Arrastre de Error

 

Propagación de Errores y Redondeo Cálculo de errores mediante Arrastres y Redondeo de errores Clase: Laboratorios de Física Realizado por: Aux. Carlos Estrada Julio 2017 06 de Julio de 2017

Incertezas Mediante Arrastre de Error En las ciencias exactas la palabra error no conlleva el mismo significado que una equivocació equiv ocación n o engaño. engaño. Por lo tanto no es algo que se pueda evitar sien siendo do “un poco más cuidadoso” con lo que se está haciendo, en este caso una medición. Lo que se puede esperar por parte de las mediciones, que se están haciendo, es que estas sean las más pequeñas posibles. posibles. Por lo que obtener una medid medidaa sin un error o incerteza incerteza es imposible. imposible. Para Para ello exist existen en diferentes diferentes tipos de manejo manejo de incertezas, en este caso se expondrá cuando se requieren encontrar medidas indirectas y estas tienen una dependencia relativamente sencilla (suma, resta, división, multiplicación o polinomial), a las medidas que se obtuvieron en el laboratorio (directa). Si se toma en cuenta que: A  = A  =  A  ±  ∆A  ∆A B  = B  =  B  ±  ∆B  ∆B C  = C   =  C   ± ∆C   ∆C 

Las relaciones son dadas por las siguientes fórmulas: •   Suma:

C  =

A + ∆B (A + B  + B))  ±  (∆  (∆A ∆B )

 

(1)

C  =

 B))  ±  (∆ A + ∆B (A  −  B  (∆A ∆B )

 

(2)

•   Resta:

•  Multiplicación:

C  = AB  =  AB  ±  AB

1

 ∆A

 ∆B  ∆ B  + A B



 

(3)

 

•   División:

 A A C  =  ± B B • 

 ∆A

 ∆B  ∆ B  + A B



 

(4)

Polinomios:  A B  =  = A

n

± nA

n−1

∆A

 

(5)

(Para todo n todo  n  que pertenece a los Reales) La deducción de estas fórmulas las puede encontrar en el documento  Propagación gació n de Error Errores: es: Cálcu Cálculo lo de err error ores es me median diante te deriv derivadas adas pa parc rciales iales..   Páginas 5-8. Este documento se basará en las reglas propuestas en el manual de física básica sección 1 para el redondeo de las cifras.

Ejemplo 1 Suponga que usted tiene una regla de 30 cm, cuya medida más pequeña es de 1 mm. Pero Pero quiere medir una distan distancia cia mayor mayor a los 30 cm que la regla puede cm y medir. Por lo tanto la primera medida es de 30 de  30..0cm  y la segunda es de 14 de  14..5cm ¿Cuál es la medida medida tota totall con su respectiv respectivaa incer incerteza teza?? Para obtener la medida total se debe sumar ambas medidas obtenidas por la regla, por consiguiente se utiliza la ecuación (1): L = (30. cm (30.0  ±  0.  0.1)cm 1)cm +  + (14. (14.5  ±  0  0..1) 1)cm L  = (44. cm (44.5  ±  0.  0.2) 2)cm

Ejemplo 2 Suponga que, de forma experimental, se encuentra la aceleración de una partícula. m/s2 y por algún motivo se quiere encontrar Siendo esta de:   a  = (4. (4.02  ±  0.  0.01) 01)m/s la velocidad en un tiempo t tiempo  t =  = (5. (5.4 ±  0.  0.2)s 2)s, suponiendo que tiene una velocidad  t ? inicial de (8 de  (8..2  ±  0.  0.3)m/s 3)m/s ¿Cuál  ¿Cuál es su velocidad en el tiempo  t? Al tener una aceleración constante, el movimiento viene representado por las ecuaciones de MRUV, siendo la velocidad: V   V   =  V 0  + at  +  at Por lo que la velocidad en el tiempo t sería: V   V   = (8. (8 .2  ±  0.  0.3) + (4. (4.02 ±  0.  0.01)(5 01)(5..4  ±  0  0..2)

2

 

Primero se realizará el producto: at at =  = (4. (4.02 ±  0.  0.01)(5 01)(5..4  ±  0  0..2) Utilizando la ecuación (3) at at =  = (4. (4.02)(5 02)(5..4)  ±  (4  (4..02)(5 02)(5..4)

 0.01

 0  0..2  + 4.02 5.4



at at = m/s  = (21. (21.708 ±  0.  0.858) 858)m/s Ahora se prosigue a realizar la suma mediante la ecuación (1) V   V   = (8 (8..2  ±  0.  0.3) + (21. (21.708 ±  0  0..858) V  = V  = (29. m/s (29.908 ±  1.  1.158) 158)m/s Redondeando la velocidad esta sería: V  = V  = (29. (29.9  ±  1.  1.2)m/s 2)m/s

Ejemplo 3 Kg   y radio  Suponga se tiene una esfera de masa   m   = (5 (5..0  ±  0  0..1) 1)Kg radio   r   = (0 (0..10  ± m  ¿Cuál sería la densidad de la esfera? 0.01) 01)m Se sabe que la densidad está definida por la siguiente ecuación:  m   (6) v Primero se tiene que econtrar el volumen de la esfera, se sabe que este viene representado por: ρ  =

V   V   =

 4

π r3

3 Se recomienda que las operaciones sean realizadas una por una para evitar cometer errores, por lo tanto primero se debe operar  r 3 , utilizando la ecuación (5): 3

r

= 0. 0 .103 ± 3  ∗  0.  0.102 ∗ 0  0..01 3

r

m3 = (0. (0 .001  ±  0.  0.0003) 0003)m

 4 En el caso del factor π  este no cuenta con una incerteza esto implica que su 3 ∆  es igual a cero, por lo tanto el volumen se encontraría mediante la ecuación (3):

3

 

V   V   = (0 (0..001)

4  3

π

V   V   = (0 (0..001)

  4  0.0003   0   (0  (0..001)( π)   + 4  0.001 3 π 3 4  4 

±

3

π

± (0  (0..0003)

3

π

 

(7)

V   V   = (0. m3 (0 .004188 ±  0.  0.001256) 001256)m Sustituyendo valores en la ecuación (6), la división quedaría de la siguiente forma: ρ =

  (5. (5.0  ±  0.  0.1)Kg 1)Kg m3 (0. (0.004188 ±  0.  0.001256) 001256)m

Para resolver esta división se utilizará la ecuación (4)   5 5 ρ  =  ± 0.004188 0.004188

 0.1

 0  0..001256  + 5.0 0.004188



ρ = (1193. Kg/m3 (1193.88729 ±  381  381..9299) 9299)Kg/m Redondeando el valor: ρ  = (1200  ±  400) Kg/m3  400)Kg/m

Ejemplo 4 En un experimento de laboratorio realizado en el planeta de orígen de la rana rené se deja caer una bolita en un plano inclinado sin fricción que mide   l   = (80..0  ±  0. (80  0.1)cm 1)cm,, esta bolita tarda   16s 16s  en caer. El come gallet galletas, as, que es el que realiza estas medidas, tiene un tiempo de reacción de   0.5s. Suponie Suponiendo ndo que que el plano inclinado tiene una elevación de   30 con respecto a la horizontal (La ◦

incerteza ángulo es despreciable) la gravedad en este planeta?¿El valor de ladel gravedad puede ser tomado¿Cuál comoesválido? Primero se debe encontrar la aceleración a la cual esta bolita cae a lo largo del plano. Con la siguiente ecuación:  1 X   =  X   +  V  t + at2  + V  2 o

o

Si se supone que parte del reposo y desde un marco de referencia el cual indique que la posición inicial es cero, la ecuación quedaría simplificada de la siguiente manera: X  =  =

 1 2 at 2 4

 

Por lo tanto la aceleración de la bolita sería:   2X  a  = 2 t Al realizar una sumatoria de fuerzas en la bolita quedaría la siguiente expresión: gsin((θ) =  a gsin Por lo tanto g tanto  g  se representaría mediante la siguiente ecuación:   2X    (8) sin((θ )t2 sin Ahora queda únicamente ingresar los datos en la ecuación y operar. Primero se obtendrá t obtendrá  t 2 , utilizando la ecuación (5) g  =

t2 = 16 2 ± 2  ∗  16  ∗  0  0..5 t2 = (256 ±  16)  16)ss2 sin((θ)t2 .   sin sin((θ)  al no tener una incerteza simplemente Ahora se encuentra encuentra   sin 2

se multiplica por la medida de  t yensuelincerteza, de t demostró encontrar el volumen de la esfera ejemplo 3,como en laseecuación (7)a la hora de  sin(30)  sin(30) sin(θ )t2 =  sin sin( (30) ∗  256  ±  sin (30) ∗  16 sin(θ )t2 = (128 ±  8) sin(  8)ss2 X : Ahora se realiza realiza la expresión expresión 2  2X  m 2X   = 2  ∗  (0  (0..8  ±  0.  0.001) 001)m m 2X   = (1 (1..6  ±  0.  0.002) 002)m Sustituyendo los valores en la ecuación (8),  g  sería: g  =

  1.6  ±  0.  0.002 128  ±  8

Utilizando la ecuación (4) se realiza la división:   1.6 1.6 g  =  ± 128 128

 0.002

 8  + 1.6 128



g  = (0. m/s2 (0.0125  ±  0.  0.0007968) 0007968)m/s Redondeando el valor de g de  g g  = (0. m/s2 (0.0125 ±  0.  0.0008) 0008)m/s Ahora para saber si el valor encontrado es el indicado se calcula el error relativo porcentual:   0.0008   ∗ 100% = 6. %E  =  = 6.4% 0.0125 Al ser este menor al  10%  este   SI  puede ser un valor para tomar en cuenta

5