Aritmeticki i Geometrijski Niz

Na Def: http://public.carnet.hr/~sgrabus/Aniz.php?id=uvod možete provjeriti svoje rješenja zadataka od 1. do 15. iz aritmetičkog niza.

Za niz kažemo da je aritmetički niz ako je razlika susjednih članova niza stalna (konstanta). Ta razlika se označava s d.

d  a2  a1  a3  a2  ..

d  an  an 1

odnosno za n > 1

Def. (rekurzivna definicija aritmetičkog niza)

an  an1  d A opći član aritmetičkog niza dan je formulom:

an  a1   n  1  d Svaki član aritmetičkog niza aritmetička je sredina susjednih članova u nizu

an 

an 1  an 1 2

Suma prvih n članova aritmetičkog niza:

Sn 

n  2a1   n  1 d  , n   2

Izračunavanje diferencije pri interpolaciji r- članova aritmetičkog niza između a i b

b  a   r  1 d d

Mira Mihajlović Petković

ba r 1

1

Primjer: 1.

2,4,6,8,... - aritmetički niz s razlikom 2

2.

8,6,4,2,... - aritmetički niz s razlikom - 2

Niz je rastući ako mu je razlika d pozitivna, odnosno padajući ako je razlika d negativna. U gornjem primjeru prvi niz je rastući a drugi je padajući

Zadatci: 1.

Za koje od navedenih nizova možemo naslutiti da su aritmetički nizovi 2, 4.5, 7, 9.5, 12, ... 900,800,700,600,500, ... 2, 4, 8, 16, 32, ... 1, 1, 2, 3, 5, ... 5, 2, -1, -4, -7

2. Kolika je razlika sljedećeg aritmetičkog niza: - 2.7, -2.4, -2.1, -1.8, -1.5 ,... ? 3. Kolika je razlika sljedećeg aritmetičkog niza: 10, 5, 0, -5, -10, .... ? 4. Aritmetički niz 10, 5, 0, -5, -10, ... je rastući. Ova tvrdnja je Točna Pogrešna 5. Koji od navedenih aritmetičkih nizova nisu padajući? 10, 5, 0, -5, -10, ... - 2.7, -2.4, -2.1, -1.8, -1.5 ,... 2, 4.5, 7, 9.5, 12, ... 5, 2, -1, -4, -7 900,800,700,600,500, ... 6.

Odredi 13. član aritmetičkog niza kojem je a5 = 2, a40 = 142 a13 =

Mira Mihajlović Petković

2

7.

Odredi prvi član aritmetičkog niza ako je: a1 + a7 = 42 a10 - a3 = 21 a1 =

8. Za koji realni broj x su brojevi log2, log(2x - 1), log(2x + 3) tri uzastopna člana aritmetičkog niza x = log 2

x = log52

x = log25

ne postoji

x>1

Odredi prvi član aritmetičkog niza kod kojeg je suma trećeg i sedmog člana 9. jednaka 24, a razlika šestog i čtvrtog 4. a1 = 10.

Odredi sumu prvih 18 članova aritmetićkog niza kod kojeg je a5 = 6, a12 = - 15 S18 =

11. Četvrti član aritmetičkog niza je -5, a sedmi - 14. Koliko članova tog niza treba zbrojiti da bi suma bila -387? n= 12. Kod kojeg od navedenih aritmetičkih nizova je suma prva tri člana 18, a suma njihovih kvadrata 126 a1 = 3, d = -3

a1 = -3, d=3

a1 = 3, d = 3

a1 = -3, d = -3

a1 = 6, d = 6

13. Stranice pravokutnog trokuta čine aritmetički niz. Odredi hipotenuzu trokuta ako je njegov opseg 12 c=

14.

Riješi jednadžbu: 5 + 8 + 11 + 14 + ... + x = 124 x=

Mira Mihajlović Petković

3

15. Koliko brojeva treba umetnuti izmeðu 5 i 25 da bi se dobio aritmetički niz čiji je zbroj 60 broj članova koje treba umetnuti = 16. Odredi aritmetički niz ako je zbroj drugog, trećeg i četvrtog člana jednak 3, a umnožak prvog i četvrtog člana aritmetičkog niza jednak -20. a1 =

d=

17. Odredi aritmetički niz ako je zbroj kvadrata trećeg i sedmog člana 122, a zbroj prvog i sedmog člana jednak 4. a1 = 18.

d=

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva manjih od 5000, a djeljivih s19? zbroj svih brojeva =

19. Zbroj prvih pedeset članova aritmetičkog niza je 200, a zbroj sljedećih 50 iznosi 2700. Odredi ovaj niz. a1 = 20.

d=

Odredi sumu prvih 15 članova niza, ako je: a1  a7  42, a10  a3  21 S15 =

21.

Odredi sumu prvih 100 članova niza, ako je: a5  a11  0.2, a4  a10  2.6 S100 =

22.

Odredi sumu prvih 10 članova niza, ako je: a1  a5  24, a2  a3  60 S10 =

23.

Odredi sumu prvih 15 članova niza, ako je: a2  a3  a4  3, a1  a4  20 S15 = Provjera rezultata

Mira Mihajlović Petković

4

Za niz kažemo da je geometrijski niz ako je kvocijent susjednih članova niza stalan (konstantan). Taj kvocjent se označava s q.

q  a2 : a1  a3 : a2  ... odnosno za n > 1 vrijedi:

q  an : an 1

Def. (rekurzivna definicija geometrijskog niza)

an  an 1  q A opći član geometrijskog niza dan je formulom:

an  a1  q n 1 Svaki član aritmetičkog niza aritmetička je sredina susjednih članova u nizu

an  an 1  an 1 Suma prvih n članova aritmetičkog niza:

qn 1 S n  a1  q 1 Ako je q  1 tada i beskonačni geometrijski niz ima konačan zbroj:

S 

a1 1 q .

Izračunavanje kvocjenta pri interpolaciji r- članova geometrijskog niza između a i b

b  a  q r 1 q  r 1

Mira Mihajlović Petković

5

b a

Ovaj kviz ćete nažalost morati riješiti djelomično sami:

Zadatci: 1.

Za koje od navedenih nizova možemo naslutiti da su geometrijski nizovi 2, 4.5, 7, 9.5, 12, ... 900,450,225.5,112.75, ... 2, 4, 8, 16, 32, ... 1, 1, 2, 3, 5, ... 5, 2, -1, -4, -7

2. Koliki je kvocijent sljedećeg geometrijskog niza: - 2, -1, -0.5, -0.25, ... ? 3. Koliki je kvocijent sljedećeg geometrijskog niza: 10, 5, 1, 0.2, 0.04, .... ? 4. Geometrijski niz 10, 5, 0, 0.5, 0.04, ... je rastući. Ova tvrdnja je Točna Pogrešna 5. Koji od navedenih aritmetičkih nizova nisu padajući? 81,27,9,3,1/3 625,125,25,5 ,... 2, 4,8,16,32, ... 1,4,16,64,256,… 1000,100,10,1, ... 6.

Odredi 13. član geometrijskog niza kojem je a5 = 5, a8 = 625 a7 =

7.

Odredi prvi član geometrijskog niza ako je:

a7  a1  728 a7  a4  702 a1 =

Mira Mihajlović Petković

6

8. Odredi prvi član geometrijskog niza kod kojeg je razliku sedmog i trećeg člana jednaka 720, a suma šestog i četvrtog 270. a1 = 9.

Odredi sumu prvih 18 članova geometrijskog niza kod kojeg je a5 = 162, a2 = 6 S18 =

10.

Četvrti član geometrijskog niza je 54, a sedmi 648. Koliko članova tog niza 26240 ? treba zbrojiti da bi suma bila 9 n=

11. Kod kojeg od navedenih geometrijskih nizova je suma prva tri člana 26, a suma njihovih kvadrata 364 a1 = 2, q=3

a1 = -2, q=3

a1 = 2, q = -3

a1 = -2, q = -3

a1 = 6,q = 6

12. Stranice pravokutnog trokuta čine geometrijski niz. Odredi najdužu stranicu trokuta ako je njegov opseg 19. c= 13.

Riješi jednadžbu: 8 665 + 4 + 6 + 9 + ... + x = 3 12

x= 14. Koliko brojeva treba umetnuti između 1 i 625 da bi se dobio geometrijski niz čiji je zbroj 781 broj članova koje treba umetnuti =

15.

Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza: 2, 1,

zbroj članova geometrijskog reda S

Mira Mihajlović Petković

7

=

1 , ... 2

16.

2 7 Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza: 4, 2 ,1 , ... 3 9

zbroj članova geometrijskog reda S = 17.

Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza: 1,

1 1 , , ... 1 .2 1 .2 2

zbroj članova geometrijskog reda S = 18.

Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza:

2,

1 1 , 2, ... 2 4

zbroj članova geometrijskog reda S = 19.

Riješi jednadžbu:

1  2 x  4 x 2  ...  (2 x) n  ...  3.4  1.2 x za x  0.5 rješenje jednadžbe x =

20.

Riješite jednadžbu

1 5

x 1

4



(5

x 1

1 1 1 . 2  x 1 3  ...  x 5  97  4) (5  4)

rješenje jednadžbe x =

Provjera rezultata

Mira Mihajlović Petković

8

Geometrijski niz 7. a7  a1  728

a7  a1q 7 1  a1q 6

=>

a7  a4  702

a1 (q 6  1)  728

=>

=>

a1q 3 (q 3  1)  702

(q 3  1) (q 3  1) q (q  1) 3

3

=> q  3



=>

=>

a4  a1q 4 1  a1q 3

28 / 27 q 3 27

a1q 6  a1  728 a1q 6  a1q3  702 28

a1 (q 6  1)

728 =>  3 3 a1 q (q  1) 702 27 27( q 3  1)  28q 3

=>

=> q 3  27 / 3

a1 (36  1)  728 a1  1

8. a3  a1q 31  a1q 2 a7  a3  720 a6  a4  270

a7  a1q 7 1  a1q 6

=>

=>

a6  a1q 6 1  a1q 5

a1q 6  a1q 2  720 a1q 5  a1q 3  270

=>

a4  a1q 4 1  a1q 3

a1q 2 (q 4  1)  720 a1q 3 (q 2  1)  270 =>

=>

a1q 2 (q 4  1) a1 q 3 (q 2  1)

(q 2  1) 8  / 3q => q 3



720 270

3(q 2  1)  8q

=>

(q 2  1) (q 2  1) q (q 2  1)

=> 3q 2  8q  3  0

2 b  b 2  4ac 8  8  4  3   3 8  10 2 q1.2     q1  3, q2   2a 23 6 3

q1  3 a1  32  (34  1)  720

 a1 1  1

Mira Mihajlović Petković

9



7208 2703

q2  

2 3

2 4   2   2  a1          1  720  3   3  

4  65  a1      720 9  81   260  => a1      720  729 

4 16  a1     1  720 9  81 

 a1 2  720

a5  162  a1q 4

9.

=>

a2  6  a1q

=> a2  a1  3  6/ : 3

a1 q 4

3

a1q

=> a1  2



36

 729  26244    13  260 13 

162 27 6

=> S18  a1 

=>

q 3  27 / 3

=> q  3

q18  1 318  1  2  387420488 3 1 q 1

a4  24  a1q 3

10.

a7  648  a1q 6 26240 Sn  9 n?

a1 q 6 a1q

3

3

648  24

27

=> q 3  27 / 3

a4  54  a1  33  a1  S n  a1 

248 8  27 9 9

q n  1 26240  q 1 9

8 3n  1 26240   / 9 2 9 3 1 9

3n  1  6560 =>

8  (3n  1)  52480/ : 8

11.

=> q  3

3n  6561 3n  38 n 8

a1  a2  a3  26 a12  a22  a32  364

a1 = 2, q=3

a1 = -2, q=3

Mira Mihajlović Petković

a1 = 2, q = -3

10

a1 = -2, q = -3

a1 = 6,q = -6

12. a  a1 b  a2  a1q c  a3  a1q 2

=>

a12  a22  a32

a12  (a1q) 2  (a1q 2 ) 2 a1  a1q  a1q 2  19

a12 (1  q 2 )  a12 q 4 / : a12

=>

a1 (1  q  q 2 )  19

=>

a  b  c  19 1  q2  q4  0 q2  x

q2  x /

x  x 1  0 2

x1,2 

b  b  4ac  2a 2

1  12  4   1 1 2   1



1  5 2

=>

x1  1, 62

q x q1,2   1, 62  1, 27 q3,4   0,62  0,79i

x1  0, 62 a1 (1  1, 27  1, 27 2 )  19

Rješenje je jedino q1  1, 27

=> a1  3,8829  19/ : 3,8829 a1  4,8932

=>

c  a3  a1q 2  4,8932 1, 27 2  7,8923

13.

8 665 + 4 + 6 + 9 + ... + x = 3 12 n

8 3 4 6 9 3 q    8 4 6 2 3 a1 

n

3 1 n 665 q  1 8  2  S n  a1     q 1 3 3 1 12 2

Mira Mihajlović Petković

3 1 n 8  2  665 665   3 1 3 12    1 64 2 2 n n  3  729  665 3 16   3   => =>  2       1  / 64   3  2   12 16 n 6 3 3 n 665     3 2 2   1  64 2 n6

11

a1  1

14.

an  625  a1  q n 1  1 q n 1 Sn  a1 

qn 1  781 q 1 q n  1  781  (q  1)

q n 1  625

5n  625

625q  1  781  q  781 qn 5n  54  625 => 625q  781  q  781  1 => q n4 780 n 5 q q  625q Umetnuti _ n  2  2 _ člana 156

a1  2 1 1 => q  2 2 1

15.

S 

a1 2  4 1 q 1 1 2

a1  4

16.

2 7 8 1 2 q 3  9  3  2 4 3 4 2 3 2

a1  1 1 1 2 1 q  1.2  1.2  1 1 1.2 1.2

=>

S 

=>

S 

a1 4   12 1 q 1 2 3

17.

18. q

a1 1 1   6 0.2 1 q 1 1 1.2 1.2

a1  2 1 2  1 2 2

=>

S 

a1 2 2   2 2 1 1 q 1 1 2 2

Mira Mihajlović Petković

12

19.

a1  1

2x 1  (3.4  1.2 x)  (1  2 x)  2x 1 => 1  3.4  6.8 x  1.2 x  2.4 x 2 a 1 S  1   3.4  1.2 x / (1  2 x) 2.4 x 2  8 x  2.4  0 1 q 1 2x

q

=>

20.

b  b 2  4ac 8  82  4  2.4  2.4 8  6.4 8  6.4 31    x1   2a 2  2.4 4.8 4.8 12 8  6.4 1 x2   4.8 3 31 31 x1      0.5 _ nije _ rješenje 12 12 zbog x  0.5 => 1 1 x2    0.5 _ je _ rješenje 3 3 x1,2 

a1 

1 5 4 x 1

1 1 (5  4) 2  x 1 q 1 5 4 x 1 5 4 x 1

1 1 x 1 a 1 5 x 1  4 S  1  5  4  x 1  x1 5  4 1 5  3 1 q 1 1 x 1 5 4 5x 1  4 1 1  x /   5 x 1  3 5 x  97  x 1 5  3 5  97 5 x  97  5 x 1  3 => 5 x  97  5 x 1  3  0 5 x  100 

x

5  0 / 5 5

Mira Mihajlović Petković

13

5  5 x  5x  100  0 4  5 x  100/ : 4 5x  25 5 x  52 x2

1. Izračunaj: a) b) c)

Napiši prvih 5 članova niza i utvrdi je li niz aritmetički ako je: a n  3n  1 . 3 Odredi opći član aritmetičkog niza ako je: a1  3 , d  . 2 Odredi član aritmetičkog niza ako su mu zadani neposredni prethodnik i a 2  2a 1 neposredni sljedbenik: , . a 1 a 1

2.Izračunaj nepoznatu veličinu aritmetičkog niza:

a1  12 , d  4 , n  ? , a n  100 ,

Sn  ? .

3. Izračunaj: a) b)

Između brojeva 62 i  22 umetni 6 brojeva tako da svi zajedno čine aritmetički niz. Između brojeva 5 i 160 umetni 4 broja tako da svi zajedno čine geometrijski niz.

4.Izračunaj nepoznatu veličinu geometrijskog niza: a1 

1 , q  ? , n  6 , a n  81 , 3

Sn  ? .

5. Odredi sedmi član geometrijskog niza za koji vrijedi: a 5  a 3  3 , a5  a 4  1 . 6. Odredi realni broj x tako da zadani niz bude geometrijski: 1 1 1 , , . x 3 x2 x4

Mira Mihajlović Petković

14

1. Napiši prvih pet članova niza ako je zadan opći član: a) a n  3n 2  1 b)

a n  2 n  3n 2  n

2. Izračunaj: a) Napiši prvih pet članova aritmetičkog niza ako je zadano: a1  5, d  2 b) Nađi a15 aritmetičkog niza, ako je zadano: a 7  14, a10  20 a7  a10  34 c) Za koji aritmetički niz vrijedi: . Ispiši prvih pet članova a5  a 2  1 dobivenog niza. 3. Izračunaj: a) Napiši prvih pet članova geometrijskog niza ako je zadano: a1  25, q 

1 5

5 5 b) Nađi a 7 geometrijskog niza, ako je zadano: a 3  , a5  3 27

50 27 c) Za koji geometrijski niz vrijedi: . Ispiši prvih pet članova 400 a3  a 7  243 dobivenog niza. a 3  a5 

4. Izračunaj a) Koliko brojeva treba umetnuti između 5 i 25 da bi se dobio aritmetički niz čiji je zbroj 60 b) Koliko brojeva treba umetnuti između 1 i 625 da bi se dobio geometrijski niz čiji je zbroj 781

Mira Mihajlović Petković

15

1. Napiši prvih 10 članova niza: a ) a1  1 an  n  an 1 , n  2 n 1 , n 1 n 1 2. Odredi aritmetički niz u kojem je: a) a5  11 b) a3  a6  22 b) an   1

n 1

a8  20 a8  a4  16 3. Odredi geometrijski niz u kojem je 1 a ) a3  b) a4  a2  18 2 a6  4 a5  a3  36 8 4 2 1 4. Izračunaj sumu     ... 3 3 3 3

Mira Mihajlović Petković

. Napiši prvih 5 članova.

Napiši prvih 5 članova.

16