Aritmetica

Alfredo Caicedo Barrero Graciela Wagner de Garc´ıa Rosa Mar´ıa M´endez Parra Docentes Universidad del Quind´ıo

´ ´ PRINCIPIOS BASICOS DE ARITMETICA

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Derechos reservados Reproducido y editado por Ediciones Elizcom Primera edici´on, diciembre del 2010 200 ejemplares ISBN: 978-958-99325-8-2 www.elizcom.com [email protected] Cel: 3113340748 Armenia, Quind´ıo

Contenido

1 Naturaleza de la Aritm´ etica 1.1 Operaciones B´ asicas de la Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

2 Los 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

N´ umeros Naturales Las Nociones de Unidad y Conjunto . La Serie Natural de los N´ umeros . . . Producto Cartesiano . . . . . . . . . . La Adici´ on en los N´ umeros Naturales . Sustracci´ on en los Naturales . . . . . . Multiplicaci´on en los Naturales . . . . Divisi´on en los N´ umeros Naturales . . Potenciaci´on en los Naturales . . . . . Radicaci´ on en los Naturales . . . . . . Logaritmaci´on en los Naturales . . . .

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5 5 7 9 10 12 15 19 21 23 24

3 Los 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

N´ umeros Enteros Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . N´ umeros Primos . . . . . . . . . . Criterios de Divisibilidad . . . . . . M´aximo Com´ un Divisor (MCD) . . M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.)

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35 37 39 42 43 47

4 Congruencia 4.1 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ecuaciones Lineales de Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 62 67

5 N´ umeros Racionales Q 5.1 Valor Absoluto en Q . . . . . . . . . . . 5.2 Operaciones Aritm´eticas en Q . . . . . . 5.3 Representaci´ on Decimal de Q . . . . . . 5.4 Reducci´ on de Fraccionarios . . . . . . . 5.5 Comparaci´ on y Orden en los Racionales 5.6 Notaci´on Cient´ıfica . . . . . . . . . . . .

71 72 73 77 80 81 84

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Principios B´ asicos de Aritm´etica

6 Razones y Proporciones 6.1 Razones . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Proporciones . . . . . . . . . . . . . 6.3 Magnitudes Proporcionales . . . . . 6.4 Regla de Tres . . . . . . . . . . . . . 6.5 Magnitudes Proporcionales a Varias 6.6 Regla de Tres Compuesta . . . . . . 6.7 Reparto Proporcional . . . . . . . . 6.8 Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Inter´es Simple . . . . . . . . . . . . .

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7 Coeficientes Binomiales 8 Sistemas de Numeraci´ on 8.1 Origen de la Numeraci´on . . . . . 8.2 Sistema de Numeraci´on Posicional 8.3 Sistema de Numeraci´on en Base 2 . 8.4 N´ umeros Octales . . . . . . . . . . 8.5 Sistema Hexadecimal . . . . . . . .

91 91 95 97 101 102 103 104 106 109 115

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121 121 122 124 126 128

9 Sistema M´ etrico Decimal 133 9.1 Medidas y Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.2 Medidas Tradicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.3 Sistema Ingl´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Introducci´ on

Es necesario hacer un recorrido formal y riguroso de la aritm´etica desde sus inicios, para formar un docente bien fundamentado con bases s´ olidas desde el estudio de los n´ umeros naturales, hasta los n´ umeros reales. Esta propuesta pretende estudiar la matem´atica desde sus inicios para fortalecer al futuro docente en el estudio de: los n´ umeros naturales, su concepto, operaciones y leyes formales, ampliaci´ on de los n´ umeros naturales con los enteros, los racionales definiendo nuevamente las operaciones fundamentales y reconociendo la permanencia de las leyes formales, se trabajar´ an las leyes de las operaciones mediante demostraciones sencillas, de igual manera se estudiar´ an los n´ umeros primos, las relaciones de divisibilidad y de proporcionalidad, congruencia entre n´ umeros; se incorporar´an los recursos que ofrecen a la resoluci´ on de problemas aritm´eticos y a los m´etodos para hallar el m´ınimo com´ un m´ ultiplo (MCM) y el m´aximo com´ un divisor (MCD). Tambi´en se hace necesario profundizar en temas que le permitan un mayor conocimiento sobre los diferentes conjuntos num´ericos (n´ umeros naturales, enteros, racionales e irracionales), sus distintas formas de representaci´ on y las propiedades y relaciones que los caracterizan, adem´ as establecer relaciones entre los conjuntos num´ericos reconociendo sus propiedades espec´ıficas. Estos elementos le permiten hacer un an´alisis sobre los tipos de problemas de ´ındole aritm´etico, para obtener la comprensi´on de los m´ ultiples usos de las operaciones aritm´eticas para solucionar situaciones cotidianas. Con el presente material, se pretende que el docente haga un estudio sistematizado y riguroso de los n´ umeros y sus operaciones entre ellos adem´ as de iniciarse en los diversos m´etodos de demostraci´ on usados en aritm´etica para validar operaciones, propiedades y proposiciones.

iii

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Cap´ıtulo 1

Naturaleza de la Aritm´ etica

¿Qu´ e es la aritm´ etica? La aritm´etica es una rama de las matem´aticas que se ocupa del estudio de los n´ umeros y de las reglas que rigen las operaciones entre ellos ¿Qu´ e es una operaci´ on aritm´ etica? Una operaci´ on es una combinaci´on de ciertos n´ umeros, siguiendo determinadas reglas precisas, para obtener otro nuevo n´ umero como resultado ¿Qu´ e son las reglas formales de la aritm´ etica? Son reglas que establecen las formas como se deben combinar los n´ umeros para que as´ı quede definida una operaci´ on entre ellos Cada operaci´ on que se defina entre n´ umeros cumplir´a ciertas leyes que son “las reglas de juego” dentro de la operaci´ on. Estas son llamadas las leyes formales del c´alculo. El matem´atico Felix Klein en su magistral obra: “Matem´atica Elemental, desde un punto de vista superior”, dice: “Hist´ oricamente durante mucho tiempo, se ha sumado y multiplicado sin darse cuenta de las leyes formales de estas operaciones. En los a˜ nos 20 al 30 del siglo XIX fueron puestas en evidencia, por primera vez, por matem´ aticos franceses e ingleses, principalmente, las propiedades formales de aquellas operaciones.” En vista de los conceptos anteriores se puede redefinir la aritm´etica en la siguiente forma: “La aritm´etica es un conjunto de reglas que establecen c´ omo son las operaciones que se pueden ejecutar entre n´ umeros”

1.1

§ Operaciones B´ asicas de la Aritm´ etica §

En aritm´etica se han definido 5 operaciones b´asicas 1. Igualdad (=). 1

Principios B´ asicos de Aritm´etica

2

2. Suma (+). 3. Resta (−). 4. Multiplicaci´on (×) 5. Divisi´on (÷) Por lo tanto se tendr´ an leyes formales para cada una de ellas. Tambi´en se ha definido una relaci´ on de ordenamiento entre pares de n´ umeros y simbolizada por el signo (b

II. Ley Id´ entica Todo n´ umero es igual as´ı mismo a=a III. Ley rec´ıproca Si un n´ umero es igual a otro este es igual al primero De a = b se deduce que b = a IV. Ley transitiva Si un n´ umero es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual al tercero De a = b y b = c se deduce que a = c Si un n´ umero es menor o igual a otro y este es menor a un tercero, el primero es menor al tercero De a ≤ b y b < c se deduce que a < c Si un n´ umero es menor a otro y este es menor o igual a un tercero, el primero es menor al tercero De a < b y b ≤ c se deduce que a < c Leyes fundamentales de la adici´ on Para todo par de n´ umeros a y b existe siempre un tercer n´ umero s, llamado suma de a y b, que se designar´ a por a + b. Esta suma obedece a las siguientes leyes G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Operaciones B´ asicas de la Aritm´ etica

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I. Ley de uniformidad de la adici´ on De a = a′ y b = b′ se deduce que a + b = a′ + b′ II. Ley conmutativa Siempre se verifica que a+b=b+a III. Ley asociativa Siempre se verifica que (a + b) + c = a + (b + c) IV. Ley monoton´ıa De a < b se deduce que a + c < b + c De a > b se deduce que a + c > b + c Estas leyes parecen triviales pero constituyen el fundamento de toda la ciencia de los n´ umeros. Ley fundamental de la sustracci´ on Para cada par de n´ umeros a y b existe siempre un tercer n´ umero c tal que se cumple la relaci´ on a + c = b. En esta formulaci´ on se ve la precauci´ on de considerar la adici´on como la operaci´ on primaria y a la sustracci´on como la operaci´ on inversa de la adici´on. Siempre puede encontrarse un n´ umero c (´ unico) que sumado al n´ umero a nos d´e el n´ umero b. Demostremos que c es u ´nico: Demostraci´ on. Supongamos que existen dos n´ umeros c y c′ que sumados a a nos dan ′ b. Si esto es cierto entonces: a + c = b y a + c = b, entonces, por ley transitiva se obtiene a + c = a + c′ . Esta solo se cumple cuando c = c′ . Si c > c′ , entonces, por Ley de Monoton´ıa se obtiene a + c > a + c′ . Si c < c′ , entonces, tambi´en por Ley de Monoton´ıa, se obtiene a + c < a + c′ . Queda como u ´nica opci´on que c = c′ Queda demostrado que un u ´nico n´ umero c cumple la ley fundamental de la sustracci´on y lo llamaremos la diferencia c = b − a. Existencia del Cero. Existe un n´ umero llamado el“cero” con la propiedad de permanecer neutral frente a la adici´on y por consiguiente frente a la sustracci´on, es decir que al agregar el cero a a no se produce ninguna variaci´on. Busquemos el cero y veamos que es u ´nico Demostraci´ on. Supongamos que para a existe un cero, →

a+0=a

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

(1.1)

Principios B´ asicos de Aritm´etica

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Supongamos que para a′ existe un cero, →

→

a′ + 0′ = a′ a′ = a′ + 0′

(1.2)

sumando (1.1) y (1.2) se obtiene: a + 0 + a′ = a + a′ + 0′ de donde (a + a′ ) + 0 = (a + a′ ) + 0′ y as´ı 0 = 0′ Entonces existe el cero y es u ´nico. Leyes fundamentales de la multiplicaci´ on Para cualquier par de n´ umeros a y b siempre existe un tercer n´ umero p al que llamaremos producto de a y b y designaremos por a × b ´ o ab. Esta multiplicaci´ on obedece a las siguientes leyes: I. Ley de uniformidad Si

a = a′

y

b = b′

→

ab = a′ b′

II. Ley conmutativa Siempre se cumple que ab = ba III. Ley asociativa Siempre se verifica que a(bc) = ab(c) IV. Ley distributiva respecto a la suma Siempre se verifica que (a + b)c = ac + bc V. Ley distributiva respecto a la resta Siempre se verifica que (a − b)c = ac − bc VI. Ley de monoton´ıa Si

a0

Si

a>b

y

c>0

→

→

ac < bc ac > bc

Ley fundamental de la divisi´ on Para todo par de n´ umeros a y b existe siempre un tercer n´ umero c, tal que bc = a. Con esta formulaci´on se concluye que la divisi´ on es la operaci´ on inversa de la multiplicaci´on. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Cap´ıtulo 2

Los N´ umeros Naturales

§ Las Nociones de Unidad y Conjunto §

2.1

Se dice que en las matem´aticas las ideas m´as primarias son las ideas de unidad y de conjunto y por lo tanto se les llama nociones y no necesitan ser definidas o que su definici´on es evidente. “Cualquier objeto es una unidad” “Una agrupaci´on de objetos es un conjunto” Todo razonamiento que se haga en matem´aticas sobre conjuntos no tiene nada que ver con la naturaleza f`ısica de sus elementos. Es completamente igual para las matem´aticas que un conjunto sea de piedras, ´ arboles o animales. Definici´ on 2.1. Conjuntos Coordinables Dos conjuntos cualesquiera A y B son coordinables, cuando a cada elemento de A le corresponde un elemento de B y a cada elemento de B le corresponde un elemento de A. Para expresar que dos conjuntos A y B son coordinables, los separamos por el signo ⊼ (signo de coordinabilidad). As´ı, la expresi´ on A ⊼ B, se lee: “A coordinable con B”. Ejemplo

Sea A el conjunto de personas que hay en una sala, y sea B el conjunto de sombreros que hay en la sombrerera. Al marcharse cada persona toma su sombrero, del siguiente modo: A={ B={

Pedro,

Jaime,

Carlos,

Juan

l

l

l

l

Caf´e,

Verde,

Negro,

Azul

} }

En este caso se dice que entre los conjuntos A y B existe una correspondencia biun´ıvoca es decir, un´ıvoca (uno a uno) en dos sentidos.

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Principios B´ asicos de Aritm´etica

6

Ejemplo

Si cada alumno de la clase lleva un l´ apiz, y s´ olo uno, puede afirmarse que los conjuntos de alumnos y de l´ apices son coordinables pues a cada alumno corresponde un l´ apiz y, rec´ıprocamente a cada l´ apiz corresponde su due˜ no

Ejemplo

Las butacas de un teatro, que no est´ a lleno, no son coordinables con los espectadores, pues a cada espectador corresponde su butaca, pero la rec´ıproca no es cierta, al no estar completa la sala, habr´ıa butacas sin espectador correspondiente. Estos conjuntos se podr´ıan esquematizar as´ı: Espectadores = { Butacas = {

△,

△,

△,

l

l

l

∗,

∗,

∗,

} ∗,

∗

}

Definici´ on 2.2. Cardinal de un Conjunto El n´ umero de elementos de un conjunto finito A se llama el cardinal del conjunto y se simboliza con #A o #(A) Cuando se establece el cardinal de un conjunto se est´ a estableciendo una correspondencia biun´ıvoca entre los elementos del conjunto y los n´ umeros naturales. Definici´ on 2.3. Conjuntos Equipotentes Dos conjuntos son equipotentes cuando tienen el mismo cardinal

Definici´ on 2.4. Natural de un Conjunto El n´ umero natural de un conjunto es lo que tienen en com´ un todos los conjuntos que son coordinables con ´el Cuando contamos para conocer la cantidad de elementos en un conjunto, nosotros utilizamos los n´ umeros naturales como n´ umeros cardinales. Por lo tanto, el acto de contar implica el deseo de conocer la cantidad de objetos de un conjunto. El deseo de tener control sobre el n´ umero de elementos en un conjunto puede haber sido la principal motivaci´ on de los seres humanos para contar. ¿Qu´e tan viejo es el acto de contar? ¿Otras especies no humanas tambi´en cuentan? Uno podr´ıa sentirse tentado a decir que contar no puede ser anterior al lenguaje, ya que usualmente utilizamos n´ umeros para contar, pero se sabe que algunas sociedades primitivas utilizaron una especie de conteo con varas u objetos en el que estos se asignan f´ısicamente a los objetos que se van a contar. La persona que cuenta con ese m´etodo no G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

La Serie Natural de los N´ umeros

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concluye su operaci´ on con una palabra adecuada para el n´ umero de objetos sino m´as bien con un grupo de objetos que representa la cantidad de elementos en el conjunto. Un nativo Wedda de la isla de Sri Lanka podr´ıa contar un mont´ on de cocos asign´andole una concha de almeja a cada uno. Cuando termina, ´el no puede decir cu´ antos cocos tiene porque en su lenguaje no existe una palabra para designar dicho n´ umero, pero si puede se˜ nalar su pila de conchas y decir “as´ı de tantos”. Si le roban un coco, cuando el realice nuevamente la correspondencia de cocos y conchas, descubrir´a que tiene una concha que no puede asignarse a un coco, el sabe de inmediato que hay un coco faltante. Un postulado es una verdad tan simple que se pide que sea admitida sin demostraci´ on. El postulado fundamental de la aritm´etica dice: Postulado Fundamental de la Aritm´ etica El n´ umero de elementos de un conjunto no depende del orden de colocaci´ on Ejemplo

2.2

El n´ umero de sillas de un sal´on no cambiar´ a aunque se coloquen todos en fila, en un rinc´on ´ o unas sobre otras.

§ Serie Natural de los N´ umeros §

Si partimos de un elemento cualquiera, que representamos por x, le agregamos otro, y as´ı sucesivamente, obtenemos una sucesi´ on de conjuntos, llamado la sucesi´ on natural de conjuntos. {∗}, {∗, ∗}, {∗, ∗, ∗}, {∗, ∗, ∗, ∗}, . . .

Como cada uno de estos conjuntos tiene un cardinal entonces, a esta sucesi´ on natural de conjuntos le corresponde la sucesi´ on de n´ umeros que representan sus cardinales y que representamos por 1, 2, 3, 4, . . . y que recibe el nombre de sucesi´ on natural de los n´ umeros. Si al conjunto vac´ıo {} le asignamos el cardinal 0 entonces la serie natural de los n´ umeros es 0, 1, 2, 3, 4, . . .. Si estos n´ umeros se agrupan y se consideran como un conjunto entonces se obtiene el conjunto de los n´ umeros naturales que se simboliza como N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} Propiedad Fundamental

La sucesi´ on natural de conjuntos no tiene fin, pues se puede seguir agregando elementos al conjunto, uno a uno, en forma infinita, por lo tanto, la serie natural de los n´ umeros que est´ an en correspondencia con ella, tampoco tendr´ a fin “La seria natural de los n´ umeros es infinita” Representaci´ on Geom´ etrica de N La serie natural de los n´ umeros puede representarse mediante la sucesi´ on natural de segmentos iguales. al n´ umero 1 corresponde el segmento unidad, al n´ umero 2 corresponde el segmento de 2 unidades, y as´ı sucesivamente

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

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Postulados o Axiomas de Peano En 1895 George Peano estableci´ o una forma axiom´atica para construir los n´ umeros naturales mediante los siguientes axiomas: 1. El 1 es un n´ umero. 2. El sucesor de cualquier n´ umero es otro n´ umero. 3. No hay dos n´ umeros que tengan el mismo sucesor. 4. El 1 no es sucesor de alg´ un n´ umero. 5. Si el n´ umero 1 tiene cierta propiedad y el sucesor de cada n´ umero tiene la misma propiedad, entonces todo n´ umero tiene dicha propiedad. Refiri´endonos a los naturales estos Axiomas se pueden escribir en la siguiente forma: A1. Uno (1) es un n´ umero natural o m´as estrictamente, el sistema de los n´ umeros naturales contiente un elemento especial llamado uno y denotado por 1. A2. A un n´ umero natural n le corresponde otro n´ umero n∗ llamado el sucesor inmediato de n. A3. Dados dos n´ umeros naturales n y m, si n∗ = m∗ entonces n = m. A4. No existe ning´ un n´ umero natural cuyo sucesor inmediato sea el 1; es decir, que 1 es el primer n´ umero natural. A5. Si un conjunto S de n´ umeros naturales satisface las siguientes condiciones: (a) El 1 pertenece a S . (b) Si n ∈ S, entonces n∗ ∈ S. Entonces S contiene a todos los n´ umeros naturales. Este Axioma (A5) se conoce con el nombre de “Axioma de inducci´on” y juega papel primordial en las demostraciones por “Inducci´on Matem´ atica”. El n´ umero inmediatamente posterior a 1 es decir 1∗ , se denota por 2, el n´ umero inmediatamente posterior a 2 es 2∗ , se denota por 3 etc, as´ı sucesivamente se obtiene el sistema de los n´ umeros naturales que se designan por la letra N. Nota: Es absurda la discusi´ on acerca de la inclusi´ on o no del n´ umero cero en el sistema de los n´ umero naturales. Los n´ umeros naturales que comienzan en uno han sido utilizados por los hombres desde hace m´as de 5000 a˜ nos, en cambio el descubrimiento del cero como n´ umero es muy reciente, introducido por los ind´ ues. Peano axiomatiz´o la intuici´on humana que a´ un los cavern´ıcolas ten´ıan para contar: uno es el primero, uno y uno es dos, dos y uno es tres, tres y uno es cuatro, . . .: as´ı se forman todos los n´ umeros

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Producto Cartesiano

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§ Producto Cartesiano §

2.3

Definici´ on 2.5. Producto Cartesiano Si X e Y son dos conjuntos entonces el producto cartesiano de X por Y es el conjunto de todos los pares ordenados con el primer componente perteneciente a X y el segundo componente perteneciente a Y.

Simb´olicamente: X × Y = {(x, y)|x ∈ X y y ∈ Y } Ejemplo

Si X = {a, b, c} y Y = {3, 7}, entonces X × Y = {(a, 3), (a, 7), (b, 3), (b, 7), (c, 3), (c, 7)} Y × X = {(3, a), (7, a), (3, b), (7, b), (3, c), (7, c)}

Ejemplo

Si M = {m, n, s}, entonces M × M = {(m, m), (m, n), (m, s), (n, m), (n, n), (n, s), (s, m), (s, n), (s, s)}

Representaci´ on Gr´ afica Sea A = {a, b, c}, B = {1, 2}

A×B

B×A

Obs´ervse que el producto cartesiano no es conmutativo A × B 6= B × A. Definici´ on 2.6. Cardinal del producto Cartesiano El cardinal de un producto cartesiano es igual al n´ umero de parejas que conforman el producto

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

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Ejemplo

Sea A = {5, 6}, B = {a, b, c} A × B = {(5, a), (5, b), (5, c), (6, a), (6, b), (6, c)} −→ #A × B = 6 B × A = {(a, 5), (b, 5), (c, 5), (a, 6), (b, 6), (c, 6)} −→ #B × A = 6 Obs´ervese que el orden de los conjuntos en el producto no afecta el cardinal.

§ La Adici´ on en los N´ umeros Naturales §

2.4

Definici´ on 2.7. Suma Dados dos naturales a y b, si A y B son dos conjuntos tales que : #A = a, #B = b y A ∩ B = ∅, se llama suma de a y b al n´ umero natural s tal que s = #(A ∪ B) = #A + #B s=a+b

si

A∩B =∅

Lo anterior indica que a la pareja (a, b) se le asocia un u ´nico valor que es s; (a, b) → s Ejemplo

Sea A = {a, b} y B = {c, d, e}; sabemos que A ∪ B = {a, b, c, d, e} y que #(A) = 2, #(B) = 3 De donde #(A ∪ B) = 5 Luego 5 est´ a dado por el par ordenado (2, 3), es decir: (2, 3)

+ 5 −−−−−−−→

Cuando A y B son el conjunto N se tiene: N×N (a, b) Por ejemplo

+ −−−−→ + −−−−→

N×N (1, 2) (5, 7) .. . (20, 10)

N s=a+b

+ −−−−→ + −−−−→ + −−−−→ + −−−−→

N 3 12 .. . 30

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

La Adici´ on en los N´ umeros Naturales

11

En conclusi´on podemos decir que “La operaci´ on adici´ on entre n´ umeros naturales es una aplicaci´ on de N × N en N que a cada par ordenado (a, b) ∈ N × N llamados sumandos, le asocia un u ´nico s ∈ N llamado suma” La adici´on entre n´ umeros naturales es una funci´on de N x N −−−→ N, mediante la cual se hace corresponder un par ordenado (a, b) ∈ N x N llamados sumandos, con un tercero s ∈ N llamado suma. Propiedades de la adici´ on en N I. Propiedad clausurativa si (a, b) ∈ N × N → a + b ∈ N La adici´ on de n´ umeros naturales es una operaci´ on que a cada par de n´ umeros naturales asocia necesariamente otro n´ umero natural. Tambi´en se dice que el conjunto N es cerrado con respecto a la operaci´ on adici´on II. Propiedad conmutativa si (a, b) ∈ N × N, → a + b = b + a. Como a y b son naturales porque representan la cantidad de elementos de A y B, entonces cambiando el orden de los sumandos se obtiene la misma suma III. Propiedad de la uniformidad de la adici´ on si a = b → a + c = b + c Si a dos miembros de una igualdad se les suma un mismo n´ umero c ∈ N se obtiene otra igualdad. IV. Propiedad o ley de la monoton´ıa Sean

a, b, c si a si

a

∈ N > b→a+c>b+c

< b→a+cb

ad

cb+d

a+c b. Esto significa que d sumado con b produce a. Definici´ on 2.8. Diferencia Si a > b existe un u ´nico n´ umero d tal que a = b + d, entonces la diferencia entre a y b es p = a − b. En otras palabras: Dados dos naturales a y b tales que a = #A B⊂A

y y

b = #B A − B 6= ∅

entonces se llama diferencia de a y b al n´ umero d tal que d = a − b = #(A − B) G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Sustracci´ on en los Naturales

Ejemplo

13

Sea A = {a, b, c, d, e} y B = {a, b, c}. Sabemos que A − B = {d, e}, #(A) = 5 #(B) = 3 De donde #(A − B) = 2

En general, si (a, b) ∈ N × N, y a > b −→ (a, b) Dados el par (7, 4) existe d ∈ N tal que d + 4 = 7?

− c −−−−−−−→

Es claro que si existe d ∈ N, el cual es igual a 3. El n´ umero 3 es entonces la diferencia entre 7 y 4 y se escribe 3 = 7 − 4. La expresi´ on d + b = a y a − b = d son equivalentes y sus t´erminos son: d es la diferencia, a es el minuendo y b es el sustraendo. La sustracci´on no es una operaci´ on binaria en el conjunto de los naturales, dado que no es posible encontrar para todo par (a, b) de naturales, un d ∈ N tal que: b + d = a o lo que es lo mismo d = a − b. Propiedades de la sustracci´ on en N La sustracci´on en el conjunto de los N, no es clausurativa, no es conmutativa, ni asociativa I. Propiedad de la uniformidad La sustracci´on cumple la ley de uniformidad porque restando miembro a miembro dos igualdades (si la resta es posible), se obtiene otra igualdad. ∀a, b, c, d ∈ N a

=

b

c

=

d

a−c

=

b−d

II. Ley de la Monoton´ıa La ley de la monoton´ıa de la sustracci´on presenta 3 formas 1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les resta un mismo n´ umero (siendo posible la resta) se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. si a si a

> <

b→a−c>b−c b→a−c

d

c

<

d

a−c

<

b−d

a−c

>

b−d

3. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, se obtiene una desigualdad de sentido igual a la primera (en caso de que se pueda efectuar la resta) a

<

b

a

>

b

c

>

d

c

<

d

a−c

<

b−d

a−c

>

b−d

Ejemplo

Ejemplo

7 3

= >

7 2

7 2

= <

7−3

<

7−2

7−2

>

7−3

17 4

> <

9 8

7 3

< >

10 5

>

9−8

7−3

<

17 − 4

7 3

10 − 5

Nota: Si las dos desigualdades son del mismo sentido nada puede concluirse La siguiente afirmaci´ on es una consecuencia de la propiedad uniforme de la adici´on: “Si el minuendo se aumenta en una cantidad, la diferencia queda aumentada en dicha cantidad”

Demostraci´ on. Sea m − s = d

Definici´on de sustracci´on

Queremos demostrar que (m + h) − s = d + h

(1) (2)

De (1) tenemos m = s + d

Transposici´on de t´erminos

(3)

Sumando h a (3) tenemos m + h = s + d + h

Propiedad uniforme de la adici´on

(4)

(m + h) = s + (d + h)

Propiedad asociativa de la suma

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Multiplicaci´ on en los Naturales

15

Demostrar: Si el minuendo se disminuye en una cantidad, la diferencia queda disminuida en dicha cantidad. Si (m − n) = 8, cu´ anto valdr´ a (m − 5) − n? Qu´e le pasa a la diferencia cuando el sustraendo aumenta o disminuye en una cantidad?

Transposici´ on de T´ erminos de una Desigualdad Si un n´ umero se desea cambiar o transponer de un miembro a otro de una desigualdad, basta transponerlo sumando si est´ a restando ´o restando si est´ a sumando si si Ejemplo

x+a x−a

< <

b→x 4 −→ x > 7 + 4 −→ x > 11 Resolvamos x + 12 < 28 x + 12 < 28 −→ x < 28 − 12 −→ x < 16

2.6

§ Multiplicaci´ on en los N´ umeros Naturales §

Definici´ on 2.9. Producto Dados dos n´ umeros naturales a, b si A y B son dos conjuntos tales que #(A) = a y #(B) = b, se llama producto de los n´ umeros a y b al n´ umero natural p tal que p = #(A×B) y se denota p = a∗b = a·b. Podemos afirmar que la multiplicaci´ on es una suma abreviada o simplificada, es decir, a × b = a + a + ... + a = p {z } | b veces

Esta definici´on indica que el producto de dos n´ umeros naturales es igual al cardinal del producto cartesiano de los conjuntos A y B que a su vez tienen como cardinal a a y b respectivamente. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

16

Consideremos los conjuntos A = {a, b, c} y B = {d, e} Sabemos que A × B = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)} −→ #(A × B) = 6 Luego, 6 est´ a dado por el par ordenado (3, 2); es decir (3, 2) 3∗2

× −−−−−−−→ =

6 6

A cada par ordenado (a, b) le corresponde un tercer n´ umero llamado producto (p) La operaci´ on de multiplicaci´ on entre n´ umeros naturales es una aplicaci´ on de N × N en N, tal que a cada par ordenado (a, b) ∈ N × N le asocia p ∈ N donde a = #(A), b = #(B), p = #(A × B) y A y B son subconjuntos no vac´ıos de N. En esta operaci´ on de multiplicaci´ on, a, b se llaman factores y p se denomina producto. Propiedades de la multiplicaci´ on en N Para cualquier par de n´ umeros a y b siempre existe un tercer n´ umero p al que llamaremos producto de a y b y designaremos por a ∗ b ´o ab. Esta multiplicaci´ on obedece a las siguientes leyes: I. Propiedad clausurativa Si

a, b ∈ N −→ p = a · b ∈ N

El producto de dos n´ umeros naturales siempre ser´a otro n´ umero natural II. Propiedad Conmutativa Sean A y B dos conjuntos no vac´ıos cuyos cardinales son #A = a y #B = b. Adem´ as sabemos que A × B y B × A son dos conjuntos de parejas los cuales son equipotentes, por lo tanto tienen el mismo cardinal, es decir, #(A × B) = #(B × A) por lo tanto #A · #B = #B · #A a·b=b·a En la multiplicaci´ on de n´ umeros naturales el orden de los factores no altera el producto III. Propiedad Asociativa ∀a, b, c ∈ N se cumple que (a · b) · c = a · (b · c) G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Multiplicaci´ on en los Naturales

17

Demostraci´ on. Sean A, B, C conjuntos no vac´ıos. Entre los conjuntos (A × B) × C y A × (B × C) se puede establecer una biyecci´ on por lo tanto se cumple que #[(A × B) × C] = #[A × (B × C)] Si #A = a, #B = b y #C = c, entonces #[(A × B) × C] =#(A × B) · #C =(#A · #B) · #C = (a · b) · c #[A × (B × C)] =#A · #(B × C)

=#A · (#B · #C) = a · (b · c)

IV. Existencia del Elemento Identidad (Modulativa) El natural 1 es el elemento identidad o m´odulo para la multiplicaci´ on en N porque: ∀a ∈ N, 1 · a = a · 1 = a Demostraci´ on. Sean A y B conjuntos no vac´ıos tales que #A = 1 y #B = b. Adem´ as sabemos que #(A × B) = #(B × A) = #B por lo tanto #A · #B = #(A × B) = #(B × A) = #B · #A = #B = b, entonces 1 · b = b · 1 = 1 V. Propiedad Distributiva La multiplicaci´ on en N es distributiva respecto a la adici´on, es decir: ∀a, b ∈ N,

a · (b + c) = a · b + a · c

Demostraci´ on. a · (b + c) = (b + c) + (b + c) + . . . + (b + c) {z } |

Por definici´on

a veces

= b + c + b + c + ... + b + c | {z }

Suprimiendo par´entesis

a veces

= b + b + ... + b+c + c + ... + c | {z } | {z } a veces

a veces

= (b + b + . . . + b) + (c + c + . . . + c) {z } {z } | | a veces

=a·b+a·c

Prop. conmutativa suma Prop. asociativa suma

a veces

Def. de Multiplicaci´on

La Multiplicaci´on en N es distributiva respecto a la sustracci´on, es decir: ∀a, b ∈ N,

a · (b − c) = a · b − a · c

VI. Extensi´ on de la multiplicaci´ on al conjunto No La multiplicaci´ on en No es una aplicaci´ on de No×No en No tal que a cada pareja (a, b) ∈ No × No se le asocia un elemento p ∈ No representado por p = a · b en donde G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

18

× 0, (0, a) × 0, (0, 0) × 0, ∀a ∈ No −−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→ 2. (a, b) × p = a · b si (a, b) ∈ No × No −−−−−−−→

1. (a, 0)

Esta definici´on indica que para extender la multiplicaci´ on del conjunto N al conjunto No solo hace falta determinar los productos 0 · a, a · 0, 0 · 0 Para determinar estos productos consideremos dos conjuntos A y B tales que #A = a y #B = 0 es decir B = ∅. Ahora #(A × B) = #A × #B,

y como B = ∅

A×B =A×∅=∅ por lo tanto #(A × B) = #(A × ∅) = #(∅ × A) = #∅ entonces #A · #B = #A · #∅ = #∅ · #A = #∅ a · 0 = 0 · a = 0,

∀a ∈ No

como ∀a ∈ No, a · 0 = 0, en el caso particular de que a = 0 se tiene que 0 · 0 = 0 VII. Ley de Uniformidad Si

m = n −→ m · a = n · a

∀a ∈ No

Si multiplicamos los dos miembros de una igualdad por un mismo n´ umero natural, obtenemos otra igualdad (a = b) · (c = d) −→ a · c = b · d Si multiplicamos miembro por miembro varias igualdades obtenemos otra igualdad VIII. Ley de Monoton´ıa si

a < b −→ a · c < b · c

si

a > b −→ a · c > b · c

Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo n´ umero natural, se obtiene una desigualdad del mismo sentido a

<

b

a

>

b

c

<

d

c

>

d

a·c

<

b·d

a·c

>

b·d

Si se multiplican miembro por miembro dos o m´as desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Divisi´ on en los N´ umeros Naturales

2.7

19

§ Divisi´ on en los N´ umeros Naturales §

Dados dos n´ umeros naturales cualesquiera a y b, ¿Existe otro n´ umero natural c tal que multiplicado por a se obtenga como producto el n´ umero b? Si tal n´ umero c existe, entonces la operaci´ on que permite calcular dicho c se denomina divisi´ on exacta y se indica con b ÷ a = c Al n´ umero c ∈ N se le llama cociente exacto entre a y b. El n´ umero b ∈ N se llama dividendo. El n´ umero a ∈ N se llama divisor. Definici´ on 2.10. Cociente Exacto Dados dos n´ umeros naturales a y b decimos que c ∈ N es el cociente exacto entre b y a si b = ac, es decir b ÷ a = c Propiedades de la Divisi´ on Exacta en N La divisi´ on exacta no es clausurativa o cerrada porque no siempre ocurre que la divisi´ on entre dos naturales de como resultado otro n´ umero natural; no es conmutativa ni asociativa; no existe elemento identidad para la divisi´ on exacta. No existe un n´ umero natural e tal que ∀a ∈ N se verifique que a÷e=e÷a=a Pero si se puede afirmar que existe un elemento neutro para la divisi´ on en N que es el 1 porque ∀a ∈ N, a÷1=a I. Distributiva respecto a la adici´ on ∀a, b, c ∈ N, (a + b) ÷ c = (a ÷ c) + (b ÷ c) II. Distributiva respecto a la sustracci´ on ∀a, b, c ∈ N, (a − b) ÷ c = (a ÷ c) − (b ÷ c) III. Ley de uniformidad Si a = b y c = d −→ a ÷ c = b ÷ d si a ÷ c ∈ N y b ÷ d ∈ N IV. Ley de Monoton´ıa b a < c c b a 2. Si a, b, c ∈ N y a > b −→ > c c 1. Si a, b, c ∈ N y a < b −→

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

20

Definici´ on 2.11. Divisi´ on Inexacta La divisi´ on inexacta entre dos enteros es aquella que produce un cociente entero m´as un residuo Dados D, d ∈ N tales que no existe cociente exacto en la divisi´ on D ÷ d entonces D = d · c + r, con r ∈ N, r < d y c ∈ N0 Donde D es el dividendo, d el divisor, c cociente y r el residuo

La siguiente afirmaci´ on es consecuencia directa de las propiedades uniforme y distributiva de la mutltiplicaci´ on respecto de la suma: “Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo n´ umero, el cociente no var´ıa pero el residuo queda multiplicado por dicho n´ umero” Demostraci´ on. D =d·c+r

Por definici´on de divisi´ on

D · h = (d · c + r) · h

Prop. uniformidad de la multiplicaci´ on

D·h=d·c·h+r·h

Prop. distributiva de la multiplicaci´ on

D·h=d·h·c+r·h

Prop. conmutativa de la multiplicaci´ on

(D · h) = (d · h) · c + r · h

Prop. asociativa de la multiplicaci´ on

N´ umero de cifras del cociente entero El cociente de una divisi´ on de n´ umero naturales tiene tantas cifras enteras como ceros se deben agregar al divisor para que sea mayor que el dividendo. Ejemplo

5714

14

r

c

−→ El cociente c tiene 3 cifras porque 14 |{z} 000 > 5718 3

En Efecto,

5714

14

0118

408

←− 3 cifras

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Potenciaci´ on en los Naturales

21

§ Potenciaci´ on en los N´ umeros Naturales §

2.8

Definici´ on 2.12. Potencia de un N´ umero Se llama potencia de un n´ umero natural a al producto que se obtiene al multiplicar el n´ umero a por si mismo cualquier n´ umero de veces La potenciaci´on es una multiplicaci´ on abreviada, es decir, un producto de factores iguales Sea a, n ∈ N. Si multiplicamos el n´ umero a por si mismo n veces obtenemos el producto a · . . . a} |a · a · {z

y lo simbolizamos con

an

n veces

En general, si (a, n) ∈ N × N y n ≥ 2, entonces n (a, n)−−−−∧ −−−→a

Podemos afirmar entonces que la potenciaci´on es una operaci´ on que hace corresponder a cada par ordenado de n´ umeros naturales (a, n) su potencia an , donde n ≥ 2 Si a, n ∈ N −→ an es la en´esima potencia de a Llamamos base al n´ umero a que se repite. Llamamos exponente al n´ umero n que indica cu´ antas veces se repite el n´ umero a 24 = 2 × 2 × 2 × 2 a1 = a

Ejemplo

Propiedades de la potenciaci´ on en N y No Si a, b, m, n ∈ N, entonces I. Propiedad clausurativa p = ab ∈ N El resultado de elevar un n´ umero natural a una potencia es otro n´ umero natural II. Propiedad modulativa a1 = a, 1 es el m´odulo de la potenciaci´on Todo n´ umero elevado a 1 es igual al mismo n´ umero natural III. Propiedad uniforme Si a = b −→ an = bn Elevando los dos miembros de una igualdad a una misma potencia se obtiene otra igualdad IV. Leyes de monoton´ıa G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

22

1. Respecto de la base: Elevando los dos miembros de una desigualdad a una misma potencia, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido a < b −→ an < bn 2. Respecto del exponente : de dos potencias de la misma base es mayor la de mayor exponente Si n < m −→ an < am Nota: · Si las bases y los exponentes son distintos, nada puede asegurarse de como son entre s´ı las potencias · La potenciaci´on no es conmutativa · La potenciaci´on no es distributiva respecto de la suma o de la diferencia Reglas del c´ alculo con potencias Si a, b, m, n ∈ N, entonces • Casos de exponente cero Si n = 0 −→ a0 = 1 (pero 00 no definido) • Potencia de un producto

(a · b)n = an · bn

(20)3 = (2 × 10)3 = 23 × 103 = 8 × 1000 = 8000 • Potencia de un cociente Si

 a n an a = n ∈ N −→ b b b  3 23 2 8 = 3 = 5 5 125

• Producto de potencias de la misma base an · am = am+n 23 × 24 = 23+4 = 27 = 128 • Cociente de potencias de la misma base Si (n − m) ∈ N −→ an ÷ am =

an = an−m am

25 = 25−3 = 22 = 4 23 1 1 1 23 = 5−3 = 2 = 25 2 2 4 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Radicaci´ on en los Naturales

• Potencia de una potencia

(am )n = amn (23 )4 = 23×4 = 212 = 4096

•

2.9

bm a−n = n y −m b a

 −m  m b a = b a

§ Radicaci´ on en los N´ umeros Naturales §

Definici´ on 2.13. Radicaci´ on El proceso de radicaci´ on es inverso al proceso de la potenciaci´on y se define de la siguiente forma √ Si an = b −→ a = n b √ Donde b recibe el nombre de radicando, n es el ´ındice radical, es el s´ımbolo radical y a es la ra´ız en´esima

Propiedades de la radicaci´ on I. Propiedad fundamental II. Ra´ız de un producto

√ n

an = a

√ √ √ n n a×b= na× b √ √ √ 2 2 2 25 × 4 = 25 × 4 = 5 × 2 = 10

III. Ra´ız de un cociente

√ n a a = √ n b b r √ 2 5 25 2 25 = = 2.5 = √ 2 4 2 4 r n

IV. Ra´ız de una Ra´ız

q n

q 3

√ 2

64 =

√ a=

m

√

3·2

√

mn

64 =

a

√ 6 64 = 2

· La radicaci´ on no es conmutativa √ √ n a 6= a n · No es distributiva respecto de la suma o la resta √ √ √ n a ± b 6= n a ± n b G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

23

Principios B´ asicos de Aritm´etica

24

En las dos u ´ltimas operaciones que hemos analizado, vimos que la potenciaci´on es una operaci´ on directa, es decir, dada una base a y un exponente n, para hallar la potencia respectiva an basta con multiplicar a por ella misma n veces (an = a × a · · · × a = b). | {z } n veces

Por ejemplo

54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

Ahora bien, si en la expresi´ on an = b conocemos el exponente n y la potencia b, para hallar√la base a, debemos aplicar la operaci´ on radicaci´ on que es inversa a la potenciaci´on (a = n b). Por ejemplo a4 = 625

−→

a=

√ 4

625 = 5

pues 54 = 625

Es decir, la radicaci´ on es la operaci´ on inversa a la potenciaci´on con la cual podemos hallar la “base”. Pero si en la expresi´ on an = b conocemos la base a y la potencia b y lo que debemos hallar es el exponente, la radicaci´ on no sirve en tal caso y debemos recurrir a otra operaci´ on inversa de la potenciaci´on conocida como la logaritmaci´ on (en realidad podr´ıa llamarse exponenciaci´ on pues nos permite hallar el exponente) y que definiremos en seguida.

§ Logaritmaci´ on en los Naturales §

2.10

´ Si bien el estudio completo de los logaritmos se reserva para el Algebra, la introducci´on del concepto de logaritmo y de sus primeras propiedades pueden darse en los comienzos del estudio de las matem´aticas, con el fin de que el alumno fije bien el esquema completo de las operaciones fundamentales, directas e inversas, entre n´ umeros. Se explicar´ a el concepto de logaritmo mediante un ejemplo Ejemplo

En la igualdad 24 = 16 aparecen tres n´ umeros. Como ya sabemos el 2 llamado la base, el 4 llamado el exponente y el 16 llamado la potencia. Si lo que conocemos es la potencia y la base, podemos determinar el exponente con la operaci´ on llamada logaritmaci´ on. El exponente que hay que hallar se llama logaritmo de la potencia en la base dada. En este ejemplo la operaci´ on se indica as´ı: 4 = log2 16 (l´ease: 4 igual al logaritmo de 16 en base 2)

Definici´ on 2.14. Logaritmo Se llama logaritmo de un n´ umero, b, en una base dada, a, al exponente n al que hay que elevar la base para obtener el n´ umero b. Si an = b −→

loga b = n

n se llama el logaritmo, a es la base y b es el n´ umero al que se le halla el logaritmo G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Logaritmaci´ on en los Naturales

25

Propiedades de los Logaritmos I. Propiedades Fundamentales • El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero logb 1 = 0 • El logaritmo en base a de a siempre ser´a 1 loga a = 1 II. Logaritmo de un Producto y un Cociente • El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de cada factor logb (u · v) = logb u + logb v • El logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador u = logb u − logb v logb v III. Logaritmo de una potencia: el logartimo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base loga P n = n loga P IV. Cambio de base loga b =

logc a logc b

Problemas 1. Establecer la relaci´ on adecuada entre los n´ umeros 3 y 5; 9 y 7 2. Qu´e significa que el n´ umero m es igual a n; que m > n; m < n? 3. En un colegio hay x dormitorios e y estudiantes. ¿Cu´ ando ser´a x = y, cu´ ando x > y y cuando x < y, de acuerdo con la coordinaci´on de los conjuntos que ellos representan? 4. a es un n´ umero de hombres y b es un n´ umero de mujeres. ¿Qu´e relaciones se podr´an escribir si al formar parejas sobran j´ovenes; si sobran muchachas; si no sobran j´ovenes ni muchachas? 5. ¿Por qu´e cierto n´ umero de l´ apices es igual a cierto n´ umero de naranjas? 6. Explique cu´ ando cierto n´ umero de personas es menor que cierto n´ umero de sombreros G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

26

7. Explique por qu´e el n´ umero de profesores de un colegio es mayor que el n´ umero de aulas del colegio 8. Reparto x l´ apices entre los n alumnos de una clase dando uno a cada alumno y quedan alumnos sin l´ apices. ¿Qu´e podr´as escribir? 9. En un tranv´ıa de 32 asientos entran x personas y no quedan asientos vac´ıos. ¿Qu´e relaci´ on se puede escribir? 10. Reparto m l´ apices entre los 18 alumnos de una clase y sobran l´ apices ¿Qu´e puede escribir? 11. En un ´omnibus que tiene 20 asientos entran n personas y no quedan personas de pie. ¿Qu´e relaci´ on puede escribir? 12. La velocidad x de un autom´ovil que poseo no puede pasar de 140 Kms. por hora. ¿Qu´e puede escribir? 13. Si la velocidad x de un auto no puede bajar de 8 Kms. por hora ¿qu´e puede escribir? 14. Yo no tengo 34 a˜ nos de edad. Si mi edad es x a˜ nos, ¿qu´e puede escribir? 15. Para contraer matrimonio un hombre necesita tener 14 a˜ nos cumplidos. Si Juan que tiene n a˜ nos se casa, ¿cu´ al es su edad? 16. Aplicar el car´ acter rec´ıproco de las igualdades a x = y; a + b = c; p = q + r 17. Mis x a˜ nos son tantos como los y hermanos de Enrique. ¿Qu´e puede escribir de acuerdo con el car´ acter rec´ıproco de las igualdades 18. Aplicar el car´ acter transitivo a las igualdades siguientes: m=n

y

n=p

p=q

y

r=p

x=y

y

n=y

a+b=c

y

x=a+b

19. Mi aula tiene tantos alumnos como a˜ nos tengo yo y Mar´ıa tiene tantos primos como alumnos tiene mi aula, luego...¿Qu´e car´ acter aplica para ello? 20. m = n + p y n + p = c + d luego... 21. Si m > n resulta n?m 22. Siendo x < y resulta que y?x 23. Qu´e se deriva de cada una de las parejas siguientes de desigualdades de acuerdo con el car´ acter transitivo? 7>5

y

5>2

9>3

y

3>2

a 7

137

3

2

45

45 > 3

137

5

2

27

137

11

12 > 11 137

13

5

12

7

10

27 > 5

10 < 13

Como en esta u ´ltima divisi´ on el cociente es menor que el divisor, concluimos que el n´ umero 137 es primo En el ejemplo anterior, si alguna de las divisiones nos hubiera dado exacta (sin residuo) se habr´ıa concluido que el n´ umero dado es compuesto y no un primo. C´ alculo de los divisores de un n´ umero Conviene en algunas ocasiones conocer los divisores de un n´ umero dado. Para ello, descompuesto el n´ umero en factores primos, formaremos el cuadro de los divisores as´ı: en la primera fila se escribir´an la unidad y las sucesivas potencias del primer factor primo; se multiplican los n´ umeros de esta primera fila por las sucesivas potencias del siguiente factor primo; todas las filas formadas se multiplican por las sucesivas potencias de un nuevo factor primo, y as´ı sucesivamente hasta agotarlos. Ejemplo

Cuadro de divisores del n´ umero 720. La descomposici´on de 720 ser´a 720 = 24 32 5 1a fila, potencias de 2

1

2

4

8

16

3

6

12

24

48

3 fila, producto por 3

9

18

36

72

144

4a fila, producto de la 1a por 5

5

10

20

40

80

5a fila, producto de la 2a por 5

15

30

60

120

240

45

90

180

360

720

2a fila, producto por 3 a

a

2

a

6 fila, producto de la 3 por 5

De antemano se puede conocer el n´ umero de divisores que se obtendr´ an. La regla es la siguiente: El n´ umero de divisores se obtiene multiplicando los n´ umeros que resultan de aumentar en una unidad todos los exponentes que aparecen en la descomposici´on en factores primos. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

42

Ejemplo

En el caso anterior los exponentes son 4, 2, 1; luego el n´ umero de divisores es (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 5 × 3 × 2 = 30 como efectivamente se ve en el cuadro

3.3

§ Criterios de Divisibilidad §

En muchas ocasiones interesa saber si un n´ umero es divisible por otro sin necesidad de efectuar la divisi´ on. Para ello existen, en algunos casos, procedimientos muy sencillos que permiten determinar en forma r´ apida cu´ ando un n´ umero es divisible por otro. Estos procedimientos se llaman “Criterios de Divisibilidad” Criterio de divisibilidad por 2 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 2 si la cifra de las unidades es un n´ umero par. Criterio de divisibilidad por 3 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un divisible por 3. • 1359 es divisible por 3 porque 1 + 3 + 5 + 9 = 18 = 6 × 3 • 77744 no es divisible por 3 porque 7 + 7 + 7 + 4 + 4 = 29 y 2 + 9 = 11 y 11 no es divisible por 3 Criterio de divisibilidad por 4 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 4 si sus dos u ´ltimas cifras son ceros o el n´ umero formado por ellas es divisible por 4. • 7800 es divisible por 4 porque termina en dos ceros • 4524 es divisible por 4 porque sus dos u ´ltimas cifras son divisibles por 4, 24 ÷ 4 = 6 Criterio de divisibilidad por 5 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 5 si su u ´ltima cifra es 0 o 5. Criterio de divisibilidad por 9 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9 Criterio de divisibilidad por 8 y 125 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 8 o por 125 si termina en 3 ceros o el n´ umero formado por las tres u ´ltimas cifras en divisible por 8 o 125 respectivamente. • 82456 es divisible por 8 porque 456 es divisible por 8: 456 = 8 × 57. No es divisible por 125 porque 456 no es divisible por 125. • 4000 es divisible por 8 y 125 porque termina en tres ceros G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ aximo Com´ un Divisor (MCD)

43

Criterio de divisibilidad por 25 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 25 si sus dos u ´ltimas cifras son ceros o el n´ umero formado por ellas es divisible por 25. Criterio de divisibilidad por 11 Un n´ umero n ∈ Z es divisible por 11 si la suma alternada de las cifras del n´ umero escrita en orden inverso es 0 o divisible por 11 • 1507 es divisible por 11 porque 7 − 0 + 5 − 1 = 11 • 1584 es divisible por 11 porque 4 − 8 + 5 − 1 = 0 y cero es divisible por 11 • 35904 es divisible por 11 porque 4 − 0 + 9 − 5 + 3 = 11 • 35425 no es divisible por 11 porque 5 − 2 + 4 − 5 + 3 = 5 y este no es divisible por 11.

§ M´ aximo Com´ un Divisor (MCD) §

3.4

Definici´ on 3.7. Primos Relativos Dos n´ umeros enteros son primos relativos o primos entre si, si el u ´nico divisor com´ un para ellos es el 1

Ejemplo

14 y 15 son primos relativos porque ) Divisores de 14: 1, 2, 7, 14 −→ El u ´nico divisor com´ un es el 1 Divisores de 15: 1, 3, 5, 15

Nota: Para que dos n´ umeros sean primos relativos no es necesario que ambos sean primos. Por ejemplo, 4 y 9 son primos relativos, pero 4 y 9 no son n´ umeros primos

Definici´ on 3.8. MCD Un entero d > 0 es el m´aximo com´ un divisor de dos enteros a y b si d | a y d | b y adem´ as si c es cualquier otro divisor com´ un de a y b entonces c|d

Ejemplo

3 es el MCD de 6, 12 y 21 proque 3 | 6, 3 | 12, 3 | 21, es decir que es el mayor entero que divide simult´ aneamente a 6, 12 y 21. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

44

Proposici´ on 11. El M.C.D de dos enteros es u ´nico Demostraci´ on. Sup´ongase que d y d′ son dos M.C.D de a y b. Entonces d | d′ y tambi´en ′ d | d. Luego por la proposici´on 6 se tiene que d′ = ±d y como d > 0 y d′ > 0, entonces d = d′ Nota: El M.C.D de dos enteros a y b diferente de cero se simboliza como d = (a, b) y se cumplen la siguientes propiedades: 1. (a, b) > 0 2. (a, b) = (b, a) = (−a, b) = (a, −b) = (−a, −b) 3. (a, b) ≤ |a| y (a, b) ≤ |b|

Ejemplo

Hallar el conjunto de divisores comunes y el M.C.D de 36 y 48

Los divisores de 36 son: D[36] = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Los divisores de 48 son: D[48] = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} Los divisores comunes de 36 y 48 son los que pertenecen a la instersecci´ on de D[36] y D[48].

Divisores comunes: D[36] ∩ D[48] = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. El M.C.D. de 36 y 48 es el mayor n´ umero de esta intersecci´on, es decir, (36, 48) = 12

Teorema 4. Dos enteros a y b son primos relativos o primos entre s´ı, si su M.C.D. es 1

Ejemplo

Los n´ umeros 2 y 3 son primos relativos porque (2, 3) = 1

Teorema 5. Si a y b son primos relativos y a | c y b | c, entonces a · b | c

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ aximo Com´ un Divisor (MCD)

45

Ejemplo

Sea a = 2, b = 5, entonces (a, b) = 1 (son primos relativos). a y b son divisores de 20, entonces el producto ab = 10 es un divisor de 20.

Ejemplo

Demostrar que un n´ umero c que es divisible por 2 y 3 tambi´en es divisible por 6 Demostraci´ on. Sabemos que 2 | c y 3 | c y como (2, 3) = 1, entonces, por el teorema anterior, 2 · 3 | c, es decir 6 | c

Ejemplo

Sabemos que 4 | 24 y 8 | 24 pero 4 × 8 ∤ 24 porque 8 y 4 no son primos relativos.

C´ alculo del M.C.D. de dos o m´ as enteros Para hallar el M.C.D. de dos n´ umeros enteros se puede proceder de dos formas o m´etodos: a) Por descomposici´on de los enteros en factores primos b) Por el algoritmo de Euclides A continuaci´on estudiaremos el primer m´etodo. El algoritmo de Euclides ser´a analizado m´as adelante. C´ alculo del M.C.D. por descomposici´ on en factores primos Por el Teorema Fundamental de la Aritm´etica sabemos que cualquier n´ umero entero se puede expresar como el producto de factores primos. Usando este hecho establecemos el siguiente procedimiento: “Para hallar el M.C.D. de o m´as n´ umeros enteros, se descomponen simult´ aneamente estos en sus factores primos comunes” Ejemplo

Hallar el M.C.D. de 144 y 360 Descomponemos los n´ umeros en sus factores primos comunes 144

360

2

72

180

2

36

90

2

18

45

3

6

15

3

2

5

Como 2 y 5 no tienen factores primos comunes, el M.C.D(144, 360) = 23 × 32 = 8 × 9 = 72 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

46

Ejemplo

Hallar el M.C.D. de 110, 121 y 77 110

121

77

10

11

7

11

As´ı el M.C.D. de 110, 121 y 77 es 11

Algoritmo de Euclides para el M.C.D. El algoritmo de Euclides est´ a basado en el algoritmo de la divisi´ on que dice:

on Definici´ on 3.9. Algoritmo de la Divisi´ Dados dos enteros a y b con b > 0, existe un par u ´nico de enteros q y r tales que: a = bq + r donde 0 ≤ r ≤ b es llamado el residuo y q es llamado el cociente

El algoritmo de la divisi´ on lo que garantiza es que la divisi´ on entre dos n´ umeros enteros a y b se puede escribir en forma extendida como a = bq + r Nota: Cuando se dice que b divide a a, (b | a) significa que r = 0 Si aplicamos repetidamente el algoritmo de la divisi´ on se obtiene:

a

=

bq1 + r1

0

<

r1

<

b

b

=

r1 q2 + r2

0

<

r2

<

r1

r1 .. .

=

r2 q3 + r3

0

<

r3

<

r2

rk−2

=

rk−1 qk + rk

0

<

rk

<

rk−1

rk−1

=

rk qk+1

Aqu´ı en la etapa k el residuo rk+1 = 0, entonces el proceso se detiene porque no se puede dividir por cero, entonces el valor de rk es el M.C.D. de a y b.

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.)

Ejemplo

47

Hallar el M.C.D. de 4147 y 10672 usando el algoritmo de Euclides. 10672

=

4147 × 2

+

2378

4147

=

2378 × 1

+

1769

2378

=

1769 × 1

+

609

1769

=

609 × 2

+

551

609

=

551 × 1

+

58

551

=

58 × 9

+

29

58

=

29 × 2

+

0

Entonces el M.C.D. de los n´ umeros es (4147, 10672) = 29 Propiedades del M.C.D. I. Si m ∈ Z+ , (ma, mb) = m(a, b) II. Si m | a y m | b, entonces (a/m, b/m) = (a, b)/m, o (a, b) = m(a/m, b/m) m>0 III. Si d = (a, b), existen los enteros x y y tales que d = ax + by

Ejemplo

Hallemos el MCD de 986 y 1462 (986, 1462) = (2 × 493, 2 × 731) = 2(493, 731) = 2 × 17 = 34

Ejemplo

Primero observamos que ambos son divisibles por 6, entonces

(4410, 8712) = 6

3.5



4410 8712 , 6 6



= 6(735, 1452) = 6 × 3 = 18

§ M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.) §

Definici´ on 3.10. M´ ultiplo de un Entero Dados a, b ∈ Z, decimos que a es un m´ ultiplo de b si existe un entero n tal que a = n × b Los m´ ultiplos de un n´ umero entero es el conjunto que resulta de multiplicar dicho n´ umero por el conjunto extendido de los n´ umeros naturales G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

48

Nota: Los m´ ultiplos son infinitos mientras que los divisores son finitos Propiedades de los M´ ultiplos I. La suma de m´ ultiplos de un entero n es m´ ultiplo de n. Si A y B son m´ ultiplos de a, entonces A + B es m´ ultiplo de a Demostraci´ on. A es m´ ultiplo de a −→ ∃x|ax = A B es m´ ultiplo de a −→ ∃y|ay = B

(1) (2)

ax + ay = A + B

sumando (1) y (2)

de donde a(x + y) = A + B y por lo tanto A + B es m´ ultiplo de a 9,12,18 son m´ ultiplos de 3, entonces 9 + 12 + 18 = 39 es m´ ultiplo de 3. II. Si dos n´ umeros son m´ ultiplos de n entonces su diferencia tambi´en es m´ ultiplo de n 40 y 15 son m´ ultiplos de 5, entonces 40 − 15 = 25 tambi´en es m´ ultiplo de 5 III. Si un n´ umero n ∈ Z es divisor de una suma de dos sumandos y de uno de ellos, entonces es divisor del otro sumando 18 + 36 = 54,

9 | 54 y 9 | 18 −→ 9 | 36

IV. Todo divisor de un n ∈ Z es divisor de los m´ ultiplos de ese n´ umero. Sea n = 15. Algunos de sus m´ ultiplos son 45, 60, 75, etc. Los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15; entonces ellos son divisores de 45, 60, 75, etc. V. Si a, b, c, . . . ∈ Z son m´ ultiplos de x, y, z, . . . ∈ Z, entonces el producto a · b · c · · · es un m´ ultiplo del producto x · y · z · · · Sea x = 3, y = 1, z = 4, entonces xyz = 12. Algunos m´ ultiplos de x, y, z son a = 9, b = 4, c = 12, entonces 9 × 4 × 12 = 432 es m´ ultiplo de 12. Ejercicio:Demostrar los items II, III, IV y V

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.)

49

Definici´ on 3.11. MCM El menor n´ umero entero que sea m´ ultiplo de dos n´ umeros enteros dados a y b, se le llama el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b y se simboliza como M.C.M (a, b)

Ejemplo

Hallar el M.C.M (5, 9) Hallamos los m´ ultiplos de 5 M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, . . .} Hallamos los m´ ultiplos de 9 M (9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63} Los m´ ultiplos comunes son M (5) ∩ M (9) = {45, 90, 135, . . .} De esta lista escogemos el menor de ellos: M CM (5, 9) = 45

Un m´etodo m´as pr´ actico para hallar el MCM de varios n´ umeros es el siguiente: Algoritmo para hallar el MCM Descomponer simult´ aneamente los n´ umeros es sus factores primos comunes y no comunes. El producto de dicha descomposici´on ser´a el MCM de los n´ umeros. El siguiente ejemplo ilustra este proceso. Ejemplo

Hallar el MCM(72,144,360,288) 72

144

360

288

2

36

72

180

144

2

18

36

90

72

2

9

18

45

36

2

9

9

45

18

2

9

9

45

9

3

3

3

15

3

3

1

1

5

1

5

1

1

1

1

Luego M CM (72, 144, 360, 288) = 25 × 32 × 5 = 1440 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

50

Propiedades del MCM de a y b Se acostumbra simbolizar el MCM de a y b como ha, bi I. Si a, b ∈ Z −→

ha, bi ≥ 0

II. Si a, b ∈ Z −→ a | ha, bi y b | ha, bi Demostraci´ on. Sea m = ha, bi entonces m = na y m = pb para alg´ un n, p ∈ Z. Luego a|m y b|m (definici´on de divisibilidad); as´ı a| ha, bi y b| ha, bi Por ejemplo, h8, 12i = 24, 8|24 y 12|24 III. Si a, b, m ∈ Z,

a | m y b | m −→ 2|24

IV. Si a, b ∈ Z,

a | b ←→

y

3|24

entonces

h2, 3i = 6|24

ha, bi = b 2|8

V. Si a, b ∈ Z,

ha, bi | m

entonces

h2, 8i = 8

a · b = [(a, b) · ha, bi] 6 × 8 = (6, 8) h6, 8i = 2 × 24 = 48

VI. Si a, b son primos relativos

−→

ha, bi = a · b

Teorema 6. MCM El MCM de dos enteros a y b es igual a su producto dividido por su MCD ha, bi =

Ejemplo

a·b (a, b)

Hallar el MCM de 84 y 120 usando el MCD Primero hallamos el MCD: 120 = 84 × 1 + 39

84 = 36 × 2 + 12 36 = 12 × 3 + 0

Entonces (84, 120) = 12. Ahora el MCM ser´a 84 × 120 h84, 120i = = 840 12 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.)

51

Nota: Caso especial: Si los n´ umeros dados son primos relativos dos a dos, su MCM es su producto porque 1 es el MCD de dos cualesquiera de ellos. Problemas 1. ¿Cu´ ales son: 1) los m´ ultiplos de 9 hasta 100; 2) los m´ ultiplos de 12 hasta 132; 3) los de 15 hasta 150; 4) los divisores de 60, 75 y 90? 2. ¿Qu´e n´ umeros, de los siguientes, son divisibles entre 3? ¿Cu´ ales lo son adem´ as entre 9? 171, 231, 805, 1256, 3204, 7823, 2841, 6705 3. Todo n´ umero divisible entre 9 ¿lo es entre 3 y rec´ıprocamente? Dar ejemplos. 4. En los n´ umeros siguientes, disminuir la cifra de las unidades en la cantidad suficiente para que dichos n´ umeros resulten m´ ultiplos de 4: 862, 946, 1353, 2074, 3122, 9075, 2227, 7434. 5. Entre los divisores 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, ¿Cu´ ales son factores de cada uno de los n´ umeros siguientes? 340, 225, 810, 2430, 4608, 5475. 6. Se quiere dividir tres alambres de 64 m, 48 m, y 40 m, respectivamente, en trozos iguales y del mayor tama˜ no posible; ¿Cu´ al ser´a la longitud de cada trozo y cuantos trozos habr´a? 7. ¿Qu´e suma de dinero se necesita para poder comprar el menor n´ umero posible de objetos que cuesten respectivamente 8, 9, 10, 12, y 15 pesos? 8. ¿Cu´ antas servilletas cuadradas del mayor tama˜ no posible se pueden hacer con una pieza de tela de 13.20 m de largo por 80 cm de ancho? 9. Tres tanques tiene una capacidad de 240 l, 315 l y 465 l, respectivamente; ¿Qu´e capacidad ha de tener un bote para que los pueda llenar con el menor n´ umero de botes llenos? ¿Cu´ antos botes caben en cada uno de los tanques? 10. Averiguar si los n´ umeros siguientes son o no primos: 631, 683, 889, 913, 1021. 11. Dos ruedas dentadas engranadas una con otra tienen 33 y 24 dientes, respectivamente; ¿Cu´ antas vueltas debe dar cada una para volver a encontrarse en la misma posici´on relativa? 12. ¿Cu´ al es la mayor longitud que se puede tomar por unidad para medir exactamente las dimensiones de un aposento que son respectivamente 7.20 m, 4.20 m, 2.40 m? 13. ¿Qu´e capacidad debe tener un tanque para que tres llaves, que dan respectivamente 36 l, 45 l y 48 l, por minuto, puedan llenarlo, cada una por separado, en el menor n´ umero exacto de minutos? 14. Tres barcos salen de Nueva York el mismo d´ıa; sabiendo que los viajes de cada uno de ellos duran, respectivamente, 18, 24 y 30 d´ıas, se desea saber: 1) dentro de cu´ anto tiempo volver´ an a salir juntos por segunda vez; 2) cu´ antos viajes habr´an hecho cada uno de ellos. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

52

Principios B´ asicos de Aritm´etica

15. Se quiere cercar un campo rectangular de 72 m de largo por 60 m de ancho con un alambrado; ¿Cu´ antos postes se necesitar´ an, para que halla uno en cada esquina, que todos est´en a igual distancia y que halla el menor n´ umero posible de postes? 16. Tres escuelas compuestas de 408, 512, y 768 alumnos, respectivamente, tienen que tomar parte, por separado, en un desfile, formando en el menor n´ umero posible de hileras iguales; ¿Cu´ antos alumnos habr´a en cada hilera? 17. ¿Cu´ al es el menor n´ umero que puede dividirse entre cada uno de los ocho primeros n´ umeros primos? 18. Se tienen tres piezas de tela del mismo ancho, cuyas longitudes son: 180 m, 225 m y 324 m. Se desea dividir las tres piezas en lotes del mismo tama˜ no. ¿Cu´ al debe ser la longitud de estos lotes para que el n´ umero de cortes en las tres piezas sea el menor posible? 19. En un estante de la biblioteca escolar hay menos de 1.000 libros, todos del mismo tama˜ no. La bibliotecaria nos dice que se pueden empaquetar, sin que sobre ning´ un libro, por docenas, de 28 en 28, o de 49 en 49. ¿Cu´ antos libros hay exactamente? 20. La edad de la maestra tiene la particularidad de que, al dividirse entre 2, 3, 4, 6 y 8, siempre da como resto 1. Pero al dividirse entre 5, da como resto 0. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene la maestra? 21. En la ma˜ nana pagu´e 360 pesos por un lote de fotocopias. En la tarde estuve sacando otras m´as y pagu´e 126 pesos. ¿Cu´ anto cuesta cada fotocopia, si su precio es mayor que 10 pesos? 22. Eval´ ue cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Para ello, ay´ udese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos... (a) Si un n´ umero es divisor de varios otros, entonces divide a la suma de todos ellos. (b) Si un n´ umero divide a otro, entonces divide a cualesquiera dos sumandos en que se puede descomponer el segundo n´ umero. (c) Si un n´ umero es divisor de otros dos n´ umeros, entonces divide a la diferencia entre el mayor y el menor. (d) Todo n´ umero distinto de 0 tiene infinitos m´ ultiplos. (e) La suma de varios m´ ultiplos de un n´ umero no es m´ ultiplo de ese n´ umero. (f) Todo n´ umero distinto de 0 tiene un n´ umero infinito de divisores. (g) Si dos n´ umeros son m´ ultiplos de otro, tambi´en lo es la diferencia entre el mayor y el menor. (h) Si un n´ umero a es divisor de uno b, y ´este a su vez es divisor de c, entonces a no tiene por qu´e ser divisor de c. (i) Si a y b son divisores de un n´ umero N , entonces a + b tambi´en es divisor de N . (j) Si a y b son divisores de un n´ umero N , entonces a × b tambi´en es divisor de N .

(k) Si a y b son divisores primos de N , entonces a × b tambi´en es divisor de N .

(l) Si un n´ umero es divisor de otro, entonces tambi´en es divisor de los m´ ultiplos de ´este. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.)

53

(m) Si a es divisor de b, entonces es divisor de b + c (c: cualquier n´ umero natural). (n) Si a es divisor de b, entonces es divisor de a + b. (o) Si a es divisor de b, entonces es divisor de b × c (c: cualquier n´ umero natural).

(p) Si un n´ umero es m´ ultiplo de otro, entonces tambi´en es m´ ultiplo de todos los m´ ultiplos de ´este u ´ltimo. (q) Si un n´ umero es m´ ultiplo de otro, entonces tambi´en es m´ ultiplo de todos los divisores de ´este u ´ltimo. 23. Determinar si 13.046 es m´ ultiplo: a) de 3; b) de 4; c) de 6 24. Determinar si 148.500 es m´ ultiplo: a) de 4; b) de 6; c) de 8; d) de 9; e) de 18; f) de 36 25. Hallar todos los posibles valores de las letras en cada caso para que se cumpla que: (a) 4m68 sea m´ ultiplo de 9 (b) 98n sea m´ ultiplo de 6 (c) 58b7a sea m´ ultiplo de 18 (d) 8m56n sea m´ ultiplo de 36 (e) 3r33t sea m´ ultiplo de 12 26. De todos los n´ umeros naturales de dos cifras, ¿cu´ al(es) es (son) el (los) que posee(n) m´as divisores? 27. Y este otro ejercicio para curiosos (y perseverantes): Halle los divisores de todos los n´ umeros naturales del 2 al 15. Obtenga ahora los cuadrados de tales n´ umeros y halle tambi´en sus divisores. Cuente el n´ umero de divisores obtenidos en todos los casos. ¿Qu´e observa? ¿Qu´e clase de n´ umeros son los que tienen tres divisores? 28. 12 Halle todas las parejas de n´ umeros primos cuya suma es 999. 29. Los n´ umeros 6, 14 y 15 son divisores de N . ¿Cu´ al puede ser el menor valor de N ? 30. Eval´ ue cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Para ello, ay´ udese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...: (a) Si dos n´ umeros son primos, entonces son primos relativos. (b) Cualquier par de n´ umeros naturales consecutivos son primos relativos. (c) Si dos n´ umeros son primos relativos, entonces cada uno de ellos es primo. (d) Cualquier par de n´ umeros impares consecutivos son primos relativos. (e) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces los divisores de m dividen a a y a b. (f) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces m divide a todos los divisores de a y de b. (g) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces m divide a todos los m´ ultiplos de a y de b. (h) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces m es m´ ultiplo de todos los divisores comunes de a y de b. (i) Si dos n´ umeros se multiplican (o dividen) por un mismo n´ umero, el m.c.d. de ambos queda multiplicado (o dividido) por ese mismo n´ umero. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

54

Principios B´ asicos de Aritm´etica

(j) Si un n´ umero divide al producto de dos factores y es primo relativo con uno de ellos, necesariamente debe dividir al otro factor. 31. Eval´ ue cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Para ello, ay´ udese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...: (a) Si dos n´ umeros son primos relativos, entonces su m.c.d. es el menor de ellos. (b) Si dos n´ umeros son primos relativos, entonces su m.c.m. es el mayor de ellos. (c) El m.c.d. de dos n´ umeros es divisor del m.c.m. de ambos n´ umeros. (d) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces los divisores de m dividen a a y a b. (e) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces los divisores de a y b dividen a m. (f) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces m divide a todos los m´ ultiplos de a y de b. (g) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces los m´ ultiplos de a y de b dividen a m. (h) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces a y b dividen a todos los m´ ultiplos de m. (i) Si dos n´ umeros se multiplican (o dividen) por un mismo n´ umero, el m.c.m. de ambos queda multiplicado (o dividido) por ese mismo n´ umero. 32. Hallar una lista de 10 enteros consecutivos que sean compuestos. 33. Si se divide cierto n´ umero por 6, se obtiene 4 como resto. Pero si se divide por 5, el resto disminuye en 1 y el cociente aumenta en 1. ¿Cu´ al es el n´ umero? 34. ¿De cu´ antas maneras puede escribirse 60 como producto de tres n´ umeros diferentes? 35. ¿Cu´ al es el mayor n´ umero posible tal que, al dividirse 247, 367 y 427 entre ese n´ umero, se obtiene 7 de resto en todos los casos? 36. Atenci´ on: 45, 150, 105, 30 y 90 son “plikos”. Pero 24, 50, 18, 125, 66, 6 y 80 no son “plikos”. ¿Cu´ ales de los siguientes n´ umeros: 40, 75, 120, 36, 60, 96 y 135 son “plikos”? 37. Tome un n´ umero de tres cifras. Escr´ıbalo de nuevo, a continuaci´on del anterior, para formar un n´ umero de seis d´ıgitos. Div´ıdalo entre 7, 11 y 13 y observar´ a que las tres divisiones son exactas. Y as´ı con cualquier otro n´ umero de tres cifras. ¿Por qu´e? 38. El n´ umero N es la cuarta potencia de otro n´ umero. N tiene a 18 como divisor. ¿Cu´ al es el menor valor que puede tener el cociente de N entre 18? 39. En un abasto hay menos de 400 huevos para la venta. Si se colocan en envases de 1 docena, 1 docena y media, 2 docenas, y 2 docenas y media, siempre sobran 3 huevos. ¿Cu´ antos hay? 40. Un n´ umero se divide entre 7 y da como resto 5. ¿Cu´ al ser´a el resto que se obtiene al dividir el triple de ese n´ umero entre 7? 41. En cada una de las 9 casillas libres coloque uno de los d´ıgitos del 1 al 9 de tal forma que los productos horizontales coincidan con los valores de la derecha y los productos verticales, con los valores inferiores G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.)

55

70 48 108 64

45

126

42. El dibujo que sigue representa una “pir´ amide num´erica”. En ella, cada sector o cuadr´ıcula tiene asignado un n´ umero natural. Salvo en la fila de la base, este n´ umero se obtiene multiplicando los n´ umeros de los dos sectores del piso inferior que le sirven de apoyo. Coloque los d´ıgitos 1, 2, 3, y 4 en la fila de la base, de tal forma que obtenga el mayor producto posible en la cuadr´ıcula superior

43. Rosaura tiene tres hijos. El producto de sus edades es 200. La edad del mayor es el doble de la del segundo hijo. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene cada hijo? 44. Nidia y su abuela cumplen a˜ nos el mismo d´ıa. Durante 6 cumplea˜ nos consecutivos la edad de la abuela ha sido m´ ultiplo de la edad correspondiente de Nidia. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene ahora Nidia, un d´ıa despu´es del u ´ltimo de estos seis cumplea˜ nos? 45. Al sumar dos n´ umeros de dos d´ıgitos cada uno, a2 y b4, se obtiene un n´ umero m´ ultiplo de 3. ¿Cu´ al es el menor valor que puede tener la suma a + b? 46. Halle 3 n´ umeros cuyo m.c.m. sea 48. 47. Halle los n´ umeros de todos los a˜ nos del segundo milenio tales que la suma de sus d´ıgitos sea 21, y su producto, 162. 48. Beatriz guarda en su alcanc´ıa menos de 100 monedas. Al sacarlas observa que si las agrupa en montones de 2, 3, 4, 5 y 6 monedas, le sobran, respectivamente, 1, 2, 3, 4 y 5 monedas. ¿Cu´ antas le sobrar´ an si las pone en montones de 7 monedas 49. ¿Cu´ al es el mayor n´ umero escrito con nueve d´ıgitos diferentes (excluido el 0) que es m´ ultiplo de 18? 50. Se desea pavimentar un piso con baldosas rectangulares de 30 cm x 40 cm, colocadas todas en el mismo sentido. ¿Cu´ al es el menor n´ umero de baldosas necesarias para formar un cuadrado pavimentado? 51. Tres amigos, cuyas edades pasan de 19 a˜ nos, nos indican que el producto de sus edades es 17.710. ¿Cu´ antos a˜ nos tienen? 52. Coloque en la tabla siguiente los d´ıgitos del 1 al 9 (uno en cada casilla) G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

56

Principios B´ asicos de Aritm´etica

de manera que el n´ umero formado por los d´ıgitos de las casillas: (a) 1 y 2 sea divisible por 2 (b) 2 y 3 sea divisible por 3 (c) 3 y 4 sea divisible por 4 ............. (d) 8 y 9 sea divisible por 9 53. Si ABA × AA = AAAA, siendo A y B d´ıgitos distintos, hallar el valor de B. 54. La combinaci´on para abrir un cofre es un n´ umero de cinco cifras que, consideradas de izquierda a derecha, cumplen las siguientes condiciones: la primera cifra es par; la suma de las dos primeras es 15; la tercera es igual a la diferencia de las dos primeras (la mayor menos la menor); el n´ umero es m´ ultiplo de 9; la primera cifra es igual a la primera por la cuarta; todas las cifras son diferentes. ¿Cu´ al es el n´ umero de la combinaci´on? 55. Halle todos los divisores de 1.275.000 que sean cuadrados perfectos. 56. Halle el n´ umero impar que es m´ ultiplo de 9 y divisor de 72. 57. Se desea embaldosar un pasillo de 9,20 m de largo y 2,40 m de ancho con baldosas cuadradas de la mayor dimensi´on posible, de tal modo que quepan un n´ umero exacto de veces a lo largo y a lo ancho del pasillo. ¿Cu´ anto medir´a el lado de la baldosa? 58. Halle la capacidad de un tonel si es la menor que se puede llenar exactamente con botellas llenas de l´ıquido de cada una de las siguientes capacidades: 60 cl, 90 cl, 1 l y 2 l. 59. ¿De cu´ antas maneras se pueden agrupar 36 alumnos en filas y columnas completas? 60. El se˜ nor Pedro presume de ser joven. Para confirmarlo, nos dice que si su edad se divide entre 2, 3, 4, 5 y 6, siempre da como resto 1. ¿Realmente es una persona joven? 61. Una caja de base cuadrada tiene una altura cuya medida es el triple del lado de la base. Si el volumen de la caja es de 24.000 cm3 , ¿cu´ al es la altura de la caja? 62. Consideremos la suma N de cinco n´ umeros naturales consecutivos. Adem´ as de la unidad y de N , ¿qu´e otros dos divisores posee necesariamente N cada vez? 63. El municipio posee tres lotes de terreno cuyas ´areas son de 3.675 m2 , 1.575 m2 y 2.275 m2 . Los tres lotes se tienen que dividir en parcelas menores, de igual ´area, para la construcci´on de viviendas. ¿Cu´ al es el mayor tama˜ no posible de estas parcelas? 64. Usando los d´ıgitos 3, 4, 6 y 8, ¿cu´ antos n´ umeros de tres cifras no repetidas pueden formarse, de tal modo que sean a la vez m´ ultiplos de 4 y de 6? 65. Sea S = 10723 + 9146. ¿Cu´ al es el menor n´ umero primo que divide a S? 66. Las caras diferentes de una caja son rect´angulos cuyas a´reas son: 24 cm3 , 32 cm3 y 48 cm3 . ¿Cu´ al es el volumen de la caja? G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (M.C.M.)

57

67. Tres personas trabajan como conductores de autobuses en tres rutas que parten del mismo punto y cuyos recorridos completos se llevan 35, 60 y 70 minutos, respectivamente. Los tres salen a las 6 de la ma˜ nana y deciden que almorzar´an juntos cuando coincidan de nuevo en el mismo punto de partida. ¿A qu´e hora ser´a el almuerzo? 68. La organizadora de una fiesta observa que si los invitados se sientan 7 en cada mesa, quedan 4 por fuera. Y si lo hacen 9 en cada mesa, sobran 3. Al final decide organizar 4 mesas de 8 invitados cada una, y el resto de mesas, de 7 invitados cada una. ¿Cu´ antos invitados hay, si no llegan a 100? 69. ¿Hay alg´ un n´ umero de cuatro cifras que sea divisible por 3 y por 4 y que tenga sus cuatro cifras iguales? 70. Una caja de manzanas cuesta 2.000 pesos; una de peras, 3.000; y una de ciruelas, 4.000. Si 8 cajas de los tres tipos de frutas cuestan 23.000 pesos, ¿cu´ al es el mayor n´ umero de cajas de ciruelas que pueden comprarse? 71. ¿Cu´ al es la diferencia entre el menor “a˜ no primo” del siglo XXI y el mayor “a˜ no primo” del siglo XX? 72. Tenemos 36 cubos de igual tama˜ no. ¿Cu´ antos paralelep´ıpedos diferentes de 36 cubos pueden construirse con ellos? 73. Dos atletas se entrenan corriendo en un circuito, a velocidades constantes pero diferentes. Ambos parten simult´ aneamente de la raya de salida y a los 72 minutos vuelven a coincidir en ese mismo punto. Si el m´as r´ apido de los atletas da la vuelta completa cada 8 minutos, ¿cu´ anto tarda el otro atleta en darla (d´e todas las respuestas posibles, sabiendo que es un n´ umero entero de minutos, menor que una hora)? 74. Un campo tiene forma de cuadril´atero y las dimensiones de sus lados son 72, 96, 120 y 132 metros. Se desea plantar ´arboles sobre los cuatro linderos de tal forma que haya uno en cada v´ertice del campo, que todos est´en igualmente espaciados, y que la distancia entre dos ´ arboles consecutivos no sea mayor que 10 metros. ¿Cu´ al ser´a esta distancia? 75. Halle los valores num´ericos de a, b, c, d, e para que se cumpla que: (a) el n´ umero a sea m´ ultiplo de 9 (b) el n´ umero ab sea m´ ultiplo de 3 y de 4 (c) el n´ umero abc sea m´ ultiplo de 2 y de 5 (d) el n´ umero abcd sea m´ ultiplo de 7 (e) el n´ umero abcde sea m´ ultiplo de 11 ´ 76. Armese de infinita paciencia y coloque en la tabla siguiente los d´ıgitos del 1 al 9 (uno en cada casilla)

de manera que el n´ umero formado por los d´ıgitos de las casillas: (a) 1 y 2 sea divisible por 2 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

58

Principios B´ asicos de Aritm´etica

(b) 1, 2 y 3 sea divisible por 3 (c) 1, 2, 3 y 4 sea divisible por 4 .............. (d) 1, 2, ..., 8 y 9 sea divisible por 9

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Cap´ıtulo 4

Congruencia

A continuaci´on vamos a estudiar los n´ umeros enteros en relaci´ on con los residuos (o restos) obtenidos al dividir enteros por otro entero fijo positivo m, al cual lo llamaremos m´odulo. Por el algoritmo de la divisi´ on sabemos que a cada entero le corresponde el residuo de su divisi´ on por m

Definici´ on 4.1. Congruencia Si a dos enteros a y b les corresponde el mismo residuo r, se dice que estos dos n´ umeros son congruentes m´odulo m Nota: La congruencia de los n´ umeros a y b respecto del m´odulo m se escribe como a ≡ b (mod m) a ≡ b (mod m) ←→ m | (b − a), m ∈ Z+

Ejemplo

13 ≡ 25 (mod 12) porque 13 = 12 × 1 + 1,

25 = 12 × 2 + 1

los residuos son iguales y 12 | (25 − 13) es decir 12 | 12 Definici´ on 4.2. El conjunto de todos los enteros que son congruentes con a m´odulo m es: [a] = {x ∈ Z|a ≡ x (mod m)} 59

Principios B´ asicos de Aritm´etica

60

Ejemplo

Si m = 12 entonces [1] = {. . . − 23, −11, 1, 13, 25, . . .} porque todos estos n´ umeros son congruentes con 1 m´odulo 12.

Ejemplo

Qu´e valores de m hacen verdaderas las siguientes congruencias

• 5 ≡ 4 (mod m) 5 ≡ 4 (mod m) ←→ m | (4 − 5) ←→ m | −1 entonces m = 1

• 5 ≡ −4 (mod m) 5 ≡ −4 (mod m) ←→ m | (−4 − 5) ←→ m | −9 entonces m = 1, 3, 9

• 10 ≡ −1 (mod m) 10 ≡ −1 (mod m) ←→ m | (−1 − 10) ←→ m | −11 entonces m = 1, 11 Propiedades elementales de las congruencias I. Reflexividad a≡a

(mod m)

II. Simetr´ıa Si a ≡ b

(mod m) −→ b ≡ a

(mod m)

III. Transitividad Si a ≡ b

(mod m) y b ≡ c

(mod m) −→ a ≡ c

(mod m)

IV. Suma, resta, multiplicaci´ on de congruencias del mismo m´odulo Si a ≡ b (mod m) y c ≡ d

(mod m) −→

1. a ± c ≡ b ± d (mod m)

2. a · c ≡ b · d (mod m)

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

61

3. ka ≡ kb (mod m), k ∈ Z V. Si ka ≡ kb (mod m) y (k, m) = d entonces a≡b

(mod

m ) d

VI. Si a ≡ b (mod m) entonces a n ≡ bn

(mod m), n ∈ N

VII. Si a1 ≡ b1 (mod m) entonces r X

ai ≡

r X

bi

(mod m)

r Y

ai ≡

r Y

bi

(mod m)

i=1

VIII. Si a1 ≡ b1 (mod m)

i=1

i=1

i=1

IX. Si (m, n) = 1 y a ≡ b (mod m), a ≡ b (mod n) entonces a≡b

(mod mn)

X. Si ac ≡ bc (mod cm) entonces a≡b

(mod m)

XI. Si a ≡ b (mod m) y n | m entonces a≡b XII. Si a ≡ b (mod m) entonces

(mod n)

(a, m) = (b, m)

XIII. Si p es primo y ab ≡ 0 (mod p) entonces a ≡ 0 (mod p) o b ≡ 0

(mod p)

no Teorema de Fermat Teorema 7. Peque˜ Si p es primo, a ∈ Z y (a, p) = 1 entonces 1. ap−1 ≡ 1 (mod p) 2. ap ≡ a (mod p)

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

62

Ejemplo

Sea a = 3 y p = 5, entonces a y p son primos relativos porque (3, 5) = 1, entonces por el teorema de Fermat se tiene que 35−1 ≡ 1 (mod 5) −→ 34 ≡ 1 (mod 5) −→ 81 ≡ 1 (mod 5) porque 5 | (1 − 81)

Ejemplo

5 | −80

o

428 ≡ 1 (mod 29) porque 428 ≡ 1 (mod 29) ←→ 429−1 ≡ 1 (mod 29) y 29 es primo; adem´ as (4, 29) = 1 y por tanto 4 y 29 son primos relativos, entonces por el teorema de Fermat se puede afirmar que la congruencia dada es verdadera. Adem´ as, si 428 ≡ 1 (mod 29) −→ 4 × 428 ≡ 4 × 1 29 (mod 29) y as´ı 4 ≡ 4 (mod 29) (parte 2 del teorema de Fermat)

Ejemplo

Use el teorema de Fermat para hallar el valor de b en la siguiente congruencia: 34 ≡ b (mod 5) 34 ≡ b

(mod 5) −→ 35−1 ≡ b

(mod 5) −→ b = 1

Ahora, 34 ≡ 1 (mod 5) −→ 3 × 34 ≡ 3 × 1 (mod 5)

−→ 35 ≡ 3 (mod 5)

§ Criterios de Divisibilidad §

4.1

A continuaci´on ilustraremos la forma de utilizar los conceptos de congruencia vistos anteriormente para establecer criterios de divisibilidad ya mencionados en un cap´ıtulo anterior. 1. Usar la congruencia entre enteros para establecer un criterio de divisibilidad por 3 y por 9 Partimos del hecho de que todo entero a se puede escribir en forma decimal como: a = an 10n + an−1 10n−1 + . . . + a3 103 + a2 102 + a1 101 + a0 donde cada ai est´ a entre 0 y 9, 0 ≤ ai ≤ 9. Entonces se tiene: 10 ≡ 1 (mod 3, 9) 2

10 ≡ 1 (mod 3, 9) 3

10 ≡ 1 (mod 3, 9) .. . 10n ≡ 1 (mod 3, 9)

−→

−→

a0 ≡ a0

a1 10 ≡ a1

(mod 3, 9) (mod 3, 9)

2

(mod 3, 9)

3

(mod 3, 9) .. . (mod 3, 9)

a2 10 ≡ a2

−→

a3 10 ≡ a3

−→

an 10n ≡ an

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Criterios de Divisibilidad

63

Sumando ambos lados tenemos a0 + a1 10 + a2 102 + . . . + an 10n = a0 + a1 + a2 + . . . + an

(mod 3, 9)

como el primer lado de esta igualdad es a, entonces a = a0 + a1 + a2 + . . . + an

(mod 3, 9)

es decir que a es congruente con la suma de sus d´ıgitos en m´odulo 3 y 9; es decir, a y la suma de sus d´ıgitos tienen el mismo residuo al dividirlos por 3 y el mismo residuo al dividirlos por 9. umero entero a es divisible por 3 (y por 9) si y s´ olo si, la suma de Conclusi´ on. Un n´ sus d´ıgitos es divisible por 3 (y por 9 respectivamente)

Ejemplo

• 102, 210, 2100, 2001, 2301, son divisibles por 3 • 27, 270, 72, 720, 702, 7002, son divisibles por 9

2. Usar la congruencia para establecer un criterio de divisibilidad por 11 a = an 10n + an−1 10n−1 + . . . + a3 103 + a2 102 + a1 101 + a0 Entonces se tiene: a0

≡

a0 (mod 11)

a1 10

≡

−a1 (mod 11)

≡

−1 (mod 11)

−→

1 (mod 11)

−→

a2 102

3

≡

10

≡ .. .

−1 (mod 11)

10n

≡

(−1)n (mod 11)

10 102

≡

a2 (mod 11)

−→

3

a3 10

≡ .. .

−a3 (mod 11)

−→

an 10n

≡

(−1)n an (mod 11)

Sumamos a0 + a1 10 + a2 102 + . . . + an 10n = a0 − a1 + a2 − a3 + . . . + (−1)n an

(mod 11)

de donde a = a0 − a1 + a2 − a3 + . . . + (−1)n an

(mod 11)

de donde podemos concluir que a es congruente con la suma alternada de sus d´ıgitos m´odulo 11. a y la suma alternada de sus d´ıgitos tienen el mismo residuo en la divisi´ on por 11, entonces: umero a es divisible por 11, si y s´ olo si, la suma alternada de Conclusi´ on. Un n´ sus d´ıgitos es divisible por 11. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

64

Ejemplo

• 11, 1111, 111111, son divisibles por 11 • 111, 11111 no son divisibles por 11 • 2233445566 es divisible por 11 porque 6−6+5−5+4−4+3−3+2−2=0

Teorema 8. Todo n´ umero entero a se puede expresar en la forma a =a0 + a1 101 + a2 102 + . . . + an 10n =(a2 a1 a0 ) + (a5 a4 a3 )103 + (a8 a7 a6 )105 + . . .

Teorema 9. Todo entero a es congruente con a2 a1 a0 − a5 a4 a3 + a8 a7 a6 − . . . (mod 7, 11, 13)

Este u ´ltimo teorema indica que el residuo de la divisi´ on por 7, 11 o 13 coincide con el residuo de dividir el n´ umero a2 a1 a0 − a5 a4 a3 + a8 a7 a6 − . . . por 7, 11 o 13 Ejemplo

12345678910 y 565 tienen el mismo residuo al dividir por 7, 11 o 13 porque 565 = 910 − 678 + 345 − 12 entonces 12345678910 es divisible por 7, 11 y 13

Ejemplo

Mostrar que los siguientes n´ umeros son divisibles por 7, 11 y 13 • 123123 y 123-123=0 tienen el mismo residuo al dividir por 7, 11, 13 y por tanto 123123 es divisible por 7, 11 y 13 • 547547 y 547-547=0 tienen el mismo residuo al dividir por 7, 11, 13 y por tanto 547547 es divisible por 7, 11 y 13

Nota: Como 7× 11× 13 = 1001 y todos 3 son primos, el criterio de divisibilidad anterior es tambi´en un criterio de divisibilidad por 1001

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Criterios de Divisibilidad

65

Un Criterio Universal de Divisibilidad Ya hemos analizado con bastante detenimiento los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9, 11, etc. Pero cu´ ando un n´ umero es divisible por 7? o por 17?. A continuaci´on se presenta un criterio de divisibilidad, el cual permite resolver gen´ericamente la pregunta siguiente: ¿Cu´ ando b (b ∈ Z) es un divisor de n (n ∈ Z)? o ¿Cu´ ando n (n ∈ Z) es divisible por b (b ∈ Z)?, adem´ as, este criterio es de f´acil evocaci´on y de sencilla aplicaci´ on Teorema 10. Criterio 1 Universal de Divisibilidad Si b es un n´ umero entero no nulo y primo relativo con 10, entonces, existe a un n´ umero entero tal que para cualquier n´ umero natural n, donde n = 10d + u; 0 ≤ u ≤ 9, se tiene que, b | n ←→ b | (d − au) Ahora la pregunta que interesa resolver es la siguiente: ¿C´omo se puede determinar un valor de a?. Pues bien, para ello tendremos en cuenta el siguiente teorema: Teorema 11. Si g es el m´ aximo com´ un divisor de m y n, entonces, existen x, y ∈ Z tal que g = mx + ny

Como el teorema 10 establece que b es primo relativo con 10, entonces M CD(b, 10) = 1 y por el teorema anterior tenemos que bx + 10y = 1 y si hacemos y = −a tenemos bx = 10a + 1, es decir, que (10a + 1) es un m´ ultiplo de b que termina en 1. Ahora, obs´ervese que b es un n´ umero impar y adem´ as primo relativo con 10, entonces termina en una de las siguientes cifras 1, 3, 7, 9. Para encontrar a basta entonces con buscar tal m´ ultiplo de b y de bx = 10a + 1, despejar a. En consecuencia proc´edase as´ı: • Si b termina en 1, h´agase x = 10k + 1, con k ∈ Z • Si b termina en 3, h´agase x = 10k + 7, con k ∈ Z • Si b termina en 7, h´agase x = 10k + 3, con k ∈ Z • Si b termina en 9, h´agase x = 10k + 9, con k ∈ Z He aqu´ı una peque˜ na tabla b

3

7

9

11

13

17

19

23

29

31

101

107

a

2

2

8

1

9

5

17

16

26

3

10

32

Por el criterio universal de divisibilidad, se puede afirmar, por ejemplo, que: • 7 | n si y s´ olo si 7 | (d − 2u) • 13 | n si y s´ olo si 13 | (d − 9u) • 17 | n si y s´ olo si 7 | (d − 5u) G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

66

• 19 | n si y s´ olo si 7 | (d − 17u) • 23 | n si y s´ olo si 7 | (d − 16u) • ......... Ejemplo

¿335.257 es divisible por 13? Aplicando el criterio 1 universal de divisibilidad tenemos 13 | 335.257 ←→ 13 | (33.525 − 9(7)) ←→ 13 | 33.462 13 | 33.462 ←→ 13 | (3.346 − 9(2)) ←→ 13 | 3.328 13 | 3.328 ←→ 13 | (332 − 9(8)) ←→ 13 | 260 13 | 260 ←→ 13 | (26 − 9(0)) ←→ 13 | 26

ahora, como sabemos que 13 | 26, entonces concluimos que 13 | 335.257 Nota: El criterio universal de divisibilidad, tambi´en se puede expresar haciendo uso de la relaci´ on de CONGRUENCIA. Esta forma permite abreviar los c´alculos para determinar si un n´ umero b divide o no a un n´ umero n

Teorema 12. Criterio 2 Universal de Divisibilidad Si c ≡ a (mod n) y n = 10d + u; 0 ≤ u ≤ 9, entonces, b | n ←→ b | (d − u)

Ejemplo

¿335.257 es divisible por 13? Si c ≡ 9 (mod 13) y como 335.257 = 10(33.525) + 7, entonces 13 | 335.257 ←→ 13 | (33.525 − (4780)(7)) ←→ 13 | (33.525 − 33.460) ←→ 13 | 65 Como 13 divide a 65, concluimos que 13 | 335.257

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Ecuaciones Lineales de Congruencia

67

§ Ecuaciones Lineales de Congruencia §

4.2

Se trata ahora de estudiar el problema de resoluci´ on de una ecuacion en x de la forma a·x≡b

(mod m) con 0 ≤ x < m

Los valores hallados para x se llaman la soluciones principales de la ecuaci´ on de congruencia. Ejemplo

3 · x ≡ 7 (mod 11) admite una soluci´ on u ´nica con 0 ≤ x < 11. La soluci´ on es x = 6. En efecto, 3·6 ≡ 7 (mod 11) es decir 18 ≡ 7 (mod 11) Para obtener otras soluciones se adiciona k veces el m´odulo a la soluci´ on principal. Entonces x = 6 + k · m tambi´en es soluci´ on de la ecuaci´on dada. Soluci´on general: x = 6 + k · 11 con k ∈ Z. Por ejemplo, cuando k = 2, x = 6 + 2 × 11 = 28, entonces 3 · 28 ≡ 7 (mod 11) pues 84 ÷ 11 da residuo 7

Teorema 13. Una condici´ on necesaria y suficiente para que la ecuaci´ on ax ≡ b (mod m) tenga una soluci´ on es que (a, m) | b. Adem´ as existen (a, m) soluciones

Nota: Si x es soluci´ on de la ecuaci´ on ax ≡ b (mod m), entonces ax − b = km y b = ax + (−k)m. Esta u ´ltima expresi´ on nos sirve para saber a que valores de b es congruente ax, si se conoce x y se dan valores a k

Teorema 14. Si (a, m) | b y si x es una soluci´ on de b a x≡ (a, m) (a, m)



mod

m (a, m)



entonces x tambi´en es una soluci´ on de ax ≡ b

(mod m)

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Principios B´ asicos de Aritm´etica

68

Ejemplo

Aplicar el teorema anterior para hallar una soluci´ on de 42x ≡ 50 (mod 76)

Como (42, 76) = 2 y 2 | 50, entonces la ecuaci´ on dada tiene soluci´ on. Ahora, Dividimos la ecuaci´ on dada por (42, 76) 42x 50 ≡ 2 2

(mod

76 ) −→ 21x ≡ 25 2

(mod 38)

Esta u ´ltima ecuaci´ on tiene soluci´ on porque (21, 38) = 1 y 1 | 25. Ahora, si 21x ≡ 25 (mod 38), entonces multiplicamos ambos lados por 2 2 × 21x ≡ 2 × 25

(mod 38) −→ 42x ≡ 50

(mod 38)

Adem´ as, como 42 ÷ 32 da residuo 4 y 50 ÷ 38 da residuo 12, entonces para 4x ≡ 12 (mod 38) la soluci´ on es x = 3 porque 4 · 3 ≡ 12 (mod 38). Se ha hallado una soluci´ on (x = 3) para 42x ≡ 50 (mod 38) que es la misma para 21x ≡ 25 (mod 38). Todas las soluciones de 21x ≡ 25 (mod 38) son de la forma x = 3 + km o x = 3 + 38k. Estas tambi´en son las soluciones de 42x ≡ 50 (mod 76) pero k s´ olo puede valer 0 o 1 para que 0 ≤ x < m. Si k = 0 entonces x = 3; si k = 1, x = 41

Procedimiento para resolver ax ≡ b (mod m) 1. Verificar que (a, m) | b 2. Resolver la ecuaci´ on b a x≡ (a, m) (a, m)

(mod

m ) (a, m)

m , entonces las soluciones (a, m) distintas (no congruentes entre si mod m) de ax ≡ b (mod m) son

3. Si x es una soluci´ on de la ecuaci´ on anterior y x <

x, x +

m m m , x+2 , . . . , x + ((m, a) − 1) (a, m) (a, m) (a, m)

es decir que hay (a, m) soluciones distintas.

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Ecuaciones Lineales de Congruencia

Ejemplo

69

Hallar todas las soluciones distintas de 30x ≡ 18 (mod 78) que est´en en el intervalo 0 ≤ x < m 1) (a, m) = (30, 78) = 6, 6 | 18 y por tanto la ecuaci´ on tiene soluci´ on 18 2) 30 6 x ≡ 6 (mod u ´ltima ecuaci´ on:

78 6 )

como x <

−→

m (a, m)

5x ≡ 3 (mod 13). Solucionamos esta −→ x <

78 6

−→ x < 13

Se ve f´acilmente que x = 11 porque 5 × 11 ≡ 3 (mod 13). Las soluciones de 30x ≡ 1878 son 11, 11 + 13, 11 + 2 × 13, 11 + 3 × 13 11 + 4 × 13, 11 + 5 × 13 o 11, 24, 37, 50, 63, 76 todas distintas entre s´ı m´odulo 78 Problemas 1. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones: (a) 11 ≡ (−1) (mod 6) (e) 31 ≡ (−18) (mod 7) (b) 13 ≡ 0 (mod 2) (f) 3 ≡ 3 (mod 2) 2 (c) 10 ≡ 10 (mod 3) (g) 1 ≡ (−1) (mod 2) (d) 270 ≡ 15 (mod 5)4 (h) 90 ≡ (−1) (mod 1)3 2. Hallar el valor de b que haga que las siguientes congruencias sean v´ alidas (a) 3 ≡ b (mod 4)

(b) 10 ≡ b (mod 5)

(c) 90 ≡ b (mod 1)3

(d) 31 ≡ b (mod 7)

3. Hallar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones de congruencia (a) 330x ≡ 42 (mod 273) (e) 8x ≡ 0 (mod 13) (b) 35x ≡ 14 (mod 182) (f) 10x ≡ 2 (mod 22) (c) 18x ≡ 0 (mod 15) (g) 2x ≡ 1 (mod 7) (d) 7x ≡ 1 (mod 11) (h) 6x ≡ 3 (mod 21)

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Cap´ıtulo 5

N´ umeros Racionales Q

El conjunto de los n´ umeros racionales est´ a conformado por todos los n´ umeros de la forma x donde x, y ∈ Z y y 6= 0 y Ejemplo

Los siguientes n´ umeros son racionales −1 4 7 2 1000 0 , , , , , , 3 3 5 −2 2 100 38

Se puede afirmar que N y Z son subconjuntos de Q y que hay racionales positivos y negativos

Q=



 x | x, y ∈ Z, y 6= 0 y

= Q+ ∪ Q− ∪ {0}

Si a, b ∈ Z, b 6= 0 entonces

a −a = ∈ Q+ , b −b

−a a a = = − ∈ Q− b −b b

N⊂Z⊂Q

71

Principios B´ asicos de Aritm´etica

72

Definici´ on 5.1. Racional Puro Un n´ umero racional a/b se llama un racional puro o irreductible si a no es m´ ultiplo de b o b no es m´ ultiplo de a.

Ejemplo

Los siguientes n´ umeros son racionales puros 1 2 7 −14 , , , 3 5 4 3

§ Valor Absoluto en Q §

5.1 Definici´ on 5.2. Sea

x y

= q ∈ Q, entonces   q, |q| = 0,   −q,

Ejemplo

si q ∈ Q+ si q = 0 si q ∈ Q−

Valor Absoluto 3 3 = , 4 4

Nota:

|0| = 0,

−3 3 5 = 5

El valor absoluto de cualquier n´ umero racional es un n´ umero racional no negativo

Definici´ on 5.3. Igualdad en Q Sea

a c b, d

∈ Q+ , entonces a c = si y s´ olo si ad = bc b d

Sea

a c b, d

∈ Q− , entonces a c a c = si y s´ olo si = b d b d

dos n´ umeros racionales negativos son iguales si sus valores absolutos son iguales

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Operaciones Aritm´ eticas en Q

Definici´ on 5.4. Orden en Q+ Sea

a c b, d

∈ Q+ , entonces a c < si ad < bc b d

3 8 < 2 3 3 2 > 4 3

Ejemplo

porque

3×34×2

Definici´ on 5.5. Orden en Q− Sea

a c b, d

∈ Q− , entonces a c < b d

−3 8 >− 2 3 −3 2 b d

3 3 − = < 8 = − 8 2 2 3 3 3 3 − = > 2 = − 2 4 4 3 3

Dados dos n´ umeros racionales negativos, es menor el que tenga mayor valor absoluto.

Nota: Si a b

5.2

∈ Q+ , entonces ab > 0 (todo racional positivo es mayor que 0). Si ∈ Q− , entonces ab < 0 (todo racional negativo es menor que cero) a b

§ Operaciones Aritm´ eticas en Q §

Suma x u ∈ Q, entonces Sea , y v

x u xv + yu + = y v yv

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

73

Principios B´ asicos de Aritm´etica

74

Resta x u Sea , ∈ Q, entonces y v

xv − yu x u − = y v yv

Multiplicaci´ on a c Sea , ∈ Q, entonces b d Divisi´ on a c Sea , ∈ Q, entonces b d

a·c a c · = b d b·d

a b c d

Potenciaci´ on a Sea , ∈ Q, n ∈ Z+ , entonces b  a n an = n • b b  a 0 • = 1, si a 6= 0, b 6= 0 b  a −n bn a 0 = n , si 6= • b a b 1

=

a·d a d · = b c b·c Sea r ∈ Q, m, n, p ∈ Z entonces •

rm · rn · rp = rm+n+p

•

rm = rm · r−n rn

•

(rm ) = rm·n

n

Radicaci´ on Dado un n´ umero a ∈ Q, entonces el n´ umero r ∈ Q se llama ra´ız n-´esima de a si y s´ olo si rn = a (donde n ∈ Z, n ≥ 2). Por ejemplo: la ra´ız quinta de −1/32 es −1/2 porque  5 1 1 − =− 2 32 Ahora, la ra´ız cuadrada de 2/3 no existe, puesto que no hay un racional r = x/y tal que r2 =

2 x2 = y2 3

Existen pues raices que no pertenecen a Q y por tanto se hace necesario ampliar dicho conjunto. Propiedades de la adici´ on y la multiplicaci´ on en Q I. Clausurativa x u Si , ∈ Q −→ y v II. Conmutativa x u Si , ∈ Q −→ y v

(

( x y x y

x y x y

+ uv ∈ Q · uv ∈ Q

+ uv = uv + · uv = uv · xy

x y

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Operaciones Aritm´ eticas en Q

75

III. Asociativa  x + x u w y Si , , ∈ Q −→ x · y v z y

u v u v

+

·

w z


w z




=

= 



x y

x y

·

+ 

u v

u v

·



+

w z

w z

IV. Existencia de elementos neutros: ∀x, y ∈ Q se verifica que 0 x x x 0 + = + = y 1 1 y y x 1 1 x x · = · = y 1 1 y y como

0 1

= 0, entonces el elemento neutro para la suma es 0

como

1 1

= 1, entonces el elemento neutro para el producto es 1

V. Existencia de inversos • ∀ xy ∈ Q existe otro elemento − xy ∈ Q tal que:     x x x x = − + =0 + − y y y y − xy se llama el inverso aditivo de

x y

• ∀ xy ∈ Q, xy 6= 0 existe otro elemento

y x

∈ Q tal que:

y x x y · = · =1 y x x y y x

se llama el rec´ıproco o inverso multiplicativo de

x y

VI. Distributiva de la multiplicaci´ on respecto a la suma x u w x u x w = · + · · + y v z y v y z u v

+

w x u x w x · = · + · z y v y z y

Densidad en Q Los n´ umeros racionales tienen una propiedad importante que no poseen los sistemas hN, +, ×i y hZ, +, ×i y es la propiedad de densidad, que enunciamos de la siguiente forma Si

x u x u , ∈Q y 6= y v y v

entonces existe un n´ umero racional entre siempre existe otro n´ umero racional.

x y

y

u v,

es decir, entre dos n´ umeros racionales

En conclusi´on: el conjunto Q es un conjunto denso G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

76

Ejemplo

1 Consideremos dos racionales muy cercanos: 15 y   31 1 1 1 = + 2 15 16 480

1 16 .

Observamos que:

es un n´ umero racional tal que 31 1 1 < < 16 480 15 Ejemplos de Operaciones en Q Igualdad 3 6 = porque 3 × 10 = 5 × 6 5 10 3 3 3 3 • − = porque − = es decir 3 · 4 = 4 · 3 4 4 4 4

•

2 5 2 = · porque 2 · 7 · 5 = 7 · 2 · 5 7 7 5 Adici´on 3·5+4·1 15 + 4 19 3 1 = = • + = 4 5 4·5 20 20 7 1 7·6−4·1 42 − 4 38 19 • − = = = = 4 6 4·6 24 24 12 Multiplicaci´on •

•

−5 · 3 −15 15 −5 3 · = = = 4 −2 4 · (−2) −8 8

• 7·

7·1 7 1 = = 5 5 5

Divisi´on −1 7 −1 4 −4 4 • ÷ = · = =− 3 4 3 7 21 21 5 7 35 35 5 −3 = · = =− • ÷ 8 7 8 −3 −24 24 Potenciaci´on  4  4  4  4  4 3 5 1 4 34 54 14 44 3 5 1 4 • · · · = · · · = 4· 4· 4· 4 4 3 7 9 4 3 7 9 4 3 7 9  3  3  3  3  3  3 1 1 1 3 2 1 3 2 6 1 • · · = = = = 3 = · · 2 4 3 2 4 3 24 4 4 64 " 3 #5  3×5  15 1 1 1 1 = − = − 15 = − − • 2 2 2 2 "   −2 #6 " 3−(−2) #6 " 5 #6  30 3 1 1 1 1 1 1 ÷ = 30 = = = • 2 2 2 2 2 2 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Representaci´ on Decimal de Q

77

§ Representaci´ on Decimal de Q §

5.3

Cuando se efect´ ua la divisi´ on del numerador por el denominador de cualquier n´ umero racional, el resultado obtenido se llama la representaci´ on decimal del racional. Ejemplo

• El racional 18 se puede representar por el n´ umero decimal 0.125 porque 1 ÷ 8 da 0.125 • El racional 2.380952380 . . .

50 21

se representa por 2.380952380 . . . porque

50 21

=

Definici´ on 5.6. Fracciones Decimales Un racional a/b se llama fracci´on decimal si b es una potencia de 10 b

=

101 = 10

b b .. . b

= =

102 = 100 103 = 1000

=

10n = 1 |000{z . . . 0} n veces

Definici´ on 5.7. Unidades Decimales Se denominan unidades decimales a las fracciones decimales de numerador 1

Ejemplo

1 d´ecimas 10 1 cent´esimas • 100 1 • mil´esimas 1000 1 diezmil´esimas • 10000 •

En general, se dice que un racional a/b es en forma decimal cuando se expresa como el resultado de la divisi´ on de a por b

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

78

Ejemplo

45678/13 es

Definici´ on 5.8. Fracci´ on Propia Si en un racional el numerador es menor que el denominador, la fracci´on a/b se denomina fracci´on propia y su representaci´ on decimal tendr´ a un cero en la posici´on de las unidades. Si el numerador es mayor que el denominador, la fracci´on se llama impropia y habr´a un valor diferente de cero en la posici´on de las unidades

Ejemplo

45 = 3.75 (Fracci´ on impropia) 12 18 = 0.144 (Fracci´ on propia) 125

Definici´ on 5.9. Decimal Peri´ odico Exacto Si en una fracci´on a/b el residuo de la divisi´ on es cero, la expresi´ on decimal de llama decimal peri´ odico exacto; si el residuo de la divisi´ on no es cero y el cociente se repite indefinidamente, la expresi´ on decimal se llama decimal peri´ odico no exacto

Ejemplo

3 = 0.6 (Peri´ odico exacto, finito) 5 4 = 0.666 . . . = 0.66 Peri´ odico no exacto, infinito 6 2 = 0.285714285714 . . . = 0.285714 7

Definici´ on 5.10. Decimal Peri´ odico Puro Se llaman decimales peri´ odicos puros a aquellos n´ umeros decimales cuyo periodo que se repite empieza inmediatamente despu´es del punto decimal (o coma) Se llaman decimales peri´ odicos mixtos a aquellos n´ umeros cuyo periodo que se repite no empieza a partir de la coma sino despu´es de algunas cifras decimales G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Representaci´ on Decimal de Q

Ejemplo

79

1 1 = = 0.1666 . . . = 0.16 6 2·3

7 7 = = 0.2333 . . . = 0.23 30 2·5·3 Teorema 15. Si el racional a/b es tal que b contiene alguno de los factores primos 2 o 5 o ambos y alg´ un otro distinto a estos, la representaci´ on decimal es peri´ odica mixta. En caso contrario la representaci´ on decimal es peri´ odica pura

Ejemplo

14 14 = = 0.4666 . . . = 0.46 30 2·5·3 3 = 0.428571 7

Teorema 16. La condici´ on necesaria y suficiente para que el racional a/b sea igual a una fracci´ on decimal es que el denominador b contenga u ´nicamente los factores primos 2 o 5 o ambos

Ejemplo

3 3 3 3·2 6 = = = = = 0.06 2 2 50 2 · 25 2·5 2·5 ·2 100 4 4·2 8 = = = 0.8 5 5·2 10

Fracciones Generatrices Ahora estamos interesados en conocer de cu´ al n´ umero racional proviene una expresi´ on decimal mixta o pura conocida o dada; en otras palabras, nos interesa saber cual racional gener´ o dicha expresi´ on decimal. El numerador de la fracci´on generatriz de una expresi´ on decimal peri´ odica pura se obtiene restando la parte entera del n´ umero entero positivo formado por la parte entera seguida del periodo. El denominador es el n´ umero formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo Ejemplo

Hallar el n´ umero racional que da origen a 3.1592 3.1592 =

31592 − 3 31589 = 9999 9999

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

80

Ejemplo

La fracci´on generatriz de 0.666 . . . = 0.6 es 0.6 =

6−0 6 2 = = 9 9 3

El numerador de la fracci´on generatriz de una expresi´ on decimal peri´ odica mixta, se obtiene restando el numerador formado por la parte entera seguida de la no peri´ odica del n´ umero formado por ´estas, seguido del periodo. El denominador es el n´ umero formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no peri´ odica. Ejemplo

El racional que da origen a 15.713451 es 15.713451 =

Ejemplo

15713451 − 15713 15697738 7848869 = = 999000 999000 499500

El racional que da origen a 0.416 = 0.4161616 . . . es 412 206 416 − 4 = = 990 990 495

r=

El numerador del fracci´on generatriz de una expresi´ on decimal exacta es el n´ umero formado por la parte entera seguida de la parte decimal. El denominador es 10k donde k es el n´ umero de cifras de la parte decimal Ejemplo

El racional que da origen a 53.72117 es r=

5.4

5372117 5372117 = 105 100000

§ Reducci´ on de Fraccionarios §

Con frecuencia, cuando un n´ umero racional est´ a en forma de fracci´on, esta fracci´on se expresa en forma reducida si el MCD del numerador y el denominador es 1. Para reducir una fracci´on a su forma racional m´as simple, es necesario dividir el numerador y el denominador por el MCD de ellos mismos Ejemplo

Reducir la fracci´on 54/90 Primero hallamos M CD(54, 90) = 18. Luego dividimos numerador y denominador por el MCD 54 ÷ 18 3 54 = = 90 90 ÷ 18 5

Ejemplo

Expresar el decimal 0.65 como una fracci´on reducida 0.65 =

65 ; El MCD(65,100)=5 −→ 100

65 65 ÷ 5 13 = = 100 100 ÷ 5 20

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Comparaci´ on y Orden en los Racionales

Ejemplo

81

Expresar 0.6 como una fracci´on reducida. Sea N = 0.6. Multiplicamos a N por 10 porque s´ olo se repite un d´ıgito 10N = 6.666 . . . A esta expresi´ on le restamos N = 0.666 . . . para eliminar la parte que se repite 10N − N = 6.666 . . . − 0.666 . . . Entonces 9N = 6 −→ N =

6 9

−→ N =

es decir que 0.6 =

6÷3 2 = 9÷3 3

2 3

Nota: Obs´ervese que este procedimiento conduce a hallar la fracci´on generatriz de un decimal peri´ odico

Ejemplo

Expresar 4.23 como una fracci´on reducida. Sea N = 4.23. Multiplicamos a N por 100, porque se repiten dos d´ıgitos: 100N = 423.23. A esta expresi´ on le restamos N = 4.23 100N − N = 423.23 − 4.23 −→ 99N = 419 −→ N =

419 99

como 419 es primo, M CD(419, 99) = 1 entonces N=

5.5

23 23 419 =4+ =4 99 99 99

§ Comparaci´ on y Orden en los Racionales §

Cuando se requiere comparar dos fracciones (racionales) para establecer cu´ al es mayor, se reescribe cada fracci´on de modo que ambos tengan el mismo denominador y as´ı ya se puede hacer m´as f´acilmente la comparaci´on, s´ olo se necesita comparar los numeradores.

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

82

Ejemplo

Comparar 5/6 con 7/9 • Hallamos el MCM de los denominadores: M CM (6, 9) = 2 × 32 = 18 • Escribimos cada fracci´on de modo que ambos tengan el mismo denominador, el MCM de estos

como

5 5×3 15 = = , 6 6×3 18 15 14 > 18 18

Ejemplo

7 7×2 14 = = 9 9×2 18 5 7 > 6 9

−→

En Kenia Africa el lenguaje oficial es el Swahili y es hablado s´ olo por el 1% de la poblaci´ on. 1/5 de la poblaci´ on habla el Kikuyu y 7/50 de la poblaci´ on habla el Luo. ¿Cu´ al de estos u ´ltimos dos lenguajes es el m´as hablado? Se necesita averiguar cu´ al fracci´on es mayor, 1/5 o 7/50 • El MCM de los denominadores es M CM (5, 50) = 50 • Escribimos cada fracci´on con denominador 50 1 × 10 10 1 = = 5 5 × 10 50

como

10 7 1 7 > −→ > 50 50 5 50 entonces el Kikuyu es m´as hablado que el Luo. Nota: Otra forma de comparar n´ umeros racionales consiste en convertirlos en n´ umeros decimales y hacer la comparaci´on entre estos decimales

Ejemplo

Comparar 9/16 con 7/10 9 = 0.5625 16

7 = 0.7 10

como 0.5625 < 0.7 −→

7 9 < 16 10

Ordenaci´ on de Expresiones Decimales Finitas Para ordenar n´ umeros decimales finitos y saber cu´ al es el mayor o menor, aplicamos una regla que consta de los siguientes pasos: G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Comparaci´ on y Orden en los Racionales

83

1. Se comparan las partes enteras, siendo mayor el que tiene la parte entera mayor 2. Si las partes enteras son iguales, comparamos las d´ecimas, siendo mayor aquel n´ umero que tiene un n´ umero mayor de d´ecimas 3. Si la cifra de las d´ecimas es igual, comparamos las cent´esimas y procedemos as´ı sucesivamente hasta agotar todas las cifras decimales Ejemplo

Ordenar en forma descendente los siguientes decimales: 4.35, 3.3521, 4.3521, 3.353, 0.335 El orden es 4.3521 > 4.35 > 3.353 > 0.335

Descomposici´ on de un N´ umero Decimal Nuestro sistema de n´ umeros es un sistema posicional donde cada cifra o d´ıgito tiene un valor espec´ıfico seg´ un la posici´on que ocupe en el numeral. En base 10 la notaci´ on expresa que el valor de cada lugar inmediatamente a la izquierda de otro es 10 veces mayor que el valor de este u ´ltimo. El valor de la posici´on inmediatamente a la derecha de una posici´on dada es un d´ecimo del valor de esa posici´on. Por tanto, un n´ umero en nuestro sistema decimal est´ a compuesto de las siguientes partes

Ejemplo

el n´ umero 234,567 est´ a compuesto as´ı: 2 cent. + 3 dec. + 4 und. + 5 d´ecimas + 6 cent´esimas + 7 mil´esimas 2 × 102 + 3 × 101 + 4 × 100 + 5 ×

Ejemplo

1 1 1 +6× +7× 10 100 1000

Expresar en forma polin´ omica el siguiente n´ umero 7465132,143528 La forma polin´ omica es: 7 × 106 + 4 × 105 + 6 × 104 + 5 × 103 + 1 × 102 + 3 × 101 + 2 × 100 +1 × 10−1 + 4 × 10−2 + 3 × 10−3 + 5 × 10−4 + 2 × 10−5 + 8 × 10−6 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

84

Ejemplo

Expresar en forma polin´ omica 0.001 0 × 100 + 0 × 10−1 + 0 × 10−2 + 0 × 10−3 + 1 × 10−4

Ejemplo

Pasar a notaci´ on decimal posicional la siguiente expresi´ on 2 × 103 + 5 × 102 + 8 × 101 + 2 × 100 + 2 × 10−1 + 2 × 10−2 + 3 × 10−3 El n´ umero en notaci´ on posicional ser´a 2000 + 500 + 80 + 2 + 0.2 + 0.02 + 0.003 = 2582.223

§ Notaci´ on Cient´ıfica §

5.6

La notaci´on cient´ıfica es una forma de expresar n´ umeros grandes o muy peque˜ nos en forma tal que s´ olo contengan una cifra entera y una parte decimal, todo esto multiplicado por una potencia de 10 Ejemplo

32000000 se escribe en notaci´ on cient´ıfica como 3.2 × 107

Ejemplo

Escribir en notaci´ on cient´ıfica los siguientes valores a) 3.75 millones −→ 3.75 × 106

Ejemplo

b) 14 billones

−→ 1.4 × 1013

c) 0.000068

−→ 6.8 × 10−5

d) 0.00000023

−→ 2.3 × 10−7

Expresar en forma est´ andar (decimal) a) 4.1108 × 106 −→ 4110800 b) 9.05 × 109

−→ 9050000000

c) 6.08 × 10−5 −→ 0.0000608 Conclusi´on: Un n´ umero escrito en notaci´ on cient´ıfica consta de un n´ umero entre 1 y 9 multiplicado por una potencia de 10 de exponente positivo o negativo. Para hallar el exponente de 10 se cuenta el n´ umero de lugares que se mueve el punto decimal. Si el punto se mueve hacia la derecha el exponente es negativo; si el punto se mueve hacia la izquierda, el exponente es positivo. Ejemplo

a) 0.00528 −→ 0.00528 = 5.28 × 10−3 b) 52800 −→ 52800 = 5.28 × 104

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Notaci´ on Cient´ıfica

85

Operaciones con N´ umeros en Notaci´ on Cient´ıfica 1. Multiplicaci´on (a) (7.44 × 10−5 )(4.15 × 102 ) = 7.44 × 4.15 × 10−5 × 102 =

= 30.876 × 10−3 = 3.0876 × 10−2

(b) (8.7 × 1018 )(4.9 × 10−6 ) = 8.7 × 4.9 × 1018 × 10−6 =

= 42.63 × 1012 = 4.263 × 1013

2. Divisi´on (a) 2.4015 2.4015 × 1020 = × 106 = 0.44887 × 106 = 4.4887 × 105 5.35 × 1014 5.35 (b) 7.25 × 10−2 = 5.4924 × 103 1.32 × 10−5 3. Potenciaci´on (a) (0.00392)−3 = (3.92 × 10−3 )−3 = 3.92−3 × 109 (b) [(170)2 ]13 = [(1.7 × 102 )2 ]13 = 1.726 × 1052 =

= 981006.66 × 1052 = 9.8100666 × 1057

4. Radicaci´ on (a) (b)

Problemas

p p 6

1.12 × 104 = (1.12 × 104 )1/2 = 1.06 × 102

4.28 × 105 = (4.28 × 105 )1/6 = 4.281/6 × 105/6

1. ¿Cu´ al es la diferencia entre el 40% de una cantidad y los dos quintos de esa misma cantidad? 2. ¿Cu´ antos decimales tiene la fracci´on

1 2000 ?

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

86

3. Escriba las fracciones mixtas correspondientes a las fracciones impropias: 100 76 9 , 12

3 15 9 2 , 10 , 4 ,

4. Represente las siguientes fracciones en forma decimal: 7/9, 18/5, 12/11, 5/33, 1/14, 13/15, 26/99, 5/101 5. Obtenga la fracci´on generatriz de las siguientes expresiones decimales: (a) 0.235 (b) −5.171717 . . . (c) 3.1513

(d) −7.03252525 . . . (e) 19.09

(f) −0.714285

(g) 0.000252525 . . . 6. Resuelva los siguientes ejercicios de conversi´on de fracciones entre los sistemas de representaci´ on que se indican: (a) 4/5 a decimal (b) 2.5 a fracci´on num´erica (c) 200% a decimal (d) 13/20 a porcentaje (e) 7 a porcentaje (f) 6/2 a decimal (g) 6/2 a porcentaje 7. Halle la fracci´on irreducible en cada caso: 28/140, 36/24, 18/108, 13/65, 42/60, 76/12, 54/24, 56/24, 15/16 8. Expresar cada decimal como una fracci´on o un n´ umero mixto reducido a) b) c) d)

0.73 0.53 0.42 −0.234

e) f) g) h)

−2.6 9.06 −3.18 5.2325

9. Determine si los siguientes pares de fracciones son equivalentes: (a) (b) (c) (d) (e)

3 24 5 y 40 39 18 24 y 52 54 9 33 y 200 35 60 24 y 14 27 3 100 y 11

10. La longitud del monstruo del lago encantado es de 20 metros, m´as la mitad de su propia longitud. ¿Cu´ anto mide de largo el monstruo? G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Notaci´ on Cient´ıfica

87

11. En cada una de las sucesiones siguientes, averiguar el valor de la fracci´on omitida: (a) (b)

11 10 , 12 18 ,

9 7 7 , 4 , . . ., 8 10 14 2 12 , 15 , 21 , 3 ,

. . .,

12. La diferencia entre el 60% y el 45% de un n´ umero es 30. ¿De qu´e n´ umero se trata? 13. Un sastre compr´o la mitad de 9 metros de tela y utiliz´ o 4 21 metros. ¿Cu´ anta tela sobr´o? 14. Descomponer forma polin´ omica los siguientes n´ umeros (a) 0.95478 (c) 3.0074 (b) 47910.0035 (d) 1110.0111 15. Pasar a notaci´ on decimal las siguientes expresiones (a) 4 × 104 + 7 × 105 + 9 × 104 + 2 × 10−1 + 6 × 10−2

(b) 6 × 106 + 1 × 103 + 7 × 10−2 + 6 × 10−4

16. Indique cu´ ales de las siguientes expresiones no representan a la fracci´on 4/3: (a) 1.333 . . . (b)

1 3

×4

(c) 1 +

1 3

(d) 1 13 (e) 133% 17. ¿Cu´ antos libros hay en una biblioteca, si al intentar sumar la mitad m´as la tercera y la cuarta parte de los mismos nos exceder´ıamos en 3 del total de los libros? 18. Si

m n

+

6 8

= 34 , ¿cu´ anto vale m? ¿Y n?

19. En una casa de tres pisos, los dos primeros juntos miden 5 18 m de altura. Si la altura total de la casa es de 7 34 m, ¿cu´ al es la altura del tercer piso? 20. Diana tiene 17 14 a˜ nos de edad. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene su hermana, si es 2 43 a˜ nos m´as joven que Diana? 21. ¿Cu´ anto es el doble de 1/2, m´as la mitad de 1/2? 22. ¿Cu´ antos litros tiene un recipiente que se ha llenado con los 5/6 de 12 botellas de 1/2 litro cada una? 23. Dos quintas partes de un n´ umero es el doble de 15. ¿Cu´ al es el n´ umero? 24. ¿Cu´ antas unidades hay que agregar al denominador de 2/3 para que la fracci´on se reduzca a su mitad? 25. Vaciando 18 litros de gasolina en el tanque de un carro, el indicador del nivel de gasolina pasa de 1/4 a 5/8 de tanque. ¿Cu´ al es la capacidad total del tanque? 26. Un equipo de f´ utbol tiene que ganar, al menos, 3/5 de todos sus partidos si quiere pasar a la fase final. Hasta ahora, de 12 partidos s´ olo ha ganado el 50%. Si faltan 13 partidos, ¿cu´ antos de ´estos debe ganar, al menos, para clasificar a la fase final? G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

88

Principios B´ asicos de Aritm´etica

27. ¿Cu´ al es el 50% del 150% de 50? 28. Llevo dos d´ıas leyendo una novela. Ayer le´ı la mitad del libro y hoy la tercera parte de lo que me quedaba. ¿Qu´e fracci´on del libro me falta por leer? 29. Una piscina vac´ıa se llena con el agua de un grifo en 2 horas y, una vez llena, puede vaciarse en 3 horas por un desag¨ ue ubicado en el fondo. Si con la piscina vac´ıa y el desag¨ ue abierto, alguien, distra´ıdamente, abre el grifo, ¿al cabo de cu´ anto tiempo empezar´a a desbordarse el agua de la piscina? 30. En un sal´on hay 99 ni˜ nas y 1 ni˜ no. ¿Cu´ antas ni˜ nas tienen que salir del sal´on para que las que queden representen el 98% del total de infantes que quedan en el sal´on? 31. En un almac´en se produjo una invasi´on de insectos da˜ ninos. A pesar de que se fumig´ o con un determinado producto, los insectos no han desaparecido. Consultado sobre el caso, otro experto asegura que ese insecticida pierde cada semana un 25% de la toxicidad que mostraba la semana anterior. Si, actualmente, el insecticida ya ha llegado a tener menos del 20% del agente t´ oxico que mata a los insectos, ¿hace cu´ antas semanas que se fumig´ o? 32. Decida si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa: (a) El valor de una fracci´on no var´ıa si se multiplican numerador y denominador por una misma cantidad > 1 ´ (b) Idem, si se suma o resta una misma cantidad > 0 al numerador y al denominador (c) La suma de dos fracciones propias es siempre mayor que la unidad (d) La suma de dos fracciones es siempre mayor que cada una de ellas (e) La suma de dos fracciones propias no puede ser nunca un n´ umero entero (f) En alguna oportunidad, el producto de dos fracciones puede ser igual a una de ellas (g) Al dividir una fracci´on entre otra, el resultado nunca puede ser mayor que la primera fracci´on (h) Al multiplicar dos fracciones, el producto siempre es mayor que cada una de ellas 33. El 70% de los habitantes de un pa´ıs habla un idioma y el 60% de los mismos habitantes habla otro idioma. Si cada habitante habla al menos 1 idioma, ¿qu´e porcentaje de los mismos habla los dos idiomas? 34. Si a los 2/3 de un n´ umero se le suman 24 unidades, se obtiene el doble del n´ umero. ¿De qu´e n´ umero se trata? 35. Se ha recibido un determinado n´ umero de solicitudes para un empleo. La mitad ha sido rechazada por no cumplir los requisitos. Otros 3 candidatos se excluyen despu´es de la entrevista. El resto, 2/5 del n´ umero inicial de candidatos, pasa a otra etapa de selecci´on. ¿Cu´ antas solicitudes se recibieron? 36. Hallar la mitad de los tres cuartos de dos tercios. 37. Llevo recorridos 7/15 de un camino y a´ un me falta 1/3 de km para llegar a la mitad. ¿Cu´ al es la longitud del camino? G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Notaci´ on Cient´ıfica

89

38. Tres n´ umeros naturales consecutivos son tales que 2/3 del mayor m´as 2/5 del intermedio suman igual que el menor m´as 3 unidades. ¿Cu´ ales son los n´ umeros? 39. Rosa ha pasado 2/5 de sus vacaciones en la casa de su hermano; 1/3, en la de su abuelita; 1/5, en un campamento, y 3 d´ıas de retiro. ¿Cu´ anto duraron sus vacaciones?

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Cap´ıtulo 6

Razones y Proporciones

§ Razones §

6.1 Definici´ on 6.1. Raz´ on

Raz´ on es la relaci´ on que se establece entre dos cantidades de la misma especie, considerando al compararlas, qu´e m´ ultiplo, parte o partes, es una cantidad de la otra Una raz´ on expresa el n´ umero de veces que una cantidad contiene a otra; en consecuencia toda raz´ on es una cantidad abstracta. Ejemplo

El p´oker es un juego de cartas formado por 52 cartas distribuidas en 4 palos: tr´ebol, coraz´on, picas y diamantes. 13 cartas de cada palo Palos

1 al 10

J

Q

K

Total

Picas

10

1

1

1

13

Corazones

10

1

1

1

13

Tr´eboles

10

1

1

1

13

Diamantes

10

1

1

1

13 52

Las figuras son J, Q, K 3 para cada palo, 12 en total. El n´ umero de figuras con relaci´ on al total de cartas es 12 a 52 o 12 : 52 o 12/52 o 12 de 52. El n´ umero de diamantes con relaci´ on al total es 13 a 52 o 13 : 52 o 13/52 o 13 de 52. Tambi´en se puede decir que las figuras est´ an en raz´ on 12 a 52 con relaci´ on al total Una forma com´ un de expresar una raz´ on es como una fracci´on reducida Ejemplo

12/52 = 3/13. Se obtiene el MCD de 12 y 52 que es 4 y se divide el numerador y el denominador por el MCD 91

Principios B´ asicos de Aritm´etica

92

Ejemplo

De un conjunto de 10 veh´ıculos, 4 son Ford. En qu´e raz´ on se encuentran los veh´ıculos Ford con relaci´ on al total de veh´ıculos?. Los Ford son 4 de 10 es decir 4 : 10 = 4/10 = 2/5 as´ı que 2/5 de los veh´ıculos del conjunto son Ford o tambi´en decimos que hay 2 Ford por cada 5 veh´ıculos.

Nota: Para que dos cantidades se puedan comparar o expresar en forma de raz´ on, deben estar expresadas en la misma magnitud. As´ı, la raz´ on de 2m a 15dm se expresa como 4 2 × 10 es decir de dec´ımetro 15 3

Definici´ on 6.2. Tasa Si las dos cantidades tienen unidades diferentes (es decir que son de diferente especie) la raz´ on entre ellas se llama tasa

Ejemplo

Cu´al es la tasa de velocidad de un m´ovil que recorre 125Km en 2 horas? Tasa

125Km 62.5 Km = = 62.5Km/h 2hora 1 h

En general, una tasa es una raz´ on de dos medidas expresadas en diferentes medidas. Generalmente, las tasas se expresan en forma tal que el denominador es 1. Ejemplo

En cierta regi´ on del pa´ıs la precipitaci´on de lluvia es de 7cm3 en 28 d´ıas. Cu´al es la tasa de precipitaci´on por d´ıa Tasa por d´ıa =

Ejemplo

7cm3 0.25cm3 = = 0.25cm3 por d´ıa 28dias 1

18.32 onzas del producto x valen $5839. Cu´al es el precio por onza Tasa =

$5839 = $318.72 por onza 18.32onzas

Definici´ on 6.3. La raz´ on de A a B se expresa como A : B o A/B. Las cantidades A y B se llaman t´erminos de la raz´ on, al primer t´ermino se le llama antedecedente y al segundo se le llama consecuente G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Razones

93

Propiedades de las Razones I. El valor de una raz´ on no se altera si el antecedente y el consecuente se multiplican o se dividen por la misma cantidad a ma = , la raz´ on a : b es igual a la raz´ on ma : mb b mb II. Dos o m´as razones pueden ser comparadas reduciendo sus fracciones equivalentes a un denominador com´ un a : b y x : y,

−→

ay x bx a = y = b bx y by

a : b > x : y si ay > bx a : b < x : y si ay < bx a : b = x : y si ay = bx III. La raz´ on de dos fracciones puede expresarse como una raz´ on de dos enteros. La raz´ on

a c : se mide por la fracci´on b d

a b c d

=

ad bc

−→ ad : bc

Definici´ on 6.4. Cantidades Conmensurables Si la raz´ on de dos cantidades cualesquiera puede ser expresada exactamente por la raz´ on de dos enteros, dichas cantidades se llaman conmensurables; si no se verifica esto, se les llama inconmensurables.

Ejemplo

2302/38 Raz´ on de cantidades conmensurables √

5/4 Raz´ on de cantidades inconmensurables

Definici´ on 6.5. Raz´ on Compuesta Raz´ on compuesta es la que resulta de multiplicar varias razones

2a 6ab c 4a × 2 × = 3b 5c a 5c

Ejemplo

Definici´ on 6.6. Raz´ on Duplicada Cuando la raz´ on a : b es compuesta con ella misma, la raz´ on resultante es a2 : b2 y se llama raz´ on duplicada. De igual manera se obtiene a3 : b3 , . . . , a n : bn G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

94

Ejemplo

La raz´ on duplicada de 2a : 3b es 4a2 : 9b2 La raz´ on triplicada de 2x : 1 es 8x3 : 1

Definici´ on 6.7. Una raz´ on es de mayor desigualdad cuando el antecedente es mayor; es de menor desigualdad cuando el antecedente es menor que el consecuente; es de igualdad cuando el antecedente es igual al consecuente

Teorema 17. Una raz´ on de mayor desigualdad disminuye si se le suma a los dos t´erminos una misma cantidad. Una raz´ on de menor desigualdad aumenta si se le suma a los dos t´erminos una misma cantidad a a+x Si a > b −→ > b b+x a a+x Si a < b −→ < b b+x

Ejemplo

3 y x = 5 −→ 7

3 3+5 3 8 < < 7 7+5 7 12

7 y x = 5 −→ 3

7 7+5 7 12 > > 3 3+5 3 8

Si x se resta de los dos t´erminos de la desigualdad, entonces

Ejemplo

Si a > b −→

a−x a < b b−x

Si a < b −→

a−x a > b b−x

9 y x = 2 −→ 7

9 9−2 < 7 7−2

4 y x = 2 −→ 5

4 4−2 > 5 5−2

−→

9 7 < 7 5

−→

4 2 > 5 3

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Proporciones

95

§ Proporciones §

6.2 Definici´ on 6.8. Proporci´ on

Cuando dos razones son iguales, se dice que las cuatro cantidades que las componen son proporcionales. As´ı, si ab = dc ,entonces a, b, c, d son proporcionales y se nota como a : b :: c : d o a : b = c : d

Los t´erminos a y d se llaman extremos y los t´erminos b y c se llaman medios. Por definici´on a c = b d

←→ ad = bc

Si se conocen tres t´erminos cualesquiera de una proporci´ on, puede encontrarse el cuarto. As´ı, si se conoce a, c, d el cuarto t´ermino ser´a b = ad c Ejemplo

Para las razones 15/3 y 45/9 los extremos son 15 y 9; los medios son 3 y 45. Como 15 × 9 = 135 y 3 × 45 = 135, entonces el producto de los extremos es igual al producto de los medios y por lo tanto las dos razones son iguales es decir que forman una proporci´ on: 45 15 = 3 9

Ejemplo

Si

c 30 5 = entonces 5 × 6 = 3c y por tanto c = = 10 3 6 3

Series de Razones Iguales Una expresi´ on de la forma

3 15 30 = = = ··· 2 10 20 se denomina una serie de razones iguales. Teorema 18. En una serie de razones iguales, la suma de los antecedente dividida entre la suma de los consecuentes es igual a cualquiera de las razones dadas. Es decir que a c e a+c+e a c e si = = −→ = o o b d f b+d+f b d f

Ejemplo

1 3 4 = = 2 6 8

−→

1+3+4 8 1 3 4 = = = = 2+6+8 16 2 6 8

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

96

Teorema 19. Si

c e a = = = ··· b d f

entonces cada una de estas razones es igual a 

pan + qcn + ren + · · · pbn + qdb n + rf n + · · ·

1/n

donde p, q, r, n son enteros

Ejemplo

Sea

2 6 4 = = , 3 9 6 r 3

P = 3, q = 2, r = 5, n = 3

2 6 4 3 × 23 + 2 × 63 + 5 × 43 = = = 3 × 33 + 2 × 93 + 5 × 63 3 9 6

Definici´ on 6.9. Proporci´ on Continua Se dice que varias cantidades est´ an en proporci´ on continua cuando la primera es a la segunda, como la segunda es a la tercera, como la tercera es a la cuarta, etc. As´ı, a, b, c, d, . . . est´ an en proporci´ on continua cuando b c a = = = ... b c d

Si 3 cantidades a, b, c forman una proporci´ on continua se tiene b a = b c

−→ ac = b2

En este caso se dice que b es media proporcional entre a y c y que c es tercera proporcional aayb Teorema 20. Si 3 cantidades forman una proporci´ on continua, la raz´ on de la primera a la tercera es igual a la raz´ on duplicada de la primera a la segunda. Es decir que b a a b a a a2 a = −→ = × = × = 2 −→ a : c = a2 : b2 si b c c b c b b b

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Magnitudes Proporcionales

97

Teorema 21. Si

a c e g = , y = b d f h

Demostraci´ on. Si

−→

ae cg = bf dh

a c e g = , y = b d f h

entonces

c g a e · = · b f d h

Corolario: Si

−→

a c b d = , y = b d x y

ae cg = bf dh

−→

a c = x y

Propiedades de las Proporciones I. Si

a c = b d

a c = b d c a III. Si = b d II. Si

IV. Si V. Si

6.3

a c = b d

−→ −→ −→ −→

c e a = = b d f

a b d c d b = , = , = c d b a c a a+b c+d a−b c−d = y = b d b d a c = a±b c±d a+b c+d = a−b c−d −→

a+c+e a c e = = = b+d+f b d f

§ Magnitudes Proporcionales §

Definici´ on 6.10. Proporcionalidad Directa Se dice que una magnitud A es directamente proporcional a otra B o que var´ıa proporcionalmente a B, cuando la raz´ on de dos valores de la primera es igual a la raz´ on de los valores correspondientes en la segunda. En otras palabras, A y B son directamente proporcionales cuando la raz´ on de sus medidas es constante. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

98

Ejemplo

Ejemplo

Se est´ a llenando un recipiente con un l´ıquido de tal manera que cada segundo el volumen del l´ıquido aumenta en 5 litros. La cantidad de l´ıquido y el tiempo ser´an cantidades directamente proporcionales porque la raz´ on del volumen (V ) al tiempo (T ) es constante e igual a 5 Tiempo

Volumen

V /T

1 seg

5lts

5/1 = 5

2 seg

10lts

10/2 = 5

3 seg

15lts

15/3 = 5

Si un tren con movimiento uniforme recorre 40km en 60min, recorrer´a 20km en 30min, 80km en 120min, etc; la raz´ on de dos espacios (40 : 20) es igual a la raz´ on de los tiempos correpondientes (60 : 30) 40km 20km = 30min 60min

−→

30min 60min = 20km 40km

−→

40km 60min = 20km 30min

entonces 40 : 20 = 60 : 30 En un movimiento uniforme el espacio es proporcional al tiempo Definici´ on 6.11. Si m es la medida de la cantidad A y n la de la cantidad B y A y B son directamente proporcionales,entonces m n = k = constante de proporcionalidad y m = kn −→ A = kB

Definici´ on 6.12. Magnitudes Inversamente Proporcionales Una magnitud A es inversamente proporcional a otra B, cuando A es directamente proporcional a la rec´ıproca de B. As´ı, si A es inversamente proporcional a B, entonces A = k/B, k constante, entonces A · B = k

Definici´ on 6.13. Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando el producto de sus medidas es constante G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Magnitudes Proporcionales

Ejemplo

99

Si 6 hombres hacen determinado trabajo en 8 horas y 12 lo hacen en 4 horas, entonces 2 hombres lo har´ an en 24 horas. El n´ umero de hombres es inversamente proporcional al tiempo empleado, pues si se multiplica el n´ umero de hombres por 2 el tiempo se reduce a la mitad y viceversa

Definici´ on 6.14. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una cantidad cualquiera de ellas por un n´ umero cualquiera, la correspondiente cantidad de la otra queda dividida por el mismo n´ umero

Ejemplo

La siguiente tabla muestra las medidas de todos los rect´angulos que tienen ´ area 60cm2 y cuyo ancho y largo son n´ umeros enteros Ancho

1

2

3

4

5

6

Largo

60

30

20

15

12

10

Obs´ervese que a medida que el ancho aumenta, el largo disminuye proporcionalmente porque el producto del ancho y el largo correspondiente, siempre es 60. Si se aumenta el ancho se necesita menos largo para llegar a 60. Si se aumenta el largo se necesita menos ancho para llegar a 60

Ejemplo

El tiempo empleado por un auto para recorrer una cierta distancia es inversamente proporcional a la velocidad, porque a mayor velocidad menos tiempo y a menor velocidad m´as tiempo. Supongamos que la distancia es d = 100Km Si v = 100Kh/h −→ t = 1

100 · 1 = 100

Si v = 50Kh/h −→ t = 2

50 · 2 = 100

Si v = 25Kh/h −→ t = 4

25 · 4 = 100

Definici´ on 6.15. Una magnitud es directamente proporcional a otras varias, cuando lo es directamente a su producto. Es decir, si A = mbc entonces A es directamente proporcional a B, A es directamente proporcional a C

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

100

Ejemplo

El rendimiento producido por un capital es directamente proporcional al capital invertido, al tiempo y a la tasa de inter´es.

Definici´ on 6.16. A es directamente proporcional a B e inversamente a C cuando A es proporcional a B/C

Ejemplo

En la teor´ıa de los gases se encuentra experimentalmente que la presi´ on p de un gas es directamente proporcional a la temperatura t cuando su volumen v se mantiene constante, e inversamente proporcional al volumen cuando la temperatura permanece constante; esto es p ∝ t, p∝

cuando v es constante

1 v,

p ∝ vt , Entonces

Ejemplo

cuando t es constante cuando t y v son variables

pv = kt, k constante

La duraci´on de un viaje de un tren a vapor var´ıa directamente a la distancia e inversamente a la velocidad. La velocidad es directamente proporcional a la ra´ız cuadrada de la cantidad de carb´on consumido por kil´ometro, e inversamente proporcional al n´ umero de vagones del tren. Para recorrer 40Km en 1/2h y con 18 vagones, consume 560Kgr. de carb´on. Cu´anto carb´on se consumir´a en un viaje de 30Km hecho en 28 minutos y con 16 de vagones? t = tiempo en horas

q =Kgrs. de carb´on consumido/Km.

d distancia en Km.

c = n´ umero de vagones

v = velocidad en Km/h Seg´ un el enunciado: t∝

√ q d y v∝ v c

entonces t∝ √

d q/c

cd −→ t ∝ √ q

cd −→ t = k √ , k constante q

sustituyendo por los valores dados se tiene: q=

560Kg 1 18 × 40 = 14Kg/Km, =k √ 40Km 2 14

entonces

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Regla de Tres

√

√ 14 14 k= = 18 × 40 × 2 1440

101

√ 14 cd −→ t = ·√ 1440 q

sustituyendo ahora los valores t, c, d dados por el problema tenemos √ √ √ 28 14 16 × 30 14 16 × 30 × 60 5 14 50 √ −→ q= = · √ · = = 60 1440 q 1440 28 7 7 es decir 50 Kgrs. por cada 7 kil´ometros. En total requiere 50 × 30 = 214.4 Kg de carb´on 7

§ Regla de Tres §

6.4

El m´etodo matem´atico conocido como regla de tres no es m´as que la soluci´ on de una proporci´ on, donde se conocen 3 t´erminos y se desconoce el 4 t´ermino. a) La regla de tres simple directa es un m´etodo para resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales b) cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, se tiene un problema de regla de tres simple inversa Ejemplo

Un m´ovil recorre a velocidad constante 100Km en 2 horas. Cu´antos Km recorrer´a en 10 horas? La distancia recorrida y el tiempo empleado son directamente proporcionales. Sea x la distancia buscada

Ejemplo

distancia

tiempo

100Km

2h

x

10h

Entonces

100 x = 2 10

y as´ı 2x = 100 × 10 −→ x = 500 + Km

Si 25 puntos de evaluaci´ on de un test corresponden a una nota o calificaci´on de 5, qu´e nota le corresponde a una evaluaci´ on de 17.5 puntos puntos

nota

25

5

17.5

x

Entonces 25 17.5 = 5 x

−→ x =

17.5 × 5 = 3.5 25

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

102

Ejemplo

Con cierta cantidad de dinero se pueden comprar 15 art´ıculos de $5000c/u. Si se aumenta el precio de cada art´ıculo a $7500, cu´ antos art´ıculos se pueden comprar con la misma cantidad de dinero? El precio y el n´ umero de art´ıculos comprados son inversamente proporcionales. Sea x el n´ umero de art´ıculos comprados al nuevo precio, entonces

Ejemplo

precio

art´ıculos

5000

15

7500

x

Entonces 5000 x 5000 × 15 = −→ x = 7500 15 7500

−→ x = 10

Cinco hombres trabajando al mismo ritmo demoran 20 d´ıas en hacer un trabajo. Cu´antos d´ıas demorar´ an 25 hombres? El n´ umero de trabajadores y el tiempo empleado son inversamente proporcionales. El producto de sus medidas es constante: 5 × 20 = k. Sea x el tiempo buscado y k la constante de proporcionalidad

Ejemplo

hombres

tiempo

5

20d´ıas

25

xd´ıas

Entonces x=

5 × 20 100 = = 4 d´ıas 25 25

3 m´aquinas hacen 120m de carretera en un d´ıa. Cu´antas m´aquinas se necesitan para hacer 400m? El n´ umero de m´aquinas y la cantidad de trabajo son directamente proporcionales. Sea x el n´ umero de m´aquinas buscado

6.5

maquinas

metros

3

120

x

400

Entonces 3 x 3 × 400 = −→ x = = 10 m´aq. 120 400 120

§ Magnitudes Proporcionales a Varias §

En algunas situaciones se necesita trabajar con magnitudes que dependen simult´ aneamente de otras, tanto en forma directamente proporcional como en forma inversa

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Regla de Tres Compuesta

Ejemplo

103

El n´ umero de d´ıas (t) empleados para realizar una obra depende de las siguientes magnitudes a N´ umero de obreros b Horas trabajadas al d´ıa c Dificultad de la obra Obs´ervese que t es inversamente proporcional a a) y b); c) es directamente proporcional a a), b) y t

Propiedad Fundamental de la Proporcionalidad Compuesta Si A es proporcional a B, C y D, la raz´on de dos cantidades cualesquiera de A es igual al producto de las razones correspondientes en B, C y D, escritas en forma directa o inversa de acuero a si la proporcionalidad de A con B, C y D es directa o inversa

Ejemplo

Sup´ongase que A es proporcional a B y C e inversamente proporcional a D. Si a1 , a2 de A les correponden los valores b1 y b2 de B, c1 y c2 de C y d1 y d2 de D, entonces a1 b1 c 1 d 2 = · · a2 b2 c 2 d 1

6.6

§ Regla de Tres Compuesta §

La regla de tres compuesta consiste en solucionar proporcionales compuestas, donde se desconoce uno de los t´erminos de la raz´ on de la magnitud buscada Regla Pr´ actica: Se compara la magnitud de la incognita con cada una de las otras (considerando constantes las dem´ as). Se ubica el signo + encima de las que son directamente proporcionales y el signo − encima de las que son inversamente proporcionales. Se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

104

Ejemplo

30 m´aquinas producen 10000 art´ıculos en 2 d´ıas. Cu´antas m´aquinas se necesitan para producir 50000 art´ıculos en 6 d´ıas Maq.

Art.

D´ıas

+

−

30

10000

2

x

50000

6

30 10000 6 = · x 50000 2

El n´ umero de m´aquinas es directamente proporcional al n´ umero de art´ıculos e inversamente proporcional al tiempo empleado

−→

30 3 = x 5

−→ 3x = 30 × 5

As´ı,

150 = 50 m´aquinas 3 Obs´ervese que la raz´ on correspondiente a los d´ıas se toma invertido x=

Ejemplo

10 bombillos consumen $5000 en 1 mes, estando encendidos 8 horas al d´ıa. Cu´anto consumir´ an 16 bombillos en 5 meses encendidos 10 horas diarias? consumo en $

# bombillos

tiempo

horas diarias

+

+

+

5000

10

1

8

x

16

5

10

Las magnitudes son todas directamente proporcionales con el valor del consumo. Aplicando la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta se obtiene: 5000 10 1 8 = · · x 16 5 10

−→

x 16 5 10 = · · 5000 10 1 8

−→

x 800 = 5000 80

As´ı, x = 5000 × 10 = 50000 pesos

6.7

§ Reparto Proporcional §

En algunas ocasiones se necesita repartir una cantidad determinada en partes proporcionales a otras Reparto Directo Repartir la cantidad A en partes directamente proporcionales a los valores a, b y c.

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Reparto Proporcional

105

Necesitamos repartir A en partes x, y y z en forma tal que formen razones iguales con a, b y c: y z x = = y x+y+z =A a b c Si aplicamos a la serie de razones iguales la propiedad fundamental se obiene: x x+y+z y x+y+z z x+y+z = , = = a+b+c a a+b+c b a+b+c c entonces

A x A y A z = , = , = a+b+c a a+b+c b a+b+c c

y as´ı x= Ejemplo

b·A c·A a·A , y= , z= a+b+c a+b+c a+b+c

Tres personas ganaron en un negocio $500000. El primero aport´o $2000, el segundo $3000 y el tercero $5000. Cu´anto le corresponde a c/u? Sea x, y y z las partes que les correponden respectivamente. Sea a, b y c los aportes: a = $2000, b = $3000 y c = $5000 x=

a·A 2000 × 500000 = = $100000 a+b+c 2000 + 3000 + 5000

3000 × 500000 b·A = = $150000 a+b+c 2000 + 3000 + 5000 a·A 5000 × 500000 z= = = $250000 a+b+c 2000 + 3000 + 5000

y=

x + y + z = $100000 + $150000 + $250000 = A Reparto Inversamente Proporcional Repartir la cantidad A en partes inversamente proporcionales a los n´ umeros a, b, c es descomponer A en partes que formen con los inversos de a, b, c razones iguales, es decir: x 1 a

=

y 1 b

z

=

y

1 c

x+y+z =A

Por la propiedad fundamental se obtiene x x+y+z 1 1 = 1, +b+c a

1 a

entonces

A 1 a

+

1 b

+

1 c

=

x 1 a

,

x+y+z y 1 1 = 1, +b+c b

1 a

A 1 a

+

1 b

+

1 c

=

y 1 b

,

x+y+z z 1 1 = 1 +b+c c

1 a

A 1 a

+

1 b

+

1 c

=

y as´ı, x=

1 b

1 a

1 a

·A , y= 1 + b + 1c

1 a

·A , z= + 1b + 1c

1 c

1 a

·A + 1b +

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

1 c

z 1 c

Principios B´ asicos de Aritm´etica

106

Ejemplo

Se desea repartir una herencia de $5′ 000.000 entre 4 herederos en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 5, 10, 15 y 20 a˜ nos (al de menor edad le corresponde la mayor parte) A = $5′ 000.000; a = 5, b = 10, c = 15, d = 20; x, y, z, m: partes en que se reparte A, x + y + z + m = $5′ 000.000 x

=

1 5

y

1 5

=

1 10

z 1 15

1 5

=

5′ 000.000 1 1 + 10 + 15 +

1 20

5′ 000.000 1 1 + 10 + 15 + 1 5

−→ x =

1 20

5′ 000.000 m = 1 1 1 1 1 + + + 20 5 10 15 20

6.8

× 5′ 000.000 ′ 1 1 1 = $2 400.000 + 10 + 15 + 20

1 5

−→ y =

1 20

5′ 000.000 1 1 + 10 + 15 +

1 5

−→ z =

1 10 1 5

× 5′ 000.000 ′ 1 1 1 = $1 200.000 + 10 + 15 + 20 1 15

1 5

× 5′ 000.000 1 1 1 = $800.000 + 10 + 15 + 20

1 × 5′ 000.000 20 −→ m = = $600.000 1 1 1 1 + + + 5 10 15 20

§ Porcentaje o Tanto por Ciento §

Las fracciones comunes se pueden expresar como fracciones decimales por amplificaci´on y luego a porcentaje Ejemplo

Pasar a porcentaje las fracciones 3/4 y 7/50 3 × 25 75 3 = = = 0.75 = 75% 4 4 × 25 100 7 7×2 14 = = = 0.14 = 14% 50 50 × 2 100

Un porcentaje se puede expresar como una fracci´on Ejemplo

· 32% = 0.32 =

32 100

=

8 25

· 15% = 0.15 =

15 100

=

3 20

125 100

=

· 125% = 0.125 = · 7.5% = 0.075 =

7.5 100

=

5 4 75 1000

=

15 200

El concepto de tanto por ciento (%) o porcentaje est´ a intimamente ligado con el de raz´ on. As´ı cuando enunciamos “El n´ umero de elementos en el conjunto A es el 27% del n´ umero de elementos del conjunto B, queremos decir que en el conjunto A hay 27 elementos por cada 100 elementos que haya en el conjunto B, o que el n´ umero de elementos de A es G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Porcentaje

107

27/100 del n´ umero de elementos de B o que la raz´ on entre el n´ umero de elementos de A y B es 27 a 100” En general, llamamos tanto por ciento de un n´ umero a, una o varias de las 100 partes iguales en que se puede dividir el n´ umero a Ejemplo

El conjunto A tiene 700 objetos. Si el n´ umero de elementos de otro conjunto B, es el 15% de los elementos de A. Cu´antos elementos tiene B? Los 700 objetos de A, representan el 100%. Los x elementos de B representan el 15%. Entonces 100 700 = x 15

−→

x 15 = 700 100

−→ x =

700 × 15 = 105 100

El conjunto B tiene 105 elementos

Ejemplo

El 30% de los quindianos casados equivale a 47832. Cu´antos quindianos casados hay en total? El n´ umero x o total de casados equivale al 100%. El 30% de x equivale 47832. Luego el total x es 30% de x = 47832 −→

30 x = 47832 100

entonces 0.3x = 47832 −→ x = Ejemplo

47832 = 159440 casados 0.3

De 458 estudiantes de matem´aticas hay 46 con matr´ıcula condicional. Cu´al es el porcentaje de estudiantes con matr´ıcula condicional El total de estudiantes 458 equivale al 100%. 46 con matr´ıcula condicional equivale a x% 458 100 = 46 x

−→

x 100 = 46 458

−→ x =

46 × 100 = 10.04% 458

Tanto por Ciento M´ as Ahora se trata de hallar un n´ umero x si se conoce en tanto por ciento lo supera otro n´ umero Ejemplo

480 es el 16% de otro, cu´ al es el otro? x es el 100%, 480 es el 16%. Entonces x 100 = 480 16

−→ x =

480 × 100 16

−→ x = 3000

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

108

Ejemplo

Un conjunto A tiene 20% m´as elementos que un conjunto B. Si A tiene 240 elementos, cu´ antos tiene B? El n´ umero x de elementos de B equivale al 100%. El n´ umero 240 de elementos de A equivale al 100% + 20% = 120% entonces 120 240 = 100 x

240 × 100 = 200 120

−→ x =

es decir que 240 es el 20% m´as que 200

Ejemplo

En el pa´ıs hay m´as mujeres que hombres. Hay un 6% m´as mujeres que hombres. Si el n´ umero de mujeres es 15.200.000, cu´ antos hombres hay? El n´ umero x de hombres representa el 100%. El n´ umero 15.200.000 de mujeres representa el 100% + 6% = 106% entonces 15.200.000 15.200.000 × 100 106 = −→ x = −→ x = 14.339.622, 64 100 x 106 entonces 15.200.000 es el 6% m´as que 14.339..622,64

Tanto por Ciento Menos Ahora se trata de hallar un n´ umero x conociendo el tanto por ciento que otro es menor que el. Ejemplo

De cu´ al n´ umero es 765 el 10% menor? El n´ umero buscado x representa el 100%. El n´ umero 765 representa al 100% − 10% = 90% entonces x 100 = 765 90

−→ x =

765 × 100 = 850 90

es decir que 765 es menor que 850 en un 10%. En efecto, el 10% de 850 es 85 y 850 − 85 = 765

Ejemplo

Un conjunto A tiene un 14% menos elementos que B. Si A tiene 3870 elementos, cu´ antos tiene B? El n´ umero buscado x representa el 100%. El n´ umero 3870 de A representa el 100% − 14% = 86% entonces x 100 = 3870 86

−→ x =

3870 × 100 = 4500 86

As´ı, 3870 es menor que 4500 en un 14%

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Inter´ es Simple

109

§ Inter´ es Simple §

6.9

Una de las actividades comerciales mas difundida es la de prestar dinero por un tiempo determinado y bajo la condici´ on de pagar una cantidad adicional (inter´es) por su empleo. La cantidad de dinero prestado se denomina C (capital). La cantidad adicional de dinero pagada por el uso del capital es la ganancia o inter´es I. El lapso durante el cual se usa el capital es el tiempo T . En el momento de negociar un pr´estamo las partes pactan la ganancia de cada 100 unidades de capital en la unidad de tiempo que se fije; este porcentaje o tanto por ciento acordado se denomina tasa de inter´es o rentabilidad y se denota con R o I. El problema de determinar el inter´es I producido por un capital C, prestado a una tasa R, durante un tiempo T , se denomina regla de inter´es. Inter´ es Simple: es el que se calcula tomando como base el capital inicial y se recibe al final de periodos iguales Inter´ es Compuesto: Si al final de cada periodo se adicionan los intereses al capital inicial y los intereses del siguiente periodo se calculan con base en esta nueva cantidad y as´ı sucesivamente para los otros periodos, este tipo de inter´es se denomina inter´es compuesto. C´ alculo del Inter´ es Simple Prestar dinero a una tasa del 18% anual significa que quien recibe el pr´estamo debe pagar en un a˜ no $18 por cada $100 que le prestaron. En la regla del inter´es simple se presentan 4 casos especiales a) Cuando la tasa (%) y el tiempo (T ) est´ an expresados ambos en a˜ nos, meses o d´ıas. Aqu´ı el capital (C) y el inter´es (I) son directamente proporcionales porque al aumentar C aumenta I. 100 R = C I

−→ I =

CR 100I 100I , C= , R= 100 R C

Estas f´ormulas son v´ alidas cuando T y R est´ an en la misma unidad de tiempo (a˜ no, mes o d´ıa) Para calcular el inter´es I para varios a˜ nos, se multiplica el capital C por T , entonces I=

100I CT R , CT = 100 R

−→

C=

100I 100I 100I , ∧, T = , R= RT CR CT

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

110

Ejemplo

Determine cu´ anto tiempo hay que invertir un capital de $840.000 para que produzca un inter´es de $125.000 al 25% anual T =

100 × 125000 100I = = 0.59 a˜ nos C ·R 840000 × 25

1 a˜ no son 12 meses, cuantos meses ser´an (x) 0.59 a˜ nos? 1 12 = 0.59 x

−→ x =

0.59 × 12 = 7.08 meses 1

ahora, 1 mes son 30 d´ıas, cu´ antos d´ıas ser´an 0.08 meses? 30 1 = 0.08 x

−→ x = 0.08 × 30 = 2.4 d´ıas

as´ı, T = 7 meses + 2 d´ıas

Ejemplo

Qu´e tasa de inter´es se debe fijar para que un capital de $159000 produzca $45000 en 3 a˜ nos? R=

100I 100 × 45000 = = 9.43% anual CT 159000 × 3

b) Cuando la tasa R o % est´ a expresada en a˜ nos y el tiempo T en meses o d´ıas Se aplica la f´ormula anterior I =

CT R pero: 100

1. Si el tiempo est´ a en meses, se divide por 100 × 12, entonces I=

CT R 100 × 12

2. Si el tiempo est´ a en d´ıas, se divide por 100 × 360, entonces I=

CT R 100 × 360

c) Cuando la tasa de inter´es est´ a expresada en meses y el tiempo en a˜ nos o d´ıas Se aplica la f´ormula I =

CT R pero: 100

1. Si el tiempo est´ a en a˜ nos, se multiplica T por 12 I=

CRT × 12 100

2. Si el tiempo est´ a en d´ıas, se multiplica T por 1/30 I=

CRT × 100

1 30

=

CRT 100 × 30

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Inter´ es Simple

111

CRT , pero d) Si la tasa R est´ a dada en d´ıas y T en a˜ nos o meses, se aplica I = 100 reduciendo los a˜ nos o meses a d´ıas, que equivale a multiplicar T por 360 si est´ a en a˜ nos o por 30 si est´ a en meses CRT × 360 si T en a˜ nos y R en d´ıas 100 CRT × 30 2. I = Si T en meses y R en d´ıas 100 1. I =

Problemas 1. Escriba cada raz´ on de 3 maneras distintas: (a) De 16 banderas 9 son amarillas (b) 23 de cada 25 hormigas son rojas (c) 7 de cada 19 d´ıas son nublados (d) 11 pasteles de cada 15 tienen pasas 2. Escriba cada raz´ on como una fracci´on reducida (a) De 57 partidos jugados hemos ganado 19 (b) De 18 gatos 14 son atigrados (c) De un edificio de 32 apartamentos 12 est´ an desocupados 3. Expresar cada raz´ on como tasa (a) 395 Kmts. en 5 horas (b) 3 CD’s en $45.000 (c) Se recorren 79.8 Km. con 3 galones de gasolina (d) Pedro pronuncia 120 palabras en 3 minutos (e) 5 gaseosas valen $3.000 4. Si el trabajo hecho por x − 1 obreros en x + 1 d´ıas es al trabajo hecho por x + 2 obreros en x − 1 d´ıas, como 9 es a 10, hallar x 5. Hallar 4 n´ umeros proporcionales tales que la suma de los extremos sea 21, la suma de los medios 19, y la suma de los cuadrados de los cuatro n´ umeros sea 442 6. Dos barriles A y B se llenan con vino de dos clases diferentes mezclados en el barril A en la raz´ on 2 : 7 y en el barril B en la raz´ on 1 : 5. ¿Qu´e cantidad debe tomarse de c/u para formar una mezcla que contenga 6 litros de una clase y 27 litros de la otra? 7. Determinar si las magnitudes representadas por x y y son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de ellas (a)

x

1

2

3

4

5

6

y

240

120

80

60

48

40

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

112

(b)

(c)

(d)

x

1

2

3

4

5

6

y

1

4

9

16

25

36

x

1

2

3

4

5

6

y

10

20

30

40

50

60

x

1

2

3

4

5

6

y

6

3

2

1.5

1.2

1

8. Si x, y son inversamente proporcionales, completa cada tabla (a)

(b)

x

(d)

7

y

70

42

x

4

8

y (c)

2

8

10

x

1

y

1/2

x

1

y

30

4 2

4 1/6

10 0.5

1000 0.05

9. Sueldo Bruto. La cantidad que lleva un trabajador a su casa es $492.000 despu´es de haberle reducido un total del 40% del pago bruto. ¿Cu´ al es su sueldo bruto? 10. Costo Salir A Cenar. Una pareja no desea gastar m´as de $70.000 por cenar en un restaurante. A la cuenta se le agrega un impuesto del 6% y piensan pagar 15% de propina, despu´es de haber sumado el impuesto. ¿Cu´ anto es lo m´as que pueden gastar en alimentos? 11. Pago De Tiempo Extra. El salario b´asico en un trabajador es $10.000 por hora, pero cuando trabaja m´as de 40 horas por semana recibe vez y media este salario horario, si su cheque en una semana es por $595.000 ¿Cu´ antas horas de tiempo extra trabajo? 12. Un grupo de hombres y de mujeres declaran su edad por escrito, y se calculan los promedios de esas edades: el del grupo total, es de 40 a˜ nos; el de los hombres, 50 a˜ nos; y el de las mujeres, 35 a˜ nos. ¿Cu´ al es la raz´ on del n´ umero de mujeres al n´ umero de hombres? 13. Una persona desea darse un ba˜ no con agua a 35o C. Para conseguir esa temperatura, debe mezclar agua caliente con agua fr´ıa en una determinada proporci´ on. Hace dos pruebas: en la primera, mezcla 1 parte de agua caliente con 2 de agua fr´ıa, y obtiene agua a 20o C; en la segunda mezcla 3 partes de agua caliente con 2 de agua fr´ıa, y obtiene agua a 28o C. Con estos datos, ¿en qu´e proporci´ on debe mezclar ambos tipos de agua? G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Inter´ es Simple

113

14. Se necesitan 6 litros de una soluci´ on al 40%, pero s´ olo se dispone de soluciones al 26% y al 50%. ¿Cu´ antos litros de cada tipo de soluci´ on se requerir´an? 15. Si el caf´e pierde 1/5 de su peso al tostarlo, y se compra verde a 1.200 pesos el kg, ¿a c´omo debe venderse el kilo de caf´e tostado para ganar 1/10 del precio de compra del caf´e verde? 16. Si 6 muchachos pueden construir 6 casas prefabricadas en 6 d´ıas, y 12 muchachas pueden construir 12 en 12 d´ıas, ¿cu´ antas casas prefabricadas pueden construir 12 muchachos y 12 muchachas en 12 d´ıas? 17. De las 4 horas que Julian dispone como tiempo libre, utiliza 1/5 del tiempo jugando en la casa, 1.4 leyendo, 3/8 viendo television, y el resto jugando en la calle. Cuanto tiempo dedica a esta u ´ltima actividad? 18. Un dispositivo especial permite ahorrar 30% de combustible en un motor; un segundo dispositivo, si act´ ua solo, permite un ahorro de un 50%; y un tercero, tambi´en si act´ ua solo, de un 20%. Si se instalan los tres dispositivos juntos en el motor, ¿qu´e porcentaje de ahorro de combustible puede obtenerse? 19. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene una persona, si cuatro veces un cuarto de su edad es 16? 20. En una f´abrica, las mujeres representan el 35% de los trabajadores. Si hay 252 hombres m´as que mujeres, ¿cu´ antas personas trabajan en la f´abrica? 21. En un recipiente A hay 4 g de sal y 6 cl de agua. En B hay 9 cl de agua, y en C 3 g de sal. ¿Qu´e cantidad de sal hay que colocar en B y qu´e cantidad de agua hay que verter en C para que, al final, el agua de los tres recipientes sea igual de salada?

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Cap´ıtulo 7

Coeficientes Binomiales

Antes de entrar a estudiar los coeficientes binomiales estableceremos que es el factorial de un n´ umero natural Definici´ on 7.1. Factorial El factorial de un n´ umero entero n ≥ 1 est´ a dado por n! = n × (n − 1) × (n − 2) . . . × 3 × 2 × 1 Por Definici´on, 0! = 1

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Ejemplo

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 Ejemplo

Mostrar que n!/n = (n − 1)! n! n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 2 × 1 = n n = (n − 1) × (n − 2) × . . . × 2 × 1 = (n − 1)!

Ejemplo

Calcular

210! 208! ,

75! 80! ,

7! − 5!, 10! + 8!

210 × 209 × 208! 210! = = 210 × 209 = 43890 208! 208! 78! 78! 1 1 · = = = 80! 80 × 79 × 78! 80 × 79 6320 ·

· 7! − 5! = 7 × 6 × 5! − 5! = (42 − 1) × 5! = 41 × 5! = 4920 · 10! + 8! = 10 × 9 × 8! + 8! = (90 + 1) × 8! = 91 × 8! = 3669120 115

Principios B´ asicos de Aritm´etica

116

Definici´ on 7.2. Coeficiente Binomial Se llaman coeficientes binomiales a los valores num´ericos que aparecen multiplicando a los t´erminos que forman la expansi´ on del binomio (a ± b)n

(a + b)2 =

a2

1

Ejemplo

+

2

ab

+

1

⇑

⇑

⇑

c1

c2

c3

(a + b)3 =

a3

1

+

a2 b

3

+

b2

ab2

3

+

1

⇑

⇑

⇑

⇑

c1

c2

c3

c4

b3

Estos coeficientes se pueden obtener mediante el llamado Tri´angulo de Pascal Coeficientes (a + b)0

1

(a + b)1

1

(a + b)2

1

(a + b)3

1

(a + b)4

1

(a + b)5 (a + b)

6

1 1

2 3

4 5

6

1

3 6

10 15

1 1 4 10

20

1 5

15

1 6

1

··· Cuando el exponente del binomio es muy grande, el m´etodo del tri´angulo de Pascal para hallar los coeficientes ya no es muy adecuado, por lo tanto se debe disponer de una f´ormula m´as general para calcularlos. En general: (a + b)n = (a + b)(a + b) · · · (a + b) = an + · · · + Can−r br + · · · + br | {z } n factores

donde c es el coeficiente de un t´ermino cualquiera an−r br con a ≤ r ≤ n.

an−r br se obtiene seleccionando b de cada uno de los r factores (y a de los restante n − r factores). Como se ha hecho una selecci´on de r cosas de un total de n, podemos decir que cada coeficiente binomial es una combinaci´on de n tomados de a r en r es decir:   n C = Cn,r = r G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

117

Se ha demostrado matem´aticamente que C se puede evaluar mediante factoriales en la siguiente forma   n! n C= = r!(n − r)! r Adem´ as el binomio a la n se puede escribir como (a + b)n = an +

        n n−1 n n−2 2 n n a b+ a b + ··· + a2 bn−2 + a1 bn−1 + bn 1 2 n−2 n−1

Por tanto el tri´angulo de Pascal toma la siguiente forma

(a + b)0 (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 ··· Ejemplo

  4 0

  3 0

  2 0   4 1

Coeficientes   0 0     1 1 0 1   2 1     3 3 1 2   4 2

  2 2   4 3

  3 3

  4 4

Hallar el coeficiente del t´ermino x4 y 3 al desarrollar el binomio (x + y)7 En este caso n = 7, r = 3. El coeficiente buscado es   7! 7 × 6 × 5 × 4! 7×6×5 7! 7 = = = = 35 C= = 3!(7 − 3)! 3! × 4! 3! × 4! 3×2 3

Ejemplo

Hallar el coeficiente de a10 b3 en la expansi´ on del binomio (a − b)13 . En este caso n = 13, r = 3   13 × 12 × 11 × 10! 13 × 12 × 11 13! 13 = = = 286 C= = 3!(13 − 3)! 3! × 10! 6 3 Como el segundo t´ermino del binomio es negativo (−b), entonces (−b)3 = −b por lo tanto el coeficiente de a10 b3 es negativo: C = −286

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

118

Ejemplo

Al desarrollar el binomio (3x − 5y)8 que valor tiene el coeficiente del t´ermino donde aparece x5 y 4 Aqu´ı a = 3x, b = −5y, n = 8, r = 4. El t´ermino correspondiente ser´a: C(3x)5 (−5y)4   8 × 7 × 6 × 5 × 4! 8×7×6×5 8! 8 = = = 70 C= = 4!(8 − 4)! 4! × 4! 4×3×2×1 4 el t´ermino buscado es 70(3x)5 (−5y)4 = 10631250x5 y 4

Ejemplo

Hallar el quinto t´ermino de (a + 2x3 )17 El t´ermino buscado ser´a de la forma   n n−r r Can−r br = a b r donde n = 17, r = 4, b = 2x3   17! 17 17 × 16 × 15 × 14 × 13! C= = = = 2380 4 4!(17 − 4)! 4! × 13! El t´ermino es 2380a17−4 (2x3 )4 = 2380a13 16x12 = 38080a13 x12

Ejemplo

Hallar el t´ermino 14 de (3 − b)15 El t´ermino buscado es de la forma   n n−r n−r r Ca b = a (−b)r r donde n = 15, r = 13, a = 3   15 × 14 × 13! 15 × 14 15! 15 = = = 105 C= = 13!(15 − 13)! 13! × 2! 2 13 el t´ermino es 105 × 315−13 (−b)13 = 105 × 9 × (−b)13 = −945b13

Problemas 1. Efectuar las siguientes operaciones a) 45! − 37! c) 425!/422! b) 24! + 21! d) 52!/58! G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

119

2. Hallar el 4o t´ermino de (x − 5)13 3. Hallar el 10o t´ermino de (1 − 2x)12 4. Hallar el 12o t´ermino de (2x − 1)13 5. Hallar el 28o t´ermino de (5x + 8y)30 6. Hallar el 4o t´ermino de ( x3 + 9y)10

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Cap´ıtulo 8

Sistemas de Numeraci´ on

8.1

§ Origen de la Numeraci´ on §

Desde la antiguedad el hombre se preocup´o por hallar m´etodos y procedimientos para la representaci´ on de los cardinales de los conjuntos en forma simb´olica. Los s´ımbolos utilizados evolucionaron con el transcurso del tiempo, igualmente sucedi´ o con la forma de ubicar los s´ımbolos para representar un n´ umero de varias cifras. Los primeros sistemas de numeraci´on eran de tipo aditivo, es decir, que cada s´ımbolo se repet´ıa varias veces para representar otro n´ umero. Ejemplo

En el sistema de numeraci´on Egipcio se ten´ıan los siguientes s´ımbolos

As´ı, por ejemplo, para representar el n´ umero 312 escrib´ıan

que equivale a la suma de 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 Pero ellos no repet´ıan m´as de 9 veces un mismo s´ımbolo, es decir que 10 veces un s´ımbolo lo reemplazaban por el siguiente. Como se observa el sistema de numeraci´on de los egipcios era aditivo pero a la vez multiplicativo en base 10. La posici´on de los s´ımbolos no se ten´ıa en cuenta: 113 se pod´ıa escribir de cualquiera de las tres siguientes formas

Posteriormente los egipcios abandonaron la nomenclatura jerogl´ıfica y usaron otra que se llam´o el sistema ´ atico cuyos s´ımbolos b´asicos eran 1 = I, 5 =

, 10 = △, 100 = H, 1000 = X, 10000 = M 121

Principios B´ asicos de Aritm´etica

122

entonces 50 = △ (5 × 10) 500 = H (5 × 100)

5000 = X (5 × 1000) 50000 = M (5 × 10000) 45670 = M M M M X H H △ △ △ Definici´ on 8.1. Un sistema de numerac´ı´ on se basa en el principio aditivo cuando cada s´ımbolo o cifra tiene un valor u ´nico sin importar su posici´on y cualquier n´ umero representado se obtiene mediante la suma de los valores de los s´ımbolos empleados

Ejemplo

En el sistema ´ atico · X X △ △ I I es 1000 + 1000 + 50 + 10 + 1 + 1 = 2062 · H △

I I I es 100 + 50 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 159

§ Sistema de Numeraci´ on Posicional §

8.2 Definici´ on 8.2.

Un sistema de numeraci´on es posicional cuando un s´ımbolo toma distintos valores dependiendo de la posici´on que ocupe dentro de la cifra o n´ umero

Ejemplo

En el sistema Babil´onico de base 60 g = 1,

≺= 10

y cada posici´on a la izquierda representa un grupo 60 veces mayor, por ejemplo · g g = 60 + 1 = 61 · g gg = 602 + 601 + 600 = 3661 · ≺≺

g g

= 10 × 60 + 10 + 2 = 612

· ≺≺≺= 10 × 602 + 10 × 601 + 10 × 600 = 36610 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Sistema de Numeraci´ on Posicional

123

Nota: Para los babilonios los s´ımbolos g y ≺ se pod´ıan agrupar en forma simple para los n´ umeros del 1 al 59. Los n´ umeros posteriores al 59 ten´ıan un valor local o relativo, de acuerdo con la posici´on que ocupar´ an los s´ımbolos de derecha a izquierda. Este sistema de numeraci´ on era aditivo - multiplicativo y posicional, compuesto por grupos de 60; es decir, de acuerdo con el lugar que ocupaban los s´ımbolos se iban multiplicando por potencias de 60.

Definici´ on 8.3. Base En un sistema de numeraci´on, al n´ umero que sirve para hacer los agrupamientos es decir para determinar el valor de la posici´on, se le llama la base del sistema

Ejemplo

El sistema de numeraci´on de los babilonios era de base 60 porque cada grupo de s´ımbolos hacia la izquierda era multiplicado por una potencia de 60

Ejemplo

Nuestro

de

numeraci´on

3

8

5

↑

↑

↑

3 × 102 Ejemplo

sistema

+

8 × 101

+

5 × 100

es .

+

posicional

de

base

7

2

↑

↑

7 × 10−1

+

10

2 × 10−2

Sup´ongase un conjunto de 21 elementos agrupados de a 3 elementos. En esta primera no existen elementos sueltos. Si continuamos con las agrupaciones de 3 en 3 obtenemos 2 agrupaciones c/u con 3 grupos de 3 elementos c/u y queda sobrando una agrupaci´on.

El n´ umero de elementos del conjunto inicial se ha representado por 2 grupos de 3 subgrupos c/u mas otro subgrupo y sin elementos aislados. Hemos tomado como base de agrupaci´on la cantidad 3. 21 elementos = 2 × 32 + 1 × 31 + 0 = 2103 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

124

§ Sistema de Numeraci´ on en Base 2 §

8.3

Sup´ongase el mismo conjunto de puntos del ejemplo anterior y que hacemos agrupaciones de a dos elementos, despu´es de a dos grupos y as´ı sucesivamente. El resultado es:

Verificaci´on: 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 2110 Obs´ervese que s´ olo se han usado 2 s´ımbolos: el 0 y el 1 Nota: En el sistema de base 3 se usan u ´nicamente los s´ımbolos 0, 1 y 2. En el sistema de base 10 se usan los s´ımbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Definici´ on 8.4. Un n´ umero binario tiene la forma decimal an × 2n + an−1 × 2n−1 + an−2 × 2n−2 + · · · + a1 × 21 + a0 × 20 donde cada ai es cero o uno

Ejemplo

Hallar el n´ umero decimal (base 10) equivalente al binario 101110 1 ↓

0 5

1×2 =

32

↓

1 ↓

↓

↓

+ 1×2

+ 0 × 20 =

+

+

+

+

+

2

Entonces 1011102 = 4610

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

1

↓

+ 1×2 4

2

0

+ 1×2 8

3

1

+ 0×2 0

4

1

0

= 46

Sistema de Numeraci´ on en Base 2

Ejemplo

125

Convertir a decimal el binario 1110.101 1 ↓

1 ↓

3

1

0

↓

2

↓

1

.

1

0

↓

0

↓

1×2 +1×2 +1×2 +0×2 .1×2 =

8

+

4

+

2

+

0

−1

.

1

0.5

↓

+0×2

+ 1 × 2−3 =

+

+ 0.125

−2

0

= 14.625 Entonces 1110.1012 = 14.62510 Convers´ı´ on de un Decimal a Binario Para convertir un n´ umero decimal a binario se le extraen todas la agrupaciones posibles de a dos elementos y se tienen en cuenta los residuos o elementos aislados; esto indica que se deben hacer divisiones sucesivas por 2. Ejemplo

Convertir en binario el n´ umero 8710 87

2

1 43

2

1 21

2

1 10

2

0

5

2

1

2

2

0

1

2

1

0

As´ı, 8710 = 01010111 = 10101112

Ejemplo

Convertir a binario el decimal 4210 42

2

0 21

2

1 10

2

0

5

2

1

2

2

0

1

As´ı, 4210 = 1010102

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

126

Nota: Cuando el decimal que se va a convertir a binario es fraccionario, en lugar de dividir por 2, se multiplica por 2 y se escoge la parte entera del resultado de esta multiplicaci´ on. Se sigue multiplicando por 2 al decimal que queda hasta que no aparezca parte fraccionaria

Ejemplo

Convertir en binario el decimal 0.84375 0.84375 × 2 = 1.6875

−→

1

0.6875 × 2 = 1.375

−→

1

0.375 × 2 = 0.75

−→

0

0.75 × 2 = 1.5

−→

1

0.5 × 2 = 1

−→

1

As´ı, 0.8437510 = .110112 Ejemplo

Convertir a binario 5.625 Primero convertimos la parte entera 5 ÷ 2 = 2 residuo 1

−→

1

2 ÷ 2 = 1 residuo 0

−→

0

1 ÷ 2 = 0 residuo 1

−→

1

Ahora la parte decimal 0.625 × 2 = 1.25

−→

1

0.25 × 2 = 0.5

−→

0

0.5 × 2 = 1

−→

1

As´ı, 5.62510 = 101.1012

§ N´ umeros Octales §

8.4

El sistema octal es el de base 8 y los s´ımbolos que se utilizan son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Ejemplo

Convertir a decimal el octal 24578 2

=

4

5

7

2 × 83

+

4 × 82

+

5 × 81

+

7 × 80

1024

+

256

+

40

+

7

De donde, 24578 = 132710 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

= = 132710

N´ umeros Octales

Ejemplo

127

Convertir a decimal el octal 642.218 6

4

2

.

2

1

6 × 82 + 4 × 81 + 2 × 80 + 2 × 8−1 + 1 × 8−2 = = 384 +

32

+

2

+

0.25

+ 0.15625 = 418.26562510

Entonces, 642.218 = 418.26562510

Ejemplo

Convertir a octal el fraccionario 418.26562510 convertimos la parte entera 418 ÷ 8 = 52 residuo 2

−→

2

52 ÷ 8 = 6 residuo 4

−→

4

6 ÷ 8 = 0 residuo 6

−→

6

Ahora la parte decimal 0.265625 × 8 = 2.125

−→

2

0.125 × 8 = 1

−→

1

Por tanto, 418.26562510 = 642.218 Tabla de los primeros n´ umeros Binarios y Octales Decimal

Binario

Octal

Decimal

Binario

Octal

0

0

0

11

1011

13

1

1

1

12

1100

14

2

10

2

13

1101

15

3

11

3

14

1110

16

4

100

4

15

1111

17

5

101

5

16

10000

20

6

110

6

17

10001

21

7

111

7

18

10010

22

8

1000

10

19

10011

23

9

1001

11

20

10100

24

10

1010

12

21

10101

25

Conversi´ on de Octal a Binario Es muy f´acil convertir los n´ umeros octales a binarios, basta reemplazar cada uno de los n´ umeros b´asicos octales por sus equivalentes en binario G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

128

Ejemplo

Principios B´ asicos de Aritm´etica

Convertir el octal 5328 a binario Octal:

Binario:

5

3

2

↓

↓

↓

101

011

010

Entonces, 5328 = 1010110102 Ejemplo

Convertir a binario 74.618 Octal:

Binario:

7

4

.

6

1

↓

↓

.

↓

↓

111

100

.

110

001

Entonces, 74.618 = 111100.1100012 Conversi´ on de Binario a Octal Para convertir un binario a octal se separa el binario en grupos de 3 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto decimal del binario y se busca el octal correspondiente a cada grupo de bits. Ejemplo

Convertir a octal el binario 1101110001002 Binario:

Octal:

110

111

000

100

↓

↓

↓

↓

6

7

0

4

As´ı, 1101110001002 = 67048 Ejemplo

Convertir a octal el binario 1011.10112 Binario:

Octal:

1

011

.

101

1

↓

↓

.

↓

↓

1

3

.

5

4

As´ı, 1011.10112 = 13.548

8.5

§ Sistema Hexadecimal §

El sistema de numeraci´on hexadecimal es el sistema de numeraci´on de base 16 y para representar los n´ umeros utiliza los n´ umeros del 0 al 9 y las letras A, B, C, D, E, F, como se muestra en la siguiente tabla. La ventaja de este sistema es su facilidad de coversi´on directa a un n´ umero binario de 4 bits. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Sistema Hexadecimal

129

Decimal

Binario

Hexadecimal

Decimal

Binario

Octal

0

0

0

16

10000

10

1

1

1

17

10001

11

2

10

2

18

10010

12

3

11

3

19

10011

13

4

100

4

20

10100

14

5

101

5

21

10101

15

6

110

6

22

10110

16

7

111

7

23

10111

17

8

1000

8

24

11000

18

9

1001

9

25

11001

19

10

1010

A

26

11010

1A

11

1011

B

27

11011

1B

12

1100

C

28

11100

1C

13

1101

D

29

11101

1D

14

1110

E

30

11110

1E

15

1111

F

31

11111

1F

Obs´ervese que el equivalente a 16 decimal en hexadecimal es 10, lo que demuestra que el este sistema tambi´en emplea el concepto de valor posicional. Ejemplo

Representar en decimal 2B616 , A3F.C Hexadecimal:

2

Decimal:

Decimal: =

6

2 × 16

+

11 × 16

+

6 × 160

512

+

176

+

6

.

C

= Hexadecimal:

B 2

A

1

3 2

F 1

= = 69410

0

10 × 16 + 3 × 16 + 15 × 16 + 12 × 16−1 = 2560

+

48

+

15

+

0.75

= 2623.7210

Conversi´ on de Decimal a Hexadecimal Presentaremos el procedimiento de convertir un n´ umero Decimal a Hexadecimal mediante el siguiente ejemplo

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

130

Ejemplo

Principios B´ asicos de Aritm´etica

Convertir 4510 a hexadecimal 45 ÷ 16 = 2 residuo 13

−→

D

2 ÷ 16 = 0 residuo 2

−→

2

Entonces, 4510 = 2D16 Ejemplo

Convertir 250.2510 a hexadecimal Primero la parte entera 250 ÷ 16 = 15 residuo 10

−→

A

15 ÷ 16 = 0 residuo 15

−→

F

ahora la parte decimal 0.25 × 16 = 4

−→

4

Luego, 250.2510 =FA.416 Conversi´ on de Hexadecimal a Binario Se reemplaza cada s´ımbolo hexadecimal por el correspondiente grupo de 4 bits binarios Ejemplo

Convertir a binario 3B916 , 47.FE16 3

B

9

↓

↓

↓

0011

1011

1001

Entonces 3B916 = 11101110012 4

7

.

F

E

↓

↓

.

↓

↓

0100

0111

.

1111

1110

Luego, 473FE16 = 1000111.111111102 Conversi´ on de Binario a Hexadecimal Se separa el binario en grupos de 4 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto decimal y se busca el hexadecimal correspondiente a cada grupo de bits Ejemplo

Convertir a hexadecimal 101010000101 1010

1000

0101

↓

↓

↓

A

8

5

As´ı, 1010100001012 =A8516 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Sistema Hexadecimal

Ejemplo

131

Convertir a hexadecimal 10010.0110112 1

0010

.

0110

11

1

2

.

6

C

y por tanto, 10010.0110112 = 12.6C16 Nota: Cuando un grupo de bits a la derecha o a la izquierda queda con menos de 4 bits, se completa con ceros

Ejemplo

Convertir a hexadecima 1000000.00001112 0100

0000

.

0000

↓

↓

↓

↓

4

0

.

0

1110

E

Entonces, 1000000.00001112 =40.0E16 Problemas 1. Pasar de binario a decimal: 110012, 10110110112 2. Pasar de decimal a binario: 86910, 842610 3. Pasar de binario a octal: 1110101012, 11011.012 4. Pasar de octal a binario: 20668, 142768 5. Pasar de binario a hexadecimal: 1100010002, 100010.1102 6. Pasar de hexadecimal a binario: 86BF16, 2D5E16 7. Pasar de octal a decimal: 1068, 7428 8. Pasar de decimal a octal: 23610, 5274610 9. Escribe los primeros 15 n´ umeros si cuentas en base 2, 3 y 5. 10. Escribe los dos n´ umeros anteriores a los siguientes: 5556 ; 1007 ; 10005 11. Sumar: 22345 + 10325 + 33335

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Cap´ıtulo 9

Sistema M´ etrico Decimal

En el pasado cada pa´ıs y en algunos casos cada regi´ on segu´ıan unidades de medidas diferentes, esta diversidad dificult´ o las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792 la Academia de Ciencias de Par´ıs propuso el Sistema M´ etrico Decimal. Progresivamente fue adoptado por todos los pa´ıses, a excepci´on de los de habla inglesa, que se rigen por el Sistema Ingl´es o Sistema Imperial Brit´ anico. En Espa˜ na su empleo es oficial desde 1849, aunque sobre todo en el ´ambito agrario ha coexistido con las medidas tradicionales. El Sistema M´etrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los m´ ultiplos y subm´ ultiplos de una unidad de medida est´ an relacionadas entre s´ı por m´ ultiplos o subm´ ultiplos de 10.

§ Medidas y Magnitudes §

9.1

Definici´ on 9.1. Magnitud Una magnitud num´ericamente

es

cualquier

propiedad

que

se

puede

medir

Definici´ on 9.2. Medir Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad

Definici´ on 9.3. Medida La medida es el n´ umero de veces que la magnitud contiene a la unidad El Sistema M´etrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: 133

Principios B´ asicos de Aritm´etica

134

• Longitud • Masa • Capacidad • Superficie • Volumen Las unidades de tiempo no son del Sistema M´etrico Decimal, ya que est´ an relacionadas entre s´ı por m´ ultiplos o subm´ ultiplos de 60. El tiempo es una magnitud del Sistema Sexagesimal. Medidas de Longitud La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las m´as usuales son: kil´ometro

km

1000 m

hect´ ometro

hm

100 m

dec´ ametro

dam

10 m

metro

m

1m

dec´ımetro

dm

0.1 m

cent´ımetro

cm

0.01 m

mil´ımetro

mm

0.001 m

Observamos que desde los subm´ ultiplos, en la parte inferior, hasta los m´ ultiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces m´as que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo

Pasar 50 m a cm Si queremos pasar de metros a cent´ımetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el cent´ımetro hay dos lugares de separaci´ on. 50 × 100 = 5000cm

Ejemplo

Pasar 4385 mm a m Para pasar de mil´ımetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separaci´ on 4385 ÷ 1000 = 4.385m G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Medidas y Magnitudes

135

Otras medidas de longitud: Para medir distancias muy grandes sobre todo en astronom´ıa se utilizan: • Unidad astron´omica: Es la distancia media Tierra-Sol. Se utiliza en la medici´ on de ´orbitas y trayectorias dentro del Sistema Solar. 1 U A = 149.597.871 km • El a˜ no-luz: Es igual a la distancia recorrida por la luz en un a˜ no solar medio. Se emplea en astronom´ıa para medir grandes distancias. El a˜ no-luz es aproximadamente igual a: 1 a˜ no-luz ≈ 9.461.000.000.000 km • El p´arsec: Unidad de medida astron´omica correspondiente a la distancia que habr´ıa a una estrella que tuviera una paralaje de un segundo. El p´arsec es aproximadamente igual a: 1 p´arsec ≈ 30.857.000.000.000 km Para medidas microsc´ opicas se utilizan: • La micra o micr´ ometro: Equivale a una millon´esima parte de un metro. 1 m = 0.000001 m • El nan´ ometro: Utilizado para medir la radiaci´ on ultravioleta, radiaci´on infrarroja y la luz. Recientemente la unidad ha cobrado notoriedad en el estudio de la nanotecnolog´ıa, ´area que estudia materiales que poseen dimensiones de unos pocos nan´ ometros. Equivale a una mil millon´esima parte de un metro. 1 nm = 0.000000001 m • El ´angstrom: Es la unidad empleada principalmente para expresar longitudes de onda, distancias moleculares y at´ omicas. Equivale a una diezmil millon´esima parte de un metro. 1˚ A = 0.0000000001 m Medidas de Masa La unidad principal para medir masas es el gramo. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las m´as usuales son: G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

136

kilogramo

kg

1000 g

hectogramo

hg

100 g

decagramo

dag

10 g

gramo

g

1g

decigramo

dg

0.1 g

centigramo

cg

0.01 g

miligramo

mg

0.001 g

Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ella. Ejemplo

Pasar 50 kg a dg Tenemos que multiplicar, porque el kilogramo es mayor que el decigramo; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos. 50kg × 10.000 = 500.000dg

Ejemplo

Pasar 408 mg a dg Tenemos que dividir, porque el miligramo es menor que el decigramo, por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos 408 ÷ 100 = 4.08dg

Otras medidas de masa: • Tonelada m´etrica: Se utiliza para medir masas muy grandes. 1 t = 1000 kg • Quintal m´etrico: Utilizado en la agricultura. 1 q = 100 kg Medidas de Capacidad La unidad principal para medir capacidades es el litro. Tambi´en existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores: G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Medidas y Magnitudes

137

kilolitro

kl

1000 l

hectolitro

hl

100 l

decalitro

dal

10 l

litro

l

1l

decilitro

dl

0.1 l

centilitro

cl

0.01 l

mililitro

ml

0.001 l

Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo

Pasar 50 hl a cl Tenemos que multiplicar, porque el hectolitro es mayor que el centilitro; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos. 50 × 10.000 = 500.000 cl

Ejemplo

Pasar 2587 cl a l Tenemos que dividir, porque el centilitro es menor que el litro, por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 2587 ÷ 100 = 25.87 l

Medidas de Superficie La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. Otras unidades mayores y menores son: kil´ometro cuadrado

km2

1.000.000 m2

hect´ ometro cuadrado

hm2

10.000 m2

dec´ ametro cuadrado

dam2

100 m2

metro cuadrado

m2

1 m2

dec´ımetro cuadrado

dm2

0.01 m2

cent´ımetro cuadrado

cm2

0.0001 m2

mil´ımetro cuadrado

mm2

0.000001 m2

Observamos que desde los subm´ ultiplos, en la parte inferior, hasta los m´ ultiplos, en la parte superior, cada unidad vale 100 m´as que la anterior.

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

138

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos pares de ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo

Pasar 1.5 hm2 a m2 Tenemos que multiplicar, porque el hm2 es mayor que el m2 ; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 1.5 × 10.000 = 15.000 m2

Ejemplo

Pasar 15.000 mm2 a m2 Tenemos que dividir, porque el mm2 es menor que el m2, por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay tres lugares entre ambos. 15.000 ÷ 1.000.000 = 0.015 m2

Medidas de superficie agrarias Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias: • La hect´ area: que equivale al hect´ ometro cuadrado. 1 Ha = 1 Hm2 = 10.000 m2 • El ´area: equivale al dec´ ametro cuadrado. 1 a = 1 dam2 = 100 m2 • La centi´ area: equivale al metro cuadrado. 1 ca = 1 m2 Ejemplo

Expresar en hect´ areas · 211.943 a · 356.500 m2 · 0.425 km2

211.943 ÷ 100 = 2.119, 43 ha 356.500 ÷ 10.000 = 35.65 hm2 = 35.65 ha 0.425 × 100 = 42.5 hm2 = 42.5 ha

· 91 m2 33 dm2 10 cm2

91 ÷ 10.000 + 33 ÷ 1.000.000 + 10 ÷ 100.000.000 = 0.00913310 hm2 = 0.00913310 ha

Medidas de Volumen La medida fundamental para medir vol´ umenes es el metro c´ ubico. Otras unidades de vol´ umenes son: G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Medidas y Magnitudes

139

kil´ometro c´ ubico

km3

1.000.000.000 m3

hect´ ometro c´ ubico

hm3

1.000.000 m3

dec´ ametro c´ ubico

dam3

1.000 m3

metro c´ ubico

m3

1 m3

dec´ımetro c´ ubico

dm3

0.001 m3

cent´ımetro c´ ubico

cm3

0.000001 m3

mil´ımetro c´ ubico

mm3

0.000000001 m3

Observamos que desde los subm´ ultiplos, en la parte inferior, hasta los m´ ultiplos, en la parte superior, cada unidad vale 1000 m´as que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos tr´ıos de ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo

Pasar 1.36 hm3 a m3 Tenemos que multiplicar, porque el hm3 es mayor que el m3 ; por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 1.36 × 1.000.000 = 1.360.000 m3

Ejemplo

Pasar 15.000 mm3 a cm3 Tenemos que dividir, porque el mm3 es menor que el cm3 , por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay un lugar entre ambos. 15.000 ÷ 1000 = 15 cm3

Relaci´ on entre unidades de capacidad, volumen y masa Existe una relaci´ on muy directa entre el volumen y capacidad. 1 l es la capacidad que contiene un recipiente c´ ubico de 1 dm de arista; es decir, la capacidad contenida en un volumen de 1 dm3 . Tambi´en existe una relaci´ on entre el volumen y la masa de agua. 1 g equivale a 1 cm3 de ◦ agua pura a 4 C. Capacidad

Volumen

Masa (de agua)

1 kl

1 m3

1t

1l

1 dm3

1 kg

1 ml

1 cm3

1g

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Principios B´ asicos de Aritm´etica

140

Ejemplo

Expresar en litros · 23.2 m3

23.200 dm3 = 23.200 l

· 0.07 m3

70 dm3 = 70 l

· 5.2 dm3 = 5.2 l · 8.800 cm

3

8.8 dm3 = 8.8 l

§ Medidas Tradicionales §

9.2 Medidas de Longitud

La unidad fundamental era la vara, su valor m´as usado era el de 83.6 cm. Otras medidas eran: • Pulgada: aproximadamente 2.3 cm • Palmo = 9 pulgadas, aproximadamente un 20.9 cm. • Pie = 12 pulgadas, aproximadamente 27.9 cm. • Vara = 3 pies = 4 palmos, aproximadamente 83.6 cm. • Paso = 5 pies, aproximadamente 1.39 m. • Milla = 1000 pasos, aproximadamente 1.39 km. • Legua = 4 millas, aproximadamente 5.58km. Medidas de Capacidad Para l´ıquidos: C´antara = 16.13 l Para s´ olidos: Fanega = 55.5 l Medidas de Masa La unidad fundamental era la libra, su valor m´as usado era el de 460 g. Otras medidas eran: • Onza = 1/4 libra, aproximadamente 115 g. G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Sistema Ingl´ es

• Libra = 460 g • Arroba = 25 libras, aproximadamente 11.5 kg. Medidas de Superficie Fanega de tierra = 65 ´ areas = 6 500 m2 .

9.3

§ Sistema Ingl´ es o Sistema Imperial Brit´ anico §

Medidas de longitud • Pulgada = 2.54 cm. • Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm. • Yarda = 3 pies = 91.44 cm. • Braza = dos yardas = 1.829 m. • Milla terrestre = 880 brazas = 1.609 km. • Milla n´autica = 1 852 m. Medidas de capacidad • Pinta (Gran Breta˜ na) = 0.568 l. • Pinta (EE.UU.) = 0.473 l. • Barril = 159 l. Medidas de masa • Onza = 28.3 g. • Libra = 454 g. Medidas de superficie Acre = 4 047 m2 . Problemas 1. Expresa en metros: (a) 3 km 5 hm 7 dam (b) 7 m 4 cm 3 mm G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

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Principios B´ asicos de Aritm´etica

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(c) 25.56 dam + 526.9 dm (d) 53 600 mm + 9 830 cm (e) 1.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 2. Expresa en litros: (a) 3 kl 5 hl 7 dal (b) 7 l 4 cl 3 ml (c) 25.56 dal + 526.9 dl (d) 53 600 ml + 9 830 cl (e) 1.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl 3. Expresa en gramos: (a) 5 kg 3 hg 4 g (b) 4 hg 8 dag 2 g 5 dg (c) 2 dag 3 g 8 dg 7 cg (d) 35 dg 480 cg 2.600 mg 4. Expresa en centilitros: (a) 3 dal 7 l 5 dl 4 cl 5 ml (b) 6 hl 8 l 2 ml (c) 0.072 kl + 5.06 dal + 400 ml (d) 0.000534 kl + 0.47 l 5. Expresa en cent´ıgramos: (a) 3 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg (b) 6 hg 8 g 2 mg (c) 0.072 kg + 5.06 dag + 400 mg (d) 0.000534 kg + 0.47 g 6. Expresa en metros: (a) 5 km 3 hm 4 m (b) 4 hm 8 dam 2 m 5 dm (c) 2 dam 3 m 8 dm 7 cm (d) 35 dm 480 cm 2.600 mm 7. Pasa a dec´ımetros cuadrados: (a) 0.027 dam2 (b) 0.35 m2 (c) 438 cm2 (d) 90.000 mm2 8. Expresa en metros cuadrados: G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Sistema Ingl´ es

(a) 5 hm2 24 dam2 60 dm2 72 cm2 (b) 0.00351 km2 + 4700 cm2 (c) 0.058 hm2 − 3.321 m2 9. Expresa en hect´ areas: (a) 431.943 a (b) 586.500 m2 (c) 0.325 km2 (d) 7 km2 31 hm2 50 dam2 (e) 51 m2 33 dm2 70 cm2 10. Pasa a cent´ımetros c´ ubicos: (a) 5.22 dm3 (b) 6.500 mm3 (c) 3.7 dl (d) 25 cl 11. Expresa en litros: (a) 13.2 m3 (b) 0.05 m3 (c) 3.9 dm3 (d) 7.700 cm3 12. Calcula y expresa el resultado en metros c´ ubicos: (a) 7.200 dm3 + (3.5 m3 4.600 dm3 ) (b) 0.015 hm3 − (570 m3 5.3 dm3 )

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

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Principios B´ asicos de Aritm´etica

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Bibliograf´ıa

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