Ars Logicorum

Presentación Motivos de Ars Logicorum. Hay que reconocer que existen brechas entre los distintos ámbitos de la filosofía, y que el vínculo común y natural entre todos ellos es la lógica. El lógico auténtico sabe lógica y filosofía, y el filósofo auténtico no puede no comprender de lógica, si bien no es obligación de todos ser diestros en los sistemas lógicos, sí es un deber insoslayable del filósofo comprender los distintos movimientos de la razón, de no hacerlo es muy probable que el quehacer filosófico en que se afana sea vacuo, y en consecuencia estéril. En la vida académica y en la filosofía en sí, no existe un afán unificador que sea fin en sí mismo. Si en años recientes se ha considerado una necesidad replantearse el papel de las humanidades, la filosofía y en este caso de la lógica ha sido por considerar que es obligación del humanista ejercer su papel con mayor responsabilidad en la sociedad. Los procesos tecnócratas son una realidad de la que el humanista no puede juzgarse exento. Existen tendencias en la actualidad que juzgan innecesario el papel de las humanidades en la formación de los jóvenes y en la sociedad en sí. Porque no es evidente el beneficio que un humanista aporta a la sociedad. El papel de las humanidades es importante para una formación integral del ser humano. Existen aspectos de la naturaleza humana que sólo pueden ser cultivados por las humanidades. El beneficio que significa para la humanidad todo el desarrollo científico y tecnológico sólo puede ser evaluado en su justa dimensión desde una perspectiva humana integral -que considere, por supuesto aspectos económicos pero que no se limite a ellos. Es cierto que dedicarse a la vida contemplativa no es posible si las necesidades materiales inmediatas no están solventadas; a este hecho alude aquel célebre filosofema que presume al ocio como madre de la filosofía. Pero sería equivocado decir que la propensión al pensar y al quehacer filosófico son consecuencia necesaria del ocio, basta con considerarlo brevemente para concluir que existen espíritus tales que, así tuvieran por tiempo de ocio la eternidad, no se dedicarían a la filosofía, al cultivo de las humanidades ni a otra cosa distinta de la inercia. ¿Qué persigue el estudioso de las humanidades? El auténtico inquirir, el preguntarse honesto por los asuntos menos mediatos es aquello que determina

1

la orientación del humanista. Pero también es su responsabilidad propiciar la comprensión y la difusión de los estudios humanísticos en la sociedad. Uno de los triunfos de las humanidades consiste en defender y mejorar el nivel de su enseñanza. Estar consciente de la naturaleza de este triunfo implica también comprometer esfuerzos para que así sea. Con esto en mente los miembros del Programa de Apoyo a Proyectos de Innovación y Mejoramiento de la Enseñanza (PAPIME) PE 400709 “Lógica: herramientas para su aprendizaje y para la comprensión de sus relaciones con los distintos campos de la Filosofía”, ofrecemos a la Universidad Nacional el producto de nuestros esfuerzos con la intención y la esperanza de cumplir así con el papel que como humanistas nos corresponde. Ars Logicorum, “El arte de la lógica”, es una herramienta de apoyo para docentes y estudiantes de la ciencia de las segundas intenciones, pero más allá de su utilidad, es la materialización del trabajo de una nueva generación de investigadores que estoy orgulloso de haber encausado.

Dr. Guillermo González Rivera Santa Cruz, Acatlán, mayo de 2010

2

INTRODUCCIÓN Guillermo González Rivera A) Objetivo y estructura de Ars Logicorum. El texto que el lector tiene en sus manos es una introducción a problemas de la Lógica. Está destinado a aquellos estudiantes que ya se han iniciado en esta disciplina –y, en este sentido, no es una introducción a secas- y que están interesados en ir más allá de las meras técnicas de cálculo lógico mediante las cuales, tradicionalmente, se comienzan estos estudios. Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta que facilite la entrada a un mundo de preguntas y reflexiones en torno a consideraciones que tienen que ver con la Lógica y, por tanto, que tienen que ver con el pensamiento en particular, y con el hombre en general. La estructura del texto está conformada por capítulos que siguen el orden histórico del desarrollo de la disciplina, pero que, al mismo tiempo, pueden ser leídos como ensayos independientes. Cada capítulo acota –como ya se dijo- un momento del desarrollo de la Lógica, con la intención de destacar algún aspecto o problema que ayude a comprender al lector tanto la finalidad del estudio en ese momento como las peculiaridades que le diferencian de otros. Debemos advertir que, en ningún caso, se trata de textos especializados ni dirigidos a especialistas, lo cual implica que los problemas o aspectos destacados en cada capítulo se traten como sugerencias para futuras investigaciones; y así, aunque de ningún modo se trataron con ligereza, tampoco ofrecemos exhaustividad. A grandes rasgos, el contenido del texto es el siguiente: El capítulo 1 es una introducción a los estudios de Lógica de Aristóteles. Aquí se destaca el objeto de estudio de esa Lógica como la relación intrínseca entre el mundo, el pensamiento y el lenguaje, para comprender la cual es necesario considerar aspectos ontológicos, epistemológicos y lingüísticos. Tener en mente la relación de esos elementos es importante porque las transformaciones operadas en el estudio de la Lógica pueden ser entendidas también como transformaciones en el modo de pensar en dicha relación. Este asunto es, precisamente, el punto donde termina el capítulo 1, mediante una breve consideración a la diferencia entre la “formalidad” de la Lógica de Aristóteles y la de la Lógica matemática. El capítulo 2 está dedicado a la lógica proposicional. Presenta una explicación del lenguaje formal de la lógica de enunciados y de su interpretación. También

3

se explican la relación de consecuencia lógica y diversos métodos para identificarla. Se termina con el aspecto deductivo de este sistema lógico, dando útiles consejos acerca de cómo aplicar las usuales reglas de inferencia y equivalencia. El capítulo 3 Introducción a la Teoría de Conjuntos constituye una presentación panorámica de la axiomatización de la teoría de conjuntos, destacando los puntos que han causado controversia, las implicaciones de las distintas decisiones tomadas en ellas. Desde el capítulo 2, se han apuntado algunas cuestiones sobre el carácter matemático que adquirió la Lógica; en este capítulo, se muestra, precisamente, la preocupación fundamentalmente matemática de los lógicos que trabajaron conjuntos. El capítulo 4 Lógica cuantificacional expone el lenguaje de la lógica cuantificacional o de primer orden que es indispensable para modelar de manera correcta cierto tipo de argumentos. Se presenta de manera sistemática la interpretación de los elementos de ese lenguaje (semántica); poniendo especial atención en la noción de verdad lógica y consecuencia lógica. Se exponen métodos de prueba que adquieren una especial importancia a partir de la extensión del lenguaje que constituye respecto a la lógica proposicional. En el capítulo 5, abordamos un problema ya clásico en el estudio de la Lógica cuantificacional, a saber: la dificultad de capturar, mediante las herramientas de la Lógica matemática, las propuestas de la Lógica silogística. Este problema se origina por la diferencia de supuestos con los que se trabaja en las distintas comprensiones de la Lógica. Presentamos, pues, una propuesta para avanzar en la solución de dicha dificultad, mediante el ajuste a la comprensión de algunas reglas ya tradicionales. Con ello, esperamos ayudar al estudiante, tanto a comprender la dificultad en sí, como a idear sus propias teorías al respecto. Finalmente, en el capítulo 6 ofrecemos una reflexión sobre un problema fundamental para decidir el estatus epistemológico del conocimiento cimentado en la Lógica: las condiciones que nos permiten saber cuándo es verdadera una proposición y cuándo no. La importancia de esta reflexión radica en que una de las nociones de validez lógica –quizá la más importante- es aquella que sostiene que de premisas verdaderas se siguen conclusiones verdaderas, bajo cualquier interpretación de las premisas. La pregunta obligada es cómo justificar la verdad inicial de la que depende la validez de nuestro cálculo. Además el volumen consta de dos apéndices. El apéndice I es una revisión exhaustiva de las reglas de inferencia y equivalencias lógicas de la lógica proposicional. Es un apoyo al estudiante que busque experimentar con las diversas posibilidades que la lógica de enunciados ofrece.

4

El apéndice II presenta a la silogística desde el lenguaje de la lógica cuantificacional. Constituye pues, un material ideal para que el lector vea la aplicación de lo expuesto en el capítulo 4. Dado que, como ya hemos advertido, este volumen no contiene tratados amplios ni exhaustivos, hemos considerado de primordial importancia la consigna de fuentes especializadas donde el estudiante pueda encontrar mayor amplitud para el desarrollo de sus reflexiones nacientes. B) Sobre los autores de Ars Logicorum. Este libro es posible gracias al apoyo de la Universidad Nacional Autónoma de México, mediante su Programa de Apoyo a Proyectos para la Innovación y Mejoramiento de la Enseñanza (PAPIME) PE400709, vigente durante 2009 y 2010. Sin embargo, los trabajos que se materializan aquí tienen su génesis en el Seminario de Filosofía de la Lógica “Lógica en Acatlán”, fundado en 2005 por un grupo de estudiantes que, percatados de las necesarias limitaciones de los cursos curriculares, decidieron darse a sí mismos su propio espacio de investigación, de estudio y reflexión. Guillermo González Rivera, el responsable del proyecto PAPIME, es Doctor en Filosofía, docente e investigador adscrito a la FES Acatlán y coordinador de la Unidad de Investigación Multidisciplinaria de la misma facultad. Paola Minerva Chapa Montes es miembro fundador y activo del Seminario “Lógica en Acatlán”. Actualmente es profesora de la materia de Lógica I de la Licenciatura en Filosofía en la FES Acatlán y realiza estudios de posgrado en la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM. Larry Fielding Jagüey Camarena, miembro del Seminario “Lógica en Acatlán”, es egresado de la carrera de Filosofía por la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM y estudiante de matemáticas de la Facultad de Ciencias de la misma UNAM. Imparte el taller permanente “La Cantera lógica” desde 2009 en la FES Acatlán. Pedro Ramos es doctor en Filosofía y miembro de la Academia Mexicana de Lógica. Carlos Verlón es egresado de la carrera de Filosofía por la Facultad de Filosofía y Letras en su modalidad Sistema de Universidad Abierta (SUA). Ambos imparten el curso de Lógica I y II en la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM. Gabriel Ramos García es fundador del Seminario “Lógica en Acatlán”, profesor de las asignaturas de Lógica I y II en la licenciatura en Filosofía en la FES Acatlán. Realiza estudios de posgrado en la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM.

5

María Esperanza Rodríguez Zaragoza, miembro del Seminario “Lógica en Acatlán”, profesora de las asignaturas de Lógica III y Filosofía Moderna en la Licenciatura en Filosofía en la FES Acatlán. Coordina el Seminario de Preespecialización, que en su modalidad de Filosofía de la Lógica se imparte por primera vez en la FES Acatlán. Realiza estudios de posgrado en la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM y en el Instituto de Investigaciones Filosóficas. Mario Cornejo Cuevas y Moisés Rubén Rossano López son estudiantes de la carrera de Filosofía en la FES Acatlán. Miembros del Seminario “Lógica en Acatlán”. Debido a su destacado desempeño académico fueron invitados a colaborar en este proyecto.

6

Capítulo 1. Lógica aristotélica. La inauguración de los estudios lógicos de manera sistemática. De qué se tratan y para qué sirven Paola Minerva Chapa Montes Preliminares Comprender en qué consisten los trabajos de Aristóteles compendiados bajo el título de Organon significa comprender cuál es el objeto de estudio de la disciplina que ellos conforman y cuál su importancia (en este caso en particular, podríamos hablar de utilidad). El propósito de este capítulo es, pues, sugerir algunas ideas que colaboren en la comprensión de los dos asuntos mencionados. La estrategia que seguiremos es bastante simple, pero no fácil: haremos un recorrido panorámico por cada uno de los tratados involucrados, resaltando sólo el aspecto que consideremos representativo o paradigmático para generar una idea suficiente del tema que abordan. Esto implica que, puesto que nuestra pretensión es obtener una idea general de la disciplina, no nos detendremos ni profundizaremos en aspectos particulares. Podemos adelantar que el Organon es un conjunto de tratados que ofrecen diferentes perspectivas de un mismo fenómeno: el logos. La primera parte de nuestra revisión tiene el objetivo específico de acercarnos a ese fenómeno complejo y distinguir la perspectiva desde la cual es observado por Aristóteles en los distintos tratados. El objetivo específico de la segunda parte de nuestra revisión, orientado a la utilidad de la disciplina desarrollada a partir de la observación del fenómeno del logos, consiste en comprender que dicho fenómeno no es abstracto ni se da aislado -aunque su estudio así lo sugiera-, sino que aparece en contextos determinados; la utilidad de la disciplina naciente a partir de estos tratados aparece en y depende concretamente del contexto; v.gr., el logos del matemático y el del político, siendo ambos logos, no son, sin embargo, iguales; y la verdad de lo dicho en uno y otro caso dependen en gran medida de que se comprendan las semejanzas y diferencias de sus logoi. Una vez hecho lo anterior, y a manera de conclusión, bosquejaremos dos consecuencias importantes que se desprenden de considerar el objeto de estudio de la Lógica como un fenómeno concreto en contexto, y que representan las principales diferencias entre los estudios del logos como los concibió Aristóteles y la Lógica que se desarrolló a partir de ellos, a saber: la “formalidad” de la Lógica y su concepción como método.

7

Por último, consideramos importante, de manera previa a todo lo anunciado, hacer una breve indicación sobre la originalidad de los estudios de Aristóteles respecto a su entorno intelectual. De manera que el curso de este primer capítulo es el siguiente: A) El nacimiento de la Lógica como disciplina; B) El objeto de estudio de la Lógica aristotélica; C) La utilidad de la Lógica aristotélica; y D) Conclusiones capitulares: un apunte sobre la formalidad de la Lógica y la idea de método en relación con los estudios de Aristóteles.

A) El nacimiento de la Lógica como disciplina La aclaración sobre el nacimiento de la Lógica como disciplina o rama de conocimiento con cierto grado de independencia de las otras ciencias es un tema que, aunque ya no resulta novedoso, no deja de ser importante. Ciertamente, es difícil, si no imposible, pensar en algún estudio dedicado explícita y exclusivamente a problemas de Lógica anterior a los aristotélicos. Esto no equivale, sin embargo, a la ausencia de trabajos que involucren problemas lógicos; en este sentido, siempre se puede pensar en los trabajos de Parménides, de Zenón y del propio Platón como el suelo nutricio en el que Aristóteles hinca las raíces de sus estudios. No obstante los claros antecedentes, existen también profundas diferencias que justifican la afirmación de que Aristóteles es el punto de partida de esta disciplina. Quizá la consideración que mayormente nos permita comprender la situación sea que los pensadores previos a Aristóteles, en sus escritos, suponen que el lector tiene los conocimientos y las habilidades discursivos y argumentativos necesarios para comprender la exposición. Tal vez el caso más claro sea el de Platón; aunque hay varios pasajes, en diversos diálogos, que problematizan sobre cuestiones lógicas 1, no existe alguno donde propiamente se le enseñe al estudiante –ni al dialogante ni al lector- a construir un argumento verdadero. Por el contrario, la exposición platónica parece dar por hecho que el lector atento es capaz de darse cuenta cuando los dialogantes construyen bien o mal sus argumentos, y las consecuencias de ello. Aristóteles, en cambio, se da a la tarea de desarrollar algunas estrategias, digamos, pedagógicas, para hacer comprender al estudiante lo que involucra el fenómeno del argumento; para dicha labor, Aristóteles recopila y diseña problemas que tengan que ver específicamente con la exposición de argumentos, los clasifica y los comenta, de tal manera que hace de la expresión del pensamiento discursivo, el objeto central del estudio, el eje de la atención del propio pensamiento. 1

Quizá el más representativo sea el diálogo Sofista, donde se presentan ejercicios dialécticos –para construir la definición de un anzuelero-, y se problematiza sobre las condiciones ontológicas que hacen posible la dialéctica.

8

B) El objeto de estudio de la Lógica aristotélica La segunda cuestión que necesitamos elucidar, más compleja que la anterior, consiste en la naturaleza del objeto de estudio de la disciplina que nos ocupa, en el sentido en el que era comprendido por Aristóteles. Ésta es, como cabe adivinar, una labor soberbia, porque significa tanto como presumir que podemos esclarecer el sentido del logos en unos cuantos párrafos, lo que no ofrecemos aquí. Lo que sí ofrecemos es hacer manifiesta la complejidad de la comprensión del logos y mostrar luego, sustentados en lo anterior, la complejidad de su estudio. Eso nos acercaría al pensamiento aristotélico lo suficiente como para comprender la distancia entre sus estudios lógicos y cualesquiera otros. Como se sabe, sus estudios de lógica son una colección de estudios sobre temas específicos; el sentido de los trabajos en cuanto colección será tratado más adelante; por ahora, nos concentraremos en los estudios singulares, los cuales tienen una presentación semejante a la de la mayoría de los trabajos de Aristóteles: son estudios temáticos, centrados en un problema específico: escritos sobre los modos en los que se habla de las cosas (kateegoriai), escritos sobre la interpretación (peri hermeneias), análisis básicos de argumentos (analytikoon proteron), análisis secundarios de argumentos (analytikoon ysteroon), lugares comunes en los discursos (topica) y sobre las refutaciones sofísticas (peri sophistikoon elenchoon). En general, podemos entender los trabajos de lógica aristotélica como estudios en torno al logos (logika). Para conocerlos, necesitamos recorrerlos, es decir, colocarnos nosotros también en torno al logos. Cada uno de los estudios que hemos enlistado puede ser entendido, pues, como un modo específico de aproximarse al logos. Logos es una noción tan propia de los antiguos griegos que, probablemente, no tengamos ninguna que nos sea próxima y que represente la misma experiencia que aquella noción representaba para ellos. Sin embargo, su sentido puede ser más o menos comprendido si ponemos atención a los usos de la expresión2 al interior de los tratados de Aristóteles. De esta manera, podemos intentar la aproximación al objeto de los estudios aristotélicos con dos alcayatas: por un lado, presentaremos algunos ejemplos que nos ilustren el empleo del término logos; por otra parte, enunciaremos el sentido general de cada uno de los tratados que componen el compendio aristotélico sobre lógica. Al proceder de 2

No estamos seguros de que un análisis exhaustivo de este asunto sea posible. Lo que ofrecemos aquí son algunos ejemplos que nos resultan representativos y que pueden ser considerados prototípicos.

9

este modo, logramos una comprensión de los tratados que considere en todo momento no sólo el tema específico, sino la problemática general del estudio del logos. Comencemos con una definición explícita que Aristóteles da sobre lo que entiende por logos. En Sobre la interpretación 16 b 27 se lee: “Logos es una voz articulada con significado, con partes que por separado tienen significado pero sin afirmar ni negar nada.” Es decir, logos aquí está entendido como una oración completa, una idea compleja con partes distinguibles. Aristóteles no restringe este uso para oraciones asertivas donde se niega o afirma algo, pues pocas líneas adelante señala que las plegarias, por ejemplo, no son precisamente afirmaciones o negaciones y sí son, no obstante, logos. En una importante medida, este sentido de logos implica que las “oraciones” sin sentido son “ilógicas”; o bien, que todo logos tiene la característica de la inteligibilidad, de la comprensibilidad del mensaje de la oración. También, logos puede significar la definición de una cosa según su modo propio y natural de ser (en un sentido muy cercano a la definición real esencial); es decir, no una definición del término, sino una explicación de lo que la cosa es. Este sentido tiene, por ejemplo, en Categorías 1 a 6-10, donde leemos: “Se llaman sinónimas las cosas cuyo nombre es común y cuyo correspondiente logos de la entidad es el mismo, por ejemplo, dicho del hombre y dicho del buey, porque a ambos nos referimos como seres vivientes […] pues el logos de su entidad es el mismo.” Podemos interpretar este pasaje considerando que significa lo mismo cuando lo decimos del hombre que cuando lo decimos del buey; es decir, la definición o logos de es común para ambos. Considérense también estos pasajes donde se emplea la expresión logos: “Una proposición es un logos afirmativo o negativo de algo respecto de algo.” (Analíticos primeros 24 a 17) y “Un silogismo es un logos en el cual, dadas ciertas tesis, por necesidad se sigue algo distinto a ellas, por ellas mismas.” (Analíticos primeros 24 b 19). En ambos pasajes, podemos leer logos como discurso. Así, en el primer caso tendríamos que las proposiciones son un cierto tipo de discurso, a saber, del tipo en el que se niega o se afirma algo sobre algo. Recuérdese que habíamos visto que las plegarias, por ejemplo, también son cierto tipo de logos. En el segundo pasaje, leeríamos que el silogismo es un cierto tipo de discurso, con la característica de provocar un movimiento interno natural o necesario, que consiste en ir de las premisas iniciales a una nueva información. Con estos ejemplos, tenemos al menos tres acepciones para logos: oración, definición, discurso, lo que significa que los estudios aristotélicos de lógica estudian, por lo menos, lo relativo a las oraciones, a las definiciones y a algunos tipos de discurso (los tipos que ahí se especifican, i.e., proposiciones,

10

silogismos, etc.). Aunque, dicho de este modo, parecería entonces que los estudios de Aristóteles estuvieran orientados a problemas del lenguaje. En una importante medida, por supuesto que tienen que ver con el lenguaje. Pero, para prevenirnos del error de considerarlos como una simple teoría lingüística, requerimos saber cuál es esa importante medida, requerimos tener presente la manera en la que el lenguaje está pensado por Aristóteles. Esta cuestión se aclara un poco cuando ubicamos el tema específico de los tratados. Las Categorías son una colección exhaustiva de los modos que tenemos para referirnos a las cosas. La referencia a las cosas supone que hemos visto a las cosas, es decir, que sabemos algo de la cosa que queremos referir, al menos en alguno de sus aspectos. Nótese, por ejemplo, la primera frase de este tratado: “Se llaman homónimas las cosas que tienen en común el nombre, pero cuyo logos según la naturaleza de lo que son es diferente entre sí.” En esta definición de Aristóteles, el énfasis está puesto en las cosas, no en los nombres. Esto es, las cosas tienen una naturaleza tal que permite que tengan también algún tipo de nombre. No se trata, pues, de que los nombres sean dados a las cosas de un modo azaroso o completamente ajeno a ellas mismas3. Según hemos visto, el logos implica inteligibilidad y comprensión del mensaje, y esto mismo sucede con los nombres. Un nombre sólo es tal en tanto que nombra, es decir, en tanto que hay una cosa referida específicamente mediante ese nombre; el nombre es un modo lógico de acercarnos a las cosas. El término griego kateegoria, literalmente, significa “acusación”, con una connotación principalmente jurídica4. En un sentido no jurídico, tiene la connotación de expresar algo para que los otros lo entiendan, de hacerlo manifiesto. Su significado puede hacerse más claro si pensamos en su etimología: katá agoreuoo. Agoreuoo significa hablar en el ágora, en la plaza pública o en la asamblea. Agorá significa tanto el lugar –la plaza pública- como la actividad que en él se desarrollaba: decir discursos. Para comprender el sentido de las categorías, tengamos en mente la imagen de los discursos pronunciados en el ágora: el orador sube a la palestra y comienza su discurso, dirigiéndose a los que están abajo, en la plaza, escuchando; que el discurso del

3

Aunque, ciertamente, presentan una fuerte carga de arbitrariedad que Aristóteles no ignora. En Sobre la interpretación 16 a 20, Aristóteles define al nombre como un sonido con un significado establecido. Normalmente, los traductores precisan que el establecimiento es convencional –precisión con la cual estamos de acuerdo-; sin embargo, el énfasis aristotélico está puesto en la permanencia. Establecido significa aquí que queda puesto de modo más o menos permanente, echando por tierra la posibilidad de que cualquier nombre signifique cualquier cosa en cualquier momento, de manera arbitraria.

4

En el diccionario manual griego Vox, por ejemplo, se lee la siguiente entrada: kateegoreoo: censurar, criticar, reprochar; acusar de algo; revelar, descubrir, manifestar; expresar, significar, enunciar, afirmar.

11

orador sea exitoso depende de que éste logre, mediante aquél, que el auditorio vea lo que él ve y como él lo ve. Así, pues, las categorías que Aristóteles identifica no son instrumentos de clasificación de conceptos, ni conceptos universalísimos, como en ocasiones se les ve. Son, primariamente, esas “acusaciones” de las cosas que hacemos cuando hablamos, con la más genuina intención de que, quienes nos escuchan, comprendan lo que decimos. Obsérvese, por ejemplo, los usos del término kateegoría en el siguiente pasaje: “Llamo término a aquello en lo que se descompone la proposición, es decir, lo kateegoroúmenon y lo kateegoreîtai, con la adición del ser o el no ser.” (Analíticos primeros 24 b 17). Podríamos parafrasear diciendo que la proposición se descompone en las acusaciones y en aquello a lo que se acusa, algo así como si dijéramos que Juan es un ladrón, donde Juan sería lo kateegoreîtai, (aquello a lo que se acusa) y ladrón, lo kateegoroúmenon, lo que se dice del acusado (la acusación). El pasaje citado, en ocasiones, se traduce como “las proposiciones se descomponen en predicado (kateegoroúmenon) y sujeto (kateegoreîtai)”, o bien, “… en predicado y aquello de lo cual se predica”. El problema con tales traducciones consiste en que, por un lado, abren la posibilidad de confundir el trabajo de Aristóteles con un estudio gramatical –cosa que no es- y, por el otro, ocultan el hecho que Aristóteles quiere resaltar, a saber: que cuando hablamos de algo5, nuestro hablar siempre puede ser comprendido en términos de categorías; dicho de otro modo, el logos es categórico. Los estudios Sobre la interpretación constituyen un trabajo donde Aristóteles explora las proposiciones sin descomponerlas o analizarlas en sus términos, a diferencia de las Categorías, donde el estudio se centraba en las partes de la proposición. Es decir, el objeto de estudio específico de este tratado lo constituyen logoi complejos sobre algo, mediante los cuales señalamos ese algo y resaltamos alguno de sus aspectos. Usemos una imagen sencilla: tomemos una naranja, y señalemos algo sobre ella, digamos, su sabor agridulce. Tenemos una expresión completa sobre la naranja, que resalta algún aspecto de ella, enunciándolo como si se lo añadiéramos al hablar: la naranja es agridulce. Tradicionalmente, a esto se le conoce como juicio, y se analiza en nombres y un verbo copulativo. Cuando tenemos un logos con esta estructura (algo es tal cosa/de tal modo), tenemos también la primera 5

La expresión “hablar de algo” es, evidentemente, una reiteración que, no obstante, consideramos necesaria, para advertir una distinción fundamental entre los estudios de Aristóteles y los de la lógica clásica matemática. Como se verá en la conclusión capitular, en la lógica matemática los discursos son formales; es decir, en lógica matemática se trabaja con argumentos que consideran sólo la forma o estructura, haciendo abstracción del contenido. Para Aristóteles, en cambio (y para el griego en general), un argumento o cualquier otra forma de habla sólo tiene sentido si se habla de algo; dicho de otro modo, siempre que hablamos, hablamos de algo.

12

oportunidad de preguntarnos si ese logos nos dice efectivamente cómo es eso de lo que habla, v.gr., si la naranja, en efecto, es agridulce. Dicho de otro modo, en los logoi de este tipo –i.e, completos, donde se relacionan dos o más categorías mediante el verbo copulativo- tenemos ocasión de preguntarnos si son verdaderos o falsos. Sobre la interpretación es, pues, un estudio sobre logoi que enuncian algo respecto de algo (llamados, en ocasiones, juicios, proposiciones o enunciados)6, sobre los distintos tipos que encontramos (afirmativos, negativos, modales) y sobre su posibilidad de ser verdaderos. Este último punto nos ofrece también una pista importante para comprender el objeto de estudio en general. Aristóteles dice que los logoi son verdaderos porque las cosas son así como expresamos que son, y no al contrario, que las cosas sean conforme los logoi que de ellas damos (esta es la explicación que subyace a las relaciones de verdad entre oraciones contrarias y contradictorias, tanto asertivas como modales, que se explora en Sobre la interpretación7. Véase también Categorías 4 a 25 ss). Para este punto, quizá el lector se haya percatado de que una característica importante de la expresión humana llamada logos es que es voluntaria: yo digo lo que quiero decir. Si tenemos esto en mente, podemos entender la advertencia aristotélica sobre la verdad en el sentido de que la verdad no depende de mi voluntad; las cosas en el mundo tienen un modo de ser suyo, y si yo, con mi logos, soy capaz de expresar ese modo de ser, entonces estaré hablando con verdad 8; lo que no sucederá –dice Aristóteles- es que las cosas ajusten su orden o modo de ser a lo que de ellas queramos decir. Los estudios básicos9 sobre análisis de argumentos son una presentación de logoi más complejos que los que se abordan en Sobre la interpretación. Allá se 6

En este contexto, no existen diferencias claras entre una y otra noción; todas son consideradas logoi. Conforme la ciencia de la Lógica se consolida, esas expresiones adquieren sentidos técnicos precisos. Tomás de Aquino, en su Comentario al libro de Aristóteles Sobre la interpretación. Eunsa, Navarra, 1999, p. 82, sugiere, por ejemplo, que el enunciado se refiere a una función orgánica, al aparato vocal (pulmones, garganta, etc.), mientras que la oración es consecuencia de la razón y la voluntad.

7

La complejidad de las relaciones entre enunciados y sus condiciones de verdad puede ser estudiada en Aquino, Tomás de. Op. cit.

8

Por supuesto, también es posible hablar de las cosas como no son, i.e., mentir. Pero la posibilidad de la mentira es la misma que la de la verdad, a saber, que las cosas tengan un modo propio de ser que no dependa del logos que de ellas demos.

9

Tradicionalmente, los estudios sobre análisis de argumentos se conocen como “Primeros” o “Segundos”. Preferimos la traducción de básicos y secundarios, respectivamente, en virtud de que la traducción tradicional tiene el riesgo de sugerir o bien un orden pedagógico, o bien un orden temporal (lo que va primero y lo que va después), o bien que son dos cosas distintas. Juzgamos pertinente nuestra traducción dado que interpretamos “lo primero” y “lo segundo” en el sentido de que los argumentos tienen aspectos que inmediatamente se

13

trata de categorías involucradas en un mismo logos, relacionadas mediante una cópula; acá, se trata un tejido de logoi o silogismo10. La estructura básica del tejido que Aristóteles identifica consta de tres partes o logoi completos simples (juicios): dos que se conocen de antemano (premisas) y uno que se llega a conocer a partir de los dos previos (conclusión). En este tratado, se concentra lo que se conoce como teoría silogística, donde se exploran todas las combinaciones posibles de esos logoi para hablar con verdad de las cosas, y así, llegar a conclusiones verdaderas. Lo que debe ser visto con mayor cautela en este tratado es, quizá, la razón por la cual cierta combinación de logoi es posible o no. Tradicionalmente, la exposición de la silogística tiene como base los estudios escolásticos, que hacen énfasis en las estructuras correctas descritas por Aristóteles11, así como en el conjunto de reglas sistemáticas generales para la correcta construcción de silogismos. Este modo de comprender los estudios aristotélicos se fundamenta en que Aristóteles se vale de “esquemas generales” para clasificar los distintos tipos de silogismo; v.gr., en lugar de decir, por ejemplo, “Sea viviente todo mamífero…”, dice “Sea A todo B…”. Sin embargo, lo que hace Aristóteles en estos estudios dista mucho de un simple postular reglas generales para construir discursos. Aristóteles muestra la preocupación de conocer los fundamentos ontológicos que permiten que cierto tejido de logoi esté en armonía con el modo de ser de las cosas de las que se habla en esos logoi. Dicho de otro modo, para Aristóteles, que A y B estén relacionadas de cierta manera no depende de que yo las relacione discursivamente, sino de que las cosas que, en cada caso, son representadas por A y B, en efecto, tengan la relación descrita, pues claramente no importa lo mismo decir que todos los mamíferos (B) son seres vivientes (A) que todas las piedras (presuntamente B) son seres vivientes (A). Es necesario insistir: la verdad de lo que decimos de las cosas depende del modo de ser de las cosas, y no a la inversa. Lo que es más, los diferentes silogismos (las conocidas figuras y modos) se “construyen” a partir de lo que conocemos de las cosas cuyas relaciones buscamos en el silogismo; v.gr., no construiremos silogismos de la misma figura si conocemos el qué de las cosas muestran a la reflexión, mientras que algunos otros requieren revisiones más complejas. Téngase en cuenta que los temas abordados en los Analíticos primeros se refieren a aspectos, digamos, “al interior” del argumento, sin importar el tipo de argumento que sea; mientras que los Analíticos segundos parten, precisamente, de la distinción entre tipos de argumentos. 10

La idea del silogismo como tejido de logoi nos viene a partir de que el prefijo syn, en griego, tiene la connotación de juntar ordenadamente, a modo de tejido, en donde, pese a que los hilos están juntos, uno puede seguir el camino de cada uno de ellos por separado.

11

Un magnífico ejemplo de estudios escolásticos donde la estructura tiene preeminencia respecto del modo de ser propio y natural de las cosas -la jerarquía ontológica- lo constituyen los trabajos de Pedro Hispano, Tractatus (summule logicales). Universidad Nacional Autónoma de México, México, 1986.

14

(las “sustancia primera” y “sustancia “segunda”) que el cómo (algún “accidente”). Un hecho claro a favor de la comprensión de los estudios de Lógica de Aristóteles que nosotros ofrecemos consiste en la cantidad de tipos diferentes de silogismos que Aristóteles identifica: categóricos, disyuntivos, objetantes, además de los compuestos12, todos ellos conforman sólo una rama de silogismos, a saber, los demostrativos (la otra rama la conforman los dialécticos). Una omisión frecuente, que sesga la comprensión de los estudios aristotélicos, consiste en no considerar todos los tipos, sino limitarse a los categóricos, que son los que tienen expresión en los estudios escolásticos (BARBARA, DARII, etc.) y los que representan menor grado de dificultad en cuanto a su comprensión, aplicación y formalización en la lógica matemática. Los análisis de argumentos secundarios están dedicados al estudio de las condiciones de la demostración. Según lo dicho en los análisis de argumentos básicos (Analíticos primeros 25 b 27 ss), la demostración es un tipo de silogismo, con lo cual podríamos entender que en los textos sobre argumentos básicos se tratan cuestiones más generales o de aplicación más amplia que lo que se trata en los textos sobre argumentos secundarios, i.e., en éstos se estudia una rama particular de silogismos, mientras que en aquéllos se habla del silogismo en general. Que haya más de una rama de silogismos se vuelve comprensible si consideramos que las cosas tienen modos de ser que las hacen diferentes unas de otras, lo cual reclama, a su vez, que nuestros modos de hablar de las cosas no sean siempre iguales, v.gr., no es lo mismo que hablemos del ser de un caballo que del ser del triángulo o del ser de lo que es justo. Incluso si hablamos de una misma cosa, podemos tener más de un aspecto suyo que reclame más de un modo de hablar de ella; pongamos por caso el hombre: no es lo mismo hablar de él en cuanto ser viviente que en cuanto ser político. Con estas consideraciones en mente, podemos regresar al problema que nos ocupa: el objeto de estudio de los trabajos aristotélicos sobre el logos. Habíamos visto que el término logos tiene significados relacionados estrechamente con el habla, pero habíamos advertido también que no se trataba de estudios lingüísticos. El breve recorrido que hemos dado por algunos de los estudios de Aristóteles debe servirnos para considerar que, dado que el logos es siempre logos de algo, existe una estructura interna que organiza tanto las cosas en el mundo como nuestro logos. No es asunto de

12

Para la clasificación de los diferentes tipos de silogismo, retomamos los excelentes estudios de Alfarabi, en su Short commentary on Aristotle´s Prior Analytics. University of Pittsburg Press, London, 1993.

15

estos escritos el análisis de dicha estructura, ni su fundamento13; pero sí les compete explorar el modo en el que nuestro logos respeta esa estructura, en sus diversas manifestaciones.

C) La utilidad de la Lógica aristotélica La concepción de los estudios de lógica aristotélica como escritos dedicados a la teoría de la demostración, cuyo modelo fundamental es la geometría, es muy común14, pero no es del todo acertada. Según hemos visto, la teoría de la demostración constituye a penas una parte de los estudios. Además, hemos mencionado también que Aristóteles tiene presente la estructura propia de las cosas del mundo, y dicha estructura no se agota con los objetos de la geometría, aunque éstos ciertamente constituyan un tipo de objetos donde el logos demostrativo se desarrolla ampliamente. Para reforzar estas ideas, lo mejor es poner atención a los ejemplos de aplicación que usa el propio Aristóteles. En el apartado anterior, hicimos algunas observaciones sobre el tema de Categorías, Sobre la interpretación, Analíticos primeros y Analíticos segundos; continuemos donde nos quedamos. Los estudios secundarios sobre análisis de argumentos están dedicados principalmente a la demostración, como ya hemos visto. Preguntar para qué nos sirven estos estudios es lo mismo que preguntar qué tipo de objetos tienen una estructura natural tal que podamos hablar de ellos demostrativamente. Aristóteles nos dice que la demostración se hace posible cuando las cosas de las que hablamos son necesarias; cuando hacemos una demostración, tenemos ciencia, porque la ciencia es el conocimiento de aquellas cosas que no pueden ser de otro modo que como son (Analíticos segundos 71 b 10-20. También 87 b 19, donde se dice que la demostración no se da en cuestiones que dependen del azar). Los ejemplos que tiene aquí son, preponderantemente, de geometría y de astronomía: que la diagonal es inconmensurable respecto del lado en el cuadrado es un principio demostrativo (Analíticos segundos 71 b 27), lo mismo que el hecho de que todo triángulo tiene ángulos internos equivalentes a dos rectos (Analíticos segundos 71 a 20. Aquí, por supuesto, se está considerando una geometría de planos); o bien, el 13

Este tema es el objeto de estudio de la Metafísica, particularmente del Libro IV, donde Aristóteles habla del así llamado Principio de contradicción, axioma supremo que describe el modo de ser de los entes.

14

Como ejemplo de esta interpretación, se encuentran los estudios sobre historia de la Lógica de William y Martha Kneale, The development ofLogic. Calendon Press, London, 1986, cap. II.

16

descubrimiento del término medio del silogismo que hace posible la demostración en el hecho de que la Luna recibe su luz del Sol a partir de la observación de que la parte iluminada de la Luna siempre está vuelta hacia el Sol (Analíticos segundos 89 b 16-20), o la razón de que ocurran eclipses (Analíticos segundos 88 a 1). En los Tópicos se aborda una serie de lugares comunes en los discursos y se ofrecen advertencias o consejos para quien argumenta, en el sentido de que es preciso entender bien de qué se está hablando para saber qué tipo de discurso o argumento es conveniente emplear. Así, podemos encontrar, por ejemplo, la advertencia de que las proposiciones contrarias no funcionan igual cuando se trata de cuestiones necesarias que cuando se trata de cuestiones probables, v.gr., ¿cuál es la proposición contraria de “es preciso hacer bien a los amigos”: no hacerles el bien, hacerles el mal, hacer bien a los enemigos? La cuestión sobre las proposiciones contrarias es abordada, de manera específica y sistemática, en Sobre la interpretación (23 a 25 ss); el ejemplo que emplea Aristóteles ahí consiste en indagar cuál es la proposición que expresa la opinión contraria a la afirmación de que todo hombre es justo, y por qué. Tanto en Tópicos como en Sobre la interpretación, la dificultad estriba en que la amistad, la bondad y la justicia no son cosas perfecta y universalmente definidas, como los triángulos; además, involucran el criterio de la persona que juzga sobre ellas. Podemos vislumbrar, pues, que si bien es cierto que la teoría de la demostración versa principalmente sobre asuntos matemáticos, geométricos y astronómicos, otras partes de la silogística nos permiten acercarnos a cuestiones éticas y políticas, a partir de preguntas por cosas cuyo modo de ser no es el necesario, como lo que sea considerado justo, bueno, bello, etc. Por último, en las Refutaciones Sofísticas, Aristóteles ofrece también advertencias y consejos para la argumentación, pero específicamente para la que tiene lugar como combate (Refutaciones sofísticas 165 b 10). El estudio está organizado, pues, en función de la intención del combatiente (del sofista) que, en general, se puede traducir en el engaño; por esta razón, la primera advertencia que hace Aristóteles es para uno mismo: no engañarse en lo que uno sabe (Refutaciones sofísticas 165 a 25), no ser sofista ni para el otro ni para uno mismo. Dados los consejos del autor, podemos aventurarnos a considerar que, en un primer nivel, este estudio es evidentemente un ejercicio de aplicaciones de reglas para la argumentación erística pero, en otro nivel, constituye una declaración del compromiso ético que el investigador debe aceptar: la verdad, evitar el engaño y la mentira15. 15

Por cierto, este compromiso con la verdad –con claras repercusiones éticas- es algo que no se volverá a ver en el posterior desarrollo de la disciplina. No se piense que acusamos de mentirosos a los pensadores posteriores a Aristóteles; simplemente, señalamos que, como

17

Como podemos ver, los estudios aristotélicos sobre Lógica no eran concebidos como una ciencia independiente, sino como una herramienta para las ciencias. En este sentido, consideramos que el nombre del compendio de los estudios aristotélicos sobre este tema –Organon- debe tomarse muy literalmente. Para cualquier herramienta, es claro que su importancia radica en que sea la herramienta adecuada para aquello que la necesitamos; pero la condición básica es poder discernir cuándo usar cada herramienta. Así como el oficial mecánico le enseña al aprendiz a usar las llaves de tuercas, pero confía en el criterio del aprendiz para decidir cuándo usarlas, así también Aristóteles nos muestra cómo funcionan las llaves del logos, pero nos corresponde a nosotros discernir cuándo usar cuál.

D) Conclusiones capitulares: un apunte sobre la formalidad de la Lógica y la idea de método en relación con los estudios de Aristóteles Como hemos visto a lo largo de este capítulo, los estudios aristotélicos sobre Lógica manifiestan la preocupación por dar cuenta de las relaciones entre el mundo, el pensamiento y el lenguaje. Esas relaciones, una vez comprendidas, pueden ser ordenadas y clasificadas bajo esquemas generales que resumen la multiplicidad de casos de cada relación. Para este punto, es de primordial importancia que se comprenda el papel que desempeñan dichos esquemas, pues a menudo se les tiene por fórmulas semejantes a las de la Lógica matemática, pero “primitivas”. La diferencia fundamental, quizá, puede ser entendida desde la perspectiva de la función que tienen las letras empleadas por Aristóteles, en comparación con la que tienen las letras que aparecen en las fórmulas de la Lógica matemática. En ésta, las letras de las fórmulas, llamadas variables, tienen la función de indicar que ahí donde aparecen ellas, debe considerarse algún objeto, pero no se precisa saber cuál. Dado que la Lógica matemática trabaja con variables y no con cosas, la verdad de lo dicho en las fórmulas ya no puede depender de las cosas. A esta peculiaridad se le denomina, en la Lógica matemática, formalidad; dicho de otro modo, se sostiene que la Lógica matemática se refiere a la forma del discurso –a las relaciones de las posibles cosas involucradas en él-, y no a su contenido –no a las cosas relacionadas. Si la verdad del discurso, en este contexto, no depende ya de las cosas de las que se habla, la forma misma se vuelve independiente de ellas; es decir, la estructura del discurso en la Lógica matemática obedece a reglas de formación que se establecen con entera independencia de los posibles contenidos. Para Aristóteles, en cambio, la se verá más claramente a partir del capítulo II, el criterio de verdad a partir del modo de ser de las cosas se cambia por el de la corrección del pensamiento en términos de coherencia. La preocupación por decir discursos verdaderos, según el modo de ser del mundo, deja de ser, por así decir, el objetivo central de las teorías lógicas posteriores.

18

consideración de una forma sin contenido es absurda; en su ontología, la forma aparece siempre en un material –i.e., contenido- específico o, dicho con mayor precisión, la forma es la manifestación de la organización particular de un material específico16. La forma del discurso, en el contexto de la Lógica aristotélica, está asociada, precisamente, a la forma de las cosas de las que el discurso habla. Por esta razón, como hemos venido insistiendo a lo largo de este capítulo, los silogismos no tienen reglas de formación independientes de su contenido, y la corrección de las relaciones establecidas en ellos está supeditada a la verdad de lo dicho. Ahora bien, si tenemos en cuenta que la corrección del esquema del silogismo se juzga a partir de las formas propias de las cosas de las que se habla, podemos entender que haya esquemas diferentes, en tanto que las formas de las cosas son diferentes. Dicho de manera breve, los estudios sobre el logos no son un método general para construir discursos, porque tampoco hay una forma genérica que pueda ser aplicada a todas las cosas de las cuales se puede hablar en los discursos. Así como las cosas de la ética tienen formas naturalmente diferentes a las cosas de la física, así también los discursos que se empleen en ésta mostrarán una forma naturalmente diferente a la forma de los discursos empleados en aquélla. Tanta diversidad será considerada, por pensadores posteriores, como un defecto de los discursos, por lo que buscarán hacer abstracción de las diferencias –tanto como sea posible-; para Aristóteles, en cambio, la perfección del discurso se medirá por la verdad de lo dicho, la cual se hace posible sólo si se le presta suficiente atención, precisamente, a las diferencias.

16

El desarrollo de estos temas aparece, sobre todo, en el Libro VII de la Metafísica.

19

Bibliografía -

Alfarabi. Short commentary on Aristotle´s Prior Analytics. University of Pittsburg Press, London, 1963.

-

Aquino, Tomás de. Comentario al libro de Aristóteles Sobre la interpretación. Eunsa, Navarra, 1999.

-

Aristóteles. Organon. Cualquier edición. ------------- Metafísica. Cualquier edición.

-

Hispano, Pedro. Tractatus (o summule logicales). Universidad Nacional Autónoma de México, México, 1986.

-

Kneale, William y Kneale, Martha. The development of Logic. Calendon Press, London, 1986

20

Capítulo II Lógica proposicional

Larry Fielding Jagüey Camarena A) Dos análisis del lenguaje Como pudimos observar en el capítulo dedicado a la silogística, ésta es, esencialmente una teoría que expone exhaustivamente los distintos tipos de inferencias válidas que se pueden formular con los cuatro tipos de juicios categóricos.17 A continuación exploraremos un enfoque semejante aunque distinto. Semejante en tanto que explicaremos más modos de hacer inferencias válidas. Distinto en tanto que llevaremos a cabo un análisis distinto del lenguaje. Las distintas inferencias válidas que admite la silogística se basan en las relaciones que se dan entre los términos de los juicios. Podríamos interpretar esos términos como clases de objetos. Tendríamos así, una lógica de clases. Por supuesto que es materia de discusión si esta interpretación peca de no ser totalmente fiel al análisis del lenguaje del propio Aristóteles. Sin embargo, en términos generales podemos llevar a cabo esta lectura siempre y cuando asumamos que lo hacemos a favor de la concisión y la sencillez; y siempre y cuando asumamos que lo hacemos con plena conciencia de la distancia que nos separa en ciertas sutilezas conceptuales no sólo de Aristóteles sino de los mismos lógicos medievales. Así, admitamos que las relaciones lógicas de la silogística dependen en última instancia de la descomposición de las proposiciones en términos que denotan clases de objetos. Sin embargo este análisis del lenguaje pronto nos muestra su insuficiencia para abarcar otro tipo de inferencias válidas. Muchas de ellas presentes en la argumentación cotidiana: si no duermes estarás cansado, si estás cansado no rindes en la escuela; por lo tanto, si no duermes no rindes en la escuela. El asombroso parecido de este tipo de argumento con cierto modo de inferencia silogística no puede pasar desapercibido, de hecho el nombre que tradicionalmente se le da a este tipo de inferencia es Silogismo Hipotético.

17

Para más referencias véase el apéndice II de Rubén Rossano.

21

Como veremos más adelante, el parecido descansa en cierta propiedad de algunas relaciones que se llama transitividad. Las relaciones de contención de las extensiones de un término en la extensión de otro son transitivas. Una manera de representarlas gráficamente es mediante el diagrama siguiente:

Las letras indican el “nombre” de la clase. Sea P la clase de los perros, M la de los mamíferos y A la de los animales. En este diagrama tenemos, como ya se había visto, una forma de representar un silogismo Barbara. La relación de contención entre clases, que es la que está en la base de la silogística, es transitiva cuando se trata de juicios universales afirmativos. Es decir, en el silogismo Barbara se establecen relaciones de contención entre tres extensiones de conceptos denotadas por los términos „perro‟, „mamífero‟ y „animal‟. Esta relación es transitiva, lo que quiere decir que si P guarda la relación C con M y, a su vez, M guarda la relación C con A, entonces P guarda la relación C con A. Ahora cabe preguntarse ¿si en el modo Barbara del silogismo la relación entre lo denotado por los términos es la de contención, cuáles es la relación entre las partes del silogismo hipotético? Y más importante aún ¿cuáles son las „cosas‟ que se están relacionando en el silogismo hipotético? El silogismo hipotético no es el único tipo de inferencia que nos servirá para ilustrar el punto. Cuando alguien sabe la verdad de la oración “el quipo Pumas ni ganó el torneo local ni el continental” también sabe que es verdadera la oración “el equipo Pumas no ganó el torneo continental”. Un ejemplo más. Juanito le dice a su mamá: “si la política del gobierno en materia de educación no cambia tendré un futuro sombrío”. Si la madre de Juan toma por verdadera la sentencia de su hijo y luego se entera de que el gobierno no cambiará su política en materia educativa, podrá inferir válidamente que su hijo tendrá un futuro sombrío. El análisis lógico del lenguaje que se requiere para explicar sistemáticamente este tipo de inferencias válidas toma como unidad mínima de análisis los enunciados. Es decir, las oraciones declarativas, esto es, aquellos enunciados

22

que son verdaderos o falsos. Llamamos a esta alternativa de sistematización lógica del lenguaje Lógica Proposicional. Más adelante se verá como ésta y la silogística se encadenan. La lógica de proposiciones o de enunciados ya era conocida por los antiguos aunque la silogística es la que fue más desarrollada en siglos posteriores. En la lógica proposicional se establecen las relaciones de verdad y falsedad que hay entre enunciados completos. Llamémosle entonces a nuestra unidad básica de análisis en este apartado proposición. Una proposición es verdadera o falsa. Así, cada uno de los cuatro tipos de juicios de la silogística, vienen a ser un mismo tipo de entidad lógico-lingüística bajo nuestro nuevo enfoque. Todo maestro es un conocedor Algún bárbaro es extranjero Algún gato no es manso Ningún activista es manso Aunque desde el punto de vista de la lógica tradicional, la diferencia esencial entre estos cuatro juicios es la cantidad y la cualidad; la característica esencial desde el punto de vista de la lógica proposicional es que son verdaderos o falsos. Como dijimos que la lógica proposicional establece las relaciones entre las proposiciones y hemos dicho que lo esencial en ellas es que son verdaderas o falsas, hay que definir esta relación. Decimos pues, que la lógica proposicional es veritativo funcional. Diremos que podemos formar complejos veritativo funcionales, es decir, proposiciones complejas en las que su verdad o falsedad depende o está en función de sus partes componentes. De ahora en adelante adoptamos la expresión valor de verdad para designar los dos valores que puede tomar una proposición: verdadero o falso. Diremos que una proposición verdadera como “algunas aves vuelan” tiene valor de verdad verdadero y que una proposición falsa como “las moscas son mamíferos” tiene valor de verdad falso. Veamos cómo se da esto. Consideremos los siguientes ejemplos: (1) Todos los perros son mamíferos y todos los gatos son mamíferos (2) Todos los perros son mamíferos y todas las tortugas son mamíferos (1) es verdadera porque de hecho tanto perros como gatos son mamíferos. Sin embargo (2) es falsa porque aunque los perros son mamíferos las tortugas no lo son. (3) Fui a la escuela y al gimnasio

23

La verdad de esta proposición depende de que el que la profiere haya hecho las dos cosas: ir a la escuela y al gimnasio, si dejó de hacer alguna de ellas eso basta para que su enunciado sea falso. Veamos entonces el caso (3). La proposición (3) puede descomponerse en dos proposiciones: “Fui a la escuela” y “fui al gimnasio”. Si ambas son verdaderas del sujeto que las pronuncia entonces la proposición compleja “fui a la escuela y al gimnasio” es verdadera. En el lenguaje cotidiano disponemos de varias palabras o expresiones que nos ayudan a conectar proposiciones “simples” para formar proposiciones complejas. El caso que acabamos de ilustrar en (1), (2) y (3) es el que llamaremos de ahora en adelante conjunción. Por medio de una conjunción unimos varias proposiciones de tal manera que el complejo resultante dependerá de la verdad o falsedad de las partes. A esta relación de dependencia que se da entre un enunciado complejo y sus partes componentes, atendiendo a la verdad o falsedad de estas partes, de ahora en adelante la llamaremos función veritativa o bien, función de verdad.

Funciones La lógica toma la noción de función de las matemáticas. Sin embargo no es difícil de comprender a qué nos vamos a referir aquí con el término función veritativa. Veamos un par de ejemplos bastante sencillos tomados de la aritmética. Tenemos la función aritmética F(x)= 2x Si nos restringimos a los números naturales, es decir, a los números enteros positivos, la función „F‟ actuará como una especie de mecanismo que tomando cada número natural lo duplicará, arrojando como resultado un número distinto: F(1)= 2∙(1)= 2 F(2)= 2∙(2)= 4 . . . F(n)= 2∙(n)= 2n Para cualquier número n La función actúa como una especie de mecanismo: imagine e lector la línea de producción de una fábrica, los números van en una banda mecánica, uno tras otro. La banda los conduce a una máquina, entran en ella, la máquina hace algo con ellos y, por el otro lado, sale un número distinto. En este caso la

24

máquina es la instrucción „2x‟ que nos dice que tomemos el número y lo multipliquemos por 2. La letra „F‟ es solamente el nombre que le damos a nuestro mecanismo, una manera de referirnos a él. La variable „x‟ sirve para ilustrar que la función afectará a un número cualquiera cada vez. A ese lugar que está reservado para ser ocupado cada vez por un número natural distinto lo llamamos argumento18 de la función. Entenderemos provisionalmente a la función como un mecanismo que actúa sobre un conjunto19 de cosas, al que llamaremos dominio de la función. La función le asigna un valor a cada objeto del dominio (en nuestro caso su doble numérico). Al conjunto de valores que la función asigna al dominio le llamamos imagen de la función. Esquemáticamente podemos ilustrar nuestro ejemplo así:

Éste fue un ejemplo de una función de un solo argumento. En aritmética encontramos también funciones de más de un argumento. Considérese como ejemplo la operación suma. Restrinjámonos nuevamente a los números naturales. La operación suma es una función que ya no toma como dominio al conjunto de los números naturales tomados aisladamente. En este caso nuestro dominio cambiará: ahora el dominio será el conjunto de todas las parejas posibles de números naturales, esas parejas serán los “objetos” del dominio. La imagen de la función serán todos los posibles valores que la operación suma asigna a cada par de números naturales. En efecto, llamémosle a la nueva función „G‟, entonces deberíamos escribir: 18

Claramente, este uso de la palabra „argumento‟ debe desligarse completamente del uso que veníamos haciendo de ese término, a saber: un conjunto de premisas de las cuáles se espera extraer una conclusión. El uso del término referido a funciones no tiene nada que ver. 19

En el capítulo 3 daremos un uso técnico de la palabra „conjunto‟. Por ahora entiéndasela como se la entiende en la vida cotidiana: un conjunto es un „montón‟ de cosas, una agrupación de objetos.

25

G(x,y)= x + y A manera de ejemplo veamos solamente cómo se aplica la función G a tres pares de números: G(1,1)= 1+1= 2 G(1,2)= 1+2= 3 G(3,8)= 3+8= 11 La función suma toma así un par de números naturales como argumentos, asignándoles un valor, que es un número natural determinado. Ejercicio: Diga cuántos argumentos tienen cada una de las siguientes funciones. a) H(x,y)= x – y b) I(z,w,y)= (2w + 3y) – z c) J(y)= y d) M(x1, x2, …, x100)= x1 ∙ x2 ∙ … · x100 e) N(y1, y2, …, yn)= y1 + y2 + … + yn

Verdadero y falso Dejando de lado la aritmética y regresando a la lógica, podemos dar una primera definición de lo que entenderemos por función veritativa: una función veritativa es una función que toma valores de verdad como argumentos y cuyo valor es un valor de verdad. Es decir, en una función veritativa tanto argumentos como valores son valores de verdad. En lo que sigue y para abreviar, para referirnos al valor de verdad „verdadero‟ usaremos una T 20 y para referirnos al valor „falso‟ usaremos una T invertida: .21 Es momento de hacer un recordatorio. Dijimos que en lógica proposicional la unidad mínima de análisis son los enunciados declarativos del lenguaje, es decir, aquellos que son verdaderos o falsos; les llamamos proposiciones 22. Así, desde el punto de vista proposicional los enunciados „2+2=4‟ y „Juan Miguel lee novelas policiacas‟ nos interesan en tanto son verdaderos o falsos. El primer 20

„T‟ de true, “verdadero” en inglés.

21

Es una notación utilizada en varios textos de lógica matemática, nosotros la tomamos de Quine (1950). Una notación alternativa, igual de sencilla y muy utilizada, es la de asignar „1‟ al valor verdadero y „0‟ al valor falso (ver apéndices). 22

Por motivos meramente pragmáticos, atendiendo a la simplicidad de la exposición, estamos tomando como la misma cosa las proposiciones y a los enunciados declarativos del lenguaje. Sin embargo hay sutilezas que no deben ser ignoradas en el campo de la discusión filosófica sobre la lógica. Véase capítulo 6.

26

enunciado siempre es verdadero, mientras que el segundo puede ser verdadero o falso.

Desde ahora se puede ver que nos interesa que proposiciones como éstas sean los argumentos de nuestras funciones de verdad. Pero dado que lo que nos interesa de ellas es que sean verdaderas o falsas, podemos definir genéricamente cada función veritativa en términos de los meros valores de verdad. Se entiende que definida en general cada función, podrá aplicarse después a cada caso particular. Así como en aritmética podemos definir funciones para uno, dos, tres y, en general, n argumentos. Veamos un ejemplo muy sencillo. Llamemos „f‟ a la función veritativa de un argumento que se define mediante la siguiente regla:

 Podemos notar que esta función no efectúa ningún cambio a su único argumento, de manera similar a lo que ocurre en aritmética cuando multiplicamos por 1. Tomemos de ahora en adelante funciones de verdad más interesantes:

Ésta es también una función de un solo argumento, sin embargo esta función lleva a cabo un cambio significativo: cambia lo verdadero por lo falso y lo falso por lo verdadero. Llamamos a esta importante función la negación lógica. La negación lógica es muy importante y es vital por ello entender bien en qué consiste. La manera adecuada entenderlo es mediante algunos ejemplos. ¿Cuál es la negación lógica de la proposición „Luis es un gran atleta‟? Primero, atendiendo a lo que dice la regla de la función Neg, vemos que si „Luis es un gran atleta‟ es un enunciado verdadero, su negación lógica debe ser falsa. Así, si Luis es efectivamente un gran atleta, debe ser falso el enunciado que dijera que Luis no es un gran atleta. De la misma forma, si fuera falso que Luis es un gran atleta, deberemos tomar por verdadero el enunciado „Luis no es un gran atleta‟.

27

La manera más sencilla de expresar la negación lógica en el lenguaje natural es mediante la partícula „no‟. Sin embargo hay que tener cuidado. Veamos el siguiente cuadro: Enunciado

Negación lógica del enunciado

Luis es un gran atleta

Luis no es un gran atleta

Rubén lee a Pedro Hispano

Rubén no lee a Pedro Hispano

Mario es amigo de Karina

Mario no es amigo de Karina

Apreciamos con claridad que los valores de verdad de los enunciados de la izquierda se invierten correctamente con la negación propuesta en la columna de la derecha. ¿Qué pasa con el siguiente ejemplo? (A)

Los animales silvestres son peligrosos

La negación lógica de (A) es “no todos los animales silvestres son peligrosos”. Los distintos giros del lenguaje que suelen usarse para expresar la negación lógica son: „no‟, „no es cierto que‟, „no es el caso‟. La forma más sencilla de aplicar la negación en el lenguaje natural para no incurrir en error es anteponer la negación a todo el enunciado. Ejemplos: „no es el caso que Javier juegue en Inglaterra‟, „no es cierto que las tortugas vuelan‟, „no es verdad que los Pumas fracasaron‟, „no es el caso que Luis sea un gran atleta‟, „no hace frío‟. Como esta función es de gran importancia en la lógica utilizaremos el símbolo „‟23 para denotarla: (Luis es un gran atleta) Aquí se ve de inmediato la necesidad de introducir abreviaturas que permitan una simbolización elegante y sencilla para la lógica proposicional. Si le asignamos un símbolo especial a nuestra primera función proposicional de relevancia ¿Porqué no asignar también símbolos a las proposiciones mismas? En aritmética estamos acostumbrados a usar como variables a las últimas letras del alfabeto (x, y, z, …). Y sabemos que una „x‟ en una ecuación significa un lugar que puede ocupar un número cualquiera, pero siempre el mismo en cada aparición de „x‟ en la misma ecuación. De la misma forma, en lógica proposicional usaremos ciertas letras para representar variables proposicionales. Es una convención aceptada que se utilicen las letras medias del alfabeto: 23

En otros textos suele usarse el símbolo „ ~ ‟.

28

p, q, r, s, t… Una variable proposicional es una letra, un símbolo esquemático, que debe ser interpretado como una proposición cualquiera. Sin embargo, una vez que se le ha asignado a una letra cierta interpretación, ésta debe mantenerse siempre la misma. Es decir, es incorrecto darle en un mismo contexto interpretaciones diversas a la letra „p‟, si se le ha asignado una interpretación determinada, por ejemplo „Luis es un gran atleta‟. Convenido esto acerca de las variables, y tomando en esta ocasión „p‟ como „Luis es un gran atleta‟; podemos expresar la negación lógica de ´Luis es un gran atleta‟ con: p A esta simbolización, por medio de variables proposicionales y símbolos de funciones veritativas las llamaremos esquemas veritativo-funcionales. Pues son esquemas generales en los que al sustituir las variables por enunciados concretos obtenemos un complejo veritativo funcional concreto. Es hora de explicar el resto de las funciones veritativas que serán de nuestro interés. Pasemos ahora a funciones de dos argumentos.

 A esta importante función la llamamos conjunción. Una conjunción la verdad de dos proposiciones, por ejemplo: „Luis es un gran atleta y Alberto es un gran filósofo‟, „Duermo la siesta a las tres y veo T.V. en la noche‟, „Me gusta el futbol y no me gusta la política‟. La regla de la función conjunción nos dice que es verdadera sólo cuando los dos enunciados componentes son verdaderos. En el lenguaje natural la palabra que usamos con más frecuencia para expresar la conjunción es „y‟. Pero hay otras palabras que nos indican que estamos frente a una conjunción: „pero‟, „también‟, „sin embargo‟, etcétera. El símbolo que utilizaremos es „‟ puesto entre las dos proposiciones que forman la conjunción: p q Ahora definamos la siguiente función veritativa:

29

A esta función la llamamos disyunción. Sólo es falsa cuando las dos proposiciones componentes son falsas. Es claro a partir de un ejemplo: si alguien afirma „veré el partido en el estadio o lo veré en T.V.‟ y no hace ninguna de las dos cosas, su afirmación será considerada falsa. Aquí conviene hacer una aclaración más. Algunas veces la disyunción en el lenguaje natural tiene el significado siguiente: pasa alguna de las dos cosas pero no ambas. Por ejemplo: “en el desayuno de hoy pediré café o té”. En este caso se entiende que no puede darse el caso de que pida ambas cosas. Sin embargo este tipo de ejemplos („el nuevo bebé será niño o niña‟) dependen de circunstancias en las que la misma realidad excluye la posibilidad de que los dos enunciados componentes sean verdaderos. La disyunción que es admitida en la lógica es la disyunción inclusiva, definida en la tabla de arriba. En efecto, cuando alguien dice „Iré al cine o iré al teatro‟ y resulta que va a ambos, no decimos que mintió, solamente que fue afortunado al tener tiempo y dinero para asistir a ambos centros de entretenimiento. El giro del lenguaje más común para expresar la disyunción es „o‟, „o esto…. o lo otro‟. El símbolo que usaremos es „‟: (p  q) Aunque conjunción y disyunción24 están definidas para dos proposiciones componentes, es posible considerar conjunciones y disyunciones de n miembros, para cualquier número n. Un aspecto de las funciones de verdad que no habíamos hecho explícito pero que el lector ya habrá sospechado es que al definirlas como funciones en las que argumentos y valores son valores de verdad, lo que hicimos fue admitir que los argumentos de nuestras funciones son proposiciones y sus valores también. Es decir, al combinar dos proposiciones mediante una conjunción tenemos como resultado una nueva proposición. Esta nueva proposición tiene un grado de complejidad mayor que el de sus partes componentes, pero no deja de ser una proposición, un enunciado que es verdadero o falso. Por lo tanto, si tomamos dos proposiciones „p‟ y „q‟, y formamos con ella „p q‟, podemos considerar a ésta última como una nueva proposición, llamémosla „S‟. A „S‟ le podemos aplicar una nueva conjunción: „Sr‟, que, por la notación empleada aparenta ser una conjunción de dos miembros, aunque en realidad lo es de tres („p‟, „q‟, „r‟). Y así sucesivamente. Y análogamente para la disyunción. Ejercicio: Atendiendo a las explicaciones de la definición de conjunción y disyunción, vea el lector si es posible establecer un criterio de verdad o falsedad para ambas funciones, con un número cualquiera n de argumentos.

24

„‟ y „‟ son conocidos también como conectivos lógicos, pues esa es su función: conectar o unir dos o más proposiciones. De manera similar, „‟ es conocido también como un operador.

30

Agrupación En este momento hay que hablar acerca de la agrupación. En algunos casos, de hecho en la mayoría de ellos, nos las veremos con más de dos proposiciones y hay que saber cómo simbolizar apropiadamente para conservar el significado de lo que queremos expresar con nuestra simbolización. El lenguaje natural tiene sus propios medios para desambiguar expresiones en las que intervienen varios enunciados. Por ejemplo: „México gana a Holanda o a Uruguay, pero no pierde contra Corea‟. Se entiende que „México gana a Holanda o a Uruguay‟ es una proposición por sí misma, en conjunción son „no pierde contra Corea‟; simbolizamos la primara con una „D‟ y la segunda con una „r‟: „D  r‟. Pero „D‟ es una proposición compuesta, una disyunción: „México gana a Holanda  México gana a Uruguay‟. Recurriremos al uso de paréntesis para dejar en claro el alcance de los conectivos al simbolizar las proposiciones con nuestras variables. La proposición en cuestión quedaría así: (p  q)  r Donde „p‟ es „México gana a Holanda‟, „q‟ es „México gana a Uruguay‟ y „r‟ es „México pierde contra Corea‟. Haciendo buen uso de la agrupación ya podemos evaluar esquemas proposicionales bastante complejos. Por ejemplo: a) Evaluar el esquema „(p  q)  (r  (p  s))‟, considerando los siguientes valores para las variables proposicionales; p: T, q: , r: T, s: T. Vamos primero con „p  s‟: por la definición de la función negación p: , s:  Por la definición de la función disyunción, (p  s):  Por la definición de conjunción, (r  (p  s)):  Por la definición de negación, (r  (p  s)): T Vamos ahora con „p  q‟: por definición de disyunción, (p  q): T Ahora, todo junto, por definición de conjunción, (p  q)  (r  (p  s)): T Ejercicios: 1) Simbolizar los siguientes enunciados, ponga atención en la agrupación. i) Juan no comió carne, pero comió verduras o fruta o pasta. ii) Luis y Pedro no fueron ayer al estadio, o bien, Javier y Rafael fueron al estadio.

31

iii) Ni Luis, ni Pedro, ni Javier, ni Rafael fueron al estadio ayer. iv) Nos gusta la lógica o la filosofía pero no nos gusta la química ni las ciencias sociales. 2) Evaluar los siguientes esquemas proposicionales. Considere los siguientes valores para las variables: p: T, q: , r: T, s: , t: T i) (r  (s  t))  p ii) q  (p  (p  p)) iii) (p  r)  ((r  s)  (t  q)) iv) (p  r)  (s  t) v) ((p  (q  s))  (r  s))  (t  (s  t))

Tablas de verdad Lo que hemos estado haciendo al definir las funciones veritativas es equivalente a hacer uso del mecanismo conocido como tablas de verdad. Las tablas de verdad son un método que tiene múltiples aplicaciones en la lógica proposicional. La primera de ellas es la que acabamos de utilizar: definir las funciones veritativas. Más adelante explicaremos otras aplicaciones de las tablas que son en general un método de análisis veritativo funcional. En una tabla de verdad se enumeran con exhaustividad todas las combinaciones posibles de valores de verdad para un número n de variables proposicionales. La fórmula que se utiliza para calcular el número de combinaciones posibles es la siguiente: Combinaciones posibles= 2n, para n variables proposicionales Esto es importante, pues como acabamos de hacerlo, al definir una función veritativa para n argumentos es necesario saber cuáles son todas las combinaciones posibles de valores de verdad, pues a cada combinación distinta debe corresponderle un valor. Si tenemos el enunciado „Pedro ama al futbol y a sus hijos, pero también ama a su prójimo‟ debemos saber qué valor de verdad asignará nuestra función conjunción cuando, por ejemplo, el primer elemento es falso y los otros dos son verdaderos. En este caso si tenemos tres proposiciones, el cálculo da como resultado ocho posibles combinaciones. Para ser exhaustivos y desplegar con facilidad todas estas combinaciones se utiliza la técnica que se mostrará en la siguiente tabla de verdad:

32

# 1 2 3 4 5 6 7 8

p: „Pedro ama al futbol‟ T T T T    

q: ´Pedro ama a sus hijos‟ T T   T T  

r: „Pedro ama a su prójimo‟ T  T  T  T 

Es claro que si estuvieran involucradas cuatro letras proposicionales y por lo tanto dieciséis combinaciones posibles de valores de verdad para ellas, la tabla tendría que comenzar distribuyendo ocho renglones consecutivos con valor verdadero, seguidos de ocho renglones con valor falso. A continuación se repetiría el mismo patrón que se observa arriba: en la siguiente columna se distribuyen la mitad de valores „T‟ y „‟ respecto a la columna anterior, y así sucesivamente. De esta manera se agotan todas las posibilidades dadas para un número cualquiera de variables proposicionales. De este modo cada renglón nos proporciona una interpretación posible para un complejo veritativo funcional dado. Detengámonos en este punto volviendo a nuestro ejemplo. Decíamos que teníamos el siguiente enunciado: „Pedro ama al futbol y a sus hijos, pero también ama a su prójimo‟. Haciendo uso de la agrupación adecuada y de la correcta interpretación de los giros lingüísticos involucrados („pero también‟); la simbolización adecuada del enunciado es „(p  q)  r‟. Supongamos ahora que Pedro en realidad detesta todos los deportes, entre ellos el futbol, que ama a sus hijos aunque odia a sus vecinos. Sabemos que bajo estos supuestos nuestro enunciado es falso pues tanto „p‟ como „r‟ son proposiciones falsas. Imaginemos ahora un mundo, quizás diferente al real, en el que Pedro ama a su prójimo y a sus hijos, aunque sigue detestando los deportes. Bajo esta otra interpretación nuestro enunciado sigue siendo falso aunque es claro que es una interpretación diferente. En lógica proposicional hablamos de interpretación en dos sentidos, hasta el momento. Por un lado, podemos interpretar un esquema veritativo funcional como „(p  q)  r‟ asignándole una proposición concreta a cada variable proposicional. Otro sentido de interpretar es cuando asignamos los valores T o  a una variable proposicional dada. En realidad los dos son equivalentes en tanto que una proposición concreta es verdadera o falsa en la realidad. Ello por supuesto puede envolvernos en complicadas polémicas que no abordaremos por ahora, pues ¿en qué sentido „Pedro ama a sus hijos‟ es verdadera o falsa realmente? Al menos mientras no digamos explícitamente a quién nos referimos, pues hay muchos sujetos que responden al nombre „Pedro‟. Por

33

ahora no nos ocuparemos de estas dificultades pero las mencionamos de pasada por no constituir problemas triviales. De este modo una tabla de verdad puede leerse como una descripción exhaustiva de los “mundos posibles” implicados en el contexto que demanda la evaluación de un esquema veritativo funcional complejo. Así, en nuestro ejemplo, el renglón número 8 describe “el mundo posible” en el que Pedro no ama al futbol ni a sus hijos ni al prójimo en general. A continuación y para lo que resta del libro utilizaremos una notación especial para las tablas de verdad. En lugar de simbolizar el valor verdadero con T y el falso con , de ahora en adelante utilizaremos el „1‟ para decir „verdadero‟ y el „0‟ para decir „falso‟ en las tablas de verdad. Al desplegar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para las variables de un esquema proposicional una tabla de verdad nos proporciona el medio para evaluar cualquier esquema. Veamos algunos ejemplos. 1) ¿En qué casos es falso el esquema siguiente: „(q  (r  (p  q)))‟? Si ponemos a la izquierda las tres columnas que les corresponden a cada variable y a la derecha escribimos nuestro esquema podemos ir evaluando cada renglón de acuerdo a las definiciones que se dieron anteriormente de las funciones de verdad o conectivos „‟, „‟ y el operador „‟. Por supuesto, hay que atender a todas las precauciones que ya se explicaron en los ejemplos del apartado anterior. 1 2 3 4 p q r

5

6

7 8

(p  ( r

9

10 11 12

 (p 



q)))

1 1 1 1

0

0

1 0

1

0

0

1

1 1 0 1

1

1

0 1

1

0

0

1

1 0 1 1

1

0

1 1

1

1

1

0

1 0 0 1

1

1

0 1

1

1

1

0

0 1 1 0

0

0

1 0

0

0

0

1

0 1 0 0

0

1

0 1

0

0

0

1

0 0 1 0

0

0

1 1

0

0

1

0

0 0 0 0

0

1

0 1

0

0

1

0

Pudiera parece exagerada la minuciosidad de la tabla, por supuesto que no se recomienda al estudiante que realice el “llenado” completo de la tabla cada vez que quiera realizar el análisis de un esquema veritativo funcional. En esta 34

excepcional ocasión se hizo para no dejar lugar a dudas de lo que se estaba haciendo. Hacer este llenado exhaustivo puede resultar incluso perjudicial dado que visualmente es difícil de observar los detalles relevantes. Obviamente es redundante el llenado de las columnas 4, 7, 9 y 12. No lo es tanto el llenado de las columnas 6 y 11 que son la negación de variables, aunque con la práctica seguramente se convertirá, a la larga, en un paso igualmente “trivial”. El sombreado en las columnas 5, 8 y 10 está puesto con la intención de resaltar las columnas “más relevantes”. “Más relevantes” pues en realidad al igual que 6 y 11 son las que corresponden a alguna función veritativa, aunque, en este caso, de dos variables. Sin embargo 5 sí tiene un estatus especial, pues en la columna 5 encontramos la función veritativa que domina todo el esquema. Es decir, aunque en el esquema encontramos varias negaciones, conjunciones y una disyunción; la conjunción que se encuentra en la columna 5 es la que constituye la forma de todo el esquema. El esquema es una conjunción; por supuesto, donde el primer componente es una variable simple, y el segundo es una disyunción, disyunción donde el primer componente es una negación y el segundo una conjunción nuevamente. De este modo, y respondiendo a la pregunta inicial, el esquema „(q  (r  (p  q)))‟ es falso cuando todas las variables son verdaderas y también es falso siempre que la „p‟ sea falsa. Según el esquema que nos sea propuesto debemos buscar cuál es la función veritativa principal, o como suele decirse, cuál es el conectivo principal. Ejercicio I: Determine cuál es la función de verdad principal para cada uno de los siguientes esquemas. Ejemplo: „(p  (p  r))‟ función o conectiva principal: negación. 1) (p  (p  p))  r 2) (r p)  ((pq)  (p s)) 3) ((q  (r  s))  t] 4) (s  s)  (t  (p  t)) 5) [t  (r  t)] 6) (p  r)  (t s  p) 7) (p  (t  r))  (t  p)  (p  q) 8) ((p  r)  (t  (p  (q  (p  (s m)))))) 9) (p  (r  r))  (p  p) 10) (r  (p  (q  p)))

35

Ejercicio II: Observe las siguientes tablas de verdad y complételas como es adecuado. El sombreado indica la conectiva principal. Ponga atención en el uso de los paréntesis. p q r

p q r

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

(p  r)  (q  r)

1

(p  q)

((p  r)

(q

1 1 1

1

1 1 0

1

1 0 1

1

1 0 0

0

0 1 1

1

0 1 0

1

0 0 1

0

0 0 0

1

36

(p  r)))

Más funciones de verdad Una vez que ya hemos definido qué es una función de verdad y definimos las funciones „‟, „‟ y „‟; podemos utilizar las tablas de verdad para definir algunas funciones veritativas más que serán de gran interés e importancia en adelante. p q (p  q) 1 1

1

1 0

0

0 1

1

0 0

1

A esta función veritativa la llamamos condicional material. Traducimos entonces „pq‟ como „Si p entonces q‟. Llamaremos al elemento que en este caso ocupa el lugar de la p el antecedente del condicional y al elemento que ocupa el de la q, su consecuente. Veamos: “Si te portas bien te compro la bicicleta”. ¿Cuándo es falsa esta promesa? Solamente cuando el niño se porta bien y su madre no le compra la bicicleta. Pero, ¿por qué es verdadero este condicional cuando el antecedente es falso? Siguiendo el ejemplo podríamos decir que si el chico no se porta bien la promesa no se ha roto, pues es claro que sólo hay un modo en el que puede romperse. Otras expresiones que suelen usarse en el lenguaje natural y que se pueden tomar por un condicional material son: “p sólo si q”, “q cuando p”, “siempre que p, q”. Todas estas expresiones se traducen „pq‟. Aunque de hecho parezca raro que el condicional material sea verdadero cuando el antecedente es falso hay que notar que no sería menos raro tomar el condicional falso en lugar de verdadero en estos casos. El condicional material sirve para expresar que no es posible que se dé el antecedente sin el consecuente. Claro que podemos errar en esta apreciación cuando emitimos juicios en la vida real, por ejemplo: “Si Inglaterra juega con sus mejores hombres será invencible”. Obviamente cuando se expresan este tipo de oraciones se espera acertar en la apreciación de que no puede darse el antecedente sin que se dé también el consecuente. No solemos construir este tipo de oraciones con proposiciones

37

que de antemano sabemos que no tienen nada que ver: “Si Inglaterra gana el mundial entonces el hombre llegará a Marte”. Algo que es importante señalar es que el condicional material no expresa nexos causales. Ciertamente, si sabemos que el que se moje el piso es consecuencia necesaria de verter líquido sobre él, haremos bien en decir: “Si vertemos líquido sobre el piso entonces éste se mojará”. Pero en general, un condicional material no representa causalidad, pues cuando el condicional es falso es claro que no hay tal nexo; y aunque fuera verdadero es demasiado comprometedor decir que es verdadero por necesidad. Como acabamos de ver, el condicional material expresa la situación en la que no es el caso que se dé el antecedente y no se dé el consecuente, es decir: „(p  q)‟. Y el condicional material resulta ser verdadero cuando el antecedente es falso o cuando el consecuente es verdadero, es decir: „p  q‟. Es un hecho importante que las funciones veritativas puedan expresarse en términos de otras funciones. Hasta el momento hemos encontrado el modo de expresar por medio de „‟ e „‟ y de „‟ y „‟ la función „‟. ¿Será posible expresar „‟ por medio de „‟? La respuesta es afirmativa, siempre y cuando se haga uso también de „‟. Sólo hay que repasar las condiciones de verdad y falsedad de la función „‟ para ver cómo es posible. La conjunción es falsa cuando alguno de sus dos elementos es falso, es decir, „(pq)‟ (conjunción falsa) dice lo mismo que „p  q‟ (alguno de los elementos falso). Algo similar ocurre con la disyunción: „p  q‟ es falso cuando no ocurre ni „p‟ ni „q‟. Es decir: „(p  q)‟ expresa el siguiente hecho „p  q‟. A continuación nos interesa definir otra función de verdad que va de la mano con ciertas expresiones del lenguaje natural. “México ganará la copa siempre y cuando Uruguay no la gane”. Este enunciado expresa dos situaciones: que si México gana la copa Uruguay no la gana y que si Uruguay la gana entonces México no hace lo mismo. Otro ejemplo: “pasas al siguiente año si y sólo si apruebas todas tus materias”. Es decir, que si apruebas todas tus materias pasas de año, pero también que si pasas de año es porque las aprobaste todas; en suma: no es posible que se dé una de las dos cosas sin que se dé la otra. A esta nueva función la llamamos bicondicional material. Equivale a dos condicionales materiales, es decir, „p si y sólo si q‟ equivale a „si p entonces q y si q entonces p‟. El bicondicional es verdadero cuando los valores de verdad de sus partes componentes es igual, es falso en cualquier otro caso. Esta última explicación

38

nos sugiere la tabla de verdad que define a la nueva función, la que denotaremos con el símbolo o conectivo „‟: p q (p  q) 1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1

A continuación conviene hacer algunas observaciones acerca de las cinco funciones privilegiadas que acabamos de definir: „‟, „‟, „‟, „‟ y „‟. Elegimos estas cinco funciones no sólo porque sean representativas de operadores y conectores de oraciones o proposiciones en el habla cotidiana. Primordialmente les daremos una atención especial por su papel destacado en contextos lógicos y por ende, en los contextos científicos o matemáticos que se valen de la lógica. Es decir, la lógica no le presta atención a estas funciones veritativas porque sean de uso común, sino que son de uso común porque expresan relaciones lógicas básicas. La primera explicación que dimos de lo que era una función veritativa y la subsecuente definición de algunas funciones veritativas que encuentran uso en la vida real nos lleva a preguntarnos ¿Son éstas las únicas funciones de verdad? La respuesta es no, hay infinitas funciones de verdad, siempre y cuando haya un infinito número de variables proposicionales. Veámoslo definiendo nuevas funciones con el método de tablas de verdad. Es claro, por un simple razonamiento combinatorio, que hay cuatro funciones veritativas de un solo argumento: p f (p) Neg (p) T(p) (p) 1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

La primera función es el ejemplo trivial con el que comenzamos la explicación de función veritativa; a dicha función de manera arbitraria y convencional elegimos denotarla con el símbolo „f‟. La segunda función es nuestra conocida negación. La tercera función es algo peculiar pues le asigna el valor verdadero a la proposición que tome el lugar de su argumento aunque esta sea falsa; por

39

ello elegimos simbolizarla con la „T‟. Y de manera análoga con la cuarta función. Recalcamos el hecho de que los símbolos utilizados para la primera, tercera y cuarta función son una elección arbitraria que los autores de este texto se toman la libertad de usar simplemente para llamarles de alguna manera a las funciones veritativas. El uso de la „T‟ y la „‟ no debe confundirse con el que se dio más arriba, ya que en esta ocasión se le utiliza solamente para resaltar que una función hace verdadero a su argumento no importando que este sea falso y la otra lo hace falso no importando que sea verdadero. Podemos expresar todas estas funciones por medio de los conectivos usuales: f (p) Neg (p)

(p)

T(p)

p

p

p

(p  p) (p  p)

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

En la siguiente tabla de verdad definimos las 16 funciones de verdad existentes para dos argumentos: F1

F2

F3

F4

F5

F6

(p  q) (qp) (p q) (p q)

p q

F7

F8

(p  q)

1 1

1

1

1

1

0

0

1

1

1 0

1

1

1

0

1

0

0

1

0 1

1

1

0

1

1

1

0

0

0 0

1

0

1

1

1

1

1

0

F15

F16

F9

F10 F11

p q pq

F12

F13

F14

(p  q) (p q) (q p) (p q)

1 1

0

1

0

1

0

0

0

0

1 0

1

0

1

0

1

0

0

0

0 1

1

1

0

0

0

1

0

0

0 0

0

0

1

0

0

0

1

0

40

En las tablas se resaltan las funciones 2, 4, 7 y 12 que son las que definimos más arriba para nuestros conectivos básicos. Las funciones 3, 5, 13, 14 y 15 cuentan con una representación en términos de los conectivos básicos. Se deja como ejercicio para el lector que encuentre una expresión adecuada en términos de los conectivos básicos para el resto de las funciones de verdad. Resaltamos de manera especial la función 9 puesto que en un capítulo próximo se le dará un tratamiento especial. No se le asigna un signo especial () porque no exista una forma de expresarla en términos de los otros conectivos, sino para ilustrar que desde el punto de vista meramente formal pudimos haber elegido cualquiera de estas 16 funciones para asignarles un rol y un signo especiales, tal y como lo hicimos para el caso de „‟, „‟, „‟ y „‟. No hay que perder de vista que así como hemos definido funciones veritativas de uno y dos argumentos, podemos definir funciones veritativas de más argumentos. Definiremos, como ejemplo la siguiente función G de tres argumentos con nuestro anterior método:

Si queremos representar esta función por medio de los conectivos que conocemos sólo tenemos que observar que la función solamente da como resultado „falso‟ cuando „p‟ y „q‟ son verdaderas y „r‟ es falsa; cuando „p‟ y „r‟ son verdaderas y „q‟ falsa; y por último cuando todos sus componentes son falsos. Así, lo único que hay que hacer es negar que ocurran estos casos: (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r) El lector puede comprobar que este esquema tiene la tabla de verdad que le corresponde a la función G definida más arriba.

Otros métodos de análisis veritativo funcional Más arriba apenas se mencionó que las tablas de verdad son un método de análisis veritativo funcional. Sin embargo hay otras formas de realizar este análisis que tienen ventajas sobre el método de tablas, pero ello depende de lo que se quiera obtener con el análisis. A continuación presentamos un método

41

que aparece en Los métodos de la lógica del lógico estadounidense Willard V. O. Quine. Este método se vale de un grupo de nueve reglas que no se refieren a nada que no esté contenido ya en las tablas de verdad de los conectivos proposicionales. Adoptamos nuevamente a la „T‟ representando „verdadero‟ y a la „‟ representando „falso‟. Partimos entonces de los conectivos proposicionales usuales y de las posibles interpretaciones de sus letras componentes: „T‟ o „‟: 1) Si la „T‟ aparece como componente de una conjunción, suprímasela. Ejemplo: „T  q‟ se reduce a „q‟. Es claro por qué: si uno de los componentes de una conjunción es verdadero el valor de verdad del esquema completo dependerá del otro elemento, en este caso „q‟.25 2) Si la „‟ aparece como componente de una disyunción, suprímasela. 3) Redúzcase toda conjunción que tenga una „‟ como componente a „‟. 4) Redúzcase toda disyunción que tenga una „T‟ como componente a „T‟. 5) Si la „T‟ aparece como antecedente de un condicional, suprímasela. 6) Redúzcase todo condicional que tenga una „‟ como antecedente o una „T‟ como consecuente a „T‟. 7) Si un condicional tiene la „‟ como consecuente, redúzcase todo el compuesto a la negación del antecedente. Ejemplo: „p‟ se reduce a „p‟. 8) Elimínese la „T‟ como componente de cualquier bicondicional. Ejemplo: „qT‟ se reduce a „q‟. 9) Si un bicondicional tiene la „‟ como componente, suprímaselo y niegue el otro lado. Ejemplo: „(pr)‟ se reduce a „(pr)‟. Aplicamos el método del siguiente modo: asignamos una interpretación a las letras componentes („T‟ o „‟) y vamos aplicando las reglas. Ejemplo: „(r  (pq))  (p (rq))‟. Interpretación: „p‟: T, „q‟: T, „r‟: .  (r  (pq))  (p (rq)) (  (TT))  (T (T)) (  (T))  (T) doble aplicación de (1) T T) aplicación de (2) T T) por doble negación T) aplicación de (8) T aplicación de (6) 25

En lo que sigue omitimos las justificaciones y se deja formularlas al lector como ejercicio.

42

Por lo tanto, el esquema es verdadero para esta interpretación de sus letras componentes. Visto de esta forma el método es demasiado laborioso tomando en cuenta que sólo resolvimos uno de los ocho renglones de la tabla de verdad correspondiente. Sin embargo, se nota que si deseáramos saber qué pasa en ciertos casos con este método no tenemos que dibujar la tabla de verdad completa con todas sus combinaciones. Incluso para hacer un análisis completo, de todas las posibilidades es mucho más breve. Con la práctica muchos pasos se harán en automático y el análisis completo de un esquema como el siguiente, en lugar de ocupar una tabla de dieciséis renglones sólo requerirá unas cuantas ramificaciones que permitirán apreciar perfectamente las condiciones de verdad/falsedad del esquema completo:

(p  (rs)) (q  (r  (p  s))) (T  (rs)) (q  (r  (T  s))) „T‟ para „p‟ ( rs) (q  (r  )) ( rs) (q  r ) ( Ts) (q  T ) „T‟ para „r‟ s q No continuaremos el análisis completo de este ejemplo, pero es evidente que con esto ya resolvimos la mitad de la tabla de verdad de dieciséis renglones: cuando „p‟ es tomada como verdadera el valor de todo el compuesto sólo es falso cuando „s‟ es verdadera y „q‟ falsa, es decir, sólo uno de los ocho renglones. Este método será muy fructífero en la sección dedicada a la consecuencia lógica en la lógica proposicional.

43

B) La lógica proposicional como sistema formal En adelante asumiremos que todo lo que hemos definido constituye la médula del sistema de la lógica proposicional. Pero para definir con rigor qué es un sistema formal. Un sistema formal consta de un lenguaje formal y de un aparato deductivo.

Lenguaje formal. Diremos que nuestro lenguaje formal se llama “lenguaje formal P”, pues hay muchos lenguajes formales y queremos distinguir el nuestro entre todos ellos. Un lenguaje formal consiste en un alfabeto y reglas de formación de fórmulas. Lenguaje formal P Símbolos del lenguaje formal P Letras o variables proposicionales

p, q, r, s, t

Símbolos lógicos

, , , , 

Signos auxiliares (paréntesis, subíndices26)

(, ), 1, 2, …, n

Reglas de formación de fórmulas de P. Lo que sigue es conocido como definición recursiva. En una definición recursiva se toma un objeto como perteneciente a una clase de objetos y a partir de él se encapsulan (se definen) nuevos objetos con un grado de complejidad mayor dentro de la misma clase. Para que quede más claro veamos cómo nuestras reglas de formación de fórmulas del lenguaje formal P constituyen una definición recursiva de lo que es una fórmula de P: 1) Las letras (o variables) proposicionales son fórmulas atómicas de P. 2) Las fórmulas atómicas de P son fórmulas de P. Sean  y 27 fórmulas cualesquiera de P, entonces:

26

En caso de que sean demasiadas las variables proposicionales requeridas.

 y  son metavariables, es decir, no son variables proposicionales propiamente dichas. Si en esta definición hubiéramos optado por usar variables proposicionales habríamos sugerido al lector que las fórmulas complejas que se definen en (4) sólo son admisibles si se conectan letras proposicionales y no fórmulas cualesquiera. 27

44

3) , (  ), (  ), ( ), (  ) son fórmulas de P. 4) Nada más es una fórmula de P. Como esta definición habla de “ y  fórmulas cualesquiera de P” es claro el proceso constructivo que da como resultado, por ejemplo, la fórmula: ((p  (p  r))) Se partió de „p‟ y „r‟ que son letras proposicionales y por (1) y (2) son fórmulas de P; luego, por (3) sabemos que „r‟ también es fórmula de P, y por (3) también „p  r‟ es fórmula de P, y así sucesivamente.

Aparato deductivo. En un sistema formal el aparato deductivo consta de un grupo de reglas de inferencia y un grupo de axiomas (o sólo uno de los dos) a partir de los cuáles se obtendrán nuevas fórmulas. Hay que resaltar que un sistema formal no hace ninguna referencia a alguna interpretación del lenguaje. Nosotros comenzamos presentando la lógica proposicional como un sistema lógico que nos presentaría las relaciones veritativo funcionales entre enunciados declarativos. Por ello, estrictamente hablando, podríamos tomar el apartado donde definimos el lenguaje formal haciendo caso omiso a todo lo que se explicó anteriormente. Obviamente, la relevancia de los sistemas formales tiene que ver con la posibilidad de interpretar el lenguaje formal. La interpretación más básica es la que presentamos en la primera parte del capítulo: interpretando nuestras variables proposicionales como enunciados declarativos (proposiciones) cuya característica principal es ser verdaderos o falsos. Sin embargo, un aparato deductivo bien definido, desde el punto de vista de lo formal, no necesita de esa interpretación. Para comprender bien esta idea piense el lector simplemente en qué podríamos programar una computadora para que realizara deducciones formales. Para ello sólo tendríamos que introducir un vocabulario y un conjunto de reglas de formación o construcción de fórmulas. Esto es lo que acabamos de hacer en la sección anterior. A continuación podríamos introducir un grupo de axiomas o enunciados de los que partirá la computadora. Por ejemplo: Sean , ,  fórmulas cualesquiera de P, entonces las siguientes fórmulas son axiomas28 de nuestro sistema formal proposicional:

28

Estrictamente hablando deberíamos llamarlos esquemas de axioma, pues nos serán útiles en la medida que los tomemos como esquemas en los que podemos sustituir las metavariables

45

A1)  () A2) (())  (()  ()) A3) (  )  ( ) Si le damos estos axiomas a la computadora como punto de partida, luego le damos la instrucción de poder sustituir cada una de las variables de los axiomas por cualquier fórmula del lenguaje formal y además le damos alguna regla que le permita obtener de dos fórmulas dadas una nueva fórmula, habremos creado un sistema formal; y la computadora no tiene que estar enterada de que nosotros interpretamos de determinada manera esas variables y esos conectivos. Esto se conoce como un enfoque sintáctico. A continuación daremos un ejemplo de una deducción en sentido formal que puede efectuarse con los axiomas propuestos. Obsérvese que lo que se realizará es meramente un cálculo, un cómputo, no se requiere interpretar de ningún modo los símbolos del lenguaje, solamente seguir lo que hemos estipulado y además la siguiente regla de inferencia: Regla Modus Ponens: De las fórmulas  y ; dedúzcase la fórmula  Dedúzcase la fórmula: „pp‟, a partir de los axiomas y la regla modus ponens. Fórmulas de P

Justificación

i) p [(pp) p]

Es una instancia del axioma A1:  se sustituyen por la fórmula „p‟ y  se sustituye por la fórmula „pp‟29

ii) [p [(pp)p]] [(p  (pp)) Por A2. (pp)] iii) [(p  (pp)) (pp)]

Por modus ponens de i) y ii)

iv) p(pp)

Por A1

v) pp

Por modus ponens de iii) y iv)

Aquí pueden comenzar a surgir muchas interrogantes: ¿por qué se pide que se olvide toda interpretación si dedicamos mucho espacio a definir antes la (letras griegas) por variables proposicionales o, en general, fórmulas cualesquiera de P. En adelante les llamamos axiomas sólo para simplificar la exposición. 29

En los siguientes pasos no se hará una explicación exhaustiva de la justificación, nos limitaremos a mencionar el axioma utilizado.

46

interpretación de funciones de verdad? ¿Cómo se relaciona un sistema formal como éste con lo que se dijo antes acerca de las funciones veritativas? Se mencionó al principio que la lógica proposicional haría inferencias, tal como lo hacía el sistema silogístico, pero hasta el momento no se ha hecho evidente cómo. Para responder estas interrogantes dejemos la cuestión del sistema formal y su aparato deductivo de lado por un momento, para explicar la noción fundamental de la lógica desde el punto de vista de la interpretación de nuestro lenguaje, es decir desde un punto de vista semántico.

C) La noción de consecuencia lógica en la lógica proposicional A continuación hablaremos muy brevemente de la noción central de la lógica: la consecuencia lógica. Para empezar hay que mencionar expresiones sinónimas de “ser consecuencia lógica de” que el alumno podrá encontrar en la literatura sobre el tema, y en general en la amplia gama de textos sobre lógica que hay. Las expresiones sinónimas son las siguientes: “… se sigue de…”, “ implica”, “…está implicado por…”, “se sigue lógicamente de…”, “es consecuencia de…”. Es decir, cuando en el contexto de un estudio de lógica se plantea la cuestión de si cierta afirmación “se sigue” de otra, o cuando se pregunte qué cosas “implica” cierta enunciación, se está pensando en la noción de consecuencia lógica. Antes de definir la noción de consecuencia lógica hagamos una aclaración más en cuanto a expresiones que serán sinónimas para nosotros. Decimos que “un enunciado se sigue de tal o tales enunciados”, o que “tal afirmación implica tal otra” o que una “proposición es implicada por…”. También solemos encontrar, según el autor de texto de lógica, que se habla de fórmulas, oraciones o esquemas proposicionales. En lo que sigue hablaremos de métodos para detectar la relación de consecuencia lógica en el lenguaje de la lógica proposicional. Sin embargo la definición de consecuencia lógica que se daremos vale en general, con ciertos ajustes, también para aquello que expresaremos en capítulos siguientes con el lenguaje de la lógica cuantificacional. Por ello de ahora en adelante nombraremos a aquellas entidades con las que tratamos en lógica con el nombre de “proposiciones”; cuando nos refiramos a las fórmulas que a éstas corresponden en nuestro lenguaje formal, hablaremos de “esquemas proposicionales”; y cuando mentemos una proposición expresada en un lenguaje formal, no necesariamente proposicional, diremos simplemente “fórmula”. Todo ello para evitar que aparezcan muchas

47

denominaciones distintas para el mismo tipo de entidad, lo cual podría confundir al lector. Ahora hablemos brevemente de algunas propiedades que pueden tener los esquemas proposicionales. 1. Decimos que un esquema proposicional es válido si es verdadero bajo todas las interpretaciones posibles de las letras proposicionales que lo forman. A estos esquemas también se les llama tautologías o verdades lógicas.30 2. Decimos que un esquema es consistente si es verdadero bajo alguna interpretación de sus letras proposicionales, es decir, si existe cuando menos una interpretación que haga al esquema verdadero. Los esquemas válidos son también consistentes. 3. Decimos que un esquema es inconsistente si es falso bajo todas las interpretaciones posibles de las letras que lo componen. A estos esquemas también se les llama contradicciones. 4. Decimos que un esquema es contingente si es falso bajo alguna interpretación de sus letras proposicionales y verdadero para alguna otra interpretación. Es decir, si existe cuando menos una interpretación que lo haga falso y cuando menos una que lo haga verdadero. Ningún esquema válido es contingente. Ningún esquema inconsistente es contingente. Los esquemas consistentes son contingentes sólo en el caso de que no sean también válidos. Ahora sí, pasemos a nuestro tema: Primera definición de consecuencia lógica para la lógica proposicional: sean S1 y S2 dos proposiciones cualesquiera (no necesariamente distintas); decimos que S2 es consecuencia lógica de S1, si es imposible que S1 sea verdadero y S2 sea falso. Veamos un ejemplo sencillo: tenemos la proposición “Cruz Azul no será campeón del torneo local o campeón de CONCACAF”. De ella se sigue lógicamente que “Cruz Azul no será campeón de CONCACAF”. Es decir, si la primera proposición es verdadera es imposible que no o sea la segunda. Veamos por qué sucede en este caso particular. La forma lógica de la primera proposición es „(pq)‟; mientras que la forma lógica de la segunda es „q‟. Supongamos ahora que „q‟ es falsa, en este caso sólo hay una forma de que esto suceda: si „q‟ es verdadera. Pero si „q‟ es verdadera, forzosamente „(pq)‟ lo es; por lo tanto „(pq)‟ es falsa. Vemos entonces que, por su forma lógica, es imposible que „(pq)‟ sea verdadera mientras „q‟ es falsa.

30

Aunque, como veremos más adelante, no todas las verdades lógicas son tautologías.

48

Ejercicio: ¿Qué otras proposiciones son consecuencias lógicas de “Cruz Azul no será campeón del torneo local o campeón de CONCACAF”? Pregunta: ¿Por qué en la definición se aclara que S1 y S2 no necesariamente son proposiciones distintas? De ahora en adelante no se hará esta aclaración. Pero si el lector responde adecuadamente la pregunta se dará cuenta de que la aclaración vale para todas las definiciones que siguen. El ejemplo anterior nos muestra que independientemente de las proposiciones que pongamos en lugar de „p‟ y „q‟ la relación de consecuencia lógica se mantiene: „q‟ es consecuencia lógica de „(pq)‟. Así, para ganar en generalidad, conviene que definamos la relación de consecuencia lógica entre esquemas proposicionales, pues las proposiciones o enunciados reales a menudo están compuestos de partes más sencillas que se combinan por medio de las funciones veritativas. De este modo la pregunta de si un esquema es consecuencia lógica de otro, será una que encontrará respuesta por medio del análisis veritativo funcional, por ejemplo, mediante una tabla de verdad. Segunda definición de consecuencia lógica para la lógica proposicional: Sean S1 y S2 dos esquemas proposicionales cualesquiera. Decimos que S2 es consecuencia lógica de S1 si, y solamente si, no hay ninguna interpretación de las letras proposicionales de ambos esquemas bajo la cual S 1 resulte verdadero y S2 resulte falso. También nos referimos al hecho de que un esquema S 2 sea consecuencia lógica de un esquema S1 diciendo que S1 implica S2; o que S2 está implicado por S1. A S1 le llamamos esquema implicante, a S2 le llamamos el esquema implicado. Esta descripción de la relación de consecuencia lógica ya nos debería haber insinuado algo. Un esquema S2 es consecuencia lógica de otro esquema S1 si, y solamente si, al asignar valores de verdad a sus letras componentes no sucede lo siguiente: Que S1 sea verdadero y S2 sea falso. Esto es muy parecido a la descripción de la tabla de verdad del condicional material („‟): una proposición condicional sólo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Es decir, un esquema proposicional cuyo principal conectivo es „‟ será verdadero siempre y cuando no ocurra que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Esta similitud nos arroja de inmediato una forma de comprobar si un esquema S 2 es consecuencia lógica de otro esquema S1 o no lo es. Colóquese el pretendido esquema implicante a la izquierda de „‟ y colóquese el pretendido esquema implicado a la derecha de „‟:

49

S1  S2 Si el resultado es un esquema válido, entonces S 1 implica a S2. Eso lo expresamos en estas notas con la siguiente notación: S1  S2 (es decir, S1 implica S2, o lo que es lo mismo: „S1  S2‟ es un esquema válido) En pocas palabras, la implicación (la relación de consecuencia lógica) es la validez del condicional. Como dijimos más arriba, un condicional material sólo tiene un caso falso. La definición de ser consecuencia lógica de, niega precisamente ese caso. Un esquema implica otro si al juntarlos con un condicional, el esquema resultante es verdadero bajo cualquier interpretación (pues no se estaría dando el único caso que falsea un condicional). Así, tenemos una Tercera definición de consecuencia lógica para la lógica proposicional: S2 es consecuencia lógica de S1 si el esquema resultante de poner S1 como el antecedente y S2 como el consecuente de un condicional („S1  S2‟), es un esquema válido (notación: S1  S2). Ejercicios: para cada uno de los esquemas que se dan a continuación encuentra cuando menos cinco esquemas que sean consecuencias lógicas suyas. a) p  (q  r) b) (s  t) c) r  (p  p) d) s  m e) q  p f) r  (t  t) Por ejemplo, tomemos d): apliquemos la definición, estamos buscando esquemas tales, que si „sm‟ es verdadero, sea imposible que ellos sean falsos. Una mala respuesta sería por ejemplo, „m‟. Pues si „sm‟ fuera verdadero entonces „m‟ sería falso, forzosamente. Otra mala respuesta sería „p‟. Pues podemos suponer que „sm‟ sea verdadero y „p‟ sea falso. Vamos con las buenas respuestas: „s‟, „m‟, „sm‟, „sp‟, „mp‟, „sm‟, „mm‟,… etcétera. En el ejemplo que elegimos tuvimos la fortuna de contar con una sola asignación de valores de verdad que hacía verdadera a „s  m‟, pues una conjunción sólo es verdadera en un caso. Sabemos que un esquema proposicional cuenta con 2n distintas asignaciones de valores de verdad, según el número (n) de las letras que lo componen. Por lo tanto, es de especial utilidad que, en algunos casos, en los que se nos pregunte si un esquema 50

implica a otro, contemos con la suerte de estar evaluando un esquema que sólo sea verdadero bajo una asignación de valores. Ejercicio: señala cuáles de los siguientes esquemas es verdadero bajo sólo una asignación de valores de verdad a sus letras componentes.

i) (r  (t  p))

iv)  (p  q)

vii) p  (r  t)

ii) s  (p  q)

v) (p (r  s))

viii) (p p)  (qr)

iii) q  (p  t)

vi) (t  p)  (p  t)

ix) (p  r) (r  s)

Para aquellos esquemas tales, que exista una sola interpretación que los haga verdaderos será muy sencillo evaluar si implican algún otro esquema. Baste con asignar los valores de cada una de las letras que lo componen (ya aceptamos que es una sola asignación) y veamos qué pasa con el supuesto esquema implicado. Si bajo esa asignación el pretendido esquema implicado resulta falso entonces no es consecuencia lógica del primer esquema. Si al evaluar resulta que puede ser verdadero pero también falso para esa asignación, entonces tampoco es consecuencia lógica del primer esquema. Veamos un ejemplo:  (p  r  s) ? (q  ((p  r)  s)) Procedemos a hacer el análisis veritativo funcional, veamos que hay una sola asignación que hace verdadero a „(p  r  s)‟:

 (    T)  (q  ((  )  T)) ()  (q  ((T))   (q (  T)) T (q  ) T (q) q q T 

Podemos observar que aplicando los únicos valores de verdad que hacen verdadero al esquema „(p  r  s)‟ el valor de verdad de „(p  r s)  (q((p  r)  s))‟ con la asignación p: , r: , s: T; depende al final del valor de verdad de „q‟. Pero „q‟ puede ser verdadera o falsa. Por lo tanto „(p  r  s)‟

51

no implica „(q  ((p  r)  s))‟; es decir, el segundo esquema no es consecuencia lógica del segundo. Así como se nos facilita el análisis veritativo funcional, del condicional que evaluamos para ver si un esquema implica otro esquema, cuando el esquema que funge como antecedente tiene una sólo asignación que lo hace verdadero; hay también otra circunstancia que nos libera de hacer un análisis mucho más largo: cuando existe una sola asignación de valores de verdad que hacen falso el esquema que funge como consecuente del condicional, es decir, cuando el presunto esquema implicado tiene una sola asignación de valores de verdad que lo hace falso. Ejercicio: propongan cuando menos diez esquemas proposicionales que tengan un solo caso falso, es decir, que de hacer su tabla de verdad encontraríamos un solo renglón falso. Como la consecuencia lógica o implicación es lo mismo que la validez de un condicional, surge de inmediato la cuestión de la validez de un bicondicional. Sabemos que el bicondicional es lo mismo que una conjunción de condicionales. Si un bicondicional es válido quiere decir que son válidos ambos condicionales. Definimos a continuación una importante relación lógica: la equivalencia. Primera definición de equivalencia de la lógica proposicional. S1 es lógicamente equivalente a S2 si el esquema resultante de poner a S1 y S2 como componentes de un bicondicional („S1  S2‟), es un esquema válido. Para designar la relación de equivalencia lógica utilizaremos la siguiente notación: „S1  S2‟ dice que S1 y S2 son equivalentes31 La relación de equivalencia lógica también s puede definir como mutua implicación. Lo relevante de esta relación entre esquemas es que si dos esquemas son equivalentes siempre tendrán el mismo valor de verdad y esto en términos veritativo funcionales es mucho, pues quiere decir que en cualquier contexto podremos sustituir esquemas equivalentes. A continuación enunciaremos una serie de importantes leyes de la implicación y la equivalencia: L.I.1.: Cualquier esquema se implica a sí mismo:   

31

O, de manera análoga a como hicimos con „‟ y „‟, aplicaremos en algunos contextos el símbolo „‟ para dejar en claro su relación con „‟.

52

L.I.2.: Si un esquema implica un segundo, y éste un tercero, entonces el primero implica el tercero: Si  y , entonces  L.I.3.: Un esquema inconsistente implica todo esquema y, a su vez, sólo lo implican esquemas que sean inconsistentes: (  )  , para cualquier esquema ; si  es inconsistente, entonces sólo pude ser implicado por un esquema equivalente a (  ) L.I.4.: Cualquier esquema implica un esquema válido, y cualquiera de este tipo implica únicamente esquemas válidos:   (  ) para cualquier esquema ; si  es un esquema válido, entonces sólo puede implicar esquemas equivalentes a (  ) L.E.1.: La equivalencia es implicación recíproca:    si y sólo si    y    L.E.2.: Cualquier esquema es equivalente a sí mismo:    L.E.3.: Si un esquema es equivalente a un segundo y éste lo es a un tercero, entonces el primero es equivalente al tercero: si    y   , entonces    L.E.4.: Si un esquema es equivalente a un segundo, entonces éste es equivalente al primero (observen que esto no sucede con la implicación): si   , entonces    L.E.5.: Los esquemas válidos son únicamente equivalentes entre sí; lo mismo vale para los esquemas inconsistentes.

Relación de semántica y sintaxis Una vez que hemos expuesto en qué consiste la relación de consecuencia lógica en la lógica proposicional podemos hablar de la relación entre los sistemas formales y su interpretación. En la lógica la relación más importante es la de consecuencia lógica pues es de mucha relevancia saber que oraciones tienen que ser verdaderas dadas otras oraciones. Los sistemas formales tratan de capturar un aspecto de la relación de consecuencia lógica: el aspecto de la deducción. Los Elementos de Euclides son un sistema deductivo de la geometría que si bien no es un sistema formal ayudará a ver la relevancia de la deducción. Los geómetras antiguos y en general las personas dedicadas a la agrimensura sabían que la proposición que ahora conocemos como „Teorema de Pitágoras‟ era cierta, sin embargo no es evidente por qué es verdadera, es decir, no es claro si depende su verdad de la verdad de otras proposiciones. En los Elementos se establecen cinco postulados o axiomas y a continuación se

53

llevan a cabo deducciones o derivaciones de otras verdades geométricas no evidentes. De manera similar, un aparato deductivo en lógica deberá establecer la verdad de ciertas proposiciones a partir de la verdad de otras. Desde el punto de vista formal está fuera de lugar hablar de „verdad‟. Puede decirse que una deducción o derivación en un sistema estrictamente formal consiste simplemente en la obtención de una fórmula a partir de otras formulas dadas. En el sistema formal propuesto más arriba, con axiomas y una regla, las fórmulas de las que se parte son los axiomas, y con ellos solos se deberían obtener más fórmulas, pero, ¿qué formulas? La idea de un sistema axiomático formal de la lógica proposicional es que esas fórmulas que se obtengan por medio de derivaciones sean estrictamente verdades lógicas. Sin embargo hay otro enfoque un poco distinto, el de utilizar varias reglas de inferencia y no utilizar axiomas. Este enfoque es provechoso cuando tenemos en cuenta que frecuentemente no buscamos derivar exclusivamente verdades lógicas, sino que tenemos cierta información y queremos saber qué se sigue de ésta. En la siguiente sección expondremos un sistema de reglas usual para realizar esta tarea. Es importante señalar, por último, que éste es un medio para evaluar la corrección de los argumentos. Un argumento es un conjunto de premisas con una conclusión que se propone como consecuencia de las premisas. Si la proposición es efectivamente consecuencia lógica de las premisas el argumento es correcto o válido. Por ello, en lógica proposicional el método de análisis veritativo funcional es suficiente para saber si un argumento es válido o no. El sistema de reglas de inferencia que a continuación expondremos mostrará su verdadera utilidad cuando sea extendido a la lógica cuantificacional.

54

REGLAS DE INFERENCIA POR GRUPOS (I-VI) Pedro Ramos Villegas Carlos Verlón Barragán

I. REGLA AUXILIAR -

Doble Negación (DN) p  p

II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN -

Conjunción (Conj) P Q pq

-

Simplificación (Simp) pq p

-

Adición (Ad) P pq

-

Silogismo Disyuntivo (SD) pq p q

55

III. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL -

Modus Ponens (MP) pq p q

-

Dilema Constructivo (DC) (p  q)  (r  s) pr qs

-

Modus Tollens (MT) pq q  p

-

Dilema Destructivo (DD) (p  q)  (r  s) q  s  p  r

-

Silogismo Hipotético (SH) pq qr pr

56

IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN -

Conmutación (Conm) (p  q)  (q  p) (p  q)  (q  p)

-

Asociación (Asoc) [p  (q  r)]  [(p  q)  r] [p  (q  r)]  [(p  q)  r]

-

Tautología (Taut) p  (p  p) p  (p  p)

-

Distribución (Dist) [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)]

V. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL -

Transposición (Trans) (p  q)  (q  p)

-

Exportación (Exp) [(p  q)  r)]  [p  (q  r)]

VI. REGLAS DE TRADUCCIÓN -

Leyes de De Morgan (De M)

57

 (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q)

-

Implicación Material (Impl) (p  q)  (p  q) (p  q)  (p  q)

-

Equivalencia Material (EM) (p  q)  [(p  q)  (q  p)] (p  q)  [(p  q)  (p  q)

REGLAS GENERALES DE USO I.

REGLA AUXILIAR

1. Doble Negación (DN) p  p Una fórmula equivale a su doble negación. Tal como ocurre con el uso no retórico de la doble negación en el lenguaje ordinario –v. g. “no es cierto que no llueve” equivale a “llueve”–, la doble negación en lógica también se anula, por eso DN es una regla de equivalencia. Ejemplos 1. A  C / (A  C) 2. A  C

1, DN

3. (A  C)

2, DN

1. [(C  B)  D] / [(C  B)  D] 2. [(C  B)  D]

1, DN

3. [(C  B)  D]

2, DN

4. [(C  B)  D]

3, DN

58

II.

REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN

2. Conjunción (Conj) p q pq Dadas dos fórmulas, podemos deducir su conjunción. Si dos premisas de un argumento son (o se suponen) verdaderas, se sigue que su conjunción también lo será (o se supondrá), pues la verdad de cada uno de los conyuntos por separado determina la verdad de la conjunción como un todo. Ejemplos:

1. A 2. B 3. C / (C  B)  A 4. C  B

1, 3, Conj

5. (C  B)  A

2, 4, Conj

1. B 2. A 3. C / B  (A  C) 4. A  C

2, 3, Conj

5. B  (A  C)

1, 4, Conj.

3. Simplificación (Simp) pq p Dada una conjunción, podemos deducir su primer conyunto. Si una conjunción es (o se supone) verdadera, se sigue que su primer conyunto también lo será

59

(o se supondrá), pues una conjunción es verdadera si y sólo si ambos conyuntos lo son.

Ejemplos 1. (B  C)  A / B 2. B  C

1, Simp

3. B

2, Simp

1. [(C  A)  D]  B / C 2. (C  A)  D

1, Simp

3. C  A

2, Simp

4. C

3, Simp

4. Adición (Ad) p pq Dada una fórmula, podemos deducir esa misma fórmula en disyunción con cualquier otra. (Un ejemplo intuitivo del uso de Ad en matemáticas es éste: de „a  b‟ puede inferirse de modo natural „a  b  a = b‟ –i. e., „a  b‟–.) Si una fórmula es (o se supone) verdadera, se sigue que ella misma en disyunción con cualquier otra también lo será (o se supondrá), ya que una disyunción es verdadera si y sólo si al menos uno de sus disyuntos lo es. Ejemplos 1. A / [A  (B  C)]  D 2. A  (B  C) 3. [A  (B  C)]  D

1, Ad 2, Ad

1. A  B / [(A  B)  (D  C)]  E 2. (A  B)  (D  C)

1, Ad

3. [(A  B)  (D  C)]  E

2, Ad

5. Silogismo Disyuntivo (SD) pq p q Dadas una disyunción y la negación de su primer disyunto, podemos deducir el otro disyunto. Si una disyunción es (o se supone) verdadera y la negación de su primer disyunto también (i. e., que el primer disyunto es falso), se sigue la verdad del otro disyunto, pues de la verdad de al menos uno de los dos disyunto depende la verdad de la disyunción.

Ejemplos 1. A  B 2. B  C 3. A / C 4. B

1, 3, SD

5. C

2, 4, SD

1. A  (B  C) 2. A 3. B / C 4. B  C

1, 2, SD

5. C

3, 4, SD

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas del Grupo II Para resolver los siguientes ejercicios observe que la Conj y la Simp se usan, respectivamente, para “crear” o “romper” conjunciones y que la Ad y el SD tienen un uso similar respecto de las disyunciones. La Ad tiene un uso por demás importante, a saber, cuando en la conclusión de un razonamiento formal figuren letras proposicionales que no hayan aparecido en las premisas de un razonamiento, típicamente tales letras se introducen por Ad. Por otra parte, el SD es la única regla de implicación que tenemos para romper disyunciones. Observe que para solucionar algunos ejercicios no hay un orden único en que deban aplicarse estas reglas (unas pueden aplicarse antes y otras después, indistintamente) a fin de obtener la conclusión. Por último, es sumamente importante advertir que estas reglas, y todas las demás, son esquemas deductivos, cuyas estructuras generales deben identificarse en las premisas de los razonamientos formales y cuya aplicación puede permitir la obtención de la conclusión deseada.

Ejercicios

(1) 1. (B  A)  (C  A) 2. (D  A)  E / (D  A)  (B  A)

(2) 1. (A  C)  (D  E) 2. B  D 3. {[(A  B)  C]  (D  E)}  D / [(A  B)  (B  D)]  (A  C)

(3) 1. (C  D)  (A  B) / [(C  D)  (A  B)]  [(C  D)  (C  D)]

(4) 1. C  A 2. B  D / [(B  D)  (C  A)]  (B  A)

(5) 1. (A B)  (B  A) / (A  B)  (B  A)

(6) 1. B 2. (A  E)  C / [(A  E)  D]  B

(7) 1. C  (A  D) 2. B  (E  F) / (B  C)  (B  C)

(8) 1. F 2. A 3. (C  D)  B / {(F  A)  (C  D)}  E (9) 1. A  [C  (D  B)]

2. C 3. A / (D  B) 1. C  D

(10)

2. C  [(E  B)  B] 3. (E  B) / B 1. [(A  B)  (B  A)]  [(A  B)  (B  A)]

(11)

2. (B  A)  (B  C) 3. (A  B) / (B  C) 1. A  B

(12)

2. C  D 3. (A  C)  E / E 1. (E  H)

(13)

2. [(A  B)  F]  H 3. [(A  B)  D]  C 4. F  [(E  H)  (A  C)] / A 1. (B  E)  (E  C)

(14)

2. [D  (D  H)]  F 3. (E  C)  C /[D  (C  H)]  A 1. [(D  H)  D]  (B  E) / [D  (C  C)]  A

III.

REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL

6. Modus Ponens (MP)

pq P q Dados un condicional y su antecedente, podemos deducir su consecuente. Si un condicional es (o se supone) verdadero y de igual manera su antecedente, se sigue que su consecuente también lo será (o se supondrá), pues si un condicional y su antecedente son verdaderos, su consecuente no puede ser falso. Ejemplos 1. B  C 2. A 3. A B / C 4. B

2, 3, MP

5. C

1, 4, MP

7. Dilema Constructivo (DC) (p  q)  (r  s) pr qs Dados dos condicionales en conjunción y la disyunción entre sus antecedentes, podemos deducir sus consecuentes en disyunción. Si dos condicionales son verdaderos (o se suponen que lo son) y es verdadera (o se supone que lo es) la disyunción entre sus antecedentes, entonces también será verdadera (o se supondrá que lo será) la disyunción entre sus consecuentes, pues si un par de condicionales son verdaderos y también lo es al menos uno de los dos antecedentes, no podrán ser falsos ambos consecuentes, es decir, al menos uno de los consecuentes deberá ser verdadero. Ejemplos 1. (A  B)  (C  D)

2. (B  E)  (D  F) 3. A  C / E  F 4. B  D

1, 3, DC

5. E  F

2, 4, DC

8. Modus Tollens (MT) pq q  p Dados un condicional y la negación de su consecuente, podemos deducir la negación de su antecedente. Si un condicional es (o se supone) verdadero y de igual manera la negación de su consecuente (i. e., que su consecuente es falso), se sigue que la negación de su antecedente también lo será (o se supondrá), pues si un condicional y la negación de su consecuente son verdaderos, la negación de su antecedente no puede ser falsa. Ejemplos 1.

(D  C)  (A  B)

2. (A  B) 3. E  (D  C) / E 4. (D  C) 5. E

1, 2, MT 3, 4, MT

9. Dilema Destructivo (DD) (p q)  (r  s) q  s  p  r Dados dos condicionales en conjunción y la disyunción entre sus consecuentes individualmente negados, podemos deducir la disyunción entre sus

antecedentes individualmente negados. Si dos condicionales son verdaderos (o se suponen que lo son) y también es verdadera (o se supone que lo es) la disyunción entre la negación de sus consecuentes, entonces también lo será (o se supondrá que lo será) la disyunción entre la negación de sus antecedentes, pues si un par de condicionales son verdaderos y es falso al menos uno de sus consecuentes, no podrán ser verdaderos ambos antecedentes, es decir, al menos uno de ellos deberá ser falso. Ejemplos

1. (A  B)  (C  D) 2. (B  E)  (D  F) 3. E  F / A  C 4. B  D

2, 3, DD

5. A  C

1, 4, DD

1. [(A  B)  (C  D)]  [E  (F  G)] 2. [(G  H)  (A  B)]  [(I  J)  E] 3. (C  D)  (F  G) / (G  H)  (I  J) 4. (A  B)  E 5. (G  H)  (I  J)

1, 3, DD 2, 4, DD

10. Silogismo Hipotético (SH) (p  q)  (r  s) pr qs Dados dos condicionales tales que el consecuente de uno coincide con el antecedente del otro, podemos deducir un tercer condicional cuyo antecedente

coincide con el del primero y cuyo consecuente con el del segundo. Si dos condicionales con las características indicadas son (o se suponen) verdaderos, se sigue que un tercer -condicional con antecedente y consecuente como los descritos también lo será (o se supondrá); pues del primer condicional y la suposición de su antecedente se sigue su consecuente (por MP), y de tal consecuente y el segundo condicional se infiere el consecuente de este último (otra vez por MP), por lo tanto, dado que el consecuente final se sigue de la suposición del primer antecedente, si éste, entonces aquél. Ejemplos 1. A  B 2. C  D 3. B  C / A  D 4. A  C

1, 3, SH

AD

2, 4, SH

5.

1. (B  C)  (A  D) 2. (A  D)  (E  B) 3. A  (B  C) / A  (E  B) 4. (B  C)  (E  B)

1, 2, SH

5. A  (E  B)

3, 4, SH

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas del Grupo III Para solucionar los siguientes ejercicios observe que el MP y el MT son las únicas reglas mediante las cuales se pueden “romper” condicionales. El DC y el DD nos proporcionan en disyunción los antecedentes y los consecuentes, respectivamente, de un par de condicionales conectados en conjunción. El SH puede servir para “crear” nuevos condicionales a partir de otros ya dados. Observe que los ejercicios siguientes pueden tener más de una solución posible, esto depende del orden en que se apliquen las reglas y de qué reglas se usen para obtener la conclusión. El empleo iterado de MP o del MT puede suplir, o

suplirse por, la aplicación de una o más veces del SH junto con el MP o el MT, según sea el caso. Ejercicios (1) 1. D B 2. D  C 3. C  B

(2) 1. A  B 2. B 3. A  C C (3) 1. (B  D)  A 2. A 3. B E 4. B  (B  D)  E (4) 1. A  B 2. B 3. A  A  A (5) 1. A  B 2. B 3. A  A  A

(6) 1. (A  B)  (C  D) 2. B 3. A  C D (7) 1. (B  A)  D 2. [(A  E)  C]  A 3. D  [(A  E)  C] 4. B  A A (8) 1. A  D 2. C 3. A  B 4. D E 5. B  C  E (9) 1. A  (B  D) 2. A 3. E D 4. B 5. E  (A  D) AD (10)

1. A  B

2. C 3. A  D

4. B C D (11)

1. (A  B)  (C  D)

2. B  D 3. C A (12)

1. A  (B  C)

2. (D  E) 3. A  (F  H) 4. (B  C)  (F  K) 5. (F  H)  (D  E)  (F  K)

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas del Grupo I, II y III Hasta ahora hemos proporcionado, por separado, explicaciones, ejemplos, estrategias de uso y ejercicios para las reglas de los grupos II y III. En el grupo de ejercicios siguientes, podrán usarse las reglas de los tres grupos. A continuación daremos algunas estrategias generales de uso que incluyen todas estas reglas. Las reglas de Simp, SD, MP y MT sirven para romper fórmulas cuya conectiva principal sea „‟, „‟ o „‟, en cambio, las de Conj y Ad sirven para unir fórmulas con „‟ y „‟, respectivamente, como conectiva principal, aunque con Conj sólo pueden unirse fórmulas dadas previamente mientras que con Ad esto no es necesario. Otro rasgo importante que poseen las reglas de los grupos II y III es que algunas de ellas requieren sólo de una premisa para aplicarse, tales como Simp y Ad, mientras que otras requieren de dos, tales como Conj, SD, MP, DC, MT, DD y SH. Relacionado con esto último, ocurre que cuando se desea romper un condicional o una disyunción, dado que se necesitan dos premisas, es probable que alguna de las fórmulas requeridas para lograrlo pueda obtenerse

mediante la aplicación, eventualmente con DN, de reglas tales como Simp, Ad, Conj u, ocasionalmente, SH.

Ejercicios (1) 1. A  B 2. A  C C (2) 1. D  E 2. A  B 3. A  (C  D) CE (3) 1. B 2. A 3. (B  D)  A DE (4) 1. (B  C)  (D  E) 2. C  E 3. (B  D)  A A (5) 1. D  E 2. C  (B  D) 3. B  A  C (6) 1. (A  B)  [C  (E  H)] 2. C

3. A E (7) 1. G 2. C  E 3. D  (B  A) 4. (B  H) A 5. C  D 6. B  G  (B  H)

IV.

REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN

11. Conmutación (Conm) (p  q)  (q  p)

Una conjunción equivale a otra cuyo primer conyunto es el segundo y cuyo segundo conyunto es el primero de aquélla (i. e., una conjunción equivale a otra cuyos conyuntos aparecen invertidos). Si una disyunción es (o se supone) verdadera, se sigue que otra cuyos disyuntos están invertidos respecto de aquélla también lo será (o se supondrá), y a la inversa; pues una conjunción es verdadera si y sólo si sus dos conyuntos son verdaderos. (p  q)  (q  p) Una disyunción equivale a otra cuyo primer disyunto es el segundo y cuyo segundo disyunto es el primero de aquélla (i. e., una disyunción equivale a otra cuyos disyuntos aparecen invertidos). Si una disyunción es (o se supone) verdadera, se sigue que otra cuyos disyuntos están invertidos respecto de aquélla también lo será (o se supondrá), y a la inversa; pues una conjunción es verdadera si y sólo si al menos uno de sus dos disyuntos son verdaderos. Ejercicios

1. (A  B)  (C  D) / (D  C)  (A  B) 2. (C  D)  (A  B)

1, Conm

3. (D  C)  (A  B)

2, Conm

1. A  [(C  D)  (E  B)] / [(B  E)  (D  C)]  A 2. [(C  D)  (E  B)]  A

1, Conm

3. [(E  B)  (C  D)]  A

2, Conm

4. [(B  E)  (C  D)]  A

3, Conm

5. [(B  E)  (D  C)]  A

4, Conm

12. Asociación (Asoc) [p  (q  r)]  [(p  q)  r] Una conjunción cuyo segundo conyunto es otra conjunción equivale a una fórmula con las características siguientes: de la conjunción principal anterior incluye sus mismos conyuntos y conectivas que los unen en el mismo orden de sucesión, pero agrupados de modo distinto, a saber, en una conjunción cuyo primer conyunto es otra conjunción. Una conjunción en la que uno de sus conyuntos es otra conjunción (se supone o) es verdadera si y sólo si todos sus conyuntos son (o se suponen) verdaderos; luego, como las conjunciones de la equivalencia mencionada son (o se suponen) verdaderas bajo las mismas condiciones, queda demostrada su equivalencia (pues dos fórmulas que tienen las mismas condiciones de verdad son equivalentes). [p  (q  r)]  [(p  q)  r] Una disyunción cuyo segundo disyunto es otra disyunción equivale a una fórmula con las características siguientes: de la disyunción principal anterior incluye sus mismos disyuntos y conectivas que los unen en el mismo orden de sucesión, pero agrupados de modo distinto, a saber, en una disyunción cuyo primer disyunto es otra disyunción. Una disyunción en la que uno de sus disyuntos es otra disyunción (se supone o) es verdadera si y sólo si todos sus disyuntos son (o se suponen) verdaderos; luego, como las disyunciones de la

equivalencia mencionada son (o se suponen) verdaderas bajo las mismas condiciones, queda demostrada su equivalencia. Ejemplos

1. (B  C)  (A  D) / [B  (C  A)]  D 2.

[(B  C)  A]  D

1, Asoc

3.

[B  (C  A)]  D

2, Asoc

1. C  [(E  D)  (B  F)] / (C  E)  [D  (B  F)] 2. C  {E  [D  (B  F)] 1, Asoc 3. (C  E)  [D  (B  F)] 2, Asoc 13. Tautología (Taut) p  (p  p) Una fórmula equivale a ella en conjunción consigo misma. Una fórmula es (o se supone) verdadera si y sólo si ella en conjunción consigo misma también lo es (o se supone), pues es verdadera si y sólo si su conjunción también lo es. p  (p  p) Una fórmula equivale a ella en disyunción consigo misma. Una fórmula es (o se supone) verdadera si y sólo si ella en disyunción consigo misma también lo es (o se supone), pues es verdadera si y sólo si su disyunción también lo es.

Ejemplos 1. A / (A  A)  (A  A) 2. A  A 3. (A  A)  (A  A)

1. {(A  A)  [(A  A)  (A  A)]}  B / A  B 2. [(A  A)  (A  A)]  B

1, Taut

3. [(A  A)  (A  A)]  B

2, Taut

4. (A  A)  B

3, Taut

5. A  B

4, Taut

14. Distribución (Dist) [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] Una conjunción que tiene como segundo conyunto una disyunción equivale a una disyunción de conjunciones, cuyos primeros conyuntos son el primer conyunto de aquella conjunción, y cuyos segundos conyuntos son los componentes de aquella disyunción en el orden en que figuran en ella. Una conjunción como la primera de la equivalencia es (o se supone) verdadera si y sólo si una disyunción como la segunda de la equivalencia también lo es (o se supone). La razón es la siguiente. Una conjunción como la primera de la equivalencia es verdadera si y sólo si su primer conyunto es verdadero y el segundo, que es una disyunción, tiene al menos un disyunto verdadero; eso hace verdadera una disyunción de disyunciones como la descrita, pues los primeros conyuntos de éstas serán verdaderos y de los segundos al menos uno lo será, lo cual verifica cuando menos uno de los disyuntos, y con ello, la disyunción. [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] Una disyunción que tiene como segundo disyunto una conjunción equivale a una conjunción de disyunciones, cuyos primeros disyuntos son el primer disyunto de aquella disyunción, y cuyos segundos disyuntos son los componentes de aquella conjunción en el orden en que figuran en ella. Una disyunción como la primera de la equivalencia es (o se supone) verdadera si y sólo si una conjunción como la segunda de la equivalencia también lo es (o se supone). La razón es la siguiente. Una disyunción como la primera de la equivalencia es verdadera si y sólo si al menos uno de sus disyuntos es verdadero; eso hace verdadera una conjunción de disyunciones como la descrita, pues si al menos uno de los disyuntos de la primera fórmula de la equivalencia es verdadero, eso basta para que los disyuntos de la segunda fórmula de la equivalencia sean verdaderos y, con ello, verifiquen su conjunción.

Ejemplos 1. E  {[(D  G)  H]  [(D  G)  C] / [(E  D)  (E  G)]  (H  C) 2. E  [(D  G)  (H  C)]

1, Dist

3. [E  (D  G)]  [E  (H  C)]

2, Dist

4. [(E  D)  (E  G)]  (H  C)

3, Dist

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas del Grupo IV Cualquiera de las reglas de este grupo, por ser de equivalencia, puede aplicarse a partes de fórmulas o a la conectiva principal de la fórmula. La Conm sirve para invertir el orden de los miembros, junto con sus paréntesis (si los tienen), de una conjunción, o de una disyunción. En cambio, en una fórmula que contenga al menos tres subfórmulas unidas con conjunción, o con disyunción, la Asoc permite cambiar la posición de los paréntesis internos, no de los más externos (si los hay), que unen a esas subfórmulas, sin cambiar la posición de éstas. Juntas, la Conm y la Asoc permiten, pues, cambiar, en una fórmula que contenga al menos tres subfórmulas unidas con conjunción, o con disyunción, la posición de las subfórmulas y de los paréntesis internos (si los hay) que unen a esas subfórmulas. La Taut permite reiterar fórmula, uniéndolas con conjunción, o con disyunción, y a la inversa, i. e., en fórmulas repetidas unidas con conjunción con disyunción, permite suprimir una de ellas. Con estas tres reglas pueden “juntarse”, en conjunción, o en disyunción, subfórmulas repetidas de una fórmula dada y eliminarse, si se desea, una de aquéllas, o bien, pueden “repetirse”, en conjunción o en disyunción, -subfórmulas de una fórmula dada y cambiarse de lugar o separarse, si así se desea. De izquierda a derecha, la Dist permite distribuir la conjunción en la disyunción, o la disyunción en la conjunción; pero de derecha a izquierda lo que permite es el análogo de la operación matemática de “sacar el factor común”, pues en una disyunción de conjunciones en las que se repite el conyunto izquierdo, permite “sacar” una vez dicho conjunto con el signo „‟ como conectiva principal, uniendo el resto con „‟, o bien en una conjunción de disyunciones en las que se repite el disyunto izquierdo, permiten sacar una vez dicho disyunto junto con el signo „‟ como conectiva principal, uniendo el resto con „‟.

Hay casos en los que si los conyuntos de la disyunción de conjunciones, o los disyuntos de la conjunción de disyunciones, no figuran del modo requerido, pueden “acomodarse” por medio de un número finito de aplicaciones de las reglas anteriores. Ejercicios (1) 1. A  (B  A) BA (2) 1. A  (B  C)  A  (A ) (3) 1. {[A  (B  A)]  B} AB (4) 1. {[(A  E)  E]  D}  (A E)  (E  A)  [(A  E)  D] (5) 1. {[A  (B  D)]  A}  E  E  [A  (D  B)] (6) 1. [(A  B)  (B  A)]  [A  (B  A)] AB (7) 1. [(C  D)  (E  B)]  (A  G)  B  {G  {A  [(C  D)  E]}}

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas de los Grupos I, II, III y IV En las estrategias para las reglas de los grupos II y III describimos algunas relaciones generales de uso que existen entre sus reglas. En lo que sigue, describiremos algunos modos generales de vinculación que hay entre las reglas de los grupos mencionados y el grupo IV. Por último, proporcionaremos ejercicios en cuya solución podrán usarse las reglas de estos tres grupos.

Las reglas del grupo IV sólo requieren de una premisa para su aplicación, la cual puede efectuarse en el “todo” o en alguna de sus “partes”. Además, operan sobre las conectivas „‟ y „‟, por ello se relacionan más estrechamente con las del grupo II que con las del III. Así, las reglas de los grupos II y IV se potencian mutuamente en su empleo, esto es, su uso conjunto permite una mayor variedad de aplicaciones de cada una de ellas. Veamos algunos casos generales. Conm, Asoc y Dist (eventualmente con Taut) potencian la aplicación de Simp y SD, pues, a veces, a fin de obtener una fórmula que no es posible obtener sólo mediante Simp y Ad, es necesario aplicar previamente alguna(s) de las reglas anteriores. Por su parte, Ad y Conj aumentan el poder de aplicabilidad de Conm, Asoc y Dist, pues permiten efectuar más conmutaciones, asociaciones y distribuciones de las que podrían efectuarse mediante las tres reglas anteriores solas. Con respecto a fórmulas en las que las operaciones lógicas deseadas se realicen sólo sobre la conectiva „‟ y ésta sea la principal conectiva de la fórmula, ocurre que todas las operaciones que puedan hacerse con Conm y Asoc pueden realizarse también mediante Simp, Conj y Conm, pero no a la inversa, pues las primeras no permiten romper conjunciones, o construir otras con fórmulas que previamente no estaban unidas con „‟, y las segundas sí. Por último, todas las reglas anteriores potencian el empleo de las del grupo III, dado que MP, DC, MT, DD y SH requieren de dos premisas para aplicarse, una de las cuales quizá pueda obtenerse por medio de una o más aplicaciones de las reglas de los otros grupos.

Ejercicios (1) 1. B  (B  B) (2) 1. D  (C  B) 2. E  B DC (3) 1. (C  B) 2. {[(B  C)  E)]  A}  [(H  D)  (C  B)]  (E  E)  A (4) 1. B  A

2. D 3. (A  E)  [(G  G)  K] 4. D  B 5. C  K  (G  G) (5) 1. A  (E  B) 2. C 3. C  A EA (6) 1. A  (B  D) 2. E  A 3. C  E 4. H  F 5. D  D  (B  H)  (F  B)

V.

REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL

15. Transposición (Trans) (p  q)  (q p) Un condicional equivale a otro cuyo antecedente es la negación del condicional y cuyo consecuente es la negación del antecedente del primer condicional (i. e., un condicional equivale a otro cuyos componentes aparecen invertidos y negados). Si de dos condicionales relacionados como se ha indicado, el primero es (o se supone) verdadero, se sigue que el otro también lo será (o se supondrá), y a la inversa. Examinemos la primera inferencia y luego la otra. De un condicional y la suposición de la negación de su consecuente, se sigue la

negación de su antecedente (por MT), por lo tanto, puesto que de la suposición anterior se sigue esto último, de ahí se infiere que si lo primero, entonces lo segundo. Y a la inversa, si ahora el segundo condicional de la equivalencia el que (se supone) es verdadero, se sigue que el primero también lo será (o se supondrá); pues de un condicional con antecedente y consecuente negados se infiere, como un caso de la deducción anterior, otro condicional cuyos componentes aparecen invertidos y doblemente negados, así, eliminando esas dobles negaciones (por DN), se infiere también de manera sencilla el primer condicional de la equivalencia. Ejemplos 1. (D  C)  A / A  (C  D) 2. (C  D)  A

1, Tr

3. A  (C  D)

2, Tr

1. (A  B)  (D  L) / (L  D)  (B  A) 2. (B  A)  (D  L)

1, Tr

3. (B  A)  (L  D) 2, Tr 4. (L  D)  (B  A)

3, Tr

16. Exportación (Exp) [(p  q)  r)]  [p  (q  r)] Un condicional que tiene por antecedente una conjunción equivale a otro condicional con las siguientes características: su antecedente es el primer elemento de la conjunción y su consecuente es, a la vez, un condicional más, cuyo antecedente es el segundo elemento de la conjunción y cuyo consecuente es el mismo que el del condicional original. Dos proposiciones en conjunción condicionan de manera suficiente una tercera si y sólo si se cumple de las dos proposiciones en conjunción que cuando la primera de ellas es verdadera, entonces es verdadero que si se cumple la segunda entonces se cumplirá la tercera. La razón de la presente equivalencia es ésta: un enunciado condicional es falso únicamente en un caso, a saber, cuando su antecedente es verdadero y falso su consecuente; en los restantes casos es verdadero. Veremos que las únicas condiciones para que los dos condicionales de la equivalencia sean

falsos son exactamente las mismas. Para la falsedad del primer condicional deben ser verdaderos los dos conyuntos (como condición necesaria y suficiente para la verdad del antecedente) y falsa la tercera proposición (el consecuente); para la falsedad del segundo condicional debe ser verdadero el primer conyunto (que es el todo del antecedente) y falso el consecuente, esto último se logra sólo cuando es verdadero el segundo conyunto y falsa la tercera proposición. Ejercicios

1. [(A  B)  C]  [B  (C  D)] / [A  (B  C)]  [(B  C)  D] 2. [A  (B  C)] [B  (C  D)]

1, Exp

3. [A  (B  C)]  [(B  C)  D]

2, Exp

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas del Grupo IV La Tr puede usarse para transformar condicionales en otros equivalentes. Invierte el orden del antecedente con respecto al consecuente, así como su valor de verdad, es decir, el elemento del condicional que esté afirmado ahora estará negado y el que esté negado, afirmado. La inversión del valor de verdad resulta muy útil en una prueba formal cuando necesitamos un elemento del condicional pero con el valor de verdad contrario. Otra utilidad importante se observa en el empleo conjunto de la Tr con el SH, pues permite colocar los elementos de un condicional en el orden que exige un Silogismo Hipotético. Examinemos ahora la utilidad de la Exportación. Si se tiene un enunciado condicional cuyo antecedente es una conjunción y se desea que el antecedente sea uno sólo de los conyuntos, con la Exp puede “enviarse” el elemento indeseable de la conjunción al consecuente; por el contrario, si lo que deseamos es un condicional que tenga por antecedente una conjunción, mas sólo contamos en el antecedente con uno de los dos conyuntos, la Exp permite que en los casos en los que el consecuente sea a su vez un condicional, de éste se “importe” el antecedente para que se convierta en el segundo conyunto de la conjunción deseada. Por último, si lo que buscamos es un enunciado condicional que tenga por consecuente otro condicional, podremos conseguirlo por Exp si el antecedente del condicional principal es una conjunción; a la inversa, si lo que tenemos es un condicional cuyo consecuente es otro condicional, podemos utilizar la Exp cuando necesitemos que el consecuente del condicional

secundario se convierta en el del condicional principal. Al igual que la Tr, mediante el uso de la Exp puede efectuarse un “reacomodo” de los elementos de un condicional, por lo que esta última regla puede actuar como auxiliar en el empleo de SH. Ejercicios (1) 1. (A  B)  C 2. (A  B)  (C  D) 3. (E  F)  C  (C  D) (E  F)

(2) 1. A B C) 2. (C  B)  D 3. D  E AE (3) 1. (A  B)  (C  E) 2. [F  (G  H)]  (C  E) 3. (A  B)  [(C  D)  E]  [(C  D)  E]  [F  (G  H)]

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas de los Grupos I, II, III, IV y V Hemos dicho que la Tr, eventualmente con la DN, potencia el empleo del SH, ya que permite transformar condicionales de manera tal que los antecedentes de unos puedan coincidir con los consecuentes de otros. Del mismo modo, cuando sea necesario modificar la composición del antecedente o del consecuente para realizar un SH, un MP o un MT, resultará muy útil la Exp. Observe que los ejercicios siguientes pueden tener más de una solución posible, esto depende del orden en que se apliquen las reglas y de qué reglas se usen para obtener la

conclusión; pues la Tr y el MP, ocasionalmente con la DN, hacen prescindible el MT; la Tr y el MT, ocasionalmente con la DN, hacen innecesario el MP. Ejercicios (1) 1. (D B) E 2. A B 3. C  G 4. C E  D A (2) 1. (B H) A 2. C 3. D  A 4. B G 5. (C  A) (D  E)  A  (G H) (3) 1. (D B)  A 2. (C  D) [(B E) (H C)] 3. F H 4. (C  A)  D 5. H F 6. (B E)  C  H C (4) 1. (D  E) F 2. F G I) 3. ED 4. D



 IG

VI.

REGLAS DE T RADUCCIÓN

17. Leyes de De Morgan (DeM) (p  q)  (p  q) La negación de una conjunción equivale a la disyunción de sus dos miembros en el mismo orden de aparición, pero individualmente negados. La negación de una conjunción es (o se supone) verdadera si y sólo si la disyunción de sus dos miembros individualmente negados también lo es (o se supone), pues negar la verdad de una conjunción equivale a negar la verdad de al menos uno de sus dos conyuntos (i. e., una conjunción es falsa si y sólo si al menos uno de sus conyuntos es falso). (p  q)  (p  q) La negación de una disyunción equivale a la conjunción de sus dos miembros en el mismo orden de aparición, pero individualmente negados. La negación de una disyunción es (o se supone) verdadera si y sólo si la conjunción de sus dos miembros individualmente negados también lo es (o se supone), pues negar la verdad de una disyunción equivale a afirmar que ni uno ni otro de sus disyuntos es verdadero (i. e., una disyunción es falsa si y sólo si ambos son falsos). Ejemplos 1. [(A B)  D]  (B  D) / {[(A B)  D]  (B  D)} 2. [(A B)  D]  (B  D)

1, DeM

3. [(A B)  D]  (B  D)

2, DeM

4. {[(A B)  D]  (B  D)}

3. DeM

1. (A  D)  [(A  B)  (B  D)] / (A  D)  [(A  B)  (B  D)] 2. (A  D)  [(A  B)  (B  D)]

1, DeM

3. (A  D)  [(A  B)  (B  D)]

2, DeM

4. (A  D)  [(A  B)  (B  D)]

3, DeM

5. (A  D)  [(A  B)  (B  D)]

4, DeM

Implicación Material (IM) (p q)  (p  q) Un condicional equivale a su antecedente negado en disyunción con su consecuente. Un condicional es (o se supone) verdadero si y sólo si o bien la negación de su antecedente es (o se supone) verdadera, i. e., su antecedente es (o se supone) falso, o bien su consecuente es (o se supone) verdadero. (p q)  (p  q) Un condicional equivale a la negación de una conjunción en la que el antecedente ahora figura como primer conyunto y el consecuente, una vez negado, como segundo. Un condicional es (o se supone) verdadero si y sólo si no sucede nunca que sea (o se suponga) verdadero el antecedente y falso el consecuente (i. e., verdadera la negación del consecuente). Ejemplos 1. [(A B) C] D] / [(A  B)  C]  D 2. [(A B) C]  D

1, IM

3. [(A  B)  C]  D

2, IM

4. [(A  B)  C]  D

3, IM

1. (A  B) (D A ) / (A B)  (D  A) 2. (A B) (D A )

1, IM

3. (A B)  (D A )

2, IM

4. (A B)  (D  A)

3, IM

18. Equivalencia Material (EM)

(p  q)  [(p q)  (q p)] Una fórmula cuya conectiva principal es un bicondicional equivale a la conjunción de dos condicionales, el primero de los cuales tiene como antecedente el primer miembro de la equivalencia anterior y como consecuente el segundo, mientras que el otro tiene esos mismos miembros pero invertidos. Una equivalencia es (o se supone) verdadera si y sólo si una conjunción de condicionales como los descritos también lo es (o se supone), pues una equivalencia es verdadera si y sólo si sus dos miembros coinciden en valor de verdad y la conjunción mencionada es verdadera sólo en esos casos, de ahí que ambas sean equivalentes. (p q)  [(p  q)  (p  q)] Una fórmula cuya conectiva principal es un bicondicional equivale a la disyunción de dos conjunciones, en ambas aparecen los dos miembros del bicondicional conectados en conjunción, en la primera sin negación y en la segunda cada uno de ellos negados individualmente. Una equivalencia es (o se supone) verdadera si y sólo si o ambos miembros de la equivalencia son (o se suponen) verdaderos o ambos son (o se suponen) falsos, pues una equivalencia es verdadera si y sólo si sus dos miembros coinciden en valor de verdad, es decir, cuando ambos miembros son verdaderos o ambos falsos. Ejemplos 1. (D  E)  C / {[(D E)  (E D)] C}  {C [(D E)  (E D)]} 2. [(D E)  (E D)  C

1, EM

3. {[(D E)  (E D)] C}  {C [(D  E)  (E  D)]} 2, EM

1. {[(G  H)  (H  G)]  [(G  E)  (E  G)]}  (G  C) / [(G  H)  (G  E)]  (G  C) 2. {(G  H)  [(G E)  (E  G)]}  (G C)

1, EM

3. [(G  H)  (G  E)]  (G C)

2, EM

1. A  (B  C) / {A [(A  B)  (A  B)]}  {[(A  B)  (A  B)] A} 2. [A (B  C)]  [(B  C) A]

1, EM

3. {A [(A  B)  (A  B)]}  {[(A  B)  (A  B)] A}

2, EM

Estrategias Generales para el Uso de las Reglas del Grupo VI Así como las reglas de los grupos IV y V, las de este grupo, por ser de equivalencia, pueden aplicarse a partes de fórmulas o a la conectiva principal de una fórmula. Las DeM, ocasionalmente con DN, sirven para “traducir” una disyunción, eventualmente con negaciones, y a la inversa. La IM, en ocasiones con DN, sirve para traducir un condicional a una disyunción con el primer disyunto negado, y viceversa. Por su parte, la EM permite traducir un bicondicional a una conjunción de dos condicionales, y a la inversa (siempre y cuando el antecedente de uno coincida con el consecuente del otro y el antecedente de éste con el consecuente de aquél); en su otra forma, permite traducir un bicondicional a una disyunción de dos conjunciones. Cabe señalar que EM es la única regla de la que disponemos para traducir el bicondicional en términos de otras conectivas, además, no hay ninguna otra regla para tal conectiva en este sistema. Por esto último, si en un ejercicio aparece una premisa en la que figura dicha conectiva, es probable que tenga que emplearse EM (todo depende de si para obtener la conclusión deseada es necesario “desarmar” el bicondicional en cuestión). Debido a lo anterior, el lector puede percatarse de que usando DeM, IM y DN, las conectivas „‟, „‟ y „‟ son intertraducibles, y de que usando EM, DeM, IM y DN, la conectiva „‟ puede traducirse en términos de „‟, „‟, „‟ y „‟, pero no necesariamente a la inversa. Ejercicios

(1) 1. C  (D  E)/  C (D E)

(2) 1. E  D / (E  D)  (D  E)

(3) 1. (B  C)  (C  E) / (B C) (C E)

(4) 1. A  B / (A  B)  (A  B)

(5) 1. (E  D)  (D  E) / E  D

(6) 1. [A  (B  C)]  (D  E) / {[A  (B  C)] (D  E)}

(7) 1. (B C)  (C  B) / (B  C)

(8) 1. [(C  D)  (D  C)] / (C D) (D C)

(9) 1. (C  D) / (C  D)  (D  C)

(10)

1. (C  D)  (C  D) / C  D

Métodos de prueba complementarios Moisés Rubén Rossano López 1. Regla de las premisas (P) p → (r  s) p t tp r→p r → (r  s)  r

Es posible introducir una nueva premisa -cualquiera que esta sea- en una demostración, en el momento en que se desee. Puesto que tras añadir cualquier premisa las conclusiones que se deduzcan lo serán del conjunto total de premisas y no sólo del original, toda conclusión posible y el argumento mismo se sostienen precisamente en todas y cada una de las premisas de las que se echó mano. No hay límite alguno para el número de premisas adicionales que pueden colocarse en una deducción, considerando lo ya dicho. Generalmente, cada vez que se añade una premisa, en la demostración expresada gráficamente se hace notar que toda deducción que parte de esa premisa adicional hállase así subordinada a ella moviendo la demostración escrita unos cuantos espacios hacia la derecha.

Ejemplos

1. 2. 3. 4. 5.

A → C C  F F→D D → D F

2, Simp

6. D 7. A 8. C 9. CD 10. C→H 11. H 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

O → A I  A I → E / I → O I → A A → O I → O A → E O → E

3, 5, MP P 1, 7, MP 8, 6, Conj P 10, 8, MP

2, IM 1, Trans 4, 5, SH P 1, 7, SH

2. Demostración condicional (CP) p → r s→r p s  p → s

Dado un conjunto de premisas y una determinada proposición, si es posible deducir otra determinada proposición de todo ello, entonces es posible deducir sólo del conjunto de premisas un condicional que tenga por antecedente aquella primera proposición y por consecuente la segunda. También llamada condicionalización, la demostración condicional permite determinar qué ocurriría al suponer una proposición nueva entre las premisas ya dadas; es decir, qué podría concluirse si, a estas últimas, se añadiese otra. Tórnase sumamente útil cuando la proposición que se intenta deducir es precisamente una proposición condicional, pues basta colocar como premisa adicional el antecedente de esa proposición y tratar inmediatamente después de obtener el consecuente de la

misma a partir del conjunto de premisas, incluyendo aquella añadida. De lograrse, se ha demostrado que esa proposición condicional es consecuencia lógica del conjunto original de premisas.

Ejemplos

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

C→B CF F→A B → D / A → D A P F 3, 5, MT C 2, 6, SD B 1, 7, MP D 4, 8, MP A → D 5, 9, CP

3. Demostración por reducción al absurdo (RAA) p → (r  r)  p

Dados un conjunto de premisas y una conclusión deseada a partir de ellas, puede demostrarse que, de hecho, tal conclusión síguese lógicamente de las premisas, añadiendo para ello al conjunto de premisas la negación de la conclusión en cuestión. Esta demostración es indirecta: se determina que puede deducirse una cierta conclusión de un conjunto de premisas si es el caso que, de este conjunto de premisas y de la negación de esa misma conclusión, puede deducirse una contradicción. Esto porque, atendiendo a nuestra regla MT, si se sabe el consecuente de un condicional como falso, puede deducirse la negación de su antecedente; así, si un condicional tiene por consecuente una contradicción (esto es, la conjunción de una proposición y de su negación), que es por ende lógicamente falso, puede entonces deducirse la negación del antecedente de tal condicional. Y si, haciendo uso de la regla CP, puede

lograrse una demostración condicional que tenga por consecuente una contradicción tras añadir a las premisas la negación de la conclusión deseada (como ha venido diciéndose), se infiere entonces que tal conclusión sí es consecuencia lógica del conjunto de premisas solo.

Ejemplos

11. A  B 12. C → B 13. A / C 14. C P 15. B 2, 4, MP 16. A 1, 5, SD 17. A  A 3, 6, Conj 18. C 4, 7, RAA

Bibliografía: Copi, Irving M., Cohen, Carl; Introducción a la lógica, colaborador en la traducción Edgar Antonio González Ruíz, México, Limusa, 2007, 698 p. Copi, Irving M.; Symbolic Logic, New York, Macmillan, 1979, 398 p. GAMUT, L. T. F.; Introducción a la lógica, tr. Cecilia Durán, Buenos Aires, EUDEBA, 2002, 305 p. Hunter, Geoffrey; Metalógica: Introducción a la metateoría de la lógica clásica de primer orden, tr. Rodolfo Fernández González, Madrid, Paraninfo, 1981, 320 p. Mates, Benson; Lógica matemática elemental, Madrid, Tecnos, 1971, 287 p. Mates, Benson; Lógica de los estoicos, tr. Miguel García Baró, Madrid, Tecnos, 1985, 139 p. Quine, Willard Van Orman; Los métodos de la lógica, tr. Juan José Acero y Nieves Guash, Barcelona-México, Ariel, 1981, 357 p. Suppes, Patrick; Shirley Hill; Primer curso de lógica matemática, versión de Enrique Lines Escardo, Barcelona-México, Reverté, 2002, 278 p.

Capítulo III Teoría de Conjuntos

Larry Fielding Jagüey Camarena Introducción La Teoría de Conjuntos es una disciplina propiamente matemática. Algunos autores la consideran una parte de la lógica matemática, junto con la Teoría de la Demostración, la Teoría de Modelos y la Teoría de la Recursión. Sin embargo, la teoría de conjuntos ha sido considerada como la parte de las matemáticas que fundamenta buena parte de la matemática clásica. La noción que nos va interesar aquí, en este libro sobre lógica y filosofía es la cuestión de la fundamentación. ¿Qué quiere decir que la teoría de conjuntos fundamenta la matemática? ¿Por qué le interesa ello al filósofo? Y, finalmente ¿Qué papel juega en ello la lógica? Para responder esas preguntas, al menos de manera parcial, o cuando menos para incitar la investigación profunda del tema por parte de los estudiosos de la filosofía y de la lógica hablaremos brevemente de lo que se entiende por fundamentación de las matemáticas. Hubo un tiempo en el que el lógico y filósofo alemán Gottlob Frege pensó que era posible fundar la aritmética en la lógica. Ello era muy importante pues ya otros matemáticos habían podido definir casi todas las nociones del análisis 32 en términos aritméticos. Así, encontrar un fundamento seguro para la aritmética era encontrar el fundamento de gran parte de la matemática. En un principio Frege solamente había pensado en la posibilidad de formular un lenguaje lo suficientemente sencillo, pero claro y riguroso, para expresar la aritmética. Es decir, buscaba un lenguaje que le permitiera hablar sin equívocos de todas aquellas nociones a las que habían llegado sus colegas. Esto con el fin de que las demostraciones en aritmética y en general, en las matemáticas, estuvieran libres de todo error inducido por un lenguaje confuso. 32

Para que el lector no matemático comprenda que entienden los matemáticos por Análisis, piense simplemente en todos aquellos conceptos y definiciones requeridas para aprender el cálculo diferencial e integral. El análisis matemático comprende toda una teoría sobre los números reales, complejos, funciones de una o más variables, etcétera. La caracterización que se sugiere, por tanto, al no especialista es sólo una indicación.

La idea es que una vez establecido este lenguaje 33 el matemático estaría capacitado para notar cualquier error u omisión en el contexto de una prueba. El mismo lenguaje se lo indicaría. Así, desarrolló el primer sistema axiomático de lógica de primer orden 34. Es decir, su lenguaje trataba de expresar sólo las nociones más primitivas del razonamiento lógico. Aquí es donde le surgió la idea de que quizás la lógica pura no era simplemente un instrumento que sirviera para la demostración. Sino que quizás la misma aritmética no era sino lógica bastante desarrollada. Es decir, quizás de los axiomas puramente lógicos podían derivarse todos los principios de la aritmética. En un intervalo de casi 30 años Frege consagró su obra a demostrar esta tesis. Al final no tuvo éxito. Lo que nos interesa ahora es esa noción de fundamentación. Frege buscaba fundamentar la aritmética en la lógica; es decir, demostrar que los axiomas de los que depende la verdad aritmética son, en última instancia, axiomas de la lógica. Así, la verdad de la aritmética estaría sostenida sobre los axiomas de la lógica, que serían por ello su fundamento. La teoría de conjuntos es considerada actualmente como una disciplina que se ocupa de los fundamentos de la matemática. Es decir, en la teoría de conjuntos encontramos aquellos axiomas sobre los que se construirían el resto de principios de otras ramas de la matemática. Sin embargo, aunque a continuación el lector encontrará una formulación axiomática de la teoría de conjuntos, ello no quiere decir que con ello le baste para conocer todo lo concerniente a la fundamentación de la matemática, tal como hoy es entendida. Este breve capítulo sobre teoría de conjuntos constituye sólo una pequeñísima introducción al tema, pero pretende mostrar al estudiante lo fecunda que es la investigación en esta área de las matemáticas, no sólo para el matemático, sino también para el lógico y el filósofo.

33

Nos referimos a su primer obra Begriffschrift (1879), título traducido al inglés como Conceptual Notation y al español como Notación Conceptual o Conceptografía. 34

Frege sugiere en la Begriffschrift extender la generalización (es decir, la cuantificación) sobre propiedades o relaciones. De ese modo tendríamos formulada no sólo una lógica de primer orden sino de segundo orden. Sin embargo no está reglamentada esta cuantificación sobre propiedades de manera completa, como sí lo está la cuantificación de primer orden.

Expondremos a continuación parte de la axiomatización de la teoría de conjuntos de Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel. No hay que perder de vista que la teoría de conjuntos se fue construyendo gradualmente. Así, su axiomatización más conocida, la de Zermelo-Fraenkel, es resultado de años de investigación y de continuas pugnas conceptuales. Georg Cantor es el matemático a quién podría atribuirse el nacimiento de esta disciplina. Sus investigaciones, llevadas a cabo durante el último cuarto del siglo XIX estuvieron enfocadas en diversos problemas concernientes al infinito matemático. Así, el nacimiento de la teoría de conjuntos no está propiamente en motivaciones como las de Frege, compartidas por otros lógicos y matemáticos de la época. Cantor lleva a cabo investigaciones destinadas a revolucionar la concepción matemática del infinito. Allí encontramos entonces, otro problema en el que el filósofo y el lógico tienen amplios campos de investigación conceptual, en los temas más profundos e interesantes de la matemática contemporánea. Exponer, aunque fuera superficialmente, estos caminos en los que se encuentran la lógica, las matemáticas y la filosofía, excede los propósitos de este volumen. Remitimos al lector a la bibliografía recomendada sobre el tema. Lo que sigue a continuación es entonces, una mera introducción al lenguaje de los conjuntos y a sus principios.

Nociones primitivas Como cualquier otra teoría, la teoría de conjuntos constituye un campo de estudio que si bien puede alcanzar grados notables de complejidad e interés depende de unas cuantas nociones primitivas. Por nociones primitivas entendemos aquellas ideas o conceptos cuya comprensión intuitiva se presupone, sin necesidad de una definición rigurosa. Esto es necesario pues si quisiéramos definir rigurosamente (esto es, en un sistema de conceptos) todos nuestros términos caeríamos irremediablemente en un regreso al infinito. Así, la teoría de conjuntos es un cuerpo teórico que pretende decirnos cómo es que se comportan ciertos objetos a los que denominamos conjuntos. Para ello partimos de dos ideas básicas: la de conjunto y la de pertenencia o mejor dicho pertenecer a un conjunto. Por conjunto entenderemos, por ahora, sencillamente una colección de objetos arbitraria. ¿Cualquier colección de objetos es un conjunto? No, pero las razones las daremos más adelante. Basta con comprender que los objetos de nuestra teoría, los conjuntos, son colecciones de objetos. Como la colección de todos mis libros al día de hoy, el conjunto de número naturales menores o iguales a 5,

el conjunto que tiene como elementos al número 1, al 2 y a la Torre Latinoamericana, etcétera. La relación de pertenencia es una relación binaria (es decir, entre dos cosas) que es la más básica que se da entre conjuntos. Decimos, por ejemplo, que el número 1 pertenece al conjunto de los números naturales menores o iguales a cinco; que un ejemplar algo maltratado de Don Quijote de la Mancha pertenece al conjunto de todos mis libros al día de hoy; que la Torre Latinoamericana pertenece al conjunto antes mencionado cuyos elementos son también el número 1 y el 2. Para denotar la relación de pertenencia se utiliza por convención la siguiente versión de la letra griega épsilon: „‟. Para denotar un conjunto suelen utilizarse letras del alfabeto. También se suele usar un par de corchetes ( „{ }‟ ) para indicar que tenemos un conjunto y se suele poner el contenido de éste entre los corchetes, separados por comas (,). De esta forma, digamos que es A el conjunto de los números naturales menores o iguales a 5, entonces en la notación conjuntista puede escribirse: A= {1, 2, 3, 4, 5} Y podemos indicar que el 1 pertenece al conjunto A escribiendo: 1A Otro ejemplo, sea B el conjunto que tiene como miembros a los conjuntos a, b, c y d: B= {a, b, c, d}; a B, b B, cB, dB Vemos que a no pertenece a A, lo que podemos escribir usando la notación lógica que ya conocemos: (aA) O más brevemente: aA Es tiempo de hacer algunas acotaciones importantes. En teoría de conjuntos no se necesitan considerar más objetos que los conjuntos mismos. Es decir, en teoría de conjuntos se habla de conjuntos de conjuntos, de que los elementos de tal o cual conjunto son ellos mismos otros conjuntos, etcétera. Esto quiere decir que no es necesario presuponer alguna otra entidad aparte de los conjuntos para hacer teoría de conjuntos. Cuando hemos hablado del conjunto de números

naturales que cumplen cierta propiedad o del conjunto de los libros que son tal cosa o del conjunto de mascotas de tal persona sólo lo hemos hecho a modo de ejemplo.

Axiomas de la teoría de conjuntos Las teorías matemáticas actuales son axiomáticas, es decir, se postula una serie de axiomas a partir de los cuales se deducirán el resto de verdades acerca de los objetos de la teoría. De esta forma, aunque nuestra primera caracterización de lo que es un conjunto (una colección de objetos, se dijo) fue intuitiva y apeló al sentido común, es tarea de una adecuada selección de axiomas caracterizar a esos objetos de nuestra teoría. Dijimos arriba que la relación de pertenencia (simbolizada con „‟) es una relación básica entre conjuntos. Pero otra es la de identidad (simbolizada con „=‟). ¿Cuándo dos conjuntos son idénticos (es decir, uno y el mismo)? La respuesta es sencilla: cuando tienen exactamente los mismos elementos. Así es fácil ver que el conjunto de los números naturales menores o iguales a 5 es el mismo conjunto que el conjunto de los primeros dos números pares, los primeros dos impares y la unidad. Otra forma de identificar si dos conjuntos son el mismo es viéndolos: A= {x, y, z, x}

B= {y, z, x, y}

C= {w, x, y, z}

Es decir, no siempre contamos con una descripción de los elementos de un conjunto o con alguna propiedad que defina cuáles son los elementos del conjunto en cuestión. A veces sólo tenemos la mención explícita de cada uno de los miembros del conjunto. De esta forma, viendo cuáles son los elementos de A y de B, podemos determinar que los conjuntos A y B son el mismo, es decir: A = B. El orden en el que son presentados los elementos de estos dos conjuntos no es importante, así como tampoco el hecho de que se repita la „x‟ en A o la „y‟ en B. Sin embargo ninguno, ni A ni B son idénticos a C, pues en C encontramos a „w‟ que no es elemento de A y en consecuencia tampoco lo es de B. El axioma que expresa este criterio de identidad entre conjuntos se llama axioma de extensionalidad. Que puede escribirse de la siguiente forma: para cualesquiera conjuntos, si tienen los mismos elementos, entonces son el mismo. Aprovechemos ahora para introducir notación. El axioma de extensionalidad nos dice que si el conjunto X es idéntico (y en consecuencia el mismo) al conjunto Y entonces todos los elementos de X deben ser elementos de Y, y viceversa.

Cuando sucede que dado un conjunto cualquiera X, todos sus elementos son también elementos de otro conjunto Y decimos que el primer conjunto es un subconjunto del segundo. En símbolos: Si para todo wX se cumple que wY, entonces X es subconjunto de Y, es decir: XY También se suele decir que X está contenido en Y o que X es parte de Y. Nótese que ésta es una relación distinta a la de pertenencia, aunque se define a partir de ésta. Sean A, B y  los siguientes conjuntos: A= {a, b, c, d}

B= {a, b, c, d, e}

= {a, b, c, d, e, x, y, B}

Podemos ver que A  B y que A  Sin embargo AB y A. Por otra parte B  y también B. Para decir que B no es subconjunto de A usamos el símbolo „‟. De esas observaciones se deriva que dos conjuntos son el mismo cuando son subconjuntos mutuamente. Ejercicio. Haga una demostración de este hecho, es decir, dé un argumento que justifique la verdad del siguiente enunciado: Si AB y BA entonces A=B Pregunta: ¿Cómo justificaría la afirmación inversa? es decir Si A=B, entonces no es el caso que AB o BA Supongamos que tenemos el conjunto P de los números pares. Evidentemente este conjunto es un subconjunto de los números enteros positivos, es decir, de los números naturales (N). Sin embargo hay muchos elementos de N que no pertenecen a P, por ejemplo el 3, o el 5, y en general todos los números impares. Cuando ocurre que un conjunto es parte de otro pero existen elementos en el segundo que no están en el primero, decimos que el primero es subconjunto propio del segundo; o bien, que es su parte propia. En símbolos: Sea Y ZSi existe un wZ tal, que wY, entonces Y es subconjunto propio de Z, es decir: Y ⊊ Z Más ejemplos: Supongamos que tenemos un camión de cigarros. En él vienen muchas cajas que contienen a su vez, cada una, unos 50 paquetes de cajetillas de cigarros. Cada paquete tiene unas 12 cajetillas de 20 cigarros. Si A es el conjunto de cajas de paquetes de cajetillas de cigarros (es decir, toda la carga

del camión vista en cajas); B1, B2, B3,… Bn son los conjuntos de paquetes de cajetillas (es decir, cada una de las cajas grandes que trae el camión); C 1, C2, C3,… Cm son cada uno de los conjuntos de cajetillas de cigarros (es decir cada uno de los paquetes de 12 cajetillas que vienen en las cajas que trae el camión) y D1, D2, D3,… Dk cada una de las cajetillas que trae el camión;  es el conjunto de todos los cigarrillos que en total trajo el camión entonces:

a) Di para algún i, es subconjunto de  pero no es subconjunto de A. b) ¿Los Bj para algún j son subconjuntos de A? c) ¿De los conjuntos mencionados alguno es subconjunto de A (es decir, los Bj, los Ci o los Dh)? d) ¿Qué conjuntos, de los mencionados, pertenecen () a A y cuáles no? e) ¿Cuáles conjuntos, de los mencionados, son subconjuntos de  y cuales son elementos de ? f) ¿A=? Hasta aquí sólo se ha dicho cómo sabríamos si dos conjuntos son el mismo, pero de hecho no hemos visto aún si de hecho existen los conjuntos. Para ello es necesario un axioma: Axioma de existencia o del conjunto vacío: Existe un conjunto que no tiene elementos. Denotamos ese conjunto con la siguiente versión de la letra griega phi: . Ejercicio: ¿Pueden demostrar usando solamente el axioma de extensionalidad que sólo hay un conjunto vacío y no más? De las observaciones hechas respecto a la noción de subconjunto, debe ser claro para el lector la verdad de la siguiente afirmación:

Para todo conjunto X se cumple que X Demuéstrelo. Los que siguen son axiomas constructivos y nos sirven para construir nuevos conjuntos. Anteriormente se había dicho que no cualquier colección imaginable

de objetos constituye un conjunto. Veamos ahora la razón de ello. Supongamos que se me ocurre postular el conjunto de todos aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, o simbólicamente: (*)

R= {todos los x tales que xx}

¿Por el mero hecho de formular esta propiedad existe el conjunto R de aquellos objetos que la cumplen? Supongamos que existe y veamos qué podemos deducir de ello. Si existe R entonces por el hecho de ser un conjunto podemos preguntarnos si RR. Veamos: si RR entonces se pertenece a sí mismo, pero R sólo tiene como miembros a los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos; por lo tanto, si RR entonces RR. Es importante notar que hasta aquí no hemos hallado aún la contradicción. Recordemos, a partir de lo que sabemos de lógica proposicional, que el esquema „ ‟ no es inconsistente. Es verdadero cuando el antecedente „‟ es falso. En este caso nuestro antecedente era RR. Supongamos que esto es falso entonces. Sea pues que RR. Pero si RR entonces R cumple la propiedad que deben tener todos los elementos de R y por lo tanto RR. Llegamos a lo siguiente „‟. Del supuesto anterior habíamos llegado a que „ ‟; por lo tanto: „‟. Esto es una contradicción. Y esta contradicción surge del hecho de que supusimos la existencia de R. Definimos la colección R de tal manera que suponer su existencia nos produjo una contradicción. Ello nos sugiere que cometimos algún error al suponer que cualquier colección que definamos constituye un conjunto (pues deseamos decir que los conjuntos son las cosas que existen en nuestro universo conjuntista, es decir, desde el punto de vista de la teoría). El error fundamental fue asumir que los conjuntos son lo que en la lógica filosófica ha sido conocido como la extensión de un concepto. En la lógica tradicional se suele distinguir entre término y concepto. El término sería el correlato sensible de la entidad abstracta que es el concepto, el signo escrito. A cada concepto le corresponde una intensión o comprehensión y una extensión. A la intensión o comprehensión podríamos equipararla con la formulación de una o varias propiedades que tienen los objetos para decir de ellos que caen bajo el concepto. La extensión de un concepto son los objetos que caen bajo el concepto. Si asumimos que a cada concepto le corresponde una extensión, sea vacía o no, y llegamos además a decir que nuestros conjuntos son esas

extensiones de conceptos caeremos inevitablemente en la paradoja que acabamos de exponer. Vamos a introducir la siguiente distinción: llamaremos clase a aquellas extensiones de conceptos de la lógica filosófica. Llamaremos clase propia a aquellas clases que no son conjuntos. Así, R será una clase propia. Diremos que nuestros conjuntos, es decir, los objetos de nuestra teoría, son clases impropias. Podemos darnos cuenta que mediante el lenguaje del que disponemos podemos formular muchas propiedades. Sin embargo no asumiremos de ahora en adelante que cualquier propiedad determina un conjunto. El argumento que nos condujo a la contradicción es conocido como Paradoja de Russell. Esta dificultad se puede superar si en lugar de considerar la colección de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos consideramos solamente al subconjunto de otro conjunto cuyos elementos cumplen en particular aquella propiedad de no ser elementos de sí mismos. Simbólicamente: (**)

R‟= {xA tales que xx}

Si establecemos que A es un conjunto, entonces R‟ subconjunto de A es un conjunto. Veamos si se resuelve el problema. Supongamos que R‟A. Ahora bien tiene que ser el caso que R‟R‟ o bien R‟R‟. Si R‟R‟ entonces debe de ser que R‟R‟. Si en cambio suponemos que R‟R‟ entonces R‟ satisface las dos condiciones que son suficientes para que R‟R‟. Tenemos de nuevo una contradicción. Pero esta contradicción surgió de suponer en primer lugar que R‟A. Por lo tanto debemos concluir que R‟A. Con este supuesto no surge contradicción alguna. Lo interesante de este último argumento es que nos lleva a concluir que para todo conjunto hay alguno que no le pertenece, es decir, no hay un conjunto de todos los conjuntos. Es decir, A fue un conjunto totalmente arbitrario en el argumento anterior. Por lo tanto para cualquier conjunto arbitrario hay cuando menos otro conjunto que no es elemento suyo. Por lo tanto, en términos de lógica de clases, concluimos que no hay universo. Veremos más adelante que será necesario tener en consideración universos de discurso, es decir, considerar el universo de las cosas pertinentes en nuestro discurso. Por el momento asumiremos que el universo es una clase propia. Pudimos superar la contradicción inicial (*) gracias al siguiente axioma:

Axioma de especificación o comprehensión: para cualquier conjunto A y cualquier propiedad , hay un conjunto B cuyos elementos son los x A tales que cumplen la propiedad . Como aquí podemos sustituir la  por cualquier propiedad se dice también que el anterior enunciado no es un axioma sino un esquema de axioma. Es decir, al tomar en cuenta propiedades distintas estaríamos formulando axiomas distintos. Asi, podemos considerarlo con más corrección esquema de axioma de especificación o comprehensión. Continuamos con algunos axiomas más de existencia: Axioma del par: Para cualesquiera dos conjuntos hay un tercer conjunto cuyos elementos son exactamente ellos. Es decir, dados los conjuntos a y b; este axioma nos asegura la existencia del conjunto, llamémoslo C, tal que: C= {a, b} Axioma de la unión: Para cualquier conjunto A existe otro conjunto B tal que aB si y sólo si a X para algún XA. En otras palabras, si tenemos un conjunto de conjuntos A, existe un conjunto cuyos elementos son todos aquellos elementos de alguno de los conjuntos XA. Supongamos que tenemos un conjunto de monos. Cada mono tiene muchos piojos. El axioma nos dice que existe el conjunto de piojos tales que pertenecen a alguno de los monos. Si el conjunto de conjuntos es A, la unión de los XA se simboliza así: UA Diríamos que los aUA son los a‟s tales que aX, para algún XA.

Operaciones entre conjuntos Unión e intersección. Es usual utilizar una notación especial para cierto caso particular del axioma de unión. Si tenemos el conjunto A= {B, C}, podemos simbolizar UA también de la siguiente manera: BC

Y tomar ese símbolo como una operación binaria entre conjuntos definida de la siguiente forma: BC= {x: xB  xC}

De ahora en adelante con los dos puntos „:‟ abreviamos “tales que”. Podemos comprobar que la unión de dos conjuntos así definida concuerda con lo que exige el axioma de la unión. Otra operación que definiremos es la de intersección de dos conjuntos:

BC= {x: xA  xB}

Que corresponde a las exigencias del esquema de especificación: BC= {x: xA  xB}= {xA: xB} Estamos en condiciones de enunciar ahora varias propiedades de la unión y la intersección de dos conjuntos:

1) A = A

Es fácil ver la verdad de esta afirmación, prueba: Como queremos demostrar que dos conjuntos son iguales (A y A) usaremos el axioma de extensionalidad y la noción de subconjunto. Anteriormente se dijo que dos conjuntos eran el mismo si eran subconjunto uno del otro. De esta forma basta tomar un conjunto cualquiera x tal que xA y ver si es el caso que xA: si xA entonces, por definición de la operación unión, xA o x; pero no existe ningún x, por lo tanto xA, por lo tanto AA (i). Ahora tomemos cualquier conjunto yA, de aquí se sigue que yA o y35, y por definición de la operación de unión tenemos que yA; por lo tanto AA(ii).

35

Por una simple aplicación de la regla de adición de la lógica proposicional.

De (i) y (ii) se sigue que A = A. Ejercicio, siguiendo el mismo esquema de demostración, pero abreviando las explicaciones, demuestre los siguientes enunciados.

2) AB = BA la unión es conmutativa 3) (AB)C = A(BC) la unión es asociativa 4) AA = A idempotencia 5) AB si y sólo si AB = B Ésta última propiedad nos da la pauta para aplicar el lenguaje conjuntista a la lógica de clases implícita en la silogística. En efecto, consideremos un juicio universal afirmativo, por ejemplo: Todas las tortugas son reptiles, y tomamos el conjunto de las tortugas T y el conjunto de los reptiles S, podríamos simbolizar el juicio como TS. Pues lo que nos dice el juicio es que cualquier objeto xT es tal que xS. La unión TS sería el conjunto de todos los animales tales que son una tortuga o, en general, un reptil. (5) nos dice que TS (todas las tortugas son reptiles) si y sólo si la unión de T y S (es decir, el conjunto de los animales que son o tortugas o reptiles) es igual a S. El conjunto de las cosas que son tortugas o reptiles tiene exactamente los mismos elementos que el conjunto de los reptiles y viceversa. Ahora enunciaremos algunas propiedades de la operación intersección: 1) A=  2) AB = BA 3) A (BC) = (AB)C 4) AA = A 5) AB si y sólo si AB = A Enunciaremos a continuación dos identidades que pueden entenderse como la propiedad distributiva de estas dos operaciones, se demostrará una y la otra se deja como ejercicio: D1) A(BC) = (AB)  (AC) D2) A(BC) = (AB)  (AC)

Prueba de D1: Sea x A(BC), por demostrar que x(AB)  (AC) Si x A(BC) entonces xA y x BC, por definición de intersección. Si x (BC) entonces xB o xC. Supongamos que xB, entonces xA y xB, por lo tanto x(AB). Pero si xB entonces xC, entonces xA y xC, por lo tanto x(AC) Por lo tanto x(AB) o x(AC), y por definición de unión tenemos finalmente que: x (AB)  (AC), por lo tanto: A(BC) (AB)  (AC)……….. (i) Ahora, sea z(AB)  (AC), por demostrar que zA(BC) Si z(AB)  (AC) entonces zAB o zAC. Supongamos que zAB, entonces zA y zB. Si zAB, entonces zAC. Si zAC, entonces zA y zC, en cualquiera de los dos casos zA. Entonces zA, y también zB o zC. Por definición de unión: zA y zBC, por definición de intersección: z A(BC), por lo tanto: (AB)  (AC)  A(BC)……… (ii)  A(BC) = (AB)  (AC) por (i) y (ii). Complementos A partir del esquema de especificación podemos definir, a partir de los conjuntos A y B el siguiente conjunto: {xA: xB} A este conjunto se le conoce como la diferencia de A y B, o bien A menos B. Y se le denota con el siguiente simbolismo: A\B. De esta manera definimos: La diferencia de A y B es el conjunto de los x tales, que xA y xB, en símbolos: A\B= {xA: xB} A continuación enunciamos algunas propiedades de la diferencia de dos conjuntos para que sean demostradas por el lector: 1) A\B = si y sólo si AB 2) A\A=  3) A\B = B\A si y sólo si A = B 4) A\B  A

5) A\ = A

A esta operación también se le conoce como complemento relativo. Así A\B es el complemento relativo de B en A. Como se mencionó anteriormente, en teoría de conjuntos no se considera que el universo de los conjuntos sea un conjunto. Pero según cada contexto se puede hablar de un universo de discurso, es decir, de una colección que contenga todo de lo que estamos hablando dependiendo el caso. Éste sería un conjunto del cual son elementos todas aquellas cosas que consideramos en alguna situación. Denotamos a dicho universo de discurso con la letra V. Así, cuando nos refiramos al complemento de cualquier subconjunto A en V, para simplificar la notación, en lugar de escribir V\A, escribimos: AC. Esto se lee complemento de A. Legítimamente podemos decir que el complemento de A es el conjunto de todas aquellas cosas que no son elementos de A, pues de antemano estamos considerando que A  V. Definimos entonces el complemento de A: AC = {x V: xA} Las siguientes son propiedades del complemento que el lector deberá demostrar: 1) (AC)C = A 2) C = V y VC =  3) A  AC =  y AAC = V 4) AB si y sólo si BCAC 5) (AB)C = AC  BC y (AB)C = AC BC (5) son las leyes de De Morgan, en su versión conjuntista. En el apéndice a este capítulo hablaremos brevemente del álgebra Booleana que es un estudio abstracto del cual la lógica proposicional, la lógica de clases y el álgebra de conjuntos que estamos explorando ahora son casos particulares, o mejor dicho, modelos.

Algunas consideraciones sobre la intersección y los subconjuntos: más axiomas.

Vimos en el apartado anterior que la operación unión, entre dos conjuntos, era un caso especial del axioma de unión, que postula la existencia del conjunto UC para una colección C de conjuntos, con n miembros. Podemos dar una demostración que, de manera similar, nos asegure la existencia de una operación general de intersección para una colección C de n conjuntos, siempre y cuando C sea no vacío. Como C  , podemos tomar un AC. Ahora, de acuerdo con el esquema de especificación podemos definir el siguiente conjunto: (*)

⋂C = {xA: xZ, para cualquier ZC

Es decir, x⋂C si x pertenece a todos los conjuntos ZCComo A es un conjunto cualquiera, elemento de C, podemos simplificar la definición de ⋂C (**)

⋂C = {x: xZ, para cualquier ZC

¿Por qué partimos del supuesto de que C? Por lo siguiente: supongamos que admitimos la existencia de ⋂C para C = . La pregunta es ¿qué conjuntos no pertenecen ahora a ⋂C? Si un conjunto w cualquiera no pertenece a ⋂C debe ser porque para w es falsa la condición (**): “wZ, para cualquier ZC(w pertenece a todos los conjuntos Z que son elemento de C)”. Por lo tanto debería existir al menos un conjunto Z‟C, tal que wZ‟. Pero es imposible encontrar un conjunto tal (pues partimos del supuesto de que C=). Por tanto la condición (**) se cumple para cualquier conjunto, incluido w. Si absolutamente todos los conjuntos cumplen la condición (**), estaríamos diciendo que ⋂C es el universo de los conjuntos. Pero dijimos antes que tal cosa no existía. Por lo tanto es necesario hacer la excepción y suponer siempre que nuestra colección C es distinta del vacío. ¿Qué sucede si al definir la intersección de una colección C de conjuntos, nos restringimos de antemano a considerar solamente a ciertos subconjuntos de un conjunto dado, digamos W? Consideremos ahora a los ZW y volvamos a definir la intersección: ⋂C = {xW: xZ, para cualquier ZC El conjunto existe por el esquema de axioma de especificación. Se deja como ejercicio para el lector verificar por qué ahora no es necesario partir del supuesto de que C  .

Así, cualquier colección C de conjuntos que tomáramos estaría constituida exclusivamente por subconjuntos de W. Pero, dado un conjunto cualquiera, ¿la colección de sus subconjuntos es un conjunto? La existencia de tal conjunto es lo que enuncia el siguiente axioma: Axioma del conjunto potencia: dado un conjunto cualquiera, la colección de todos sus subconjuntos es un conjunto. Sea A un conjunto cualquiera, denotamos con P(A) al conjunto potencia de A, es decir, al conjunto de todos los subconjuntos de A.

Relaciones y funciones Estuvimos considerando conjuntos de conjuntos, sin embargo será de gran utilidad definir cómo vamos a hablar de conjuntos de pares ordenados de conjuntos, o en general, de n-adas36 ordenadas de conjuntos. Un par ordenado de conjuntos es un conjunto de dos elementos en el que el orden de éstos importa. Es decir, si adoptamos la notación a, b para designar al par ordenado de los conjuntos a y b, debemos decir que: a, b = c, d si y solamente si a=c y b=d Una manera de definir el par ordenado de a y b explícitamente es la siguiente: a, b= {{a}, {a, b}}37 Es fácil comprobar con esta definición que si ac y bd entonces a, b  c, d. Definiríamos una tripleta ordenada a, b, c como sigue: a, b, c; y en general, una n-ada o n-tupla culquiera del siguiente modo: …x1, x2, x3,… xn Ahora daremos la definición de producto cartesiano de dos conjuntos: Sean A y B conjuntos, el producto cartesiano de A y B (se denota AB, “A cruz B”) es el conjunto de pares ordenados a, b para algún aA y bB.

36

Es decir, no sólo pares, sino tripletas, cuartetas, quintetas, etcétera.

37

Propuesta por Kazimierz Kuratowski (1921).

Ejemplo: Sean A= {x, y, z} y B= {x, w} conjuntos, el producto cartesiano AB es el conjunto: {x, x, x, w, y, x, y, w, z, x, z, w} Ejercicio: Escriba el conjunto BA. Pregunta: ¿Cuál sería el conjunto A? Una vez definido el producto cartesiano podemos pasar a hablar de las relaciones. Nosotros solemos hablar de relaciones en muchos contextos diferentes. Por ejemplo, decimos que si Pablo es amigo de Pedro entonces media entre ellos la relación de amistad. Decimos asimismo que somos hijos de tales o cuales personas, que estamos casados o divorciados de otras, que somos empleados de tal o cual empresa, que somos dueños de tal o cual cosa. Todas estas son relaciones entre personas, o entre personas y cosas. En contextos científicos las relaciones son de gran importancia. En matemáticas encontramos también un campo en el que las relaciones son muy importantes. La teoría de conjuntos nos proporciona un modo de definir las relaciones. Supongamos que queremos definir la relación de “ser hijo de” en un grupo de personas. Pongamos el siguiente ejemplo: limitamos nuestro grupo de personas a dos familias. Una está constituida por el viejo Gumaro, que es viudo, su hijo Carlo, la esposa de Carlo, Gabriela; y sus dos nietos, Giordano y Bruno. La otra familia está constituida por Linda que es madre soltera de un niño: Renato. Podemos considerar entonces el siguiente conjunto P de personas:

P= {Gumaro, Carlo, Gabriela, Giordano, Bruno, Linda, Renato}

El producto cartesiano PP tiene como elementos 36 elementos distintos. Tomemos uno al azar, digamos que tomamos el par Gumaro, Gumaro. ¿Gumaro es hijo de Gumaro? Evidentemente no. Tomemos otro Gumaro, Renato, ¿Gumaro es hijo de Renato? Tampoco. Si vemos la relación “ser hijo de” de la siguiente forma:

x es hijo de y

A continuación pensamos que los espacios ocupados por x e y deben ser ocupados en ese orden por los miembros de un par ordenado x, yPP, veremos rápidamente que no todos los pares ordenados en el conjunto PP satisfacen la relación “ser hijo de”. De hecho, de los 36 pares posibles solamente seis representan pares de personas que al ser colocadas en el orden correcto satisfacen la relación que nos ocupa. El conjunto de pares ordenados de PP que satisfacen la relación es: S= {Carlo, Gumaro, Giordano, Carlo, Bruno, Carlo, Giordano, Gabriela, Bruno, Gabriela, Renato, Linda} Podemos notar que S PP. Una relación, en teoría de conjuntos es el subconjunto del producto cartesiano de algún par de conjuntos dado.38 Definición: Sean A y B conjuntos cualesquiera, una relación R de A sobre B (R: A⟼B) es un subconjunto de AB. A continuación introduciremos terminología útil acerca de relaciones. Definición: Sean A y B conjuntos y R una relación de A sobre B (R: A⟼B): a) Al conjunto de todos los x tales que x, y R, lo llamamos el Dominio de R (notación: dom R): dom R = {x tales que hay algún yB de manera que x, y R} Es claro que dom R A. b) Al conjunto de todos los y tales que x, y R, lo llamamos el Rango de R (notación: ran R): ran R = {y tales que hay algún xA de manera que x, y R} Es claro que ran R  B. Muchas relaciones tienen ciertas características que es conveniente resaltar: Definición: Sea R una relación en A, entonces: a) Decimos que R es una relación reflexiva si para todo xA se cumple que x, x R. b) Decimos que R es una relación simétrica si para cualesquiera x,zA; x,z R implica que z,x R 38

podrían haber sido conjuntos distintos. A modo de ejemplo, piense el lector qué conjuntos están implicados para definir de manera conjuntista la relación “ser ciudadano de”.

c) Decimos que R es una relación antisimétrica si para cualesquiera x,zA; si x,z Ry z,x Rentonces x=z. d) Decimos que R es una relación asimétrica si para cualesquiera x,zA; si x,z R, entonces z,x R. e) Decimos que R es una relación transitiva si para cualesquiera x,z,wA; si x,z R y z,w Rentonces x,w R. Veamos algunos ejemplos: 1) La relación de amistad no es transitiva. Diga por qué. 2) La relación de consecuencia lógica es reflexiva y transitiva, pero no es simétrica. Diga por qué y dé un ejemplo. 3) La relación de equivalencia lógica es reflexiva, simétrica y transitiva. Diga por qué y dé un ejemplo. A las relaciones que son reflexivas, simétricas y transitivas las llamamos relaciones de equivalencia. Funciones El concepto de función es un concepto que en matemáticas se suele asociar a un procedimiento, regla, transformación u operación, por medio del cual a cada elemento a del dominio de la función se le asigna un único elemento b, el cual se conoce como valor de la función para a. Una función es por tanto, un tipo especial de relación. Definición: Una función f de A en B (f: A⟼B) es una relación tal que dom f = A y que si x,zf y x,wf, entonces z=w. Es decir, en una función se le asignan valores a todos los elementos del conjunto sobre el que se aplica la función. Y le corresponde sólo un elemento. Una notación que suele usarse para decir que x,zf, es f(x)=z. Daremos una definición más, que vale para relaciones y funciones: Sea A un conjunto y R una relación (puede ser, en particular, una función); la imagen de A bajo R es el conjunto de los yranR para los cuales hay algún xA tal que z,yR. En el capítulo dedicado a la lógica proposicional nosotros hablamos de funciones veritativas. Ahora es claro el porqué de ese nombre. En ese caso el dominio de la función era un conjunto de n-ada ordenadas de valores de verdad, a cada n-ada le correspondía como valor una „T‟ o una „‟ y sólo una de ellas.

Hasta aquí hemos expuesto sólo los aspectos básicos del lenguaje y la axiomatización de la teoría de conjuntos. La comprensión cabal del resto de los axiomas de Zermelo-Fraenkel requiere la introducción de muchos más conceptos. Baste decir, como motivación para que el lector se acerque a la bibliografía recomendada sobre el tema, que la axiomatización Zermelo-Fraenkel consta de tres axiomas más aparte de los que se hay mencionado ya: Axioma del Infinito o axioma de existencia de un conjunto inductivo: asevera que los conjuntos infinitos (como el conjunto de los números naturales) existen. Axioma de Reemplazo: la imagen de un conjunto bajo una función es un conjunto. Axioma de Buena Fundación: dice que todo conjunto no vacío tiene un elemento cuyos elementos no están en el conjunto. Todos estos conjuntos tienen una gran relevancia y la misma historia de su incorporación en la axiomática “oficial” de la teoría de conjuntos es de gran interés dado que ilustra las controversias conceptuales en las que las matemáticas, la lógica y la filosofía están implicadas.

Bibliografía

Alchourron, Carlos E. (editor); Enciclopedia iberoamericana de filosofía vol. VII: Lógica, Madrid, Trotta: Consejo Superior de Investigaciones Cientificas, 1995, 366 p. Amor Montaño, José Alfredo; Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias, México, UNAM Facultad de Ciencias, 2005, 117 p. Crossley, J. N. (editor); ¿Qué es la lógica matemática?, presentación y notas de Luis M. Valdes ; tr. de Jesús Alcolea Banegas, Madrid, Tecnos, 1983, 192 p. Enderton, Herbert B.; Elements of set theory, New York, Academic, 1977, 279 p. Halmos, Paul Richard; Naive set theory, Princeton, New Jersey , D. Van Nostrand, 1960, 104 p. Hrbacek, Karel; Jech, Thomas; Introduction to Set Theory, 3a edición, New York, M. Dekker, 1999, 291 p. Orayen, Raúl; Moretti, Alberto; Enciclopedia iberoamericana de filosofía vol. XXVII: Filosofía de la lógica, Madrid, Trotta: Consejo Superior de Investigaciones Cientificas, 2004, 355 p. Russell, Bertrand; Introducción a la filosofía matemática, tr. Mireia Bofill, Barcelona-México, Paidós, 1988, 183 p. Smullyan, Raymond; Satán, Cantor y el Infinito, tr. José A. Álvarez, Barcelona, Gedisa, 1995, 262 p. Torretti, Roberto; El paraíso de Cantor: la tradición conjuntista en la filosofía matemática, Santiago de Chile, Universitaria: Universidad Nacional Andrés Bello, 1998, 589 p.

Capítulo IV Lógica cuantificacional39 Larry Fielding Jagüey Camarena

Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden La lógica que hemos estudiado sistemáticamente hasta este momento nos permite llevar a cabo traducciones de argumentos del lenguaje natural al lenguaje formal con el fin de identificar, por ejemplo, si son argumentos válidos o no. Es decir, hemos desarrollado los elementos necesarios para explorar cuándo ciertas fórmulas se siguen de otras. Las fórmulas que hemos utilizado son esquemas proposicionales. Es decir, son esquemas en donde la unidad mínima de análisis son proposiciones. Sin embargo hay argumentos que al ser analizados nos muestran de inmediato la insuficiencia del lenguaje proposicional para explicar la validez o invalidez lógica. Tómese como ejemplo cualquier argumento cuyas premisas sean los enunciados categóricos de la lógica tradicional. Ejemplo: Ningún perro faldero es peligroso, pero todos los lobos son peligrosos; por lo tanto ningún lobo es un perro faldero. Este ejemplo muestra que el análisis proposicional es insuficiente para dar cuenta de las relaciones de implicación. Dado que bajo el análisis proposicional el argumento anterior tendría la forma de „(pq)/r‟. No habría mayor problema si todas las relaciones de implicación que no puede explicar la lógica proposicional fueran explicables por medio de la lógica aristotélica o escolástica. Sin embargo, alrededor del siglo XIX, cuando los matemáticos buscaban dotar de todo el rigor lógico posible a sus definiciones y demostraciones cayeron en la cuenta de que requerían de herramientas de análisis nuevas. A continuación un ejemplo que requiere herramientas más finas de análisis: Cada diputado es amigo de alguno de los adversarios del Presidente. La afirmación anterior se simbolizaría bajo el análisis meramente proposicional simplemente como una p. Pero como se ve claramente que hay mucha más 39

También conocida como lógica de predicados o lógica de primer orden.

información valiosa necesitamos de las herramientas de análisis de la lógica cuantificacional. Para la lógica proposicional las variables corrían sobre un universo de proposiciones, es decir, si teníamos una variable proposicional p la interpretación de ésta debíamos buscarla en el universo de las proposiciones, de las afirmaciones que son verdaderas o falsas. Así p podía interpretarse como “Tengo frío” o como “Los dinosaurios son criaturas terribles”. Las variables de la lógica cuantificacional no corren sobre proposiciones sino sobre objetos. Así la variable x puede interpretarse como cualquier objeto del universo de cosas del que estemos hablando. Hay además variables predicativas o letras relacionales que están en lugar de alguna propiedad o relación que es predicada de los objetos. Las constantes de objetos funcionan como nombres de objetos concretos. Así, si queremos simbolizar “Juan tiene frío” necesitamos de una constante de objeto que esté en lugar de Juan, digamos j y una letra predicativa o relacional que represente el predicado “tener frío”; supongamos que para tal fin escogemos la letra F. De esta forma tengo el predicado “tiene frío” que puede ser dicho de Juan o de Pedro o quizás de alguien más: … tiene frío Si no queremos decir de alguien concreto que tiene frío utilizamos una variable: x tiene frío Lo cual se convierte en nuestro simbolismo en: F(x) Si queremos decir que Juan tiene frío: F(j) Pues la j es un nombre para Juan. Este predicado involucra sólo un objeto sin embargo podemos pensar en predicados que involucren a más de un objeto como lo son las relaciones; por ejemplo la relación que expresamos cuando decimos “Juan odia a Alberto”. Aquí podemos tomar como predicado la expresión “odia a Alberto” o mejor aún: “odia a”. Así, haciendo uso de las variables tendríamos: O(x,y)

Que se lee: “x odia a y”. Por tanto si queremos afirmar que Juan odia a Alberto lo único que tenemos que hacer es asignar un par de constantes a mis objetos: una j para Juan y una a para Alberto: O(j,a) Entonces cuando tenemos una afirmación debemos buscar si ésta habla de algún objeto (entiéndase persona, animal o una cosa cualquiera) concreto. Veamos algunos ejemplos: Juan me tiene miedo Pelusa es mi gato favorito Mi zapato está roto La profesora robó ese libro de la biblioteca Vasconcelos. En cada una de las afirmaciones anteriores se dice algo de uno o más objetos concretos: Juan, yo, Pelusa, yo de nuevo (“es mi gato…”), mi zapato, la profesora, ese libro, la biblioteca Vasconcelos. Sin embargo la lógica cuantificacional toma su nombre de los alcances tan importantes a los que llega su lenguaje formal al introducir en el análisis el uso de cuantificadores. Veamos cómo funcionan. Supongamos que se afirma que Juan es temible. Luego, en nuestro simbolismo escribimos M(j), donde la M representa el predicado o propiedad “es temible”. La letra entre paréntesis indica quién o qué es el que es temible. Si pusiéramos una variable x en lugar de la constante j se entiende que se deja sin especificar quién o qué es lo temible: M(x) De hecho aquí no se está afirmando nada. Simplemente se está representando la situación en que tenemos la propiedad M y que el espacio que en la expresión le correspondería a un objeto está vacante para ser ocupado por algo. Pero supongamos que queremos afirmar que la propiedad M se cumple independientemente del objeto cuyo nombre ocupe ese lugar vacío en el simbolismo; es decir, que la propiedad M la cumplen todos los objetos. Para ello, además de la variable que se pone en el lugar del argumento a lado de la letra predicativa hacemos uso del cuantificador universal: „‟. Así, para indicar que la propiedad M es cumplida por cada uno de los objetos x escribimos: (x) M(x)

Usamos pues, esta expresión para afirmar que todos los objetos tienen la propiedad en cuestión. Algunas veces sólo sabemos que algunos la tienen y otros no. Otras veces sabemos que no todos son tal o cual cosa. Es aquí donde el uso del cuantificador universal, combinado con el símbolo de negación nos permite expresar esas situaciones. Para verlo más claramente analicemos qué cosas podemos decir usando varias combinaciones de símbolos:

Expresión en símbolos (x)F(x) (x)F(x) (x)F(x) (x)F(x)

Traducción Todos son F/Todos tienen la propiedad F Todos son no F/Nadie tiene la propiedad F No todos son F/Algunos no tienen la propiedad F No todos son no F/Algunos tienen la propiedad F

A partir de este cuadro observamos que con el uso de la negación y el cuantificador universal podremos expresar todos los juicios categóricos de la lógica tradicional. El cuadro de oposición de la lógica escolástica representa las relaciones lógicas que se dan entre juicios que contienen dos términos, o en nuestra terminología, dos predicados o relaciones. Antes de pasar a hacer la traducción a nuestro lenguaje del contenido de dicho cuadro conviene introducir un símbolo más para abreviar y hacer más sencillas de leer algunas expresiones. Quizás el lector esté de acuerdo en que „(x)F(x)‟ es una forma muy complicada de escribir “algunos tienen la propiedad F”. Para abreviar nuestra notación, cada vez que tengamos expresiones tales como “algunos…”, “hay…” o “existen…” usaremos el cuantificador existencial: „‟. Se utiliza de manera igual que el universal, poniendo una variable al lado del cuantificador y a continuación la letra predicativa o relacional con su respectiva variable, por ejemplo: (x)F(x) Que dice: “hay algunos F”, “Existen cosas (al menos una) con la propiedad F” o sencillamente “hay F‟s”. Con el cuantificador universal y el adecuado uso de la negación basta en realidad para hacer este tipo de aseveraciones sobre la existencia de cosas. Desde este punto de vista el cuantificador existencial constituye sólo una abreviación en la notación y una forma de hacer explícitos los juicios de existencia.

A continuación presentamos una tabla de equivalencias en la notación, son también equivalencias lógicas:

 (x)F(x) (x)F(x)

 (x)F(x) (x)F(x)

(x)F(x) (x)F(x)

(x)F(x) (x)F(x)

Traducción Todos tienen la propiedad F No existen los F/Nadie tiene la propiedad F Algunos no tienen la propiedad F Existen algunos con la propiedad F

Ahora podemos pasar al cuadro de oposición40:

Juicio A: todos los F son G E: ningún F es G I: algún F es G O: algún F no es G

Traducción con equivalencia lógica según el cuantificador (x) (F(x)  G(x))  (x) (F(x)  G(x)) (x) (F(x)  G(x))  (x) (F(x)  G(x)) (x) (F(x)  G(x))  (x) (F(x)  G(x)) (x) (F(x)  G(x))  (x) (F(x)  G(x))

Ejercicio: observe cuidadosamente el lugar de las negaciones y los cuantificadores. Posteriormente diga cómo se puede pasar en las equivalencias de un lado a otro con ayuda de las equivalencias de la lógica proposicional. Es pertinente dar una explicación más acerca de cómo entender los cuantificadores. Decíamos que „(x) F(x)‟ había de leerse como “todos tienen la propiedad x” o “cada objeto x que tomemos, sin importar cuál sea tiene la propiedad F‟. Supongamos que tenemos un número finito de objetos. Así si dijéramos, por poner un ejemplo, que “todos son calvos” podríamos, si no son muchos los individuos que conforman nuestro universo, mencionarlos uno por uno y decir que están calvos. Así, si nuestro universo constara de solamente cinco individuos: Miguel, José, Agustín, Vicente e Ignacio, en lugar de decir 40

En el apéndice II el lector encontrará explicado a detalle este cuadro con la notación de la lógica cuantificacional.

“Para cualquier individuo x, resulta que éste es calvo ((x) C(x))” podríamos usar la expresión equivalente: “Miguel es calvo, José es calvo, Agustín, Vicente e Ignacio son calvos”; es decir: (x) C(x)  (C(m)  C(j)  C(a)  C(v)  C(i)) De manera análoga podemos tratar al cuantificador existencial: Suponiendo el mismo universo finito de individuos, si decimos que alguno de ellos es calvo, sin especificar quién (x Cx), ello es equivalente a afirmar que uno u otro lo es: (x) C(x)  (C(m)  C(j)  C(a)  C(v)  C(i)) Debe quedarnos claro que este tipo de equivalencia, aunque es muy ilustrativa, sólo es válida cuando contamos con un universo finito de individuos. Sin embargo la lógica que estamos estudiando tiene su mayo aplicación en contextos en los que se trata con un número infinito de objetos en el universo de discurso. Una vez dadas estas indicaciones de traducción de los juicios categóricos de la lógica tradicional podemos pasar a explicar un par de ejemplos muy ilustrativos. Empecemos con el ejemplo que dio pie a estas explicaciones: Cada diputado es amigo de alguno de los adversarios del Presidente. Puede interpretarse como un juicio de tipo A (universal afirmativo): todos los diputados son amigos de alguno de los adversarios del Presidente. Sin embargo aquí encontramos un problema: ¿en la proposición se dice que todos los diputados están en relación de amistad con la misma persona o se dice que cada uno de los diputados por separado está en la relación de amistad con alguna persona? Es aquí donde las herramientas de análisis de la lógica cuantificacional nos ayudan a evitar equívocos. Lo primero que tenemos que hacer es especificar el vocabulario que utilizaremos: D(x): x es diputado A(x, y): x es amigo de y C(x, y): x es adversario de y e: el Presidente En esta formulación del vocabulario las variables x y y no se refieren a nada en particular. Sin embargo, la „e‟ es una constante que se refiere al Presidente; es decir, a una persona concreta, no a cualquier Presidente sino a este Presidente. La simbolización adecuada de nuestro enunciado sería entonces: (x) (D(x)  (y) (A(x, y)  C(y, e)))

Que podemos leer: para cualquier objeto x, si éste es diputado entonces hay algo que es amigo suyo y es adversario del Presidente. Hay que ver que en esta traducción se salva la interpretación errónea que dice que todos los diputados son amigos del mismo individuo que es adversario del Presidente. La traducción es fiel también al hecho de que no se está diciendo en el enunciado exactamente cuántos adversarios tiene el Presidente. A propósito de este último ejemplo hablaremos a continuación de una distinción que es importante hacer. Nos encontramos con un ejemplo en el que un cuantificador se halla “incrustado” dentro del alcance41 de otro distinto. Veremos qué diferencia existe entre las siguientes expresiones: (i) (x) ((y) A(y, x)) (ii) (x) ((y) A(y, x)) La primera afirma que para todos hay algo con lo que se guarda la relación A. Si interpretamos „A(y, x)‟ como “x ama a y”. La expresión (i) dice que para todos hay alguien que los ama. Mientras la expresión de abajo afirma que hay alguien que es amado por todos. A continuación ilustraremos la diferencia existente recurriendo al supuesto del universo finito de individuos. Supongamos que en nuestro universo sólo existen cuatro individuos: Ana (a), Luisa (u), Pedro (e) y Pablo (o). Así sustituyendo en primer lugar el cuantificador universal por una conjunción, (i) equivaldría a: (i‟) x (A(a, x))  x (A(u, x))  x (A(e, x))  x (A(o, x)) Luego, sustituyendo los existenciales: (i‟) (A(a, a)  A(a, u)  A(a, e)  A(a, o))  (A(u, a)  A(u, u)  A(u, e)  A(u, o))  (A(e, a)  A(e, u)  A(e,e)  A(e, o))  (A(o, a)  A(o, u)  A(o, e)  A(o, o)) Mientras que después de ambas sustituciones (ii) luciría así: (ii‟) (A(a, a)  A(u, a)  A(e, a)  A(o, a))  (A(a, u)  A(u, u)  A(e, u)  A(o, u))  (A(a, e)  A(u, e)  A(e,e)  A(o, e))  (A(a, o)  A(u, o)  A(e, o)  A(o, o)) Veamos un par sencillos de ejemplos más: Hay muchos libros interesantes en la librería de la esquina Vocabulario: 41

Más adelante hablaremos de la cuestión del alcance de los cuantificadores de manera formal.

L(x): x es libro T(y): y es interesante P(z, w): z está en w o bien z pertenece a w g: la librería de la esquina Ahora la librería de la esquina toma el papel del objeto determinado de nuestro enunciado. Éste no habla de las librerías en general ni de una librería indeterminada sino de la librería de la esquina. La simbolización correcta para esta elección del vocabulario sería: (x) ((L(x)  T(x))  P(x, g)) Que dice: “hay algo que tiene las siguientes propiedades: ser un libro interesante que está en la librería de la esquina”. Ejercicio: Traduzca al lenguaje formal: 1. No todo lo que brilla es oro. 2. Hay personas que molestan a todo el mundo. 3. Algunos médicos son negligentes. 4. Cualquiera que sea amigo de Pedro es amigo mío. 5. Ninguno de los deudores del Banco Central tiene alguna oportunidad de obtener un crédito. 6. Si los hermanos de Jorge lo ayudan, entonces éste terminará el proyecto. 7. Todos los triángulos equiláteros son triángulos isósceles pero no todos los triángulos isósceles son equiláteros. Todos los triángulos equiángulos son equiláteros. Por lo tanto algunos triángulos isósceles no son equiángulos. 8. Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formará dos ángulos rectos o bien dos ángulos iguales a dos ángulos rectos. 9. En cualquier triángulo, la suma de cualquiera de los dos ángulos es menor que dos ángulos rectos. 10. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la base es mayor en uno que en otro, entonces el ángulo comprendido es también mayor en un que en el otro.

11. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí. 12. Para cualesquiera conjuntos A y B se cumple lo siguiente: A es subconjunto de B si y sólo si todo elemento de A es elemento de B. 13. Para cualesquiera números reales a y b se cumple que o bien a es mayor que b, o b es mayor que a o son iguales. 14. Para cada número real y existe un número entero positivo x tal que x es mayor que y. 15. Si una relación binaria R sobre el conjunto A es reflexiva, antisimétrica y transitiva, entonces el conjunto está parcialmente ordenado. Los últimos ejemplos ya insinúan la importancia que tiene para la lógica y las matemáticas extender el lenguaje para poder hablar de relaciones. Ese es el avance decisivo de la lógica cuantificacional respecto a la lógica de clases. Daremos un ejemplo más: el concepto de límite de una función del cálculo diferencial en matemáticas. Intuitivamente hablando, podríamos definir el concepto de límite de una función de la siguiente manera (observe la figura): se dice que una función tiende hacia un límite L, cuando, aproximándonos gradualmente a un número p en el dominio de la función, el valor de la función se aproxima mucho a L.

Mientras más nos acerquemos en el eje x al número p, f(x) estará más próximo al número L. Decimos entonces que f(x) tiende a L cuando x tiende (o se acerca a p).

Aunque la definición intuitiva ilustra el concepto de límite de una función en este caso, un rigor expresivo es preferible cuando se avanza con más profundidad en estos estudios. Así, para definir rigurosamente conceptos tan ambiguos como “tiende a”, “entre más se acerque a”; utilizamos las herramientas de la lógica cuantificacional:  (>0   [>0  x ([0 < |x – p| < ]  |f(x) – L| < )) La capacidad de expresar relaciones de dos o más argumentos le da gran flexibilidad a la lógica cuantificacional para representar en un lenguaje preciso las relaciones lógicas entre enunciados mucho más complejos que los que habíamos venido estudiando. De hecho puede verse que la lógica cuantificacional se vale de las herramientas de la lógica proposicional, aunque añadiendo los términos predicativos o relacionales y los cuantificadores. En el siguiente apartado explicaremos brevemente la semántica de la lógica cuantificacional; es decir, cómo interpretamos el lenguaje de la lógica de primer orden. Después podremos hablar también brevemente del problema de la validez de formulas de la lógica de primer orden y de la noción de consecuencia lógica. Puede anticiparse que estos temas serán mucho más complicados que la relativa facilidad que ofrecían en lógica proposicional.

Semántica de la lógica cuantificacional Antes de explicar rigurosamente la interpretación que le corresponde al lenguaje que introdujimos en el apartado anterior, veremos su definición como lenguaje formal. A nuestro lenguaje formal lo llamaremos lenguaje formal .

Lenguaje formal Elementos del lenguaje formal Variables individuales42 Letras o variables relacionales43

Símbolos del lenguaje formal x, y, z… v0, v1, …, vn, vn+1, … Rm (para m número de

42

Es frecuente que en casos sencillos, donde se requieren pocas variables solamente se usen las últimas letras del alfabeto. En los contextos donde son necesarias un gran número de variables se utiliza una sola letra para las variables y subíndices, pasa algo análogo con las constantes, las letras relacionales y las letras funcionales. 43

O letras de predicado. Suele usarse, indistintamente, cualquier letra mayúscula del alfabeto. Si es necesario usar un gran número de este tipo de variables se sigue el criterio de los subíndices de la nota anterior. El superíndice indica el número de argumentos de la letra relacional. En ejemplos concretos no es necesario indicarlo pues la misma escritura lo muestra. Por ejemplo,

Letras o variables funcionales44 Constantes individuales45 Conectivos proposicionales Cuantificadores Símbolo de identidad Símbolos auxiliares (paréntesis, subíndices y superíndices)

argumentos) fn (para n número de argumentos) a, b, c, d, … c0, c1, …, cn, cn+1, … , , , ,  ,  = (, ), 0, 1, …, n, n+1, …, 1, 2, …, m, m+1, …

A continuación, tal como lo hicimos para la lógica proposicional, presentaremos una definición recursiva de lo que es ser un término del lenguaje formal . i) Las variables individuales son términos de . ii) Las constantes son términos de . iii) Si fn es una variable funcional y t1, t2, …, tn son términos de ; entonces f(t1, t2, …, tn) es un término de . iv) Nada más es un término de . A continuación definimos las fórmulas del lenguaje formal : *) Sean t1, t2, …, tk, términos, Pn una letra relacional; entonces (t1= t2), P(t1, t2, …, tn) son fórmulas atómicas de . Las fórmulas atómicas son fórmulas de . **) Sean  y  fórmulas cualesquiera. Entonces, (), (), (), (), () son fórmulas de . ***) Sea  una fórmula de son fórmulas de .

y vi una variable individual; entonces (vi) y (vi )

****) Solamente las expresiones descritas en (*), (**) y (***) son fórmulas de . cuando simbolicemos la relación “… ama a …” no es necesario escribir „A2(x,y)‟, sino, solamente „A(x,y)‟. 44

Sigue los mismos criterios que las letras relacionales para los subíndices y superíndices. Cuando se requieren pocas letras funcionales se suele utilizar letras minúsculas de la parte media del alfabeto: f, g, h, etc. 45

Se usan letras minúsculas del comienzo del alfabeto, para los subíndices síganse los criterios de la nota 3.

Interpretación del lenguaje formal . Ahora es momento de hablar de la interpretación de nuestro lenguaje formal. En la lógica proposicional las variables proposicionales corrían sobre un universo de proposiciones; es decir, interpretábamos las variables como proposiciones que son verdaderas o falsas. Esa cualidad de ser verdaderas o falsas reducía el dominio de interpretación al conjunto {T, }. Sin embargo ahora nuestras variables corren sobre conjuntos distintos. Comencemos con las variables individuales. Para ser relevante desde un punto de vista lógico requerimos de un conjunto no vacío de individuos, llamémoslo A, sobre el que interpretaremos las variables individuales. Dependiendo el contexto en que nos ubiquemos será uno u otro ese conjunto A, al que llamaremos dominio de interpretación o universo de discurso. Si estuviéramos definiendo relaciones entre números reales en el análisis matemático, nuestro conjunto A será el conjunto de los números reales. Si estuviéramos hablando acerca de las relaciones entre las personas de un determinado país, el universo de discurso será el de los habitantes del país en cuestión, es decir, nuestro conjunto A será el conjunto cuyos elementos son cada uno de los seres humanos que habitan el país. Las variables individuales representan pues a cualquiera de los objetos en el universo de discurso; pero a ninguno en específico, solamente los utilizamos para indicar los lugares que pueden “llenar” los objetos del dominio. Ejercicio. Considere los siguientes argumentos, simbolícelos y proponga un universo de discurso pertinente para cada caso. 1. Todos los canes domésticos son leales, pero algunos canes no son domésticos; luego, no todos los canes son leales. 2. Para cualquier número natural hay al menos uno que es mayor que él, pero no hay un número natural que sea mayor que todos. Luego, todos los números naturales son menores que algún otro número natural. 3. Todos los deportistas admiran a otros deportistas. Los artistas admiran a aquellos deportistas que son admirados por otros deportistas. Las constantes individuales. Las constantes individuales, como las variables, deben interpretarse en el dominio de interpretación pertinente. La diferencia estriba en que las constantes son nombres de un objeto específico del dominio y de ningún otro. Es decir, una interpretación debe asignar a cada constante un objeto. Puede ser que varias constantes nombren el mismo objeto pero no

puede suceder que una misma constante nombre a veces un objeto y a veces otro. Si nuestro dominio de interpretación fuera el conjunto de los números naturales, cada numeral46 representa a un número. De ahí que sea frecuente el error de confundir al número dos con el símbolo „2‟. El „2‟ es solamente un nombre del número dos “real”. Ejercicio. Considere los siguientes argumentos y simbolícelos; proponga un universo de discurso pertinente para cada caso y ponga especial atención en los casos en los que es necesario recurrir a constantes. 1. Algunos jóvenes le simpatizan al Sr. Wilson y algunos jóvenes no le simpatizan a la Sra. Wilson; por lo tanto el Sr. Wilson ama a la Sra. Wilson. 2. Hay al menos una persona que estima a todos los conocidos de Luis. 3. Todos los amigos de mi hermano son inteligentes. 4. Algunos átomos de hidrógeno son inestables. 5. El helio es más ligero que todos los elementos; a excepción del hidrógeno. Letras relacionales o de predicado. Aquí comienzan a complicarse las cosas, aunque con el lenguaje de la teoría de conjuntos será más sencillo explicar cómo interpretamos las letras relacionales. Supongamos que estamos hablando de personas y de la relación de amistad que media entre ellas. Si nos circunscribimos a los habitantes de la cierta ciudad, sabremos cuál es nuestro universo de discurso. Si queremos simbolizar la expresión “Todos los habitantes de la ciudad que son del sexo masculino tienen al menos un amigo” de la siguiente manera: x [Mx  y (A(x,y))] Donde M(x): x es de sexo masculino; A(x,y): x es amigo de y. Se ve claramente que como hemos estipulado que nuestro universo de discurso para este caso son los habitantes (humanos) de una determinada ciudad, no es necesario especificar en el antecedente del condicional que x es humano o que x es habitante de la ciudad. ¿Cuál es la interpretación correcta para las letras relacionales M1 y A2? Sea el conjunto de los habitantes de la ciudad de la que estamos hablando. Podemos decir que la interpretación que le corresponde al símbolo M, en este caso es el

46

Es decir, el símbolo escrito que se usa para representar un número.

conjunto de los seres humanos, habitantes de la ciudad, de sexo masculino. La interpretación que le corresponde a A es un subconjunto del producto cartesiano  ; específicamente aquel que contiene a los pares ordenados de personas de los que es cierto que el primero es amigo del segundo. Símbolo M1 A2

Interpretación  , tal que = {x | x es del sexo masculino}   , tal que = {x,y  | x es amigo de y}

Así, en general, lo que corresponde en la realidad, en cada contexto, como interpretación a una letra relacional es un conjunto de n-adas ordenas; dependiendo ello de la aridad de la letra relacional. Letras funcionales. En este libro no nos ocuparemos a detalle de las letras funcionales, pues, para simplificar la exposición hemos decidido limitar los términos que usaremos a las variables y las constantes. La interpretación conjuntista varía un poco respecto a la interpretación de las variables relacionales. Para comprender por qué explicaremos en términos intuitivos lo que en este contexto entenderemos por una función. Habíamos definido antes a las funciones como un tipo específico de relación, donde a cada elemento del dominio se le asigna un y sólo un elemento en el rango. A ese elemento lo llamábamos valor de la función. Ahora pensemos un poco acerca de la siguiente expresión: “El perro de Luis está triste”. „El perro de Luis‟ es un término que tiene una función análoga a la de un nombre. Es decir, el perro mencionado es uno, podría llamarse Fido, pero ciertamente, si sólo hay un perro de Luis, la expresión „El perro de Luis‟ hace las veces de un nombre. Sin embargo, en lugar de utilizar una constante para simbolizar „El perro de Luis‟ podríamos utilizar una expresión del tipo „El perro de x‟; donde dependiendo qué nombre pongamos en el lugar de la x, tendremos que nuestra expresión denota, posiblemente, un objeto distinto: „El perro de Juan‟= Solovino, „El perro de Hans‟= Parches, „El perro de Luis‟= Fido. Así estas expresiones son como las funciones, asignan un solo elemento como valor dependiendo del objeto que ocupe el lugar del argumento. Hasta aquí basta para saber sobre qué universo de cosas vamos a interpretar nuestros distintos tipos de variables.

Satisfacción y verdad Así, una interpretación para un lenguaje cuantificacional o de primer orden consiste en un conjunto no vacío (Universo de interpretación) y una función de

interpretación. En lógica matemática se da una definición rigurosa de lo que es una función de interpretación en términos de lo que se ha explicado en el apartado anterior. Para nuestros propósitos baste decir que una función de interpretación asigna a las letras relacionales, funcionales y constantes las relaciones, términos funcionales y objetos del dominio que les corresponden según la interpretación. Por ejemplo, si nuestro lenguaje constase de la única letra relacional M, y de las constantes del conjunto A={I, II, III, IV , V, VI}; podríamos decir que si elegimos cierta interpretación en la que el universo de interpretación será el conjunto no vacío de número naturales B={1, 2, 3, 4, 5, 6} y la función de interpretación le asigna a cada uno de los elementos de A un elemento de B de la manera acostumbrada (es decir a I le asigna el número 1, a IV el 4, etcétera); y a M le asigna el conjunto de pares ordenados C={1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6, 3,4, 3,5, 3,6, 4,5, 4,6, 5,6}; entonces podríamos decir que a M la estamos interpretando como la relación “menor que”. A continuación caracterizaremos dos nociones que son muy importantes en la lógica cuantificacional. Veámoslo con algunos ejemplos. Habíamos quedado en considerar el conjunto de símbolo constantes A={I, II, III, IV, V, VI} y al símbolo o letra relacional M. También, por supuesto, consideraremos variables xi. Considerando la interpretación mencionada arriba, escribamos a continuación algunas fórmulas de nuestro lenguaje: a) M(x2, x8)47 b) x2=x2 c) x3=x1 d) (x1=x2)  ( x1=x2) e) M(x1, x1) f) M(V, VI) g) M(V, III) h) III = II Concentrémonos primero en h). Sabemos que debemos interpretar „III‟ como 3 y „II‟ como 2. Bajo esta interpretación h) dice algo falso: 3 no es idéntico a 2. Vayamos con g): „M(V, III)‟ que dice bajo nuestra interpretación que 5 es menor 47

Atención: los subíndices en las variables no tienen que ver con los objetos de nuestro dominio de interpretación B que es un conjunto de número naturales. Los subíndices aquí sólo tienen la función de diferenciar entre variables distintas. Un poco más adelante se verá a razón de ser de esta elección en la notación en lugar de la más habitual de „M(x,y)‟, por ejemplo.

que 3. También falso. En cambio f) dice algo verdadero. ¿Qué pasa con e)? „M(x1, x1)‟ dice de algún objeto del dominio que es menor que sí mismo (pues usa la misma variable: „x1‟). No nos dice cuál objeto tiene esta singular propiedad, pues en la fórmula se utiliza una variable. Sin embargo, teniendo en cuenta que esta propiedad no la tiene ningún número natural y siendo nuestro universo de interpretación un subconjunto de los números naturales (B={1, 2, 3, 4, 5, 6}) sabemos que es también una fórmula que dice algo falso. Pasemos ahora a d): dice que el objeto designado por x1 es idéntico al designado por la variable x2 o no lo es. Independientemente de que objetos de nuestro dominio sean designados por las variables sabemos que d) dice algo verdadero de cualquier objeto: o tiene la propiedad o no la tiene. En cambio c) dice que el objeto designado por x3 es idéntico al designado por x1. Recordemos que el hecho de que se usen variables distintas no implica necesariamente que denoten objetos distintos. Pues al ser variables, cada una puede tomarse por cualquier objeto del dominio. Por supuesto que si le asignamos a x 1 un objeto determinado del dominio (por ejemplo el número 6), deberemos mantener esa interpretación todo el tiempo. Así, la fórmula c) será “verdadera” o “falsa” según el objeto que le asignemos a las variables. Por supuesto, hay muchas asignaciones posibles. Por ello, en estos casos no se habla de verdad o falsedad sino sólo de satisfacción. Ciertas asignaciones satisfacen ciertas fórmulas. Ese es el caso de a) y c). Nótese que para el resto de ejemplos es irrelevante la asignación de objetos que hagamos para las variables. Pero antes de continuar ¿cómo definimos formalmente lo que es una asignación? Nos hemos valido de la notación de variables con subíndices para poder definir formalmente lo que es una asignación. Una asignación será una sucesión de elementos de nuestro dominio de interpretación. Una sucesión es una función de los números naturales en los elementos del domino de interpretación. Sencillamente, una asignación es una lista (infinita si se quiere) de elementos de nuestro dominio. No importa que sea finito el número de elementos del dominio. Una asignación puede repetir cuantas veces se quiera un elemento en distintas posiciones. Ejemplos: Asignación S1: 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, ….48 S1 le asigna a x1 el 2; a x2 el 3; a x4, x5 y x6 el 5, etcétera. Asignación S2: 1, 1, 1, ……. xk=1 para toda k>3. 48

Aquí los puntos suspensivos sólo indican que la sucesión sigue de manera no determinada.

S2 le asigna a todas las variables xi el 1. Asignación S3: 4, 6, 1, 3, 4, 3, 3, 2, 3, … Pregunta: ¿S3 satisface las fórmulas a) y c)? Consideremos un ejemplo más. Sea nuestro dominio de interpretación el conjunto H={Pedro, Juan, Luis, Javier}. Consideramos que únicamente Juan y Luis se conocen. Consideremos la letra relacional „C‟. Interpretaremos „C(x, y)‟ como x conoce a y. Dadas las fórmulas: m) C(x1, x2) n) C(x3, x4) y las asignaciones S1: Luis, Pedro, Juan, Luis, Javier…; S2: Javier, Javier, Luis, Pedro, Pedro… Podemos ver que S1 no satisface m) pero sí satisface n). Mientras que S 2 satisface m) (siempre que consideremos que uno se conoce a sí mismo) y no satisface n). A partir de la noción de satisfacción podemos definir la noción de verdad en la lógica cuantificacional. Diremos que una fórmula  es verdadera bajo una interpretación si es satisfecha por cualquier asignación. En ese caso diremos que es un modelo de . En consecuencia, la fórmula  no será verdadera si existe cuando menos una asignación que no satisface la fórmula. Ello no significa que la fórmula sea falsa. La fórmula  es falsa en si y sólo si  es verdadera en . Si una fórmula no es verdadera, pero tampoco es falsa decimos simplemente que es satisfacible. Ejercicio: ¿Cuáles de las fórmulas a)-h) son verdaderas, falsas o satisfacibles bajo la interpretación ? Validez Universal A partir de estas consideraciones es sencillo formular la noción de validez universal. Una fórmula  es universalmente válida si y sólo si es verdadera bajo cualquier interpretación, para cualquier universo de interpretación. Dicho de otra forma: la fórmula será válida si es verdadera de todos los objetos de cualquier universo que escojamos bajo cualquier interpretación de sus letras relacionales y funcionales.

A las fórmulas que son universalmente válidas se les llama también verdades lógicas. Ya se habían estudiado verdades lógicas de la lógica proposicional. A aquellas las llamábamos tautologías. Hay más verdades lógicas además de las tautologías. En el capítulo dedicado a la lógica proposicional se estudiaron métodos mecánicos o algorítmicos para decidir si una fórmula era tautología o no. A continuación veremos que en lógica cuantificacional no es tan fácil dar con esos métodos y que, de hecho, no existe un método decisorio (es decir, mecánico o algorítmico) para la validez en la lógica cuantificacional. Exploraremos brevemente estos métodos en la parte siguiente.

Métodos decisorios y métodos de prueba En el capítulo dedicado a la lógica proposicional estudiamos brevemente métodos decisorios para determinar la validez, consistencia o inconsistencia de esquemas proposicionales. Un método decisorio es un método finito y mecánico que permite decidir si un objeto dado pertenece a una clase dada. En nuestro caso nuestros objetos de estudio eran los esquemas proposicionales. De cualquier esquema S podía hacerse la pregunta de si pertenecía a la clase de los esquemas consistentes o a la de los esquemas válidos o a la de las consecuencias lógicas de un conjunto de fórmulas . El procedimiento en cuestión eran las tablas de verdad o el análisis veritativo funcional de Quine. Éstos eran métodos decisorios en el sentido que acabamos de explicar: eran métodos con un número finito de pasos; era un procedimiento mecánico, es decir, que requería para su realización únicamente de seguir una serie de instrucciones precisas; y por último, permitían responder afirmativa o negativamente a la pregunta en cuestión: “¿Es S un esquema válido?”, “¿Es S consecuencia lógica de ?”, etcétera. También se dice de estos métodos que son métodos efectivos. Por otra parte, estudiamos posteriormente métodos de prueba para la lógica proposicional. Tales métodos trataban de derivar una fórmula o esquema de un conjunto de fórmulas o esquemas. Sin embargo hay una distinción fundamental entre un procedimiento decisorio y uno de prueba. El procedimiento de prueba, de derivación, únicamente nos permite obtener la respuesta afirmativa a la pregunta de si un esquema S se sigue de un conjunto  de fórmulas. Efectivamente, cuando el esquema es derivado u obtenido por medio de las reglas permitidas, se ha probado o demostrado que es consecuencia del conjunto mencionado. Sin embargo, si el esquema no se siguiera del conjunto el procedimiento de prueba no nos permitiría saberlo sin más. Por ello en lógica proposicional hacemos uso de los procedimientos decisorios (análisis veritativo

funcional) antes de intentar una prueba de deducción, como dictaría la prudencia. En lógica cuantificacional las cosas no son tan sencillas. En 1936 Alonzo Church y Alan Turing demostraron que es imposible encontrar un procedimiento decisorio para los esquemas cuantificacionales en general. Dicha demostración excede los alcances del presente libro introductorio, pues pertenece a territorios avanzados de la lógica matemática. Nos limitaremos a exponer brevemente las alternativas que quedan al no existir los procedimientos efectivos a la manera que los tenemos en lógica proposicional. La imposibilidad de dar con un método efectivo para cualquier esquema cuantificacional no implica que no haya algunos esquemas cuantificacionales para los que no haya método efectivo. Sí los hay para una parte de los esquemas cuantificacionales y los expondremos a continuación.

Equivalencias útiles Las siguientes equivalencias son ciertas, el lector debe convencerse de ello. Si es necesario recurra a la interpretación que le haga ver las cosas con claridad: x (Fx  Gx)  (x Fx)  (x Gx) x (Fx  Gx)  (x Fx)  (x Gx) De igual forma las siguientes implicaciones: x (Fx  Gx)  (x Fx)  (x Gx) (x Fx)  (x Gx)  x (Fx  Gx) Variables libres y variables ligadas Antes definamos lo que es el alcance de un cuantificador. La idea es sencilla; decir que algo está dentro del alcance de un cuantificador es decir que está comprendido en la fórmula cuyo elemento principal es el cuantificador en cuestión. Ejemplo: (i)

(x (Gx  Fxy))  z Tz

En este caso la fórmula „Gx  Fxy‟ está dentro del alcance del cuantificador universal; el resto de la fórmula cae fuera de su alcance puesto que el conectivo

„‟ es el conectivo principal. „Tz‟ cae bajo el alcance del cuantificador existencial „z‟. Si moviéramos la disposición de los paréntesis en (i), para obtener: (ii) x ((Gx  Fxy)  z Tz) Tendremos que la fórmula ‘(Gx  Fxy)  z Tz’ cae toda bajo el alcance del cuantificador universal. Formalmente, diremos que si en ‘vi’, vi es una variable cualquiera y  es una fórmula cualquiera, entonces  es el alcance del cuantificador . Ejercicios: diga cuáles son los alcances da cada uno de los cuantificadores que aparecen en las siguientes fórmulas. a) y (z (Gzy  Hyz)) b) y[(z (Fz  Jz)) x (Hx)] c) y(z (Fy  Jz)) x (Hx) d) x (Dxy  Rzx)  x(y Uxy) Decimos que una aparición de una variable vi está ligada en una fórmula si y sólo si está inmediatamente después de un cuantificador (‘vi’ o ‘vi’) de la fórmula o bien está dentro del alcance de un cuantificador que tiene a vi como su variable (es su variable cuando la variable aparece a lado del cuantificador). Ejemplos de variables ligadas: e) x (Gy) después de .

en este caso la „x‟ está ligada pues aparece inmediatamente

f) z (Fxy  Rzy) en este caso la variable „z‟ aparece ligada en dos ocasiones: cuando aparece como variable del cuantificador  y cuando aparece en la fórmula „(Fxy  Rzy)‟ que está en el alcance de z. g) y (Gyx)  z (Hyz) las primeras dos apariciones de „y‟ están ligadas, la tercera no lo está. La variable „x‟ no está ligada; la variable „z‟ aparece ligada en dos ocasiones. Si una variable no está ligada, decimos que está libre. Si en una fórmula no hay ninguna variable libre decimos que la fórmula está cerrada. Si la fórmula no está cerrada decimos que está abierta. Más equivalencias.

Ponga atención en las siguientes equivalencias y en las restricciones que se hacen acerca de las variables. Sean  y  fórmulas cualesquiera, entonces: I)   x  x (  ) si x no aparece libre en  II)   x  x (  ) si x no aparece libre en  III)   x  x (  ) si x no aparece libre en  IV)   x  x (  ) si x no aparece libre en  V)   x  x (  ) si x no aparece libre en  VI)   x  x (  ) si x no aparece libre en  VII) x    x () si x no aparece libre en  VIII) x    x (  ) si x no aparece libre en  Fórmulas prenexas Las equivalencias citadas arriba son de mucha utilidad a la hora de llevar los cuantificadores hacia el exterior de una fórmula o a su interior. Cuando sacamos todos los cuantificadores de una fórmula y los colocamos en una hilera junto a la cual queda solamente un esquema proposicional con letras predicativas y variables libres tenemos lo que se llama una fórmula o un esquema prenexo. Todas las fórmulas de nuestro lenguaje tienen un equivalente en forma prenexa. En general una fórmula prenexa tiene la siguiente estructura: Q1v1 Q2v2…Qnvn Donde Qk  {, } y v1, v2, …, vn son variables y  es una fórmula libre de cuantificadores. Veamos algunos ejemplos de cómo pasar de una fórmula cualquiera a su forma prenexa. A) x [(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  x (Gx  Mx) En este ejemplo podemos notar una característica que a menudo va a ser necesario resolver antes de pasar a utilizar las equivalencias I-VIII para prenexar una fórmula. Podemos encontrarnos, como en este caso, que la misma variable es utilizada en varias partes de la fórmula. En nuestro ejemplo siempre aparece

la variable x, sin embargo los tres cuantificadores universales tienen alcances distintos (ninguno afecta a otro); por ello estamos en la libertad de hacer cambio de variables: A’) x [(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  z (Gz  Mz) Ahora procedemos con nuestras equivalencias I-VIII: A’’) z (x [(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz)) por VI A’’’) z x ([(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz)) por VII Así, la forma prenexa de A) resultó ser: z x ([(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz)) B) xFx  (xGx  xHx) En este caso no sólo cambiamos variables sino que eliminamos el conectivo „‟ dado que no existe una equivalencia correspondiente para el bicondicional que sirva para sacar los cuantificadores: B’) xFx  (yGy zHz) B’’) xFx  ([yGyzHz]  [zHzyGy]) Procedemos ahora con las equivalencias I-VIII: B’’’) x (Fx  ([yGyzHz]  [zHzyGy])) por VII B’’’’) x (Fx  (z[yGyHz]  y[zHzGy])) por VI, dos veces B’’’’’) x (Fx  (zy[GyHz]  yz[HzGy])) por VII, dos veces B’’’’’’) x (Fx  (zy[GyHz]  wu[HuGw])) nuevo cambio de variables Después de algunos pasos más obtenemos: B*) xzwyu (Fx  [(GyHz)  (Hu Gw)]) El ejemplo A) nos servirá como pauta para presentar un método decisorio para la validez de cierto tipo de fórmulas de la lógica cuantificacional. Veremos qué sucede respecto a la validez de una fórmula abierta. La validez de una fórmula abierta equivale a la validez de la misma fórmula bajo cierre universal. Esto quiere decir que dada una fórmula cualquiera con una o más variables libres, al poner al frente de la fórmula tantos cuantificadores universales como distintas

variables libres tenga la fórmula, entonces si la fórmula era válida también lo es su correspondiente fórmula cerrada. Veamos un ejemplo: x (Gx  Hyx) Ésta es una fórmula abierta, su cierre universal es: yx (Gx  Hyx) Preguntarnos por la validez de la primera fórmula es preguntarnos si será verdadero para cualquier interpretación de G y H que dado un objeto que sea G entonces este estará en la relación H con otro objeto y, cualquiera que este sea. Esto es lo mismo que comenzar preguntándonos si para cualquier interpretación de G y H entonces dados dos objetos cualesquiera si uno es G entonces estará en la relación H con el otro. La fórmula es un ejemplo de una fórmula no válida. Lo anterior nos dice que cuando nos preguntamos acerca de la validez de una fórmula cualquiera que está antecedida por un cuantificador universal, podemos eliminar éste y preguntarnos por la validez de la fórmula sin el citado cuantificador. Veamos un ejemplo en el que la fórmula en cuestión es válida, tomemos el anterior ejemplo A). El ejemplo A) era la formalización del silogismo Barbara: x [(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  x (Gx  Mx) Habíamos obtenido su forma prenexa que era: z x ([(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz)) Si atendemos a lo que acabábamos de decir acerca de los cuantificadores universales al inicio de la fórmula respecto a la validez, deberemos admitir que la validez de A) es equivalente a la validez de: P)x ([(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz)) La fórmula recién citada es una fórmula existencial. A las fórmulas como éstas, que carecen de cuantificadores universales les llamamos existenciales puros. Una fórmula en general es válida si su negación es inconsistente, es decir, si su negación es falsa bajo cualquier interpretación. La negación de una fórmula existencial es una universal, la negación de P) es: x ([(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz))  x ([(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz))

P’) x ([(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz)) ¿Podríamos probar que P‟) es inconsistente? Como P‟) dice que no hay objeto alguno x que cumpla con lo establecido en la fórmula ‘*(Gx  Hx)  (Hx  Mx)]  (Gz  Mz)’, bastará, para mostrar su inconsistencia que hay al menos un objeto que cumple con ello. La técnica que hay que usar es la siguiente: vayamos nuevamente a P) que es la fórmula cuya validez queremos demostrar. Ahora tómese la variable libre y sustitúyesela en lugar de todas las variables ligadas, eliminando el cuantificador que queda: [(Gz  Hz)  (Hz  Mz)]  (Gz  Mz) Este resultado es válido veritativo funcionalmente. Por tanto la fórmula inicial es válida; es una verdad lógica. Éste método es decisorio pues la fórmula a la que se lo apliquemos será válida sólo si el resultado de sustituir las variables ligadas por la variable libre en todas las instancias es válido veritativo funcionalmente. Sin embargo este método sólo funciona para los existenciales puros, es decir, para cuando tengamos una fórmula que en su forma prenexa tenga únicamente cuantificadores existenciales; o bien, si antes de los cuantificadores existenciales hay una hilera de universales que pueda ser eliminada por los criterios ya mencionados. Si tuviéramos más de una variable libre lo que hay que hacer es hacer todas las sustituciones que sean necesarias y las instancias ponerlas en disyunción. Por ejemplo: Fórmula:yxz ((Gzy  Gzx) Gxy) Existencial puro:z ((Gzy  Gzx) Gxy) Sustitución de las variables ligadas del existencial puro por las variables libres: ((Gyy  Gyx) Gxy)  ((Gxy  Gxx) Gxy) En este caso, el resultado no es válido veritativo funcionalmente. Por tanto la fórmula no es verdad lógica. Como mencionábamos, éste método sólo funciona para los siguientes casos: a) Cuando la forma prenexa sólo tiene cuantificadores universales: en este caso la validez de la fórmula se reduce a la validez veritativo funcional de la matriz de la fórmula prenexada.

b) Cuando sólo quedan cuantificadores existenciales con alguna variable libre: por el método recién citado de sustituir las variables ligadas por las libres y verificar la validez veritativo funcional del resultado. c) Cuando queda en la fórmula prenexada una hilera de n cuantificadores universales seguida por una hilera de cuantificadores existenciales: por el método descrito, eliminando los cuantificadores universales. d) Cuando sólo quedan cuantificadores existenciales sin variables libres: ponemos una letra arbitraria en lugar de las variables de la matriz y pasamos a verificar la validez veritativo funcional. Como puede intuirse, basta con que se nos presente una fórmula como ‘yz ((Hzy  Hyz)  Hzz)’ para que el método ya no sea aplicable. Sin embargo, que no existan métodos decisorios para cualquier tipo de fórmula no significa que no podamos saber si una fórmula dada es válida o no. Contamos con métodos de prueba que nos permiten demostrar que una fórmula es válida de manera indirecta. También podremos verificar si una fórmula dada se sigue de un conjunto de fórmulas. La diferencia con los métodos decisorios, como ya se había mencionado, es que los métodos de prueba sólo nos permiten llegar a una respuesta afirmativa en la medida que conseguimos llegar al resultado deseado. Pero de no encontrarlo no se sigue que el método nos hubiera dado una respuesta negativa sino simplemente que no la hemos encontrado. Método indirecto: reducción al absurdo. A continuación expondremos un breve método de prueba que nos ayudará a detectar si una fórmula cuantificacional el universalmente válida o si una fórmula se sigue de un conjunto dado de fórmulas. Antes de presentar el método presentaremos importantes reglas.

Instanciación Universal. 49 Empecemos por introducir notación. Sea  una fórmula cualquiera, denotamos con [x/c] al resultado de sustituir todas las apariciones libres de la variable x en la fórmula  por c (c puede ser una constante individual o una variable individual). 49

Las reglas que expondremos a continuación también se conocen como: Especificación del Universal (EU), Especificación del Existencial (EE), Introducción del Existencial (IE) e Introducción del Universal (IU). Con estos nombres se usarán en el apéndice II.

La regla de instanciación universal (IU)50 nos permite derivar de x() una fórmula [x/c]. Esta derivación descansa en el hecho de que x() implica [x/c]. Dicho de manera intuitiva, esta regla nos dice que de un caso universal podemos inferir válidamente un caso particular. Es decir, si sabemos que todos tienen la propiedad , entonces c la tiene. Ejemplos: Premisa: x (Fx  Gx  Tx)

Por demostrar: Fa  Ga  Ta

1. x (Fx  Gx  Tx) 2. Fa  Ga  Ta

por IU de 1: x (Fx  Gx  Tx) [x/a]

Premisas: y Ryc, x Fx

Por demostrar: Rcc  Fe

1. y Ryc 2. x Fx 3. Rcc por IU de 1: y Ryc [y/c] 4. Fe

por Fe

5. Rcc  Fe

conjunción de 3 y 4

Instanciación Existencial. Hay una regla para la eliminación del cuantificador existencial, para obtener instancias de una fórmula dada x(). Sin embargo, no debe suponerse que esta regla funciona de manera similar a IU. La instanciación existencial (IE) nos permite obtener de x() cierta instancia [x/c]; pero con importantes restricciones. En primer lugar hay que tener presente que x() no implica [x/c]. Por ejemplo, si es cierto que hay alguien que es calvo, no podemos inferir de ello que Juan es el que está calvo. Para hacer un uso correcto de IE debemos tener en cuenta lo siguiente: la variable o constante que elijamos para hacer la instanciación ha de ser nueva en la derivación; es decir, no aparecer en pasos anteriores. Esta restricción es importante porque nos prohíbe suponer cosas de un objeto específico que ya 50

Llamada también regla de eliminación de .

figura en nuestra derivación o en nuestros supuestos. Veamos un ejemplo de lo que ocurriría si no observamos esta restricción: 1. x (Px  Rx) 2. Pa

Premisa

3. x Rx

Premisa

4. Ra

Mala aplicación de IE

5. Pa  Ra 6. Ra

Premisa

por IU de 1: x (Px  Rx) [x/a]

Modus Ponens de 2 y 5

7. Ra  Ra

conjunción de 4 y 6

¡CONTRADICCIÓN! Supongamos que interpretamos nuestro argumento en el universo de los números naturales, que „Px‟ significa “x es par” y que „Rx‟ significa “x es primo”. Así la premisa „Pa‟ pudo significar “4 es par”. Cuando en el cuarto paso de nuestra derivación ignoramos la restricción que acabamos de mencionar para IE, e instanciamos con una constante ya utilizada, acabamos concluyendo que el mismo número es primo y no es primo, es decir, una contradicción, cuando las premisas eran perfectamente consistentes. Adicionalmente, como ya dijimos que x() no implica [x/c], la fórmula [x/c] no debe aparecer como línea final de una prueba, es decir, no podemos asumirla como conclusión. Es sólo un paso intermedio para obtener otra fórmula . Por último hay que hacer explícito que la instancia elegida es totalmente arbitraria, es decir, si una de nuestras premisas nos dice que x() y queremos inferir  con su ayuda, la constante elegida, digamos „c‟, no debe aparecer en los supuestos anteriores como ya se había dicho, pero tampoco en  mismo ni en . Suponer tal instancia de x(), es entonces como decir: “puesto que algún objeto tiene la propiedad , supongamos que c es tal, entonces…”. De esta forma la instancia [x/c] es como un nuevo supuesto. Por último, recalcamos que este supuesto es sólo un paso intermedio para obtener otra conclusión deseada. Formalmente la inferencia sigue este patrón: en algún paso de la derivación ocurre la fórmula existencial x(); por nuestra parte añadimos como premisa la instancia [x/c]; ello nos permite alcanzar ulteriormente la conclusión ; puesto

que obtuvimos  gracias al supuesto [x/c], debemos añadir un paso más a la derivación que indique que [x/c]. Luego, podemos concluir  por IE. Veamos un par de ejemplos: 1. x (Hx  Mx) 2. x Hx 3. Hs

Premisa

Premisa Premisa

4. Hs Ms 5. Ms 6. x (Mx)

por IU de 1: x (Hx  Mx) [x/s] Modus Ponens de 3 y 4 Por GE de 551

7. Hsx(Mx) 8. x (Mx)

Condicionalización

por IE

Nótese que la inferencia final no es producto de un Modus Ponens, como podría sugerirlo la forma de condicional del paso número 7. Esa línea nos indica que lo único que hemos demostrado hasta el momento es que si un objeto s es H, entonces existe algún M. La inferencia final por lo tanto existe algún M, se hace por la regla de IE que nos permite llegar a una conclusión ulterior suponiendo que un objeto arbitrario s tiene la propiedad enunciada en una fórmula existencial anterior.

Generalización Existencial Es momento de introducir una regla más, la Generalización Existencial (GE). Como acabamos de ver en la derivación anterior, pasamos de un caso particular „Ms‟ a su generalización existencial ‘x(Mx)’. Es decir, pasamos de “s es un M” a “hay algún M”. La regla dice que es posible inferir de una fórmula [x/c] la fórmula x. Esta inferencia es totalmente válida. Por tanto no hay restricción alguna. Veamos un ejemplo de este tipo de inferencia en un argumento: Todos mis amigos admiran a Pelé o no gustan del futbol. Sin embargo mi amigo Luis no admira a Pelé; por lo tanto hay personas que no gustan del futbol. 51

A continuación se explicará esta regla.

El anterior argumento tiene la siguiente forma: 1. x (Axa  (Dxp  Gx)) 2. Aua  Dup /  z Gz Demostración: 3. Aua  (Dup  Gu)

por IU de 1: x (Axa  (Dxp  Gx)) [x/u]

Aua Simplificación de 2 5. Dup  Gu 6. Dup

Modus Ponens de 3 y 4

Simplificación de 2

7. Gu Silogismo disyuntivo de 5 y 6 zGz por GE de 7 Ahora estamos capacitados para aplicar el método de reducción al absurdo para comprobar la validez de una fórmula cuantificacional. Los pasos son muy sencillos. Nos basaremos en la siguiente idea: dado el esquema a comprobar supongamos como premisa su negación. Usaremos la forma prenexa de la negación. Como los cuantificadores aparecen en un extremo de la fórmula podemos fácilmente inferir sus instancias, ya sea por medio de IU o de IE (siguiendo las restricciones acerca de las variables). Si por este medio llegamos a obtener un esquema que sea inconsistente veritativo funcionalmente (pues hemos quitado los cuantificadores por medio de IU e IE) entonces nuestra fórmula inicial era válida (pues la negación ha implicado una inconsistencia), es decir, una verdad lógica. Véase que llegamos a esta conclusión de manera indirecta, a partir de la inconsistencia de la negación de la fórmula. Véase también que si la fórmula no fuera válida, su negación no podría implicar una inconsistencia. He aquí donde queda de manifiesto que este método de prueba no es un método decisorio. A continuación veremos cómo funciona el método de reducción al absurdo para una fórmula universalmente válida de la lógica cuantificacional: (S)

y x (Rxy  Rxx)

La negación de esta fórmula es: (S’)

y x (Rxy  Rxx)

Esta fórmula ya está en forma prenexa por lo tanto nos limitaremos a desarrollar el método: 1. y x (Rxy  Rxx) 2. x (Rxa  Rxx)

Premisa

Suponemos nueva premisa (por IE)

3. Raa  Raa por IU ¡Contradicción! Aquí debemos hacer una observación: no hemos concluido la prueba según las restricciones que dijimos que se aplicarían cuando usamos IE en una derivación. No lo hacemos porque esta no es propiamente la derivación de una fórmula de un conjunto dado de fórmulas, sino que es solamente un procedimiento de prueba indirecta para detectar validez universal.

Generalización Universal La última regla que nos falta introducir es la de la Generalización Universal (GU). Por supuesto que es inválido generalizar a partir de casos particulares. Sin embargo, una regla de introducción del cuantificador universal a partir de instancias es posible siempre y cuando atendamos a las siguientes restricciones: podemos derivar la fórmula x de una fórmula [x/c] si la constante c no ocurre en  ni en ninguno de los supuestos iniciales. Es decir, sólo podemos generalizar universalmente si la constante o instancia a partir de la cual vamos a generalizar fue el resultado de una elección arbitraria anterior. Por ejemplo: 1. x (Hx  Mx) 2. y (Gy  Hy) /  x (Gx  Mx) 3. Hs  Ms por IU de 1 4. Gs  Hs por IU de 2 5. Gs  Ms por silogismo hipotético de 3 y 4 6. x (Gx  Mx) por GU de 5 Véase como la constante s no figura en la fórmula x (GxMx) ni en los supuestos iniciales, cuando surge es por una elección totalmente arbitraria (en los dos casos por IU).

El mismo método de reducción al absurdo puede funcionarnos para averiguar si una fórmula se sigue o no de un conjunto dado de fórmulas. Lo que está detrás de esta aplicación es el siguiente hecho:  si y solamente si  {no es satisfacible52 Así, dada una fórmula , si queremos comprobar si ésta se sigue de un conjunto dado de fórmulas , lo único que tenemos que hacer es tomar  junto con el resto de premisas (el conjunto ) y ver por el método descrito si podemos obtener el esquema inconsistente. Por último hay que mencionar la finalidad real del sistema deductivo con el que ahora contamos considerando juntas las reglas del capítulo de lógica proposicional y las nuevas cuatro reglas. Juntas constituyen un sistema completo de reglas para la lógica proposicional. Es decir, si suponemos estas reglas junto con todas las tautologías de la lógica proposicional, podremos hacer todas las derivaciones de fórmulas que sean consecuencia lógica de otros conjuntos de fórmulas. Si además quisiéramos tener un sistema que nos permitiera obtener todas las verdades lógicas sólo tendríamos que añadir un número limitado de axiomas para la lógica cuantificacional. Es un resultado sumamente importante el de la completud de la lógica de primer orden. Este resultado se lo debemos a Kurt Gödel. La completud significa que todas las verdades lógicas son deducibles. Este resultado nos muestra la importante relación entre el enfoque semántico y el enfoque sintáctico de la lógica, es decir, entre la mera derivación “mecánica” y la relación de consecuencia lógica. Concluimos con una serie de ejercicios para el lector. I. Diga si las siguientes fórmulas son universalmente válidas. Si no lo son proponga una interpretación que las haga falsas. a) x (Fx  Tx)  (x Fx  x Tx) b) ([xy (Rxy  Ryx)]  [xyz ((Rxy  Ryz)  Rxz)])  (x Rxx) c) (xFx  yGy)  x (Fx  Gx) d) xy (Axy  Axx)  zw (Azw  xAxx) e) x (Hx  y (Aay  Oxa))  z Oza 52

En nuestra prueba por reducción al absurdo esto se traducirá en “ si y solamente si {implica un esquema veritativo funcional inconsistente”.

II. Demuestra que la conclusión indicada se sigue del conjunto de premisas (fórmulas entre llaves separadas por comas). Si es el caso realice la derivación por medio de las reglas estudiadas. a) {y(Dy  (Fy  Hy  Ny)), z (Hz  Nz), Hb, Da  (Ha  Na), Da} / x Nx  y Fy b) {zx (Sxy  Syx)  w Gw, x (Sxczy (Rzy  Tzx  Tzc)), Scc} /  xGx c) {xyz((Pxy  Pxz)  Dyz), x(Pxa  (Pxb  Pxc)), x(Pxb  z Pzz), y(Pya  Pxb)} /  z (Pza  Pzz) En el apéndice II el lector podrá encontrar desarrolladas las derivaciones de las figuras silogísticas. Como ejercicio de traducción el lector debe traducir los axiomas de la parte de teoría de conjuntos al lenguaje de la lógica cuantificacional.

Bibliografía: Alchourron, Carlos E. (editor); Enciclopedia iberoamericana de filosofía vol. VII: Lógica, Madrid, Trotta: Consejo Superior de Investigaciones Cientificas, 1995, 366 p. Amor Montaño, José Alfredo; Compacidad en la lógica de primer orden y su relación con el teorema de completud, 2ª ed, México, UNAM Facultad de Ciencias, 2006, 169 p. Enderton, Herbert B.; Una introducción matemática a la lógica, 2ª ed, tr. José lafredo Amor Montaño, México, UNAM Instituto de Investigaciones Filosóficas, 2004, 454 p. Frege, Gottlob; Conceptual notation and related articles, traducción, edición biografía e introducción por Terrell Ward Bynum, Oxford, Clarendon, 1972, 291 p. GAMUT, L. T. F.; Introducción a la lógica, tr. Cecilia Durán, Buenos Aires, EUDEBA, 2002, 305 p. Hunter, Geoffrey; Metalógica: Introducción a la metateoría de la lógica clásica de primer orden, tr. Rodolfo Fernández González, Madrid, Paraninfo, 1981, 320 p.

Mates, Benson; Lógica matemática elemental, Madrid, Tecnos, 1971, 287 p. Mates, Benson; Lógica de los estoicos, tr. Miguel García Baró, Madrid, Tecnos, 1985, 139 p. Mendelson, Elliott; Introduction to mathematical logic, 4a ed, London, Chapman and Hall, 1997, 440 p. Quine, Willard Van Orman; Desde un punto de vista lógico, 2ª ed, traducción de Manuel Sacristan; prólogo de Jesús Mosterín, Barcelona-México, Ariel, 2002, 249 p. Quine, Willard Van Orman; Los métodos de la lógica, tr. Juan José Acero y Nieves Guash, Barcelona-México, Ariel, 1981, 357 p. Suppes, Patrick; Shirley Hill; Primer curso de lógica matemática, versión de Enrique Lines Escardo, Barcelona-México, Reverté, 2002, 278 p. Torretti, Roberto; El paraíso de Cantor: la tradición conjuntista en la filosofía matemática, Santiago de Chile, Universitaria: Universidad Nacional Andrés Bello, 1998, 589 p.

Capítulo V Acerca del ejercicio de la Lógica Gabriel Ramos García El artículo propone la consideración de que quienes ejercen la lógica deben tener la precaución de hacerlo de manera crítica y no meramente mecánica o computacional. Se ilustran las dificultades que no seguir tal prescripción entrañan primeramente a través de una reivindicación de la silogística de corte aristotélico, posteriormente por medio de una apostilla a la lógica clásica cotidiana -la disyunción excluyente- y la posibilidad de complementar una y otra en el sistema cuantificacional, salvando el sesgo que pudiera existir entre ambas, y finalmente se propone una nueva falacia no catalogada previamente, como evidencia de la vida corriente de la lógica.

I. Hilbert, Ackerman y Russell vs la silogística Considerando la distinción escolástica referida por el Maestro García Olvera 53 entre lógica menor -formal o de la razón correcta- y lógica mayor -material o de la razón verdadera-, puntualicemos la no reciprocidad de la relación: La lógica mayor comprehende a la lógica menor, pero la lógica menor no comprehende a la mayor. No obstante, las herramientas de la lógica mayor son precisamente los artificios propios de la lógica menor, es a través de las “logísticas” o cálculos, concebidos como descripciones sistemáticas del pensamiento que podemos buscar acercarnos a la lógica que de hecho sea capaz de describir el mundo material y de la razón verdadera. Ser incapaz de distinguir los límites entre una y otra suele cernirse como el estigma del estudioso de la Lógica, cuya búsqueda por razones fundantes con frecuencia es caricaturizada como un intento por subsumir la experiencia humana a esquemas inferenciales mínimos. Considerando que la lógica es ambos, ciencia autónoma y parte de la filosofía, no ha de soslayarse el interés en la lógica mayor, y haciéndolo así, se vuelve

53

Francisco García Olvera. Lógica Formal para principiantes. México, UNAM, 2008. p. 35

menester concebir a la lógica como una ciencia que se ocupa del estudio de los actos de la razón y no sólo como ciencia de la inferencia deductiva. La falibilidad es tal vez el primer tema en la mente de los estudiosos al ocuparse de alguna de las manifestaciones de la lógica. Encontrar un sistema como erróneo es un paso importante en el desarrollo de la lógica, pues la tarea crítica supone que existen elementos para salvar los yerros en que pudiera incurrirse, evidencia -por decirlo así- de la expansión de horizontes de juicio. Para conceder lo anterior habría que pensar que de hecho el crítico ha considerado todos los aspectos que errante consideraba al momento de cometer su falla, además de contar con el privilegio de una visión más completa que lo exime según él- de incurrir en fallas semejantes. Fue tal el caso de la silogística de base aristotélica, todavía estudiada por muchos en la actualidad, pero por pocos reconocida por su auténtica valía. Como se observó en el artículo de Lógica aristotélica contenido en este volumen, hay mucho más entrañado en lo que se ha de considerar como Lógica aristotélica que lo usualmente considerado. Revisaremos a continuación algunos aspectos de la silogística derivada del corpus lógico aristotélico, partiendo de presuntas críticas de tres importantes teóricos de la lógica: Hilbert, Ackerman y Russell. Tradicionalmente los lógicos incluyen en su discurso un reconocimiento al esfuerzo de Aristóteles, quien a pesar de haber vivido en tiempos en que la gente no sabía hacer lógica, hizo un gran papel con sus aportaciones. El reconocimiento al empeño de Aristóteles se tornaría un vilipendio de no ser porque, de nuevo a la luz de la historia, es posible reivindicar el poder de la lógica derivada de sus trabajos. Elementos de Lógica Teórica54 de Hilbert y Ackerman concede un parágrafo a la bondad de la silogística antigua, en el que exponen la vigencia de casi todas las formas silogísticas escolásticas en las novedosas formas lógicas de su tiempo, puntualizando la necesidad del supuesto existencial antes de validarlas todas. El supuesto existencial de Hilbert y Ackerman se refiere a la propiedad de los juicios universales (A, E) de implicar a sus subalternos (I, O respectivamente) por conversión accidental (intercambio de sujeto por predicado y cambio en la cantidad de universal a particular). Los modernos puntualizan que tal procedimiento implica un supuesto para todos los juicios universales de la forma 54

D. Hilbert & W. Ackerman. Elementos de lógica teórica. Madrid, Tecnós, 1962. p. 70-77

“todos los A son B”: se da por sentado que no se refieren a clases nulas. La precisión que Hilbert y Ackerman reclaman está orientada a las aplicaciones matemáticas de la lógica; su artículo está orientado a ilustrar que las nuevas teorías lógicas comprehenden a las antiguas y las superan en poder expresivo y posibilidades inferenciales. No parece haber complicaciones en el modo en que Hilbert y Ackerman integran en su corpus teórico los elementos de silogística y el cálculo de clases 55; lo hay, no obstante respecto a la descripción de la construcción de silogismos sí hay un yerro cuyas implicaciones deben ser consideradas.

En los tres enunciados agrupados entran en total tres conceptos, el concepto sujeto (S), el concepto predicado (P) y el concepto medio (M); la conclusión tiene la forma SP, y de las premisas la primera contiene los conceptos M y P, y la segunda los M y S. Obsérvese que el orden de sucesión de S y P fijado en la conclusión no representa restricción alguna de la generalidad, pues a partir de una cualquiera de las figuras del silogismo que siguen se llegaría siempre a una figura que tuviese PS como conclusión por mero cambio de designación e inversión en el orden de las premisas; por tanto se encuentran las siguientes cuatro figuras fundamentales de silogismos.56

MP

PM

MP

PM

SM

SM

MS

MS

SP

SP

SP

SP

Aunque las figuras silogísticas superan el escrutinio de Hilbert y Ackerman, el entendimiento de la silogística que los modernos exhiben respecto a la silogística no es tan afortunado.

55

De hecho se ilustra la sugerencia de los autores en nuestro apéndice de figuras silogísticas.

56

Ibid. p. 71

Si prestamos atención a las razones en las que basan el orden de sujeto y predicado en las conclusiones de las figuras silogísticas, podemos observar que lo consideran como consecuencia del mero orden de enunciación de las premisas, es decir dadas premisas 1) MP, 1) SM se infiere una conclusión 3)SP; asimismo, dadas premisas 1) SM, 2) MP se llegaría a una conclusión PS. La conclusión PS resultaría problemática porque no cumple con la estructura que Hilbert y Ackerman persiguen validar, pero esa no es la razón por la que sería un asunto delicado: Si fuera verdad que el orden de enunciación valida nuestras inferencias, sería posible deducir cuando menos un razonamiento inválido. De los 19 modos válidos de silogismo, 18 tienen en la conclusión un juicio tipo E, I para todos los cuales es admisible la conversión simple, (cambio de sujeto por predicado); el único silogismo cuya conclusión no cumple con tal propiedad es el Barbara de primera figura. Sucedería una catástrofe, pues así como “Todos los mexicanos son valientes, todos los campechanos son mexicanos, luego, todos los campechanos son valientes.” es válido, sería válido también “todos los campechanos son mexicanos, todos los mexicanos son valientes, luego todos los valientes son campechanos”. Considerar que el orden de enunciación es un factor que determina la validez de las inferencias es un error grave, pero que sólo se evidencia en uno de los 19 casos por sólo haber uno que tiene conclusión universal afirmativa. Consideremos ahora el contraste en la enunciación de los términos entre la primera y la cuarta figura: MP

PM

SM

MS

SP

SP

Lo anterior podría sugerir que se sostiene la relevancia inferencial del orden de enunciación, pero no explica por qué hay 5 formas válidas de silogismo en la cuarta figura (Calemes, Fresison, Dimatis, Bamalip y Fesapo) en contraste con los 4 de la primera, ni explica por qué no hay ninguna conclusión universal afirmativa en cuarta figura. La razón es que las inferencias válidas en la silogística no están dadas por el orden de enunciación, sino que son entrañadas por los juicios a partir de los que se desarrolla el razonamiento.

Existe un caso en el que el orden de enunciación puede ser un indicador de relevancia, pero sólo para con la corrección metodológica, pues resulta una consideración nimia para con la deducción. El Darapti de tercera figura, se conforma de dos juicios universales afirmativos, pero no llega a una conclusión universal afirmativa. La razón es que las premisas no aportan información en torno al modo en que se relacionan los términos entre sí; sabemos simplemente que están relacionados con el término medio, de modo que lo mismo sería admisible concluir “algo con suerte va al cielo” que “algo que va al cielo tiene suerte” de “Todos los perros tienen suerte” y “Todos los perros van al cielo”; por supuesto, La premisa mayor es la que es más abarcante respecto al término medio, y la menor la que es abarcada por este, tal relación es imposible de establecer en el Darapti, luego, pretender que existe un criterio unívoco para definir cuál es la premisa menor y cual la mayor en este caso sería un error, pues estaríamos atribuyendo al silogismo relaciones que no tiene. Si nuestro interés fuera meramente metodológico, podríamos entonces sí apelar al orden de enunciación, pero solamente porque en este caso su instrumentación resulta nimia. En el yerro de Hilbert y Ackerman podría tratarse más bien de una ambigüedad al referirse a las múltiples combinaciones posibles entre los términos que conforman el silogismo; en este tipo de ambigüedades podría tener origen también la errada creencia de que la premisa mayor es la que aparece escrita “arriba”, o es la primera que se enuncia, frecuentemente sugerido por manuales de lógica; aunque no tuviera este error su origen en el texto de Hilbert y Ackerman, se explica por causas análogas a aquel, pues son ambos síntoma del uso de una sistematización obsecada y no de una metodología adecuada para el razonamiento. Un error semejante podemos encontrarlo en el artículo de Sir Bertrand Russell “La lógica de Aristóteles”57. El noble inglés rinde pleitecía a la obra del estagirita, para luego hacer sus apuntes en torno a los errores de Aristóteles que juzga permearon toda la historia de la lógica antes del siglo XIX. Bertrand Russell se refiere también al asunto del supuesto existencial -como Hilbert y Ackerman-, y se puede conceder -como a Hilbert y Ackerman- que la verdad de los silogismos de premisas universales y conclusión particular necesitan no referirse a clases vacías para sostenerse; lo que no se puede conceder es el ejemplo a partir del que Russell problematiza con la silogística: 57

Bertrand Russell. Escritos Básicos. Artemisa, México, 1985. p. 193-199

“Todas las montañas de oro son montañas, todas las montañas de oro son de oro, luego algunas montañas son de oro.”58 Aunque sería posible hacer corresponder el ejemplo con el Darapti de tercera figura, (Todo A es B, Todo A es C, luego algún C es M), el ejemplo transgrede las reglas de composición del silogismo, pues la reiteración de información hace que el término medio aparezca en la conclusión -lo cual es una violación a las leyes del silogismo-, debido a que los presuntos juicios a partir de los que se hace el silogismo ostentan repetición de términos -otra violación-. Claro, no hay que dejar de notar que Russell busca evidenciar que los silogismos Darapti están basados en información hipotética, y ciertamente es un modo de ilustrar que hay información implícita en estos razonamientos, pero no se justifica pretender hacer crítica de la silogística al tiempo que se pasan por alto sus principios.

II Las disyunciones Hilbert, Ackerman y Russell ilustran una confusión que no es inusual: Hacer silogismos con el solo gesto de hacerlos silogismos. Algo semejante sucede con las formalizaciones del discurso natural que hacemos en lógica clásica, cuando dos frases disyuntivas de distintas características se simbolizan por igual con el operador “”. En la frase “con que sea rico, o apuesto me conformo”, la disyunción es incluyente. Aunque se sugiere que con una de las dos condiciones basta para la conformidad del agente en cuestión, los disyuntos no obstan entre sí para la consecución del efecto deseado; no sucede lo mismo con la disyunción “x es número par o es non”, pues se refiere a condiciones excluyentes entre sí. Aunque en términos prácticos la disyunción incluyente nos sirve para solventar el uso que necesitamos (digamos “te callas o te saco”, que se traduciría , y es equivalente a , que se traduciría “si no te callas, te saco”) con frecuencia la no incursión de la disyunción excluyente es un factor que contribuye en la formación de un sesgo entre la lógica y la vida cotidiana, pues muchas de las inferencias de la vida cotidiana que son inválidas

58

Ibid. p. 95

utilizando sólo los operadores  son válidas si se agrega la disyunción excluyente . 

 



 



 





  







 







 







 







 





  







 







 







 







 





  







 







 







 







 





  







 







 







 







 

La disyunción excluyente, como se observa, tiene el valor de verdad contradictorio respecto a la bicondicional, esta es falsa cuando hay concordancia en los valores de verdad de las variables involucradas, en tanto que la disyunción excluyente sólo será verdadera cuando hay discordancia en los valores de verdad de las variables sobre las que opera. 



  







 

























A continuación se explicita el proceso de equivalencia de las conectivas clásicas a la disyunción excluyente:

     

   

















































































    

















 























 























 























 























                    





 





  







 







 





 





  







 







 





 





  







 







 





 





  







 







                       







 









          

 







 









          

 







 









          

 







 









          

                          

  

  

  





 



 

 





  

 

  

  

  





 



 

 





  

 

  

  

  





 



 

 





  

 

  

  

  





 



 

 





  

   

  

   

  

 

 

















































































































































Es decir, de:                    

Puede inferirse “” en virtud de las propiedades de la implicación material, la doble negación y de la regla de inferencia de adición. 

































































































































Y en consecuencia 

















































Queda más claramente expuesto del siguiente modo: 

p.



Adición 1

Doble Negación 2 

De Morgan 3



De Morgan 4



Implicación material 5



Equivalencia Material 6



Implicación excluyente

Naturalmente estamos postulando la siguiente regla de equivalencia:   El operador de Exclusión El operador de exclusión funciona en escenarios donde la verdad de un disyunto excluye de manera necesaria la posibilidad de verdad del otro, por ejemplo en la democracia de los Estados Unidos de Norte América, tu voto es por los demócratas o por los republicanos; en la naturaleza, los críos son machos o hembras; en la matemática los números son pares o son nones… Tales disyunciones deberían sustituirse como  su vigencia podría ser controversia debido a las excepciones que pudieran presentarse en cada caso. Pensando en ello es que proponemos como ilustración la fonda Hilbert. En la fonda Hilbert existe un menú de cuatro tiempos, los comenzales deben escoger una y sólo una de las opciones en para cada uno de los tres tiempos; no pueden saltarse ningún tiempo, sustituir platillos ni repetir o alguna otra variación no contemplada.

Sopa o consomé



Arroz o pasta



Pollo o pescado



Arroz con leche o chongos zamoranos



De suerte tal que las combinaciones posibles siguieran la estructura y existiría un número limitado de combinaciones de comidas: 256. Al operador de exclusión se le encontrará más comúnmente enunciada como disyunción en el habla, digamos: 1. Carlos viene con Nancy o con Mónica. 2. Carlos viene con Nancy. 3. Luego, Carlos no viene con Mónica. Claramente su formalización es:    Ya en lenguaje formal sería más fácil leer “N  M” como “N excluye M”, pues seguir pensándolo en su forma disyuntiva así se modifique por “solamente N o solamente N”, o cualquier otra donde se mencione la “o” resulta confuso al momento de trabajar derivaciones.

La cuantificación de la exclusión xPxQx El operador es susceptible de cuantificarse. Esta fórmula sería verdadera sólo en casos en que el universo de discurso efectivamente se agotara en los dos conjuntos que entre sí se excluyen. 

La expresión significa, además de que los conjuntos son excluyentes entre sí, que el universo se agota en esas dos opciones como se ilustra en el siguiente diagrama:

Modificaciones al sistema de lógica clásica Con la inclusión del operador de exclusión, “” las reglas de inferencia conocidas no se modifican, simplemente se complementan. Las reglas de inferencia basadas en la implicación material seguirían funcionando; sobre las proposiciones bicondicionales equivalentes a disyunciones excluyentes está vigente la siguiente familia de reglas de inferencia. Las reglas de inferencia y equivalencia que involucran directamente al operador de exclusión son:

Silogismo Disyuntivo Exlcuyente 

















Dilema Tiránico 

















Conmutación excluyente 





Otras reglas derivadas que no lo involucran directamente son: Conmutación bicondicional 





Modus Ponendo Ponens Bicondicional 

















Modus Tolendo Tollens Bicondicional 

















Silogismo Hipotético Bicondicional 



































El apéndice I ilustra todas las sustituciones de las 19 reglas clásicas más las nuevas reglas derivadas de la inclusión del operador de exclusión.

¿Qué ganamos con el operador de exclusión? El operador de exclusión nos servirá en el metalenguaje para hablar en torno a las relaciones que prevalecen en la lógica cuantificacional. Es un lugar común que al introducirse al estudiante los cuantificadores y la formalización de enunciados universales y particulares sean referidos la distinción por cantidad y cualidad A, E, I, O de la silogística; no obstante no son referidas las relaciones vigentes entre los juicios en el cuadro de oposición ni se explica por qué no es posible hacer ciertos razonamientos como el Darapti de la silogística: (x) (F(x) G(x)) (x) (S(x)  G(x)) (x) (F(x)  G(x)) A partir de los conocimientos de la lógica clásica es imposible llegar de las premisas universales a la conclusión particular. Lo mismo sucedería con un Felapton o Bamalip. La razón de fondo es que es un razonamiento inválido según los cánones de la lógica clásica cuantificacional; no lo es desde la silogística por el principio de conversión accidental que está vigente en aquella, es decir de la afirmación un juicio universal se sigue la afirmación de su subalterno.

Se había mencionado ya que la compatibilidad de la silogística medieval con la lógica clásica era posible a través de un pequeño ajuste, tal ajuste es el siguiente axioma de supuesto existencial: xxxxxxxx Ésta es la forma correcta de la conversión por subalternación de A a I, explícitamente el axioma diría: “todas las clases son no vacías” o “para cualquier predicado F, hay al menos un F”.

Como lo explicita la fórmula, se aplica sólo si resulta admisible pensar que no hay clases vacías en nuestro universo de discurso. En tales condiciones será posible demostrar en términos de la lógica moderna la totalidad de los silogismos de la antigüedad, puede consultarse el apéndice II para observarlos. Por último, el operador de exclusión sirve para enunciar de manera adecuada las relaciones de verdad del cuadro de oposición: Se convendrá con base en todo lo anterior que:

(A E)  (EA)

Las contrarias se excluyen

IO

Las subcontrarias pueden ser una, la otra o ambas

A I

Universal afirmativa implica a su subalterna

E O

Universal negativa implica a su subalterna

A O

Se excluyen por contradictorias

E I

Se excluyen por contradictorias

El operador de exclusión no es un descubrimiento, ni una aportación que modifique nuestra concepción de la Lógica Clásica, simplemente ayuda a comprenderla mejor, la idea es que un mínimo ajuste sirve para entender mejor las relaciones inferenciales deductivas más allá del cumplimiento de las reglas tradicionales. Un ejemplo más sería el que llamamos “Dilema Republicano”:

  

Inferencia inadmisible para los puristas de las reglas, pero cuya demostración es innecesaria para alguien que haya entendido cabalmente las relaciones de concordancia y discordancia entre antecedentes y consecuentes de la primera premisa y los disyuntos de la segunda59 Un estudioso acrítico de la lógica necesitaría ver la demostración antes de admitir la posibilidad de la inferencia, y aún si se le presentara, podría simplemente admitirla sólo de manera mecánica: Este es el vicio del que la lógica ha de prevenirse para no convertirse en una caricatura de sí. Proponemos por último una falacia, que no tiene nada de nueva, y no obstante no es denunciada en los catálogos de falacias más difundidos.

III. Falacia ad mediocritatem. En una reunión de trabajo se exponían puntos por cumplir en la agenda de ciertos grupos de investigación. Al preguntarse por la causa del incumplimiento de uno de ellos la respuesta fue “que el grupo x tampoco había cumplido”.

59

Es decir, que de haber discordancia en consecuentes se inferirá la negación del antecedente y que de haber concordancia con el antecedente, se inferirá la afirmación del consecuente.

La falacia de apelación a la mediocridad consiste en que un agente, ya sea por acto o por omisión, incurre en una infracción de algún tipo; a sabiendas de que falta a alguna norma se escuda en la transgresión de otros para justificar la suya. Por omisión respecto al cumplimiento de las normas, un ejemplo sería: -¿Por qué no paga impuestos? -Nadie lo hace Por transgresión respecto a los límites estipulados un ejemplo sería: -¿Por qué ignoró la luz roja? -Todos lo hacen Esta falacia podría recordar a la ad popullum -o apelación al vulgo- y a la ad verecundiam -o apelación a la autoridad-, pero se distingue de aquellas por dos razones, una cuantificacional y una epistemológica. En cuanto al aspecto cuantificacional, ad mediocritatem se distingue de ad popullum porque la primera persiste aunque el objeto al que se apela sea un particular. Ad popullum dirige la atención a la voz de un universal, o cuando menos un grupo cuantioso, i.e. -¿Por qué vas a la marcha? -Todos van a ir En contraste, la falacia ad mediocritas se sostiene apelando a un universal, un conjunto cuantioso o un solo individuo. -¿Por qué escuchas reggaetón? -Porque Brian lo escucha.

Se salva entonces el parecido con la ad popullum desde el punto de vista cuantificacional, pues la falacia persiste, pero ahora recuerda a la falacia ad verencundiam, o apelación a la autoridad, i.e. -¿Por qué dices eso?, -Gadamer lo dice. Tanto en ad verencundiam como en ad hominem el agente justifica su creencia o acción con base en la creencia o acción de un tercero, en el caso ad verencundiam porque sobre el sujeto se confiere autoridad; en el caso ad popullum por semejantes razones, en alguna medida podría decirse que la falacia ad popullum es la misma que la ad verencundiam con la única diferencia de que en un caso el sujeto en quien yace la autoridad es un particular, y en el otro la autoridad es conferida a la vox populli. Podría apuntarse que la autoridad del sujeto es distinta a la de la multitud, pero para este caso da lo mismo, pues el requisito único que perseguimos es que sea la matriz de decisión del sujeto que juzga. Se plantean dos opciones excluyentes entre sí: O el sujeto de hecho cree en la postura X de manera falaz, por ad popullum o ad verencundiam, o el sujeto no lo cree, pero lo sostiene de manera sofística. Cualquiera que sea el caso, al ser enunciada, ad mediocritatem se distingue de ad verencundiam –y de ad popullum- fundamentalmente porque el sujeto sabe que su postura es errónea, o que está siendo negligente, pero sostiene su falla con base en el comportamiento erróneo de los demás. Se persigue delegar la responsabilidad propia a otros que han mostrado también negligencia. ¿Inventamos una falacia? No, la denunciamos y postulamos como objeto de estudio. ¿Es que antes de la publicación de este artículo nadie sospechaba de la ilegitimidad de los argumentos ad mediocritatem? Probablemente sí, pero evidentemente no ha sido suficiente la campaña en contra de la apelación a la mediocridad, pues corrientemente es de lo más socorrida.

El ejercicio crítico de la lógica mejora al estudioso de la lógica, mejora a la lógica como ciencia y tiene potencial para mejorar las condiciones epistémicas, éticas y ontológicas del hombre.

Bibliografía

Francisco García Olvera. Lógica Formal para principiantes. México, UNAM, 2008 D. Hilbert & W. Ackerman. Elementos de lógica teórica. Madrid, Tecnós, 1962. Bertrand Russell. Escritos Básicos. Artemisa, México, 1985.

Capítulo VI Determinación de las afirmaciones que expresan hechos lógicos. María Esperanza Rodríguez Zaragoza

Este capítulo tiene como objetivo que el lector perciba la independencia de las nociones lógicas básicas, que encontramos bajo la concepción de forma lógica, respecto al lenguaje o algún tipo de psicologismo. La lógica se expresa mediante el lenguaje, pero a lo que nos remiten las nociones básicas -consecuencia lógica, verdad lógica, operadores lógicos ()- no lo encontramos propiamente en el lenguaje. Tampoco aquello a lo que nos remiten depende de si podemos conocerlo o no, esto no quiere decir que podamos hablar de ello si no lo conocemos, de lo que no se conoce no puede afirmarse a negarse nada. Lo que se hará es examinar cómo se lleva a cabo el proceso de determinación de aquello que es expresado en lógica. Concebimos que dicho proceso pasa por dos niveles: el primero que corresponde al lenguaje -siendo éste vehículo del pensamiento-; y el segundo, que versa sobre cómo son las cosas en realidad en el campo de los hechos-. En el nivel del lenguaje ubicaremos el establecimiento de las condiciones de verdad; en el segundo nivel, ubicaremos la verificación de estas condiciones, esto es, que dichas condiciones se cumplan o no. El modo en que mostraremos esto es viendo cómo se da la determinación de algo subjetivo, de algo vago y de algo objetivo. Sostenemos el supuesto de que aquello que tiene que ver con la forma lógica es algo objetivo. Pues bien, ahora pasemos a probar nuestro supuesto.

1) Portadores de verdad. A lo largo de los capítulos anteriores se ha hablado mucho de p´s y q´s, cómo se relacionan, qué puede deducirse de ellas, cuándo son válidas o no, etc. En este apartado nos dedicaremos a examinar desde una perspectiva filosófica dichos componentes. Comencemos preguntándonos qué son estas p´s y q´s. En capítulos anteriores se nos dijo que eran variables, en otro proposiciones o en algunos metavariables. Debido a que nuestro interes es ver cómo es que éstas se determinan, en este capítulo no nos detendremos a dicernir si éstas son enunciados, afirmaciones o proposiciones, basta con que tengamos en mente que son portadores de verdad. Un portador de verdad es aquella entidad

lingüística que es suceptible de ser verdadera o falsa, podemos verificar su verdad o falsedad. Tomaremos a nuestras p´s y q´s como afirmaciones de enunciado, son una severación acerca de algo y podemos establecer si dichas afirmaciones son verdaderas o falsas. Nos preguntaremos si aquello que es expresado por nuestras p´s y q´s es algo subjetivo, objetivo o vago. Lo que decide alguna de estas naturalezas es la forma de determinación, esto es, la manera de establecer las condiciones de verdad de las afirmaciones y viendo cómo es que estas condiciones se cumplen o no. Lo que se pretende es mostrar que la forma lógica que denotan las afirmaciones lógicas es siempre objetiva.

2) Niveles de determinación. Hemos dicho que la determinación tiene que ver con el establecimiento de las condiciones de verdad de las afirmaciones, es decir, con que sepamos el significado de la afirmación en cuestión, que sepamos la proposición a la que apunta dicha aformación; pero también tiene que ver con que sea el caso o no lo sea que estas condiciones se cumplan, que haya algún hecho que corresponda a lo expresado en la afirmación. Dividiremos el proceso de determinación en dos niveles: 1) que tiene que ver con el lenguaje; y, 2) que tiene que ver con la correspondencia con hechos. Esto lo representamos en el siguiente cuadro:

Ahora veamos cómo se da este proceso cuando la afirmación de enunciado es subjetiva, vaga u objetiva.

3) Determinación de afirmaciones subjetivas.

Para probar el proceso de determinación de una afirmación subjetiva, lo haremos por medio de ejemplos. Ejemplo de una afirmación subjetiva es el siguiente: Supongamos que el profesor Willo hace la siguiente afirmación (pe) 'el pulque de jitomate es delicioso'.

Hemos dicho que primero deben establecerse las condiciones de verdad de la afirmación pe. Para ello debe darse lo siguiente: i) Los sujetos involucrados en una conversación (hablantes competentes del lenguaje en situaciones normales) saben lo que significan las palabras involucradas, saben gramática y saben cómo se combinan los significados de las palabras. Esto es, tienen el significado lingüístico de las expresiones involucradas en la conversación. Además ven dichas expresiones dentro de un contexto60 determinado. Podemos ver que el cumplimiento con el nivel 1 se da de manera directa, esto es:

El profesor Willo sabe a lo que se está refiriendo cuando afirma pe. Aún cuando no sepamos exactamente lo que el profesor Willo quiere decir con delicioso, podemos entenderlo y podemos aseverar que él sí sabe determinadamente lo que quiere decir por delicioso. Por tanto el establecimiento de las condiciones de 60

De ningún modo debe entenderse aquí que la determinación de las expresiones dependa completamente del contexto en las que éstas ocurren. El contexto al que nos refierimos tiene que ver con ubicar quién dice tal o cual cosa respecto a tal o cual cosa. Esto es lo que debe tomarse en cuenta para la determinación de los enunciados involucrados en la conversación.

verdad de pe se da de modo directo. Ahora, para que algo sea determinadamente verdadero necesita cumplir además de (i) lo siguiente: -

la verdad de la afirmación está garantizada por los hechos que dicha noción (de la afirmación) indica. Esto es, que los sujetos vean (en sentido amplio) los hechos no lingüísticos involucrados en las expresiones.

Debido a que pe es una afirmación subjetiva no nos es fácil acceder al hecho al que apunta, en otras palabras, la verdad o falsedad de dicha afirmación depende completamente del sujeto. No podemos con seguridad establecer si las condiciones de verdad de pe se cumplen o no, esto porque no podemos saber a qué clase de delicia se refiere el profesor Willo con exactitud. Por tanto, no podemos especificar el hecho al que la afirmación apunta o si apunta a un hecho específico. En relación al segundo nivel del proceso de determinación tenemos lo siguiente:

Respecto a la condición ii, lo que cambia es que la verdad o falsedad de las afirmaciones se da de acuerdo a cómo son las cosas para el sujeto y no en base a cómo son las cosas en el campo de los hechos independientes de él. Lo que caracteriza a las afirmaciones subjetivas es que lo que las hace verdaderas, depende completamente del sujeto.

4) Determinación de afirmaciones vagas. Para desarrollar esta sección nos hemos basado en lo que Shapiro 61 desarrolla respecto a la determinación de términos vagos. Igual que en el caso arriba expuesto nos basaremos en un elemplo. Supongamos que la profesora Adriane hace la siguiente afirmación: (pa) 'Cuauhtémoc Blanco es calvo'.

61

Shapiro S., Vagueness in Context, Clarendon Press, Oxford University Press, 2006.

Primero debemos determinar las condiciones de verdad, por tanto debe cumplirse lo siguiente: i) el significado lingüístico de la afirmación pa.

Debido a que el significado de los términos vagos como 'calvo' es indeterminado, esta condición necesita de algo más para poder establecer las condiciones de verdad, es decir, de antemano no se tiene el significado de pa. No podemos saber con seguridad a qué se refiere la profesora cuando dice 'calvo'; podría ser el caso en que alguien considerara a Cuauhtémoc Blanco como no-calvo. Por tanto, el significado de las afirmaciones vagas debe determinarse por factores que no encontramos directamente en los significados lingüísticos de los términos que los componen, sino que debemos completar o construir el significado a partir de otros factores. Uno de esos factores de determinación de significado es lo que Shapiro llama el marcador conversacional. De esto último podemos ver que tenemos:

i.5) marcador conversacional como determinador de significado de los enunciados vagos.62

62

El marcador conversacional o la marca de la conversación se toma como el conocimiento común que tienen los sujetos involucrados en una conversación; el marcador contiene los presupuestos, asunciones, casos paradigmáticos, proposiciones no disputables (en el momento de la conversación), las clases comparativas relevantes, rango de los cuantificadores y todo aquello que está implícita o explícitamente acordado durante la conversación. Podemos ver a la marca de la conversación como un tipo de base de datos, cuya particular característica es la actualización continua. Durante el transcurso de la conversación los sujetos involucrados, digamos T y W, introducen y retiran artículos del registro de la misma; esto ocurre cuando cambia el tema de la conversación, cuando se cuestiona algo previamente acordado o una suposición, o cuando alguno de los participantes cambia su punto de vista acerca de los artículos de la conversación. Shapiro toma como base a Lewis para caracterizar el marcador conversacional, a grandes rasgos las características de esta base de datos son las siguientes: a) Los componentes de un marcador conversacional son entidades abstractas (no son números, sino conjuntos de proposiciones presupuestas). b) Las condiciones de verdad de los enunciados, y su aceptabilidad, depende de los componentes del marcador conversacional que se da en el escenario de la conversación en la que son completados (dichos). La intensión y la extensión de los componentes de los enunciados -nombres, predicados, subenunciados, etc.- depende del marcador conversacional. c) El marcador se desenvuelve de una manera más o menos regulada. d) Los participantes de la conversación guían los componentes del marcador conversacional en alguna dirección.

En principio podemos ver que la primera parte de las condiciones para la determinación se cumple, tomando como criterio adicional de determinación de condiciones de verdad de enunciados vagos al marcador conversacional. Lo que hacen i y i.5 es determinar las condiciones de verdad de los enunciados. En nuestro cuadro quedaría de la siguiente manera:

Ahora bien, recordemos que los hechos no-lingüísticos garantizan que pa pueda ser verdadero. Por tanto, además de esto debe cumplirse:

ii) los hechos no lingüísticos que proveen de verdad a pa.

Con ii, podemos decir si las condiciones de verdad establecidas se cumplen o no, esto es, si se da un hecho respecto a ellas o no. De igual modo, los hechos son los que proveen de verdad a las afirmaciones vagas, sin embargo, la manera de determinar las condiciones de verdad del mismo depende de factores que deben determinar la afirmación de enunciado, ya que los términos vagos e) Debido a que el score conversacional está determinado, dada la historia de la conversación y las reglas que especifican su cinemática, estas reglas pueden ser consideradas como reglas constitutivas semejantes a las definiciones. De acuerdo con b, las condiciones de verdad dependen de la conversación, aunque no completamente. Un punto a resaltar es que el marcador conversacional es regulado por los participantes de la conversación, esto nos hace pensar que en algún sentido toma una determinación y esta es la que determinará los términos presentes en la conversación.

tienen un significado abierto. Una vez que se ha determinado el significado de la afirmación vaga, por factores que son ajenos al significado lingüístico directos de la afirmación, poseemos la proposición a la que pa se refiere. El paso de esta proposición al hecho se da de modo directo, esto es, el verificar si lo expresado por la afirmación es verdadero o falso es más simple que la determinación de las condiciones para que lo sea. En el cuadro quedaría como sigue:

De acuerdo a nuestro ejemplo, el hecho no lingüístico que verifica si pa es verdadero o falso, es el número de cabellos de Cuauhtémoc Blanco relacionado con la proposición establecida.

Un problema con estos enunciados es que no podemos decir si son determinadamente verdaderos, sino que, podemos decir de ellos que son simplemente verdaderos. Esto debido a que la determinación de las condiciones de verdad de los mismos depende de factores que no son objetivos, sino que dependen directa o indirectamente de los sujetos, como vimos el caso del marcador conversacional.

5) Determinación de afirmaciones objetivas. Antes de pasar al proceso de determinación de este tipo de afirmaciones tenemos que especificar las características de la realidad en la que encontraremos los hechos lógicos. Después veremos cómo se lleva a cabo el proceso de determinación de las afirmaciones objetivas que contienen como término ingrediente nociones lógicas básicas. Particularmente nos remitiremos a afirmaciones que contengan la noción de consecuencia lógica, con el fin de mostrar la objetividad de esta noción. Finalmente, ofrecemos un apartado en el que se trata la independencia de las nociones lógicas básicas respecto algún tipo de psicologismo.

5.1) Realismo lógico. Cuando nos preguntamos si algo es objetivo o no, por lo que nos podríamos estar preguntando es: 1) la forma en que tenemos acceso a ello, es decir, el método que usamos para poder "conocerlo" (de forma justificada); o 2) su naturaleza. El primer sentido excede los objetivos del capítulo, ya que, no se pretende desarrollar una propuesta epistemológica. Por tanto, el interés de la investigación versa sobre la segunda cuestión: por qué decimos que la naturaleza propia de la relación de consecuencia lógica es objetiva. Cuando hablamos de objetividad lógica, nos preguntamos por la realidad lógica. Lo que se pretende en este trabajo es postular la posibilidad de que algunas de las nociones lógicas básicas -consecuencia lógica, principio de identidad, verdad lógica, entre otras- nos remitan a hechos lógicos, esto es, a un estado factual. Y son estos hechos los que constituyen la realidad lógica. Los hechos en sí mismos no son objetivos, o subjetivos, o vagos, lo que se caracteriza de esta manera es la manera como establecemos las condiciones de verdad de una afirmación de un enunciado en conjunción con el enlace de la proposición expresada con el campo de los hechos. No desarrollaremos más esto, ya que como veremos esto se aclarará cuando hablemos de determinación. Otra de la posturas para poder clasificar algo como objetivo, subjetivo o vago, es ver la manera cómo accedemos a ese algo; sin embargo, el basarnos en ello representaría el dar una propuesta epistemológica, cosa que no haremos aquí. El hecho lógico al que me remite la relación de consecuencia lógica está objetivamente determinado, esto es, su determinación no depende de ningún modo del sujeto, o de otras construcciones subjetivas63. Por tanto, la investigación se basará en preguntar por la naturaleza de la relación de consecuencia lógica y no en cómo accedemos a ella. Ahora bien, el hecho lógico al que me remite la noción de consecuencia lógica es expresado en afirmaciones de enunciado tipo p: (p) 'de las premisas K1, K2, Kn se sigue lógicamente la conclusión X' . (p) „X es consecuencia lógica de K1, K2, Kn'. (p) 'el argumento K1, K2, Kn ∴ X es lógicamente válido'. Todas ellas expresan la misma noción lógica, entre muchas otras. Por tal motivo, se probará que las afirmaciones de enunciado tipo (p) son objetivas, y por tanto nos refieren a hechos lógicos. 63

Por otras construcciones subjetivas nos referimos al concenso o a las convenciones del lenguaje; más adelante se desarrollará por qué consideramos que estos entran dentro del campo de la subjetividad.

Lo que interesa es que el lector tenga presente que la realidad lógica está compuesta por hechos lógicos objetivos. Y, las nociones lógicas básicas consecuenica lógica, verdad lógica, etc.- me remiten a estos hechos lógicos; por ende, el propósito del apartado es mostrar que dichas nociones, en particualr la noción de consecuencia lógica, son objetivas. El trabajo realizado representa un primer paso en la construcción de este realismo lógico, ya que sólo se aplican los criterios para que una noción cuente como objetiva a la noción de consecuencia lógica. Sin embargo, creemos que también representa un avance en relación a proponer que las nociones lógicas pueden estudiarse, a primera instancia, independientemente del lenguaje o de construcciones subjetivas.

5.2) Determinación de afirmaciones objetivas. De acuerdo a lo que se ha dicho sobre las afirmaciones de enunciado como portadores de verdad ideales, veamos ahora cómo es que éstas pueden ser determinadamente verdaderas. Una afirmación de enunciado p es determinadamente verdadera si y sólo si el significado (lingüístico) de las palabras que están presentes en p, y los hechos no-lingüísticos garantizan por sí mismos que p es verdadera. Diremos que una afirmación de enunciado está determinada cuando se cumple: i) Los sujetos involucrados en una conversación (hablantes competentes del lenguaje en situaciones normales) saben lo que significan las palabras involucradas, saben gramática y saben cómo se combinan los significados de las palabras. Esto es, tienen el significado lingüístico de las expresiones involucradas en la conversación. Además ven dichas expresiones dentro de un contexto determinado. Podemos ver que (i) corresponde sólo al nivel del lenguaje, de igual modo que en los apartados anteriores, en este nivel ubicamos las condiciones de verdad de los enunciados. Ahora bien, debido a que las proposiciones apuntan a hechos, no podemos dejar nuestro criterio de determinación en el plano del lenguaje, ya que tomamos a la objetividad lógica como independiente del lenguaje. Para que algo sea determinadamente verdadero necesita cumplir además de (i) lo siguiente: ii) la verdad de las nociones está garantizada por los hechos que dicha noción indica. Esto es, que los sujetos vean (en sentido amplio) los hechos no lingüísticos involucrados en las expresiones.

Lo expresado por los enunciados será verdadero si y sólo si de hecho es el caso que ocurre lo expresado por dicha noción; si no es el caso que el hecho ocurra, entonces la noción será falsa. Vemos aquí que la determinación es más directa, sólo necesitamos de las condiciones de verdad de las expresiones, las cuáles son dadas por el significado de los términos ingredientes de las expresiones. Por las condiciones de determinación arriba planteadas, podemos decir de las expresiones objetivas que son determinadamente verdaderas. Poniéndolo en el cuadro que se ha venido manejando quedaría como sigue:

Veamos cómo se da este proceso a través de un ejemplo. Supongamos que el sujeto T hace la siguiente afirmación: (p) „el argumento h es lógicamente válido‟. El argumento h que el sujeto T tiene en mente es el siguiente: (h)

Para que p sea determinadamente verdadero es necesario que, primero, T sepa lo que los términos ingredientes de p significan. Lo términos que encontramos en p están determinados, esto es, su significado no es vago y no depende del punto de vista particular de T. Lo segundo que es necesario es que T vea (en sentido amplio) el hecho al que p remite, el cual es que “efectivamente el argumento h es lógicamente válido”. Para ello T puede valerse de la concepción de la relación de consecuencia lógica: “X es consecuencia lógica del conjunto K, si y sólo si en toda circunstancia, mundo posible o caso en que K sea verdadero, X también necesidad lógica- es verdadero.” O también podría realizar la prueba de validez del argumento h. Tomamos la versión semántica intuitiva de esta noción, debido a que no nos pronunciaremos acerca de qué sean X y K, proposiciones, enunciados, afirmaciones, etc. . Tomamos la caracterización más básica de la relación de consecuencia lógica y no la noción tarskiana64, debido a que si la extensión de un enunciado está indeterminada (es vaga o es subjetiva), no implica que todos sus términos ingredientes estén indeterminados (sean vagos) o sean subjetivos, y viceversa. Por otro lado, cabe mencionar que la noción de consecuencia lógica a tratar es la de la lógica clásica; no se consideran concepciones alternativas desarrolladas por otro tipo de lógicas, como las lógicas no-monotónicas. Todas estas nociones no dependen del punto de vista particular de T respecto al argumento h, sino que dependen de cómo las cosas son en realidad en el campo de los hechos, particularmente los hechos lógicos. Por tanto, podemos decir que p es determinantemente verdadera.

5.6) Independencia de la lógica respecto al psicologismo. Hechos lógicos y psicologismo. Ahora trataremos algo que no se ve tan claramente, diremos que las proposiciones del tipo (p) no son susceptibles a cambios respecto a los estados psicológicos y capacidades cognitivas de los hablantes competentes del lenguaje; en otras palabras, los hechos lógicos, a los que nos remiten las nociones lógicas básicas, son independientes de cualquier tipo de psicologismo. Aquello que es independiente de los estados psicológicos y de las capacidades cognitivas son los hechos lógicos, éstos no dependen del estado psicológico del sujeto cognoscente, tampoco son afectados si son conocidos o no. Lo que no es independiente a los estados psicológicos y a las capacidades cognitivas es que a través de ellos podemos acceder a estos hechos, pero no interferimos en ellos. 64

"El enunciado X se sigue lógicamente de los enunciados de la clase K, sí y sólo si todo modelo de la clase K es también un modelo del enunciado X". Gómez Torrente M., , Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 37, Núm. 1, 1996, p.130.

Haremos una comparación: supongamos que tengo la siguiente proposición verdadera (j) „hay unas rosas en el florero‟, el hecho al que nos remite (j) es que es el caso que las rosas están en el florero y que las estamos viendo, ahí están y las vemos. Ahora bien, las capacidades cognitivas en este caso sería el sentido de la vista, el estado psicológico la disposición a ver tal objeto. Es a través de este sentido que podemos ver el hecho al que nos remite la proposición, pero este hecho de ningún modo es afectado o alterado por nuestra vista. Supongamos que nos da una enfermedad en los ojos: miopía, astigmatismo, daltonismo, glaucoma, etc. Podemos decir que hemos alterado nuestra capacidad cognitiva -ver bien- a otra diferente, y también hemos cambiado de un estado psicológico a otro. Sin embargo, el hecho de que las rosas están en el florero sigue igual, proveyendo de verdad a j. Es en este sentido en el que decimos que los hechos lógicos, a los que nos remiten las nociones lógicas básicas, son independientes de cualquier tipo de psicologismo. Y con los apartados anteriores se muestra su independencia respecto al lenguaje.

Bibliografía

Barceló Axel A., , Diánoia, vol. XLVIII, Núm. 51, noviembre 2003, p.3-28. , manúscrito inédito.

A) - Gómez Torrente M., , Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 37, Núm. 1, 1996. - Shapiro Stewart, Vagueness in Context, Clarendon Press, Oxford University Press, 2006. - Wright Crispin, , en J. Butterfield ed., Language, Mind and Logic, Cambridge University Press, 1986, p. 187-209.

APÉNDICE I Mario Cornejo Cuevas Advertencia El objetivo del presente apéndice tiene por finalidad presentar con exhaustividad aplicaciones de las reglas de inferencia y equivalencia empleadas a lo largo del libro. Por ello a la simbolización de las reglas se le acompaña con una aproximación del proceso mecánico, intentando ser preciso con los términos utilizados en distintas ediciones. También es una presentación resumida de las conectivas utilizadas. Se ha intentado respetar un límite de complejidad, ideado para que el lector pueda dar un seguimiento a las operaciones, sin necesidad de recurrir al empleo máximo de dos reglas por comprobación. Es decir se busca conservar una cierta simpleza de ejecución y comprobación. Por supuesto que si bien se busca la exhaustividad se ha dejado un margen de apertura para que el estudiante pueda indagar en posibilidades mucho más elaboradas. La exhaustividad busca ser lo suficientemente amplia como para orientar pero no para sofocar todas las posibilidades creativas del estudiante. Usado con sabiduría este apéndice es una gran herramienta de estudio, sin ella sólo es una especie de acordeón. Las consecuencias de su uso son entera responsabilidad del lector, pues si bien, no requiere de su atención para comprender la totalidad del libro, pues su lectura es opcional, tampoco es mala idea conservar ciertas recomendaciones del autor en el uso de las diferentes reglas de inferencia y equivalencia. Se recomienda discreción. Cabe mencionar que sobre las ya bien conocidas reglas de inferencias se agregan además otras variantes respecto al original, pues la misma exhaustividad empuja a generar operaciones alternas, que si bien no poseen demasiada innovación, tampoco son presentadas en otras publicaciones, pues se deja al lector la libertad de averiguarlas. Con su inclusión se pretende simplemente ahorrar el camino desgastante y adelantar al lector a un escalón superior y confiable, pues es necesario un cierto nivel de desarrollo para su comprensión. Me refiero a la inclusión de operaciones de tipo mixto como por ejemplo lo que aquí llamamos Dilema Republicano. Además de eso, incursionamos en el terreno de la conectiva de exclusión y sus distintas variantes.

Sin nada más que agregar procederemos a nuestro estudio.

Afirmación: No se simboliza. Una premisa presupone su afirmación. P Negación: No es conectiva, es absolutamente dependiente de la afirmación de una premisa, no puede ser colocado sin la presencia de una premisa afirmada. Se simboliza con « ¬ » para indicar el valor veritativo inverso de la afirmación. ¬P En otras ediciones se le encuentra como una tilde o virgulilla « ~ » Conjunción: Consta de dos componentes a los que se les asignará el nombre de conjuntos65, unidos por el símbolo « ˄ ». P˄Q En otras ediciones puede encontrarse como un punto « . » a como una et « & » Disyunción: Consta de dos componentes a los que se les asignará el nombre de disyuntos, unidos por el símbolo: « ˅ » P˅Q Condicional: Consta de dos componentes a los que se les asignará los nombres respectivos de: Antecedente (si ocupa el lugar de P en el esquema de abajo) y Consecuente (si ocupa el lugar de Q).

65

No tiene que ver, por supuesto con los objetos de la Teoría de Conjuntos., por ello, algunos prefieren referirse a los componentes de la conjunción con el apelativo “conyuntos”.

Ambas se encontraran en todo caso unidas por el símbolo « → » denominado flecha condicional. P→Q En otras ediciones puede encontrarse bajo el símbolo de la herradura «

».

Bicondicional: También es una conectiva binaria. Se simboliza a veces con tres líneas « ≡ » o de preferencia con « ↔ »66. Es lo mismo que un doble condicional: (PQ)(QP): PQ

Símbolos aglutinantes, de asociación o agrupación: Simbolizan el rango de dominio de dos premisas unidas por una conectiva para su respectiva distinción. Se simbolizan alternadamente, primero por paréntesis « ( ) » luego corchetes « [ ] » y por último llaves67 « { } ». ¬[(P˄Q) ˅ R]

{[(P˄Q)˅R]→[(ST)˅U]} ˅ {[(P˅Q)˄R]→[(ST)˅U]}

Aglutinante negado: Un aglutinante negado es un enunciado compuesto pero con un valor inverso al afirmado. Un error frecuente es considerar que es lo mismo la negación del enunciado aglutinado a la negación de los componentes individuales. Vemos en el siguiente ejemplo sencillo que por lo general eso no sucede.

66

Aquí utilizaremos „‟ para referirnos al bicondicional y „‟ para referirnos a la relación de equivalencia (ver el capítulo de lógica proposicional).

67

Nuevamente, en este contexto las llaves tienen un uso distinto al que correspondía en la parte de Teoría de Conjuntos. En este apéndice la finalidad es mostrar con claridad gráfica los distintos niveles de agrupación en una fórmula.

P Q ¬(P˄Q)

≡

(¬P˄¬Q)

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

P Q ¬(P˅Q)

≡

(¬P˅¬Q)

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

Resultado: El resultado de una derivación finalizada, es simbolizado por «  » o por « ».

Reglas de inferencia con ejemplos.

1. Conjunción (Conj) Es posible «conjuntar» por medio de una «˄» cualquier fórmula. Siempre y cuando la premisa conjuntada se encuentre en existencia en el conjunto de premisas desarrolladas en la derivación: 1. P 2. Q  P˄Q

1. ¬P 2. ¬Q  ¬P˄¬Q

1. ¬P 2. Q  ¬P˄Q

1. P 2. ¬Q  P˄¬Q

Inclusive si ésta es una premisa compuesta, sin importar el orden:

1. P˄Q 2. P  [(P˄Q) ˄P]  [P˄( P˄Q)]

2. Simplificación (Simp) Es posible simplificar siempre y cuando lo simplificado sea únicamente una clara conjunción (˄). 1. P˄Q  P

1. ¬P˄¬Q  ¬P

1. ¬P˄Q  ¬P

1. P˄¬Q  P

 Q

 ¬Q

 Q

 ¬Q

3. Adición (Ad) Por medio de una «˅» es posible «adicionar» cualquier otra premisa. Inclusive si la premisa adicionada no se encuentra en existencia dentro del conjunto de premisas desarrolladas en la comprobación, e inclusive si esa premisa es la contraria a la que se le va a adicionar: 1. P 2. Q  P˅Q

1. P

1. P

 P˅Q

 P˅¬P

4. Silogismo Disyuntivo (SD) ó Modus Tollendo Ponens (MTP) Primer término: Una disyunción (˅) Segundo término: Una premisa independiente inversa a uno de los dos disyuntos. Término final: El disyunto restante. 1. P˅Q 2. ¬P  Q

1. P˅Q 3. ¬Q  P

1. ¬P˅¬Q 2. P  ¬Q

3. ¬P˅¬Q 4. Q  ¬P

1. P˅¬Q 2. ¬P  ¬Q

1. ¬P˅Q 2. P  Q

1. ¬P˅Q 2. ¬Q  ¬P

1. P˅¬Q 2. Q  P

No se infiere del SD ó MTP 1. P˅Q 2. P  X

1. ¬P˅Q 2. ¬P  X

1. P˅¬Q 2. P  X

1. ¬P˅¬Q 2. ¬P  X

1. P˅Q 2. Q  X

1. P˅¬Q 2. ¬Q  X

1. ¬P˅¬Q 2. ¬Q  X

1. ¬P˅Q 2. Q  X

5. Modus Ponendo Ponens (MPP) Primer término: Una inferencia cuyo antecedente sea idéntico a la premisa del segundo término. Segundo término: Una premisa independiente, idéntica al antecedente del primer término. Término Final: El consecuente del primer término. 1. P→Q 2. P  Q

1. P→¬Q 2. P  ¬Q

1. ¬P→Q 2. ¬ P  Q

1. ¬P→¬Q 2. ¬P  ¬Q

1. P→¬Q 2. ¬P  X

1. ¬P→¬Q 2. P  X

No se infiere del MPP 1. P→Q 2. ¬P  X

1. ¬P→Q 2. P  X

 Modus Ponendo Ponens Bicondicional Tomando en cuenta que la bicondiconal es una doble inferencia, podemos generar de ella un MPP. 1. P  Q 2. P Q

1. P  Q 2. Q P

6. Dilema Constructivo (DC) El DC es un doble MPP, siempre y cuando corresponda con la estructura: Primer término: Dos inferenciasunidas por una conjunción cuyos respectivos antecedentes sean idénticos a los disyuntos del segundo término. Segundo término: Una disyunción cuyos disyuntos correspondan a los antecedentes en las inferencias del primer término. Término final: El resultado arrojado es una disyunción (˅) cuyos disyuntos son los consecuentes de las inferencias contenidas en el primer término. 1. (P→Q) ˄(R→S) 1. (P→Q) ˄(R→¬S) 2. P˅R 2. P˅R  Q˅S  Q˅¬S 1. (P→Q) ˄(¬R→S) 2. P˅¬R  Q˅S

1. (P→Q) ˄(¬R→¬S) 2. P˅¬R  Q˅¬S

1. (P→¬Q) ˄(R→S) 2. P˅R  ¬Q˅S

1. (P→¬Q) ˄(R→¬S) 2. P˅R  ¬Q˅¬S

1. (P→¬Q) ˄(¬R→S) 2. P˅¬R  ¬Q˅S

1. (P→¬Q) ˄(¬R→¬S) 2. P˅¬R  ¬Q˅¬S

1. (¬P→Q) ˄(R→S) 2. ¬P˅R  Q˅S

1. (¬P→Q) ˄(R→¬S) 2. P˅R  Q˅¬S

1. (¬P→Q) ˄(¬R→S) 2. ¬P˅¬R  Q˅S

1. (¬P→Q) ˄(¬R→¬S) 2. ¬P˅¬R  Q˅¬S

1. (¬P→¬Q) ˄(R→S) 2. ¬P˅R  ¬Q˅S

1. (¬P→¬Q) ˄(R→¬S) 2. ¬P˅R  ¬Q˅¬S

1. (¬P→¬Q) ˄(¬R→S) 2. ¬P˅¬R  ¬Q˅S

1. (¬P→¬Q) ˄(¬R→¬S) 2. ¬P˅¬R  ¬Q˅¬S

7. Modus Tolendo Tollens (MTT) Primer término: Una inferencia cuyo consecuente sea inverso al segundo término. Segundo término: Una premisa independiente e inversa al consecuente del primer término. Término final: El inverso del antecedente en el primer término. 1. P→Q 2. ¬Q  ¬P

1. P→¬Q 2. Q  ¬P

1. ¬P→Q 2. ¬Q  ¬¬P ≡ P

1. ¬P→¬Q 2. Q  ¬¬P ≡ P

No se infiere del MTT 1. P→Q 2. Q  X

1. P→¬Q 2. ¬Q  X

1. ¬P→Q 2. Q  X

1. ¬P→¬Q 2. ¬Q  X

 Modus Tolendo Tollens Bicondicional Tomando en cuenta que la bicondiconal es una doble inferencia, podemos generar de ella un MTT. 1. P  Q 2. ¬Q  ¬P

1. P  Q 2. ¬P ¬Q

8. Dilema Destructivo (DD) El DD es un doble MTT, siempre y cuando corresponda con la estructura: Primer término: Dos inferencias unidas por una conjunción. Segundo término: Una disyunción cuyos disyuntos correspondan a los consecuentes inversos de las inferencias en el primer término. Término final: El resultado arrojado es una disyunción cuyos disyuntos son los antecedentes invertidos de las inferencias contenidas en el primer término. 1. (P→Q) ˄(R→S) 2. ¬Q˅¬S  ¬P˅¬R

1. (P→Q) ˄(R→¬S) 2. ¬Q˅S  ¬P˅¬R

1. (P→Q) ˄(¬R→S) 2. ¬Q˅¬S  ¬P˅¬¬R ≡ ¬P˅R

1. (P→Q) ˄(¬R→¬S) 2. ¬Q˅S  ¬P˅¬¬R ≡ ¬P˅R

1. (P→¬Q) ˄(R→S) 2. Q˅¬S  ¬P˅¬R

1. (P→¬Q) ˄(R→¬S) 2. Q˅S  ¬P˅¬R

1. (P→¬Q) ˄(¬R→S) 2. Q˅¬S  ¬P˅¬¬R ≡ ¬P˅R

1. (P→¬Q) ˄(¬R→¬S) 2. Q˅S  ¬P˅¬¬R ≡ ¬P˅R

1. (¬P→Q) ˄(R→S) 2. ¬Q˅¬S  ¬¬P˅¬R ≡ P˅¬R

1. (¬P→Q) ˄(R→¬S) 2. ¬Q˅S  ¬¬P˅¬R ≡ P˅¬R

1. (¬P→Q) ˄(¬R→S) 2. ¬Q˅¬S  ¬¬P˅¬¬R ≡ P˅R

1. (¬P→Q) ˄(¬R→S) 2. ¬Q˅¬S  ¬¬P˅¬¬R ≡ P˅R

1. (¬P→¬Q) ˄(R→S) 2. Q˅¬S  ¬¬P˅¬R ≡ P˅¬R

1. (¬P→¬Q) ˄(R→¬S) 2. Q˅S ¬¬P˅¬R ≡ P˅¬R

1. (¬P→¬Q) ˄(¬R→S) 2. Q˅¬S  ¬¬P˅¬¬R ≡ P˅R

1. (¬P→¬Q) ˄(¬R→S) 2. Q˅¬S  ¬¬P˅¬¬R ≡ P˅R



Dilema Republicano (DR)

Esta clase de Dilema es una variante que combina distintas conectivas, aprovechando la posibilidad de aglutinación de los dilemas. Se combinan las dos posibilidades. Deja al descubierto la posibilidad de combinar tanto un MPP como un MTT en una sola ejecución. Primer término: Dos inferencias unidas por una conjunción Segundo término: Una disyunción cuyos disyuntos correspondan: El uno al antecedente de una inferencia, y el otro a la inversión del consecuente de la otra inferencia. No importa el orden sintáctico, siempre y cuando el segundo término posea una premisa idéntica al antecedente de una inferencia y el valor inverso del consecuente en la otra. Término final: El resultado arrojado es una disyunción, cuyos disyuntos son el consecuente de la primera inferencia junto a la inversión del antecedente de la segunda. 1. (P→Q) ˄(R→S) 2. P˅¬S  Q˅¬R

1. (P→Q) ˄(R→¬S) 2. P˅S  Q˅¬R

1. (P→Q) ˄(¬R→S) 2. P˅¬S  Q˅¬¬R

1. (P→Q) ˄(¬R→¬S) 2. P˅S  Q˅¬¬R

1. (P→¬Q) ˄(R→S) 2. P˅¬S  ¬Q˅¬R

1. (P→¬Q) ˄(R→¬S) 2. P˅S  ¬Q˅¬R

1. (P→¬Q) ˄(¬R→S) 2. P˅¬S  ¬Q˅¬¬R

1. (P→¬Q) ˄(¬R→¬S) 2. P˅S  ¬Q˅¬¬R

3. (¬P→Q) ˄(R→S) 4. ¬P˅¬S  Q˅¬R

1. (¬P→Q) ˄(R→¬S) 2. ¬P˅S  Q˅¬R

1. (¬P→Q) ˄(¬R→S) 2. ¬P˅¬S  Q˅¬¬R

1. (¬P→Q) ˄(¬R→¬S) 2. ¬P˅S  Q˅¬¬R

1. (¬P→¬Q) ˄(R→S) 2. ¬P˅¬S  ¬Q˅¬R

1. (¬P→¬Q) ˄(R→¬S) 2. ¬P˅S  ¬Q˅¬R

1. (¬P→¬Q) ˄(¬R→S) 2. ¬P˅¬S  ¬Q˅¬¬R

1. (¬P→¬Q) ˄(¬R→¬S) 2. ¬P˅S  ¬Q˅¬¬R

9. Silogismo Hipotético (SH) Primer término: Una inferencia cuyo consecuente sea el antecedente del segundo término. Segundo término: Una inferencia cuyo antecedente sea el consecuente del primer término. Término medio: Una premisa idéntica en los dos términos, pero en posición respectivamente alterna (antecedente/consecuente). Se omite al presuponerla en el término final. Término Final: Unión entre el antecedente del primer término y el consecuente del segundo, presuposición del término medio. 1. P→Q 2. Q→R  P→R

1. P→Q 2. Q→¬R  P→¬R

1. P→¬Q 2. ¬Q→R  P→R

1. P→¬Q 2. ¬Q→¬R  P→¬R

1. ¬P→Q 2. Q→R  ¬P→R

1. ¬P→Q 2. Q→¬R  ¬P→¬R

1. ¬P→¬Q 2. ¬Q→R  ¬P→R

1. ¬P→¬Q 2. ¬Q→¬R  ¬P→¬R

No se sigue del SH 1. P→Q 2. ¬Q→R  X

1. P→Q 2. ¬Q→¬R  X

1. P→¬Q 2. Q→R  X

1. P→¬Q 2. Q→¬R  X

1. ¬P→Q 2. ¬Q→R  X

1. ¬P→Q 2. ¬Q→¬R  X

1. ¬P→¬Q 2. Q→R  X

1. ¬P→¬Q 2. Q→¬R  X

Bajo ningún caso es posible que se siga un SH si no coincide el término medio entre las dos premisas bajo la posición, respectivamente alterna, del consecuente y el antecedente. Es decir: 1. Q→P 2. Q→R  X



1. P→Q 2. R→Q  X

Silogismo Hipotético bicondicional

Tomando en cuenta que la bicondiconal es una doble inferencia, podemos generar de ella un SH. 1. PQ 2. QR  PR

Reglas de Equivalencia, Sustitución o Reemplazo Las reglas de equivalencia, también conocidas como reglas de sustitución, son ocupadas para alterar la estructura de los términos lógicos, adaptándolos a una

mayor claridad del discurso pero sin cambiar el valor veritativo. Hay dos tipos de cambio: Sintáctico: Cambia la posición de las premisas pero sin alterar la simbología. Morfológico: Cambia por entero la figura del término lógico: negaciones, simbología, sintaxis, etc. Una de las ventajas de las reglas de equivalencia es su intercomunicabilidad, es decir, al no estar establecido el antecedente y el consecuente en una sola vía sino en las dos, es posible pasar indistintamente de una a otra. Otra ventaja es su aplicación molecular, es decir, es posible modificar una molécula de un enunciado sin alterar la totalidad de éste en cualquier momento de la derivación. 10. Doble Negación (DN) El valor de una fórmula con negaciones antepuestas depende del número de éstas. Si es par: afirma Si es non: niega P ≡¬¬P

¬P ≡ ¬¬¬P

¬¬P ≡ ¬¬¬¬P

¬¬¬P ≡ ¬¬¬¬¬P

11. Conmutación (Conm) La conmutación es un intercambio del orden sintáctico, el cambio es efectivo siempre y cuando sea bajo una conjunción o una disyunción. (P˄Q) ≡ (Q˄P)

(P˄¬Q) ≡ (¬Q˄P)

(¬P˄Q) ≡ (Q˄¬P)

(¬P˄¬Q) ≡ (¬Q˄¬P)

(P˅Q) ≡ (Q˅P)

(P˅¬Q) ≡ (¬Q˅P)

(¬P˅Q) ≡ (Q˅¬P)

(¬P˅¬Q)≡(¬Q˅¬P)

No es posible aplicarlo al condicional.

(P→Q)

(Q→P)

(P→Q)

P Q



(Q→P)

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

Conmutación bicondicional

Tomando en cuenta que la bicondiconal es una doble inferencia, podemos generar de ella una Conmutación, pues su valor veritativo es equivalente. (PQ) ≡ (QP)

12. Asociación Equivalencia sintáctica, cambia el orden del aglutinante. El cambio es efectivo siempre y cuando sea bajo una doble conjunción o una doble disyunción. (P˄Q)˄R ≡ P˄(Q˄R)

(P˄Q)˄ ¬R ≡ P˄(Q˄¬R)

(P˄¬Q)˄R ≡ P˄(¬Q˄R)

(P˄¬Q)˄ ¬R ≡ P˄(¬Q˄¬R)

(¬P˄Q)˄R ≡ ¬P˄(Q˄R)

(¬P˄Q)˄ ¬R ≡ ¬P˄(Q˄¬R)

(¬P˄¬Q)˄R ≡ ¬P˄(¬Q˄R)

(¬P˄¬Q)˄ ¬R ≡ ¬P˄(¬Q˄¬R)

(P˅Q)˅R ≡ P˅ (Q˅R)

(P˅Q)˅¬R ≡ P˅ (Q˅¬R)

(P˅¬Q)˅R ≡ P˅ (¬Q˅R)

(P˅¬Q)˅¬R ≡ P˅ (¬Q˅¬R)

(¬P˅Q)˅R ≡ ¬P˅ (Q˅R)

(¬P˅Q)˅¬R ≡ ¬P˅ (Q˅¬R)

(¬P˅¬Q)˅R ≡¬P˅(¬Q˄R)

(¬P˅¬Q)˅¬R ≡ ¬P˅(¬Q˅¬R)

No es posible aplicar la asociación mixta

(P˄Q) ˅R

(P˅Q) ˅R

P˄(Q˅R)

P˅ (Q˅R)

P Q

R (P˄Q)

˅

R

P ˄ (Q˅R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

P Q

R (P˅Q)

˄

R

P ˄ (Q˅R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

Tampoco es posible aplicar una asociación al condicional. (P→Q)→R

P→(Q→R)

P Q

R (P→Q) → R

P → (Q→R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

13. Tautología o Idempotencia Equivalencia morfológica. Basada en el principio de identidad. Un término redundante. No es posible si los dos conjuntos o disyuntos tienen un valor distinto. P ≡ (P˅P)

P ≡ (P˄P)

P

¬P ≡ (¬P˅¬P)

P ≡ (¬P˄¬P)

¬P

(P˅¬P) (¬P˅P)

Esto no acontece con el condicional.

P

(P→P)

P

(P→P)

1

1

1

0

0

1

P ¬P

(P˄¬P) (¬P˄P)

Ni con el bicondicional. P

(PP)

1

1

1

0

0

1

14. Distribución Su cambio es de tipo morfológico. Acontece cuando una premisa simple, unida a una compleja, se duplica para repartirse en un nuevo enunciado equivalente entre las dos premisas del enunciado complejo. Generando así dos enunciados complejos, unidos por una conectiva. Y viceversa: Dos enunciados complejos (compuestos por una misma conectiva idéntica) en cuyos elementos se puede encontrar una de sus premisas repetida en las dos partes; es equivalente a un solo enunciado complejo, compuesto por: una premisa simple (cuya identidad es la unificación de las repetidas en los enunciados complejos anteriores) unida a su vez por otro enunciado complejo (cuyos componentes son los enunciados distintos). P˄(Q˄R)≡(P˄Q)˄(P˄R)

P˄(Q˄¬R)≡(P˄Q)˄(P˄¬R)

P˄(¬Q˄R)≡(P˄¬Q)˄(P˄R)

P˄(¬Q˄¬R)≡(P˄¬Q)˄(P˄¬R)

¬P˄(Q˄R)≡(P˄Q)˄(P˄R)

¬P˄(Q˄¬R)≡( ¬P˄Q)˄( ¬P˄¬R)

¬P˄(¬Q˄R)≡(¬P˄¬Q)˄(¬P˄R) ¬P˄(¬Q˄¬R)≡(¬P˄¬Q)˄(¬P˄¬R)

P˅(Q˅R)≡(P˅Q)˅(P˅R)

P˅(Q˅¬R)≡(P˅Q)˅(P˅¬R)

P˅(¬Q˅R)≡(P˅¬Q)˅(P˅R)

P˅(¬Q˅¬R)≡(P˅¬Q)˅(P˅¬R)

¬P˅(Q˅R)≡(P˅Q)˅(P˅R)

¬P˅(Q˅¬R)≡( ¬P˅Q)˅( ¬P˅¬R)

¬P˅(¬Q˅R)≡(¬P˅¬Q)˅(¬P˅R) ¬P˅(¬Q˅¬R)≡(¬P˅¬Q)˅(¬P˅¬R) Aún sin respetar el orden sintáctico, la distribución es posible en conectivas idénticas. (P˄Q)˄R≡(P˄Q)˄(P˄R)

P Q R (P˄Q) ˄

R

≡

(P˄R)

˄ (Q˄R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

(P˅Q) ˅R ≡ (P˅Q)˅(P˅R)

P Q R (P˅Q) ˅ R

≡ (P˅R) ˅ (Q˅R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

También es posible alternar entre la conjunción y la disyunción.

P˅(Q˄R)≡(P˅Q)˄(P˅R)

P˅(Q˄¬R)≡(P˅Q)˄(P˅¬R)

P˅(¬Q˄R)≡(P˅¬Q)˄(P˅R)

P˅(¬Q˄¬R)≡(P˅¬Q)˄(P˅¬R)

¬P˅(Q˄R)≡(¬P˅Q)˄(¬P˅R)

¬P˅(Q˄¬R)≡(¬P˅Q)˄(¬P˅¬R)

¬P˅(¬Q˄R)≡(¬P˅¬Q)˄(¬P˅R) ¬P˅(¬Q˄¬R)≡(¬P˅¬Q)˄(¬P˅¬R)

P˄(Q˅R)≡(P˄Q)˅(P˄R)

P˄(Q˅¬R)≡(P˄Q)˅(P˄¬R)

P˄(¬Q˅R)≡(P˄¬Q)˅(P˄R)

P˄(¬Q˅¬R)≡(P˄¬Q)˅(P˄¬R)

¬P˄(Q˅R)≡( ¬P˄Q)˅( ¬P˄R)

¬P˄(Q˅¬R)≡( ¬P˄Q)˅( ¬P˄¬R)

¬P˄(¬Q˅R)≡(¬P˄¬Q)˅(¬P˄R) ¬P˄(¬Q˅¬R)≡(¬P˄¬Q)˅(¬P˄¬R)

Aún sin respetar el orden sintáctico, la distribución es posible en conectivas alternas (conjunción/disyunción) (P˅Q)˄R ≡ (P˄Q)˅(P˄R)

P Q

R (P˅Q)

˄

R

≡

(P˄R)

˅

(Q˄R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

(P˄Q)˅R≡(P˅Q)˄(P˅R)

P Q

R (P˄Q)

˅

R

≡

(P˅R)

˄

(Q˅R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

Es posible utilizar la distribución inclusive en una serie de premisas unidas por condicionales. P→(Q→R)≡(P→Q)→(P→R)

P Q

R P → (Q→R) ≡ (P→Q) → (P→R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Sin embargo en la distribución conformada por condicionales sí se debe respetar el orden sintáctico del enunciado. (P→Q)→R

(P→R)→(Q→R)

P Q

R (P→Q) → R

≡

(P→R) → (Q→R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

Es posible aplicar la distribución entre las alternativas: disyunción/condicional condicional/disyunción. P˅(Q→R)≡(P˅Q)→(P˅R) P→(Q˅R)≡(P→Q)˅(P→R)

P˅(Q→R)≡(P˅Q)→(P˅R)

P Q

R P

˅

1

1

1

1

1

(Q→R) ≡ 1

1

(P˅Q)

→

(P˅R)

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

≡ (P→Q)

˅

(P→R)

P→(Q˅R)≡(P→Q)˅(P→R)

P Q

R P →

(Q˅R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

Es posible aplicar la distribución entre la alternativa: condicional/conjunción. Sin embargo la distribución se invalida con la alternativa: conjunción/condicional. P→(Q˄R)≡(P→Q)˄(P→R) P˄ (Q→R)

(P˄Q)→(P˄R)

P→(Q˄R)≡(P→Q)˄(P→R)

P Q

R P →

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

(Q˄R)

≡ (P→Q)

˄

(P→R)

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

(P˄Q)

→

(P˄R)

P˄(Q→R)

(P˄Q)→(P˄R)

P Q

R P

˄

(Q→R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

15. Transposición (Transp.)

Parecería que la transposición es un tipo de equivalencia sintáctica, sin embargo las condiciones para el cambio arrojan un resultado, a simple vista, contrario al valor inicial. Pues en la afirmación de sus componentes, al transponer el orden sintáctico se consigue una equivalencia negada y viceversa, al transponer una negación se consigue una afirmación de antecedente y consecuente respectivamente. Así tanto hay un cambio sintáctico como una inversión del valor original. (P→Q)≡(¬Q→¬P)

(P→¬Q)≡(¬¬Q→¬P)≡(Q→¬P)

(¬P→Q)≡(¬Q→¬¬P)≡(¬Q→P)

(¬P→¬Q)≡(¬¬Q→¬¬P)≡(Q→P)



Transposición bicondicional

Tomando en cuenta que la bicondiconal es un doble condicional, podemos generar de ella una Transposición. (PQ) ≡ (¬Q¬P)

16. Exportación (Exp) Le exportación es un cambio morfológico, estipula rigurosamente su estructura sintáctica: Un antecedente, compuesto por una conjunción, que infiere un enunciado consecuente simple; es equivalente a que un enunciado antecedente simple (tomado de uno de los dos conjuntos del enunciado compuesto anterior) con un enunciado consecuente compuesto por una inferencia. Y viceversa: Que un enunciado antecedente simple cuyo consecuente es un enunciado compuesto por otra inferencia, es equivalente a la conjunción de los dos antecedentes, tanto del primero como del segundo. [(P˄Q)→R] ≡ [P→(Q→R)]

[(P˄Q)→ ¬R] ≡ [P→(Q→¬R)]

[(P˄¬Q)→R] ≡ [P→(¬Q→R)]

[(P˄¬Q)→ ¬R] ≡ [P→(¬Q→¬R)]

[(¬P˄Q)→R] ≡ [¬P→(Q→R)]

[(¬P˄Q)→ ¬R] ≡ [¬P→(Q→¬R)]

[(¬P˄¬Q)→R] ≡ [¬P→(¬Q→R)]

[(¬P˄¬Q)→ ¬R] ≡ [¬P→(¬Q→¬R)]

Es posible tomar cualquiera de los dos conjuntos, sin que la Exportación altere su efecto. [(P˄Q)→R] ≡ [Q→(P→R)]

[(P˄Q)→ ¬R] ≡ [Q→(P→¬R)]

[(P˄¬Q)→R] ≡ [¬Q→(P→R)]

[(P˄¬Q)→ ¬R] ≡ [¬Q→(P→¬R)]

[(¬P˄Q)→R] ≡ [Q→(¬P→R)]

[(¬P˄Q)→ ¬R] ≡ [Q→(¬P→¬R)]

[(¬P˄¬Q)→R] ≡ [¬Q→(¬P→R)]

[(¬P˄¬Q)→ ¬R] ≡ [¬Q→(¬P→¬R)]

Esto no acontece a la inversa, es decir, con la conjunción de los consecuentes. P Q

R P → (Q˄R)

(P→Q) → R

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

Tampoco acontece con la disyunción. [(P˅Q)→R]

[P→(Q→R)]

P Q

R (P˅Q) → R

P → (Q→R)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

17. Teorema ( o Ley) de Morgan (de M) Cambio morfológico. La totalidad de un enunciado compuesto es equivalente a su inversión y la inversión de sus componentes individuales (de negación a afirmación y de afirmación a negación), y de su conectiva (de conjunción a disyunción y de disyunción a conjunción). Y viceversa: Un enunciado compuesto es equivalente a la inversión de: a) Sus componentes: De negación a afirmación y de afirmación a negación. b) Su conectiva: De conjunción a disyunción y de disyunción a conjunción c) Su totalidad: Del enunciado compuesto e inverso. ¬(P˄Q) ≡ ¬¬(¬P˅¬Q) ≡ (¬P˅¬Q)

¬(P˄¬Q) ≡ ¬¬(¬P˅¬¬Q) ≡ (¬P˅Q)

¬(¬P˄Q) ≡ ¬¬(¬¬P˅¬Q) ≡ (¬P˅¬¬Q)

¬(¬P˄¬Q) ≡ ¬¬(¬¬P˅¬¬Q) ≡ (P˅Q)

¬(P˅Q) ≡ ¬¬(¬P˄¬Q) ≡ (¬P˄¬Q)

¬(P˅¬Q) ≡¬¬(¬P˄¬¬Q) ≡ (¬P˄Q)

¬(¬P˅Q) ≡ ¬¬(¬¬P˄¬Q) ≡ (P˄¬Q)

¬(¬P˅¬Q) ≡ ¬¬(¬¬P˄¬¬Q) ≡ (P˄Q)

Un error frecuente es el de aplicar el Teorema de Morgan a una Doble Negación. Al prestar atención a la regla de Doble Negación nos daremos cuenta de que esto sería afirmar que los valores de la conjunción y la disyunción son idénticos. ¬¬(P˄Q)

(¬¬P˅¬¬Q)

P Q ¬¬(P˄Q)

(¬¬P˅¬¬Q)

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

18. Implicación Material (IM) La implicación Material amerita una explicación de sus dos polos, pues existe un flujo morfológico a simple vista diferente. 

De implicación a disyunción/conjunción

a) De implicación a Disyunción 1. Se invierte el valor del antecedente 2. Se cambia la condicional por una Disyunción P→Q ≡ ¬P˅Q

P→¬Q ≡ ¬P˅¬Q

¬P→Q ≡ ¬¬P˅Q ≡ P˅Q

¬P→¬Q ≡ ¬¬P˅¬Q ≡ P˅¬Q

b) De implicación a Conjunción 1. Se invierte el valor de la totalidad del enunciado 2. Se invierte el valor del consecuente 3. Se cambia la condicional por una Conjunción P→Q ≡ ¬(P˄¬Q)

P→¬Q ≡ ¬(P˄¬¬Q) ≡ ¬(P˄Q)

¬P→Q ≡ ¬(¬P˄¬Q)

¬P→¬Q ≡ ¬(¬P˄¬¬Q) ≡ ¬(¬P˄Q)



De disyunción/conjunción a implicación

La Implicación Material establece que es posible tomar cualquiera de los disyuntos o conjuntos arbitrariamente, y sustituir los términos del enunciado por una implicación, sin dañar los valores de antecedente y consecuente, siempre y cuando se cumpla con el siguiente proceso:

A) En el caso de la disyunción 1. Se toma una premisa inicial 2. De esa premisa tomamos arbitrariamente uno de sus disyuntos y le damos la posición del antecedente 3. El disyunto que resta hace el papel de consecuente 4. Se invierte el valor del antecedente Estas son sus posibilidades A. 1. Tomando «P» P Q

P˅Q

≡

¬P→Q

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

P˅Q

≡

¬Q→P

A. 2. Tomando «Q» P Q 1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

B) En el caso de la conjuntiva 1. Se toma una premisa inicial 2. De esa premisa tomamos arbitrariamente uno de sus conjuntos y le damos la posición del antecedente 3. El conjunto que resta hace el papel de consecuente 4. Se invierte el valor del consecuente 5. Se invierte la totalidad del enunciado

Estas son sus posibilidades B. 1. Tomando «P» P Q

P˄Q

≡

¬(P→¬Q)

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

P˄Q

≡

¬(Q→¬P)

B. 2. Tomando «Q» P Q 1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

Podemos observar, en el caso de la conjuntiva, que es necesario agregar un paso extra para su descripción mecánica: la inversión de la totalidad del enunciado. Es posible deducir a partir de la Implicación Material disyuntiva su Implicación Material conjuntiva a partir de la presuposición del Teorema de Morgan: Tomemos por ejemplo: (P→Q) ≡ ¬P˅Q

Apliquemos primero la Implicación Material establecida P Q 1

1

(P→Q)

≡

¬P˅Q

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

¬P˅Q

≡

¬(P˄¬Q)

Luego el Teorema de Morgan. P Q 1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

Por tanto, concluimos la segunda regla (P→Q)≡¬P˅Q  [(P→Q)≡¬P˅Q≡¬(P˄¬Q)

19. Equivalencia Material (EM) Existen distintos modos para el empleo de la Equivalencia Material. El objetivo principal de la equivalencia es sustituir una premisa de un mismo valor veritativo inicial por otro con el mismo valor pero distinta representación. Se trata de un enunciado, compuesto por dos premisas, que se infieren mutuamente. En el enunciado: (PQ) resulta que P→Q y Q→P. Ambos enunciados se infieren mutuamente. En la conjunción (PQ) ≡ [(P→Q)˄( Q→P)]

(P¬Q) ≡ [(P→¬Q)˄(¬Q→P)]

(¬PQ) ≡ [(¬P→Q)˄( Q→¬P)]

(¬P¬Q) ≡ [(¬P→¬Q)˄(¬Q→¬P)]

Otra variante de la Equivalencia Material ejecutada con la conjunción es la se lleva a cabo con la disyunción:

(PQ) ≡ [(P˅¬Q)˄( Q˅¬P)]

(P¬Q) ≡ [(¬P˅¬Q)˄(Q˅P)]

(¬PQ) ≡ [(P˅Q)˄(¬Q˅¬P)]

(¬P¬Q) ≡ [(P˅¬Q)˄( Q˅¬P)]

Sin embargo esta regla no se restringe sólo a la conjunción, es posible aplicarla inclusive en la disyunción. (PQ) ≡ [(P˄Q)˅(¬Q˄¬P)]

(P¬Q) ≡ [(P˄¬Q)˅(Q˄¬P)]

(¬PQ) ≡ [(¬P˄Q)˅(¬Q˄P)]

(¬P¬Q) ≡ [(¬P˄¬Q)˅( Q˄P)]

La naturaleza de la inferencia no permite aplicar una Equivalencia Material a menos que sea por medio de conectivas mixtas. (PQ) ≡ [(P˅Q)→(Q˄P)]

(PQ) ≡ [(¬P˄¬Q)→(¬Q˄¬P)]

(¬P¬Q) ≡[(P˅Q)→(Q˄P)]

(¬P¬Q) ≡ [(¬P˅¬Q)→(¬Q˄¬P)]

(PQ) ≡ [(¬P˅Q)→( ¬Q˄P)]

(PQ) ≡ [(P˅¬Q)→( Q˄¬P)]

Usando «» como conectiva principal podremos encontrar equivalencias adicionales. 

Condicional

(PQ) ≡ [(P→Q)( Q→P)]

(P¬Q) ≡ [(P→¬Q)(¬Q→P)]

(¬PQ) ≡ [(¬P→Q)( Q→¬P)]

(¬P¬Q) ≡ [(¬P→¬Q)(¬Q→¬P)]



Conjunción

(P¬Q) ≡ [(P˄Q)(¬Q˄¬P)]

(¬PQ) ≡ [(¬P˄¬Q)(Q˄P)]

(PQ) ≡ [(¬P˄Q)(¬Q˄P)]

(¬P¬Q) ≡ [(P˄¬Q)( Q˄¬P)]



Disyunción

(P¬Q) ≡ [(P˅Q)(¬Q˅¬P)]

(¬PQ) ≡ [(¬P˅¬Q)(Q˅P)]

(PQ) ≡ [(¬P˅Q)(¬Q˅P)]

(¬P¬Q) ≡ [(P˅¬Q)( Q˅¬P)]

Usando «» como conectiva secundaria podremos encontrar todavía más equivalencias adicionales. 

Condicional

(PQ) ≡ [(P¬Q)→( QP)]

(PQ) ≡ [(¬PQ)→( QP)]

(P¬Q) ≡ [(PQ)→(¬QP)]

(¬PQ) ≡ [(PQ)→(Q¬P)]

(¬P¬Q) ≡ [(P¬Q)→( ¬Q¬P)]

(¬P¬Q) ≡ [(¬PQ)→(¬Q¬P)]



Conjunción

(PQ) ≡ [(PQ)˄( QP)]

(PQ) ≡ [(PQ)˄(¬Q¬P)]

(P¬Q) ≡ [(P¬Q)˄(¬QP)]

(¬PQ) ≡ [(¬PQ)˄(Q¬P)]

(¬P¬Q) ≡ [(PQ)˄(QP)]

(¬P¬Q) ≡ [(¬P¬Q)˄(QP)]



Disyunción

(PQ) ≡ [(PQ)˅( QP)]

(PQ) ≡ [(PQ)˅(¬Q¬P)]

(P¬Q) ≡ [(P¬Q)˅(¬QP)]

(¬PQ) ≡ [(¬PQ)˅(Q¬P)]

(¬P¬Q) ≡ [(PQ)˅(QP)]

(¬P¬Q) ≡ [(¬P¬Q)˅(QP)]

20. Conectiva de Exclusión

Conectiva de exclusión En el lenguaje de la lógica simbólica convencional es posible encontrar en la disyunción (˅) la propiedad ínsita de inclusión o exclusión. Sin embargo esta propiedad lejos de asegurar una objetividad clara normalmente tiende a la

ambigüedad. Para ello es necesario emplear un elemento conectivo que aclare esta ambigüedad, independizando una de sus propiedades: La exclusión. Los valores de la conectiva de exclusión nos dicen que: P Q P

Q

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

Esto nos manifiesta que la conectiva opera de manera que el producto que genere debe excluir alguna de las premisas. Con ello descubrimos que es inválido afirmar: P P

P

1

1 0 1

0

0 0 0

Por tanto P P

¬P

1 1 1

0

0 0 1

1

Extendiendo sus posibilidades con las conectivas de conjunción (˄) y disyunción (˅) encontramos que es inválido afirmar que: (P˄¬P) (Q˄¬Q)

(P˅¬P) (Q˅¬Q)

Pero válido afirmar que: (P ¬P)˄(Q ¬Q) (P ¬P)˅(Q ¬Q)

La interacción entre las distintas premisas no opone resistencia, pues es posible asemejar una operación inferencial propia de la conectiva de exclusión. Primer término: Un enunciado exclusivo Segundo término: Una premisa independiente, contraria o idéntica a cualquiera de los exclusos del primer término. Inclusive si son los dos unidos por una disyunción. Término Final: Depende del Segundo término pues: A) En caso de que sea idéntico arroja el otro excluso con un valor invertido. B) En caso de que sea inverso arroja el otro excluso con valor idéntico.

1. P Q 2. P ¬Q

1. P Q 2. Q ¬P

1. P Q 2. P˅Q ¬P˅¬Q

Y a la inversa 1. P Q 2. ¬P Q

P Q

1. P Q 2. ¬Q

1. P Q 2. ¬P˅¬Q P˅Q

P

P Q

˄

P → ¬Q

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

P Q

P Q

˄

¬Q → P

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

P Q

P Q

˄

Q → ¬P

P Q

P Q

˄

¬P →

Q

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

P Q P Q ˄ P˅Q → ¬P˅¬Q

P

Q

P Q ˄ ¬P˅¬Q →

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

(P Q)˄(P)→¬Q

(P ¬Q)˄(P)→ ¬¬Q ≡ Q

(¬P Q)˄(¬P)→ ¬Q

(¬P ¬Q)˄(¬P)→ ¬¬Q ≡ Q

(P Q)˄(Q)→¬P

(P ¬Q)˄(¬Q)→¬P

(¬P Q)˄(Q)→¬¬P ≡ P

(¬P ¬Q)˄( ¬Q)→ ¬¬P ≡ P

(P Q)˄(¬P)→Q

(P ¬Q)˄(¬P)→¬Q

(¬P Q)˄(P)→Q

(¬P ¬Q)˄(P)→ ¬Q

(P Q)˄(¬Q)→P

(P ¬Q)˄(Q)→P

(P Q)˄(¬P)→Q

(¬P ¬Q)˄(P)→¬Q

P˅Q

(P Q)˄(P˅Q)→ ¬P˅¬Q

(P ¬Q)˄(P˅¬Q)→¬P˅¬¬Q ≡¬P˅Q

(¬P Q)˄( ¬P˅Q)→ ¬¬P˅¬Q ≡ P˅¬Q

(¬P ¬Q)˄( ¬P˅¬Q)→ ¬¬P˅¬¬Q≡ P˅Q

(P Q)˄( ¬P˅¬Q)→ P˅Q

(P ¬Q)˄( ¬P˅Q)→P˅¬Q

(¬P Q)˄( P˅¬Q)→ ¬P˅Q

(¬P ¬Q)˄( P˅Q)→ ¬P˅¬Q

Por tanto, si es posible generar una operación inferencial propia de la exclusión, será posible emplear Dilemas Excluyentes: Constructivos y Destructivos. 3. (P Q)˄(R S) 4. P˅R ¬Q˅¬S

1. (P Q)˄(R S) 2. ¬P˅¬R Q˅S

También es posible el empleo de las reglas de equivalencia sobre la conectiva de exclusión. Conmutación Del mismo modo que en la conmutación disyuntiva y conjuntiva, la conmutación exclusiva es un cambio puramente sintáctico del discurso. (P Q) ≡ (Q P)

(P ¬Q)≡(¬Q P)

(¬P Q)≡(Q ¬P)

(¬P ¬Q)≡(¬Q ¬P)

Asociación Así también el cambio sintáctico de aglutinante es válido en el empleo de la exclusión. (P Q) R ≡ P (Q R)

(P Q) ¬R ≡ P (Q ¬R)

(P ¬Q) R ≡ P (¬Q R)

(P ¬Q) ¬R ≡ P (¬Q ¬R)

(¬P Q) R ≡ ¬P (Q R)

(¬P Q) ¬R ≡ ¬P (Q ¬R)

(¬P ¬Q) R ≡¬P (¬Q R)

(¬P ¬Q) ¬R≡¬P (¬Q ¬R)

Transposición Es posible transponer los valores de la exclusión cambiando el orden sintáctico e invirtiendo el valor de ambos exclusos.

P Q≡¬Q ¬P

P ¬Q≡¬¬Q ¬P≡Q ¬P

¬P Q≡¬Q ¬¬P≡¬Q P

¬P ¬Q≡¬¬Q ¬¬P≡Q P

Otras equivalencias Existen a su vez otro tipo de equivalencias, que si bien conservan una cierta cercanía a las reglas convencionales, tienen por su cuenta una similitud mucho más propia de la exclusión. Por ello nuestro acercamiento será independiente al nombre respectivo de las reglas de equivalencia empleadas.

Exclusión: Disyunción/Conjunción La exclusión es equivalente a la disyunción de dos conjuntos: P Q≡(¬P˄Q)˅(P˄¬Q)

P ¬Q≡(P˄Q)˅(¬P˄¬Q)

¬P Q≡(¬P˄¬Q)˅(P˄Q)

¬P ¬Q≡(P˄¬Q)˅( ¬P˄Q)

También es equivalente a la conjunción de dos disyuntos: P Q≡(P˅Q)˄(¬P˅¬Q)

P ¬Q≡(¬P˅Q)˄( P˅¬Q)

¬P Q≡(P˅¬Q)˄(¬P˅Q)

¬P ¬Q≡(¬P˅¬Q)˄(P˅Q)

Conectiva de Exclusión representada con Condicional: P Q≡ (P→Q)→¬(¬P→¬Q)

P ¬Q≡ (¬P→Q)→¬(P→¬Q)

¬P Q≡ (P→¬Q)→¬(¬P→Q)

P Q≡ (¬P→¬Q)→¬(P→Q)

Inferencia: Conjunción y Disyunción Conjunción La Conjunción de condicionales:

P Q≡(P→Q)˄( ¬P→¬Q)

P ¬Q≡(P→¬Q)˄( ¬P→Q)

¬P Q≡(¬P→Q)˄(P→¬Q)

¬P ¬Q≡(¬P→¬Q)˄(P→Q)

También es el caso que: P Q≡ (P→Q)→(¬P˄Q)

P ¬Q≡ (P→¬Q)→(¬P˄¬Q)

¬P Q≡ (¬P→Q)→(P˄Q)

P Q≡ (¬P→¬Q)→(P˄¬Q)

Disyunción La disyunción de condicionales: P Q≡¬(P→Q)˅¬(¬P→¬Q)

P ¬Q≡¬(¬P→Q)˅ ¬(P→¬Q)

¬P Q≡¬(¬P→Q)˅¬(P→¬Q)

¬P ¬Q≡¬(¬P→¬Q)˅¬(P→Q)

También es el caso que: P Q≡ (P→Q)→¬(P˅¬Q)

P ¬Q≡ (P→¬Q)→ ¬(P˅Q)

¬P Q≡ (¬P→Q)→¬(¬P˅¬Q)

P Q≡ (¬P→¬Q)→¬(¬P˅Q)

Mixta Coun un condicional Mixto es válida sólo sí: P Q≡(¬P˅Q)→(¬P˄Q)

P ¬Q≡(P˅Q)→(P˄Q)

¬P Q≡(¬P˅¬Q)→(¬P˄¬Q)

¬P ¬Q≡(P˅¬Q)→(P˄¬Q)

También es el caso que: P Q≡¬(¬P˄Q)→¬(¬P˅Q)

P ¬Q≡¬(P˄Q)→ ¬(P˅Q)

¬P Q≡¬(¬P˄¬Q)→¬(¬P˅¬Q)

¬P ¬Q≡¬(P˄¬Q)→ ¬(P˅¬Q)

Exclusión: Bicondicional La exclusión es equivalente a una bicondicional: P Q ≡ (¬PQ)

P Q ≡ (P¬Q)

P ¬Q≡ (PQ)

P ¬Q≡(¬P¬Q)

¬P Q≡ (PQ)

¬P Q≡ (¬P¬Q)

¬P ¬Q≡(¬PQ)

¬P ¬Q≡(P¬Q)

Existe una gama de posibilidades respecto a las diferentes funciones específicas de la conectiva de exclusión. Mismas que aumentan con el empleo de nuevas premisas y su relación con las conectivas utilizadas convencionalmente. Esperemos que con los ejemplos ofrecidos en el presente apéndice se haya logrado una comprensión suficiente respecto a su incursión y protagonismo en los terrenos de la lógica simbólica como premisa independiente a la disyuntiva. Sólo resta agradecer al atento lector por su valiosa atención al proceso desarrollado en el presente apéndice. Espero que sea de su entero agrado y sea una herramienta útil para la aclaración y apoyo a los estudios referentes al área de lógica simbólica.

APÉNDICE II Moisés Rubén Rossano López

Cuadrángulo de oposición

A

B

Entre proposiciones contrarias, o bien ambas son falsas simultáneamente, o bien una es cierta y la otra falsa, a la vez; mas no es posible que ambas sean ciertas de manera simultánea. Su relación se muestra en la siguiente fórmula:

Universal afirmativa

Universal negativa

Todo A es B

Ningún A es B

Contrarias En la relación de subalternación afirmativa, en la que la proposición universal se denomina subalternante y la proposición particular subalternada, se tiene que, de ser cierta la proposición universal, lo es asimismo la particular. La fórmula siguiente aclara esta relación:

I Particular afirmativa Algún A es B

O p o s i c i ó n

S u b a l t e r n a

Contradictorias En la contradicción, ocurre que de ninguna manera pueden ser ambas proposiciones falsas o verdaderas simultáneamente. La proposición universal afirmativa (A) contradice a la proposición particular negativa (I), y viceversa; la proposición universal negativa (E) contradice a la particular afirmativa (O), y viceversa. Por ello se dice, acerca de la contradictoria de una proposición, que es su negación lógica. La relación de contradicción se muestra según se ve en las fórmulas siguientes:

Subcontrarias Entre subcontrarias, es posible que una sea cierta y la otra falsa, o bien que ambas sean ciertas. Pero no ocurre en modo alguno que ambas sean falsas a la vez. Su relación se muestra de manera más explícita por medio de la fórmula que viene a continuación:

O p o s i c i ó n

S u b a l t e r n a

La subalternación negativa es semejante a la subalternación afirmativa: en efecto, de ser cierta la proposición universal, lo es también la particular. Así, su relación se representa fielmente por la fórmula mostrada a continuación:

O Particular negativa Algún A no es B

Modos de la primera figura del silogismo68

Barbara Lenguaje “natural”

Todo heleno es descendiente de Deucalión y de Pirra.

Todo aqueo es heleno.

Traducción formal

1.

2. 3. 4. 5.

Todo aqueo es descendiente de Deucalión y Pirra.

EU. 1 x / a EU. 2 x / a s.h. 4,3

6.

IU. 5

Celarent Lenguaje “natural”

Ningún hijo de Urano es mortal.

Todo Titán es hijo de Urano.

Traducción formal

1.

2.

3. 4. 5. Ningún Titán es mortal.

68

6.

EU. 1 x / e EU. 2 x / e s.h. 4,3 IU. 5

Las figuras y los modos presentados aquí corresponden a los que los escolásticos articularon [Cf. Pedro Hispano, Tractatus (Summula Logicales)] a partir de la silogística aristotélica [Cf. Aristóteles, Analíticos Primeros]. Lógicos posteriores, como los de Port-Royale, introdujeron nombres nuevos para algunos de los modos, más precisamente para aquellos de la llamada cuarta figura [Cf. Arnauld, Logique]. Las abreviaturas de las reglas de inferencia o equivalencia que han sido utilizadas aquí, y que justifican las operaciones realizadas con las proposiciones traducidas a lenguaje cuantificacional son: conj., conjunción; EE., Especificación del existencial; EU., Especificación del universal; export., exportación; IE., Introducción del existencial; IU., Introducción del universal; MPP., Modus ponendo ponens; MTT., Modus tollendo tollens; s.h., silogismo hipotético; simp., simplificación; transp., transposición.

Darii Lenguaje “natural”

Todo hijo de Zeus es divino.

Algún hijo de Alcmena es hijo de Zeus.

Traducción formal

1.

2.

EE. 2 x / h EU. 3 x / h simp. 3 MPP. 4,5 simp. 3 conj. 7,6

3. 4. 5. 6. 7. 8. Algún hijo de Alcmena es divino.

9.

IE. 8

Ferio Lenguaje “natural”

Ningún monstruo habita el Olimpo.

Algún hijo de Equidna es monstruo.

Traducción formal

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. Algún hijo de Equidna no habita el Olimpo.

9.

EE. 2 x / c EU. 1 x / c simp. 3 MPP. 4,5 simp. 3 conj. 7,6 IE. 8

Modos de la segunda figura del silogismo

Cesare Lenguaje “natural”

Ningún partidario de Cronos es leal a Zeus.

Todo Hecatonquiro es leal a Zeus.

Traducción formal

1.

2.

3. 4. 5. 6. Ningún Hecatonquiro es partidario de Cronos.

7.

EU. 1 x / b EU. 2 x / b transp. 3 s.h. 4,5 IU. 5

Camestres Lenguaje “natural”

Todas las Greas son hijas de Ceto.

Ninguna Erinia es hija de Ceto.

Traducción formal

1.

2.

3. 4. 5. 6. Ninguna Erinia es Grea.

7.

EU. 1 x / p EU. 2 x / p transp. 3 s.h. 4,5 IU. 5

Festino Lenguaje “natural”

Traducción formal

Ningún malvado habita los Campos Elíseos.

Algún hijo de Anquises y de Afrodita habita los Campos Elíseos.

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. Algún hijo de Anquises y de Afrodita no es malvado.

EE. 2 x / n EU. 1 x / n simp. 3 MTT. 4,5 simp. 1 conj. 7,6

9.

IE. 5

Baroco Lenguaje “natural”

Todo Atreida es nieto de Pélope.

Algún morador de la Hélade no es nieto de Pélope.

Traducción formal

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. Algún morador de la Hélade no es Atreida.

9.

EE. 2 x / i EU. 1 x / i simp. 3 MTT. 4,5 simp. 3 conj. 7,6 IE. 8

Modos de la tercera figura del silogismo

Darapti Lenguaje “natural”

Traducción formal

Toda Cárite es hija de Hera.

1.

Toda Cárite es miembro del séquito de Afrodita.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Algún miembro del séquito de Afrodita es hijo de Hera.

(supuesto existencial) EE. 3 x / e EU. 1 x / e EU. 2 x / e MPP. 5,4 MPP. 6,4 conj. 8,7

10.

IE. 9

Disamis Lenguaje “natural”

Algún hijo del dios Céfiro es caballo.

Todo hijo del dios Céfiro es descendiente de Titanes.

Traducción formal

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. Algún descendiente de Titanes es caballo.

9.

EE. 1 x / b EU. 2 x / b simp. 3 MPP. 4,5 simp. 3 conj. 6,7 IE. 8

Datisi Lenguaje “natural”

Los caballos que la diosa Eos engancha en su carro, distintos entre sí, son únicamente dos: Faetón y Lampo.

Al menos uno de los caballos que la diosa Eos engancha en su carro es alado y su nombre significa “el centelleante”.

Traducción formal

1.

¬

2.

,

,

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Alguno alado y cuyo nombre significa “el centelleante” es o Faetón o Lampo, pero no ambos a la vez.

EE. 2 z / m EE. 3 y / g EE. 4 x / j EU. 1 y / g EU. 6 x / j simp. 5 MPP. 7,8 simp. 5 conj. 10,9 IE. 11

13.

IE. 13

Felapton Lenguaje “natural”

No hay musa alguna que, o bien habite en el Erebo o bien cobre venganza por

Traducción formal

1.

crímenes de sangre.

Las musas tienen cantos con los que alegran los banquetes de los dioses en el Olimpo.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

(supuesto existencial) EE. 3 x / e EE. 2 y / f EU. 5 z / c EU. 6 x / e EU. 1 x / e MPP. 7,4 MPP. 8,4 conj. 9,10 IE. 11 IE. 12

Algo que tiene cantos con los que alegra los banquetes de los dioses en el Olimpo, no ocurre 14. 13 que, o habite en el Erebo o cobre venganza por crímenes de sangre.

IE.

Bocardo Lenguaje “natural”

Traducción formal

Al menos una cuya madre es Pléyone no parió hijos de 1. un mortal. Aquellas quienes tienen a Pléyone por madre tienen por bisabuela a Gea.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Algo cuya bisabuela es Gea no parió hijos de un mortal.

11.

EE. 1 x / m EU. 3 y / s EU. 2 x / m simp. 4 MPP. 5,6 simp. 4 conj. 7,8 IU. 9 IE. 10

Ferison Lenguaje “natural”

Traducción formal

De las hijas de Mnemósine y de Zeus, ninguna perdona 1. a quien se jacta de poderla superar.

Al menos una de las hijas de Mnemósine y de Zeus privó al cantor Támiris de voz y de memoria.

,

,,

,,

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Algo que privó al cantor Támiris de voz y de memoria no perdona a quien se jacta de poderle superar.

,

12.

EE. 2 x / u EU. 1 y / p EU. 4 x / u export. 5 simp. 3 MPP. 6,7 simp. 3 conj. 9,8 IU. 10

IE. 11

Modos indirectos de la primera figura del silogismo69

Baralipton Lenguaje “natural”

Traducción formal

Las Danaidas asesinas de al menos uno de los hijos de Egipto fueron condenadas al suplicio de llenar eternamente vasijas sin fondo.

1.

Aquellas hijas de Dánao que residen en el Averno son Danaidas asesinas de al menos uno de los hijos de Egipto.

2.

,

,

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Alguno de entre los que fueron condenados al suplicio de llenar 69

,

10.

,

(supuesto existencial) EE. 3 x / f EU. 1 x / f EU. 2 x / f s.h. 6,5 MPP. 7,4 conj. 8,4 IE. 9

Si bien aquí se ha optado por mostrar estos modos del silogismo como pertenecientes a la primera figura, ha de tenerse presente que ello no ha sido siempre considerado lo más adecuado: estos modos –tras ciertos cambios, pertenecen según algunos autores, a una cuarta figura. Por cuanto los modos que en ella están contenidos no son sino modos indirectos de la primera, algunos, incluso, han tenido por innecesaria su exposición como independiente de las otras, juzgándole sustancialmente inútil. Por ello, la distinción de una cuarta figura mostrada en estas páginas no pretende en manera alguna conceder terminante y definitivamente que tal distinción se constituya como imprescindible o necesaria al aparato silogístico, sino sólo el presentar con mayor claridad cada uno de los modos posibles del silogismo, enfatizando su distinción. Cabe asimismo mencionar que los términos utilizados para referir a los modos de la cuarta figura son aquellos de los que los escolásticos se sirvieron para designar construcciones silogísticas semejantes, aunque considerándolas como incluidas en la primera figura. Véase, al respecto, la nota al final de este apéndice.

eternamente vasijas sin fondo es hija de Dánao que reside en el Averno.

Celantes70 Lenguaje “natural”

De ninguno que sea, o bien Eaco, o bien Minos, o bien Radamantis -distintos estos tres entre sí-, ocurre que sea, o bien hijo de Poseidón o bien de Anfítrite.

Todo juez perteneciente al tribunal de Dis es, o bien Eaco, o bien Minos, o bien Radamantis, siendo éstos distintos entre sí.

Traducción formal

1.

¬

¬ ,

,

2.

¬

¬

¬

3. EU. 1 x / d 4. EU. 2 x / d s.h. 4,3 transp. 5

5. 6. De todos los hijos de Poseidón o Anfítrite, ocurre que ninguno es juez en el tribunal de Dis.

7.

IU. 6

Dabitis Lenguaje “natural”

Los pájaros monstruosos que 70

O Calemes.

Traducción formal

1.

habitaban los alrededores del lago Estinfalia se alimentaban, todos, de carne humana.

Algo, de entre lo que posee pico, alas y zarpas de cobre, es asimismo pájaro monstruoso que habitaba los alrededores del lago Estinfalia.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. Algo que se alimentaba de carne humana es también poseedor de pico, alas y zarpas de cobre.

EE. 2 x / a EU. 1 x / a simp. 1 MPP. 4,5 simp. 3 conj. 6,7

9.

IE. 8

Fapesmo Lenguaje “natural”

No hay centauro que no sea descendiente tanto de un varón como de una nube.

No hay alguno que habite el monte Pelión, tras la centauromaquia, que sea centauro.

Traducción formal

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(supuesto existencial) EE. 3 x / q EU. 1 x / q EU. 2 x / q MPP. 5,4 MTT. 6,4 conj. 7,8

Alguno que es descendiente de un varón y de una nube no ocurre que, tras la centauromaquia, habite el monte Pelión.

10.

IE. 8

Frisesomorum Lenguaje “natural”

Alguna Moira, si es Láquesis, hila haciendo girar su huso, devanando el tenue hilo de la suerte de los seres.

Traducción formal

1.

Ninguna mujer mortal es una Moira.

2.

3. EE. 1 x / l EU. 2 x / l simp. 3 MTT. 4,5

4. 5. 6. 7.

simp. 3 8. conj. 7,6 Algo que si es Láquesis, hila haciendo girar su huso, devanando el tenue hilo de la suerte de los seres, no es una mujer mortal.

9. IE. 8

Modos “débiles” del silogismo71

Barbari Lenguaje “natural”

Traducción formal

Todo dios surgido de la cabeza de Zeus es Atenea Palas.

Atenea Palas estaba armada hasta los dientes al momento de nacer, y, en la lucha contra los Gigantes, mató a Paladio.

1.

2.

,

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Algo que estaba armado hasta los dientes al momento de nacer y que en la lucha contra los Gigantes mató a Paladio, es dios surgido de la cabeza de Zeus.

71

11.

,,

(supuesto existencial) EE. 3 x / m EU. 1 x / m EU. 2 x / m MPP. 5,4 MPP. 6,7 simp. 8 conj. 9,4

IE. 10

A las cuatro figuras del silogismo los lógicos modernos añadieron estos cinco modos, denominándoles débiles puesto que se obtienen por subalternación de conclusiones universales de otros modos del silogismo.

Celaront Lenguaje “natural”

Traducción formal

Ninguna tarea impuesta por Euristeo a Heracles fue, ni realizable para los mortales, ni sencilla.

1.

Cada uno de los doce trabajos de Heracles fue tarea impuesta por Euristeo a Heracles.

2.

(supuesto existencial) EE. 3 x / n EU. 1 x / n EU. 2 x / n s.h. 6,5 MPP. 7,4 L. de M. 8 equiv. de cuantores conj. 4,10

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Alguno de los doce trabajos de Heracles no fue, ni realizable para los mortales ni sencillo.

IE. 11

12.

Cesaro Lenguaje “natural”

Ningún rayo que no provenga del báculo forjado por los Cíclopes para el Crónida fue lanzado por Zeus.

Traducción formal

1.

Todo rayo que venció al dios-monstruo Tifón fue lanzado por Zeus.

2.

(supuesto existencial) EE. 4 x / f EU. 1 x / f EU. 2 x / f transp. 5 s.h. 6,7 MPP. 8,4 conj. 4,9

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Algún rayo que venció al dios-monstruo Tifón no es rayo que no proviene del 11. báculo forjado por los Cíclopes para el Crónida.

IE. 10

Camestros Lenguaje “natural”

Todas las manzanas custodiadas por el dragón Leto en el jardín de las 1. Hespérides son obsequios a Hera debido a su única boda.

Traducción formal

Ninguna manzana en la que ha sido inscrita la frase “A la más bella” es obsequio a Hera debido a su única boda.

2.

¬

(supuesto existencial) EE. 3 x / d EU. 2 x / d

3. 4. 5. 6.

EU. 1 z / d transp. 5 s.h. 6,7 MTT. 8,4 conj. 4,9

7. 8. 9. 10. Alguna manzana en la que ha sido inscrita la frase “A la más bella”, no es manzana custodiada por el dragón Leto en el jardín de las Hespérides.

IE. 10

11.

Calemos Lenguaje “natural”

Toda Ménade es mujer enloquecida por influjo de un cierto néctar dionisíaco.

Ninguna mujer enloquecida por influjo de un cierto néctar dionisíaco es enemiga de Sileno.

Traducción formal

1.

2.

(supuesto existencial) EE. 3 x / j EE. 1 z / j EE. 2 x / j equiv. de cuantores equiv. de cuantores s.h. 5,8 MTT. 9,4 conj. 4,10

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Alguna enemiga de Sileno no es Ménade.

12.

IE. 11

Sobre el Silogismo Moisés Rubén Rossano López “Silogismo” tiene su origen directo en la expresión griega συλλογισμός, y en una de sus más llanas acepciones –pero no por ello impropia o imprecisa– significaría lo que hoy en día también nombramos por cálculo, aunque ciertamente no circunscribiendo el sentido de esta palabra dentro de la matemática, como suele usualmente hacerse. Pues “silogismo” –bajo esta acepción, bastante general– referiría precisamente al acto que es el cálculo, es decir, a una cierta conjetura, cuya realización, en el pensamiento, no es posible única y exclusivamente entre entes matemáticos (de nuevo, a pesar de que, en la actualidad, en el uso del término casi se tenga por sobreentendido que se habla de estos últimos). Tal conjetura no es sino el razonamiento, o la operación propia de la razón que es función de la inteligencia. Muy pronto, sin embargo, συλλογισμός –y con él, posteriormente, también nuestro “silogismo”– significó, no ya sólo a tal operación, sino asimismo a la expresión de ésta, significación que la palabra finalmente adquirió como propia: de ahí que suele ocuparse al referirse, no al razonamiento, sino a la expresión de éste –aunque en el uso común no se discierna entre uno y otro por factores diversos: en efecto, ambos son discursos que competen propiamente a la razón (y su carácter, por consiguiente, es mediato). Hallamos muchas veces, de esta manera, que uno u otro término designan indistintamente a la operación o a su expresión, o incluso al producto de la operación aún no expresado, es decir, al ente de pensamiento que es obra de la misma operación de la razón; no obstante, al hablar con precisión, hay una cierta distinción entre estos tres aspectos del razonamiento (la operación misma, lo producido por ella que es ente de pensamiento, la expresión de lo producido), aunque suela hacerse uso de un mismo término para referir a cualquiera de ellos. En cualquier caso, “silogismo” bien podría significar lo mismo que “razonamiento”: siguiendo la tantas veces citada definición de Aristóteles, el silogismo es “un discurso en el que dadas ciertas cosas resulta necesariamente otra, por el hecho de ser dadas aquellas”, y ha de verse que tal definición ajusta también al razonamiento, en tanto es precisamente un discurrir del entendimiento. El entendimiento es precisamente eso que va “de aquí a allá” –es decir, que discurre–, y aun el silogismo así propiamente llamado supone este movimiento (pues un silogismo no es tal sólo por hallarse, en tanto expresión, escrito o pronunciado, sino que se consuma sólo cuando el entendimiento discurre lo que se halla expresado; en otras palabras, se dice que es un silogismo en cuanto

formalmente es tal, y al saberse esto último sábese asimismo qué discurrimiento hay implícito en él, discurrimiento que no es sino un razonamiento). Así, el silogismo es ya de alguna manera un razonamiento; de ahí que tanto “razonamiento” como “silogismo”, aunque puedan utilizarse con propiedad y precisión para discernir entre la operación de la razón y la expresión de ésta, refieren ambos directamente a tal operación, a ese discurrir del intelecto, siendo que la definición antes citada del silogismo lo es también del razonamiento. Hasta aquí, ¿diríase de la expresión de cualquier razonamiento que es un silogismo? No exactamente. Pues se dice de un silogismo que es tal propiamente cuando su conclusión está dada necesaria (por la imposibilidad, en virtud de la argumentación misma que es el silogismo, de refutar la negación de la contradicción de esa conclusión) y deductivamente a partir de sus premisas, y más aún, cuando lo que se sujeta y predica en la conclusión se liga en virtud de un universal que se coloca como aquello que llámase término medio. En los razonamientos inductivos, por ejemplo, la conclusión puede considerarse como obtenida necesariamente, pero sujeto y predicado en ella no se ligan de esta manera. Así, llamamos propiamente silogismo –o bien, silogismo categórico– a la expresión del razonamiento deductivo. Ahora bien, “el silogismo exige modo y figura” [Pedro Hispano, Tractatus; IV, 3]; esto es, requiere ordenación de los tres términos que constituyen las proposiciones premisas de acuerdo a la disposición del término medio en ellas, y ordenación adecuada de cada una de las proposiciones premisas en cualidad y cantidad. Así, por ejemplo, tenemos una figura cuando, en dos proposiciones, el sujeto de la primera es predicado en la segunda, como en Toda llanura fértil es habitable Esdrelón es llanura fértil ¿Cuántas figuras del silogismo resultan de esta ordenación, por consiguiente? Se consideran tres figuras: aquella en la que lo sujetado en la primera proposición se predica en la segunda (como en el ejemplo anterior); aquella en la que se predica lo mismo en ambas; y aquella en la que ambas tienen el mismo sujeto. Y dadas las figuras, cuando descartamos las combinaciones de premisas universales o particulares y afirmativas o negativas de las que no se obtiene conclusión alguna, tenemos entonces también los modos posibles, que son cada uno de los que se ejemplifican y traducen a lógica de cuantores en este apéndice. No obstante, la primera figura, en la que se hallan los modos perfectos del silogismo (Barbara, Celarent, Darii, Ferio), permite también ciertos modos cuyas conclusiones han sido llamadas indirectas, por cuanto su carácter, siendo particular, habría por necesidad de ser universal. La escolástica les consideró como incluidos en la primera figura [Cfr. Pedro Hispano, Tractatus; IV, 6]; mas otros, incluso anteriores, habían ya sugerido que estos modos constituían otra

figura del silogismo -a saber, la cuarta. El reconocimiento de una cuarta figura cual distinta e independiente, así como su exposición, se atribuyen por lo general a Galeno, si bien se tiene a Teofrasto de Lesbos como el primero quien dispuso sus modos de manera explícita.