ARITMETICA Razones y Proporciones

Discreta

Continua

RAZÓN Es la comparación de 2 cantidades mediante una operación aritmética (sustracción-división)). Ejemplo: Pepe pesa 60kg y su hermano pesa 15kg, comparar los pesos. R. Aritmética (Por sustracción) 60 kg - 15 kg = 45 kg R. Geométrica (Por división)

a c = b d d: cuarta proporcional de a; b y c

60 kg =4 15 kg

Son 3 ó mas razones geométricas que poseen el mismo valor. Ejemplo: 12 24 20 =4 =4 =4 6 3 5 como tiene igual valor:

RAZÓN Geométrica

a–b=r

a =k b

24 20 12  = = = 4  SRGE 56 5 3 

Donde: a : antecedente b : consecuente r : razón aritmética k : razón geométrica PROPORCIÓN Es la igualdad de 2 razones. Si ambas son aritméticas se denomina proporción aritmética; pero si ambas son geométricas se denomina proporción geométrica.

Se cumple: I. 24 = 6 x 4 20 = 5 x 4 12 = 3 x 4

PROPORCIÓN Aritmética

Geométrica

a–b=c-d

a c = b d

Además: a+d=b+c

b: media proporcional de a y c c: tercera proporcional de a y b

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES: (SRGE)

En general: Se dan 2 cantidades a y b cualesquiera

Aritmética

a b = b c

II.

24 + 20 + 12 =4 6+5+3

III.

24 − 20 +12 =4 6 −5 +3

IV.

24 ×20 ×12 =4 3 6 ×5 ×3

En general: Sea la SRGE a1 a 2 a 3 a = = = ... = n = K SRGE b1 b 2 b 3 bn Donde: a1, a2, a3.......... an : Antecedentes b1, b2, b3 ......... bn : Consecuentes k: Constancia de proporcionalidad Además: a1 = b1k a2 = b2k a3 = b3k . . . . . . an = ank En el cual se cumple las siguientes propiedades:

Además: a.d =b.c

Donde: a y d : Términos extremos b y c : Términos medios TIPOS DE PROPORCIONES 1. Discreta: Es cuando los medios son diferentes. 2. Continua: Es cuando los medios son iguales. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Discreta Continua a–b=c–d a–b=b–c b: media diferencial de a d: cuarta diferencial de y c. a; b y c c: tercera diferencial de a y b.

a1 + a 2 + a3 + ... + an =k b1 + b 2 + b 3 + ... + bn a1 × a 2 × a 3 × ... × an = kn II. b1 × b 2 × b 3 × ... × bn I.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Donde: “n” es el número de razones que se multiplican. 29

Nota: 1. Si no se indica al tipo de razón (proporción) se asume que es geométrica. 2.

9.

a 5 = b 3

Se lee: - «a» es a «b» como 5 es a 3. - «a» y «b» están en la misma razón que 5 y 3 - «a» y «b» están en la misma relación que 5 y 3

10. Determinar la media proporcional de una proporción geométrica, sabiendo que la suma de los términos extremos es 130 y su diferencia 120. Señalar la cifra mayor de dicha media proporcional. A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Dos números son entre si como 5 es a 12 y su diferencia es 420. Hallar el número mayor. A) 220 B) 204 C) 720 D) 200 E) 280

11. Si

12. Si:

C) 66

a b c = = y (a-m)(b-n)(c-p)=343, m n p C) 8

14. La razón aritmética de 2 números es 244 y la razón geométrica es 7/3. ¿Cuál es el mayor de los números? A) 150 B) 200 C) 740 D) 800 E) 427

Si la razón geométrica entre A y B es 5/3 y entre B y C es 6/7 entonces la razón geométrica entre “A+B+C” y “A+C” es: A) 5/7 B) 3/7 C) 23/17 D) 11/10 E) 15/8 En una carrera de 100 metros Carlos le da una ventaja de 10m a Jaime; y Jaime le da una ventaja de 20m a Daniel y finalmente Daniel recibe de Roberto una ventaja de 25m. ¿Cuántos metros de ventaja le da Juan a Roberto en una carrera de 100m si compiten solos? (Todos compiten en pareja). A) 5m B) 4m C) 3m D) 2m E) 1m

15 es la media proporcional de m y 25; 2m es la tercera proporcional de 8 y n. ¿Cuál es la cuarta proporcional de m; n y 15? A)15 B)20 C)16 D)18 E)24

B) 56 E) 44

13. La relación de las temperaturas de dos ciudades es de 3 a 5. Si la mayor temperatura es de 25º C, determine la menor temperatura. A) 8º C B) 10º C C) 12º C D) 14º C E) 15º C

Un cilindro de 60 litros de capacidad, fue llenado completamente por 4 recipientes donde el volumen del primero es al segundo como el tercero es al cuarto como 2 es a 1. Hallar la suma de los volúmenes del segundo y cuarto recipiente. A)20l. B)40l. C)30l. D)15l. E)25l.

8.

y a + b + c + d = 130

Halle: 3 abc −3 mnp A) 6 B) 7 D) 9 E) 10

Las edades actuales de Magali y Rita están en la relación de 7 a 10; dentro de 16 años estarán en la relación de 5 a 6. Halle la edad de Rita. A) 20 B)28 C)25 D) 24 E)26

En una caja de tizas blancas, rojas y azules se observa que: por cada 4 blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules excede a las rojas en 140; ¿en cuánto excede el número de tizas azules al número de tizas blancas? A) 210 B) 189 C) 70 D) 147 E) 175

a b c d = = = 3 5 7 11

Hallar “d”. A) 70 D) 55

En una reunión la cantidad de varones y mujeres son entre sí como 5 es a 7 respectivamente, luego de 2 horas se retiran 4 parejas y 4 mujeres, con lo cual ahora la relación es de 4 a 5. Determinar la cantidad inicial de mujeres. A) 35 B) 56 C) 28 D) 21 E) 49

7.

Hallar (x+y+z), sabiendo que “x” es la media diferencial de 8 y 32; “y” es la tercera diferencial de 32 y “x”; “z” es la cuarta diferencial de “x”, “y” y 6. A)22 B)20 C)24 D)26 E)28

15. La suma de 3 números es 14 250. El primero es al segundo como 11 es a 3 y su diferencia 600. Hallar el tercero. A) 13 245 B) 12 550 C) 10 000 D) 13 200 E) 15 200 16. En una caja se tienen 15 bolas blancas y 16 bolas rojas. ¿Cuántas bolas blancas se deben aumentar para que la relación entre bolas blancas y rojas sea de 5 a 2? A) 18 B) 21 C) 30 D) 25 E) 20 17. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13 440. luego, la suma de los consecuentes es: A) 82 B)38 C)46 D) 86 E)94

30

II. Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP) Se dice que 2 magnitudes son IP cuando el producto de sus valores correspondientes es constante. Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas la otra disminuye ( o aumenta) respectivamente. Es todo aquello susceptible a ser medido, aumentando o disminuyendo sus valores. CANTIDAD Es la medida de un caso particular de la magnitud.

Ejemplo: # o b re ro s # d ía s

Ejemplo:

MAGNITUD tem peratur a

CANTIDAD 37 º C

Peso N º dealum nos

4 kg 50

÷2 5

10

15

50

60

30

20

6

÷2 Se observa que: 5 x 60 = 10 x 30 = 15 x 20 = 50 x 6 = 300 Gráficamente:

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES I. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP ó ) Se dice que 2 magnitudes son D.P. cuando el cociente de sus valores correspondientes es constante. Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas la otra también aumenta (o disminuye) respectivamente.

α

Ejemplos:

La gráfica de 2 magnitudes IP resultan puntos sobre un hipérbola equilátera. En general: A IP B => (Valor de A) (Valor de B) = K

x2

C o s to (S /.)

3

6

15

21

# lá p ic e s

1

2

5

7

PROPIEDADES I. A A II: A III. A A A

x2 Se observa que:

3 6 15 21 = = = =3 1 2 5 7

∴

DP B => B IP B) => B IP B => A DP B DP C => A DP D

DP A IP A DP (1/B) DP BCD

A =K BCD

IV. A DP B => An DP Bn A IP B => An IP Bn REPARTO PROPORCIONAL REPARTO: Estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman índices de proporcionalidad.

Gráficamente

CLASES DE REPARTO - Directo -

La gráfica de 2 magnitudes D.P. resultan ser puntos sobre una línea recta.

- Inverso

Compuesto

1. REPARTO SIMPLE: El reparto es simple porque intervienen 2 magnitudes.

En general:

A DP B →

Simple

Valor de A =K Valor de B

a. Reparto Simple Directo: Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad. 31

Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente: 1. Se suman los índices. 2. Se divide la cantidad dada entre dicha suma siendo el cociente la “constante de proporcionalidad” (k). 3. Las partes se obtienen multiplicando cada “índice” por la “constante”. Ejemplo: Repartir 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12. Paso 1:

Paso 2:

6484

6

K=

1 ×9 = 12 → 12 ×36 = 432 3 1 6 6 × ×9 = → 6 ×36 = 216 9 18 4×

648 = 36 18 EJERCICIOS

D.P. 6 750 7 12 ...... 25

K =

1 3 1 9 9 3

750 = 30 25

Paso 3: ¡Atención!: Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número entonces el reparto no se altera. b. Reparto Simple Inverso: Se hace en forma I.P. a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúan en reparto directo, como ya se conoce: Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10. Paso 1: I.P. D.P.

1.

Sabiendo que M es D.P. a N4; Hallar “M” cuando N= 4 5 ; si cuando M=36, N= 4 45 A)4 B)6 C)8 D)10 E)12

2.

Sabiendo que P es I.P. a 3 Q . Hallar P cuando Q=27; si cuando P=27 Q=216. A)36 B)45 C)48 D)54 E)60

3.

A es I.P a B y B es I.P. a C . Hallar A cuando C=4; si cuando A=48, C=16. A)18 B)24 C)36 D)12 E)72

4.

En el gráfico se muestra la producción de zapatillas para dos tipos de máquinas A y B, con respecto al tiempo. Calcule a+b.

1 × 30 = 15 → 15 × 18 = 270 2 1 3 × 30 = 10 → 10 × 18 = 180 3 594 1 6 × 30 = 5 → 5 × 18 = 90 6 1 3 10 × 30 = → 3 × 18 = 54 10 33 2

75

a 60 42

A) 90 D) 120

594 K= = 18 33

2. REPARTO COMPUESTO: En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera: 1. Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). 2. Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P. 3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices. Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.

5.

A) 40/14 D) 40/7

32

b

B) 100 E) 130

40

C) 110

Si f(x) es una función de proporcionalidad directa, donde además se sabe que f(3)=5. Determine el valor de:

E =

6.

24

f(4) ×f(6) . f(7)

B) 14/40 E) 15/7

C) 41/7

El salario de un contador es D.P. a sus años de servicio e I.P: al cuadrado de su coeficiente intelectual. Si Efraín que trabaja 8 años y tiene un coeficiente intelectual de 100 gana S/. 200. ¿Cuál es el coeficiente intelectual de Cesar que trabaja hace 20 años y gana S/. 500.? A)50 B)600 C)100 D)80 E)120

7.

El rendimiento de un boxeador varía directamente proporcional al número de días de preparación que ha tenido, aumentado en 10 días; y es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la edad que posee dicho boxeador. Si un boxeador de 18 años que posee 50 días de preparación, tiene un rendimiento doble del que posee otro boxeador que se ha preparado por 30 días. ¿Qué edad tiene este último? A)24 B)27 C)30 D)32 E)50

D) 27,8

8. «Dianita» descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños es directamente proporcional al número de invitados e inversamente proporcional a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó 1200 soles, invitó 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más? A) 400 B) 420 C) 440 D) 460 E) 480 9.

3.

La duración de un viaje por ferrocarril es directamente proporcional a la distancia e inversamente proporcional al número de vagones del tren. Si un tren de 20 vagones recorre 30 km. En ½ hora ¿Cuántas kilómetros puede recorrer un tren de 10 vagones en un minutos? A)10km B)20km C) 30km D) 15km E) 23km

4.

Dividir 5320 en tres partes directamente proporcional a las raíces cuadradas de los números 32; 50 y 128. Indicar la mayor de las partes. A) 2500 B)2600 C)2800 D)2900 E) 2400

5. El precio de un cuaderno varia en forma directamente proporcional al número de hojas que tiene e inversamente proporcional al cuadrado del número de cuadernos que se compran. Si cuando se compran 10 cuadernos de 50 hojas c/u. Se pagan 4,20 soles por c/u. ¿Cuántos cuadernos de 80 hojas se podrán comprar al precio de 10,5 soles cada uno?

En un parque de diversiones, el precio de las entradas varía en forma directamente proporcional a las medidas de seguridad que se adoptan e inversamente proporcional a la antigüedad de las máquinas recreativas. Cómo varía el precio de la entrada si las medidas de seguridad se han mejorado en un 10%, y la antigüedad de las máquinas se ha reducido en un12%. A) Aumenta 18% B) Aumenta 25% C) Disminuye 15% D) Disminuye 10% E) Aumenta 15%

A)8 D)9

B)6 E) más de 9

C)5

Es una aplicación de las magnitudes proporcionales que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, comparando dos o más magnitudes proporcionales. Hay dos clases de regla de tres:

10. Repartir S/. 15 500 I.P. a los números 3 24 ; 3 81 y 3 375 . ¿Cuántos soles recibe el de la mayor parte? A)S/. 7 500 B)S/. 5 000 C)S/ 4 500 D)S/. 3 600 E)S/. 5 700

1. REGLA DE TRES SIMPLE: Una regla de tres es simple cuando intervienen solamente dos magnitudes y pueden ser: Directamente proporcionales (D.P.) o Inversamente proporcionales (I.P.).

11. Se reparte S/. 3 000 entre A, B y C; sabiendo que lo que le toca a A es a la parte de B+C como 8 es a 7, hallar la parte de A. A) S/. 900 B) S/. 800 C) S/ 1 300 D) S/. 1 400 E) S/. 1 600

2. REGLA DE TRES COMPUESTA: Una regla de tres es compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes. En general: (Obreros) I.P. (Rendimiento) (Obreros) I.P. (Días) (Obreros) I.P. (h/d) (Obreros) D.P. (Obra) (Obreros) D.P. (Dificultad) En consecuencia:

12. Un padre de familia desea repartir una herencia de S/. 7 400 a sus 3 hijos proporcionales a sus edades 16; 14; 10 y a sus ordenes de nacimientos respectivamente. Determinar la mayor parte recibida. A) S/. 1 600 B) S/. 7 200 C) S/. 5 600 D) S/. 2 800 E) S/. 3 000 TAREA 1. A varia directamente proporcional con B y C , y C varia en forma proporcional con F3 . Cuando A=160; entonces B = 5 Y F = 2 .Si B =8 Y F =5 ¿Cuanto sera A sera? A)4000 B)3800 C)3500 D)3200 E) 2400 2.

E) 28,8

(Obreros)(Rendimiento)(Días)(h/d) =k (Obra)(Dificultad) Donde:

K: constante de proporcionalidad

EJERCICIOS 1. 100 albañiles pueden hacer una obra en 15 días. Si se quiere emplear 75 albañiles menos, ¿en cuántos días más acabarán la obra? A) 25 B) 45 C) 50 D) 75 E) 60

El peso de un animal es directamente proporcional a sus años , si dicho animal tuviera 360kg, su edad seria 32 años .¿ Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324kg? A) 28,6 B) 26,8 C) 29,8 33

2.

Juan es el doble de rápido que Pedro y este el triple de rápido que Luis. Si entre los 3 pueden terminar una obra en 12 días. ¿ En cuántos días Pedro con Luis harían la misma obra? A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36

3.

Un hombre y dos niños pueden hacer una obra en 10 días . Determine el tiempo necesario para que dos hombres y un niño puedan hacer un trabajo cuatro veces considerable sabiendo que el trabajo de un hombre y el de un niño están en la misma relación que los números 3 y 2. A)25 B)30 C)35 D)40 E)45

4.

5.

la obra, razón por la cual, el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres. ¿Con cuántos días de anticipación se terminará la obra? A) 9 B) 4 C) 5 D) 3 E) 6 11. Un grupo de 50 hombres han hecho en 18 días de 8 h/d el 60% de una obra. ¿Con cuántos obreros tendrán que reforzarse para hacer el 75% de lo que falta de la obra en 5 días trabajando 9 h/d? A)10 B)20 C)30 D)40 E)50 12. Dos alumno se demoran en empastar 80 libros, trabajando 8 horas diarias, un cierto número de días; se sabe que otros 3 alumnos trabajando 6 horas diarias demoran 5 días más que los anteriores en empastar 135 libros. Determinar cuántos días demoran los dos primeros alumnos. A) 8 días B) 12 días C) 14 días D) 16 días E) 10 días

Ocho carpinteros cuya habilidad es como 5 son capaces de hacer 10 mesas y 18 sillas en 24 días. ¿Cuántos carpinteros cuya habilidad es como 7 son capaces de hacer 12 mesas y 20 sillas en 16 días, si se sabe que el hacer 1 mesa es lo mismo que hacer tres sillas? A)10 B)12 C)9 D)8 E)11

1.

Se emplean 10 hombres durante 5 días trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10m de largo, 6m de profundidad y 4m de ancho. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres trabajando 3 horas por día para cavar otra zanja de 15m de largo, 3 m de profundidad y 8m de ancho en un terreno de doble dureza y una habilidad igual a la tercera parte del anterior? A) 100 B) 98 C) 93 D) 87 E) 81

Tarea 30 obreros trabajando 10 horas diarias durante 16 días pueden asfaltar una carretera de 6 000 metros de largo. ¿Cuántos hombres serán necesarios para asfaltar una carretera de 9 000 metros de largo, trabajando 8 horas diarias durante 18 días? A) 20 B) 28 C) 37 D) 49 E) 50

2.

Si 20 obreros se demoran 15 días de 7 horas diarias de trabajo en sembrar 50 m2 de terreno, ¿cuántos días de 8 horas diarias de trabajo se demoraran en sembrar 80 m2, 15 obreros doblemente eficientes? A) 12 días B) 13 días C) 14 días D) 15 días E) 16 días

3.

Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de retrazo se entregara la obra? A)8d B)9d C)7d D)5d E)25d

Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántos serían necesarios para mantener trabajando 9 horas diarias durante 85 días 3 hornos más? A) 255 B) 458 C) 515 D) 408 E) 400

4.

8. Un grupo de 33 obreros pueden hacer una obra en 30 días, y luego de 6 días de trabajo se le pide que terminen lo que falta de la obra en 18 días. ¿Con cuántos obreros deben reforzarse a partir del séptimo día? A)9 B)11 C)13 D)31 E)19

35 obreros pueden terminar una obra en 33 días. Al cabo de 5 días de trabajo se les une cierto número de obreros de otro grupo, de modo que luego de 15 días termina la obra, cuántos hombres eran del segundo grupo? A) 20 B) 28 C) 37 D) 49 E) 63

5.

Veintiocho obreros pueden realizar una obra en 18 días, si al cabo del octavo día se incorporaron “a” obreros terminando así 3 días antes de lo establecido, calcule “a”. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

6.

7.

Se contratan 6 sastres que hacen 20 ternos en 15 días. Se pretende tener 80 ternos en 30 días. ¿Cuántos sastres doblemente rápidos se deberán contratar además de los ya contratados? A)4 B)5 C)3 D)2 E)10

9. Un grupo de 20 obreros quedan en entregar una obra en 30 días. En el día 10 se enferman 5 hombres y dejan de asistir al trabajo, en el día 20 el contratista se da cuenta que para terminar el trabajo necesita más personal. ¿Cuántos obreros más tendrá que contratar para entregar la obra el día fijado? A) 16 B) 14 C) 12 D) 11 E) 10 10.30 hombres se comprometen a realizar una obra en 15 días; al cabo de 8 días solo han hecho los 5/11 de

34

CONCEPTO: Tanto por ciento nos indica una relación entre una parte y una unidad considerada como 100 (es decir, dividida en 100 partes iguales) y de estas tomar tantas partes como se requiere.

Es decir:

1.

Unidad

1 1 1 1 100 100 100 100

...

Solución

1 1 100 100

Sea “N” el precio del artículo I. Descuentos sucesivos: 20% y 30%

100 partes iguales Considerando: 



 1  Una parte:    100   1    100 

10 partes: 10.

2.

Nota: Tomar una parte de 100 es tomar una parte por cada cien, es decir:

Precio final: 80%.70%.N = 56%N

III.

Descuento único: N – 56%N = 44%N

Si al precio de un artículo se le hace dos aumentos sucesivos del 20% y 30%. ¿Cuál es su precio final?, ¿a cuánto equivale el aumento único?

Sea “N” el precio del artículo I. Aumentos sucesivos: 20% y 30%

Ejemplo:

5 1 = 100 20 10 1 2. 10% = = 100 10 5% =

II.

Precio final: 120%.130%.N = 156%N

III.

Aumento único: 156%N – N = 56%N APLICACIONES COMERCIALES

1.

PORCENTAJE Es el resultado de calcular el tanto por ciento de una determinada cantidad.

Si hay ganancia:

Pv = Pc + Ganancia 2.

Ejemplo:  El 8% de 500 es:

Si hay pérdida:

Pv = Pc - Pérdida

8 8%(500) = × 500 = 40 100

3.

Si hay descuento:

Pv = Pf - Descuento

NOTA: 1. En este capítulo utilizamos por convención las palabras de, del de los que nos indicarán una multiplicación. 2.

II.

Solución

=1%

1.

Si al precio de un artículo se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 30%. ¿Cuál es su precio final?, ¿a cuánto equivale el descuento único?

4.

Pv= Pc + GB

Toda cantidad representa para si mismo el 100% es decir, cuando la cantidad sea N se puede indicar:

5.

GB = GN + Gastos

N = 100%N

Donde: Pv = Precio de Venta Pc = Precio de Compra o costo Pf = Precio de lista o precio fijo GB = Ganancia Bruta GN = Ganancia Neta

OPERACIONES ENTRE PORCENTAJES DE UN MISMO NÚMERO Sea N el número:  7%N + 20%N = 27%N  45%N – 30%N = 15%N  N + 26%N = 126%N  N – 66%N = 34%N

NOTA:

Generalmente las ganancias o pérdidas se representan como un tanto por ciento del precio de costo. Generalmente el descuento se representa como un tanto por ciento del precio fijado.

AUMENTOS Y DESCUENTOS SUCESIVOS Ejemplo:

EJERCICIOS 35

1.

2.

3.

El 40% del 50% de “A” es el 30% de “B”. ¿Qué porcentaje de (2A+7B) es (A+B)? A)25% B)12,5% C)20% D)10% E)22,5%

5.

Para fijar el precio de venta de un chancho se aumentó su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado? A) 40% B) 42% C) 44% D) 46% E) 48%

6.

En una fiesta de jóvenes, el 60% de los asistentes son varones y el resto mujeres. Luego llegan 40 muchachos cada uno con 2 chicas y, de esta manera todos están en pareja. ¿Cuántas mujeres habían inicialmente? A)20 B)40 C)80 D)120 E)60 El dueño de la panadería “El Chino” tiene 800 panetones de los cuales el 20% están quemados y el 30% del resto están duros. ¿Cuántos panteones están buenos? A) 464 B) 466 C) 448 D) 606 E) 564

8.

9.

A)15m D)20m

A)20% D)25% 1.

Al preguntársele a Pepito, cuánto había gastado de los 140 soles de propina que se le dá al mes, este contestó: He gastado las ¾ partes de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 Una pieza mecánica para ser procesada pasa por tres etapas, en la primera se le añade acero, aumentando su peso en 20%, en la segunda al efectuarse unos cortes y agujeros, se pierde el 10% de su peso y en la tercera etapa se le añade nuevamente acero por lo que aumenta su peso en 30%. Si a final del proceso, dicha pieza ha aumentado su peso en 202 gramos, calcular el peso inicial. A) 200 B) 150 C) 800 D) 500 E) 100

10. Si el largo de un rectángulo aumenta en un 20% y su ancho disminuye en un 10%. ¿En que porcentaje aumenta su área? A)5% B)6% C)7%

B)18m E)25m

C)16m

12. Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular. ¿Cuál sería el porcentaje que hay que aumentar al radio de la piscina para que su volumen aumente en un 150%?

Se sabe que el precio fijado para la venta de un artículo es S/. 210 más que su precio de costo, pero al momento de venderlo se rebajo el 10%. Si se ganó el 8% del precio de costo, calcular el precio fijado inicialmente. A)S/. 1260 B)S/. 1460 C)S/. 1750 D)S/. 1520 E)S/. 1250 Al venderse una licuadora se descontó en un 25% aún así se gana el 20%. Calcule el precio de venta si la diferencia del precio fijado y precio de costo es S/. 12? A)24 B)25 C)26 D)27 E)28

E)9%

11. Una toalla al ser lavada se encoge el 10% en el ancho y 20% en el largo. Si se sabe que dicha toalla tiene 2 metros de ancho. ¿Qué longitud se debe comprar si se necesita 36 m2 de toalla lavada?

Si la razón aritmética del 20% de A y el 40% de B es 20, además la razón geométrica del 40% de A y el 60% de B es 3/2. Halle A + B. A)1000 B)1500 C)1200 D)1800 E)1300

4.

7.

D)8%

B)23% E)27%

C)28%

TAREA Si gastara el 60% del dinero que tengo y ganara el 56% de lo que me quedaría, perdería S/. 752. ¿Cuánto tengo? A) 1500 B) 1600 C) 1800 D) 2010 E) 2000

2.

Roberto se retiró del casino con S/. 240 habiendo perdido primero el 20% de su dinero y ganado luego el 50% de lo que le quedaba, se desea saber si en el balance general gano o perdió y cuánto. A) Ganó 30 soles B) Perdió 20 soles C) Ganó 40 soles D) Perdió 10 soles E) No ganó ni perdió

3.

Se puede comprar cierta cantidad de libros con una determinada suma de dinero, pero si el precio de cada libro variase en 40% se podría comprar 8 libros más. ¿Cuál es dicha cantidad de libros? A)10 B)11 C)12 D)15 E)20

4.

Una persona pregunta en una tienda que descuento le pueden hacer sobre el precio de un repuesto y le responden que el 20%, va a otra tienda y compra dicho repuesto con un descuento del 25% ahorrando así S/. 35. ¿Cuánto costaba el repuesto? A)640 B)180 C)500 D)700 E)900

5.

Si al 80% del 25% de 5N le agregamos el 125% del 64% de 2N tenemos como resultado 5200. Calcule N. A)3000 B)4000 C)500 D)200 E)2000

1.

DEFINICIÓN: La regla de interés es una operación que consiste en calcular la ganancia o el interés, generada por un capital o suma de dinero, por ser prestado a un cierto tiempo y a una determinada tasa de interés.

2.

ELEMENTOS: C: Capital o suma de dinero, que se presta durante cierto tiempo por el cual generará un cierto interés.

36

r:

Tasa de interés, es el porcentaje de ganancia tomado en forma anual. t: Tiempo o tiempo de imposición, es el lapso durante el cual se presta el capital. I: Interés o rédito, es la ganancia que produce el capital al ser prestado durante cierto tiempo. M: Monto, es la suma del capital más los interés producidos. M=C+I 3.

CLASES: a) INTERÉS SIMPLE: Es cuando el capital prestado permanece constante en el tiempo que dura el préstamo, ya que los intereses no se suman a él.

b)

5.

Los capitales de dos personas suman S/. 2 700, si la primera persona impone su capital al 4% y la segunda al 5% anual obteniendo el mismo interés en el mismo tiempo. ¿Cuál es el capital menor? A) S/. 1 000 B) S/. 1 100 C) S/. 1 200 D) S/. 1 300 E) S/. 1 400

6.

Carlos tiene S/. 400 que presta al 10% mensual. Fabiola tiene S/. 600 que presta al 10% bimensual. Dentro de cuánto tiempo los montos serán iguales. A) 30 meses B) 20 meses C) 18 meses D) 24 meses E) 27 meses

7.

Dos capitales uno de S/. 9000 y otro de S/. 8500 están impuestos a interés simple, el primero al 4% y el segundo al 6%. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los montos producidos por esos capitales sean iguales? A)5 años B)4 años y 8 meses C)3 años y 4 meses D) 3 años y 5 meses E)2 años y 6 meses

8. Dos capitales que están en la relación de 4 a 7, se colocan la primera al 35% y la segunda a una cierta tasa que se pide calcular, sabiendo que después de un tiempo, el interés del segundo es el triple del primero. A) 36% B) 40% C) 50% D) 60% E) 70%

INTERÉS COMPUESTO: Es cuando el capital prestado, se incrementa periódicamente con los intereses que produce, es decir el interés se capitaliza.

9.

OBSERVACIONES: 1 mes comercial = 30 días 1 año comercial = 360 días 1 año común = 365 días 1 año bisiesto = 366 días

10. Un capital impuesto durante un año al 3%, produce $ 21 más que otro, impuesto 9 meses al 4%. ¿Cuál es la diferencia de dichos capitales? A) $ 800 B) $ 700 C) $ 900 D) $ 750 E) $ 1 000

EQUIVALENCIAS: 8% trimestral 32% anual 7% semestral 14% anual 3% cuatrimestral 9% anual 15% bimestral 90% anual 2% trimestral 24% anual 1.

2.

3.

4.

Se tiene dos capitales donde el primero es el doble del segundo. Si se sabe que el monto producido por el primer capital en 10 años y el monto producido por el segundo en 12 años 6 meses, están en la relación de 16 a 9; habiéndose sometido a la misma tasa de interés anual. Halle esta tasa. A)10% B)25% C)15% D)20% E)30%

1.

EJERCICIOS Calcular el interés generado al depositar S/. 4000 en 11 meses al 15% trimestral. A) S/. 1 200 B) S/. 1 225 C) S/. 2 200 D) S/. 2 400 E) S/. 2 250 ¿Cuál es el capital que se coloca al 25% durante 3 años para obtener un interés de $1620? A) $ 1 800 B) $ 2 160 C) $ 720 D) $ 972 E) $ 2 430 ¿A que tasa de interés la suma de S/. 20 000 llegaría a un monto de S/. 28 000 colocada a un interés simple de 1 año y 4 meses? A) 15% B) 20% C) 30% D) 27% E) 21% Gotita deposita un capital de S/. 320 durante 1 año y 3 meses al 8% bimestral, calcule el monto que se obtendría A) S/. 600 B) S/. 518 C) S/. 512 D) S/. 612 E) S/. 618 37

TAREA ¿Cuál es el monto producido por un capital de $ 7 200 colocados al 4% anual durante 3 años y 4 meses? A) $ 7 520 B) $ 8 160 C) $ 8 540 D) $ 6 800 E) $ 7 800

2.

¿Cuál es el capital que se coloca al 25% durante 3 años para obtener un interés de $1620? A) $ 1 800 B) $ 2 160 C) $ 720 D) $ 972 E) $ 2 430

3.

Un capital estuvo impuesto a interés simple durante 2 años y 3 meses. La suma del capital e intereses que se obtuvieron estaban en la relación con el capital como 67 es a 40. ¿A que tanto por ciento estuvo impuesto el capital? A) 20% B) 25% C) 30% D) 35% E) 40%

4.

Hoy día Carmen deposita S/. 1 500 al régimen de interés simple y a una tasa de 3% mensual y dentro de dos meses ella deposita otros S/. 1 500 a la

misma tasa. ¿Cuál será el monto a obtenerse dentro de 6 meses? A) S/. 3 640 B) S/. 3 630 C) S/. 3 646 D) S/. 3 450 E) S/. 3 280 5.

Menor Promedio = MH II. Para un conjunto de cantidades iguales se cumple que: MH = MG = MA = Cantidad común III. Sólo para 2 cantidades a y b cualquiera se cumple que:

El interés obtenido al depositar un capital en 8 meses es el 40% del monto. Calcule la tasa anual. A) 100% B) 80% C) 200% D) 250% E) 150%

a+b 2 2 ab MH = a+b MA =

MG = ab

Luego: MA x MH = ab También: MA x MH = MG2 Además: (a - b)2 = 4(MA+MG)(MA - MG) IV. Sólo para 3 cantidades a, b y c cualesquiera se cumple que:

MA =

a +b+c 3

MG = 3 abc MH =

EJERCICIOS 1. Hallar dos números cuya media aritmética sea 25 y su media armónica 24. A)10 y 40 B)12 y 38 C)20 y 30 D)15 y 35 E)18 y 32

Sean las cantidades a1 < a2 < a3 .....< an Se denomina promedio de ellas a aquella cantidad «P» que las representa y cumple en estar comprendida entre la menor y la mayor de las cantidades, es decir: a1 < P < an

2. La media geométrica de dos cantidades es 60 y su media armónica 45, hallar la media aritmética. A) 65 B)70 C)50 D) 80 E)90

TIPOS DE PROMEDIO I. Promedio Aritmético o Media Aritmética (MA)

MA =

Suma de cantidades Número de cantidades

MA =

a 1 + a 2 + a 3 ...... + a n n

II. Promedio Geométrico o Media Geométrica (MG)

MG =

N º de ca ntida de s

producto de cantidades

3.

Para dos cantidades A y B se cumple que el producto de la media aritmética y la media armónica es 100, mientras que el producto de la media aritmética y la media geométrica es 125. Calcule A+B. A)25 B)27 C)29 D)31 E)33

4.

La media geométrica de 15 números es 7 y la media geométrica de otros 5 números es 14. Calcule la media geométrica de los 20 números. A) 5 4 2 3 B) 7 4 2 C)

54 4

MG = n a 1 x a 2 x a 3 x ........ x a n

D) 4 2

III. Promedio Armónico ó Media Armónica (MH)

n 1 / a 1 + 1 / a 2 + 1 / a 3 + ... + 1 / a n

La media geométrica de cuatro números diferentes es 9 3 . Calcule la media aritmética, sabiendo que son números enteros positivos. A) 24 B) 26 C)28 D) 30 E)32

6.

La media armónica de 20 números es 18 y de otros 30 números diferentes entre sí y de los anteriores es 54. Hallar la media armónica de los 50 números. A)30 B)12 C)14 D)16 E)18

7.

Se tiene un conjunto de 100 números, cuyo promedio aritmético es “n”; si el promedio

PROPIEDADES I. Para un conjunto de cantidades no todas iguales, se cumple: a1 < MH < MG < MA < an Mayor promedio = MA Promedio Intermedio = MG

38

E) 7 4 2 7

5.

Número de cantidades MH = Suma de las inversas de las cantidades

MH =

3 abc ab + ac + bc

aritmético de 20 de estos 100 números es “n+4”, calcular “n” si el promedio aritmético de los otros 80 números es 13. A)12 B)13 C)14 D)15 E)18 8.

9.

En una sección de 60 alumnos, el promedio de edad es 18, y en otra sección de 30 alumnos el promedio es 15. Halle el promedio de las dos secciones juntas. A)17 B)18 C)16 D)14 E)15

4.

Un trailer para repartir cemento a las ferreterías utiliza normalmente sus 12 llantas para movilizarse 360 kilómtros diarios, cierta semana tuvo que utilizar además de sus 6 llantas de repuesto. ¿Cuál es el recorrido semanal promedio de cada llanta en km/h? A)1420 B)1460 C)1480 D)1520 E)1680

5.

En una “Discoteca” a la que asisten 90 personas (entre varones y mujeres) la edad promedio es 18. Pero, si cada varón tuviera cuatro años menos y cada mujer tuviera dos años más la nueva edad  promedio sería 16,6 . Dar como respuesta la relación del número de varones al número de mujeres en dicha “Discoteca”. A)1 a 3 B)5 a 4 C)4 a 3 D)1 a 4 E)5 a 3

El promedio aritmético de 42 números es 25; siendo 35 y 45 dos de los números. Eliminando estos dos números, ¿cuál será el promedio de los números restantes? A)24,25 B)23,75 C)23,50 D)22,75 E)21,50

10. “Milagro” alumna del CEPRE-UNSCH, tiene como nota final 13 puntos, resultado de cuatro pruebas escritas, si la primera nota excede en 2 a la última, se desea saber cuáles son estas, si en la segunda y tercera tiene 08 y 12. Señalar como respuesta la suma de cifras de la primera nota. A)17 B)7 C)8 D)32 E)4 11.Un camión para transportar abarrotes utiliza normalmente sus 6 llantas para movilizarse 80 kilómetros diarios, cierta semana hubo que utilizar además sus 2 llantas de repuesto. ¿Cuál es el recorrido semanal promedio de cada llanta? A)400 B)420 C)300 D)360 E)560

1.

12. Un autobús recorre una cierta distancia en cuatro tramos iguales con las siguientes velocidades el primer tramo con 20 m/s, el segundo tramo con 30 m/s el tercer tramo con v m/s y el último tramo con 60 m/s; luego el conductor observa que la velocidad promedio de todo el recorrido fue de 32 m/s. Calcule v. A)20 B)25 C)30 D)40 E)50

2.

La media proporcional entre a y b es 14 y la tercera proporcional de a y b es 112. Hallar la diferencia entre a y b. A) 18 B) 20 C) 22 D) 21 E) 16

3.

Si

MA.MH =100 MA.MG =125

2.

3.

4. B)40 E)60

m2 4 ; = 9 n2

Hallar “b”. A) 40 D) 24

TAREA 1. Para dos cantidades a y b se cumple que:

Calcule a+b A)20 D)120

PRÁCTICA Nº - 1 El número de canicas que tienen 3 niños son proporcionales a 4; 7 y 11, si cada niño tuviera 5 canicas más, el número de canicas que tendrían formarían una proporción geométrica continua. ¿Cuántas canicas tiene en total? A) 22 B) 44 C) 66 D) 88 E) 110

C)25

n3 27 = y a+c=84 3 125 p B) 30 E) 36

C) 48

Dado la siguiente serie

a+2 b+3 c + 4 d+5 = = = a-2 b-3 c - 4 d−5

Calcule la suma de los antecedentes, si d-a=18 A)70 B)98 C)84 D)54 E)36

Se sabe que el promedio de las edades de 40 personas es 18 años, si todas las personas son mayores de 16 años, cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos. A) 55 B) 59 C)56 D) 57 E) 60

5.

Si:

a c e = = =k y b d f

(a+b)(c+d)(e+f)=221 Hallar: 3 a.c.e +3 b.d.f Dar la suma de cifras de dicho número A) 10 B) 11 D) 7 E) 13

Como promedio, una ama de casa gasta S/. 140 diarios durante una semana. Si el primer y último día gastó S/. 50 en total, ¿cuánto gastó en los días restantes de la semana? A)S/. 360 B)S/. 840 C)S/. 930 D)S/. 950 E)S/. 1350

6.

39

C) 5

Carlos es un empleado cuyo sueldo es D.P. al cuadrado de su edad. Si actualmente tiene 17 años. ¿Cuántos años deberán pasar para que su sueldo sea 9 veces el sueldo actual?

A)34 D)37

B)36 E)33

C)51

A)13.5 días D)14 días

B)12 días E)12.5 días

C)13 días

7.

Se reparte 738 en forma directamente proporcional a las cantidades de modo que ellas están en la relación de 32 a 9. Hallar la suma de las cifras de la cantidad menor. A)18 B)14 C)13 D)11 E)9

16. Un artículo se ha vendido en S/. 2 600 ganando el 30% del precio de costo más el 20% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo. A)S/. 1 500 B)S/. 1 800 C)S/. 1 600 D)S/. 2 000 E)S/. 2 500

8.

Se reparte 14 400 en forma I.P. a los números: 2; 6; 12; 20; ...; 600. ¿Cuál es la suma de cifras de la mayor de las partes? A)15 B)13 C)12 D)9 E)8

17. A un artículo cuyo precio de lista es el doble del costo, se le hace una rebaja del 35%. ¿Cuál es el porcentaje de utilidad con respecto al costo? A) 30% B) 40% C) 50% D) 60% E) 70%

9.

Sabiendo que A2+B2 es D.P: a A2-B2, siendo la constante de proporcionalidad 13/5. Si A es D.P. a B. Entonces su constante de proporcionalidad es: A)1/2 B)1 C)3/2 D)5/2 E)2

18. Carmen lleva 300 huevos al mercado y encuentra que el 20% estaban malogrados y sólo pudo vender el 70% de los buenos. ¿Cuántos quedaron sin vender? A) 142 B) 130 C) 140 D) 131 E) 132

10. El siguiente cuadro muestra los valores que asumen las magnitudes A y B que guardan cierta relación de proporcionalidad. Calcule m+n. A B A) 948 D)956

18 225

m 25 B)950 E)954

9 n

19. El largo de un rectángulo aumenta en 30%. ¿En que porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en 9%? A) 30% B) 32% C) 34% D) 36% E) 38%

45 36 C)952

20. En un concurso de matemática se observa que el 30% son varones y el 20% de estos usan anteojos y el 60% de las mujeres no usan anteojos. ¿Qué tanto por ciento del total representan las personas que usan anteojos? A)28% B)34% C)36% D)32% E)30%

11. Cuatro obreros se comprometen a hacer una obra en 22 días. Si después del cuarto día se contratan 2 obreros más, ¿con cuántos días de anticipación entregarán la obra? A) 3 B) 1 C) 5 D) 6 E) 7

PRÁCTICA Nº - 2

12. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 42 días, pero 12 de ellos aumentaron su eficiencia, por lo cual la obra se terminó en sólo 36 días. ¿En que fracción aumentan su eficiencia dichos obreros? A) 1/2 B) 1/5 C) ¼ D) 5/6 E) 3/20 13. Un alumno hábil puede resolver 120 problemas en tres horas, ¿en que tiempo podrá resolver otro alumno cuya habilidad es 2 veces más al del anterior y cuyos problemas tiene el triple de dificultad, un total de 160 problemas? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 14. Se sabe que 10 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectáreas de trigo en 40 días. Después de 10 días de trabajo se retiran 2 hombres y 6 mujeres. Determine con cuántos días de retraso se terminará la cosecha, si el trabajo que hace un hombre equivale al de 2 mujeres. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 15. Si 36 peones, en 15 días de 8h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240 m de lado, ¿en cuántos días 24 peones trabajando 10h/d, podrán sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado cuya dureza a la cava es los 4/3 del anterior?

40

1.

¿Cuál es el interés que se obtiene por un capital de S/. 7 200 prestado durante 20 días al 5% trimestral? A)S/. 60 B)S/. 80 C) S/. 100 D)S/. 110 E)S/. 120

2.

Halle el interés cuatrimensual que produce S/. 4 200 al 2,1% semanal A)750 B)600 C)1 512 D)756 E)658

3.

Que tanto por ciento trimestral de interés simple, debe ganar un capital para que en 5 años se quintuplique. A)10% B)26,7% C)15% D)30% E)20%

4.

Sebastián divide su capital en 3 partes iguales y las impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente logrando una renta anual de S/. 10 000. ¿Cuál era su capital? A) 7 500 B)S/. 75 000 C) S/. 750 D) 75 000 E)S/. 5 000

5.

La media armónica de 15 números es 16 y la media armónica de otros 35 números es 48. Hallar la media armónica de los 50 números. A)20 B)30 C)40

D)15

E)25

Ciclo anual

6.

Al calcular la media aritmética de 30 números, se observa que si a 20 números se le aumenta en 9 unidades a cada uno y al resto se disminuye en 3 unidades a cada uno el nuevo promedio es 28. Calcule el promedio inicial. A)23 B)22 C)25 D)27 E)18

7.

El cuadrado de la media aritmética de 2 números menos el cuadrado de la media geométrica de los mismos es 9. Halle la diferencia de dichos números. A)10 B)8 C)6 D)5 E)9

8.

El promedio aritmético de 42 números es 25; siendo 35 y 45 dos de los números. Eliminando estos dos números, ¿cuál será el promedio de los dos números restantes? A)24,25 B)23,75 C)23,50 D)22,75 E)21,50

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

Ciclo intensivo

: Enero - Marzo 41

: Abril – Agosto : Agosto - Diciembre

9. ¿Cuáles son los dos números, tales que la media geométrica de ellos sea 5 2 y su tercera proporcional sea 20? A)2 y 4 B)3 y 6 C)4 y 7 D)5 y 10 E)6 y 12

42