Armando Righetto - Calculo Diferencial e Integral I().pdf

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL VOLUME I

Armando Righetto Antonio Sérgio Ferraudo Professores do Instituto Politécnico d e Ribeirão Preto da Instituição Moura Lacerda

IBEC — Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. 1981

r

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Agradecemos:

À

ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA DO BRASIL PUBLICAÇÕES LTD A., que gentilmente nos cedeu as fotos de Newton e Leibniz e os textos correspondentes.

À SILVIO JOSÉ VITORINO, pela produção da capa.

À

ISABEL REGINA GONÇALVES DE OLIVEIRA, ANDRÉA RAMPANI M ARIA ALICE SA VIOLIGONÇAL VES e SU ELY SABADINI, pelo trabalho realizado com os filmes.

Caro leitor,

Eu e o Ferraudo somos espiritualistas. Acreditamos na prevalência do espirito sobre a matéria. Para nós as características do homem são a lealdade e a honestidade. Os conheci­ mentos são acréscimos sempre bem-vindos. Daí afirmarmos que o homem não se caracteriza pela grandeza do gênio, mas pela alteza do caráter e este se forma no coração. Aprendamos a agradecer a Deus por tudo que nos tem sido concedido: Obrigado, Meu Deus, pelos dias e pelas noites que me tendes permitido distinguir. Obrigado, Meu Deus, pelo pão que não deixastes faltar em minha mesa. Obrigado, Meu Deus, pelas mãos que me destes e que tendes estendido a levantar os que estão tombados. Obrigado, Meu Deus, pela minha audição e pela minha palavra que, unidas, procuram construir o bem somente o bem. Obrigado, Senhor, pelo perdão que m e ensinastes. Obrigado, Meu Deus, pelas minhas fraquezas que me permitem sentir a minha insignificância. Obrigado, Meu Deus, pelos irmãos que me destes e a certeza de tê-los juntos a mim nas minhas necessidades. Obrigado, Muito Obrigado, SENHOR

Todos os direitos reservados segundo a legislação em vigor.

ClP-Brasil. Catalogação-na-Fonte Câmara Brasileiro do Livio, SP

R427c v .l-

Righetto, Armando, 1924Cálcuio diferencial e integral / Armando Righetto, Antonio Sérgio Ferraudo. — São Paulo : Instituto Brasileiro de Edições Científicas, 1981. 1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral I. Ferraudo, Antonio Sérgio, 1950- II. Título.

17. CDD-517.2 18. -515.33 17. -517.3 18. -515.43

81-1069

índices paia catálogo sistemático: 1. Cálculo diferencial: Matemática 517.2 (17.) 515.33 (18.) 2. Cálculo integral: Matemática 517.3 (17.) 515.43 (18.)

IBEC —Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. , Av. Santo Amaro, 823 —CEP 04505 . São Paulo - SP

Ferraudo e eu, Armando, dedicamos este livro às nossas esposas, respectivamente Elyane e Lourdes.

NEWTON

LEIBNIZ

Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir Isaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo Trinity College de Cambridge (1665). Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fun­ damente o matemático Isaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática numa posição secundária, instrumental, a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. Nesse sentido, so­ mente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam insufi­ cientes. Mas, mesmo assim, é profunda a

Filósofo e matemático alemão, Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 19 de julho de 1646 e morreu em Hannover a 14 de novembro de 1716. Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava possível a criação de uma linguagem científica universal (characteristica univenalis), que, complementada por um sistema dedutivo e simbólico (ars combinatoria), pudesse substituir a argumen­ tação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas partes.

NOTAS EXPLICATIVAS

Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançar certos objetivos. Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores em quase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas. Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indis­ pensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicina e de Computação. Os dois volumes são ricos em exercícios resolvidos e propostos. Estes, com respostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução. 0 primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano, com 4 ou 6 horas aula semanais. Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limi­ tes, derivadas e diferenciais. Cálculo II, no segundo termo letivo, com a mesma duração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais definidas, cálculo de áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas. 0 segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos. Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais, diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Bio­ logia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mínimos, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries. Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos e funções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores e Números complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto. Procuramos familiarizar o aluno com o pensamento matemático e a mani­ pular modelos por métodos matemáticos. Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos for­ maram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões. OS AUTORES Ribeirão Pietoj maio de 1981

XIV

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Capítulo 5 Diferencial......................................................................................................

149

Conceito. Aplicações. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

PARTE II Capítulo 6 Integrais Imediatas............. ........................................ ....................................

169

Conceito de Integração. Integral Indefinida. Propriedades. Integrais Imediatas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 7 Integração por Partes.....................................................................................

229

Generalidades. Fórmula. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 8 Integração de Funções Racionais Fracionárias............................................ 239 Decomposição de Frações. Integração de Funções Racionais Fracionárias. Pro­ blemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 9 Substituição de Variáveis.............................................................................

267

Substituição de Variáveis por Variáveis Trigonométricas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 10 Integral Definida............................................................................................

283

Integral Definida. Cálculo de Âreas Planas. Cálculo de Volumes de Sólidos de Revolução. Comprimento de Arcos. Âreas de Superfícies de Revolução. Mo­ mentos - Raio de Giração. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Apêndice........................................................... .............................. ......................... 361

PARTE I

revolução que introduz no campo da mate­ mática. Basta lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do. cálculo integral. É, ainda, com Newton que assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixai de referir a valiosa contribuição de Fermat e Descartes. Newton retira o carátei de mero pressen­ timento às relações entre o cálculo diferen­ cial e o cálculo integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra - o método das primeiras e últimas razões. Em tomo da prioridade da desco­ berta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro. Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas si­ multânea e independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele resultado em pri­ meiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, criando símbolos -que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados.

As idéias de continuidade e de pleni­ tude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a con­ cepção do universo como um plenum con­ tínuo baseia-se nos dois princípios funda­ mentais do racionalismo leibniziano: o princípio da razão suficiente e o princípio de perfeição.

Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 e 6719, edição 1976, com permissão da Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda.

ÍNDICE

PARTE I Capítulo 1 Números R eais................................................................................................. Definições. Representação Gráfica dos Números Reais. Valor Absoluto de um Número Real. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 2

V v a iif J k

Funções Elementares...................................................................... ............... Definição de Função. Gráfico de uma Função Real. Funções Monótonas. Fun­ ções Pares e Impares. Funções Elementares Principais. Composição de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 3 Limites Limite de uma Variável. Limite de uma Função. Limites Laterais. Propriedades Operatórias dos Limites. Limites Infinitos. Limites no Infinito. Infinitamente Pequeno. Formas Indeterminadas. “Limites Básicos". Continuidade de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 4 Derivadas........................................................................................................... Definições. Álgebra das Derivadas. Derivada das Funções Básicas. Interpretação Geométrica da Derivada. Equações da Tangente e da Normal. Derivada de Fun­ ções Compostas. Derivadas Sucessivas. Derivada de Funções Inversas. Derivada de Funções na Forma Paramétrica. Regra de L'Hospital. Interpretação Física da Derivada. Estudo da Variação das Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

1

NÚMEROS REAIS

O que distingue o homem não é a grandeza do gênio, mas a alteza do caráter.

1.1 - DEFINIÇÕ ES D[

Todo número que pode ser colocado na forma

onae p e q são números

inteiros (q # 0), é chamado NÚMERO RACIONAL. Assim sendo, todo número inteiro é racional, pois podemos escrever 2 4 2 = -j-; —4 = —y . De um modo geral, se m é inteiro, podemos escrever sempre ■y- (racional). Representaremos o conjunto dos números racionais pela letra Q. D2

Se um número não é racional dizemos que ele é irracional. Representaremos o conjunto dos irracionais por Q c. Da definição temos:

Q n Qc =

Os números racionais e irracionais formam os números reais, que são de grande utilidade no estudo da matemática, em particular, na análise. Representaremos o conjunto dos números reais pela letra IR. Da definição temos:

Q U Qc = IR

4

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS NÚMEROS REAIS Representaremos os números reais através de uma reta, relacionando cada ponto desta a um número real e vice-versa. Procederemos assim: Tomando um ponto da reta, relacionamos o zero; à sua direita os números positivos e à esquerda os números negativos. ' -5

-4

+ -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

----- 1---------- 1------1---- 1-----------1---------- 1---------- 1---------- 1-----1-----1-------- H -----------1---------- j-----

V-39

i-

sf*

2

ORDEM EMIR D4

Um número real a é maior (>) que um número real b, quando a diferença a - b for positiva. Assim: a> b

a-b> 0

temos

Geometricamente se a > b então o ponto a se localÍ7* i direita de b. Exemplos: E!

4 > 1 pois 4 - 1 = 3

(positiva)

0

1

2

3

4

b

Ej

-3 > -5

a

pois - 3 - ( - 5 ) = 2 (positiva) b

----------- 1 -5

a

i -4

I------- 1------- 1------- 1-----------

-3

-2

-1

0

Usaremos as seguintes notações: b < a

(b é menor que a)

a > b

(a é maior ou igual que b)

b < a

(b é menor ou igual que a)

1.3 - VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO R E A L O valor absoluto (ou módulo) de um número real x , que representaremos por |jf|, é definido por:

NÚMEROS REAIS

x

se x > 0

—x

se x < 0

5

Exemplos: Ei

|5| = 5, pois 5 > 0

E2

1-51 = - ( - 5 ) = 5, pois - 5 < 0

Geometricamente |x| é a distância do ponto x à origem (ponto 0) na reta real. Nos dois últimos exemplos temos: I5| = | - 5 | = 5 -5

0

5

'---------V-------- ''-------- v---------' 5 unidades

5 unidades

Analogamente, se desejamos a distância de dois pontos a e b na reta real, indi­ caremos por: rife — a|, distância de a até b | j a - b\, distância de b até a. É óbvio que \b - a\ = |a - b\. Propriedades Sejam a, b e c números reais. Então: Pi

kl > 0 e |a| = 0 se e somente se, a = 0

P2

|a|2 = a2

P3

|a| = V ?

P4

\ab\ = |a||fe|

= M

a, jz o)

-

|fc|

—

(c ? 0

P7

|a + b\ < |a| + | 6|

.

P6

| a - f e | > | | a | — |fe||

P,

|x| < a e a > 0

<

•> - a < x < a

6

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

\ P10 W > a e a > 0 x < - a M x > a Demonstraremos duas delas; as demais ficam a cargo do leitor. P4

\ab\ =

V (ab)1 = V a2b2 = y /à 2 y /b 2 =3 |a||í>|

De fato

\ab\ = |a| |6|

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 ■ Como

■> \a + í>| .= |a| + 2 ab + |è |2.

aè < |aft| = |a| |6| temos

\a + b\2 < |a |J + 2 |a| |Z>| + \b\2, daí Ia + b\2 < (|a| + |6|)J. Portanto: |a + 6| < |a| + |fc|

1.4 - PROBLEMAS RESOLVIDOS PRi Reescreva as desigualdades seguintes, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdade. a) - 1 < 3jc - 4 < 6

b) 3 < 2x + 1 < 9

Solução: a) Somando 4 a cada um dos membros obtemos 3 < 3 x < 10. Em seguida, multiplicamos cada um dos membros por y e obtemos:

b) Analogamente:

3 < 2x + 1 < 9 = í>

■- > 2 < 2 x < 8

■■>

1 0 —a < x < a. => x < —a ou x > a.

PP4 Calcule: a) 13 —7 —5| —|—7 - 4|

c) I —1—4 —91 —I—6 | —2|

b) |- 3 | + | - 5 | - 1 - 8 1 - 1 - 7 - 3 1

d )- 1 - 4 - | 6 - 3 | + 2 0 -1 -1 5 -3 1 1

Resps.: a) - 2; b) - 10; c) 21; d) - 5. PP5 Resolva as equações: a) \x — 3| = 7

f) 3 Ijc - 5| - 2 x = 10 ! ~ 3* + 2l + 5 = 2*

b) - \x - 5| = 3 c) \2 x - 7| = 15

4

-1^

x 2 —4 X \x2 - 4 |

d) |3 x — 4 |2 = 36

0

e) I—5x — 3| = 15x

j) |x 2 — 1| = 8.

0 (1.4}

Resps.: a) {-4 ,1 0 } b) não tem solução.

f) {1, 25}

c) { - 4 , 11}

g ){T }

j\ r 2 10. 3" ’ T

h) {±1, ±4}

PP6 Determine os intervalos reais tais que:

j) {±3}

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

a) |x - 3| > 2

d) \x + 1| < 4 3

b) |x — 8| < 5

4

> i

c) |5* + 2 | > 3 Resps.: a) x < 1 v

x > 5

d) —5 < * < 3 5 e) x < - v x > —

b) 3 < x < 13 c) x < - 1

v X > -j-

PP7 Determine o intervalo solução das inequações: a) —2 < 25.x2 - 3 < 9 7

b) 1 < 2 x 3 — 15 < 39

Resps.: a) y < |x| < 2

b) 2 < x < 3

PP8 Resolva as equações: a) 312 —x| - |x - 4 | = 4

b) 4 |x - 1| - 5 |2 x - 4 | = 2

h U 7 13 , b) {J> T }

Resps.: a) { - 1 ,^ - } PP9 Ache a (x ) e P(y) onde

a) a (x) = |x - 7| + |x + 2| - |2x - 13| para 2 < x < 6 b) 0Cy) = l>” —41 — \ l y — 14| — |3 — y \ para - 2 < > > < 2 Resps.: a) a (x ) = 2x —4 PPio Resolva a equação

b) 0( y ) = 7 y - 13

|x |2 + |x| — 6 = 0.

Resp.: {±2} PPU Determine o intervalo solução da inequação 2 < |x — 51 < 4. Resp.: 1 < x < 3

V 7 |x — 1| Resp.: x < 2.

2 FUNÇÕES ELEMENTARES Deixe que o amor e a paz lhe possam clarear o caminho para o alto.

2.1 - DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Sempre que pudermos associar todo elemento x (variável independente) de um conjunto X com um único elemento y (variável dependente) de um outro conjunto Y, daremos a essa associação o nome de função de X em Y e denotaremos por y = f ( x ) que se lê, y é igual à / de x. Diremos também que x é o argumento da função y. A seguinte notação também pode ser usada: f : X -------- * Y * --------- * / ( * )

O conjunto X é chamado “Domínio da função f ” e denotaremos por D(f). O conjunto Y é chamado “Contra-Domínio da função f ” e denotaremos por CD(f). O conjunto formado pelos elementos y 6 Y associados à x E X pela função f é chamado “Conjunto Imagem da função f ” e denotaremos por Im (j) Exemplo: Temos: D( f ) = X, CD (f) = Y e

Im(f) = {yu y i , y J ■

X

Y

Observação: Nos preocuparemos daqui por diante, a não ser quando especi­ ficado, com funções reais de uma variável real cujo domínio e imagem são os números reais.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2.2 - GRAFICO DE UMA FUNÇÃO REAL O gráfico das funções reais é o conjunto de todos os pontos (x, y ) do plano cartesiano onde x está no domínio e y é a imagem de x segundo a definição da função /. Os zeros (ou raízes) de uma função são os pontos onde f ( x ) = 0 . Grafica­ mente, são os pontos da curva (gráfico de f ) onde intercepta o eixo x. Exemplos:

Fig. 2.1. Gráfico de y = x*.

Fig. 2.2. Gráfico de y = f .

Nota: Como vimos, pela definição de função, a cada x do domínio é associado um único y como imagem. Assim, toda reta paralela ao eixo y deverá interceptar o gráfico da função / em no máximo um ponto. Exemplo: O gráfico abaixo não define uma função, pois temos pelo menos uma reta paralela ao eixo y que intercepta a curva em dois pontos.

y

Fig. 2.3.

FUNÇÕES ELEMENTARES

15

ATENÇAO As funções definidas até aqui são chamadas de “funções unívocas". Quando a cada x associarmos mais que um y, daremos a essa associação o nome de “função plurívoca”. Nas Figuras 2.1 e 2.2 temos exemplos de “funções unívocas”, enquanto que na Figura 2.3 temos exemplo de função plurívoca. Daqui por diante ficará implícito (a não ser quando especificado) que ao dizermos função estaremos nos referindo ao subconjunto de pontos da curva plurí­ voca a qual a define como uma função unívoca. Exemplo: A curva de y 1 = x (parábola) é definida nos pontos onde y = ± Vrx, x > 0. Assim y 2 = x é uma função plurívoca (Fig. 2.4). Queremos esclarecer ao prezado leitor que quando dissermos simplesmente função à y 2 — x estaremos nos referindo ao subconjunto da curva y — + \ [ x (parte positiva), o qual a define como uma função unívoca (Fig. 2.5). Omitiremos, portanto, a palavra unívoca.

x

Fig. 2.4.

Fig. 2.5.

Daremos, agora, algumas definições importantes: D l,

O domínio de uma funçãoy = f ( x ) é o conjunto de t o d o s o s x G Í tais que a função dada existe (campo de existência)

Exemplos: E!

Seja a função y = x 2 (Fig. 2.1). Note que sempre existirá y e IR pois todo x €E IR possui quadrado. Então: D (f) = ( i £

E2

R }.

Já a função y = \ f x só existirá se x > 0, pois os números negativos não possuem raiz quadrada. Assim, D (f) = { x e

R | j c > 0 }.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

anterior, e nem para x = 0, pois a divisão não é definida quando o divisor é zero. Deste modo: D( f ) = {x GRIjc > 0} Dlj

Quando em uma função /, I m( f ) — CD (f) dizemos que / é uma função “so b r e je to r a Em outras palavras: todo y G Y é imagem de pelo menos um

r6 I Dl 3 Quando em uma função / todo y E I m( f ) estiver associado a um único elemento de X dizemos que f é uma função “injetora" ou “biunívoca”. DU

Se / for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora dizemos q u e /é uma função bijetora

Exemplos:

/ é uma função injetora pois todo y E I m( f ) está associado a um único x £ X, mas não é sobrejetora pois y s I m( f ) ou seja I m( f ) # CD(f).

f é uma função sobrejetora pois I m( f ) = CD(f) mas não é injetora pois y i está associado a x t e x2 de X.

FUNÇÕES ELEMENTARES

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A função f é bijetora pois I m( f ) = CD(f) (sobrejetora) e todo y G I m( f ) está associado a um único x £ X (injetora) Função Inversa Dls A função f: X ------ *• Y bijetora admite sempre uma função inversa a qual denotamos por f~ H Y ------ *■ X. Esta função associa todo elemento de Y com um único elemento de X para o qual f ( x ) = y. Notação: se y = / (x) = bl,*etora> x = f ~ xiy). Exemplos: Ex

A função /: IR------ *• R definida por y = 2 x — 3 (Fig. 2.6) possui para todo x e IR uma única imagem y e IR e ainda I m( f ) = IR sendo assim / bijetora v + 3 e portanto admite inversa dada por x = ^— (Fig. 2.7).

Fig- 2.6.

Fig. 2.7.

Nota: Na construção do gráfico da inversa, invertemos os eixos.

18

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Se colocaimos os gráficos um sobre o outro temos:

Fig. 2.8.

Os gráficos das funções / e /"* gozam da propriedade de serem simé­ tricos em relação às bissetrizes dos quadrantes ímpares (Fig. 2.8). Ej

A função /: R ------ *■R definida por y = x 2 não admite inversa, pois x 2 = = y e R + e assim I m( f ) = R + C IR. Porém se y = x 2 estiver definida por exemplo de R +------- > R então admitirá inversa dada por x = \ f y .

Observação: Existe uma regra prática para obtenção da função inversa sem que façamos a irversão dos eixos. Trocamos na função y = / ( * ) dada, y por x e x por y , obtendo assim x = f ( y ) . Nesta expressão, expressamos y obtendo y = /■ '(* ). Exemplo: No exemplo anterior temos y = 2 x — 3. Trocamos y por x e x + 3 x por y, obtendo x = 2 y — 3. Agora isolamos/ obtendo 2 y = x + 3 o u / = —- — . Esta função é a inversa de / = 2 x — 3 sem que façamos a inversão dos eixos. Como aplicação, o leitor deverá plotar estes gráficos no sistema xy, devendo obter o mesmo gráfico da Figura 2.8.

2.3 - FUNÇÕES MONÕTONAS Seja

e x 2 pontos de um intervalo. Então, se nesse intervalo:

1. x i < x i ■ . (Fig. 2.9).

f ( x i) < / ( * 2) (função monótona estritamente crescente)

FUNÇÕES ELEMENTARES

2.

< x2

3. x , < x 2 (Fig. 2.11). 4.

< x2

19

> f (*i) < / ( x 2) (função monótona não decrescente) (Fig. 2.10). •> f ( x i ) > f (x3) (função monótona estritamente decrescente) - —> f ( x O > f ( x j) (função monótona não crescente) (Fig. 2.12).

Á !

a

b

x

Fig. 2.10.

K

y1

.V2

Fig. 2.11.

Fig. 2.12.

Exemplos: 1. A função linear f ( x ) = 3 * é monótona estritamente crescente em todos os reais, pois x t < x 2 (reais) nos leva a f ( x i) < f ( x 2). Em particular: 1 < 2 ------/ ( 1 ) = 3 < / ( 2 ) = 6 (Fig. 2.13). 2. A função quadrática y = x 2(x 6 ]R_) é monótona estritamente decrescente pois Xi < x 2 ——-> / ( x t) > / ( x 2) (Fig. 2.14). Em particular —2 < —1 —> _ > / ( - 2) = 4 > / ( - l ) = l . Uma condição necessária para que toda função tenha inversa é que ela seja monótona estritamente crescente ou monótona estritamente decrescente, pois nestes casos as funções sempre são bijetoras. Ver Fig. 2.9, 2.11, 2.13 e 2.14. A inversa também e monótona estritamente crescente ou decrescente.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Fig. 2.13.

2.4 - FUNÇÕES PARES E IMPARES Quando f ( x ) = f ( - x ) dizemos que / é uma função par e quando / ( - * ) = = - / (jc) dizemos q u e/ é ímpar. O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo y e o gráfioo da função ímpar é simétrico em relação à origem o. Exemplos: E!

A função y — 1*1 é uma função par pois: f ( x ) = 1*1 = l-jcl = / ( - * ) (Fig. 2.15)

Ej

A função y =

(x

0) é uma função ímpar pois:

/ ( - * ) = z ; = - 7 = - / ( * ) (Fig. 2.16)

Fig. 2.15. .y = Ixl Note a simetria com o eixo y.

Fig. 2.16. y = — (x * 0) Note a simetria com a origem O.

FUNÇÕES ELEMENTARES

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2.5 - FUNÇÕES ELEM ENTARES PRINCIPAIS 2.5.1 - FUNÇAO LINEAR A função y = ax + b, (a ¥= 0) de R ------ * IR é chamada função linear tendo como gráfico uma reta. Os parâmetros a e b são chamados respectivamente coeficiente angular e coeficiente linear da reta.

O parâmetro a mede a inclinação da reta com o eixo x e o parâmetro b é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.

2.5.2 - FUNÇÃO QUADRÁTICA A função y = ax2 + bx + c, (a ¥=0) de R ------*■R é chamada função quadrá­ tica, cujo gráfico é uma parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo x. Quando a > 0 a concavidade da parábola é para dma e quando a < 0 a ooncavidade é para baixo. As intersecções oom o eixo x são as soluções da equação ax2 + bx + c = 0 . Temos então os seguintes casos a considerar:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

22

eixo de simetria

As soluções de ax2 + bx + c = 0 são obtidas da fórmula _ b ± V~Ã 2a

A = b — 4 ac

onde

0 vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, dado por: f

=(-A

1 2a ’

_A

4a

Exemplo: Seja a função qua­ drática y = x 2 - 6x + 8. (Raízes) x 2 - 6jt + 8 = 0

-->

= = > A = (—6)2 —4 (1)(8) = => A = 36 - 32

=> A = 4

Assim, _ - ( - 6 ) ± V4~

6±2 ©

(Vértice) V = ( = >

K=(3,-l)

=>

FUNÇÕES ELEMENTARES

23

2.8.3 - FUNÇÃO EXPONENCIAL A função y = ax de IR------ ►IR*, (a e ]R) onde a > 0 e a =£ 1 chama-se "função exponencial de base a”. Se a > 1 a função exponencial é monótona estritamente crescente. Se 0 < a < 1 a função exponencial é monótona estritamente decrescente. Esta função intercepta o eixo y sempre no ponto (0,1) pois para x = = 0 =■■> y = a = 1, qualquer que seja o valor de a.

2.5.4 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função exponencial é monótona estritamente crescente ou decrescent' sendo por isso inversível. A sua inversa é a função logarítmica definida de 1RÍ-------* IR por y = logfl x (y é igual a logaritmo de x na base a) onde a > 0 e a ^ 1. Temos 2 casos a considerar: Se a > 1 a função logarítmica é monótona estritamente crescente. Se 0 < a < 1 a função logarítmica é monótona estritamente decrescente. Ver Figuras 2.17 e 2.18.

2.6 - COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES Consideremos / e g funções reais tais que y = f ( x ) e z = g ( y ) conforme diagrama r

24

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Chamamos função composta de g com / a função g o f definida por z = = S l/C*)]- O símbolo “o” indica composição de funções.

y Nota: A função g o f só é definida se o domínio da função g coincide com o contradomínio da função /. Exemplos: Ej

Sendo f (x) = 3 x — 1 e g( x) = 4 x , então: a) ( g ° f ) ( x ) = gí f ( x) ] = g [ 3 x - 1] = 4 (3 x - 1) = 12x - 4 b) ( f ° g ) ( x ) = / k ( x ) ] = /[ 4 x ] = 3 (4 x ) - 1 = 1 2 x - 1 Notamos, portanto, que g o f ¥= f o g (a composição de funções não é comutativa).

Ej

Sendo ] = (xy Y = x y2

d) (0 o )(x) = $ [0 (x)] = 0 [x + 3 ] = x + 3 + 3 = x + 6

2.7 - PROBLEMAS RESOLVIDOS PR,

Sendo f ( x ) = x 2 + x - 6, calcule: a)/(l) b) / ( —1) c)

m

Solução: a) / ( 1 ) = l 2 + 1 - 6 = - 4 b) / ( —1) = (—l )2 + ( - 1) — 6 = —6 c) /(O ) = O2 + 0 - 6 = - 6 d) / ( 3 ) = 32 + 3 - 6 = 6

d ) / ( + 3)

FUNÇÕES ELEMENTARES

2i

0 f f (2) = 0 [/(4 ) =

14

Assim / Í 2) + A - 2 ) = h 4 = i 1 2 3 /( 4 ) 42 21 Dar o domínio das seguintes funções reais: X

are sen — a) / ( x ) = V (* - 4)(x + 3) i.\ _ _

c) h (x) =

yj~2x

log(x - . 1) x 2 - 3x + 2

_

d ) j;- log- 7 T l — -

Solução: a) (x — 4)(x + 3) > 0 (condição de existência do radicando com índice ^ par no radical) x —4 > 0 A x + 3 > 0 Mas (x — 4)(x + 3) > 0 quando

ou x —4 < 0 A x + 3 < 0

Assimx < 4 A x < -3 D( f ) = {x e IRlx < - 3

x < -3 V

x > 4}

Graficamente teremos:

T

m

X < —3

Verificação: Tomemos 3 valores: x = 5 > 4, x = —6 < —3 e x = 2 entre —3 e 4. / ( 5 ) = V (5 — 4)(5 + 3) = \f H

(valor definido)

/ ( —6) = V (—6 — 4)(—6 + 3) = V 30 / ( 2 ) = V (2 — 4)(2 + 3) = V —10

(valor definido)

(valor não definido)

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

O

X > 0

(7)

:> X 2 > 9 =

= >

>

n /x * > \Í 9 =

>

|x| > 3 = = >

(x < —3 v x > 3) (g)

Fazendo a intersecção de 0

com ©

temos: x > 3.

£ fe) = { x G R l x > 3 } Graficamente temos:

I II

I n

=> sen 0 = J

Cy Façamos arc sen— = 0

=> ct : x — 1 > 0

II

-2 < x 1

Fazendo C t O C2 temos: D (h) = {x e IR I 1 < x < 2} O i) x 2 - 3x + 2 . „

- 1) (condição de existência do logaritmando) + 1 _______2 ++++++ —? ?

•Vi

yi V i-

-fl - 1++++++

yi

>0

i >0

D( y) = { x e i R l - 1 < x < 1 V x > 2} Lembrete: Sinal da função quadrática y — ax1 + bx + c (a # 0) com raízes x , e x a

FUNÇÕES ELEMENTARES

Mesmo sinal de

xi

27

*2 Mesmo sinal de “a ”

----------------------H

Sinal contrário de “a ”

H--------------------

Sina/ da função linear y = ax + b (a ^ 0) com raiz Sinal contrário de “a ”

*1

—I—

Mesmo sinal de “a”

PR3 Construir o gráfico da função y = x 3 + 1. Solução: X

y

- 2

-7

3 2 - 1

19 8 0

0

1

1

2

3 2

35 8

2

9

PR4 Construir o gráfico da função y = \2x — 41. y

2

X

28

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

19 caso:

y = 2 x —4 para 2 x — 4 > 0

ou

29 caso:

y = —2 x + 4 para 2 x — 4 < 0 ou

x>2

O gráfico é então a união dos 2 casos acima. PRS Construir o gráfico da função:

f(x) =

x3

se

x < 0

2x

se

0 2

Solução: O gráfico da função / ( x ) é a união dos gráficos individuais que a compõem. a) Gráfico de / ( x ) = x 3 se x < 0 (ver Fig 2.2).

b) Gráfico d e /( x ) = 2 x se 0 < x < 2

c) Gráfico de / ( x ) = 4 se x > 2

FUNÇÕES ELEMENTARES

Portanto, o gráfico de f { x ) ty x 6 R é:

PR6 Prove que: f . (X + ^ + / ( x — ^ = / ( x ) onde f ( x ) = x + 2. y lf(xy) + f(-xy)\ Prova: f(x+y) = x + y + 2 = > f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 (x + 2)

f ( x - y) = x - y + 2

í f(xy) = xy + 2 \f(~xy) = -xy + 2

=> f ( x y ) + f ( - x y ) = 4

Assim:y . + 30+/(*->>) = 2^ + 2) = x + 2 = m 2 l/( ^ ) + /( - * /) ]

y

4

PR7 Prove que a função a (x ) = —2 x 2

> —2 x x + 4 > —2 x a + 4

Assim: x t < x 2 —- - > f ( x t) > / ( x 2) Portanto a fun ção/(x) = —2 x + + 4 é monótona estritamente decrescente.

PR, Dado / ( 2 x + 5) = x —2, calcule /( x ) . Solução: Seja 2 x + 5 = t ------ > 2 x = t — 5 = > Assim /( r ) = t—~

- 2= >

Donde concluímos que

x = 1

f ( t ) = t~ ~ JÇ _

Ç

/ (x) = — - —

2.8 - PROBLEMAS PROPOSTOS PP,

Seja a função real definida por / ( x ) = x 3 + 2x2 — 4. Determine: a) /(O) b ) / ( 2)

e) / ( V 2)

c )/(-3 )

f) / ( x + h)

Resps.: a) —4 b) + 1 2 c) - 1 3 -

e) 2 \ [ 2 0 x 3 + (3/i + 2)x2 + (3 /i2 + 4 /i)x + /i3 + 2/i2 - 4

FUNÇÕES ELEMENTARES

PP2

31

Construir o gráfico das seguintes funções: a) y = 3 x 2 - 18jc + 24 b ) / = 2 fcx + l para k = 0 , 1, 2, - 1, - 2 , - 3, y c ) y = I3jc - ll d) y = - x 3 e) y = 2X

«-(ir g ) / = l3xl h) / = I—x + 4l i) y = log (x + 1) j) / = k) y =

1 1-x 2 x - 1 x + 2

PP3 Dê o domínio das seguintes funções: a) y = V x - 3 b)>> =

4 x + 5

c) / = \ / x + 2

9 —x e) y = log^x + y j

0 v = V x 2 — 16 _

/ 33xx +_2 4

h)jr =v/2 - V r r T ■- 4

i) > = log v / f: -i |1 j) / = are sen

2x x + 4

k) y = arc sen log — 1) / = arc tg (x + 3) -x - 2

• » r - J U R 4x + 3 n) Jog -------^ ! ± 2 ----------x 2 - ( s / l + l) x + s / l

Resps.: a) x > 3 b) x # —5 c) R d) x ^ ± 3

32

CÁLCULO DIFERENCIAI. E INTEGRAL

e) X > ~ J 0 JÍ < - 4

V x > 4

g) X < r y

V X > l

h) 1 < X < 5 i) x < 1 v x > 4 j) _ i < x < 4 k ) y < x 3 n )-V 2< x < 1 v V2 a, dizemos que b2 é o limite à direita da função / ( * ) no ponto a e representaremos por: lim / ( x ) = b2 x-*a*

TEOREMA 1: Seja f( x ) definida num intervalo aberto 1 — {a}. lim f ( x ) = b se, e somente se, lim f ( x ) = lim / ( x ) = b x->a x-*a~ x-*a* Demonstração: =o(Ve>0, 3 6 > 0 | 0 < | x - a | < 6

lim / ( x ) - b

| /( x ) - b\ < E) => (V e > 0 , 3 S > 0 | - 6 < x - a < 0 ou 0 < x - a < 8 —

> | f ( x ) - b | < e)

V e>0, 3 6 > 0 |-ô < jc-a < 0

Ve>0, 3 6 > 0 |0 < x - a < 5 > lim /( x ) = b x-*a*

Exemplos: Ei

I /O ) - bl <

=> lim f ( x ) = b x->a_

e

Iy |

Consideremos a função / ( x ) = —

V x G IR*,

lim / ( x ) = lim X-+Q~ X-+Q~ X

= lim —— = —1 X-* 0 X

lim / ( x ) = lim x— *o+ x-+a*x

= lim — = 1 x-+o+,x

=> |/ ( x ) - b\ < c

LIMITES

43

Logo lim f ( x ) # lim /( x ) e portanto não existe lim f( x ) . x->o+ x->o Note que os limites laterais existem, porém não são iguais. Consideremos a função 1 f (x) = i

—x2 se x < 3

0

'se x = 3

x —2

se x > 3

Calculemos lim /(x ): 3“ lim / ( x ) = lim (1 - x 2) = lim [1 — (3 — h)2] = X-*3~ x-*3~ h-*o lim [1 — 9 ■+■6h - h2] = lim (—8 + 6h — h2) = —8

h->o

h -o

Nota: Substituímos x por 3 — h que é um número menor que 3 e, como h -* 0, então, 3 — h é próximo de 3. Calculemos lim / ( x ) = lim (x — 2) = lim [(3 + h) — 2] = lim (1 + h) = 1 X->3+ x-*3+ h-*o h-+o Neste cálculo x foi substituído por 3 + h que é um número maior que 3, mas próximo de 3. Não existe lim /( x ) , pois lim / ( x ) i= lim /( x ) X— *3 X-*3" X->3+ Seja a função r2x + 4 se x < 1 /(* ) =

8x — 2 se x > 1

Temos: lim /( x ) = lim (2x + 4) = lim [2(1 — h) + 4] = lim (6 - 2h) = 6 x-»ix-+l" ft-»o h-*o lim / ( x ) = lim (8x — 2) = lim [8(1 + h) - 2] = lim (6 + h) — 6 x-*x+ x -n + A->o Existe lim / ( x ) e é igual a 6, pois i- * i lim /( x ) = lim /( x ) = 6 x -n x-»i+ Determine

x 2 — 4x 4- 4 lim ----- ----------- . x -íx2 - 4

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

44

Solução: X 2 - 4 x 4- 4 = H

liffl

r

x2 -

4

(2 -

ti)2 - 4 (2 - ti) 4- 4

A™

(2 — A )2 — 4

4 — 4/z 4- h2 — 8 4- 4 h + 4

h2

..

..

h

------------- ---------- -----------------= l i m —----------- = l im -- ------4 — 4h 4- h

—4

o /i

— 4h

h->o h

J L =o. -4

x 2 - 4x 4- 3 x -n 4 Solução:

x 2 - 4x 4- 3 = Um (1 4- h)2 —4(1 + ti) + 3 =

6* + 5

f t -o (l +/ i) 2 - 6 ( 1 + / í ) 4 - 5

^ 4- 2ft 4- /i2 —4 — 4ft 4- 3 = Um h2 - 2h = T + 2ft 4- ft2 - 6 - 6A 4- 5 h(h ~ 2) _ H h — 2 r ,* - 4

*_

x-*a

x^ a

*-*a

P4

Um A • /( * ) = ^ • Um A * )

P

Hm

P6

lim [/(x)]" = tlim /(x)]n

Um /( x ) ZÍÍÍ =

(Um £ (x ) # 0)

4

LIMITES

P7

lim [ / ( x ) F (JC> = [ lim / ( x ) ] Um*w , se os limites forem finitos. X -*fl

P8

45

X ->fl

lim logft / ( x ) = log* lim / ( x ) , ò € IR, 0 < £>=£ 1 e lim / ( x ) > 0 X -» «

X -* fl

X -» fl

Exemplo: Usando as propriedades operatórias vamos determinar lim x-

'V J r r -

Resolução:

a)lim x _>i

r —1----- V2x+x3 x + 2

lim V 2x + x3 x->i lim (x + 2)

/ lim (2x + x3) V lim (x + 2) x-*i

X -> 1

/lim 2x + lim x 3

V x —1____ x->i

/ 2 lim x + ( lim x )3 x-»i____ x— >1 __ _ lim x + lim 2

_ V

lim x + lim 2 X -* 1

x -> l

JC-*1

____

v 2 + l _ v3 1+2

3

X -* l

b) lim (x + 4) = 5 x->\ Então

Um U x -1 \

-2 x- + f Y * * + 2 /

=

/ V ã > = V3 V 3 ) 27

3.5 - LIM ITES INFINITOS Definições Dt

Seja / ( x ) uma função definida em um intervalo aberto I - {a}. Dizemos que quando x se aproxima de a ,/(x ) cresce üimitadamente se, para qualquer número M positivo, existir 5 > 0 tal que se |x - a\ < 5 então /( x ) > M e escrevemos: Um / ( x ) = + °° x-*a

D2

Seja / ( x ) uma função definida em um intervalo aberto I - {cr}. Dizemos que a função / ( x ) decresce iUmitadamente quando x se aproxima de a se, para qualquer número M < 0, existir S > 0 tal que se |x - a\ < 6 então / ( x ) < M e escrevemos: lim / ( x ) = —°° x-»a

46

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Observação: Os símbolos ±°° não são números. Exemplo: Seja f ( x ) =

* + 1

2 ‘

Note que quando x -*■ 2+ a curva cresce infinitamente ou seja: .. x + 1 lim -------- = °° Quando x -*■ 2 ' a curva decresce infinitamente ou seja: Jt + 1 lim 1 x —2 Nota: A reta x = 2 é a assíntota vertical de f( x ) .

Fig. 3.3.

3.6 - LIMITES NO INFINITO Definições Dt

Seja f ( x ) uma função definida num intervalo aberto (a, °°). Diz-se que, quando x cresce ilimitadamente, f ( x ) tem um limite A se, V e > 0, 3 N > 0 tal que se x > N então | f{ x ) —A\ < e e escrevemos: lim f ( x ) = A JC-++ “

D2

Seja f ( x ) uma função definida num intervalo aberto ( a). Diz-se que, quando x decresce ilimitadamente, f ( x ) tem um limite A se, V e > 0, 3 N < 0 tal que se x < N então |/ ( x ) —A \ < e e escrevemos: lim f { x ) = A x-*- ~ x *4"1 Na Fig. 3.3 podemos ver que quando x cresce ilimitadamente f { x ) = —— —

tem um limite igual a 1, pois, para e > 0 , 3 A r > 0 t a l que para x > N então |/ ( x ) - 1| < e e por isso: x *4" 1 lim — — x - 1

(este limite é exatamente a assíntota horizontal de f(x )).

LIMITES

47

TEOREMA 2 Se lim / ( x) = + °°, então x->a

lim x-*a

,, . = 0.

J\x)

Demonstração: Por hipótese lim f ( x ) = então existem M > 0 e 6 > 0 tal que se x-*a 0 < |jc - a\ < 6 então / ( x ) > M. Mas f ( x ) > M > 0 Escolhendo e = < 6 , então

1 -0 /(* )

lim

1

< = >

|/( x ) | > M

0, 3 6 > 0 tal que se 0 < \x - a|

< e e portanto

1

. = 0 /( * )

Este teorema é válido também para x -*■.

TEOREMA 3 Se lim / ( x ) = - , então lim ~ - r = 0 x-*a x-*a J \ x ) Demonstração análoga à anterior. Este teorema é válido para x

TEOREMA 4 Se lim / ( x ) = 0, então lim x-*-a x-^a / w

= + oo

Demonstração: Por hipótese lim /( x ) = 0, então ] e > 0 e 5 > 0 tais que |x - a\ < 6 onde |/(x ) | < e. Mas |/ ( x ) | < E < = >

1 /( * )

>f

48

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Escolhendo M = — vem V Aí > 0, 3 8 > 0 t a l que se |x — a\ < Ô, então 1 1 > M e portanto lim /(* ) x->a /( * ) Este teorema é válido para x -*■ . TEOREMA 5 Consideremos a função polinomial

então: a) lim f ( x ) = lim anx n X-.00 x-*~

b) lim / ( x ) = lim anx n x -» - X-» —*>

Demonstração: a) lim /( x ) = lim (a0 + fljx + a2x 2 + . . . + a„x"). X-> m Um

= lim ^ - x "

=> ±

Se n = m Se n < m

=> 0

A demonstração por ser idêntica ao teorema 5 fica a cargo do leitor.

LIMITES

49

Exercícios Calcule os limites seguintes: E,

lim (3 x 2 + 4x + 8) Resolução: lim (3xs + 4x + 8) =5 lim 3 x 2 = « X~*°°

Ej

X-*°o

lim (5.x3 - Ax1 —8jc + 4) Resolução: lim (5 jc3 - 4 x 2 — Sx + 4) =

E3

lim 5jc3 = —c

5x — 4 Um — — -----x-K» Ax — 2 x — 8 Resolução: Sx - 4 t.6 5 T.6 „ lim — --------------- = Um — - = lim - — = 0 X-»» 4 x — 2 x — 8 x ~*m Ax x~*

3.7 - INFINITAMENTE PEQUENO Definição: Diz-se que a = a(jc) é um infinitamente pequeno quando x -*■ a ou x -*■°° se Um 0 , 3 6 > 0 tal que para todos os x satisfazendo a desigualdade \x - a\ < 5 se tem |a (x )| < e.

Propriedades: Pi

A soma algébrica de dois infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno. Demonstração: Seja ji(x) = isto é, | ( j c) | < e e portanto n ( x ) é um infinitamente pequeno. De maneira análoga demonstra-se o caso lim a (x ) = 0, lim P(x) = 0. x-*°°

P2

. 0 produto de um infinitamente pequeno a = a (x ) por uma função limitada / = /( a ) é um infinitamente pequeno quando x -*■ a (ou x -*■ °°). A demonstração fica a cargo do leitor.

3.8 - FORMAS INDETERMINADAS Ao calcularmos o limite de uma função em um ponto dado, acontece muitas vezes que nesse referido ponto a função não é definida, obtendo resultados nas formas: 0 OO •q- ou — que são chamados formas indeterminadas mais freqüentes. Por exemplo: lim ——r~r = -—V , , ^ x-+-i * + 1 -1 + 1 lim jc-»»

x

r~~~ ~ = —1

0

(forma indeterminada)

(forma indeterminada)

LIMITES

51

Uma indeterminação não significa a inexistência do limite, apenas nada podemos dizer por enquanto. Para sairmos das indeterminações acima usaremos operações algébricas ele­ mentares de modo a substituir as funções em estudo por outras equivalentes que possuam limites determinados no referido ponto. Nos dois últimos exemplos temos:

,■

X2—1 (x + 1)(jc — 1) „ ---- 1 = lun (x - 1) = - 2 hm - - - -j- = lim ^ •* T

Un 3^

1

X~+ - l

+

V-* T

X -+ -1

3 + — +4-

2 ,

3

x-

Exemplos: E,

x 3 —&x ■+■3 Calcule lim — x-m x s - 2x + 1 Substituindo diretamente temos: x 3 —4 x + 3 0 lim — — ------- - = — (nada podemos afirmar inicialmente) x-+i x — 2x + 1 u Dividindo o numerador e o denominador por (x — 1) temos: lim + x ^ i x — 2x + 1

lim — x ^ t (x

X2 + X - 3 hm i x4 + x3 + xJ + x —1

Calcule lim ^

F + t - W - l ) _____ = + x + x + x — l) ( x — 1) 1 3

~ 'f* ■

x —3

Substituindo diretamente temos \/~x — \/~3 0 lim ----------r— = —

x - *3

(nada podemos afirmar inicialmente)

u

x — 3

Quando temos o limite de uma função irracional deste tipo multiplicamos o numerador e o denominador por (n/jT + \ Í 3 ) . Assim: lim

x-+3

x

= lim ( V * r - .y ã ) .( ^

3

* " --------- (* > 3>

x-> 3

(x -

x -*3 ^

3 )(v x + V 3)

+/ 3 )

=

(x — 3 )(\/x + \/3 ) -

li-

X -3

v x

+ -s/3

2 y/3

6

52

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Observação: Um estudo mais completo sobre indeterminações é visto no capítulo seguinte.

3.9 - "LIM ITES BÁSICOS" ® ^

ün, * « £ = i V

Provemos geometricamente: M

Seja o círculo de raio unitário com centro O. Assim definido temos ÕÃ = ÕN = 1. Prolonguemos OA até encontrar a perpen­ dicular por_N (extremo de ÕN) em M. Façamos A B paralelo à MN. Desse modo temos:

Área A OAB < Área do setor OAN < Área AOACV. * a an sen x cos x Area A OAB - ------------Área do setor OAN = - y í a A a OMN nt,™ = ~tgx se*1 * Are ~ = -------2 2 cos jc r . _ sen x cos x . x . sen x Temos entao ------------- < — < ---------. 2 2 2 cos x Multiplicando todos os termos desta desigualdade por

sen jc Mas

lim cosjc = lim X -* 0

Assim

cos x

X -+ 0

1 < lim ------ < 1

ou

cos JC

. sen jc COSJC < ------- < = 1.

e portanto:

sen x 1 COSJC

LIMITES

53

.. senx hm ------ = 1

v-*n

sen 4 jc Um ---------

Exemplo: Calculemos Façamos

X

4 x = n . Assim se x -* 0 então 4 x -*■ 0 ou n -*■ 0.

Logo sen 4 x .. 4 sen 4x sen 4 x . sen u Um im ------- - = hm — -------= 4 Um — ------ = 4 hm ------- = 4x 4x ■* X -I-O

X -> 0

= 4-1= 4

a função não é definida para x = 0.

6

= lim ------^ = lim 1'*

a-* o 1 + 2 1/(0+a)

h -+ o 1 + 2 1'*

1 + 2 1/0

= — =0. 3- lim -— 0 - 1 + 2 1' *

= lim o

= lim 1 +

2 1 / ( 0 ' A)

a

- o

= 6 I + 2 - 1" '

1 + 0

No ponto x = 0 há um salto igual 10-61=6

Teoremas importantes: T,

Se as funções f ( x ) e g (x ) forem contínuas, então serão contínuas as funções f ( x ) ±g( x) , f ( x ) • g( x) e

com g ( x ) + 0.

Tj

As funções polinomiais são contínuas em todo intervalo finito.

T3

Se y = / ( * ) for contínua em x = a e z = g (y j for contínua em y = b e se * = /(a), então, a função z = £ [ /( * ) ] é contínua em * = a.

3.11 - PROBLEMAS RESOLVIDOS Calcule o valor dos seguintes limites: PR,

x* - 2 Um - ■ X --2 x 3

LIMITES

57

Solução: x4 - 2 (-2 )4 —2 7 lim ----- -— = -— -— ;— = —-T X -.-2

X3

(— 2 )

4

x 3 - 3x2 + x - 1 PR2 lim x —- l

Solução: + £x — Um x* 33 ;- 3x2 + - 11 _ ( - 1j) 3 - 3 ( ^ l ) 2 + ( - ! ) - ! =

.

6

(-D 2 - 2 ( -l) - 4

PR3 lim X x - f - i x 2 + 3x + 2 Solução: ..

x 1 —1

(x + l) (x — 1)

x —1

3 , + 2 ' « T , V x + V * + Vx~

/ ------- /-■- ■ - -i = x + v * + Vx

LIMITES

J

x^-oc x + y /x +

VT

59

J

j+ J

\_ ,

/T

= VT=i

PR 10 lim

y /3 - x - 1 4 - *2

Solução: Multiplicando o numerador e o denominador por ( V 3 — x + 1) temos: h í x->2

& l 4 —x

. »

d ^ T T T -h (4 - x ) ( V 3 - * + 1)

X-+2

= lim --------------- ^

q

.

--------------- ---

(2 - x ) ( 2 + x ) ( y / 3 - x + 1)

* - 2

= lim ------------- \ -------= -3x->2 (2 + x ) ( V 3 ^ 7 + 1) 8 PRn lim ( y f x — y j a + x) Solução: lim ( V T - V J T 3 Í ) = lim ( V F x- y Assim: Üm(l + cosx)3sec* = Um (1 + cos*)““ * = Um (l + —

JLYi Um (1 + ■ V-) 3x 4- 4 \ PR20 jo Um V3x + 2

x+1

Solução: 3 x + 2 4- 2 \ x +l 3x + 2 JC— ► «>

3x 4 2 = Um ( 1 ^ 4 4 +

x^ „ \ 3x +2

2

x+l

= Um I 1 +

3x 4- 2 /

x

Façamos a mudança da variável 3x 4- 2 = /i. Quando x -* ■*> = -

> n -*■°° e então: M-2

2 \ * +1 = Um T í3 x + 2 Ü m (i 11 + x-tco

( 1

4 --X

3

3x + 2

LIMITES

63

PR21 Se lim f ( x ) existe, prove que é único. x-*a Prova: Suponhamos

lim f ( x ) = j:—o

Por hipótese, dado e > 0, podemos achar 8 > 0 tal que: l / ( x ) - 6,| < y

quando

\x - a\ < 5

I f ( x ) - b2\ < —

quando

|x - a\ < S

Mas l*i -

= l* i - / ( * ) + / 0 0 - b 2\ < |6 , - / ( * ) ! + I / W - 6,1 <

o que quer dizer, |6 , — &2| é menor que qualquer número positivo; ou seja zero. Assim 6, = b2. PR22 Sendo lim f { x ) — A t x -*a

lim g ( x) = B, prove que: x-+a

a) lim \ f ( x ) + £ 0 )] = A + B x^rn Prova: I t /O ) + í W l - (A + B)\ = 1[/(jc) - A] + [* (* ) - S]| <

Por hipótese, dado e > 0 podemos achar 5 , > 0 e 52 > 0 tais que: \f(x)-A \< Y

se

| x - a | < 6,

\g(x)-B\ 0, |g (x ) - B\ < y 5 2 e Mas

6 t > 0 tal que: se

|jc —«| <

.

lim g{x) = B ¥= 0, 3 52 > 0 tal que: x-+a

lg(x)| > 1 íW

y

\B\

1 1 B

quando

|jc - a\ < ô2. Assim: J_ B2 e í W - B _ lg(*) - B\ = e g(x)B 1*1 !*(*)! \b \ ^ \ b \

sempre que 0 < \x — a\ < 5 onde 6 = mín (fij, 8 2) 2x4 — 6 x 3 ~f"x 2 + 3 PR23 Verifiquemos se / ( x ) = --------- -— j------------ é contínua no ponto x = 1. Solução: / ( D - 2 .— logo não é contínua em x = 1. Mas como x = 1 anula o polinómio 2x4 — 6x 3 + x 2 + 3 resulta que ele é divisível por x — 1. 2 x 4 - 6x 3 + x 2 + 3 —2x 4 + 2x 3

X -

1

2x3 - 4x2 - 3x - 3

- 4 x 3 + x2 + 3 4x3 —4x2 - 3x2 + 3 3 x 2 - 3x - 3x + 3 3x — 3 0

LIMITES

65

„ _ ... ( 2x3 —4 x 2 - 3x — 3)(jc— f)3 Entao, / ( x ) = --------------^ ^— — ' = 2x —4x —3 x — 3 lim f ( x ) = lim (2x3 - 4 x 2 - 3 x - 3) = - 8 = / ( l ) X—1 X->1 Quando istq acontece dizemos que em x = 1 a descontinuidade é removível e passamos a definir a função através de duas sentenças. Assim:

{

—8 para x = 1

2x4 - 6 x 3 + x 2 + 3 ---------- 3~ i ----------- Para * * 1

PR24 Demonstre que f ( x ) = \ J x — 3 é contínua no intervalo 3 < x < 7. Demonstração: Se a é um ponto tal que 3 < a < 7, então lim f ( x ) = lim y / x — 3 = V a — 3 = f ( a) x->a

x-*a

e como lim y / x - 3 = lim V 3 + h - 3 = lim V /T = 0 = /( 3 ) e h ->o

X — 3+

o

lim y / x — 3 = lim y / l — h — 3 = lim V 4 - h = \/4~ = 2 = x -* i~

h-*o

h-*o

= /( 7 ) concluímos que f ( x ) é contíriua no intervalo considerado. PRJ5 Calcule lim (1 + ax) b/x. x-* o

Solução: Vimos que

lim (1 +

= e. Então, comparando notamos

*-»o

1 ab lim (1 + ax)ax = eab I ->0 i_ PRjt Calcule lim 3 x -i X-+1Solução: Substituamos x por um inferior a 1, 1 — h por exemplo:

66

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

i Um 3 * -' = Um x-*l~ h-+o

-

;___

= Um 3 h = Um h-* o ft-*o 3

= -1- = i - = o 3 00

PR27 Sendo

CX)

Um pX

X-++oo

+ C,X +- 4- = 2, determine p e q. ^

Solução: Como x -> + °° e o Umite é

an

t—

bm

= 2, necessariamente

Qfl Q n = m = 1 — - > p = 0 e ■=-— = -^- = 2 =

PR28 Determine a sabendo-se que Um ( l — —) sen ax = 5. X-tQ \ x / Solução: ' "' sen ax Um (l (1 —— )! ) sen ax = lim sen ax — Um t-ol XJ

_ .. asenax f .. senax\ = 0 - Um ----------= - a Um ---------- = 5 x-*o

ax

\ a x -* o

ax

J

------- = 1

Então, - a = 5 ---

PR29 Calcule

> a = —5.

3 m* - 1 Um ——------ . „ x-*o Ji nx — ii

Solução: Vimos que a* - 1 „ Um -------- = ín a, x-*o x podemos, então, escrever 3 - 1 3mx _ j mx Um■ — —------| = Um „ ---------í/ix —-------= Um ->nx nnx i oi —1 X-*0 —1 x-*o i "X — — —

LIMITES

67

3 mx _ j lim

_ m x-*-o m x _ fn n 3 nx _ 1 n lim —------n x

* - 0

PR

£n 3 _ m_ 8n 3 n

Calcule üm lim e*gn(1+Jc) + sen* - l Calcule Examinemos o quociente indicado e preparêmo-lo:

.. e* + sen x ™0 _«n(l+x)

1

- XT

0

e*-l+senx Bn(l + *) ~

v x ex — — 11 +. sen a^iix^ _ .. = lim — • — õ ?i ' I \— 8n ( l + x ) x-+o •

sen x + lim 8n(l + *) *- 0 x • j « n ( l + x)

; lim x^°x = lim x-*o

(ex — 1) -f sen x £ . g n( 1 +Jc )

ex - l x

.. i1 ... sen x um ---- ----------—— + lim ---x - o 8n ( l + x Y ,x x->o x

• lim — -— -——— = Kn e • 7p -----1- 1 • rp — = 1 + 1 = 2 *-+0 Kn(l + x )1/* ßne ßne PR31 Calcule lim v / 1 + x x->o Solução: lim ^ 1 + x = lim li: (1 + x ) 3x = lim (1 + x ) x x->o X-»0 .X-+0

Então, lim JC-+0

1 + x = e3 — s f ê

PR32 Calcule lim (1 - atgx) cotgjc x~*o

Solução: lim (1 - a igx) cotgx = lim 1 X -*-0

JC-K)

“-----= lim ——---------- — tg X

JC->0

tg x

68

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

. a te* - 1 lim (1 — a gx) cotg x = - lim — --------- = - fin a X-+0 JC-K) pt senx cos x _ > PR33 Calcule lim x -+0

sen 2x

Solução: -«senxcosx _ 1 „3-sen2* _ i lim ----------=------- - = Um e sen 2x sen 2x x >0 gísenix _ 1 = 3 lim —;----- - — - = 3 «n e = 3 x-*o 3sen2jc

3.12 - PROBLEMAS PROPOSTOS PPi

Usando a definição de Umite prove que: a) lim (jc - 4) = 2 X->6 b) Um ( 3 jc — 2) = 10

c) Um (x 2 - 2 x X-»4 /— „ d) Um vGr" 3 -

1) = 7

9 - jc

1

6

Calcule os limites seguintes: PP2

Um (5 jc3 - 2x — 4)

Resp.: —1

jc —»1

PP3

PP4

Um (3 jc4 - 2 jc3 - 4 x 2 + 2 jc + 1) jt-»-i

R esp: 0

Um (2 jcs -

Resp.: - 4 6

jc 3

+ 10)

X -+ -2

.. , / 2 x 3 + 2 x2 + 8 Um ’ / — r— ------ —

Resp.: 2

PP6

x —5 Um x-+s V 3 + x

Resp.: 0

PP7

x 2 - 16 Um x-*4 x 2 — 5x + 4

p 8 Resp.: y

PP

x-+2 V

x

"t* 2 jc — 4

LIMITES

PP8

PP,

69

lim 4 ^ - L x-*i x 2 - 1

Resp.: 2

lim ~ ~ l x + 10 x-2 x2 - x - 2

Resp.: - 1

PP10 l i m - ï ^ i x -.2 x — 2

Resp.: 12

PP„ lim ~ ~ 6* 2 + 5 x-*-i x — 1 _

R esp.:- 4

PPU lim — 7 ^ + *. jc-o 4 x 3 - 2 x

1 R e s p .: --

PP13 lim - i ** ~ l x x - i x 2 - 3x + 2

R esp.:- 4

PP„ lim ( f L ± A T ^ h -t o ft

Resp.: 4 x 3

PP1S lim

j

x -o

•*

Kesp.: y

PPi6 lim 3 x 4 ~ 2 x 3 + 2 x 2 - x - 2 x-+i x 3 —jc2 -f- 2jc — 2 .3

4

4

Resp.: 3

PP,7 lim - - ~ 2 x + x-*-2 X4 + 3* - 10

Resp : ~ 2 9

PP18 lim x ~*6

1 «esp..- —

PP„ Um *-*o

x —6

x.

10

6

Resp.:

VT 2

PPJ0 Um 1 ^ / U L a:-+-2 x2—4

j Resp.: — — Io

PP2I 1Um ~ 3— 1111 —~~ ~ 3 — x- 3 V 2 x - 2 - 2

4 Resp.: —

70

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

DD r 3 —V5 + X PP22 hm ------x-*4 1 — y / 5 —x

Resp.:

.. y/x2 + m um — . ^ ------PP23 lim x-*o *-*< v x 2 + q 2 — q

Resp.: — m

PP24 lim X~>9

P P 25

U m

X -> 1

y/x- 3 x - 9

1

Vx — I

x —8 PP26 Um-5-— -----*-►8 y j X — 2

Resp.: ~o

Resp.: ~

Resp.: 12

PP2i Um ( y/ x + 2 - y / x )

Resp.: 0

PP28 Um [ Vx ( x + 4) - x]

Resp.: 2

PP29 lim

3 x 2 - 4x + 5 x + 4

DD r 3* 2 - 4x + 3 PP30 lim — — - . -----x -,» 3x3 + 8xJ + 4 x — 5

P P 31

Um

5x3 + 4x2 — 5

Resp.: 00

Resp.: 0

Resp.: 0

3xs + 2x3 + 5 lil ----I-------- ----------------PP32 Um *— « 5x + 4 x 3 + 2x + 1

Resp.: -y

PP33 Um (—4 x 3 + 2x + 4)

Resp.: °°

PP 34

Um y -----x-»~ v r + 1

PP 3 5 Um x ( y /x 2 + 2 - x)

Resp.: 1

Resp.: 1

LIMITES

72

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

FP«, Ita ( l + | )

-\ x + 4 j

Resp.: e~6

p p “- gst X-+00

'2

X2 + 1

pp"

R ^ - : e'

" "

í" . ^

PP5s

r

**> •• 3

3“ - 1 „

~

* —

R e s p -

2 j n

3

R esp: y

"■“ S-ofer

* ~ f£ f

PPsl í ”

* « p .: e2

PPé2 x™ I T T ’

Resp: e5

LIMITES

73

PP 6 3 lim

Resp.: 3° Ín 3

PP64 lim \J 1 — 2x

Resp.: e~2

X -K )

PP6s Um x-*o PP66 Um X-+0

£n(l + x ) 2

log (1 +

Resp.: 2

jc) 3

Resp.: 3 log e

x

pp67 um i “ 0 + 4*>* x~*o x

Resp.: 8

PP68 Verifique se a função definida por: /( * ) =

x 2 —3

se

x 2

é contínua em x = 2.

Resp.: sim

PP69 Verifique se as funções definidas a seguir são contínuas nos pontos especi­ ficados: ( a) f ( x ) =

5 se x > 0 3

se x < 0

no ponto x = 0.

b )/( * ) = '

Resp. : não

27 x —3 3

se

x = 3

no ponto x = —2.

c) / ( * ) =

Resp.: não

x 2 - 6x + 8

se

x> 2

x2 + x - 6

se

x < 2,

em x = 2. d) / ( * ) =

Resp.: sim Jt3 — 6

se

x <

x 2 —2

se

x> 2

no ponto x =

2

.

2

Resp.: sim

74

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

3x — 8

se

x > 5

se

x =5

jc2 — 18 se

x < 5

e) f ( x ) = • 7 no ponto x = 5.

f) /( * ) =

Resp.: sim

x3 - 1 (*-l)3

se x i= 1 se x = 1

, 3 no ponto x = 1.

g) / O ) =

Resp.: não

1 l*-ll

se x ^ 1

1

se x = 1 Resp.: não

no ponto x = 1. senx h )/(x ) = 1

se

x = 0

no ponto x = 0.

Resp.: sim

PP70 Determine a para que a função seja contínua no ponto especificado:

a) / ( * ) =

' x2 - 1 x - 1 a

se x

1

se x = 1 Resp.: a = 2

no ponto x = 1. V x^3 - 1 x - 4 2

se

x > 4

x - se a

x < 4 Resp.: a =

no ponto x = 4.

C) /( * ) =

x 2 — 3x + 2

se

x < 1

x 2 — 5x + a

se

x > 1 Resp.: a = 4

no ponto x = 1.

d) / ( * )

x 3 - 2x + 1 _ i x 3 + 5x — 6

se

x < 1

3 x 2 — 2x + a se

x > 1

no ponto x = 1.

15

Resp.: a = —-g-

4 DERIVADAS

Alegre os infinitos muros tristes das infinitas moradas tristes.

4.1 - DEFINIÇÕES D,

Sejam x t e x 2 dois valores bem próximos de uma variável x e y , = f (x t ) e y 2 = / (*2) os valores da função y — f ( x ) correspondentes a x, e x 2 respectivamente. Chamamos de acréscimo da variável x à diferença Ajc = x 2 — x , e acréscimo da função y à diferença Ax = y 2 - y , ou Ay = f ( x 2) —f ( x i ) onde f ( x i ) e f ( x 2) são chamados respectivamente de valor inicial e valor acrescido da função y. Exemplo: Sejam y = x 2 — 4, x , = 1,2 e x 2 = 1,3. Xi - 1,2 temos

= —2,56

x 2 - 1,3 temos y 2 = —2,31 Assim:

Ax = x 2 - X! = 0,1 ^ y = y i - y \ = 0,25

D2

Chamamos de Razão Incremental R I ou Razão dos Acréscimos ao quociente: Ax

X2- X ]

. valor acrescido da função —valor inicial da função valor acrescido da variável —valor inicial da variável

76

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Utilizando a disposição seguinte podemos escrever R.l. de uma forma geral. Valor inicial

Valor acrescido

Variável

X

x + Ax

Função

f(x)

/ ( x + Ax)

Então:

f(x) r r - f ( x + A*) - —^ ou (x + Ax) -

Da

X

p j _ f(x + A x)-f(x) Ax

Derivada de uma função Seja y = / ( x ) definida e contínua num intervalo E. Chama-se derivada da função y à função y ' onde

supondo existir o limite. Usaremos também as seguintes notações para indicar a derivada da função y: /'(* ),

[/(* )]

Exemplos: Ej

Consideremos a função / ( x ) — x 2 — 3 e calculemos a sua derivada. Temos: f ( x + Ax) = (jc + Ax)2 _ 3, assim: _ ,• í(* + Ax)2 - 3] - (x2 - 3) _ / (x) = hm —------- WZ----- ^-------- L = Ò X -> 0

= lim Ax->0

n x

x 2 + 2 x A x + (Ax)2 - 3 —x 2 + 3 _ Ax

= lim (2x + Ax) = 2x Ax-*o

Portanto, f\x ) =

2

x

DERIVADAS

E2

Seja y =

77

e calculemos y '. Temos,

/ ( x + Ax) =

1 2 (x + Ax) ’

1

1

x — (x + A x )

' = lim W E M Z M = Ax-»o

üm _2*(* + **) =

Ax

Ax->0

Ax

2 x2 ’

Ai ™ 2 x ( x + A x ) portanto,

y D4

=

2x2

Derivada de uma função em um ponto x 0 Seja y = f ( x ) uma função definida e contínua em um intervalo consi­ derado. Então , / ( * o + & x ) - f ( x 0) y * o = AX-*0 lim -----------ã í ----------é a derivada da função y em um ponto x 0 supondo que exista o limite.

Exemplo: E,

Consideremos a função f ( x ) = 3 x 2 — 2x + 1 e calculemos a derivada de / (x) no ponto x 0 = 2. Temos: f ( x o + Ax) = / ( 2 + Ax) = 3(2 + Ax)2 - 2(2 + Ax) + 1 e /'( 2 ) = lim / ( 2 + ~ f ( 2) = Ax-»0 ^X lim [3(2 + Ax)2 - 2 ( 2 + Ax) + l ] - 9 _

= um 3 (Ax)2 + 10 Ax = jjjh (3 Ax-*o A* Ax-*o Portanto: / '( 2 ) =

1 0

+ 10) = 10

78

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Podemos também primeiramente encontrar f \ x ) e depois, por substi­ tuição, f ' ( x 0). E2

No Exemplo E, da Definição D3, se quisermos a derivada de /( x ) = x 2 — 3 no ponto x 0 = —1, temos: Como f ' ( x ) = 2 x então / ' ( - 1) = 2 ( - 1) = —2.

Ds

Derivada em um intervalo Uma função y = f ( x ) é derivável em um intervalo se possui derivada em todos os pontos desse intervalo.

D6

Derivadas laterais As expressões » _

.•

/ ( * + Ax) —/ ( x )

y (♦)= to» +— ------- A;: Ax-K)

,

■■■ e ^(-) = ton

f(x + A x ) - f ( x )

AX-+0

------- Kx ax

são chamadas respectivamente derivada à direita e derivada à esquerda da função y = f ( x ) num ponto x qualquer. D7

Uma função f (x) tem derivada em um ponto x 0 se e somente se /(+ )(* o ) = / ( - ) ( * o ) ou seja, as derivadas à direita e esquerda são iguais no ponto x 0Exemplo: Consideremos a função y = lx + 11e calculemos y ' ^ (—1) e /(-) ( -! ) :

Ax-*0+

1-1 + Ax + ll - 1-1 + ll _ ,

/« - ,( - .) =

li»

- A - ,) -

Ax-* 0 e 0 < a ^ 1) y — lim

lpgg (* + A x) - logg x

A X -+ 0

A x

~ lim à 7'oga 1 + A * - 0 £S X

Ax = lim A* 0 7 t e x l o &‘ l 1 + T - j = lim logü j i + ¥ r -

■* &X -+0

;7 lo8 a Um (i . •*

A x -o \

+ * * )* *

=

JC /

- J loga e, como loga e - -— temos, fina y =

9 Em particular, se y = finjc temos: y

1 =

Jcfin e

10 y = ax Se y = ax temos:

x fina

DERIVADAS

85

Assim:

dx _ 1 3 -----“ Ti— dy y m a

dy dx

ou

- ^ - = y 9 .n a

e portanto: y ' - ax £n a 11 Em particular, se y = ex temos: y = e x £n e, portanto: I

__

y= e

X

Temos: sen^ — x. Assim,

= cosy ou ~ = — -— . Mas cosy dy dx cos y ' = y / T ^ x 1 e portanto: y

13 y — arc cos jc

>

y =

=

v T ^

s /T ^ x *

(Ixl < 1).

(prova e considerações análogas à

anterior). 14 y = arctgoc Temos: dx tg y = x, donde — = sec2y dy

ou — = —— see x

Mas see 2y = 1 + tg 2y e portanto:

y

= 1

+x2

86

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

15 y - arc cotg x

.

> y =

1 + X.2

Podemos criar uma tabela com estes resultados: 1

y = K então y' = 0

2

=

jc então

y=

1

3

y = x n n £ Z + então y' = ror"

4

y = senjc então y ' = cosjc

5

>> = cos x então y = —senx —-

6

>>=tgx então y = sec2jc

7

_y = cotgjc então y' — - cossec2x

8

y — loga j ( ( j ( > O e O < s ^ l ) então y = —~—

9

y=£nJC então y ' = — x

' 1

JCKna

10 y = ax então y = a * 2 na 11

12

y = ex então y' = e* >> = arc senx então y —~ 7 = * ~ f VI - x

■ 13 y = arc cos jc então y = ~t— V 1 —x 14 y = arc tg jc então y = — -—1

+ JC

15 y = arc cotg .x então y = ---- r

1

4.4 -

+ JC

IN T E R P R E T A Ç Ã O G E O M É T R IC A D A D E R I V A D A

Uma reta, como sabemos, possui inclinação constante. O mesmo não acontece em relação a uma curva onde a inclinação em um referido ponto da curva é dado pela tangente a ela nesse ponto.

DERIVADAS

y

87

y = f(x)

x

Fig. 4.2.

Procuremos então a inclinação da curva y = f ( x ) (Fig. 4.2) num ponto gené­ rico P. 4—► A inclinação da reta PQ é dada por:

( Se fizermos o ponto Q se aproximar de P sobre a curva dada, a inclinação de PQ vai se aproximar da inclinação da reta tangente à curva no ponto P. Neste = um / ( * + A*) - / ( * ) A r-* 0

supondo que exista o limite. Este limite é a derivada da função y = / ( x ) no ponto P e portanto a derivada da função y - f ( x ) no ponto P é a inclinação da reta tangente (ou coeficiente angular) nesse ponto.

4.5 - EQUAÇÕES DA TANGENTE E DA NORMAL A equação da tangente a uma curva em um ponto M ( x 0, y 0) é dada por:

y -yo=

/ ' ( * o)(* - *o)

Chama-se normal da curva em um ponto jc0, a reta que é perpendicular à tangente passando por esse ponto. Da geometria analítica sabemos que, para duas retas serem perpendiculares em um ponto x , devemos ter:

88

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

onde resulta a equação da normal em x.

y - yo =

7 '(* o )

(x - x 0)

Exemplo: Calculemos a equação da tangente e da normal à curva y = x 2 no

ponto (1,1). Como/(x) = x 2 ---- > f '( x) = 2x onde / ' ( l ) = 2. Assimy — 1 = 2(x — 1) ou

é a equação da tangente no referido ponto. Logo, a equação da normal à curva em (1,1) é dada por: y - 1 = - -j(x - 1) ou

Fig. 4.3. Gráfico da tangente da noifnal à curva y = x 1 no ponto (1, 1).

4.6 - DERIVADA DE FUNÇÕES COMPOSTAS Consideremos as funções y = f ( u ), u = g(v) e v = h( x) tendo derivadas dy du dv d ü ’ ~dv e ~dx resPectlvamenteSe Au e Ai» não são nulos podemos escrever o quociente maneira:

da seguinte

DERIVADAS

89

A / _ Aj> Aw Av Ax A u Av A x onde y , u e v são funções de x. Logo, se Ax = >

0 temos:

r Au = > 0 Av = >

0

Assim: Ay _ lim -r- = hm Ax-»o A x

Ax-+o

Ay Au Av — hm — hm — ou A x-i-o A v

dy_ dx

du

a x -k

du dv

> Ax

dv dx

REGRA DA CADEIA o que nos leva a dizer: “A derivada da função composta / = f {glh(x)]} é o produto das derivadas das suas componentes.” Fazendo uma extensão nesta fórmula, temos a derivada da composta para n funções deriváveis. Exemplos: Derivemos as funções dos 3 exemplos seguintes: 1. y = ( 2 x 2 — 2)* Funções Componentes: potência e quadrática. Então: ^

= 4 ( 2 x 2 - 2)3 • 4 x = 1 6 x ( 2 x 2 - 2)3

2. / = sen3(5x + 2) Funções Componentes: potência do seno, seno e arco. Então: ^ = 3 [sen2(5x + 2)] • [cos(5x + 2)] • 5 = = 15 sen2(5 x + 2) cos(5x + 2) 3. y = Sn \ / x 2 — 2 Preparemos inicialmente a função: y = i n (x2 —2 ) 2 = y £n(x2 —2) Funções Componentes: logarítmica e quadrática. Então:

90

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

4.7 - DERIVADAS SUCESSIVAS Seja y = f ( x ) definida em um intervalo. A derivada f ' ( x ) é também uma função neste intervalo. Se /'(x) for também derivável, a sua derivada é denominada

Exemplo: Consideremos a função y = 5 x 4 - 2 x 3 4- 6 x 2 —2 x — 8. Então, 2 0 x 3 — 6 x 5 + 12x — 2

(derivada de 1? ordem) (derivada de 2? ordem) (derivada de 3? ordem)

~ *20 (derivada de 4? ordem) ^ l =^y = =0 d x 5 dx6 ' "

4.8 - DERIVADA DE FUNÇÕES INVERSAS Consideremos a função y = f ( x ) derivável e inversível. A derivada da função inversa x = f ~ x(y) é dada por: d x = J_ dy dy dx onde

dx

¥= 0. 1 +XCOSX

Exemplo: Sendo y = (senx) + £n x temos — = (cos x) + j = -■ + X Portanto, dx dy

1

x + x cos x

DERIVADAS

91

4.9 - DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS Quando x e y se relacionam implicitamente através da equação F(x, y ) = 0 dy a derivada é obtida do seguinte modo: 1. derivamos F(x, y ) em relação a x tomando y como função de x. .

.

2

,

dF(x,y)

. igualamos — ^

a zero.

dy 3. isolamos ^ na igualdade anterior.

Exemplo: Sendo x* — 3 x y + y 2 = 0 calcu lem o s^ . Temos: F{x, y ) = = x4 — 3 x y + y 2 onde í í f c J W

- , ( , £ ♦ , ) * „ £ .

Igualando a zero temos: + ,) + 2 r f - ° 4x3 - 3x

dx

o»

- 3 y + 2 y ^ = 0 ou dx

(2y - 3 x ) & = 3 y - 4 x 3 e portanto: d>> _ 3 y - 4 x 3 dx 2y - 3x

4.10 - DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA Sejam as funções y = f ( t ) e x - g(t) definidas, deriváveis e ainda x admite inversa. Aplicando a regra da cadeia encontramos

ou seja:

92

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Assim: dy _ f \ t ) dx g(t) lg \t) * 0] Exemplos: 1 Seja x = a (t — cos í) e y = 2 — sen t . Então: g{t) = a (t - cos t) e / ( f ) = 2 - sen f. dy _ f \ t ) _ —cos t dx g'(t) a(l+sení) 2 Seja x = a cos t e y = b sen t. Assim: g(t) = a cos t e f ( t ) = 6 sen f. Logo: dy _ b cos t dx —a sen t

b cotg t a

4.11 - REGRA DE L'HOSPITAL Sejam f { x ) e g( x) funções deriváveis. Se /( « ) = 0 e g(a) = 0 ou /( a ) = °° e g (a) = °° então, lim —V-í = lim ■ , , , x-*a £ W x-*a g W x-*a supondo a existência deste limite e g'(x) ¥= 0. A regra de L’Hospital também pode ser aplicada quando x ------> Exemplo: Usando a regra de L’Hospital, calculemos os seguintes limites: E,

.. x 2 — 4 In n -^ y X -+ 2

Substituindo diretamente temos —, assim:

DERIVADAS

Substituindo diretamente temos

93

assim:

.. 1 —cosx senx . lim ------------= hm -------- = 0 sen x ^ ^ q cos x

lim

x 3 + 3x + 4 2 x 3 —5 oo

Substituindo diretamente temos —, assim: oo’ x 3 4- 3 x + 4 3 x 2 -t- 3 (aplicando novamente a regra ton ----------------- = lun --------— , . 2 x 3 —5 6x de L Hospital vem) .. 6x 1 'J T .T Ü ‘ 1 Podemos também aplicar esta regra nas formas indeterminadas 0 * °° — fazendo-se uma adaptação necessária (transformação em quociente) recaindo 0 00 em — ou — . 0 00 lim ( —---------x-oV tgx senx, Substituindo diretamente temos 00 — Fazendo a transformação em quociente e depois aplicando a regra de L’Hospital temos: l i m [ J ---------M = lim ^ ° SJt se n x / = lim X --0

1 sen x

CO SX — 1

senx

_ .. -senx _ = hm --------- - 0

lim (x - 3) tg ^ X -* 3

°

Substituindo diretamente temos 0 • Fazendo a transformação em quociente e depois aplicando a regra de L’Hospital temos:

94

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

tfia _ 6 6 _ 6 , 7rx 6 -----— um -------— -------- lim sen — = -----*-*-3 sec2 — n x ~*3 n 6

Usando transformação logarítmica nas formas indeterminadas 1“ , 0 o, o , 0 °° 00 recaímos em — ou — podendo aí usar a regra de L’Hospital. E6

i_

lim (1 + senx)senx *-*o

Substituindo diretamente temos 1“ . Lembrando que e ína = a temos: i —!— lim (1 + sen jc)5“«"* = lim e «n0

j

—e

x->0

Observação: Demonstrárenios agora o limite básico (Cap. 3): lim ( l + * J = e* x-

Demons tração: ( K \x tnf.+K'f l i m f l H ---- 1 = lim e \ * / = lim X -*°°

'

X /

X -» “

Calculemos A = lim £n ( l + — . Temos: . \ x)

í

K\

£n 1 + r ) x/— A = lim x 8n í 1 + 1= lim — \ , \ XJ JÇ-+00 1

lim 211(1+ ^ ^ '

DERIVADAS

95

—1___ ( Z Ã . i +£ U 2 = lim

= ATlim

-1 „2

= K 1+ *

Assim, lim (l + — ) = lim e'4 = eK x^ \ xj x^ m Em particular, se K = 1 temos:

R r-

lim x-+» \

xj

Nota: Agora estamos em condição de provar que y = K x n tem derivada y ' = = K n x n ~' para qualquer n real. Prova: Sendo y = K xn entao, í n y = Kn K x n ou 2n.y = 8 n íf + n í nx . Derivando os dois membros desta equação, supondo y função de x, temos:

i— L— - n— 1 ou v '= n y x ~ l = n k x nx~l j£ — yy . x e portanto y' = Knx"~l para qualquer valor de n.

4.12 - INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA Consideremos a Figura 4, onde o espaço s depende do tempo f, isto é, x= f(t)

96

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Como sabemos através da física, a velocidade média de um corpo no As intervalo de tempo A t é dada por: Vm = — . Se fizermos A í muito pequeno (A t ------* 0) teremos a velocidade do referido corpo num instante í, denominado velocidade instantânea, a qual é dada por: „=

u™ M = l i m ./ ( r + A 0 - / ( / ) = g Af—0 ^ Af—0 Aí dt

Portanto, a velocidade instantânea de um corpo num referido instante f nada mais é do que a derivada da função s = /( f ) .

Exemplo: Sendo a lei do movimento uniformemente acelerado z t f so = 0 s = s0 + W + t t 2 e < 2 (>'„=2 calcule a velocidade de um móvel que obedece esta lei no instante í = 4 segundos. Supor s em metros. Resolução: s = 2 í + 4 í2 • Assim v = = 2 + gí. 2 dt Para í = 4 seg. temos v = 2 + 9,8 ■ 4. Portanto:

v = 41,2 m/seg.

Se o movimento não é uniforme temos, em dois instantes distintos, duas velocidades distintas, ou seja, haverá uma variação na velocidade. Em física a Av aceleração média é dada por: am = onde a aceleração instantânea, de maneira análoga à velocidade instantânea, é dada por a = lim = onde v = ^ 4 ,- 0 Aí * Então a =

=

ou seja, a derivada de segunda ordem da função

s = / ( í ) exprime exatamente a aceleração do movimento.

Exemplos: E,

Um objeto se move de modo que no instante í a distância é dada por s = 3 f4 — 2 í. Qual a expressão da velocidade e da aceleração desse objeto? dv Como vimos v = ^ ou seja v = 12 f - 2 t a — — ou seja a = 36 í

DERIVADAS

E2

97

Uma partícula se move segundo a função s = 2 f 4 + 8 í3. Em que instante sua aceleração é nula? (tempo em segundos) Como vimos: a = ^ = -J-(8r3 + 2 4 í2) = 24 í2 + 48 f d t1 dt Igualando a zero temos os instantes em que a aceleração é nula. 2 4 12 + + 4 8 í = 0:

E3

, t = — 2 não é possível.

Achar a velocidade e a aceleração no instante t = 3 seg. onde s — 3 t 3 — — 2 f2 + 2 í + 4 é a função que informa a posição (em metros) de um corpo no instante t. ds Temos: v = — = 9 í 2 — 4 í + 2 onde, no instante t = 3 seg., a velocidade vale

ds v = 71 m/seg. e a = —- = 18 f —4 onde, no instante t= 3 seg., d t2

a aceleração vale a = 50 m/seg2

4.13 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 4.13.1 - FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES COM O USO DE DERIVADAS Vejamos as Figuras 4.5 e 4.6.

Fig. 4.6. (Função decrescente)

Na Fig. 4.5 tg a > 0 e na Fig. 4.6 tg a < 0 donde enunciamos o seguinte: Seja y = f{ x ) uma função contínua em la, b] e derivável em (a, b).

98

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

/'( x ) > 0 então f ( x ) é estritamente crescente em [a, b]

Se

f \ x ) < 0 então / (x) é estritamente decrescente em [a, 6] Exemplos: E,

Já vimos graficamente que a função y — x 2 é decrescente para x < 0 e crescente para x > 0. Analisemos pela derivada. Temos: y ' = 2 x. De fato, y > 0 se 2 x > 0 ou

eÿ < 0

se 2x < 0 ou Assim, y — x 2 é crescente para x > 0 e decrescente para x < 0. E2

Determinemos as regiões em que a função / ( * ) = x 3 - 3 x cresce e decresce. Temos: f'(x ) = 3x2 — 3. Analisemos a região de positividade e negatividade desta função: /'( * ) > 0

f'( x ) < 0 -1

f ’(x) > 0

+1

Assim, f ( x ) é estritamente crescente para x < — 1 v x > l e estritamente decrescente para —1 < x < 1. Façamos a construção do gráfico de f ( x ) para uma melhor com­ preensão. As raízes de / (x) são 0, —\ f 3 e + \ / 3 . Para

fx = - l , / ( —1) = 2 , * = 1, / ( 1 ) = - 2

Portanto, o gráfico de /( x ) será:

Fig. 4.7.

DERIVADAS

99

Determinemos os intervalos em que / (x) é crescente ou decrescente sendo / ( x ) = i £ + x 3 - y - 3 * + 4. Temos: /'(x ) = x 3 + 3 x2 —x — 3 = (x — IX* + IX* + 3)

y\

y-i

y3

Analisemos os intervalos em que f '( x ) é positiva ou negativa. -3

-1

y \ __ 2 yi

-

y3

-

y \ * y i • ^3

-

Para —3 < x < —1 a função f'{ x ) > 0, e portanto f ( x ) é estritamente crescente nesse intervalo. Para x > 1 também f'( x ) > 0, e portanto / ( x ) é estritamente crescente nesse intervalo. Para —1 < x- < 1 a função /'(x ) < 0, e portanto / ( x ) é estritamente decres­ cente nesse intervalo. Para x < —3 a função f'( x ) < 0, e portanto f (x) é estritamente decres­ cente nesse intervalo.

4.13.2 - MÁXIMO E MÍNIMO DE FUNÇÕES Definições D[

Dizemos que uma função / ( x ) tem um mínimo local em x 0 se existir um ’ intervalo aberto / contendo x 0 tal que f ( x ) > / ( x 0).

Dj

Djzemos que uma função / ( x ) tem um máximo local em x 0 se existir um intervalo aberto I contendo x 0 tal que /( x ) < / ( x 0). Fig. 4.8. x 0 e x , são respecti­ vamente pontos de máximo e mínimo locaL x 0 e x , são chamados também pontos ex­ tremos nos intervalos conside­ rados. f ( x 0) e / ( * ,) são cha­ mados valores extremos da função /(x ) nos intervalos con­ siderados.

100

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

D3

Quando / ( x ) > f ( x 0) em todo o domínio de / ( x ) dizemos que x 0 é um ponto de mínimo absoluto e / ( x 0) o menor valor que / ( x ) assume.

D4

Quando f ( x ) < f ( x 0) em todo o domínio de / ( x ) dizemos que x 0 é um ponto de máximo absoluto e / ( x 0) o maior valor que / ( x ) assume.

Na Fig. 4.9, cada um dos pontos x ,, x 3 é um ponto de mínimo local e cada um dos pontos x 2, x 4 é um ponto de máximo local enquanto na Fig. 4.10, x 0 é um ponto de máximo absoluto onde f ( x 0) é o maior valor que a parábola/(x) assume. Analisemos o valor da derivada de uma função nos pontos de máximo e mínimo.

Observando a Fig. 4.11 temos em x 0 e x , pontos de máximo local e mínimo local, respectivamente. As inclinações das retas que tangem a curva exatamente em x 0 e x , são nulas pois estas tangentes são paralelas ao eixo x e, portanto, devemos ter f ' ( x 0) = f '( x i ) = 0 , ou seja, a derivada de uma função é nula nos pontos extremos.

DERIVADAS

10 f

A TENÇA O Sendo f '( x 0) = 0 não podemos garantir que x 0 é um ponto de máximo ou de mínimo local. A Fig. 4.12 exemplifica tal fato.

TEOREMA DO VALOR MÉDIO

s Seja f ( x ) uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo ( (a, b). Então, existe um ponto jc0 E. (a, b) tal que b —a Demonstração

A equação da reta A B é dada por y - f i a ) = _ f ( b ) - f (a )

y =

(x - a) + f(a )

b - a

_ a) ou

102

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Geometricamente temos:

Mas

* (* )-/(* ) -

/ ( * ) - fia ) (x - a) + f{a ) b - a

(D

g(a) = f i a ) -

f i b ) - fia ) (a - a) + /(a ) b - a

= 0 e

gib) = f i b ) -

fib ) - m b - a

= 0.

(6 - a) + /(a )

temos desta forma dois casos a considerar: 19 caso:

g ix ) = 0 no intervalo [a, 6], onde g '(x) = 0 no intervalo (a, b).

19 caso:

g ix ) tem um máximo local ou um mínimo local entre a e b.

Seja g ( x 0) este extremo. Em ambos os casos g '(x0) = 0. Segundo

(D temos:

g' (X o )= f (X o ). m

^ M

=0

e portanto

b —a

Este resultado quer dizer que sendo f ( x ) contínua em [a, b] e derivável em (a, b) existe um ponto x 0 e (a, b) tal que a reta tangente à f ( x ) no ponto (x 0, f i x o)) é paralela à reta determinada pelos pontos A e B (Fig. 4.13) por terem a mesma inclinação. Vejamos um exemplo: S eja/(x) = x 2 onde 0 (0 é um ponto de máximo local)

2) = 12(—2)2 - 16 = 32 > 0 - > (—2 é um ponto de mínimo local) f" (2 ) = 12(2)2 — 16 = 32 > 0 — -> (2 é um ponto de mínimo local)

Ej

x3 Consideremos a função / (x) = — —2 x 2 + 3 x + 1. Temos: f '( x ) = x 2 - 4 x 4- 3 e f " ( x ) = 2 x —4. As raízes de f'( x ) = 0 são 1 e 3. Assim: f " ( 1) = —2 < 0 . —> 1 é um ponto de máximo local. /" (3 ) = 2 > 0 ------> 3 é um ponto de mínimo local. para x = 1 = >

7

^máx = j e para x = 3 = >

_ymín = 1.

Este teorema nada afirma quando f " ( x 0) = 0. Daremos a seguir um teorema mais geral que evitará impasses. Seja f ( x ) uma função derivável com derivadas sucessivas também deriváveis em um intervalo aberto (a, b). Seja x0 G (a, b) tal que f \ x 0) = = f" (x o ) = . . . = f^ n~l\ x o) = 0 e f*n)(xo) ^ 0 então: a) Se n é par e f^n\ x 0) < 0, x 0 é ponto de máximo local de / . b) Se n é par e f^n\ x 0) > 0, x 0 é ponto de mínimo local de /. c) Se n é ímpar, x 0 não é ponto de máximo nem de mínimo local de /. jc5 3 8 Exemplo: Consideremos a função f ( x ) = — —— xA + — x 3 + 3 x 2 — 9 x + l . Temos: f \ x ) = x4 - 6 x 3 + 8 x 2 + 6 x - 9 f" ( x ) = 4 x 3 - 18xs + 16x + 6 /'" (x) = 12xJ —36x + 16 f m (x) = 24x - 36 / w (x) = 24 / (n)(x) = 0 V n > 5. As raízes de f'( x ) = 0 são —1, 1 e 3. / ' ( —1) = 0; f ' \ — 1) = —32 < 0 ---- > ( —1 é um ponto de máximo local). /'( I ) = 0; /''(1 ) = 8 > 0 ------ > (1 é um ponto de mínimo local). /'(3 ) = 0 ;/''(3 ) = 0 ;/'" (3) = 16 # 0 - — > (3 não é ponto extremo).

DERIVADAS

107

4.13.5 - CONCAVIDADE Consideremos uma curva y = / ( jc) no plano cujo gráfico é o de uma função unívoca e derivável. Definições: D,

Dizemos que a curva tem a sua concavidade voltada para cima num intervalo (ff, b) se todos os pontos da curva se encontram acima da tangente em qualquer ponto desta curva no intervalo considerado (Fig. 4.19).

D2

Dizemos que a curva tem a sua concavidade voltada para baixo num inter­ valo (a, i ) se todos os pontos da curva se encontram abaixo da tangente em qualquer ponto desta curva no intervalo considerado (Fig. 4.18).

Fig. 4.18. Concavidade para baixo.

D3

Fig. 4.19. Concavidade para cima.

Seja / (x) contínua e derivável até segunda ordem em (a, b). a) /" (* ) > 0, o gráfico da curva de f (x) tem concavidade para cima em («, 6). b )/" (x ) < 0, o gráfico da curva de (a, b).

/ (

jc )

tem concavidade para baixo em

Exemplos: E,

Consideremos a função f ( x ) = x 2 — 2 x + 1. Então,/'(x) = 2 * — 2 e

/"(x) = 2 > 0.

y Portanto a curva de f ( x ) tem sem­ pre concavidade voltada para cima para qualquer valor de x .

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Consideremos a função f ( x ) = x 3. Então, f'( x ) = 3 x 2 e f" ( x ) = 6x. J 6x > 0 —

> x > 0 (concavidade voltada para cima).

6x < 0

> x < 0 (concavidade voltada para baixo).

Consideremos a funçao y = sen x e analisemos a concavidade no intervalo tO, 2n], Temos: /'( * ) = cos x e f ”(x) = - sen x. í-s e n x < 0 <

> senx > 0 0 < ■■-■■ > senx < 0 <

> 0 < x < n >

tt <

x < 2 tt

Portanto no intervalo (0, n) a curva tem concavidade voltada para baixo e no intervalo (jr, 2ir) a curva tem concavidade voltada para cima.

Chama-se ponto de inflexão ao ponto onde a curva muda a sua concavidade de cima para baixo ou vice-versa (Fig. 4.20).

DERIVADAS

a)

b)

109

c)

Fig. 4.20. Nos tiês casos x0 é ponto de inflexão.

TEOREMA 1 Seja f ( x ) deiivável até 39 ordem em um intervalo I. Se f " ( x 0) = 0 e f " '(x o) ^ 0. então x a é abscissa de um ponto de inflexão. Observação: A condição necessária para x 0 ser abscissa de um ponto de inflexão do gráfico de f ( x ) é anular /"(*)• Porém nem todas as raízes de f" ( x ) = 0 são abscissas de pontos de inflexão. Quando f " ( x 0) = f " '( x 0) = 0, nada podemos concluir usando o que foi estudado até aqui. Exemplos: Ei

Consideremos a função f ( x ) = x 3 — 3 x 2 —9 x + 9. Temos: f '( x ) ~ 3 x 2 — — 6 x — 9, f" ( x ) = 6 x — 6 e f" '( x ) = 6 ^ 0 . A raiz de/''(* ) = 0 é 1 e como f " '( x ) = 6 V x temos que 1 é abscissa do ponto de inflexão no gráfico de f ( x ) . O ponto de inflexão é (1, —2).

E2

Consideremos a função f ( x ) = x - senx. Temos: f'(x ) = 1 —cos x ;f" (x ) = = senx; f"'{x) — cos ac. A raiz de f" (x ) = 0 é x = K it e = = cos Kn = ± 1 ^ 0. Logo jc = ATir são as abscissas dos pontos de inflexão os quais são da forma (Kit, Ku).

4.13.6 - ESQUEMA G ER A L DO ESTUDO DAS FUNÇÕES O estudo das funções resume-se em determinar: 1. O domínio da função. 2. Os pontos de descontinuidade. 3. Os intervalos em que a função cresce ou decresce. 4. Os pontos de máximo e mínimo (local e absoluto).

110

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

5. Os intervalos onde a curva tem concavidade voltada para cima ou para baixo e os pontos de inflexão. 6. Esboçar o gráfico de /( x ) . x3 x2 Exemplo: Estudemos a função / (x) = — — — — 2 x + 1. 1 D = R. 2 Não há pontos de descontinuidade. 3 f'( x ) = x 2 —x — 2. As raízes de /'( x ) = 0 são - 1 e 2. ;

-1 ~

f ( x ) é estritamente crescente para x < —1 v x > 2. f (x) é estritamente decrescente para —1 < x < 2. 4 f '(x) = x2 —x - 2 e f" ( x ) = 2 x — 1. f " ( — 1) = —3 < 0 /" (2 ) = 3 > 0

- - > (—1 é ponto de máximo local). > (2 é ponto de mínimo local).

Na curva os extremos são ( - 1,

e ^2,

f"(pc) = 2* - 1 i 2x - 1 > 0

=> x > y (concavidade voltada para cima).

2x - 1 < 0

=> x <

2x - 1 = 0

1 => x = —(abscissa do ponto de inflexão)

y

(concavidade voltada para baixo).

' i __L i2 ’

12

111

DERIVADAS

Esta função não possui nem máximo nem mínimo absoluto.

4.14 - PROBLEMAS RESOLVIDOS PRi Usando a definição de derivada determine f '( x ) onde /(* ) = 2 x2 - x . Resolução:

lim Ax-*o

[2(x + Ax)2 - (x + Ajc)] — (2 x 7 - x) Ax

.. (4 jc — l)A x + 2(A x)2 lim ---------------- t------------------Ax-*o

lim (4* - 1 + 2 Ax) = 4 x — 1 Ax-*0 PR2 Calcule a derivada da função f ( x ) = x 8 \ / x . Solução: Inicialmente, quando possível, devemos preparar a função dada para depois calcular a derivada, ou seja: -L

12

f ( x ) = x*x 2 = x 2 , assim:

v2 _ 1 PR 3 Calcule f \ x ) onde /( x ) = £n-—------. x + 5 Resolução: f( x ) = fin 4 — - = ín (x2 - 1) - 2n (x 2 + 5), x + 5 assim: 2x

2x

1 2 jc 12.x

x2 —1

x7+ 5

(x2 - l)0 e2 + 5)

PR4 Calcule ~ onde v = arc cotg ; + dx ' ° 1 —x

112

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1 X Resolução: Componentes: u = ----- - e arc cotg u. 1 -X dy dx

dy du du dx

1

(1 + x )2 (1

(1 - X ) - ( - ! ) ( ! + x ) _

u2 + 1

(1 - x f

+ 1 0 -x )2

(1 4- x)2 + (1 - x)2

- X ) 2

1 X2

PRS Calcule ^

+

1

onde y = sen3(4 x + 2)2.

Resolução: Componentes: f u = 4 x + 2

sen y = w y = w3 Logo

d z = dz dwd1 du=; 3wi c0s v 2 u 4 = dx

dw dv du dx = 3 • sen2(4 x + 2)2 • ccs(4x + 2)2 • 2 (4 x + 2) • 4 = = 2 4 (4 x + 2) sen2(4x + 2)2co s(4 x + 2)2

PR6 Sendo f ( x ) = £n —-----~ r calcule f'(x ). (x + 2) Resolução: f ( x ) = 8n(x - 2)4 - £n (x + 2)3 = 4 £n(x - 2) - 3 £n(x + 2) Logo: x + 14 /'( * ) =

x —1

dy

PR 7 Sendo y = £n sen --------- calcule x dx X

— 1

Resolução: Componentes------- = u, sen u = v, y = £n v. dy _ dy dv du _ í\_ (x - x + 1 (cos u) dx dv du dx V X2

DERIVADAS

X -

1

113

V (COIL z i ) . ( J 5) . . ± Colg£ z J

, sen--------

PR« Sendo y = \ í x 7——1- sen4x cossx calcule 4^-. 1+ x dx Resolução: Usando logaritmo temos: i n y = y Sn x + £n (1 —x) — £n (1 + x) + 4 £n senx + 5 £n cosx Como y é função de x temos: 1 dy _ 1 1 1 , . . - -f- = ------ -------- --- —— + 4 cotg x - 5 tg x y dx 3 x 1 —x l + x onde dy f 3j 1 x 4 5 \ ( 1 1 1 "7" = V x ;— sen*x cos5x - ------------------ -—:—- + dx \v 1+x / \3 x 1 —x 1 + x + 4 cotg x — 5 tg x _3_

PR» Sendoy = 2 x x 4 calcule-^-. Resolução: 3_ £n;y = £n 2 + x 4 £nx. Logo, I Ã - Í 1 + 3 g n * ____ , d y _ x í ( 1 , dx X + 4 — * VVI

3 £n x 4 V7

d'y dx PR10 Calcular - f - e — onde dx dy ‘y — ~x cos(xy) Resolução:

\dy _

a) — - - x sen (*>0 (x & + y j + cos (xy) => ^

= - x 2sen (xy) ^

- xy sen (xy) + cos (xy)

114

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

>

^

+ x 2sen (xy) ^ = cos (xy) — xy sen (xy) =-■■ >

" > 11 + x 2 sen (xy)] ^

= cos (xy) —x y sen ( x y ) ------ >

dy _ cos (xy) — x y sen (xy) dx 1 + x 2sen(xy) b) 1 = - x sen (xy) y 0 - + x + cos (xy) ~ dx => (xy sen (xy) - cos (xy)) — = - 1 - x 2 sen (xy) = dx dy

1 + x 2 sen (xy) cos (xy) - xy sen (xy)

dy PRii Calcular -f- onde dx 4at f2 + 2

4 at f2 + 2

Resolução: d y _ (r2 + 2)8 a f — 4af2( 2 1) _ 16ar dt (f2 + 2)2 (f2 + 2)2 dx _ (r2 4- 2 )4 a - 4 a f(2 f) _ 8a - 4af2 * (f2 + 2)2 (í2 + 2)2 Logo dy 16 af d y __ d t _ (t 4- 2)2 _ 16 at _ 4f dx dx 8a - 4af2 8a - 4 af2 2 - f2 dí ( /2 + 2)2 K d3y PRi2 Sendo y = ——, calcular — , . xn dx3 Resolução: d£ _ - K n xn~‘ _ - K /i dx *2" *"+‘

>

DERIVADAS

115

d2y _ K n{n + l ) x n _ K njji + 1) dx2 (xn+ l)2 x n+2 d 3y = - K n { n + l)(n + 2 )xn + l = -ATn(n + l)(n + 2) dx3 (xn+2)2 x n+3

PR13 Sendo x 2 4- 3 x y — 4 x + y 2 = 0 calcule

d2y

d x2'

Resolução: 2 x + 3 fx &

+ y^j - 4 + 2 y

dx

=

- - - - - > 2x + 3 x ^ + 3 j — 4 + 2 v ^ - = 0 -- > dx ' dx = >

(3 x + 2y) ^

= 4 - 3>- - 2 x = >

_____^ dy _ 4 - 3 y — 2 x > dx 3 x + 2y Logo,

dx2

(3 x + 2>02

#,

,(-5>-S)f ^ 5 , - 1 2

dx2

(3x + 2^)2

dy substituindo o valor de - f - encontrado vem: dx + 5^ -12

dy _ dx2

(3 jc + 2 > 0 2

cPy _ 30xy — 40x 4- lOx* + lOjy2 — 32 dx 2

... (3jf + 2y)3

PR i4 Achar a equaçffo da tangente e da normal no ponto M(a, b) à parábola y = K x2. Resolução:

116

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

logo: y - b = 2 a K (x - a) = >

2 a K x - y + (b - 2aJK) = 0

(eq. da tangente) o coeficiente angular da reta normal à parábola no ponto (a, b) vale 1

y — b = - 2^

(x - a)

> x + 2 aK y —(a + 2 abK) = 0

(eq. da normal)

PR1S Verifique o teorema do valor médio para /( * ) = 2 x 2 — l x + 12 em [1,6]. Verificação: /( * ) = 2 * 2 - l x + 12 no intervalo [1, 6] /'(* o) :> 4*o = 14 —-

■> x 0 = 3,5

Como 1 < 3,5 < 6 está verificado o teorema. PR16 Se /'(* ) > 0 em todos os pontos de (a, b), prove que f ( x ) é estritamente crescente. Prova: Sejam < x 2 pontos quaisquer de (a, b). Pelo teorema do valor médio, para Xi < jc0 <

Então f ( x 2) — f ( x i) > 0 — —> f ( x 2) > f ( x 0 ; logo f ( x ) é estri tamente decrescente. PR17 Calcular o valor dos limites usando a regra de L’Hospital.

a) l i m i ^ x-+o

x

sen 2 x ovv a .. wo a sec2x cos4 * — -— = lim ------7----- = 3x

■ — litn

*-►0

x-*o

6x

2 cos4 * cos 2* + 4 sen 2* cos3* sen * 6 cos8 *

1^ 3

DERIVADAS

117

b) lim x 3e ' 3x x —+°° lim x 3e~3x = lim x->~

= lim x^~ 3e

= lim x-+oo 3 e c) lim (l

= lim —

= = 0

-rT > finy = 2 x £n (^1 —

-M r

*)■

=> lim Enj» = lim

v

*

x —4 / = lim

2 jc = —8 lim

= -8

x —4

x

2x lim £n.y = —8

Mas , 4 \ 2* „ Hm ta y lim (1 — ) = lim e y = lim ex ~*°° = = lim e~ — e X-+o»

.

8 Um projétil é lançado (no vácuo) com uma velocidade inicial V0 sob um ângulo $ segundo a horizontal. Qual o valor do ângulo y para que o alcance da trajetória seja máximo. Resolução: Seja R o alcance da trajetória o qual é dado por R = ——

(g é a aceleração da gravidade)

Como R é função de y temos; dR 2 Vq = -------- COS 2 tf d cos 2 \p = 0 = = > 2 = —

cos 2^ = 0

Analisemos agora se d 'R

ir =>* = 4

= — é ponto de máximo

4F„’

____ _

_

4Ko2

d ip jji

g

sen

* 2

=

4

4 Kn

y = V 800 —x 2. Logo A = x V 800 —x 2

>

dx

= —

s /m Q -x 2

2 d /l„ - 2 x 2 +800 + \/8ÕÕ - x* - --=> * y/S0Q - x 2 ' Fazendo

= 0 temos os possíveis pontos de máximos locais ou seja:

119

DERIVADAS

—2 x 2 + 800 = 0 ------- > —2 x 2 + 800 = 0 \/8 Õ 0 — x —= >

2 x 2 = 800

x — 20

Analisemos se x = 20 é de fato máximo. ^

_ (^ õ õ 3 7 x - 4 , ) - ( - 2 x - + r n l j j g r ? )

d x2

800 - x 2

onde = -4 < 0 20

e portanto x = 20 é ponto de máximo para a função A . Se x = 20 = > y = V 800 —x 2 = 20, logo x = 20 cm e y - 20 cm. Quadrado cuja área vale 400 cm2. Entre os cilindros de revolução de volume constante, qual o de superfície total máxima ou mínima?

A função é a superfície total St = 2irxy + 2 roe2. E o vínculo é o volume (constante) V = rocV A função S t apresenta 2 variáveis. V EntSn Ha rnnttantp tiranmi y — , que substituído em St nOS dará: JTX S t = 2 wx • ——- + 2 nx2 JTX

S,

= 2 V x - 1+ 2 n x 2

Derivando: Sf = —2 Kx"2 + 4 jrx.

> St =

+ 2 wx2 x

120

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Igualando a zero =

-2 V => —^ + 4 i r x = 0

Resolvendo: —2 V 4- 4 iw 3 = 0;

2 JT

=> X ~

2n

Experimentemos este resultado na função derivada segunda: S " = 4 Vx3 + 4 ir ------- > S't' = — + 4 n „ „ .4 F S't'= Jr r + 4 n X

=> S',' = 8n + 4 ir > 0.

2ff A superfície total é mínima e seu valor é

^ 2 tt bJ

±_ ( 2 tt)2

Sf_ ,. = 2w

*min = 2 ^v2 i r V 2 + \v/ 2 7tK2 - =

> S »min , , = 3V v 2^ 2

PR21 Uma parede de 27 dm de altura está a 8 dm de uma casa. Ache o compri­ mento da escada mais curta que atinge a casa, se sua outra extremidade repousa sobre o solo exteriormente à parede em relação à casa.

triângulos DBF e ABC ■

í 8 4 -* r =o — = ------- •. Logo, y x 6

DERIVADAS

8+x

---------X

nu

„

2 =

(8 + x) V 2 7 2 + x 2 i

’

------------------

Derivando, vem:

X

di dx 272 4- x2 + (8 + x )x nA ^ T x 2

M dx

x - (8 + x) V 272 + x 2

x - (8 4- x) v /2 7 2 4 x 2

rfg _ (272 4- x 2 4- 8 x 4- x 2)x - (8 4- x )(2 7 2 4- x 2) dx

x 2 V 2 7 2 4-x 2

dfi _ 272x 4- 2 x 3 4- 8 x 2 - 8 • 272 - 8 x 2 - 272x - x 3 dx x 2 v / 27í 4-x 2 cffi _ x 3 - 8 • 272 dx x 2 V 272 4- x 2 Igualando a zero v 3 _ O . 972

, 7= = x V 27 4- x

0 = >

x 3 - 8 • 272 = 0 = >

Então, x = v /8 • 272 x = 2 • 32

- -> x = 18 dm

Substituindo em y = V 272 4- x 2, vem: y = \ / 2 7 2 4- 182 y = nAL053 = V 8 1 • 13 y = 9 V l3 Calculemos £ em £ = v •

K= 9 v 0 3 - ^ 9 • 26 • V T 3 18 £ = 13 \/T 3 dm

x 3 = 8 • 27

122

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PRm Uma janela normanda se compõe de um retângulo sobremontado por um semicírculo. Sendo dado o perímetro, pede-se a altura e a largura da janela, quando a quantidade de luz recebida é máxima. Façamos o perímetro dado igual a 2p = 2 x + 2 y + l f -

®

A função é a área da janela: S=

7TV2

+ 2 xy

Tiremos y de (T) 2 p — 2 x —nx _ 2p —x (2 + n) Substituamos em S : v.2

s - ' f +P S =—

2 p - x (2 +

i

jt)

+ 2 p • x — 2 x 5 - nx2

S = 2 p x — 2 x 2 — nx’ 2

Derivemos: dS _ „ . = 2 p — 4 x — TTX dx Igualemos a zero: 2 p — 4 * — irx = 0 2 p — x (4 + n) = 0

2P x —----— 4 + 7T O problema não admite mínimo, dispensemos a derivada 2?. Calculemos y:

y

=-

2P - m

(2 + 7f) ~> y

_ 8p + 2p?r - 4 p - 2 p >r 2(4 + jr)

DERIVADAS

123

4P

y = 2(4 + n)

4 + rr

Portanto

____ 2p 4 + ir A área é máxima quando o raio do semicírculo é igual à altura. 3 Uma caldeira cilíndrica tem uma capacidade de 1.000 dm3. 0 custo do material da parede lateral é de 200 cruzeiros o dm2 e das bases 300 cruzeiros o dm2. Calcule qual o raio para que a caldeira tenha custo mínimo.

f

y

L

A função é o custo e o vínculo é a capacidade constante 1.000 dm3. Vínculo: irx2y = 1.000 Função: Custo das bases + Custo lateral 2

B =

2

ttx2

= >

Cb =

2 ro c2

• 300

iSg = 2 n x y -------> Cg = 2irxy • 200 C = 600 ttjc2 + 400 nxy Tiremos o valor de y no vínculo: y = *

7TX

■C =-600inc2 fx* C = 600 mc2 +

400.000

n • dC = 11.200 onn i r x ----------— 400.000 Derivemos: — dx v

. Substituindo em C, vem:

1 24

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Igualando a zero:

L2o o „ - Í 22£oo = 0 x2

,

3

1.000

„

-------- — = 0

jw

3irx3 - 1.000 = 0

3 _ í.ooo 3n

m V

3 7T

10

* = 3 7 = dm

PRi4 Qual o número cujo excesso sobre seu quadrado é o maior possível? Sejam x o número e x 2 seu quadrado. O excesso é E = x - x 2. Derivemos:

Igualando a zero

> 1 — 2x = 0

1 * = 2 n numero 1 U e- —.

PR2S Qual o número que aumentado de seu inverso dá uma soma mínima? Sejam x e — o número e seu inverso. A soma S =x + x Derivando, vem: dS= dx

_J_ x2

Igualando a zero —

> l —L = x2

x2 - 1 = 0 x = ±1

q.

DERIVADAS

125

d 2S J_ A derivada 2? é — - = — Experimentando para dbr ~3 X 3 X= 1

* > 4 - l> 0 . dx2

portanto, mínimo. O número é 1. s Uma vaca está amarrada em uma corda perfeitamente inextensível em um grosso pilar de base quadrada por meio de uma argola. Se a vaca puxar a corda como indica a figura, qual será o ângulo formado pela corda com o pilar?

O comprimento da corda é a constante K, pois, a mesma é inextensível: K = 3a + 2 x + u e y = z 4- u ------> u = y - z Eliminemos ou: K = 3a + 2 x + y — z. y = K — 3a — 2 x + z Porém, z = x sen a. , Então, _>> = £ — 3a — 2 x + x s e n a Também tem osy = x cos a

=> x =

2 cos a

• Logo,

„ a a , a sen a y = K — 3 a ------------(-^-------cos a 2 cos a y = K — 3a — a s e c a + — tga Derivando da

= —a sec a tg a +-=■ sec2 a (só admite máximo)

126

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Igualando a zero: - a sec a tg a + y see a = 0 - tg a + —see a = 0 sec a = 2 tg a 1 _ „ sen a = 2 ------cos a cos a

, > 1 = 2 sen a

1 a = are sen — a = 30°

4.15 - PROBLEMAS PROPOSTOS Calcular a derivada das seguintes funções PPj

y = 5 x 3 - 2 x 2 + x —4 Resp.: y ' = 15x2 —4 x + 1

PP2 y = 4 x 8 - 7 x 3 - 4 x + 8 Resp.: y ' = 3 2 x 7 — 21 x 2 — 4 PP3 y = x 4 - 4 - - + J?esp.: >>' = 4 x 3 +

PP4 y =

*4 a + b

Resp.: y ' =

pp5

2

x

H—~ x

2x m + n 4x3 a + b 3^

6x2 m + n - 3^ = V x

üesp..

=

2

3

5 V *3

4 \/^ ?

3x l f x 2

1 —> sen a = — 2

DERIVADAS _2_

_1_

PP6 y = 3 x 3 - 4 x 4 - 2 _ 2 ______ l _

Resp.: y ' = ir _

PP7 y =

4

2x 3x2 4x4 - - - — +■

PP8 >- = (1 - 2 x )(2 x - 4) Kesp.: y = —8x + 10 PP, y = (3 x 2 - 5 )(2 x 3 - 4x) Resp.: y ' = 3 0x4 - 6 6x2 + 20 PP10 y = (4 x 2 + 2x - 3 )(5x2 — 8x + 4) Resp.: y ' = 80x3 — 6 6x2 — 30x + 32 nn PPU y = -

x + 2 2x - 4

Resp.: y =

■x2 - 4 x (x2 - 2x - 4)2

PPu /(O = (2 í - 4)(3 í2 - 2) Resp.: f '( t ) = 1 8 í 2 - 2 4 í - 4 PP ia / «

= r"1- 2^ - 4 + t)

Resp.: f \ t ) = (2 m - 6 )f2m' 7 + (m PPi4 y = 3 senx + 4 cosx Resp.: y = 3 cosx - 4 senx

128

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PPi6

y

= x 3V * 3

Resp.: y' = ~ x 2 ^ PP 17 y = COtgX - tg *

Resp.: y ' = — sen2 2 x

PP is

y

=

sen x + cos x sen x — cos x

Resp.: y ' = —

PPi»

2 1 — sen 2 x

y = x tg x Resp.: y ' = — ~ cos

+ tg jc X

PP20 y — x arc tg x Resp.: y ' — —------ 4- arc tg x x2 + 1 6

PPji y = arc sen x + arc cos x Resp.: y ' = 0

PP22 y = x 2 arc cotg x Resp.: y = 2 x arc cotg x — ■

PPj3 y = (1 — x 2) are cos x Resp.: y =

x2 - 1 r - _ 2 x arc cos x V 1 —x

PP24 y = x 4 £n x Resp.: y ' = x 3(l + 4 £n x) PP2i y = (2x - 4)ex Resp.: y ' = ex ( 2 x - 2)

DERIVADAS

129

2x*

PPjí y = —

e*

n , 2 x 3(4 - x) Resp.: y = ----- --------- e PPj7 / ( 0 = e* sen f /?esp.: /'( /) = ef(sen t + cos f) £n x D i 1 —£nx2 Resp.: y = -------------

PP29 y = ex cos x +

£n jc

Resp.: y ' = ex ( cos* — sen* —

1 - giu r1 jc(£nx) 2

Derive as seguintes funções compostas PP30 y = (1 + 3 * + 4jc2) 3 R e s p .:y '= 3(1 + 3 x + 4 x 2)2(3 + S x) PPji y = ( x 2 + l ) 5 Resp.: y ' = 10x(x2 + l) 4 PP32 y = 4 e 2x Resp.: y ' = 8e2x PP33 y = sen 2 x + tg 4 x Resp.: y = 2 cos 2 * + 4 sec2 4 * ppM y = esx-kn (x2- 2) Resp.: y = esx

2x x2 - 2

+ £n(x2 - 2)5

PP3s y = cos e*x Resp.: y ' = - 4 e * x sen e4x

L

130

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

p P 36 y = l / 2 x 2 - S x

pp37 /( * ) = sen2(4 x 2 - 5) Resp.: f '( x ) = 8x sen (8.x2 — 10) PP38 /( s ) = sen2s - cos2s Resp.: f \ s ) = 2 sen 2 s P P 39 / ( * ) =

1/tg 4 6 x

Resp.: /'(x ) = 8 see2 6 x \ / t g 6 x pp4o /( * ) = sen2 4 x see 6 x 3 Resp.: f'( x ) = 2sec 6 x 3(9 x 2sen2 4 x tg 6 x 3 + 2 sen 8 x )

PP42 y = ^ /x2 + X + I

PP44

(2 x 2 + 3 x - 4)(x + 4) P P 45

y=

COS (lo g x )

Resp.: y ' = —

sen (log x) x 8n 10

DERIVADAS

pp46 y = sen (cos x) Resp.: y ' = —sen x cos (cos x) __ V x 2 + 1 —x PP47 ^ = fin . 2 Vx + 1+ x

2

Resp.: y = —

V x2 + 1 PP48 j, = e * » « .Resp.: y ' = 2> cos 2x PP49 y = 8*2- 3* /?esp..' >•' = y ( 2 x - 3) £n 8 1 - ex PPso y = tg — ^ 1 + e* „ , Kesp.: y =

-2 e * (1 + exy

\ ( \ - e3 cos 1 1 + e'

PP51 y = (arc cos x )2 Resp.: y ' =

—2 are cos x v^T T ?

pp» / = sen ( 4 x 3 — 2x + 4) + sec 3 x Resp.: y ' = 2 (6 x 2 — 1) cos ( 4 x 3 — 2x + 4) + 3 tg 3x sec 3x PP53 y = arctg ex*+1 2x e*2 +l

ResP-' y = 7“ —^27“ 1+ e

PP54 y = x sen2x 3 Resp.: y = 3 x 3 sen 2x3 + sen2x 3 PPss y = (arcsenV x)2 Resp.: y

, _ are sen \ f x V x - x2

131

13 2

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

y

PP56

sen3*

=

Resp.: y ' =■ V tg23 x sec 3 jc PPj7 y = sen2[Cn(4x - 1)] .4 s e n jín ( 4 ^ - _ l^ ! 4x - 1 PP58 y = í n V x 2 - 2x + 1 Resp.: y =

2 3( x - 1)

PP59 y = finsec4(6 x — l )2 Resp.: y - 4 8 (6 * - 1) tg (6 jc - l )2

D 1 Resp.: y -

sec2x 1 - tg2x

PPíi y — ex i n senx Resp.: y ' = e*(cotgx + Snsenx) PP62 y = x m esenx Resp.: y 1 = y [

f m + x cosx

Achar a derivada ■— das funções implícitas y seguintes: PP68 x A - 2 y + 5 = 0 R e s p , ^ = 2 X* PPM x 2 + 2 x y - y 2 = 0 ReSp .: & . = y ± 2 L dx y - x __

4 '

2x — y - ~xTy

DERIVADAS

133

dy 3y dy 2 - y4 R esp.:-y- - — -------- *—z--------- ° u ~r~ — ----- ;--------2----dx 4 y 3(x 4- y ) 2 + 3 x dx 4 x y i + 5/ + i PP71 ey 4- ex - x y = 2 „

dy

y - ex

PP72 J + sen (xy) = 1 dy _ _ y [y2 cos (xy) + 1] eSP” dx x [yi cos _ j] PP73 x 3 + y 3 - 4> = x e x satisfaz a equação diferencial 1 d 3y 2 dx3

l dy _ fX 2 dx

PP lI3 Mostre que afunçao

= e* cosx satisfaz a equação diferencial

dd2y 2y dy x —- —- f- + y = - e sen x d x2 dx

Calcule

d2y

das funções seguintes, representadas na forma implícita por:

13 8

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PPll4 > 2 + 2x - 4 = 0 c 1 Resp.:-± =- —

cbr

y3

PPm x2 + y 2 = 4 d2}> 4 R e s p .: - f- = - — dxí yJ PPno*3 + 5xy - 2 x - 4> = 0 ^ p„ . j V = 2 ( 1 2 x + 2 5 y - 1 0 ) dx2 ( 5 x - 4)2 PP117X = WX + 6

dx2

4,y3

P P i is ^ = X +

P dx2

(1 - e-v)3

db : Calcule -j- j das funções seguintes, representados na forma implícita por: dy PP„, 2x2 — 4 y — 6 = 0 „ d2x 1 Resp.: — = - — djy* xs PP120 x — }» = £nx Resp.:

d2x d y2

PPiit x 1 + /

-x (x - l ) 3

= a2

d2x

R esp.:— .= dy2 PPiíj 1» x■3 + 4 = 8^ O 16 Resp.: — = - — avL xA PP123 xy - y = x

DERIVADAS

139

Escreva a equação da tangente e da normal às curvas seguintes nos pontos pedidos: PP124J' = \ f x no ponto cuja abscissa vale x = 4. Resp.: x — 4 y + 4 = 0 e 4 x + y — 18 = 0 PPi2s y = 3 x 2 — 4 x + 3 no ponto (1, 2). Resp.: y — 2 x = 0 e x + 2 y — 5 = 0

/?esp.: 2 x + j ' + y = 0

e x — 2 ^ —■^■=0

PP 127y = í n x no ponto de intersecção com o eixo x. Resp.: x —y — 1 = 0

e x + y —1=0

if PP128 x = t cos t, y = t sen t para / = —.

(n — 4 )x — Or + 4~)y + ff \p 2 = 0 PP1Mx 2 + 2 y — y 2 = l no ponto (2, 3). Resp.: x — y + 1 = 0 e x + . y — 5 = 0 PPI30 2 xy — x 3 + y — 5 no ponto (1, 2). Resp.: x + 3 y — 7 = 0

e 3 x —y — 1 = 0

PP131x 6 — y 4 + 2 x 2y = 2 no ponto (1, 1). Resp.: 5 x — y — 4 = 0

e x + 5y —6 = 0

Aplicações Físicas PP132 Um corpo se desloca sobre um plano inclinado através da equação s = = 5 12 —2 1 (s em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo após 2 segundos da partida. Resp.: v = 18 m/seg e a = 10 m/seg2

140

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PP133 llm corpo é abandonado do alto de uma torre de 40 m de altura através da equação y = 6 f2 — 2. Achar sua velocidade quando se encontra a 18 m do solo onde y é medido em metros e t em segundos. Resp.: V = 24 m/seg PP134 Uma partícula se move segundo a equação s = t3 — 2 t2 + 5 1 — 1 (s em m e (em seg.). Em que instante a sua velocidade vale 9 m/seg.? Resp.: t = 2 seg PP ]35 Dois corpos tem movimento em uma mesma reta segundo as equaçSes Si = f3 + 4 t2 + t — 1 e s2 = 2 t3 — 5 12 + t + 2. Determine as velocidades e posições desses corpos quando as suas acelerações são iguais considerando s em metros e t em segundos. Resp.: Vi = 52 m/seg, st = 65 m, V2 = 25 m/seg e s2 = 14 m PP 136 Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação d = = 2 tA — 3 12 — 4 (6 em rádianos). Determine a velocidade e a aceleração angulares após 4 segundos. Resp.: w = 488 rd/seg e a = 378 rd/seg2 31 —7 PP137 Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação s = ■ ^ (s em cm e t em seg.). Qual é a sua velocidade e aceleração após deslocar 2 cm? Resp.: y = Y2

a = ~ ^ 9 cm',se81

Calcular 0 valor dos limites seguintes usando a regra de LHospital. x3 - 2 x2 + 1 PP ias lim x_tl 2 x — 3 x + 1 Resp.: —y

Ppi39 lim

X-+00

4x2 + 2x + 3 2x 4- 3 x

Resp.: 2 senx PP i4o lim jj.,0 1 - cos* Resp.: «o

DERIVADAS

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

DERIVADAS

143

PPi" JS ( í l ; - r = - í ) Resp.: °° PP 160 lim (cossec x — cotgjc) x-*o

Resp.: 0 PP16i lim x x x-*o

Resp.: 1 x —

PP 162 Prove que a) lim (1 + sen x ) x = e e b) lim ( 1 H------] X-I-O \sen x

PPi63 lim ( 4 Resp.: 1

„„ i ~‘+ iV pp'“ í ” l 2 í n ; Resp.: e~2 PP 165 lim Resp.: e~l

PP 166 lim x 1 * Resp.: e~

jc->i

z 2

Resp.: — n PP 168 lim are sen x cotg x x-*o Resp.: 1

h x -> 0 \

x 1

= e.

(

A

144

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PP169 lim v / x 2 *-►«> Resp.: 1 3 2

PP170 lim (cos 2 x )x x->o Resp.: e~b PP171 lim x cotgx x->o Resp.: 1 Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescentes ou decrescentes. PP172 y = x 2 — 2 x — 3 Resp.: x > 1 crescente e x < 1 decrescente PPi73y = - x 2 - x + 12

Resp.: x < — y crescente e x > —y decrescente PP 174y = (* - 4)2

i?esp.: x > 4 crescente e x < 4 decrescente PP i7s y = (* + 2)3

.Resp.: sempre crescente

Resp.: x < 4 crescente e x > 4 decrescente PPiti y = x £nx Resp.: 0 < x < e~* decrescente e x > e~l crescente PP178 y = 3 e* 2- s* +6 Resp.: x > y crescente e x < -j decrescente PP179 y = 2x — senx Aesp.; sempre crescente

DERIVADAS

145

PPi8oy = * 3 - 9 x 2 + 15x - 5 Resp.: x < 1

V x > 5 crescente e

1 < x < 5 decrescente

PP,81y = 2 x 3 - 15x2 + 24x + 4 Resp.: x < 1 v x > 4 crescente e 1 < x < 4 decrescente

Resp.: —1 < x < 2 crescente e x < —1

Calcule os extremos locais das funções: PPisa-H = x 3 - 6 x J + 9x + 4 í máximo (1, 8)

Resp.: <

mínimo (3, 4)

PP 184y = 2 x 3 + 18x2 + 48x + 5 f máximo: (—2, —35)

Resp.: <

mínimo: ( —4, —27)

PPiss-V — ~ * 3 + 6 x 2 - 12x + 4

Resp.: não tem extremos PP186y = 2 x 2 - 4 x - 4

Resp.: mínimo: (1, —6) PP 187y = —5 x 5 + 10x - 5

Resp.: máximo ( 1 , 0) PP 188y = X5 - J X3 + 20x - 4

Resp. :

PP 189y = - x 4 + 2 x J

J (1, 1) e ( —1, 1) máximo Resp.: < [(0, 0) mínimo

v x > 2 decrescente

146

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

mínimo

PP191J' = * + —

Resp.: <

Determinar os pontos de inflexão das curvas dadas por: P P m / t o = x* - S x 3 4- 18jc2 4- 16jc — 5 Resp.: (1, 22) e (3, 70) PP194/ W = x 3 — 6 x 2 + 2 x Resp.: (2, —12) PP195/ W = * 3 - 3 x J - 9 x 4- 9 Resp.: (1, —2) P P i í í / t o = e~*2

PP,97/ W = ( ^ + 1)3

Resp.: ( —1,0) PPi9s / W = senx R esp.:(K n, 0), K = 0, 1 , 2 , . . .

PP.99/ ( * ) =

DERIVADAS

147

P P 2 0 0 /M = K - \/ x - m

Resp.: (m, K) PP201 / (•*) — y/~x+ ~ 2

Resp.: ( —2, 0) Determinar os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo. PP202 y ^ x 1

í x < 0 voltada para baixo Resp. : < I x > 0 voltada para cima PP203 y = 5 + JC2 Resp.: V x a concavidade é sempre voltada para cima PP204y = —4 x 2 - 3jc + 4 Resp.: V x a concavidade é sempre voltada para baixo PP2o s/(x ) = x 4 — 8jc3 + 18x2 + I6 x — 5 Resp.: s

1 < x < 3 concavidade para baixo x < 1 v x > 3 concavidade para cima

PP206 /*00 = * 3 - 6 x 2 + 2 x

PP207 f ( x ) = x e *

PP208/ W = (.x - K )3 + 2b, K > 0 í x > K concavidade para cima Resp.: \ / x + Ax = \ f x H----- j^ = A x 3-V *2 3^ ?

(1)

4. Adaptição ao exercício: x + Ax = 26,008 x =27 — : _ _ q 992

(o valor mais próximo de x + Ax tg(x + Ax) = tg x + sec2 x Ax

4. Adaptação ao exercício: x + Ax = 46° x= 45° =^=>

Ax =

I o = - ^ — = 0 ,0 1 7 180°

Substituindo em (1): tg46° = tg 45° + (sec245°) • 0,017 tg 46° = 1 + 2 - 0,017 tg 46° s 1,034 Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 dm, cujo raio interno mede 5 dm e o externo 5,25 dm:

154

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Solução: 0 volume procurado é a dife­ rença entre o volume do cilindro de raio 5,25 dm, (x + Ax), e o volume do cilindro de raio 5 dm, x , portanto, V = f ( x + Ax) —/( x ) a dy V = dy, mas y = irx2h volume do cilindro, logo V = 2-nxh • Ax = >

E4

V s * 2 ir • 5 • 10 -(5,25 - 5) = 25 7rdm3

Prove que V T + ã = 1 + — para a bem pequeno. Solução: Vimos que f ( x + Ax) = / ( x ) + dy. Adaptando a fórmula ao exercício, vem: 1 2 sf7 Mas,

x + Ax = 1 + à x

Ax

(D

e, por ser a bem pequeno,

= 1

= > Ax = a Substituindo em (1), vem:

xATT7s VT+ —1

2^1

v T + ã as 1 + -

5.2.4 - DIFEREN CIAIS DE ORDEM SUPERIOR Dada a função y = /( x ) contínua e derivável no intervalo [a, b ] sua diferencia é: dy = f i x ) dx

DIFERENCIAL

155

Chamamos diferencial de segunda ordem duma função à diferencial da diferencial desta função: d(dy) =

u = 1

=> v = —sen x

Então, y = cos jc —x sen x Da mesma forma, tiramos

> y = u v + v'u.

com

156

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

y

= —sen x — sen x —* cos x

y " = —2 sen* —x cos*

ou

e

y " - —2 cos* — cos* + * s e n * ------> y " = * sen * — 3 cos* Logo, d 3y = (* sen* — 3 cos*) • d*3

5.2.5 — D IFEREN CIAL DE ARCO

Fig. 5.2.

Seja £ = ÃP, segmento da curva C, imagem da função y = /(* ), contínua e derivável no intervalo [a, 6], Figura 2; com A [a, /(a )] e P{x, y). Atribuindo a * o acréscimo A x , y sofrerá o acréscimo A y e £ o acréscimo A£. A£ A razão de variação média de A£ em relação a A * será D , A£ A£ Ac Podemos escrever -r— = - — • —— A* A * Ac Do triângulo PMQ Substituindo na (1)

A£ = A£ _ Ac A* Ac A*

(D

> Ac = \/ (A * )2 + (A y )2 _A£ _ A£ f \/(A * )2 + (A y) A* Ac A*

A £ _ A £ _ / (A * )2 + (A y ) 2 A * Ac V (A * )2

ou

\A x j

DIFERENCIAL

157

Ac - 0 A£ -+ 0, teremos: I A.y->-0

Tomando limite, quando A x -*■ 0 ------->

..

Aí Ax

lim -r— = á x -* 0

..

lim

A«

- 7— •

_lim ..

AJC -* o A c

A

J à .l ) 1 \^x /

Aplicando a definição de derivada e as propriedades dos limites, resultará em:

^ = 1 dx

• / l + ( V

II» Ax -»■ 0

f-Z T T W

d í = V 1 + O')2 dx

5.2.6 - CURVATURA 5.2.6.1 — Curvatura de uma circunferência

Seja a circunferência de centro C e raio R . Seu comprimento é 2 n R e o arco correspondente ao ângulo cêntrico Aa terá o comprimento R • Aa. A partir do ponto P, dando ao arco um acréscimo A í, a inclinação a da tangente à circunferência no ponto P sofre o acréscimo Aa.

158

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

A vanação

Aa

neste caso, constante, denomina-se curvatura da circun-

Aa ferência e é indicada por K = -tttAí Como A£ = R Aa

=> —— = R Aa

> K = — , que é constante. K

5.2.6.2 — Curvatura de uma curva qualquer

Por definição, a curvatura média é Km =

Att

A curvatura num ponto qualquer é dada por K=

Um Km = lim Ax -*•

Ax -*-0

do. Logo, a curvatura num ponto é K = — que podemos escrever:

0)

Como / = tg a -------> a = arctg ( / ) = -

>

159

DIFERENCIAL

£ =/T T W

(3)

Substituindo (2) e (3) na (1), obteremos: y

n K = [1 + O')2!3

y/ 1 + O ')2

(4)

0 raio de curvatura, sendo o inverso da curvatura, tem por expressão *

=

l ! ±

^

, com y ' * o .

y

Nota: Nas estruturas, em geral, a deformação é pequena, o que leva a a ser pequeno e, conseqüentemente, y ' muito pequeno. viga

viga deformada

Nestas condições a curvatura (com aproximação suficiente) é dada por rs lt K =y . Exemplo: Determine a curvatura da curva y = x 2 no ponto (0,0). Solução: De y = x2

> y' = 2x

Substituindo na fórmula (4)

e

y" = 2

-—> K =

;. No ponto (0,0 [1 + 4 x 2]3/2

1 => K = 2 e R = y .

5.3 - PROBLEMAS RESOLVIDOS PR! O raio de um círculo mediu 40 cm com um erro máximo de 0,05 cm. Dê os erros absoluto e percentual cometidos na área calculada pela fórmula A = irR2. Solução: Vimos que o erro absoluto é, na prática, a diferencial. Então: dA = 2jt R d R dA = 2 rr • 40 • 0,05 dA = 4 7Tcm2

160

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

O erro relativo

100

A

dA

e o percentual:

= 100 - ~ ; d R = nR1

100 • 2 •

R

100 ” T = 200' ^4< r= 0,25% PRj Determine o erro absoluto cometido no cálculo do volume de uma esfera, V = y-7ri?3, cujo raio mediu 10 dm, com erro de 0,02. Solução: O erro procurado é: d V = 4 irR * d R

(1)

Sendo R = 10 dm e = 0,02 > dR = 0,02 • R = 0,2 dm, substii R tuindo em (1) — — > d V = 4 jt • 100 • 0,2 = 80ff dm3.

PR3 Prove que o erro relativo da raiz cúbica de um número é 1/3 do erro relativo deste número. Solução: Seja o número x. O erro relativo nele cometido é — e o erro relativo cometido na sua raiz cúbica é 1 d ^ [ Ã = l l [ I . d x ____ 1 V? ^

d (\/x )

rf*.

3v ? 1

dx

PR4 Determine a diferencial da função .y = eKn(sen34*) Solução: Preparemos a função. Aplicando a definição de logaritmo, vem: £n.y = 2n(sen34 x ) ------ > y = sen34 x Como dy = y dx, determinemos y . y — 3 sen24 x • cos 4 x • 4

ou

y = 12 sen24 x • cos 4 x que nos dá dy = 12 sen24 x • cos 4 x dx

DIFERENCIAL

161

PR s Determine a diferencial de 2? ordem da função y = c h x + shx. Solução: Preparando a função dada

—>

ex 4- e~x . ex - e~x + ----- j -----= > , = ----- — x

y= e

— —> y > = xe

—

ou

> y a = e X.

Então d 2y = ex • dx2.

PR6 Determine a diferencial da função /( x ) = £n (£nx). Solução: Calculemos f' ( x ) . Se f{ x ) = £n(£nx) = >

f ’(x) = ^

^ g°>

PR 7 Determine a diferencial do arco da curva >> = \ f x * . Solução: Sendo d í = V 1 4- (_y')2 cfcc, determinemos y . Como y = x 3/2

-> /

= - j x 1/2.

Então, d í = ^ / l + - j x dx.

d£ = y V 4 + 9 x dx.

PR8 Calcule o valor aproximado de cos 60° 30'. Solução: f ( x + A x ) = f ( x ) + dy 4. \ => cos(x + Ax) s c o s x - senx • Ax Sendo x — = >

= 60° ■> u\J 1 ,o 1 3T A x -= 3 0 ~ ~ 2 " = T ' T8Õ A x = - j ' 0,0174 = 0,0087.

Substituindo em (1), vem: cos 60° 30' = cos 60° - sen 60° • 0,0087

(1)

162

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

cos 60° 30'

0,0087

cos 60° 30' “ 0,5 - 0,0075 = 0,4925. PR, Mostre que, para h bem pequeno, cos (x + h) = cos x — h • senx. Solução: De f ( x + Ax) s f ( x ) + dy, tiramos cos(x + Ax) = cosx — senx • Ax.

(1)

Então, x + Ax = x + h > Ax = h. Substituindo em (1), resulta em cos (x + h) = cos x - h senx. PRio Calcule o valor aproximado de (4,998)2. Solução: De f ( x + Ax) = /( x ) + dy, tiramos (x + Ax)2 —x 2 + 2 x * Ax Logo,

(1)

x + Ax = 4,998 x =5 ~

>

Ax = —0,002.

Substituindo em (1)

>

= >

(4,998)2 s 52 + 2 • 5 • (-0 ,0 0 2 )

= >

(4,998)2 s 25 - 0,02 = i > (4,998)2 a 24,98.

PRn Calcule a diferencial do arco da curva y = are sen yfx. Solução: Sendo d 9. = \J 1 + (y')1 dx, achemos y . Como /— i y = arc sen V x ------- > y =

y

1 y/ 1 - X

=-

1 2 y/x

1 1 , —— ------ ou V 1 - (V * )2 2 sT*

1 2 y / X - X2

Substituindo na fórmula de d í , resulta em dl =

J

1+ . . ‘

— dx

4 (x - x 2)

DIFERENCIAL

,,-L

/ U

163

r i l - y *

PRn Determine a curvatura, no ponto (0,0), da curva y = 2 y/~x. Sabemos que a curvatura K = ^ + (y')7 ]3/2' Determinemos as funções derivadas 1? e 2?. 1

y' = 2 1 v " = -----x y 2

y' = x - 'n

- 3 /2

1 — _________

Substituindo em K

2x \fx

K =-

2x \fx

1+

1 +-

K =

2x \fx (x + 1)3/2

K = -

1 2(x + 1)3/2

Para x = 0

2-x-^fx(x + 1)3/2

> K = — 2 • l3 _1_ 2 '

5.4 - PROBLEMAS PROPOSTOS PPi

Determine as diferenciais das funções: a) y = sen2* Resp.: dy = sen 2 x • dx .. /I + x b )- > ' " V T - í

164

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Resp.: dy = -------- , (1 - X ) y / l - X 2 c) y = Cnx* Resp.: dy = £n ex • dx d) y = esenx Resp.: dy = escnx • cosx • dx e) y = a ^ m x

Resp.: dy = m a secmx • see m x • tg m x • £na • dx

Resp.: dy = (sen x + cos x) dx ) V *

en

n + ««>■£ V I - senx

Resp.: dy = - dx— = see x dx cos x PP2

Determina as diferenciais de 2? ordem das funções: a) y = Sntgjc Resp.: d 2y = —4 cosec 2 x • cotg 2 x • dx2 n / l + sen x b)j' = Cn / - -----------V 1 — sen; sen x Resp.: d 2,. y -= see xv .• tg x d x * •x + m c)\ y = arctg 1 ,2 Resp.: d 2y =

- mx 2x d x 2

(1 + X2)2

PP3 Calcule o erro percentual cometido no volume de um cubo cuja aresta foi medida com erro de 0,01. Resp.: 3% PP4 Calcule, usando diferencial, o volume da coroa esférica de raio exterior 2,5 cm e espessura 0,5 cm. Resp.: 8 w cm3

DIFERENCIAL

165

PP5 Ache o erro percentual cometido no diâmetro de uma esfera para que o erro do volume seja da ordem de 3%. Resp.: 1%. PP6 Determine a capacidade aproximada de um cilindro de raio R, altura h e cuja parede tem espessura dR. Resp.: 2 v R • dR PP7 Calcule o valor aproximado de sen 59°. Resp.: 0,8583 PP8 Calcule o valor aproximado de tg 45° 4' 30". Resp.: 1,0026 PP9 Calcule o valor aproximado de \[99. Resp.: 9,95

PPio Prove que para h bem pequeno

^ = 1 — h.

PPii Calcule o valor aproximado de V 1,002. Resp.: 1,001 PPu Determine a diferencial do arco da curva y = \ f x .

ex + e~x PPi3 Determine a diferencial do arco da curva / = -----------e* + é~x „ Resp.: d i - -------— - dx

PPi4 Determine a diferencial do arco da curva y = x (finx — 1). Resp.: d i = \ J 1 + (Snx ) 1 dx

PP15 Determine a diferencial do arco da curva / = — 8n Resp.: d S. = \J 1 + cosec2x dx

1 — cos x 1 + co sx

166

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PP16 Determine a curvatura da curva y = x 2 - 5 j c + 4 n o ponto x = y . Resp.: K = 2 PP17 Determine a curvatura da curva y = 2n / j + sen:t no ponto x =-7-. V 1 - senx r 4 Resp.: K PPis Determine o raio de curvatura da curva y = 8n x no ponto x = V"8. Resp.:R

\fl.

PP19 Determine o raio de curvatura da curva x i n + y ' n = aí n no ponto (a, 0). Resp.: R = 2 a

PARTE II

6 INTEGRAIS IMEDIATAS

Aprendamos a trabalhar e a servir. Servir é fazer luz.

6.1 - CONCEITO DE INTEGRAÇÃO Antidiferencial ou Integral: Sejam as funções: a) y = x 2 + 1 b ) y = x 2 - 10 c) y = x 2 + C Suas diferenciais são: a) dy = 2 x d x b) dy = 2 xd x c) dy = 2xd x Notamos que as funções dadas diferem apenas no termo constante e têm a mesma diferencial. Dada, portanto, a diferencial dy = 2x d x podemos encontrar as infinitas funções que a produziram, através da relação inversa. Assim, dizemos que a integral indefinida de dy = 2x d x é y = x 2 + C e representaremos por y =

\ l x d x — x 2 + C.

A integração é a operação que nos dá a função quando conhecemos sua diferencial. Se chamarmos de d a relação que leva a função à sua derivada e de d-1 a relação inversa de d, então d '1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.

170

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Assim, Figura 1:

A: todas as funções têm derivada contínua em [a, b\ B: função contínua em [a, b ] Fig. 6.1.

O problema direto do cálculo consiste em determinar a direção quando se dá a curva (função). curva: y = F(x) O direção.

=> direção: a = tg a =

problema inverso já consiste na determinação da curva quando se tem a

direção: a

, dy -> curva: de a = —f dx

-> dy = adx

=> y = J adx = F (x) + C

6.2 - INTEGRAL INDEFINIDA Então, f f (x) dx = F (jc) + C é chamada integral indefinida, pois a constante C, constante de integração, pode assumir infinitos valores. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial. F (x) + C é a solução geral F (x) + 10 é uma solução particular e C = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial. Na integral indefinida jf(x)

dy

= 2x

e dy = I x d x .

Integrando: | dy =

| 2x d x y = x2 + C

Para C = - 4 Para C =

0

Para C =

2

> y = x2 — 4 -> y = x 2 = > y == x 2 + 2

Representemos graficamente estas funções, Figura 2.

A constante C de integração é F (0), isto é, a altura onde a curva intercepta o eixo dos y. No problema anterior, determine a curva da família que passa pelo ponto (1, 3). A equação da família ê y = x 2 + C. Da condição fixada =----- > y = 3 e x = 1, então:

172

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

3 = 1 + C ----= > C = 2, portanto a curva é a parábola / = x 2 + 2.

6.3 - PROPRIEDADES Pi

Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal de integral. Assim: fa • f(x) u = — sen x

Logo,

ftg x d x =

J

—sen jc í senx dx = — f-— dx = —£ncosx + C

J COSJC

J

X

nCOS ns y

I tg x dx = —£n cos x + C

Nota:

:io)

ftg (x) d(x) = —£n cos x + C

ou ftg x d x = —i

n

+ C = —(£n 1 —£n secx) + C

ftg (x) d(x) = £n secx + C

11

Seja a integral

fc o tg xd x

f cotg (x) d (x) =

f

dx = £n sen x + C

(10)

182

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

fco tg xdx = insen x + C 12

A integral Então:

(11)

/sec2 (x) d(x) é imediata, pois, sec2 x é a derivada de tgjc.

fsec2x d x = t g x + C (sec2 x d x = tg jc + C 13

(12)

A integral J cosec2 @ d(x) também é imediata, pois, cosec2 x é a derivada da função —cotg x. f cosec2 x dx = - cotg x 4- C

(13)

Exemplos: Ei

Integre / =

ftg2x d x

Sabemos que

1 + tg2 x = sec2 x

Substituindo,

I = f (sec2 x - 1)dx, aplicando (2)

/ =

f sec2x d x -

:> tg x = sec2 x - 1

fd x

I= tg x -x + C E2

Integre

f e tl}X • sec2 x d x

Confrontando a integral proposta com as integrais imediatas já estudadas, vamos concluir que se pudermos escrevê-la sob a forma f e tgx d (tgx), teremos a integral imediata (7). sec2 xdx

J e tgx • sec2 x d x = f e t s x ’ d ( t g x ) = e t g x + c 14

Vimos que a derivada da função sec x é sec x • tgjc, então: Jsec @ tg @ d(x) = secx + C / s e c * tgjccfoc = secx + C

(14)

INTEGRAIS IMEDIATAS

15

183

Da mesma forma: f cosec @ cotg (x) d(x) = —cosec jc + C f cosec x cotg x dx

cosec x + C

(15)

Exemplos: Ej

Integre

fsecxdx

Esta integral não é imediata, pois não se enquadra nem na (12) f sec2 xdx e nem na (14) f s e c x t g x d x . Vamos solucioná-la fazendo-a recair na (5) / U < ^X- = £n u + C. ■' u Assim: r , r secx(secx + tgoc) , fsecxdx = / (xK c x + tg x ] > dx

' \ s r , r sec x + secx • tgx , /sec x d x = / --------------—------— dx ■’ ■ sec jc + tg x

f s e c x d x = fin (sec x + tg x) + C Ej

Integre

f cosec x d x cosec x d x =

,

r cosec x (cosec x + cotg jc) , / ---------- ------- :----------- dx cosec x + cotg x

, cosec x d x =

r cosec x + cosec x • cotg x , / ------------------ ;------------- s— dx cosec x + cotg jc

f cosec x d x = — Sn (cosec jc + cotg jc) + C

16

Seja a função Diferenciando:

x y = arcsen— + C, com a > x. dy = — ■

• — dx *

ou

184

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

dy =•

— dx = —;

-

V a2 - x 2

a

— dx -*■

dx

dy =

y /ã ^V 2 Integrando membro a membro fd y =

f v j

y=J /

* —

dx

x —d(x) ----- _ arcsen------h C y /a 2 -

® 2

a

f

dx

j . . = arcsen----- 1- C a

\J a1 - x 1

(16)

Exemplos: Ei

Integre I =

dx

f

J y / 16 - 4 x 2

Integrais deste tipo devem ser analisadas, inicialmente, como integrais do tipo (3),

A integral I =

/ —■====■

será do tipo (3) se a diferencial for a

J y / 16 - 4 * 2

diferencial de 16 — 4 x 2. Vejamos, d (16 - 4 x 2) = - Z x d x Na integral proposta I falta o fator x, o que não permite a adaptação. Analisemos, então, se recai na (16). Assim: dx

/=

/-

___________ =

y j 16 - 4jc2

f _____ dx

V 4 2 - (2 jc)2

Será arcsen se pudermos substituir dx por d (2 x).

INTEGRAIS IMEDIATAS

185

®dx

f

I =

*

.

=

V 16 -

4x2

f

d(2x)

V I/ • V 4 2 -

-

( 2 jc )2

1 - - n^ 2

+ c

4

1 •*,/-. /r = — arcsen — + C

E2

Integre / =

J

xdx V4 —

Analisemos, primeiramente, como integral de potência: d (4 — Jt2) = —2 x d x A presença do x no integrando nos permite escrevê-la Q )x d x

I= f v B ?

= w

1 (4 — x 2) l/2 2 J_

f ( 4 - x 2r ' , 2d( 4- x2) C

2 / = _ v / 4 - X2 + C

E3

Integre / = / — V5 - 3 -2 Não pode ser integral de potência porque não apresenta o fator x no inte­ grando, portanto, é arcsen.

V 5 - 3jc2 =

r_ 1

17

À

f

V (y /l)2 - (V 3 x )2

d ( y / í x) V ( ^ 5 ) 2 - (V 3 * )2

J v /jí 7=- arcsen — -=r + C V3 v^5

Seja a função Diferenciando:

1

X

>> = — arctg — + C.

186

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

dy — — ■ a

dy =

a

dx ________

J_

f

dy =

-dx 1 +-

' d 1 + x2

dx a2 + x 2

Integrando membro a membro: fd y =

/•

dx a2 + x2

dx / a2 + x 2

7 Então:

/• d(x) 1 . x- „ / ——M —- = — arctg— I- C J a + (x) 8 a dx

arctg — + C / a2 + x 4 = — a a

(17)

Exemplos: i,

Integre / =

/—

dx

Analisemos a fração. Não admite divisão, m < p. I Não é do tipo — , pois, a derivada do denominador é 2x. Vejamos, então, se se trata de arctg.

/ = /' Não é do tipo

Examinemos a possibilidade de arctg: Ixd x

I=

í 2xdx

_

16 i+ V*

,■ 2 x dx

_

r

d (x y

J 42 . + (@

■'aí J.(.x2)2 J 42 +

)2

1 X / = ^ arctg — + C

Integre I = Análise:

f—— ■ x 2 + 4■ jc + 9

m < p ------- > Divisão, não. I > — , não. u

D ( x 2 + 4 x + 9) = 2x + 4

O trinômio x 2 + 4 x + 9 é infatorável, pois A < 0. Exame de arctg: dx --------- = _ L A _____L x„ 22 + 4x + 4A _+L 5C

1= •’f 5

r dx f’ (x2 + 4 x + 4) + ( V 5 ) 2

■’ !

9

dx = /

(x + 2)3 + ( V ? ) 2 dx

f

d ( x + 2)_________ 1 _

■f d V 5 )2 + ( x +

2 )2

VJ

x + 2 , „ 310 8

v i

TABEtA II Integraú Imediatas 1

Jadx = a f d x

2

J(du + dv - dt) = f d u + f d v -

3

J ® n d(x) = - ^ Y

+ C, n * —1

Jdt

188

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

4

j d x = jc + C

5

f^ = S n x + C JC

6

1

7

je ® d ®

8

/sen ® d ®

= —cosjc + C

9

1cos ® d ®

= sen jc + C

e

/ ^ = £ n „

J

u

+ C

= ex + C

10

Jtg ® J V a2 - ® 2 a

17

r potência dx

I = /V jc + 4 dx = / ( x + 4 )1/2d (x + 4) =

+ 34) - + C

/ = - y ( x + 4) y / x + 4 + C

f y / x ~ (x2 - 3x + 1 — y f x ) d x

PR3 Integre / = Resolução:

Efetuemos o produto, lembrando que yfx~ = x 1/2, então:

/ = / ( x s/2 - 3x3/í + x i/2 - x ) d x / = / x 5/2dx - 3 f x 3/2dx + f x i n dx - f x d x y 7 /2

5/2

v 3/2

„2

7

5

3

2

/ = —— __ 3 —— -f —------ — + c

. _ 2 x 3 yfx 7 do * PR4 tIntegre /r=

_ 6 x2 Vx~ 5

,2 2 x \Zx~ _ x_ 3 2

C

Jr- 2 cos xdx y / T + sen x

Resolução: Análise:

Potência:

d (1 + senx) = cos x dx —

> É potência

190

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

l_

j

—2 cosx d x V l + sen jc

j

|- ( i

+ senx)"1/2 cosxdx

cosjtdx

1 = 2 f ( l + senx)_l/2 d ( l + senx)

[ _ 2 O + sens)1/2 + C 2 / = 4 V 1 + sen x + C PRS Integre 1 = f tg3x • sec2 x d x Resolução: Potência:

d (tgjf) = sec2 x d x

-> é potência

/ = / t g 3 x sec2 x d x = / t g 3 x d ( tg x ) =

+ C

Regra R , : “Todas as vezes que um ou mais fatores do integrando for derivada da base do outro fator, teremos a integral de potência.” No exemplo dado, sec2 x é a derivada da tg x.

PR6 Integie 1 = J sec4 jc • tgxcfcc Resolução: 1=

/sec4 x • tg x d x = f sec3 x • sec x tg x dx derivada da sec*

Pela regra dada acima secx tg xdx

I = f sec3 x • d (sec jc) = ^

PR7 Integre I = f Resolução:

cos x

dx

*-

+C

INTEGRAIS IMEDIATAS

/=

f cos'4 x • sen xdx

Análise: A derivada de cosx é —sen x

= = > potência

I = fcos~4 x • senxdx = — / co s'4 x (—senx)dx —sen xdx

/= — — l +C 3 cos3 x

PR 8 Integre / = f ,sen x ^ cos x Resolução:

. r sen4 x , r sen4 x , I = I ---- z— dx = / ---- ----------- — dx ■ cos X ' cos X • COS2 X I = ftg4 x • sec2 x d x = f t g 4 x d ( t g x ) d (tg x)

, - Jsr L + c do

I * 1 + sen2 x j PR9 Integre Ir = /( -------------dx

cos x

Resolução: Análise:

m=p —

> divisão

. r l + sen2 x , / = J ------- r------dx = COS X

J

r(

1 sen2 „ , . — — + — — ] dx \ cos X COS

/ = J (sec2 x + tg^x)dx = I (2 sec2 x - l)d x sec2x — 1 7 = 2 fsec2 xdx - J dx / = 2tgx-x + C

, #3 _ 9^2 _Lt _ i PR io Integre I - / ------------—---------dt Vi

191

192

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Resolução: Análise:

Denominador monómio —

1= f

tm

~

dt =

> divisão ~ 2 f3 /i +

~ r i n )dt

/ = j t ^ d t - 2ft3l2dt + J'tindt - f r indt f.S/2 *5/2

,7 2 f i/n

*3/2 *3/2

,1 /2

tln

I = —=----- 29- i4___ - + 4.- iV___ - — — r~ + C 2

~

2

__ . PR a Integre / = J

5 2

+

3 2

1 2

xdx V 4 - x2

Resolução: Análise:

d (4 —x 2) = —2xdx

/ = /

> potência

= / ( 4 - x 2) - |/2xdx V 4 - x2

ou, multiplicando e dividindo por - 2: d (4r x2)

/ = —L 1(4 —x 2) - 1/2 (-2 x ) d x = —j f ( 4 - x 2) ' 1/7d ( 4 —x 2)

1 ~

1 (4 — x2)m 2 ]_

L

2 / = _ v^4 - x 2 + C

PRi2 Integre 1 = 1

^ \/4 - x2

Resolução: Análise:

Potência: d (4 —x 2) = —2xdx = > —2x no numerador do integrando.

É Arcsen porque é do tipo

/ —,

não, porque falta fator

INTEGRAIS IMEDIATAS

193

I = I — , *** = / / . d ® = = arcsen■— + C • V4 - x 2 • V 22 - © 2 2

PRX 3

Integre / =

/ / -4 * cfac, com —4 < jc < 4 .

Resolução: Preparemos a integral /. 4 - jc j ,• \ / 4 - jf , 77— = -■ - -dbc 4+JC • V 4T 7

/ = f ^ E Z ' ^ E I dx = f , V 4 + Jc • \ / 4 - jc

/ =

d

' V (4 + Jt)(4 -

jc)

f .4 * dx ' V 1 6 -X 2

Desdobremos em duas integrais:

V l 6 - x2

\/l 6 - x2

À semelhança dos exercícios PRl2 e PRn a integral (T) é arcsen e a potência. - 2 xdx x 1 7 = 4 arcsen —----- — x 'T

/( 16 - x2)_1/2 d(16 - x 2)

, 1 (16 - x 2) 1'2 x

X

X

7 = 4 arcsen 4 + V l6 — x 2 + C 4

PR , 4 Integre / = J x

x + 2 dx

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

194

Análise: => divisão

m > p

=>

jc 3

- x + 2

- J C 3 + JC2 - JC

+ 2

X -

x2 +

-x2 + x Então: / = f(x 2 + x +

-) dx

X -

1

1 = j x 2dx + f x d x + 2 'l

dx x - 1

dx

T - * l - 4-JÍÍ-J--7 f d (x L~ 3 2 ■' x - 1 / = y + y +

2 f i n ( x - 1) + C

/ = T + T + Èn(jc_1)2+C PR is Integre / =

) tg2 x d x

Preparemos a integral (expoente par)

/ ■ I (see2 x — 1) dx I = f sec2 x d x - I dx I = tgx - x + C PR )6 Integre 1 = f t g 3 xdx Preparemos a integral 1 = ftg2 x ■ tgxdx

(expoente ímpar)

1 = 1 (see2 * - l)tgxcix I = f t gx • see2 xdx - J t g x d x

1 = T ___

J t g x d ( t g x ) — ftg x dx ^

X

.

_ ----- . .

J_

/" I

1 X

INTEGRAIS IMEDIATAS

PR i7 Integre 1 = f sen2 2x d x Como o expoente do seno é par, substituímos 2 „ 1 - cos4x . /■ 1 — cos 4x sen 2x = ----- - ----- - = = > / = / ------ -------

I = \ I dx - - i - / cos 4x dx

x

sen 4x

2

8

PR is Integre / =

/ sen3 x d x

O expoente é ímpar, preparemos a integral. = f sen2 x • senxcix = / ( I — cos2 x) sen x d x * - d (cos x) = [sen x d x — f cos2 x • sen x d x

•\____________/

J

Ri = —cos x + I cos2 xd(cos x) = — COS X +

PR 19 Integre / = A integral

■+ C

f x • se c4 x 2 íi>c fsec (x) d(x) = fin(secx + tg x ) + C

Preparemos a integral: 8 jccfcc I = I x s e c 4 x 2 dx = -r- js e c 4 x 2 t /( 4 x 2)

I = -g-£n(sec4x2 + t g 4 x 2) + C

PR20 Integre / = j sen4 x d x Como o expoente é par, vem:

196

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

/ = f sen4xdx = f sen2* • sen2xe£c = fsen 2x ( l — cos2 x )d x I = f sen2 x d x -

f sen2 x cos2 xdx

®

®

Integremos a @ a r 1 j f 1 ~ cos 2 x , 1 f , 1 A = Jsen* x d x = J ------- ------ dx = — J d x — y (cos 2 x ^x

A = -y - -y • y /c o s 2 x d(2x) A_ x sen 2x , ^ ^ ~ 2 -------4 Integremos a (B) (2 sen* cos x)2

B = /"sen2 x cos2 xdx

/4 sen2 x cos2 xdx

D lr 2- j 1 r l - cos4x ß = - 4- / sen2 2 xdx = — J ------------- dx

x sen 4x B =^- +C2 T 32~ Como

I =A - B T

. 3x 1=—

x

sen2x . x , sen4x „ -------+ C i ~ T + ^ 2 ~ - C2 sen 2x — 4- +

sen4x . „ , n 32 + C onde C — C1 -

■* r /' / 1 + sen x , PR21 Integre I = / -j------------ dx ''V 1 — sen x Preparemos a integral

, /■ v T + sen x V 1 + senx , / = J • ----------- dx V 1 — sen x V 1 + sen x

INTEGRAIS IMEDIATAS

r r I = I

197

1 + sen x , r 1 + sen x , . ==• dx = I ------------- dx V 1 — sen5 x ' cosx I -

• 'c o sx

U

J cosx u

I = /sec x d x - Sn coax / = Sn (sec x + tg x) — Sn cos x + Sn C 1 = Sn ^ (sec x + ^ *) cosx

ou

/ = £n C(sec x + tgx) • sec x

PR 22 Integre / = /se n ó x • cos 2xdx No integrando temos o produto de um seno por um co-seno. Se os arcos fossem iguais, teríamos a integral de potência ou de seno. Da fórmula trigonométrica

.

p + q

2 sen ■- - y

■cos

p —q ^

^ 2 ^ = 6x e ^ 2

,

= sen p + sen q,

^x

„

fazendo

> p = 8x e q = 4x, vem:

2 sen 6 x cos 2 x = sen 8x + sen 4 x sen 6 x cos 2 x = y (sen 8x + sen 4 x ) Então: / = I sen 6 x cos2 x d x = y - /(sen 8x + sen 4 x )d x

/ = y Jsen 8 xdx + y j sen 4 xdx

/ = y • y /se n 8 x d ( 8x) + -^- • y Jsen 4 x d (4 x ) _

PR23 Integre / =

cos 8 x 16

cos4x 8

C

J sen (m x) • cos(nx) • d x

Temos o produto de um seno por um co-seno de arcos distintos. Usemos a fórmula trigonométrica que transforma este produto em soma.

198

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

„

p +q

2 sen r 2

cos

P -2 q = senp +, sen 1 + x = t •<

V 1 + x = t

^

----- > dx = 2 t d t

, > x —t — 1

Substituindo em / / =

J\t2

-

l)2 •

t

•

It d t

I = / ( r 4 - 2 r2 + 1) 2r2dí / = / ( 2 f 6 — 4?4 + 2 t 2) d t I = 2 I t 6dt - 4 [t*dt 2 f7

4f5

Integral de soma

+ 2 }'t2dt

2 f3

Voltando à variável x [t = V 1 + x

ou f = (1 + x )1/2]

/ = y (1 + x)7/2 - - y (1 + x )s/2 + y ( l + x )3/2 + C

•e4Jr + 2

PR32 Integre / = / —

/ = — / cos4 x d (cos jc ) / =

+ C

PR46 Integre /

j' sen

6 jc

cos 7 jc dx

Da fórmula da pág. 38, PR23 —-

>

cosx

/ = . _

cos 1 3 jc 26

co s(—jc) + C 2

cos 1 3 jc 26

cos jc 2~

PR47 Integre / = f

x4 - * 3 + 3 jc jc

Análise:

m> p

+

- JC jc 3 +

3 jc 3 jc

^

dx

3

=> divisão X2 + 3

3x

,

JC

— JC

207

208

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Então: I = I f x 2 - x H— — 'idx •'V x2 +3 J Decompondo na soma de integrais => / = f x 2dx -

-

f x d x + 3 f — -------dx ' x + 3 D (x 2 + 3 ) = 2x U

X2

f _ X 3

1

i = -5------- + 3 • 3 2

r © X

— --------- dx ( D ■’ x 2 + 3

/ = - 4 - ^ - + 4 fin(Jc2+ 3) + C

PR48 Integre / = /

dx

Podemos escrever / =

dx qUe ^ J q tipo /■ = fin x + C n r ■' x

1 + tgx

Logo, / = En(l + t g x ) + C

4x PR49 Integre / = ./■ Análise:

- 5x + 1

m =p = >

4 x 2 - 5x + 1 -4 x 2 + 4 5x + 5

Logo,

/ =

divisão 1

4 +

—5x + 5 x2 - l

x - 1

/ 4 -5

/ = 4 fdx - 5 /

dx

dx

* 1 dx (x + l) (x - 1)

dx / = 4 x — 5 f —^-T

•' X + 1

INTEGRAIS IMEDIATAS

I = 4x —5 í

209

d (x + 1) x + 1

/ = 4 x — 5 8n (x + 1) + C

PR só Integre / = f ■ ^ ' V 9 - 4x2 Análise: não é potência, pois, d (9 - 4 x 2) = —8 xdx. Falta, portanto, no integrando o fator x. Será arcsen se substituirmos dx por d (2x). Assim: / = 1 f 2

d (2x) ‘ V 32 — (2 jc)2

/ = y arcsen -y - + C

PR5! Integre / = /

.* ^ - dx V 5 - x2

Podemos decompô-la em duas integrais. r dx — 2 j ' V5 - x2 '

I = f

| 1 | potência

,2

y /T — x ‘

| 2 | arcsen

Q ] = / ( 5 - x 1Y i n x d x =

- j K j l S - x 7y u ï ( - 2 ) x d x

[ 0 = - y / ( 5 - j c 2)" 1/2d (5 - x 2)

[ T ] = - f

( L

^

+ Cl = _ V

^

+C l

2 |T | = /^ ^ J V (V s)2 - ^ Como / = Q ] — 2 [2 ]

= arcsen —^ + C V? > / = — V 5 — x 2 — 2 arcsen * + C V 5

210

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

dx

PR52 Integre / = J

V - 8 + 6x - x Vejamos se o radicando pode ser escrito sob a forma de diferença de 2 qua­ drados

I =

f

V (D — (T) — 8 + 6x - x2 W

. yV , 1

*

V 1 - 9 + 6 x - x2

......... „ — = 6x / - + x 2) * — (9

V l 2 - (3 - x)2

Se substituir dx por d(3 - x )

d (3 —x) = - dx ----- > I = - j V / = —arcsen (3 —x) + C

PR 53 Integre / = i

^

Será arcsen se pudermos substituir dx por d (ex ) = 2 x • e* dx

Preparemos:

1 r 2 x e x *dx / = ■!•/ / ^ 2 2 V 3 2 - (e* )

7 = "T/ " / d = "7 “ “ e11 ^T" + c 2 V 32 — («**)’ 2 3 __ , , . r 2 secx tgxdx PR 54 Integre / = J 6 r V 4 —sec x Podemos escrever imediatamente 1=2 f

d& cxl

,ogo:

V 22 — (sec x) / = 2 a rcsen ^ + C

__

Ti r r 2 sec2 x tg x , PR55 Integre / = ] ,— dx V

4 — sec x

Difere do P R 54 no expoente da sec x.

INTEGRAIS IMEDIATAS

211

Não teremos arcsen e sim integral de potência, pois, d

(4

— sec2 jc) =

— 2

sec x • sec x • tg x d x

Então: / = —_/( 4 — sec2 x ) - i n d J = _

(4

- sec2 jc ) 1/2

(4

— sec2 j c )

+ c

T I = — 2 y / 4 — sec2 x + C . r /• 2x*dx PR56 Integre / = / — , V

9 — 2

JC

Quando o expoente do denominador for diferente de 1, devemos analisar primeiramente a possibilidade l ( x ) n d ( x ) . Então: d (

9

-

2 jc 6 ) =

- 1 2 jc 5dx

Na integral dada temos o numerador 2 x 7dx, concluímos não ser integral de potência. d® Analisemos a possibilidade / •s/a2 - © 2 3 x /T x 2dx

r '

x 2dx

2

y j 3 1 — ( V T jc 3 ) 2

3 n /2

f '

d ( y / 2 x 3) y / i 1 — ( \ / 2 jc3 ) 2

3

/ = — — arcsen — - — + C

3>/2

3

PRn Integte i = - \ — j= È = V 4

jc

-

Transformemos o radicando na diferença de 2 quadrados. Assim: /= /

* V ©

— (4) + 4 jc

-

jc2

212

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

dx

dx

V 4 - ( 4 - 4 x + x 2) -dx _ r

V 2 2 - (2 - x)2

d (2 - x ) V 22 - (2 - x)2

/ = — arcsen

PRs8 Integre 1 = J

2-x

•+ C

* 1 dx 16 + x 1

Podemos decompô-la na soma de duas integrais. Então:

T

1

=J

í

2x

716T~.+ x i2

^ +

r I

dx 16 + x 2

I = Sn(16 + x 2) + /■ 42 + @ 2 / = Cn(16 + x 2) + - j arctg^- + C dx f ' 17 + 8x + x 2

PR 59 Integre / =

Escrevamos :vamos o denominador sob a forma de soma de 2 quadrados dx '= /

_

1 + 16 + 8x + x 2

r

dx

• 1 -K 4 + x )2

17

dx r

d (4 + x)

=

l 2 + (4 + x)2 PR60 Integre / = / Análise:

3 x + 2x — 1 x2 + 4

arctg (4 + x) + C

dx

m = p ------- > divisão 3 x 2 + 2x — 1

—3 x 2

- 12 2x - 13

x2 + 4

INTEGRAIS IMEDIATAS

213

Então, substituindo, /=

í 1 3 + 2* ~ 13 1 dx x +4 I U

1 = 3 fdx + [ -2.XdX - 13 / * x2 + 4 *' x 2 + 4 u d® I = 3x + Sn(x2 + 4) - 13 /' •' 2a + ® 2 / = 3x + £n(x2 + 4) - — a r c tg y + C . . r sec2x d x PR 6, Integre / = / —- — — ■ 9 + tg x Análise: O denominador é a soma de 2 quadrados. rf(tgs) /=

sec2 x d x f-r3 + (tgx)

__1_ Ag* = -fa r c tg ^ 3 V3 /

+ C

.A

r r exc/x In“ *“ ' =

Análise: O denominador é a soma de 2 quadrados.

"

e*dx

1

J (VTÜ)2+ (e*)5 “

VIÕ

PR 63 Integre / = /

ex

7 ^ +^

cos X

u \\ nn (/ \1 + -I- cos COS 2« ZU ^Vm/2 , )

[ ------- —

>

dU

Desenvolvendo as potências e os produtos teremos

PR 70 Integre / =

/ cos 2 udu

/cQS6 x d x

Sigamos as considerações feitas no problema anterior. I = f cos6 x d x = I (cos2 x ) 3dx .

c ( \ + cos 2 x \ 3 ,

I = f { ----- 2------) * I =

+ "l" cos 2* +-^- cos2 2x + -5- cos3 2 x ) dx 2 dx

I =

[dx + - | - y fc o s 2 x d ( 2 x ) + -^ /cos2 2 x d x +-^- /cos3 2x d x

^ sen2* +•§•8 J

I =4 + 8 i6

2

dx + Y /cos2 2 x • cos 2 x d x

/ = Y + ^ sen2 * + - ^ / í i c + -^/cos4ji:dx +

INTEGRAIS IMEDIATAS

217

+ j / (1 —sen2 2x) cos 2xd x / =^ +

sen 2x +

/ cos 4 x d (4 x) +-^- /cos2xdx

— „■ / sen2 2x • cos 2 xdx O• / =

+ T^sen 2x + -^r sen4x + 4 - • 4 / cos 2x d (2.x) —-3- •

lo

16

64

o

Z■

o

2 cos 2* dx • — / sen2 2 * d (sen 2x) . _ 5jc Tó

3sen2x 16

. _ 5x , sen 2x 16 4

3 sen 4* 64

sen 2x sen3 2x 16 _ 48

3 sen 4x sen3 2x 64 ~ 48

PR7j Integre 1 = j sen2 2x cos4 2x dx Solução: Podemos escrever I = /sen2 2x(cos2 2x ) 2 dx

r

/=

r(

1 — cos 4 * ^ ( 1 + c o s4 x \ 2 , -------õ-----^ ■/ ------- 7 -------

,

r( 1

c o s 4 x \ / 1 , cos4x . cos2 4 x \ ,

l = í ( t —

r

( 4

+ —

4* + , cos2 4 x / = ç 1l +. çcos om

8

+ cos4 jc

4

— ]^ cos2 4 x

4

8 8 4 v________ _________y cos 4x • cos2 4x , , dx

8

/ = -- [dx + —Jicos 4xdx - ^ /cos2 Axdx —

I =

/cos4x • cos24 xdx

+ -|- - j /c o s 4 x d (4x) - j f 1 + ^°S 8X dx -

y

/cos 4x (1 — sen2 4x)dx

218

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

r x , sen4* 1 r, 1 1 „ t/„ ^ 1 = ~8 + 32 _ 16 ldx ~ 16 ’ T -/C0S*x d i *x ) ~ 4 cos 4xd x

—-g- •

/ cos 4jc d (4x) +

. _ x , sen 4 x 8 32 r_

x 16

f sen2 4x d (sen 4jc)

x sen 8x 16 “ 128

sen 8x . sen3 4x 128 96

sen 4 x . sen3 4 x 32 96~ C

6.6 - PROBLEMAS PROPOSTOS

Integre: PPi

r x 2dx f ' V 16 — 4 x 3 Resp.: —

O

16 — 4jc3 + C

Resp.:

- vÇ + C

PP3 f ( - J ~ X 2 V X -----7=^)dx 1 2x

3 ,3 /10

5 e s p .:----- — - - n r r v J í

PP4

/ ( 3 x + l ) 2dx 1 Resp.: 4 -(3x + l ) 3 + C 9

PP;

f ( 2 x 2 + 5)s x d x Resp.: - ^ O - x 2 + 5)6 + C

-

2 /^v i +C 3

t

_

INTEGRAIS IMEDIATAS

PP 6

219

xdx I - x2 - 1 Resp.:

c

fin

V

jc 2

— 1

.s e c ^ x d x tgx

J

Resp. ; ín C ■ tg jc PP8

/cos4 jc senjcdx „

c o s 5 jc

.

_

Resp.;------- -------h C PP9

j tg4 3 jc ■ sec2 3 xdx Resp, ^

+ C

PPio Jcotg3 x d x Resp.: — - ° -f - x - — fin sen x + C „„ . / 1 + cos jc , ------------dx PP,1 / J v

1 — COS JC

„ n c • senjc Resp.: fin----------- ;---------cosec x + cotg x

ou

„ C fin -—--------1 + cos x

PPi2 J senSjc • senx

íc tf) fc j* ,\

œ r > [ iy )(iîK -

J

*x

(Z*) oU - j (£o(l^ r & A ~ [ l* ) cIk -

z Mm U ^ )

z

/ iC w V ^ O

oL. G

:

A ü Í2 f)

;_ L

*> i

-

i ^L^

G , + c e ,2^

L fr C z ^ i

\ C

S -v ^ t

a

fw »^ -

v = J sen x dx = —cos x

INTEGRAÇAO POR PARTES

231 X2

Nota: Não escolhemos dv = x d x ■ - -> v = — , o que tornaria a integral final mais complicada, portanto, seria uma má escolha. 3. Substituição na fórmula: fx sen x dx = - x cos x 4- / cos x dx jx sen x d x = - x cos x + senx + C PR2 Integre / = f x 3 • ex dx. Análise: Temos no integrando um produto. Na escolha de dv, é recomendável tomarmos dv = ex dx, quenão é diferencial de integração imediata. Só o seria se tivéssemos dv = e i - s d (x^) . Preparemos a integral: I = j x 2 • x • ex* dx 1. F.I.P.:

(udv = uv — fvdu

2. Escolha:

u = x2 -

- > du = 2 x d x Ixdx

dv = x e x~dx —-

> v = - j (e*2d x 2

3. Substituição na fórmula; fx 2 • x

• ex*dx = x 2

ex2 - y

/e** • 2 x d x

f x 3 • ex2dx = ^ ~ j ----- y j e * 2d ( x 2) 1

Y^

X2

x 3ex2dx = ^ - ( x 2 - 1) + C PR 3 Integre I — f x (sen x - cos x 2) d x . Desdobremos na soma de 2 integrais: J — f x sen x dx — fxxx)sx2dx

/ = (D - (2) As integrais (T) e (2) apresentam produtos no integrando, mas nos compor­ taremos diferentemente. Estes comportamentos distintos são as dificuldades do cálculo integral.

232

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Façamos: ( D - / * sen x dx

é o PR,, à pág.

(D = - x cosx + sen x + C, (2) = f x co sx1dx Não integraremos por partes, porque o x é absorvido na diferencial: d (x 2) = 2 x d x . Então: 2xdx (D = 7 / cos ©

d ©

(2) = "j sen x2 + C2 Como / = (D — ( 2 ) ------- > > / = - x cosx + senx + C , — senx2 - C2 . . senx2 . „ / = - x cos x + sen x - — ------h C

PR4 Integre / = /fin x 3dx Notamos no integrando a presença da função logarítmica. Apliquemos a integração por partes, preparando, porém, a função / = 3/finxcfc 1. F.I.P.:

fudv = uv — f v d u

2. Escolha: Neste caso a escolha é única u = En x dv — dx

> du = — x —> v = [dx = x

3. Substituição na fórmula f i n x d x = x finx -

•'

J

-x~

/fin x d x = x fin x - x + C, Portanto, / = 3 x fin x - 3 x + C

INTEGRAÇÃO POR PARTES

233

PR5 Integre / = j£ n ( x 2 + 1)d x . Temos o mesmo caso anterior. 1. F.IP.:

fudv = uv - jvdu

2. Escolha:

u = £n (x2 + 1) dv = dx

—> du = — — • 2 x • dx x + 1

> v = fd x = x

3. Substituição na fórmula / = x £n (x2 + 1) — f x • —r -1-— x2 + 1

'2 xdx

I = x í a ( x 2 + l ) - 2 f ^ — dx ' x + 1 Efetuemos a divisão (m = p). x2 + 1

X2 - X 2 -

1

- 1

1

1 X2 + 1

Então: / = x £n(x2 + 1) - 2 f ( l -

I = x £n (x2 + 1) - 2 fdx + 2 f — -— dx J ■' x 2 + 1 v

V --------------

arc tg / = x £n (x2 + 1) — 2 x + 2 arc tg x + C

PR6 Integre / = /S n (£nx) 1. F.I.P.: 2. Escolha:

fudv = uv - fv du u = £n (£n x) dx dv = — — X

> du =

tt! X

' — dx X

fd x > v = / — = fin x '

X

3. Substituição na fórmula: f t n (£n x ) ~ = (£n x) • £n (£n x) - f ü t x . •

• j dx

234

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Jy

fUn (£n x) — = (£n x) • £n (£n x) — £n x + C I = f i n (£n x) — = (£nx) [£n (£nx) - 1 ] + C

PRi Integre / = J arc sen x dx Temos no integrando função trigonométrica. Apliquemos a integração por partes. 1. F.I.P.:

Judv = uv - Jvdu

2. Escolha (no caso, única): u = arc sen x

— > du = , 1 dx 'y fT ^ r

dv = d x -------> v = x 3. Substituição na fórmula: /arcsenxdx = x arcsen x - l x ‘1 - = dx J J s/l - x 2 —I x d x 1 f ^ A ^ J arc sen x dx = x arc sen x ——y J( 1 - x 2) ' 1/2d ( l —x 2) l ( l - x 2) 1/2 / = / arc sen x dx = x arc sen x + —---------------- 1- C

T / = x arc sen x 4- V 1 —x 2 + C

PRS Integre / = J arctg 3 x d x 1. F.I.P.: 2. Escolha:

ju d v = uv —Jvdu u = arctg 3 x 6 dv = dx

> du = 1 + 9x > v= x

3. Substituição na fórmula: jarctg 3 x d x = x arctg 3 x - j x •

^

Jarctg 3xdx = x a r c tg 3 x — 3

X

A derivada de 1 4- 9 x 2 é 18 x.

2 • 3 dx 2 dx

------------ — - • 3 dx

INTEGRAÇÃO POR PARTES

235

Preparemos a integral final 1

18.x

("are tg 3 x dx = x arc tg 3x — 3 • -75- / ---------- dx J 6 18 ■' 1 + 9 x 2 / = x arctg 3 x

—-g-£n (1 + 9 x 2) + C

PR9 Integre 1 = J x n ín x d x , com n ¥= —1.

1. F.I.P.:

fudv = uv - \vdu

2. Escolha:

u = £nx

du = — dx x

d v = x n dx

v = / x n dx ■'

rn + i

=

, ,■

n + 1

3. Substituição na fórmula: yíi+i , y« + i 1 l( Z n x ) x n dx = — — £nx - / —— r ’ — dx v n + 1 •' n + 1 x lx n i n x d x J

v-rt+ 1

1

n+ 1

n + 1 J

= —r-rCn —-——- /x n dx yH+1

íx ” í n x d x = — — r n+ 1

J

2n

1 x -------- 7 -7- • n + 1

v”+1 —

n

— -

+ 1

+ C

xn+1 ! 1 \ / = -n t+ t1 \ « n * - — ír r1/ + C n + PR10 Integre / = lx2 cosxdx. 1. F.I.P.: 2. Escolha:

Judv = uv - Jvdu u = x2 dv = cosx dx

■■■■> du = 2 x d x > v = /cos x dx = sen x

3. Substituição na fórmula:

/x2 cos xdx = x2sen x —Jsenx • 2 x d x I x2cos x dx = x2sen x - 2 fx sen x d x A integral final também pode ser resolvida pela integração por partes como Fizemos noTR ^ pág. , fx sen x d x = —x cosx + senx + C,. Então, / = x 2 sen x + 2 x cos x — 2 sen x + C. PRU Integre 1 = fsec3xdx. Façamos I = f secx • sec2xdx. Tentemos a integração por partes: 1. F.I.P.:

fu d v-u v-J vd u

236

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2. Escolha:

u = secx dv = sec2x d x

> du = sec x tg x dx --= > v = /sec2xdx = tg x

3. Substituição na fórmula: fsec x • sec2 x dx = sec x • tg x — /tg x • sec x • tg x dx fsec3x d x = secx tgx — /secx • tg2x dx fsec3x d x = secx tgx — / secx(sec2x — l)d x fsec3x d x = secx tgx — /sec3xdx + /s e c x dx ín(secx + tgx) + Ci Transpondo — fsec3x d x do 29 para o 19 membro. 2 / sec3x dx = secx tgx + £n(secx + tgx) + C, / = fsec3x d x

secx tgx + y 2 n ( s e c x + tgx) + C

7.4 - PROBLEMAS PROPOSTOS Integre: PPi

fx • e 'x dx Resp.: - e ~ x (x + 1) + C

PP2

/x c o sx d x Resp.: x sen x + cos x + C

PP3

f x 3senx2dx

•

„ x2 cosx2 , senx2 , _ Resp.: - -----------+ — — + C PP4

fUnxdx Resp.: x ü n x - x + C

PP5

/arcsen2xdx Resp.: x are sen 2 x + -~n / 1 — 4 x 2 + C

PP6 jarctgxdx Resp. :x are•tr> tg xv _ - -íp £ n (l + x2) + C

INTEGRAÇÃO POR PARTES

PP7

fx (cos x — sen x2) dx Resp.: x sen x + cos x + — cos x 2 + C

PP8

fx fin x dx R e s p .: ^ - ^Cnx — j ^ + C

PP9

fx 3 fin x d x ResP - ^ r ( fin*

+ c

PP10 f ( i n x — sen 3 x • sen 2 x ) d x „ ,, senx , s e n 5 í . . Resp.:x (S.nx - 1) - —y + ■ ■+ C ppn f(x2 e*3 - x 3 Hn x ) d x

R esp:£T - T PPn

jcosec3 x dx

(9nx +Í)

+ c

8 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONARIAS

Erga a esperança de quantos se acham tombados ofertando e recolhendo a seiva da vida o Amor.

8.1 - DECOMPOSIÇÃO DE FRAÇÕES Na integração de funções racionais depararemos com integrais cujos resul­ tados serão alcançados mediante a decomposição da fração integrando numa soma de outras frações. Estudemos, pois, a decomposição de frações em frações parcelas. A decomposição a que nos referimos só é possível se o denominador da fração for fatorável. Para efeito didático, façamos o estudo em 4 casos principais: I

— “Os fatores do denominador são todos distintos e do 19 grau.”

Exemplos: El

Seja a fração —-------------x —4 x - 5 Devemos analisar, primeiramente, a possibilidade da divisão. (m —Q No nosso exemplo -í > m < p , não admite divisão. [P = 2 Então, fatoramos o denominador x* _ 4 X _ 5 = o = > =

f Xi = - 1 J = 1*2 = 5

> x 2 —4 x + 3 = (x t l)(x - 5)

>

240

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Notamos que o denominador se compõe de 2 fatores diferentes, ambos do primeiro grau, o que nos leva à decomposição da fração dada na soma de duas outras, cujos denominadores serão os fatores componentes e os nume­ radores de grau uma unidade inferior ao grau do denominador correspon­ dente, (no nosso caso os numeradores serão constantes, grau zero, porque os denominadores são de grau 1). 6 xJ _ 4 X _ 5

6 (x + l)(x - 5)

A x + 1

B x - 5

V____________________________ _ _____________________________ / V

Eliminemos os denominadores, o mmc é (x + l)(x — 5), logo: 6 = A (x - 5) + B (x + 1) 6 =A x-5A + B x+ B (>= (A + B )x — 5 A + B 0 membros

Da identidade dos dois

6 - >

A + B —0 —5/4 + B = 6

Substituindo em A + B = 0

1? - 2a = = = > 6A = —6

> —1 + 5 = 0 -------> B = 1.

Então, a fração —-------------- = - —— + * xj - 4 x - 5 * + 1 x —5 JÇ 3

^ JÇ ^ ^

Decomponha a fração F = -----------------em frações parcelas x + 3x

x 3 —4 x + 6 x 2 + 3 x - x 3 - 3x2 x —3 —3x2 - 4x + 6 + 3x2 + 9x 5x + 6

x2 + 3x

xJ + 3 x

Façamos a decomposição de F i : _ _ 5x + 6 5x + 6 A 1 x2 + 3 x ~ x (x + 3 ) “ x V_______________ _

-> A -----1

B x + 3

___________________ /

mmc = x (x + 3)

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES-RACIONAIS FRACIONÁRIAS

241

5 x + 6 = A (x + 3) + Bx 5 x + 6 = A x + 3 A + Bx

5x +

6

= (j4 + B ) x + 3A

:>

6

5

A +B = 5= > 3A = 6 = > 1

_ 5x + 6 ^ 2 x2 + 3x *

2 + 5 = 5 :-------> 5 = 3 A =2

3 * + 3

Logo, F = x — 3 + — + x x + 3 II

— “Os fatores do denominador são todos do 19 grau, mas com repetição.”

Exemplos: E,

Decomponha a fração F =

**x — _ i — _ em frações parcelas, x + 2x + x y

f m = 2 < ----- > m < p — \p = 4

> não admite divisão.

Fatores o denominador: x4 + 2 x 3 + x 2 = x 2(x2 + 2 x + 1) = x 2(x + l) 2 O primeiro fator é x, do 19 grau e repetido duas vezes e o 29 fator (x + 1), também do 19 grau e repetido duas vezes. Então, F =

x 4 + 2 x 3 + x2

x 2(x + l) 2

x2

x

(x + l) 2

x + 1

mmc = x 2 (x + 1)2 Nota: O fator é x, o expoente 2 é o grau de repetição do fatõr. 0 mesmo ocorre com (x + L)2: x + 1 é Jator do 19 grau, o expoente 2 é o grau de repetição do fator x + 1. Eliminando os denominadores

>

242

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

6x2 - l = jB + D ) x 3 + Ç A + 2 B + C + D ) x 2 + (2 A + B ) x +A = = > 0

6 B +D =0

o

-T

=> 2 + D = 0

D = -2

A + 2B + C + D = 6 - 1 + 4 + C —2 = 6

C= 5

=>

F=

2/14-5 = 0

=> - 2 + fi = 0

A = - 1

^ = -i

6x2 - 1

x4 + 2 x 3 + x2 E2

Decomponha a fração F =

U * -+

x2

*

(x + l) 2

x + 1

2 x 3 + 6 x 2 - x - 22 3 4 x + 2x2 - 4x - 8

m= 3 > m =p

-> admite divisão

P= 3 2 x 3 + 6 x 2 — x — 22 x + 2 x 2 —4 x — 8 —2 x 3 —4 x 2 + 8 x + 16

2x2 + 7x — 6 F=

2 x 3 + 6 x 2 - x - 22 2x + 7 x - 6 = 2 +• X3 4- 2 x 2 —4x —8 x 3 + 2 x 2 —4 x —

Fatoremos o denominador de F ,

f ’í

x 3 + 2 x 2 — 4 x — 8 = x2(x + 2) — 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 4) (x + 2)(x - 2) x 3 + 2 x 2 - 4 x - 8 = (x + 2)2(x - 2) Os dois fatores são do primeiro grau, porém o fator x + 2 está repetido-------> 2x + 7x - 6 =>Fj = • x 3 + 2 x 2 - 4x - 8

(x + 2)2

x + 2

x - 2

mmc = (x + 2 )2(x — 2) 2 x 2 + 7 x - 6 = A ( x - 2) + B (x + 2)(x - 2} + C(x + 2)2 x2 - 4

x2 + 4 x + 4

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

243

2 x 2 + 7 x - 6 = A x - 2 A + 5 x 2 - 4 5 + Cx2 + 4 Cx + 4 C 2 x 2 + 7 x - 6 = (5 + Q

x

2 + (A + 4 C),x - 2 / 1 - 4 5 + 4 C

2 5 + C= 2 29X2 +

,4 + 4 C = 7

3?^ _ 4B + 12C = g = -4=>

, - 2 X —4 5 + 4 C = —6 0 sistema I 5 + C = 2 fica reduzido a 1 - 5 + 3C = 2 De 5 + C = 2

:4

=> 4C = 4

=í> 5 + 1 = 2

De A + 4 C = 7

c> - 5 + 3 C = 2

C= 1

5 = 1

=> X + 4 = 7

A = 3

3 1 1 Então, Fj = -------- — H----- r~x + ■ (x + 2 f x +2 x -2 eF = 2 +

III repetição”.

3

■■+----- T-TT + - 1

(x + 2)2

x + 2

x - 2

— “Nem todos os fatores do denominador são do 19 grau, porém sem

Exemplos: Ei

3x - 5 Decomponha a fração F = —------- --------- em frações parcelas. x _ 2x 5x m A = 4 — 20 < 0, infatorável,-como vemos os fatores do denominador são x, do 19 gcau, e x 2 — 2x + 5 do 29 grau. O numerador correspondente ao denominador x será a constante A (grau zero), ...mas o.numerador coirespondente n x2 — 2 x + 5 serã 5 x + C (grau um). Então, F =

3x — 5 x —2 x + 5 x

3x - 5 =A + x(x — 2 x + 5) *

Bx + C 2x + 5

mmc = x ( x 2 — 2 x + 5) 3x — 5 = A ( x 2 — 2 x + 5) + (5x + Q x 3x — 5 = i4x2 — 2 A x + 5 A + 5 x 2 + Cx

244

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

3 x - 5 = (A + B ) x 2 + ( - 2 A + Q x + 5 A 0

-5

A+B =0 D e' - 2 A + C = 3 [ 5A = - 5

A = -1

-

B = 1 C= 1

D e- 2 A + C = 3

x3-2 x

Ej

+ 5x

x

x - 2x + 5

x4 + x + 2

Decomponha a fração F =

em frações parcelas.

X 3 + X

m =4 => m > p

=> admite divisão.

P= 3 x4 -x 4-

_

r

— X

+x + 2

X3 +

X

X2 X2 + X

X

+ 2

X2 - X - 2 ■ X3 + X

Fi Façamos a decomposição de Fj Fi=-

■x - 2 x3 + x

x2 - x - 2 vx ( x 2 + l )

.4 , fix + C * x2 + l

V

mmc = (x2 + 1) x 2 - x - 2 = A (x2 + 1) + (flx + Q x x 2 —x — 2 = i4x2 + y4 + 5 x 2 + Cx x2 —x — 2 = 04 + B ) x 2 + C x + A 1 (A + B = 1= > De | C = - 1 [

a

= -2

-l

—2

-2 + 5= 1 = >

B = 3

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

245

Então: „ x2 - x - 2 2 , 3x - 1 F\ = -----:-------- = — + — -------x3+ x x x2 + 1

F =x -

t - - + 3x 1 x x2 + 1

, 2 (3 x - l) F = x + ----- ---------- ' * x2 + 1 IV — “Nem todos os fatores do denominador são do 19 grau, porém com a repetição de alguns.”

Exemplos: _ E!

„ , , _ „ 6 x 2 + 16x — 8 Decomponha a fraçao F = ------ --------- -— x —8 x m =2 p = 5

— -> m < p

> não admite divisão.

Fatoremos o denominador: x s - 8 x 2 = x 2( x 3 - 8) = x 2{x - 2)(x2 + 2 x + 4) = diferença de 2 cubos

A< 0

o fator x do 19 grau, repetido 2 vezes, os fatores x — 2, do 19 grau, e x 2 + 2 x + 4, do 29 grau, sem repetição. P _ 6 x 2 + 16x — 8

=A +A + x2 ' x '

c X -

6 x 2 + 16x — 8

6 x 2 + 16x — 8

x2(x3 - 8)

x 2(x - 2)(x2 + 2 x + 4)

Dx +E + D x+ 2 ' x *+ 2 x + 4

aimc = x 2(x — 2)(x2 + 2 x + 4) Nota: O denominador x2 e o fator x, do 19 grau, repetido 2 vezes, se x2 é do 19 grau, seu numerador deve ser do grau zero, portanto, uma constante. 6 x 2 + 16x - 8 = A ( x - 2)(x2 + 2 x + 4) +

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

+ B x {x - 2)(x* + 2 x + 4 \ + Cx2(x2 + 2 x + 4) + x3 - 8 + (Dx + E ) x 2{x - 2) x3- 2 x 2 6 x 2 + l 6 x - 8 = A x 3 - 8 A + Bx4 - 8B x + CxA + 2 C x 3 + 4Cx2 + + D x4 - 2 D x 3 + E x 3 - 2 Ex2 6 x 2 + 16x - 8 = (£ + C + D ) x 4 + (4 + 2C - 2D + E )x 3 +

o

o-

+ ( 4 C — 2 E ) x 2 - 8B x - 8 A 6

16

B + C+D = 0

-8

C+ D = 2 => ^ 2 C — 2 D + 2í = —1

i4 + 2 C — 2D + £ ’ = 0: 4 C — 2 E s= 6

4C - 2E = 6

- 8 5 = 16

£ = -2

—8 4 = - 8 'C+D = 2 D H 2 C — 2£> + F = —1

1? X 2 + 2?

3£ = - 3 = >

D e 4 C —2 £ ’ = 6 = > De fl + C + £> = 0

m =4

í> m = p

p = 4 ‘

4C + 2 = 6 -------> 4 C = 4 = > - 2 + 1 + D = 0;

+ x 3 - 2x + 7 (x + l ) ( x 3+ 1). —-> admite divisão

+ X3 ~ 2 x + 1 x* + x 3 + x + 1

X4

"

E = - 1

1 2 x -1 Então: F = — —— I-------- —+ x2 x x -2 xi + 2x + 4

Decomponha a fração F =

ia _ 2?

> \4 C -2 f = 6

4C — 2 E = 6 1? - 2?

J4C + F - 3

D = 1

C= 1

247

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

x4 + x 3 — 2 x + 7 x 4 + x 3 + x + 1 x3 X - 1 — 3x + 6 1

-X 4 -

e -

r : ? 3 ,

6 -

X* + X J + X +

1

V_____________ ________________ J

Fi Façamos a decomposição de F x fatorando seu denominador: Fi

3x —6

—

X4 + X 3 + X +

3 x —6 1

(x

+

l)(x + 1)

3 x —6

3 x —6

(x + l)(x + l)(x 2 - x + 1)

(x + l f ( x 2 -

X +

1)

A< 0 F ,=

(x

+

3x - 6 l)2(x2 -

A X +

1)

(x

+

B Cx + D + ■ -+ ■ l) 2 x + l x 2 - X + 1

mmc = (x + 1)2(x2 - x + 1) 3 x —6 = A ( x 2 — x + 1) + B (x + l)(x 2 —x + 1) + x3+ 1 + (Cx + D)(x + l ) 2 x2 + 2x + 1 3x - 6 = A x 2 - A x + A + B x 3 +B + Cx3 + 2 C x 2 + C x + D x 2 + 2Dx +D 3x - 6 = (B + Q x 3 + (A + 2 C + D )x 2 + ( - A + C + 2 D )x +

2? + 3& ( B + C = 0 3a _4a

{ - B + 2C =

3 C + 3D = 3 De 3 C + 3D = 3 = = >

6 + 3D = 3

l í + 3?

a 3C + 3D = 3

------ > Z> = - 1

De 5 + C = 0 ------- > 5 + 2 = 0 ~ ^ = > lg = - 2

6

248

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

=> A - 2 - 1 = - 6

D eA+ B+ D = -6

3x — 6 = — x* + x 3 + x + 1

Logo,

F = lF = 1+

2 * + 1

(x + l ) 2 3

. +

( x + 1 )5

(x + l) 2

2 * + 1

X

A = -3 2 +1

2 x-l x2- x + \

2x - 1 x2 - x + 1 2x - 1

X1 - X + 1

8.2 - INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS A integração das funções racionais fracionárias poderá recair em integrais do tipo f— dx = ín u + C ■' u r— d* - = — 1 arctg— * x A +. n C ■' a2 + x 2 “ a ou dx = a integral de soma de frações

Seja a integral / = f

^ a2 - x 2

Análise: fm = 0 19) < \p = 2

■> m < p

> não admite divisão I

29) D(a2 —x 2) = —2 x d x não é do 39)

. — „ não é a diferencial de—arctg— a —x a 16 a

49) a2 —x 2 é fatorável. Façamos a decomposição da fração -y—— r

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

1

1

a2 _ X2

(a + *)(

1 í -A + B = 0 aA + aB = 1 => A =

A =B => aA + aA = 1

=> 2aA = 1

1 2a

e também B = — . 2a Então, a fração _1_

1 a2 —x 2

2a | 2a __ 1___ L _ + . 1 1 a+x a —x 2a a + x 2a a - x

A integral /= /-

dx

r í _____ 1 1L -. +1 i ______ 1 2a a + x 2a a — x

2 a •' a + * u

0 _ v' 1 r Idx 2a- a — x

V

/ = y ^ 2 n ( « + x) Q y ^ 2 n (a — x) + C I

[®n (a + x ) — 2n (a - x)] + C

/ = ^ - e n £- ^ + c 2a a-x

dx

249

250

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

8.3 - PROBLEMAS RESOLVIDOS PRi Decomponha a fração em frações parcelas. 3 x 3 + 6 x 2 - 18x + 2 F =x3 + 2x2 - 4x - 8 Solução: Análise: m = 3 „ ------- > m = p p =3

> admite divisão.

3 x 3 + 6 x 2 — 18x + 2 x3 + 2 x 2 — 4 x — 8 - 3 x 3 - 6 x 2 + 12x + 24 3 - 6 x + 26

r-3e

6' - 26

x3+ 2x2 - 4x - i F\

6 x — 26 Façamos a decomposição de F, = „ V x + 2 x - 4 x —8 Fatoremos o denominador x 3 + 2 x 2 — 4 x — 8. x 3 + 2 x 2 - 4 x ^ - 8 = x2(x + 2) - 4 (x + 2) = (x + 2)(x2 - 4) = diferença de 2 quadrados

= (x + 2)(x + 2)(x - 2) Logo, 6 x — 26 Fi = ' x 3 + 2 x 2 —4 x — 8 6 x - 26 (x + 2 )2(x - 2 )

A , B , C H----- ——T* (x + 2 )2 x + 2 x - 2

V____________________________

y

mmc = (x + 2)2(x — 2) 6x - 26 = A ( x - 2) + B (x + 2)(x - 2) + C(x + 2)2

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

B +C= 0 1? X 4 + 3«

A + 4C = 6 - 2 A - 4 5 + 4C = -2 6

l ? x 4 + 3 ^ f —2.4 + 8 C = —26 ia + 2? ■2 í> 1 6 C = - 1 4 ^4 + 4 C = 6 => C = -

Def i + C = 0

14 16

C= - T

=> B = —C -

De A + 4 C = 6

=>^-4-t=6

=> ^ = 6 +-

A

A

2 = 6

2

19 F ,=

(x + 2)2 1

2

9

* +2 .

7

(x + 2)2

F =3 —

19

X- 2 8(x + 2)

.+

. 2(x + 2)2

F =3 —

8 (x — 2)

7 8(x + 2)

8 (x —2)

19

7

2 (x 4- 2)2

8(x + 2)

8(x — 2)

PRj Decomponha em frações parcelas a fração

F = ____ __________ x 3 —2 x 2 - 4 x + 8 Análise:

'm = 1

não admite divisão

p =3 Fatorando o denominador

= >

>

x 3 - 2 x 2, - 4 x + 8 = x 2(x - 2) - 4(x - 2) =

= (x - 2)(x2 - 4) = (x - 2)(x - 2)(x + 2)

251

252

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

F =

_______ 4jx---- i y 4x — 8 x 3 — 2 x 2 — 4 x + 8 -í*— -2H* — 2)(x + 2) 4 => F = _____________ = ^ t _ + _ A _ (x - 2)(x + 2) x - 2 x + 2

*__________________________________ /

mmc = (x - 2)(x + 2) 4 = .4 (x + 2) + 5 ( x — 2) 4 = Ax + 2 A + B x —2B 4 =(A + B ) i + 2A - 2 B 0

4

A + 5 = 0 = i> 2/1 - 2 5 = 4 F=

B = -A

= >

2>4 + 2A = 4 =

4x —8 x 3 —2 x 2 — 4 x + 8

1 x -2

A = 1

1 x + 2

PR 3 Decomponha em frações parcelas a fração 2 x + 16

x3 -

6

x2 +

m = 0

1 2

x -

8

=>m não admite divisão e

P = 3 x 3 —6 x 2 + 12 x — 8 = (x — 2)3 “Fator x —2 do 19 grau e repetido 3 vezes. Então, F= ■

2 x + 16

2 x + 16

—6 x 2 + 12x —8

B

(x - 2)3

(x - 2)3

(x - 2)2

mmc = (x —2)3 2x + 16 = A + B ( x - 2) + C(x - 2)2 x2 - 4x + 4 2 x + 16 = /l + 5 x - 2 B + Cie2 - 4 C x + 4C 2 x + 16 = Cx2 + ( g - 4 C ) x - h i4 — 2 5 + 4 C = = > 0

2

'

16

C= C 5-4C =2 = > 4 - 2 5 + 4 C = 16 /I = 20

5 = 2 = > . 4 - 4 + 0 = 16

* - 2^

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

F =

2x + 16

20

x 3 — 6 x 2 + 12x — 8

(x - 2 )3

Integre / = J-

,

2 (x - 2 )2

dx A —U

Análise: 19) m < p

> não admite divisão

29) D ( x 2 — a2) = 2 x não é do tipo J ~ l^x 39)

. ^ , não é a diferencial de — arctg— x2 - a 2 a 6a

49) Façamos a decomposição da fração —r— x —l 1 x1 — a2

1 (* + a)(x — a)

A x +a

,

B

mmc = (x + a)(x - a) Eliminando os denominadores 1 = A (x - a) + B (x + à) 1 = A x — aA + Bx + aB 1 = (A + B )x + ( - a A + aB) = > 0

1 A +B=0

A = -B

-aA + aB = 1 => 2aB = 1

L ogo,Então,

2a x + o

=> 4- aB + aB = 1

B = 2~a I 2a x —à'

eiA = - — 2a

254

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

I = ~ ^ - S n ( x + a) + v - £ n (x - a) + C 2a 2a I = yj j [2n (x - .a ) — 2n (x + a)] + C I =^-S n ^^-+ C 2a x + a

PRS Integre/ = J-

1x + 3x + 4

dx.

Solução: Análise: 19)

m —2

m não admite divisão t

29) D (x 3 —x) = 3 x 2 — 1

> não é do tipo f ~ d x

39) Tentemos a decomposição da fração. O denominador fatorado é x 3 - x = x (x 2 - 1) = x (x + l)(x Então, „

7x2 + 3x + 4

7 x1 + 3 x + 4 A , B , C x(x+ l)(x-l) X X + l X — 1 / v_________________________________ V mmc = x ( x + l)(x — 1)

r = --------- ------ ;---------= —7------;—7T7--------7T = ----H---------;—T + ' X3 - X

Eliminando os denominadores, vem: 7 x 2 + 3 x + 4 = 4 ( x + l)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 1)

7 x 2 + 3 x + 4 = A x í - A + Bx2 - Bx + Cx2 + Cx 7x2 + 3x + 4 = ( /l + B + Q

x2

+ (-B + Q x - A

A +B + C = 7 -B + C = 3 -i4 = 4 = í >

Somando as 3 equações

> 2 C = 14 ■■■ ■ >

C= 7

De —B + C = 3 = = > —B + 7 = 3 = = > - f i = —4 = = >

B=4

1).

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

Então: _ I x 1 + 3x + 4 4 . F = ------------------- -----------h X

4

X + 1

+ .7

X — 1

Substituindo na integral I -

= = > /=

/(-1 + -4 -+ -Z J \

X + 1

X

X — 1

dx

/ = —4 / — + 4 + 7 J x•'x + l - 'x — 1 / = - 4 £nx + 4 8n (x + 1) + 7 2n (x - 1) + C I = gn

+

1j - + C

f/ + *3- 8 j Integre/ = J ^ _ g dx. Solução: Análise: 19)

wj

= 4

p = 3

=> »1 > p - 8

X4 + X3

-x 4

admite divisão

x3 - 8 x + 1

+ 8x x 3 + 8x - 8 -x 3 +8 8x

Substituindo em I ■ >I =

x + 1+

/ = f x d x + Jdx + /•

8x x —8

8x ■dx x3 - 8

8x 7 - ^ + * + / x 3 - 8 -dx Analisemos a fração 19) D ( x 3 — 8) = 3 x 2

8x

> não é do tipo—

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

29) O denominador é fatorável e é a diferença de 2 cubos, portanto, do tipo a3 - b3 = (a — b)(a2 + ab + b2). F =

8x

_

8x

(x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )

x3 - 8

A Bx + C * - 2 ' x2 + 2x + 4

mmc = (x — 2)(x2 + 2 x + 4) Eliminando os denominadores —-

>

=> 8 x = 4 (x2 + 2 x + 4) + (Bx + Ç)(x - 2) 8 x = A x 2 + 2 A x + 4 A + B x2 - I B x + Cx - 2 C 8 x = (A + B ) x 2 + (2A - 2 B + Q x + 4 A - 2 C 8

0 ,4+ 5 = 0 = ;

0

B =-A

2 A —2 B + C = i 4 A —2 C = 0 í 4A + C = 8

_

3C = 8 -

[4A - 2 C = 0 _

A =

De 4 A - 2 C = 0

=>A=-=2

3

^

x -2

x3— 8

2C

-

t

= ~T 4_ 3

8x

F =

a

1 „ 4 F =—■ 3 x —2

C=-,

8

x2 + 2x + 4

3

x3 + 2x + 4

3

i x —2

Substituindo em (1)

/=T + x + r

X

.

,4

r dx

I = -r- + x + — / 9 3V x — 2

3

x2 + 2 x + 4 /

dx

X - 2 dx - f3 x2 + 2 x + 4

j x2 , 4 . , 4 f x -2 dx / = - y + X + y £n (x — 2 ) —-r-J3 x2 + 2 x + 4

(2)

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

257

j ç _2 Analisemos a integral I— -------------- dx. V 4-2x4-4 19) D (x 2 4- 2 x 4-4) = 2x 4- 2 29) x 2 4- 2 x 4- 4 é infatorável, porque Ax < 0. I Tentemos a preparação para o tipo l — dx. /'-----* ~ 2---- = i j x2 + 2 x + 4

2) (ic = -L /'— 2 x ^ - 4 __ 2 • jt1 + 2 jc + 4 2 J x2 + 2 x + 4

’

porém o numerador deve ser 2 x + 2, portanto somemos e subtraiamos 6. r

x -2 1 ,-2x- ' l í ó - 6 , 1 ,-(2x + 2) — 6 , ~i---------=-r- /-------:------------dx =— í-1^------------dx

' x 2 4- 2 x 4- 4

2-'

x + 2x + 4

2 •'

4- 2 x 4 - 4

/• x — 2 1 r 2x + 2 j dx ./^ : 4^ 4, ** = t2-'H x 2 4I - „2 x- 4,-:4 d» - 3 ,’/ -x 2 4 -2x 4- 4 x 2 4y- 2x

x —2

j

1„ ,

„ \ J a2 + x 2 = —a cos a

y / a2 + x 1 = a sec a Substituindo em I . r _ r dx r a s e c 2uda => 1 ~ J /—5—;— t = / ------------- = / sec a da y /a + x 2 a seca ■'

(D

1 = 9 .n (sec a + tg a) + C, Voltemos à variável x.

_ y / a2 + => sec a = ----- - ----- e tg a —~ -

Vimos, da figura, y /a 2 + x 2 = a sec a Substituindo em (1) dx W

'

/= £ n

-= £n

x + y/a2 + x 2

\/a 2 + x ‘ , x

+ ~a + C‘ + C,

/ = £n (x + y / a 2 + x 2) - £n a + C, V----- V----- ' C 1~ f~/ 2 = 211 (* + V a 2 + x 2) + C V» + r E2

Integre / = / -

abc

V r - a2 A análise nos levará às mesmas conclusões do exercício Ej.

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

269

Tomemos o triângulo retângulo auxiliar. Notemos que a V x 2 — a2 é a medida de um dos catetos, por ser a raiz quadrada da diferença de 2 quadrados, x é a medida da hipotenusa e a a medida do outro cateto. Marquemos o ângulo a oposto ao cateto de medida variável. Do triângulo retângulo tiramos s / x 2 - a2

tga

e a = x cos a

y / x 2 — c2 = a tg a

=> x =

cosx

dx = a sec a tg a dx

Substituindo em I, vem j

_ r a s e c a tg a d a r dx J \/~ x2 —a2 3 ~ ■' a tg a dx

'= /

■= /"sec a da = in (sec a + tg a) + C,

s ! x 2 — t. Porém, sec a = — e tg a = a a

, * L = = ilJ ± + y Ç ï l / = / ' y j x 2 — a2 \ a a Simplificando /= /-

+ C,

=> dx

= En (x + s / x 2 - a2) + C

Integre I = J s / a 2 + x 2 dx. Solução: Tomemos o triângulo retângulo auxiliar seguindo as recomendações anteriores:

Da figura tiramos:

270

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

— = tg a

> x = a tg a ;

= = = = = cos a \J a2 + x

dx = a see2 a da

> \ / a 2+ x 2=

\ / a 2 + x 2 = a sec a

cosa

Substituindo em I I = f \ / a 2 + x 2 d x = f a sec a • a sec2a da I = a2/ sec3 a da Conforme vimos na integração por partes r 3 1 1 J sec a da = — s e c a tg e>-a +■— 2 £n(seca + tga) + Ct 2 -------Entío, I = f \ f a2 + x 2 dx = a2

sec a tg a +

fin (sec a + tg a) +

Voltemos à variável x. Da figura i

> sec a =

\ J a2 + x 2

r / 2 . 2A fl2 s l a 2 + x 2 x a2 n ( y / a 2 + x 2 x \ + x ? d x = - • - — ----- 8n [ - — ---------------------+ — ) + C,

I= J s/a2

/ = f \ / a 2 + x 2 dx E4

a2 + x 2 + — 2n (x + \ / a 2 + x 2) + C

Integre I = / \ J a 2 — x 2 dx. Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura, tiramos: x = a sen a

—>

dx = a cos a da

271

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

Substituindo na I I = j y / a2 — x 2 dx = [a cos a • a cos a da r 2 r 2 j 2 /'l + cos 2 a , / = a / cos a da = a / ---------------da 2

2

I = y - [da

cos 2 a da

/ = -y- a + y - - y /cos 2 a d (2 a )

(1)

/ = y - a + y sen 2 a 4- C, JC Da figura tiramos sen a = — — a sen 2 a = 2 sen a cos a = 2-

X > a = arc sen— e a \ / g 2 —x 2

2I x y-j— = —r V a

Substituindo na (1) / = f y j a2 —x 2dx = -y - • arcsen-^- + y • —y s / ã 2*—1c2 + C

I = J y / a 2 - x 2 dx = — arc sen^ + y \ / a2 — Es

+ C

Integre 1 = 1 y / x 2 — a2 dx. Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura tiramos: a = x cos a

=> x =

cos a

=> x = a sec a

dx = a sec a tg a da y / x 2 - a2 L —----------- = tg a

r 3----- 2 > V x — a = a tg a

272

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Substituindo em I = f y / x 2 - a d x = f a tg a • a sec a tg a d a = a2/sec a • tg2 ada, mas tg2 a = sec2 a — 1. Logo, / = a2/sec a (sec2 a — l)d a = a2fsec3a d a — a2/sec a da y s e c a t g a + -y£n (seca + tg a )

—a2 • £n (sec a + tg a) + C,

—~2 sec a tg a + — £n (sec a + tg a) — a2 £n (sec a + tg a) + C\ 2

2

= - 2~sec a tg o — y £n (sec a + tg a) + Q x y / x 1 - a2 => sec a = — e te a = —----------a a Substituindo em (1) Do triângulo

i r I =Jv x - a

2

* y/ x 2 - a2 dx = — — -----------2 a a 2' + C, \ a a

/ = / \ J x 2 - a2 dx =

y / x 2 — a2 -

9.2 - PROBLEMAS RESOLVIDOS dx PRi Integre / = f (4 —x 2)3/2 Solução: Podemos escrever dx ' = / (4 - x 2)312

cfx

(V 4 - x 2)3

Não é potência, nem arc sen. Tentemos a substituição de variável. Tomemos o triângulo retângulo auxiliar. A y / 2 2 —x 2 é a medida de um dos 2 catetos, 2 é a medida da hipote­ nusa e x a medida do outro cateto, que se opõe ao ângulo a.

£n (jc + y / x 2 — a2) + C

(1)

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

Do triângulo retângulo tiramos: x = 2 sen a ------ > dx = 7 cos a da e \ / 4 — x 2 = 2 cos a Substituindo em I / =

f

,

= f i c a d a

J (-^4 —x 2)3

8 cos a

= I

,• _ * = _ = 1 / s e c 2 a d a

4^ cos a

4

/ = - ^ t g a + C,

Da figura tiramos —j = = = tg a V 4 -r Substituindo em (1) ■■> dx => / = 7

(4 - x 2)3/2

4 V 4 - x2

•+ C

Integre I = / 7= X= dx. 6 J y/16 + X 2 Podemos desdobrar soma de duas integrais. ' = 3 / -V7 = 1 6T+ =x 2f - / - v t *ó *t :

® Façamos 1 = 3 • 0

© — (2) .

Integramos (T) = / —7—^ ■W J V 16+X 2 Usemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura tg a = >

x = 4tga

c/x = 4sec2 acfa

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

274

=> 4 = V 16 + X2 cos a

=> \ / 16 + x 2 = -

•v/16 + x 2 = 4 sec a Substituindo na (T) (D = J ^ S4 se

= / sec 01

=

(sec x = a sec a

> sec a = -

=> a. = arc sec — a

Substituindo na (1)

W

dx 1 x , „ ---- 7= = = = — arc sec— h C x x —a a a dx

'n,eB" , - ' / 7 ? T 4 Ï Preparemos a integral dx

' = / v V + 4x + 4 - 4

-y■' s / ( x + 2)2 -

d(x + 2) 22

= /-

V (* + 2)2 - 22

Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura 2 = (x + 2) cos a => (x 4- 2) = 2 sec a

> (x + 2) =

cos a

> d (x + 2) = 2 sec a tg a d a

276

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

V (x + 2)2 - 22 ... = tg a

v /(* + 2)2 - 2 2 = 2 tg a

r r d (x + 2) /• 2 seca tga da ,• , 7= / , , = / ----- ------------ = / secada J s / ( x + 2) - 2 J 2 tg « ■' I = 8n (sec a + tg a) + C( Mas, da figura, resulta sec a =

x + 2

_ V (x + 2)1 - 22 _ s / x 1 + 4 x e tg a =

Substituindo na I

w

dx = £n(x + 2 + ^ + 4 7 - V x 2 + 4x

/ = f ___ ^

^ v/ í r + 4 x

)+Ci

= £n (x + 2 + V * 2 + 4 x ) - En 2 + C,

1 = f —j = = = = í n ( i + 2 + s / x 2 + 4 x ) + C • V * + 4x . PRS Integre / = / -

dx

(a24- x2)5'2 '

Preparemos a integral / /=

r = 7 (n/ ? T ^ ) 5 •

Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura tiramos x = a tg a ----- > dx = a sec2 a da

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

a = \ J a2 + x 2 cosa -

>

V a2 + x 2 =

277

cos a

y/a2+ x2= aseca Substituindo na I dx ax

_ r

r asec,2 a d a

(Va2 + x2)5

a5sec5 a

=-~74'f~ '~f ~= ~T /cos3ada sec3a a4-' / cos a cos2 ada = = — I c o sa d a —

a4'

J cos a (1 — sen2a)da

f sen2 a • cos a da a*J cos a da

= — sen a — - J sen2 a d (sen a)

1 sen3a + Da figura

C,

=> sen a =

Então, dx / = /

+ C

( \ / a2 + x 2)5 / 2

PR6 Integre / = f

a4 V a 2 + *2

3 a4 (V a 2 + * 2)3

2* a dx.

x4 Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura

►— = cosa x

=0 Jt =

cosa

278

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Substituindo na I T _ Ca tg a ' a sec a • tg a da á á da . 1 rsec a — 1 / = — J - ----- j----- da a sec a 1 sec a 1 J = _ V J — 3 — da — — í — da a sec a a • sec a

■

/ = ~ /cos ad a — f cos3ada a2 •' a • 1 sen a ----1- írcos a • cos2 a da ^ /r = — a2 a2 • / = ~ sen a — \r /cos a (1 — sen2 a)da a a • I = - y sen a — y jeos ad a + -^-/sen2a cos a da / = — sen a — y sen a + 4r / sen2ad(sen a) a a a • r

1

sen3 a , „

/ = - r • — r — + C,

Da figura tiramos sen a =

(D V * 2 - a2

Substituindo na (1) i = / ' / * ' ~ a2 dx = - L Os / j í Z Z ) ! + C 3 a2 dx PR 7 Integre I = /" ■ x2V * 2 + 4 Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura:

> x = 2 tg a

o> dx = 2 see2 a d a

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

- = cos a W

cos a

S T *

279

V x 2 + 4 = 2 sec a

= V *2+ 4

Substituindo na / dx

2 sec2 a da

W ' x 2 V * 2 + 4• = '/ 4 tg2 a • 2 sec a .

1 rseca

.

1

1 r

da cos a • sen a cos a da

r

da

1 rc o sa d a

1 ,•

.■

/ = 4 ' / ^ r = T - ' ^ r - = 7 . / sen 2« ^ (se n a ) sen a / = ls e n ^ a + c 4 -1 /=

-

1 + C 4 sen a

Da figura — —> sen a =

(D

y/x2 + 4

Substituindo na (1) dx w

- x2

+ 4

4 . V *2 + 4

9.3 - PROBLEMAS PROPOSTOS Integre:

PP,

dx í ' x \ / 25 + x 2 1 „ 5 + V 25 + x 2 „ J?esp.: —— Cn----------------------1- C 5 x

PP?

dx ' x \/* 2 - 4 /?esp.

1

X arcsec-^-H- C

280

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PP3 / * x dx J x 2 s / x 2 - 16

„

s/X

-16 1

a: , „

Resp.: —— -------------7 arc see — + C 4x 4 4 r 2 x 4- 1 PP4 ./ / „ j dX V 9 —4 x 2

V

Aesp.;

r

9 —4x2 ,1

-------+ —aresen - y 4- C

dx______

5 ' s / - 8 4- 6 x - x 2 Resp.: arc sen (x — 3) 4- C

PP6

dx f(16 - 4 x 22)\3 /2 Resp.: ------, X 4- C 16 V 16 —4 x

pp,

/■ * x2 s / 4 x2 - 9

Resp-.

■*.

9x ----- +

C

/7

■ '(V P* T T )3

Resp. :

PP,

s/ 4 x 2 - 9

/-

. = - 4- C V * 2 4- 1 í£t

V *4 - 9x2

1 X i?esp.: — arc sec - j 4- C

y f x ^ Resp.: £n (x 4- s / x 2 - 1) 4- C

2x,„

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

ppn

f ^ X\

“' to

Resp.: y / x 2 - a2 - a • arcsec— + C

pp,. / -

*

' X4 y /x 2 + 1

D

( 2 * 2

—

1 )

y/ x2

+

1

/?esp.; i-----------i-X----------+ c 3 x

pp

f

*ldx

PP'3 j y / T ^ T 2

1

X V 1 -

2

Resp.:y a r c se n x ------^------------ h c

10 INTEGRAL DEFINIDA

Se sabemos que o Senhor habita em nós, aperfeiçoemos a nossa vida, a fim de manifestá-Lo.

10.1 - INTEG RAL DEFINIDA Introdução Seja y = f ( x ) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Tomemos nesse intervalo os pontos x 0, x lt x 2, x 3, . . . , x„_2, x n_lt x„ tais que a = x 0 < < x , < x 2 < X 3 < . . . < x „ _ 2 < x n - i < x n ~ b, Figura 1.

Fig. 10.1

Estes pontos estabelecem uma partição do intervalo fechado [a, b\, decompondo-o nos subintervalos [x0, x j , [x,, X j], [x2, x 3], [x/_,, x ,].......... [-*71-3 “ x n - 2 1» [*n-2. [* n -i, x n \ cujos comprimentos x t - x 0 = AiX, x 2 —x j A2x, •. ■, Xj x /_ , — A /x ,. . . , Xfi _i x n _2 A ^ _ ix e x /l —xw — = A„x. Portanto, de modo geral:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

284

A,x = X( - Xi_,, i = 1, 2, 3 , . . . , n 0 maior dos comprimentos Atx, A2jc, A 3x .......... A„x é chamado norma da partição. Tomemos, para cada índice i um ponto a,- 6 X/] e consideremos o valor yi = /( d| j

y dx | = y dx

------ >

y d x = J y dx,

y d x + Cx e

fydx = F ( x ) + C2

Integrando membro a membro onde

d jj*

EntSo,

j

j= j

y d x + C\ = F ( x ) + C2

[ C

y d x = F ( x ) + C2 - C

£ (2)

restando-nos calcular o valor de C. Para tanto deveremos fixar uma condição inicial. Façamos x = a ------- > S(á) = 0, pois para x = a a superfície A a x P reduz-se ao segmento A a. Daí

S(a) =

f

ydx=F(a) + C

Ja

0 = F(a) + C C = —F(a)

Substituindo na (2)

—> f

y d x = F(x) - F(a)

INTEGRAL DEFINIDA

Façamos x = b

5 (6 ) = A a b B e

ç»

287

y d x = F(b~) — F(a)

Habitualmente, indicamos *b [ yd * = [F(x))b a = F (b) - F(a) Ja que é a expressão do Teorema Fundamental do Cálculo Integral. “A Integral Definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos para x = b e x = a, respectivamente.”

Exemplos: >3

Ei

Calcule

J

3 x 2dx

Como [3x 2dx = x 3 + C.

Tiramos

j

3 x 2dx = [x 3]* = 3 3 - ( - 1)3 = 27 + 1 = 28

.4 /•4

E2

Calcule

Sendo [2 — = 2 f — = 2 i n x + C X

Resulta',

E3

Calcule

j Ji

I f :

J X

x

= ftín JtT j = 7 í n 4 - 2 8n 1 = 2 2n 4 = Kn 16 "X '

cos x d x

288

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

A integral indefinida

7T rr 7T /" 2 í 1 T = sen — — sen 1 cosxdx = sen jc 1 2 L -»-* V 2/ 1* 2

Logo

E4

fc o s x d x = senx + C

4dx

Integre

Jo 4 + * 2 Determinemos a integral indefinida 4/

*

= 4 /

J 4 + x2

_ *

_ - 4 4 a r c t g 4 + C

J 22 + x 2

2

6 2

Então,

í

2 2 0 4dx = 2 [ arctg ^ = 2 arctg — 2 arctg = 4+Jf2 L 2

= 2 arctg(l) - 2 arctg(O) = 2 » - ^ - 2 * 0 = y

10.2 - CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS 10.2.1 - Seja y = f ( x ) > 0, diferenciável no intercalo fechado [a, b], Figura 3.

Aí x

Como vimos

sa= I h

fb

Ja

ydx =

Um

" £ / ( “«') i =i

A'x

INTEGRAL DEFINIDA

289

A área da superfície limitada pelo gráfico da curva y = /( x ) , pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = fcé obtida pela integral definida

S =

í

ydx

Ja

onde y d x é a área de um retângulo elementar. Admitamos que a superfície, cuja área desejamos, seja limitada pelo gráfico da curva y = /( x ) , pelo eixo dos y e pelas retas y = a e y = b, Figura 4.

A área do retângulo elementar é xAy — xdy. Então,

S cb = J|

xdy

Exemplos: E!

Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 + 2, pelo eixo dos x e pelas retas x = — 1 e x = 2. Comecemos a resolução do problema pela representação gráfica para x = - 2 —— > y - 4 + 2 = 6 para x = - 1 —— > y - 1 + 2 = 3 para x = 0

- — > y - 0 + 2 = 2

para x = 1

- — > y - 1+2=3

para x = 2

—— > y - 4 + 2 = 6

290

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL,

Marcamos um retângulo elementar com base i j eixo que limita a superfície, cuja área queremos calculai. No nosso caso ydx. 0 limite da soma dos infinitos retângulso elementares vdx, contidos no [—1, 2] nos será dado por

5= 1

1,

y d x e como y = x

+2

+ 2)dx

=> S =

- í *

A integral indefinida f (x 2 + 2) dx = f x 2dx + 2 /d x = ^ + 2 x + C 0 que nos dá S =

(x 2 + 2)dx =

L 7 -LO

=7 E2

13

T

xJ

t

+ 2x

2 8 1 = ^ + 4 - 4 - 2 = -i 3 3

2

Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x~ — 2, pelo eixo dos y e pelas retas y = 1 e y = 3. X3 -

2.

X

-2

-1 0

-1

-

3

-

2

1 -

1

2

6

0

Marquemos a superfície 5 , e um retân­ gulo elementar xdy.

xdy

Da funçâto >> = x 3 — 2

o x3 = y + 2

(D

^ x = (y + 2 )1/3

INTEGRAL DEFINIDA

291

Substituindo em (T) :

S]=

j

3

( y + 2 ) l,3dy = J

dy

( y + 2)1/3 d ( y + 2) =

_ [ 0 < + 2)4/3' _4 L 3 5 i =_f (54/3 — 3 4/s) = - |( 5 ^ 5 - 3 V l ) u 2

10.2.2 - Seja y = f ( x ) < 0 no [a, b], Figura 5.

y

ydx

dx

o A área procurada 5* é o módulo da •b integral definida I y d x , pois sendo

í

y < 0, o produto y d x é também nega­ tivo. Exemplos: Ej

Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 — 4, pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 2. Comecemos pela representação gráfica:

y -3

5

-2

0

- 1 -3 0 -4 1

-■3

2

0

3

5

2 Marquemos a superfície S Q e um retângulo elementar yd x .

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

H

Então,

ydx

, como y = x ‘

I f

So=

Sendo

f

I Jo

í * * “ 4) *

f ( x 2 - 4) d x =

— 4x + C

3

1

m* l

So =

2 0

1oo 1

vem,

\3

) -0 /

16 16 2 3 = T U

Nota: Como o produto y • dx pode ser negativo, a representação gráfica é indispensável. Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3 - 6 x 2 + 8x, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4. Representemos graficamente a função e marquemos a superfície cuja área desejamos e o retângulo elementar ydx.

0 3 0 -3 0

Notamos que no subintervalo [1, 2] temos y > 0 e no subintervalo [2, 4] temos y < 0. Não poderemos, portanto, calcular a área usando apenas uma integral.

Assim,

ydx +

ydx

INTEGRAL DEFINIDA

Como

y = x 3 — 6 x 2 + Sx

H' e

293

(jc3 - 6 x 2 + 8x ) d x +

/ ( x 3 - 6 x J + 8x)dx = ~

r |

(x 3 — 6 x 2 + 8x)dx

- 2 x 3 + 4 x 2 + C.

Então, 4 2 * ; = . 4 - 2 x 3 + 4 x 2 + . 4 - 2x3 + 4 x 2 2 1

s* = (4 - 16 + 16) - ^J - 2 + 4) + 1(64 - 128 + 64) - ( 4 - 1 6 + 16)1 5 4 = 4 - Z + |_ 4 |

5:= 8 - f = f „ 2

Observação Importante: (O.I.) A integral definida muda de sinal quando permutamos entre si os limites de integração.

De fato:

í

í

Comparando

r

f{x)d x= F {b ) -F (a )

f ( x ) d x = F(a) - F (6) = - [F (6) - F (a)]

f ( x ) d x = - J* /( x )d x

Recurso que substitui a uso do módulo. *4

Assim:

E3

í

( x 3 — 6 x J + 8x)dx

-r

(x 3 - 6 x 2 + 8x)dx

Calcule a área da superfície limitada pela curva y = - x2 + 8x — 7, pelo eixo dos x e pelas retas x = 5 e x = 8.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

294

Representemos graficamente a curva y = —x 2 + 8x — 7.

y -7 0 9 0 -7

Marquemos a superfície cuja área desejamos calcular, bem como os elementos de áieaydx. A área S = S s7 + Sf

S =

.7

*8

I ydx +

I ydx

ou, conforme O.I.

=

S =

r

I ydx +

r

I ydx

Jf ( - X 2 + 8x -

l)d x +

( - x 2 + 8x - 7)dx

A integral indefinida J ( —x 2 + 8* — 7)dx = - — + 4jc2 — 7jc + Então

INTEGRAL DEFINIDA

S =

7

X3

- 4 r - + 4x2 - l x 3

s=

+ S

- 4 - + 4 x 2 - 7* 3

+ 196 “ 49) +

+ 100 ~ 35) + 512

+196-49

„ 9 8 3

70 3

_ _ 28

10

S= T + T E4

295

98 3

+ 256 - 56

88 3

38 ,

=T U

Calcule a área da superfície limitada por um ciclo da ciclóide x = d - sen 6 y = 1 - cos 6

í

Sabemos que S = |

y d x . No nosso caso

y = 1 — cos 6 e dx = (1 — cos 8)dd Então • 2it

-í

pin (1 _ //fl = (1 (1 _ — nr\c cos 0)(1 - nr\c COS0)d0

— I

I

-í

J

*27T

5 = |

,[ 1 - 2 cos

+

1 + °°s2