ARITMÉTICA.LÓGICA DE PROPOSICIONES

PRACTICA N° 01: LOGICA PROPOSICIONAL

Prof. Judith Bautista G Matemática 4ºSec.

 Apellidos y Nombres: Nom bres: ««««« «« «««««« «««««« «««««« «««««« «««««« «««««« «««««« ««««.. «.. I. Coloca en los paréntesis, E si es enunciado o P si es Proposición, a la derecha de las siguientes expresiones, determina el valor de verdad según corresponda: RD a). La casa de cartón ( ) b). 36 > 90 ( ) c).  X es el doble de 18 ( ) d). 19 es un número compuesto ( ) e). En qué año se fundó Jayanca? ( ) f). La fiesta de las cruces se celebra en Mayo ( ) g). 5 y 6 son números pares ( ) h). ¡Vete de aquí! ( ) i). ¿Entendiste? ( )  j).  X es el doble de Y ( ) k). La matemática es una ciencia ( ) l). ¡Viva la matemática! ( ) m).  X + 6 ( ) n). Terminaron las vacaciones ( ) II. Coloca S si es proposición Simple o C si compuesta. RD a). Carlos y Ricardo son hermanos ( b). 5 y 6 son números naturales ( c). 29  8 ( d). No es cierto que 8 es primo o 46 es compuesto ( e). Lo traje, sin embargo él no quería ( f). Pienso luego existo ( g). Ser o no ser, he ahí el dilema ( h). Lo haré cuando y solo cuando te vayas ( i). Tienes un excelente sentido del humor (  j). Todo cuadrado es un cuadrilátero ( III. a). b). c). d). e). f). g). h). i).  j). k). l). m). n). o).

es ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Representa simbólicamente las siguientes expresiones: CM  7 8  96  No es mentira que 2 3 + 5 = 13 7  y 8 son números naturales No es cierto que 7  es número primo o 6 es número  perfecto. Si voy a aprobar entonces no estaré entre los aplazados. Cociné pero se quemó.  Aunque atiendo, no aprendo aprendo Tenemos AIP ya que el MINEDU aceptó nuestra  petición.  Aprobarás siempre que estudies. De 5 + 3 = 8 se deduce que 8 ± 5 = 3. Te creeré cuando y solo cuando lo demuestres.  Apruebas o desapruebas. Dado que trabajo por ende pago mis cuentas Si esta lloviendo, Juan esta nervioso. Pero Juan esta nervioso. Por lo tanto, está lloviendo. No te contestarán si escribes. Y te sentirás miserable si no te contestan. Se sigue que, si  escribes, te sentirás miserable.

 p).  Aceptamos que Juan no quiere a nadie, que se quiere a sí mismo. Pero si Juan no quiere a nadie, entonces no puede quererse a sí mismo. Por consiguiente, Juan no puede quererse a sí mismo. q). Si Juan fue el asesino, debe haber estado en Trujillo el  15 de mayo. En ese caso, él es quien compró los boletos el 14 de mayo. Pero si compró los boletos el 14 de mayo, no tuvo oportunidad de comprar el veneno. Luego, Juan es inocente. r). No puede ser que Juan sea electricista y que no sepa arreglar una lámpara eléctrica. Pero Juan es capaz de arreglar una lámpara eléctrica. Por lo tanto es electricista. s). Este triángulo es equiángulo sí solo sí es equilátero. Este triángulo es equiángulo sí solo sí cada ángulo tiene 60°. Por eso, este triángulo es equilátero sí y solo sí cada ángulo tiene 60°. t). No se da el caso que sea medianoche y brille el sol. Pero el sol esta brillando. Luego es mediodía o medianoche. Por consiguiente es mediodía. u). Si estudio más, aprenderé a construir tablas de verdad  correctamente. Y si además no voy a la fiesta, entonces con todo ello conseguiré aprobar el curso. IV. Construye la proposición compuesta según cada estructura formal que se da: CM   p: Hay lluvias en la Sierra q: Los ríos aumentan de caudal. r: La producción agrícola crece. s: Hay deshielos en la cordillera. a). (p  q) p r  b). q p (p  s) c).  p p r  d). b ( p  bq) e). r m (p  q) f). [ (p p q)  s ] p q g). b (p  s) p bq h).  _ [(r m q)  q] m (p  s) a p [(s  p) pr ] i).  _[p p (r p q) ]  b(r  bs)a p  j).

bq  _[(bp  bs) p bq]  (bq p br)a p [bp p (bs p br)]

V. Fíjate en las siguientes proposiciones y formaliza las expresiones que figuran a continuación: CM   p = Argentina se moviliza. q = Brasil impone restricciones económicas. r = Cuba sigue enviando armas a Sudamérica. s = La república Dominicana apela a las Naciones Unidas. a).  Argentina se moviliza y, o bien Brasil impone restricciones comerciales, o bien Cuba sigue enviando armas a Sudamérica.

b). O bien Argentina se moviliza y Brasil impone restricciones comerciales, o bien Cuba sigue enviando armas a Sudamérica. c).  Argentina no se moviliza, pero Brasil impone restricciones comerciales. d). O bien Argentina se moviliza, o bien Brasil no impone restricciones comerciales. e). No se da el caso de que Argentina se movilice y Brasil  imponga restricciones comerciales. f). No se da el caso de que, o bien Argentina se movilice, o bien Brasil no imponga restricciones comerciales. g). O bien Argentina se moviliza y Brasil impone restricciones comerciales o bien no se da el caso de que Cuba siga enviando armas a Sudamérica y que la República Dominicana apele a las Naciones Unidas. h). O bien Brasil impone restricciones comerciales y la República Dominicana apela a las Naciones Unidas o bien Cuba sigue enviando armas a Sudamérica o  Argentina se moviliza. i).  Argentina se moviliza y, o bien Brasil impone restricciones comerciales, o Cuba sigue enviando armas a Sudamérica y la República Dominicana apela a las Naciones Unidas.  j). O bien Cuba no sigue enviando armas a Sudamérica o bien la República Dominicana no apela a las Naciones Unidas, y ni Argentina se moviliza ni Brasil impone restricciones comerciales. VI. Halla el valor de verdad de las siguientes  proposiciones simples si: RD a). ( bq p b p)  br es falsa b). ( b p  q) p br es falsa c). ( bq m br) p ( b p  r) es falsa. d). b p m q es falsa bq ( r es verdadera br  bt es verdadera VII. Si p es falsa y q verdadera en la fórmula proposicional  ( b p ( br) p ( br   bq) ¿Para qué valores de verdad  de ³r´ es falsa dicha fórmula? RD VIII. Se define un nuevo conectivo ³£´ tal que:  p £ q = b(p  bq) ¿En qué caso resulta verdadera  p £ q? RD IX.  Asocie a cada letra un número de tal manera que se formen esquemas equivalentes: RD b  b  a). (p q) 1)  p q b).  p p q 2) (p  q)  ( b p  bq) c).  p m q 3) b p  bq d).  p  (q  r) 4) b p  bq e). (p m q) m r 5) (p  q)  (p  r) f). b(p  q) 6) p m (q m r)  X. Desarrolla las tablas de verdad de las siguientes expresiones lógicas y razona si son fórmulas contradictorias, consistentes o tautológicas: RP  a). (p  q)  p b). (p  q) p bq c). ¬(p ȁ ¬ p) d). ¬(p ȁ q) ļ ( ¬ p V ¬q) e). (p V q) ļ (q ļ p)

f). g). h). i).  j). k). l). m). n).

( b p p q) m ( bq  p) b(  b p p bq)  (q  b p) b(  b p  q) p (p  bq) b(  b p p q) m (p  bq) b[ b(p  bq) p ( br  m b p) ]  [  p ȁ (q V r)] ļ [ (p ȁ q) V (p ȁ r)]  [  p ĺ (q V r)] ļ [ (p ĺ q) V (p ĺ r)]  b[  (p  bq) p r] m [ q  ( br p b p)]   _ (p m bq)  [ bq m (r  b p) ]  a p [  p m (r  b p)] 

 XI. Grafique el circuito lógico de las siguientes fórmulas: CM  a). P  q  r  b). b p  q  br  c). P  q  r  d). P  q  b p e). P  (q  r) f). b p  (q  r) g). (p  q)  ( bq  b p) h). (p  q  r)  ( bq  r) i). b p  (q  r)  (r  p)  j). [ p  (q  r) ]  [ (r  p)  q]  XII. Simbolice o halle la expresión lógica de los siguientes circuitos lógicos: CM 

a).

b).

c).

d).

e).

f).  j).

g).

h).

i).

³Ser Hoy mejor que Ayer, Mañana Mejor que Hoy´ 

PRACTICA N° 01: LOGICA PROPOSICIONAL

Prof. Judith Bautista G Matemática 5ºSec.

 Apellidos y Nombres: «««««««««««««««««««««««««««.. I. Coloca en los paréntesis, E si es enunciado o P si es Proposición, a la derecha de las siguientes expresiones, determina el valor de verdad según corresponda: RD a). La casa de cartón ( ) b). 36 > 90 ( ) c).  X es el doble de 18 ( ) d). 19 es un número compuesto ( ) e). En qué año se fundó Jayanca? ( ) f). La fiesta de las cruces se celebra en Mayo ( ) g). 5 y 6 son números pares ( ) h). ¡Vete de aquí! ( ) i). ¿Entendiste? ( )  j).  X es el doble de Y ( ) k). La matemática es una ciencia ( ) l). ¡Viva la matemática! ( ) m).  X + 6 ( ) n). Terminaron las vacaciones ( ) II. Coloca S si es proposición Simple o C si compuesta. RD a). Carlos y Ricardo son hermanos ( b). 5 y 6 son números naturales ( c). 29  8 ( d). No es cierto que 8 es primo o 46 es compuesto ( e). Lo traje, sin embargo él no quería ( f). Pienso luego existo ( g). Ser o no ser, he ahí el dilema ( h). Lo haré cuando y solo cuando te vayas ( i). Tienes un excelente sentido del humor (  j). Todo cuadrado es un cuadrilátero ( III. a). b). c). d). e). f). g). h). i).  j). k). l). m). n). o).

es ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Representa simbólicamente las siguientes expresiones: CM  7 8  96  No es mentira que 2 3 + 5 = 13 7  y 8 son números naturales No es cierto que 7  es número primo o 6 es número  perfecto. Si voy a aprobar entonces no estaré entre los aplazados. Cociné pero se quemó.  Aunque atiendo, no aprendo Tenemos AIP ya que el MINEDU aceptó nuestra  petición.  Aprobarás siempre que estudies. De 5 + 3 = 8 se deduce que 8 ± 5 = 3. Te creeré cuando y solo cuando lo demuestres.  Apruebas o desapruebas. Dado que trabajo por ende pago mis cuentas Si esta lloviendo, Juan esta nervioso. Pero Juan esta nervioso. Por lo tanto, está lloviendo. No te contestarán si escribes. Y te sentirás miserable si no te contestan. Se sigue que, si  escribes, te sentirás miserable.

 p).  Aceptamos que Juan no quiere a nadie, que se quiere a sí mismo. Pero si Juan no quiere a nadie, entonces no puede quererse a sí mismo. Por consiguiente, Juan no puede quererse a sí mismo. q). Si Juan fue el asesino, debe haber estado en Trujillo el  15 de mayo. En ese caso, él es quien compró los boletos el 14 de mayo. Pero si compró los boletos el 14 de mayo, no tuvo oportunidad de comprar el veneno. Luego, Juan es inocente. r). No puede ser que Juan sea electricista y que no sepa arreglar una lámpara eléctrica. Pero Juan es capaz de arreglar una lámpara eléctrica. Por lo tanto es electricista. s). Este triángulo es equiángulo sí solo sí es equilátero. Este triángulo es equiángulo sí solo sí cada ángulo tiene 60°. Por eso, este triángulo es equilátero sí y solo sí cada ángulo tiene 60°. t). No se da el caso que sea medianoche y brille el sol. Pero el sol esta brillando. Luego es mediodía o medianoche. Por consiguiente es mediodía. u). Si estudio más, aprenderé a construir tablas de verdad  correctamente. Y si además no voy a la fiesta, entonces con todo ello conseguiré aprobar el curso. IV. Construye la proposición compuesta según cada estructura formal que se da: CM   p: Hay lluvias en la Sierra q: Los ríos aumentan de caudal. r: La producción agrícola crece. s: Hay deshielos en la cordillera. a). (p  q) p r  b). q p (p  s) c).  p p r  d). b ( p  bq) e). r m (p  q) f). [ (p p q)  s ] p q g). b (p  s) p bq h).  _ [(r m q)  q] m (p  s) a p [(s  p) pr ] i).  _[p p (r p q) ]  b(r  bs)a p bq

 j).  _[(bp  bs) p bq] 

(bq p br)a p

[bp p (bs p br)]

V. Fíjate en las siguientes proposiciones y formaliza las expresiones que figuran a continuación: CM   p = Argentina se moviliza. q = Brasil impone restricciones económicas. r = Cuba sigue enviando armas a Sudamérica. s = La república Dominicana apela a las Naciones Unidas. a).  Argentina se moviliza y, o bien Brasil impone restricciones comerciales, o bien Cuba sigue enviando armas a Sudamérica.

b). O bien Argentina se moviliza y Brasil impone restricciones comerciales, o bien Cuba sigue enviando armas a Sudamérica. c).  Argentina no se moviliza, pero Brasil impone restricciones comerciales. d). O bien Argentina se moviliza, o bien Brasil no impone restricciones comerciales. e). No se da el caso de que Argentina se movilice y Brasil  imponga restricciones comerciales. f). No se da el caso de que, o bien Argentina se movilice, o bien Brasil no imponga restricciones comerciales. g). O bien Argentina se moviliza y Brasil impone restricciones comerciales o bien no se da el caso de que Cuba siga enviando armas a Sudamérica y que la República Dominicana apele a las Naciones Unidas. h). O bien Brasil impone restricciones comerciales y la República Dominicana apela a las Naciones Unidas o bien Cuba sigue enviando armas a Sudamérica o  Argentina se moviliza. i).  Argentina se moviliza y, o bien Brasil impone restricciones comerciales, o Cuba sigue enviando armas a Sudamérica y la República Dominicana apela a las Naciones Unidas.  j). O bien Cuba no sigue enviando armas a Sudamérica o bien la República Dominicana no apela a las Naciones Unidas, y ni Argentina se moviliza ni Brasil impone restricciones comerciales. VI. Halla el valor de verdad de las siguientes  proposiciones simples si: RM  a). ( bq p b p)  br es falsa b). ( b p  q) p br es falsa c). ( bq m br) p ( b p  r) es falsa. d). b p m q es falsa bq ( r es verdadera br  bt es verdadera VII. Si p es falsa y q verdadera en la fórmula proposicional  ( b p ( br) p ( br   bq) ¿Para qué valores de verdad  de ³r´ es falsa dicha fórmula? RM  VIII. Se define un nuevo conectivo ³£´ tal que:  p £ q = b(p  bq) ¿En qué caso resulta verdadera  p £ q? RM  IX.  Asocie a cada letra un número de tal manera que se formen esquemas equivalentes: RM  b  b  a). (p q) 1)  p q b).  p p q 2) (p  q)  ( b p  bq) c).  p m q 3) b p  bq d).  p  (q  r) 4) b p  bq e). (p m q) m r 5) (p  q)  (p  r) f). b(p  q) 6) p m (q m r)  X. Desarrolla las tablas de verdad de las siguientes expresiones lógicas y razona si son fórmulas contradictorias, consistentes o tautológicas: RP  a). (p  q)  p b). (p  q) p bq c). ¬(p ȁ ¬ p) d). ¬(p ȁ q) ļ ( ¬ p V ¬q) e). (p V q) ļ (q ļ p)

f). g). h). i).  j). k). l). m). n).

( b p p q) m ( bq  p) b(  b p p bq)  (q  b p) b(  b p  q) p (p  bq) b(  b p p q) m (p  bq) b[ b(p  bq) p ( br  m b p) ]  [  p ȁ (q V r)] ļ [ (p ȁ q) V (p ȁ r)]  [  p ĺ (q V r)] ļ [ (p ĺ q) V (p ĺ r)]  b[  (p  bq) p r] m [ q  ( br p b p)]   _ (p m bq)  [ bq m (r  b p) ]  a p [  p m (r  b p)] 

 XI. Realiza la deducción lógica de los siguientes argumentos: RP  a). Un tren sale de Huancayo para Huancavelica. Una hora después otro tren sale de Huancavelica para Huancayo. Los dos trenes van a la misma velocidad  ¿Cuál de los dos trenes esta más cerca de Huancayo cuando se encuentran? b). En una calle hay 100 casas. Se llama a un fabricante de números para que ponga número a todas las casas del uno al cien. Sin lápiz y papel ¿Puedes calcular  cuántos 9 necesitan? c). ¿Podrías ayudar a Angelines aclarando sus ideas? CORAZÓN LOCO.  Angelines está agobiada por sus problemas amorosos. No se aclara. Si ama a Erick Elera, no ama a Gianfranco, pero si no ama a Gianfranco, ama a Raúl. Si ama a Raúl, deja de amar a Félix, pero si no ama a Félix, entonces ama a Nicolás, el nieto de Francisca. -Angelines, por favor, la increpamos, ¿es que no estás segura de tus sentimientos? -Una cosa es cierta ±nos responde±. Estoy segura de que amo a Erick. d). Lee el texto siguiente. No se trata de que ejerzas de  psicólogo ni de detective. Lo tuyo, en esta situación, es utilizar tus habilidades lógicas: formaliza los argumentos que aparecen y aplica las reglas de deducción; así encontrarás las respuestas a los interrogantes. EL DETECTIVE MARTÍNEZ ESPECULA. Con objeto de ejercitar su capacidad lógica, Martínez   pasa las tardes de domingo resolviendo casos imaginarios. Él mismo se plantea los supuestos, las coartadas de los sospechosos y las pistas que le  permitan solucionar el enigma. Cuando halla la solución se premia con una Inca Kola. Si no la encuentra se pone la televisión. En el caso que hoy le ocupa dispone de los siguientes datos: í O el crimen se cometió de noche en la más absoluta oscuridad o el principal sospechoso es ciego. í Pero, o el principal sospechoso no es ciego o miente al declarar que no vio nada. í Pero, o no miente o el detector de mentiras está estropeado.

El caso es que el citado detector no puede estar  estropeado jamás (es infalible). í

¿Miente o no miente el sospechoso? ¿Es ciego o no lo es? ¿Se cometió el crimen de día o de noche? e). Isabel tiene 5 hijos muy traviesos. Un día uno de ellos fabricó un tirador, y otro lo empleó contra el más  pequeño. Éste llorando fue a quejarse a su madre. La mamá llamó a los 4 restantes y les preguntó quién había fabricado el tirador y quién había lastimado a Enrique: -  Álvaro, el mayor, le dijo que habían sido Bernardo y Diego. - Bernardo culpó a Carlos y Álvaro. - Carlos a su vez culpó a Diego y Álvaro. - Diego responsabilizó a Bernardo y Carlos. Curiosamente, cada niño dijo una verdad y una mentira ¿A quién debe castigar la mamá y por qué? f). En el pueblo de Jayanca, un incendio acaba de destruir el Libro de Registro Civil y se han perdido los asentamientos de los últimos 6 matrimonios. Sin embargo se tienen los siguientes datos: - Diana, Manuel y Oscar son hermanos. - Fernanda es hija única. - Ignacio es dos veces cuñado de Teresa. - Oscar no es el marido de Claudia. -  Alicia, Teresa y Eliza son hermanas. - Pablo es cuñado de Fernanda y Oscar. - Elisa es cuñada de Oscar. - Claudia, Ignacio y Nicolás son hermanos. - Leandro es « (el resto de la frase es ilegible). ¿Cuáles son las 6 parejas de recién casados) g).  ALICIA EN EL BOSQUE DEL OLVIDO Cuando Alicia entró en el bosque del olvido, no lo olvidó todo, solamente ciertas cosas. A menudo olvidaba su nombre, pero sobretodo lo que más olvidaba era el día de la semana en que estaba.  Ahora bien, el león y el unicornio visitaban frecuentemente el bosque. Los dos eran criaturas extrañas. El león mentía Lunes, Martes y Miércoles, y  decía a verdad el resto de días de la semana. El  unicornio por otra parte, mentía los jueves, viernes y  sábado, pero decía la verdad el resto de la semana. g.1) Un día Alicia se encontró con el león y el Unicornio que descansaban bajo un árbol. Ellos le dijeron: León: Ayer fue uno de los días en que me tocaba mentir. Unicornio: Ayer fue también uno de los días en que me tocaba mentir.  A partir de esto, Alicia supo el día de la semana ¿Qué día era este? g.2) En otra ocasión, Alicia encontró al León solo. Y  éste le dijo: ³Ayer mentí y mentiré de nuevo dentro de tres días´ 

¿En qué día de la semana sucedió esto?. h). Ud. Ha sido nombrado Director de un colegio y debe establecer un horario de clases que responda a los deseos de profesores y alumnos. Ya ha logrado establecer el horario de Lunes, Martes, Jueves y  Viernes, pero falta el horario del día Miércoles para 6  cursos. Se sabe lo siguiente: -  Antes de Comunicación no puede haber Familia y Civismo ni CTA. - Matemática no puede estar antes que Historia. - El profesor de CTA recibe alumnos en su despacho a la 6ta hora. - Inmediatamente antes de Historia no puede darse Comunicación. - Los alumnos no quieren tener Matemática e inmediatamente después CTA. - El profesor de Familia y Civismo no puede estar  las dos últimas horas. - Inglés tiene que darse después de Comunicación. - Inglés debe preceder a CTA - No debe dos horas de clase con el mismo  profesor. - El profesor de Inglés esta ocupado a la 3era hora ¿Qué asignatura se dicta a la 4ta hora del dá miércoles? i). En la ronda final de la Copa América de Fútbol   participaron los equipos de Argentina, Uruguay y Perú. Cada equipo enfrentó una vez a sus adversarios e hizo un solo gol. Perú ganó la copa con 3 puntos. Uruguay  quedó en 2do lugar con dos puntos, y Argentina ocupó el último puesto con un punto. La puntuación era de dos puntos por partido ganado y uno por empate. ¿Cuáles fueron los resultados de los 3 partidos?  j). En el Campeonato Mundial de Voley Femenino, un día iban a jugarse 4 partidos entre los equipos Brasil, Corea, Egipto, Italia, Japón, México, Perú y Zaire. Los  periodistas preguntaron a 3 aficionados cuales serían a su juicio, los ganadores. Las respuestas fueron: - Brasil, Perú, Corea, Japón. - Perú, México, Zaire, Japón. - Japón, Corea, Egipto, Zaire. ¿Cuáles fueron los 4 partidos? ³Ser Hoy mejor que Ayer, Mañana Mejor que Hoy´