armaduras 3d

 ANÁ  A NÁ L I SI S MATR MA TR I CI A L DE D E E STR UCTUR UC TUR A S RE TI CUL CU L AR E S

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ARMADURAS TRIDIMENSIONALES.

Para el problema de la armadura tridimensional, los nudos presentan tres grados de libertad, esto es, tres movimientos lineales. Para atacar este tipo de estructura por medio de la matriz de continuidad lo haremos en forma análoga que en Armaduras planas. Nos auxiliaremos del problema 4 de la la figura (II.1.2.11). (II.1.2.11).  Problema 4. En la figura (II.1.2.11) se presenta la armadura espacial resuelta en el problema el  problema 2  por el método de rigideces.

Figura II.1.2.11 Ejemplo de armadura espacial por medio de la matriz matriz de continuidad. continuidad.

Empezaremos por identificar el número de nudos, barras y apoyos. Tenemos cuatro nudos asociados a tres grados de libertad por nudo, por lo tanto tendremos doce grados de libertad, manejando la convención del sistema de referencia cartesiano positivo y la notación antes vista para obtener la matriz [A]. [A].

Figura II.1.2.12 Identificación de un elemento de una armadura espacial espacial mediante los nudos inicial y final, final, también se presentan sus coordenadas en sistema cartesiano.

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Como se puede observar, los cosenos directores en el espacio también se pueden calcular en función de las coordenadas de los extremos de la barra. Ux =

 X B − X A ⎫

⎪ Y B − Y A ⎪ ⎪ U Y  = ⎬ cosenos directores  L ⎪  Z B − Z A ⎪ U  Z  = ⎪⎭  L  L

De manera análoga a armaduras planas, en armaduras tridimensionales la ubicación de los cosenos directores de una barra en la matriz de continuidad depende directamente de los nudos en sus extremos, de acuerdo con la siguiente regla:  gl 

3 A− 2

 barra

i

- Ux

 gl 

3A -1

 gl 

3 A

- Uy

- Uz

 gl 

3 B − 2

Ux

 gl 

3 B −1

Uy

 gl 

3 B

Uz

 A → B

Donde: i = Número de barra.  A = Número del nudo inicial.  B = Número del nudo final.  gl 3 A−1 = grado de libertad.

⎫⎪ ⎬asociado al nudo A. - Uy = coseno en dirección  y.⎪ ⎭  gl 3 B −1 = grado de libertad. ⎫ ⎪ ⎬ asociado al nudo B. Uy = coseno en dirección  y.⎪ ⎭ Es claro que si uno de los extremos de una barra no es nudo, sólo existirán tres celdas. El planteamiento anterior es ampliamente recomendado para armaduras tridimensionales ya que la matriz de continuidad por lo general es de gran tamaño y por otro lado altamente  porosa ( muchas celdas son cero ). De esta manera sólo calculamos las celdas de interés, las cuales se pueden asociar fácilmente a la columna correspondiente de la matriz de continuidad, en función de los nudos de los extremos de una barra. A continuación se calcularán los cosenos directores y la ubicación de los mismos en las columnas de la matriz de continuidad. Para denotar un empotramiento en cada barra, se utilizará una letra X . La barra 1  tiene como extremo  B al nudo 1  por lo que le corresponderán los grados de libertad 1,2 y 3 a sus cosenos directores, ya que sí B = 1 (nudo 1): 3(B) - 2 = 3(1) - 2 = 1 DESARROLLO DE HE RRAMI ENTAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL PARA SU USO DESDE LA I NTERNE T

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3(B) - 1 = 3(1) – 1 = 2 3(B) = 3(1) = 3

Barra 1

1 0

2 0

3 1

1

-

X

La barra 2  tiene como extremo  B al nudo 2  por lo que le corresponderán los grados de libertad 4, 5 y 6 a sus cosenos directores, ya que sí B = 2 (nudo 2): 3(B) - 2 = 3(2) - 2 = 4 3(B) - 1 = 3(2) – 1 = 5 3(B) = 3(2) = 6

Barra 2

4 0

5 0

6 1

2

-

X

De manera análoga se obtienen estos valores para las barras 3 a 19. 8 0

9 1

3

-

X

Barra 3

7 0

11 0

12 1

4

-

X

Barra 4

10 0

2 -1

3 0

4 0

5 1

6 0

1

-

2

Barra 5

1 0

8 -1

9 0

10 0

11 1

12 0

3

-

4

Barra 6

7 0

11 0

12 0

1 1

2 0

3 0

4

-

1

Barra 7

10 -1

8 0

9 0

4 1

5 0

6 0

3

-

2

Barra 8

7 -1

11 -0.7071

12 0

4 0.7071

5 0.7071

6 0

4

-

2

Barra 9

10 -0.7071

8 0.7071

9 0

1 0.7071

2 -0.7071

3 0

3

-

1

Barra 10

7 -0.7071

5 0.6

6 0.8

2

-

X

Barra 11

4 0

1

2

3

1

-

X

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Barra 12

0

-0.6

0.8

8 0

9 0.8

3

-

X

Barra 13

7 -0.6

5 0

6 0.8

2

-

X

Barra 14

4 0.6

11 -0.6

12 0.8

4

-

X

Barra 15

10 0

8 0.6

9 0.8

3

-

X

Barra 16

7 0

2 0

3 0.8

1

-

X

Barra 17

1 0.6

11 0

12 0.8

4

-

X

Barra 18

10 -0.6

5 0.5145

6 0.686

2

-

X

Barra 19

4 0.5145

Aunque estamos en la posibilidad de formar la matriz de continuidad de la estructura, no se hará así y se aprovechará que se tienen identificadas las celdas de los cosenos directores de cada barra y utilizando el algoritmo de multiplicación de columnas de la ecuación (II.1.2.40) se puede obtener sin problema la matriz de rigidez global de la estructura. Por otro lado, de la figura (II.1.2.11) podemos obtener el vector de fuerzas externas en la estructura. ⎧0⎫ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ 0 { F } = ⎪⎨ ⎪⎬ton ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪10⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎩ ⎭

Realizando las operaciones por medio del algoritmo propuesto en la ecuación (II.1.2.40), y resolviendo el sistema:

{  F } = [    K  ] { d } DESARROLLO DE HE RRAMI ENTAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL PARA SU USO DESDE LA I NTERNE T

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Aplicando los dos primeros principios (continuidad y ley de Hooke) se obtienen los siguientes resultados:  Barra

Fuerzas axiales (ton)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

-2.51 -2.83 2.21 2.65 0.61 0.03 -4.03 0.09 -2.84 1.09 0.35 -2.30 -1.43 1.21 3.29 -1.34 5.44 -6.60 2.31

Se puede observar que éstos resultados coinciden con lo obtenidos en el subcapítulo anterior.

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