆ x + ∆ t ∆  x´ +

2

3

´+ ∗∆ x

∆ t  6

∆ x⃛ + …

%.%

2

 x´ =∆ x´ + ∆ t ∆ x´ +

∆t  2

∆ x⃛ + …

%.B

Des*)1s de realizar se tr)ncan las anteriores ec)aciones aadi1ndole 8 . 2

 x =∆ x + ∆ t ∆  x´ +

∆t  2

3

∆ x´ + β ∆ t  ∆ x⃛

%.&

2

 x´ =∆ x´ + ∆ t ∆  x´ + γ ∆ t  ∆ x⃛

%.$

i nos s)*onemos )na aceleraci,n lineal en cada *aso de tiem*o  x⃛  *)ede ser e;*resada de la sig)iente manera.  x⃛ −∆ x´  x´⃛ = ∆t 

%.E

:sta ec)aci,n reem*lazamos en la ec)aci,n %.& y %.$ 2

 x =∆ x + ∆ t ∆  x´ +

∆t  2

3

∆ x´ + β ∆ t  ∆

2

 x´ =∆ x´ + ∆ t ∆  x´ + γ ∆ t  ∆

 x⃛ − ∆ x´ ∆ t 

 x⃛ −∆ x´ ∆ t 

%.&

%.$

%

%.E y %.# :n la 0orm)laci,n original nos dice /)e *odemos resolver mediante interacciones *ara cada *aso de tiem*o a 0in de manejar el *roblema de /)e la aceleraci,n no es constante d)rante el intervalo de eval)aci,n *or ello se toma )n intervalo de la aceleraci,n al 0inal del intervalo el c)al se va corrigiendo *or )n *roceso interactivo *ero 5ilson s.n. '!6!. (dal6o Robal(*o 1 D(e6o er*a*8 23++8  Procesa%iento de los acelero&ra%as de la red de aceleró&ra'os de la ciudad de (uito. Q)ito > s.n. '!66. Or$(; Pa*c s.e '!6'.

Su,diision de la *laca de Naca en tres nueas *lacas tectónicas ) su incidencia con la sis%icidud   *eruana. 0el=s>'e;1 C