Armirano Betonske Konstrukcije 2

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

predavanja

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

1

DIMENZIONIRANJE PRI NAPREZANJU POPREČNIM SILAMA STADIJ I U opštem slučaju jednoosnog savijanja u poprečnim presjecima grede pored momenta savijanja djeluje i poprečna sila. Za ovaj slučaj naprezanja u poprečnim presjecima grede pored noramlnih napona σx javljaju se i smičući naponi τ=τxy=τyx. . Uticaj poprečnih sila na veličinu noramlnog napona σx je zanemarljivo mali kod vitkih greda pa se normalni naponi određuju kao za stanje čistog savijanja:

S ( z= )

∫ y ⋅ dA′ A′

gdje je S- statički momenat dijela površine isznad posmatranog vlakna y u odnosu na neutralnu osu. Na taj način, za poznate veličine M i V i geometrijske karakteristike presjeka, moguće je naći napone σx i τ u svakoj tački poprečnog presjeka . ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

2

Normalni naponi σy su beznačajni osim u području djelovanja večih koncentričnih sila (područje oslonaca i koncentričnog opterećenja), pa se intenzitet i pravac glavnih napona u nekoj tački grede mogu odrediti pomoću jednadžbi datih na slici:

Glavni naponi u području djelovanja večih koncentričnih sila ne mogu se tačno odrediti pomoću datih formula, jer u ovom području (područje poremečaja) ne važi Bernoull-eva predpostavka ravnih presjeka, pa se glavni naponi mogu odrediti pomoču teorije šajbi. U neutralnoj liniji σx=0, a τ ima ekstremnu vrijednsot u tom presjeku, pa je u tim presjecima

σI = σII = ±τ ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

3

Ilustracije radi , na slici su prikazane promjene noramalnih i smičućih napona prema visini pravougaonog poprečnog presjeka napregnutog momentom savijanja M i pozitivnom poprečnom silom V.

Glavni naponi sijeku neutralnu osu pod uglom od 45° i oba glavna napona su po svom iznosu jednaka τ. Trajektorije glavnih napona prikazane na slici međusobno se sijeku pod uglom od 90°. Veličine napona duž jedne trajektorije su promjenljive. Slika trajektorija omogućava tumačenje nosivnosti grede, gdje sistem pritisnutih i zategnutih lukova uzajamno se drže u ravnoteži. Sile u lukovima su u osloncu jednake 0, a u tjemenu imaju svoju maximalnu vrijednost. Horizontalne komeponente ovih sila uravnotežuju momenat , a vertikalne sile poprečnu silu u poprečnom presjeku. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

4

STADIJ II Predhodno opisana naprazanja vrijede za grede od homogenog i izotropnog materijala . Za armirano betonska greda sa opterećenjem malog intenziteta, a prije pojave naprslina, vrijednosti napona su približno jedanke naponima grede od homogenog materijala. S povečanjem opterećenja dolazi do pojave naprslina okomito na trajektorije zatezanja u dijelovima grede gdje su naponi σI (glavni kosi zatežuči naponi veči od čvrstoće na zatezanja betona). Oblik naprslina zavisi od istovremenog djelovanja M i V , a dubina prodiranja prema pritisnutom rubu zavisi od prionljivosti između betona i čelika, podužne aramture i obilka i rasporeda smičuće armature.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

5

VRSTE LOMOVA KOD VITKIH ARMIRANO-BETONSKIH GREDA Kod vitkih armirano betosnkih greda opterećenih kao na slici razliku se područje savijanja bez poprečne sile (područje A) i područje savijanja sa poprečnom silom ( područje B), a u području C dominira poprečna sila.

U području čistog savijanja (područje A) do otkazivanja nosivnosti može doći : a) b)

otkazivanjem nosivosti zategnute armature kada je nosivost betona u pritisnutoj zoni veča od nosivosti zategnute armature ( normalno aramirane grede) Otkazivanjem nosivosti pritisnute zone betona kada je nosivost zategnute armature veča od nosivosti pritisnute zone betona ( prearmirane grede).

U oba slučaja dolazi od pojave vertikalnih prslina u zoni zaštitnog sloja betona i kroz zategnutu zonu betona ( područje A) pri čemu se u slučaju a) usljed dostizanja granice tečenja čelika javljaju proširenja naprslina prodiranja prema pritisnutom rubu naprslina, velikih progiba AB grede, a otkazivanje presjeka se dešava usljed drobljenja betona. Ovu vrstu loma nazivamo najavljeni (duktilni ) lom. U slučaju b) dolazi do naglog drobljenja slabije pritisnute zone betona bez predhodne najave u obliku plastičnih deformacija armature, pa se ova vrsta loma naziva nenajavljeni ( krti) lom.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

6

Vrste lomova elemenata bez poprečne armature U području savijanja sa poprečnim silama ( područje B) javljaju se vertikalne prsline prvo kroz zaštitni sloj betona do zone zategnute armature, a onda poprimaju kosi pravac usljed dejstva glavnih kosih zatežućih napona σI. Povećanjem opterećenja ova prslina prodire dublje u pritisnutu zonu betona koji doživljava nagli lom drobljenjem s obzirom na povećanje napona pritiska preko čvrstoće betona na pritisak (M-V lom). Kod greda sa “I” poprečnim presjekom , gdje je usljed male širine rebra veličina τ napona povećana, dolazi do pojave kosih prslina unutar rebra pod nagibom cca 45°. Otkazivanjem sidrenja podužne armature dolazi do proširenja kose prsline ( kao M-V lom) i njenog prodiranja u pritisnutu zonu, što dovodi do otkazivanja smanjene pritisnute zone betona. Ako naponi pritiska u pritisnutim dijagonalama dostignu čvrstoću betona pri pritisku prije otkazivanja smičuće armature nastaje nagli lom drobljenjem pritisnutih dijagonala.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

7

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

8

Opiti provedeni na gredama “I” presjeka sa različitim stepenom armiranja poprečnom armaturom

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

9

Nosivi model i osnove dimenzioniranja Analogija sa rešetkom; najraniji prijedlog Ritter (1899) / Mörsch (1908). Klasična analogija sa rešetkom prema Mörsch-u bazira se na idealizaciji, da je to rešetka sa paralelnim pojasevima na razmaku z, koje predstavlja pritisnuta zona betona i zategnuta podužna armatura. Ispuna rešetke se sastoji od pritisnutih dijagonala betona nagetih u pravcu glavnih napona pritiska odnosno pod uglom od 45°. Zategnutu ispunu čini poprečna armatura koja se sastoji od vertikalnih vilica, povijenih šipki ili kosih vilica. Jednostruka rešetka opisuje u sredini presjeka stvarnu vrijednost pojasne sile, koja se jednostavno može dobiti “pomjeranjem” sila zatezanja odnosno pritiska po tehničkoj teoriji savijanja za vrijednost c/2 = z/2.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

10

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

11

Dimenzioniranje na poprečne sile Poprečna armatura preuzima jedan dio smičućih napona, dok drugi dio preuzima beton. Prema nekim istraživanjima mali dio smičućih naprezanja preuzima i uzduzna armatura. U pravilu uvijek se predviđa najmanja (minimalna) poprečna armatura, čak i onda kad proračun pokaze da ona nije potrebna. Ta najmanja armatura smije se izostaviti kod ploča (pune, rebraste, šuplje) koje imaju zadovoljavajuću poprečnu raspodjelu opterećenja i nisu izložene velikim zatežućim naponima. Kod proračuna potrebne uzdužne armature u području smičućih napona valja uzeti u obzir povećanje zatežuće uzdužne sile iznad vrijednosti koja odgovara momentu savijanja. To povećanje uzeto je u obzir pomicanjem dijagrama zatežućih sila. Postupak dimenzioniranja na poprečnu silu zasniva se na tri proračunske vrijednosti nosivosti na poprečnu silu: VRd1 - računska nosivost na poprečnu silu elementa bez poprečne armature VRd2 - računska nosivost na poprečnu silu koja se može preuzeti bez otkazivanja pritisnutih dijagonala VRd3 - računska nosivost na poprečnu silu elementa s poprečnom armaturom (vrijednost između VRd1 i VRd2 , tj. VRd1 ≤ VRd3 ≤ VRd2 ).

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

12

Elementi bez proracunski potrebne poprecne armature (VSd ≤ VRd1) Za presjek u kojem je proračunska poprečna sila (presjeci sa ekstrmnim vrijednostimatransverzalne sile) VSd ≤ VRd1 ne zahtijeva se proračun poprečne armature, ali je potrebno postaviti minimalnu poprečnu armaturu. Proračunska nosivost na poprečnu silu VRd1 dobija se iz:

VRd1 = gdje je: τRd

(τ

Rd

⋅ k ⋅ (1,2 + 40 ⋅ρ1 ) + 0,15 ⋅ σcp ) ⋅ bw ⋅ d

vrijednosti čvrstoće na smicanje za razne klase betona date u tablici;

k=1

za elemente kod kojih je više od 50% podužne armature u polju prekinuto (povijeno u gornju zonu ili ranije završeno), inače je: k=1,6-d ≥ 1 (gdje je d statička visina u [m]) ρ1 =As1 /(bw d)≤ [0,02] As1

površina uzdužne (zategnute) armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza posmatranog presjeka

bw

najmanja širina poprečnog presjeka unutar statičke visine

σcp =Nsd/Ac Nsd uzdužna sila (normalna sila) od opterećenja ili prednaprezanja (pozitivna vrijednost ukoliko je sila pritiska).

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

13

lb,net - potrebna dužina sidrenja podužne armature

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

14

Elementi s proracunski potrebnom poprecnom armaturom (VRd1≤ VSd ≤ VRd2) U presjeku gdje VSd prelazi vrijednost VRd1 treba predvidjeti poprečnu armaturu tako da bude VSd ≤ VRd3. Velicina poprecne armature ne smije biti manja od minimalne poprecne armature. Najveća nosivost pritisnutih dijagonala betona na poprečne sile VRd2 dobija se prema izrazu:

V= 0,50 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ bw ⋅ 0,9 ⋅ d Rd2 gdje je :

= ν 0,7 − fck i broj 200 dati u [N/mm2].

fck ≥ 0,5 200

U gredama se, pored poprečne armature formirane od uzengija, može koristiti i povijena uzdužna armatura (pod uglom od 45° u odnosu na osovinu grede), gdje se minimalno 50% poprečne sile mora preuzimati uzengijama. Proračunska vrijednost poprečne sile ne smije niti u jednom presjeku preći vrijednost VRd2 . Kada je element opterećen i normalnom silom pritiska vrijednost VRd2 treba umanjiti prema izrazu:  σ  VRd2,red= 1,67 ⋅ VRd2 ⋅  1 − cp,eff  ≤ VRd2 fcd   Gdje je : umanjena vrijednost VRd2 , zbog uticaja pritisujuće normalne sile, VRd2,red σcp,eff efektivno srednje naprezanje betona od normalne pritiskujuće sile prema izrazu σcp,eff

 A s2   NSd − fyk ⋅  γs   = Ac

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

15

Potrebna dužina sidrenja uzdužne armature Može proračunati prema izrazu: lb,net =α a ⋅ lb ⋅

Gdje je: αa αa = 1,0 αa = 0,7

A s,req A s,prov

≥ lb,min

koeficijent efekta sidrenja za prave šipke za povijene šipke

As,req i As,prov površina potrebne, odnosno površina usvojene podužne armature lb,min Gdje je fbd

najmanja vrijednost dužine sidrenja: = 0,3 ⋅ lb ≥ 10 ⋅ Φ ≥ 100mm - za sidrenje uzdužne zategnute armature lb,min = 0,6 ⋅ lb ≥ 10 ⋅ Φ ≥ 100mm - za sidrenje pritisnute uzdužne armature lb,min Φ fyd l= ⋅ b 4 fbd računska čvrstoća prijanjanja za dobre uslove sidrenja, data u tablici:

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

16

Dimenzioniranje na poprečne sile za grede stalne visine (I=const) Koeficijent armiranja poprečnom armaturom dobija se iz izraza : Gdje je: Asw sw bw α

A sw ρw = sw ⋅ bw ⋅ sin α

poprečni presjek poprečne armature (uzengija) na razmaku sw razmak uzengija najmanja širina poprečnog presjeka unutar statičke visine Ugao nagiba poprečne armature u odnosu na osovinu elementa.

Minimalni koeficijenti armiraja presjeka poprečnom armaturom dati su u tabeli:

Najveći dopušteni razmak vertikalnih uzengija dati su u tabeli:

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

17

Vrijednosti razmaka uzengija datih u prethodnoj tabeli dodatno treba uskladiti sa uslovima datim propisima, i to: najveći dopušteni razmak uzengija sw,max, određen je veličinama VSd , VRd1 i VRd2

- uzdužni razmak povijenih šipki ne smije preći vrijednost:

- max. razmak uzengija radi ograničenja širine naprslina:

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

18

Dimenzioniranje na poprečne sile greda promjenljive visine (I≠const.)

Povećanje visine presjeka s povećanjem momenta poprečna sila se smanjuje

Smanjenje visine presjeka s povećanjem momenta poprečna sila se povećava

Primjeri promjene veličine poprečne sile sa promjenom visine poprečnog presjeka grede ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

19

PLOČE Uvod Pločama se nazivaju ravni površinski nosači koji su opterećeni okomito na srednju ravan, tj. ravan koja na svakom mjestu polovi debljinu ploče (sl. 1.). Geometrijski, ploča ima malu debljinu u odnosu na druge dvije dimenzije – širinu i dužinu. Obično se ploče označavaju prema tlocrtnom obliku i načinu oslanjanja.

Slika 1. Srednja ravan ploče

Prema tlocrtnom obliku razlikuju se pravokutne, kružne, mnogokutne, trokutne, trapezne, eliptične itd. ploče (sl. 2.).

Slika 2. Tlocrtni oblik ploča i način oslanjanja

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

20

Prema načinu oslanjanja razlikuju se ploče oslonjene na zidove ili podvlake – ploče sa linijskim osloncima (sl. 3.) i ploče koje se oslanjaju samo na stupove (bez podvlaka) – tačkasto oslonjene ploče (sl. 4.). Kod tačkasto oslonjenih ploča javljaju se velika naprezanja od savijanja i poprečnih sila u oslonačkom području. Ako se kod ovih ploča ubacuje između glave stupa i ploče ojačanje (kapitel) u vidu pečurke (gljive), radi smanjenja navedenih naprezanja, onda se ove ploče nazivaju pečurkaste (gljivaste) ploče (sl. 5.).

Slika 3. Ploča sa podvlakama

Slika 4. Tačkasto oslonjena ploča

Slika 5. Pečurkasta ploča

Na slici 3. prikazan je sistem kontinualnih ploča oslonjenih na podvlake koje se prostiru u dva okomita pravca, pa se opterećenje svakog polja ploče prenosi u pravcu x-x i y-y. Radi uprošćenja proračuna pretpostavlja se da se podvlake ne ugibaju pod uticajem opterećenja na ploči, odnosno ploče se proračunavaju kao da leže na nepomičnim osloncima. Osim toga, pretpostavlja se da ploča nije monolitno povezana sa podvlakama nego da je na njih oslonjena preko linijskih okretnih ležišta, tj. da se poprečni presjeci ploče nad osloncima (podvlakama) mogu okretati bez zaokretanja podvlaka. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

21

Jednoosno napregnute ili duge ploče Na slici 6. prikazan je sistem kontinualnih ploča oslonjenih na podvlake koje se prostiru u jednom pravcu (pravac y-y), pa se opterećenje svakog polja ploče prenosi u pravcu x-x koji je okomit na pravac y-y.

lx

lx

Slika 6. Sistem kontinualnih jednoosno nosivih ploča

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

22

Ako je pravokutna ploča oslonjena na dvije naspramne strane i opterećena tako da se intenzitet opterećenja mijenja samo u pravcu x-x (pravac nošenja) p = p(x), onda su progibi ploče nezavisni od y; progibna površina zakrivljena je samo u x-z ravni, dok je zakrivljenost u y-z ravni jednaka nuli. Iz toga slijedi da je momenat savijanja mx jednak momentu savijanja u gredi čija je širina poprečnog presjeka b = 1,0 m, odnosno da se ploča ponaša kao skup greda raspona lx koje su položene jedna pored druge, s tim da se pored momenata mx pojavljuju i momenti my = µ ⋅ mx i da progib ploče iznosi (1 - µ2) progiba grede, gdje je µ koeficijent poprečne kontrakcije. Uzrok pojave momenata my se može objasniti pomoću slike 7. Kada bi se zamišljena traka mogla slobodno deformisati u poprečnom pravcu (pravac y-y), to bi se njena širina u području pritiska povećala, a u području zatezanja smanjila. Pošto su ove deformacije spriječene moraju se pojaviti momenti my = µ ⋅ mx da bi se zadovoljili uslovi kompatibilnosti deformacija.

Slika 7. Spriječene deformacije zamišljenih traka u pravcu y-y

Prema tome, sile u presjecima (mx, qx) kod ploča čiji se linijski oslonci prostiru samo u jednom pravcu (pravac x-x, raspon lx) i čiji se intenzitet opterećenja mijenja samo u pravcu raspona lx, određuju se kao kod greda raspona lx i širine b = 1,00 m. Momenti savijanja my u pravcu okomitom na pravac raspona ne određuju se posebno nego se pokrivaju konstruktivnom armaturom koja se naziva razdjelna ili poprečna armatura. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

23

Međutim, kod kod ovakvih ploča koje su opterećene koncentričnim ili linijskim opterećenjem elastična površina je zakrivljena u svim vertikalnim ravnima , pa se javljaju znatni momenti my u pravcu okomitom na pravac nošenja. Na slici 8. su prikazane linije koje spajaju tačke jednakih progiba pravokutne ploče koja je slobodno oslonjena na dvije naspramne strane i opterećena koncentričnim teretom P. Vidi se da je progibna površina zakrivljena u svim vertikalnim ravnima, pa i u ravni x-z i y-z.

Slika 8. Progibi ploče u pravcima x-x i y-y

Na slici 9. prikazani su dijagrami momenata mx(y) za x = 0.5 ⋅ lx i my(y) za x = 0.5 ⋅ lx kao i dijagrami mx(x) za y = 0 i my(x) za y = 0 ploče oslonjene na dvije naspramne strane i opterećene linijskim opterećenjem q [kN/m], a na slici 10. dijagrami momenata savijanja mx(y) za x = 0, mx(y) za x = 0.5 ⋅ lx, my(y) za x = lx i my(y) za x = 0.5 ⋅ lx konzolne ploče opterećene koncentričnim opterećenjem P.

Slika 9.

Slika 10.

24

Ako se zamisli da su pomenute ploče razdijeljene u trake koje su paralelne sa x-osom onda se na osnovu prethodnih slika može zaključiti slijedeće : • u prenosu opterećenja na oslonce ne učestvuje samo traka na kojoj djeluje teret nego i trake koje leže lijevo i desno od opterećene trake; • zakrivljenost 1/ρx ovih traka u x-z ravni je različita. Najviše je zakrivljena traka na kojoj djeluje teret. Prema tome, u preuzimanju tereta najviše učestvuje traka na kojoj djeluje teret, dok ostale trake, ukoliko su više udaljene od ove trake, utoliko manje učestvuju u preuzimanju tereta, • pošto je stepen zakrivljenosti ovih traka različit, to se u ovom području javljaju i torzioni momenti; • u relativno uskom području oko koncentrične sile ili linijskog tereta javljaju se znatni pozitivni momenti my (čak i kod konzolnih ploča momenti my su pozitivni). Ako su ploče opterećene velikim koncentričnim teretom (mostovske konstrukcje) onda se momenti savijanja određuju pomoću uticajnih površina ili sličnih tabela izrađenih na bazi teorije ploča, ili pomoću gotovih kompjuterskih programa. Kod ploča u visokogradnji sile u presjecima od koncentričnog tereta mogu se približno odrediti pomoću sila u presjecima fiktivne grede dimenzija poprečnog presjeka bm ⋅ d, koja je opterećena istim teretom, ima isti raspon i oslonačke uslove kao ploča. Širina bm te grede naziva se sudjelujuća širina ploče, a određuje se tako da su naponi u gredi usaglašeni sa naponima ploče na mjestu najvećih naprezanja (slika 11.).

Slika 11.

25

Prema slici 11. momenat zamjenjujuće grede za x = lx/2 iznosi: = Mx

⋅ dy ∫ m ( y )= x

(b)

P ⋅l 4

Prosječna vrijednost momenta mxiznosi : m= xm

Mx P ⋅l = bm 4 ⋅ bm

odakle se dobija da je : bm =

Mx max mx

gdje je : Mx - ukupni momenat savijanja u presjeku x zamjenjujuće grede; mx(y) - momenat savijanja u ploči u presjeku x određen po teoriji ploča; mxm - prosječna vrijednost momenta mx; max mx - najveći momenat u ploči određen po teoriji ploča; bm - računska sudjelujuća širina za uticaj koncentrisanog opterećenja. Da bi se mogle odrediti prosječne sile jednoosno napregnutih ploča pomoću zamjenjujuće grede od opterećenja linijskim ili koncentrisanim opterećenjem, potrebno je odrediti sudjelujuću širinu bm zamjenjujuće grede.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

26

Tabela 1

U tabeli 1. dati su približni obrasci za proračun sudjelujuće širine bm prema DIN 1045 za momente u polju mF i momente na osloncima mS, kao i poprečne sile qS. Prema tome je : mF =

MF bmF

[kNm / m]

mS =

MS bmS

[kNm / m]

QL bL

[kN / m]

qS =

gdje je : MF , MS – ukupni momenti savijanja u polju, odnosno na osloncu ploče usljed koncentrisanog ili linijskog opterećenja; bmF, bmS - sudjelujuća širina ploče za momente u polju, odnosno na osloncu (tabela 1) - sudjelujuća širina ploče za bL poprečne sile (tabela 1)

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

27

Iz tabele 1. se vidi da sudjelujuća širina bm zavisi od udaljenosti x rezultante opterećenja od oslonca i od stranice pravougaonika ty u srednjoj ravni ploče u pravcu okomitom na pravac raspona unutar kojeg je teret ravnomjerno raspodijeljen (slika 12.)

Slika 12.

Obrasci dati u tabeli 1. važe za one slučajeve kada se opterećenje na ploču prenosi preko određene površine Cx ⋅ Cy kako je to prikazano na slici 12. Granice primjene navedenih obrazaca date su u tabeli 1., kolona 3. Za slučaj djelovanja linijskog opterećenja koje se prostire po čitavom rasponu, sudjelujuću širinu bm treba odrediti prema izrazima koji su dati u koloni 4. tabele 1. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

28

Pošto je navedenim obrascima trebalo obuhvatiti široko područje primjene, to se u izvjesnim slučajevima za sudjelujuću širinu bm dobiju znatno manje vrijednosti od onih koje bi se dobile po tačnom postupku. Na slici 13. prikazana je duga pravougaona ploča koja je oslonjena na sve četiri strane i opterećena ravnomjerno podijeljenim opterećenjem q = const.

Slika 13.

Kada bi ova ploča bila oslonjena samo na dvije duže strane, onda bi ugibna površina te ploče, za ravnomjerno podijeljeno opterećenje, bila zakrivljena samo u x-z ravni , tj. ploča bi se ponašala kao skup greda širine b = 1,00 m. Međutim, ako je ova ploča oslonjena još i na jednu ili obje kraće strane, onda dolazi do poremećaja tog naponskog stanja u području koje se naziva područje poremećaja ili krajnje područje. U tom području ploča se može posmatrati kao da je oslonjena na tri strane, pa se u tom području pojavljuju momenti mx, my i mxy. U srednjem području ploča prenosi opterećenje samo u x-x pravcu, pa se pojavljuju momenti mx i my = µ ⋅ mx. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

29

Na slici 14. prikazani su momenti mx i my u području poremećaja. Prema naprijed navedenom, u jednoosno napregnute ili duge ploče spadaju : - ploče oslonjene na dvije naspramne strane , - konzolne ploče, - ploče oslonjene na sve četiri strane kod kojih je odnos raspona ly / lx ≥ 2, - ploče oslonjene na dvije duže i jednu kraću stranu ako je odnos raspona ly / lx ≥ 2. Proračun presječnih sila kod ovih ploča opterećenih opterećenjem p = p(x) koje se mijenja samo u pravcu nošenja, tj. u pravcu x, vrši se na zamjenjujućoj gredi širine b = 1,00 m raspona lx. Na ovom proračunskom modelu određuju se momenti mx, a momenti my, koji se javljaju zbog kompatibilnosti deformacija iznose my = µ ⋅ mx. Glavna armatura kod ovih ploča se postavlja u pravcu nošenja (pravac x), a u pravcu y se postavlja tzv. razdjelna armatura za preuzimanje sila zatezanja usljed djelovanja momenata my. Za slučaj djelovanja linijskog ili koncentrisanog opterećenja, proračun presječnih sila vrši se na proračunskom modelu zamjenjujuće grede čije su dimenzije poprečnog presjeka bm ⋅ d, a koja je opterećena istim opterećenjem kao i ploča, ima isti raspon i oslonačke uslove kao i ploča. Širina zamjenjujuće grede može se odrediti pomoću izraza datih u tabeli 1. Pri tome treba voditi računa da se u području djelovanja linijskog ili koncentrisanog opterećenja u ploči javljaju, pored momenta mx i momenti my koji su istog reda veličine, kako je to za neke slučajeve prikazano na slikama 9, 10 i 11.

Slika 14.

30

Osnovni principi armiranja jednoosno napregnutih ploča Statički proračun pojedinih elemenata armiranobetonskih konstrukcija se provodi na idealiziranom proračunskom modelu. Proračunski modeli moraju biti tako odabrani da, što je moguće više, odgovaraju stvarnosti, odnosno da se presječne sile određene na proračunskom modelu što manje razlikuju od presječnih sila u stvarnoj konstrukciji. Pri tome se vrlo često moraju uvoditi određene pretpostavke i idealizacije kao što su pretpostavke o mehaničkim osobinama materijala, krutostima presjeka, raspodjeli opterećenja i oslonačkim uslovima koji u potpunosti ne odgovaraju stvarnosti, ali znatno uproštavaju proračun. Greške koje se čine ovim pretpostavkama moraju se procijeniti i odgovarajućim konstruktivnim mjerama obuhvatiti. To se u prvom redu odnosi na konstruisanje i postavljanje tzv. konstruktivne armature čiji je zadatak da preuzme sile zatezanja koje se mogu javiti u konstrukciji, a koje nisu proračunom obuhvaćene kao i izbjegavanje, odnosno sprječavanje širokih naprslina u tim presjecima. Pri odabiranju proračunskog modela oslonački uslovi imaju odlučujuću ulogu. U praksi se oslonački uslovi uzimaju tako da se pretpostavi slobodno oslanjanje ili potpuno uklještenje. Proračun ploča koje su obično oslonjene na podvlake sa kojima su monolitno povezane na bazi idealizovanih pretpostavki teorije elastičnosti bi bio veoma dug i komplikovan. Da bi se proračun učinio jednostavnijim oslonački uslovi ploče se idealiziraju, a procjenjena greška koja se time čini se obuhvata konstruktivnim mjerama.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

31

U slučajevima kada je ploča oslonjena na zid od opeke ili drugih elemenata ili na monolitni betonski zid pri čemu nije predviđena armatura za ostvarivanje monolitne veze između zida i ploče, pri proračunu ploče može se uzeti da je ona slobodno oslonjena (sl. 15.).

Slika 15.

Greška koja se na ovaj način čini zbog elastičnog uklještenja ploče u zid se uzima u obzir postavljanjem konstruktivne armature u gornju zonu ploče čija površina poprečnog presjeka mora iznosit najmanje 1/3 do ½ armature polja, a dužina na kojoj se ova armatura postavlja iznosi 0,15 lx, slika 16.

32 Slika 16.

Ako je ploča oslonjena na monolitni armiranobetonski zid pri čemu je predviđena armatura za ostvarivanje monolitne veze, onda se, zavisno od odnosa krutosti ploče i zida, na krajnjem osloncu ploče mogu javiti znatni negativni momenti koji se moraju uzeti u obzir pri proračunu. U ovom slučaju se u gornjoj zoni ploče mora proračunati armatura prema izračunatom oslonačkom momentu, slika 17.

Slika 17.

Slika 18.

Ako je ploča oslonjena na rubnu gredu sa kojom je monolitno povezana, onda se na krajnjem osloncu ploče javljaju negativni momenti usljed spriječenog obrtanja grede. Stepen uklještenja ploče u gredu zavisi od torzione krutosti grede koja je najveća kada se greda nalazi u stadiju I, a znatno opada (na 10 do 15% GJIT) kada greda dođe u stadij II, tj. kada se u gredi pojave naprsline. Radi toga se u ovom slučaju, za proračun armature u polju pretpostavlja da je ploča na krajnjem osloncui slobodno oslonjena, a za proračun oslonačke armature momenat elastičnog uklještenja ploče u gredu se određuje uzimajući torzionu krutost grede koja odgovara stadiju I (GJIT, linija "a", slika 18.). ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

33

Kod kontinualnih jednoosno napregnutih ploča raspored armature se vrši prema liniji zatežućih sila. Na krajnjim osloncima u donjoj zoni ploče mora se zadržati najmanje ½ armature polja, a na srednjim osloncima najmanje 1/3 armature polja. Što se tiče armature na krajnjim osloncima u gornjoj zoni vrijedi sve naprijed navedeno. Raspored podužne armature kod ovih ploča se može vršiti na nekoliko načina. Na slici 19. prikazano je srednje polje jednoosno napregnute kontinualne ploče, linija zatežućih sila Zu i linija pokrivanja zatežućih sila kao i raspored armature uzimajući da se 2/3 armature iz polja povija u gornju zonu, a 1/3 vodi od oslonca do oslonca u donjoj zoni.

Slika 19. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

34

Na slici 20. prikazani su mogući načini rasporeda armature kod kontinualnih jednoosno napregnutih ploča. Prvi način je konstruisanje armature tako da se 2/3 armature polja povija u gornju zonu, a 1/3 armature polja vodi u donjoj zoni iznad srednjih oslonaca, dok se iznad krajnjih oslonaca povija 1/3 armature polja, a 2/3 vodi u donjoj zoni. Na ovaj način se obezbjeđuje dovoljna armatura iznad srednjih oslonaca, ali je raspored oslonačke armature neravnomjeran. Drugi način se sastoji u tome da se 1/2 armature polja povija u gornju zonu, a 1/2 vodi u donjoj zoni. Ovaj način rasporeda armature se najčešće primjenjuje jer se dobija ravnomjeran raspored oslonačke armature, ali je obično potrebna i dodatna oslonačka armatura. Treći način rasporeda armature se sastoji u tome da se u polju odaberu armaturne šipke različitih prečnika koje se naizmjenično postavljaju , s tim da se deblji profili povijaju u gornju zonu, a tanji profili vode od oslonca do oslonca u donjoj zoni. Na ovaj način se dobija ravnomjeran raspored armature iznad oslonaca i obično nisu potrebne dodatne armaturne šipke iznad oslonaca. Četvrti način sastoji se u tome da se armatura ploče konstruiše od pravih šipki pri čemu se ½ armature polja sidri u polju (samo za RA 400/500 i MA 500/560). Pri ovakvom načinu rasporeda armature utroši se nešto veća količina armature, ali je izrada znatno jednostavnija. Slika 20. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

35

Na slici 21. prikazan je principijelan raspored armature kontinualnih jednoosno napregnutih ploča konstruisane samo od zavarenih armaturnih mreža MA 500/560. Za konstruisanje armature kod ovih ploča uglavnom se koriste tzv. uzdužno nosive ili "R" mreže. Armatura polja i oslonačka armatura se konstruišu od jednog ili dva sloja istih ili različitih mreža. Jedna armaturna mreža se obavezno vodi od oslonca do oslonca i ona se postavlja bliže zategnutom rubu, dok se druga armaturna mreža sidri u polju. Pri odabiranju armaturnih mreža treba nastojati da se armatura ploče konstruiše sa što manje različitih tipova mreža.

Slika 21.

36

Na slici 22. prikazan je tok momenata my u krajnjem području jednoosno napregnute ploče kao i tok momenata my kod jednoosno napregnute ploče na srednjem osloncu paralelnom pravcu nošenja. Budući da ovi momenti nisu obuhvaćeni proračunom, za preuzimanje sila zatezanja od ovih momenata potrebno je postaviti armaturu, slika 22.

Slika 22.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

37

Konstruktivne odredbe za jednoosno napregnute ploče Najmanja debljina ploče treba da iznosi 7 cm. Debljina ploče po kojoj se kreću putnička vozila treba da iznosi 10 cm, a ako se po ploči kreću teretna vozila onda debljina ploče treba da iznosi min. 12 cm. Ako se ugibi ploča posebno ne računaju, onda debljina ploče mora da iznosi dmin =li /35 , gdje je : li – raspon ploče, odnosno odstojanje nultih tačaka momenata savijanja i može se uzeti da iznosi li = l za proste ploče li = 0,8 ⋅ l za kontinualne ploče li = (2,4 do 4) ⋅ lk za konzolne ploče. Razmak armaturnih šipki u području najvećih naprezanja ploče ne može biti veći od 2⋅d za ravnomjerno podijeljena opterećenja, odnosno 1,5⋅d za ploče opterećene koncentrisanim opterećenjem, ali ne veći od 20 cm (d – debljina ploče). U području gdje se vrši povijanje glavne armature (u donjoj zoni u blizini oslonaca) najveći razmak armaturnih šipki ne smije biti veći od 40 cm. Čist razmak između armaturnih šipki ne može biti manji od 4 cm. Najmanji procenat glavne podužne armature u zoni najvećih naprezanja ne može biti manji od 0,15% betonskog presjeka za GA 240/360, odnosno 0,10% betonskog presjeka za RA 400/500 i 0,075% betonskog presjeka za MA 500/560. Najmanji procenat razdjelne armature mora da iznosi 20% glavne armature, ali ne može biti manji od 0,1% betonskog presjeka za GA 240/360, 0,085% za RA 400/500 i 0,075% za MA 500/560. Razmak podeone (razdjelne) armature ne može biti veći od 4d za ploče opterećene kontinualnim opterećenjem, odnosno 3d za ploče opterećene koncentrisanim opterećenjem, ali ne veći od 30 cm, odnosno 40 cm. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

38

OSNOVNE JEDNAČINE TEORIJE SAVIJANJA TANKIH PLOČA Savremenu teoriju savijanja tankih ploča postavio je KIRCHOFF 1850.godine na bazi hipoteza koje,u izvjesnom smislu, predstavljaju uopštavanje hipoteza koje se čine kod savijanja linijskih nosača. Te hipoteze su sljedeće: - ploča je izrađena od materijala koji je: homogen, izotropan i linearno eIastičan; - debljina ploče je konstantna i mala je u odnosu na druge dvije dimenzije; - ugibi ploče su mali u odnosu na debljinu ploče; - vlakna ploče koja su upravna na nedefomisanu srednju ravan ploče ostaju upravna na deformisanu srednju ravan ploče ; - normalni naponi σz upravni na srednju ravan ploče mogu se zanemariti; -u srednjoj ravni ne djeluju nikakvi normalni naponi, pa se deformacije elemenata srednje ravni mogu zanemariti. Za izvođenje jednačina teorije savijanja tankih ploča posmatraće se jedan element ploče isječen sa dva para ravni paralelnih yz , odnosno xz ravni na odstojanju dx, odnosno dy, a opterećen proizvoljnim opterećenjem p(x,y).

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

39

Rezultante napona koji djeluju na vertikalnim ravnima elementa predstavljaju unutrašanje sile na jedinicu dužine presjeka i to: - Momenti savijanja d/2

mx=

∫

d/2

σx ⋅ z ⋅ dz; my=

− d/2

∫

σy ⋅ z ⋅ dz

(1a)

− d/2

- Torzioni momenti: d/2

mxy=

∫

τxy ⋅ z ⋅ dz

(1b)

− d/2

- Poprečne siIe: d/2

qx =

∫

− d/2

d/2

τxy ⋅ dz; qy =

∫

τyz ⋅ dz

(1c)

− d/2

Veza izmedju presječnih sila datih sa izrazima (1) i vanjskog opterećenja p(x,y) dobija se iz uslova revnoteže i to: a) Iz uslova da je suma momenata s obzirom na težišnu osovinu elemenata pararelnih sa y- osom jednaka nuli dobija se:

∂mxy ∂mx ∂q dx ⋅ dx ⋅ dy + ⋅ dx ⋅ dy − qx ⋅ dx ⋅ dy − x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ = 0 ∂x ∂y ∂x 2 ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

40

Zanemarujući male veličine višeg reda i djeleći navedenu jednačinu sa dxdy dobija se:

∂mx ∂mxy 0 + − qx = ∂x ∂y

(2a)

Na sličan način, postavljajući uslov da je suma momenta s obzirom na težišnu osovinu paralelnu x- osovini jednaka nuli i da je suma svih vertikalnih sila u pravcu z- osovine jednaka nuli, dobija se:

∂my ∂y

+

∂mxy ∂x ∂qy

0 − qy =

∂qx 0 + +p = ∂x ∂y

(2b) (2c)

Iz prva dva uslova razvnoteže data izrazima (2a) i (2b) mogu se izraziti poprečne sile kao parcijalni izvodi momenata, tj.:

∂mx ∂mxy + qx = ; ∂x ∂y

2 ∂qx ∂ 2mx ∂ mxy = + ∂x ∂ 2x ∂x ⋅ ∂y

∂my ∂mxy + qy = ; ∂y ∂x

∂qy

∂ 2my ∂ 2mxy = + ∂y ∂ 2 y ∂x ⋅ ∂y

(3a)

(3b)

Ako se navedeni izrazi dati sa (3) uvrste u uslov ravnoteže (2c) dobija se:

∂ 2mxy ∂ 2my ∂ 2mx + 2⋅ + =−p(x,y) 2 2 ∂x ∂x ⋅ ∂y ∂y

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

(4)

41

Tri uslova razvnoteže nisu dovoljni da se odrede tri momenta mx, my i mxy, dvije poprečne sile qx i qy kao i pomjeranje w(x,y). Da bi se moglo odrediti navedenih šest funkcija, koristiće se i veza između sila u presjeku i pomjeranja w. Na osnovu hipoteze da vlakna upravna na srednju ravan ploče prije deformisanja ostaju upravna i na srednju ravan ploče i nakon deformisanja, slijedi da su klizanja γxz i γzy jednaka nuli, odnosno:

∂u ∂w ∂v ∂w γ xz = + =0; γ zy = + =0 ∂z ∂x ∂z ∂y

(5)

Iz jednačine (5) integrišući se dobija, (slika dole):

u =−z ⋅

∂w ∂w ; v =−z ⋅ ∂x ∂y

(6)

Pošto su pomjeranja u i v izražena preko pomjeranja w, to se komponente dilatacije mogu izraziti u funkciji pomjeranja w: ∂u ∂2w εx = =−z ⋅ 2 (7a)

∂x ∂x ∂v ∂2w ε y = =−z ⋅ 2 ∂y ∂y

∂v ∂u ∂2w γ xy = + =−2 ⋅ z ⋅ ∂x ∂y ∂x ⋅ ∂y ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

(7b) (7c) 42

Koristeći generalisani Hooke-ov zakon, komponente napona se mogu izraziri pomoću komponenti deformacija. Polazeći od izrara poznatih iz Otpornosti materijala dobija se:

1 E ⋅ ( σx + µ ⋅ σ y ) ; σx = ⋅ ( εx + µ ⋅ ε y ) E 1 − µ2 1 E ε y = ⋅ ( σ y + µ ⋅ σx ) ; σ y = ⋅ ε + µ ⋅ εx ) 2 ( y E 1−µ εx =

1 γ xy= ⋅ τxy ; G

E ∂2w τxy= ⋅ 2 1 + µ ∂x ⋅ ∂y

(8a) (8b)

(8c)

Uvodeći u ove izraze vrijednosti za komponentalne dilatacije date izrazima (7) dobija se:

E  ∂2w ∂2w  = σx ⋅ +µ⋅ 2  ∂y  1 − µ2  ∂x 2 E  ∂2w ∂2w  = σy ⋅ +µ⋅ 2  ∂x  1 − µ2  ∂y2 E ∂2w τ= ⋅ xy 1 + µ ∂x ⋅ ∂y

(9a)

(9b)

(9c)

Kada se izrazi za napone dati sa izrazima (9) uvrste u izraze za presječne sile date sa izrazima (1) dobija se:

 ∂2w ∂2w  mx = −K ⋅  2 + µ ⋅ 2  ∂y   ∂x  ∂2w ∂2w  my = −K ⋅  2 + µ ⋅ 2  ∂x   ∂y ∂2w mxy = −K ⋅ (1 − µ ) ⋅ ∂x ⋅ ∂y

(10a) (10b)

(10c)

43

Uvrštavajući izraze za momente date sa izrazima (10) u izraze za poprečne sile date sa (3) dobija se:

gdje izraz K =

 ∂ 3w ∂ 3w  qx =−K ⋅  3 +  ∂x ⋅ ∂y2   ∂x  ∂ 3w ∂ 3w  qy =−K ⋅  3 + 2  ∂x ⋅ ∂y   ∂y

(11a)

(11b)

E⋅d predstavlja krutost ploče na savijanje. 2 12 ⋅ (1 − µ ) 3

Kada se izrazi za momente dati sa izrazima (10) uvrste u jednačinu (4) dobija se diferencijalna jednačina ugibne površine ploče u obliku:

∂4w ∂4w ∂ 4 w p ( x,y ) + 2⋅ 2 + = ∂x 4 ∂x ⋅ ∂y2 ∂x 4 K

(12a)

Ova jednačina se često piše u skraćenom obliku:

∆∆w =

p ( x,y )

(12b)

K

Opšte rješenje ove parcijalne diferencijalne jednačine četvrtog reda ne postoji. Zavisno od uslova na konturi ploče, za neke slučajeve mogu se naći partikularna rješenja u konačnom i za praktičnu primjenu jednostavnom obIiku. U pogledu rubnih uslova na konturi ploče mogu se javiti slijedeći slučajevi: -Uklješten rub ploče:

∂w ∂w = w 0;= 0 ili= 0 ∂x ∂y

-Slobodno oslonjen rub ploče: = w 0;= mx 0 -Slobodan rub ploče:

qx =+ qx

∂mxy ∂y

ili= my 0

= 0; mx = 0

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

44

Funkcija w(x,y) koja predstavlja ugibnu površinu ploče određuje se analitičkim ili numeričkim putem, a presječne sile mx ,my, mxy ,qx i qy diferenciranjem funkcije w(x,y) prema izrazima (10) i (11). Za proračun presječnih sila u ploči po teoriji elastičnosti, u praksi se najčešće koriste gotove tabele ili dijagrami izrađeni na bazi teorije ploča, a u novije vrijeme kompjuterski programi koji se najčešće baziraju na metodi konačnih elemenata. U jednom presjeku ploče, uglavnom se odredjuju mx ,my, mxy. Postojanje momenata mxy ukazuje da se pravci glavnih momenata ne podudaraju sa pravcima osovina odabranog koordinatnog sistema. Za dimenzioniranje ploče mjerodavni su glavni momenti čiji se intenzitet i pravac mogu odredit pomoću izraza: 2

mx + my  m − my  2 ±  x mI,II =  + mxy 2  2  2 ⋅ mxy tg2ϕ0 = mx − my

(13a) (13b)

U većini slučajeva u visokogradnji, momenti mx i my u presjecima koji su mjerodavni za dimenzioniranje ploče su istovremeno i glavni momenti iIi malo odstupaju od njih. Ako se ima u vidu da se ploče uglavnom armiraju unakrsnom armaturom, onda se moze reći da se pravci djelovanja glavnih momenata i pravci armaturnih šipki podudaraju. Kao primjer moze se navesti pravougaona ploča uklještena po svim rubovima kod koje su maksimalni momenti u poIju mxF i myF odnosno maksimalni moment i na uklještenim rubovima mxs i mys ujedno i glavni momenti u tim presjecima ploče.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

45

Na slici prikazane su trajektorije glavnih momenata savijanja kod pravougaonih ploča opterećenih ravnomjerno podjeljenim opterećenjem za razne odnose raspona l y / lx .

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

46

Trajektorije glavnih momenata sijeku se uvijek pod pravim uglom i paralelne su, odnosno okomite na uklještene rubove. U uglovima slobodno oslonjenih ploča kod kojih je spriječeno odizanje uglova, javljaju se u pravcu simetrala ugla negativni momenti ml koji izazivaju zatezanje na gornjoj strani ploče i okomito na simetralu ugla pozitivni momenti ml I koji izazivaju zatezanje na donjoj strani ploče.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

47

Momente u poljima dvoosno napregnutih ploče određene po teoriji elastičnosti treba povećati u slijedećim slučajevima: - kada odizanje uglova ploče nije spriječeno , - kada u uglovima slobodno oslonjenih ploča nije predviđena posebna armatura za preuzimanje sila zatezanja od djelovanja glavnih momenata savijanja; -ako postoje otvori u blizini uglova ploče. Zavisno od toga da Ii pravougaone ploče oslonjene na sve četiri strane slobodno naliježu na oslonačke elemente ili su u njih kruto uklješteni, razlikuju se ploče sa sljedećim uslovima oslanjanja:

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

48

Za proračun momenata savijanja u pojedinačnim pločama sa uslovima oslanjanja prikazanim na slici mogu se koristiti gotove tabele koje su izrađene na osnovu teorije tankih ploča. Pomoću tabela, za razne odnose ε=ly/lx i ravnomjerno podjeljeno opterećenje mogu se odrediti momenti savijanja:

q ⋅ l2x mfx = fx q ⋅ l2x mfy = fy mSx =

q ⋅l Sx

2 x

(14)

q ⋅ l2x mSy = Sy gdje su: fx, fy, Sx i Sy - koeficijenti za proračun momenata savijanja dati u odgovarajućim tabelama. Tok momenata savijanja kod dvoosno napregnutih ploča se može prikazati u vidu momentnih površina jer se radi o površinskim nosačima. Momentna površina se može prikazati pomoću linija koje povezuju tačke jednakih momenata savijanja.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

49

Za raspored armature, momenti savijanja mogu se prikazati idealiziranim dijagramima kako je to prikazano na slici.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

50

Oslonački pritisci na podvlake, odnosno reakcije oslonaca dvoosno napregnutih ploča opterećenih ravnomjerno podjeljenim opterećenjem, mogu se približno odrediti geometrijskom raspodjelom tlocrtne površine ploče prema slici , odnosno tabeli.

qo- maksimalna ordinata oslonačkog pritiska na slobodno oslonjenom rubu ploče qe-maksimalna ordinata oslonačkog pritiska u uklještenom rubu ploče q-ravnomjerno podjeljeno opterećenje ploče lx-kraći raspon ploče ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

51

KONTINUALNE PRAVOUGAONE PLOČE OSLONJENE PO ČITAVOM OBIMU U praksi se veoma često izvode kontinualne pravougaone ploče oslonjene po čitavom obimu, uglavnom monolitno povezane sa armiranobetonskim podvlakama koje se oslanjaju na stubove kao dijelove okvirne konstrukcije. Tačan proračun ovakvih konstrukcija po teoriji elastičnosti bio bi veoma komplikovan, pa se u praksi, ovakve ploče računaju kao da nisu monolitno povezane sa podvlakama na koje se oslanjaju. Ako su sva polja kontinualnih ploča opterećena ravnomjerno podjeljenim opterećenjem gu onda su momenti savijanja nad svim kontinualnim osloncima pribIižno jednaki momentima savijanja samostalne pravougaone ploče uklještene na istim rubovima kada je odnos raspona min.lx/max.lx ≥ 0,75, odnosno min.ly/max.ly ≥ 0,75. Kada su polja kontinualne ploče naizmjenično opterećena u šahovskom poretku istim pozitivnim i negativnim opterećenjem pu , oslonački momenti na svim rubovima će biti približno jednaki nuli za navedeni odnos raspona (min. lx/max.lx ≥ 0,75 i min. ly/max.ly ≥ 0,75) i u tom slučaju svako polje ploče možemo posmatrati kao samostalnu ploču slobodno oslonjenu po svim rubovima.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

52

Ove činjenice mogu se veoma dobro iskoristiti za određivanje maksimalnih momenata u poljima i nad osloncima, kontinualnih ploča. Da bi se dobili maksimalni momenti u poljima korisno opterećenje pu treba rasporediti prema šahovskom rasporedu. Ukupno opterećenje qu=gu+pu može se podijeliti na dva opterećenja i to: I q= gu + pu 2 u

qIIu = ± pu 2 Opterećenje quI je ravnomjerno raspodjeljeno po svim poljima, a opterećenje qUII je rasporedjeno naizmjenično po poljima u šahovskom poretku, slika dole.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

53

Saglasno ranije navedenom momenti u poljima pojedinih ploča od opterećenja q’u koje djeluje u svim poljima mogu se odrediti posmatrajući svako polje ploče kao samostalne ploče uklještene po svim unutrašnjim rubovima, a slobodno oslonjene po vanjskim rubovima, a za opterećenje qu” kao samostalne ploče slobodno oslonjene po svim rubovima.

qIu 7

4

7 qIu

4

qIu 1

qIu

qIIu

qIIu

5

qIIu 1

8

8 qIu

5

qIu 2

qIu

qIIu

9

9 qIIu

6

qIIu 2

qIu

6

qIu 3

qIIu

qIIu

qIIu 3

Prema tome, momenti u poljima mogu se odrediti pomoću izraza:

 qIu qIIu  2 max mxFu =  I + II  ⋅ lx  fx fx   qIu qIIu  2 min mxFu =  I − II  ⋅ lx  fx fx 

 quI quII  2 max myFu =  I + II  ⋅ lx f   y fy   qIu qIIu  2 min myFu =  I − II  ⋅ lx f   y fy  ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

(15)

54

Najveći oslonački momenti na nekom rubu ploče određuju se tako da se ukupnim opterećenjem qu opterete susjedna polja koja su priključena na taj rub, dok prva susjedna polja opterete samo stalnim opterećenjem. Ostala polja se naizmjenično opterećuju ukupnim, odnosno stalnim opterećenjem. Ako se ukupno opterećenje podijeli na dva opterećenja, analogno kao kod određivanja momenata u poljima, tj.: quI = gu+ pu/2 q"u = pu/2 Opterećenje quI = gu+ pu/2 djeluje u svim poljima j oslonački momenti na pojedinim rubovima ploče određuju se kao za samostalne ploče uklještene po svim unutrašnjim rubovima, a na vanjskim rubovima slobodno oslonjene. pu/2 djeluje u šrafiranim poljima Opterećenje q"u = prema dole, a u nešrafiranim poljima prema gore. Oslonački momenti od opterećenja q"u određuju se tako da se pretpostavi da su susjedne ploče na zajedničkom rubu na kome se određuje momenati smatraju potpuno uklještene, a po ostalim rubovima slobodno oslonjene. Naprimjer, za odredjivanje oslonačnog momenta mxsu ploča 4-5 proračun oslanačnih momenata od opterećenja quI i q"u se provodi za uslove oslanjanja prikazane na slici. ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

55

Potpuna analogija važi i za određivanje oslonačkih momenata na ostalim unutrašnjim rubovima ploče. Prema tome, momentl savijanja na osloncima određuju se prema slijedećim izrazima.

 quI quII  2 −  I + II  ⋅ lxi min m =  Sx Sx   quI quII  2 i −  I + II  ⋅ lxi min mySu = S S  y   y i xSu

(16)

Oslonačni momenti određeni na ovaj način se obično razlikuju na zajedničkom rubu susjednih ploča pa se kao mjerodavni momenti za dimenzioniranje uzimaju srednje vrijednosti, tj.: j mixSu + mxSu mj. m = − 2 j miySu + mySu i− j mj. mySu = − 2 i− j xSu

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

(17)

56

DETALJI ARMIRANJA UNAKRSNO ARMIRANIH PLOČA PLOČE OSLONJENE NA SVE ČETIRI STRANE Unakrsno armirane ploče se armiraju u oba pravca. U pravcu kraćeg raspona, odnosno u pravcu djelovanja većih momenata savijanja postavlja se armatura bliže zategnutom rubu (donja), a preko nje armatura drugog, slabije napregnutog pravca. Krajnje trake dvoosno napregnutih ploča se mogu armirati sa 1/2 aa, polja ali u tim trakama ne vrši se povijanje armature. Širina traka ploče koje se armiraju smanjenom armaturom iznosi 0.25⋅lx (lx-kraći raspon) ako je ploča slobodno oslonjena, i 0,20·lx ako je ploča uklještena na rubovima. Ako je odizanje uglova ploče spriječeno onda u uglovima ploče treba postaviti dodatnu armaturu za preuzimanje sila zatezanja od djelovanja glavnih momenata m1 i m2. Armatura za preuzimanje ovih sila zatezanja se može postaviti u pravcu glavnih momenata pod uglom od 45° odnosno 135°, ali se ona obično postavlja u vidu mreže u gornjoj i donjoj zoni iz praktičnih razloga.

57

a) PLOČA SLOBODNO OSLONJENA PO OBODU a) Momenti savijanja – idealizlrani dijagrami

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

58

b) Ploča uklještena po obodu a) Momenti savijanja – idealizlrani dijagrami

b)Armatura od pojedinačnih šipki ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

59

c) Armatura od mreža

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

60

c) Kontinualne unakrsno armirane ploče Kod kontinuiranih unakrsno armiranih ploča i kod pojedinačnih ploča sa različitim uslovima oslanjanja, uglove ploča treba armirati prema slici.

ARMIRANO-BETONSKE ARHITEKTONSKE KONSTRUKCIJE 2

61

PLOČE OSLONJENE NA TRI STRANE a) Ploča slobodno oslonjena na tri strane sa jednim slobodnim rubom Pravac glavnih momenata, a time i pravci nošenja kod ovih ploča jako zavisi od odnosa raspona ly/lx. Za ly 1,5 mogu se u području y > 1,0⋅lx posmatrati kao jednoosno napregnute. Ugaonu armaturu, u ovom slučaju je potrebno rasporediti na dijelu y