Armaduras y Energia de Deformacion 4

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ARMADURA 1.1.

CONCEPTO

Es una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Los elementos usados comúnmente en construcción consisten en punta puntales les de mader madera a o barra barras s metáli metálica cas, s, los ángulos ángulos y los canales canales.. Las Las conexiones en los nodos se hacen, por lo general, atornillando o soldando los extr extrem emos os de los los elem elemen ento tos s a una una plac placa a comú común, n, llam llamad ado o placa placa de nudo nudo o pasando con gran perno o pasador a través de cada uno de los elementos. Las armaduras planas se localizan en un solo plano y se usan a menudo para soportar techos y puentes.

1.2.

TIPO DE ARMADURAS:

!"#$! #E %E&'()  La armadura de techo suelen usarse como parte de la estructura de un edi*cio industrial como se muestra en la *gura, a+uí la carga del techo se transmite a la armadura a través de los nudos por medio de una serie de largueros. La arma armadur dura a de techo techo unto unto con sus colum columnas nas de sopor soporte te se llama llama marc marco, o, ordinar ordinariame iamente, nte, las armadur armaduras as de techo están soporta soportadas das por columnas columnas de made madera ra,, acer acero o o conc concrreto eto re-or e-orza zado do o por por mur muros de mamp mampos oste terí ría. a. ara ara mantener el marco rígido y por tanto, capaz de resistir -uerzas horizontales de viento, se usan a veces puntales de rodilla en las columnas de soporte. &uando el claro es grande, suele usarse un rodillo o una mecedora para soportar uno de sus extr extremo emos. s. Este Este tipo tipo de sopo soporte rte permit permite e ciert cierta a liber libertad tad de expa expansi nsión ón o contracción por temperatura o aplicación de cargas. El espacio entre marcos adyacentes se llama cruía. Las Las cru cruía ías s mide miden n apr aproxima ximada dame ment nte e /.0 /.0 m para para clar claros os de casi casi 12m 12m y aproximadamente 3m para claros de casi 45m. Las cruías se unen entre si usando un arrostramiento diagonal para mantener la rigidez de la estructura del edi*cio. Las -ormas de las armaduras usadas para soportar techos se seleccionan co5n base en el claro, pendiente y tipo de material de la cubierta, en particular la armadura de tiera puede usarse para claros pe+ue6os +ue re+uieren altura libr libre e supe superi rior or,, las las arma armadu dura ras s 'o7e 'o7e y ratt ratt se usan usan para para tech techos os de clar claro o moderado, de entre 12 y 45m, si se re+uieren claros mayores para soportar el tech techo, o, pued pueden en usar usarse se la arma armadu dura ra de aban abanic ico o o la arma armadu dura ra 8in9. in9. Esta Estas s arma armadur duras as pueden pueden const construi ruirs rse e con con la cuerd cuerda a in-eri in-erior or comba combada da.. &uando &uando se piensa colocar un techo plano o casi plano, suele usarse la armadura :arren. •

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1

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Las armaduras 'o7e y ratt pueden también modi*carse para recibir techos planos, las armaduras de diente de sierra se usan cuando la separación entre columnas no es obetable y es importante una iluminación uni-orme. $na -ábrica textil sería un eemplo. La armadura de cuerda de cuerda de arco se selecciona a veces para garaes y hangares pe+ue6os, la armadura en arco aun+ue relativamente cara, puede usarse para grandes alturas libres y claros largos casas de campo, gimnasios, etc.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;

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•

ARMADURA DE PUENTE:

Los elementos estructurales estructurales principales de una armadura típica de puente. +uí  se ve +ue +ue una una carg carga a sobr sobre e la cubi cubier erta ta se tran transm smit ite e prim primer ero o a las las viga vigas s longitudinales, luego a las vigas de piso y *nalmente a los nudos de las dos armadur armaduras as laterales laterales de soporte. soporte. Las cuerdas cuerdas superior superiores es e in-eriores in-eriores de esas arma armadur duras as later laterale ales s se conec conecta tan n por medio medio de un arrio arriostr stra a miento miento later lateral al superior e in-erior +ue sirve para para resistir las -uerzas laterales causadas causadas por el viento y el movimiento lateral causado por los vehículos +ue transmiten sobre el puente. $na estabilidad adicional se logra con el portal y el arriostra miento por balanceo, igual +ue en el caso de muchas armaduras de techo de gran claro, se coloca en un extremo de una armadura de puente un rodillo para permitir cierta dilatación térmica. lgunas lgunas -ormas -ormas típicas típicas de armadu armaduras ras para para puentes puentes usadas usadas actualme actualmente nte en claro claros s simple simples, s, en parti particul cular ar las arma armadur duras as rat ratt, t, 'o7e 'o7e y :arr arren se usan usan normalmente para claros de entre 00m 31m de longitud. La -orma más común es la armadura :arren con verticales, para claros más grandes se usa una armadura armadura con cuerda superior poligonal, como la armadura ar9et, ar9et, +ue permite algo de ahorro en material. La armadura :arren con verticales puede también -abricarse de esta manera para claros de hasta i se observa esta regla, entonces para claros mayores +ue e puede agrandar el elemento básico de armadura ?& de la *gura AaB al agregar dos nuevos miembros, ?# y &#, a dos de los nodos existentes, ? y &, al conectarlos para -ormar un nuevo nodo #, como se muestra en la *gura AbB. En tanto +ue el nuevo nodo # no se encuentre sobre la recta +ue pasa por los nodos existentes, ? y &, la nueva armadura agrandada será internamente estable. La armadura se puede agrandar todavía más al repetir el mismo procedimiento Acomo se muestra en la *gura AcBB tantas veces como se desee.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

/

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Las armaduras construidas por este procedimiento se llaman

.

En estas *guras, el elemento básico de las armaduras simples se identi*ca como ?&. $na armadura simple se -orma al agrandar el elemento básico de armadura, el cual contiene tres miembros y tres nodos, al a6adir dos miembros adicionales por cada nodo adicional, de modo +ue el número total de miembros

en una

armadura simple se expresa por) En la cual  C número total de nodo Aincluyendo a+uellos *ados a los apoyosB.

&

&





?

# ADuevo

Duevo miembr

? Ab

Aa #

&

Duevo miembr

E ADuevo 

? Ac

•

ARMADURAS COMPUESTAS

+uellas construidas por la unión de dos armaduras simples usando 1 barra de unión adicional y un nudo común, o tres barras adicionales o sustituyendo elementos de una estructura principal por armaduras o armaduras secundarias.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

0

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 Tipo 1: armadura conectada mediante un nudo común y una barra En la *gura a se muestra un eemplo, donde la armadura sombreada ?& está conectada a la armadura sombreada &#E de esta manera.

Tipo 2: Las armaduras pueden unirse mediante tres barras, como el caso de la armadura sombreada ?& conectada a la armadura #E8 más grande, *gura b.

Tipo 3: Las armaduras pueden unirse en los puntos donde las barras de una armadura simple de gran tama6o, llamadas armadura principal, se han sustituido por armaduras simples, llamadas armaduras secundarias. En la *gura c se muestra el eemplo, donde los elementos sombreados de la armadura principal ?&#E han sido sustituidos por las armaduras secundarias sombreadas. >i esta armadura soporta cargas de techo, el uso de armaduras secundarias podría resultar más económico, ya +ue los elementos trazados con líneas discontinuas pueden estar sometidos a Fexión excesiva, mientras +ue las armaduras secundarias pueden trans-erir meor la carga.

El método de secciones es útil para el análisis de armaduras compuestas, esto es, armaduras +ue no se pueden construir a partir de la armadura triangular básica, pero +ue se obtienen conectando rígidamente varias armaduras simples. >i las armaduras simples +ue constituyen a la armadura compuesta han sido conectadas en -orma apropiada Apor medio de un perno y un eslabón, o por medio de tres eslabones +ue no son concurrentes ni paralelosB y si la estructura resultante esta bien apoyada Apor medio de un perno y un rodilloB, la armadura compuesta será estrictamente determinada, rígida y completamente restringida. Entonces se satis-ace la siguiente condición necesaria) m G r C ;n, donde m es el número de elementos, r es el número de incógnitas +ue representan las reacciones en los apoyos y n es el número de nodos.

Figura A

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

3

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Figura B

•

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

Tipo 1: #etermine las reacciones externas sobre la armadura y luego, usando el método de las secciones, corte la armadura a través de la barra +ue conecta las dos armaduras simples de manera +ue la -uerza en esta barra pueda obtenerse cuando se aísle como cuerpo libre una de las partes seccionadas. $na vez obtenida esta -uerza analice las armaduras simples usando el método de los nudos.

Tipo 2: #etermine las reacciones externas sobre la armadura. $se el método de las secciones y corte cada una de las tres barras +ue conectan las dos armaduras simples entre si. #el diagrama de cuerpo libre de una de las partes

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

H

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seccionadas, determine cada una de las -uerzas en las tres barras. nalice luego cada armadura simple usando el método de los nudos.

Tipo 3: !etire las armaduras secundarias y reemplácelas por miembros punteados para construir la armadura principal. Las cargas +ue las armaduras secundarias eercen sobre la armadura principal se colocan también sobre la armadura principal, en los nudos en +ue las armaduras secundarias se conectan a la armadura principal. #etermine las -uerzas en los miembros punteados de la armadura principal por el método de los nudos o secciones. Esas -uerzas se aplican luego a los nudos de las armaduras secundarias y entonces, usando el método de los nudos, pueden obtenerse las -uerzas en las barras de las armaduras secundarias •

EEMPLO: nalizar la armadura compuesta mostrada en la *gura.

SOLUCIÓN

La armadura es una armadura compuesta tipo 1 armaduras simple &' y &EI conectadas por un pasador en & y por la barra 'I.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

2

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La sección aa de la *gura corta la barra 'I corta la barra 'I, J&, ?& +ue tienen -uerzas desconocidas. Kemos en un diagrama de cuerpo libre en la *gura siguiente como se determina la -uerza 'I)

hora calcularemos la -uerza en cada miembro de las armaduras simples usando el método de los nudos veamos el diagrama de cuerpo libre. Los nudos de esta armadura pueden analizarse con la siguiente secuencia

Nu!o A) 'allar la -uerza en ? y . Nu!o ": 'allar la -uerza en ' y 'J. Nu!o I: 'allar la -uerza en J y ?. Nu!o B: 'allar la -uerza en ?& y ?J. Nu!o : 'allar la -uerza en J&.

NUDO A

•

ARMADURAS COMPLEAS:

Su solución requiere de métodos especiales. Estas no se forman como las anteriores

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

<

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ENER#IA DE DEFORMACION 2.1. CONCEPTO: •

•

Las -uerzas externas producen de-ormaciones en la estructuras hasta llegar al e+uilibrio entre las -uerzas externas y las internas. >e de*ne como cuerpo elástico al +ue recupera su -orma inicial una vez +ue se retiren las -uerzas aplicadas sobre él.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

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•

•

•

•

Las -uerzas externas realizan un trabao, introducen en la estructura una energía de de-ormación. La termodinámica establece +ue el trabao e-ectuado por las -uerzas externas más el calor +ue absorbe el sistema desde el exterior es igual a un incremento de la energía cinética más un incremento de la energía interna. El incremento de energía cinética es igual a la suma de los trabaos de las -uerzas externas e internas. En el cálculo de sistemas elásticos se desprecian las pérdidas de energía por calor estableciéndose +ue la energía interna del sistema es la energía o trabao de de-ormación del sistema. >e aplica i a una estructura de modo +ue la energía cinética de la masa de la estructura es 5, >i la estructura es elástica entonces la curva -uerza desplazamiento sigue ,la misma trayectoria durante la carga y descarga

• :ext C $int • $5 C 5 ⇒ : C $ C Energía de de-ormación o elástica 8unción potencial,

sólo depende de la de-ormación *nal • di C desplazamiento correspondiente a la carga iésima debido a la acción simultánea de todas las cargas MMMMMMMM..ANNB ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

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#e donde . !eemplazando en ANNB

2.2. E$%rg&a !% !%'or(a)i*$ por 'u%r+a a,ia&onsidérese una barra elástica de sección transversal  y longitud L, sueta a una carga axial , aplicada gradualmente, el incremento de trabao realizado por la -uerza  se de*ne como)

 es una -unción de

y la integración se realiza sobre la variación completa de

la de-ormación de la ley de 'oo9e se tiene)

.

#e donde)

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1;

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!eemplazando ; En 1

La de-ormación interna de un segmento de barra cargada axialmente, para lo cual consideremos la barra sueta a la aplicación gradual de un carga p. la barra experimenta un alargamiento total

La de-ormacion interna de un segmento de

barara de longitud dx es igual a la -uerza promedio por el cambio de longitud . El cambio de longitud de un miembro cargado axialmente en un di-erencial de longitud dx esta dado por la ecuacion)

.

!EE"LOD#()

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

14

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EJE!&&() 'LL! L EDE!I #E8(!"&(D #EL >>%E". EC;55 Ia

>olución)

!eemplazando En La 8órmula)

2.3. ENER#IA DEFORMACION POR FLEIÓN ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1/

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Fig. /2

Fig. /1

La *gura 51 representa una viga con una carga concentrada actuando en ?. El trabao externo involucra el desplazamiento de la carga P a través de la de-lexión Q de la viga. El trabao externo viene dado por R P Q, y sugiere de nuevo la relación lineal cargade-ormación. La energía interna de de-ormación para un elemento di-erencial de longitud dx se determina sumando la energía de de-ormación d$ para cada *bra +ue existe en dx. rimero, vamos a considerar la de-ormación de una sola *bra localizada a una distancia SyT a partir del ee neutro A*g. 5; bB B entonces tenemos

#onde el es-uerzo en la *bra esta dado por

entonces, sustituyendo en

la Ec. AaB se tiene

La energía de de-ormación para la *bra en cuestión es

, donde la -uerza 

representa la carga +ue actuando en la *bra, produciría la de-ormación obtiene a partir de

,

#e nuevo el es-uerzo unitario Fexión,

y se

se determina a partir de la

or lo tanto,

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

10

-ormula de la

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La energía interna de de-ormación en la *bra se tiene sustituyendo las Ecs. AbB y AcB en la -órmula de la energía interna de de-ormación

, +uedando.

La Ec. AdB representa la energía de de-ormación en un di-erencial de área d de longitud di-erencial dx +ue representanta la *bra en estudio ver *g. 54

Fig. /3 La energía interna de de-ormación para el segmento dx es la suma de la energía de de-ormación de todas las *bras de ese segmento y dato se obtiene integrando la Ec. AdB en los limites apropiados Ahi, GhiB +ue de*nen la sección transversal de la viga como indica la *g. M.

&omo el -actor

representa el momento de segundo orden o momento

de inercia , nos +ueda

La Ec. AeB determina la energía de de-ormación acumulada en el segmento dx de la viga, por lo +ue la suma de la energía de de-ormación para cada segmento dx sobre la longitud L, nos da la energía de de-ormación total para la viga.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

13

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E0%(p-o: &alcular la deFexión en B de la 8ig M. ?ao la carga C;/9lb. La viga tiene un momento de inercia I=360

y E=30,000 klb/ 

.

>olución) El trabao externo se de*ne como R P Q. La energía interna de de-ormación puede calcularse a partir de la ecuación de la energía de-ormación por Fexión, la distribución del momento Fexionante interno en el tramo ? de la viga es di-erente al del tramo ?&. or consiguiente la Ec. de de-ormación por Fexión se puede separadamente para cada tramo. #el e+uilibrio estático se tiene +ue.

La ecuación del momento Fexionante para el tramo ? seria

2.. ENER#IA DE DEFORMACION POR CORTE: ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1H

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La inFuencia del es-uerzo cortante sobre la deFexión total de la viga es de muy pe+ue6a magnitud, y por consiguiente se desprecia en la determinación de pendiente y deFexiones. >i +ueremos calcular la contribución de los es-uerzos cortantes a la de-ormación total de una viga, los métodos energéticos proporcionan una técnica muy útil. >in embargo, debería notarse +ue la expresión para la energía de de-ormación depende de la -orma de la sección. Es decir, di-erentes -ormas de sección transversal darán di-erentes expresiones para la energía de de-ormación. La *gura AaB representa una viga de sección transversal rectangular. Las cargas externas producen una -uerza cortante interna K. El es-uerzo cortante no está distribuido uni-ormemente sobre la sección transversal, sino +ue varía según la ecuación

. >e considera una *bra, como lo indica la *gura AbB. El

trabao +ue se realiza mientras +ue la *bra de longitud distorsionada es)

AaB

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

12

está siendo

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El movimiento

El área

es igual a

es igual

ya +ue los ángulos son pe+ue6os.

, según la *gura AcB. El ángulo

de-ormación unitaria por cortante y según la ecuación

representa la , el trabao hecho

sobre esta sola *bra +ueda determinada entonces como)

AbB

La ecuación AbB nos da la energía de de-ormación para un solo elemento, situado a una distancia SUT del ee neutro. El es-uerzo cortante

puede

expresarse mediante la ecuación

. El momento estático P del área +ue +ueda sobre la *bra es)

>ustituyendo esto en la Ec. AbB nos da)

AcB

El trabao para el segmento *bras +ue existen en

se determina sumando la Ec. AcB para todas las

. Esto se convierte en)

.

AdB ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1<

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>ustituyendo

en la Ec. AdB, y reconocimiento +ue

, obtenemos)

AeB

El trabao es la energía interna de de-ormación. ntegrando la Ec. AeB sobre la longitud, se tiene)

ara cual+uier -orma de sección transversal, la Ec. A1.10B puede escribirse como)

El -actor @ puede deducirse para cual+uier sección transversal de una manera semeante.

E0%(p-o: La barra en arco de circun-erencia +ue se muestra está en un plano horizontal. ctúa sobre ella una carga vertical, concentrada en . #eterminar la expresión de la energía de la de-ormación por cortante. La barra es de sección transversal circular de diámetro d, y de material en el +ue IC5./E.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;5

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>(L$&(D)

En una sección genérica >, hallaremos su cortante.

2.. ENER#IA DE DEFORMACION PARA BARRAS SUETAS A TORSION

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;1

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En la *gura representa una Fecha circular sueto a un torsor %. el trabao externo involucra el movimiento del par % a través de la rotación . El trabao externo es

.

La energía interna de de-ormación

para un segmento

en la *gura 1 es)

La siguiente ecuación del ángulo de torsión de una cara con respecto a la otra.

T

!,

T

T

La energía de de-ormación para el segmento

!,

es

La energía de de-ormación en toda la longitud de la Fecha se obtiene sumando la energía de de-ormación para cada segmento. Esto se convierte en)

#ónde) •

•

• o

ara secciones no circulares no es el momento polar de inercia sino un parámetro generalizado +ue se de*ne en la teoría general de la torsión de secciones no circulares. ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;;

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E0%r)i)io: #eterminar el ángulo de torsión

, en el extremo libre

de la Fecha

mostrada en la *gura. La Fecha maciza ? tiene un diámetro de ;55mm y la Fecha maciza ?& tiene un diámetro de 1;5mm. El par de torsión aplicado es de 455 Dm. >upóngase I C 25Ipa.

A

1./ (

B

/.5/ (

C

T43//N(

FI#URA N6 1 SOLUCION. El trabao producido por el par aplicado corresponde el trabao externo y se expresa como

. La energía interna de de-ormación para los

tramos ? y ?& debe calcularse separadamente debido a la variación de diámetros y por ende de J.

El par aplicado, por el único, actúa en toda la longitud de la Fecha, por lo tanto.

La rotación del punto & puede determinarse como) ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;4

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PROBLEMAS APLICANDO TODOS LOS CONCEPTO 1. &alcular la energía de la de-ormación +ue se acumula en las barras de la *gura) #C1 ulg.

8

4 %n &  %!" ( ? ?& &# #E E8

E K!?LE (!IE D%E!KL D (  ? # & # E

 "AtmB

P

K

?

>abiendo +ue)

>(L$&(D)

•

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;/

"t

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•

•

•

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;0

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or lo tanto

•

•

•

•

2. Encontrar el trabao de la de-ormación elástica por todo concepto de la estructura en arco de circun-erencia. La sección es única y tiene radio ArC5.50!B, usar IC5./E

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;3

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>olución

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;H

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A!%(78:

E$ 91 A.

B.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;2

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C.

R%%(p-a+a$!o -a8 %,pr%8io$%8 %$)o$;ra!a8:

PORCENTAE DE PARTICIPACIÓN:

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

;<