Arm 1

PAQUETE DE ESTUDIO

ARMONÍA 1 por Rosino Serrano con la colaboración de Rubén Hernández y Eugenio Toussaint Basando en el texto Harmony 1 (Barrie Nettles, Berklee College of Music)

CONTENIDOS 1ª PARTE: NOCIONES BÁSICAS. • • • • • • • • • • • • • • • •

PENTAGRAMA……………………………………………… NOTAS……………………………………………………….. CLAVES…………………………………………………….... LÍNEAS ADICIONALES……………………………………. ALTERACIONES……………………………………………. ESCALAS…………………………………………………….. TONALIDAD………………………………………………… ARMADURAS……………………………………………….. INTERVALOS………………………………………………... INVERSIÓN DE INTERVALOS…………………………….. CONSTRUCCIÓN DE ACORDES - TRIADAS…………….. ACORDES DE SÉPTIMA……………………………………. INVERSIÓN DE ACORDES………………………………… VOICINGS……………………………………………………. TENSIONES…………………………………………………... MODOS………………………………………………………..

3 3 4 7 8 12 16 16 22 27 30 33 39 41 44 48

2ª PARTE: ARMONÍA DIATÓNICA. • • • • • • •

TENDENCIAS DE MOVIMIENTO EN LAS ESCALAS…..... PRINCIPIOS DE CONDUCCIÓN DE VOCES……………..... MOVIMIENTO DEL BAJO…………………………………… REARMONIZACIÓN DIATÓNICA………………………….. EL ACORDE V7(sus4)……………………………………….. CADENCIAS…………………………………………………. VOCABULARIO……………………………………………..

53 56 60 62 64 66 69

1

(ESPACIO DEJADO EN BLANCO INTENCIONALMENTE)

2

ARMONÍA 1 1RA. PARTE: NOCIONES BÁSICAS El entendimiento de la experiencia musical del pasado es esencial para comprender el lenguaje de la música. Tal como ocurre al aprender cualquier lenguaje, es prioritario el desarrollo de un vocabulario universal.

PENTAGRAMA El pentagrama es la base de nuestro sistema de notación. Consta de cinco líneas y cuatro espacios que se cuentan convencionalmente de abajo hacia arriba.

Sobre las líneas y espacios del pentagrama colocamos las notas. La posición de las notas representa visualmente la altura de los sonidos. Por altura entendemos la calidad de agudo o grave. Cuanto más arriba está la nota en el pentagrama, más agudo es el sonido que representa. Cuanto más abajo, más grave.

agudo --------------------------------- grave

NOTAS En nuestro sistema musical contamos con siete nombres de notas que son, en orden ascendente: do, re, mi, fa, sol, la, si. Esta serie se repite para nombrar las notas en los subsecuentes índices. En los países sajones se nombra a las notas por medio de letras: A, B, C, D, E, F, G. El jazz y, por extensión, la música popular contemporánea utilizan este sistema alfabético. Es fundamental que el alumno pueda relacionar con agilidad los nombres de las notas con su equivalente en el sistema alfabético.*

*: Por razones prácticas, y con el fin de apoyar el desarrollo de esta habilidad, el presente texto adoptará convencionalmente el sistema alfabético para referirse gramáticamente a las notas, si bien estas se reconocerán por su nombre en español cuando se identifiquen verbalmente.

3

CLAVES La clave es el signo que colocamos al principio del pentagrama por medio del cual se determina el nombre de las notas. Una misma nota escrita en el pentagrama puede corresponder a diferentes sonidos, dependiendo de la clave. La clave nos da un punto de referencia, la ubicación de una nota en una línea determinada del pentagrama, a partir del cual, siguiendo en orden ascendente y descendente de la serie, se conoce el lugar que ocupan las demás notas. Existen tres signos de clave: •

Clave de Sol:

•

Clave de Fa:

•

Clave de Do:

La clave de Sol, como su nombre lo indica, ubica la nota G (inmediatamente arriba del C central) en la segunda línea del pentagrama:

La clave de Fa, colocada en la cuarta línea, ubica la nota F (inmediatamente abajo del C central) en la cuarta línea del pentagrama:

Nótense los puntos que acompañan al signo de clave colocados arriba y debajo de la cuarta línea. De ahí el nombre de clave de Fa en 4ª. Existe también una clave de Fa en 3ª, actualmente en desuso, que ubica la nota F en la tercera línea del pentagrama.

4

La clave de Do ubica la nota C central en la línea del pentagrama donde esté colocada. Antiguamente se remarcaba dicha colocación por medio de puntos arriba y abajo de la línea en cuestión, tal como aún se hace con la clave de Fa. En los sistemas contemporáneos de notación dichos puntos se consideran innecesarios. Las claves de Do más comunes son las de Do en 3ª, que ubica C central en la tercera línea del pentagrama; y la clave de Do en 4ª, que ubica el C central en la 4ª línea del pentagrama: Clave de C en 3ª

A

B

C

D

E

F

G

D

E

Clave de C en 4ª

F

G

A

B

C

Existen también las claves de Do en 1ª, en 2ª y en 5ª, de uso menos común. Como se ha mencionado anteriormente, la serie C-D-E-F-G-A se repite una y otra vez para nombrar a las notas en los subsecuentes índices (también llamados registros u octavas). Cada repetición de la serie constituye un índice. Con el C central inicial el índice 5*; así, todas las notas de las serie dentro de esa octava se identifican con ese número de índice (C5, D5, E5… B5). El siguiente C en orden ascendente da inicio al índice 6; y así sucesivamente, hacia arriba y hacia abajo. Nótese que el C central, o C5, se ubica aproximadamente a la mitad del teclado del piano. ÍNDICE 4

ÍNDICE 5

ÍNDICE 6

*: En algunos países se considera al C central, como índice 4. En las aplicaciones MIDI, puede también presentarse como índice 3. Si bien el presente texto se referirá consistentemente al C central como índice C5, y a partir de esa referencia se nombrarán los demás índices, el alumno tomará en consideración esta posible variabilidad dependiendo del contexto.

5

Obsérvese en el siguiente cuadro comparativo la relación entre las notas escritas en diferentes claves y su ubicación en el teclado. El C central está indicado con notas rellenas.

Como puede verse, una misma nota, correspondiendo a un mismo sonido, puede escribirse en diferentes claves. En función de la tesitura de las voces y los instrumentos, y con el fin de hacer más práctica su escritura evitando en lo posible el uso de líneas adicionales, se determinar la clave (o claves) que usan. Por tesitura se entiende el rango de sonidos, comprendiendo entre el extremo más grave y el más agudo, que es capaz de emitir una voz o un instrumento. Así, las voces o instrumentos con un registro predominantemente agudo (voz soprano, flauta, trompeta, violín, etc.) se escriben en clave de G. De ahí su nombre en inglés, treble clef. Si la voz o instrumento funcionan predominantemente en el registro grave (voz bajo, fagot, trombón, violoncello, etc.) se escriben en clave de F, en inglés, bass clef. En clave de C en 3ª se escribe la viola y antiguamente se escribía la voz contralto, de ahí su nombre en inglés, alto clef. La clave de C en 4ª, en inglés tenor clef, es de uso menos común. La utilizan ocasionalmente el fagot, el trombón y el violoncello en su registro medio agudo. El piano, por abarcar un amplio rango de sonidos, se escribe en un sistema de dos pautas, la de arriba en clave de G y la de abajo en clave de F.

6

LÍNEAS ADICIONALES Cuando queremos representar más agudos o más graves de lo que nos permite el pentagrama lo extendemos usando líneas adicionales. Nótese que, al igual que en el pentagrama, entre las líneas adicionales existen espacios en los que también se escriben notas.

En resumen, es absolutamente esencial que el alumno pueda reconocer las notas con fluidez tanto en clave de G como en clave de F en 4ª, incluyendo el uso de líneas adicionales. Más adelante se familiarizará también con otras claves. Además, es importante que pueda ubicar las notas en el teclado y/u otro instrumento.

7

ALTERACIONES Si examinamos el teclado encontramos que hay teclas negras entre la mayoría de las teclas blancas. El sonido que producen las teclas negras se encuentra medio tono (semitono) arriba o abajo, es decir, es medio tono más agudo o más grave respectivamente, del que producen las notas blancas adyacentes.

Usamos el signo sostenido

a para representar los sonidos que están medio tono arriba del

sonido natural respectivo.

Usamos el signo bemol

(b) para representar los sonidos que están medio tono arriba del

sonido natural respectivo.

Una vez más, examinando el teclado podemos observar que, si bien entre la mayoría de las teclas blancas encontramos teclas negras, también hay teclas blancas que no tienen teclas negras en medio. Estas teclas blancas corresponden a las notas E-F y B-C, entre las cuales hay una distancia de semitono. Con excepción de estos dos pares de teclas, todas las demás teclas blancas adyacentes corresponden a notas naturales que están a distancia de un tono entero.

T

8

T ST T T T ST etc.

Cualquier nota puede ser alterada. Nótese que, si bien la mayoría de las notas alteradas con # ó b corresponden a teclas negras, también podemos encontrar notas alteradas en teclas blancas. Esto ocurre en las teclas blancas que no tienen teclas negras en medio, en virtud de que corresponden a las notas E-F y B-C que, como se ha dicho, están a distancia de semitono entre sí, respectivamente.

Fb E # SOSTENIDO

Cb B#

Fb E #

Cb B#

a = medio tono arriba. BEMOL (b) = medio tono abajo.

Los nombres de las doce notas en orden ascendente son:

A esta serie de notas se le llama escala cromática. La escala cromática, igual que todas las escalas, puede también presentarse en orden descendente.

Nótese que, en virtud del uso de alteraciones, un mismo sonido puede nombrarse de varias maneras. A las notas con diferente nombre que representan a un mismo sonido se les llama enarmónicas. TABLA DE ENARMÓNICOS USANDO SOSTENIDOS Y BEMOLES

9

En el pentagrama, las alteraciones se colocan siempre a la izquierda de las notas a las que afectan. Sin embargo, cuando las identificamos verbalmente el nombre de la nota va primero y la alteración después. Una vez que colocamos su alteración, su efecto permanece por el resto del compás. Todas las notas del mismo nombre e índice que le siguen dentro del mismo compás se verán afectadas sin necesidad de volver a escribir la alteración. Para cancelar el efecto de un sostenido o bemol usamos el signo becuadro. En nuestro sistema musical, llamado sistema temperado, la octava (ocho nombres de notas consecutivos) está dividida en doce partes equidistantes. Dicho de otro modo, dentro de una octava encontramos una serie de doce sonidos, mismos que están a una distancia correlativa de semitono (medio tono). En el estudio de la armonía el semitono se considera, por tanto, la diferencia de altura mínima entre dos sonidos.* 1 2 34 5

6 7 8 9 10 11 12

*: En otros sistemas musicales (China, India, Norte de África) es común el uso de intervalos menores que el semitono. Desde mediados del siglo XX es ya convencional también en la música de concierto occidental el uso de cuartos de tono, octavos de tono, etc. A este tipo de interválica se le da el nombre genérico de microtonal.

¿

Existen también las llamadas alteraciones dobles. El doble sostenido ( ) altera

bb

ascendentemente dos semitonos (un tono entero) la nota a la que afecta. El doble bemol ( ) altera descendentemente dos semitonos (un tono entero) la nota a la que afecta.

Enarmónicamente:

¿

DOBLE SOSTENIDO ( ) = un tono arriba. DOBLE BEMOL (bb) = un tono abajo.

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RESUMEN DE REGLAS PARA EL USO DE LAS ALTERACIONES •

Un becuadro cancela un sostenido o bemol.

•

Un solo becuadro cancela un doble sostenido o un doble bemol. No existen “dobles becuadros”.

•

Un solo sostenido cancela un doble sostenido. Un solo bemol cancela un doble bemol. No es necesario cancelar la alteración doble antes de usar la sencilla.

•

Para alterar ascendentemente una nota previamente alterada con sostenido se usa directamente el doble sostenido. Para alterara descendentemente una nota previamente alterada con bemol se usa directamente el doble bemol. No es necesario cancelar la alteración sencilla antes de usar la doble.

•

Una alteración mantiene sus efecto durante el compás donde se encuentra, del punto en el que fue colocada en adelante, y afecta también a notas ligadas, incluyendo las que extienden su duración más allá de la línea divisoria.

•

Dentro de un mismo compás, las alteraciones afectan a las notas del mismo nombre e índice que le siguen. Las notas del mismo nombre pero diferente índice no son afectadas. En el caso de instrumentos que utilizan sistemas de dos o más pautas, como el piano, las alteraciones escritas en uno de los pentagramas no afectan a las notas escritas en otro pentagrama, aun cuando sean del mismo nombre e índice y estén en el mismo compás.

•

Las líneas melódicas que ascienden cromáticamente usan, por lo general, sostenidos o becuadros. Las líneas melódicas que descienden cromáticamente usan, por lo general, bemoles o becuadros.

11

ESCALAS Una escala es una serie de notas ordenadas normalmente por intervalos de segunda (grado conjunto). Este ordenamiento puede ser tanto ascendente como descendente. Ésta es una escala cromática. Usa todas las notas disponibles dentro de una octava. Se compone, por tanto, de 12 notas ordenadas por semitonos. En muchos casos, como ya se ha visto, se utiliza el término cromático para referirse al movimiento por semitono.

Las siguientes escalas usa sólo notas naturales (las teclas blancas en el teclado): C mayor (C jónico)

T

T

ST

T

T

T

ST

A relativa menor (A eólico)

T

ST

T

T

ST

T

T

Nótese que las dos escalas anteriores utilizan las mismas notas (por este hecho se le llama a una relativa de la otra), que si bien están organizadas de diferente manera. Llamamos modos a los diferentes ordenamientos de una misma colección de notas. La escala relativa menor, o modo eólico, comienza en el 6º grado de la escala mayor, o modo jónico. La ubicación de tonos (T) y semitonos (ST) entre grados adyacentes, es decir, la estructura interválica resultante, es distinta en ambos casos. En el caso de la escala mayor, o modo jónico, encontramos semitonos entre el 3º y 4º grados (E-F) y entre el 7º y 1º (B-C). La distancia entre todos los grados adyacentes es siempre de un tono entero (dos semitonos). En caso de la escala relativa menor, o modo eólico, encontramos los mismos semitonos (EF y B-C) en lugares diferentes. MODO JÓNICO = ESCALA MAYOR (T-T-ST-T-T-T-ST) MODO EÓLICO = ESCALA RELATIVA MENOR (T-ST-T-T-ST-T-T)

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Un método tradicional para identificar la relación de tonos y semitonos en una escala, es decir, su estructura interválica, es examinando la escala en sus dos mitades. A cada mitad, compuesta por cuatro notas, se le llama tetracorde. En la primera mitad de la escala (primer tetracorde, C a F) observamos un patrón T-T-ST, mismo patrón que se repite en la segunda mitad (segundo tetracorde, G a C). Todas las escalas mayores utilizan estos mismos patrones. Dicho de otro modo, esta estructura interválica es universal para cualquier escala mayor, independientemente de la nota en que comience. (Nótese que las escalas se nombran a partir de la nota en la que comienzan: C mayor, G mayor, A menor, etc.). Así, una escala mayor, o modo jónico, está siempre compuesta por dos tetracordes mayores. (TT-ST), separados por un tono entero. Examinando la escala relativa menor puede observarse que los tetracordes que la componen tienen una estructura diferente. G mayor (jónico)

T

T

ST

T

T

ST

T

T

E menor (eólico)

T

ST

T

ST

Dicha estructura, determinada por la distribución de tonos y semitonos, es lo que le da un carácter especial a cada escala. Como se puede observar, en la escala relativa menor los semitonos están ubicados entre el 2º y el 3er. grados y entre el 5º y 6º grados. Todas las escalas a continuación comienzan en C. Por estar construidas a partir de la misma notas se les llama escalas paralelas: NOMBRE DE LA ESCALA

CARACTERÍSTICAS grados entre los que hay semitono

Jónico (mayor)

3-4; 7-1

T

T

ST

T

T

T

ST

Eólico (menor)

T

ST

2-3; 5-6

T

T

ST

T

T

13

La escala menor (modo eólico) se conoce también como escala menor natural:

Adicionalmente, existen otras escalas menores que resultan alterar cromáticamente algunos grados de la escala menor natural. Si alteramos ascendentemente el 7º grado de la escala menor natural menor obtenemos la escala menor armónica:

N

Si alteramos ascendentemente el 6º y 7º grados de la escala menor natural obtenemos la escala menor melódica. Por razones que se examinarán más adelante, esta escala recobra tradicionalmente la estructura de la escala menor natural cuando se encuentra en forma descendente.

N

N

Si bien en la armonía tradicional la escala menor melódica se analiza en sus dos formas (ascendente y descendente), en la práctica contemporánea se considera solo su forma ascendente, ya que en su forma descendente equivale a la escala menor natural. Por lo tanto, en la armonía moderna, la forma descendente de esta escala contiene las mismas notas que en su forma descendente, incluyendo el 6º y 7º grados alterados. Nótese que todas las escalas menores contienen los primeros 5 grados. Es en los grados 6º y 7º donde encontramos variables.

14

Obsérvense la escala mayor y todas las escalas menores de C presentadas paralelamente: MAYOR (JÓNICO)

MENOR (EÓLICO)

MENOR ARMÓNICA

MENOR MELÓDICA

La escala pentatónica mayor, como su nombre lo indica, es una escala de 5 notas. Contiene los grados 1-2-3-5-6 de la escala mayor. Nótese que, a diferencia de las escalas estudiadas hasta ahora, no presenta semitonos e incluye distancia mayores a una segunda en notas adyacentes.

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TONALIDAD Las relaciones melódicas y armónicas que surgen de la escala diatónica mayor, en donde la tónica (1er. grado) se constituye como centro de atracción que subordina a las demás notas, dan origen al sistema tonal. Cada escala mayor define una tonalidad mayor. Cada tonalidad mayor tiene una tonalidad relativa menor, que basa sus funciones en la escala relativa menor. El sistema tonal, o tonalidad, fue prevaleciente en la música occidental del siglo XVII hasta comienzos del siglo XX. La música popular contemporánea, incluyendo algunas formas del jazz, sigue empleando este sistema. A lo largo de la historia, antes y después de la tonalidad, se han usado y se usan otros sistemas de organización de sonidos (modal, atonal, dodecafónico o serial, etc.).

ARMADURAS Las escalas pueden construirse comenzando en cualquier nota. La nota con la que comienza le da nombre a la escala. Como se ha visto, la estructura interválica de la escala diatónica mayor, es decir, el ordenamiento de tonos y semitonos con el que está construida, obedece siempre el patrón T-T-ST-T-T-T-ST. La escala de C mayor conserva este patrón usando solo notas naturales. C mayor

T

T

ST

T

T

T

ST

Para mantener la estructura interválica de la escala cuando se construye a partir de otras notas es necesario hacer uso de las alteraciones. G mayor

T

T

ST

T

T

T

ST

T

T

ST

T

T

T

ST

F mayor

16

Como se ha dicho, cada escala mayor define una tonalidad mayor. Así, construyendo escalas mayores a partir de todas las notas, se obtienen las alteraciones que usan las tonalidades respectivas. La armadura es la serie de alteraciones (sostenidos o bemoles) que usa cada tonalidad. ESCALA

TONALIDAD/ARMADURA

C MAYOR

C MAYOR

G MAYOR

G MAYOR

D MAYOR

D MAYOR

A MAYOR

A MAYOR

E MAYOR

E MAYOR

B MAYOR

B MAYOR

F# MAYOR

F# MAYOR

C# MAYOR

C# MAYOR

17

F MAYOR

F MAYOR

Bb MAYOR

Bb MAYOR

Eb MAYOR

Eb MAYOR

Ab MAYOR

Ab MAYOR

Db MAYOR

Db MAYOR

Gb MAYOR

Gb MAYOR

Cb MAYOR

Cb MAYOR

Como puede observarse, el orden y colocación con que aparecen las alteraciones en la armadura obedece a un patrón rígido e inalterable, relacionado con un fenómeno llamado círculo de 5tas., que el alumno encontrará repetidamente en diferentes contextos a lo largo del estudio de la música. Nótese que las armaduras usan sostenidos o bemoles; no existen armaduras “mixtas”.

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El orden en el que aparecen los sostenidos en la armadura es: F# C# G# D# A# E# B#

Bb Eb Ab Db Gb Cb Fb

Es altamente recomendable que el alumno memorice el orden de las series de sostenidos (fa-do-sol-re-la-mi-si) y bemoles (si-mi-la-re-sol-do-fa). Obsérvese que los sostenidos aparecen en la armadura como una serie de 5tas. ascendentes (ó 4tas. descendentes); y que los bemoles aparecen en la armadura como una serie de 5tas. descendentes (ó 4tas. ascendentes). Nótese también que una serie es el retrógrado de la otra, es decir, su ordenamiento simétricamente inverso. Cada armadura corresponde a una tonalidad mayor y a su relativa menor, en virtud de que ambas usan siempre las mismas alteraciones. La tónica de la tonalidad relativa menor, es decir, la nota que le da nombre, está sierre a una 3ª menor (un tono y medio) de bajo de la tónica de la tonalidad mayor correspondiente. Recuérdese que la escala relativa menor se construye a partir del 6º grado de la escala mayor usando las mismas notas. F MAYOR / D MENOR

Eb MAYOR / C MENOR

D MAYOR / B MENOR

B MAYOR / G# MENOR

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Para una rápida identificación de la tonalidad mayor a la que representa una armadura se pueden observar las siguientes reglas. •

En el caso de las tonalidades que usan sostenidos, el nombre de la tonalidad se localiza medio tono arriba del último sostenido de la serie que aparece en la armadura. E MAYOR / C# MENOR

•

En el caso de las tonalidades que usan bemoles, el nombre la tonalidad mayor se localiza en el penúltimo bemol de la serie que aparece en la armadura. Db MAYOR / Bb MENOR

•

Las excepciones a estas reglas son la tonalidad de F mayor (con su relativa D menor), que usa un solo bemol; y C mayor (con su relativa A menor), que no usa alteraciones.

La armadura se coloca en el pentagrama inmediatamente después de la clave y antes del compás. Nótese que las armaduras, ya sea que usen sostenidos o bemoles, son siempre simétricas visualmente. La única excepción a esta simetría se encuentra en la colocación del A# y el B#. Nunca se usan líneas adicionales para colocar alteraciones en una armadura.

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Las alteraciones que aparecen en la armadura afectan a todas las notas de ese nombre, independientemente del registro en el que se encuentren, sin necesidad de volver a escribir el signo

a ó (b).

Para volver natural una nota afectada por alguna alteración que aparezca en la armadura es necesario usar el signo () antecediendo a dicha nota. El efecto del becuadro permanecerá vigente de acuerdo a las reglas para el uso de las alteraciones explicadas anteriormente (ver capítulo ALTERACIONES). El mismo criterio usado para el becuadro se aplica en el uso de alteraciones dobles.

21

INTERVALOS Se entiende por intervalo la diferencia de altura entre dos sonidos. Como se ha explicado, la altura es la calidad de agudo o grave de un sonido. En las escalas estudiadas anteriormente (a excepción de la escala pentatónica), la relación entre las notas adyacentes es siempre de un tono o semitono. Se hace ahora necesario un sistema para identificar la relación de altura, es decir el intervalo, entre cualquier par de notas, sean adyacentes o no. Los intervalos pueden observarse entre notas que ocurren sucesivamente (intervalos melódicos) y también entre las que ocurren simultáneamente (intervalos armónicos).

Los intervalos pueden ser ascendentes o descendentes. Se consideran ascendentes cuando son medidos a partir de una nota dada hacia otra más aguda. Se consideran descendentes cuando son medidos a partir de una nota dada hacia otra más grave.

El método para identificar el intervalo entre dos notas es relativamente simple. Basta con contar los nombres de las notas que existen entre las dos notas en cuestión. Por ejemplo, entre C y F contamos ascendentemente 4 nombres de notas (C-D-E-F); por tanto el intervalo ascendente entre C y F es de 4ª. Si queremos determinar el intervalo ascendente entre C y G, contamos igualmente las notas que existen entre una y otra (C-D-E-F-G) y deducimos que el intervalo es de 5ª. Y así sucesivamente.

Si el intervalo es descendente, las notas se cuentan descendentemente.

22

Los intervalos que ocurren dentro del ámbito de una octava se llaman intervalos simples. Los intervalos simples posibles son los de 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª, 7ª y 8ª. A esta clasificación numérica, determinada por el número de notas que se cuentan entre las notas que forman el intervalo, se añade la cualidad del mismo, determinada por la distancia que existe entre amabas anotas, medida en tonos y semitonos. Así, los intervalos pueden ser mayores, menores, justos, aumentados o disminuidos. TABLA DE INTERVALOS SIMPLES (INUSUAL) (INUSUAL)

UNÍSONO (*)

2ª m (½ T)

2ª M (1 T)

2ª Aum (1½ T)

3ª m (1½ T)

3ª M (2 T)

3ª Aum (2½ T)

4ªdis (2 T)

4ª J (2½ T)

(INUSUAL)

4ª Aum (3 T)

5ª dis (3 T)

5ª J 5ª Aum 6ª m (3½ T) (4 T) (4 T)

6ª M (4½ T)

6ª Aum 7ªdis (5 T) (5 T)

7ª M (5½ T)

8J (6 T)

m = menor M = mayor Aum= aumentada Dis= disminuida T = Tonos *: Por unísono entendemos el efecto producido al ocurrir simultáneamente dos notas del mismo nombre en el mismo índice o registro. Aunque su estudio se incluye dentro de este capítulo, el unísono no es propiamente un intervalo, puesto que no existe diferencia de altura entre las notas que lo componen.

Dentro de la escala diatónica mayor, todos los intervalos ascendentes entre el primer grado y el resto de las notas de la escala son mayores justos.

2ª M

3ª M

4ª J

5ª J

6ª M

7ª M

8ª J

23

Nótese que la relación entre dos notas varía dependiendo de la posición de una respecto a la otra. Por ejemplo, mientras que el intervalo ascendente entre C y F es de 4ª justa, el intervalo descendente entre el mismo C y F inmediatamente debajo resulta ser de 5ª justa. Mientras que el intervalo ascendente entre C y A es de 6ª mayor, el intervalo descendente entre el mismo C y A inmediatamente debajo es de 3ª menor. UNÍSONO

UNÍSONO

2ª M

3ª M

4ª J

5ª J

6ª M

7ª M

8ª J

2ª m

3ª m

4ª J

5ª J

6ª m

7ª m

8ª J

REGLAS BÁSICAS PARA IDENTIFICAR Y NOMBRAR LOS INTERVALOS

24

•

Los intervalos de 2ª, 3ª, 6ª y 7ª pueden ser mayores, menores, aumentados o disminuidos, dependiendo de su medida en tonos y semitonos.

•

Los intervalos de 4ª, 5ª y 8ª pueden ser justos, aumentados o disminuidos, dependiendo de su medida en tonos y semitonos.

•

Si un intervalo mayor se reduce un semitono, el intervalo se vuelve menor.

•

Si un intervalo mayor se reduce dos semitonos (un tono entero), el intervalo se vuelve disminuido.

•

Si un intervalo menor o justo se reduce un semitono, el intervalo se vuelve disminuido.

•

Si un intervalo mayor o justo se amplia un semitono, el intervalo se vuelve aumentado.

Los intervalos más amplios que una octava se llaman intervalos compuestos. Su reconocimiento es importante en la armonía contemporánea. Todos los intervalos compuestos resultan de la combinación de una octava justa más de un intervalo simple adicional. Al igual que los intervalos simples, los compuestos se nombran a partir del número de notas que se pueden contar entre las notas que los forman. Las posibles cualidades (mayor, menor, justo, aumentado, disminuido) se aplican a los intervalos compuestos siguiendo el mismo criterio con el que se aplican a los intervalos simples que los generan.

10ª M = 8ª J + 3ª M Los intervalos compuestos más comunes son:

9ª m

9ª M

9ª Aum 10ª m 10ª M 11ª J 11ª Aum 12ª dis 12ª J 12ª Aum

Los intervalos de 14ª son muy inusuales, pero es común referirse a la distancia de 15ª, que equivale a 2 octavas (8va = octava alta, una octava arriba; 15va = quinceava alta, dos octavas arriba; 8vb = octava bassa, una octava abajo; 15vb = quinceava bassa, dos octavas abajo).

25

Además de la terminología aquí descrita para nombrar a los intervalos, la siguiente nomenclatura se usará también en capítulos posteriores. 2ª MENOR 2ª MAYOR 3ª MENOR 3ª MAYOR 4ª JUSTA 4 AUMENTADA 5ª DISMINUIDA 5ª JUSTA 5ª AUMENTADA 6ª MENOR 6ª MAYOR 7ª MENOR 7ª MAYOR 8ª JUSTA 9ª MENOR 9ª MAYOR 9ª AUMENTADA 11ª JUSTA 11ª AUMENTADA 13ª MENOR 13ª MAYOR

26

b

2 2 b 3 3 4 # 4 b 5 5 # 5 b 6 6 b 7 7 8 b 9 9 # 9 11 # 11 b 13 13

INVERSIÓN DE INTERVALOS Como hemos descrito anteriormente, un intervalo es la distancia que existe entre dos notas que se encuentran a diferente altura en el pentagrama. Dependiendo del índice en el que se encuentran las notas que los forman, dos intervalos formados por dos pares de notas del mismo nombre pueden representar dos distancias diferentes. C a D (ascendente)

C a D (descendente)

Como se observa en el ejemplo anterior, la nota D puede estar colocada arriba o debajo de la nota C, es decir, el intervalo se puede invertir.

es complementario de y viceversa Cuando un intervalo se invierte, los nombres de las notas que lo forman son los mismos pero en diferente posición en el pentagrama. Las notas que se invierten representan los sonidos del mismo nombre en diferente índice. La relación interválica sigue un determinado patrón dependiendo de este posicionamiento. En el ejemplo anterior, el primer intervalo es una 2ª mayor que, al ser invertido, se convierte en una 7ª menor. Las relaciones que se generan en la inversión de intervalos, son las siguientes: •

La suma de los términos numéricos de ambos intervalos es siempre igual a 9.

2ª

7ª

7ª

2ª

(2 + 7 = 9) •

Los intervalos mayores (2ª, 3ª, 6ª, 7ª), al ser invertidos, se vuelven menores.

3ª MAYOR

6ª MENOR (3 + 6 = 9)

27

•

Los intervalos menores (2ª, 3ª, 6ª, 7ª), al ser invertidos, se vuelven mayores.

3ª MENOR 6ª MAYOR (3 + 6 = 9) •

Los intervalos justos (4ª, 5ª), permanecen justos.

5ª JUSTA

4ª JUSTA (5 + 4 = 9)

•

Los intervalos aumentados se vuelven disminuidos.

4ª AUMENTADA 5ª DISMINUIDA (4 + 5 = 9) •

Los intervalos disminuidos se vuelven aumentados.

7ª DISMINUIDA

2ª AUMENTADA (7 + 2 = 9)

En el caso del intervalo de 8ª, si efectuamos una inversión, obtenemos un unísono, que no es considerado como un intervalo ya que las dos notas involucradas representan al mismo sonido.

8ª JUSTA

UNÍSONO (8 + 1 = 9)

28

El intervalo de tritono (4ª aumentada ó 5ª disminuida) es un caso especial. Nótese que el tritono (tres tonos enteros, como su nombre lo indica) es el único intervalo que divide a la octava en dos partes iguales. Por esta razón, la relación interválica se conserva al invertirlo, aun cuando el nombre de los intervalos cambie.

3 TONOS ENTEROS (4ª AUMENTADA)

3 TONOS ENTEROS (5ª DISMINUIDA)

29

CONSTRUCCIÓN DE ACORDES – TRIADAS El conjunto de dos o más notas que ocurren simultáneamente se llama acorde. Los acordes de 3 notas se llaman triadas y, para fines, prácticos, los consideraremos como la forma más simple del acorde. En la armonía tonal, materia de estudio de este curso, los acordes se forman por intervalos de 3ª superpuestos.

A partir de cada grado de la escala diatónica mayor construimos acordes por intervalos de 3ª usando las notas de la escala, es decir, las notas diatónicas. La estructura de los acordes está determinada por la cualidad (mayor o menor) y el orden en que se presentan las 3ras. con que se construyen. Así, diatónicamente, las estructuras triádicas que resultan son de tres tipos: mayor, menor y disminuida. A las notas que forman la triada las llamamos, respectivamente, fundamental, tercera y quinta. La fundamental es la nota sobre la que está construido el acorde y de la cual toma su nombre. La tercera del acorde, como su nombre lo indica, está a distancia de 3ª de la fundamental. La quinta del acorde como su nombre lo indica, está a distancia de 5ª de la fundamental. C

•

Dm

Em

G

Am

Bdim

Las triadas mayores constan de una 3ª mayor y, encima de ésta, una 3ª menor. Visto de otro modo, la tercera del acorde es mayor y la quinta del acorde es justa. Encontramos triadas mayores en grado I, IV, y V de la escala diatónica mayor. C

30

F

F

G

•

Las triadas menores constan de una 3ª menor y, encima de ésta, una 3ª mayor. Visto de otro modo, la tercera del acorde es menor y la quinta del acorde es justa. Encontramos triadas menores en los grados II, III, y VI de la escala diatónica mayor. Dm Em Am

•

Las triadas disminuidas constan de una 3ª menor y, encima de ésta, otra 3ª menor. Visto de otro modo, la tercera del acorde es mayor y la quinta del acorde es disminuida. Encontramos la triada disminuida en el VII grado de la escala mayor. Bdim

•

Las triadas aumentadas constan de una 3ª mayor y, encima de ésta, otra 3ª mayor. Visto de otro modo, la tercera del acorde es mayor y la quinta del acorde es aumentada. La triada aumentada no se encuentra entre los acordes que pueden construirse a partir de la escala diatónica mayor, es decir, no es un acorde diatónico a la tonalidad mayor. Faug

•

Ebaug

Ebaug

Daug

En ocasiones, la 3ª del acorde se remplaza por la 4ª. Este tipo de estructura se le llama acorde de 4ª suspendida y, por ser de uso muy común, su estudio se incluye dentro de este capítulo. Gsus4

Dsus4

Fsus4

Absus4

31

Como se habrá observado, utilizamos un sistema convencional para abreviar e identificar los nombres de los acordes. A este recurso se le llama cifrado. En todos los casos se identifica al acorde por la letra que representa a la nota fundamental del mismo. Inmediatamente después se añade un sufijo que identifica la cualidad del acorde (mayor, menor, disminuido, aumentado o suspendido). Existen diferentes sistemas de nomenclatura para cifrar la cualidad de los acordes, mismos que se detallan a continuación. Si bien unos sistemas resultan más recomendables que otros, el alumno deberá estar familiarizado con todos ellos.

TRIADA

32

ESTRUCTURA

CIFRADO

MAYOR

• •

3ª mayor 5ª justa

C CM, Cmaj, CMaj, Cma

MENOR

• •

3ª menor 5ª justa

Cm Cmin, C-, Cmi

DISMINUIDA

• •

3ª menor 5ª disminuida

Cdim Cº, C-5, Cdis

AUMENTADA

• •

3ª mayor 5ª aumentada

Caug C+, C+5, Caum

SUSPENDIDA

• •

4ª justa 5ª justa

Csus4 C(sus4), Csus

ACORDES DE SÉPTIMA La extensión lógica de una triada es la incorporación de una cuarta nota, una 3ª diatónica por encima de la última nota de la triada, o sea, la quinta. El resultado es un acorde de séptima, que, además de 3ª y 5ª, contiene una 7ª por encima de la fundamental. En las triadas existen solamente tres relaciones interválicas: • • •

de la fundamental a la 3ª de la fundamental a la 5ª de la 3ª a la 5ª

Añadiendo la nueva nota, es decir, la 7ª, la complejidad del acorde es mucho mayor pues ahora las relaciones son: • • •

de la fundamental a la 3ª, a la 5ª y a la 7ª de la 3ª a la 5ª y a la 7ª de la 5ª a la 7ª

Por lo tanto, los acordes de séptima tienen un resultado sonoro mucho más complejo que las triadas. Construyendo acordes de séptima sobre cada grado de la escala diatónica mayor, obtenemos las siguientes estructuras: Cmaj7

•

Dm7

Em7

Fmaj7

G7

Am7

Bm7b5

La estructura que define a los acordes denominados mayores con séptima consiste en una triada mayor (3ªM + 3ªm) a la que superpone una 3ª mayor. Así, la 3ª del acorde es mayor, la 5ª es justa y la 7ª es mayor. Encontramos acordes del tipo mayor con séptima sobre los grados I y IV de la escala diatónica mayor. Tal como se explicó en el capítulo anterior, existen diferentes sistemas para cifrar los acordes. El presente texto adoptará como cifrado de elección para este tipo de acorde el sufijo “maj7” precedido por la letra que identifica a la fundamental. Más adelante en este capítulo se reseñarán otros cifrados posibles para éste y los demás acordes de séptima. Cmaj7

Fmaj7

33

•

La estructura que define a los acordes denominados menores con séptima consiste en una triada menor (3ªm + 3ªM) a la que superpone una 3ª menor. Así, la 3ª del acorde es menor, la 5ª es justa ya la 7ª es menor. Encontramos acordes del tipo menor con séptima sobre los grados II, III y VI de la escala diatónica mayor. El cifrado de elección para este tipo de acorde es el sufijo “m7” precedido por cualquier letra que identifica a la fundamental. Dm7

•

Em7

Am7

La estructura que define a los acordes denominados de séptima dominante consiste en una triada mayor (3ªM + 3ªm) a la que superpone una 3ª menor. Así, la 3ª del acorde es mayor, la 5ª es justa y la 7ª es menor. Encontramos acordes del tipo séptima dominante sobre el V grado (dominante) de la escala diatónica mayor. Tal como se explicó en el capítulo anterior, existen diferentes sistemas para cifrar los acordes. El presente texto adoptará como cifrado de elección para este tipo de acorde el sufijo “7” precedido por la letra que identifica a la fundamental. G7

•

La estructura que define a los acordes denominados de séptima sensible consiste en una triada disminuida (3ªm + 3ªm) a la que superpone una 3ª mayor. Así, la 3ª del acorde es menor, la 5ª es disminuida y la 7ª es menor. Encontramos acordes del tipo séptima sensible sobre el VII grado (sensible) de la escala diatónica mayor. En el ámbito del jazz y la música popular, se encontrará este tipo de acorde también bajo el nombre de semidisminuido. El presente texto adoptará como cifrado de elección para este tipo de acorde el sufijo “m7(b5)” precedido por la letra que identifica a la fundamental. Bm7b5

34

Existen otros acordes que no surgen de la escala diatónica mayor: •

El acorde denominado de séptima disminuida consiste en una triada disminuida (3ªm + 3ªm) a la que se superpone otra 3ª menor. Así, la 3ª del acorde es menor, la 5ª es disminuida y la 7ª disminuida. El cifrado de elección para este acorde es el sufijo “dim7” precedido por la letra que identifica a la fundamental. Cdim7

enarmónicamente Cdim7

•

El acorde denominado de menor con séptima mayor consiste en una triada disminuida (3ªm + 3ªm) a la que se superpone otra 3ª mayor. Así, la 3ª del acorde es menor, la 5ª es justa y la 7ª mayor. El cifrado de elección para este acorde es el sufijo “m(maj7)” precedido por la letra que identifica a la fundamental. Cm(maj7)

•

Los acordes del tipo mayor con séptima, descritos anteriormente, pueden presentarse con la 5ª alterada ascendente o descendentemente. Los cifrados de elección para los acordes resultantes son, respectivamente, los sufijos “maj7(#5)” y “maj7(b5)”, siempre precedidos por la letra que identifica a la fundamental. Cmaj7(#5)

Cmaj7(b5)

35

•

Los acordes del tipo séptima dominante, también descritos anteriormente, pueden del mismo modo presentarse con la 5ª alterada ascendente o descendentemente. Los cifrados de elección para los acordes resultantes son, respectivamente, los sufijos “7(#5)” y “7(b5)” , siempre precedidos por la letra que identifica a la fundamental. C7(#5)

C7(b5)

•

Los acordes del tipo séptima dominante, pueden presentarse con la 4ª suspendida. El cifrado de elección para el acorde resultante es el sufijo “7sus4” precedido por la letra que identifica a la fundamental. C7sus4

•

Los acordes denominados mayor con sexta y menor con sexta consisten, respectivamente, en una triada mayor o menor a la que se le agrega una 6ª mayor sobre la fundamental. Los cifrados de elección para estos acordes son, respectivamente, los sufijos “6” y “m6”, siempre precedidos por la letra que identifica a la fundamental. A pesar de no ser propiamente acordes de séptima, se incluyen dentro de este capítulo por tratarse de estructuras de cuatro notas. C6

Cm6

36

Obsérvese el siguiente cuadro comparativo en donde se presentan los acordes de cuatro notas, todos construidos sobre la nota C como fundamental. Al igual que el capítulo anterior, el cifrado de elección para el presente texto se indica en primer lugar y en negritas, seguido de otras formas posibles de cifrar los acordes según los diferentes sistemas de nomenclatura.

ACORDE MAYOR CON SÉPTIMA

ESTRUCTURA • • •

3ª MAYOR 5ª JUSTA 7 MAYOR

CIFRADO Cmaj7

y y

Cmaj7, CMa7, CM7, C , C 7 MAYOR CON SEXTA

• • •

3ª MAYOR 5ª JUSTA 6ª MAYOR

C6

MENOR CON SÉPTIMA

• • •

3ª MENOR 5ª JUSTA 7ª MENOR

Cm7

• • •

3ª MAYOR 5ª JUSTA 6ª MAYOR

Cm6

• • •

3ª MAYOR 5ª JUSTA 7ª MENOR

C7

• •

3ª MAYOR 5ª DISMINUIDA 7ª MENOR

Cm7(b5)

MENOR CON SEXTA

SÉPTIMA DOMINANTE

SÉPTIMA DE SENSIBLE (SEMIDISMINUIDO)

•

Cmin7, C-7, Cmi7

Cmin6, C-6, Cmi6

Cx

CØ7, Cm7b5, Cmin7(b5), Cmi7(b5), C-7(b5), Cm7(-5), etc.

37

ACORDE SÉPTIMA DISMINUIDA

MAYOR CON SÉPTIMA (5ª AUMENTADA)

ESTRUCTURA

CIFRADO

• • •

3ª MENOR 5ª DISMINUIDA 7 DISMINUIDA

Cdim7

• • •

3ª MAYOR 5ª JUSTA 6ª MAYOR

Cmaj7(#5) CMaj7(#5), CMa7(#5), Cma7#5, CM7(#5), CMaj7(+5), Cma7(+5),

Cº7

y

y

C (#5), C 7(#5), etc. MAYOR CON SÉPTIMA (5ª DISMINUIDA)

• • •

3ª MAYOR 5ª JUSTA 7ª MAYOR

Cmaj7(b5)

CMaj7(b5), CMa7(b5),

y

y

CM7(b5), C (b5), C 7(b5),

MENOR CON SÉPTIMA MAYOR

SÉPTIMA DOMINANTE (5ª AUMENTADA)

SÉPTIMA DOMINANTE (5ª DISMINUIDA)

38

• • •

3ª MENOR 5ª JUSTA 7ª MAYOR

• • •

3ª MAYOR 5ª AUMENTADA 7ª MENOR

• • •

3ª MAYOR 5ª DISMINUIDA 7ª MAYOR

CMaj7(b5), CMa7(-5), etc. Cm(maj7) Cmin(maj7), C-(maj7), Cmi(maj7), Cm(#7), Cmin(#7), Cm(+7), Cmin(+7), etc. C7(#5) C7(+5)

C7(b5) C7(-5)

INVERSIÓN DE ACORDES Cualquiera de las notas que forma un acorde puede ocupar la posición del bajo, es decir, la nota más grave. Cuando una nota diferente a la fundamental se encuentra en el bajo decimos que el acorde está invertido. En relación a la nota que ocupa el bajo, el número de posiciones que permite un acorde equivale al número de notas que lo forman. En el caso de las triadas, formadas por tres notas, se dan, por tanto, tres posibilidades. •

Cuando la fundamental del acorde se encuentra en el bajo, el acorde está en estado fundamental:

•

Cuando la 3ª del acorde se encuentra en el bajo, el acorde está en 1ª inversión:

•

Cuando la 5ª del acorde se encuentra en el bajo, el acorde está en 2ª inversión:

39

Los acordes de séptima, en virtud de que están formados por cuatros notas, permiten cuatro posiciones en relación al bajo. •

Estado fundamental, cuando la fundamenta está en el bajo:

•

1ª inversión, cuando la 3ª está en el bajo:

•

2ª inversión, cuando la 5ª está en el bajo:

•

3ª inversión, cuando la 7ª está en el bajo:

Las diferentes inversiones afectan la estabilidad del acorde. Nótese que aún tratándose de las mismas notas, el color sonoro del acorde varía dependiendo de la inversión en la en que se encuentra. A diferencia del sistema usado en la armonía tradicional para cifrar las inversiones, en el contexto de la música popular contemporánea los acordes invertidos se cifran seguidos de una línea diagonal a continuación de la cual se indica la nota que ocupa el bajo.

C/E

40

Cmaj7 / G

VOICINGS Por no haber en español un término más adecuado y por ser de uso común en prácticamente todo el mundo, adoptamos el anglicismo “voicing” para referirnos a la disposición de las notas en un acorde. Por ser en la música coral donde, históricamente, se origina la armonía, es una práctica común referirse a las notas de un acorde como voces e identificarlas con los nombres usados para las voces humanas. Así, a la voz superior de un acorde se le llama soprano (S) y a la voz inferior bajo (B). Las dos partes inferiores, en el caso de que existan cuatro voces, son la voz alto (A), inmediatamente debajo de la soprano; y la voz tenor (T), entre el alto y el bajo. Los acordes pueden presentarse en posición cerrada, cuando todas las notas del acorde ocurren dentro del rango de una octava; o en posición abierta, cuando las distancia entre las voces extremas, es decir entre el bajo y la soprano, es mayor a una octava. Obsérvense los siguientes voicings en posición cerrada:

Si se consideran los registros adecuados para que las diferentes líneas pudieran ser cantadas, una disposición de las voces más práctica sería la siguiente:

En general, los acordes en posición cerrada tienden a tener un sonido “delgado”. Los voicings en posición abierta tienen, por lo regular, un sonido más “rico” o más “grueso”. Nótese que en posición abierta, los intervalos entre cada una de las voces son más amplios que en posición cerrada.

41

No hay que olvidar que la armonía es resultado de la coincidencia “vertical” de voces que se mueven “horizontalmente”. Los acordes no son entidades sonoras que ocurren de manera aislada, sino que progresan de una a otra. Al movimiento de un acorde a otro lo llamamos enlace. A una serie de enlaces la llamamos progresión. Al enlazar acordes se debe cuidar que el movimiento de las voces que los conforman sea sierre lo más natural y orgánico. Para este efecto, según el contexto, hay ocasiones en que es necesario estructura los acordes omitiendo algunas notas y doblando otras, es decir, repitiéndolas. Cmaj7

B7

Em7

Fmaj7

D7

G7

C6

En el ejemplo previo, la 5ª ha sido omitida en algunos de los acordes y alguna otra nota del acorde ha sido usada en dos diferentes voces, es decir, ha sido doblada. La 5ª, cuando es justa, se considera la nota más obviable o, dicho de otro modo, menos necesaria para definir el sonido de un acorde. Esta consideración obedece a dos razones. Por un lado, dada la notable presencia del parcial de 5ª en la serie de armónicos*, esta nota se considera de algún modo implícita dentro de las frecuencias que configuran el sonido fundamental del acorde. Por otro lado, en virtud de que la 5ª aparece en prácticamente todas las formas de acorde (con excepción de disminuidos o aumentados, etc.) esta nota no resulta particularmente distintiva del color característico que define a los diferentes acordes, tal como ocurre con la 3ª y la 7ª.

*: En términos acústicos, un sonido fundamental está integrado por una serie de frecuencias menos audibles, llamadas armónicos o parciales, que aparecen siguiendo un orden determinado según se observa en la denominada serie de armónicos. La intensidad con que se presenta cada armónico define, entre otros factores, el timbre de los instrumentos. SERIE DE ARMÓNICOS O PARCIALES

42

A menos que el acorde se encuentre invertido, la fundamental del acorde ocupará el bajo. En mucho casos la melodía está predeterminada en la voz superior. Así, las voces soprano y bajo se considerarán fijas, quedando las voces alto y tenor como variables en la elección de las notas que completarán el voicing. Am6

E7

Fmaj7

Bb7

Dm7

Em7

Am7

Como puede observarse, la cualidad de los acordes de la progresión anterior no se altera sustancialmente por la omisión de algunas 5tas. En la práctica tradicional, los criterios para omitir o doblar notas en un acorde obedecen a un estricto sistema de reglas, establecido y desarrollado a través de los siglos. Tal sistema mantiene un control rígido sobre las interrelaciones y el movimiento de las voces. La conducción de voces contemporánea, si bien más flexible, no menos consistente, será abordada en la segunda parte de este texto. Cuando se presenten acordes invertidos, existen algunas consideraciones importantes con respecto a los doblajes y omisiones de las notas del acorde. Naturalmente, el bajo estará ocupado por una nota diferente a la fundamental, misma que estará indicada en el cifrado correspondiente. F

C/E

Cm/E b

Bb/D

Bbm/Db

C7(sus4)

F

43

TENSIONES Analizaremos ahora las extensiones de los acordes de séptima.

1

3

5

7

9

11 13

Independientemente de la inversión en que se encuentren, a menos de que estén en posición abierta, todos los intervalos que se forman en una triada o en un acorde de séptima son siempre inferiores a la octava. En los acordes que incluyen notas más allá de la octava se crean relaciones interválicas mucho más tensas. Triada:

C

Con la 7ª añadida:

Cmaj7

Extendamos un acorde de séptima siguiendo el ciclo de terceras hasta donde sea posible sin repetir ninguna nota.

El acorde resultante implica un total de 21 intervalos entre las notas que lo forman. Mientras que el acorde de séptima solo contiene el doble de intervalos que la triada, este nuevo acorde contiene más del triple que el de séptima. Adicionalmente a los intervalos inferiores a la octava, tenemos ahora intervalos compuestos (9ª, 11ª y 13ª). Algunos factores importantes acerca de estos intervalos compuestos observados:

44

•

Las notas añadidas no se consideran notas del acorde de séptima.

•

Crean relaciones interválicas de mayor tensión con las notas del acorde.

En virtud de estas relaciones de tensión con las notas del acorde, las notas añadidas reciben el nombre de tensiones. La fundamental, la 3ª, la 5ª y la 7ª son notas del acorde; la 9ª, la 11ª y la 13ª forman la base para las posibles tensiones del acorde. A continuación tenemos el ejemplo de un acorde de Cmaj7 con sus posibles tensiones: 9

11

13

La 9ª (D) está a una distancia de 9ª mayor sobre la fundamental; la 11ª (F) está en una distancia de 9ª menor sobre la 3ª; la 13ª (A) esta a una distancia de novena mayor sobre la 5ª. Las tensiones que suenan mejor son las que están a una distancia de 9ª mayor a partir de las notas del acorde de séptima. El intervalo de 9ª menor es extremadamente tenso y disonante. En el siguiente ejemplo todas las tensiones forman intervalos de 9ª mayor sobre las notas del acorde. La tensión de 13ª (A) forma una 9ª mayor sobre la 5ª del acorde; la tensión de 11 aumentada (F#) forma una 9ª mayor sobre la 3ª del acorde; la tensión de 9ª (D) forma una 8ª mayor sobre la fundamental. Obsérvese que la tensión de 11ª aumentada está cifrada como # 11. Las tensiones se cifran de acuerdo al intervalo que forman con la fundamental del acorde (véase pág. 26). Si bien para determinar que tensiones se consideran disponibles podemos adoptar el criterio de que estén a una distancia de 9ª mayor sobre una nota del acorde, hay algunas excepciones a esta regla, mismas que se detallan en la siguiente tabla de generalidades.

Cmaj7 (9, #11, 13)

45

ALGUNAS GENERALIDADES ACERCA DE LAS TENSIONES • • • • • •

• • • •

•

46

Existen dos clasificaciones generales con respecto a las tensiones: diatónicas y no diatónicas. Los acordes construidos por 3ras. superpuestas general tres tipos de potenciales: 9ª, 11ª y 13ª. Las tensiones ocurren principalmente en armonías con acordes de séptima. Las tensiones pueden ocurrir también en armonías triádicas (progresiones que contienen triadas exclusivamente). Tales tensiones pueden ser 9as. y 11as. Los grados 1º y 4º de la escala mayor no son disponibles para ninguno de los acordes diatónicos. Las notas del acorde que se pueden usar como tensiones están siempre a distancia de 9ª mayor sobre alguna nota del acorde, con las siguientes excepciones: 1. La tensión de 9ª menor (b9) y 9ª aumentada (#9) pueden coexistir en acordes dominantes. 2. La tensión de 13ª menor (b13), aun cuando forma una 9ª menor con la 5ª del acorde, está permitida para los acordes dominantes. Las tensiones de 9ª menor (b9) y 9ª aumentada (#9) pueden coexistir en acordes dominantes. La 9ª aumentada a menudo es escrita como su equivalente enarmónico (b3). La 7ª de los acordes del tipo maj7 se puede intercambiar por una 6ª. Por esta razón, la 13ª aparece en algunos casos como enarmónico de la 6ª. Las tensiones pueden ocurrir armónicamente y melódicamente. (Esto se estudiará a mayor profundidad en capítulos posteriores) . Las tensiones disponibles para los acordes del tipo dim7 pueden ser de 9ª mayor (9), 11ª justa (11), 13ª menor (b13) ó 7ª mayor (maj7). A diferencia de lo que ocurre en los demás acordes de séptima, una 9ª mayor por encima de cada una de las notas resulta en cuatro posibles tensiones, no en tres. En este caso específico de la 7ª mayor es una tensión disponible, no una nota del acorde. Otras particularidades respecto al uso de las tensiones disponibles para este tipo de acordes serán abordadas cando sean presentados en este contexto. Todas las tensiones posibles se reducen a: b9, 9, #9, 11, #11, b13 y 13 (maj7 solo para acordes dim7). Cualquier otra alteración, se considerará el equivalente armónico de alguna nota del acorde. La única excepción es la #9 (enarmónico de la b3 en acordes dominantes).

SUMARIO DE TENSIONES DISPONIBLES TENSIÓN 9 b 9, #9 11 #11 b

13

13

DISPONIBLE EN - Todas las cualidades de los acordes - Dominantes; raramente dominantes (sus4) (Excepciones a la regla de 9ª mayor sobre notas del acorde ) - Todas las formas de acorde menor - Como nota del acorde en dominantes (sus4) - Acordes del tipo maj7 y 6 - Dominantes - Dominantes (#5) - Acordes del tipo m7(b5) - Dominantes (Excepción a la regla de la 9ª ) - Acordes del tipo maj7 (como 6ª) - m(maj7) (como 6ª) - Dominantes - Dominantes (sus4)

•

La 7ª mayor en ocasiones se considera tensión por estar medio tono debajo de la fundamental y crear un sonido “tenso”.

•

La 5ª disminuida (b5), equivalente enarmónico de la 11ª aumentada (#11), y la 5ª aumentada, equivalente enarmónico de la 13ª menor (b13), se consideran tensiones en algunos casos, dependiendo de su función dentro del acorde.

47

MODOS En el capítulo sobre construcción de escalas mayores y menores se utilizaron algunos sinónimos al aplicar ciertos términos escalísticos: escala = modo escala mayor = modo jónico escala menor = modo eólico Si bien los términos pueden ser equivalentes, el contexto en el que se empleen determinará su aplicación más adecuada. Tomemos como punto de partida el modo jónico, ya conocido: C JÓNICO

1/2

1/2

Esta misma serie de notas puede ser ordenada comenzando en cada uno de sus grados, obteniendo así una colección de escalas interrelacionadas a las que llamamos modos: D DÓRICO

1/2

1/2

E FRIGIO

1/2 F LIDIO

1/2

1/2

1/2

G MIXOLIDIO

1/2

1/2

A EÓLICO

1/2 B LOCRIO

48

1/2

Obsérvese que todas las escalas resultantes tienen una estructura diferente. Mientras que el modo jónico los semitonos que incluye la escala ocurren entre los grados 3º y 4º y entre el 7º y 1º, en cada uno de los otros modos los semitonos ocupan posiciones diferentes. La secuencia de tonos y semitonos produce el color distintivo y característico de cada modo. En el ejemplo anterior todos los modos son relativos a C jónico. Si bien todos están relacionados y pueden construirse desplazando la escala mayor (modo jónico), es importante poder reconocer y construir cada escala (modo) de manera individual. Todos los modos a continuación están construidos a partir de la misma nota, en este caso C, es decir, son paralelos. Así, cada modo estará relacionado con una tonalidad diferente. MODO:

CARACTERÍSTICAS:

TETRACORDES:

(semitonos entre grados) JÓNICO

3-4; 7-1

FÓRMULA*: 1

2

3

DÓRICO

1

4

11½-11½

5

6

7

2-3; 6-7

2

b

3

FRIGIO

4

1½1–1½1

5

6

b

7

1-; 5-6

1

b

2

b

3

LIDIO

4

½11–½11

5

6

b

7

4-5; 7-1

1

2

MIXOLIDIO

1

#

4

5

6

7

3-4; 6-7

2

3

EÓLICO

1

3

111–11½

4

11½-1½11

5

b

6

7

2-3; 5-6

2

b

3

4

1½1–½11

5

b

6

b

7

*: La fórmula indica el intervalo que existe entre cada grado y el 1er. grado de la escala, véase pág. 26

49

LOCRIO

1

1-2; 4-5

b

2

3

4

½11–111

b

5

b

b

6

7

Las siguientes consideraciones, en donde se comparan todos los modos con las escalas paralelas mayor (modo jónico) o menor natural (modo eólico), pueden resultar útiles para identificar las particularidades de cada uno de ellos. MAYOR (JÓNICO)

4 MENOR NATURAL (EÓLICO)

b

•

•

El modo dórico puede describirse como una escala menor natural (modo eólico) con el 6º grado mayor (6): DÓRICO

6 El modo frigio puede describirse como una escala menor natural (modo eólico) con el 2º grado menor (b2): FRIGIO

b

•

2

El modo lidio puede describirse como una escala mayor (modo jónico) con el 4º grado aumentado (#4). LIDIO

#

50

6

4

•

El modo mixolidio puede describirse como una escala mayor (modo jónico) con el 7º grado menor (b7) MIXOLIDIO

b

•

7 El modo locrio puede describirse como una escala menor natural (modo eólico) con el 2º grado menor (b2) y el 5º grado disminuido (b5). LOCRIO

b

2

b

5

Cuando observamos los modos en contexto y los comparamos con los modos paralelos jónico o eólico, las diferencias resultantes nos muestran la nota característica de cada modo (las escalas en los ejemplos anteriores nos muestran las notas características en negritas). MODO JÓNICO DÓRICO FRIGIO LIDIO MIXOLIDIO EÓLICO LOCRIO

NOTAS CARACTERÍSTICAS 4º grado justo 6º grado mayor 2º grado menor (b2) 4º grado aumentado (#4) 7º grado menor (b7) 6º grado menor (b6) 2º grado menor (b2) 5º grado disminuido (b5)

51

2ª PARTE: ARMONÍA DIATÓNICA Aquí comenzamos el estudio de la armonía contemporánea. En este punto se asume que el estudiante ya posee un conocimiento de los términos musicales básicos y está familiarizado con los temas previamente discutidos. Antes de comenzar esta segunda parte, una introducción de los temas por venir asistirá al estudiante en la comprensión de los mismos. Este curso se basa en el cómo y el porqué un acorde funciona dentro de una progresión. La palabra “progresión” se refiere al movimiento de un acorde hacia otro. La “función” del acorde como parte de una progresión se refiere al sonido del acorde y por lo tanto a la categoría de sonido en la cual puede ser clasificado, considerando su grado de estabilidad o inestabilidad y su relación con los otros acordes. Más adelante en el curso presentaremos también acordes sin función, esto es, la llamada armonía no funcional. A diferencia de otros cursos de armonía más tradicionales, este curso empata acordes de función similar – tónicos con tónicos, subdominantes con subdominantes, etc. Las armonías más comunes y sencillas son las diatónicas y por ello las tomaremos como punto de partida. Este curso presentará tanto la norma como lo inusual. No existe una única solución correcta para cualquier situación musical. La solución de problemas es la regla, no la excepción. En otras palabras, se tendrán que tomar constantemente decisiones discriminativas; y es ahí precisamente donde reside el placer de nuestro arte.

52

TENDENCIAS DE MOVIMIENTO EN LAS ESCALAS Antes de explorar como progresan los acordes es importante comprender porque progresan. La armonía es el resultado directo de la melodía. Las armonías pueden ser consideradas melodías simultáneas. Todos los sonidos dentro de un contexto tonal exhiben tendencias melódicas. Estas tendencias, cuando se aplican a más de una melodía a la vez se convierten en texturas armónicas. En las siguientes páginas examinaremos estas tendencias y luego veremos como se aplican en el movimiento de un acorde a otro, es decir, en una progresión. Todos los sonidos de la escala tienen tendencias que son sutilmente diferentes. •

El 1er. grado de la escala suena muy estable y, de hecho, es la nota contra la que comparamos todas las demás. Se le llama tónica. Todas las demás notas gravitan en dirección a ella.

•

El 5º grado también es estable, lo suficiente para ser llamado dominante. El 3er. grado es asimismo relativamente estable y algunas notas tienden a moverse hacía él. Tradicionalmente se le conoce como mediante, pues está a medio camino entre tónica y dominante.

•

Cuando el movimiento de la escala es por grado conjunto:   

los grados 2º y 4º generalmente se mueven hacia el 1º, 3º ó 5º; los grados 6º y 7º generalmente ascienden hacia el 1º, ó descienden hacia el 5º, o se atraen el uno al otro; los grados 4º y 7º (notas ubicadas en los semitonos de la escala) tienen una fuerte tendencia a resolver hacia tonos estables (7º a 1º, 4º a 3º), pero no ocurre esta tendencia partiendo del tono estable (1º a 7º; 3º a 4º).

53

ALGUNAS GENERALIDADES SOBRE LAS TENDENCIAS DE MOVIMIENTO

•

La tónica es el grado más estable.

•

La dominante también es estable, pero menos que la tónica.

•

El 3er. grado es menos estable que el 1º ó el 5º, no se siente totalmente “en descanso”.

•

El 6º grado tiende a moverse principalmente hacia la estabilidad de la tónica o, secundariamente al 3er. grado.

•

Los grados 4º y 7º son los menos estables y tienden a moverse por semitono. La atracción que sufre el 7º grado hacía la tónica es tan fuerte que en inglés se le como leading tone (tono guía), porque nos “guía” hacía la tónica. En español se le conoce como “sensible”. La atracción del 4º grado hacia la estabilidad del 3º también es muy fuerte, ya que no puede funcionar como una nota del acorde ni como tensión disponible en los acordes con función de tónica. A ambos movimientos (7º al 1º y al 4º al 3º) se les conoce como resoluciones por grados atractivos.

Las tendencias de la escala mayor se aplican también a las escalas menores, considerando la ubicación de tónica, dominante y 3er. grado así como los semitonos. Por ejemplo, la tendencia del 6º grado en la escala menor natural sería descender medio tono hacía el 5º grado. Pero en la escala menor melódica tradicional, dado que el 6º grado cambia dependiendo de la dirección de la escala, éste puede descender medio tono o ascender un tono entero, según el caso: D MENOR NATURAL (EÓLICO)

Nótese que el 7º grado se considera como sensible, o tono guía, únicamente cuando está a medio tono de la tónica.

54

Las escalas modales exhiben las mismas relaciones de estabilidad (grados 1, 3, 5) e inestabilidad (2, 4, 6, 7). Si examinamos las notas características de los diversos modos, podemos ver que tales notas características primarias (las notas dentro del círculo en el ejemplo) están siempre localizadas en uno de los semitonos de la escala: D MAYOR JÓNICO

E DÓRICO

F# FRIGIO

G LIDIO

A MIXOLIDIO

B EÓLICO

La excepción respecto a los ejemplos anteriores es la ubicación de la nota característica del modo locrio. Aquí la paradoja consiste en que el 5º grado debería ser un tono estable, pero es la nota característica precisamente por inestable. C# LOCRIO

55

PRINCIPIOS DE CONDUCCIÓN DE VOCES Durante la mayor parte de la historia de la música, la melodía y el ritmo existieron sin la armonía. Sin embargo, la armonía contemporánea no está basada en la melodía. Por ejemplo, la sección rítmica del rock de hoy a menudo deja de tomar en cuenta las tendencias del movimiento tal como las hemos explicado hasta ahora. Aún así, las armonías utilizadas actualmente no dejan de ser resultado directo de las tendencias melódicas y la conducción de voces. Los principios de conducción de voces han cambiado durante los distintos períodos de la historia. Este capítulo nos proveerá la información necesaria para poder realizar cualquier progresión sobre el teclado utilizando cuatro voces o partes. No se pretende aquí abordar el tema exhaustivamente sino introducir el concepto general al alumno para una referencia futura cuando se discutan las progresiones de acordes. Se sugieren como referencia los capítulos anteriores sobre TENDENCIAS DEL MOVIMIENTO EN LAS ESCALAS Y VOICINGS. La conducción de voces es la práctica de guiar suavemente las notas individuales de un acorde a las notas del siguiente. El primer paso en el proceso consiste en utilizar las fundamentales de los acordes en la voz del bajo, es decir, la más grave. Si el acorde está invertido, en el cifrado se indicará la nota que reemplaza a la fundamental en el bajo Cualquier voicing puede servir para comenzar: C

B7

Em7

A7

F

Bb7

Ebmaj7

D7(b5)

D7

Fm7

G7(sus4)

C(sus4)

Ab7

Gm/C

Cadd9

La distancia entre voces adyacentes debe ser una de menos de una octava, con excepción del bajo y el tenor, entre los cuales puede haber una distancia mayor.

56

En los siguientes ejemplos, dado que no hay requerimientos melódicos, las cuatro voces están disponibles para su conducción. La conducción más suaves es por nota común, o sea, sin movimiento: C

B7

Em7

A7

F

Bb7

Ebmaj7

D7(b5)

D7

Fm7

G7(sus4)

C(sus4)

Ab7

Gm/C

Cadd9

Tomando en cuenta las tendencias de movimiento anteriormente expuestas, la siguiente conducción más suave será por movimiento cromático: C

B7

Em7

A7

F

Bb7

Ebmaj7

D7(b5)

D7

Fm7

G7(sus4)

C(sus4)

Ab7

Gm/C

Cadd9

Nótese que hay notas no diatónicas moviéndose en cada compás. Los sostenidos tienden a ascender y los bemoles a descender. El D# de la melodía en la 2ª mitad del compás 1 se mueve a la fundamental de Em7 y luego a la 7ª. Este movimiento de fundamental a 7ª es común (compases 2 y 3, en la melodía, y 7, en la voz tenor). Nótese sin embargo,

57

que si una nota no diatónica no puede moverse en la dirección apropiada, es posible el movimiento cromático en dirección opuesta. En el compás 3, por ejemplo, el F# en la voz alto no puede ascender a G y, por lo tanto, desciende a F natural; una situación similar vuelve a ocurrir del compás 7 al 8, en la melodía. Si los movimientos por nota común o cromático no son posibles, se pueden utilizar movimientos por tonos enteros. Los movimientos por 3ras. mayores o menores son menos usuales, pero son permitidos (obsérvese que el único intervalo mayor que un tono entero usado en este ejemplo ocurre en el compás , en la voz alto). Cualquier movimiento interválico mayor que una 3ª es generalmente innecesario, a excepción de los movimientos entre fundamentales en la voz del bajo. TÓNICA C

B7

Em7

A7

F

Bb7

Ebmaj7

D7(b5)

D7

Fm7

G7(sus4)

C(sus4)

Ab7

Gm/C

TÓNICA Cadd9

Adicionalmente, debe mencionarse que la conducción de voces puede ser suspendida y, de este modo, utilizar cualquier intervalo para moverse desde el acorde de tónica después de haberse establecido sobre él, un punto de reposo o conclusión armónica.

58

RESUMEN DE PRINCIPIOS BÁSICOS SOBRE LA CONDUCCIÓN DE VOCES •

Las fundamentales de los acordes se mueven en el bajo, a menos que se indique que el acorde está invertido.

•

La disposición (voicing) del acorde inicial es arbitraria.

•

La conducción suave de las voces se logra usando: 1) notas comunes 2) movimiento cromático 3) tonos enteros 4) terceras

•

Deben tomarse en cuenta las tendencias de movimiento diatónicas y también las tendencias no diatónicas.

•

La distancia entre voces adyacentes debe de ser menos de una octava, con excepción de las dos voces inferiores.

•

No se debe utilizar en la voz tenor ninguna nota más grave que el E debajo del C central, ya que interferirá con el movimiento del bajo.

59

MOVIMIENTO DEL BAJO Como se ha explicado anteriormente, son diatónicos los acordes que se construyen sobre cada grado de una escala, utilizando para ello las mismas notas que conforman dicha escala y ordenándolas verticalmente por 3ras. Cada grado melódico de la escala se convierte así en la fundamental de un grado armónico que cobra una función tonal específica, misma que, para fines de análisis, identificamos mediante números romanos. En virtud de que, estando el acorde en estado fundamental, la fundamental del acorde se encuentra en el bajo, usaremos indistintamente los términos movimiento del bajo o movimiento de fundamental para referirnos al enlace de un grado a otro. Cualquier acorde diatónico puede moverse hacia cualquier otro acorde diatónico. Los factores de control sobre el movimiento armónico son, por un lado, la relación entre las fundamentales de los acordes y, por otro, la conducción de voces, o sea, el movimiento de las notas de un acorde a las notas del siguiente. El movimiento del bajo puede clasificarse en tres categorías: 1) El movimiento diatónico más fuerte es por 5ª descendente o, lo que es lo mismo, por 4ª ascendente (recuérdese el círculo de quintas hacia abajo en este caso). I G

IV C

VIIdim F#dim

IIIm Bm

VIm Em

IIm Am

V D

Nótese que en esta progresión el movimiento de fundamentales es siempre por 5as. Justas en el bajo, con excepción del movimiento al VII (compás 2, movimiento de 5ª disminuida). De todos los acordes diatónicos, el VII es el que menos encontramos en situaciones puramente diatónicas. Como se recordará, las tensiones disponibles para un acorde se determinan considerando: •

la función del acorde en la tonalidad;

•

que sean tensiones diatónicas a la tonalidad;

•

que las tensiones se encuentren una 9ª mayor arriba de una nota del acorde. Imaj7 Gmaj7

Tensiones Disponibles:

60

9, 13

IVmaj7 Cmaj7 9, #11, 13

VIIm7(b5) IIIm7 F#m7(b5) Bm7

VIm7 Em7

11, b13

9, 11 9, 11, (13)

11

IIm7 Am 7

V D 9, 13

El movimiento de V7 a I, o sea, la resolución de dominante a tónica, es el movimiento armónica más fuerte en una tonalidad, por lo que recibe un símbolo especial para su identificación en el análisis: V7

I

La flecha curva será siempre utilizada para indicar la resolución de un dominante descendiendo una 5ª justa (o lo que es lo mismo, ascendiendo una 4ª justa). Empleamos el término resolver para referirnos a este tipo de movimiento de un acorde dominante. El oído espera que la inestabilidad propia del acorde dominante se “resuelva” moviéndose a una estructura más estable. 2) El movimiento de fundamental por 4ª ascendente, o 5ª descendente, es también muy fuerte (nuevamente el círculo de 5as, hacia arriba en este caso). En virtud de que este movimiento es el opuesto al anterior, puede identificarse como una progresión inversa, o retrogresión. El siguiente ejemplo es la retrogresión de la progresión anterior: Imaj7 G

V7 D7

IIm7 Am7

VIm7 Em 7

IIIm7 Bm7

VIIm7(b5) IV F#m7D C

3) El movimiento de fundamental por grado conjunto es un poco más sutil que el movimiento por 4as. ó 5as: I G

IIm IIIm Am Bm

IV C

IIIm IIm7 I Bm Am G

IV C

V D

VIm Em

V7(sus4) D7(sus4)

4) El otro movimiento diatónico de fundamental posible es ascendiendo o descendiendo por salto de 3ª. El movimiento descendente es más común que el ascendente: Imaj7 G

VIm Em

IV C

IIm7 Am

I G

IIIm IIm IV Bm Am C

VIm Em

V(sus4) D(sus4)

Revisando los ejemplos previos puede notarse que todos incluyen barras de repetición. Si se buscara un punto final, la mejor elección sería el acorde I. El acorde de tónica puede ser seguido de cualquier otro acorde porque representa un punto de plenitud armónica.

61

REARMONIZACIÓN DIATÓNICA Tal como se introdujo en el capítulo anterior, el nombre y la función de los acordes diatónicos se deriva de la ubicación de sus fundamentales dentro de la escala. Así, al acorde I se le llama tónica; al acorde V, dominante; y al acorde IV, subdominante. Todos los acordes diatónicos pueden clasificarse, en cuanto a sonido y función, en alguna de estas tres categorías: •

Función tónica: I G

•

IIIm Bm

IIIm7 Bm7

VIm Em

VIm7 Em7

Función subdominante: IIm Am

•

Imaj7 Gmaj7

IIm7 Am7

IV C

IVmaj7 Cmaj7

Función dominante: V D

V7 D7

Respecto a esta clasificación deben tenerse en cuenta algunas consideraciones: • • • •

62

Los acordes incluidos en la categoría de función tónica comparten la peculiaridad de no contener la nota característica (4º grado de la escala mayor) como nota del acorde. El acorde dominante contiene la nota característica como nota del acorde, así como el llamado tritono diatónico, que se forma entre los grados 4º y 7º. Los acordes incluidos en la categoría de función subdominante contienen la nota característica como nota del acorde, pero no el tritono diatónico. El acorde VIIm7(b5) no está incluido dentro de ninguna categoría. Si bien tradicionalmente se ha relacionado con la función dominante, por contener tanto la nota característica como el tritono diatónico, en la práctica contemporánea su uso como sonido dominante es muy limitado.

Sustituyendo unos acordes por otros de la misma categoría funcional, es posible rearmonizar este ejemplo:

T = FUNCIÓN TÓNICA; SD = FUNCIÓN SUBDOMINANTE; D = FUNCIÓN DOMINANTE El resultado será una nueva progresión que suena similar a la original:

Al comparar estas dos progresiones deben considerarse algunos factores importantes: •

Los movimientos de fundamental no son iguales, aunque las melodías si lo son.

•

Las decisiones de rearmonización deben ser compatibles con la melodía.

•

Los movimientos originales de los acordes dominantes ya no resuelven por 5as. (recuérdese que la resolución normal esperada para un V7 o un V7sus4 es descendiendo una 5ª al acorde I).

•

El ritmo armónico ha cambiado, hay más acordes por compás.

63

Nótese que los símbolos de análisis para las resoluciones engañosas del V7 al IIIm7 o al VIm7 son distintos de los que usamos para la resolución del V7 al I. El símbolo de análisis que utilizamos es V7/I. Esto significa V7 del I; se espera que el V7 progrese al I, pero resuelve “engañosamente” a otro acorde con función de tónica. Tampoco se usa en tales casos la flecha curva, misma que reservamos para indicar un movimiento de 5ª descendente entre las fundamentales del acorde dominante y el acorde al que resuelve. V7 D7

I G

V7(sus4) D7(sus4)

I G

V7 D7

VIm7 Em7

V7 D7

IIIm7 Bm7

EL ACORDE V7(SUS4) El acorde V7(sus4) se construye sobre el grado dominante de la tonalidad. La 3ª del acorde es sustituida por una 4ª justa. De ahí proviene el término 4ª suspendida y sus cifrado (sus4), del inglés suspended 4th.

La fuerza de la resolución del acorde dominante yace, por un lado, en su movimiento de fundamental descendiendo a una 5ª (o ascendiendo una 4ª) y por otro, en la disolución del tritono que se forma entre la 3ª y la 7ª del acorde al ser conducido a una estructura más estable. Ya que el acorde V7(sus4) no contiene tal tritono, su función depende del contexto. En el siguiente ejemplo, el primer V7(sus4) resuelve como dominante; el segundo V7(sus4) funciona como subdominante, se convierte en el V7 que resuelve como dominante (nótense las flechas): Imaj7 Gmaj7

64

IVmaj7 V7(sus4) I6 Cmaj7 D7(sus4) G6

V7(sus4) D7(sus4)

V7 D7

Otra manera de ver el acorde V7(sus4) surge si consideramos que contiene una estructura superior de subdominante, ya que no está presente el tritono. El acorde suena subdominante, pero su fundamental es dominante:

Ambos acordes en el ejemplo anterior contienen una estructura superior con sonido subdominante y el grado dominante de la tonalidad como fundamental. Los acordes anteriores y los que siguen son de uso común en la música popular contemporánea: IIm7/5 Am7/D

I G(add9)

IV C

IVmaj7/5 Cmaj7/D

I G(add9)

El IIm7 y el IVmaj7, ambos con el 5º grado de la tonalidad en el bajo, son variaciones sutiles del V7(sus4) y se analizan como tal: V7(sus4) Am7/D

I G(add9)

IV C

V(sus4) Cmaj7/D

I G(add9)

Tales acordes pueden ser vistos como derivados de la estructura extendida del V7(sus4): Am

Am7

C

Cmaj7

D7(sus4) 9/13

65

CADENCIAS El término cadencia significa movimiento armónico y/o melódico hacia un punto de reposo. Del mismo modo que gramaticalmente usamos signos de puntuación para establecer los distintos nivel de pausa que permiten la articulación y comprensión de discurso hablado o escrito, en el lenguaje musical utilizamos cadencias para crear sensaciones de reposo o conclusión, ya sean momentáneas o definitivas. Así, mediante las cadencias, se marcan los finales de frase o de sección dentro de una composición musical. La elección de los acordes implicados en un movimiento cadencial es el recurso más determinante para crear la sensación de reposo, aunque otros factores, como el ritmo armónico y la duración de los acordes, pueden influir también. Considerando los acordes que las forman, existen cadencias de varios tipos. En la música popular contemporánea reconocemos las siguientes: 1) Cadencia auténtica, cuando el V resuelve al I. V G

I C

2) Cadencia plagal, también llamada cadencia Amén, cuando el IV resuelve al I. V F

66

I C

3) Cadencia rota, también llamada evitada, de engaño, o interrumpida, cuando el V, cuya resolución se espera sobre el I, resuelve “engañosamente” a otro acorde. La forma tradicional de esta cadencia es V – VI, con sus posibles variantes V – III, VIV y V – II, de uso menos frecuente. V G

VI Am

V G

IIIm Em

V G

IV F

V G

IIm Dm

4) Algunos teóricos han adoptado el término semicadencia para referirse a un punto de reposo sobre el V. V C F G

Una progresión que se mueve de subdominante a dominante y luego a tónica constituye el movimiento cadencial más completo en términos diatónicos, ya que todos los grupos funcionales de la tonalidad están presentes. Este movimiento IV – V – I es la cadencia completa tradicional.

SD

D

T

IV C

V D

I G

67

Existen otras combinaciones de cadencias posibles: El movimiento IV – V(sus4) – I resulta más sutil ya que el acorde dominante no contiene un tritono:

SD IV C

D

T

V(sus4) I D(sus4) G

El movimiento del IV al IV con la dominante en el bajo, al I (IV – IV/5 – I) , es aún más sutil porque el enlace del subdominante al dominante implica únicamente movimiento del bajo del 4º al 5º grado de la tonalidad:

SD IV C

D

T

V(sus4) I C/D G

La fórmula IIm7 – V7 – I es usada extensamente en el jazz y la música popular contemporánea. Es un movimiento cadencial muy fuerte debido a que todas las fundamentales progresan por 5ª descendente.

68

Am7

D7

Gmaj7

Cm7

F7

Bbmaj7

Gm7

C7

Am7

Fmaj7

D7

Gmaj7

VOCABULARIO TÉRMINOS BÁSICOS 1ª inversión 2ª inversión 3ª inversión 2ª (segunda) 3ª (tercera) 4ª (cuarta) 5ª (quinta) 6ª (sexta) 7ª (séptima) 8ª (octava) 8va (octava alta) 8vb (octava baja) 9ª (novena) 10ª (décima) 11ª (oncena) 13ª (trecena) 15va (quinceava alta) 15vb (quinceava baja)

EQUIVALENTES EN INGLÉS 1st inversion 2nd inversion 3rd inversion 2nd (second) 3rd (third) 4th (fourth) 5th (fifth) 6th (sixth) 7th (seventh) 8ve (octave) 8va (up an octave) 8vb (down an octave) 9th (ninth) 10th (tenth) 11th (eleventh) 13th (thirteenth) 15va (up 2 octaves) 15vb (down 2 octaves)

acorde acorde de séptima agudo altura armadura armónico ascendente aumentado

chord seventh chord treble, high pitched pitch key signature harmonic ascending augmented

bajo becuadro bemol

bass natural flat

C central cadencia cadencia auténtica cadencia completa cadencia plagal cadencia rota cifrado círculo de 5as.

middle c cadence authentic cadence, dominant cadence full cadence plagal cadence, subdominant cadence deceptive cadence chord symbol cycle of fifths

69

clave de C en 3ª línea clave de C en 4ª línea clave de F en 4ª línea clave de G clave compás compás (métrica) conducción de voces contralto, alto cromático

alto clef tenor clef bass clef treble clef clef measure time signature voice leading alto chromatic

descendente diatónico disminuido do, re, mi, fa, sol, la, si doble bemol doble sostenido dominante dórico

descending diatonic diminished C, D, E, F, G, A, B double flat double sharp dominant dorian

enarmónico enlace eólico escala escala cromática escala mayor escala menor armónica escala menor melódica escala menor natural escala pentatónica estado fundamental

enharmonic harmonic movement aeolian scale chromatic scale major scale harmonic minor scale melodic minor scale natural minor scale pentatonic scale root position

frigio función funcional fundamental

phrygian function functional root

grado grado conjunto grave

degree stepwise motion low pitched

índice intervalo intervalo compuesto inversión

index, octave, register interval compound interval inversion

jazz

jazz

70

jónico justo

ionian perfect

lidio líneas adicionales locrio

lydian leger lines, ledger lines locrian

mayor mayor con 6ª mayor con 7ª mediante melódico menor meno con 6ª menor con 7ª menor con 7ª mayor microtonal mixolidio modal modo movimiento del bajo

major major 6 major 7 mediant melodic minor minor 6 minor 7 minor (major 7) microtonal mixolydian modal mode root motion

no funcional nota característica nota común nota del acorde nota no del acorde nota números romanos

non-functional characteristic pitch common tone chord tone non-chord tone note, tone, pitch roman numerals

octava

octave

paralelo pentagrama posición abierta posición cerrada progresión

parallel staff open position close position progression

rearmonización registro relativo relativo mayor / menor resolución resolución engañosa retrógrado retrogresión

reharmonize register relative relative major / minor resolution deceptive resolution retrograde retrogression

71

semicadencia semidisminuido semitono sensible séptima de dominante séptima de sensible séptima disminuida serie de armónicos sistema temperado, temperamento soprano sostenido subdominante

half cadence half diminished half step, ½ step, semitone leading tone dominant 7 minor 7 (b5), half diminished diminished 7 harmonic series temperament soprano sharp subdominant

tenor tensión tensiones disponibles tesitura tetracorde tonal tonalidad tonalidad (sistema tonal) tónica tono tono (intervalo) tono (tonalidad) tono entero triada tritono

tenor tension available tensions range tetrachord tonal key tonality, tonal system tonic tone step key whole step triad tritone

unísono

unison

voicing

voicing

72

Tarea 1 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Da el nombre a cada nota en la siguiente melodía. ___

___

___

__ __ __ __ ___ __ __ ___

___ ___ __ __ __ __ ___

2. Escribe la melodía #1, una octava abajo en clave de Fa:

3. Escribe la melodía #1, dos octavas abajo en clave de Fa:

4. Da el nombre a cada nota en la siguiente la siguiente melodía:

5. Escribe la melodía #4, una octava arriba en clave de Sol:

73

Tarea 2 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ Cada uno de los siguientes tonos representa los doce tonos de la escala cromática, acomodados arbitrariamente. 1. a. Identifica las siguientes notas: ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

___ ____

___

___

b. Escribe una octava abajo la misma línea:

c. Escríbela ahora dos octavas abajo:

___

2. a. Identifica las notas: ___ ___ ___ ___ ___

___ ___

___

___

___

___

b. Escribe dos octavas arriba la línea de arriba:

c. La siguiente melodía representa los mismos sonidos que la del ejemplo de arriba (inarmónicamente escritas), exceptuando tres notas. Circula las notas incorrectas:

74

Tarea 2-2 ___

___

Identifica cada nota: ___ ___ ___

___

___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

___

___

__ __ __ ___

___

___

___

___

___

3. Reescribe esta melodía enarmónicamente. Usa sostenidos, bemoles y becuadros.

4. Escribe notas cromáticas entre las notas escritas. Respeta las reglas de accidentes.

75

Tarea 2-3 5. Las notas en las siguientes melodías están numeradas en secuencia. Encuentra cada nota en el teclado de abajo. Marca los números en tecla blanca abajo y en tecla negra arriba del dibujo. a)

C central

b)

C central

76

Tarea 3 Nombre del Alumno_______________________________ Número de Credencial__________ Fecha_____________ 1. Completa la siguiente tabla de enarmónicos, cuidado con las claves. Naturales

Sostenidos

Dobles sostenidos

Bemoles

Dobles Bemoles

77

Tarea 3-2 2. Completa las siguientes escalas.

78

Tarea 3-3

79

Tarea 4 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Identifica las siguientes escalas mayores y menores. Marca los ½ tonos como en el ejemplo “A”. a) ____________________

b) ____________________

c) ____________________

d) ____________________

e) ____________________

f) ____________________

g) ____________________

h) ____________________

i) ____________________

j) ____________________

k) ____________________

l) ____________________

m) ____________________

n) ____________________

80

Tarea 4-2 2. Escribe las siguientes escalas. a) G menor natural

b) E menor melódica

c) Bb mayor

d) Gb mayor

e) F menor armónica

f) C# menor armónica

g) A mayor

h) B menor melódica

i) Db mayor

j) D menor armónica

k) Ab menor melódica

l) Eb mayor

m) Bb menor armónica

n) B mayor

o) C menor melódica

p) F# mayor

81

Tarea 5 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Las siguientes melodías terminan en el primer o quinto grado de una escala mayor, natural menor, menor melódica o menor armónica. Identifica cada escala. a) _______________________

b) _______________________

c) _______________________

d) _______________________

e) _______________________

f) _______________________

g) _______________________

82

Tarea 5-2 2. Llena los espacios con armaduras y tonalidades.

C F

D

B

Db

(enarmónica)

Cb (enarmónica)

F# (enarmónica)

C#

83

Tarea 6 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Llena la siguiente armadura a) A mayor

b) F menor

c) Bb mayor

d) Bb menor

e) Gb mayor

f) D mayor

g) E mayor

h) G# menor

2. Identifica la siguiente armadura a) __________ menor

b) __________ menor

c) __________ menor

d) __________ mayor

e) __________ menor

f) __________ menor

g) __________ menor

h) __________ mayor

3. Llena los bemoles/sostenidos faltantes a) Ab mayor

b) B menor

c) G menor

d) C menor

e) F# mayor

f) F# menor

g) Eb mayor

h) C# mayor

84

Tarea 6-2 4. Visualiza la escala mayor representada por las siguientes armaduras. Llena la nota que representa el grado que se te pide. a)

b)

6 d)

c)

5 e)

4 g)

7 f)

3 h)

3

6 i)

2

7

j)

1 5. Visualiza la escala menor natural representada por las siguientes armaduras. Llena la nota que representa el grado que te piden. a)

b)

min 3 d)

c)

5 e)

4 g)

f)

min 7 h)

4

2

min 6 i)

min 3

5

85

Tarea 6-3 6. Las siguientes notas son grados de escalas mayores. Escribe sus armaduras. a)

b)

4 d)

c)

4 e)

6 g)

2 f)

2 h)

4

1 i)

5

2

7. Identifica que grados son las siguientes notas en las siguientes escalas menores. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

86

Tarea 7 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Altera los siguientes intervalos como se te pide. Identifica los nuevos intervalos resultantes. Sube la nota medio tono Cambia la nota Cambia la nota superior inferior

Baja la nota medio tono Cambia la nota Cambia la nota superior inferior

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

87

Tarea 8 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Crea los siguientes intervalos escribiendo la nota superior que te piden. a)

3ª mayor b)

5ª aumentada

6ª menor

4ª doble aum.

5ª doble dim.

6ª aumentada

8ª perfecta

5ª perfecta

2ª menor d)

7ª menor

3ª doble aum.

7ª menor

2ª mayor

3ª aumentada

6ª mayor

4ª perfecta

4ª aumentada

3ª mayor

4ª disminuida c)

7ª disminuida

2. Crea los siguientes intervalos escribiendo la nota inferior que te piden. a)

5ª perfecta b)

4ª disminuida

6ª mayor

3ª menor

6ª menor

5ª doble aum. c)

2ª mayor

6ª mayor

3ª menor

6ª menor

7ª menor d)

4ª perfecta

8ª aumentada

6ª aumentada

88

3ª mayor

5ª disminuida

7ª mayor

4ª aumentada

2ª aumentada

8ª disminuida

Tarea 9 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Identifica los siguientes intervalos compuestos. a)

___________

___________

___________

___________

___________

b)

___________

___________

___________

___________

___________

2. Crea los siguientes compuestos añadiendo una nota superior. a)

9ª menor

11ª aumentada

9ª aumentada

12 perfecta

9ª aumentada

b)

11ª perfecta

13ª mayor

10ª menor

10 mayor

13ª menor

3. Crea los siguientes intervalos compuestos añadiendo una nota inferior. a)

9ª menor

11ª aumentada

9ª mayor

13 mayor

9ª aumentada

b)

11ª perfecta

10ª mayor

11ª aumentada

13ª menor

9ª aumentada

89

Tarea 9-2 4. Identifica estos intervalos e inviértelos. a)

b)

___________

___________

c)

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

d)

___________

___________

e)

f)

___________

___________

g)

h)

___________

___________

i)

j)

___________

___________

k)

l)

___________

___________

m)

n)

___________

90

___________

___________

Tarea 10 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Completa las siguientes tabla. No uses enarmónicos. a)

b)

c)

91

Tarea 10-2 d)

e)

f)

92

Tarea 11 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Identifica las triadas: a)

___________

___________

___________

___________

___________

b)

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

___________

c)

___________ d)

___________

2. Escribe las siguientes triadas en posición fundamental. a)

F(sus4)

D dim

Gb aug

Eb(sus4)

C dim

D dim

Gb aug

Eb(sus4)

C dim

b)

F(sus4)

93

Tarea 11-2 c)

Cb min

E maj

A aug

F min

Eb min

Ab dim

Gb maj

D(sus4)

E aug

d)

Db aug

3. Identifica las triadas y sus inversiones en las primeras dos columnas. Escribe los acordes en la inversión que se te pide en la última columna. (R = fundamental, 1 = 1ª inv., 2 = 2ª inv.) a)

______

______

Db- (R)

b)

______

______

Eb+ (1)

c)

_____

_____

G(sus4)(2)

d) ______

______

Fº (1)

______

Gb (2)

e)

______ f)

______ 94

______

A+ (R)

g)

______

______

______

h)

______

______

______

95

Tarea 12 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Construye las triadas diatónicas que salen de las siguientes tonalidades. Nombra los acordes que salen y escribe los accidentes sobre cada acorde. a) F mayor

b) D mayor

c) Eb mayor

d) B mayor

e) Db mayor

96

Tarea 13 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Escribe los siguientes acordes.

Maj7

-7

-7(b5)

º7

-(maj7)

+(maj7)

a) C:

b) C#:

c) Db:

d) D:

e) E:

f) F:

g) F#:

h) Gb:

97

Dom7 i) G:

j) Ab:

k) A:

l) Bb:

m) B:

n) Cb:

98

7(sus4)

+7

Maj6

-6

Tarea 14 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Identifica los siguientes acordes: a) ____________

b) ____________

c) ____________

d) ____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

___________

____________

____________

____________

_____________

_____________

_____________

_____________

2. Escribe los siguientes acordes. a)

B6

Ab(sus4)

Aº7

Bb-(b5)

G-7

b)

D+7

E+maj7

C#7

Eb-6

Ab-7

c)

F7 (sus4)

Gº7

Bb -(maj7)

Eb(sus4)

G+7

d)

B-7

F#6

Ebº7

G7

Cº7

99

Tarea 15 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Marca cada una de las notas de las siguientes melodías. Usa 1-3-5-7 para las notas básicas (b3 para 3ras. menores y b7 para séptimas menores). Usa 9 (b9, #9) – 11 (#11) – 13 (b13) para las tensiones. a) Dmaj7

Dmaj7

Gmaj7

Gmaj7

C#7

F#-7

F7

F#-7

B7

Bb-7

Eb7

G-7

Dmaj7

A-7(b5)

Bb7

C7

Dmaj7

b) A-

D-

E-

G

A-

F

D-

E-

G

A-

100

D7

Ebmaj7

Fmaj7

D-7

Eb7

E-7

Tarea 15-2 2. Identifica los siguientes acordes de séptima. Escribe las tensiones en un paréntesis a la derecha del acorde. Nota: La raíz de los acordes está en el bajo. Algunos acordes no tienen 5tas. Fmaj7(#11, 9)

101

Tarea 16 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Todos los siguientes modos son relativos unos de los otros (comparten la misma escala mayor), pero parten de distintos grados de la escala. Escribe las notas (escalas de una octava) que corresponden a los siguientes modos: a)

A Jónico

h) Eb Jónico

b)

B Dórico

i) F Dórico

c)

C# Frigio

j) G Frigio

d)

D Lidio

k) Ab Lidio

e)

E Mixolidio

l) Bb Mixolidio

f)

F# Eólico

m) C Eólico

g)

G# Locrio

n) D Locrio

102

Tarea 16-2 2. Los siguientes pares de escalas son relativos uno del otro (pertenecen a la misma). Escribe el modo debajo de cada clave. a)

b)

c)

d)

e)

103

Tarea 17 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Analiza con números romanos la siguiente progresión. Escribe el cifrado de los acordes. Si encuentras tensiones ponlas en paréntesis. Marca el tipo de función de cada acorde (T SD D). Marca con flechas las resoluciones de dominantes por círculo de 5tas. (V - I). a)

b)

c)

d)

e)

f)

104

Tarea 17-2 2. Analiza las siguientes progresiones. Armoniza los acordes haciendo una buena conducción de voces. Ebmaj7

C-7

F#-7(b5)

Gmaj7

Abmaj7

Emaj7

F-7

Bb-7

C-7

Bb7

B-7

F-7/C

Amaj7 B7

Abmaj7

E-

G7

A-

Bb-/Db

G#-7

F-7

D7(sus4)

Eb7

C#-7

F-

F#-7

Bb7

D7

Dbmaj7

Ebmaj7

G

Ab

B7(sus4) E

105

Tarea 18 Nombre del Alumno___________________________ Número de Credencial__________ Fecha__________ 1. Analiza cada progresión de acordes con números romanos y flechas. Marca la función de cada acorde (T SD D). a)

Cmaj7 Fmaj7

b)

Bbmaj7

C-7

F#-

c)

A

d)

Dmaj7

e)

Ebmaj7

f)

Gmaj7

g)

Gbmaj7

106

B-7(b5)

Abmaj7

D7

D-7

Fmaj7

C/G

G7

Cmaj7

C-7

F7

Bbmaj7

E7

A

D-7

G-7

Ebmaj7

B-

E7

F#-

C#-

D

B-7

F#-7

E-7

G/D

A / C#

C-7

F-7

Bb7 (sus4) Bb7

Ebmaj7

G/B

A-7

G6

D-7(b5)

E-7

Ab-7

E-7

Bb-7

G-7

B-7

Eb-7

Cmaj7

Ab-7 Dbmaj7

Eb-7

A7

D7

Cbmaj7

D

Gb

2. Escribe el acorde correcto que se te pide, considerando la tonalidad (hay inversiones, triadas y acordes de séptima). IVmaj (1) G

II-7 (R) b) _______________

III- (2) c) _______________

VI-7 (1) d) _______________

VII-7(b5) (3) e) _______________

IVmaj7 (1) f) _______________

VIIº (2) g) _______________

II- (1) h) _______________

Imaj (1) i) _______________

III-7 (3) j) _______________

VI- (1) k) _______________

V7 (R) l) _______________

Vmaj (2) m) _______________

IVmaj7 (2) n) _______________

VII-7(b5) (1) ñ) _______________

III-7 (R) o) _______________

VIIº (1) p) _______________

VI- (2) q) _______________

Imaj7 (3) r) _______________

III-7 (3) s) _______________

VI-7 (R) t) _______________

a)

107